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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação Strictu Sensu em Ensino de Ciências e

Matemática

Leandro Teles Antunes dos Santos

A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS

EM UM CURSO DE ENGENHARIA CIVIL: uma sequência didática com recurso

computacional associado a múltiplas representações.

Belo Horizonte

2013


A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS EM

UM CURSO DE ENGENHARIA CIVIL: uma sequência didática com recurso


Dissertação apresentada ao programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2013


A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS EM

UM CURSO DE ENGENHARIA CIVIL: uma sequência didática com recurso


Dissertação apresentada ao programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática

Belo Horizonte, 16 de dezembro de 2013.

A Deus,

pela força incomensurável na execução diária da minha profissão;

a minha família,

pelo alicerce, apoio e carinho providenciais a cada passo da minha vida.

AGRADECIMENTOS

A Deus por me abençoar na realização deste trabalho.

Ao Professor Dimas Felipe de Miranda, pela paciência, conselhos profundos e

acima de tudo pela tranquilidade transmitida na execução deste estudo.

A todo corpo docente do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da

PUC Minas pelos saberes transmitidos ao longo do curso e pela amizade que fica

em cada reencontro.

Aos meus pais por serem referenciais de pessoas em minha vida e acima de

tudo incentivadores do meu crescimento pessoal e profissional.

As minhas irmãs por caminharem ao meu lado, mesmo muitas vezes eu

ficando ausente para dedicar-me a este trabalho.

Aos meus alunos que formaram uma equipe muito importante na execução

deste estudo.

Aos colegas de Mestrado pela troca de experiências e acima de tudo amizade

construída ao longo de dois anos trabalhando juntos.

Aos integrantes do PINEM e GRUPIMEM, grupos aos quais pertenço, pela

atuação em questionamentos para melhorar nossa prática pedagógica e apoiar

nossa pesquisa.

A todos que de alguma forma, direta ou indiretamente, contribuíram para que

este trabalho fosse executado.

“Há um tempo em que é

preciso abandonar as roupas

usadas, que já têm a forma do

nosso corpo, e esquecer os nossos

caminhos, que nos levam sempre

aos mesmos lugares. É o tempo da

travessia: e, se não ousarmos fazê-

la, teremos ficado, para sempre, à

margem de nós mesmos"

Fernando Pessoa (1888 – 1930)

RESUMO

Este trabalho aborda a produção de significado por meio de múltiplas

representações das Transformações Lineares Planas em um curso de Engenharia

Civil. O estudo objetiva responder a indagação resultante da dificuldade que os

alunos de Engenharia têm na abstração de conceitos de Transformações Lineares

Planas, e, ainda, como melhor redirecionar o ensino para que a aprendizagem seja

significativa e coerente à prática na Engenharia. Ele emerge como uma contribuição

para as práticas pedagógicas, analisando como uma sequência didática com auxílio

computacional pode ajudar na aquisição de novos saberes para os discentes,

fazendo com que o conteúdo de Transformações Lineares Planas desperte

significado e que este seja adquirido pelos alunos com o auxílio de múltiplas

representações. A importância do trabalho fundamenta-se na busca de embasar e

motivar o professor universitário à criação de materiais didáticos voltados para o

curso em que leciona, de modo que o aluno consiga visualizar em sua futura

profissão a importância do conteúdo matemático que é lecionado em sala de aula.

Utiliza-se o software GeoGebra como ferramenta tecnológica para a construção das

Transformações Lineares Planas, buscando alicerçar junto ao aluno teoria e prática,

culminando assim com a produção de significado pelos alunos. Mediante os

resultados obtidos, nota-se que a aprendizagem dos alunos de Engenharia Civil

converge para maiores produções de significado ao se utilizar o recurso das

múltiplas representações, fator este essencial na representação semiótica. As aulas

também tornaram-se mais motivadoras, gerando uma aprendizagem significativa e

interligada à futura profissão.

Palavras-chave: Transformações Lineares Planas. Matemática na Engenharia Civil.

Múltiplas representações.

ABSTRACT

This paper addresses the production of meaning through multiple representations of

Plan Linear Transformations in a Civil Engineering course. In order to answer the

resultant question concerned to the difficulty that students have in the concept

abstraction on Plan Linear Transformations and how to find a better way to redirect

their teaching so that learning is meaningful and a consistent practice in Engineering.

This study emerges as a source which aims to contribute to pedagogical practices,

analyzing how an instructional sequence with computational aid can help in the

acquisition of new knowledge to the students, making that the content of Plan Linear

Transformations may contain meaning and above all may be acquired by students

with the help of multiple representations. The importance of the work is based on the

search to ground and motivate the university professor in the search for the creation

of math materials aimed at the Engineering Course, so that the student can visualize

in his future profession the importance of the mathematical content being seen in the

classroom. We use the GeoGebra software as a technological tool for the

construction of Plan Linear Transformations, seeking to underpinne in the student

both theory and practice, thus leading to the production of meaning by students. As

results, we note that the learning of students of Civil Engineering converges to the

largest productions of meaning when using the feature of multiple representations,

this essential factor in semiotic representation. The classes also became more

motivating, by generating a significant and interconnected future professional

learning.

Keywords: Plan Linear Transformations. Mathematics in Civil Engineering. Multiple

representations.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 Linha Cronológica da Álgebra Linear – Curso Introdutório.......................43

FIGURA 2 Representação em diagramas do conceito de Transformações

Lineares......................................................................................................................53

FIGURA 3 Reflexão do ponto A (2,4), em torno do eixo das abscissas.....................54

FIGURA 4 Reflexão do ponto A (2,4), em torno do eixo das ordenadas...................55

FIGURA 5 Reflexão do ponto A (2,4), em relação ao ponto origem..........................55

FIGURA 6 Reflexão do ponto A (2,4), em relação à reta de eq. y=x,........................56

FIGURA 7 Reflexão ponto A (2,4),em relação à reta de y=-x,...................................56

FIGURA 8 Dilatação na direção do vetor u, onde c=2 e contração na mesma direção

c’ = 1/3........................................................................................................................57

FIGURA 9 Dilatação e contração na direção das abscissas......................................58

FIGURA 10 Dilatação e contração na direção das ordenadas..................................58

FIGURA 11 Cisalhamento no eixo das abscissas c=2...............................................59

FIGURA 12 Cisalhamento no eixo das ordenadas c=2..............................................60

FIGURA 13 Rotação em torno da origem com 2

................................................60

FIGURA 14 Exemplo de tração e compressão na Engenharia Civil..........................62

FIGURA 15 Reflexão em torno do eixo x de dois pontos, mostrando alternância das

ordenadas...................................................................................................................67

FIGURA 16 Sondagem inicial.....................................................................................76

FIGURA 17 Início das atividades com auxílio de recurso computacional..................81

FIGURA 18 Execução das Transformações Lineares no Laboratório de

Informática..................................................................................................................82

FIGURA 19 Exemplo da atividade de Extrapolação...................................................84

FIGURA 20 Exemplo da atividade Relacionando ideias............................................88

FIGURA 21 Cisalhamento e rotação realizados pelos alunos...................................91

FIGURA 22 Dilatação e reflexão realizadas pelos alunos..........................................91

FIGURA 23 Correção da associação de imagens e ideias pelos alunos...................92

FIGURA 24 Socialização da atividade de Produção de Significado..........................95

FIGURA 25 Associação de termos e produção de significado para

Torção/Rotação..........................................................................................................96


Tração/Dilatação........................................................................................................97


Compressão/Contração..............................................................................................97

FIGURA 28: Associação de termos e produção de significado para

Cisalhamento..............................................................................................................98

FIGURA 29 Resposta 1 da aluna reprovada..............................................................99

FIGURA 30 Resposta 2 da aluna reprovada..............................................................99

FIGURA 31 Resposta 3 da aluna reprovada............................................................100



FIGURA 34 1ª Resposta do profissional 1...............................................................102








LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 Fichamento de NIETO; LOPES (2006)...................................................49

QUADRO 2 Fichamento de MAGGI; KRUGGER (2007)...........................................49

QUADRO 3 Fichamento de FRATELLI; MONTEIRO (2007).....................................49

QUADRO 4 Fichamento de PATRÍCIO; ALMEIDA (2011).........................................50

QUADRO 5 Fichamento de ROSA et al. (2009).........................................................50

QUADRO 6 Fichamento de TEIXEIRA et al. (2011)..................................................50

QUADRO 7 Fichamento de NIETO, SILVA; LOPES (2007)......................................51

QUADRO 8 Fichamento de DALMOLIN et al. (2012)................................................51

QUADRO 9 Fichamento de BRONDINO; BRONDINO (2012)...................................51

QUADRO 10 Fichamento de NOBRE (2012).............................................................52

QUADRO 11 Informativo dos objetivos e carga horária das atividades.....................75

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1: Porcentagem de acertos da sondagem inicial – Turma A ................... 77

GRÁFICO 2: Porcentagem de acertos da sondagem inicial – Turma B .................... 78

GRÁFICO 3: Porcentagem de alunos que acertaram toda a sondagem incial ......... 79

GRÁFICO 4: Associação de Imagens e Ideias – Turma A ........................................ 93

GRÁFICO 5: Associação de Imagens e Ideias – Turma B ....................................... 94

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

C.S. - Coeficiente de segurança

CBC - Currículo Básico Comum

Etc. - Et cetera ("e os restantes" ou "e outras coisas mais")

H/a - Hora/aula

MTCS - Modelo Teórico dos Campos Semânticos

PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais

PUC-Minas - Pontíficia Universidade Católica de Minas Gerais

PUC-SP - Pontíficia Universidade Católica de São Paulo

UFPA - Universidade Federal do Pará

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 29 1.1 Importância do trabalho .................................................................................... 31 1.2 Delimitação do trabalho .................................................................................... 34 1.3 Estrutura do trabalho ........................................................................................ 34 2 A ÁLGEBRA LINEAR NA ESCOLA E NA HISTÓRIA ......................................... 36 3 A LITERATURA E AS TEORIAS ........................................................................... 46 3.1 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 46 3.1.1 Teses e dissertações – Transformações Lineares ...................................... 46 3.1.2 Artigos – Transformações Lineares ............................................................. 49 3.2 O Conceito e teoria de Transformações Lineares Planas ............................. 52 3.3 O Conceito de Transformações na Engenharia Civil ..................................... 61 3.4 Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS) ......................................... 63 3.5 Teoria de Semiótica e múltiplas representações ........................................... 66 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............................................................... 69 4.1 Caracterização do universo .............................................................................. 69 4.2 Coleta de dados ................................................................................................. 70 4.3 Sequência didática ............................................................................................ 72 5 ANÁLISE DAS ATIVIDADES ................................................................................ 75 5.1 Atividade 01: Sondagem inicial ........................................................................ 75 5.1.1 Objetivos ......................................................................................................... 75 5.1.2 Descrição ........................................................................................................ 76 5.1.3 Análise da aplicação ...................................................................................... 77 5.2 Atividade 02: Transformações Lineares Planas com recurso computacional .................................................................................................................................. 80 5.2.1 Objetivos ......................................................................................................... 80 5.1.2 Descrição ........................................................................................................ 80 5.1.3 Análise da aplicação ...................................................................................... 83 5.3 Atividade 03: Transformações Lineares Planas e Esforços Estruturais ...... 91 5.3.1 Objetivos ......................................................................................................... 91 5.3.2 Descrição ........................................................................................................ 91 5.3.3 Análise da aplicação ...................................................................................... 92 5.4 Atividade 04: Justificando Associações ......................................................... 94 5.4.1 Objetivos: ........................................................................................................ 94 5.3.2 Descrição ........................................................................................................ 94 5.3.3 Análise da aplicação ...................................................................................... 95 5.4 Análise dos questionários de pesquisa ......................................................... 98 5.4.1 Questionário aplicado à aluna reprovada na disciplina de Álgebra Linear .................................................................................................................................. 98 5.4.2 Análise dos questionários dos profissionais da Construção Civil ......... 101 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 105

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 108 APÊNDICE .............................................................................................................. 113

29

1 INTRODUÇÃO

A Matemática ao longo dos anos tem sido mitificada com relação ao

conhecimento. Acreditava-se que somente pessoas bem dotadas intelectualmente

eram capazes de compreender tal disciplina. Desse modo, grande parte dos alunos

passa pelo sistema educacional sem aprender, verdadeiramente, o sentido da

Matemática. A vida escolar de muitos alunos restringe-se a emaranhados de

fórmulas que muitas vezes se tornam sem sentido para eles.

O autor dessa presente Pesquisa, licenciado em Matemática em 2005, com

dez anos de experiência como professor dos ensinos Básico e Superior, tem se

preocupado, observado e questionado o processo de ensino/aprendizagem das

disciplinas da área de Matemática.

A dificuldade apresentada por muitos estudantes no estrito sentido de

aprender esta disciplina não se deve, necessariamente, a uma incapacidade por

parte deles. O problema da não aprendizagem pode estar ligado aos professores, à

escola, ao biofísico e psicológico dos estudantes, ou aos métodos e recursos

utilizados pelos professores, que, muitas vezes tornam-se obsoletos e dissociados

da realidade, não despertando, assim, o interesse dos alunos ao ato de “aprender”.

No momento atual, discutem-se muito as metodologias e didáticas aplicadas

ao ensino da Matemática. Quando é pensado este tema, surgem diversas questões

que permeiam o imaginário e a realidade escolar, tais como mitos e estereótipos da

Matemática. O professor como ser mediador do conhecimento necessita refletir

sobre estas questões de modo a executar um trabalho significativo ao longo de sua

carreira docente.

Percebe-se que as metodologias tradicionais, empregadas com muita

frequência no ensino da Matemática, não têm acompanhado o desenvolvimento

tecnológico da sociedade, exigindo dos alunos excessos de técnicas operatórias

sem justificativas das mesmas. Um fato que merece destaque é a memorização de

regras em momentos diversos e acaba por não levar em conta os conhecimentos e

as experiências acumuladas pelos alunos em sua vida extraescolar. Além disso,

prioriza o desenvolvimento dos conteúdos de forma linear, promove uma

desvinculação da Aritmética, Álgebra e Geometria, e de certa forma não enfatiza o

desenvolvimento do raciocínio lógico e do bom senso.

30

Com tantas limitações, o aluno torna o ato de realizar exercícios em algo

mecânico e sem uma análise prévia. O surgimento da Matemática esteve sempre

ligado à necessidade que o homem tem de buscar soluções para desenvolver

problemas cotidianos. Por isso, autores como Anton & Busby (2008) e Lins (1993),

entre outros, comungam da ideia de que o ensino da Matemática deve ser dinâmico

e também que possa contribuir para o desenvolvimento da capacidade de resolver

problemas, validar ou refutar soluções e tomar decisões e raciocinar logicamente.

Mas, tratando-se da aquisição do conhecimento, é necessário compreender o

que é ensino. Para análise desta palavra é necessário compreender a

aprendizagem. O ensino e a aprendizagem são processos tão antigos quanto à

própria humanidade. Com o passar do tempo, o ensino e a aprendizagem adquiriram

cada vez mais importância. Por isso, muitas pessoas começaram a se dedicar

exclusivamente a tarefas relacionadas com o ensino, especializando-se nesta área

da Educação. No caso da Matemática, o ramo de destaque é a Educação

Matemática.

Uma constatação precisa ser analisada neste momento: não é só nas

instituições de ensino que se aprende ou que se ensina. Em casa, na rua, enfim, em

todos os ambientes encontra-se a Matemática e, portanto, pode-se aprender

conteúdos, porém sem a formalização e o emprego de tantas fórmulas como se

constata no ensino de Matemática.

Hoje, mais do que nunca, é necessário ter uma atitude indagadora sobre tudo

o que se relaciona com a educação. Compreendendo melhor o conceito etimológico

de ensino, segundo Nunes (1979), ensinar é “colocar para dentro”, “gravar no

espírito”. De acordo com este conceito, ensinar é gravar as ideias no âmago do

aluno. Nesse caso, o método de ensino que tem prevalecido no meio acadêmico é o

uso da repetição de exercícios para fixação dos mesmos.

Desse conceito, as ideias tradicionalistas fizeram seu altar e concluíram que

ensinar é transmitir conhecimentos, tendo como método de ensino aulas expositivas

e explicativas. Esta tem sido a postura de milhares de professores ao longo dos

anos, falando em sala de aula tudo o que sabem sobre determinado assunto e os

estudantes reproduzem o que estes lhes disseram. Esse tipo de ensino passou a

receber críticas, dando origem a um novo conceito de ensino conforme Yves de La

Taille (1997) comenta: “Em uma palavra, conhecer é conferir sentido, e esse sentido

31

não está todo pronto e evidente nos objetos do conhecimento: ele é fruto de um

trabalho ativo de assimilação.” (p.21)

A aprendizagem, por sua vez, não é apenas um fenômeno para aquisição e

assimilação de novos padrões e formas de perceber, ser, pensar e agir. Assim, a

aprendizagem provoca mudança de comportamento, gera transformações no sujeito,

nas suas maneiras de pensar, agir e sentir.

A Matemática, enquanto ciência, se divide em várias ramificações como

Aritmética, Estatística, Probabilidade, Análise, Álgebra dentre tantas mais.

A Álgebra Linear, objeto de estudo nessa Dissertação, sempre esteve ligada a

múltiplas disciplinas, ela fundamenta e é ferramenta em disciplinas da Matemática e

de outras áreas do conhecimento. Desse modo, a importância dada à Álgebra Linear

e as pesquisas sobre seu ensino-aprendizagem decorrem da crescente demanda

por essa disciplina em diversas áreas do saber.

O presente estudo, de forma mais delimitada, objetiva responder à indagação

culminante das dificuldades que os alunos de Engenharia têm na abstração de

conceitos de Transformações Lineares e, ainda, como melhor redirecionar o ensino

para que a aprendizagem seja significativa e coerente à prática na Engenharia Civil.

Este trabalho emerge como uma fonte que almeja contribuir para as práticas

pedagógicas e para a reflexão sobre quais saberes estão sendo incorporados pelos

docentes sobre o ensino de Álgebra Linear e como uma sequência didática, com

auxílio computacional, pode ajudar na aquisição de novos saberes para os

discentes, fazendo com que o conteúdo de Transformações Lineares contenha

significado e que este seja adquirido pelos alunos, com o auxílio de múltiplas

representações.

1.1 Importância do trabalho

A importância desse trabalho de pesquisa está na busca de embasar e

motivar o professor universitário na criação de materiais matemáticos voltados para

o curso em que leciona, de modo que o aluno consiga visualizar em sua futura

profissão a importância do conteúdo matemático que está sendo tratado em sala de

aula. No caso desse trabalho, o foco será no estudo de Transformações Lineares.

Consoante com as ideias de Celestino (2000), o ensino de Álgebra Linear foi

expandido e implantado a todas as Ciências Exatas, porém, seu uso fica restrito a

32

mecanizações de conceitos que muitas vezes estão distantes da aprendizagem dos

alunos. Percebe-se que os alunos de Álgebra Linear possuem grande dificuldade à

medida que o curso avança em conteúdos cada vez mais abstratos.

Enquanto estudam Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares e Vetores,

conseguem acompanhar bem os estudos, uma vez que as representações dos

mesmos são pautadas em convenções geométricas ou figurativas, fato que torna o

ensino mais interessante e estimulador. Ao inciar-se conteúdo de Espaços Vetoriais,

as abstrações são cada vez maiores e tendo em vista que a formação algébrica na

Educação Básica tende a ser resumida ou muitas vezes não lecionada, surgem

então dificuldades na retenção e no trabalho com conteúdos mais abstratos. Tendo

em vista a dificuldade em representar as abstrações, o conteúdo muitas vezes torna-

se obsoleto e ligado a mecanicismos que não são entendidos pelos alunos.

