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I - DiedroDefniçãoÂngulo  diedro  ou diedro  ou ângulo diédrico  é a reunião de doissemiplanos de mesma origem, não contidos num mesmo plano.

A origem comum dos semiplanos é a aresta  do diedro e os doissemiplanos são suas faces.Podemos estender a defnição acima para termos o diedro nulo, quandosuas aces são coincidentes e raso  se suas aces são semiplanosopostos.CaracterísticasO interior de um diedro é convexo.Os pontos do interior de um diedro são pontos internos ao diedro.A reunião de um diedro com se interior é um setor diedral ou diedrocompleto, também conhecido por diedro convexo.O exterior de um diedro é cncavo.

Os pontos do exterior de um diedro são os pontos externos ao diedro.A reunião de um diedro com seu exterior é também conhecida pordiedro côncavo.Secções!ecção de um diedro é a intersecção do diedro com um plano secante "aresta.PropriedadesDuas secções paralelas de um diedro são congruentes.As secç#es são dois $ngulos de lados com sentidos respectivamenteconcordantes e, portanto, elas são congruentes.Secção Reta ou Normal

% a secção cu&o plano é perpendicular " aresta do diedro.PropriedadesSecções normais de um mesmo diedro são congruentes.'e ato as secç#es normais de um mesmo diedro são paralelas e,portanto, congruentes.NaturezaReto (m diedro é reto se, e somente se, sua secção normal orma

um ângulo reto.Agudo (m diedro é agudo se, e somente se, sua secção normal

orma um ângulo agudo.Obtuso (m diedro é obtuso se, e somente se, sua secção normal

orma um ângulo obtuso.Adacentes 'ois diedros são ad&acentes se, e somente se, suassecç#es normais orem ângulos adacentes.

  Opostos 'ois diedros são opostos pela aresta se, e somentese, as

!ela Aresta secç#es normais orem ângulos opostos pelov"rtice.

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II – TriedroDefnição'adas tr)s semi*retas +a, +b, +c, de mesma origem +, não coplanares,consideremos os semi*espaços ε1, ε2, ε3, como segue

ε-, com origem no plano bc/ e contendo +a0ε1, com origem no plano ac/ e contendo +b0ε2, com origem no plano ab/ e contendo +c. 3riedro determinado por +a, +b, +c é a intersecção dos semi espaços ε-, ε1

e ε2.!ob uma outra orientação, a fgura geométrica defnida acima échamada setor triedral ou ângulo s#lido de tr$s arestas. !eguindoessa orientação, o triedro é a reunião dos tr)s setores angularesdefnidos por +a, +b e +c.Elementos+ é o vértice.+a, +b, +c são as arestas.

ace.de$ngulosouacesassãoe,oue∧∧∧

bcacabcV bcV abV a   ˆˆ,ˆ

dia/, dib/, dic/ são os diedros do triedro. 4ada um deles é determinadopor duas aces do triedro.O tri$ngulo A54 com um 6nico vértice em cada aresta é uma secção dotriedro.(m triedro not7vel é aquele cu&as aces são $ngulos retos e cu&osdiedros são diedros retos. 8sse triedro é chamado triedro tro%retângulo ou triedro tri*retangular/.Natureza

!olar (m triedro é polar de outro se, e somente se, tem o mesmovértice do outro, se suas arestas são respectivamenteperpendiculares aos planos das aces do outro e se ormam$ngulos agudos com as arestas correspondentes do outro.

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III – Poliedro ConvexoDefniçãoSuper&'cie poli"drica limitada convexa é a reunião de um n6merofnito de pol9gonos planos e convexos ou regi#es poligonais convexas/,

tais quea/ dois pol9gonos não estão num mesmo plano0b/ cada lado de pol9gono não est7 em mais que dois pol9gonos0c/ havendo lados de pol9gonos que estão em um s: pol9gono, eles

devem ormar uma 6nica poligonal echada, plana ou não, chamadacontorno0

d/ o plano de cada pol9gono deixa os demais num mesmo semi*espaçocondição de convexidade/.

