Poliedros – Teoria

Superfície Poliédrica é um conjunto finito de polígonos planos cuja disposição no espaço satisfaz as seguintes propriedades: P1. Todo polígono da Superfície Poliédrica possui algum lado em comum com outro polígono da Superfície Poliédrica, ou a Superfície Poliédrica é formada por um único polígono. P2. Polígonos adjacentes da Superfície Poliédrica não são coplanares. P3. Todo lado de um polígono da Superfície Poliédrica pertence à no máximo dois polígonos. P4. Os lados de polígonos da Superfície Poliédrica que pertencem a um único polígono devem formar uma única linha poligonal fechada.

Os principais elementos em uma superfície poliédrica são: 1. Faces. As Faces de uma Superfície Poliédrica são os polígonos da Superfície Poliédrica. 2. Arestas: As Arestas de uma Superfície Poliédrica são os lados dos polígonos. 3. Vértices: Os Vértices de uma Superfície Poliédrica são os vértices dos polígonos. 4. Diagonais da Superfície Poliédrica. É todo segmento cujos extremos são vértices da Superfície Poliédrica que não é Aresta ou diagonal de Face.

Superfície Poliédrica aberta é a Superfície Poliédrica que possui arestas que pertençam a uma única Face, caso contrário é Fechada. Superfície Poliédrica convexa é a Superfície Poliédrica que fica totalmente contida em um dos semi-espaços definido pelo plano suporte das faces, uma conseqüência disto é que todas as faces de uma Superfície Poliédrica convexa são polígonos convexos. Poliedro Convexo é uma superfície poliédrica convexa fechada. Os próximos Teoremas relacionam os elementos das Superfícies Poliédricas. Teorema de Euler Em toda superfície poliédrica convexa aberta vale

V A F 1− + = Teorema de Euler Em todo poliedro convexo vale

V A F 2− + = Teorema Em todo poliedro convexo vale

nn 3

nn 3

2 A n F

2 A n V≥

≥

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

∑∑

Onde nF e nV são o número de faces de gênero n e o número de vértices em que concorrem n arestas.

Um Poliedro é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos sólidos e diedros são congruentes.

Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, são eles: Tetraedro regular Octaedro regular Icosaedro regular Hexaedro regular (cubo) Dodecaedro regular

Poliedro de Platão é o poliedro convexo em que todas as faces e todos os vértices são do mesmo tipo, ou seja. As faces são todas do mesmo gênero e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. Da definição observa-se que todo Poliedro regular é Poliedro de Platão, mas nem todo Poliedro de Platão é Poliedro regular, já que as faces podem não ser polígonos regulares ou podem não ser congruentes ou os ângulos sólidos ou Diedros podem não ser congruentes.

Existem apenas cinco poliedros de Platão, são eles: Tetraedro Octaedro Icosaedro Hexaedro Dodecaedro Teorema Em um poliedro convexo a soma dos ângulos internos das faces vale:

( )iS 360 V 2= °⋅ − . Teorema Em um poliedro convexo a soma dos ângulos externos das faces vale:

eS 360 F= °⋅ Ex.1: (AFA) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice. (A) 3 (B) 5 (C) 4 (D) 6. Solução: Temos

3 3 33

A 302 A 3 F 60 3 F F 20 F 20

F F=⎧

⇒ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ =⎨ =⎩

Do Teorema de Euler V A F 2 v 30 20 2 V 12− + = ⇒ − + = ⇔ = Como todos os vértices são do mesmo tipo, temos

p pV V 12 p V 2 A 12 p 60 p 5= = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⇔ = Opção (B)

Ex.2: (EN) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro é: (A) 14 (B) 13 (C) 11 (D) 10. Solução:

( ) ( )4 5 3 4 5 5 5 5 5

3 4

A 25F 2 F 2 A 3 F 4 F 5 F 50 3 2 F 4 4 2 F 5 F F 2F F 4

=⎧⎪ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⇔ =⎨⎪ = +⎩

Logo

35 3 4 5

4

F 8F 2 Como F F F F F 14

F 4=⎧

= ⇒ = + + ⇒ =⎨ =⎩

Do Teorema de Euler V A F 2 V 25 14 2 V 13.− + = ⇒ − + = ⇔ = Opção (B) Ex.3: (EN) Os átomos de uma molécula de determinada substância química se dispõem sobre os vértices de um poliedro convexo, cuja soma dos ângulos de todas as faces vale 2,088x104 graus. Sabendo que o poliedro tem 90 arestas, o menor inteiro que se deve somar ao número de faces para obter um quadrado perfeito é (A) 1 (B) 4 (C) 7 (D) 8 (E) 17. Solução:

( )iS 20.880 360 V 2 20.880 V 60.= ⇔ °⋅ − = ⇔ = Do Teorema de Euler

A 90V A F 2 60 90 F 2 F 32.