O autor Coimbra (2000) em sua Dissertação aborda alguns aspectos

problemáticos no Ensino-Aprendizagem de Álgebra Linear divididos em três

categorias: natureza ontogenética, natureza didática ou de natureza epistemológica.

Nos obstáculos de natureza ontogenética encontram-se as razões pelas quais

muitos alunos se distanciam da aprendizagem em Álgebra Linear: questões

neurofisiológicas que os limitam a aprender ou até mesmo a idade cronológica que

poderia estar diversificada da idade mental para a aquisição de tal conhecimento.

A natureza didática ou epistemológica refere-se à forma como é lecionado o

conteúdo e o modo que os alunos o adquirem, muitas vezes sentindo-se perdidos

em relação a tópicos que são desprezados no ensino, porém, muitas vezes fazem

parte da sequência linear de compreensão do conteúdo. Como tal conjunto é

fundamental no prosseguimento dos estudos, necessita-se de uma aprendizagem

significativa e que realmente fundamente os alunos para possíveis usos em demais

disciplinas.

Conforme Oliveira (2002) enuncia em sua dissertação é preciso construir

significados para a noção de Transformação Linear em Álgebra Linear. As

Transformações Lineares, segundo Anton & Busby (2008) são aplicações que

possuem um núcleo definido e imagem em Espaços Vetoriais, onde as operações

de soma e multiplicação por escalar são satisfeitas. Assim, é preciso que a

abordagem matemática dada às Transformações Lineares ultrapasse o conceito de

apenas memorizar fórmulas, mas que seja vivenciado e repensado pelos alunos,

33

não como um emaranhado de regras, mas com uma aplicação dos conceitos já

estudados ao longo de sua vida educacional.

A Teoria dos Campos Semânticos trabalha com a produção de significados

em relação a um núcleo, porém o núcleo não é uma acumulação de estipulações

locais, nem existente durante a atividade, ele é constituído durante a própria

atividade gerando significação para o aluno como declara Lins (1999).

Agregando conhecimento ao Ensino de Transformações Lineares, a

conceituação de registros semióticos visa fundamentar e consolidar as didáticas em

Álgebra Linear de modo que as múltiplas representações sejam estendidas na

aprendizagem algébrica conforme Duval (2009) explicita: “A particularidade da

aprendizagem das matemáticas considera que essas atividades cognitivas requerem

a utilização de sistemas de expressão e de representação além da linguagem

natural ou das imagens.” (p.13).

De modo geral, esta Pesquisa delimitou, como objetivo, elaborar uma

sequência didática sobre Transformações Lineares, com uso computacional do

software GeoGebra1. Como modelo padrão para criar a sequência didática foram

adotadas as ideias de Laudares et al (2013) na organização das atividades. Tal

sequência foi aplicada em turmas de Engenharia Civil e analisadas a percepção e a

representação que os alunos fazem das abstrações contidas nas Transformações

Lineares.

Após aplicação da sequência, fez-se a análise das atividades, que foram

categorizadas, classificadas de forma sistemática, codificadas (técnica operacional

de categorização) e tabuladas (disposição dos dados de forma a verificar as inter-

relações). Esta análise categórica possibilita maior clareza e organização, segundo

Fiorentini & Lorenzato (2006) e Menga & André (1986), gerando ao término de todo

o processo um produto didático (Caderno de Atividades) para uso em aulas sobre

Transformações Lineares.

A partir disso, ao refinarem-se os objetivos, o trabalho apresenta foco

específico nos seguintes itens:

1 Criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula. O projeto foi iniciado

em 2001, na Universität Salzburg, e atualmente prossegue em desenvolvimento na Florida Atlantic University. A versão utilizada nesse trabalho é a 4.2 Beta Release.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Markus_Hohenwarter&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/2001

http://pt.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A4t_Salzburg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Florida_Atlantic_University

http://pt.wikipedia.org/wiki/Florida_Atlantic_University

34

a) Pesquisar como as Transformações Lineares da disciplina Álgebra Linear

podem adquirir representações e visibilidade em cursos de Engenharia Civil.

b) Criar uma sequência didática em que o conceito e linguagem das

Transformações possam ser gradualmente compreendidos.

c) Conceber situações em que conteúdos de Transformações Lineares sejam

associados pelos alunos à área da Engenharia Civil.

1.2 Delimitação do trabalho

O trabalho limita-se a criar uma sequência didática, com recurso

computacional, de modo que os alunos do curso de Engenharia Civil possam

verificar, na prática, a associação e aplicação das Transformações Lineares, de

acordo com seu nível de estudo, e apropriar-se das ideias desta com produção de

significado da teoria lecionada em sala de aula.

1.3 Estrutura do trabalho

Esta dissertação apresenta fundamentos teóricos relacionados ao ensino de

Transformações Lineares dentro de um curso de Engenharia Civil com a criação de

uma sequência didática com recurso computacional possibilitando uma

aprendizagem mais facilitadora permitindo assim a visualização geométrica das

Transformações Lineares Planas. Propicia ainda uma melhor aplicação do conteúdo,

com conhecimento diferenciado e instituição da autonomia discente na idealização

de sua aprendizagem, culminado em uma melhor formação e aplicação do conteúdo

na futura profissão de engenheiro. Adotou-se as Transformações Lineares Planas

como objeto de estudo pelo fato de que a Engenharia Civil trabalha com desenhos

em cortes, e desse modo, a base inicial para um primeiro curso de Álgebra Linear

seria a produção de significado das Transformações Lineares e os Esforços na

Construção Civil.

O primeiro capítulo é constituído por essa Introdução, a qual discorre sobre os

pontos mais relevantes do corpo do trabalho e busca familiarizar o leitor sobre a

proposta principal.

O segundo capítulo, a Álgebra Linear na Escola e na História, remonta uma

35

linha histórica do ensino da Álgebra Linear e conduz o leitor a situar-se no panorama

histórico da execução de tal disciplina como ramo da Matemática

O terceiro capítulo, cuja denominação é a Literatura e as Teorias, apresenta

uma revisão bibliográfica pertinente ao tema e busca alicerces teóricos educacionais

para fundamentação do Ensino de Álgebra Linear, mais precisamente de

Transformações Lineares.

O capítulo quatro apresenta os procedimentos metodológicos para validação

do trabalho.

O quinto capítulo apresenta a sequência didática criada, bem como a análise

da execução pelos alunos de modo a refutar e demonstrar o uso através dos objetos

traçados e descrição detalhada de cada tópico.

O último capítulo apresenta as considerações finais, em que o autor relata as

considerações mais relevantes, as ideias mais evidentes durante o estudo e aponta

possíveis pesquisas que abordem o tema Transformações Lineares e o processo de

ensino da Matemática.

36

2 A ÁLGEBRA LINEAR NA ESCOLA E NA HISTÓRIA

A Educação vive tempos conturbados, pois a qualidade educacional continua

insatisfatória. Alunos que são aprovados sem os conhecimentos necessários para

avançar nos estudos, professores desiludidos com os salários e a profissão, as

condições precárias das escolas, enfim, uma série de fatores que existem e

apresentam uma educação em crise.

Acreditar numa Educação de qualidade é ainda uma crença que impulsiona

muitos educadores a persistirem nesta jornada. Assim, eles almejam que o

surgimento de inovações nesta profissão é uma das soluções para a crise que a

educação tem passado. A humanidade transforma sua cultura e adquire

conhecimento ao longo da sua vida, criando assim seus valores e conceitos. Desta

forma, Cortella (2000) afirma que os valores que são criados produzem uma

“moldura” na existência individual e coletiva, enquadrando os pensamentos e

situando-os em uma visão de mundo que informe os conhecimentos e conceitos

adquiridos.

O modo como a Matemática é ensinada necessita ser mudado, conforme

declara Machado (1999); uma vez que pode ser notada a forma como tal conteúdo é

trabalhado de maneira pontual, extremamente individualizada e dogmática,

desvinculando-se da aprendizagem cognitiva. As práticas de sala de aula, em

grande parte do tempo, tomam como base os livros didáticos, muitas vezes tendo

sua qualidade questionada.

Tratando-se, por exemplo, da aprendizagem algébrica muito se tem a

comentar. Compreender o significado das variáveis significa, num extremo, que o

aluno consiga obter significado para as equações e situações que relacionam

determinadas representações, que consiga analisar a dependência existente entre

elas, estabelecendo relação entre as diversas formas de exibição dessa

dependência, seja por meio da escrita abstrata ou através da escrita geométrica: um

gráfico, um diagrama, ou até mesmo por meio de uma sentença escrita na

linguagem comum. Essa descrição refere-se, na verdade, aos objetivos do estudo

da Álgebra.

A Álgebra está relacionada com a compreensão do significado de várias

operações que realizamos com elas. O ponto de partida desse estudo, de fato, vem

desde as primeiras séries do ensino fundamental, quando o aluno começa a

37

manipular números em operações de adição, multiplicação, etc. Mais tarde, é

estimulado a perceber que é possível aplicar às letras (variáveis) os mesmos

critérios utilizados para os números. Vivenciando este processo de generalização, o

estudante passa a incorporar as regras obedecidas pelas manipulações algébricas.

Ao longo da jornada estudantil, os alunos são instigados em uma formação

generalista, onde se aprende um pouco de vários conteúdos em cada série/ano e ao

final de todo o processo da Educação Básica tem-se a verificação através de testes

e simulações para o Ensino Universitário, entendendo-se que ao efetuarem uma

determina quantificação nestes o aluno torna-se apto para Ensino Superior.

Segundo Machado (1999), conhecer é cada vez mais conferir o significado. No que

tange à Educação Básica, os alunos são aprovados, muitas vezes sem realmente

produzir significado dos conteúdos aprendidos.

O autor Monroe (1978) declara que com a Escola Nova, o eixo da questão

pedagógica passa do intelecto para o sentimento, ou seja, do aspecto lógico para o

psicológico, da quantidade para a qualidade. Nesta perspectiva ensinar passa a ter

ideia de criar condições de aprendizagem. O importante não é executar atividades,

mas, aprender a aprender. O professor passa a ser o estimulador e orientador da

aprendizagem.

Na Educação Básica, a cultura escolar é declinada para os valores

acadêmicos tradicionais, ou seja, a estrutura educacional é feita para um

cumprimento do conteúdo e não para uma maior aprendizagem dos alunos. Os

Currículos e os Projetos Políticos Pedagógicos fixam os conteúdos, carga horária e

os alunos são obrigados a “aprendê-los” para que a assimilação seja quantificada

com a aprovação em instituições de Ensino Superior.

O que nota-se nos meios universitários é que tal pensamento anda muito

distante da realidade vivenciada. Tal nível de ensino demanda dos alunos um

“pensar abstrato” e também visa o domínio dos fundamentos das disciplinas

aprendidas na Educação Básica no que se referem à sua profissão. Ao longo do

caminhar discente, muitos conteúdos são tratados sem o foco necessário e não

alicerçam a base que é demandada aos alunos. Assim, dentro das Ciências Exatas

ocorre uma grande reprovação em diversas disciplinas universitárias pela falta de

domínio dos pré-requisitos para o estudo destas. Inúmeros fatores cooperam para

que a cada ano tal realidade se comprove ascendentemente como, por exemplo, a

38

imaturidade dos alunos em séries básicas como 7ª série/8º ano. Nesta fase o

algebrismo matemático surge com uma ênfase incomensurável nos estudos. Alia-se

a este fato professores que muitas vezes mecanizam o ensinar matemático, gerando

apenas repetições de exercícios e não uma produção de significado para os alunos.

O “não aprender” a cada ano na disciplina de Matemática gera no aluno contínuas

defasagens que ao longo de seu caminhar discente romperão em grandes

reprovações nas universidades.

Muitas disciplinas no Ensino Superior são temidas pelos alunos. O Cálculo é

considerado a disciplina mais amedrontadora, não pela sua dificuldade, mas pelo

fato de que os pré-requisitos não foram estudados ou não tiveram uma produção de

significado para os alunos ao longo da Educação Básica. A Álgebra Linear

ultimamente recebe status da disciplina de Cálculo, uma vez que os níveis de

reprovação aumentam maciçamente, segundo Fratelli e Monteiro (2007). Álgebra

Linear é um ramo da Matemática que surgiu devido ao estudo detalhado de

equações lineares, podendo estas se apresentarem algebricamente ou

diferencialmente. Tal disciplina utiliza-se de conceitos estruturais que são

fundamentos da Matemática, podendo citar: Matrizes, Vetores, Sistemas de

Equações Lineares, Espaços Vetoriais e Transformações Lineares.

A formação em Álgebra Linear dos futuros engenheiros é indispensável, uma

vez que os conteúdos desta encontram-se ligados aos da Matemática Básica e

também aos específicos de cada curso. O mercado de trabalho demanda a

formação cada vez mais apurada de profissionais e nesse sentido tal disciplina

corrobora com a abstração e manipulação de diversos objetos que um engenheiro

necessita adquirir ao longo de sua formação.

Apesar das bases da disciplina de Álgebra Linear darem-se na Educação

Básica, o currículo Matemático varia de uma região para a outra dependendo da

demanda. O uso da Álgebra formal, propriamente dita, inicia-se através da notação

de variáveis no sétimo ano da Educação Básica. As incógnitas são apresentadas

sob a forma comumente empregada de x, y, z para que o aluno resolva equações,

inequações, sistemas e empregue sua utilidade em questões de razão e proporção.

Até esse tempo, a Álgebra ainda torna-se aliada dos estudos. O nível de abstração

aumenta, porém, os alunos tendem a interessar-se em resolver problemas diversos

com o apoio da teoria aprendida em sala de aula. No oitavo ano é que pode notar-se

39

o afunilamento do gargalo algébrico para a aprendizagem discente. Com tantas

fórmulas para fatorar e simplificar polinômios, utilizar produtos notáveis, frações

algébricas, operações com monômios e polinômios, o aluno cerca-se de uma

abstração enorme, muitas vezes vazia de significado e lançada apenas para cumprir

um currículo extenso da Matemática.

As abordagens tradicionais têm como pressuposto que a Matemática é uma

matéria que deve ser interiorizada pelos “alunos, que abstração é a mesma coisa

que simbolização, e que a interiorização deste conhecimento é melhor

empreendida com exercícios individuais e informações vindas do professor e dos

objetos em si.”(KAMII; DECLARK, 2001, p.15, grifo do pesquisador)

Ao longo do nono ano, com o uso das noções iniciais de funções, os alunos

se veem totalmente abarcados em formulações e ficam sem motivação para a

Álgebra, depois de no ano anterior (oitavo ano) serem tradicionalmente “treinados” a

exercer a abstração algébrica.

O primeiro ano do Ensino Médio chega como uma ponte para elevar ainda

mais o pensamento algébrico. O pré-cálculo universitário é todo distribuído em uma

única série. Infelizmente, o nível de abstração dos alunos nesta idade ainda é

imaturo, o que reflete na grande defasagem de Cálculo no ensino Universitário. Para

o aluno entender funções inversas, compostas, definidas por várias sentenças,

comportamento gráfico de funções e operações básicas das funções é uma

dificuldade constante. Isso explica em parte, o grande número de reprovações que

acontece no primeiro ano do Ensino Médio, conforme descreve Machado (1999).

A base nacional se mantém a mesma até a 8ª série/9º ano conforme os PCNs

(Parâmetros Curriculares Nacionais) demandam. No Ensino Médio, mais

precisamente no 2º ano, ocorre uma ruptura da base em Álgebra Linear. Algumas

instituições não priorizam o ensino de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Tudo fica relegado a segundo plano. É priorizado o ensino de Geometria e

Progressões Aritméticas e Geométricas. Desse modo a Álgebra Linear no Ensino

Superior já encara baixas habilidades dos alunos, propiciando uma mitificação do

conteúdo no contexto educacional. Isso ocorre pelo fato de muitos Estados se

organizarem em torno de um CBC (Currículo Básico Comum), onde o Estado tem a

liberdade de definir quais conteúdos serão priorizados no ensino.

Analisando assim o ensino da Álgebra atualmente, torna-se necessário um

40

novo repensar da disciplina enquanto conteúdo e formadora de cidadãos. Muitas

vezes tem sido lecionada em salas de aula apenas como um conteúdo de fórmulas,

mas deve ser encarada como uma disciplina viva e que se relaciona com o mundo.

Tal conteúdo está presente em todos os momentos, em cada ação humana, mas,

pelo fato de ser ensinada apenas de forma tradicional é ligada à memorização e

repetição de fórmulas. É preciso relacionar a Álgebra também com o cotidiano e

fazer dela um estudo prazeroso. Para se aprender esta disciplina precisa-se com

certeza de direcionamento e demonstração da aplicação prática em um primeiro

momento. No desenvolver dos estudos pode-se encaminhar para a abstração da

verdadeira Matemática: não apenas aquela dos livros didáticos, mas, também a que

se usa no dia a dia. Para se aprender a Matemática, não se precisa de muito,

necessita-se da realidade de transpor o papel conteudista e visualizar a aplicação

cotidiana desta disciplina.

As crescentes necessidades do uso da Álgebra Linear em áreas aplicadas

associaram o uso desta disciplina com computadores em cursos de Graduação. No

passado, o que prevalecia no ensino dela era a forma abstrata do conteúdo, muitas

vezes as aplicações e importâncias desta eram relegadas a segundo plano. O alto

nível de abstração com que esta disciplina era ministrada impedia o entendimento

de grande parte dos alunos, principalmente dos fundamentos, o que dificultava a

utilização em disciplinas futuras do curso.

No Ensino Superior, geralmente, o conteúdo básico de Álgebra Linear inicia-

se com Matrizes que são organizações matemáticas em tabelas, onde linhas e

colunas descriminam os elementos. Segundo Milies (2011), o nome matriz surgiu

através do matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897) em 1850

dando a idéia do significado coloquial de matriz que é “local onde algo se gera ou

cria”, tendo ampla divulgação pelo seu amigo Arthur Cayley (1821 - 1895), com sua

famosa obra Memoir on the Theory of Matrices, editada em 1858, desvinculando as

matrizes dos determinantes e dando a elas tratamento externo do determinante.

No conteúdo são vistas as operações matriciais, representação de Sistemas

na forma matricial e Grafos, teoria esta que, segundo Boyer (2012), iniciou-se com o

matemático suíço Leonhard Euler(1707-1783), que utilizou tal teoria para resolver

um problema que lhe foi proposto em meados do século dezoito pelos dirigentes da

cidade de Konigsbergl, localizada na Prússia (atualmente é a cidade de Kalinigrado,

41

na Rússia). O problema consistia em determinar, se possível, como um cidadão da

cidade poderia fazer um passeio passando pelas sete pontes que cortam o rio

Pregel uma única vez e voltar ao ponto de partida, sabendo que ao cortar a cidade

este rio define uma ilha. Euler montou a solução através de grafo e provou que este

passeio era impossível de acontecer.

Ligado ao tema Matrizes, encontram-se os Determinantes que é uma função

matricial associando a cada matriz quadrada um escalar; associando essa matriz em

um número real. Embora manuscritos chineses apontem a aparição de Matrizes e

Determinantes no século II a.C., Ronney (2012) cita que em 1683, o japonês Seki

Kowa lança, a ideia de determinante sendo um polinômio que se associa a um

quadrado de números. A formalização de Determinantes só ocorreu em 1693 em

uma carta do matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) enviada

ao matemático francês Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital (1661 –

1704), conforme descreve Milies (2011). Comumente são lecionadas neste tema as

propriedades, equações e inequações com Determinantes.

