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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática Aníbal Ataides Barros Filho A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FÍSICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM: Análise gráfica com o software Maple. Belo Horizonte 2012
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Aníbal Ataides Barros Filho
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FÍSICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM:
Análise gráfica com o software Maple.
Belo Horizonte
2012
Aníbal Ataides Barros Filho
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FÍSICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM:
Análise gráfica com o software Maple.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade Católica
de Minas Gerais, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2012
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Barros Filho, Aníbal Ataides
B277r A resolução de problemas físicos com equações diferenciais ordinárias
lineares de 1ª e 2ª ordem: análise gráfica com o software Maple / Aníbal
Ataides Barros Filho. Belo Horizonte, 2012.
228f.: il.
Orientador: João Bosco Laudares
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Equações diferenciais ordinárias – Estudo e ensino. 2. MAPLE (Programa
de computador). 3. Computação gráfica. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino
de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 517.91
Aníbal Ataides Barros Filho
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FÍSICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM:
Análise gráfica com o software Maple.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Ensino de Matemática.
Prof. Dr. João Bosco Laudares - (Orientador) - PUC Minas
Prof. Dr. Frederico da Silva Reis - UFOP
Profa. Dra. Maria Clara Rezende Frota - PUC Minas
Belo Horizonte, 26 de julho de 2012.
Ao professor Célio Ignácio que me iniciou
no mundo da Matemática.
AGRADECIMENTOS
Ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC
Minas, pela qualidade do curso.
Ao Professor João Bosco Laudares, meu orientador e, antes de tudo, um amigo, por
ter confiado no meu trabalho, e orientado de forma segura, todos os passos da
minha pesquisa.
A todos os professores do mestrado e em especial aos professores Dimas Felipe de
Miranda, Eliane Scheid Gazire e Maria Clara Rezende Frota por terem me conduzido
pelas sendas da pesquisa.
A professora Eunice dos Santos que nos momentos mais difíceis de nossa vida,
acreditou em nosso potencial e nos estendeu a mão.
Ao Professor Wagner Pereira Lopes, incentivador, amigo, irmão e companheiro de
longas viagens.
Aos meus filhos Hertz e Anielly que sempre me deram muita alegria, por me
inspirarem e me encherem de forças.
Aos meus pais, Aníbal e Clomisse, por terem me ensinado, por meio de exemplos,
que acima de tudo um homem precisa ter caráter.
À psicóloga, companheira, amiga de todos os momentos, grande incentivadora,
Terezinha do Carmo Nogueira Nascimento.
Ao Instituto Federal de Goiás por ter me oportunizado condições para desenvolver
este trabalho.
As irmãs Maria Helena, Sandra e “Cida” pela acolhida sempre carinhosa nas viagens
a Belo Horizonte.
Aos amigos da “praça sete”, Rogerio Borges Vieira e Ricardo Uzêda Pache de Paiva
pelos momentos de descontração e encorajamento nos períodos de estadia em Belo
Horizonte.
Aos acadêmicos do 3º período do curso de Engenharia Elétrica/2011 do Câmpus
Jataí do Instituto Federal de Goiás que se propuseram a fazer parte desta pesquisa,
que mesmo em horários extraclasse se dedicaram com afinco na realização das
atividades.
Ao professor Elenilson Vargas Fortes por ter oportunizado a realização do estágio e
aplicação da proposta de ensino em suas turmas.
Ao professor Danillo Vaz Borges de Assis por disponibilizar um dos laboratórios da
Coordenação de Informática para implementação da proposta.
A todos os meus colegas mestrandos, pelos momentos compartilhados e pela
amizade construída ao longo do curso.
Escrevo para que o aprendiz possa sempre aperceber-se do fundamento
interno das coisas que aprende, de tal forma que a origem da invenção
possa aparecer e, portanto, de tal forma que o aprendiz possa aprender
tudo como se o tivesse inventado por si próprio. (LEIBNIZ, 2012).
RESUMO
Esta dissertação apresenta uma pesquisa, que objetivou buscar as contribuições
das metodologias de Resolução de Problemas e Descoberta Guiada, mediadas por
Tecnologias de Informação e Comunicação tanto para uma aprendizagem mais
significativa no Ensino de Equações Diferenciais Ordinárias quanto para aplicações
em situações problemas das ciências. Elaborou-se cinco atividades de Equações
Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem, envolvendo problemas físicos,
usando as abordagens analítica e geométrica com ênfase na análise gráfica. As
atividades foram desenvolvidas pela turma de Equações Diferenciais Ordinárias do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
de Goiás – Câmpus Jataí no segundo semestre de 2011. Os dados foram coletados
por meio de vídeos gerados pelo software Camtasia Studio em cada computador em
que os estudantes desenvolviam as atividades. Optou-se por uma pesquisa de
caráter qualitativo para obtenção de dados de forma descritiva no contato direto do
pesquisador com o objeto. A análise dos dados permite inferir que o ambiente
criado, a interação entre os estudantes, as negociações de significados entre as
duplas de estudantes, os recursos computacionais, as comparações e
interpretações de resultados se mostraram relevantes para a aprendizagem mais
efetiva das Equações Diferenciais com resolução de problemas. O desenvolvimento
das atividades ocorreu de forma lenta e, os estudantes tiveram dificuldades de
adaptação ao trabalharem com uma metodologia diferente da tradicional. O produto
desta pesquisa (apêndices) se anuncia como uma proposta de aprendizagem por
Resolução de Problemas no ensino de Equações Diferenciais.
Palavras-chave: Ensino de Equações Diferenciais. Problemas Físicos. Análise
Gráfica.
ABSTRACT
This dissertation presents a research that aimed to gather the contributions of the
methodologies of Problem Solving and Guided Discovery, mediated by Information
and Communication Technologies both for a more meaningful learning in Teaching of
Ordinary Differential Equations and for applications in problem situations of sciences.
It was prepared five activities of First and Second Order Linear Ordinary Differential
Equations involving physical problems, using the analytical and geometrical
approaches with an emphasis on graphical analysis. The activities were developed
by the class of Ordinary Differential Equations of Electrical Engineering degree from
the Federal Institute of Education, Science and Technology of Goiás - Campus Jataí
in the second semester of 2011. The data were collected through video generated by
software Camtasia Studio on each computer on which the students developed
activities. It was decided by a qualitative research to obtain data in a descriptive way
in direct contact of the researcher with the object. The data analysis allows us to infer
that the environment created, the interaction between students, the negotiations of
meanings between the pairs of students, the computing resources, the comparisons
and interpretations of results demonstrated that they are relevant for a more effective
learning of Differential Equations with problems solving. The developing of activities
occurred slowly and students had difficulties in adapting when they worked with a
different methodology from the traditional one. The product of this research
(appendices) announces itself as a learning proposal by Problem Solving in
Differential Equations teaching.
Keywords: Differential Equations teaching. Physical Problems. Graphical Analysis.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Esquema representativo da Teoria da Equilibração de Piaget. ................ 38
Figura 2 - Campo de direções da equação ydxdy / gerado no Maple 14. ............ 55
Figura 3 - Sequência temática de Dennis G. Zill ....................................................... 69
Figura 4 - A sequência temática de Boyce e DiPrima. .............................................. 72
Figura 5 - Processo de modelagem matemática segundo Bassanezi. ...................... 81
Figura 6 - Estudantes do curso de Engenharia Elétrica desenvolvendo atividades no laboratório 03 do IFG-Câmpus Jataí mediadas pelo software MAPLE .. 96
Figura 7 - Resolução gráfica do PVI 8)0(;10)( Vdttdv gerado no Maple 14. .. 106
Figura 8 - Posições da mola em um movimento harmônico simples. ...................... 117
Figura 9 - Anotações extraídas da worksheet da dupla Gabriel e Leonardo geradas no Maple 14. ......................................................................................... 123
Figura 10 - Fragmentos da resolução do modelo extraído do problema 1 da worksheet da dupla Maick e Larissa gerados no Maple 14. ................. 124
Figura 11 - Fragmentos da resolução do modelo do problema 1 extraído da worksheet da dupla José Roberto e Marcílio gerados no Maple 14. .... 125
Figura 12 - Protocolo de resolução do modelo do problema 01 apresentado pelo aluno Gabriel. ....................................................................................... 126
Figura 13 - Campo de direções da ED 10)(
dt
tdv extraído da worksheet da dupla
Gabriel e Leonardo gerado no Maple 14. ............................................. 127
Figura 14 - Resposta apresentada ao item b da análise gráfica do modelo extraída da worksheet da dupla Caio e Russyllianno gerada no Maple 14. ....... 128
Figura 15 - Resolução gráfica do PVI 10)(
dt
tdv para smvt /80 0 extraída
da worksheet da dupla Maick e Larissa gerada no Maple 14. .............. 131
Figura 16 - Fragmentos mostrando erros de sintaxe extraído da resolução do problema 1 da worksheet da dupla Maick e Larissa gerados no Maple 14. ........................................................................................................ 133
Figura 17 - Fragmentos de imagens dos vídeos gerados pelo Camtasia Studio 7 mostrando erros de sintaxe cometidos pelos participantes da pesquisa. ............................................................................................................. 135
Figura 18 - Campo de direções da equação diferencial )( mTTkdt
dTextraído da
worksheet da dupla Maick e Larissa gerado no Maple 14. ................... 135
Figura 19 - Estudo do sinal de dtdT baseado no campo de direções da equação
)( mTTkdtdT , extraído da worksheet da dupla Caio e Russylliano gerado no
Maple 14. ................................................................................................ 136
Figura 20 - Imagem extraída da resolução do problema 2 da dupla Gabriel e Leonardo no momento em que tentavam corrigir o erro de sintaxe acessando o site do fabricante do software Maple, gerada no Camtasia Studio 7. ............................................................................................... 138
Figura 21 - Resolução do modelo do problema 3 extraído da worksheet da dupla Tatielly e Kalielly gerada no Maple 14. ................................................. 140
Figura 22 - Resolução gráfica do PVI )(tEiRdtdiL para a condição Ai 15)0( , e
construção do gráfico dtdi por i extraídos da worksheet da dupla
Leonardo e Gabriel geradas no Maple 14. ........................................... 141
Figura 23 - Gráfico da função teti 2114)( extraído da worksheet da dupla José
Roberto e Marcílio gerado no Maple 14. .............................................. 141
Figura 24 - Gráfico da função teti 2114)( extraído da worksheet da dupla Kalielly
e Tatielly gerado no Maple 14. ............................................................. 142
Figura 25 - Resolução do modelo do problema 04 extraído da worksheet da dupla Maick e Larissa gerado no Maple 14. ................................................... 144
Figura 26 - Construção do campo de direções da Equação Diferencial )()(
tmkdt
tdm
extraído da worksheet da dupla Kalielly e Tatielly gerado no Maple 14. ...... 145
Figura 27 - Construção do gráfico de tdt
dm extraído da worksheet da dupla José
Roberto e Marcílio gerado no Maple 14. .............................................. 146
Figura 28 - Resolução gráfica do PVC: mkdt
dm para
%)90(9.0250
%)100(10
mt
mtextraído da worksheet da dupla Gabriel e
Leonardo gerado no Maple 14. ............................................................ 148
Figura 29 - Imagem extraída dos vídeos geradas no Camtasia Studio 7 mostrando erros de sintaxe cometidos pelos estudantes....................................... 148
Figura 30 - Posições da mola no movimento livre não amortecido. ........................ 150
Figura 31 - Cálculo da função )(tx que determina a posição em função do tempo no
movimento livre da mola extraído da worksheet da dupla Caio e Russyllianno gerado no Maple 14. ....................................................... 151
Figura 32 - Resposta gráfica apresentando a posição da mola extraída da worksheet da dupla Maick e Larissa gerada no Maple 14. .................................... 152
Figura 33 - Representação gráfica das funções )(tx e )(tv extraída da worksheet da
dupla Leonardo e Gabriel gerada no Maple 14. ................................... 154
Figura 34 - Campo de direções da Equação Diferencial
)(6260004214420,0 tmdtdm extraído da worksheet da dupla Maick e
Larissa gerado no Maple 14. ................................................................ 158
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Comparação de Métodos Baseados na Inquirição para o Ensino da
Matemática. ............................................................................................................... 39
Quadro 2 - Descrição resumida dos quatro estudos desenvolvidos por Dullius. ....... 86
Quadro 3 - Situações-problema abordadas na prática pedagógica por Dullius. ....... 87
Quadro 4 - Esquema representativo do padrão de apresentação dos problemas. . 102
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 27 1.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 31 1.2 Objetivos Específicos ...................................................................................... 31 1.3 Resumo da Metodologia .................................................................................. 31 1.4 A Estrutura da Dissertação ............................................................................. 32 2 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA DESCOBERTA GUIADA E AS TICs . 34 2.1 Educação Matemática ....................................................................................... 34 2.2 O Método da Descoberta Guiada ..................................................................... 36 2.3 Resolução de Problemas .................................................................................. 40 2.4 Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) na educação ................ 49 2.4.1 O Processo de Visualização ......................................................................... 53 3 O ENSINO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ........................................................ 58 3.1 Extratos de pesquisas e estudos ..................................................................... 58 3.2 Análise do Conteúdo de Equações Diferenciais em Livros Didáticos ........ 65 3.3 Produção Acadêmica: síntese de algumas pesquisas .................................. 75 4 A CONSTRUÇÃO DA PESQUISA E A ELABORAÇÃO DOS PROBLEMAS
COMO ATIVIDADES GUIADAS ............................................................................ 90 4.1 Introdução .......................................................................................................... 90 4.2 Procedimentos Metodológicos ........................................................................ 92 4.3 Coleta de Dados ................................................................................................ 93 4.4 Os Participantes da Pesquisa .......................................................................... 94 4.5 Aplicação das Atividades ................................................................................. 95 4.6 Produto da Dissertação .................................................................................... 97 4.7 O Software MAPLE ............................................................................................ 97 4.8 O Software CAMTASIA STUDIO ....................................................................... 99 4.9 Apresentação das Atividades Constituídas por Problemas .......................... 99 4.9.1 Design da Proposição dos Problemas que Definiram as Atividades ...... 101 4.9.2 Apresentação dos Problemas ..................................................................... 103 5 RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS E OS RESULTADOS ALCANÇADOS ........ 121 5.1 Introdução ....................................................................................................... 121 5.2 Descrição Analítica da Resolução dos Problemas ..................................... 121 5.2.1 Problema 1 .................................................................................................... 121 5.2.2 Problema 2 ................................................................................................... 133 5.2.3 Problema 3 ................................................................................................... 139 5.2.4 Problema 4 ................................................................................................... 143 5.2.5 Problema 5 ................................................................................................... 149 5.3 Aprofundamento da Análise Buscando Diálogo com o Referencial Teórico
.......................................................................................................................... 155 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 161
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 166 APÊNDICES ........................................................................................................... 170 APÊNDICE A - TEXTO DE INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE ...... 170 APÊNDICE B - PROBLEMA 01. ............................................................................ 186 APÊNDICE C - PROBLEMA 02. ............................................................................ 190 APÊNDICE D - PROBLEMA 03. ............................................................................ 193 APÊNDICE E - PROBLEMA 04. ............................................................................ 196 APÊNDICE F - PROBLEMA 05. ............................................................................ 199 APÊNDICE G - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1 ........... 202 APÊNDICE H - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2 ........... 207 APÊNDICE I - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3 ............. 211 APÊNDICE J - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4 ............ 215 APÊNDICE K - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 5 ........... 219 APÊNDICE L - QUESTIONÁRIO INICIAL APLICADO AOS ALUNOS ................. 223 APÊNDICE M - QUESTIONÁRIO FINAL APLICADO AOS ALUNOS ................... 226
27
1 INTRODUÇÃO
Segundo Kallaher, citado por Javaroni (2007, p.20), o Ensino de Equações
Diferenciais vem sofrendo algumas transformações ao longo das últimas décadas. A
forma tradicional de ensino tem sido articulada com outras estratégias que visam
dinâmicas diferentes nos processos de ensino e aprendizagem. O autor vislumbra a
possibilidade de tomar o Ensino de Equações Diferenciais do ponto de vista
qualitativo, com uma abordagem geométrica enfatizando o desenvolvimento dos
processos.
A evolução tecnológica, com o auxílio das Tecnologias de Informação e
Comunicação (TICs), tem contribuído muito com a didática. A abordagem
geométrica no Ensino de Equações Diferenciais torna-se mais atraente, uma vez
que as dificuldades de exploração e visualização são compensadas pelos recursos
disponíveis dos softwares matemáticos. O computador oferece inúmeros recursos
para o ensino de Equações Diferenciais. O software MAPLE é um exemplo de
sistema matemático simbólico interativo que possui numerosos recursos para
resolver questões com cálculo algébrico, cálculo numérico, visualização gráfica e
programação.
De acordo com Javaroni (2007) e Dullius (2009), estas mudanças podem
contribuir para que o ensino de Equações Diferenciais (EDs) seja mais significativo
para o aluno, quando as três abordagens (analítica, qualitativa e numérica) podem
ser trabalhadas com o auxílio das Tecnologias de Informação e Comunicação
(TICs), como os softwares matemáticos.
O meu interesse em trabalhar com o ensino de Equações Diferenciais surgiu
paralelamente à minha atuação como professor das disciplinas de Cálculo
Diferencial e Cálculo Integral I dos cursos de Licenciatura do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia do Estado de Goiás (IFG) - Câmpus Jataí. Por meio
de concurso público, em 1995, ingressei na então Escola Técnica Federal de Goiás
(ETFG), hoje IFG. A instituição apresentava como missão formar técnicos industriais
para atuarem no mercado de trabalho. Em 1999, por meio de um Decreto Normativo
do Presidente Fernando Henrique Cardoso, a Escola Técnica Federal de Goiás foi
transformada em Centro Federal de Educação Tecnológica de Goiás (CEFET-GO).
No período de 1995 a 2000 estive atuando como professor de matemática nos
Ensinos Médio e Técnico. Visando a verticalização do Ensino, a partir de 2001, a
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Instituição passou a oferecer cursos de graduação. Em 2001 foi criado o curso de
Licenciatura em Ciências com habilitação em Física e Matemática do IFG Câmpus
Jataí e, em 2003 o curso de Licenciatura em Física. Por meio da Lei Nº 11.892, de
29 de dezembro de 2008, o governo federal Institui a Rede Federal de Educação
Profissional, Científica e Tecnológica e cria os Institutos Federais de Educação. Esta
lei prevê que 20% das vagas dos Institutos Federais são destinadas aos cursos de
Licenciatura. Nos anos de 2008 e 2009 atuei como coordenador do curso de
Licenciatura em Física. O meu interesse em atuar no ensino de Equações
Diferenciais, o número limitado de pesquisas na área, a possibilidade de contribuir
com os processos de ensino e aprendizagem do conteúdo de EDs, o advento das
novas tecnologias de informação e comunicação, e o meu envolvimento em projetos
de pesquisa na área de ensino me levaram a propor uma metodologia com uma
abordagem mais qualitativa das EDs.
Entende-se como Javaroni (2007), que a elaboração das atividades e as
interpretações das soluções das EDs são tão importantes quanto as técnicas de
resolução, quando se tem em vista o desenvolvimento das capacidades de analisar
e interpretar dos estudantes. O processo de visualização e o entendimento de
derivada como taxa de variação de uma curva são essenciais no entendimento e
interpretação dos gráficos.
Com esse entendimento e com a experiência adquirida pela minha prática
pedagógica como professor de Cálculo Diferencial e Integral, remonto ao período em
que era acadêmico do curso de Licenciatura em Ciências – Habilitação Matemática
da então Fundação do Ensino Superior de Rio Verde – GO (FESURV) hoje
Universidade de Rio Verde, para perceber que o ensino de EDs trazia um enfoque
quase exclusivamente algébrico. O estudante teria de se preocupar,
preponderantemente, com os métodos e as técnicas de resoluções, resolvendo
longos exercícios desprovidos de significados. A compreensão e o entendimento dos
processos que geram as EDs, as aplicações, as interpretações das soluções e as
análises geométrica e numérica eram relegadas.
Na sala de aula, o professor reproduz o método que vivenciou em sua
formação, como afirmam Moreno e Azcárate Giménez:
29
No caso de professores universitários de matemática, seus conhecimentos sobre os processos de ensino e aprendizagem é o resultado da experiência de ensino e do efeito de socialização que lhes fazem repetir os esquemas daqueles professores que lhes ensinaram em sua época de estudantes. (MORENO; AZCÁRATE, 2003, p.267, tradução nossa).
1
A preocupação com a minha prática e com a minha formação acadêmica
calhou-se com a procura de caminhos que pudessem dar respostas às minhas
ansiedades. Com a presente pesquisa na área da Educação Matemática, procura-se
uma alternativa para superar essa dicotomia.
Os modelos de ensino centrados no aluno se baseiam nos pressupostos das
teorias cognitivas e construtivistas. O papel do professor consiste em estabelecer
condições para que os estudantes adquiram conhecimentos, dando-lhes autonomia
e opções de escolha. Escolheu-se duas abordagens de ensino para a aplicação das
atividades proposta na pesquisa. A primeira consiste na descoberta guiada, onde o
estudante descobre suas próprias ideias e constrói seus próprios significados. A
segunda trata da resolução de problemas, onde o problema é o ponto de partida das
atividades matemáticas e provocador do processo de construção de conhecimentos.
Tendo como premissa que o problema é o meio principal pelo qual a
matemática se evolui, procurando tornar mais significativo o ensino de Equações
Diferenciais Ordinárias (EDO) Lineares de 1ª e 2ª ordem para o estudante em cursos
das ciências exatas, propõe-se uma experiência de ensino por meio de atividades
que visam à aprendizagem por resolução de problemas físicos, com abordagens
analítica e qualitativa, com foco na interpretação gráfica e uso de recursos
computacionais.
De acordo com Javaroni (2007) e Dullius (2009), estudos apontam que o
ensino de EDs está voltado para a resolução analítica, privilegiando os aspectos
algébricos e isto pode não ser suficiente para um aprendizagem significativa.
Autores de livros textos como Dennis G. Zill (2003) de Equações Diferenciais
e James Stewart (2006) de Cálculo Diferencial e Integral vêm trabalhando
metodologias voltadas para a compreensão conceitual pelo aluno, onde a
representação gráfica e a utilização de recursos computacionais são sugeridos nos
livros didáticos desde os capítulos iniciais. Além dos aspectos algébricos, estes
1 En el caso de los professores de matemáticas de universidad, el conocimiento que tienen sobre el
processo de enseñanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente y del efecto de la socialización que les hace repetir los esquemas de aquellos profesores que les enseñaron en su época de estudiantes.
30
livros contemplam as abordagens geométrica e numérica com resolução de
problemas e iniciação à modelagem.
Para Javaroni (2007) é possível utilizar a abordagem qualitativa no ensino de
EDO através das informações geométricas obtidas por meio dos campos de
direções e iniciar EDs com o estudo de modelos matemáticos clássicos da literatura,
explorando-os com o auxílio das TICs, pode trazer mais possibilidades para os
processos de ensino e aprendizagem dos estudantes e assim, conseguir atribuir
significados para essa disciplina.
Durante a realização da revisão bibliográfica, constatei que existem poucas
pesquisas acerca de questões sobre o ensino de EDO com o auxílio de TICs. A
possibilidade de contribuir para o aumento da produção de material didático desse
conteúdo me impulsionou ainda mais a desenvolver esta pesquisa.
Uma das minhas conjecturas de trabalho me levou a entender que os
processos de ensino e aprendizagem sofrem influência direta da organização
didática dos livros textos de Equações Diferenciais. Uma abordagem que privilegia
os aspectos analíticos ainda está bem consolidada em boa parte dos livros didáticos.
Com a reforma do ensino de Cálculo, as outras abordagens vêm sendo
paulatinamente incorporadas nos capítulos dos livros, porém, exercícios de
explorações gráficas e contextualizados aparecem com pouca frequência nos finais
das seções.
Nos livros didáticos analisados, verificou-se uma preponderância de
exposição formal do conteúdo em vez de uma contextualização interdisciplinar que
pudesse conduzir os esforços para a formalização.
Esta pesquisa propõe estudar problemas de Física no contexto das EDs, que
podem ser analisados com uma nova metodologia, onde o estudante possa
desenvolver as habilidades de visualização e análise gráfica por meio de atividades
que utilizem as TICs.
As atividades foram desenvolvidas com alunos do terceiro período do curso
de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás – Câmpus Jataí, na disciplina
de Equações Diferenciais, no segundo semestre de 2011.
Esta proposta foi elaborada de tal forma que se pudesse investigar a
aprendizagem dos estudantes, a motivação, suas concepções, conjecturas e
estratégias de resolução das atividades. Os objetivos foram os seguintes:
31
1.1 Objetivo Geral
Propor uma metodologia para a resolução de problemas físicos com ênfase
na interpretação gráfica, com utilização do software MAPLE, objetivando trazer
contribuições para o estudo de Equações Diferenciais Ordinárias lineares de 1ª e 2ª
ordem em cursos de ciências.
1.2 Objetivos Específicos
a) Verificar em livros textos didáticos de Equações Diferencias e Cálculo
Diferencial e Integral como ocorre a abordagem metodológica do conteúdo de
Equações Diferenciais Ordinárias.
b) Identificar os métodos que os alunos utilizam para estudar a disciplina de
Equações Diferenciais Ordinárias para diagnosticar as dificuldades na
aprendizagem da disciplina.
c) Elaborar problemas que atendam a metodologia de Resolução de Problemas
com foco na compreensão e interpretação de dados, com utilização das
Tecnologias de Informação e Comunicação e, especialmente, com
interpretação gráfica.
d) Aplicar as atividades e, após a análise dos resultados estabelecerem as
possíveis reestruturações visando propor uma nova metodologia para a
resolução de problemas da Física no contexto das Equações Diferenciais.
1.3 Resumo da Metodologia
A metodologia empregada na prática pedagógica teve como suporte a Teoria
da Equilibração de Piaget (1975), onde o sujeito constrói o seu conhecimento na
interação com o meio tanto físico como social e na Teoria Sócio-interacionaista de
Vygotsky (1978) que compartilha uma visão construtivista assentada na ideia de que
a única aprendizagem significativa é por meio da interação entre sujeito, o objeto e
outros sujeitos. Procurou-se organizar atividades de ensino a favorecer a interação
professor-aluno-material didático em ambiente com recursos computacionais, na
atuação da zona de desenvolvimento proximal do estudante de tal forma que, com a
32
ajuda de um colega mais capaz, o estudante consiga transpor as dificuldades
apresentadas progressivamente nas atividades.
Optou-se por fazer um estudo de metodologia qualitativa, com interesses em
uma análise bem detalhada da situação investigada. As atividades foram
desenvolvidas em sala de aula, onde o professor pesquisador esteve em contato
direto com os sujeitos da pesquisa.
Construíram-se cinco atividades envolvendo problemas físicos no contexto
das EDOs de primeira e segunda ordem. As atividades eram entregues aos
estudantes em forma impressa, a serem desenvolvidas em duplas, com uso
exclusivo dos recursos computacionais, em especial o software Maple.
As atividades foram planejadas com o intuito de diagnosticar indícios de
como a Resolução de Problemas, com a utilização das TICs, pode contribuir
para uma aprendizagem mais significativa do ensino de EDO e, nas suas
aplicações em situações problemas das ciências.
Para a coleta dos dados, utilizaram-se registros feitos pelo pesquisador em
sua caderneta de campo, as worksheets dos estudantes com as resoluções das
atividades, os vídeos gerados pelo software CAMTASIA com as gravações das
ações dos estudantes no decorrer da realização das atividades e respostas dos
questionários enviados aos estudantes com objetivo de buscar evidências de
atuação dos mesmos, suas opiniões e percepções a respeito da proposta.
1.4 A Estrutura da Dissertação
A presente dissertação está constituída de seis capítulos, além das
referências bibliográficas e os apêndices. No capítulo 1, onde se insere a presente
seção, apresenta-se parte da trajetória acadêmica e profissional do autor desta
Dissertação, a importância do tema, os objetivos da pesquisa, a pergunta de
pesquisa, o resumo da metodologia e a apresentação dos capítulos.
No capítulo 2, inicia-se a revisão bibliográfica descrevendo a evolução da
Educação Matemática no Brasil e no Mundo, a seguir são apresentadas as
abordagens da Descoberta Guiada e Resolução de Problemas utilizadas na
elaboração e aplicação da sequência didática proposta neste trabalho. São
apresentadas as possibilidades que as Tecnologias de Informação e Comunicação,
em particular o computador, apresentam no auxílio do ensino de matemática, e
33
finalizo o capítulo descrevendo sobre a visualização no contexto do ensino de EDs,
onde mostro suas características na análise global de um fenômeno estudado.
A problematização que envolve este trabalho está apresentada no capítulo 3.
Dentre os estudos realizados que visam uma melhoria do ensino de EDs, destaco as
experiências de Habre (2000), Rasmussen (2001), Moreno e Azcárate (2003),
Javaroni (2007) e Dullius (2009). Analisou-se quatro livros, dois livros que tratam do
conteúdo específico de EDs: Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem
de D. G. ZILL e Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno de W. E. BOYCE e R. C. DIPRIMA e dois livros de Cálculo Diferencial e
Integral que apresentam em seus escopos conteúdos de EDs: Cálculo de J.
STEWART e O Cálculo com Geometria Analítica de L. LEITHOLD. Finalizo o
capítulo com uma síntese de três pesquisas do cenário nacional, que mais se
assemelham com este trabalho, que exploram o ensino de EDs com abordagem
qualitativa.
No capítulo 4 define-se o tipo de pesquisa empregada, os procedimentos
metodológicos utilizados nesta pesquisa e como se realizou a coleta de dados. Os
participantes da pesquisa são apresentados, a aplicação da proposta e o produto da
pesquisa são descritos, os softwares utilizados na aplicação da proposta são
analisados, e concluo o capítulo com a apresentação das atividades.
O capítulo 5 é dedicado à apresentação descritiva e analítica dos dados
colhidos durante a aplicação da proposta.
No capítulo 6 apresento as considerações finais desta pesquisa, onde procuro
refletir sobre as conclusões e contribuições que a metodologia proposta trouxe para
os processos de ensino e aprendizagem das EDs.
34
2 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA DESCOBERTA GUIADA E AS TICs
2.1 Educação Matemática
A Educação matemática (EM) é uma área recente de conhecimento das
ciências sociais ou humanas. O Movimento da Matemática Moderna (MMM)2,
ocorrido nas décadas de 1950 e 1960, contribuiu para que a EM tivesse um grande
impulso. O movimento fez parte de uma política de modernização econômica e foi
posta na linha de frente do ensino, em se considerando que ela, juntamente com a
área de Ciências, constituiu uma via de acesso privilegiada para o pensamento
político e tecnológico. No Brasil, o surgimento da EM se deu no final da década de
1970 e evoluiu nas décadas seguintes. Nesta época foi fundada a Sociedade
Brasileira de Educação Matemática (SBEM) que conta hoje com mais de 12 mil
associados, e tem como finalidade congregar profissionais da área de Educação
Matemática ou de áreas afins.
Segundo Onuchic e Allevato (2005), a disciplina de matemática sempre foi
ensinada com dificuldades. Essa ideia provocou ainda no século passado debates e
discussões que mostravam a necessidade de tornar o ensino da matemática mais
significativo, onde o aluno pudesse entender e utilizar a matemática no dia-a-dia.
Tais discussões ainda persistem e procuram apontar formas melhores de ensinar e
aprender matemática.
Enquanto o matemático preocupa-se em produzir novos conhecimentos que
impulsionam o desenvolvimento da matemática pura e aplicada, o Educador
Matemático, segundo Fiorentini e Lorenzato (2009), educa por meio da matemática.
Para esses autores, o Educador Matemático tem o objetivo de formar cidadãos e,
para isto questiona qual o conteúdo matemático e qual o ensino são relevantes para
essa formação. Suas pesquisas são realizadas, utilizando-se fundamentação teórica
além dos métodos das Ciências Exatas, os métodos também das Ciências Sociais e
Humanas.
2 O Movimento da Matemática Moderna surgiu motivado pela Guerra Fria, entre Rússia e Estados
Unidos por um lado, e por outro lado, como resposta à constatação após a 2ª Guerra Mundial, de
uma considerável defasagem entre o progresso científico-tecnológico e o currículo escolar então
vigente (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 06).
35
A EM se caracteriza como uma práxis, que envolve o conteúdo específico da
matemática e seus processos (pedagógicos) de transmissão e construção do saber
matemático, com uma conotação social, cultural e científica.
O surgimento da EM como área de conhecimento tem evoluído, e seu objeto
de estudo ainda está em construção, em relação com a compreensão, interpretação
e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem dos
conhecimentos matemáticos.
Para Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 10), os objetivos da EM são múltiplos e
difíceis de serem categorizados. De uma forma geral poderiam ser reagrupados em
dois:
a) um, de natureza pragmática, que tem em vista a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem da matemática; b) outro, de cunho científico, que tem em vista o desenvolvimento da EM como campo de investigação e de produção de conhecimentos. (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 10).
No interior da EM, a Resolução de Problemas é uma metodologia de ensino e
aprendizagem de natureza pragmática que visa à melhoria da qualidade do ensino.
Atualmente, a EM envolve em sua prática os mais variados conteúdos, como:
a própria matemática, a filosofia, a antropologia, a Psicologia, a Sociologia, a
História, e a Economia, dentre outros. Este quadro prevê, além dos conhecimentos
da Matemática e da experiência do magistério, que o Educador Matemático busque
nas Ciências Sociais e Humanas outras habilidades e competências para o exercício
pleno de sua profissão, caracterizando a interdisciplinaridade da EM.
A EM, pelo fato de estar em confluência com diversos campos das Ciências
Sociais e Humanas, apresenta seus próprios problemas e questionamentos, com
perguntas como: Por que os alunos tem tanta dificuldade em aprender produtos
notáveis no Ensino Fundamental? Por que a Geometria é relegada para um segundo
momento no Ensino Fundamental? Por que a ideia de derivada como taxa de
variação é de difícil assimilação? Os sistemas de álgebra por computador (SACs)
podem contribuir para uma aprendizagem mais significativa no ensino de equações
diferenciais?
Kilpatrick (1994), citado por Fiorentini e Lorenzato (2009), descreve sete
temáticas da pesquisa internacional em EM que ele considera relevante na década
de 1990:
36
a) processos ensino-aprendizagem de Matemática; b) mudanças curriculares; c) utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) no
ensino e na aprendizagem da matemática; d) pratica docente, crenças, concepções e saberes práticos; e) conhecimentos e formação do professor; f) práticas de avaliação; g) contexto sociocultural e político do ensino-aprendizagem da
matemática. (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 41).
A última temática descrita por Kilpatrick merece destaque pelo fato das
investigações relacionarem o contexto sociocultural com o ensino-aprendizagem da
matemática e se tratar de uma área em que o Brasil tem se destacado
internacionalmente, Ubiratan D’Ambrosio, um dos expoentes e o criador da linha de
investigação denominada etnomatemática.
Com o desenvolvimento da Educação Matemática algumas linhas
internacionais de pesquisa foram se delineando e, segundo Fiorentini e Lorenzato
(2009), uma pesquisa realizada pela Universidade de Bielefeld (Alemanha) e
publicada por Batanero et al. (1992), feita a partir da compilação de trabalhos
apresentados em congressos internacionais, a linha de pesquisa que mais apareceu
nos Programas de Mestrado e Doutorado em 61 universidades de 19 países foi a
Resolução de Problemas; em segundo lugar, ficou a linha de pesquisa: Informática,
computadores e ensino-aprendizagem de matemática.
