Dado um número real n e os números reais an,an-1, ..., a2,a1,a0 chama-se função

polinomial ou polinômio na variável x, a função:

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + a2x2 + a1x + a0

Função polinomial

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Grau de um polinômio

Existem várias observações importantes:

•Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante

•Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.

•Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinômios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x

3 + ... + an xn eq(x) = bo + b1 x + b2 x

2 + b3 x3 + ... +

bn xn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak = bk

Soma de polinômios

(p+q)(x) =(ao+bo)+ (a1+b1)x + (a2+b2)x2 + ... +

(an+bn)xn

Definimos a soma de p e q, por:

Possui algumas propriedades:

Associativa:(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa:

p + q = q + p

Elemento neutro:Po+ p = p

Elemento oposto:Para cada p em P[x], existe

outro polinômio q=(-p) em P[x] tal que

p + q = 0

Da álgebra elementar temos que nós só podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termos que possuam expoentes iguais.

Exemplo:

P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8 Q(x) = x4 - 12x2 + 7x + 2 P(x) +  Q(x) = 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6 P(x) -  Q(x) =  2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10

Subtração de polinômios

A multiplicação de polinômios é feita através da propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição ou subtração.

      Obs.: Se o grau do polinômio P é Gp = n e o grau do polinômio Q é Gq = m, então o grau do polinômio PG é Gpq = n + m.

Multiplicação de Polinômios

Exemplo:(2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3 + 8x

Multiplicação

Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor) com D(x) diferente de zero, dividir

P(x) por D(x) é determinar outros dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) de

modo que:

Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD.

Divisão de Polinômios

Este dispositivo é utilizado para dividir um polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os coeficientes do polinômio e com o valor a.

      Obs.: Se o resto da divisão é zero, então o polinômio é divisível pelo polinômio

divisor.

Dispositivo Prático Briot - Rufini

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a, se e somente se, P(a) = 0.

Teorema de D'Alembert