Em seguida, o conteúdo de Sistemas Lineares enfatiza a solução de sistemas

de “n” variáveis por meio do escalonamento. Consoante com as ideias de Boyer

(2012), a regra de Cramer foi popularizada pelo matemático Gabriel Cramer (1704-

1752) na sua publicação de 1750 intitulada Introduction à l’analyse des lignes

courbes algébriques, o que culminou na associação do método ao seu nome.

Introduz-se também neste conteúdo a metodologia da eliminação Gaussiana. Ao

contrário do que muitos pensam, a eliminação gaussiana não aconteceu inicialmente

com Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). No livro chinês Nove Capítulos de Arte

Matemática, com data aproximada de 200 a.C. aparece uma versão desta

eliminação de forma rudimentar, porém bem assemelhada ao método desenvolvido

por Gauss. O princípio para que Friedrich desenvolvesse a eliminação foi a ideia de

calcular as possíveis posições celestiais para que o planeta Ceres pudesse

aparecer. Através de dados limitados e utilizando mínimos quadrados e a

eliminação, Gauss conseguiu prever e comprovar com pequenos erros a posição de

Ceres. Com o passar dos anos o engenheiro alemão Wilhelm Jordan (1842 - 1899)

popularizou esse método e o divulgou em seu livro Handbuch der

Vermessungskunde datado de 1888. Apesar de estes conteúdos serem tópicos

básicos do Ensino Médio, com a defasagem que muitos alunos chegam às

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_matricial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_matricial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)#Matriz_quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Escalar

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seki_Kowa&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seki_Kowa&action=edit&redlink=1

42

universidades, torna-se necessário uma explicação dos mesmos; o que demanda

tempo e muitas vezes consome boa parte da carga horária da disciplina.

O conteúdo de Determinante segue a mesma linha, apresentando operações

com Determinantes, focando principalmente na regra de “Sarrus”, divulgada por

Pierre Fréderic Sarrus (1798 – 1861). O termo determinante também foi introduzido

por Gauss em 1801 que o utilizou para determinar as propriedades de certos tipos

de funções, segundo Ronney (2012).

Vetores comumente usados na Física são também apresentados nesta

disciplina, focando mais o tratamento no Espaço n-Dimensional. Como este

conteúdo é também visto em Geometria Analítica, torna-se desnecessário a

enfatização alongada do mesmo. Até o conteúdo citado anteriormente, os alunos

conseguem se sobressair bem na disciplina de Álgebra Linear, uma vez que o

conteúdo é mais concreto, possibilitando cálculos mais próximos da realidade dos

mesmos.

À medida que se avançam nas abstrações, os alunos são compelidos a

visualizar determinados tópicos nunca antes vistos que precisam ser entendidos,

muitas vezes sem o uso de formulações concretas. Neste momento, introduz-se o

conteúdo de Espaços Vetoriais que levarão ao aluno conceitos como dependência e

independência linear, subespaços vetoriais, base e dimensão. De acordo com Milies

(2011), o italiano Giuseppe Peano (1858-1952) foi o primeiro a definir

axiomaticamente o espaço vetorial em meados de 1888, porém a teoria do espaço

vetorial só desenvolveu-se após 1920. O uso dos termos linearmente independente

e linearmente dependente foram iniciados através de Maxime Bôcher (1867-1918)

em seu livro Introduction to Higher Algebra cuja publicação se deu no ano de 1907.

O Matemático George William Hill (1838-1914) foi quem publicou em um artigo

científico de 1900 sobre o movimento planetário o termo combinação linear.

Como já mencionado anteriormente, a abstração é importante na formação de

profissionais das Ciências Exatas, uma vez que sempre trabalharão com múltiplos

olhares em suas profissões. Com a introdução das ideias abstratas, os alunos

deverão mudar profundamente sua forma de raciocinar. Nota-se então a importância

de que os conteúdos do Ensino Superior sejam propiciadores em elencar e construir

uma ponte entre a futura profissão e o estudante.

As Transformações Lineares aumentam ainda mais o nível da abstração; pois

43

demonstram aos alunos as variadas transformações que funções, matrizes, vetores,

polinômios e outros corpos podem ter. Neste mesmo conteúdo base e dimensão são

lecionados com uma gama extensa de teoremas, o que muitas vezes torna o ensino

enfadonho e sem motivação para os alunos.

A Diagonalização de Matrizes incorpora ao conteúdo a noção de autovalores

e autovetores, polinômio mínimo e polinômio característico. O termo autovalor é

introduzido em 1904 pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) em seus

estudos de equações integrais e mais tarde aplicando a teoria nos estudos de

matrizes, conforme Milies (2011) descreve.

As datas foram citadas para demonstrar que a formação da Álgebra Linear,

enquanto ramificação matemática, aconteceu mais precisamente nos séculos XIX e

XX, em que a maior parte dos estudiosos desenvolveram teoremas e

fundamentaram grandemente os alicerces deste segmento de ensino. Até então não

havia teoria ou um conjunto de regras bem definidas cuja nomenclatura fosse

Álgebra Linear. Apesar de que, em meados dos séculos XVII e XVIII, os

matemáticos começarem a buscar um sistema de representação geométrica, foi

através destes estudos que perceberam aplicações em outros campos científicos.

No esquema abaixo, pode-se notar mais claramente a evolução da Álgebra

Linear através da difusão dos conteúdos estudados até Diagonalização de Matrizes,

objetivos de um curso introdutório presente na maior parte das universidades onde é

lecionada esta disciplina.

Figura 1 - Linha Cronológica da Álgebra Linear – Curso Introdutório

Fonte: Elaborada pelo autor

Com o intuito de demonstrar a importância das Transformações Lineares

dentro da disciplina de Álgebra Linear, torna-se necessário utilizar uma gama de

44

recursos para atrair o interesse dos alunos atualmente, tendo em vista que o novo

perfil dos estudantes cobra dos docentes aulas cada vez mais aplicadas. Os

estudantes hoje têm acesso a inúmeras e rápidas informações, por isso necessitam

de aulas em que vejam a aplicação do conteúdo e não somente que lhes repassem

teorias, apropriando-se satisfatoriamente das informações que lhes são

apresentadas.

O conteúdo de Transformações Lineares tem grande relevância dentro dos

conteúdos das Engenharias, principalmente da Civil, pois se relacionam com

inúmeros esforços que as suas estruturas podem sofrer. Neste sentido, as múltiplas

representações são necessárias para que os alunos assimilem o conteúdo podendo

ser transmitidas de diversas formas como algébrica, numérica, matricial, gráfica,

pictórica. Os recursos computacionais são auxiliadores no sentido de formalizar os

conteúdos e demonstrar virtualmente as aplicações.

A utilidade de se comprovar as aplicações das Transformações Lineares em

Engenharia encontra um dificultador nas séries em que é ministrada, pelo fato de

que muitos alunos não têm domínio técnico para que o professor possa demonstrar

as aplicações conforme Nieto, Silva e Lopes (2007) argumentam:

Os alunos cobram de seus professores qual a utilidade da Álgebra Linear. A luta entre a utilidade e a beleza matemática é o enigma que o professor que tem que resolver. A posição dessa disciplina na grade escolar dificulta a explicação das aplicações, pois os alunos ainda não têm o conhecimento técnico necessário para utilizarem tais aplicações. (p.1)

É importante observar, com relação aos tipos de aprendizagem, que não se

aprende uma só coisa de cada vez, ao contrário aprendem-se várias. Para que

alguém possa gerar o hábito de compreender, é necessário que queira aprender.

Com tudo é necessário que o professor saiba motivar seus alunos.

O professor, para despertar a motivação em seus alunos de modo que o

aprendizado dos mesmos ocorra, pode lançar mão de uma série de recursos para

fazer tal prática. Cita-se como exemplo o fato de demonstrar as importantes

aplicações que o conteúdo lecionado apresenta em consonância com a disciplina

lecionada.

O aluno, principalmente o estudante de engenharia, ao visualizar utilidade em

sua profissão com o conteúdo ministrado pelo professor em sala de aula tem um

interesse maior e prontifica-se a participar ativamente da aula, objetivando maior

45

aprendizado. Desse modo prática e teoria se esmeram em caminho único

proporcionando uma real significação dos conteúdos.

Proporcionar uma educação mais embasada, refletindo os conhecimentos

adquiridos em sala de aula na aplicação prática da vida do indivíduo, talvez seja

uma das metas que os educadores matemáticos devam almejar. Sabe-se, porém,

que esta meta não é fácil, no entanto, não deve ser deixada de lado sem um estudo

e estruturação mais apurada dos fatos.

Os recursos tecnológicos na educação, também adquirem uma prática maior

e uma contínua busca em inovações. O conhecimento que outrora era difundido de

forma tradicional através de aulas expositivas e exercícios em livros didáticos, hoje

encontra nos instrumentos tecnológicos o canal para inserção do conhecimento dos

alunos na inclusão digital.

Ensinar Álgebra Linear tem sido uma tarefa difícil, mas ela sempre será uma

necessidade para a humanidade. Afinal, esta disciplina propicia um conhecimento

analítico e ao mesmo tempo lógico; instruindo ao aluno, enquanto indivíduo, o

desejo de criar alternativas para a aplicação em sua vida.

Mediante a base histórica citada neste capítulo, torna-se importante também

referendar com base teórica as ideias alicerçantes deste estudo. Assim, o leitor

poderá habituar-se aos fundamentos que nortearam a construção de toda essa

pesquisa e de igual modo aprofundar-se um pouco mais no que tange à

aprendizagem de Transformações Lineares Planas dentro de um curso de

Engenharia Civil.

46

3 A LITERATURA E AS TEORIAS

Torna-se oportuno revisitar os conteúdos prévios de Álgebra Linear no

momento em que se pretende descrever o conteúdo de Transformações Lineares.

Existem sequências que alguns professores seguem em determinados cursos

superiores. Ao se lecionar Transformações Lineares, alguns conteúdos ou pré-

requisitos foram estudados anteriormente. É importante o domínio do conteúdo de

Matrizes, Sistemas Lineares e Espaços Vetoriais, pois a aplicação destes é

fundamental no conteúdo em que se baseia essa dissertação.

3.1 Revisão Bibliográfica

Busca-se um breve levantamento de dissertações e teses defendidas no

Brasil que apresentam como tema a Álgebra Linear, mais especificamente as

Transformações Lineares, sendo pontuadas as principais características das

mesmas. Com o levantamento bibliográfico, deseja-se ainda buscar embasamento

sobre o tema de Sequência Didática, utilizando-se o autor Zabala (1998) como

referencial para o mesmo. Utiliza-se ainda teórico as ideias de Selbach et al (2010)

em referência à didática da Matemática, embasando assim uma análise melhor dos

dados coletados.

3.1.1 Teses e dissertações – Álgebra Linear

Iniciando-se os estudos sobre Transformações Lineares, a dissertação de

Oliveira (2002) defendida no Mestrado em Educação Matemática da Unesp – Rio

Claro, cujo título é “Sobre a produção de significados para a noção de

Transformação Linear em Álgebra Linear” aborda a produção de significados para a

noção de Transformação Linear em Álgebra Linear. Foi desenvolvida a partir das

análises de textos matemáticos (alguns considerados históricos e outros

contemporâneos) e entrevistas com duas alunas de um curso de Matemática.

Apesar de se assemelhar muito com este trabalho no quesito produção de

significado, a base conceitual da dissertação é apenas uma análise sobre a noção

inicial de Transformações Lineares, não aprofundando na interpretação das

47

Transformações Planas.

Analisando ainda dissertações, foi estudado o trabalho de Celestino (2000)

“Ensino-Aprendizagem da Álgebra Linear: as pesquisas brasileiras na década de

90”. Ela foi realizada no Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP e o objetivo

era coletar e apresentar as pesquisas de autores brasileiros sobre ensino-

aprendizagem de Álgebra Linear, realizadas na década de 90. A contribuição

brasileira pesquisada foi analisada e inserida no contexto das pesquisas feitas em

nível mundial desse ramo da Matemática.

As ideias referentes aos problemas de ensino-aprendizagem de Álgebra

Linear foram estudadas através da dissertação “Alguns aspectos problemáticos

relacionados ao ensino-aprendizagem da Álgebra Linear” do Mestrado em Ensino de

Ciências e Matemática da UFPA. O autor Coimbra (2008), analisou as diversas

considerações sobre dificuldades que os alunos enfrentam no estudo de Álgebra

Linear, bem como as defasagens que eles trazem do Ensino Médio.

Também serviu de embasamento teórico, a dissertação de Rodrigues (2009)

do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC – Minas, cujo título é

“Criação de um software de apoio ao ensino e aprendizagem de Álgebra Linear:

Base e Dimensão de um Espaço Vetorial”. O objetivo era apresentar a criação de

um Software de Apoio ao Ensino e à Aprendizagem de Base e Dimensão de um

Espaço Vetorial. Apesar do tema não ser o objeto de estudo dessa Pesquisa, a

leitura contribuiu para compreender melhor o Ensino de Espaço Vetorial, conteúdo

que antecede as Transformações Lineares.

A tese de doutorado em Educação Matemática realizada pela autora Karrer

(2006) da PUC-SP da cujo título é “Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: um

estudo sobre as Transformações Lineares na perspectiva dos registros de

representação semiótica”, serviu também de inspiração para a execução dos

procedimentos desse trabalho. A autora trabalhou com o design de atividades sobre

o objeto matemático “Transformação Linear”, explorando a conversão de registros

em um ambiente de geometria dinâmica. Na primeira fase do trabalho foi realizado

um estudo preliminar sobre a teoria de registros de representação semiótica de

Duval, na segunda fase foram concebidas atividades utilizando como mídias o

software Cabri-Géomètre e lápis e papel com estudantes de Engenharia da

Computação.

48

Buscando ainda embasamento teórico, a dissertação de Padredi (2003), do

Mestrado em Educação da PUC-SP, cujo título é: “As “Alavancas-Meta” no discurso

do professor de Álgebra Linear” contribuiu como uma análise dos recursos “meta”

sugeridos por professores para facilitar a compreensão da noção de Espaço

Vetorial. Apesar de não ser o tema deste trabalho, a leitura da dissertação de

Padredi lança um novo olhar sobre o ensino-aprendizagem de Transformações

Lineares, uma vez que Espaços Vetoriais é um conteúdo que antecede

Transformações Lineares e por isso torna-se interessante observar as bases em que

um futuro conteúdo será lecionado. A dissertação conclui que a indicação de

diversos recursos “meta” é passível de tornarem-se alavancas para a compreensão

dos alunos.

Ao ler a dissertação de Padredi, surgiu a questão: O que são recursos

“meta”? Buscando responder essa indagação foi estudada a dissertação de Oliveira

(2005) do Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP, cujo título é: “Como

funcionam os recursos-meta em aula de Álgebra Linear?”. O objetivo desse trabalho

era investigar os recursos-meta, utilizados por um professor de Álgebra Linear, em

sala de aula, e o modo como ajudaram alguns alunos na compreensão da noção de

base. A teoria de Alavanca-Meta de Jean Luc Dorier e Aline Robert foi utilizada

nesse trabalho. Após a análise, a pergunta inicial foi respondida. Recursos-meta são

as informações ou conhecimentos sobre a Matemática que serão aprendidos e

podem envolver desde operações matemáticas, seu uso e a própria aprendizagem

da Matemática. Como Dorier (2000) afirma que o recurso-meta é:

[...] informação que diz respeito ao que constitui o conhecimento matemático (métodos, estruturas, (re) organização). Os métodos são definidos como os procedimentos aplicáveis a um conjunto de problemas semelhantes em um dado campo: os métodos designam aquilo que há de comum à resolução de problema e não à própria técnica (o algoritmo). Isto implica em uma certa classificação de problemas a resolver e a identificação das técnicas e ferramentas disponíveis. (DORIER et al, 2000, p. 15)

Analisando as dissertações e teses sobre o tema, pode-se observar que a

partir do ano 2000, a produção bibliográfica nesse assunto apresenta um tímido

progresso, surgindo estudos inovadores, porém ainda escassos dentro da Álgebra

Linear.

49

3.1.2 Artigos – Álgebra Linear

Complementam-se as leituras e revisão bibliográfica com artigos que

abordam o tema, apresentando uma síntese desses artigos em quadros:

Quadro 1 - Fichamento de NIETO; LOPES (2006)

Título: A importância da disciplina de Álgebra Linear nos curso de Engenharia

Autores: NIETO; LOPES (2006) Área de conhecimento: Ensino Matemática

Público: Professores de Álgebra Linear

Instituição agregada: Universidade Presbiteriana Mackenzie (São Paulo - SP)

Objetivos: Discutir a causa da alta reprovação na disciplina de Álgebra Linear.

Conceitos abordados: Ensino-aprendizagem em Álgebra Linear, Qualidade de Ensino

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 2 - Fichamento de MAGGI; KRUGGER (2007)

Título: Aplicação de seminário no ensino de Espaços Vetoriais

Autores: MAGGI; KRUGGER (2007)

Área de conhecimento: Ensino Matemática


Instituição agregada: Centro Universitário Positivo - UnicenP (Curitiba - PR)

Objetivos: Desenvolver uma nova forma de avaliação na disciplina de Álgebra Linear.

Conceitos abordados: Espaços Vetoriais, Álgebra Linear, Ensino de Engenharia


Quadro 3 - Fichamento de FRATELLI; MONTEIRO (2007)

Título: Dificuldades do Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear

Autores: FRATELLI; MONTEIRO(2007)



Instituição agregada: Universidade de São Paulo (São Paulo - SP)

Objetivos: Analisar as dificuldades encontradas no ensino de Álgebra Linear.

Conceitos abordados: Tópicos de Álgebra Linear, Dificuldades e defasagens, Ensino de Álgebra Linear Fonte: Elaborado pelo autor

50

Quadro 4 - Fichamento de PATRÍCIO; ALMEIDA (2011)

Título: As múltiplas representações no ensino de vetores

Autores: PATRÍCIO; ALMEIDA (2011) Área de conhecimento: Ensino

Matemática


Instituição agregada: Universidade do Estado do Pará (Belém - PA)

Objetivos: Identificar e agrupar as dificuldades relacionadas às representações presentes no ensino das operações com vetores, e, à resolução de problemas

envolvendo este conceito.

Conceitos abordados: Representações semióticas, Representações de vetor, Dificuldades na aprendizagem de vetores


QUADRO 5 - FICHAMENTO DE ROSA et al. (2009)

Título: Explorando as transformações lineares no plano, através do software WINPLOT

Autores: ROSA et al. (2009) Área de conhecimento: Ensino Matemática


Instituição agregada: Universidade Severino Sombra (Vassouras - RJ)

Objetivos: Explorar atividades com o uso do WINPLOT para mostrar as Transformações Lineares no plano e os tipos existentes, objetivando dar um

suporte maior para a inserção das Transformações Lineares em outros Espaços Vetoriais e também estudar a Geometria das Transformações.

Conceitos abordados: Álgebra Linear, Software Winplot, Geometria


Quadro 6 - Fichamento de TEIXEIRA et al. (2011)

Título: O ensino de transformações lineares com o auxílio do Cabri

Autores: TEIXEIRA et al. (2011) Área de conhecimento: Ensino Matemática


Instituição agregada: Universidade Federal Fluminense (Niterói - RJ)

Objetivos: Discutir entre professores acadêmicos e pesquisadores da área de Educação Matemática as vantagens e possibilidades inovadoras da utilização

da informática no contexto da sala de aula, em particular no ensino de Transformações Lineares do plano no plano com a utilização do software Cabri

Géomètre 2D.