V 60=⎧

⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ =⎨ =⎩

O menor inteiro que devemos somar a 32 para obtermos um quadrado perfeito e -32. Sem resposta. Caso seja natural, o menor natural que devemos somar a 32 para obtermos um quadrado perfeito é 4. Opção (B)

1. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de aresta é: (A) 10 (B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) 23. 2. (ITA) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: (A) m = 9, n = 7 (B) m = n = 9 (C) m = 8, n = 10 (D) m = 10, n = 8 (E) m = 7, n = 9. 3. (IME) Um prisma A, um prisma B e uma pirâmide C tem ao todo 32 arestas. Sabendo-se que A têm mais arestas que B, dizer o número de lados da base de cada sólido. Solução: Sejam A B Cn , n e n os números de lados da base de A, B e C respectivamente, então

A A

B B

C C

A 3 nA 3 nA 2 n

= ⋅⎧⎪ = ⋅⎨⎪ = ⋅⎩

Além disso A B C B

B C B C B C BBA B

A A A 32 n 332 2 A A 6 n 2 n 16 3 n n 3 n 3

n 4A A+ + = =⎧ ⎧

⇒ > ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇔ > ⋅ + ≥ ⋅ + ⇔⎨ ⎨ => ⎩⎩

Analisando as possibilidades temos: B

A B

C A

C A

C A

C A

C A

n 3Lembrando que n n 31.n 3 n2.n 4 n 53.n 5 n4.n 6 n5.n 7 n 3 Não serve!

= ⇒> ≥

= ⇒ ∉

= ⇒ == ⇒ ∉

= ⇒ ∉≥ ⇒ ≤

B

A B

C A

C A

n 4Lembrando que n n 31.n 3 n2.n 4 n 4 Não serve!

= ⇒> ≥

= ⇒ ∉≥ ⇒ ≤

Logo devemos ter A B Cn 5, n 3 e n 4.= = =

4. (IME) Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o número de faces pentagonais de duas unidades. Pergunta-se o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices. 5. Prove que dado um Poliedro de Platão em que cada face tem gênero n e em cada vértice concorrem p arestas, temos:

4nV2n 2p np

4pF2n 2p np

2npA2n 2p np

=+ −

=+ −

=+ −

 

 6. Prove que existem apenas  cinco Poliedros Regulares. Dica: Use o fato de que em um vértice os ângulos planos são todos congruentes e que a somas destes é menor que 360°, ou seja,

( ) ( )i180 n 2

p a 360 p 360 p n 2 2nn

° ⋅ −⋅ < ° ⇔ ⋅ < ° ⇔ ⋅ − <

Como p 3≥ temos:

( )3 n 2 2 n n 6.⋅ − < ⋅ ⇔ < Verifique que 

p 3 (Tetraedro Regular)n 3 p 4 (Octaedro Regular)

p 5 (I cos aedro Regular)n 4 p 3 (Hexaedro Regular)n 5 p 3 (Dodecaedro Regular)

=⎧⎪= ⇒ =⎨⎪ =⎩

= ⇒ == ⇒ =

 

7. Prove que existem apenas  cinco Poliedros de Platão. Dica: Do exercício 5,  podemos afirmar que  ( )0 2n 2p np p n 2 2n< + − ⇒ ⋅ − <  e agora  segue análogo ao exercício 6. 

8. Todas as faces de um poliedro convexo tem o mesmo gênero. Sabendo-se que em 8 vértices do poliedro concorrem 3 arestas e que nos outro 4 vértices concorrem 4 arestas, pede-se calcular o número de diagonais do poliedro. Solução:

( )

33 4

4

n

2 2V F 12 F

V 82A 3V 4V A 20

V 4Como V 12Teorema de Euler 12 20 F 2 F 10Além disso nF 2A 10n 40 n 4Logo

4 4 3D C A D C 20 10 66 20 20 26. (D éo número totaldediagonais de face)

2

=⎧⇒ = + ⇔ =⎨ =⎩=

⇒ − + = ⇔ == ⇔ = ⇔ =

⎛ ⎞−= − − = − − ⋅ = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

9. (IME) Determine os números naturais n para os quais existam poliedros convexos de n arestas.

Gabarito

1. C 2. B 3. A B Cn 5, n 3 e n 4= = = 4. 3 4 5F 3, F 4 e F 1.= = = 5. \ 6. \ 7. \ 8. 26 9. n 6 ou n 8.= ≥