MONÓMIOS MONÓMIOS EE

POLINÓMIOSPOLINÓMIOS

( ) ( ) 3649 =−− xx

Problema: Observa as figuras.Problema: Observa as figuras.

x - 9

x – 4

Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.

6

66

Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação:

Resolução:Resolução:

No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efectuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.

32 +a

32 2 −x

47 −x

62

1 −− x

342 −− yy

POLINÓMIOSPOLINÓMIOS

342 −− yy2y y4− 3−

3044 2 −− xx

yy 42 −

xyxyy 747 2 −−

Um polinómio é uma soma algébrica de vários monómios.

No polinómio , às parcelas, , e

chamam-se termos ou monómios.

Exemplos:

TrinómioTrinómio porque é constituído por 3 monómios

BinómioBinómio, porque é constituído por dois monómios.

4

y−

yyy

4

1

4

1

4−=×−=−

Curiosidade:Curiosidade:Monómio Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único.Monómio significa único termo.

Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras.

MONÓMIOS

Exemplos:Exemplos:

M3

-xy

66

23x

x

Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.

Constituição de um monómio

Exemplo:

-7y3

Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y3).

Monómio Coeficiente Parte literal

yz5

10−x

6

z−

89− xyz

Exercício:Completa a tabela seguinte:

Como escrever correctamente um monómio?

xx

2 x a× ×

a

A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão:

2axmas deve escrever-se:

Exemplo II

Observa a figura:

Qual a sua área? 7x × 2x = 14x2 x

x

Exemplo I

O produto de dois monómios é um monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais.

Convencionou-se que para escrever um produto de vários factores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo:

Monómio

Escrita correcta

yx ××5 xy5

35 ××× ab ab15

( ) pq ×−××− 23 pq6

( ) baba ××−××× 23 2 236 ba−

Grau de um monómioGrau de um monómio

a626a36a

ba36256 ba

grau 1

grau 2

grau 4

grau 7

6

grau 3

grau 0

Então, como se determina o grau de um monómio?

O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes da parte literal.

MonómiosMonómios

GrauGrauyx47

3

8xy7 3223 yx−

Completa a tabela:

Monómios semelhantes

xxx 4976 4 −++

46x x7 9

x4−x7

x4−

Considera o seguinte polinómio:

Este polinómio é constituído por 4 monómios , , e .

e

Os monómios

e são semelhantes.

Monómios semelhantes Monómios semelhantes – são aqueles que têm a mesma parte literal.

46xx4−Os monómios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal.

Grau de um polinómioGrau de um polinómio

Consideremos o polinómio . 156 24 +− xx

O grau deste polinómio é 4.O grau deste polinómio é 4.

Chama-se Chama-se grau de um polinómiograu de um polinómio ao maior grau dos monómios que o ao maior grau dos monómios que o constituem.constituem.

Adição algébrica de polinómios

Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números.

Por exemplo:Por exemplo:

2332 +=+ abba +=+

2332 ×=× baabouabba =×=×

( ) ( )532532 ++=++ ( ) ( )cbacba ++=++

( ) ( )cbacba ××=××( ) ( )532532 ××=××

Propriedade Propriedade comutativacomutativa

Propriedade Propriedade associativaassociativa

Aritmética Álgebra

Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.

Aritmética Álgebra

3 + 3 + 3 + 3 = 4×3 a + a + a + a =4×a = 4a

5×4 + 6×4 = 11×4 5a + 6a = 11a

3×7 + 2×7 + 4×7 = 9×7 3a + 2a + 4a = 9a

Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.

A soma de vários monómios semelhantes é um monómio semelhante com coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monómios das parcelas.

Exemplos:

3. O polinómio

9364976 44 ++=−++ xxxxx

Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes

2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios:

4 46 7 9 4 12x y x y+ + − + = ( )3 3 26 2 5 7 3 10y y y y y− + − − + − + =

415 3 12x y= + + 3 3 26 2 5 7 3 10y y y y y= − + + + − + =

3 213 5 15y y y= + − +

O P E R A Ç Õ EO P E R A Ç Õ ES C O M S C O M

P O L IN Ó M IOP O L IN Ó M IOSS

Produto de um monProduto de um monóómiomio por um polinpor um polinóómiomio

b

a c

A área é dada pela expressão:

( )bcab

cbabcab

+==×+×=+

abab bcbc

b

b c

bb22 bcbc

Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, áárea do maior rea do maior rectângulo da figura?rectângulo da figura?

( )bcb

cbbbcbb

+==×+×=+

2

2b bc+

Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monómio por cada um dos termos do polinómio.

( ) =−++−− 1332 xx 6x 6− x2− 2+

MultiplicaMultiplicaçção de polinão de polinóómiosmios

( ) ( )28 ++ xx

A figura representa um rectângulo.