Conceitos abordados: Didática, Transformações Lineares, Cabri Géomètre 2D, Formação de professores, Ensino, Aprendizagem.


51

Quadro 7 - Fichamento de NIETO, SILVA; LOPES (2007)

Título: Tensões: uma aplicação de Álgebra Linear para alunos de Engenharia

Autores: NIETO, SILVA; LOPES (2007)



Instituição agregada: Universidade Presbiteriana Mackenzie (São Paulo - SP)

Objetivos: Procura analisar como os professores têm se comportado perante os desafios encontrados em ensinar a disciplina de Álgebra Linear para os alunos dos

cursos de engenharia.

Conceitos abordados: Álgebra Linear, Ensino na Engenharia, Formação Acadêmica.


Quadro 8 - Fichamento de DALMOLIN et al. (2012)

Título: Transformações Lineares no plano e o software GeoGebra

Autores: DALMOLIN et al. (2012) Área de conhecimento: Ensino Matemática


Instituição agregada: Universidade Federal de Santa Maria (Santa Maria - RS)

Objetivos: Estudar tópicos de Geometria Projetiva com o auxílio de um software computacional, mais especificamente o GeoGebra.

Conceitos abordados: Tecnologias; GeoGebra; Transformações Lineares


Quadro 9 - Fichamento de BRONDINO; BRONDINO (2012)

Título: Uma sugestão de uso de planilhas eletrônicas no ensino de Transformações Lineares

Autores: BRONDINO; BRONDINO (2012)



Instituição agregada: Universidade Estadual Paulista (São Paulo - SP)

Objetivos: Criar atividades exploratórias que visam a utilizar as potencialidades de uma planilha eletrônica no ensino das Transformações

Lineares Planas.

Conceitos abordados: Ensino – aprendizagem, Transformações Lineares, Planilhas Eletrônicas.


52

Quadro 10 - Fichamento de NOBRE (2012)

Título: O uso do software Matlab para o estudo de alguns tópicos de Álgebra Linear

Autores: Nobre (2012) Área de conhecimento: Ensino Matemática


Instituição agregada: Universidade Católica de Brasília (Brasília - DF)

Objetivos: Discutir o uso de tecnologias no ensino da matemática, especialmente do software Matlab apresentado algumas possibilidades deste software

no ensino de álgebra linear abordando tópicos sobre equações lineares e álgebra matricial, trazendo comandos e funções para a prática. Para apresentar essa pesquisa de cunho bibliográfico, foram feitos estudos matemáticos em de

alguns tópicos de álgebra linear co-relacionando-os com o conteúdo disponível no Matlab

Conceitos abordados: Ensino – aprendizagem, Álgebra Linear, Software e Tecnologias.


Após esse levantamento é possível tecer afirmações sobre o ensino-

aprendizagem de Transformações Lineares, gerando uma produção de significado

através de múltiplas representações.

3.2 O Conceito e teoria de Transformações Lineares Planas

O conceito de Transformações Lineares segundo os autores Anton e Busby

(2008, p.273) é definido da seguinte forma:

Dada uma função : n mT R R é dita uma transformação linear de nR para mR de

dimensão finita se as duas propriedades seguintes valem para quaisquer vetores v e

w de nR e qualquer escalar c:

( i ) T (v + w) = T (v) + T (w) (1)

( ii ) T (cv) = c T(v) (2)

No caso especial em que m = n, a transformação linear T é denominada um

operador linear de nR .

Com a descrição, mencionada acima, muitos alunos não conseguem abstrair

o conceito de Transformações Lineares. Pelo fato da linguagem ser muito técnica, a

53

produção de significado torna-se de difícil compreensão. O fato é que transcrevendo

em uma linguagem mais prática pode-se dizer que as Transformações Lineares são

aplicações em que nas operações de soma de vetores e multiplicação de vetores

por escalar devem ser bem definidas para que existam.

Vale a pena ressaltar que os autores iniciam o tratamento deste assunto de

uma forma bastante concreta e descrevendo com exemplos variados o assunto, com

múltiplas representações sejam através de imagens, escrita matemática e situações

reais como o alongamento de molas.

A figura a seguir ilustra de uma forma mais coerente a informação descrita

anteriormente e pode facilitar a aprendizagem dos alunos na abstração das

definições mencionadas, pois muitas vezes os alunos têm dificuldades em

compreender a escrita matemática e transcrevê-la em ações executáveis.

Figura 2 - Representação em diagramas do conceito de Transformações Lineares


Ao ensinar Transformações Lineares geralmente os docentes subdividem o

conteúdo em duas partes: a parte abstrata e a parte Geométrica. O ensino da parte

abstrata consiste em desenvolver com os alunos o conhecimento, em manipular e

trabalhar conceitos como as propriedades, núcleo e imagem de uma transformação.

Esta primeira parte da teoria geralmente é lecionada usando as mídias lápis e papel

com exercícios de fixação. Muitas vezes os alunos não aprendem os conceitos:

apenas mecanizam o ensino e transcrevem por repetição os exercícios pedidos. Não

há aprendizagem significativa conceitual, mas apenas operacional. Não há geração

de conhecimento.

v + w

c v

T(v)+T(w)

c T( v )

nR

mR

T

54

Após a parte de teoria, entra em cena a parte da Geometria. As

Transformações Planas são muito úteis e podem ser bem visualizadas. Muitas vezes

os professores ficam apenas com a parte conceitual mostrando em slides as

transformações e os estudantes universitários não abstraem os conceitos, nem

produzem um significado em suas futuras profissões fazendo a conexão entre teoria

e prática. As transformações podem ser observadas nos planos 2R e 3R . Essa

dissertação objetiva associar na Engenharia Civil as transformações que ocorrem

em 2R , ou seja, as Transformações Lineares Planas. Para melhor abstrair os

conceitos foram efetuados os tratamentos geométricos das transformações

utilizando o software livre GeoGebra. Utiliza-se adaptação dos conceitos de

representação matricial de Steinbruch e Winterle (1997), para efetuar o tratamento

algébrico. As descrições das transformações são adaptações de Anton e Busby

(2008).

a) REFLEXÕES: é uma transformação que associa a cada ponto o seu

simétrico. Podemos ter:

reflexão em torno (relação) do eixo das abscissas: (x, -y);

Figura 3 - Reflexão do ponto A (2,4), em torno do eixo das abscissas

Fonte: Elaborada pelo autor no software GeoGebra

(3)

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R

x y x y ou T x y x y

x x x

y y y

Ponto A (2, 4)

Ponto A’ (2, -4)

55

reflexão em torno (relação) do eixo das ordenadas: (-x, y);

Figura 4 - Reflexão do ponto A (2,4), em torno do eixo das ordenadas


2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R


x x x

y y y

(4)

reflexão em relação ao ponto origem: (-x, -y);

Figura 5 - Reflexão do ponto A (2,4), em relação ao ponto origem


2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R


x x x

y y y

(5)

Ponto A (2, 4)

Ponto A’ (-2, 4)

Ponto A (2, 4)

Ponto A’ (-2, -4)

56

reflexão em relação à reta de equação y = x: (y, x);

Figura 6 - Reflexão do ponto A (2,4), em relação à reta de equação y=x


2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

0 1

1 0

T R R

x y y x ou T x y y x

x y x

y x y

(6)

reflexão em relação à reta de equação y=-x: (-y, -x);

Figura 7 - Reflexão do ponto A (2,4), em relação à reta de equação y=-x


Ponto A (2, 4)

Ponto A’ (4,2)

Ponto A (2, 4)

Ponto A’ (-4, -2)

57

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

0 1

1 0

T R R


x y x

y x y

(7)

b) DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES: são transformações que contraem ou

dilatam o espaço vetorial, associando sempre um escalar c na transformação:

na direção do vetor;

Figura 8 - Dilatação na direção do vetor u, onde c=2 e contração na mesma direção c’ = 1/3


2 2:

( , ) ( , ),

1,

1,

1, 1

0,

T R R

x y c x y c R

x x cxc

y y cy

c atransformaçãodilataovetor

c atransformaçãocontrai ovetor

c atransformaçãoé identidade

c atransformação trocaosentidodovetor

(8)

na direção do eixo das abscissas;

(1,2)

1 1(1,2)

3 3

2 2(1,2)

u

v u Contração

w u Dilatação

58

Figura 9 - Dilatação e contração na direção das abscissas


2 2:

( , ) ( , ), 0

0

0 1

1,

0 1,

T R R

x y cx y c

x cx c x

y y y



(9)

na direção do eixo das ordenadas;

Figura 10 - Dilatação e contração na direção das ordenadas


(1,2)

1 1,2 ,

2 2

(3,2), 3

(5,2), 5

u

v c Contração

w c Dilatação

z c Dilatação

(1,2)

1 11, ,

2 2

(1,6), 3

(1,8), 4

u

v c Contração

w c Dilatação

z c Dilatação

59

2 2:

( , ) ( , ), 0

1 0

0

1,

0 1,

T R R

x y x cy c

x x x

y cy c y



(10)

Observação: Se c = 0, em relação às abscissas ou às ordenadas a projeção

seria sobre o eixo inverso.

c) CISALHAMENTO: é o efeito de transformar um vetor através da combinação

de escalares nas coordenadas. Apesar da mudança na estrutura, a base

mantém-se a mesma, em consequência a área formada pela figura também

mantém-se a mesma.

na direção do eixo das abscissas;

Figura 11 - Cisalhamento no eixo das abscissas c=2


2 2:

( , ) ( , )

1

0 1

T R R

x y x cy y

x x cy c x

y y y

(11)

na direção do eixo das ordenadas;

(5,5)

' (15,5), 2

u

u c

60

Figura 12 - Cisalhamento no eixo das ordenadas c=2


2 2:

( , ) ( , )

1 0

1

T R R

x y x y cx

x x x

y y cx c y

(12)

d) ROTAÇÃO: em torno da origem faz cada ponto descrever um ângulo, que no

caso chamaremos de , determinando uma transformação linear

2 2:T R R , de onde extraímos a matriz canônica.

cos

cos

senT

sen

(13)

Essa matriz é denominada matriz de rotação do ângulo , cuja variação é de

0 2 .

Figura 13 - Rotação em torno da origem com 2


(5,5)

' (5,15), 2

u

u c

(3,6)

' ( 6, 3), 90º2

u

u

61

Dentro das Engenharias, o conceito de Transformação Linear se faz presente,

porém de uma forma diferente. Os conceitos tratados em Álgebra Linear são

modificados e contextualizados de acordo com o ramo seguido. Na Engenharia Civil,

especificamente, tais conceitos se relacionam às disciplinas de estruturas e

resistência dos materiais. Eles são conceituados como tipos de esforços em

construções. Segundo Botelho (2011): “Entender os tipos de esforços e como

escolher as dimensões são as essências da arte de construir.” (p.13). Desse modo,

compreender as Transformações Lineares Planas torna-se fundamental para a

aprendizagem dos esforços das construções civis.

3.3 O Conceito de Transformações na Engenharia Civil

Analisando as estruturas das construções pode-se associar a elas elementos

das Transformações Lineares. Para um futuro engenheiro civil, associar as ideias da

Álgebra Linear com sua profissão torna o ensino mais compreensível, pois a teoria

se alia à prática educacional. Os esforços (transformações) ocorridos nas

construções que serão estudados nesta dissertação são tração, compressão, torção

e cisalhamento. Os conceitos de Shackelford (2008) foram adaptados e podem ser

definidos da seguinte maneira:

a) TRAÇÃO: é a força aplicada sobre um corpo numa direção perpendicular

à sua superfície de corte e num sentido tal que, possivelmente, provoque a

sua ruptura. Nas construções ocorre tração quando sua estrutura sofre

estiramento ou afastamento. Este conceito é associado ao conceito de

dilatação em Álgebra Linear. No estudo de resistência dos materiais, o

objetivo é não permitir que isso aconteça, trabalhando sempre no regime

elástico do material, ou seja, a peça recebe a atuação das forças sem

deformar-se permanentemente, uma vez que ao ser encerrada a ação da

força, retorna à sua conformação original. Mediante isso, cálculos são

realizados utilizando o limite entre as duas deformações com um

coeficiente de segurança delimitado pela sigla (c.s.) de modo que não

ocorra acidentes, e a estrutura suporte uma força que seja maior que a

mínima.

http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a

http://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_dos_materiais

62

b) COMPRESSÃO: A compressão é um resultado da aplicação de uma força

de compressão a um material, ocorrendo uma redução no seu volume, ou,

como declarado em resistência dos materiais e conceituado na

engenharia, uma redução de uma de suas dimensões, axial com a

atuação da força, e um aumento da seção transversal a este mesmo eixo,

quando a deformação da peça nesta direção é permitida, tomando-se

como base os pilares da resistência dos materiais, uma vez que

considera-se teoricamente que seu volume mantenha-se constante. Numa

estrutura ocorre compressão, quando suas partes sofrem encurtamento,

ou aproximação. Pilares sofrem compressão quando estão em trabalho. O

conceito de Transformações Lineares que se liga a este é o de contração.

Figura 14 - Exemplo de tração e compressão na Engenharia Civil

Fonte: BOTELHO, 2011

c) TORÇÃO: Nas estruturas, especialmente as cilíndricas, quando ocorre o

efeito de um torque e uma força resistente, ela tende a sofrer torção. As

deformações causadas a uma estrutura que sofre torção são

deslocamentos angulares de uma seção em relação à outra. Ocorre torção

(ato de girar em torno do eixo), quando em uma estrutura forças atuam

obrigando a estrutura girar em torno do seu eixo de simetria. Aplicada ao

conteúdo de Álgebra Linear refere-se às rotações.

d) CISALHAMENTO: Tensão de cisalhamento é também denominada de

tensão tangencial muito estudada na teoria da resistência dos materiais. A

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_de_compress%C3%A3o


http://pt.wikipedia.org/wiki/Volume


63

tensão de corte ou tensão cortante (cisalhamento) é um tipo

de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos iguais ou até mesmo

opostos, em direções semelhantes, porém com intensidades diferentes no

material analisado. Acontece o cisalhamento quando existe uma tendência

de cortar uma estrutura. Através da flexão de uma viga as lamelas (de

existência teórica) sofrem a ação de tendência de separação uma das

outras, derivando daí o efeito de “cisalhamento na flexão” da viga. Nas

Transformações Lineares, é o próprio cisalhamento, ou seja, mantém-se

a base, no entanto, há uma deformação na forma geométrica.

Após a apresentação das definições dos esforços estruturais, no próximo item

será abordada a produção de significado no Modelo Teórico dos Campos

Semânticos (MTCS) de Rômulo Campos Lins e das teorias das múltiplas

representações e semiótica de Raymond Duval.

3.4 Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS)

O alicerce fundamental da origem do MTCS surgiu da necessidade de Lins

desenvolver em seu doutorado uma caracterização epistemológica entre Álgebra e

Pensamento Algébrico. Esse modelo não é limitado apenas à área algébrica da

Matemática, mas ao processo de produção de significados. Lins (2001) define esse

modelo através do seguinte conceito de que:

provê uma simples, ainda que poderosa, ferramenta para pesquisa e desenvolvimento na educação matemática (...) para guiar práticas de sala de aula e para habilitar professores a produzir uma leitura suficientemente fina, assim útil, do processo de produção de significados em sala de aula.(p.59)

A proposta do MTCS é que o aluno ao longo das atividades de aprendizagem

consiga dar significado às ações executadas. As caracterizações de conhecimento e

significado ocupam o centro do modelo. Concernente a essas ideias torna-se

importante definir essas propostas segundo a teoria dos campos semânticos.

O Conhecimento de cada ser humano é diferente e a forma como é expresso

também. Um conhecimento difere de indivíduo para indivíduo, desse modo

produzindo conhecimentos diferentes. Uma das características fundamentais que

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o


64

distingue esse modelo dos outros é o uso de justificativa para comunicar o

conhecimento. O próprio autor do modelo afirma isso em sua conceituação:

Conhecimento é entendido como uma crença-algo que o sujeito acredita e expressa, e que se caracteriza, portanto, como uma afirmação junto com que o sujeito considera ser uma justificação para sua crença-afirmação.(LINS, 1993 c, p. 86).

Como o objetivo desse trabalho é a produção de significados de

Transformações Lineares Planas em turmas de Engenharia Civil, o processo da fala

sempre será realizado na aplicação de todas as atividades, pois através dele

podem-se caracterizar os conhecimentos produzidos e também analisar se a

justificação condiz com a crença-afirmação.

Seguindo as ideias de Lins, a comunicação faz uma ponte entre o emissor e

o receptor na socialização do conhecimento. Ela conecta ambos no processo de

produção de significado, sendo fator essencial e preponderante na aprendizagem. A

comunicação não deve ser necessariamente oral, pode ocorrer também na forma de

leitura e escrita. Ele não aborda a ideia de transmissão, mas a de socialização do

conhecimento. Desse modo, quando o leitor ou ouvinte (de acordo com a ação

executada) produz um significado para um objeto; ele se constitui como uma fonte

de aprendizagem.

É importante ainda ressaltar que conhecimento não é tudo o que pode ser

dito, tendo em vista que certas culturas aceitam alguns, mas não todos os modos

possíveis de se produzir significado. No conhecimento que é produzido, o conceito

de crença-afirmação corresponde ao que é novo perante o indivíduo, ao contrário da

justificação que corresponde ao que é dado, conforme afirma Lins.

O significado é a ideia central do MTCS. Este não é um conjunto de

informações que poderiam ser ditas, mas o que é comunicado. Para Lins “significado

é aquilo que o sujeito pode e efetivamente diz sobre o objeto numa dada atividade.”

(LINS & GIMENEZ, 1997, p. 145). Consonante com essa ideia, significado é um

conjunto de coisas que se diz a respeito de um objeto, é falar a respeito de um

objeto.

O objeto do qual se fala não é previamente constituído, mas construído

durante a fala de um indivíduo a partir de um resíduo de enunciação conforme

descrito por Oliveira (2002), gerando assim o núcleo do Campo Semântico. O núcleo

65

segundo Lins é “um conjunto de estipulações locais que, num dado momento e

dentro de uma atividade, estão em jogo” (1999, p. 87). As estipulações locais são

afirmações que o sujeito faz, no processo de produção de significados, sem

necessidade de justificar, mas que são tomadas por ele como localmente validadas.

Com a noção de núcleo o Campo Semântico pode ser definido. Campo

Semântico é a atividade em que um sujeito produz significado em relação a certo

núcleo. Toda vez que um indivíduo produz significado a certo núcleo, ele opera em

um Campo Semântico.

Nessa teoria a “impossibilidade de produzir significado para uma afirmação

dentro de um Campo Semântico dado” é descrita por Lins (2001, p.45) como um

limite epistemológico. Com essa noção, o autor da teoria descreve que a formulação

de conhecimento prioriza um repensar do estudo e não afirmações corriqueiras e

sem utilidade:

A importância operacional dessa noção é estabelecer que: (i) toda vez que significado é produzido existe uma restrição no horizonte das posteriores produções de significado, implicando que, (ii) se aprendizagem é entendida – corretamente, eu penso – como aprender a produzir significado, ensinar deve também apontar para uma discussão explícita dos limites criados nesse processo. (LINS, 2001, p.45)

Desse modo, Oliveira em sua dissertação apresenta algumas consequências

ao utilizar o Modelo Teórico dos Campos Semânticos como base teórica:

em qualquer processo cognitivo, em especial naqueles que se dão em sala de aula, o nosso olhar de pesquisador ou professor deve estar voltado para a produção de significados, lembrando que a diversidade dos modos de produção de significados vem enriquecer o processo. Explicitar essas diferenças e apontar o que elas acarretam deve fazer parte da ação do educador matemático;

a diferença dos significados de que estamos falando não é questão de estilo, preferência, interpretação ou versões de uma mesma essência: caracteriza, de fato conhecimentos distintos; e

concebemos que a prática do professor deve ser na direção de criar na sala de aula um espaço comunicativo compartilhado por todos. (OLIVEIRA, 2002, p. 34)

Diante disso, o espaço educacional deve ser um ambiente comunicativo,

socializando os diferentes modos de se produzir significado e acima de tudo

utilizando o recurso de múltiplas representações, pois desse modo os alunos são

ambientados a possuir diversos olhares sobre o objeto de estudo e não apenas uma

66

fragmentação deste ao longo da aprendizagem.