2.2 O Método da Descoberta Guiada
Em 1959, na conferência de Woods Hole, em Massachussetts, cientistas,
psicólogos e educadores discutiram como melhorar o ensino das ciências nas
escolas. A conferência foi presidida pelo educador e psicólogo Jerome Seymour
Bruner (Nova Iorque, 1915) da Universidade de Harvard. Bruner contribuiu para a
apresentação de um modelo de ensino que se denominou de ensino “pela
descoberta”. Neste modelo, os alunos descobrem suas próprias ideias e constroem
seus próprios significados, é uma experiência de aprendizagem centrada no aluno.
Bruner, citado por Mayer (2004), estabelece uma crítica à aprendizagem
direta3 e reforça que o aluno memoriza com maior facilidade pela abordagem não
3 Aprendizagem que resulta do reforço direto em que as consequências, positivas ou negativas, das
ações recaem sobre quem os pratica.
37
investigativa. O professor e o aluno devem envolver-se num diálogo ativo
(aprendizagem socrática). A tarefa do professor é traduzir a informação a ser
aprendida num formato apropriado para o estado de entendimento atual do aluno.
Bruner esclarece ainda que “o ambiente ou conteúdos de ensino têm que ser
percebidos pelo aluno em termos de problemas, relações e lacunas que ele deve
preencher, a fim de que a aprendizagem seja considerada significativa e relevante”.
Mayer (2004) apresenta resultados de testes de três linhas de pesquisa
pedagógica: (i) o ensino por hipóteses e estratégias de descoberta para resolver
problemas, (ii) aprendizagem de estratégias de conservação do tipo piagetiano e (iii)
aprendizagem de estratégias de programação, usando o programa LOGO, que
envolve aprendizagem “natural”4 e por ensaio-e-erro (teste de hipóteses). Mayer
comparou os resultados com pesquisas de objetivos semelhantes e verificou que
nos três conjuntos de casos, após várias comparações, em cada um, são
favorecidas as abordagens de descoberta guiada, em detrimento de abordagens que
estimulam uma exploração desestruturada, preconizada pelos chamados modelos
construtivistas. Mayer (2004) não encontrou evidências científicas sobre os
benefícios da aprendizagem pela descoberta, mas enfatiza que a descoberta guiada
é mais eficiente que a descoberta pura para promover a aprendizagem
construtivista.
Para Piaget (1975) o sujeito constrói o seu conhecimento na interação com o
meio tanto físico como social. Piaget, o precursor do construtivismo, criou a ideia do
conhecimento-construção. Defende que as tarefas devem provocar um desequilíbrio
cognitivo moderado que permita ao aluno passar por um processo de assimilação e
de acomodação a potencializar o desenvolvimento dos esquemas mentais, em
direção a uma equilibração.
4 A aprendizagem natural caracteriza-se de modo especial pela sua reação aos estímulos presentes: a curiosidade leva à descoberta. Leva o aprendiz a copiar e imitar à medida da sua interação e interatividade com coisas e pessoas. Aprende por repetições inovadas de certa experiência. Cabem nesse universo a aprendizagem mecânica, bancária e lineares livres de coerção. Na dúvida e caos podem gerar reações de provocação, de indagação, de pesquisa mais perseverante e, principalmente, a criatividade espontânea. (OKADA, 1996, p.149).
38
Figura 1 - Esquema representativo da Teoria da Equilibração de Piaget.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Após um estágio de equilíbrio tem-se um novo desequilíbrio. É este
movimento de equilíbrio/desequilíbrio que permite o desenvolvimento individual e a
adaptação do indivíduo no mundo.
O suporte teórico do ensino pela descoberta guiada provém da Psicologia
Cognitivista. O professor deve se portar como um guia e facilitador que conduz os
alunos a pensar e a resolver problemas por si próprios, muito além da tradicional
aula expositiva dialogada.
Vygotsky (1978), da mesma forma que Piaget, compartilha uma visão
construtivista assentada na ideia de que a única aprendizagem significativa é a que
ocorre por meio da interação entre sujeito, o objeto e outros sujeitos. A
aprendizagem mais significativa é aquela que advém do processo de construção do
conhecimento. Este processo de construção será tanto melhor conduzido, quanto
maior for a interação entre alunos de diferentes estágios cognitivos. Compete ao
professor criar ambientes de aprendizagem que potencializem a interação entre os
alunos.
Os modelos de ensino centrados no aluno se baseiam em pressupostos das
teorias cognitivas e construtivistas. O papel do professor consiste em estabelecer
condições para que os alunos adquiram conhecimentos, dando-lhes autonomia e
opções de escolha. O aluno desenvolve um papel ativo na sua aprendizagem,
EQUILIBRAÇÃO Processo interno de regulação entre a assimilação e a acomodação.
ASSIMILAÇÃO Processo mental que
consiste em integrar numa estrutura prévia do sujeito,
os diversos elementos provenientes do meio.
ACOMODAÇÃO Processo mental pelo qual
as estruturas cognitivas vão se modificar em
função das experiências do meio.
39
participa de investigações e de resolução de problemas. O professor passa a ser um
facilitador da relação entre o aluno e o conhecimento, planejando atividades que
gerem ações e reflexões em relação ao tema estudado. Em vez de repassar ao
aluno uma enorme quantidade de informações, o professor cria estratégias que
tornam o aprendizado ativo.
O método da descoberta guiada assume várias formas: estudo de caso,
resolução de problemas, experiência em laboratório, simulações, dentre outras. Paul
Ernest (1996, p.32) faz uma comparação (quadro 1 autoexplicativo) entre os
métodos pedagógicos baseados na inquirição para o ensino de matemática.
O aluno pode trabalhar em grupo ou individualmente, sempre com o intuito de
atingir os objetivos traçados pelo professor e ou negociados.
A heurística da descoberta guiada proporciona motivação, autoconfiança,
feedback, organização dos conhecimentos com a transferência na solução dos
futuros problemas.
Quadro 1 - Comparação de Métodos Baseados na Inquirição para o Ensino da
Matemática.
Método Papel do Professor Papel do Aluno
Descoberta Guiada
Formula o problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução ou objetivo.
Segue a orientação
Resolução de Problemas
Formula o problema. Deixa o método de solução em aberto.
Encontra o seu próprio caminho para resolver o problema.
Abordagem Investigativa
Escolhe uma situação de partida (ou aprova a escolha do aluno).
Define os seus próprios problemas dentro da situação. Tenta resolver pelo seu próprio caminho.
Fonte: Paul Ernest (1996, p.32).
As principais características do ensino baseado na descoberta guiada são:
a) sobressai o aspecto cognitivo;
b) o papel do professor é de incentivador, orientador. Faz a condução indireta ao
conhecimento;
c) baseia-se no princípio da equilibração de Piaget;
d) engloba a auto avaliação/reflexão e reformulação da aprendizagem;
e) existe uma relação informal entre professor e aluno.
40
O método da descoberta guiada tem sofrido críticas por parte de muitos
professores, principalmente por aqueles adeptos da corrente que defende a
aplicabilidade de uma grande quantidade de conteúdos, em detrimento da
profundidade e da qualidade. Temerosos pelas situações inusitadas que acontecem
nas salas de aula e, principalmente pela sensação de perda de controle sobre os
alunos, alguns professores simplesmente resistem a tal método. Apesar dos
problemas citados, a descoberta guiada apresenta-se como uma alternativa a mais,
em função das características a gerar no aluno um efeito de autoconfiança
necessário a uma boa aprendizagem.
2.3 Resolução de Problemas
Desde os primórdios de nossa era, o ser humano tem sido desafiado a
resolver problemas em praticamente todas as áreas do conhecimento. Alguns
problemas exigiam uma reflexão sistemática e clareza de ideias em suas resoluções.
Pappus, matemático grego que viveu por volta do ano 300 depois de Cristo, se
propôs a fazer uma descrição completa dos métodos de Resolução de Problemas
baseada na análise e síntese. Essa descrição pode ser encontrada no livro Tesouro
da Análise, livro VII da obra Collectio (A Coleção Matemática5), escrito por Pappus
(290-350), parte da coleção de livros escritos por matemáticos da antiguidade. Este
livro é de relativa importância, pois Pappus retrata nele a produção dos matemáticos
gregos: Euclides, Apolônio, Eratóstenes e Aristeu. Neste se tem a descrição de
estudos, proposições e descobertas destes geômetras da antiguidade. Esta foi uma
das primeiras manifestações que trazia indícios de sistematização da heurística de
Resolução de Problemas.
No livro Tesouro da Análise Pappus define análise e síntese. Polya em seu
livro “A Arte de Resolver Problemas” discute e apresenta uma paráfrase dos
métodos da análise e da síntese utilizados pelos antigos geômetras gregos definidos
por Pappus.
5 Segundo Ver Eecke: A maioria dos manuscritos, e, sobretudo os mais antigos, são intitulados
simplesmente A Coleção, enquanto que as cópias posteriores trazem um título mais completo no
plural: As Coleções Matemáticas.
41
Na análise, começamos por aquilo de que se precisa e que admitimos como certo e extraímos conseqüências (sic) disso e conseqüência (sic) das conseqüências até chegarmos a um ponto que podemos usar como de partida da síntese. Porque na análise admitimos que o que precisa ser feito já o foi (o que se procura já foi encontrado, o que se tem a demonstrar é verdadeiro). Indagamos de qual antecedente poderá ser deduzido o resultado desejado; em seguida, indagamos de novo qual poderá ser o antecedente desse antecedente e assim por diante, até chegarmos finalmente a algo que já conhecemos ou que admitimos como verdadeiro. A este procedimento chamamos análise, ou regressão ou raciocínio regressivo. Mas na síntese, invertendo o processo, partimos do último ponto a que chegamos na análise, daquilo que já sabemos ou admitimos como verdadeiro. Disso deduzimos o que o procedeu na análise e continuamos a fazer deduções até que, percorrendo o mesmo caminho no outro sentido, conseguimos finalmente chegar aonde queríamos. A este procedimento chamamos síntese, ou resolução construtiva ou raciocínio progressivo. (POLYA, 2006, p.119, grifos nosso).
A análise é um método de desenvolvimento de processos de raciocínio, a
demonstrar ou refutar um teorema claramente posto, pois na análise, parte-se do
princípio no qual o que está buscando já foi descoberto e, aquilo a se demonstrar é
verdadeiro. Para Pappus existem dois tipos de análise: um que estabelece a
verdade dos teoremas onde são “analisados” os problemas de demonstrações e, o
outro a determinar as incógnitas dos problemas.
Na síntese, parte-se de algo que se admite como verdadeiro (etapa final da
análise) e procura-se mostrar que estas condições são reais. A partir daí, seguindo
no sentido inverso da análise, deduzem-se situações novas a comprovar e verificar
as condições primitivas.
A este conjunto de métodos e regras, dos quais se destaca a análise e a
síntese, levam a descobertas e invenções que pode ser considerado como o método
heurístico. Na tentativa de sistematização da heurística destacaram-se: René
Descartes (1596-1650) que tentou estabelecer uma estrutura capaz de envolver, de
maneira coerente e completa a Ciência do seu tempo, contribuindo para a criação de
um método geral para a resolução de problemas; Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-
1716), em fragmentos dispersos de sua obra, mostrou que “nada mais é importante
do que observar as origens da invenção”, pois em sua opinião as origens da
invenção eram mais importantes do que a própria invenção; Aléxis-Claude Clairaut
(1713-1765) já apresentava uma visão de ensino sustentada na resolução de
problemas. Apesar de sua obra não atender a jovens colegiais, apresentava uma
doutrina pedagógica que visava tornar heurístico o ensino; Bernard Bolzano (1781-
1848) fez uma descrição pormenorizada da heurística em sua obra “A Teoria da
42
Ciência”, publicada em 1837, Poincaré (1854-1912) que analisou as condições do
descobrimento científico na célebre conferência “L’Invention Mathématique”,
realizada em 1908, no Instituto Geral de Psicologia, em Paris; George Polya (1888-
1985) no seu livro “How do solve it” lançado em 1945, traduzido para o português
em 1978 com o título “A Arte de Resolver Problemas”, contribuiu para que a
resolução de problemas se fundamentasse como metodologia de ensino.
Como afirma Onuchic (2008), no início do século XX, a Matemática
caracterizou-se por apresentar um trabalho onde se buscava a memorização das
estruturas, a repetição era o processo utilizado para atingir tal fim. Neste período,
uma pequena parcela da população tinha acesso a estes conhecimentos.
Com o passar do tempo as mudanças sociais provocaram mudanças no
ensino em geral e, consequentemente, no ensino da matemática. Atualmente, na
sociedade da informação, mais pessoas necessitam aprender matemática em
virtude da matéria prima ser a própria informação, tratada com métodos
quantitativos, cuja base é a Matemática e a Estatística.
Hoje na sociedade, também denominada do conhecimento, para a população
de um país, saber Matemática é de vital importância, pois esta relação está ligada
com o desenvolvimento técnico científico do próprio país. Quando se começou a
exigir dos estudantes a compreensão da matemática, veio à tona a metodologia de
aprendizagem por resolução de problemas.
No início da década de setenta, os educadores matemáticos passaram a dar
mais atenção à resolução de problemas. A prática, então utilizada, que levava o
estudante ao domínio de procedimentos algorítmicos, adquiridos por meio de
trabalhos de repetição e exercícios mentais, começa a ser questionada.
Em 1980, foi produzido nos Estados Unidos um documento (An Agenda for
Action ) pelo NCTM6, que enfatizava o uso da Resolução de Problemas, como
metodologia para o Ensino da Matemática e a compreensão da relevância de
aspectos sociais, antropológicos, linguísticos, na aprendizagem da Matemática. Este
documento recomendava aos professores a envidar esforços no sentido de estimular
os alunos a adquirirem habilidades para resolver problemas. As ideias veiculadas
nesse documento influenciaram reformas mundiais e algumas propostas elaboradas
no Brasil, sofreram influências diretas deste documento.
6 National Council of Teachers of Mathematics – Conselho Nacional de Professores de Matemática
43
Durante a década de oitenta, muitos recursos didáticos foram produzidos e
utilizados para contribuir com os professores na perspectiva de tornar a resolução de
problemas o foco da Matemática escolar, no entanto, devido a divergências de
concepções de grupos e pesquisadores em relação à resolução de problemas, nesta
década, a técnica não logrou muito êxito.
Na tentativa de contribuir com reflexões a respeito dessas divergências,
Schroeder e Lester, citados por Onuchic (2008), apresentam três caminhos
diferentes de abordar resolução de problemas:
Teorizar sobre resolução de problemas: O professor procura ressaltar o modelo de Polya ou alguma variação dele. Ensinar matemática para a resolução de problemas: o professor se concentra na maneira como a Matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicada na resolução de problemas rotineiros e não rotineiros. Ensinar Matemática através da resolução de problemas: a resolução de problemas passa a ser pensada, então, como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar Matemática. (ONUCHIC, 2008, p.7)
Com este último caminho propõe-se a ensinar Matemática por meio da
resolução de problemas, onde o problema gera o processo de ensino-aprendizagem.
Nesta forma de ensinar matemática o ensino está centrado no aluno. Esta é uma
visão de modelo pós Polya, porém não descartando as heurísticas de Polya.
Para Gazire (1988) existem três perspectivas para a resolução de problemas:
a) Resolução de problemas como um novo conteúdo: leva-se o aluno ao
conhecimento de várias técnicas e estratégias de resolução de problemas
contribuindo para o mesmo desenvolver habilidade em resolver problemas.
Esse é o estudo do problema pelo problema, independentemente do
conteúdo.
b) Resolução de problemas como forma de aplicar um determinado
conteúdo: aprende-se melhor um conteúdo quando ele é aplicado na
resolução de problemas. É o estudo do conteúdo por meio de aplicações em
problemas, ou seja, o exercício do conteúdo.
c) Resolução de problemas como um meio de ensinar Matemática: todo o
conteúdo a ser aprendido é iniciado por um problema-desafio, ocorrendo uma
construção interiorizada do conhecimento a ser adquirido.
44
Esta última abordagem tornou-se o foco dos trabalhos da mesma autora, para
ensinar Matemática por meio da resolução de problemas.
Gazire (1988, p.124) destaca: “Se todo conteúdo a ser aprendido for iniciado
numa situação de aprendizagem, através de um problema desafio, ocorrerá uma
construção interiorizada do conhecimento a ser adquirido”, desta forma, o aluno irá
construir seu próprio conhecimento utilizando suas experiências na resolução de
problemas.
Na década de 90, a resolução de problemas teve grande impulso, como
afirma Beatriz D’Ambrósio:
A partir dos anos 90 a resolução de problemas se tornou uma parte integrante da sala de aula de matemática. Surgiram as propostas curriculares que situavam o ensino da matemática via a resolução de problemas. A proposta era de colocar problemas aos alunos a partir dos quais novo conteúdo pudesse ser desenvolvido. Surgiram várias propostas interessantes como o uso de modelagem, e o uso de problemas de investigação, a serem resolvidos individualmente ou em pequenos grupos. Com uma postura diferente quanto aos tipos de atividade a serem propostas aos alunos, modificava-se a dinâmica da sala de aula. (D’AMBROSIO, 2008, p.2).
Livro-texto e critérios de avaliação foram modificados. As estratégias
empregadas pelos alunos na resolução de um problema foram adquirindo maior
ênfase em relação à memorização de regras e procedimentos. As questões
motivacionais e emocionais dos alunos passam a ser consideradas nos processos
de ensino e aprendizagem.
A resolução de problemas, como um ponto de partida e um processo de
ensinar Matemática, passa a se constituir como uma metodologia a ser utilizada em
sala de aula. O problema passa a ser o ponto de partida e disparador do processo
de construção de conhecimentos.
Mendonça (1993) apresenta três interpretações para a resolução de
problemas:
a) Como um objetivo: A resolução de problemas é a meta final, o equivalente a
ensinar Matemática para a resolução de problemas.
b) Como um processo: A resolução de problemas é um meio para desenvolver
o potencial heurístico do aluno. O estudante se caracteriza como “resolvedor”
de problemas.
45
c) Como um ponto de partida: O problema é o elemento disparador do
processo de construção do conhecimento matemático.
Para Stanic e Kilpatrick7 (1990), três temas gerais caracterizam o papel da
resolução de problemas nos currículos de Matemática das escolas: resolução de
problemas, como contexto; resolução de problemas, como capacidade;
resolução de problemas, como arte.
A resolução de problemas como contexto tem pelos menos cinco
subtemas, todos eles associados à ideia da resolução de problemas como meio para
se atingirem determinados fins. Utiliza-se a resolução de problemas como
justificativa, como motivação, como atividade lúdica, como veículo e como prática.
A resolução de problemas como justificativa está impregnada na ideia de que
os próprios problemas são uma justificativa para ensinar matemática. Já no subtema
da motivação, o objetivo é despertar e atrair o interesse dos alunos.
A resolução de problemas como atividade lúdica está associada com a
motivação dos alunos, onde o interesse dos mesmos está envolvido. No caso da
atividade lúdica em si, os problemas são fornecidos não tanto para motivar os alunos
a aprender, mas para lhes permitir ter algum divertimento com a Matemática
aprendida.
Um novo conceito ou técnica podem ser adquiridos pelo aluno quando o
mesmo reflete sobre um problema e descobertas emergem. Neste sentido, a
resolução de problemas é visto como um veículo para a aprendizagem.
A resolução de problemas como prática reforça capacidades e conceitos
ensinados diretamente. É o subtema que tem maior influência no currículo da
Matemática.
A resolução de problemas como capacidade é vista como um número de
habilidades a serem ensinadas no currículo matemático. A resolução de problemas é
como uma hierarquia de capacidades, onde distinções, numa determina sequência,
entre resolver problemas de rotina e problemas não rotineiros, são estabelecidas. A
resolução de problemas não rotineiros é caracterizada como uma capacidade de
7 Jeremy Kilpatrick foi aluno de George Pólya na Universidade de Stanford, na Califórnia, onde
realizou um Mestrado em Matemática no início dos anos 60, tendo depois sido seu assistente.
George Pólya pertenceu também ao júri de doutoramento de Jeremy Kilpatrick em Educação
Matemática, na mesma universidade, sob a orientação de Edward Beegle.
46
nível elevado, a ser adquirida depois da capacidade de resolução de problemas de
rotina.
A visão da resolução de problemas como arte, caracterizada como uma
visão mais aprofundada e mais compreensiva da resolução de problemas nos
currículos escolares de Matemática, emergiu-se do trabalho de George Polya, com a
ideia da heurística, entendida como uma estratégia. Polya reformulou e ilustrou
ideias acerca da descoberta matemática com o objetivo de tornar claro para os
professores, facilitando seu uso em atividades.
Polya (1966) defendia a ideia de que o principal objetivo da educação é o
desenvolvimento da inteligência, isto é, ensinar o aluno a pensar. Para este autor:
se a educação não contribui para o desenvolvimento da inteligência, ela está obviamente incompleta. Entretanto, a inteligência é essencialmente a habilidade para resolver problemas: problemas científicos, quebra-cabeças, toda sorte de problemas. O aluno desenvolve sua inteligência usando-a; ele aprende a resolver problemas resolvendo-os. (POLYA, 1966, p.137).
Para Polya (1966), os alunos devem aprender Matemática com mais
compreensão do que mecanicamente. Apesar deste objetivo ser audacioso, provoca
resultados mais rápidos e permanentes com probabilidades maiores de sucesso na
aprendizagem.
Polya ao destacar o papel do professor nos processos de ensino e de
aprendizagem dos alunos, publicou um artigo no "Jornal da Matemática Elementar"
nº 119 em 1959 intitulado: “Dez mandamentos para professores”, onde o autor reúne
as características de um professor eficiente, capaz de auxiliar seus alunos de forma
crescente e autônoma a resolver problemas do presente e do futuro, como por
exemplo, entre outras: ter interesse e conhecer o conteúdo ensinado, trabalhar as
atividades mentais, o hábito metódico e a descoberta.
Polya (1966) defendia que a matemática não é um esporte para
espectadores. Para aprender matemática o aluno, pelo seu próprio esforço, precisa
participar ativamente, familiarizar-se com o concreto antes do abstrato, com a
variedade de experiência antes de um conceito unificador.
Resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios, se por isso temos de procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, temos de resolver um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão,
47
encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável imediatamente por meios adequados. (POLYA, 1997, p.1).
Polya (2006) em “A Arte de Resolver Problemas” em seu prefácio esclarece
que:
uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. (POLYA, 2006, p.v).
Segundo o mesmo autor, o professor ao sobrecarregar seus alunos com
operações rotineiras, as mesmas aniquilam e tolhem o desenvolvimento intelectual
dos mesmos. Aguçar a curiosidade dos estudantes com problemas compatíveis com
os seus conhecimentos, auxiliando-os por meio de perguntas, contribuirá para
despertar o gosto pelo raciocínio independente, tornando-os mais autônomos.
Para resolver um problema, Polya (2006) dividiu o trabalho em quatro etapas:
compreensão do problema, construção de uma estratégia de resolução, execução
de uma estratégia escolhida, revisão da solução.
Segundo Pozo (1998), as pesquisas em resolução de problemas seguem
duas tendências gerais de abordagem: a solução de problema como uma habilidade
geral e a solução de problemas como processo específico.
A primeira abordagem tem
[...] a idéia (sic) de que a solução de problemas se fundamenta na aquisição de estratégias gerais, de forma que uma vez adquiridas possam ser aplicadas com poucas restrições a qualquer tipo de problema. Com base nesse enfoque, ensinar a resolver problemas é proporcionar aos alunos essas estratégias gerais, para que eles as apliquem cada vez que se deparem com uma situação nova ou problemática. (POZO, 1998, p.18).
Nesta perspectiva, a solução de problemas seria um conteúdo generalizável,
envolvendo todas as áreas do currículo e desenvolvido a partir das disciplinas
estruturantes do curso. A elaboração de problemas prioriza a estrutura da atividade
em relação à aprendizagem dos conteúdos.
De acordo com Pozo (1998) existem quatro passos que devemos perseguir
na resolução de um problema generalizável: (1) compreensão da tarefa; (2)
48
concepção de um plano que nos conduza à meta; (3) execução desse plano; (4)
análise que nos leve a determinar se alcançamos ou não a meta.
Os passos acima descritos são semelhantes ao do matemático Polya. Os
métodos e a heurística, usados por Polya, são utilizados para a resolução de
problemas gerais, independentes de conteúdos.
A Psicologia Instrucional tem mostrado que o uso das habilidades cognitivas
está condicionado, em grande parte, ao conteúdo das tarefas às quais são
aplicadas, mostrando que se torna difícil, até por razões didáticas, treinar os alunos
na solução de problemas de uma maneira geral.
A segunda abordagem, para Pozo (1998), tem surgido mais recentemente
como outra forma de entender a resolução de problemas e a sua instrução, segundo
a qual esta somente pode ser abordada no contexto das áreas ou conteúdos
específicos aos quais os problemas se referem. Neste ponto de vista, pensa-se em
ensinar a resolver problemas em cada uma das áreas. Esta forma trata-se da
resolução de problemas como processo específico.
O pressuposto fundamental dos estudos sobre a resolução de problemas
consiste no fato de que as habilidades e estratégias de solução de problemas são
específicas de uma determinada área, ou seja, não existem regras gerais para a
solução de um problema qualquer, elas seriam insuficientes ou simplesmente
orientadoras. É necessário desenvolver o problema, bem como o tipo de problema,
para cada área específica.
Pozo (1998, p.31) considera “que as habilidades de resolução de problemas
e, em geral, a perícia, são um efeito da prática.” Para um especialista em resolução
de problemas desenvolver uma perícia suficiente, são necessárias muitas horas de
prática e treinamento. Segundo Glaser, citado por Pozo (1998, p.31), “nem todos os
tipos de prática são eficazes, o que caracteriza a experiência de um especialista não
é tanto a quantidade de problemas resolvidos, mas o fato de sua prática ser guiada
por princípios conceituais que lhe dão sentido”. A eficiência na solução de problemas
depende muito da vontade própria de quem está praticando e da mobilização de
conhecimentos conceituais adequados.
O desenvolvimento de atividades de resolução de problemas, nas quais as
habilidades e estratégias específicas da área são necessárias para a aprendizagem
de conteúdos, são mais eficientes do que um modelo generalizável de resolução de
problemas.
49
Para Onuchic (1999), problema é tudo aquilo não resolvido, mas que se está
interessado na sua solução, isto é, qualquer situação a estimular o aluno a pensar,
que seja de seu interesse e desafiador. Também é desejável com reflexo na
realidade dos alunos.
Onuchic (1999) também propõe uma sequência de sete passos para a
metodologia de resolução de problemas, objetivando uma aprendizagem
compreensiva e significativa da matemática: a) formar grupos – entregar uma
atividade (problema); b) o papel do professo; c) resultados na lousa; d)
plenária, e) análise dos resultados; f) consenso; g) formalização. Neste último
passo, se faz uma síntese daquilo que se objetivava “aprender” a partir do problema
dado. São colocadas as devidas definições, identificadas as propriedades, feitas as
demonstrações.
Ainda segundo a mesma autora,
o ponto de partida das atividades matemáticas não é a definição, mas o problema; que o problema não é um exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou uma determinada técnica operatória; que aproximações sucessivas ao conceito criado são construídas para resolver um certo tipo de problema e que, num outro momento, o aluno utiliza o que já aprendeu para resolver outros problemas; que o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; que a Resolução de Problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas como orientação para a aprendizagem. (ONUCHIC, 1999, p.215).
A Resolução de Problemas tem se mostrado como estratégia metodológica
eficiente, a contribuir para que o aluno crie e desenvolva habilidades possibilitando
falar, escrever, explicar, concordar, questionar, investigar, testar, refletir, analisar,
compreender, etc.
A Resolução de Problemas tem um papel fundamental, pois provoca o aluno
a pensar por si próprio, criando estratégias próprias diferenciadas para analisar uma
mesma situação.
2.4 Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) na educação
Como TICs na educação, entende-se todo e qualquer artefato que possa
auxiliar a automação e comunicação de processos e conhecimentos do ensino e da
pesquisa científica, desde a um simples blog na internet até ao mais robusto
50
computador capaz de processar milhões de cálculos em frações de segundo. Têm-
se também as calculadoras gráficas e inúmeras outras possibilidades de reunir,
distribuir e compartilhar informações associadas à informática.
O professor da atualidade está constantemente sendo provocado pelo avanço
e disseminação das TICs que vem criando novos espaços de aprendizagem. As
mídias permitem articulação de palavras, sons, imagens e movimentos que
impulsionam os professores a pensarem em novas formas de interação neste
espaço. Múltiplos caminhos desenhados promovem uma reflexão sobre uma prática
sintonizada com este novo espaço, de tal modo que o professor é estimulado a
desenvolver ambientes de aprendizagem flexíveis e geradores de diversas ações
educativas.
O desenvolvimento e o aprimoramento da utilização dos computadores na
educação acorrem desde as primeiras gerações (década de 70), e vem-se
expandindo segundo Coscarelli (2003, p.55), sob dois aspectos: interação com o
conhecimento e ferramenta de apoio aos processos de ensino e aprendizagem.
Na década de 70, começaram a surgir no Brasil, como consequência da
expansão das mídias informáticas, mais especificamente na área de Educação
Matemática, as primeiras pesquisas sobre o uso das TICs no ensino da Matemática
e do Cálculo. Estas pesquisas se deram mais no âmbito das universidades e grupos
de estudos e pesquisas. Desde então, o uso de softwares vem crescendo
gradativamente no ensino do Cálculo.
O computador pode ser considerado como principal instrumento das TICs,
devido à pluralidade de utilização de informações que podemos manipular. O
computador é uma máquina que promove relações interativas, disponibiliza
simultaneamente várias mídias como: televisão, rádio, blu-ray, máquina fotográfica,
projetor multimídia, aparelho de som, entre outros.
Neste texto estaremos abordando o uso de TICs no contexto específico da
utilização do computador para ajudar os alunos a construir conceitos. Em relação à
disciplina de Cálculo estamos interessados nos assuntos que abrangem as
Equações Diferenciais ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem, como o traçado de
gráficos de funções de uma variável, traçado do campo de direções, resolução de
equações, entre outros.
Para Coscarelli (2003), utilizar o computador na sala de aula não significa que
estamos incorrendo em inovações pedagógicas, depende da significação e do uso
51
que fazemos dele. O uso de computador, como recurso pedagógico, sugere
mudanças nas relações dos sujeitos envolvidos, por exemplo, em alguns casos, a
utilização de um projetor multimídia não modifica em nada estas relações.
O uso do computador pode favorecer os processos de ensino e
aprendizagem. Em um ambiente informatizado, o aluno pode: experimentar,
visualizar, testar, sugerir hipóteses, abstrair propriedades. A utilização do
computador pode ainda, ampliar as possibilidades das atividades, agilizar os
procedimentos de resolução de equações e construção de gráficos, trazer maior
confiabilidade dos resultados, contribuir para uma melhor interpretação e
visualização de fenômenos estudados, apresentar conceitos de diversas maneiras,
permitir que os alunos possam trabalhar com múltiplas representações tais como um
gráfico, uma expressão algébrica ou mesmo uma tabela, o que permite a exploração
de diferentes conceitos matemáticos, além de trazer uma visão diferente para o
aprendizado da matemática. Por meio do uso do computador, o aluno vai se
apropriando de uma tecnologia que o torna mais crítico e participativo.
Parafraseando Penteado e Skovsmose (2008), a utilização das TICs, em
particular do computador, pode provocar no dia-a-dia do professor uma mudança de
sua prática. A maioria dos professores desconhece a operacionalização e utilização
dessa mídia, o que acentua ainda mais a complexidade da atividade docente, aliado
a este fato, o uso de softwares matemáticos gera certa imprevisibilidade que leva o
professor a adquirir certo temor quanto ao uso da referida mídia. Trabalhar com esta
mídia sugere ao professor deixar uma situação confortável para penetrar em uma
zona de riscos, segundo Borba e Penteado (2003).
Nesta perspectiva, Santiago (2006) esclarece que:
Um dos fatores primordiais para a obtenção do sucesso na utilização da Informática na educação é a capacitação do professor perante essa nova realidade educacional. O professor deverá ser capacitado de tal forma que perceba como deve efetuar a integração da tecnologia com a sua proposta de ensino. O professor deve estar aberto a mudanças, principalmente em relação a adquirir uma nova postura: a de facilitador e coordenador de processos de ensino-aprendizagem; ele precisa aprender a aprender, a lidar com as rápidas mudanças, ser dinâmico e flexível. (SANTIAGO, 2006, p. 82-83).
Muitos professores de Cálculo da atualidade não receberam os suportes
necessários para trabalharem com informática na educação em sua formação
acadêmica, à exceção daqueles que tiveram oportunidade de participar em eventos
52
e cursos de extensão. Neste sentido, concordamos com os pesquisadores Santiago
(2006), Coscarelli (2003), Borba e Penteado (2003) que propõem a utilização das
TICs em programas de formação de professores do ensino superior, na pós-
graduação e nos programas de formação continuada.
Para Tajra (2004), um projeto pedagógico que contempla a utilização do
computador como ferramenta pedagógica deve perpassar pelos seguintes
procedimentos:
a) Apresentação e uma breve explanação do tema do projeto para os alunos.
b) A aceitação do tema ou de um novo tema por parte dos alunos.
c) A discussão com os alunos sobre os conhecimentos já acumulados no
cotidiano sobre o tema escolhido.
d) A elaboração por parte de cada aluno de um roteiro para o estudo e
pesquisa do tema escolhido.
e) A localização da bibliografia para a pesquisa.
f) A apresentação dos roteiros individuais e, em seguida, a construção de
um roteiro coletivo da equipe/turma.
g) A hierarquização dos tópicos do roteiro coletivo.
h) A revisão da bibliografia para a pesquisa.
i) A elaboração da pesquisa sobre todos os tópicos do projeto.
j) A construção de um dossiê sobre o projeto.
k) A apresentação da pesquisa. (TAJRA, 2004, p.)
A autora entende que durante todas as fases de desenvolvimento do projeto,
mediante esta metodologia, o computador deve estar sendo utilizado para
implementar diversas tarefas, desde uma simples pesquisa na internet até a
apresentação/exibição dos resultados de pesquisas realizadas.
Tajra (2004) ao descrever sobre determinadas situações que ela denomina
positivas, frequentemente encontradas em ambientes de informática, afirma que os
alunos ganham autonomia nos trabalhos, tornam-se mais criativos, trabalham em
cooperação, sentem-se estimulados a aprender novas línguas e desenvolvem
habilidades de comunicação e de estrutura lógica de pensamento.
53
Estas situações “positivas” justificam a utilização de ambientes de informática
nas escolas, contribuem para a socialização dos alunos e motiva-os para o
desenvolvimento de suas habilidades.
2.4.1 O Processo de Visualização
O pré-historiador André Leroi-Gourhan (1911-1986) utilizava a máxima
“desenho é a mão que fala” para mostrar como o texto e a imagem podem
representar a mesma coisa, podemos escrever com imagens ou desenhar com
palavras.
