Polinômia, expr alg e prod nat

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POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS 30
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MDULO III

PAGE 26

Polinmios,

Produtos Notveis

e

Fraes Algbricas

Mdulo III Polinmios, Produtos Notveis e Fraes Algbricas

O Mdulo III composto por uma coletnea de exerccios que tem como objetivo ajud-lo a relembrar itens como:

Colocar em evidncia;

Produtos Notveis;

Mnimo Mltiplo Comum, onde os denominadores so variveis e no nmeros.I. Polinmios

1) Definio:Polinmios so qualquer adio algbrica de monmios.

Monmios: toda expresso algbrica inteira representada por um nmero ou apenas por uma varivel, ou por uma multiplicao de nmeros e variveis.

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

Geralmente o monmio formado por uma parte numrica chamada de coeficiente numrico e por uma parte literal formada por uma varivel ou por uma multiplicao de variveis.

Exemplo:

Os monmios que formam os polinmios so chamados de termos dos polinmios.

Obs. 1:

O monmio um polinmio de um termo s.

Obs. 2:

um polinmio de 2 termos: e .

Obs. 3:

um polinmio de 3 termos: , e 4.

2) Operaes com Polinmios2.1. Adio Algbrica de Polinmios

Para somarmos 2 ou mais polinmios, somamos apenas os termos semelhantes.

Exemplo:

a) Obter o permetro do tringulo abaixo:

Como permetro a soma dos lados, teremos:

termos semelhantes EMBED Equation.3

termos semelhantes

o resultado um polinmio.

b)

Exerccios

1) Reduza os termos semelhantes:

a)

b)

2)Escreva os polinmios na forma fatorada:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

2.2.Multiplicao Algbrica de Polinmios

A multiplicao de um polinmio por outro polinmio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.

Exemplo:

a)

e fica assim.

b)

EMBED Equation.3

c)

d)

no h termos semelhantes

Obs.:No item fatorao de polinmios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3. Diviso Algbrica de Polinmio

Diviso de um polinmio por um monmio

A diviso de um polinmio por um monmio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinmio pelo monmio.

Exemplo:

a)

ou

b)

ou

Obs.:Na parte de fatorao de polinmios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

Exerccios

3)Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

4)Escreva os seguintes polinmios na forma mais reduzida:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

II. Produtos Notveis

No clculo algbrico alguns produtos so muito utilizados, e so de grande importncia para simplificaes realizadas em expresses algbricas. Devido a importncia, estes produtos so chamados de produtos notveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:

1)

2)

3)

Todos estes produtos so desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicao em relao adio e subtrao. Se lembrarmos deste detalhe no precisaremos mais decor-los, observemos:

a)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

b)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

c)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

d)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Como utilizaremos os produtos notveis?

Exemplos para simplificaes:

a)

b)

Obs.:

jamais ser igual a , basta lembrarmos que:

c) jamais ser , pois:

Exerccios

5)Desenvolva os produtos notveis:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

6)Sabendo que a b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 b2.III. Alguns casos de fatorao de polinmios

A fatorao de polinmios ser muito usada para simplificao de expresses algbricas e para obter o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) de fraes algbricas.

1. Fatorao pela colocao de algum fator em evidncia

Exemplos:

a)

Ento

Ao efetuarmos o produto , voltaremos para a expresso inicial .

b)

Assim:

EMBED Equation.3 c)

d)

Obs.: As variveis que aparecem em todos os termos do polinmio aparecero no fator comum sempre com o menor expoente.

Exerccio

7)Simplifique as expresses:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

IV. Fraes Algbricas

As fraes que apresentam varivel no denominador so chamadas de fraes algbricas.

Exemplos:

As operaes de adio, subtrao, multiplicao e potenciao de fraes algbricas so exatamente iguais s operaes realizadas com fraes no algbricas. A seguir trazemos alguns exemplos:

1. Adio e Subtrao

Tanto na adio como na subtrao de fraes, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a)

EMBED Equation.3 b)

M.m.c. entre

EMBED Equation.3 VOC SABE A DIFERENA ENTRE MMC e MDC ? Qual a diferena entre m.d.c. e m.m.c.?

m.d.c. ( mnimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em todos os termos) para colocar em evidncia.

Ex.:a) 2, 4, 6 ( m.d.c. 2, pois 2 o menor nmero que divide 2, 4 e 6.

b)10, 15, 20 ( m.d.c. 5, pois 5 o menor nmero que divide 10, 15 e 20.

m.m.c. ( mnimo mltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos fraes.

Qual o mmc de 2,4 e 6 ?

Observe:

mltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)

mltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)

mltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)

O nmero 12 o menor dos mltiplos de 2, 4 e 6 por isso chamado de mnimo mltiplo comum.(mmc).No entanto no necessrio recorrer a este modo para determinar o mmc de vrios nmeros. Pode-se usar a regra prtica de a decomposio simultnea em fatores primos..

Ex.:a)2, 4, 6 ( m.m.c. 12.

b)10, 15, 20 ( m.m.c. 60.

Nos exemplos c e d a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrev-los na forma fatorada.

c)

Fatorando os denominadores:

M.m.c. dos denominadores fatorados e ser:

Assim

EMBED Equation.3 Mas ainda podemos melhorar o resultado:

d)

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:

Assim teremos:

2. Multiplicao e diviso de fraes algbricas

A multiplicao e diviso de fraes algbricas exatamente igual a de fraes numricas, ou seja no necessrio obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.Exemplos:

a)

b)

Exerccios

8. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

9. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Respostas dos Exerccios

1 Questo:

a)

b)

2 Questo:

a)

d)

g)

j)

b)

e)

h)

k)

c)

f)

i)

l)

m)

3 Questo:

a)

d)

g)

j)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

4 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

i)

5 Questo:

a)

d)

g)

j)

b)

e)

h)

k)

c)

f)

i)

l)2

m)1

6 Questo:

100

7 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)dd)

f)

h)

8 Questo:

a)

h)

o)

v)

b)

i)

p)

w)

c)

j)

q)

x)2a-2

d)

k)

r)

y)

e)

l)

s)

z)

f)

m)

t)

g)

n)

u)

9 Questo:

a)

d)

g)

k)

b)

e)

h)

l)

c)

f)

i)125b6/8 a3m)

j)1n)

Parte Literal

Coeficiente Numrico

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Conserve a base e some os expoentes.

Observemos que b o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidncia com o menor expoente.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2y o fator comum;

2 o mnimo (menor) divisor comum de 2 e 4;

Portanto 2y deve ser colocado em evidncia.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fator comum 2bx (as variveis b e x com seus menores expoentes)

2 o mnimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.

Portanto, 2bx deve ser colocado em evidncia.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

4 o m.m.c. de 2 e 4.

xy ( todas as variveis que aparecem nos denominadores comporo o m.m.c. com seus maiores expoentes.

m.m.c. dos denominadores =4 xy.

24 o m.m.c. entre 1, 3 e 8;

EMBED Equation.3 so as variveis com seus maiores expoentes.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Denominadores fatorados

m.m.c.

produto de todos os termos que aparecem nos denominadores

m.m.c dos denominadores ser EMBED Equation.3

Primeiro eliminaremos os parnteses tomando cuidado quando houver sinal negativo fora dos parnteses.

Como EMBED Equation.3 mnimo mltiplo da frao, podemos separar em duas fraes.

1

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