3.5 Teoria de Semiótica e múltiplas representações

O conceito e a teoria de representações semióticas muitas vezes são de difícil

compreensão e seu estudo deve ser coerentemente entendido e analisado.

Raymond Duval é o autor da teoria e enfatiza a importância em se analisar as

representações quando se considera um objeto matemático. O autor considera

impossível estudar os fenômenos relativos ao conhecimento desassociados da

noção de representação.

São chamadas de representações semióticas as representações

conscientes e externas, uma vez que permitem uma percepção do objeto através de

suas unidades significantes (que podem ser diversas como, traços, caracteres, e

demais escritas).

Os processos de produção são distintos no interior de cada sistema, neste

caso, o sistema ao qual uma representação pertence contém unidades significantes,

que por sua vez também terão naturezas distintas.

As representações semióticas derivam de sistemas próprios de signos, como

a escrita algébrica, gráficos, a fala e são acompanhados de operações cognitivas

mudando a representação de um sistema para outro. Na representação semiótica há

o interesse na mudança de forma por motivo de economia do tratamento dado às

informações. As representações mentais e as representações semióticas possuem

uma interdependência entre elas.

As atividades cognitivas de um sistema semiótico são distinguidas de acordo

com sua capacidade de representação. São classificadas em formação, tratamento

e conversão. Na formação, ocorre a intencionalidade de identificar a representação

de um objeto, seja ela mental ou evocando um objeto real. O tratamento consiste

em transformar a representação, podendo ocorrer mudança de forma, mas há

preservação das características particulares do sistema onde foi criada a formação.

A conversão é uma transformação que produz outra representação, distinta da

inicial, porém mantém-se o objeto de referência.

Conclui-se então que os sistemas de representação que possibilitam as três

atividades acima mencionadas são chamados de representação semiótica. Tais

registros possibilitam ao indivíduo executor da ação, concluir um processo de

67

objetivação ou simplesmente comunicar-se com um interlocutor no processo em

questão.

Pelo fato dessa teoria relacionar-se com a Filosofia, muitas vezes torna-se

obsoleta e de difícil compreensão das informações tratadas. Para ilustrar as

atividades cognitivas pensemos em uma representação de uma Transformação

Linear como um objeto matemático. No caso da formação ocorre a identificação do

objeto como transformação através do registro simbólico-algébrico. Cita-se o

exemplo da reflexão em torno do eixo das abscissas:

: ² ²

( , ) ( , )

1 0( , )

0 1

T R R

T x y x y

xT x y

y

(14)

Neste caso há um registro simbólico-algébrico onde o sujeito deve fazer a

leitura. Há uma mudança na transformação. Conforme demonstrado em na equação

14, nota-se a matriz de transformação algébrica que pode ser representada através

de um produto matricial. Essa leitura técnica o indivíduo tem com a compreensão de

que a abscissa mantém-se inalterada e para ocorrer a reflexão e a ordenada

assume valor oposto do inicial, nesse caso ocorreu o tratamento do objeto uma vez

que o indivíduo precisou fazer manipulações no interior do registro inicial.

O tratamento, por exemplo, pode ser entendido como a associação que o

sujeito faz ao executar a representação algébrica para a geométrica, gerando a

transformação, como mostrada na figura a seguir:

Figura 15 - Reflexão em torno do eixo x de dois pontos, mostrando alternância das ordenadas


Ponto A (6, 4)

Ponto A’ (6, -4)

Ponto B (-2, 3)

Ponto A’ (-2, -3)

68

A utilização de registros de representação semiótica inúmeras vezes gera

múltiplas representações, o que facilita muito a aprendizagem matemática uma vez

que tal aprendizagem demanda muitas atividades cognitivas fundamentais:

(...) A particularidade de aprendizagens das matemáticas considera que essas atividades cognitivas requerem a utilização de sistemas de expressão e de representação além da linguagem natural ou das imagens: sistemas variados de escrituras para os números, notações simbólicas para os objetos, escrituras algébrica e lógica que contenham o estatuto de línguas paralelas à linguagem natural ou das imagens: sistemas variados de escrituras para os números, notações simbólicas para os objetos, escrituras algébrica e lógica que contenham o estatuto de línguas paralelas à linguagem natural para exprimir as relações e as operações, figuras geométricas, representações em perspectivas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas, etc. (DUVAL, 2009, p. 13)

Duval defende que a compreensão conceitual usada com a teoria dos

registros de representação semiótica pressupõe a aplicação de no mínimo dois

registros de representação e também a possibilidade de passar de um registro a

outro em todo tempo. Desse modo a aprendizagem teria uma ligação direta com a

capacidade do sujeito em efetuar operações dentro de um registro e também teria

combinação e escolha entre registros.

A teoria de Duval contribuirá na análise das atividades desse trabalho, tendo

em vista que os alunos foram direcionados a lidar com múltiplas representações do

objeto matemático. O objeto de Transformações Lineares Planas, seguindo os

propósitos desta teoria, será formado e tratado, procurando levar o aluno a adquirir

uma aprendizagem real e significativa.

69

4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo serão apresentados os ambientes, os sujeitos e as diretrizes

que nortearam a execução das atividades propostas neste trabalho, bem como as

bases para coletas de dados e a análise dos resultados da aplicação da atividade de

sondagem inicial.

4.1 Caracterização do universo

O presente trabalho elaborou uma sequência didática, com uso

computacional do software GeoGebra, explorando múltiplas representações do

objeto matemático, visando levar o aluno a construir significado para as

Transformações Lineares Planas em um curso de Engenharia Civil.

A aplicação ocorreu em duas turmas do segundo período de Engenharia Civil,

de uma Universidade de domínio particular do Centro-Oeste mineiro. As atividades

foram aplicadas pelo próprio professor regente das turmas, o qual é o autor dessa

dissertação, de modo que a sequência didática serviu como avaliação parcial do 2º

Trabalho Avaliativo. Entende-se por Trabalho Avaliativo o conjunto de atividades

avaliativas como provas, sequências didáticas, exercícios, seminários e outros

eventos que ocorram dentro da segunda quinzena de setembro até o último dia de

outubro. Na Universidade analisada, as avaliações não se concentram em provas,

mas se distribuem em Trabalhos Avaliativos.

Todos os alunos participaram das atividades propostas. Na turma A foram

pesquisados 61 alunos e na turma B 56 alunos, resultando em um total de 117

alunos. Para uma organização das atividades, os alunos foram divididos em grupos

de dois ou três membros, de modo a socializar o aprendizado.

Por se ter um elevado número de alunos, objetivando uma melhor

caracterização e organização dos dados, foram escolhidos grupos de alunos,

concomitantemente à aplicação das atividades, para organizar uma mostra do

desenvolvimento das mesmas. Foram formados cinco grupos da turma A (com três

alunos cada) e cinco grupos da turma B (quatro grupos de três alunos e um de dois

alunos).

Como critérios de escolha foram formados grupos em que havia alunos com

70

níveis diferentes de conhecimentos (alunos com facilidade, alunos com dificuldade,

alunos com defasagem, alunos aplicados) de modo que eles pudessem trocar

experiências, ou seja, os alunos com facilidade ajudariam os alunos com maior

dificuldade, socializando assim o aprendizado.

Como o professor-aplicador da atividade era o professor regente da turma, as

atividades foram aplicadas dentro da carga horária do professor, alternando entre

sala (para a parte de socialização das atividades e atividades de significação por

meio da escrita) e laboratório de informática (para realização da sequência didática).

4.2 Coleta de dados

Para a coleta de dados, adotou-se a observação sistemática e registros das

atividades desenvolvidas, adotando as ideias de Menga & André (1986). Segundo as

autoras, o observador executa um papel crucial na coleta de dados, tendo em vista

que deve possuir algumas características próprias.

(...) Além dessas qualidades pessoais e das decisões que deve tomar quanto à forma e à situação de coleta de dados, o observador se defronta com uma difícil tarefa, que é a de selecionar e reduzir a realidade sistematicamente. Essa tarefa exigirá certamente que ele possua um arcabouço teórico a partir do qual seja capaz de reduzir o fenômeno em seus aspectos mais relevantes e que conheça as várias possibilidades metodológicas para abordar a realidade a fim de compreendê-la e interpretá-la. (MENGA; ANDRÉ, 1986, p.17)

Na fase exploratória da coleta de dados, os alunos foram instruídos a

executar as atividades como se fossem rotineiras. Não se criou alardes, nem

grandes modismos na execução. Tudo ocorreu como se fosse parte do dia comum

de aula.

Para um registro metódico dos dados foram utilizados, pelo pesquisador, um

caderno de anotações e câmera fotográfica. Para a análise do processo educativo,

as ideias de Fiorentini & Lorenzato (2006), foram utilizadas, com o intuito de não

perder o objetivo central desse trabalho que é levar o aluno do curso de Engenharia

Civil a construir significados para as Transformações Lineares.

(...) Porém, como pesquisador, seu objetivo é sistematizar, analisar, compreender como acontece esse processo educativo dos alunos ou quais os limites e potencialidades didático-pedagógicas dessa prática inovadora.

71

Ou seja, a pesquisa visa extrair lições, aprendizagens ou conhecimentos das experiências docentes. (FIORENTINI; LORENZATO, p.76, grifo do pesquisador)

As atividades foram finalizadas, pelo pesquisador, com três entrevistas. A

primeira entrevista realizou-se com uma aluna reprovada pelo quinto ano

consecutivo em Álgebra Linear, a qual apresentava grande defasagem de conteúdo

e não compreendia bem os conceitos abstratos do conteúdo. Objetivava-se analisar

a percepção dessa aluna sobre a nova metodologia adotada.

As outras duas entrevistas foram feitas com dois alunos técnicos que já atuam

na área da construção civil, os quais utilizam o conhecimento técnico e prático. Um

dos entrevistados é mestre de obras há mais de vinte anos e o outro é um arquiteto

já graduado, na mesma instituição, que retomou os estudos em Engenharia Civil

para se qualificar mais para as demandas do mercado.

O emprego das três entrevistas visava à confiabilidade das conclusões

obtidas e também no sentido de complementar as informações coletadas. Para as

entrevistas foi aplicado um questionário objetivando deixar os entrevistados mais à

vontade em responder as questões, uma vez que como o pesquisador é também o

professor regente da turma, poderia ocorrer constrangimento em se responder

oralmente as questões, tendo em vista que os alunos poderiam achar que seriam

avaliados pelo professor.

A ideia em se aplicar o questionário surgiu em consonância às descrições de

Fiorentini & Lorenzato (2006):

(...) os questionários podem servir como uma fonte complementar de informações, sobretudo na fase inicial e exploratória da pesquisa. Além disso, eles podem ajudar a caracterizar e a descrever os sujeitos de estudo, destacando algumas variáveis (...). A diferença entre esse instrumento de pesquisa em relação às entrevistas é que o questionário pode ser aplicado a um grande número de sujeitos sem que haja necessidade de contato direto do pesquisador com o sujeito pesquisado. Os questionários podem ser enviados e devolvidos via correio convencional ou eletrônico (email). (p.117)

Analisando as informações coletadas dos questionários, uma visão global

poderia ser definida e formalizada do trabalho desenvolvido na construção do

conceito de Transformações Lineares e também no emprego da metodologia

desenvolvida.

72

4.3 Sequência didática

Foi proposta aos alunos a execução de uma sequência didática, com auxílio

de recurso computacional. Nesta atividade, os alunos eram instruídos a executarem

atividades autonomamente no software livre GeoGebra e assim compreender bem o

conceito de Transformações Lineares Planas. A sondagem inicial, a construção de

Transformações Lineares Planas no software, a representação através de múltiplas

visualizações e a produção de significado, constituem a sequência didática.

Entende-se como sequência didática a um conjunto de propostas ou

atividades com ordem crescente de dificuldade, de forma que cada passo permita

que o próximo seja realizado, conforme Zabala (1998) descreve. Para que tal

recurso didático seja realizado faz-se necessário que essa estratégia privilegiada,

para uma eficaz prática pedagógica, tenha em seu planejamento algumas aulas

previstas, pois o docente deverá construir a sequência didática, planejando

atividades permanentes (debates, chamadas, acolhimento, correção e socialização

de tarefas), atividades pertencentes ao projeto e outras que tragam o novo de

maneira interessante e que contemplem um aumento de complexidade.

A sequência inicia-se com a sondagem inicial (Apêndice A) com o objetivo de

analisar o que os alunos conheciam em relação aos esforços que as estruturas

recebem. A intenção didática visava despertar o interesse do aluno para o estudo de

um tópico da Matemática, associando-o a conteúdos específicos de sua área de

atuação futura. Tal atividade consistia em relacionar cada esforço estrutural à sua

denominação. Para a realização da mesma, contou-se com leitura prévia do primeiro

capítulo do livro de Botelho (2011). A ideia de uma leitura prévia se deve ao fato de

que nas turmas em que a atividade foi realizada não receberam ainda o

conhecimento sobre a teoria das estruturas, por isso a necessidade de uma leitura

prévia sobre o tema.

A atividade seguinte era a construção das Transformações Lineares Planas

(Apêndice B) com auxílio computacional. Inicialmente foi realizada a apresentação

do software GeoGebra. Foi mostrada a interface do programa, bem como os ícones,

barra de tarefas, janela de álgebra e janela de visualização. Ela foi elaborada de

modo a comunicar-se com os alunos para a execução da atividade apresentando os

comandos a serem executados e organizando a relação com a teoria de

73

Transformações Lineares Planas em consonância com as ideias de Selbach &

Antunes (2010):

Os tempos são outros e o jeito de ensinar impõe a busca de novos caminhos em que se considera o aluno como protagonista da aula e da construção da aprendizagem. O bom professor, que é o organizador do ensino, que conhece a realidade de seu aluno, sabe escolher problemas que possibilitarão a construção de conceitos e procedimentos que cheguem aos processos de resolução, sem nunca esquecer os objetivos realistas que antes se traçaram. (p. 56)

Após a execução de cada atividade inicial os alunos eram instigados a

executar atividades relacionando o que fizeram no software com os conceitos

algébricos. Em cada atividade também foi colocada a representação algébrica e

matricial das transformações de modo que os alunos pudessem compreender os

conceitos definidos e associá-los à execução no software, desenvolvendo assim

múltiplas representações de um mesmo objeto.

No desenvolvimento da sequência didática foram trabalhadas as seguintes

Transformações Lineares Planas: reflexões, contrações, dilatações, cisalhamento e

rotações, sempre buscando fazer a interligação entre os esforços na construção civil

e as transformações algébricas.

A próxima atividade realizada foi a associação de imagens e ideias (Apêndice

C). Os alunos deveriam relacionar os esforços estruturais com as Transformações

Lineares Planas, utilizando-se para isso imagens que descreviam os esforços

aplicados em objetos da construção civil. O objetivo era fazer com que os alunos

pudessem, através de múltiplas representações, relacionar e associar os conceitos

adotados na Engenharia Civil à Álgebra Linear.

A atividade que encerrava a sequência didática objetivava que os alunos

produzissem significado para os esforços estruturais, gerando uma interligação com

as Transformações Lineares Planas (Apêndice D). A atividade consistia em

descrever o que o aluno compreendeu dos esforços estruturais e fazer a conexão

com os conceitos de Transformações Lineares, de modo que o mesmo pudesse

demonstrar o que aprendeu durante as atividades e se conseguiu denotar

significado à teoria abordada.

Nas linhas seguintes, a sequência didática será mais bem descriminada e

analisada, gerando com isso um aprofundamento científico das atividades

74

propostas. Desse modo, as múltiplas representações e a produção de significado

serão tratadas nas atividades, propiciando um aprendizado significativo e conciso à

prática na Engenharia Civil.

75

5 ANÁLISE DAS ATIVIDADES

As atividades propostas neste trabalho (Apêndice A, B, C e D) foram

aplicadas ao longo das aulas de Álgebra Linear e contaram com a participação de

duas turmas do segundo período de Engenharia Civil. Abaixo segue um quadro

informativo das atividades:

Quadro 11 - Informativo dos objetivos e carga horária das atividades

Quadro Informativo das Atividades Desenvolvidas

Atividade Duração Objetivos Específicos

1ª Atividade: Sondagem inicial

1 h/aula Verificar o conhecimento dos

alunos em relação aos esforços na Engenharia Civil.

2ª Atividade: Transformações

Lineares com recurso computacional

6 h/aula

Construir o significado de Transformações Lineares

Planas utilizando o software GeoGebra.

3ª Atividade: Transformações

Lineares e Esforços Estruturais

2 h/aula

Relacionar e interligar as Transformações Lineares e

esforços na Engenharia Civil através das representações de

imagens e escrita.

4ª Atividade: Justificando as

Associações 2 h/aula

Associar e produzir significado relacionando Transformações Lineares Planas e esforços na

Engenharia Civil.

Carga horária Total 11 h/aula Fonte: Elaborado pelo autor

Entende-se por hora/aula (h/aula) o tempo de cinquenta minutos de atividades

docentes. Desse modo as atividades constantes dos Apêndices A, B, C e D foram

desenvolvidas e pensadas para melhor aproveitar o tempo referido.

5.1 Atividade 01: Sondagem inicial

5.1.1 Objetivos

Ao término dessa atividade junto aos discentes pretendia-se:

a) Verificar o nível de conhecimento dos alunos sobre o assunto a ser tratado.

76

b) Instigar o aluno na pesquisa do tema dado.

5.1.2 Descrição

A atividade exigia uma leitura prévia do primeiro capítulo do livro de Botelho

(2011), considerando que os alunos do segundo período ainda não tiveram as

disciplinas de Ciência dos Materiais e Estruturas dos Materiais.

Após o estudo prévio, uma cópia contendo conceitos e a descrição dos

nomes foi entregue aos alunos para que os mesmos pudessem relacionar o tema à

descrição dada.

Ao término da atividade foi realizada uma socialização com os alunos,

relacionando o termo à caracterização, conforme pode ser visualizado abaixo.

Figura 16 - Sondagem inicial

Fonte: Elaborada pelo autor e adaptada de SHACKELFORD (2008)

Mediante a descrição dada e a leitura prévia dos alunos a solução correta da

relação seria 4, 2, 3,1. Com a socialização dos assuntos, os alunos puderam tirar as

77

dúvidas e referendar as relações feitas.

5.1.3 Análise da aplicação

Notou-se, com a sondagem inicial, que muitos alunos possuíam o

conhecimento físico do tema, porém não compreendiam os conceitos. Ao socializar

a atividade, alguns alunos exemplificavam, na Física, os esforços, mas

algebricamente e com relação à teoria das estruturas nada tinham a declarar. O

conhecimento que possuíam, portanto, era na realidade o conhecimento acadêmico,

dominante apenas na teoria e com pouca relação prática.