As imagens sempre exerceram um enorme fascínio sobre os homens, desde
uma simples foto de um passarinho à imagem do Taj Mahal na Índia. A imagem é
um importante recurso que ajuda o estudante a desenvolver o pensamento visual. A
imagem desencadeia processos mentais como abstrações, associações,
articulações, dentre outros que geram informações propiciando descobertas tão
úteis à matemática.
Nos dias atuais, a Educação tem explorado as imagens por meio dos livros,
revistas, vídeos, filmes, fotografias, softwares matemáticos com grande aceitação
pela comunidade acadêmica.
Pesquisas em Educação Matemática como a de Couy e Frota (2009),
Machado (2008), Javaroni (2007) apregoam que são inúmeras as vantagens e
benefícios da utilização da visualização nos processos de Ensino e Aprendizagem. A
tecnologia proporciona abordagens diferenciadas de diversos conteúdos da
Matemática.
Para Couy e Frota,
visualizar é um processo de criar e/ou interpretar e registrar idéias (sic) e imagens, que por sua vez podem desencadear novas idéias (sic) e imagens. Nessa perspectiva a visualização é parte do conjunto de processos de fazer Matemática, ao lado da intuição, criação, abstração, formalização, comunicação, entre outros, podendo ao mesmo tempo impulsionar o desenvolvimento de tais processos. (COUY; FROTA, 2009, p. 4).
54
Couy e Frota (2007) destacam que foi a partir dos anos 90 que as pesquisas
sobre visualização ganharam força e reconhecimento como campo significativo de
pesquisa com diversas publicações em nível mundial.
Machado (2008) analisa o conhecimento trazido pelos estudantes ingressos
na universidade de um Curso de Química na disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral, a influência que o uso do software Mathematics Plotting Package (MPP)
exerce sobre a construção do conhecimento matemático com enfoque especial para
as representações gráficas e para os processos de visualização. A pesquisadora
ressalta que tais representações gráficas e visualizações dos conceitos matemáticos
não são triviais, exigem de quem os utilize, uma atividade cognitiva. Para Machado,
visualizar não é o mesmo que ver. [...] visualizar é desenvolver uma habilidade para criar imagens mentais daquilo que o indivíduo manipula. Nisto estimula a sua mente para diferentes representações do conceito e, se necessário, utiliza papel e lápis, o visor da calculadora ou a tela do computador, para explorar, analisar e compreender a idéia (sic) matemática em questão. (MACHADO, 2008, p.10).
Por meio de softwares matemáticos, os estudantes podem visualizar na tela
do computador os mais diversos gráficos, investigar, analisar, estabelecer
proposições e conjecturas, validar resultados, relacionar variáveis e funções e as
várias representações da informação que auxiliam na resolução de problemas e na
construção dos conceitos matemáticos.
No estudo das Equações Diferenciais de primeira ordem, a visualização do
campo de direções de uma determinada equação é relevante e sugere a aparência
ou forma de uma família de curvas integrais8 da equação, onde podemos vislumbrar
aspectos qualitativos das soluções e, a partir desta visualização analisar melhor o
comportamento dos fenômenos modelados com as Equações Diferenciais.
A visualização matemática, por meio da tela do computador, permite ao
estudante enumerar várias conjecturas, aproximar soluções, interpretar gráficos,
reconhecer as várias representações da informação, construir conceitos, dentre
outras possibilidades. Por exemplo: a equação diferencial ydx
dy apresenta o
seguinte campo de direções:
8 O gráfico de uma solução particular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é chamado de
curva integral.
55
Figura 2 - Campo de direções da equação ydxdy / gerado no Maple 14.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O campo de direções visualizado em uma malha 10 X 20 na figura 2 mostra
que qualquer ponto ao longo do eixo )0( yx possui inclinação de ângulo igual a
zero, isto é, derivada nula ( 0)0,(xf ), de tal forma que os elementos lineares9 são
horizontais. Pode-se observar que nos dois primeiros quadrantes, que para um valor
fixo de x , os valores de yyxf ),( crescem à medida que y cresce; da mesma
forma, para um valor fixo de y , os valores de yyxf ),( aumentam à medida que
x aumenta. Isso evidencia que, quando x e y aumentam, os elementos lineares
ficam quase verticais e têm inclinação positiva 0),(( yyxf para )0y . No
terceiro e quarto quadrante a situação é inversa, uma curva integral sempre
decresce à medida que vamos da esquerda para a direita, os elementos lineares
novamente ficam quase verticais, mas tem inclinação negativa 0),(( yyxf para
)0y . Observando da esquerda para a direita, acompanhando o fluxo dos
elementos lineares, imagine uma curva integral que comece suavemente em um
ponto no segundo quadrante e ao passar para o primeiro quadrante move
abruptamente para cima, que tipo de função geraria este gráfico? Esta situação só
vai ocorrer se mudar de quadrante? De modo análogo poderíamos fazer a mesma
pergunta em relação aos outros quadrantes. Neste exemplo, o conceito de simetria
9 Elemento linear (segmento de reta) em um ponto é uma miniatura da reta tangente à curva integral
que passa por este ponto.
56
poderia ser explorado observando o campo de direções, o cálculo de um ângulo
conhecendo a sua tangente e, inúmeros outros conceitos poderiam ser abordados a
partir da visualização do campo de direções. Se estivéssemos preocupados apenas
com a solução analítica da equação, não precisaríamos nos recorrer a toda esta
análise. A análise por meio de visualizações gráficas nos revelam características
importantes na análise global de um fenômeno estudado.
A visualização de um gráfico de uma função por um estudante poderá
conduzi-lo a uma interpretação na forma simbólica, estabelecendo conjecturas,
contribuindo para a formação de conceitos.
Os computadores tem se transformado num importante recurso didático
utilizado pelos professores na visualização das diversas representações gráficas e
manipulações espaciais Javaroni (2007), Machado (2008). A possibilidade de traçar
vários gráficos em um mesmo plano a partir de uma mesma função, mudando os
valores dos parâmetros dessa função, gerando famílias de curvas, associadas às
ferramentas de aproximação de imagens, permite ao estudante estabelecer
conexões entre conceitos, um maior entendimento dos mesmos e percepção da
complexidade conceitual.
Dreyfus citado por Machado (2008) esclarece que o papel da visualização no
ensino é útil para avalizar a intuição e a formação de conceitos na aprendizagem da
matemática, e também oferece possibilidades de redução das diversas dificuldades
sentidas pelos alunos estudantes aqui apontadas:
a) na incapacidade de visualizar um diagrama de diferentes maneiras;
b) em reconhecer as transformações implicadas nos diagramas;
c) nas interpretações incorretas ou não convencionais de variação e
covariação em gráficos;
d) nos erros na distinção entre uma figura geométrica e o desenho que
representa a figura;
e) nos erros em unir as suas visualizações com o pensamento analítico.
(MACHADO, 2008, p.109)
A análise de um gráfico ou um diagrama por si só não ensina nada, associado
aos gráficos e aos diagramas estão estruturas conceituais que se o estudante não
adquiriu, as informações, podem não ter significados.
57
Hershkowitz, Parzysz e Dormolen citado por Machado (2008) apregoam que a
visualização é uma parte essencial da inteligência humana, não ocorre segundo uma
abordagem linear, favorece ao estudante melhor compreensão do espaço e da
forma e suscita a visão da matemática como uma estrutura lógica na qual ela seja
um processo de conjecturar, justificar ou refutar, em ambientes experimentais.
A visualização não se resume a ilustrar um conceito ou comunicar um
conteúdo, propõe que o estudante compreenda que os objetos apresentados na tela
de um computador podem e devem ser interpretado, provocando verbalização e
posicionamento do mesmo.
Ao explorar a abordagem geométrica na resolução de problemas no estudo
de EDs, a visualização dos conceitos e formas evita o emprego precipitado de
fórmulas, algoritmos e memorização proporcionando maior significação das
atividades.
58
3 O ENSINO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3.1 Extratos de pesquisas e estudos
Nesta seção, apresentamos extratos de pesquisas e estudos realizados por
autores que abordam o ensino e a aprendizagem do conteúdo de Equações
diferenciais.
Para Dullius (2009), Javaroni (2007), Habre (2000), Habre (2003), Rasmussen
(2001), a metodologia predominante aplicada ao ensino de EDs potencializa o
enfoque algébrico(sobre o gráfico e o numérico), com ênfase nos métodos e
técnicas de resolução analítica das EDs, o que pode não ser suficiente para um
aprendizado significativo.
Dentre os estudos realizados com objetivos de melhorar os processos de
ensino e aprendizagem de EDs destacamos os trabalhos de Habre (2000),
Rasmussen (2001), Moreno e Azcárate (2003), Javaroni (2007) e Dullius (2009).
Moreno e Azcárate (2003) realizaram uma pesquisa sobre as concepções e
crenças dos professores universitários de Matemática a respeito do ensino e
aprendizagem de EDs. Os autores desenvolveram a pesquisa com os seguintes
objetivos em um nível de análise mais geral: (i) determinar as características mais
importantes no ensino atual de EDs de estudantes de Química, Biologia e
Veterinária; (ii) explicar a manutenção dos métodos de ensino tradicionais de EDs
que favorecem uma aprendizagem mecânica e instrumental. Em um nível de análise
particular: (i) caracterizar os professores universitários de matemática de acordo com
suas crenças sobre o ensino, aprendizagem e concepções a respeito da matemática
e em particular da disciplina que leciona, (ii) identificar o nível de coerência do
conjunto das crenças e concepções dos professores e suas influências sobre a
prática docente e, (iii) avaliar a consistência e o grau de solidificação das crenças e
concepções de cada professor verificando possibilidades de modificações para a
melhoria do ensino de EDs.
Os sujeitos da pesquisa foram seis professores universitários, todos
matemáticos, especialistas em matemática aplicada e que trabalhavam, entre
outros, com os cursos de Biologia, Química e Veterinária.
Para a coleta de dados os investigadores utilizaram: questionários,
entrevistas, programas oficiais, listas de exercícios e problemas propostos,
59
referências bibliográficas para os estudantes em alguns casos e apontamentos
preparados pelos professores para acompanhamento da disciplina.
Conclusões parciais dos autores apontam para uma metodologia dominante
no âmbito universitário, baseada nas aulas tradicionais, em que o professor ocupa o
papel central. Nenhum dos professores sentiu a necessidade de utilizar outras
metodologias. A maioria dos professores pesquisados está convencida da
adequação dos conteúdos ensinados e, que levando em consideração o nível de
conhecimentos de seus alunos, adaptações no currículo incidem diretamente na
diminuição dos conteúdos teóricos ministrados e na substituição das demonstrações
pelas justificativas. Adotam uma prática, essencialmente instrumentalista, com
ênfase nas técnicas de resolução de EDs com resolução de certos problemas por
meio de modelagem.
A própria concepção formalista da matemática torna-se um obstáculo para a
maioria dos professores, se por um lado as explicações e apresentações a respeito
de um determinado conteúdo são incompletas, sem o peso do conteúdo matemático
que o sustenta, por outro lado, estão cientes do trabalho com alunos cuja
proficiência matemática impede o uso desse conhecimento de forma significativa.
A maioria dos professores adota um ensino mecânico de resolução das EDs
baseados em três fatores: (i) baixo nível de competência dos estudantes, falta
capacidade de raciocínio matemático e relacional; (ii) a facilidade do ensino de
técnicas frente à dificuldade de trabalhar com resolução de problemas; (iii) pouco
tempo que os professores disponibilizam para o planejamento da disciplina em
relação ao que deveriam investir para a adequada preparação.
Os professores, sujeitos de pesquisa, acreditam que o bom ensino está quase
que exclusivamente relacionado com o nível de conhecimento do professor, não
sentem a necessidade de uma formação continuada que lhes proporcione
ferramentas de trabalho para a aula, pensam que seria necessária uma formação
científica específica sobre aplicações das EDs para químicos, biólogos, veterinários,
estudantes da saúde.
Segundo os autores, a manutenção dos métodos de ensino tradicional frente
às novas alternativas de ensino se deve a várias razões: a) a forte crença dos
professores no baixo nível dos alunos, o que consideram inoperante qualquer
enfoque que coloque o estudante em situação de pensar e raciocinar além do
básico; b) concepção formalista da matemática, e em particular das EDs que
60
supervaloriza o tratamento analítico (algébrico) frente ao tratamento numérico e
gráfico; c) o medo da perda de conteúdos específicos de que alguns professores
consideram “matemática real” frente a conteúdos e técnicas da matemática aplicada,
que não são considerados matemática pura tradicional “de toda vida” (destaques
dos autores); d) os professores dedicam mais tempo a atividades profissionais mais
valorizadas institucionalmente do que para preparação da matéria que atualmente
eles conhecem e dominam. Os professores tem consciência da necessidade de
reciclarem e dedicarem mais tempo em preparação de suas atividades de sala de
aula.
Samer Habre desenvolveu duas investigações que abordam o ensino e
aprendizagem de EDs: “Explorando estratégias dos estudantes para resolverem
EDO em um ambiente reformado” (Habre, 2000) e “Investigando a aprovação dos
estudantes com abordagem geométrica para as soluções de EDs (Habre, 2003).
Na primeira investigação, Habre citado por Dullius(2009), após fazer uma
avaliação dos cursos introdutórios de EDO, que a metodologia empregada pelos
professores consistia na apresentação de uma sequência de técnicas para encontrar
as soluções das equações, com aplicação de muitos exercícios, com a intenção de
que as soluções pudessem ser encontradas baseadas em alguma técnica de
solução ensinada. Para Habre (2000), quando um problema físico é modelado por
uma Equação Diferencial a sua solução, na maioria das vezes, não pode ser obtida
analiticamente em termos da variável independente, os alunos terminam o curso de
EDO com pouca compreensão à respeito do que representam as soluções de EDs
num contexto de aplicação. Segundo o autor, muitos educadores apontam a
abordagem qualitativa de Equações Diferenciais para que os cursos sejam de mais
utilidade, acrescenta ainda que este tipo de abordagem não foi utilizado no passado
devido às dificuldades de representação visual, porém percebe que os avanços da
computação gráfica têm proporcionado tanto para o professor como para o aluno
novas oportunidades.
Na análise inicial, o autor evidencia que o currículo de EDO teve mudanças
favoráveis às abordagens que privilegiam os aspectos visuais e numéricos, porém,
mesmo com a utilização de programas desenvolvidos para computadores e
utilização pelos alunos como reforço ao ensino, o efeito desta tecnologia não
melhorou significativamente o entendimento dos alunos sobre EDO.
61
Habre investigou se um grupo de trinta alunos, de diversas áreas de uma
universidade do noroeste dos Estados Unidos, considerava o campo de direções
como um meio para resolver EDO de primeira ordem, verificou o sucesso dos alunos
na leitura das informações e analisou a capacidade dos estudantes em converter
notações simbólicas em gráficas e vice-versa. Mesmo após a aplicação da proposta
de ensino pelo autor, que enfatizava o aspecto geométrico no ensino de EDs com o
uso de um SAC, ao serem solicitados para resolver uma EDO, inicialmente os
estudantes verificavam se a equação era separável, linear ou exata, e em seguida
apresentavam uma solução analítica. Os instrumentos de coleta de dados utilizados
pelo autor foram os seguintes: observações em sala de aula, observações de aulas
práticas de laboratório, cópias das provas dos estudantes, cópias das atribuições do
software de computador Interactive Differential Equations (IDE), questionários e
entrevistas semiestruturadas com nove estudantes selecionados de acordo com
critérios pré-estabelecidos pelo autor.
Habre verificou que muito tempo e esforço são dedicados pelo professor para
construção de competências dos alunos para manipular algebricamente as EDs.
Neste sentido, os estudantes conceberam que a abordagem algébrica é mais
importante e útil do que as abordagens gráfica e numérica. A investigação apontou
também que os estudantes encontravam dificuldades para pensar algebricamente e
graficamente ao mesmo tempo, e necessitavam de mais tempo para assimilar a
ideia de pensar visualmente.
Na segunda investigação, Habre (2003), citado por Dullius (2009), analisou
a aceitação por um grupo de trinta e seis estudantes do terceiro período de um curso
introdutório de EDO de estudantes de engenharia da Universidade Americana
Libanesa de Beirut, em resolver EDs geometricamente.
A coleta dos dados ocorreu durante todo o semestre. Foram feitas cópias das
atividades desenvolvidas por meio do software IDE que exigiam capacidades de
visualização e cópias das provas escritas. Questionários foram enviados aos
estudantes envolvendo questões teóricas relativas à definição de EDs. Um
questionário foi aplicado no final do semestre para avaliar o trabalho do professor, o
livro utilizado, o software IDE e para obter informações sobre formas de resolver
EDs.
O autor observou que apesar dos alunos terem frequentado um curso com
metodologia diversificada, com abordagem geométrica, muitos continuaram com a
62
concepção de que uma EDO é uma equação abstrata que envolve símbolos, não
uma representação simbólica de um fenômeno do mundo real. O autor pondera que
grande parte da matemática é ensinada por meio de símbolos, desde a escola
básica até a universidade, criando uma crença nos alunos da prevalência da
abordagem simbólica sobre a abordagem gráfica (geométrica), esta não tão
confiável em relação a teoria.
Os resultados também mostraram que inicialmente os estudantes
apresentaram resistência à abordagem geométrica, mas com o decorrer do curso,
muitos aceitaram, gostaram e utilizaram em outros cursos de matemática. Verificou-
se que os alunos perceberam a eficácia do software utilizado e sua importância para
o desenvolvimento da capacidade visual e compreensão gráfica das EDs.
Numa outra pesquisa, em função das dificuldades de aprendizagem das EDs
e compreensão das ideias centrais da Matemática, Rasmussen (2001), citado por
Dullius (2009), realizou um estudo que visava encontrar novos rumos para auxiliar
os estudantes a pensar de um modo mais interpretativo e reforçar suas capacidades
de análise gráfica e numérica das EDs.
Os sujeitos da pesquisa foram seis alunos que faziam parte de uma turma de
dezesseis de um curso introdutório de EDs para cientistas e engenheiros de uma
universidade do meio-atlântico. Os dados coletados se deram por meio de
entrevistas individuais com cada aluno com base em quatro tarefas, entrevistas com
o instrutor (professor) do curso e outros docentes do departamento de matemática,
cópias de testes e de provas, cópias dos trabalhos realizados no computador, um
questionário no final do semestre sobre a utilização do software mathematica,
gravações das aulas e, notas de campo levantadas pelos estudantes.
Durante todo o curso o instrutor (professor) sempre enfatizava a importância
de usar com equilíbrio os métodos analíticos, gráficos e numéricos para análise das
EDs. O autor levantou, como referência para acompanhamento das aulas do
instrutor, tendo como objetivo a melhoria da aprendizagem dos alunos, duas
questões: o dilema da função como solução de uma ED e as imagens e percepções
dos alunos. No contexto do dilema da função como solução, o autor abordou três
aspectos: interpretação das soluções, interpretação das soluções de equilíbrio e
exploração numérica.
Rasmussen destacou que as representações gráficas não significam a
mesma ideia matemática para estudantes e comunidade matemática. Afirma que a
63
alteração necessária na conceituação de soluções como números (quando se
resolve equações algébricas), para a conceituação de funções como soluções
(quando se resolve EDO), representa uma mudança de paradigma para os
estudantes, trazendo dificuldades de entendimento.
O autor verificou que quando os estudantes pensam em função, eles
associam a uma equação ou a uma regra e não a um gráfico.
Rowland e Jovanoski (2004), citado por Dullius (2009), realizaram uma
pesquisa para identificar as dificuldades dos estudantes do primeiro ano de
licenciatura na interpretação dos termos de EDO de primeira ordem no contexto da
modelagem.
Os sujeitos da pesquisa foram cinquenta e nove estudantes que cursavam a
disciplina de Álgebra Linear no decorrer de um ano. Nesta disciplina os alunos
trabalharam com sistemas físicos que podiam ser modelados por EDO de primeira
ordem, envolvendo conceitos de crescimento populacional, desintegração radioativa,
mistura de soluções em um tanque e lei de resfriamento de Newton. Era esperado
que os estudantes resolvessem as EDOs, e fossem capazes de interpretar o
significado físico dos termos das EDO e também chegassem ao modelo matemático
do fenômeno físico abordado.
Com o propósito de investigar acerca do entendimento conceitual dos
estudantes, os autores aplicaram um teste inicial para diagnóstico, um exame no
final do primeiro semestre e entrevistas no segundo semestre.
A partir dos resultados, os pesquisadores observaram que alunos que
apresentavam bom rendimento na resolução analítica de EDO, não significava que
possuíam entendimento dos conceitos. Verificou-se que os alunos provavelmente
tinham concepções corretas, no entanto, apresentavam deficiências no uso da
linguagem, não conseguiam expressar corretamente o que haviam abstraído. Os
alunos confundiam quantidade com taxa de variação da quantidade. Os autores
sentiram a necessidade de mudanças no modo de pensar dos alunos em relação à
função que descreve “como a quantidade varia” para um pensamento à respeito da
equação que descreve “como a taxa de variação da quantidade varia” (grifos do
autor). Muitos estudantes interpretavam os termos de uma EDO como condição
inicial, valor máximo ou valor de equilíbrio. Para muitos, as relações entre as
variáveis dependentes e independentes teriam que estar explícitas, parte dos
estudantes não associavam unidades aos termos das EDO e nem às constantes de
64
proporcionalidade. Estas inconsistências refletem o fato que o conhecimento de
muitos dos estudantes apresentavam-se fragmentados, dependentes do contexto.
Os mesmos autores da pesquisa sugeriram, como forma de melhorar o
aprendizado de EDs, que fossem incluídas mais perguntas conceituais e
qualitativas, de forma que os alunos pudessem mudar seus interesses da simples
manipulação para a compreensão.
Pode-se observar que os autores das pesquisas descritas verificaram que a
metodologia predominante no contexto do ensino de EDs se resume na aula
tradicional, que potencializa a abordagem algébrica sobre a gráfica e a numérica,
com ênfase em métodos analíticos e na solução do problema. Ficou evidenciado
que os professores, sujeitos da pesquisa, não manifestaram o desejo de mudança
de sua prática pedagógica.
Os resultados destes estudos, assim como concluem Moreno e Azcárate
(2003), apontam que as razões mais relevantes para a permanência de métodos
tradicionais de ensino consistem na acomodação do professor e a falta de
comprometimento pelo ensino. Para Moreno e Azcárate (2003), os professores
preferem atribuir a responsabilidade pelo fracasso do ensino aos próprios
estudantes, suas atitudes e a má formação matemática.
Para amenizar as dificuldades encontradas pelos estudantes no ensino de
EDs, os autores das pesquisas aqui apresentadas, sugerem que os professores
busquem equilibradamente e simultaneamente as abordagens analítica, gráfica e
numérica para análise de EDs.
Dullius (2009) destaca situações extremamente importantes a dificultar os
processos de ensino e aprendizagem da matemática, em especial o de EDO: os
estudantes não demonstram interesse pelo conteúdo, resolvem mecanicamente as
atividades e participam das aulas sem motivação. Segundo os pesquisadores, os
alunos não percebem a importância do conteúdo para o seu dia-a-dia e, conforme
descrito anteriormente, o ensino de EDO é muito formal, os alunos não conseguem
entender a conexão entre EDs e a modelagem de um sistema, apresentam
dificuldades para interpretar fisicamente os parâmetros de uma EDO.
Com os recursos computacionais disponíveis atualmente, o ensino de EDs
pode ir além do método tradicional de aplicações de técnicas e listas de exercícios,
desprovidos de significados, como afirmaram os autores Moreno e Azcárate (2003),
65
Javaroni (2007), Dullius (2009), dando condições ao aluno de interpretar os diversos
contextos em que podem estar inseridas as EDs.
3.2 Análise do Conteúdo de Equações Diferenciais em Livros Didáticos
O livro didático se apresenta como um dos suportes para os processos de
ensino e aprendizagem, constitui-se num referencial para professores e alunos, seja
pela utilização rigorosa pelo professor, seja para leitura complementar pelos alunos,
para realizar estudos ou até mesmo como listas de exercícios.
A pré-análise dos livros didáticos mostrou que livros que apresentam mesmos
temas trazem abordagens diferenciadas em função das escolhas metodológicas. Ao
passo que um autor imprime um caráter algébrico na resolução de uma ED, outro
realiza uma abordagem que contempla os aspectos algébricos e geométricos,
simultaneamente. Enquanto alguns autores apresentam exercícios criativos,
contextualizados com aplicações do dia-a-dia, outros apresentam um lista
interminável de exercícios que não privilegia aspectos de interpretação e de
compreensão, o que supõe uma aprendizagem mecânica, a privilegiar a resolução
com algoritmos. As diferenças existentes nos livros-texto são grandes e,
representam a forma de pensar de cada autor na tarefa da transmissão de
conhecimentos.
Nesta seção procura-se, em linhas gerais, por meio da análise de livros
didáticos, compreender como os autores apresentam suas metodologias para o
ensino de EDs.
A seleção dos livros se deu em função do nível de preferência e adoção por
parte dos professores da Instituição onde a proposta de ensino desta pesquisa foi
aplicada e em função dos livros apresentarem propostas originais e abordagens
alternativas, que demonstram preocupação dos autores com uma aprendizagem
significativa por parte dos alunos e são livros consagrados como referência em
diversas universidades brasileiras.
Selecionou-se dois livros que tratam especificamente do conteúdo de EDs e
dois livros de Cálculo Diferencial e Integral que apresentam em seus escopos
conteúdos de EDs, são eles:
a) D. G. ZILL: Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem;
66
b) W. E. BOYCE e R. C. DIPRIMA: Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno;
c) J. STEWART: Cálculo;
d) L. LEITHOLD: O Cálculo com Geometria Analítica.
Baseado nos pressupostos teóricos que fundamentam este trabalho,
construiu-se uma série de categorias para análise dos livros didáticos escolhidos, as
quais se destacam:
a) Aspectos históricos de EDs inseridos no texto;
b) Problematização (Modelagem ou Resolução de Problemas);
c) Traçado gráfico das soluções das EDs;
d) Interpretação e análise gráfica;
e) Uso de TICs;
f) Problemas Físicos abordados;
g) Apresentação da resolução algébrica.
Na análise dos livros didáticos a seguir, estudou-se os capítulos que tratam
de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira e Segunda ordem, que
são objetos deste estudo.
LIVRO 1: D. G. ZILL: Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem
(publicado em 2003).
Nesta obra Zill mostra uma grande preocupação em apresentar o livro de uma
forma direta, legível e proveitosa, mantendo a teoria consistente, sempre
preocupado em tornar compreensivo para o estudante os conceitos, empregando
linguagem corrente que permeia todo texto.
As abordagens analítica, qualitativa e numérica de EDs são claramente
delineadas pelo autor. No capítulo dois, é mostrado o comportamento qualitativo de
soluções de EDs de primeira ordem e, o aspecto das curvas integrais por meio da
análise de campos de direções e, análise da reta de fase, antes mesmo de buscar
as soluções analíticas.
O autor não mostra a evolução das EDs, não faz referências à sua gênese e
não utiliza fatos históricos relacionados às EDs para abordagem de conteúdos.
O livro-texto apresenta aplicações de EDs em capítulos separados,
modelagem com EDs ordinárias de primeira ordem no capítulo três e modelagem
67
com EDs ordinárias de ordem superior no capítulo cinco, o que para o autor
aumenta a flexibilidade do texto, e permite ao aluno focalizar um número menor de
conceitos no início do curso. Para o estudante pode parecer um excesso a mistura
de aplicações com métodos de soluções, porém o autor intercalou aplicações em
várias seções. Praticamente em todas as seções do texto o autor apresenta
problemas, mas não utiliza a metodologia da Resolução de Problemas proposta por
Polya (2006) e outros.
No capítulo I o autor focaliza a construção de equações diferenciais mais
simples como modelos matemáticos, para posteriormente, após estudos dos
métodos de resolução de equações diferenciais, resolver estes modelos. Neste
momento o estudante tem oportunidade de vislumbrar o vasto campo de aplicações
das EDs. O autor busca a construção do conhecimento por meio de aproximações,
retomando algumas vezes os conceitos para posteriormente imprimir caráter
definitivo.
O texto é fartamente ilustrado com inúmeros diagramas e gráficos, utilizando,
às vezes, argumentos geométricos e gráficos para confirmar cálculos algébricos. Ao
mostrar gráficos das soluções dos exemplos propostos, o autor estabelece conexões
com o exercício, analisando e interpretando os resultados com uma linguagem
corrente que facilita a compreensão por parte do aluno, conduzindo-o a raciocínios
necessários ao estudo de EDs.
Ciente de que muitas instituições de ensino possuem recursos
computacionais adequados, ao fim dos conjuntos de exercícios de cada seção, o
autor apresenta “Exercícios Destinados a Laboratório de Computação” (grifo do
autor) que enfatizam a compreensão de conceitos e promovem a discussão em
grupo ou em classe. O autor justifica tal postura predizendo que esse tipo de
exercício não poderia ficar no “meio do caminho” (grifo do autor), facilitando para o
professor a decisão de omiti-lo ou cobri-lo posteriormente.
Nas listas de exercícios o autor também insere problemas que requerem
recursos tecnológicos mais simples, como calculadoras e softwares gráficos e, estão
marcados por um ícone sugestivo na margem esquerda. No final de cada seção,
também são apresentados problemas específicos para discussão, onde alguns deles
requerem recursos informáticos específicos. O autor não propõe o uso particular de
um determinado software, apenas faz raras alusões aos softwares MATHEMATICA
e MAPLE. São apresentados três projetos nos finais dos capítulos três, cinco e oito
68
contendo um conjunto de questões cada um que podem ser respondidas em um
laboratório de computação. Estes projetos exploram modelos matemáticos
relacionados com recursos naturais renováveis, ressonância e terremotos.
Verifica-se que Zill se preocupou em contextualizar o ensino de EDs em
praticamente todos os campos das Ciências. Fenômenos sociológicos, físicos,
econômicos, ambientais, populacionais, dentre outros, são descritos em termos
matemáticos (modelagem). Encontramos problemas de modelagem em muitos
ramos da Física, dentre eles, destacamos os conteúdos: Lei de Newton do
Esfriamento/Aquecimento, Lei de Torricelli, Circuitos Elétricos, Corpos em Queda e
Sistemas Massa-Mola.
No início do capítulo dois, o autor ao definir campo de direções de uma
Equação Diferencial de primeira ordem, emprega a abordagem geométrica que
ressalta os aspectos qualitativos das soluções. Zill mostra que não há necessidade
de resolver uma Equação Diferencial autônoma para analisar o comportamento de
suas curvas integrais. Nas seções seguintes, observou-se um tratamento formal,
sistematizado e logicamente organizado, evidenciado na exposição dos métodos de
resolução de EDs de primeira e segunda ordem.
Para completar os três tipos de abordagem, na última seção do capítulo dois,
o autor mostra o método relativamente simples de Euler para aproximações de
soluções de problemas de valor inicial de primeira ordem, para dar noção ao
estudante dos métodos numéricos, uma vez que o método não é muito utilizado em
cálculos importantes. No capitulo nove são apresentados métodos numéricos mais
precisos. A seguir apresenta-se a sequência temática de Dennis G. Zill.
69
Figura 3 - Sequência temática de Dennis G. Zill
Fonte: Elaborada pelo autor.
LIVRO 2: W. E. BOYCE e R. C. DIPRIMA: Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno (publicado em 2006 – Oitava Edição).
Nesta edição Boyce e DiPrima apresentam uma preocupação maior com o
visual, une o rigor matemático a uma apresentação clara e intuitiva, onde a
abordagem qualitativa das EDs se mostra evidente, menos dependente de fórmulas.
Ao final do primeiro capítulo, encontra-se duas páginas onde os autores
apresentam sucintamente a evolução das EDs, desde a sua gênese que se verificou
nos estudos de Cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) até o século XX, período onde foram criados os métodos geométricos
cujo objetivo principal consiste em compreender qualitativamente o comportamento
de soluções de um ponto de vista geométrico e analítico. Para os autores, nos
últimos anos, as diferentes abordagens, o computador e a computação gráfica
trouxeram novo impulso ao estudo das EDs não-lineares. Caos, fractais e atratores
estranhos são exemplos de fenômenos descobertos que estão sendo estudados e
gerando novas e importantes ideias em diversas aplicações, o que pode ser
motivador para os alunos.
Encontrou-se informações históricas contidas em notas de rodapé ao longo
do livro e referências listadas ao final dos capítulos. Aspectos históricos também são
Introdução às
Equações Diferenciais
Equações
Diferenciais de
Primeira Ordem
Modelagem com
Equações Diferenciais
de Primeira Ordem
Equações Diferenciais
de Ordem Superior
Modelagem com
Equações Diferenciais
de Ordem Superior
Soluções em Série
das Equações
Diferenciais
A Transformada de
Laplace
Sistemas de Equações
Diferenciais Lineares
de Primeira Ordem
Soluções Numéricas
de Equações
Diferenciais Ordinárias
70
explorados pelo autor em vários exercícios, como o problema da Braquistócrona10
(exercício 32 da página 37) colocado por Johann Bernoulli, em 1696, como um
desafio aos matemáticos da época.
A construção de conceitos, em alguns capítulos do livro-texto, parte de
importantes problemas motivadores. Os autores utilizam uma linguagem corrente,
procurando a todo tempo convencer o leitor, e estão constantemente fazendo
questionamentos, discutindo dificuldades e mostrando possíveis caminhos para
solucioná-las.
Desde o início do texto, por meio de aproximações, os autores buscam a
construção do conhecimento, retornando mais de uma vez em determinados
contextos, estabelecendo um caráter não definitivo ao conhecimento construído. Já,
no primeiro capítulo, os autores utilizam dois problemas, o primeiro trata de um
objeto em queda e o outro está relacionado à ecologia (crescimento populacional)
para ilustrar ideias básicas e constantemente estão retornando a estes problemas à
medida que as ideias vão sendo aprofundadas ao longo do livro.
Os autores mostram uma grande preocupação com a modelagem matemática
dos problemas. Para usar as EDs nos diversos campos em que elas são úteis, para
cada fenômeno ou problema proposto é preciso construir a ED apropriada. Em uma
linguagem de fácil entendimento, (capítulo I – página cinco) são descritos seis
passos que fazem, frequentemente, parte do processo de construção de um modelo
matemático representativo de um fenômeno da natureza. Os mesmos afirmam que
um modelo para ser convincente é necessário verificar se suas previsões coincidem
com observações ou resultados experimentais.
Boyce e DiPrima, antes mesmo de resolver analiticamente EDO lineares de
primeira ordem, mostram que um campo de direções desenhado em uma malha
razoavelmente fina, fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções
destas equações. Enfatizam a importância das soluções de equilíbrio para a
compreensão do comportamento das soluções de EDs. Para a construção de campo
de direções, que envolve cálculos repetitivos, os autores sugerem o uso de um
software matemático, pois o Campo de Direções auxilia a análise gráfica das
10
A palavra “braquistócrona” vem das palavras gregas brachistos, que significa o mais curto, e
chronos, que significa tempo (BOYCE; DIPRIMA, 2006, p. 37).
71
soluções das Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, principalmente o
comportamento gráfico dos fenômenos estudados pelas Equações Diferenciais.