A expressão que representa a sua área é:

Como transformar esta expressão num polinComo transformar esta expressão num polinóómio reduzido?mio reduzido?

x+8

x+2

Produto de dois polinProduto de dois polinóómiosmios

( ) ( )28 ++ xx

( ) ( ) ( ) ( )

1610

1682

28228

2

2

++==+++=

=+++=++

xx

xxx

xxxxx

1.ª processo:1.ª processo: 2.ª processo:2.ª processo:

16102 ++ xx

Expressão que representa a Expressão que representa a área do rectângulo dado.área do rectângulo dado.

Polinómio reduzidoPolinómio reduzido

2 2 8 16x x x+ + + =( ) ( ) =++ 28 xx

2 10 16x x= + +

Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio.

( ) ( )523 +−− xx

( )622

1 +

− xy

−

+− 1

24

122 xxx

( ) ( ) ( )32135 2 −−++ xxx

−−

2

2

3

14,010

3

1yyy

( ) ( )2342 1032 xxx +−

Exercício:

Transforma num polinómio reduzido:

C A S O S C A S O S N O T Á V E IS N O T Á V E IS

D A D A M U L T IP L IC AM U L T IP L IC A

Ç Ã OÇ Ã O

Entre todos os produtos de polinEntre todos os produtos de polinóómios hmios háá dois casos que têm um interesse dois casos que têm um interesse particular, não sparticular, não sóó pela sua aplica pela sua aplicaçção a muitas situaão a muitas situaçções, como pela sua ões, como pela sua ligaligaçção ão àà geometria. geometria.

Já vimos que um polinómio com dois termos, ou seja, com dois monómios, também se pode chamar BINÓMIO.

5+x ( ) 25+x Se é um binómio, então representa o quadrado de um binómio.

5+x

Exemplos

• Quadrado de binómio:

(x + 6)2 = x2 + 2 × 6 × x + 62 = x2 + 12x + 36

(5 + 3x)2 = 52 + 2 × 5 × 3x + (3x)2 = 25 + 30x + 9x2

(y + 2x)2 = y2 + 2 × y × 2x + (2x)2 = y2 + 4xy + 4x2

(7a + 3b)2 = (7a)2 + 2 × 7a × 3b + (3b)2 = 49a2 + 42ab + 9b2

Exemplos• Quadrado de um binómio

(a - 5b)2 = a2 - 2 × a × 5b + (5b)2 = a2 - 10ab + 25b2

2 22 21 1 1 12

2 2 2 4x x x x x − = − × × + = − +

2 2 223 3 2 3 9 3

2 2 2 4

x x x xx − = − × × + = − +

D if e r e n ç a d e

q u a d r a d o s

( ) ( ) 2222 babababababa −=−+−=+−

( ) ( ) 22 bababa −=+−

De um modo geral,

Quadrado do 2.º termo

ÉÉ importante ler a igualdade nos dois sentidos. importante ler a igualdade nos dois sentidos.

Quadrado do 1.º termo

Repara que:Repara que:

•Cada expressão dada é um produto de dois binómios, que só diferem num sinal. Têm um termo em comum e o outro é simétrico.

•O sinal, -, da diferença fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente.

•A expressão que se obteve em cada caso é uma diferença de quadrados.

( ) ( ) 993333 22 −=−+−=+− xxxxxx

( ) ( ) 64256488258585 22 −=−+−=+− xxxxxx

22 925

19

5

3

5

3

25

13

5

13

5

1yyyyyy −=−−+=

+

−

Observa :

Mais Exemplos• Diferença de quadrados

x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3)(x – 3)

( ) ( ) ( )22 216 4 4 2 4 2 4 2a a a a− = − = + −2 221 1 1 1

4 9 2 3 2 3 2 3

y y y y − = − = + −

Geometricamente:Geometricamente:

( ) 2 2 22a b a ab b+ = + +

( ) ( ) 22 bababa −=+−

As igualdades

são casos particulares da multiplicação de polinómios. Chamam-se por isso, CASOS

NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO.

32

Resumo

• Quadrado de um binómio:

• Diferença de Quadrados:

( ) ( )2 2a b a b a b− = + −

( ) ( ) ( )2 2 22a b a b a b a ab b± = ± ± = ± +++ ++

Exercício 1

• Escreve um polinómio equivalente a:

• Resolução:

( ) 27 4x+

( ) 2 27 4 49 56 16x x x+ = + +

Exercício 2

• Escreve um polinómio equivalente a:

• Resolução:

22

7 3

a −

2 22 4 4

7 3 49 21 9

a a a − = − +

F A C T O R IZ A ÇF A C T O R IZ A ÇÃ O D E Ã O D E

P O L IN Ó M IO SP O L IN Ó M IO S

DECOMPOSIÇÃO EM FACTORES

A+B é uma somaA e B são parcelas

A × B é um produtoA e B são os

factores

Recordar…

Factorizar um polinómio é escrevê-lo sob a forma de um produto de

factores. Para decompor um polinómio em factores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os factores comuns e colocam-se em evidência.