A seguir será relacionada a porcentagem de acertos da sondagem inicial

aplicada a todos os alunos das duas turmas de Engenharia Civil, gerando um

demonstrativo e comparação dos resultados obtidos.

Para uma familiarização e identificação dos gráficos, os conceitos

avaliados são referidos, respectivamente, aos seus números: 1-cisalhamento, 2-

compressão, 3-torção, 4-tração.

Gráfico 1 - Porcentagem de acertos da sondagem inicial – Turma A

Fonte: Dados da Pesquisa

78

Gráfico 2 - Porcentagem de acertos da sondagem inicial – Turma B


Como pode ser analisado, a turma B demonstra maior compreensão dos

conceitos analisados. Nota-se uma familiaridade em ambas turmas com o conceito

de compressão e torção (2 e 3 respectivamente), uma vez que estes foram a maior

porcentagem de acertos.

A diferença entre as turmas se deve ao fato de que na turma A os sujeitos

pesquisados encontram-se envolvidos na construção civil e/ou saíram há algum

tempo do Ensino Médio, ou seja, conhecem a prática, mas não dominam a teoria.

Na turma B, os alunos são provenientes de instituições de ensino técnico e saíram

recentemente do Ensino Médio, por isso dominam mais a teoria. Na aplicação da

sondagem inicial notou-se algo instigante. Os alunos da turma A, participaram mais

efetivamente da atividade, demonstrando aplicações na construção civil. Um aluno

que trabalha como mestre de obra conseguiu explicar claramente o processo de

tração, compressão e cisalhamento que podem ocorrer “nas tesouras” de um

telhado.

Com o início da fala desse aluno, a socialização tornou-se mais proveitosa.

Outro aluno que fez curso técnico de mecânica, descreveu e exemplificou o

processo de torção nas peças que ele produz. Com isso, os alunos foram

levantando possíveis lugares onde os esforços poderiam ser identificados.

Com relação à tração e ao cisalhamento (1 e 4 respectivamente), os alunos

tiveram um pouco mais de dificuldade em executar as relações. No tocante ao

79

cisalhamento, nota-se um maior desconhecimento por parte dos alunos, uma vez

que este conceito é melhor trabalhado em Teoria das Estruturas e Ciência dos

Materiais. Estes conteúdos são lecionados à partir do terceiro período do curso na

Universidade pesquisada.

Alguns alunos conseguiram relacionar a questão de cisalhamento e tração,

explicando que para que ocorra a cisalhada, a tração pode ser aplicada à peça.

Acredita-se que esse fator foi culminante para que a maioria dos alunos

assinalassem os esforços 1 e 4 em ordem alternada nas lacunas.

A turma B, apesar de dominar, em grande maioria, o conteúdo foi mais

retraída na questão da socialização do conhecimento. Talvez o nível de maturidade

dos alunos não permitiu a socialização de uma forma maior como na turma A.

O gráfico abaixo relaciona a porcentagem de acerto de todas as questões em

cada uma das turmas analisadas. Nota-se que a turma A ficou bem abaixo da turma

B. Os acertos tabulados demonstram que a turma B possui maior domínio teórico do

assunto, uma vez que quase a metade da sala (49%) conseguiu acertar todas as

questões. Já na turma B (28%), demonstra que os alunos não conseguiram acertar

todas as questões. Conclui-se com ele que a turma B possui maior domínio teórico

do tema do que a turma A na sondagem inicial. O fato da turma B ficar mais retraída

na socialização colaborou para que a difusão do conhecimento ficasse restrita a

poucos. Com isso, a relação de associação na sondagem inicial ficou díspar em

relação à turma A.

Gráfico 3 - Porcentagem de alunos que acertaram toda a sondagem incial


TURMA A TURMA B

80

A sondagem inicial serviu de grande valia para analisar os rumos que a

sequência didática tomaria e também para caracterizar o nível em que os sujeitos

pesquisados encontravam-se com relação ao tema estudado.

Na análise seguinte serão abordadas as Transformações Lineares Planas

com recurso computacional, realizada com os alunos no laboratório de informática

da instituição, gerando assim múltiplas representações.

5.2 Atividade 02: Transformações Lineares Planas com recurso computacional

5.2.1 Objetivos


a) Construir o significado de Transformações Lineares Planas utilizando o

software GeoGebra.

b) Analisar e compreender as transformações na escrita geométrica e algébrica.

c) Produzir significado das Transformações Lineares através das múltiplas

representações (linguagem, escrita algébrica e geométrica, transcrição

gráfica).

d) Trabalhar em equipe e socializar o conhecimento.

5.1.2 Descrição

Para a execução, a atividade foi enviada aos alunos via Portal Universitário

(ver Apêndice B). Esse tipo de sistema adotado na Universidade permite a

comunicação entre professor e aluno e também o envio de notas e atividades

docentes como exercícios, correções e lançamento de aulas.

No primeiro momento foram explorados os recursos do software GeoGebra:

os ícones, barras de ferramentas e escrita do programa. É importante salientar que

foi um primeiro contato dos alunos com o software, por isso, a necessidade em

executar tal procedimento.

Após os alunos se habituarem ao software, foi iniciada a atividade, onde a

mesma interagia com os alunos em cada uma das Transformações Lineares Planas.

Ela é composta de quatro tópicos. O primeiro, GeoGebra, traz os comandos e ações

81

que os alunos deverão desenvolver no software. O segundo, Aprendendo +, traz os

conceitos que os alunos deverão conhecer para compreender as ações do software.

O terceiro denomina-se Extrapolando e os alunos deveriam responder e completar

questões que relacionam ações executadas no software com o a teoria de

Aprendendo +. O último tópico é relacionando ideias, onde os alunos deverão

relacionar as matrizes de transformação algébrica com as transformações

desenvolvidas no software, conforme descriminado na figura abaixo.

Figura 17 - Início das atividades com auxílio de recurso computacional


A primeira Transformação Linear Plana desenvolvida foi a Reflexão. A

atividade vem com o conteúdo teórico definindo e organizando as ideias. Em

seguida é passado o comando a ser executado no software GeoGebra. Os alunos

deveriam interagir entre si no computador e organizar as reflexões.

Em uma ordem crescente de dificuldade as reflexões deveriam ser realizadas

em torno do eixo das abscissas, ordenadas, origem do sistema cartesiano, em torno

da reta identidade (y=x) e em torno da reta de equação y=-x.

As próximas transformações a serem realizadas foram as dilatações e

contrações. Foi dada ênfase junto aos alunos na questão de dilatar e contrair

82

vetores, pois os mesmos deveriam ser multiplicados por escalares quaisquer,

obedecendo ao seguinte atributo: se o escalar é maior do que 1, o vetor dilata. Se

for um valor entre 0 e 1 contrai. Se o escalar for 1 é a transformação identidade e se

for menor do que 0, troca o sentido do vetor. As dilatações e contrações foram

realizadas na direção do vetor, na direção das abscissas, na direção das ordenadas.

Em seguida o cisalhamento foi estudado.

Figura 18 - Execução da atividade no Laboratório de Informática

Fonte: Arquivo do autor

Apesar de desconhecerem o termo, os alunos puderam com a familiarização

do software, executar o cisalhamento. As ênfases foram dadas nos eixos das

abscissas e ordenadas, trabalhando com a construção de polígonos em cada

cisalhamento para melhor visualização do efeito de cisalhada nos vetores.

A rotação foi a última transformação trabalhada com os alunos e foi realizada

manualmente para que os alunos compreendessem bem como ocorria.

Diferentemente das outras transformações, que eram aplicadas através de um

83

comando predefinido pelo software a rotação foi organizada para que os alunos

compreendessem bem a matriz de transformação. Desse modo os comandos

seguiram a estrutura da sequência didática, porém organizando bem os vetores para

serem rotacionados. Na matriz algébrica de transformação os alunos deveriam

substituir o seno e cosseno do ângulo rotacionado e efetuar o produto do vetor com

a matriz de transformação. Em seguida o resultado era inserido no software e

calculado o ângulo de rotação.


Inicialmente os alunos entraram no laboratório de informática com bastante

receio. Tal medo surgia da disciplina de Informática, cursada pelos mesmos no

semestre anterior onde aprenderam a programar. Como não conheciam o software,

acharam que o mesmo seria de difícil manipulação e com programação matemática

lógica de grandes comandos como o Maple, Matlab, etc. Para melhor organizar a

análise da aplicação, os grupos serão designados de acordo com a sala trabalhada.

Como as duas turmas analisadas possuem o mesmo número de grupos, os grupos

serão assim descriminados 1A, 2A, 3A, 4A, 5A (referem-se à turma A). Em

consequência 1B, 2B, 3B, 4B, 5B (referem-se à turma B).

Ao iniciarem a familiarização com o software, muitos comentários foram

lançados (todos positivos) sobre a interface e manipulação do programa. Um aluno

do grupo 1B mencionou: “É muito fácil mexer nesse programa! Ele faz tudo! É só

saber como digitar as coisas!” De um modo unânime os alunos consideraram a

utilização do programa de fácil manipulação e muito interessante.

A análise dos dados seria feita em três etapas. A primeira corresponde a

execução geométrica das transformações no software. Os alunos conseguiram

executar e desenvolver todas as atividades sem problemas. Considerando os

comandos dados pela sequência, não existiram dúvidas em executar as ações. Tudo

ocorreu de forma ordeira, no tempo idealizado e acima de tudo de forma

colaborativa com os colegas. Iniciando a atividade, os alunos executaram as

reflexões pedidas.

Após a realização de cada uma das reflexões era pedida a extrapolação da

transformação dada produzindo significado para o que desenvolviam no software.

84

Figura 19 - Exemplo da atividade de Extrapolação

Note que a matriz de transformação altera sempre um sinal do eixo. Qual

é esse eixo? Por que isso ocorre?

Fonte: Atividade criada pelo pesquisador

O grupo 2A respondeu da seguinte forma: “Corresponde ao eixo a ser

refletido. Isso ocorre porque após a transformação, o objeto será o mesmo, só

alterará sua posição de acordo com o eixo a ser refletido selecionado.”

Torna-se interessante notar que o grupo conseguiu abstrair o conceito e

compreender o que ocorre na reflexão. É oportuno ressaltar que seguindo a teoria

de Duval (2009), ocorreu o tratamento semiótico dado ao objeto de estudo: houve

formação (intencionalidade de identificar a representação de um objeto), o

tratamento (consiste em transformar a representação, neste caso a matriz de

transformação algébrica foi fundamental para efetuar o tratamento do objeto) e por

fim, a conversão (uma transformação que produz outra representação, neste caso,

a forma geométrica assumida pela transformação foi a conversão da matriz

algébrica).

As questões com relação à reflexão continuavam na atividade. Na reflexão

em torno do eixo das ordenadas, a questão era a seguinte:

Baseando no que aprendeu anteriormente, como executar a reflexão em

torno do eixo y?

O grupo 5B denotou o comentário: “Basta substituir no comando o termo

Objeto pelo Ponto criado, e a reta por x=0, ou seja, Reflexão [Ponto, x = 0].” Nota-se

que os alunos se apoderaram dos conceitos do programa para desenvolver novas

transformações, o que gerava autonomia em relação ao professor. Os alunos

conseguiram manipular o software e desenvolver os conceitos pedidos. Como pode

ser notada pela resposta do grupo 4B à seguinte questão:

É preciso trocar um comando na reflexão. Qual comando será alterado?

“Deverá alterar a reta que antes era y = 0 para x = 0.” A proposta em se criar

uma atividade autônoma para os alunos foi concretizada, gerando motivação em

executar as atividades. Continuando com a extrapolação, os alunos eram instigados

85

a fazer conjecturas e análises sobre suas ações no software:

Note que a matriz de transformação também altera sempre um sinal do

eixo. Qual é esse eixo? Por que isso ocorre?

“É o eixo x. Isso ocorre porque as reflexões em torno de um eixo mantêm o

valor da ordenada daquele eixo igual, mas a abscissa do eixo possui valor oposto”,

escreveu o grupo 3A. Apesar de não ser exigido que as resposta fossem em lauda

digitada, grande parte optou em executar as atividades em digitação formalizada,

atendendo aos pré-requisitos da disciplina de Metodologia Científica, a qual os

alunos cursam também no segundo período.

Como a reflexão é em torno da origem do sistema, e esta é definida por

um ponto, qual é este ponto que deverá substituir o comando?

“O ponto (0,0)”, todos os grupos responderam juntos. Foi interessante notar

que mesmo tendo na aplicação alunos com dificuldade em acompanhar o conteúdo

em sala de aula, estes conseguiam seguir o ritmo da atividade e desenvolver a

teoria.

O que você notou em relação às coordenadas de seu objeto?

“As coordenadas possuem mesmo valor, porém com sinais negativos” citou o

grupo 5A. Apesar dos alunos argumentarem conceitos com descrições erradas, por

exemplo, ao mencionarem sinais negativos os alunos entenderam que os sinais

tornavam-se opostos, compreendendo bem o processo da transformação realizada.

Fazendo a ligação desse conceito com as ideias anteriormente traçadas, os alunos

deveriam também realizar exercícios que foram organizados em forma de perguntas

e lacunas e também montar novos comandos.

Entendido o conceito, quando ocorre a reflexão em torno da origem do

sistema as coordenadas sofrem inversão do sinal. Ou sejam, refletem com

seus valores opostos. Como a alteração agora é em torno da reta y=x, o que

fazer no comando de reflexão do programa para que ocorra a reflexão?

“No lugar de reta você coloca y=x, ou seja, Reflexão[<Objeto>, y=x]”,

argumentou o grupo 3B. Os alunos deveriam também analisar a estrutura algébrica

e formalizar respostas que atestassem para o que ocorria no software ao efetuar as

transformações.

86

O que você notou em relação às coordenadas?

O grupo 2A escreveu: “Elas inverteram de posição. O que era x passou a ser

y e vice-versa.” Aos alunos era pedida a compreensão dos conceitos estudados,

conforme pode ser observado nas perguntas, as respostas dadas pelos alunos

refletem a compreensão do conceito trabalhado. Para a análise foram coletadas as

informações que os alunos respondiam na socialização da atividade, seja de forma

escrita ou oral. Questões em que os alunos pudessem também concluir ideias eram

propostas aos mesmos. Um exemplo é a questão abaixo:

Conclua: Quando ocorre uma reflexão em torno da reta identidade (y=x),

a coordenada das abscissas (x) troca com a coordenada das ordenadas(y).

Em consequência a coordenada das ordenadas (y) troca com a

coordenada das abscissas (x).

O grupo 1B completou corretamente as lacunas e ainda respondeu a próxima

questão:

Como a alteração agora é em torno da reta y=-x, o que fazer no comando

de reflexão do programa para que ocorra a reflexão?

“No lugar de reta você coloca y=-x, ou seja, Reflexão[<Objeto>,y=-x]”. Nota-se

que com as múltiplas representações que as transformações receberam, os alunos

conseguiram acompanhar no software todo o processo algébrico das

transformações, produzindo significado para o objeto estudado.


“Elas inverteram de posição e de sinal. O que era x passou a ser y com sinal

oposto e vice-versa”, argumentou o grupo 4A. Neste momento, fechando a atividade

de reflexão foi pedido aos grupos que concluíssem o que fizeram no software com a

reflexão em torno da reta y=-x.

Conclua: Quando ocorre uma reflexão em torno da reta identidade (y=-x),

a coordenada das abscissas (x) troca com a coordenada das ordenadas

(y). Em consequência a coordenada das ordenadas (y) troca com a

coordenada das abscissas (x). Alterando também o sinal das

coordenadas.

Todos os grupos conseguiram responder bem esta questão, finalizando o

primeiro momento da atividade e acima de tudo abstraindo os conceitos teóricos que

87

foram vistos na seção Aprendendo + da atividade citada. Mediante a análise

apresentada, os alunos conseguiram compreender bem o conceito de reflexão e

desse modo, fazer a análise das diversas representações que estavam presentes na

atividade, como por exemplo, a matriz algébrica das transformações. Torna-se

necessário enfatizar que com a noção de transformações bem alicerçada, os alunos

sentiram-se melhor preparados para desenvolver as outras transformações no

software. Continuando a atividade os alunos executaram as dilatações e contrações.

De modo semelhante às reflexões, após a realização das dilatações e

contrações os alunos eram motivados a realizar a parte de extrapolação do

exercício, pensando e refletindo sobre o que realizaram no software.

O que você notou em relação às coordenadas na dilatação? E na

contração?

“Ficaram duas vezes maior na dilatação e duas vezes menor na contração”

respondeu o grupo 3B. Em seguida foi indagado o que aconteceria se os escalares

que eram usados para efetuar as dilatações e contrações fossem alterados.

E se o escalar for menor do que 0, o que acontece?

“Elas trocam de sinal”, mencionou o grupo 3A. Apesar da resposta simples,

nota-se domínio da transformação pedida. Todos os grupos concluíram de forma

semelhante a dilatação.

Conclua: Quando dilatamos ou contraímos através de Transformações

Lineares, ocorre a multiplicação das coordenadas pelo escalar usado.

O que você notou em relação às coordenadas na dilatação em relação às

ordenadas? E na contração?

“A ordenada ficou multiplicada pela razão e a abscissa permaneceu a mesma.

Ou seja, na dilatação = (x,2y) e na contração = (x, y/2)”, escreveu o grupo 4A.

Como você pode fazer a dilatação e contração em relação ao eixo das

ordenadas?

“Criando uma reta x=0 e usando a entrada Esticar[ <Objeto>,<Reta>,

<Razão> ]”, listou o grupo 5A. Neste caso pode ser comprovado que os alunos

conseguiam abstrair o conceito, aplicando à programação no software. Para que

ocorresse a dilatação ou contração em torno de um eixo, os alunos deveriam saber

88

o que executar no eixo e como utilizar os comandos, conforme descriminado ainda

pelo grupo 5A:

Que comando você deve alterar? Por quê?

“A reta. Pois agora o eixo mudou.” A atividade sempre propunha que os

alunos concluíssem o que realizam em cada transformação conforme descrição

abaixo:


contração?

“Na dilatação o valor da abscissa fica multiplicado pela razão e o da ordenada

permanece o mesmo. Na contração ocorre o mesmo fato, porém, a razão é positiva

e menor do que 1, o que faz o vetor diminuir de tamanho” citou o grupo 4A. Mais

uma vez é importante salientar que em todas as transformações realizadas, o

tratamento algébrico também foi trabalhado, uma vez que a matriz de transformação

sempre ocorria ao término dos exercícios e era pedido aos alunos que realizassem e

comentassem o que significavam tais termos.

Figura 20: Exemplo da atividade Relacionando ideias

Fonte: Atividade criada pelo pesquisador

A compreensão dos alunos em relação às dilatações e contrações foi

verificada e o cisalhamento foi a nova transformação a ser trabalhada. Notou-se,

mais uma vez, a evolução dos alunos em conhecer analisar as múltiplas

representações da atividade. Com o conhecimento trabalhado e alicerçado, os

alunos compreenderam bem as matrizes de transformações e fizeram corretamente

a interpretação, produzindo significado aos termos e também organizando as ideias

trabalhadas.

O que você notou em relação ao cisalhamento?

“Que o polígono se tornou mais achatado” respondeu o grupo 4B. Nesta parte

da atividade, notou-se que os alunos visualizaram bem a questão do cisalhamento,

compreendendo que em relação ao eixo cisalhado a base permanece a mesma e a

89

transformação ocorre em relação ao outro eixo, como podem ser notadas nas

respostas abaixo do grupo 2A.

O que aconteceu com a base do polígono?

“Permaneceu a mesma”

O que aconteceu com os lados paralelos ao eixo cisalhado?