O computador é visto pelos autores como uma ferramenta extremamente útil
no estudo das EDs. Poucas linhas de código em uma linguagem de alto nível, em
um simples computador doméstico, são suficientes para aproximar, com bastante
precisão, soluções de um amplo espectro de EDs. As apresentações gráficas são
mais claras e úteis para a compreensão e interpretação das soluções das EDs. Os
softwares MAPLE, MATHEMATICA E MATLAB são citados pelos autores como
pacotes extremamente poderosos que podem efetuar uma gama muito grande de
operações matemáticas, dentre elas: cálculos numéricos extremos e apresentações
gráficas versáteis. Os autores sugerem que qualquer pessoa que pretende tratar de
EDs de um modo mais aprofundado, deve familiarizar-se com softwares como os já
mencionados, explorando as diversas maneiras de utilização. Os autores apontam
uma grande quantidade de exercícios para serem explorados com utilização de
computadores no livro-texto por meio de uma figura de um mouse na margem
esquerda.
O texto apresenta muitas figuras e gráficos. Os autores estão sempre
sugerindo ao leitor a utilização do computador para resolução e análise das soluções
das EDs, nas operações repetitivas que o estudante levaria um longo tempo para
realizá-las, pois o computador otimiza estes cálculos. Gráficos de soluções de EDs,
em uma mesma malha, com variações do valor da constante, obtendo as soluções
particulares das EDS, determinadas por meio de computadores, são sempre
mostrados para clarificar ao estudante o que representa um conjunto de soluções de
uma ED com possibilidades de confrontar argumentos algébricos com gráficos.
Soluções gráficas de problemas de valor inicial e curvas integrais também são
exploradas por meio de uma linguagem ao estabelecer conexões entre o
desenvolvimento algébrico e o gráfico.
Esquemas representativos dos fenômenos naturais abordados nos problemas
propostos pelos autores poderiam ser mais explorados. Reta de fase de uma
Equação Diferencial autônoma é um argumento graficamente explorado pelos
autores.
Boyce e DiPrima procuraram ao longo do texto mostrar aplicações de EDs em
quase todos os campos das Ciências, na Física, na Medicina, na Biologia, Química,
na Astronáutica, na Contabilidade, dentre outros. Relacionados à Física
72
encontramos problemas de Mecânica, Termodinâmica, Eletricidade, Vibrações
Mecânicas e Elétricas.
Apesar dos autores utilizarem muito a linguagem coloquial, procurando
discutir com o leitor, a formalização dos argumentos e a generalização estão sempre
presentes principalmente na exposição da teoria e nas demonstrações dos
teoremas.
A sequência temática apresenta o ensino de EDs sistematizado e estruturado
da seguinte maneira:
Figura 4 - A sequência temática de Boyce e DiPrima.
Fonte: Elaborada pelo autor.
LIVRO 3 : J. STEWART: Cálculo – Volume II (publicado em 2009 – Sexta Edição).
Este volume que trás os capítulos de 9 a 17 é uma continuação do volume I
(capítulos 1 a 8) de um curso de Cálculo Diferencial e Integral. Serão analisados o
capítulo 9 que versa sobre Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, e o
capítulo 17 que trata das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem.
Introdução às
Equações Diferenciais
Equações
Diferenciais de
Primeira Ordem
Equações Lineares de
Segunda Ordem
A Transformada de
Laplace
Soluções em Série
para Equações
Lineares de Segunda
Ordem
Equações Lineares
de Ordem Mais Alta
Sistemas de Equações
Diferenciais Lineares
de Primeira Ordem
Métodos Numéricos Equações Diferenciais
Não-Lineares e
Estabilidade
Equações Diferenciais
Parciais e Séries de
Fourier
Problemas de Valores
de Contorno
73
Com o movimento de Reforma do Cálculo, impulsionado pela Conferência de
Tulane, em 1986, o autor destaca que a ênfase do ensino de Cálculo está na
compreensão dos conceitos, que deve se constituir como a meta principal do ensino
do Cálculo.
Procurando seguir as orientações da Conferência de Tulane que tinha como
recomendação fundamental: Focalizar na compreensão conceitual, o autor procurou
implementar esta meta utilizando a “Regra dos Três”. Nesta regra os tópicos devem
ser abordados geometricamente, numericamente e algebricamente. Recentemente
esta regra foi acrescida da interpretação verbal tornando-se conhecida como Regra
de Quatro que permite ao aluno transitar entre as várias formas de representação.
No capítulo 9, com objetivos de despertar a imaginação dos estudantes,
estimular a pesquisa, trabalhar em grupos, o autor propõe o desenvolvimento de três
projetos aplicados: 1) Quão Rápido um Tanque Esvazia?; 2) O Que É Mais Rápido:
Subir ou Descer?; 3) Cálculo e Beisebol. O autor alerta que ao desenvolverem estes
projetos, os estudantes poderão se surpreender com as respostas.
O autor apregoa que desde a época de George Polya não houve avanços
significativos na área da Resolução de Problemas. Os estudantes apresentam
maiores dificuldades com problemas que não evidenciam os procedimentos bem
definidos para chegar a conclusões. Ao final de cada capítulo o autor apresenta uma
série de problemas os quais ele denomina de “Problemas Quentes” em que não há
um único procedimento para se chegar à solução. Visando explorar estratégias
diversificadas de resolução de problemas, apresenta os quatro estágios propostos
por Polya.
Nota-se uma grande preocupação do autor em manter um texto sempre
atual, com problemas do mundo real e sintonizado com a evolução tecnológica. No
capítulo 9 o autor começa mostrando fenômenos que podem ser modelados com
EDs, o que pode ser motivador para o leitor. Por meio de uma linguagem corrente, o
mesmo conduz o leitor por meio de raciocínios lógicos estruturados a descobrir e
validar diversos modelos matemáticos representativos dos mais variados
fenômenos. Por meio de conjecturas e proposições, vão sendo delineadas diversas
soluções de modelos ilustrados com vários esquemas e gráficos onde as
abordagens qualitativa e analítica vão sendo tratadas com a mesma importância.
No capítulo 9, a construção detalhada de campos de direções, com vários
esquemas e gráficos, permite uma compreensão das diversas situações físicas que
74
podem ser modeladas por meio de EDs. Chama a atenção o fato do método de
Euler ser estudando antes das equações separáveis. Para o autor, a ideia básica por
trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações
numéricas para as soluções das equações diferenciais. Verifica-se a mesma
importância dada as abordagens qualitativa, numérica e analítica ao longo do
capítulo.
Nos dois capítulos, verifica-se um texto rico em figuras e gráficos onde o leitor
encontra possibilidades de confrontar argumentos algébricos com gráficos,
permitindo interpretações e análises. Além do autor, por meio de uma linguagem
corrente, estabelecer conexões entre o desenvolvimento analítico e o gráfico, as
figuras apresentam textos elucidativos que facilitam a compreensão.
Para Stewart, o computador, se usado adequadamente, é uma ferramenta
valiosa na descoberta e compreensão dos conceitos. São usados dois ícones na
margem esquerda dos exercícios para indicar o uso do computador, um quando o
problema requer o uso de uma calculadora gráfica ou, um computador com um
software gráfico e o outro quando se faz necessário o uso de um Sistema Algébrico
Computacional (como DERIVE, MAPLE, MATHEMATICA), contudo, o autor prefere
cálculos à mão e esboços para ilustrar e reforçar conceitos.
No capítulo 9, Stewart procurou motivar e ilustrar os conceitos de cálculo
apresentando o texto com inúmeras aplicações de EDs. Lei de Hooke, Leis de
Newton, Lei de Ohm, Lei de Kirchhoff, são algumas das leis que regem vários
fenômenos físicos apresentados. No capítulo 17, a preocupação com a formalização
mantém-se contínua, são omitidas algumas demonstrações sem prejuízo de
compreensão para o leitor. Em uma sessão separada o autor trata problemas de
vibrações de mola e circuitos elétricos como aplicações de Equações Diferenciais
Lineares de Segunda Ordem. Faz uso da linguagem formal. Na última seção do
capítulo, o autor mostra como séries de potência são utilizadas para resolver EDs.
O autor não faz referência a aspectos históricos das EDs. Na maior parte das
seções o ensino de EDs é apresentado sistematizado.
LIVRO 4 : LEITHOLD: O Cálculo com Geometria Analítica – Volume II
(publicado em 1994 – Terceira Edição).
Este texto apresenta nove capítulos e é uma continuação do volume I do
mesmo autor. O capítulo 20, que trata das equações diferenciais, foi escrito pelo
75
professor Cyro de Carvalho Patarra do IME-SP para satisfazer o currículo de cursos
nacionais.
No capítulo 20, são tratadas as Equações Diferenciais Lineares de Primeira
Ordem, as Equações Diferenciais de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
e Resolução de Equações Diferenciais por Séries.
O texto não apresenta aspectos históricos, as ideias fundamentais das EDs
são pouco exploradas, o foco está nos conceitos já formalizados.
A linguagem formal está presente em todo o texto. O autor não dialoga com o
estudante, não questiona, não discute dificuldades, não mostra caminhos
alternativos, não apresenta variedades de argumentos nem tenta convencer. A
preocupação com a generalização se mostra no cuidado com as demonstrações. Os
argumentos utilizados apontam para a lógica interna onde a construção do
conhecimento tem caráter definitivo.
O texto não apresenta problemas que motivam a construção dos conceitos,
inicia-se diretamente com o conceito. São apresentados problemas resolvidos nos
finais das seções para ilustrar aplicações de EDs e revelação de resultados. Os
estudantes não são sugestionados a trabalhar em contexto. Uma quantidade mínima
de exercícios é sugerida no final das seções.
O texto quase não apresenta ilustrações ou gráficos, não é trabalhado o
conceito de campo de direções e Problemas de Valor Inicial são poucos explorados.
O autor emprega a abordagem analítica.
A sequência temática mostra o ensino de EDs sistematizado e logicamente
estruturado. Encontramos três problemas físicos abordados, relacionados com
espelhos parabólicos, movimento de pêndulos e vibrações mecânicas de pequenas
amplitudes.
O autor não faz referências às novas tecnologias e nem apregoa seu uso.
3.3 Produção Acadêmica: síntese de algumas pesquisas
Apesar de existirem muitos autores de livros didáticos de EDs, constatou-se
por meio de pesquisas em periódicos, revistas especializadas em Educação
Matemática, programas de pós-graduação em Educação Matemática de diversas
instituições, banco de teses da CAPES, dentre outros, que existem poucas
investigações na área do Ensino de EDs.
76
Rasmussen (2001), citado por Javaroni (2007), afirma a existência de poucas
pesquisas e publicações relacionadas com o contexto do ensino de EDs, o mesmo
autor defende a necessidade de desenvolver pesquisas que envolvam os conceitos
de EDs com a abordagem qualitativa.
Esta pesquisa propõe uma metodologia que visa à aprendizagem da
aplicação das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem por
resolução de problemas de fenômenos pelas abordagens analítica e qualitativa com
foco na interpretação gráfica e utilização de recursos computacionais. Encontrou-se
três pesquisas no cenário nacional, que se assemelham com esta, que exploram o
ensino de EDs com abordagem qualitativa. Pelo restrito número de investigações no
ensino de EDO, definiu-se trazer uma síntese do desenvolvimento das mesmas e,
no final da seção mostrar uma diferenciação desta proposta de pesquisa com estas
já realizadas.
A professora Sueli Liberatti Javaroni (2007) da UNESP de Rio Claro, em sua
tese de Doutorado intitulada “Abordagem Geométrica: possibilidades para o ensino e
aprendizagem de Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias”, orientada pelo
professor Dr. Marcelo Carvalho Borba, propõe um enfoque semelhante ao
vislumbrado nesta proposta, porém, procura analisar as possibilidades de ensino e
aprendizagem de introdução às EDO por meio da análise qualitativa dos modelos
matemáticos, com o auxilio das TICs.
A pergunta diretriz que conduziu os trabalhos de Javaroni foi: “Quais as
possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às EDO através da análise
qualitativa dos modelos matemáticos, com o auxílio de Tecnologia de Informação e
Comunicação?”
A pesquisa de Javaroni foi iniciada com um levantamento bibliográfico acerca
dos trabalhos que envolviam a demonstração no ensino de cálculo mediado por
mídias informáticas. A pesquisadora, com esta revisão da literatura, encontrou um
grande número de pesquisas nesta área, porém, especificamente sobre o ensino de
EDO com utilização de TICs, não foi encontrado nenhuma pesquisa. Este espaço
em branco impulsionou ainda mais Javaroni a desenvolver sua pesquisa.
A autora apresenta uma exposição de conceitos básicos sobre introdução às
EDs baseada em autores dos quais destacamos Bassanezi, Zill, Boyce e Diprima.
Uma visão geral sobre o ensino de EDs baseado em TICs é também apresentada.
77
As relações entre EDs e Matemática Aplicada e, também as relações entre
EDs e Modelos Matemáticos são colocadas por Javaroni. Neste contexto, onde os
conceitos de Matemática Aplicada e Modelos Matemáticos são definidos e
preconizados nas acepções de Bassanezi.
Misturas, misturas entre recipientes, sistema massa-mola, desintegração
radioativa, crescimento populacional-modelo de Malthus e equação do calor são
exemplos de modelos físicos descritos pela autora em sua pesquisa.
Os elementos básicos das EDO, no intuito de subsidiar a classificação das
equações, foram apresentados.
A respeito do Ensino de EDO em cursos de Biologia, Física e Engenharias,
Javaroni esclarece que:
[...] de maneira geral, o ensino desta disciplina, nos cursos de graduação, se dá através da apresentação de vários métodos de resolução de tipos de EDs integráveis, com a aplicação de listas de exercícios, as quais podem ser resolvidas pelos métodos apresentados, tornando-os assim um ensino fundamental. (JAVARONI, 2007, p.40-41).
A autora apregoa que é possível analisar um modelo por meio de sua própria
equação, podendo fazer deduções qualitativas acerca do modelo, não só por
soluções obtidas analiticamente, justificando assim que se acrescente à abordagem
algébrica a abordagem qualitativa por meio do campo de direções.
O Laboratório de Informática e Educação Matemática (LIEM) da Unesp,
campus de Rio Claro, foi o local onde a pesquisa se desenvolveu. Por meio do curso
de extensão intitulado “Modelagem e Métodos Computacionais em EDO”, nove
alunos, divididos em três duplas e um trio, se caracterizaram como sujeitos desta
pesquisa e eram do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto de
Geociências e Ciências Exatas. Foi sugerido investigar os seguintes modelos:
a) objeto em queda na atmosfera da Terra próximo ao nível do mar;
b) modelo populacional de Malthus;
c) modelo populacional de Verhulst;
d) lei do resfriamento.
Os alunos participantes da pesquisa utilizaram cadernos de anotações,
planilha eletrônica Excel, os softwares Winplot e Maple e um applet. O software
78
Camtasia foi utilizado para a coleta de dados. Por meio deste software foi possível
capturar imagens, vídeos e áudio das ações desenvolvidas pelos alunos. Além de
filmagens dos alunos, a pesquisadora utilizou uma caderneta de campo para
anotações dos pontos que considerava mais importante.
Dois questionários foram aplicados pela autora durante o curso de extensão,
um no início com objetivos de verificar o perfil dos estudantes e outro no início e no
final do curso sobre conhecimentos teóricos dos mesmos acerca de EDs com o
intuito de verificar evidências sobre o desenvolvimento deles durante o curso.
A autora define episódios como histórias que ela conta a partir dos fatos que
ocorreram no ambiente da sala de aula do curso de extensão. Em uma análise mais
aprofundada dos episódios, alguns aspectos foram suscitados pela autora e aqui
apresentamos:
a) importância do desenvolvimento do processo de modelagem matemática;
b) coordenação dos várias mídias utilizadas;
c) utilização dos comandos do winplot juntamente com os do Maple;
d) elaboração e verificação de conjecturas;
e) interação entre os alunos e as mídias.
Araújo e Borba (2004), Arcavi (2003), Borba e Penteado (2001), Borba e
Villareal (2005), Habre (2000), Habre (2003), Kallaher (1999), Lévy (1993),
Rasmussen (2001), são autores que Javaroni utilizou para a análise dos dados da
pesquisa.
Processo de visualização em atividades investigativas auxiliadas pelas mídias
informáticas, abordagens geométricas e algébricas com mídias informáticas e
conhecimento de rede de significados são temas utilizados pela autora para uma
análise detalhada de cada episódio.
A autora afirma que a visualização é essencial ao entendimento dos aspectos
dinâmicos do ensino de EDs, consiste em processos de várias naturezas. Salienta
as dificuldades impostas pela visualização citando a célebre frase de Goethe: “nós
não sabemos o que vemos, nós vemos o que sabemos” justificando que os
professores conseguem enxergar além daquilo que os alunos enxergam, que os
alunos não necessariamente veem o que os professores veem.
79
Javaroni (2007), ao citar Borba e Villareal (2005), à respeito das abordagens
algébrica e geométrica com as mídias informáticas, esclarece que uma pessoa pode
utilizar a abordagem algébrica ou a visual dependendo do problema e da mídia com
a qual está interagindo, apesar de apresentarem características distintas, as
representações visuais e algébricas são complementares nos processos de
aprendizagem matemática.
A autora diagnosticou uma das causas que levam os alunos à predominância
pela abordagem algébrica. Reside no preceito de que tradicionalmente resolver uma
equação tem sempre o significado de encontrar um valor para o desconhecido.
Existem alunos que pensam que ao resolver algebricamente uma Equação
Diferencial Ordinária consegue obter todas as informações sobre ela. Em sua
proposta, resolver uma equação, significa em muitos casos, esboçar gráficos das
soluções e avaliá-los.
Segundo Javaroni, o conhecimento como rede de significados tem sido
reforçado pela presença crescente das TICs no cotidiano. A autora ao citar
Machado, descreve que a compreensão não pode ser simplesmente fruto da
transmissão de informações, mas deve sim, ser fruto da apreensão do significado do
objeto do conhecimento. Essa rede é constituída por nós, que representam
conceitos. As linhas que partem deles, ligando-os a outros nós, são as múltiplas
relações que se estabelecem proporcionando a compreensão dos mesmos.
Javaroni acredita que iniciar um curso de EDO com o estudo de modelos
matemáticos clássicos da literatura, explorando-os com o auxílio das TICs, pode
trazer mais possibilidades para o processo de aprendizagem dos alunos e, atribuir
mais significados para essa disciplina.
Outro pesquisador que desenvolveu um trabalho semelhante ao nosso foi
Murilo Barros Alves (2008) da Universidade Estadual do Maranhão. Sua pesquisa
está descrita na dissertação de Mestrado intitulada “EDO em Cursos de Licenciatura
em Matemática – formulação, resolução de problemas e introdução à modelagem
matemática”, orientada pelo professor João Bosco Laudares da PUC Minas; também
orientador da pesquisa apresentada nesta Dissertação.
Alves, ao envolver-se com atividades docentes da UEMA, suscita questões
relativas à prática pedagógica em sala de aula, reflexões emergem a respeito do
ensino de Equações Diferencias. O autor mostra que esta dissertação foi idealizada
pensando como o ensino das EDO pode complementar e ressignificar o
80
entendimento do conceito de derivada como taxa de variação, visando contribuir
para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral em cursos de Licenciatura em
Matemática. Segundo Alves, o estudante passa pelo conteúdo de EDs e não
consegue relacioná-lo com as outras etapas do estudo de Cálculo.
Alves faz uma incursão na história do Cálculo rememorando os feitos
matemáticos de Newton e Leibniz na criação do Cálculo Diferencial e de sua ligação
com a taxa de variação de uma função. Com essa revisão da literatura, o autor pode
mostrar também a origem do estudo das integrais que surgiu com a necessidade de
resolver problemas de quadratura e cubatura.
Baseado na revisão da literatura, o autor apresenta a definição de James
Stewart de seu livro Cálculo para Equações Diferenciais: “Equação Diferencial é
uma equação que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas
derivadas”. Os métodos de resolução de EDO de primeira e segunda ordem são
apresentados por meio de dois quadros identificando os tipos de EDs, se linear ou
não. Os tipos de soluções de uma equação diferencial ordinária são apresentados
juntamente com uma resolução geométrica de uma equação diferencial. Um
exemplo de resolução de EDs por séries envolvendo a segunda lei de Newton e a lei
de Hooke é também mostrado pelo autor. Alves discute sobre a possibilidade de se
obter o campo de direções de uma equação diferencial mesmo não tendo a solução
desta expressa através de uma função matemática, o que permite condições de
análise do comportamento do fenômeno em estudo.
Alves faz uma exposição envolvendo definições de modelagem matemática
baseado em livros-textos de diversos autores, dentre elas a elaborada por
Bassanezi (2002) que se traduz no “conjunto de símbolos e relações matemáticas
que representam de alguma forma o objeto estudado”. Alves destaca o esquema da
figura 5 que mostra a modelagem matemática como um processo dinâmico onde os
fluxos das setas são de ida e volta, o pesquisador está sempre moldando e
modificando o seu modelo com objetivo de aproximar cada vez mais da realidade,
validando-o e aplicando-o em situações semelhantes.
81
Figura 5 - Processo de modelagem matemática segundo Bassanezi.
Fonte: Ensino-aprendizagem com modelagem matemática, Bassanezi (2002, p. 27).
Segundo o autor, o aprendizado das EDs promove a articulação de toda uma
visão de mundo, de uma compreensão dinâmica do universo, capaz de transcender
nossos limites temporais e espaciais. Esta percepção de mundo intervém para que
as EDs sejam percebidas como ação social humana que promove a consciência de
uma responsabilidade social e ética.
Analisou-se vários livros didáticos em relação ao conteúdo e metodologia do
ensino de EDs, dentre eles destaca-se: Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Contorno de Boyce e Diprima (2002) e Equações Diferenciais
Elementares: com Problemas de Contorno de Edwards e Penney (1995). Os
resultados da análise mostraram que os livros abordam inúmeras situações que
envolvem os fenômenos da natureza, Economia, dentre outras áreas do
conhecimento. Desta forma Alves afirma que o professor de matemática pode
introduzir seus alunos à modelagem matemática saindo um pouco da algebrização e
treinamento de algoritmos.
Alves ressalta o fato de praticamente não haverem pesquisas que tratam do
ensino e da aprendizagem de EDs em cursos superiores da área de Ciências Exatas
e Matemática. A academia deixa transparecer uma preocupação muito grande de
como os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral estão sendo ensinados e
82
aprendidos, que na maioria das vezes estão fundamentados em aulas que valorizam
a memorização, a aplicação de técnicas, regras e algoritmos em detrimento ao
processo criativo matemático que valoriza o processo de raciocínio investigativo,
reflexivo e crítico. Em contraposição a este quadro, Alves cita a pesquisadora Sueli
Liberatti Javaroni da UNESP, já citada neste trabalho, de Bauru que vem
desenvolvendo uma pesquisa que apregoa ao ensino de EDO uma “abordagem
qualitativa” (geométrica) onde os estudantes, por meio de processos de
experimentação e visualização são conduzidos a uma discussão sobre as
representações múltiplas das EDs. O autor percebe a necessidade de novas
estratégias que modifiquem a postura do professor frente à disciplina de EDs.
Aponta a modelagem matemática aliada às tecnologias computacionais, como uma
alternativa, dentre outras estratégias a possibilitar o desenvolvimento da intuição
matemática.
No intuito de estabelecer a importância da ressignificação de certos
conteúdos, em particular o conceito de derivada como taxa de variação, Alves, por
meio da análise do livro Ensino-aprendizagem com modelagem matemática de
Bassanezi, Encontrou subsídios para propor novas metodologias que viessem tornar
a disciplina de EDs menos abstrata e mais aplicada, dando oportunidade ao aluno
de vivenciar a construção de conhecimentos. A modelagem matemática foi um dos
instrumentos utilizados pelo autor na aplicação das atividades de sua proposta de
ensino.
Os sujeitos desta pesquisa foram 56 alunos do Curso de Licenciatura em
Matemática do campus da UEMA (UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO)
em Imperatriz que cursaram a disciplina de Equações Diferenciais nos períodos de
2007/01 e 2007/02, 30 alunos do período de 2007/01 e 26 alunos do período
2007/02.
Adotou-se como procedimento metodológico a pesquisa qualitativa empirista
com a elaboração de três atividades investigativas que inicialmente envolvia
modelagem matemática. Estas atividades foram elaboradas com a metodologia de
Ponte (2003) e foram aplicadas aos alunos.
Para a aplicação das atividades a turma de 2007/01 foi dividida em 15 duplas
e a turma de 2007/02 em 13 duplas. O autor construiu as atividades baseadas em
fenômenos da natureza, tais como: resfriamento ou aquecimento de um corpo e
crescimento populacional. A aplicação foi dividida em quatro momentos, no primeiro
83
momento o aluno foi instigado, a partir de seus prévios conhecimentos de ciências, a
descrever o fenômeno sem a preocupação com algebrismos ou algoritmizações. No
segundo momento houve a socialização dos resultados obtidos. Num terceiro
momento, os estudantes, munidos das teorias de resolução de Equações
Diferenciais, refizeram as atividades e houve uma nova socialização. Neste
momento ocorreu a integralização da modelagem matemática com o fenômeno
matematizado composto pela sua Equação Diferencial, sua respectiva solução e
representação gráfica. No último momento as duplas são levadas para o laboratório
de informática e por meio do software MAPLE refizeram as atividades propostas. Na
socialização dos resultados, as duas turmas relataram que com a utilização do
software MAPLE a análise do fenômeno ficou mais simples de ser visualizada. Os
estudantes também corroboraram com a ideia de que o software MAPLE possibilita,
mediante a mudança de parâmetros, a experimentação e simulação dos diversos
fenômenos estudados.
Alves considera a ferramenta computacional como um facilitador do processo
investigativo, a cada ideia que o aluno apresenta sobre uma situação problema, esta
pode ser simulada no computador, o que agiliza todo o processo de investigação.
O autor destaca que a prática tradicional de ensino influenciou
significativamente os alunos no processo de construção dos modelos matemáticos,
uma vez que o estudante está habituado a memorizar e a algoritmizar em oposição
cognitiva ao exercício de pensar a matemática. Ressalta também que encontrou
dificuldades na análise qualitativa dos fenômenos estudados em função dos alunos
procurarem sempre um resultado numérico para a solução de um problema
envolvendo EDs. Enfim, baseado nos resultados observados, o autor vê a
necessidade de uma mudança didática que culmine na melhoria da aplicação dos
conceitos, ressignificando o aprendizado e aproveitando os conhecimentos prévios
dos estudantes.
Outra pesquisa que apresentou características semelhantes a esta, foi
conduzida pela professora Maria Madalena Dullius (2009) do Centro Universitário
UNIVATES em Lajeado-RS que integrou a sua tese11 de doutorado intitulada
“ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN ECUACIONES DIFERENCIALES CON
11
A tese em voga faz parte do Programa Internacional de Doutorado em Ensino de Ciências (PIDEC)
promovido pela Universidad de Burgos (UBU), España e pela Universidade Federal do Rio Grande
do Sul (UFRGS).
84
ABORDAJE GRÁFICO, NUMÉRICO Y ANALÍTICO”, orientada pela professora
Eliane Angela Veit e co-orientada pelo professor Ives Solano Araujo.
Dullius propôs investigar o ensino do conteúdo de EDs por meio de uma
metodologia diferenciada, com foco em situações problemas, utilizando inicialmente
recursos computacionais para explorar a solução de uma equação diferencial e só
depois empregar o uso das técnicas para as resoluções analíticas das equações.
Levando em consideração a interação social dos alunos, a autora busca
proporcionar condições favoráveis de aprendizagem significativa do conteúdo.
A preocupação de trabalhar com abordagens diferentes no ensino de EDs
tem preocupado a pesquisadora desde os tempos de sua graduação, onde a ênfase
era dada nas técnicas de resolução das equações. Ao resolver longos exercícios de
EDs, a autora não conseguia atribuir significados às respostas. Atuando como
professora de Cálculo Diferencial e Integral nos cursos de Engenharia e Química
Industrial, Dullius percebe que seus alunos apresentam as mesmas insatisfações,
não conseguem perceber a importância do conteúdo para seus cursos e para a vida.
Moreno e Azcárate (1997; 2003) citados por Dullius destacam a existência
de três estilos de professores: (i) o estilo tradicional focado em técnicas analíticas de
resolução de EDs com uma abordagem mais estrutural do conteúdo; (ii) o estilo mais
avançado que considera as EDs como um instrumento para abordar modelos
matemáticos e resolver problemas, abordando simultaneamente representações
gráficas, numéricas e simbólicas e (iii) o estilo transitório, no qual o professor entra
em conflito entre o “que faz” e o “que se poderia fazer”. A autora verificou em sua
pesquisa que a metodologia que predomina no ensino de EDs é a aula tradicional,
que potencializa a abordagem algébrica, e constatou também que nenhum dos
professores entrevistados sentiu necessidade de modificar a sua metodologia.
Dullius destaca alguns trabalhos que foram realizados com o objetivo de
melhorar os processos de ensino de aprendizagem de EDs: Habre (2000) que
abordou o campo de direções como um meio para resolver EDO, posteriormente,
Habre (2003) investigou a aceitação dos estudantes em resolver EDs
geometricamente, Rasmussen (2001) realizou uma investigação sobre as
dificuldades de aprendizagem dos estudantes em abordar equilibradamente,
métodos analíticos, gráficos e numéricos para a análise de EDs, Almeida e Borssoi
(2004) que desenvolveram uma proposta para o estudo de EDO fundamentada nos
85
pressupostos teóricos da modelagem matemática na perspectiva da Educação
Matemática e da Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel.
Para elaborar a proposta focada na resolução de situações-problema e no
uso dos recursos computacionais, os pressupostos utilizados foram os da Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel. A Teoria Sócio-interacionista de Vygotsky
(2000; 2003) sustentou a metodologia empregada na prática pedagógica.
Na abordagem sobre os conteúdos de Equações Diferenciais de primeira e
segunda ordem, Dullius se concentrou nos seguintes objetivos: (i) representar
matematicamente, por meio de EDOs, situações problemas; (ii) obter informações
sobre o comportamento das soluções de EDOs sem resolvê-las analiticamente, por
meio da análise semiquantitativa das variáveis e dos parâmetros, conhecendo as
representações gráficas básicas para as equações e o impacto que a alteração dos
valores dos parâmetros e das variáveis provocam graficamente e (iii) favorecer o
domínio de técnicas de soluções analíticas de EDOs, sabendo classificá-las
segundo critérios de ordem e linearidade.
Ancorada nas obras de Zill (2003) e Boyce e Diprima (2006) a autora
apresenta a definição de Equação Diferencial, estabelece a diferença entre EDOs e
equações diferenciais parciais com vários exemplos. Esclarece também que a ordem
de uma EDO ou EDP é a ordem da maior derivada na equação, apresentando
diversos exemplos.
Dullius destaca que a representação gráfica da solução geral de uma
equação diferencial de primeira ordem consiste de uma família infinita de curvas e a
solução particular é uma destas curvas.
Um método numérico (Método de Euler) para encontrar a solução de uma
EDO descrito do livro de Boyce e Diprima (2006) é apresentado pela autora.
São apresentadas três técnicas analíticas para resolver determinados tipos de
EDs exemplificando cada uma delas. A autora trata especificamente da resolução
das EDOs de primeira ordem separáveis, EDOs lineares de primeira ordem e as
EDOs lineares de segunda ordem.
O Centro Universitário UNIVATES foi o local onde a pesquisa foi
desenvolvida. A UNIVATES está localizada em Lajeado-RS e oferece cursos
profissionalizantes de nível médio, graduação e pós-graduação. Os sujeitos da
pesquisa foram professores de Física e Matemática, e estudantes do curso de
Química Industrial e das Engenharias.
86
O quadro 2 apresenta o desenvolvimento do trabalho distribuído em quatro
Estudos, caracterizados assim por Dullius. Guias impressos compunham as
atividades dos alunos. Os procedimentos para a coleta de dados são aqui
apresentados: a) registros de observações das aulas; b) entrevistas realizadas; c)
aplicação de questionários; d) aplicação de testes aos alunos no início e no final
para aferição de conhecimentos; e) análise dos guias dos estudantes.
Quadro 2 - Descrição resumida dos quatro estudos desenvolvidos por Dullius.
Objetivos Participantes Instrumentos
Estudo Preliminar
2º semestre de 2005
Obter indícios sobre a aprendizagem das EDs.
Professores de Física (2) Matemática (2).
Entrevista Semiestruturada
Alunos do Curso de Ciências Exatas (34).
- Questionário - Diário de Campo
Estudo 1
1º semestre de 2006
- Elaborar e aplicar uma proposta pedagógica que auxilie os alunos na superação das dificuldades e lhes proporcione condições favoráveis de aprendizagem significativa das EDs;
- Estudar as potencialidades do uso de recursos computacionais no processo de ensino-aprendizagem de EDs;
- Estudar a contribuição da interação entre professor-aluno-material didático.
Alunos dos cursos das Engenharias e Química Industrial (59)
- Questionário - Entrevista Semiestruturada - Guias de atividades - Diário de Campo
Estudo 2
1º semestre de 2007
Alunos dos cursos das Engenharias e Química Industrial (31)
- Questionário - Entrevista Semiestruturada - Guias de atividades - Diário de Campo - Testes inicial e final de conhecimentos
Estudo 3
1º semestre de 2008
Alunos dos cursos das Engenharias e Química Industrial (60)
Fonte: Enseñanza y Aprendizaje en Ecuaciones Diferenciales con Abordaje Gráfico, Numérico y Analítico (DULLIUS, 2009, p. 86, tradução nossa).
A autora procurou empreender uma abordagem qualitativa das EDs,
objetivando uma análise mais detalhada da situação investigada, trabalhando o
conteúdo com ênfase na contextualização de situações-problema de tal forma que
permitissem aos estudantes atribuir significados.
87
O software Powersim12 foi a opção de Dullius, pelo fato do programa trabalhar
com ícones para modelar situações-problema. Seu uso facilita a compreensão da
relação entre as variáveis das EDs e seu comportamento sem haver a necessidade
de conhecer a solução analítica.
Atividades com lápis e papel também foram desenvolvidas durante as aulas,
para que os alunos pudessem resolver EDs de forma manual, uma vez que um dos
objetivos da disciplina prevê aprender a interpretar uma Equação Diferencial e seus
parâmetros, bem como resolvê-las analiticamente. Desta forma, os alunos em
muitas ocasiões podiam confirmar seus resultados obtidos de forma manual por
meio das simulações realizadas no computador.
O quadro 3 mostra um quadro onde Dullius coloca as situações-problema que
nortearam a confecção das guias elaboradas, observando sempre os princípios
programáticos propostos por Ausubel (2003), e seus respectivos modelos
matemáticos.
Quadro 3 - Situações-problema abordadas na prática pedagógica por Dullius.
Situação-problema Equação Diferencial
Desintegração radioativa kNdt
dN
Crescimento populacional kPdt
dP
Absorção de medicamentos kQdt
dQ
Reações químicas AA kC
dt
dC
Problemas de misturas saídaentrada TTdt
dQ
Lei de resfriamento de Newton mTTkdt
dT
Queda de corpos com resistência gvm
k
dt
dv
Circuitos elétricos VRidt
diL
Crescimento populacional 2PL
kkP
dt
dP
Propagação de doenças yLkydt
dy
Fonte: Enseñanza y Aprendizaje en Ecuaciones Diferenciales con Abordaje Gráfico, Numérico y Analítico (DULLIUS, 2009, p. 118, tradução nossa).
12
O Powersim é um software que permite modelar um sistema através da elaboração de diagramas
de fluxo.
