Polígonos regulares

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Page 1: Polígonos regulares

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Figura 1 Figura 2

1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência

Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono.

Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que:

• o polígono está circunscrito à circunferência;

• a circunferência está inscrita no polígono.

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2. Polígonos regulares

Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equilátero quando possui todos os lados congruentes. Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.Logo, o retângulo é equiângulo.

b) O losango tem todos os lados congruentes.

Logo, o losango é equilátero.

c) O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.

Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.

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Todo polígono equilátero e equiângulo é chamado de polígono regular.

Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes

Exemplos:

Propriedade dos polígonos regulares

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.

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Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.

As cordas consecutivas formam um quadrado

inscrito na circunferência.

As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.

Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados.

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•   Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

• Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos

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Se um polígono é regular, consideramos:

• Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).

• Raio do polígono é o raio da circunferência

circunscrita a ele .

• Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados .

• Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos (CÔD).

A medida do ângulo central é dada por:

(n = número de lados) e

Elementos de um polígono regular

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3. Relações métricas nos polígonos regulares

Estudaremos a seguir como calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio.

Quadrado inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.

Para construir um quadrado ABCD inserido nessa circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si ( e ), determinando o vértices do quadrado. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r. 

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Cálculo da medida do lado Cálculo da medida do apótema (a4)

No AOB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AB)2 = (AO)2 + (OB)2

(r > 0)

No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (BM)2 = (OB)2

(r > 0)

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Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa

circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.

Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em

função de r.

Cálculo da medida do lado ( )

Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede

Sendo assim temos:

M(AÔB) = 60º, m( ˆABO ) = m (AB) 120º

60º2 2==

e m (BÂO) = »m (BD) 120º

60º2 2==

O ∆AOB, sendo eqüiângulo, é também eqüilátero, ou seja: AB = AO = OB 6 = r Logo: 6 = r

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Cálculo da medida do apótema (a6)

No ∆OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (MB)2 = (OB)2

22 26 2

ra r+=

22 26 4

ra r+=

22 26 4

ra r=−

226

3

4

ra =

2

6

3

4

ra = (r > 0)

6

3

2

ra =

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Triângulo equilátero inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio medida r.

Para construir um triângulo equilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.

Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.

Cálculo da medida do lado ( 3 )

Observe que: • o ∆ADC é retângulo (inscrito na semicircunferência) • DC = 6 = r No ∆ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AC)2 + (DC)2 = (AD)2

2 23 6( ) ( ) (2 )r+=

2 2 23

2 23

4

3

r r

r

+=

=

3 3r=

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Cálculo da medida do apótema (a3)

No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OC)2 = (OM)2 + (MB)2

(r > 0)