“Ficaram inclinados”

O que aconteceu com as coordenadas?

“As coordenadas da base do polígono permaneceram constantes, mas as

outras tiveram a abscissa multiplicada pelo valor do cisalhamento e a ordenada

constante.” Com a análise das respostas, os alunos demonstraram conhecimento e

analisaram bem o cisalhamento, seja em torno das abscissas, seja em torno das

ordenadas. Eles conseguiram visualizar com o polígono traçado o cisalhamento dos

vetores e compreender que em relação ao eixo cisalhado a base permanece

inalterada e ocorre um estiramento do lado paralelo.

A rotação foi o a última transformação trabalhada. Para executá-la os alunos

necessitavam de conhecimento trigonométrico para rotacionar os vetores em relação

aos ângulos pedidos. A dificuldade inicial era em relembrar seno e cosseno dos

ângulos, para isso, foi realizada uma rápida revisão de modo que os alunos

pudessem executar a transformação.

O que notou em relação à rotação?

“As coordenadas em relação ao ângulo de 90º mudaram de direção e o valor

das ordenadas tornou-se oposto ao inicial”, escreveu o grupo 5B. Foi dada

preferência em rotacionar os vetores em ângulos que ficam nos eixos cartesianos

como 90º, 180º, 270º e 360º, pelo fato de o seno e cosseno serem exatos sem a

necessidade em efetuar cálculos com raízes.

Por que isso acontece?

“Porque na matriz algébrica, multiplicamos o ponto final do vetor pela matriz

de seno e cosseno do ângulo, gerando a rotação”, argumentou o grupo 5A. Com a

resposta definida, notou-se que os alunos conseguiram desenvolver manualmente

os cálculos para efetuar as rotações pedidas.

Como efetuar novas rotações utilizando a matriz de transformação?

90

“Basta usar a matriz de transformações, multiplicando as coordenadas do

vetor traçado pelo seno e cosseno do ângulo que se deseja rotacionar” citou o grupo

4A. Os alunos conseguiram compreender bem os conceitos e geraram a

organização dos dados, produzindo significado a essa transformação.

A segunda análise será feita através da produção de significado. Ao realizar a

atividade, notou-se que a produção de significado dos alunos era cada vez mais

aguçada com o interagir entre teoria e prática computacional. Na socialização das

atividades, cada aluno completava a fala do outro de modo que o núcleo do objeto

estudado (Transformações Lineares Planas) era convergido em diversas linguagens

(computacional, algébrica, fala). O uso de múltiplas representações representou

nesta atividade um avanço enorme em relação à aprendizagem. Com a teoria de

Lins (2001), a produção de significado tornou-se ainda mais abrangente. O que

antes era subentendido como apenas formalismos algébricos, ganhou uma

conotação especial de compreensão e organização de dados para os alunos.

Segundo um dos alunos do grupo 3A: “fazer a leitura algébrica tornou-se

propício na compreensão do significado das Transformações Lineares Planas”. A

socialização das atividades, ainda segundo este, “fez com que cada um ajudasse o

colega na compreensão das informações que não abstraíram bem e motivou-os a

executar as atividades novamente com um novo olhar”.

A terceira análise se dá através da visualização das múltiplas representações

de um mesmo objeto. Esse efeito da teoria de Duval (2009) das representações

semióticas e múltiplas representações propiciaram aos alunos visões diferenciadas

de um mesmo objeto, manipulando de diversas formas o mesmo objeto pode-se

produzir um significado maior para o mesmo. Uma aluna relatou que durante a

atividade encontrou dificuldade em responder as questões inicialmente, mas quando

se deparou com a leitura algébrica e a compreendeu, produzindo significado para a

mesma, mudou sua opinião. As atividades tornaram-se mais fáceis em compreender

e também em visualizar as transformações.

91

Figura 21 - Cisalhamento e rotação realizados pelos alunos


Figura 22 – Dilatação e reflexão realizadas pelos alunos


5.3 Atividade 03: Transformações Lineares Planas e Esforços Estruturais

5.3.1 Objetivos


a) Relacionar e interligar as Transformações Lineares Planas e esforços na

Engenharia Civil através das representações de imagens e escrita.

b) Associar imagens e termos algébricos e científicos na compreensão das

idéias das Transformações Lineares Planas e esforços na Engenharia Civil.

c) Produzir significado na associação das ideias e imagens trabalhadas.

5.3.2 Descrição

92

A atividade foi realizada em sala de aula e os alunos receberam material

impresso, onde deveriam relacionar a imagem com as Transformações Lineares

Planas e os esforços nas estruturas da construção civil.

Durante a atividade era permitida a troca de informações entre os colegas de

modo a gerar a socialização da aprendizagem e desse modo construir o

conhecimento sobre o conteúdo estudado.

Ao findar a execução, os alunos trocaram as atividades entre si e foi realizada

a correção das atividades através da socialização das ideias. É importante salientar

que em nenhum momento, a resposta pronta foi dada. O aplicador questionava

sempre os alunos sobre suas escolhas na associação das imagens com as ideias de

Transformações Lineares Planas e esforços nas estruturas da construção civil.

Desse modo, a ideia foi argumentada pelos alunos. Na imagem a seguir, pode-se

verificar o exemplo da correção executada pelos alunos.

Figura 23 - Correção da associação de imagens e ideias pelos alunos



No primeiro momento houve dificuldade em relacionar imagem e ideias. Tal

ação se deve ao fato de que os alunos sempre foram “mecanizados” a aprender, ou

seja, viam a teoria, aprendiam com exemplos e teriam que repetir o conteúdo

através de exercícios de fixação. Com as atividades desse trabalho, esse formalismo

93

de mecanização foi abandonado e optou-se em construir e produzir significado ao

conhecimento, diferindo, portanto das abordagens atuais para este tema.

Com relação à aplicação desta atividade notou-se que a turma A, obteve uma

maior produção de significado em relacionar imagens e termos, uma vez que

participaram mais ativamente da socialização das respostas. A troca de informações

não ficou restrita a alguns alunos, mas toda a classe participou ativamente com

perguntas, comentários e acima de tudo relacionando fatores que acontecem nas

construções civis com os termos dados.

Faz-se necessário ainda ressaltar que muitas dúvidas com relação à

construção civil foram levantadas, e o fato que mais chamou a atenção do

pesquisador é que os alunos que já trabalhavam na construção civil se interessavam

em responder às questões dos colegas demonstrando como as transformações

ocorriam dentro da Engenharia Civil.

Na turma B, pelo fato dos alunos serem mais imaturos em relação às

construções civis, a atividade não obteve tanto furor como na turma A. Os alunos

estavam mais passivos aos questionamentos do pesquisador e se mostraram pouco

participativos na correção das atividades. Desse modo os gráficos abaixo relatam a

discrepância na compreensão da atividade, uma vez que uma turma possuía maior

interesse do que a outra.

Gráfico 4 - Associação de Imagens e Ideias – Turma A


94

Gráfico 5 - Associação de Imagens e Ideias – Turma B


Finalizando as atividades, tornou-se importante registrar a produção de

significado dos alunos ao se efetuarem as atividades aqui mencionadas. Dessa

forma, optou-se em aplicar uma última atividade onde os alunos relacionariam mais

uma vez as Transformações Lineares Planas com os esforços na Engenharia Civil,

justificando a relação de tal associação.

5.4 Atividade 04: Justificando Associações

5.4.1 Objetivos:


a) Associar e produzir significado relacionando Transformações Lineares Planas

e esforços na Engenharia Civil.

b) Gerar a compreensão das Transformaçõe Lineares Planas enquanto

disciplina e motivar nos alunos a produção de significados das disciplinas

teóricas relacionando à futura profissão.

5.3.2 Descrição

Mais uma vez, a atividade seria aplicada com a permissão de consulta aos

95

colegas de modo a socializar o conhecimento, gerando assim uma contribuição

significativa à aprendizagem.

Figura 24 - Socialização da atividade de Produção de Significado


Após o relacionamento dos termos e a justificativa dos mesmos, de forma

abrangente a socialização aconteceria junto à toda a classe.


Nesta atividade, os alunos deveriam produzir significado das Transformações

Lineares Planas, relacionando os esforços na Construção Civil com estas e

justificando a escolha.

A atividade transcorreu efetivamente conforme a descrição. Durante a

socialização da mesma, os alunos estavam participativos e demonstraram com

muita sagacidade a relação entre os termos. Com a finalização dessa sequência de

atividades pode-se notar o visível crescimento na aquisição dos conhecimentos.

A aprendizagem ocorreu de forma ascendente, foi gerada com produção de

96

significado e não somente através de mecanizações e exercícios de fixação, mas de

modo a motivar a reflexão nos alunos, gerar o esforço da memória para que a

aprendizagem ocorresse como declara Selbach et al(2010):

(...) se a memorização mecânica e distante da atribuição de significado quase nada vale para a aprendizagem significativa, não pode existir uma verdadeira aprendizagem matemática sem esforço algum. (p. 27)

O primeiro esforço da construção civil a ser relacionado foi a torção. Os

alunos conseguiram associar sem problemas com a rotação e produziram

significado nas justificativas conforme abaixo discriminado:

Figura 25 - Associação de termos e produção de significado para Torção/Rotação


Como pode ser visualizado, o aluno conseguiu relacionar os termos e

descrever o que cada um produz dentro de seu uso científico seja na Engenharia,

seja na Álgebra. Tal descrição muito explicita a produção de significado uma vez que

“um estudante somente aprende quando pode atribuir significação ao que aprendeu

e, portanto, torna-se capaz de fazer uso da aprendizagem para aprender outras

coisas.” (SELBACH et al, 2010, p. 43)

O esforço da tração foi o segundo citado. Os alunos também relacionaram

bem com a dilatação. Alguns alunos questionaram se não poderia ser também

relacionado ao cisalhamento. Neste momento, o pesquisador lançou a pergunta para

a classe e a ideia do cisalhamento foi novamente retomada na Álgebra através das

visualizações no software GeoGebra. Como os alunos perceberam que no

cisalhamento uma base é fixada, a tração foi prontamente relacionada à dilatação

pelo fato de ocorrer esforço que muitas vezes dilata o objeto.

97

Figura 26 - Associação de termos e produção de significado para Tração/Dilatação


Em seguida relacionaram a compressão. Esse termo foi facilmente

relacionado e os alunos produziram o significado, muitas vezes relacionando com os

esforços físicos. Com isso, os alunos conseguiram relacionar bem os termos,

gerando a habilidade em fundamentar os termos ampliando esse saber para a futura

profissão.

Figura 27 - Associação de termos e produção de significado para Compressão/Contração


O último esforço para associação foi o cisalhamento. Nesse esforço, os

alunos conseguiram abstrair significativamente o conceito e a visualização através

do GeoGebra. Foi de fundamental importância para que a compreensão ocorresse

com a sequência didática trabalhada anteriormente.

A aprendizagem deixou de ser mecanizada através deste trabalho e passou a

ser incorporada pelos alunos como um processo simples, mas com múltiplas

representações. Isso significou uma melhor produção de significado e também uma

98

maior aplicação dos conhecimentos.

Isso requer que o caminho que o professor de Matemática percorre na administração de seu ensino, construa um processo de aprendizagem na qual o conhecimento não seja nem direta e nem indiretamente ensinado pelo professor, mas que se forme progressivamente no aluno a partir de condições estruturais muitas vezes próprias. (SELBACH et al, 2010, p. 147)

Na imagem abaixo pode-se notar a associação que o aluno fez,

demonstrando que na Transformação Linear o objeto é estendido (estirado)

enquanto que nas construções civis ao estirar o objeto o mesmo pode se romper.

Figura 28 - Associação de termos e produção de significado para Cisalhamento


Nas linhas abaixo, analisa-se três questionários de pesquisa aplicados aos

alunos do Curso de Engenharia Civil, de modo a avaliar a produção de significado

dos mesmos em relação ao trabalho desenvolvido.

5.4 Análise dos questionários de pesquisa

5.4.1 Questionário aplicado à aluna reprovada na disciplina de Álgebra Linear

Para ajudar na análise das atividades, foi aplicado um questionário para uma

aluna que cursa a disciplina de Álgebra Linear há cinco períodos. Ao longo destes

dois anos e meio, foi notada a dificuldade da aluna em relação à linguagem

algébrica, bem como em compreender bem os conteúdos estudados.

No primeiro momento, foi indagado sobre a formação da aluna na Educação

Básica em relação ao conteúdo de Álgebra, conforme pode ser visualizado na figura

99

a seguir:

Figura 29 - Resposta 1 da aluna reprovada


A resposta da aluna foi surpreendente, uma vez que a mesma tem noção de

que o conteúdo dela é bastante defasado do 6º ao 9º ano (antigo Ensino

Fundamental II que correspondia da 5ª à 8ª série). A aluna afirmou que sua

formação neste período foi em uma escola pública e chegou a ter até três

professores no mesmo ano na disciplina de Matemática, uma vez que havia

constante afastamento por motivos diversos dos professores. Em seguida, foi

argumentada a próxima questão:



Com relação à dificuldade que a aluna encontra no conteúdo de

Transformações Lineares, a aluna mencionou que possui dificuldade não somente

neste conteúdo, mas na Álgebra Linear em geral, uma vez que a mesma não

consegue relacionar a teoria com a prática na Engenharia Civil.

100



Desse modo, verifica-se que a dificuldade que muitos alunos apresentam em

relação à disciplina de Álgebra Linear refere-se à formação precária na Educação

Básica, muitas vezes com falta de capacitação de professores em lecionar os

conteúdos matemáticos e também na falta em produzir significado do conteúdo

estudado em sala de aula com a futura profissão. As Transformações Lineares

Planas dentro da Engenharia Civil, após a aplicação da sequencia didática, são

enxergadas agora pela aluna mais facilmente com associações e aplicações na

futura profissão da mesma, como pode notar-se na resposta a seguir:



Ao ser questionada se notava diferença no ensino do conteúdo de

Transformações Lineares em relação aos anos anteriores a aluna afirmou que

ocorreram mudanças positivas. Ela mencionou que as aulas foram mais objetivas,

interessantes e focadas em exemplos dentro da Engenharia Civil. A aluna afirmou

ainda que o ensino através do GeoGebra foi muito interessante e que o software é

muito útil. O último questionamento foi se a nova abordagem dada às

Transformações Lineares Planas contribuiu para a aprendizagem da aluna neste

ano. A resposta foi motivadora: com certeza. Isso foi o que a aluna escreveu, uma

101

vez que após dois anos e meio tendo este conteúdo de forma tradicional, a aluna

recebeu a nova abordagem de forma que achou mais compreensível associar no

cotidiano as transformações com os elementos da Engenharia Civil. Por fim, a aluna

mencionou que a nova abordagem dada ao tema tornaram as aulas mais

motivadoras e com aplicação.



Para o pesquisador, esse relato foi muito importante, uma vez que o mesmo

sempre via o esforço da aluna em acompanhar as aulas de Álgebra Linear, porém,

seu rendimento nas avaliações era insatisfatório. Com a nova abordagem dada ao

tema a aluna sentiu-se mais motivada na aprendizagem, ela conseguiu abstrair a

linguagem técnica da Álgebra Linear e acima de tudo ao realizar as atividades

conseguiu produzir significado às mesmas.

Continuando a análise das atividades, dois alunos que atuam na construção

civil também foram entrevistados através de questionários. O primeiro é um

arquiteto, formado há seis anos na mesma universidade que resolveu fazer o curso

de Engenharia Civil para se aprimorar em construções de grande porte. O segundo

é um encarregado de obras que atua no mercado de construção civil há vinte e três

anos anos. Para melhor análise dos questionários, o arquiteto será também

chamado de profissional 1 e encarregado de profissional 2.

5.4.2 Análise dos questionários dos profissionais da Construção Civil

A primeira pergunta levantada foi como os profissionais exergavam os

esforços na Construção Civil em relação à profissão. Segundo o encarregado de

obras ele visualiza os esforços na análise do projeto estrutural: nos corpos dos

102

pilares, nas vigas e distâncias entre seus vãos, nas lajes e conhecendo bem tais

esforços pode fazer conferência na base da fundação da obra. O arquiteto

mencionou que são de extrema importância, uma vez que a estabilidade das

construções está diretamente relacionada à estabilidade dos esforços. As respostas

podem ser analisadas na sequência:

Figura 34 - 1ª Resposta do profissional 1




Ao serem questionados se encontraram dificuldade em relacionar a profissão

com as Transformações Lineares Planas a resposta foi unânime: não encontraram

dificuldades. O profissional 1 afirmou que o estudo de Álgebra Linear evidencia o

comportamento da estrutura quando submetido a qualquer tipo de esforço. Já o

profissional 2, mencionou que a dificuldade encontrada foi em relacionar com os

nomes científicos, seja na Engenharia Civil ou nas Transformações Lineares. Pode-

se confirmar isso, pelas respostas:



103



A terceira questão indagava se conseguiam relacionar os esforços na

Construção Civil com as Transformações Lineares Planas e no caso afirmativo,

pedia para citar exemplos. A afirmação foi positiva com os pesquisados. O

profissional 1 citou que os pilares sofrem compressão equivalendo a contração em

Transformação Linear. As vigas, quando solicitadas sofrem tração que é equivalente

à dilatação. Quando a solicitação for superior a capacidade de resistência, elas

entram em colapso ocorrendo o cisalhamento. O profissional 2 citou que as vigas

sofrem cisalhamento devido à distância dos pilares, a compressão ocorre em pilares,

dilatação e contração nas lajes, tração no telhado.





104

O questionamento final refere-se em como as Transformações Lineares

poderiam ajudá-los em suas profissões. O profissional 1 afirmou que ajuda a

entender melhor os comportamentos das estruturas mediante os esforços

solicitantes. Já o profissional 2 mencionou que com as Transformações Lineares

Planas bem compreendidas ela poderia debater com os engenheiros quando

analizasse os projetos em que possuísse dúvidas em relação à sua execução.





Como pode-se notar no teor das respostas, o arquiteto pela sua formação tem

uma visão mais acadêmica das Transformações Lineares Planas. Ele enxerga com

maior rigor científico a relação entre os esforços nas estruturas e as transformações.

O encarregado de obras por sua vez, tem um conhecimento com a práxis2 que

adquiriu ao longo dos anos de trabalho. É importante salientar que mesmo que a

forma de agregar o conhecimento se difiram, ambos tem uma visão previlegiada ao

fazer a relação entre a teoria algébrica e a aplicação prática.

2Do grego prâksis, -eos, .ação, .transação, negócio. Ação e, sobretudo, ação para um certo fim (por oposição a conhecimento, a teoria). Fonte: Dicionário Priberam da Língua Portuguesa.

105

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com relação ao ensino de Álgebra Linear nos curso de Engenharia faz-se

necessário um repensar pedagógico no que tange à novas metodologias e práticas

para que a abstração do conteúdo não se torne junções mecanizadas de termos

técnicos ligadas à mecanização de exercícios.

O novo repensar dessa disciplina deve gerar uma produção de significado dos

alunos no que se refere à aprendizagem. Torna-se necessário a criação de materiais

matemáticos cujo foco seja o curso no qual a disciplina é lecionada, uma vez que tal

fator agregará aos estudantes a vinculação entre teoria e prática dentro da futura

profissão.

No que tange ao Ensino de Transformações Lineares Planas dentro do curso

de Engenharia Civil, a aplicação é bem funcional e plausível; o que propicia ao

aprendizado um engajamento maior dos alunos e também uma melhor assimilação

deste conteúdo pelos mesmos.

