Poliedros e Duais

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ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 10º ANO Sólidos Regulares e seus duais Modelos Neolíticos dos Sólidos Platónicos Poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro. Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos. Exemplo de um poliedro côncavo: Esc.Sec. da Cidadela – Departamento de Matemática – 10ª A- Construção de sólidos – Profª Margarida Pinto Teixeira Pg 1

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Poliedros, Sólidos Platónicos e seus duias- Trabalho a pares na aula com Polydrons

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ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

10º ANO

Sólidos Regulares e seus duais

Modelos Neolíticos dos Sólidos Platónicos

Poliedros são sólidos limitados por polígonos.

    Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas).

    Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro.

Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos.

    Exemplo de um poliedro côncavo:

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Uma relação válida para todos os poliedros que iremos referir neste trabalho, é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:

n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2

Em alguns poliedros, todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas.

A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares.

Estes são também conhecidos por Sólidos Platónicos.

Observando o sólido que se encontra representado na figura ao lado, analisemos as suas regularidades (propriedades que se mantêm constantes entre os seus elementos) e irregularidades. As regularidades que se encontram são as de que todas as faces e todas as arestas são congruentes (geometricamente iguais). Nas irregularidades temos que o número de faces ou de arestas concorrentes em cada vértice não é sempre igual, existem vértices onde concorrem quatro arestas e outros onde concorrem apenas três.

Os sólidos representados na figura seguinte são poliedros regulares, pois não apresentam irregularidades:

Chamam-se vértices equivalentes ou idênticos aqueles onde concorre o mesmo número de faces ou arestas.Os prismas e as pirâmides são os poliedros mais fáceis de visualizar e de planificar. No entanto, existem muitos mais poliedros, sendo enorme a variedade das suas formas e muitos deles são de grande beleza.

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Com a ajuda de polígonos regulares em polydrons, triângulo equilátero, quadrado, pentágono e hexágono, tenta unir num só vértice, 2 ou mais destes polígonos e regista a possibilidade e impossibilidade de , ao dobrar, conseguires construir um vértice de um sólido.

Ou sejaDesafio 1:a) Cola três triângulos com um vértice comum. A partir daqui constrói um sólido com o mesmo tipo de vértice. Qual foi o sólido que obtiveste?

b) Repete o processo descrito em a) com quatro triângulos à volta do mesmo vértice, depois com cinco, seis, etc. O que estás obtendo?

Desafio 2:

a) Cola três quadrados à volta do mesmo vértice. A partir daqui constrói um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obtiveste?

b) Repete este processo com quatro, cinco,... quadrados à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?

Desafio 3:

a) Liga três pentágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui constrói um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obtiveste?

b) Repete este processo com quatro, cinco,... pentágonos à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?

Desafio 4:

a) Cola três hexágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui constrói um sólido com o mesmo tipo de vértice. Conseguiste?

Amplitude do ângulo interno

3

polígonos

4

polígonos

5

polígonos

Triângulos

Quadrados

Pentágonos

Hexágonos

Tenta explicar os resultados a que chegaste.

Nota : Determina a amplitude dos ângulos internos de cada polígono

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PORQUE É QUE HÁ SÓ 5 SÓLIDOS DE PLATÃO?

1. Começa por construir sólidos cujas faces sejam apenas triângulos equiláteros.

Regista as conclusões no quadro seguinte e procede de forma idêntica com quadrados e

pentágonos regulares.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Face do sólido

Amplitude de cada ângulo

interno de cada face

Número de faces

concorrentes em cada vértice

Número de faces

Número de

vértices

Número de

arestas

Planificação do sólido

Amplitude de cada ângulo

interno do sólido

Nome

do

sólido

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2. Para reflectir:

Que relação existe entre os valores das colunas:

2, 3 e 8?

4, 5 e 6?

Quantos sólidos conseguiram construir apenas com triângulos?

E só com quadrados?

E apenas com pentágonos? Explica porquê.

Sugestão: recorre às colunas 8 e 7

Porque é que só há 5 sólidos regulares?

Sites:

Observa os sólidos em várias posições - http://www.atractor.pt/webM/exemplos/poliedros.htm

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Tetraedro

Cubo

Octaedro Icosaedro

Dodecaedro

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Os Sólidos Platónicos e os seus duais

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1. Usando modelos geométricos de poliedros regulares, preenche o quadro seguinte:

PoliedrosF- número de faces

Arestas que concorrem em cada face

Vértices Arestas por vértice

Arestas

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

Arestas Arestas por vértice

Vértices Arestas que concorrem em cada face

F- número de faces

Duais

Designando por F- número de faces; V- nº de vértices e por A – nº de arestas e utilizando os dados do quadro, procura estabelecer uma relação entre F, V e A

…………….. + …………..= ………….. + 2

2. Depois de teres preenchido o quadro anterior e registado as conclusões acerca da Relação de Euler, observaste que:

1- O cubo e o octaedro têm o mesmo número de ……………………..O número de vértices do cubo ……….. é igual ao número de faces de ……….. do octaedro e vice-versa.

Conclusão . O Cubo é o dual do Octaedro e reciprocamente

2- O icosaedro e o dodecaedro têm o mesmo número de ………………….O número de vértices do ……… é igual ao número de ……… do dodecaedro e vice-versa.

Conclusão : O icosaedro é o dual do dodecaedro e vice-versa

3- Unindo os centros das faces de um tetraedro obtém-se um ……………………

Conclusão : o tetraedro é o dual de si próprio.

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