As super9cies poliédricas limitadas convexas que t)m contorno sãochamadas abertas. As que não tem contorno são chamadas &ec(adas.(ma super9cie poliédrica limitada convexa aberta ou echada não é uma

região convexa.4hamamos de !oliedro )onvexo o pol9gono plano convexo ou regiãopoligonal convexa/ com um n6mero fnito n  n ≥   */ tal que doispol9gonos não estão num mesmo plano, cada lado de pol9gono é comuma dois e somente dois pol9gonos e o plano de cada pol9gono deixa osdemais pol9gonos num mesmo semi*espaço.;essas condiç#es, fcam determinados n  semi*espaços, cada um dosquais tem origem no plano de um pol9gono e contém os restantes. Aintersecção desses semi*espaços é o poliedro convexo.Elementos(ma super9cie poliédrica limitada convexa tem

+aces !ão os pol9gonos0Arestas !ão os lados dos pol9gonos0,"rtices !ão os vértices dos pol9gonos0Ângulos !ão os $ngulos dos pol9gonos.(m poliedro convexo tem+aces !ão os pol9gonos convexos0Arestas !ão os lados dos pol9gonos0,"rtices !ão os vértices dos pol9gonos.Natureza!oliedro -uleriano Os poliedros para os quais vale a relação de 8uler

+ < A = > ? 1, onde + é o n6mero de vértices, A é

o n6mero de arestas e > o n6mero de aces dopoliedro/, são chamados poliedros eulerianos.odo poliedro convexo " euleriano/ mas nemtodo poliedro euleriano " convexo.

!oliedro de !latão (m poliedro é chamado poliedro de Platão se, esomente se, todas as suas aces t)m o mesmon6mero n/ de arestas, se todos os $ngulos

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poliédricos t)m o mesmo n6mero m/ de arestas ese vale a relação de 8uler.

-xistem cinco/ e somente cinco/ classes de poliedros de!latão. !ão eles  Tetraedro,  Hexaedro,  Octaedro,  Dodecaedro eIcosaedro.

Para acilitar a compreensão, relaciono abaixo os valores de m, n, A, + e> dos poliedros de Platãom n A V F Nome

3 3 6 4 4   Tetraedro

3 4 12 8 6   Hexaedro

4 3 12 6 8   Octaedro

3 5 30 20 12   Dodecaedro

5 3 30 12 20   Icosaedro

!oliedros Regulares (m poliedro é regular quando suas aces sãopol9gonos regulares e congruentes e quando seus$ngulos poliédricos são congruentes. -xistemcinco/ e apenas cinco/ tipos de poliedrosregulares. !ão eles Tetraedro Regular ,Hexaedro Regular , Octaedro Regular ,Dodecaedro Regular  e Icosaedro Regular .odo poliedro regular " poliedro de !latão/mas nem todo poliedro de !latão " umpoliedro regular.

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IV – PrismaDefnição4onsideremos uma região poligonal convexa plana pol9gono planoconvexo/ A- A1 @ An de n lados e uma reta r não paralela nem contida no

plano da região pol9gono/. 4hama*se prisma ilimitado convexo  ouprisma convexo inde0nido  " reunião das retas paralelas a r  quepassam pelos pontos da região poligonal dada. !e a região poligonalpol9gono/ A- A1 @ An or cncava, o prisma ilimitado resultar7 cncavo.Ao considerarmos um pol9gono convexo região poligonal convexa/

A54'@; situado num plano α e um segmento de reta  PQ , cu&a retasuporte intercepta o plano α. 4hama*se prisma ou prisma convexo/ "

reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a  PQ , com umaextremidade nos pontos do pol9gono e situados num mesmo semi*espaço dos determinados por α.

A defnição de prisma prisma convexo limitado ou prisma convexodefndo ou prisma convexo/ pode ser escrita como uma reunião da partedo prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duassecç#es paralelas e distintas, com essas secç#es.Elementos(m prisma ilimitado convexo possui n arestas, n diedros e n aces quesão aixas de plano/.(m prisma convexo possui1ases 'uas bases congruentes as secç#es citadas acima/0+aces 2ateraisn aces laterais paralelogramos/0+aces n = 1 / aces0

Arestas 2aterais n arestas laterais0Arestas 2n arestas0Diedros 2n diedros0,"rtices 1n vértices0riedros 1n triedros.A altura de um prisma é a dist$ncia ( entre os planos das bases. %interessante notar que, para o prisma, é v7lida a relação de 8uler