O uso de sequencias didáticas com recurso computacional é um auxílio

inigualável ao professor da disciplina de Álgebra Linear. Através da sequência

didática os alunos são motivados a compreender o conteúdo de uma forma

ascendente. Através do recurso computacional, os discentes podem visualizar

melhor a a teoria sendo transformada em signos geométricos, como o caso deste

trabalho.

As múltiplas representações de um mesmo objeto propiciam aos estudantes

formas variadas de compreendê-lo gerando assim uma aprendizagem realmente

significativa e instigadora. As representações em mútliplas imagens e também em

linguagens diversificadas como a algébrica e a geométrica enriquecem o processo

de retenção do conhecimento lecionado pelo professor.

A socialização das práticas também é um diferencial no processo de

aprendizagem. Através da troca de experiências os alunos podem organizar melhor

as informações trabalhadas e redirecionar as questões para uma melhor

especificidade do conteúdo.

Através dos dados tabulados, notou-se a crescente produção de significado

para o ensino de Transformações Lineares Planas dentro da Engenharia Civil.

Torna-se importante ressaltar que na sondagem inicial grande parte dos alunos

106

desconheciam os esforços das estruturas nas construções civis, porém ao longo

deste estudo conseguiram compreender as relações entre tais objetos de estudo e

as Transformações Lineares Planas.

Com os resultados obtidos, nota-se que a aprendizagem dos alunos de

Engenharia Civil converge para maiores produções de significado ao se utilizar o

recurso das múltiplas representações, fator este essencial na representação

semiótica. O uso da sequência didática também torna-se extremamente instigante

no que tange ao aprimoramento do conhecimento “a priori”3 divulgado pelo

professor regente, cumprindo-se assim os objetivos específicos de criar uma

sequência didática em que conceito e linguagem das Transformações Lineares

fosse compreendido pelos alunos. O objetivo de conceber situações em que os

conteúdos de Transformações Lineares fossem associados pelos alunos à

Engenharia Civil também foi cumprido.

Mediante tais conclusões, pressupõe-se que incentivar e instigar aos

professores do Ensino Superior a criação de materiais matemáticos próprios ao

curso em que leciona, torna-se um caminho para que a aprendizagem dos alunos

nas universidades torne-se mais significativa e menos tecnicista. Torna-se

necessário a vinculação da teoria ligada à realidade vivenciada no curso. Desse

modo, a Matemática muitas vezes tão distante da realidade do aluno torna-se um elo

mais próximo no que tange à aprendizagem no Ensino Superior.

Trabalhar com o aluno, associando múltiplas representações e este

produzindo significado é extremamente funcional nos dias atuais, onde os alunos

são compelidos por uma massa imensa de conhecimento, porém muitas vezes não

veem a aplicação destes.

Pelas múltiplas representações, os alunos puderam compreender os

conceitos algébricos estudados e relacioná-los à sua futura prática como

profissional. Esse é o conhecimento que não se exaure com o tempo. Com a

produção de significado o conhecimento não se extenue, ao contrário, solidifica e

3(locução latina, com significado de "a partir do que é anterior", de a, a partir de, desde, de + prior, prius, que está mais à frente, precedente, anterior). Fonte: Dicionário Priberam da Língua Portuguesa.

107

embaseia ainda mais as futuras aprendizagens.

A abordagem realizada no presente estudo não está exaurida, ela apenas

busca responder com coerência aos problemas levantados sobre o tema. Torna-se

um caminho norteador para o desenvolvimento de propostas de aplicação em outros

cursos do Ensino Superior que possuam como base a Matemática.

Todavia, espera-se que propostas similares futuras aprofundem o tema

abordado, desenvolvendo maiores transformações positivas aos cursos no Ensino

Superior, corroborando em atrelar conhecimento matemático e aplicação dentro da

futura profissão do estudante.

108

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http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Producao%20/2007cobenge_tensoes_algebra_linear_1_.pdf

http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Producao/2007%20cobenge_tensoes_algebra_linear_1_.pdf

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112

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ROSA, Odiléia da S. et al. Explorando as transformações lineares no plano, através do software WINPLOT, Revista TECCEN, São Paulo v.2, n. 2, set. 2009 – ISSN 1984-0993. RONNEY, Anne. A Historia da Matemática - Desde a criação das pirâmides até a exploração do Infinito, São Paulo: M.Books do Brasil, 2012. 216p. SANTAELLA, L. O que é semiótica. São Paulo: Brasiliense, 1983. 103p. SHACKELFORD, James F. Ciência dos Materiais. 6. ed., São Paulo: Pearson, 2008, 556p. SHIFRIN, Theodore; ADAMS, Malcolm R. Álgebra Linear: Uma abordagem Geométrica. 2 . ed. Rio de Janeiro: Editora LTC/GEN, 2013, 359p. SELBACH, Simone et al. Matemática e didática, São Paulo: Ed. Vozes, 2010. 166 p. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à Álgebra Linear, São Paulo: Makron Books, 1997. 245p.

TEIXEIRA, Paulo Jorge Magalhães et al. O ensino de Transformações Lineares com o auxílio do CABRI. 2011, XIII CIAEM. Disponível em: <http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/989/365> Acesso em 31 mar. 2013. ZABALA, Antoni. A prática educativa. Tradução: Ernani F. da F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998, 224p.



http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/989/365

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/989/365

113

APÊNDICE

114

APÊNDICE A – ATIVIDADE 01 - SONDAGEM INICIAL

Relacione a descrição ao termo correto:

( ) é a força aplicada sobre um corpo numa direção perpendicular à sua superfície

de corte e num sentido tal que, possivelmente, provoque a sua ruptura. Nas

construções ocorre quando sua estrutura sofre estiramento ou afastamento.

( ) é um resultado da aplicação de uma força de compressão a um material,

ocorrendo uma redução no seu volume, ou, como declarado em resistência dos

materiais e conceituado na engenharia, uma redução de uma de suas dimensões.

( ) Nas estruturas, especialmente as cilíndricas, quando ocorre o efeito de um

torque e uma força resistente, ela tende a sofrer rotação. As deformações causadas

a uma estrutura que sofre esse esforço são deslocamentos angulares de uma seção

em relação à outra.

( ) é um tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos iguais ou até

mesmo opostos, em direções semelhantes, porém com intensidades diferentes no

material analisado

(1) Cisalhamento

(2) Compressão

(3) Torção

(4) Tração



http://pt.wikipedia.org/wiki/Volume



http://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o


115

APÊNDICE B – ATIVIDADE 02 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS COM

RECURSO COMPUTACIONAL

Prezado aluno,

Caso não possua instalado o software GEOGEBRA 4.2 Beta Release, instale-o

através do link: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Essa atividade possui as seguintes seções:

- Você deverá executar a atividade no software e seguir os

comandos dados.

- Você receberá embasamento teórico do

conteúdo a ser estudado.

- Você deverá responder às atividades baseando no que

executou no software.

- Você deverá relacionar a Geometria construída com

a notação algébrica mencionada.

BONS ESTUDOS!!!

ACREDITE, VOCÊ É CAPAZ!!

PROF. LEANDRO TELES

O GeoGebra possui a seguinte interface:

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm

116

No lado esquerdo ficarão as ações executadas. Existem os botões de

comando (arquivo, editar, exibir, etc). E a barra de ferramentas. Por ser um passo

inicial na utilização desse software, usaremos os comandos predefinidos.

Vamos iniciar nosso estudo de Transformações Lineares Planas.

I) REFLEXÕES: essa transformação leva cada ponto (x, y) para sua imagem

simétrica em relação ao eixo onde ocorre a reflexão, gerando a transformação com a

matriz canônica.

em torno do eixo das abscissas: (x, -y)

e) digite e defina um ponto na aba entrada. Por exemplo: A=(1,3)

f) utilize o comando predefinido: Reflexão[ <Objeto>, <Reta> ]

g) Para refletir o objeto em relação ao eixo das abscissas substitua no comando

Objeto por A e reta por y=0 Reflexão[A, y = 0]

h) Trace um vetor indicando a reflexão selecionando e em seguida

Você pode mudar a cor, tamanho e forma dos objetos traçados clicando com

o botão direito sobre o objeto e escolhendo o efeito que irá dar à sua representação

geométrica. Se o desejo for mudar a cor, estilo ou outros atributos escolha a opção

propriedades

117

, em seguida selecione a função desejada.

Podemos refletir também outros objetos como vetores, círculos, polígonos.

i) Vetores: digite na aba entrada o comando vetores e selecione o atributo

Vetor[ <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ]. Digite em ( )(parênteses) o ponto inicial e

final do vetor. Por exemplo vetor[(0,0),(2,3)]. Para refletir o vetor em relação ao eixo

x, utilize o comando mencionado anteriormente Reflexão[ <Objeto>, <Reta> ],

substituindo o objeto pelo nome do vetor e reta pelo eixo a ser refletido no caso y=0.

Trace um vetor indicando a reflexão. Você pode utilizar o comando , para

nomear sua reflexão.

Com o comando , você pode efetuar a reflexão em torno do eixo

x, apenas alterando o nome do objeto (que é mostrado na aba à esquerda) e em

torno da reta x utilizando o comando y=0 para reta.

Note que a matriz de transformação altera sempre um sinal do eixo. Qual

é esse eixo? Por que isso ocorre?

118

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R


x x x

y y y

em torno do eixo das ordenadas: (-x, y)

Baseando no que aprendeu anteriormente, como executar a reflexão em

torno do eixo y?

Note que a matriz de transformação também altera sempre um sinal do

eixo. Qual é esse eixo? Por que isso ocorre?

É preciso trocar um comando na reflexão. Qual comando será alterado?

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R


x x x

y y y

na origem do sistema: (-x, -y)

Para executar a reflexão na origem do sistema utilize o comando Reflexão[

<Objeto>, <Ponto> ]. Altere o nome do objeto para o algum que você já tenha

traçado.

Como a reflexão é em torno da origem do sistema, e este é definido por

um ponto, qual é este ponto que deverá substituir o comando?

O que você notou em relação às coordenadas de seu objeto?

Entendido o conceito, quando ocorre a reflexão em torno da origem do

sistema as coordenadas sofrem ___________ do sinal. Ou seja, refletem com

seus valores ____________.

119

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 0

0 1

T R R


x x x

y y y

em torno da reta y = x: (y, x)

Como a alteração agora é em torno da reta y=x, o que fazer no comando

de reflexão do programa para que ela ocorra?


Conclua: Quando ocorre uma reflexão em torno da reta identidade (y=x),

a coordenada das abscissas (x) troca com a coordenada das

___________________. Em consequência a coordenada das ordenadas (y)

troca com a coordenada das ________________.

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

0 1

1 0

T R R


x y x

y x y

em torno da reta y=-x: (-y, -x)

Como a alteração agora é em torno da reta y=-x, o que fazer no comando

de reflexão do programa para que ocorra a reflexão?


Conclua: Quando ocorre uma reflexão em torno da reta identidade (y=-x),

a coordenada das abscissas (x) troca com a coordenada das

___________________. Em consequência a coordenada das ordenadas (y)

troca com a coordenada das ________________. Alterando também o

_________ das coordenadas.

2 2:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

0 1

1 0

T R R


x y x

y x y

120

II) DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES: essa transformação contrai ou dilata o espaço

vetorial, associando sempre um escalar c na transformação

na direção do vetor:

Trace um vetor com ponto inicial na origem através do comando vetor: Vetor[

<Ponto Inicial>, <Ponto Final> ].

j) Para dilatar o vetor use o comando escalarvetor.

k) Substitua objeto pelo nome do vetor. Se quiser dilatar o vetor, basta associar

um escalar maior que 1 ao vetor. Por exemplo: 2u, neste caso dilata duas vezes o

vetor. Se for contrair o vetor associe escalares entre 0 e 1, por exemplo 1/5. 1/5u.

O que você notou em relação às coordenadas na dilatação? E na contração?

E se o escalar for menor do que 0, o que acontece?

Quando dilatamos ou contraímos através de Transformações Lineares, ocorre

a _____________________ das coordenadas pelo escalar usado.

2 2:

( , ) ( , ),

1,

1,

1, 1

0,

T R R

x y c x y c R

x x cxc

y y cy



c atransformaçãoé identidade

c atransformação trocaosentidodovetor

na direção do eixo das abscissas:

Se a dilatação ocorre no eixo das abscissas, usamos o comando na entrada

Esticar[ <Objeto>, <Reta>, <Razão> ], substituindo o objeto pelo seu respectivo

nome, no lugar de reta fixamos a abscissa do vetor e em seguida dilatamos ou

contraímos o vetor de acordo com a razão colocada (escalar).Por exemplo, se o

121

vetor traçado tiver ponto inicial na origem e final em (1,2) o comando ficará assim

definido: Esticar[ u, x=1, 1/2 ].

Trace uma reta paralela ao eixo das abscissas. Para isso basta dar o

comando y = o valor da ordenada de seu vetor.

Note que os vetores tendem a se aproximar para uma reta paralela ao

eixo das abscissas. Qual é essa reta?

Que relação ela tem com a coordenada do vetor inicial?


contração?

2 2:

( , ) ( , ), 0

0

0 1

1,

0 1,

T R R

x y cx y c

x cx c x

y y y



na direção do eixo das ordenadas:

Como você pode fazer a dilatação e contração em relação ao eixo das

ordenadas?

Que comando você deve alterar? Por quê?

Note que os vetores tendem a se aproximar para uma reta paralela ao

eixo das ordenadas. Qual é essa reta?


contração?

122

2 2:

( , ) ( , ), 0

1 0

0

1,

0 1,

T R R

x y x cy c

x x x

y cy c y



Observação: Se c = 0, em relação às abscissas ou às ordenadas a projeção seria

sobre o eixo inverso.

III) CISALHAMENTO: é o efeito de transformar um vetor através da combinação de

escalares nas coordenadas. Apesar da mudança na estrutura, a base mantém-se a

mesma, em consequência a área formada pela figura também se mantém a mesma.

na direção das abscissas:

Trace um vetor com o comando Vetor [ <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ].

Utilize na entrada o comando predefinido: Cisalhamento[ <Objeto>, <Reta>,

<Razão> ]. Substitua o objeto pelo nome do vetor. Como queremos cisalhar em

relação ao eixo das abscissas, utilizaremos a reta da ordenada nula, ou seja, y=0 no

lugar de reta. Defina a razão que deseja cisalhar.

Para uma melhor visualização trace um polígono no vetor inicial. Use os

comandos A = (0,0) (enter) B = (0, y do vetor inicial) (enter) C = ( x do vetor

inicial, 0) (enter) D = (x do vetor inicial, y do vetor inicial) (enter). Clique no ícone

polígono e selecione a opção polígono, fechando clicando em todos os pontos

traçados até fechar o polígono.

123

Trace um polígono também para visualizar melhor o cisalhamento. Chame

de B’ e D’ os pontos deslocados (cisalhados). Digite: D’ = (x final do vetor cisalhado,

y final do vetor cisalhado) (enter) B’ = (x é a constante cisalhada vezes o y do

vetor inicial, y inicial do vetor cisalhado) (enter). Efetue a ligação do polígono com os

pontos dados através do comando polígono citados anteriormente.





2 2:

( , ) ( , )

1

0 1

T R R

x y x cy y

x x cy c x

y y y

na direção das ordenadas:

Trace um vetor conforme discriminação já mencionada.

Efetue o cisalhamento de acordo com o comando também discriminado

anteriormente, fazendo as devidas alterações. Observação: Se quiser cisalhar para

124

cima utilize a constante negativa. Se for para baixo utilize a constante positiva.

Para traçar o polígono para melhor visualização utilize o comando:

A=origem do sistema cartesiano, B=(x do vetor traçado, 0), C=(x do vetor

traçado, y do vetor traçado), D=(0, y do vetor traçado)

Para montar o polígono cisalhado, trace: C’=(x do vetor cisalhado, y do vetor

cisalhado), B’=(x do vetor original, y do vetor original)

O que você precisou trocar para efetuar o cisalhamento?





2 2:

( , ) ( , )

1 0

1

T R R

x y x y cx

x x x

y y cx c y

IV) ROTAÇÃO: em torno da origem faz cada ponto descrever um ângulo que no

caso chamaremos de , determinando uma transformação linear 2 2:T R R , de

onde extraímos a matriz canônica cos

cos

senT

sen

. Essa matriz é

denominada matriz de rotação do ângulo , cuja variação é de 0 2 .

Trace um vetor conforme discriminação já mencionada.

Efetue a rotação substituindo o pelo ângulo que se deseja rotacionar na

matriz de transformação dada na seção aprendendo mais e multiplicando pelas

coordenadas finais do vetor traçado.

125

O produto matricial será o vetor rotacionado.

Verifique o ângulo traçado através dos comando ângulo na aba:

Selecione a opção:

Clique no primeiro vetor e em seguida no vetor rotacionado. O ângulo será

descrito automaticamente.

O que notou em relação à rotação?

Por que isso acontece?

Como efetuar novas rotações utilizando a matriz de transformação?

126

APÊNDICE C – ATIVIDADE 03 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES E ESFORÇOS

ESTRUTURAIS

Relacione as imagens com as Transformações Lineares Planas (reflexão, rotação,

cisalhamento, dilatação e contração) e com os esforços em estruturas das

construções civis (torção, tração, cisalhamento, compressão):

Fonte: http://www.blogdobraulio.com/2010_08_01_archive.html, acesso em 17/10/2013

Fonte: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/elevador/elevador.php, acesso em 17/10/2013

Fonte: http://www.arq.ufsc.br/arq5661/trabalhos_2003-1/pontes/Viga%20Trelicada.htm, acesso

em 17/10/2013

Transformação Linear Plana:

__________________________________

Esforço na estrutura da construção

civil:____________________________


__________________________________


civil:____________________________


__________________________________


civil:____________________________

http://www.blogdobraulio.com/2010_08_01_archive.html

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/elevador/elevador.php

http://www.arq.ufsc.br/arq5661/trabalhos_2003-1/pontes/Viga%20Trelicada.htm

127

Fonte: http://acropoleengenharia.com.br/dicionario.html, acesso em 17/10/2013

Fonte: http://coral.ufsm.br/decc/ECC1008/Downloads/ELS_NBR6118.pdf, acesso em 17/10/2013

Fonte: http://spartaepa.blogspot.com.br/2012/03/bielas-forjadas-em-primeiro.html, acesso em

17/10/2013


__________________________________


civil:____________________________


__________________________________


civil:____________________________


__________________________________


civil:____________________________

http://acropoleengenharia.com.br/dicionario.html

http://coral.ufsm.br/decc/ECC1008/Downloads/ELS_NBR6118.pdf

http://spartaepa.blogspot.com.br/2012/03/bielas-forjadas-em-primeiro.html

128

APÊNDICE D – ATIVIDADE 04 – JUSTIFICANDO AS ASSOCIAÇÕES

Associe as Transformações Lineares Planas (reflexão, rotação, cisalhamento,

dilatação e contração) aos esforços das estruturas em construção civil,

justificando a relação:

I) Torção __________________________(Transformação Linear).

Justificativa:_______________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

II) Tração __________________________(Transformação Linear).

Justificativa:______________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

III)Compressão ______________________(Transformação Linear).

Justificativa:______________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Cisalhamento ______________________(Transformação Linear) .

Justificativa:_______________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

129

APÊNDICE E – QUESTIONÁRIO APLICADO À ALUNA REPROVADA POR

CINCO PERÍODOS

130

APÊNDICE F – QUESTIONÁRIO APLICADO AO ALUNO ARQUITETO

131

APÊNDICE G – QUESTIONÁRIO APLICADO AO ALUNO ENCARREGADO DE

OBRAS

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS … · converge para maiores produções de...

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