88
A autora discute os resultados obtidos por meio da análise de resultados. Os
instrumentos de medida foram coletados e organizados de acordo com as seguintes
categorias de análise:
a) aprendizagem do conteúdo;
b) contextualização do conteúdo e motivação dos alunos;
c) metodologia das aulas, incluindo o uso de recursos computacionais.
Os alunos se mostraram satisfeitos com a resolução de situações-problema
em sala de aula pelo fato de poderem ver e testar aplicações do conteúdo.
Os alunos apresentaram muitas deficiências em relação a conhecimentos
prévios necessários para a compreensão de EDs, principalmente na interpretação
de taxas de variação. Frequentemente confundiam o gráfico da função com o gráfico
da taxa de variação da função.
A maioria dos alunos, mesmo após as atividades, ainda preferiram resolver
analiticamente EDs, porém consideram importante as abordagens gráfica e
numérica. Apontaram que a metodologia deveria estar sendo trabalhada desde o
Cálculo Diferencial e Integral I.
O empenho e interação dos alunos entre si, com a professora, com a
disciplina e com os recursos computacionais são também resultados positivos
advindos da abordagem adotada.
Apesar dos problemas enfrentados, os alunos, de modo geral, mostraram
satisfeitos com a resolução de situações-problema em sala de aula. A abordagem
mostrou resultados satisfatórios em relação ao engajamento e interação dos alunos
entre si. A autora salienta que trabalhar de modo diferente requer uma adaptação
por parte dos alunos, se caracterizando como um processo lento e contínuo que se
evolui gradativamente. Para Dullius, a metodologia proposta mostrou-se como um
meio viável para conduzir os alunos a uma aprendizagem significativa, porém
acentua que os resultados seriam mais expressivos se metodologias que exigissem
maior compromisso dos alunos fossem implementadas em outras disciplinas.
Esta metodologia de trabalho se diferencia das pesquisas aqui analisadas
por propor ensinar Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem por
meio de resolução de problemas de aplicações, com abordagens analítica e
89
geométrica, via Descoberta Guiada, com foco na interpretação gráfica, com vistas à
compreensão dos conceitos, mediada por um software matemático.
No próximo capítulo será descrita a metodologia da pesquisa aqui
apresentada, mostrando assim pontos comuns e divergentes das investigações já
realizadas e descritas.
90
4 A CONSTRUÇÃO DA PESQUISA E A ELABORAÇÃO DOS PROBLEMAS COMO ATIVIDADES GUIADAS
4.1 Introdução
Segundo Lüdke e André (1986), para que uma pesquisa ocorra é necessário
confrontar dados, evidências, informações coletadas sobre determinado assunto e o
conhecimento acumulado a respeito do tema. É o momento onde a ação, de uma
pessoa ou grupo, associada ao pensamento, é integrada à elaboração de
conhecimentos que buscam responder inquietações.
Existem duas abordagens de pesquisa a orientar os trabalhos: a abordagem
qualitativa e a abordagem quantitativa.
A abordagem qualitativa segundo Garnica (2004) deve apresentar as
seguintes características:
(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas (GARNICA, 2004, p.86).
Borba (2004) destaca que estas características de pesquisa não devem ser
seguidas como regras, a noção de pesquisa qualitativa está em movimento e pode
levar determinadas características com ênfases diferentes. Na concepção de
pesquisa na abordagem quantitativa, Bicudo (2004) apregoa que:
O quantitativo tem a ver com o objetivo passível de ser mensurável. Ele carrega consigo as noções próprias ao paradigma positivista, que destaca como pontos importantes para a produção da ciência a razão, a objetividade, o método, a definição de conceitos, a construção de instrumentos para garantir a objetividade da pesquisa. Embutida no seu significado está, também, a ideia de racionalidade entendida como quantificação (BICUDO, 2004, p.103).
A abordagem quantitativa usa modelos estatísticos para explicar os dados, o
pesquisador se mantém neutro durante a pesquisa, o conhecimento é isento de
valores e a objetividade é a tônica. É uma metodologia que ostenta a dimensão
positivista dos fenômenos sociais.
91
Bogdan e Biklen (1982) citados por Lüdke e André (1986, p.11) discutem em
seu livro A Pesquisa Qualitativa em Educação o conceito de pesquisa qualitativa e
apresentam cinco características básicas que nortearam seus estudos:
a) A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento, supõe-se o contato direto do pesquisador com o ambiente da pesquisa; b) Os dados coletados são predominantemente descritivos. Apresentados em diversas formas, todos os dados devem ser coletados dando-se a mesma importância; c) A preocupação com o processo é muito maior do que com o produto; d) O “significado” que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos de atenção especial pelo pesquisador; e) A análise dos dados tende a seguir um processo indutivo (BOGDAN; BIKLEN apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.11).
Bogdan e Biklen citados por Lüdke e André (1986) afirmam que a pesquisa
qualitativa preocupa-se basicamente com a análise e contextualização do objeto em
estudo numa realidade dinâmica e de muitas interações.
Para Gatti as duas abordagens não são indissociáveis, visto que:
Quantidade e qualidade são na pesquisa inseparáveis. Um conjunto de dados numérico em si não tem sentido algum. Seu sentido é dado pela escolha teórica de uma forma de coleta, em função de determinados objetivos ou hipóteses; o tratamento desses dados é feito em decorrência da natureza do problema que será examinado e este tratamento só adquirirá sentido através de uma análise interpretativo-inferencial, portanto, do tipo qualitativo, sem o que os dados continuam a ser um amontoado de números, só isso. Ou seja, o avanço das conclusões só se dá se nos deslocarmos dos números em si e desvelarmos o seu significado em determinado contexto. A quantidade só revela alguma coisa quando a ela atribuímos uma qualidade (GATTI, 2006, p.70).
Esta pesquisa objetiva trazer contribuições para o estudo de Equações
Diferenciais Ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem em cursos de ciências exatas por
meio da metodologia de resolução de problemas, com ênfase na interpretação e
análise gráfica (abordagem geométrica) com uso do software MAPLE. No presente
trabalho optou-se por usar a metodologia de pesquisa qualitativa que envolve a
obtenção de dados descritivos obtidos no contato direto do pesquisador com os
sujeitos da pesquisa, enfatiza mais o processo do que o produto, se preocupa em
retratar a perspectiva dos envolvidos (Lüdke e André 1986), leva a não neutralidade
do pesquisador em relação à pesquisa, onde a ênfase está nas relações que tem
significado para o pesquisador.
92
4.2 Procedimentos Metodológicos
Com a visão de conhecimento deste investigador aliado ao contato estreito e
direto com a situação de sala de aula, procurou-se trazer para o contexto desta
pesquisa atividades para a produção do conhecimento acerca de Equações
Diferenciais Lineares de 1ª e 2ª ordem com abordagens analítica e gráfica mediado
por TICs. A visão do processo de produção de conhecimento dessa dissertação está
embasada com a noção de que pessoas que utilizam TICs podem produzir
conhecimentos. As mídias permitem articulação de palavras, sons, imagens e
movimentos que impulsiona o professor a pensar em novas formas de interação.
As atividades foram planejadas com o intuito de diagnosticar indícios de como
a aprendizagem, por Resolução de Problemas com a utilização das TICs, pudessem
contribuir para uma aprendizagem mais significativa no ensino de EDO e nas suas
aplicações em situações problemas das ciências.
Na elaboração das atividades o pesquisador envidou procedimentos que
pudessem ser desenvolvidos por meio do software MAPLE, de tal forma que
pudesse investigar se o ambiente criado propiciou condições aos alunos de
produzirem conhecimentos acerca de EDOs a partir das abordagens gráficas e
geométricas e, se permitiu aos estudantes explorar a interpretação gráfica de
diversos modelos matemáticos que são característicos do ensino de EDOs que se
configura como foco investigativo deste trabalho.
Para a elaboração das atividades foram utilizados os seguintes textos:
Aplicações das Equações Diferenciais (Um Enfoque Metodológico) de João Bosco
Laudares, Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill,
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno de William
E. Boyce e Richard C. DiPrima.
Com o objetivo de familiarizar os estudantes com o Software MAPLE foi
pensado um minicurso ministrado pelo pesquisador e elaborado um texto (apêndice
A) como material de apoio para uma preparação prévia dos alunos que participaram
da aplicação da proposta de ensino discutida nesta dissertação.
Pensou-se numa intervenção que possibilite ao professor detectar os
conhecimentos prévios dos alunos, a significância dos conteúdos, o nível de
desenvolvimento dos mesmos, suas motivações, suas dúvidas a respeito de um
determinado conteúdo, a autoestima dos mesmos, a capacidade que cada aluno tem
93
de aprender a aprender, o que é fundamental para o professor desempenhar bem a
sua função.
As atividades elaboradas consistem em cinco problemas físicos no contexto
das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem.
O primeiro problema (apêndice B) trata de queda livre, o segundo (apêndice
C) envolve a lei de resfriamento/aquecimento de Newton, o terceiro (apêndice D)
está relacionado a circuitos elétricos, o quarto (apêndice E) aborda Físico-química e
o quinto (apêndice F) descreve um sistema massa-mola.
No método da descoberta guiada, os estudantes descobrem suas próprias
ideias e constroem seus próprios significados. O professor é um facilitador que
conduz os alunos a pensar e a resolver problemas por si próprios, muito além da
tradicional aula expositiva dialogada. Com o objetivo de adaptar a esta metodologia,
para cada atividade elaborada foram criadas as orientações de ajuda para o aluno
(apêndices G, H, I, J, K). Estas orientações consistem em dicas e sugestões que
quando solicitadas, conduziriam os estudantes a avançar no sentido da construção
das soluções dos problemas.
As orientações de ajuda para os alunos foram confeccionadas em fichas,
estavam distribuídas por perguntas e permaneciam a disposição dos mesmos
durante todas as atividades, de tal forma que o pesquisador tinha o controle das
dúvidas geradas nos diversos grupos, de forma independente, e o número de vezes
que cada grupo utilizou as orientações.
4.3 Coleta de Dados
O local da coleta de dados foi o laboratório de informática 03 do Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás – Câmpus Jataí do curso de
Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas.
A série de encontros entre os estudantes e o pesquisador no período de 25
de outubro de 2011 a 20 de dezembro de 2011 permitiu ao pesquisador, por meio de
um contato direto, perceber com detalhes, as dificuldades, discussões, erros e
acertos e estratégias de resolução.
Para Lüdke e André (1986) a observação possibilita um contato pessoal e
estreito do pesquisador com o seu objeto de estudo.
94
A observação direta permite também que o observador chegue mais perto da “perspectiva dos sujeitos”, um importante alvo nas abordagens qualitativas. Na medida em que o observador acompanha in loco as experiências diárias dos sujeitos, pode tentar apreender a sua visão de mundo, isto é, o significado que eles atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 26, grifo do autor).
Procurou-se construir um ambiente em que os alunos se sentissem à vontade
e motivados, onde pudessem expressar livremente, fato que enriqueceu a coleta dos
dados.
Ao final de cada encontro registrou-se todas as informações relevantes no
desenvolvimento das atividades. Os comentários, as dificuldades, os erros, as
estratégias, problemas com o software e computadores foram registrados no diário
de campo.
Utilizou-se o software CAMTASIA Versão 7.0 que grava a tela ou partes da
tela do computador em vários formatos para registrar em vídeo as ações e
atividades desenvolvidas pelos participantes nos microcomputadores. No início da
aplicação o pesquisador orientou os alunos de como utilizar o software.
Aplicou-se dois questionários (apêndices L, M). O primeiro teve como objetivo
delinear o perfil dos estudantes em relação aos conceitos internalizados do Cálculo
Diferencial e Integral. O segundo questionário foi elaborado com perguntas do
primeiro, com objetivos de buscar evidências de atuação de resultados da proposta,
acrescidas de perguntas que pudessem mostrar as opiniões e percepções dos
estudantes participantes a respeito da proposta. Os estudantes tinham a liberdade
de se identificarem questionários.
4.4 Os Participantes da Pesquisa
O presente estudo foi realizado em uma turma de Equações Diferenciais do 3º
período do curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de Goiás-Câmpus Jataí, no segundo semestre de 2011. No primeiro
semestre de 2011 este pesquisador realizou o estágio na mesma turma. O professor
ministrante da disciplina foi o mesmo nos dois semestres de 2011. A escolha da
turma se deu em função da disposição do professor em apoiar a pesquisa, cedendo
espaços durante o curso para o desenvolvimento das atividades, se inteirando das
mesmas e em alguns momentos participando com os alunos das atividades.
95
Todos os estudantes permitiram que seus nomes originais fossem utilizados.
A turma era composta de quatorze estudantes. Foram formadas sete duplas: Caio e
Russyllianno, Camila e Leidiane, Gabriel e Leonardo, José Roberto e Marcílio,
Kalielly e Tatielly, Larissa e Maick e Lucélia e Murilo.
Todos os participantes já haviam cursado as disciplinas de Cálculo Diferencial
e Integral I e II.
4.5 Aplicação das Atividades
A aplicação das atividades foi planejada no intuito de diagnosticar indícios que
viessem responder a pergunta de pesquisa.
A aplicação da proposta estava prevista para setembro e outubro de 2011.
Em virtude do IFG-Câmpus Jataí ter aderido ao movimento nacional de paralisação
no início de setembro, as aulas foram suspensas, retornando no final de outubro.
Quatorze alunos iniciaram a proposta de ensino, doze cumpriram todas as
atividades previstas. A dupla Lucélia e Murilo alegando incompatibilidade de
horários, não participaram efetivamente da proposta.
A aplicação desta proposta teve a duração de dezesseis encontros de
1h30min cada, perfazendo um total de 24 horas. Os oito primeiros encontros foram
realizados às segundas e terças-feiras das 7h às 8h30min no horário da disciplina
de Equações Diferenciais no período de 25/10/2011 a 11/11/2011, os encontros
restantes ocorreram nas terças e quintas-feiras das 17h30min às 19h no período de
29/11/2011 a 20/12/2011. Esta interrupção da aplicação se deu em função dos
alunos terem feito uma ponte no feriado do dia 15/11 e na semana seguinte, terem
sidos dispensados das aulas por estarem participando do 3º Simpósio de
Engenharia Elétrica do IFG-Câmpus Jataí.
A aplicação de todas as atividades propostas ocorreu no laboratório 03 de
informática do IFG-Câmpus Jataí. O laboratório (Figura 6) é equipado com 12
microcomputadores com tela de LCD, mouse e teclado, não integram microfones e
webcam.
96
Figura 6 - Estudantes do curso de Engenharia Elétrica desenvolvendo atividades no laboratório 03 do IFG-Câmpus Jataí mediadas pelo software
MAPLE
Fonte: Fotos do autor.
Como método de trabalho, ficou acordado entre pesquisador e participantes
que após a realização das atividades diárias, seriam gerados dois arquivos, um pelo
software MAPLE descrevendo as atividades desenvolvidas pelas duplas e outro pelo
software CAMTASIA STUDIO com as imagens das ações realizadas pelos
estudantes. O arquivo gerado pelo MAPLE poderia ser enviado via e-mail para o
pesquisador e o arquivo gerado pelo CAMTASIA STUDIO seria repassado ao
pesquisador via pen-drive, por se tratar de arquivos com armazenamento de muitos
dados, inviável de ser enviado por e-mail.
Para a exploração das atividades foi utilizado o software MAPLE. O programa
apresenta dois modos: o texto e o matemático. No modo texto o estudante pode
fazer registros livremente, semelhante a um caderno comum, e no modo matemático
são utilizados comandos que denotam funcionalidades avançadas. Foi explicitado
aos participantes da pesquisa que o único recurso material que teriam para
desenvolver as atividades, seria o computador. Foi solicitado aos participantes que
todas as dúvidas, questionamentos, conjecturas fossem registradas no modo texto
para posterior análise.
Durante a realização do estágio, que aconteceu no primeiro semestre de
2011, verificou-se que os alunos do curso de Engenharia Elétrica não utilizavam
programas matemáticos para exploração dos conteúdos. Para que os participantes
familiarizassem com o software MAPLE, estruturou-se um minicurso onde foram
97
apresentados os comandos básicos do MAPLE na versão 14.00. Como material de
suporte ao minicurso, foi elaborada um texto (apêndice A) onde são tratados de
forma sucinta os comandos básicos do programa, a construção de gráficos em 2D e
aplicações com equações diferenciais.
4.6 Produto da Dissertação
Os resultados das atividades desenvolvidas nesta proposta estão sendo
analisadas do ponto de vista didático, com possíveis reestruturações para a
composição de um Caderno de Notas de aula e/ou CD que pretende contribuir para
um ensino de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem mais
significativo e contextualizado, a ser utilizado nos cursos da área de ciências exatas.
4.7 O Software MAPLE
O Maple é um software comercial de uso genérico que se enquadra no
gênero de Sistema de Álgebra Computacional (SAC). Um SAC permite fazer
cálculos não só com números, mas com símbolos, fórmulas, expressões, equações,
matrizes, etc. O Maple possui um grande número de recursos que permitem que
seus usuários obtenham respostas analíticas rápidas e precisas para cálculos
envolvendo limites, derivadas, integrais, equações diferenciais, sistemas de
equações, série de potências, transformadas de Laplace, transformadas de Fourier,
etc.
O Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelos pesquisadores Gaston
Gonnet e Keith Geddes do Grupo de Computação Simbólica da Universidade de
Waterloo no Canadá. Desde 1988 tem sido desenvolvido e comercializado pela
Maplesoft, uma companhia canadense.
A estrutura interna do Maple consiste de três componentes: Núcleo,
bibliotecas e interface.
O núcleo (kernel) é a máquina matemática que faz os cálculos, interpreta os
comandos inseridos pelo usuário e mostra os resultados. O núcleo corresponde a
10% do programa e foi elaborado em linguagem C.
O restante do programa (90%), desenvolvido na própria linguagem do Maple,
consiste na biblioteca principal cujos comandos são carregados automaticamente na
98
hora que se inicia o programa e, um conjunto de vários pacotes que se acessa
quando se trabalha com conteúdo específico.
A interface é a aparência do Maple, que promove a interação entre o usuário
e os comandos do Maple.
O MAPLE é um sistema interativo poderoso utilizado para resolver problemas
matemáticos diversos, dos simples aos complexos. Permite criar documentos e
apresentações com qualidade profissional. Visualizar problemas em duas e três
dimensões. Criar soluções personalizadas usando a linguagem de programação do
próprio MAPLE, resolver problemas complexos com o simples apertar de uma tecla,
interagir com documentos por meio de uma interface amigável e simples. Utilizando
a linguagem de programação do próprio MAPLE pode-se criar soluções
personalizadas. Enquanto trabalha, pode-se documentar o processo descrevendo-o
no próprio arquivo.
O programa apresenta dois modos de trabalho, o modo texto e o modo
matemático. O modo texto é para executar cálculos rápidos. Você pode inserir uma
expressão matemática, e então resolvê-la, manipulá-la com algumas teclas ou
cliques do mouse. Usando o modo texto o usuário pode resolver equações e outras
tarefas básicas sem aprender, a sintaxe do MAPLE.
O modo matemático é projetado para o uso interativo dos comandos do
MAPLE que oferecem funcionalidade avançada e controle personalizado. Cálculo
Diferencial e Integral, Equações Diferenciais, Álgebra Linear, Teoria dos Grafos,
Geometria Diferencial, Teoria dos números são alguns exemplos de Áreas da
matemática que são exploradas pelo software no modo matemático. Na utilização do
software, o usuário pode intercambiar com facilidade entre os modos de trabalho.
A escolha do software MAPLE para mediar as atividades desta proposta se
deu em função de várias características. O MAPLE é um software robusto que
desenvolve atividades em todas as áreas da matemática, com abordagens
algébrica, analítica e numérica, não sendo necessários outros softwares para
complementos.
O MAPLE versão 14.00 apresenta inúmeras funcionalidades para o trato com
EDs. Para a resolução de EDs de primeira ordem o programa dispõe de vinte um
métodos, vinte cinco métodos para EDs de segunda ordem, e seis métodos para
EDs de ordem superior.
99
O software também dispõe de um pacote de comandos e rotinas para
encontrar soluções analíticas de equações diferenciais parciais.
O MAPLE apresenta também um pacote de ferramentas (DEtools) que dentre
outras funções permite: trabalhar com comandos para visualização, classificar as
EDs, resolver problemas de valor inicial e de contorno analiticamente e
graficamente, plotar gráficos das soluções, plotar campos de direções, trabalhar com
sistemas dinâmicos.
4.8 O Software CAMTASIA STUDIO
Por se tratar de uma pesquisa de cunho qualitativo, o entendimento do objeto
investigado impõe uma preocupação constante ao investigador. A gravação em
vídeo das atividades desenvolvidas não representa todas as observações do
ambiente da pesquisa, porém, contribui substancialmente para a coleta dos dados.
O software escolhido para a captura das imagens das atividades
desenvolvidas pelos participantes foi o CAMTASIA STUDIO na versão 7.0.0
produzido pela TechSmith. O Camtasia é um editor de vídeos que trás entre as suas
ferramentas uma que possui a capacidade de capturar telas, ideal para criação de
vídeos tutoriais e explicativos. O vídeo gerado pelo software pode ser salvo em
diversos formatos, de acordo com a mídia para qual será transportado.
O programa possui recursos que permitem capturar ao mesmo tempo, as
imagens geradas pelo computador, ou parte delas, o som do microfone e as
imagens produzidas pela WebCam.
4.9 Apresentação das Atividades Constituídas por Problemas
Com utilização de recursos computacionais, pensou-se em atividades de
exploração do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª
ordem envolvendo problemas físicos que garantissem as abordagens analítica e
geométrica onde o foco concentrou-se na interpretação dos gráficos.
A metodologia de aplicação das atividades se baseou nas seguintes passos
de Gazire, Laudares e Alves (2006):
1º. Leitura do problema.
2º. Verbalização do enunciado.
100
3º. Declaração ou definição de variáveis.
4º. Identificação da relação das variáveis (dependência e independência).
5º. Identificação dos conceitos e modelos matemáticos adequados (leis
físicas).
6º. Montagem da equação diferencial.
7º. Identificação das condições iniciais e de contorno.
8º. Determinação do formato da solução (o que o problema pede).
9º. Resolução da equação diferencial utilizando o software MAPLE.
10º. Construção dos gráficos das leis do problema incluindo as funções
derivadas e a função dada utilizando o software MAPLE.
11º. Interpretação dos gráficos e das condições iniciais e de contorno,
apontando as possíveis soluções.
12º. Análise qualitativa e crítica da solução pela “lei” (fórmula matemática) ou
pelo gráfico.
A construção das atividades se baseou em duas abordagens de ensino, A
Descoberta Guiada e a Resolução de Problemas.
Esta sequência coloca o estudante como centro do ensino, criador ativo do
conhecimento, protagonista nos processos de ensino e aprendizagem, onde o
professor é colaborador.
Em todas as atividades construídas quanto à resolução das equações
diferenciais, relativamente aos significados dos seus parâmetros, bem como a
natureza das variáveis, foram situações exploradas analiticamente e graficamente. A
construção e análise dos gráficos, inerentes a todas as atividades, foram
predominantes na elaboração das mesmas.
Cada atividade se constitui de um problema que remonta situações da Física,
onde o modelo matemático representativo é explicitado no enunciado, ou, em outros,
pode ser extraído do enunciado com uma leitura atenta reflexiva e analítica.
Procurando adequar às metodologias da Resolução de Problemas e
Descoberta Guiada, as atividades foram elaboradas observando três etapas de
investigação:
a) a primeira que se refere à interpretação do enunciado,
b) a segunda à resolução do modelo das equações,
101
c) a terceira que consiste na análise gráfica dos modelos das equações.
Durante a elaboração das atividades uma preocupação constante permeou o
trabalho. Pensou-se em situações que os estudantes estivessem sempre em
condições de confrontar resultados por meio das abordagens analítica e geométrica.
4.9.1 Design da Proposição dos Problemas que Definiram as Atividades
A proposição dos Problemas teve um mesmo design de acordo com
parâmetros da Metodologia proposta. A apresentação foi bem analítica para facilitar
a interpretação dos estudantes. Definiu-se colocar cada etapa do Problema dentro
de um Quadro a fim de distingui-las, assim oferecendo uma visualização para leitura
e análise.
Esta disposição da apresentação do Problema, por esta estrutura, já define
uma Metodologia para leitura compreensiva. Trata-se, então, de um desenho a
conduzir o estudante ao adentramento da situação problematizadora. É também um
exercício de aprendizagem de leitura de um problema numa abordagem analítica,
por passos que, se realizados com reflexão pelo estudante, podem se constituir
como elementos facilitadores para a eficaz leitura interpretadora e crítica.
Segundo Stewart (2007), um dos itens necessários à compreensão
conceitual, além das interpretações aritmética, algébrica, numérica de um objeto
matemático é a sua elaboração verbal-descritiva, quando o exercício da linguagem é
elemento constituinte e estruturante para a formação do conceito. Ao apresentar a
redação do problema em linguagem corrente foram propostas várias perguntas a
dirigir o estudante para questionamentos da verbalização, do descobrimento da Lei
Física, da identificação das condições iniciais e de contorno, bem como da
construção e análise dos gráficos, definidores do Modelo pertinente e peculiar à
situação problematizadora.
Partindo da premissa que a estratégia de resolução de Problemas é um
recurso poderoso de aprendizagem que traz dificuldade para os estudantes por
exigir várias etapas de reflexão e descoberta, com descrição analítica e procura de
diversos e desconhecidos caminhos, diferentemente do processo de resolução por
algoritmo repetitiva e mecânica, foram elaboradas “ajudas” para consultas, se
necessárias. Com isto, a expectativa é de desempenho, sem desânimo e abandono
102
da atividade, por não conseguir ultrapassar barreiras. O cumprimento, mesmo que
não integral de cada etapa ou passo do Problema, contribui para a aprendizagem do
estudante, ao acionar a “ajuda” e conseguindo chegar ao final da resolução. Com a
proposição de cinco problemas, a esperança é de uma evolução da aprendizagem,
quando ao término das atividades.
A partir destas considerações foi desenhada a apresentação no seguinte
padrão, que pode ser melhor visualizado nos apêndices com a completa proposição.
Quadro 4 - Esquema representativo do padrão de apresentação dos problemas.
TEMA DO PROBLEMA
ENUNCIADO
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
O QUE SE PEDE
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
3 – ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Fonte: Elaborado pelo autor.
103
4.9.2 Apresentação dos Problemas
Ao apresentar as atividades, mostramos, por hipótese, as prováveis ações
dos estudantes, quando da resolução dos problemas, mesmo sabendo que a
pesquisa qualitativa não exige hipóteses. Evidentemente, os caminhos ou processos
poderão divergir daqueles que hipotetizamos, o que pode se constituir uma ação de
descoberta investigativa pelos estudantes, o que consideramos altamente positivo
para aprendizagem. Os questionamentos feitos aos estudantes (ou solicitações de
maneiras de realizar alguma ação) tiveram como finalidade orientá-los e dar-lhes
uma direção, que pode ser seguida ou não, desde que os mesmos resolvam o
problema na sua totalidade, isto é, além da resolução das equações, que faça
interpretação gráfica e análise dos resultados.
A seguir são apresentados os Problemas.
Problema 01
Trata-se de um problema físico de Mecânica envolvendo queda livre. Quando
um corpo se movimenta sujeito apenas à aceleração gravitacional, desprezando
qualquer tipo de resistência, dizemos que este corpo está em queda livre. Um objeto
em queda livre próximo à superfície da terra é acelerado a uma taxa constante g. A
aceleração é a derivada da velocidade, que, por sua vez, é a derivada da função
deslocamento. Procura-se investigar o comportamento de um objeto lançado
verticalmente para cima, próximo ao nível do mar. O tipo do movimento é governado
pela segunda Lei do movimento de Newton que indica, segundo Zill (2003, p. 28),
“quando a força líquida que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força
líquida será proporcional à sua aceleração a , ou seja, amF , onde m é a massa
do corpo”.
O modelo matemático que representa esta situação advém da condição de
que a força líquida é simplesmente o peso, ou seja, PF , logo:
gdt
dvgagmam onde
dt
dv representa a derivada da velocidade em
função do tempo e g a aceleração da gravidade.
Esta atividade permite ao estudante:
104
a) Verbalizar a descrição do problema;
b) Identificar as variáveis;
c) Determinar a condição inicial do problema;
d) Resolver equações;
e) Resolver analiticamente e graficamente problemas de valor inicial;
f) Construir e interpretar campos de direções;
g) Construir gráficos de funções de uma variável;
h) Analisar o crescimento/decrescimento de uma função;
i) Visualizar e Interpretar gráficos;
j) Confrontar resultados.
Os tópicos abordados nesta atividade envolvem conceitos de espaço,
velocidade, aceleração, derivada de uma função, força, massa, lançamento vertical,
aceleração da gravidade, integrais e equações diferenciais.
Os conceitos de mecânica são reforçados nesta atividade e sugerido aos
estudantes a utilização das ferramentas do Cálculo no seu desenvolvimento. Esta
atividade completa está no apêndice B dessa dissertação.
A resolução do modelo começa sugerindo aos estudantes que resolvam
analiticamente, com o auxílio do Maple, o problema de valor inicial gdt
dv com as
condições iniciais smvt /80 0 . Procura-se com este problema que os
estudantes saibam carregar os pacotes de ferramentas do Maple para o trabalho
com EDs (DEtools), saibam definir uma equação exponencial no Maple e resolver
um PVI. Nas orientações para a resolução do modelo foi sugerido que a trajetória
descrita pela pedra fosse a mesma do eixo coordenado y com sentido crescente
para cima, portanto espera-se que o aluno adote 2/10 smg . Espera-se que os
estudantes cheguem a seguinte resposta: . Outro PVI é sugerido na
sequência: 0vtgdt
dxcom mxt 1200 0 .
Com as equações do espaço, da velocidade e da aceleração em função do
tempo, já definidas, espera-se que o estudante determine o instante em que a pedra
toca o solo, a velocidade em que a pedra toca o solo e a distância total percorrida
pela pedra até tocar o solo. Por manipulação nas equações e usando os comandos
105
do Maple para resolver equações, o estudante pode determinar o instante em que a
pedra toca o solo. O estudante deve refletir sobre a posição que vai adotar no solo e
qual solução irá adotar. O cálculo da velocidade em que a pedra toca o solo leva o
estudante a manipular a equação da velocidade. Para calcular a distância total
percorrida pela pedra o estudante pode adotar um novo referencial, ou trabalhar no
já adotado. Algumas ideias devem estar claras para o estudante ao trabalhar esta
questão: Não se pode confundir distância percorrida com posição. Para calcular a
distância percorrida, temos que determinar as posições; a distância total percorrida
representa a distância que a pedra percorre durante a subida e a descida; o tempo
de subida da pedra é igual ao tempo de descida para uma mesma distância, a pedra
atinge a altura máxima quando sua velocidade é zero. Neste problema, não foi
adotado novo referencial para o cálculo da distância total, é sugerido aos estudantes
que calculem o tempo para que a pedra atinja a altura máxima, e substituindo esse
valor na equação do espaço. Ressalva-se que a posição encontrada a partir do
ponto de lançamento está acrescida de 120m.
A análise gráfica dos modelos solicita inicialmente aos estudantes que
construam o campo de direções para a ED gdt
dv e respondam perguntas que visam
compreensão, análise e visualização do campo de direções. A atividade implica que
os estudantes tenham domínio dos comandos do Maple para construção de campos
de direções.
Espera-se que o estudante verifique a coerência daquilo que observou no
campo de direções com a resolução analítica do modelo. Este confronto permite ao
estudante verificar a extensão das possibilidades de análise de um campo de
direções.
Espera-se que os estudantes construam o gráfico da velocidade em função
do tempo e responda perguntas que auxiliem na interpretação gráfica explorando
habilidades de visualização.
Ao explorar escalas gráficas e ferramentas de zoom do Maple, espera-se que
os estudantes estimem um valor aproximado do tempo em que a pedra atinge o
solo.
Espera-se nesta análise que os estudantes, ao confrontarem o valor da
velocidade no instante t = 0 observado no gráfico com o enunciado do problema,
confirme conjecturas e suspeitas.
106
Ao plotar o gráfico da aceleração em função do tempo por meio do comando
plot espera-se que os estudantes determinem o sinal da aceleração e verifique que a
aceleração mantém constante durante todo o tempo.
Espera-se que os estudantes retornem um gráfico semelhante ao da figura 7
ao resolverem graficamente o PVI 10)(
dt
tdvpara smvt /80 0 por meio do
comando DEplot.
Figura 7 - Resolução gráfica do PVI 8)0(;10)( Vdttdv gerado no Maple 14.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Espera-se que os estudantes estabeleçam relações que existam entre a
solução gráfica deste PVI com o gráfico da velocidade em função do tempo.
Procura-se explorar a interpretação de gráficos confrontando-os. Pretende-se
mostrar ao estudante que a reta gerada no PVI representa uma solução particular da
ED 10)(
dt
tdv.
Espera-se que os estudantes construam o campo de direções da equação
810)(
tdt
tdx e respondam se é possível prever a forma das curvas que
representa a solução geral da ED. Este questionamento objetiva delinear para o
estudante que o campo de direções de uma ED sugere a aparência ou forma de
uma família de curvas.
107
A seguir é requerido aos estudantes que resolvam graficamente o PVI
810)(
tdt
tdx para mxt 1200 0 e construam o gráfico da função
12085)( 2 tttx com objetivo de estabelecer as relações existentes entre a
solução gráfica do PVI e o gráfico da equação do espaço em função do tempo.
Explora-se novamente as habilidades de visualização confrontando os dois gráficos.
Ao responderem a pergunta, qual é a posição da pedra no instante t = 0 de
acordo com o gráfico do espaço em função do tempo? Espera-se que os estudantes
explorarem escalas gráficas variando os valores de t e de x para obter graficamente
o resultado. Espera-se que os estudantes confrontem o resultado que encontraram
do espaço, no gráfico, com o enunciado do problema para verificar a coerência. Ao
observarem o gráfico x X t, espera-se que os estudantes, utilizando ferramentas de
zoom determinem a posição máxima (aproximadamente) que a pedra atingiu. Ao
responderem se a função deslocamento é crescente ou decrescente no intervalo de
tempo de 0 a 0,8s e se os valores da posição aumentam ou diminui no intervalo de
tempo de 0,8s a 5,7638s espera-se que os estudantes reflitam observando
diretamente os gráficos.
A seguir o estudante é levado a verificar por que a posição da pedra atinge
um valor máximo a partir do gráfico da aceleração. Esta pergunta não pode ser
respondida observando diretamente o gráfico, o estudante precisa ter claro o que é
força gravitacional e saber de orientação de trajetória.
No último questionamento, solicita-se ao mesmo por meio da análise dos
gráficos, a partir do valor máximo da posição, determinar o sinal da velocidade e da
aceleração. O estudante de posse do valor do tempo t = 0,8s que a pedra leva para
atingir a altura máxima, deve observar os gráficos da v X t e a X t e definir o sinal da
velocidade e da aceleração.
Problema 02
A lei de resfriamento/aquecimento de Newton foi o tema abordado na
segunda atividade. De acordo com esta lei, a taxa de resfriamento de um corpo é
proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio
ambiente. O modelo matemático descrito para esta situação é o seguinte:
108
)( mTTkdt
dT, onde
dt
dTé a taxa de variação da temperatura no decorrer do tempo,
k é uma constante de proporcionalidade, T a temperatura do corpo em um dado
instante e mT a temperatura do meio ambiente.