22)2(32   =+−⇒=++−=+−   F  AV  nnn F  AV  

SecçãoSecção de um prisma é a intersecção do prisma com um plano queintercepta todas as arestas laterais. ;otemos que a secção de umprisma é um pol9gono com vértice em cada aresta lateral.Secção Reta ou Secção 3ormal é a secção cu&o plano é perpendicular"s arestas laterais.Natureza!risma Reto é aquele cu&as arestas laterais são perpendiculares oasplanos das bases. ;um prisma reto as aces laterais são ret$ngulos.!risma Obl'4uo é aquele cu&as arestas são obl9quas aos planos das

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bases. !risma Regular  é um prisma cu&as bases são pol9gonosregulares.(m prisma ser7 tringulas, quadrangular, pentagonal, etc., conorma abase or um tri$ngulo, um quadril7tero, um pent7gono, etc.Paralelepípedos e Romboedros

!aralelep'pedo % um prisma cu&as bases são paralelogramos. Asuper9cie total de um paralelep9pedo é a reuniãode seis paralelogramos.

!aralelep'pedo Reto % um prisma reto cu&as bases sãoparalelogramos. A super9cie total de umparalelep9pedo reto é a reunião de quatroret$ngulos aces laterais/ com dois paralelogramosbases/.

!aralelep'pedo Reto%Retângulo  ou !aralelep'pedo Retângulo  ouOrtoedro % um prisma reto cu&as bases sãoret$ngulos. A super9cie total de um paralelep9pedo

ret$ngulo é a reunião de seis ret$ngulos.)ubo % um paralelep9pedo ret$ngulo cu&as arestas sãocongruentes.

Romboedro % um paralelep9pedo que possui as doBe arestascongruentes entre si. A super9cie total de umromboedro é a reunião de seis losangos.

Romboedro Reto % um paralelep9pedo reto que possui as doBearestas congruentes entre si. A super9cie total deum romboedro reto é a reunião de quatroquadrados aces laterais/ com dois losangosbases/.

Romboedro Reto%Retângulo ou  )ubo  % um romboedro reto cu&asbases são quadrados. A super9cie de umromboedro reto é a reunião de seis quadrados.

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V – PirâmideDefnição4onsideremos uma região poligonal plano*convexa pol9gono plano*convexo/ A- A1 @ An de n ladose um ponto + ora de seu plano. 4hama*

se pirâmide convexa inde0nida  ou $ngulo poliédrico ou $ngulos:lido/ " reunião das semi*retas de origem em + e que passam pelospontos da região poligonal pol9gono/ dada. !e a região poligonalpol9gono/ A- A1 @ An or cncava, a pir$mide ilimitada resulta cncava.4onsideremos um pol9gono convexo região poligonal convexa/ A54@;situado num plano α e um ponto + ora de α. 4hama*se pirâmide  oupir$mide convexa/ " reunião dos segmentos com uma extremidade em+ e a outra nos pontos do pol9gono.+ é o vértice e o pol9gono A54@;, a base da pir$mide.Podemos, também, defnir pir$mide como segue !irâmide )onvexa2imitada  ou !irâmide )onvexa é a parte da pir$mide ilimitada que

contém o vértice quando se divide essa pir$mide pelo plano de umasecção, reunida com essa secção.Elementos(ma pir$mide ilimitada convexa possuiArestas n arestasDiedros n diedros+aces n aces são os $ngulos ou setores angulares planos/.(ma pir$mide convexa possui1ases (ma base a secção acima citada/+aces 2aterais n aces laterais 3ri$ngulos/+aces n = -/ aces

Arestas 2aterais n arestas lateraisArestas 1n arestasDiedros 1n diedros,"rtices n = -/ vérticesÂngulos !oli"dricos n = -/ $ngulos poliédricosriedros n triedrosA altura de uma pir$mide é a dist$ncia ( entre o vértice e o plano dabase.Para uma pir$mide, a relação de 8uler também é v7lida.Secções% uma região poligonal plana pol9gono plano/ com um s: vértice em

cada aresta.Natureza!irâmide regular é uma pir$mide cu&a base é um pol9gono regular e apro&eção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.;uma pir$mide regular, as arestas laterais são congruentes e as aceslaterais são tri$ngulos is:sceles congruentes. 4hama*se ap#tema  deuma pir$mide regular " altura relativa ao lado da base/ de uma ace

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lateral. etraedro é uma pir$mide triangular. etraedro regular é umtetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si.(ma pir$mide ser7 triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conormea base or um tri$ngulo, um quadril7tero, um pent7gono, etc.