Já sabem transformar produtos em somas algébricas, agora pretende-se que façam o contrário.

( ) acabcba +=+×

( ) cbaacab +×=+

→ A Propriedade distributiva na decomposição em factores

PRODUTO SOMA

Acabámos de transformar a soma num produto de factores – factorização do polinómio.

Colocámos em evidência o factor comum a

Distribuímos o factor a pelas parcelas

SOMA PRODUTO

Factor comum Expressão obtida suprimindo o factor comum

Factoriza a seguinte expressão:

4x+5xy = .......... x .........................xx (4+5y)(4+5y)

Se multiplicares o factor comum pela Se multiplicares o factor comum pela expressão dada, terás de obterexpressão dada, terás de obter a expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal factorizadaa expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal factorizada.

== 4x+5xy4x+5xy

xx (4+5y)(4+5y)

Colocámos em evidência o factor x.Colocámos em evidência o factor x.

10

3 10x xy+ =

22x xy− =23 6b b− =

( ) ( )3 5 3x y y− + − =

Mais exemplos:Mais exemplos:

10x + y

( )yxyx +=+ 101010

( )x y+10=

( )3 10x y= +

( )2 2xx xy x x y= − = −( )3 2 3 3 2bb b b b= − × = −

( ) ( )3 5y x= − +

4 16x − =( )4 4x= −

Os casos notáveis e a decomposição em factores

•Diferença de quadrados ( )( ) 22 bababa −=+−2 25x − =

29 16x − =

21 m− =

2 2

3 3c c − + +

( )( )5552 −+=− xxx

( ) ( )1 1m m+ −

( ) ( )5 5x x− +

( ) ( )3 4 3 4x x− +

24

9c− + =

Lei do anulamento do produtoLei do anulamento do produto

( )000

0650004

=×=×−×=×

000 =∨=⇔=× BABA

Reparem que:

Assim, se o produto de dois (ou mais) factores é zero, então, pelo menos um dos factores é zero.

Ou seja,

Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTOLEI DO ANULAMENTO DO PODUTO.

Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus factores é nulo.

Nota:Nota: O símbolo ∨ lê-se ou.

A expressão de um dos membros seja um produto de factores;A expressão de um dos membros seja um produto de factores;

O outro membro seja zero.O outro membro seja zero.

A lei do anulamento do produto permite resolver equações de grau superior ao primeiro.

Mas, será possível aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de qualquer equação?

AtenAtenççãoão, para aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de equações, é necessário que:

( 4)( 7) 0x x− + =

( 4)( 7) 0x x− + = ⇔

( 4) 0 ( 7) 0x x⇔ − = ∨ + = ⇔

4 7x x⇔ = ∨ = −

{ } { } { }7 4 7,4S = − ∪ = −

Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunçãodisjunção de duas condições, a que corresponde a reuniãoreunião de dois conjuntos-solução.

Conseguirás Conseguirás descobrir descobrir mentalmente mentalmente as soluções?as soluções?

( 74)(2 2) 0

0 74 0 2 2 0

0 74 1

x x x

x x x

x x x

+ + = ⇔⇔ = ∨ + = ∨ + = ⇔⇔ = ∨ = − ∨ = −

2( 74)(2 2) 0

74 0 2 2 0

74 1

x x

x x

x x

+ + = ⇔⇔ + = ∨ + = ⇔⇔ = − ∨ = −

0105 2 =− xx

Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação.

( )200205

0250105 2

=∨=⇔=−∨=⇔⇔=−⇔=−xxxx

xxxx

Nota: é uma equação de grau 2, completacompleta (porque tem o termo de grau 2, de grau um e de grau zero). Está escrita na forma canónica.

25 10 6 0x x− − =

S.={0, 2}

( )( ) ( )

2

1

2

1

012012

01212

012

01442

2

−=∨−=⇔

⇔=+∨=+⇔⇔=++⇔

⇔=+⇔

⇔=++

xx

xx

xx

x

xx

S.={-1/2}

-0,5 é raiz dupla

049142 =++ xx 2)13(16 += x

( )( )

2

3

2

3

032032

03232

094

942

2

=∨−=⇔

⇔=−∨=+⇔⇔=−+⇔

⇔=−⇔⇔=

xx

xx

xx

x

x

2

3

2

34

9

4

9

94

2

2

−=∨=⇔

⇔±=⇔

⇔=⇔

⇔=

xx

x

x

x

Resolve, por dois processos diferentes, as equações seguintes.

ou

( ) ( ) 3649 =−− xx

Problema: Observa as figuras.Problema: Observa as figuras.

6

66

Um voluntário?!Um voluntário?!

Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.9x −

4x −