Procurou-se com esta atividade, além de reforçar conceitos de
Termodinâmica, explorar a resolução de problemas e construção de gráficos.
Por meio desta atividade o estudante pode:
a) Resolver equações diferenciais;
b) Equações a uma variável;
c) Construir e interpretar campos de direções;
d) Analisar graficamente o conceito e o sinal da derivada;
e) Visualizar soluções de equilíbrio;
f) Construir e interpretar gráficos envolvendo derivadas;
g) Confrontar valores com gráficos;
h) Resolver problemas de valor inicial (P.V.I.);
i) Simular curvas.
A atividade começa (anexo C), como em todas as atividades, propondo um
debate envolvendo todos os estudantes, onde a compreensão do problema e sua
descrição verbal são os objetivos.
Reunidos em duplas, na sequência, os estudantes são sugestionados a
identificar as variáveis do problema, os parâmetros, as leis matemáticas que se
aplicam ao problema, as condições iniciais e de contorno do problema. No final
desta primeira etapa, os estudantes são sugeridos a expressar o que é solicitado no
problema. Procura-se explorar por meio destas perguntas como os mesmos
interpretam o texto.
Na resolução do modelo, inicialmente é solicitado aos estudantes que
resolvam a ED )( mTTkdt
dT e calculem os valores dos parâmetros k e C, com a
condição inicial e de contorno. Pretende-se com estas atividades que o estudante
reforce a manipulação dos comandos do Maple para resolução de EDs e que
aprenda os comandos para resolver sistemas de equações exponenciais.
109
De posse da equação da temperatura em função do tempo, os estudantes
são solicitados a calcular a temperatura no instante 1t min e o tempo para quando
a temperatura for de 15ºF. Nestes exercícios o estudante é levado a resolver
equações e avaliar resultados em ponto flutuante.
A análise gráfica do modelo sugere inicialmente que o estudante construa o
campo de direções da ED )( mTTkdt
dT. Espera-se que os estudantes ao
observarem o padrão de fluxo do campo identifiquem as possíveis curvas soluções,
investigue o sinal da derivada e indique, aproximadamente, as soluções de
equilíbrio.
É sugerido que se construa o gráfico dt
dTpor T e que realize uma
comparação dos valores obtidos de dt
dT por meio do campo de direções com os
valores obtidos na construção do gráfico de dt
dT por T . Para esta atividade é
necessário que o estudante saiba interpretar gráficos e utilize habilidades de
visualização.
Em seguida, é sugerida a construção do gráfico dt
dTpor t . Para a construção
do gráfico tem-se a equação da derivada da temperatura em função do tempo.
Espera-se que os estudantes carreguem o pacote student que trabalha com as
ferramentas do Cálculo para determinar a função derivada da Temperatura em
relação ao tempo e em seguida plotem o gráfico. Ao serem perguntados quando t
cresce indefinidamente, para qual valor dt
dTtende? Espera-se que os estudantes
observem diretamente no gráfico o comportamento da curva e usando de suas
habilidades de visualização determinar o valor. Na sequência é solicitado aos
estudantes que determinem as tangentes dt
dT para 2t , 6t e 10t . Procura-se
com este exercício reforçar mais uma vez a relação que existe entre derivada e
tangente. Para determinar as tangentes o aluno deve resolver equações substituindo
110
os valore de t na equação dt
dT
É pedido a confrontação dos resultados encontrados
do cálculo das tangentes com o gráfico dt
dTpor t .
Na sequência, solicita-se a construção do gráfico de )(tT por t e é pedido a
verificação de quando o termômetro esfria mais rapidamente. Para a análise desta
situação, as orientações aos alunos sugerem que calculem a variação de
temperatura nos intervalos de tempo [0,1]; [1,2]; [2,3] e [3,4] observando o gráfico
onde poderão avaliar o intervalo onde a variação de temperatura é maior.
Em seguida é colocado um PVI com uma condição inicial e uma condição de
contorno para ser resolvido graficamente e observar a relação existente entre as
duas soluções. O estudante, por meio do comando DEplot pode resolver
graficamente o PVI para uma condição em separado ou para as duas condições
simultaneamente, o que facilita a análise das curvas.
Na final do problema é solicitada a simulação de curvas de aquecimento
envolvendo resolução gráfica de PVIs e análise dos mesmos. Estes exercícios
procuram reforçar o uso dos comandos do Maple para resolução gráfica de PVIs,
adquirir habilidades de visualização e comparação dos gráficos de curvas de
aquecimento com curvas de resfriamento. Estes exercícios não contam com
orientações de ajuda para os estudantes, uma vez que tratam de simulações e cada
estudante pode tomar caminhos diferenciados.
Problema 03
O resistor, o capacitor e o indutor são componentes básicos de um circuito
analógico. Combinados, eles representam quatro circuitos importantes: o circuito
RC, o RL, o LC e o RLC. As letras nas abreviações indicam os componentes
utilizados. A eletrônica analógica analisa uma série de tipos de comportamentos
gerados per estes circuitos.
Este problema (anexo D) considera um circuito elétrico RL (resistor-indutor)
que atua como um simples filtro eletrônico. Consiste de um resistor de 6 Ω e um
indutor de 3 H ligados em série por uma fonte de tensão de 24 V.
A segunda lei de Kirchhoff afirma que a soma em um determinado sentido de
todas as tensões de uma malha é igual a zero. Para o circuito contendo apenas um
111
resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas
de voltagem no indutor dt
diL e no resistor iR é igual à voltagem aplicada no
circuito )(tE .
Assim, a equação que satisfaz o circuito é: )(tEiRdt
diL , onde L é a
indutância, R a resistência, dt
dia taxa de variação da intensidade da corrente no
decorrer do tempo, i a intensidade da corrente também chamada de resposta do
sistema e )(tE a tensão aplicada ao sistema.
Além de reforçar conceitos de eletricidade, o estudante pode, por meio deste
problema:
a) Interpretar situações envolvendo conceitos de eletricidade;
b) Resolver equações diferenciais;
c) Construir e interpretar campo de direções;
d) Resolver equações a uma variável e levantar hipóteses;
e) Analisar graficamente o sinal da derivada de uma função;
f) Identificar e visualizar soluções de equilíbrio;
g) Construir e interpretar gráficos envolvendo derivadas;
h) Comparar valores para validar resultados;
i) Resolver graficamente e analiticamente um problema de valor inicial;
j) Verificar o valor limite da corrente em um circuito.
Inicialmente, na interpretação do enunciado, propõe-se uma discussão entre
todos os participantes para a compreensão do problema e sua descrição verbal. A
atividade propõe uma aprendizagem que ocorre por meio da conversação e troca de
informações, onde o estudante é levado a verbalizar o problema com suas próprias
palavras.
Já em duplas, na sequência, solicita-se aos estudantes que identifiquem as
variáveis e os parâmetros do problema, a lei matemática que se aplica ao problema,
a condição inicial do problema e, fechando a etapa é solicitado que expressem o que
é pedido no problema. Procura-se explorar por meio destas perguntas como os
estudantes interpretam o texto.
112
Na resolução do modelo solicita-se aos estudantes que resolvam a ED
)(tEiRdt
diL e o PVI para a condição i(0) = 15 A. Procura-se explorar os
comandos do Maple para resolução de EDs e PVIs. Nas orientações aos alunos são
sugeridas duas formas de resolver um PVI. Na sequência, é solicitado que os
estudantes comparem a solução da ED com a solução do PVI para determinar o
valor da constante da solução geral da ED.
A análise gráfica do modelo começa sugerindo aos estudantes que construam
o campo de direções da ED )(tEiRdt
diL e respondam perguntas de
interpretação semelhantes às dos problemas anteriores.
Na sequência, é perguntado ao estudante se é possível definir o sinal de dt
di
observando o campo de direções, em caso afirmativo, estabelecer os valores de i
para os quais 0dt
di, 0
dt
di e 0
dt
di. Procura-se verificar com este exercício se os
estudantes trazem consigo o conceito geométrico de derivada. Pergunta-se logo em
seguida se é possível observar no campo de direções um valor aproximado de i que
representa soluções de equilíbrio da equação diferencial. Esta pergunta procura
verificar se o estudante reteve o conceito de soluções de equilíbrio de uma ED e
como ele vê graficamente estas soluções.
Em seguida, é solicitado aos estudantes que resolvam o PVI )(tEiRdt
diL
para i(0) = 15 A. Ao resolver o PVI o estudante pode de imediato confrontar o
resultado com o campo de direções e analisar a validade da solução. Solicita-se
também que construam o gráfico de dt
di por i e compare os valores obtidos com os
valores de dt
di já obtidos anteriormente por meio da observação do campo de
direções. Esta atividade permite ao estudante confirmar os resultados do estudo dos
sinais de dt
di obtidos apenas observando o campo de direções da ED.
113
Em seguida, pergunta-se por que a reta dt
di intercepta o eixo de i em 4? Espera-se
com esta pergunta que o estudante interprete corretamente o gráfico dt
di por i e que
associe a noção de onde a derivada é nula com as soluções de equilíbrio da ED.
A seguir, é sugerido ao aluno que construa o gráfico de i(t) por i e verifique o
que acontece com a intensidade da corrente quando o tempo é suficientemente
grande. Ao utilizar habilidades de visualização, espera-se que o aluno interprete
corretamente o gráfico.
No último item da atividade, é proposto que os estudantes construam o
gráfico de dt
di por t e verifique o que acontece com a taxa de variação
dt
di no
decorrer do tempo. Espera-se que o estudante manipule a equação para isolar dt
di, e
ao construir o gráfico interprete corretamente o comportamento da função.
Problema 04
O problema de valor inicial ,)(, 00 XtXkXdt
dXonde k é uma constante de
proporcionalidade descreve diversos fenômenos. Crescimento populacional e
decaimento radioativo são exemplos de temas que podem ser modelados com o
problema de valor inicial citado. A constante de proporcionalidade k pode ser
determinada por meio da resolução do problema de valor inicial e dependendo do
seu sinal a constante será de crescimento se (k > 0) e de decaimento se (k < 0).
Problemas que resultam em expressões exponenciais são denominados de
crescimento ou decaimento.
Neste problema (anexo E) procurou-se investigar por meio de equações
diferenciais como determinar a meia-vida13 do elemento químico radium.
Além de exercitar a interpretação de texto, o estudante pode por meio deste
problema:
13
Meia-vida é a medida da estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o
tempo necessário para a metade dos átomos em uma quantidade inicial desintegrar-se ou
transformar-se em átomos de um outro elemento (ZILL, 2003, p.97).
114
a) Diferenciar condição inicial de condição de contorno;
b) Resolver equações diferenciais;
c) Resolver sistemas lineares;
d) Construir e interpretar campo de direções;
e) Identificar o sinal da derivada observando o campo de direções;
f) Construir e interpretar gráficos envolvendo derivadas;
g) Comparar gráficos para confirmação de resultados;
h) Identificar soluções de equilíbrio no campo de direções;
i) Resolver problema de valor de contorno.
Inicialmente é sugerido a todos os estudantes participantes da proposta que
verbalizem o enunciado do problema diante de discussões e troca de informações.
Na sequência é solicitado às duplas que identifiquem as variáveis do problema, o
parâmetro, a lei matemática que se aplica ao problema, as condições inicial e de
contorno do problema e é pedido que expressem o que pede no problema. Procura-
se explorar por meio destas perguntas como os estudantes interpretam o texto.
Na resolução do modelo é sugerido inicialmente que os estudantes resolvam
a ED mkdt
dm e determine os valores de k e _C1. Espera-se que o estudante ao
resolver a ED verifique que a solução está em função de k e _C1 e a seguir, com as
condições iniciais e de contorno montem o sistema das equações e, utilizando os
comandos do Maple para resolução de sistemas, determine os valores de k e _C1.
Na sequência, é solicitado que o estudante determine a equação que permite
calcular a massa em função do tempo e que calcule o tempo necessário à
decomposição da metade da quantidade inicial de radium, 2/1)(tm . Este exercício
visa praticar a manipulação algébrica de equações. Espera-se que o estudante
substitua os valores de k e _C1 na solução geral da ED encontrando a equação da
massa em função do tempo e na sequência substituir 2/1)(tm determinando a
solução do problema.
A análise gráfica do modelo sugere inicialmente que se construa o campo de
direções para a ED mkdt
dm e questiona: se o tempo tende a infinito, o valor da
massa tende a zero? Este exercício visa a intepretação do campo de direções. As
orientações para os estudantes sugere variar o tempo de 0 a 6000 para uma
115
visualização que não comprometa o aspecto geral do gráfico e permita uma
interpretação real. É também solicitado aos estudantes, que após observação do
campo de direções, que determinem o tipo de função que melhor se adaptaria às
curvas integrais do campo. Pressupõe-se que os estudantes associem aos
elementos lineares a curva que acompanhe o padrão de fluxo do campo.
Na sequência, o estudante é questionado se é possível definir o sinal de dt
dm
observando o campo de direções, e se em caso afirmativo, estabelecer os valores
de m para os quais 0dt
dm, 0
dt
dme 0
dt
dm. Espera-se que o estudante saiba
interpretar o conceito geométrico de derivada para resolver este exercício.
É pedido que o estudante construa o gráfico de dt
dm por m e compare os
valores obtidos no estudo do sinal de dt
dm
anteriormente com este gráfico. Este
exercício exige do estudante habilidades de manipulação algébrica, construção e
interpretação de gráficos. Ao comparar os resultados o estudante poderá validar o
estudo do sinal de dt
dm. Em seguida, é perguntado se é possível observar no campo
de direções um valor aproximado de m que representa soluções de equilíbrio da
equação diferencial? Espera-se que o estudante tenha a concepção de soluções de
equilíbrio, que saiba interpretar graficamente e fazer a conexão com a ideia de
derivada nula.
A seguir é sugerido aos estudantes que construam o gráfico de dt
dm por t e
verifiquem o que acontece com a taxa de variação da massa com o passar do
tempo? Espera-se que os estudantes manipulem as ferramentas de construção de
gráficos do Maple, saibam alterar as escalas na construção dos gráficos e ao
interpretarem o gráfico, saibam analisar o comportamento da função. Também é
perguntado qual o período em que a taxa dt
dmapresenta maior variação? Espera-se
que os mesmos tenham adquirido habilidades de visualização e interpretação de
gráficos que os permita responderem a pergunta sem embaraços.
Na sequência, é sugerida a construção do gráfico m(t) por t e respondam às
seguintes questões: O que acontece com a massa quando o tempo é
116
suficientemente grande? Qual o sinal de dt
dm? Além da manipulação das
ferramentas gráficas do Maple, este exercício exige a interpretação do gráfico.
Espera-se que o estudante verifique se é coerente o valor de m para 0t no gráfico
de m(t) por t de acordo com o dado do problema.
Ao observarem o gráfico, espera-se que os estudantes concluam que para m
= 1, 0t .
No último item do problema é solicitada a resolução gráfica com o Problema
de Valor de Contorno (PVC): mkdt
dm
%)90(9.0250
%)100(10
mt
mt e verifique se é
coerente a solução gráfica do PVC com o gráfico de m(t) por t. Espera-se que o
mesmo saiba manipular corretamente as ferramentas do Maple para resolução de
PVI/PVC e que verifique a coerência após a análise e confronto dos gráficos.
Problema 05
Um sistema massa-mola consiste na conexão de um corpo de massa m a
uma mola flexível com fator restaurador k (constante de elasticidade), enquanto a
outra extremidade está ligada a um ponto fixo conforme mostrado na Figura 8. Se o
sistema encontra-se em equilíbrio a posição da massa é denotada
por 0x conforme indicado na figura 8(b) e quando tentamos tirar o nosso sistema
desse ponto de equilíbrio, surge uma força restauradora dada pela lei de Hooke
kxF , que tenta trazê-lo de volta a posição inicial. A figura 8(a) mostra a mola
comprimida e a figura 8(c) mostra a mola distendida. Se puxarmos o bloco de
massa m e, em seguida, o soltarmos, veremos o nosso sistema oscilando em torno
da posição de equilíbrio.
117
Figura 8 - Posições da mola em um movimento harmônico simples.
Fonte: Adaptado de Zill, 2003, p. 216.
Neste problema (anexo F) procurou-se investigar por meio de equações
diferenciais como é o comportamento de um sistema massa-mola livre de
interferências externas.
Além de exercitar a interpretação de texto, o estudante pode por meio deste
problema:
a) Resolver equações diferenciais;
b) Resolver equações a uma variável;
c) Diferenciar condição inicial de condição de contorno;
d) Calcular o período de oscilação de uma mola;
e) Construir e interpretar gráficos;
f) Determinar o valor máximo de estiramento e de compressão de uma
mola;
g) Comparar gráficos para confirmação de resultados;
h) Determinar a derivada de funções de uma variável;
i) Resolver problema de valor de contorno.
O problema inicia com um debate entre os participantes da pesquisa para
verificação da compreensão, interpretação do enunciado e descrição verbal do
problema.
A seguir, trabalhando em duplas, é solicitado aos estudantes que
identifiquem as variáveis e o parâmetro do problema, o modelo matemático que se
118
aplica ao problema, as condições iniciais do problema e a descrição do que se pede
no problema. São atividades que exigem interpretação do texto.
A resolução do modelo começa solicitando ao estudante que determine o
valor da constante k da mola utilizando a segunda lei de Newton e a lei de Hooke.
Para resolver este exercício, além de manipulações algébricas o estudante deve
supor que não haja forças de retardamento sobre o sistema e a massa vibre sem a
ação de outras forças e concluir que a força resultante peso é igual a força
restauradora da mola.
Na sequência é pedido que o estudante resolva a equação diferencial
02
2
2
xdt
xd, onde
m
k2 e determine a função )(tx que descreve o movimento
livre. Além de manipulações algébricas e resolução de EDs e PVIs o problema exige
que o estudante faça conversões de unidades.
A análise gráfica do modelo começa sugerindo ao estudante que construa o
gráfico da equação )10cos(25
2)10sin(
40
1)( tttx e determine o valor máximo de
estiramento e compressão da mola observando o gráfico. Espera-se que o
estudante saiba utilizar o comando plot do Maple para plotar o gráfico da equação e
que interprete corretamente o gráfico. Na sequência é pedido que determine o
período de oscilação da mola e confronte o resultado com o gráfico de
)10cos(25
2)10sin(
40
1)( tttx
para verificar a coerência. Espera-se que o
estudante, sabendo que se trata de um movimento oscilatório, relembre a fórmula
2T para o cálculo do período. Esta fórmula consta nas orientações de ajuda para
os alunos. Espera-se que o mesmo saiba como determinar graficamente o período
de uma função para confrontar os resultados.
A seguir é pedido para que indique no gráfico )(tx onde a massa está abaixo
e acima da posição de equilíbrio. Além da interpretação do gráfico, espera-se que o
estudante associe a condição 0)(tx quando a massa estiver abaixo da posição de
equilíbrio e 0)(tx acima da posição de equilíbrio.
Em seguida, pergunta-se em que instante a massa passa pela posição de
equilíbrio? Procura-se explorar as ideias de periodicidade de uma função. Espera-se
119
que o estudante perceba que a massa passa pela posição de equilíbrio infinitas
vezes. Exigem-se conhecimentos de trigonometria para resolução do exercício.
Na sequência, pergunta-se a vibração da mola tende a se anular quanto t
tende a infinito? Espera-se que o estudante ao analisar o gráfico perceba que a
amplitude não altera no decorrer do tempo.
A seguir solicita-se ao estudante que construa o gráfico de )(tv , que
determine, utilizando as ferramentas do Maple, a velocidade da massa no instante
st 2 e compare esse resultado com o gráfico de )(tv para verificar a coerência.
Para a construção do gráfico espera-se que o aluno saiba que )(')( txtv , saiba
calcular a derivada de uma função e construir gráficos com os comandos do Maple.
Espera-se que o estudante manipule e resolva equações para determinar a
velocidade da massa no instante st 2 e confronte o resultado com o gráfico,
interpretando-o e verificando a coerência.
Pergunta-se, na sequência, qual o sentido do movimento da massa no
instante st 2 ? Espera-se que o estudante ao interpretar o gráfico de )(tx possa
determinar o sentido do movimento. A seguir, pergunta-se o que se pode concluir
em relação ao sentido do movimento da massa comparando os gráficos de )(tx e
)(tv ? Procura-se explorar a interpretação gráfica por meio de comparações de
gráficos. Espera-se que o estudante apresente uma resposta similar à seguinte:
quando )(tx é decrescente, )(tv é menor que zero e o movimento da massa é para
cima, quando )(tx é crescente, )(tv é maior que zero e o movimento da massa é
para baixo.
A seguir é solicitado ao estudante que construa o gráfico da )(ta e indique no
gráfico os valores onde a aceleração da massa é máxima. Para construir o gráfico
da função, o estudante deve lembrar que )('')( txta , utilizar o comando “diff” do
pacote student para calcular a derivada de )(tv e o comando “plot” para plotar o
gráfico. Após interpretação do gráfico da )(ta o estudante deve concluir que a
aceleração é máxima nos pontos extremos da função. Para identificar no gráfico
)(ta os valores onde a aceleração é máxima, o estudante precisa ter consigo os
conceitos de valor máximo e valor mínimo de uma função e como determiná-los no
Maple.
120
Por último, é solicitada, usando o Maple, a aceleração da massa no instante
st 3 e verifique no gráfico da )(ta a coerência do resultado. Espera-se a
manipulação dos dados e a resolução da equação da )(ta para st 3 e utilize
ferramentas de zoom ou altere a escala de t para melhor visualizar a
correspondência do valor da aceleração com o respectivo tempo.
No próximo capítulo, apresentamos a análise das atividades desenvolvidas
pelos estudantes na aplicação da sequência didática.
121
5 RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS E OS RESULTADOS ALCANÇADOS
5.1 Introdução
A pesquisa realizada foi constituída pelos seguintes instrumentos:
questionários aplicados aos alunos, anotações de observações no decorrer da
aplicação da proposta pelo professor pesquisador, worksheets das atividades
desenvolvidas pelos estudantes e vídeos gravados pelo software Camtasia.
As atividades desenvolvidas pelos estudantes durante a realização da
pesquisa se encontram nos apêndices B, C, D, E, F; as orientações de ajuda nos
apêndices G, H, I, J, K e os questionários nos apêndices L e M.
Durante a realização do estágio, no primeiro semestre de 2011, constatamos
que nas disciplinas básicas de Cálculo, Geometria Analítica e Álgebra Linear do
curso de Engenharia Elétrica, os estudantes não haviam trabalhado com softwares
para exploração dos conteúdos matemáticos. Para sanar esta dificuldade
produzimos um texto (anexo A) que serviu de material de apoio a um minicurso
“Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª Ordem com o
software Maple”. Este minicurso estava previsto para ser desenvolvido em dois
encontros de 1h30min, mas, foi estendido para mais um encontro de 1h30min em
função das dificuldades apresentadas pelos estudantes, muitas delas advindas do
fato de não terem exercido este tipo de prática em suas atividades acadêmicas.
Esta análise leva em consideração o trabalho de seis duplas que
efetivamente participaram da proposta e, foi elaborada em duas partes:
Primeira parte: Descrição analítica da resolução de cada um dos problemas
e dos seus itens;
Segunda parte: Aprofundamento da Análise Buscando Diálogo com o
Referencial Teórico.
5.2 Descrição Analítica da Resolução dos Problemas
5.2.1 Problema 1
Trata-se de um problema de mecânica – queda livre, cujo enunciado é: De um
ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa m para o alto com uma
122
velocidade inicial de 8m/s. Considerando-se a gravidade a única força atuante,
calcular o tempo, a velocidade e a distância total até a pedra tocar o solo (adote
g=10m/s2 a aceleração da gravidade).
Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 19, problema 12.
A descrição verbal do problema deu-se por meio de um debate entre os
estudantes com a participação do professor pesquisador. O problema esteve claro
para os estudantes, não houve nenhum ponto polêmico relativo ao entendimento.
A interpretação do texto ocorreu com o auxílio do roteiro a seguir, aqui
extraído do apêndice B:
LEI FÍSICA
Identificação das varáveis
a) Qual é a variável independente do problema?
b) Quais as variáveis dependentes do problema?
Modelos matemáticos
c) Quais as leis matemáticas que se aplicam ao problema?
CONDIÇÕES INICIAIS DADAS
a) Quais as condições iniciais do problema?
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede
A dupla Gabriel e Leonardo não conseguiu diferenciar variável dependente de
variável independente como mostra as anotações na figura 9 extraídas da worksheet
da dupla.
123
Figura 9 - Anotações extraídas da worksheet da dupla Gabriel e Leonardo geradas no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
As duplas restantes identificaram corretamente as variáveis dependentes e
as independentes.
À exceção da dupla José Roberto e Marcílio, que não apresentou resposta ao
item c da Lei Física, os demais apresentaram corretamente a lei matemática que
governa o problema ( gdt
dv).
A dupla Maick e Larissa apresentou na forma usual as condições iniciais do
problema 8)0(
120)0(
V
S, as demais, apresentaram as respostas na forma de simples
dados extraídos do problema 8120 inicialvelocidadeeinicialespaço , não
associando espaço e velocidade com o tempo, mostrando desconexão com o
contexto de condições iniciais de Equações Diferenciais.
Todas as duplas expressaram corretamente o que foi solicitado no problema.
Os estudantes, não acostumados com a metodologia de ensino proposta,
não recorreram às orientações de ajuda para responderem às perguntas da
interpretação do enunciado.
O roteiro de resolução analítica do modelo apresentado a seguir, extraído do
apêndice B, se caracteriza como uma estratégia de resolução do problema sugerida
por este pesquisador:
a) Resolva analiticamente o problema de valor inicial (PVI) para a equação
diferencial gdt
dv(ED1) com as condições iniciais smvt /80 0 .
124
b) Sabendo que a velocidade é a derivada da posição(x) em relação ao tempo(t),
defina a equação diferencial 0vtgdt
dx(ED2) e resolva o PVI para as condições
iniciais mxt 1200 0 .
c) Calcule o instante em que a pedra toca o solo.
d) Encontre a velocidade em que a pedra toca o solo.
e) Determine a distância total percorrida pela pedra até tocar o solo.
No texto que serviu como material de apoio ao minicurso (apêndice A), na
seção 5.3 apresentou-se os comandos do Maple para a resolução de PVI e PVC.
Esperava-se que os estudantes utilizassem estes comandos para a resolução do
modelo. A dupla Maick e Larissa, explorando o software Maple e utilizando de
conhecimentos prévios de Mecânica e Cálculo Diferencial e Integral, apresentou
uma estratégia diferente para a resolução dos PVIs, exposta na figura a seguir:
Figura 10 - Fragmentos da resolução do modelo extraído do problema 1 da worksheet da dupla Maick e Larissa gerados no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Verifica-se que a dupla utilizou a ferramenta integral como alternativa ao
comando dsolve, sugerido no texto base do minicurso, para a resolução dos PVIs.
Todas as duplas resolveram os PVIs determinando as equações da
velocidade e do espaço em função do tempo ( 810)( ttv e 12085)( 2 tttx ).
Utilizando dos comandos de substituição de variáveis por valores numéricos,
resolução de equações e avaliação em ponto flutuante, todas as duplas
125
determinaram o instante em que a pedra toca o solo e a velocidade em que a pedra
toca o solo.
As duplas José Roberto-Marcílio e Caio-Russyllianno apresentaram soluções
idênticas para o cálculo da distância total percorrida pela pedra. A figura 11
apresenta a resolução da dupla José Roberto e Marcílio:
Figura 11 - Fragmentos da resolução do modelo do problema 1 extraído da worksheet da dupla José Roberto e Marcílio gerados no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
As duplas, por um erro de interpretação, não consideraram dois movimentos
(subida e descida) e não adotaram troca de referenciais. Estas duplas não
solicitaram orientações de ajuda. As demais duplas, utilizando das orientações de
ajuda, interpretaram corretamente o exercício e apresentaram a resposta correta
para a distância total percorrida pela pedra (126,4m).
Mesmo sendo orientados para trabalharem apenas com o software Maple, o
aluno Gabriel apresentou no segundo encontro, onde os alunos ainda resolviam o
problema 1, uma resolução do modelo em que utilizou as mídias lápis e papel:
126
Figura 12 - Protocolo de resolução do modelo do problema 01 apresentado pelo aluno Gabriel.
Fonte: Dados da pesquisa.
Observou-se a preocupação do aluno em verificar se os resultados retornados
pelo Maple conferem com os seus. Este fato pode apresentar sua origem nas
experiências que os estudantes vivenciaram nos processos de ensino e
aprendizagem da matemática ao longo de suas vidas acadêmicas e pode estar
relacionado com o tratamento rígido e formal da matemática onde as atividades são
desenvolvidas com as mídias lápis e papel.
127
A primeira atividade da análise gráfica do modelo solicita ao estudante que
construa o campo de direções da ED gdt
dve apresenta cinco situações para a
interpretação do campo de direções.
As duplas Maick-Larissa e Camila-Leidiane retornaram a solução gráfica do
PVI relativo ao item a da resolução do modelo como resposta à construção do
campo de direções, evidenciando uma má interpretação da pergunta, onde as
duplas não apresentaram indícios de distinção entre campo de direções e PVI. As
demais duplas retornaram corretamente o gráfico representativo do campo de
direções, como o apresentado na figura 13:
Figura 13 - Campo de direções da ED 10)(
dt
tdv extraído da worksheet da
dupla Gabriel e Leonardo gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Ao iniciar a análise do campo de direções (apêndice B) questionou-se por que
todos os elementos lineares apresentam mesma direção e sentido. Todas as duplas
associaram a equação diferencial a uma constante cuja solução gera funções do
primeiro grau, à exceção da dupla Caio e Russyllianno que associou a aceleração
da gravidade ao campo gravitacional da terra, como mostra a figura 14, extrapolando
o contexto específico do campo de direções.
128
Figura 14 - Resposta apresentada ao item b da análise gráfica do modelo extraída da worksheet da dupla Caio e Russyllianno gerada no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Quando solicitados a descrever que tipo de curva os elementos lineares do
campo de direções aproxima, as duplas Maick-Larissa e Camila-Leidiane
apresentaram a seguinte forma: 12085)( 2 tttx caracterizando um erro de
interpretação gráfica, as duplas não observaram diretamente no gráfico o fluxo
gerado pelos elementos lineares. As demais duplas associaram corretamente a
curva.
Ao serem solicitados que determinassem o ângulo formado pelos elementos
lineares, as duplas Maick-Larissa e Camila-Leidiane retornaram o valor
275,7105932º apresentando um erro no momento de fazerem a redução ao segundo
quadrante. A dupla João Roberto e Marcílio retornaram o valor 264,780 após
determinarem a medida do ângulo em radianos e multiplicarem o valor por 180,
ratificando um raciocínio não justificável. Observa-se que os estudantes não
associaram o campo de direções à medida do valor do ângulo solicitado. Verifica-se
que a maior dificuldade desses estudantes reside no fato de possuírem poucos
conhecimentos prévios de trigonometria. As demais duplas apresentaram o
resultado esperado.
Todos responderam sim, quando questionados se pelo campo de direções é
possível prever a forma da função que representa a solução geral da equação
diferencial. A dupla José Roberto e Marcílio justificou da seguinte forma: “pelo
campo de direções é possível prever a forma da função, visto que as linhas de
campo são tangenciais a curva do gráfico”.
129
Ao confrontar o comportamento do campo de direções com a solução
analítica do PVI do item a da resolução do modelo, todas as duplas verificaram a
coerência do aspecto gráfico com a função obtida no PVI.
O gráfico da velocidade em função do tempo foi construído corretamente por
todas as duplas. Todos afirmaram que a função velocidade é decrescente. Quando
questionados se a função velocidade é decrescente pelo fato da aceleração ser
negativa, a dupla Camila e Leidiane não expressou opinião, a dupla Maick e Larissa
concordou com o questionamento e apresentou a seguinte justificativa:
“A definição de aceleração pode ser entendida como a variação de velocidade
em função da variação de tempo, ou, em linguagem matemática:
Nestes termos, a menos que o denominador da expressão a
esquerda seja negativo, isto é, que o tempo "corra ao contrário" - algo que
não é comumente empregado em problemas reais -, o numerador da
respectiva expressão, , deverá sempre negativo, afim de se obter
”
A dupla Gabriel e Leonardo expressou:
“A velocidade esta almentando... embora o seu sinal seje negativo”,
As demais duplas concordaram com a condição, mas não apresentaram
justificativa.
Ao serem perguntadas sobre o valor da velocidade no instante 0t , todas as
duplas responderam corretamente 8)(tv m/s, sem apresentar cálculos,
supostamente observando o gráfico, o que verifica a coerência com o enunciado do
problema ponderado por todas as duplas. A pergunta seguinte solicita os alunos,
observando o gráfico da velocidade em função do tempo, que determinem o tempo
em que dt
dxv se anula. Todos apresentaram a resposta correta, porém a dupla
Gabriel e Leonardo apresentou a resposta após determinar analiticamente. Ainda,
observando o gráfico da velocidade em função do tempo, solicitou-se que os alunos
130
estimassem um valor aproximado do tempo em que a pedra atinge o solo. A duplas
Maick-Larissa e Camila-Leidiane apresentaram como resposta aproximadamente -
50 m/s, evidenciando uma confusão entre velocidade e tempo. A dupla Caio e
Russyllianno apresentou a resposta 76386,5t que supostamente foi determinada
analiticamente, uma vez que a gravação da resolução do problema não evidenciou
variações na escala de t com tamanha precisão. As outras duplas apresentaram
aproximações razoáveis. Todas as duplas admitiram que o resultado que
encontraram para o valor aproximado do tempo em que a pedra atinge o solo é
coerente com o resultado verificado na resolução do modelo, resposta esta que
potencializa a má interpretação das duplas Maick-Larissa e Camila-Leidiane.
A pergunta de interpretação do gráfico da velocidade em função do tempo
solicita aos estudantes que determinem o intervalo de tempo em que a velocidade é
positiva. Todas as duplas responderam corretamente.
As duplas construíram corretamente o gráfico da aceleração em função do
tempo, e afirmaram que o sinal da aceleração é negativo e que a aceleração
mantém constante no decorrer do tempo.
Quando solicitadas a resolverem graficamente o PVI 10)(
dt
tdv para
smvt /80 0 , todas as duplas apresentaram corretamente a seguinte solução:
131
Figura 15 - Resolução gráfica do PVI 10)(
dt
tdv para smvt /80 0
extraída da worksheet da dupla Maick e Larissa gerada no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Confrontando a solução gráfica do PVI com o gráfico da velocidade em
função do tempo, todas as duplas associaram corretamente a reta que apresenta a
solução do PVI como sendo a reta da velocidade em função do tempo.
O campo de direções da equação 810)(
tdt
tdx foi construído
corretamente pelas duplas. Ao prever a forma da função que representa a solução
geral da equação diferencial, a dupla Camila e Leidiane apresentou a seguinte
resposta: “Sim, é uma curva em função do tempo” evidenciando o não entendimento
da pergunta. As demais duplas associaram as linhas do campo a uma parábola.
Todas as duplas apresentaram a solução gráfica do PVI 810)(
tdt
tdx
para mxt 1200 0 e construíram corretamente o gráfico da função
12085)( 2 tttx . Ao confrontarem os gráficos, as duplas perceberam que a
solução do PVI representa o gráfico da função.