VI – CilindroDefniçãoSuper&'cies regradas desenvolv'veis cil'ndricas  são super9ciesgeradas por uma reta g geratriB/ que se mantém paralela a uma retadada r direção/ e percorre os pontos de uma linha dada d diretriB/. !ãosuper9cies regradas  por serem geradas por retas  e desenvolvidaspor poderem ser aplicadas, estendidas ou desenvolvidas num planoplanifcadas/ sem dobras ou rupturas. Super&'cie cil'ndrica derotação  ou  revolução  é uma super9cie gerada pela rotação ourevolução/ de uma reta g geratriB/ em torno de uma reta e eixo/, fxa,sendo a reta g  paralela e distinta da reta e. 4onsidera*se que cada

ponto da geratriB descreve uma circuner)ncia com centro no eixo e cu&oplano é perpendicular ao eixo. A super9cie cil9ndrica de revolução deeixo e, geratriB g e raio r é o lugar geométrico dos pontos que estão auma dist$ncia dada r/ de uma reta dada e/. 4hamamos de cilindrocircular ilimitado ou cilindro circular inde0nido " reunião das retasparalelas a s e que passam pelos pontos do c9rculo.4onsideremos um c9rculo região circular/ de centro O e raio r, situadonum plano α, e um segmento de reta PC, não nulo, não paralelo e nãocontido em α. 4hama*se )ilindro circular  ou cilindro " reunião dossegmentos congruentes e paralelos a PC, com uma extremidade nospontos do c9rculo e situados num mesmo semi*espaço dos determinados

por α. 3ambém podemos defnir cilindro como a reunião da parte docilindro circular ilimitado, compreendida entre os planos de duas secç#escirculares paralelas e distintas em relação a essas secç#es..Elementos(m cilindro possui1ases 'uas bases em orma de c9rculos, congruentes e situados em

planos paralelos as secç#es citadas acima/5eratri6es!ão os segmentos com uma extremidade em um ponto da

circuner)ncia de centro O  e raio r  e a outra no pontocorrespondente da circuner)ncia de centro O7 e raio r.

Raios r é o raio da base

SuperíciesSuper&'cie lateral é a reunião das geratriBes. A 8rea dessa super9cie échamada 8rea lateral e indicada por Al. Super&'cie otal é a reuniãoda super9cie lateral com os c9rculos das bases. A 8rea dessa super9cieé a 8rea total e indicada por At.Natureza!e as geratriBes são obl9quas aos planos das bases, temos o cilindrocircular obl'4uo. !e são perpendiculares aos planos das bases, temos o

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cilindro circular reto. O cilindro circular reto é também chamado decilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um ret$ngulo emtorno de um eixo que contém seus lados. O cilindro e4uil8tero é umcilindro cu&a secção meridiana é um quadrado, onde g 9 ( 9 :r.!ecção meridiana é a intersecção do cilindro com um plano que contém

a reta OO7 determinada pelos centros das bases. A secção meridiana deum cilindro obl9quo é um paralelogramo e a de um cilindro reto é umret$ngulo.

VII – ConeDefniçãoSuper&'cies regradas desenvolv'veis cônicas são super9ciesgeradas por uma reta g  geratriB/, passando por um ponto dado ,vértice/ e que percorre os pontos de uma linha dada d diretriB/, com ,ora de d. Super&'cie cônica de rotação ou revolução  é umasuper9cie gerada pela rotação ou revolução/ de uma reta g  geratriB/

em torno de uma reta e eixo/, fxa, sendo a reta g obl9qua ao eixo e. Ovértice ,/ é a intersecção das retas g  e e. 4onsideremos um c9rculoregião circular/ de centro O e raio r e um ponto , ora de seu plano.4hama*se cone circular ilimitado  ou cone circular inde0nido  "reunião das semi*retas de origem em , e que passam pelos pontos doc9rculo.Agora, consideremos um c9rculo região circular/ de centro O  e raio rsituado num plano α e um ponto , ora de α. 4hama*se cone circularou cone " reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em , eoutra nos pontos do c9rculo. A defnição de cone  também pode serexpressa como uma parte do cone ilimitado que contém o vértice

quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunidacom esta secção.ElementosO cone possui1ases (ma base < c9rculo de centro O e raio r ou a secção citada

acima5eratri6es!ão os segmentos com uma extremidade em , e a outra nos

pontos da circuner)ncia base,"rtices O ponto , citado acimaRaio r é o raio da baseAltura Dist!ncia entre o "#rtice e o plano da base

-ixo é a reta determinada pelo vértice e pelo contro da baseAp#tema é a geratriB de um cone circular retoSuperíciesSuper&'cie lateral é a reunião das geratriBes. A 7rea dessa super9cie échamada 7rea lateral e indicada por Al. Super&'cie total é a reunião dasuper9cie lateral com o c9rculo da base. A 7rea total dessa super9cie échamada 7rea total e indicada por At.

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NaturezaA natureBa dos cones é defnida pela posição da reta ,O em relação aoplano da base. !e esta reta é obl9qua ao plano da base, temos um conecircular obl'4uo. !e a reta ,O é perpendicular ao plano da base, temoso cone circular reto. 8ste cone também é chamado de cone de

revolução, pois é gerado pela rotação de um tri$ngulo ret$ngulo emtorno de um eixo que contém um de seus catetos. )one e4uil8tero é

um cone cu&a secção meridiana é um tri$ngulo equil7tero 32   r hr  g    ==  , .A Secção meridiana de um cone é a intersecção do cone com umplano que contém a reta ,O. A !ecção meridiana de um cone derevolução é um tri$ngulo is:sceles.

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VIII – sferaDefnição4onsideremos o ponto O e um segmento de medida r. 4hama*se es&erade centro O e raio r ao con&unto dos pontos ! do espaço, tais que a

dist$ncia OP  se&a menor ou igual a r.-s&era  também é o s:lido de revolução gerado pela rotação de umsemic9rculo em torno de um eixo que contém o di$metro.ElementosP:los relativos a uma secção da esera são as extremidades do di$metroperpendicular ao plano desta secção.4onsiderando a super9cie de uma esera de eixo e, temos!#los !ão as intersecç#es da super9cie com o eixo-4uador % a secção circuner)ncia/ perpendicular ao eixo, pelo

centro da super9cie!aralelo % uma secção circuner)ncia/ perpendicular ao eixo. %

DparalelaE ao equador;eridiano % uma secção circuner)ncia/ cu&o plano passa pelo

eixoDistância !olar % a dist$ncia de um ponto qualquer de um paralelo ao

p:lo+uso -s&"rico % a intersecção da super&'cie de uma esera com um

diedro ou setor diedral/ cu&a aresta contém umdi$metro dessa super9cie esérica

)un(a -s&"rica % a intersecção de uma esera com um diedro ou setordiedral/ cu&a aresta contém o di$metro da esera.

Natureza

Por natureBa, a es&era sempre ser7 um s:lido de revolução gerado pelarotação de um semic9rculo em torno de um eixo que contém o di$metro,como &7 oi dito anteriormente.Secção 3oda secção plana de uma esera é um c9rculo. !e o plano secante passapelo centro da esera, temos como secção um c'rculo m8ximo daesera. !endo r  o raio da esera, d  a dist$ncia do plano secante ao

centro e s o raio da secção, temos a relação222 d r  s   −= . Fearran&ando

esta equação, é 7cil chegar na bem conhecida222  sd r    += , que é o

amoso e muito utiliBado 3eorema de Pit7goras, aplicado no tri$ngulo

ret$ngulo O;A/ onde O  é o centro da esera, ;  é a pro&eçãoperpendicular do centro O  no plano secante e A  é o ponto deintersecção do plano com a super9cie da esera.Superície4hama*se de super&'cie de uma esera de centro O e raio r ao con&untodos pontos ! do espaço, tais que a dist$ncia O! se&a igual a r.A super9cie de uma esera é também a super9cie de revolução geradapela rotação de uma semicircuner)ncia com extremidades no eixo.

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