Ao observarem o gráfico da função 12085)( 2 tttx todas as duplas
constataram que a posição da pedra no instante 0t é m120 , verificaram a
132
coerência com o enunciado do problema, utilizando ferramentas de zoom,
estimaram a posição máxima que a pedra atinge em torno de m123 , avaliaram que a
função é crescente no intervalo de 0 a s8,0 e evidenciaram que os valores da
posição diminuem no decorrer do tempo no intervalo de s8,0 a s7638,5 .
Ao serem questionados por que a posição da pedra atinge um valor máximo a
partir do gráfico da aceleração, as duplas Camila-Lidiane e Caio-Russyllianno
justificaram afirmando que a aceleração é negativa, a dupla Gabriel e Leonardo
apresentou a seguinte justificativa: “a posição atinge um valor máximo porque a
aceleração é negativa, ou seja a velocidade diminui com o passar do tempo, o objeto
esta "freiando"” as demais duplas apresentaram uma resposta semelhante à da
dupla Maick e Larissa expressa a seguir: “A pedra atinge um valor máximo porque a
aceleração é negativa e constante; isto faz com que, se a pedra tiver velocidade
positiva, esta decresça até atingir valor máximo de posição, neste ponto a pedra
atinge velocidade igual a zero e, logo após, começa a cair, aumentando sua
velocidade negativamente.” Demonstrando assim uma compreensão mais global da
situação analisada.
Por meio da análise dos gráficos, todas as duplas concordaram que a
velocidade e a aceleração apresentam sinal negativo a partir do valor máximo da
posição.
De um total de 42 itens propostos para os estudantes analisarem neste
primeiro problema, a média de acertos foi de 33,75 com um desvio padrão
aproximado de 1,3693 mostrando que o número total de acertos está bem próximo
da média. Em termos de porcentagem, os estudantes acertaram em média 80,35 %
do total dos itens.
Este problema estava previsto para ser resolvido em dois encontros de
1h30min, em função das dificuldades encontradas pelos estudantes, o período foi
estendido para quatro encontros. No dia 07 de novembro de 2011 houve um
problema com o sistema que gerencia os laboratórios e os estudantes não
conseguiam acessar os computadores, o acesso foi restabelecido uma hora depois
que iniciou o encontro.
Apesar de os estudantes terem participado do minicurso, apresentaram
dificuldades nas operações com o software, principalmente com a sintaxe, como
mostra a figura 16 extraída das gravações de vídeo da dupla Maick e Larissa:
133
Figura 16 - Fragmentos mostrando erros de sintaxe extraído da resolução do problema 1 da worksheet da dupla Maick e Larissa gerados no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
As expressões na cor rosa da figura 16 mostram inconsistências no uso da
sintaxe do Maple. As dificuldades de utilização do software em certos momentos da
aplicação da proposta se constituíram em elementos complicadores para os
estudantes, ao mesmo tempo em que a interatividade entre os estudantes e o
software se mostrou profícua durante as investigações das atividades.
Verificou-se que os estudantes não haviam assimilado ainda o conceito de
derivada de uma função em um ponto, fato este que trouxe dificuldades para
analisar o comportamento da função por meio do campo de direções.
Observou-se que os estudantes sentiam necessidade de determinar
algebricamente as soluções das equações diferenciais, caracterizando assim uma
preferência do aspecto algébrico ao geométrico.
O software Maple permitiu aos estudantes resolverem analiticamente
equações diferenciais, determinar analiticamente e graficamente soluções de
problemas de valor inicial, construir campos de direções, construir gráficos em 2D,
aproximar valores, analisar o crescimento/decrescimento de uma função, visualizar e
interpretar gráficos.
5.2.2 Problema 2
Refere-se a um problema que envolve a lei de resfriamento/aquecimento de
Newton, que apresenta o seguinte enunciado:
134
A velocidade de resfriamento/aquecimento de um corpo é proporcional à diferença
entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada
temperatura ambiente. Supondo que um termômetro é removido de uma sala em
que a temperatura é de 70ºF e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de
10ºF. Após ½ minuto, o termômetro marcou 50ºF. Qual será a temperatura marcada
no termômetro no instante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro
marcar 15ºF?
Problema extraído do texto Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 104, problema 13.
O ponto polêmico que surgiu durante a discussão que antecedeu à descrição
verbal do problema esteve relacionado com a questão da proporcionalidade, os
estudantes não traziam consigo as noções de grandezas proporcionais. A
participação do professor pesquisador descrevendo um experimento elucidou a
situação.
Na interpretação do enunciado (anexo C), no item referente à lei Física, a
dupla Gabriel e Leonardo não conseguiu identificar a variável independente do
problema, as demais duplas apresentaram corretamente as variáveis independentes
e dependentes. Metade das duplas apresentou dificuldades de diferenciação entre
parâmetro e constante. Apenas a dupla Gabriel e Leonardo apresentou a lei
matemática que rege o problema.
Metade dos estudantes apresentou corretamente as condições iniciais e de
contorno do problema e duas duplas descreveram corretamente o que se pede.
Nota-se que os estudantes apresentaram dificuldades de interpretação do
texto, fato que não os impediu de continuarem resolvendo a atividade.
Todas as duplas retornaram a resolução do modelo corretamente, porém a
dificuldade com a sintaxe ficou evidente nas filmagens de algumas duplas. As linhas
na cor rosa da figura 17 indicam erros de sintaxe cometidos pelos estudantes.
135
Figura 17 - Fragmentos de imagens dos vídeos gerados pelo Camtasia Studio 7 mostrando erros de sintaxe cometidos pelos participantes da pesquisa.
Fonte: Dados da pesquisa.
A análise gráfica dos modelos sugere inicialmente que os estudantes
construam o campo de direções para a equação diferencial )( mTTkdt
dT. Todas as
duplas apresentaram corretamente o gráfico representativo do campo de direções,
como na figura 18:
Figura 18 - Campo de direções da equação diferencial )( mTTkdt
dTextraído da
worksheet da dupla Maick e Larissa gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
136
Quando perguntados a respeito do tipo de função que poderia se aproximar
observando o campo de direções, todas as duplas responderam exponencial, a
dupla Maick e Larissa especificou da seguinte forma: abaixo de 10)(tT logarítmica
e acima exponencial, evidenciando uma melhor observação das linhas do campo.
Quando questionados da possiblidade de definir o sinal de dtdT observando
apenas o campo de direções, todos avaliaram afirmativamente e estabeleceram os
valores de )(tT para os quais 0dt
dT, 0
dt
dT e 0
dt
dT, à exceção da dupla Caio e
Russylliano que apresentou a seguinte resposta:
Figura 19 - Estudo do sinal de dtdT baseado no campo de direções da equação
)( mTTkdtdT , extraído da worksheet da dupla Caio e Russylliano gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Não associando os sinais da derivada aos valores de )(tT , evidenciando uma má
compreensão da pergunta, acarretando erros na interpretação.
Todos os estudantes mostraram compreender o que é uma solução de
equilíbrio estabelecendo aproximações para a solução.
Na sequência, foi solicitado aos estudantes que construíssem o gráfico de
dtdT por T . Todas as duplas apresentaram corretamente o gráfico. Ao
compararem os sinais de dtdT observando o campo de direções com o gráfico de
dtdT por T , metade da turma não conseguiu fazer a associação, mostrando
dificuldades de correlação na interpretação dos gráficos.
Todas as duplas construíram corretamente o gráfico de dtdT por t e
analisando o gráfico, responderam corretamente que dtdT tende a zero quando t
cresce indefinidamente. Construíram corretamente o gráfico de dtdT por t e
137
analisando o gráfico, responderam corretamente que dtdT tende a zero quando t
cresce indefinidamente.
Ao calcularem corretamente as tangentes dtdT para 2t , 6t e 10t
todas as duplas puderam confirmar estes resultados comparando com o gráfico de
dtdT por t .
A seguir, todas as duplas construíram corretamente o gráfico )(tT por t e ao
analisarem o gráfico, associaram corretamente a ideia de que o termômetro resfria
mais rapidamente no primeiro minuto.
Ao serem solicitados que resolvessem graficamente o PVI para 70)0(T e
depois para 50)2/1(T , três duplas resolveram graficamente o PVI, mostrando
resultados separados para cada uma das condições, duas duplas apresentaram
resultados onde traçaram as duas curvas integrais no mesmo gráfico, as cinco
duplas perceberam que as condições dadas representam a mesma solução. A dupla
Caio e Russyllianno apresentou soluções analíticas e, ao comparar as soluções, não
conseguiu estabelecer parâmetro para análise.
A última etapa da análise gráfica consistiu de cinco atividades de simulação
onde os estudantes desenvolveram os exercícios sem as orientações de ajuda, uma
vez que em simulações os estudantes podem estimar valores diferentes.
Todas as duplas simularam uma condição inicial e outra de contorno para
uma temperatura (T ) negativa para análise de aquecimento e construíram
corretamente o gráfico de )(tT por t , à exceção da dupla Caio e Russyllianno que
apresentou a solução de um PVI onde a temperatura está decrescendo,
demonstrando uma incoerência com o que foi solicitado. Ao serem instigados a
observar a variação de T e de dtdT para t crescente, a dupla Maick e Larissa
construiu o campo de direções da equação diferencial obtida por meio das
condições dadas e comparando os gráficos não conseguiu relacionar T e dtdT para
t crescente, a dupla Kalielly e Tatielly construiu corretamente o gráfico de dtdT e
analisou corretamente o gráfico, porém não comparou ao gráfico de )(tT por t , a
dupla Caio e Russyllianno não apresentou análise, a dupla Daniel e Leonardo
analisando o gráfico )(tT por t chegou à seguinte conclusão: “ A temperatura “T”
está aumentando e a velocidade de aquecimento “dT/dt” está diminuindo para t
crescente ” mostrando uma compreensão geométrica do conceito de derivada, as
138
demais duplas apresentaram análises parciais envolvendo apenas o gráfico de )(tT
por t dissociado do gráfico de dtdT .
A segunda simulação, idêntica à primeira, solicitou aos estudantes uma
condição inicial e uma de contorno para a temperatura ( T ) entre 0 e 10 graus para
análise de aquecimento. As respostas dos estudantes foram análogas à da primeira
simulação, com exceção das duplas Maick-Larissa, Camila-Leidiane e Gabriel-
Leonardo que não apresentaram análise da variação de T e dtdT para t crescente.
Procurou-se com essas atividades de simulação colocar o estudante diante
do computador como um manipulador de situações reais, ao alterar as condições
iniciais e de contorno o estudante observa de imediato os resultados. A dinâmica do
software pode auxiliar o estudante a interpretar gráficos e percorrer o caminho do
abstrato ao concreto com rapidez.
Durante a resolução deste problema os estudantes continuaram apresentado
muitos erros de sintaxe, a todo momento recorriam ao texto base do minicurso, ao
site do fabricante e a programas de tradução da internet na tentativa de
solucionarem suas dúvidas. Tal fato contribuiu para que o período de dois encontros
de 1h30min previsto para a realização da atividade fosse estendido para mais um
encontro. A figura 20 mostra o momento em que a dupla Gabriel e Leonardo
acessava o site do fabricante para tentar corrigir um erro na sintaxe.
Figura 20 - Imagem extraída da resolução do problema 2 da dupla Gabriel e
Leonardo no momento em que tentavam corrigir o erro de sintaxe acessando o site do fabricante do software Maple, gerada no Camtasia Studio 7.
Fonte: Dados da pesquisa.
139
Os estudantes acertaram em média 75,48% do total de 31 itens que compõe
este problema. A média de acertos foi de 23,4 com um desvio padrão aproximado de
3,007. Uma das duplas apresentou 18 acertos elevando o desvio padrão. Os itens
que mais apresentaram erros foram os relacionados com as simulações,
possivelmente pelo fato dos estudantes não contarem com as fichas de ajuda.
Notou-se que durante a resolução deste problema, os estudantes não
mostravam preocupações em resolver analiticamente as EDs com as mídias lápis e
papel, trabalhavam totalmente integrados com o software.
5.2.3 Problema 3
Trata-se de um problema (anexo D) de eletricidade envolvendo um circuito
elétrico em série RL básico que contem uma fonte de energia com uma voltagem de
V24 , um resistor com uma resistência constante de 6 e um indutor com uma
indutância constante de H3 . Dada a condição Ai 15)0( , é solicitado ao estudante
que determine )(ti .
Este problema não trouxe nenhum ponto polêmico de interpretação, após
alguns minutos de conversa entre os participantes, a dupla Caio e Russyllianno fez a
descrição verbal do problema.
A dupla Caio e Russyllianno não apresentou respostas relativas ao modelo
matemático, à condição inicial e a descrição do que se pede no problema. A dupla
Marcílio e José Roberto não apresentou a lei matemática que se aplica ao problema,
as demais duplas acertaram todos os itens relativos à interpretação do enunciado.
A resolução do modelo solicita ao estudante que resolva a equação
diferencial )(tEiRdt
diL , o PVI )(tEiR
dt
diL para a condição Ai 15)0( e
compare as soluções para prever o valor da constante da solução geral da equação
diferencial. Todos os estudantes resolveram corretamente o que foi solicitado, a
dupla Marcílio e José Roberto não fez a comparação final. A figura 21 mostra a
resolução do modelo pela dupla Tatielly e Kalielly:
140
Figura 21 - Resolução do modelo do problema 3 extraído da worksheet da dupla Tatielly e Kalielly gerada no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Iniciando a análise gráfica do modelo, todas as duplas construíram
corretamente o campo de direções da ED )(tEiRdt
diL e ponderaram da
necessidade de uma condição inicial ou de contorno para esboçar soluções da
equação. Duas duplas responderam que a função exponencial é a que mais se
aproxima do padrão de fluxo do campo de direções, evidenciando uma análise
parcial. As demais duplas identificaram as funções exponencial e logarítmica.
Todas as duplas concordaram com a possibilidade de determinar o sinal de
dtdi observando o campo de direções e indicaram corretamente os valores de i
para os quais 0dt
di, 0
dt
di e 0
dt
di.
As duplas foram unânimes em afirmar que Ati 4)( representa uma solução
de equilíbrio da ED.
A resolução gráfica do PVI )(tEiRdt
diL para a condição Ai 15)0( , a
construção do gráfico dt
di por i e a confirmação dos sinais de
dt
di por meio do gráfico
dt
di por i foram retornados corretamente por todas as duplas. A figura 22(a) mostra a
resolução gráfica do PVI e a figura 22(b) a construção do gráfico dtdi por i pela
dupla Leonardo e Gabriel:
141
Figura 22 - Resolução gráfica do PVI )(tEiRdtdiL para a condição
Ai 15)0( , e construção do gráfico dtdi por i extraídos da worksheet da dupla
Leonardo e Gabriel geradas no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Quando indagados do porque da reta dtdi interceptar o eixo i no valor 4,
cinco duplas associaram corretamente o valor 4)(ti à solução de equilíbrio da ED
ressaltando a condição 0dtdi .
Na sequência, foi solicitado aos estudantes que construíssem o gráfico de
)(ti por t e que analisassem o comportamento da intensidade da corrente, para t
suficientemente grande. Metade das duplas apresentou o gráfico semelhante ao da
figura 23.
Figura 23 - Gráfico da função teti 2114)( extraído da worksheet da dupla
José Roberto e Marcílio gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
142
Para algumas funções, o Maple retorna o gráfico apenas no intervalo de
plotagem da variável independente quando não se define o intervalo do eixo das
ordenadas, fato este que induziu os estudantes a afirmarem que a intensidade da
corrente tende a zero quando o tempo é suficientemente grande. A figura 24 mostra
o gráfico plotado pela dupla Kalielly e Tatielly, com os intervalos definido para o
tempo e para a intensidade da corrente.
Figura 24 - Gráfico da função teti 2114)( extraído da worksheet da dupla
Kalielly e Tatielly gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
As duplas Kalielly-Tatielly e José Roberto-Marcílio construíram corretamente o
gráfico de dt
di por t e avaliaram o comportamento da taxa da variação
dt
di no
decorrer do tempo. As demais duplas, em função de erros de manipulação algébrica,
apresentaram equações diferentes da esperada, comprometendo o gráfico e sua
análise.
Os erros de sintaxe apresentados durante a resolução do problema
diminuíram consideravelmente em relação aos problemas anteriores, o problema foi
resolvido em dois encontros de 1h30min, sendo que as duplas Kalielly-Tatielly e
José Roberto-Marcílio não utilizaram todo o tempo para a resolução do problema.
143
A porcentagem de acerto dos itens elevou-se em relação aos problemas
anteriores, apresentado o valor aproximado de 84,1%. A média de acertos foi 18,5
para um total de 22 itens, com um desvio padrão aproximado de 2,6.
5.2.4 Problema 4
Trata-se de um problema de desintegração radioativa onde é solicitado a
meia-vida do elemento radium. Sabe-se que o radium se decompõe naturalmente
em proporção direta à quantidade presente e que leva 250 anos para decompor 10%
de certa quantidade.
A dupla Gabriel e Leonardo após uma breve conversa com os participantes
da pesquisa e professor pesquisador, descreveu verbalmente o problema mostrando
total compreensão do mesmo.
Todas as duplas identificaram corretamente as variáveis dependente e
independente do sistema. A dupla Caio e Russyllianno apresentou a única resposta
correta para identificação do parâmetro. Fica clara a dificuldade dos estudantes na
definição de parâmetro. Esta questão mostrou o maior número de erros dos
estudantes na resolução deste problema, gerado, preponderantemente pelo fato da
constante de proporcionalidade não estar explícita no enunciado do problema. Esta
mesma dupla descreveu o modelo matemático em termos de decrescimento, não
apresentando a equação matemática, as demais duplas apresentaram a ED
)()(
tmkdt
tdm como o modelo matemático que governa o problema. As duplas
identificaram o que foi solicitado no problema e apresentaram corretamente as
condições iniciais e de contorno.
A resolução do modelo sugere que os estudantes resolvam a ED
)()(
tmkdt
tdm, determine os valores dos parâmetros k e 1_C da solução geral da
ED, encontre a equação que permite calcular a massa em função do tempo e calcule
a meia-vida do radium. Todas as duplas apresentaram respostas corretas. A figura
25 mostra a resolução da dupla Maick e Larissa.
144
Figura 25 - Resolução do modelo do problema 04 extraído da worksheet da dupla Maick e Larissa gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
A dupla Maick e Larissa, diferentemente das outras, ao substituir a condição
inicial na solução geral da ED, encontrou de imediato o valor de 1_C , em seguida
substituiu este valor com a condição de contorno novamente na solução geral da ED
e calculou o valor de k . As demais duplas montaram as duas equações com as
condições iniciais e de contorno e resolveram o sistema.
A resolução deste modelo mostrou que os estudantes aprenderam os
comados do Maple para resolver uma ED, um sistema de duas equações, uma
equação a uma variável e mostraram habilidades com manipulações algébricas no
software.
A análise gráfica do modelo propõe inicialmente a construção do campo de
direções da ED )()(
tmkdt
tdm e questiona se a massa tende a zero quando o
tempo tende ao infinito. Todas as duplas construíram corretamente o campo de
145
direções e concordaram com o questionamento. A figura 26 mostra a construção do
campo de direções da ED )()(
tmkdt
tdm realizada pela dupla Kalielly e Tatielly.
Figura 26 - Construção do campo de direções da Equação Diferencial
)()(
tmkdt
tdm extraído da worksheet da dupla Kalielly e Tatielly gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Todos os estudantes afirmaram que a curva que mais se aproxima do campo
de direções é a exponencial e estabeleceram corretamente, observando o campo de
direções, os sinais da dt
dm e relação a m , mostrando habilidades de visualização e
interpretação gráfica.
A seguir foi solicitado a construção do gráfico dt
dm por m e que fosse
comparado os sinais de dt
dm obtidos observando o campo de direções com o gráfico
de dt
dm por m . Todas as duplas construíram corretamente o gráfico e por meio do
confronto dos resultados, validaram suas respostas quando comparam os sinais de
dt
dm obtidos observando o campo de direções com o gráfico de
dt
dm por m .
146
Ao serem questionados da possibilidade de obter uma valor aproximado de m
que represente soluções de equilíbrio da equação diferencial observando o campo
de direções, todos os estudantes associaram o valor de 0)(tm , onde 0dt
dm para
a solução de equilíbrio da ED.
Na sequência, foram solicitados a construção do gráfico tdt
dm e a análise do
comportamento da taxa de variação da massa com o passar do tempo. Todas as
duplas construíram corretamente o gráfico e metade das duplas associaram à ideia
de que dt
dm é negativa, está decrescendo em módulo e tende a zero. Metade dos
estudantes não conseguiu interpretar o gráfico, fato este que leva a crer que os
estudantes ainda apresentam dificuldades de interpretação gráfica. A figura 27
mostra a construção do gráfico tdt
dm realizado pela dupla José Roberto e Marcílio.
Figura 27 - Construção do gráfico de tdt
dm extraído da worksheet da dupla
José Roberto e Marcílio gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Quando questionados em relação ao período em que a taxa dt
dm apresenta
maior variação, as respostas apresentaram vários intervalos de tempo próximos de
147
zero, à exceção da dupla Caio e Russyllianno que apresentou o intervalo de 1000 a
10 000 anos, evidenciando uma má leitura do gráfico.
A seguir, foi solicitado a construção do gráfico )(tm por t , a análise do
comportamento da massa quando o tempo for suficientemente grande, o sinal de
dt
dm e a verificação da coerência do valor de m para 0t no gráfico de )(tm por t
em relação ao enunciado do problema. Todas as duplas construíram corretamente o
gráfico, verificaram que a massa tende a zero quando o tempo é suficientemente
grande, afirmaram que dt
dm é negativa e constataram por meio do confronto, gráfico
X enunciado, que quando %)100(10 mt .
Finalmente, é sugerido a resolução gráfica do Problema de Valor Inicial
(PVC):
mkdt
dm
%)90(9.0250
%)100(10
mt
mt e a verificação da coerência da solução gráfica
do PVC com o gráfico )(tm por t . Todas as duplas resolveram graficamente o PVC
e verificaram que a curva integral obtida no gráfico do PVC é idêntica com a curva
obtida no gráfico )(tm por t . A figura 28 mostra a resolução gráfica do PVC pela
dupla Gabriel e Leonardo.
148
Figura 28 - Resolução gráfica do PVC: mkdt
dm para
%)90(9.0250
%)100(10
mt
mtextraído da worksheet da dupla Gabriel e Leonardo
gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Verificou-se que erros de sintaxe continuaram sendo cometidos pelas duplas
ao desenvolverem as atividades, a figura 29 mostra alguns erros cometidos:
Figura 29 - Imagem extraída dos vídeos geradas no Camtasia Studio 7 mostrando erros de sintaxe cometidos pelos estudantes.
Fonte: Dados da pesquisa.
149
As linhas que começam com a palavra em inglês “Error” na cor rosa da figura
29 indicam erros de sintaxe. O primeiro erro está relacionado à resolução de um
sistema onde a dupla esqueceu-se de colocar as variáveis a serem determinadas
entre chaves. O segundo mostra que a dupla esqueceu-se de definir o intervalo das
ordenadas ao traçar o campo de direções. O terceiro erro mostra que a dupla ao
construir o gráfico de tdtdm não especificou a função )(tm e o intervalo
0..100)(tm está incoerente para a variação da massa e o quarto erro mostra que
a dupla ao resolver o PVC esqueceu-se de colocar as condições iniciais e de
contorno entre colchetes separados.
Apesar de os estudantes apresentarem muitos erros de sintaxe, tais erros não
afetaram a resolução do problema. Notou-se por meio dos vídeos que os erros
exigiram dos estudantes um tempo maior para a resolução do problema. Verificou-se
que os estudantes ao depararem com um erro de sintaxe tentam executar a ação
lançando mão de vários recursos: por tentativas, pesquisa em outros exercícios com
comandos semelhantes, pesquisa na própria internet e pesquisa no texto que serviu
de base para aplicação do minicurso sobre o software.
A média de acertos dos itens para este problema foi relativamente alta, 25,3
acertos para o total de 27 itens, com um desvio padrão de 0,447. A porcentagem de
acertos da turma é de 93,7%. Os poucos erros cometidos foram de interpretação do
enunciado e de análise gráfica.
A metade dos estudantes resolveu o problema em um encontro de 1h30min,
mostrando assim, uma maior familiarização com o software e uma melhora da
compreensão e interpretação do texto, as demais duplas concluíram a atividade no
segundo encontro.
5.2.5 Problema 5
Sistema Massa-Mola: Movimento livre não amortecido é o assunto do
problema 5 (apêndice F). É solicitado ao estudante que determine a função )(tx que
descreve o movimento livre, sabendo que uma massa de 2 kg distende uma mola
em 9,8 cm. No instante 0t , a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo da posição
de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm/s. Adota-se que o
sentido do movimento para baixo seja positivo e que o movimento se dê em uma
150
reta vertical que passa pelo centro de gravidade da massa. Considera-se ainda que
a variável x representa o deslocamento da massa em relação à posição de
equilíbrio. A figura 30 mostra a mola comprimida, em posição de equilíbrio e
distendida:
Figura 30 - Posições da mola no movimento livre não amortecido.
Fonte: Adaptado de Zill, 2003, p. 216.
A questão polêmica que emergiu durante a discussão do problema esteve
relacionada com a ação da gravidade. O aluno Maick encontrou dificuldades para
estabelecer em que momentos ocorre a ação da gravidade. Perguntava ele: “por que
que quando a massa pesando 2 kg distende uma mola em 9,8 cm está sob a ação
da gravidade se o movimento é livre não amortecido?” Maick não havia percebido
que esta condição é alheia ao movimento da mola em si.
A identificação das variáveis do problema foi realizada por todas as duplas, à
exceção da dupla Leonardo e Gabriel que apresentou dificuldades de identificação
do parâmetro, indicando a massa como parâmetro. As duplas Kalielly-Tatielly e Caio-
Russyllianno apresentaram as leis que combinadas, obtém-se a Equação Diferencial
do Movimento Livre Não Amortecido, mas não apresentaram a Equação em si, as
demais duplas apresentaram corretamente a Equação que governa o movimento.
Todos os estudantes identificaram as condições iniciais e descreveram corretamente
o que se pede no problema.
151
A resolução do modelo solicita que os estudantes determinem o valor da
constante k , resolvam a equação diferencial 0222 xdtxd , onde mk2 e
determinem a função )(tx . Todas as duplas, utilizando a segunda lei de Newton e a
lei de Hooke determinaram o valor da constante k . Resolveram a equação
diferencial e determinaram a expressão )(tx que permite calcular a posição da mola
para um instante qualquer. A dupla Caio e Russyllianno apresentou uma resolução
(figura 31) detalhada para obtenção de )(tx substituindo separadamente as
condições iniciais na equação diferencial e determinando as constantes, o que
poderia ser calculado substituindo as condições de uma única vez na Equação
Diferencial.
Figura 31 - Cálculo da função )(tx que determina a posição em função do
tempo no movimento livre da mola extraído da worksheet da dupla Caio e Russyllianno gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Iniciando a análise gráfica do modelo, todas as turmas plotaram corretamente
o gráfico da função )10cos(25
2)10sin(
40
1)( tttx , determinaram o valor máximo
de estiramento e compressão da mola, calcularam o período de oscilação da mola e
confrontaram o resultado com o gráfico )(tx verificando a coerência do valor
calculado.
Quando solicitados a mostrarem no gráfico de )(tx onde a mola está abaixo e
acima da posição de equilíbrio, a dupla Leonardo e Gabriel não conseguiu visualizar
152
corretamente a posição da mola, as demais duplas identificaram corretamente a
posição da mola no decorrer do tempo. A dupla Maick e Larissa encontrou um modo
sugestivo de apresentar graficamente a posição da mola. A figura 32(a) mostra
quando a massa está abaixo da posição de equilíbrio e a figura 32(b) mostra quando
a mola está acima:
Figura 32 - Resposta gráfica apresentando a posição da mola extraída da worksheet da dupla Maick e Larissa gerada no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Ao serem perguntados em que instante a massa passa pela posição de
equilíbrio, metade dos estudantes determinou corretamente o instante em que a
massa passa pela primeira vez nessa posição, porém, não conseguiram montar a
expressão geral que permite determinar qualquer instante em que a mola passa pela
posição de equilíbrio, evidenciando deficiência na aprendizagem de conceitos da
trigonometria. As demais duplas apresentaram expressões idêntica à da dupla
Leonardo e Gabriel “ Zktkarctg ,10516101 ”.
Todas as duplas foram unânimes em afirmar que a vibração da mola não
tende a zero. A dupla Maick e Larissa justificou dizendo que o gráfico é uma senóide
e a dupla José Roberto e Marcílio enfatiza que o sistema é livre da ação da
gravidade.
As duplas construíram corretamente o gráfico de )(tv , determinaram a
velocidade da massa no instante 2t s e ao confrontar este resultado com o gráfico
de )(tv verificaram a coerência.
153
Quando questionados com relação ao sentido do movimento da massa no
instante 2t s, duas duplas erradamente indicaram o sentido para baixo,
evidenciando uma má interpretação do gráfico de )(tx , as duplas restantes
apontaram que o movimento é para cima e duas duplas ponderaram que o
movimento neste instante ocorre abaixo do ponto de equilíbrio.
A pergunta seguinte solicita aos estudantes que estabeleçam uma
comparação entre os gráficos de )(tx e )(tv com vistas ao sentido do movimento da
massa. Duas duplas apresentaram respostas inconsistentes, três duplas
estabeleceram relações devidas entre )(tx e )(tv , porém, não relacionado com o
sentido do movimento e a dupla Leonardo e Gabriel apresentou a plotagem (figura
33) das funções )(tx em vermelho e )(tv em verde no mesmo gráfico. A plotagem
das duas funções no mesmo gráfico permitiu à dupla estabelecer comparações que
levaram a uma resposta parcialmente correta, apresentada na parte inferior da figura
33, o que permite a este pesquisador supor que a dupla fez uma correta
interpretação de toda a situação.
154
Figura 33 - Representação gráfica das funções )(tx e )(tv extraída da
worksheet da dupla Leonardo e Gabriel gerada no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
Na sequência, é solicitado aos estudantes que construam o gráfico de )(ta e
que, observando o gráfico, indique os valores onde a aceleração da massa é
máxima. Todas as duplas apresentaram corretamente o gráfico. A dupla Leonardo e
Gabriel apresentou valores inconsistentes, devido a erros de manipulação algébrica,
do tempo para a aceleração máxima da massa após tentarem determinar os valores
de t que indicassem os valores máximos e mínimos da aceleração. As demais
duplas, com expressões semelhantes, afirmaram que a aceleração da massa é
máxima nos pontos em que )(tx apresenta valor máximo ou mínimo, e não
esboçaram intenção de determinar a expressão geral que fornece o valor do tempo
para a aceleração máxima da massa.
Finalmente, é solicitado aos estudantes que determinem a aceleração da
massa no instante 3t s e verifiquem a coerência do valor com o gráfico de )(ta . A
dupla Leonardo e Gabriel substituiu o valor de 3t s na equação da derivada da
função )(ta acarretando em erro de cálculo, as demais duplas determinaram
corretamente o valor da aceleração e por meio do confronto, valor X gráfico,
verificaram a coerência do resultado.
Este problema, embora envolvesse na resolução do modelo uma Equação
Diferencial Ordinária Linear de Segunda Ordem não apresentou dificuldades
adicionais aos estudantes. A atividade foi desenvolvida em dois encontros de
155
1h30min. Os erros de sintaxe, como era de se esperar, continuaram presentes
durante a resolução do problema, porém foram todos corrigidos de uma forma
intuitiva, orientada pelo próprio software. Os erros mais cometidos pelas duplas
durante a resolução do problema estão relacionados com a interpretação do texto e
com a interpretação gráfica.
Para o total de 26 itens desenvolvidos no problema, a turma apresentou a
média de acertos aproximadamente igual a 22,6, correspondendo a 87% de acertos
com um desvio padrão aproximado de 1,65, o que demonstra que o número de
acertos das duplas estão próximos da média.
5.3 Aprofundamento da Análise Buscando Diálogo com o Referencial Teórico
Após a descrição analítica da resolução de cada um dos problemas, realizada
na seção anterior, apresenta-se agora uma análise mais aprofundada buscando
dialogar com o referencial teórico adotado.
Para elaborar e executar a proposta presente, nesta dissertação, focada na
resolução de problemas e no uso de recursos computacionais, empregou-se a
prática pedagógica baseada na teoria sócio interacionista de Vygotsky (1978). O
debate realizado pelo pesquisador e participantes no início da resolução de cada
problema e o trabalho desenvolvido em duplas pelos estudantes, negociando
significados, em um ambiente informatizado, favoreceu a interação entre
estudante/estudante, estudante/pesquisador e estudante/computador
compartilhando a ideia de Vygotsky (1978) de que a aprendizagem eficaz ocorre por
meio da interação entre sujeito, o objeto e outros sujeitos.
Durante a resolução do primeiro problema, possivelmente pelo fato dos
estudantes estarem acostumados com uma metodologia de ensino e aprendizagem
das EDs com a sua resolução, os estudantes procuravam calcular algebricamente
as soluções das EDs, como aconteceu com o aluno Gabriel que apresentou o
cálculo analítico da resolução do modelo em que utilizou as mídias lápis e papel
(figura 12). A partir da resolução do segundo problema essa preocupação deixou de
ser uma constante para os estudantes que já apresentavam familiaridade com a
aplicação da proposta. A construção das atividades propostas neste trabalho levou
em conta a visão de Rasmussen (2001) citado por Dullius (2009) de que o foco do
ensino de EDs não deve ser as soluções analíticas. Com o advento das TICs, os
156
métodos numéricos retornam soluções confiáveis, uma vez que os métodos e
técnicas de resolução de EDs são limitados e não encontram soluções para todos os
tipos de EDs. A metodologia empregada nesta pesquisa, onde os estudantes
dispunham como recursos para desenvolverem as atividades, o computador e o
software Maple, contribuíram para que as atividades fossem realizadas com foco na
compreensão e interpretação gráfica, seguindo as abordagens da aprendizagem por
Resolução de Problemas e Descoberta Guiada.
Os problemas apresentados nesta proposta procuraram incorporar as quatro
etapas de resolução sugeridas por Polya (2006): (1) compreensão do problema; (2)
construção de uma estratégia de resolução; (3) execução de uma estratégia
escolhida e (4) revisão da solução. Estas etapas são semelhantes às propostas por
Pozo (1988). A primeira etapa de resolução dos problemas proposta neste trabalho
conduz o estudante à interpretação do texto, onde o enunciado é esclarecido, as
variáveis, as constantes, os parâmetros e o modelo matemático são identificados, as
condições iniciais e de contorno e o que se pede são elucidados. Esta etapa está
associada à compreensão do problema e da tarefa. Em função da mídia utilizada
para a resolução dos problemas, o computador e o software Maple, o estudante, foi
orientado pelo professor a investigar e construir seus próprios conhecimentos,
caracterizando assim a abordagem da Descoberta Guiada. A estratégia de
resolução é construída pelo professor que orienta o estudante em sua execução.
Segundo Paul Ernest (1996) no método da Descoberta Guiada o professor formula o
problema e conduz o aluno para a solução. Na terceira etapa da resolução dos
problemas que trata da análise gráfica dos modelos, a todo momento, os estudantes
são conduzidos a analisar se alcançaram ou não as metas, sendo evidente o
confronto de resultados por meio das abordagens geométrica e analítica, como o
que foi proposto no problema 01, item f onde foi sugerido aos estudantes que
observassem o comportamento do campo de direções da equação gdt
dv e
verificassem a coerência com a solução analítica do problema de valor inicial para a
equação diferencial gdt
dv com as condições iniciais smvt o /80 obtida no
item a da resolução do modelo.
157
Ao confrontar soluções analíticas com soluções geométricas o estudante está
fazendo um retrospecto da resolução, consolidando seus conhecimentos, validando
respostas e conjecturas, aperfeiçoando a capacidade de abstração.
O processo de visualização, facilitado pelo traçado e interpretação gráfica, se
mostrou profícuo na análise qualitativa das Equações Diferenciais no ambiente
informatizado. Proporcionou aos estudantes criar imagens mentais, visualizar
gráficos, interpretar gráficos, estabelecer proposições e conjecturas, validar
resultados, relacionar variáveis e funções, construir conceitos, dentre outras
possibilidades. O processo de visualização por meio do computador contribuiu para
o estudante perceber o despercebido. Por meio da ferramenta “zoom” do software
Maple os estudantes puderam aproximar confiadamente valores. Por exemplo, no
problema 01, item bb da análise gráfica dos modelos, ao observarem o gráfico do
espaço em função do tempo, puderam determinar aproximadamente a posição
máxima que a pedra atingiu.
A visualização do campo de direções (figura 34), por exemplo, da equação
diferencial mkdt
dm do item a da análise gráfica dos modelos do problema 04,
permitiu aos estudantes; afirmar que se o tempo tende a infinito, a massa tende a
zero. Ao observar os elementos lineares, propor um tipo de função que melhor se
aproxime ao padrão de fluxo do campo; definir o sinal de dt
dm e comparar estes
sinais com o gráfico dt
dm por m e determinar um valor aproximado de m que
representa as soluções de equilíbrio da Equação Diferencial.
158
Figura 34 - Campo de direções da Equação Diferencial
)(6260004214420,0 tmdtdm extraído da worksheet da dupla Maick e Larissa
gerado no Maple 14.
Fonte: Dados da pesquisa.
No problema 03 de circuito elétrico, quando os estudantes
interpretavam/analisavam a solução gráfica do Problema de Valor Inicial
determinado pela Equação Diferencial 24)(63 tidt
di para a condição Ai 15)0(
buscavam descobrir o comportamento da intensidade da corrente com o passar do
tempo, visualizavam o gráfico da função particular no caso para Ai 15)0( ,
percebiam a derivada como a variação de uma curva e identificavam as soluções de
equilíbrio, estavam exercitando as várias caracterizações da visualização.
Ao comparar, por exemplo, soluções analíticas e gráficas de um PVI, os
estudantes puderam estabelecer correspondências entre as representações visuais
e analíticas de uma mesma situação. Este processo contribuiu para a compreensão
do conteúdo de EDs.
Em concordância com Javaroni (2007), citando Arcavi (2003), verifica-se que
o processo de visualização organiza os dados em estruturas significativas e contribui
para o desenvolvimento analítico de uma solução.
Ao longo das atividades, os estudantes puderam confrontar ideias anteriores
a respeito de determinados conceitos com novos significados, contribuindo para uma
aprendizagem mais significativa. Como exemplo, cita-se o problema 4 sobre
159
Desintegração Radioativa. Na análise do modelo, o item e sugere aos estudantes a
construção do gráfico da função dt
dm por m que representa uma reta no plano
cartesiano. Uma função elementar do conhecimento dos mesmos. Ao compararem o
gráfico desta reta com o sinal da derivada, obtido por meio da observação do campo
de direções da ED: mkdt
dm; os estudantes, além de validar resultados,
confrontaram ideias/conceitos anteriores (equação de uma reta) com conceitos
novos (equação diferencial, campo de direções). Ao mobilizarem estruturas mentais
(esquemas) já constituídas e confrontá-las com o novo conhecimento, os processos
de assimilação e acomodação aconteceram com mais facilidade, provocando novas
descobertas, partindo sempre de esquemas mais simples e absorvendo estruturas
mais complexas (PIAGET 1975).
Ao estabelecer estratégias de resolução de problemas, Polya (2006, p.7)
esclarece que para ter uma boa ideia, não basta uma recordação. As boas ideias
advêm de experiências passadas e conhecimentos previamente adquiridos. Em
consonância com esta ideia, Javaroni (2007, p.162) apregoa que “a aprendizagem
deve ocorrer de forma dinâmica, significativa, favorecendo o aparecimento de um
número cada vez maior de conexões”. Esta ideia ficou evidente quando o aluno
Gabriel apresentou a resolução do modelo do problema 1 (Queda Livre), com uso
das mídias lápis e papel, construída baseada nos conceitos apreendidos no ensino
médio14. Posteriormente, a dupla Gabriel e Leonardo apresentou a resolução do
modelo com recursos do Cálculo Diferencial e Integral com o auxílio do software
Maple, manifestando a ideia de que os conhecimentos prévios adquiridos pelos
estudantes, os conduzem à apreensão de novos conhecimentos.
A utilização do software Maple, como único recurso que os estudantes
dispunham para desenvolverem as atividades, apresentou de início dificuldades de
manipulação e inúmeros erros de sintaxe foram recorrentes. A partir da resolução do
segundo problema (resfriamento/aquecimento de um corpo) a interação entre
estudantes e software melhorou significativamente, a tendência à abordagem
algébrica foi se esvaindo em decorrência do software resolver analiticamente as
14
Possivelmente, se o problema levasse em consideração a resistência do ar, o estudante Gabriel
não teria os conhecimentos prévios necessários para a resolução do modelo.
160
equações diferenciais e os estudantes apresentaram maior fluidez do
desenvolvimento das atividades.
O software Maple apresenta em suas bibliotecas as ferramentas necessárias
para a resolução de todos os problemas sugeridos nesta proposta, permitiu aos
estudantes resolverem analiticamente equações diferenciais, determinar
analiticamente e graficamente soluções de problemas de valor inicial, construir
campos de direções, construir gráficos em 2D, aproximar valores, analisar o
crescimento/decrescimento de uma função, visualizar e interpretar gráficos, dentre
outros procedimentos, mostrando-se apropriado para este fim.
Os estudantes, ao interpretarem graficamente os modelos, compararam o
campo de direções das equações diferenciais dos vários modelos decorrentes dos
problemas propostos com as soluções gerais e particulares retornadas diretamente
pelo software, puderam perceber características gerais e particulares das EDs,
mostraram compreensão de campo de direções e estabeleceram relações entre
soluções analíticas de uma EDO com o seu campo de direções, fator este que se
constitui no grande obstáculo da abordagem geométrica.
O fato de receberem impresso as atividades com um roteiro de resolução, o
que caracteriza a abordagem da Descoberta Guiada, com questões direcionadas,
não impediu que a dupla Maick e Larissa, utilizando de conhecimentos prévios de
Mecânica e Cálculo Diferencial e Integral, por meio de manipulação de comandos do
Maple não apresentados, desenvolvesse uma estratégia diferente para a resolução
dos PVIs do problema 1 (figura 10).
A metodologia descrita nesta dissertação, adotada para a resolução das
atividades, influenciou diretamente a produção matemática dos estudantes. Apesar
de deficiências de interpretação de texto e de gráficos, bem como da falta de
conhecimentos prévios necessários para a compreensão de EDs, o número de
acertos em todas as atividades apresentou um percentual relativamente alto, acima
de 84%, outorgando credibilidade para a metodologia empregada no
desenvolvimento da proposta.
161
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para autores como Javaroni (2007) e Dullius (2009), a metodologia
predominante aplicada ao ensino de Equações Diferenciais potencializa o enfoque
algébrico, o ensino ocorre de forma mecânica, os estudantes são levados a
resolverem listas de exercícios e não conseguem interpretar os resultados. A ênfase
é dada aos métodos e técnicas de resolução analítica, o que não é suficiente para
uma compreensão dos estudantes sobre Equações Diferenciais.
Instigados pela Conferência de Tulane (1986), cujo foco foi revisar o conteúdo
e a didática do Cálculo, que apresentou como recomendação fundamental a
compreensão conceitual, autores de livros textos de Cálculo e Equações
Diferenciais, como J. STEWART, W. E. BOYCE, R. C. DIPRIMA e D. G. ZILL
passaram a incorporar em seus livros os métodos geométricos cujo objetivo principal
consiste em compreender qualitativamente o comportamento de soluções de um
ponto de vista geométrico. Nos livros analisados destes autores, estão inseridos
problemas que requerem recursos tecnológicos como calculadoras e softwares
gráficos. Os autores reconhecem o computador como uma ferramenta
extremamente útil ao estudo das EDs e, as apresentações gráficas se mostram mais
claras para a compreensão e interpretação das soluções das mesmas.
A metodologia de ensino empregada na proposta descrita nesta dissertação,
fundamentada nas abordagens por Resolução de Problemas e Descoberta Guiada
visando a resolução de problemas, mostrou resultados positivos. Os estudantes
foram capazes de atribuir significados a partir da interpretação de textos,
resolução de modelos matemáticos e da análise gráfica de diferentes modelos.
A metodologia se constituiu em uma forma de trabalho que contribuiu para a
construção de conhecimentos relacionados às Equações Diferenciais Ordinárias
Lineares de 1ª e 2ª ordem de forma efetiva pelos estudantes.
Verificou-se que a abordagem por Resolução de Problemas exige mais tempo
dos estudantes para adaptarem à metodologia e dos professores para prepararem
suas aulas. A preocupação com mudanças da prática pedagógica traz uma melhor
performance dos professores.
Os estudantes encontraram dificuldades por não estarem acostumados com
uma proposta que exige atitude ativa, que gera trabalho contínuo durante todas as
162
atividades. O trabalho com o software Maple exigiu dos mesmos, habilidades que
nunca haviam sido exploradas em outras disciplinas da área de exatas.
Constatou-se que no início da aplicação da proposta, os estudantes
associavam Equações Diferenciais Ordinárias a um processo puramente algébrico
onde buscavam uma solução. Com o desenrolar das atividades as atenções dos
estudantes se voltaram para a conceituação, procurando dar sentido para as
soluções.
Observou-se que os estudantes inicialmente se entusiasmaram com as
respostas retornadas pelo software Maple. A cada cálculo executado, gráfico
construído, conjectura confirmada, a capacidade e a compreensão dos estudantes
iam sendo demonstradas. Este contexto trouxe a crença de que eles são capazes de
fazer matemática, aumentando a confiança e a autoestima dos mesmos. Este
ambiente possibilitou aos mesmos se colocarem na posição de pesquisadores,
buscando novos conceitos. Ao simular situações reais, definindo condições iniciais e
de contorno para temperaturas positivas e negativas, por exemplo, no problema de
resfriamento/aquecimento de um corpo, puderam estabelecer conjecturas, confirmar
hipóteses, analisar curvas e avaliar valores.
De acordo com os estudantes, as principais dificuldades encontradas durante
a aplicação da proposta, em ordem decrescente de dificuldade, foram as seguintes:
a) Interpretação do texto;
b) Determinação das variáveis;
c) Utilização e familiarização com o software Maple.
Verifica-se também que, além das dificuldades já apresentadas, a falta de
conhecimentos prévios em trigonometria, a utilização do conceito de derivada de
uma função em um ponto e interpretação de gráficos se constituiu em entraves
enfrentados.
Na opinião dos estudantes, as atividades desenvolvidas contribuíram muito
para uma aprendizagem mais efetiva de equações diferenciais ordinárias lineares de
1ª e 2ª ordem, à exceção de Larissa que apontou pouca contribuição, justificando da
seguinte forma:
163
[...] Acredito que as atividades permitiram a melhora na interpretação de problemas, e gráficos. Com o uso do Maple pude entender melhor o significado de campo de direções, a diferença entre campo de direções e solução particular. Porem, se tratando de EDO em si, não percebi grande evolução. Acredito que para o desenvolvimento das atividades propostas era essencial o conhecimento, ao menos teórico, de EDO. (grifo nosso).
Percebe-se que Larissa, ao trazer concepções do rigor matemático de
experiências anteriores, não consegue perceber que a observação e interpretação
de gráficos, via computador, são processos legítimos de resolução de problemas.
Possivelmente, para Larissa, resolver um problema, envolve atividades que seria
necessário calcular, desenvolver e registrar algebricamente um raciocínio
expressando uma resposta exata. Afirma ainda que as atividades permitiram a
melhora na interpretação de problemas e gráficos. Com o Maple, pode entender
melhor o significado de campo de direções e a diferença entre campo de direções e
solução particular. Presume-se que Larissa acredita que a representação simbólica
de uma função é sempre mais importante que a gráfica.
Os estudantes mostraram satisfação com as atividades propostas,
possivelmente por trabalharem com aplicações reais de Equações Diferenciais
Ordinárias mediadas pelo software Maple, como deixa transparecer o estudante
Russyllianno:
Particularmente, me despertou o interesse pela matéria, visto que, com o software e através dos gráficos verificamos a importância e a realidade das EDO no âmbito científico.
Caracterizaram as atividades desenvolvidas no decorrer da aplicação da proposta,
como atividades que promovem o pensamento lógico matemático, contribuem para
uma melhor compreensão dos fenômenos físicos abordados e promovem a
construção do conhecimento.
Ao propor uma forma diferente de trabalhar o ensino de Equações
Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª e 2ª ordem, sem as mídias lápis e papel, com
utilização de um software matemático para auxiliar na realização das atividades, era
de se esperar que os estudantes resistissem à metodologia e apresentassem
dificuldades de adaptação. Verificou-se inicialmente que a adaptação e o
desenvolvimento das atividades foram lentas, apesar de terem participado do
minicurso onde foram apresentados os comandos básicos do Maple, apresentaram
dificuldades com a sintaxe das funções. A partir da resolução do segundo problema,
164
se mostraram mais desembaraçados nas atividades e integrados com o software, os
erros de sintaxe foram diminuindo, e de forma intuitiva, com alertas de erro geradas
pelo próprio software, procediam às correções. Maick e Tatielly colocaram
verbalmente, durante a resolução do segundo problema, que se estivessem
utilizando o software desde o primeiro período do curso para exploração dos
conteúdos de Cálculo, não teriam tantas dificuldades de adaptação com o software e
com a metodologia.
Na opinião dos estudantes, as principais utilidades do software Maple na
resolução dos problemas foram as seguintes:
a) agiliza os procedimentos de resolução das equações e construção dos
gráficos;
b) proporciona maior confiabilidade dos resultados;
c) contribui para uma melhor interpretação e visualização dos fenômenos
físicos abordados;
d) concentra a atenção do estudante no conceito.
O uso do Maple permitiu aos estudantes resolverem analiticamente equações
diferenciais, determinar analiticamente e graficamente soluções de problemas de
valor inicial, construir campos de direções, construir gráficos em 2D, aproximar
valores, analisar o crescimento/decrescimento de uma função, visualizar e
interpretar gráficos, estabelecer proposições e conjecturas, validar resultados,
relacionar variáveis e funções, construir conceitos e transitar pelas representações
visuais e analíticas de uma mesma situação problema.
O software apresenta as ferramentas necessárias para o desenvolvimento
das atividades, mostrando-se adequado para a aplicação da proposta.
Por meio da análise dos diversos gráficos construídos durante as atividades,
os estudantes puderam perceber características gerais das situações físicas
abordadas nos problemas. Na resolução do problema envolvendo circuitos elétricos,
por exemplo, os estudantes ao analisaram o campo de direções da equação
24)(63 tidt
di, puderam responder a uma série de perguntas: Quais as
características das curvas que seguem o fluxo dos elementos lineares? Que tipo de
função pode-se aproximar da solução geral da Equação Diferencial? Qual o sinal de
165
dt
dinas diversas localidades do gráfico? Qual a relação do campo de direções com a
solução geral da Equação Diferencial? É possível prever soluções particulares da
Equação Diferencial? O que acontece com a intensidade da corrente quando o
tempo é suficientemente grande? O que representa o valor de )(ti quando os
elementos lineares se posicionam paralelos ao eixo do tempo?
Ao propor uma metodologia alternativa para a resolução de problemas da
Física no contexto das Equações Diferenciais, com foco na compreensão e
interpretação de dados, empregando abordagens metodológicas da Descoberta
Guiada e Resolução de Problemas, com utilização das Tecnologias de Informação e
Comunicação é dada uma contribuição para professores da área de ciências exatas,
interessados no ensino de Equações Diferenciais, a melhorarem sua prática
pedagógica.
No decorrer desta pesquisa duas questões emergiram com possibilidades de
futuras investigações:
a) Como o conteúdo e a forma de abordagem dos livros texto de Equações
Diferenciais influenciam o professor em sua prática pedagógica?
b) Como ocorrem os processos de ensino e aprendizagem em uma proposta
mediada pelas Tecnologias de Informação e Comunicação?
Certamente esta pesquisa mudou a visão do autor desta dissertação sobre a
prática docente, a partir das concepções adquiridas no decorrer desta investigação,
as atividades desenvolvidas nesta proposta serão analisadas didaticamente e
reestruturadas com vistas a novas criações e aplicações.
166
REFERÊNCIAS
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167
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170
APÊNDICES
APÊNDICE A - TEXTO DE INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª
ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE
ANÍBAL ATAIDES BARROS FILHO
JOÃO BOSCO LAUDARES
BELO HORIZONTE
2011
171
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3
2. O QUE É O “MAPLE 14”? ............................................................................................... 4
2.1 Como surgiu o “Maple”? .................................................................................................. 4
2.2 Estrutura interna do Maple .............................................................................................. 4
2.3 Layaut ............................................................................................................................. 4
3. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE ................................................................................ 5
3.1 Operações Básicas ......................................................................................................... 5
3.2 Atribuições ...................................................................................................................... 6
3.3 Funções, Equações e Sistemas ...................................................................................... 6
3.5 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral ...................................................... 8
4. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM 2D ................................................................................. 09
4.1 Formatações do gráfico ................................................................................................ 11
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .................................................................. 11
5.1 Comandos para Representar Derivadas ....................................................................... 12
5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial ..................................................... 12
5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno .......................................... 12
5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª
Ordem ................................................................................................................................. 13
6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES .............................................................................. 14
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 16
172
1 Introdução
Este texto foi elaborado com o objetivo de servir como material de apoio ao Minicurso
introdução às equações diferencias ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem com o software
MAPLE. O Minicurso é destinado a capacitar e ambientar os acadêmicos do 3º período do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do
Estado de Goiás (IFG) Campus Jataí com o software MAPLE. Este Minicurso faz parte de
uma preparação prévia dos alunos que cursam a disciplina Equações Diferenciais para
participarem de uma pesquisa que trás uma sequência didática que visa trabalhar com
novas tecnologias e novas metodologias no ensino de equações diferenciais com foco na
resolução de problemas físicos e na interpretação gráfica dos mesmos.
Neste material serão apresentados os comandos básicos do MAPLE para
simplificação de expressões, resolução de equações, resolução de sistemas de equações,
construção do campo de direções de Equações Diferencias, resolução de problemas de
valor inicial e de contorno, construção de gráficos em duas dimensões, dentre outros, de
modo que o participante deste Minicurso adquira ferramentas que lhe seja útil no
entendimento dos conceitos e na resolução de problemas físicos envolvendo Equações
Diferenciais.
3
173
2. O que é o “Maple”?
O Maple é um software comercial de uso genérico que enquadra no gênero de
Sistema de Álgebra Computacional (SAC). Um SAC permite fazer cálculos não só com
números, mas com símbolos, fórmulas, expressões, equações, matrizes, etc. O Maple
possui um grande número de recursos que permitem que seus usuários obtenham
respostas analíticas rápidas e precisas para cálculos envolvendo limites, derivadas,
integrais, equações diferenciais, sistemas de equações, série de potências, transformadas
de Laplace, transformadas de Fourier, etc.
2.1 Como surgiu o “Maple”?
O Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelos pesquisadores Gaston Gonnet
e Keith Geddes do Grupo de Computação Simbólica da Universidade de Waterloo no
Canadá. Desde 1988 tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft, uma
companhia canadense. A versão atual é Maple 16.00.
2.2 Estrutura interna do Maple.
A estrutura interna do Maple consiste de três componentes: Núcleo, bibliotecas e
interface.
O núcleo (kernel) é a máquina matemática que faz os cálculos, interpreta os
comandos inseridos pelo usuário e mostra os resultados. O núcleo corresponde a 10% do
programa e foi elaborado em linguagem C.
O restante do programa (90%), desenvolvido na própria linguagem do Maple,
consiste na biblioteca principal cujos comandos são carregados automaticamente na hora
que você inicia o programa e um conjunto de vários pacotes que você acessa quando vai
trabalhar com conteúdo bem específico.
A interface é a aparência do Maple, que promove a interação entre você e os
comandos do Maple.
2.3 Layout
Ao iniciarmos o Maple observamos que na tela de trabalho (worksheet) aparece o
símbolo . É o prompt do Maple. Este símbolo diz que o Maple está pronto para
executar comandos. Você também pode trabalhar no Maple com o modo texto, onde você
produz textos, hipertextos e comentários e alternar, sempre que quiser, para o modo
matemático e desenvolver cálculos.
A figura 1 mostra a captura da tela de iniciação do Maple 14.
4
174
Figura 01: Tela de inicialização do Maple 14.
3. Comandos Básicos do Maple
3.1 Operações básicas
! fatorial
^ potenciação
/ divisão
* multiplicação
+ adição
- subtração
Exemplos:
a) >
b) >
Para que o comando seja executado, devemos finalizar com um ponto e vírgula(;) ou
com dois pontos(:) e depois acionar a tecla enter. Se finalizarmos com um ponto e vírgula, o
Maple executa o comando e mostra o resultado, se finalizarmos com dois pontos, ele
executa, guarda na memória, mas não exibe a resposta.
5
175
Se quisermos o resultado em número decimal aproximado, executamos o comando
evalf (evaluation with floating point = avaliação num ponto flutuante ou variável):
>
Nesta operação, o Maple calculou em número decimal aproximado, o resultado da
última operação realizada (%) que era .
O comando restart permite limpar a memória do Maple em qualquer parte do
documento. Sempre que for iniciar um novo projeto, é aconselhável utilizar o comando.
O Maple entende ponto(.) como vírgula(,), quando trabalhamos com números.
3.2 Atribuições
Podemos definir o valor de uma variável ou de uma função utilizando-se o símbolo: “ := ”.
Exemplos:
a) >
b) >
c) >
d) >
3.3 Funções, Equações e Sistemas
O comando solve serve para resolver equações, inequações e sistemas diversos.
Exemplos:
Resolvendo uma equação:
a) >
>
b) >
>
Você pode também usar o comando subs para substituir o valor de uma ou mais
variáveis em uma expressão.
6
176
>
Aqui o Maple substituiu o valor de x na expressão C e calculou o resultado.
Resolvendo um sistema de equações:
Exemplos:
a) Resolver o seguinte sistema
6
32
22
zyx
zyx
zyx
.
>
>
>
>
b) Resolver o seguinte sistema
051215
21515
11202101
2
ss
III
s
eIIs
s
para as variáveis I1 e I2.
>
>
>
Para simplificarmos uma expressão, usamos o comando simplify.
Exemplos:
7
177
a) >
>
b) >
>
A seguir apresentamos um quadro com comandos básicos que representam
constantes, funções e operações usuais:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
3.4 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral
Para executarmos alguns comandos do Cálculo Diferencial e Integral devemos
carregar o pacote “student”. Para carregar o pacote, usamos a seguinte sintaxe:
with(student);
>
8
178
Veja que finalizamos com (;) e então o Maple apresentou todas as operações realizadas
pelo pacote.
Exemplos:
a) Calcular: ))(cos(lim xx
>
Com o “L” maiúsculo, o Maple apenas apresenta o limite.
>
Agora o Maple calculou o limite. Para o cálculo de derivadas e integrais a sintaxe é
semelhante.
b) Calcular a derivada da função ))ln(cos(3)( 3 xxxf
>
c) Calcular a seguinte integral: dxex x
>
Obs.: o x que aparece após as funções, tanto na derivada quanto na integral, representa a
variável de derivação ou de integração, uma vez que o Maple entende todas as suas
derivadas como derivadas parciais.
4. Gráficos de funções em 2D
Para plotarmos o gráfico de uma função em duas dimensões usamos o comando
plot cuja sintaxe básica é a seguinte: plot(f,x,v,ops) onde f representa a função a ser
plotada, x o intervalo no eixo das abscissas, v o intervalo no eixo das ordenadas e “ops” as
opções de formatação do gráfico. Os parâmetros f e x são obrigatórios para o comando
plot.
9
179
Exemplos:
a) Construir o gráfico da função )2(33)( tetf .
>
Figura 02: Gráfico da função
)2(33)( tetf gerado no Maple 14.
b) Construir em um mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções:
)4()2( )(,)25()( tt ethtsenetf e )4()( tetj .
> plot([exp(-4*t)*sin(25*t), exp(-4*t), -exp(-4*t)], t = 0 .. 1.5, legend = [i[1], i[2], i[3]],
color = [red, blue, green]);
Figura 03: Gráfico das funções
)4()2( )(,)25()( tt ethtsenetf e )4()( tetj gerado no
Maple 14.
10
180
Utilizamos colchetes [...] para formamos uma lista ou conjunto de funções e
preservar a ordem para atribuições.
4.1 Formatações do gráfico
Ao selecionar um gráfico na área de trabalho do Maple, a ABA gráfico fica ativada.
Clicando na ABA gráfico um menu de opções de formatação é aberto. Você também pode
clicar com o botão direito do mouse no gráfico (ver figura 04) e aparecerá também o menu.
Este menu mostra várias opções de formatação gráfica que dentre elas destacamos: copiar
o gráfico com máxima precisão, escolher o estilo de gráfico, escolher o tipo de traçado do
gráfico, definir a cor do gráfico (se for mais de um, você pode identificá-los com cores
diferentes), inserir e editar legendas nos eixos coordenados, inserir e editar legendas para o
gráfico, adicionar títulos e rótulos ao gráfico, exibir linhas de grade e exportar o gráfico em
diversos formatos, dentre eles, bitmap e JPEG.
Figura 04: Menu de formatação gráfica do Maple 14.
5. Equações Diferenciais Ordinárias
Para encontrarmos soluções de equações diferenciais, plotar gráficos das soluções
destas equações, plotar campos de direções, resolver problemas de valor inicial e de
contorno analiticamente e graficamente, dentre outras funções, utilizamos o pacote DEtools.
Usamos a seguinte sintaxe:
11
181
>
5.1 Comandos para Representar Derivadas
Os comandos para indicar a derivada de primeira, segunda e terceira ordem de uma
função, respectivamente, são:
>
>
>
5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial
Para definirmos uma equação diferencial, escrevemos:
>
Para resolvermos uma equação diferencial usamos o comando dsolve, com a
seguinte sintaxe: dsolve(ED), onde ED é a equação diferencial já definida.
Exemplo:
>
onde _C1 é uma constante arbitrária.
5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno
Para resolvermos um problema de valor inicial (PVI) ou de contorno utilizamos
também o comando dsolve. Devemos definir as condições iniciais e de contorno e a
equação diferencial. A sintaxe é a seguinte: dsolve(EDO,ics,y(x),options), onde EDO é a
equação diferencial ordinária, ics as condições iniciais e de contorno, y(x) qualquer função
de uma variável que definirá a solução do problema e options que é opcional, onde por
exemplo poderíamos resolver o problema usando o método das transformadas de Laplace
ou de séries.
Exemplo:
Definindo uma equação diferencial:
>
Definindo as condições iniciais e de contorno:
>
12
182
Resolvendo o PVI:
>
Você pode também resolver o PVI usando a seguinte sintaxe:
>
Obs.: para apresentarmos condições iniciais envolvendo derivadas, usamos a seguinte
notação: 0)0)(( yD para 0)0('y , 0)0)((2 yD para 0)0(''y e assim
sucessivamente.
5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
O comando utilizado para plotar o campo de direções é DEplot, a sintaxe é a
seguinte: DEplot(EQ,f(x),x,y) onde EQ representa a equação diferencial de primeira ordem
que queremos construir o campo, f(x) a função solução da equação diferencial, x o intervalo
no eixo das abscissas, y o intervalo no eixo das ordenadas.
Exemplo:
Definindo uma equação diferencial:
>
Construindo o campo de direções para a equação ED1
>
Figura 05: Campo de direções da equação 242' tyty gerado no Maple 14.
Você também pode resolver um PVI graficamente, ou até mesmo traçar várias
curvas integrais de uma equação diferencial:
13
183
Exemplo:
Figura 06: Curvas integrais de 242' yyty gerado no Maple 14.
Atividades Complementares
Exercício 01. Determine a medida do ângulo em graus do 2º quadrante cuja tangente vale
2 .
Exercício 02. Simplifique a seguinte expressão:
)cos(sin2
1)(
2
1)cos()(
2
1 2 tttsentttsen .
Exercício 03. Dada a função, 232
xxy , plotar o seu gráfico e calcular as suas
raízes.
Exercício 04. Resolva o seguinte sistema de equações:
1032
153
122
zyx
zyx
zyx
.
Exercício 05. Calcule a derivada da função xxf 6cos)( .
Exercício 06. Calcule a integral da função xsenxg 6)( .
14
184
Exercício 07. Resolva a equação diferencial 0dxydyx e construa o seu campo de
direções com a solução 1)2(y .
Exercício 08. Resolva tey
dt
dy 23 , 1)0(y e construa o gráfico da função solução.
Exercício 09. Resolva tetyyy 329'6'' , 2)0(y , 6)0('y e construa o gráfico da
função solução.
Exercício 10. Resolva teyyy 16'4'' , 0)0(y , 0)0('y e construa o gráfico
da função solução.
Exercício 11. Resolva )4cos(16'' txx , 0)0(x , 1)0('x e construa o gráfico da
função solução.
15
185
REFERÊNCIAS
ANDRADE, L. N. Introdução à computação algébrica com o MAPLE. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Tradução de Valéria Magalhães. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 492 p.
16
186
APÊNDICE B - PROBLEMA 01.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 01 – PROBLEMA FÍSICO DE VALOR INICIAL ENVOLVENDO QUEDA LIVRE
ENUNCIADO
Problema 01 - De um ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa m para o
alto com uma velocidade inicial de 8m/s. Considerando-se a gravidade a única força
atuante, calcular o tempo, a velocidade e a distância total até a pedra tocar o solo (adote
g=10m/s2 a aceleração da gravidade).
Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 19, problema 12.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema? Ajuda a
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Identificação das varáveis
d) Qual é a variável independente do problema? Ajuda a
e) Quais as variáveis dependentes do problema? Ajuda b
Modelos matemáticos
f) Quais as leis matemáticas que se aplicam ao problema? Ajuda c
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
b) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede Ajuda a
187
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
Para a resolução deste exercício, suponha que a trajetória descrita pela pedra é a
mesma da direção do eixo coordenado y com sentido crescente para cima.
f) Resolva analiticamente o problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial
gdt
dv(ED1) com as condições iniciais smvt /80 0 . Ajuda a
g) Sabendo que a velocidade é a derivada da posição(x) em relação ao tempo(t), defina a
equação diferencial 0vtgdt
dx(ED2) e resolva o PVI para as condições iniciais
mxt 1200 0 . Ajuda b
h) Calcule o instante em que a pedra toca o solo. Ajuda c
i) Encontre a velocidade em que a pedra toca o solo. Ajuda d
j) Determine a distância total percorrida pela pedra até tocar o solo. Ajuda e
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial gdt
dv Ajuda a
b) Por que no campo de direções da equação gdt
dv todos os elementos lineares
apresentam mesma direção e sentido? Ajuda b
c) Os elementos lineares representam inclinações tangentes a uma curva, que tipo de
curva esses elementos aproxima? Ajuda c
d) Com o uso do Maple, determine o ângulo formado por esses elementos. Ajuda d
e) Pelo campo de direções da equação gdt
dv é possível prever a forma da função
(curvas) que representa a solução geral da equação diferencial? Ajuda e
f) O comportamento que você observou no campo de direções é coerente com a solução
do item a da resolução do modelo? Ajuda f
188
g) Construa o gráfico da velocidade em função do tempo. Ajuda g
h) A função velocidade é crescente ou decrescente para todo t? Ajuda h
i) Pelo fato da aceleração ser negativa, posso afirmar que a função velocidade é
decrescente? Ajuda i
j) No instante t = 0, qual é o valor da velocidade? Ajuda j
k) Verifique se sua resposta dada no item anterior observando o gráfico está coerente com
o enunciado do problema. Ajuda k
l) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, em que tempo dt
dxv se
anula? Ajuda l
m) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, estime um valor aproximado
do tempo em que a pedra atinge o solo. Ajuda m
n) Verifique se sua resposta dada no item anterior está coerente com a resolução do
modelo. Ajuda n
o) Em qual intervalo de tempo a velocidade é positiva? Ajuda o
p) Construa o gráfico da aceleração em função do tempo. Ajuda p
q) A aceleração é positiva ou negativa? Ajuda q
r) Qual o comportamento da aceleração na variação do tempo? Ajuda q
s) Dada a equação 10)(
dt
tdv e as condições smvt /80 0 , resolva graficamente
este PVI. Ajuda s
t) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico da
velocidade em função do tempo? Ajuda t
u) Dada a equação 810)(
tdt
tdx, construa o seu campo de direções. Ajuda u
v) Pelo campo de direções da equação 810)(
tdt
tdx é possível prever a forma da
função (curvas) que representa a solução geral da equação diferencial? Ajuda v
w) Dada a equação 810)(
tdt
tdx e as condições mxt 1200 0 , resolva
graficamente este PVI. Ajuda w
189
x) Construa o gráfico da função 12085)( 2 tttx . Ajuda x
y) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico do
espaço em função do tempo? Ajuda y
z) De acordo com o gráfico do espaço em função do tempo, qual é a posição da pedra no
instante t=0? Ajuda z
aa) O valor encontrado no item anterior está coerente com o enunciado do problema?
Ajuda aa
bb) Observando o gráfico, qual é a posição máxima (aproximadamente) que a pedra
atinge? Ajuda bb
cc) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0 a 0,8s, a parábola é
crescente ou decrescente? Ajuda cc
dd) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0,8s a 5,7638s, os valores
da posição aumentam ou diminuem no decorrer do tempo? Ajuda dd
ee) Verifique por que a posição da pedra atinge um valor máximo a partir do gráfico da
aceleração. Ajuda ee
ff) Verifique, por meio da análise dos gráficos, a partir do valor máximo da posição, o sinal
da velocidade e da aceleração. Ajuda ff
190
APÊNDICE C - PROBLEMA 02.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 02 – PROBLEMA FÍSICO ENVOLVENDO TERMODINÂMICA: LEI DE RESFRIAMENTO/AQUECIMENTO DE NEWTON
ENUNCIADO
A velocidade de resfriamento/aquecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura
ambiente. Supondo que um termômetro é removido de uma sala em que a temperatura é
de 70ºF e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10ºF. Após ½ minuto, o
termômetro marcou 50ºF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1
minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15ºF?
Problema extraído do texto Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 104, problema 13.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema? Ajuda a
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Identificação das varáveis
a) Qual a variável independente do problema? Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema? Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema? Ajuda c
d) Qual é a constante do problema? Ajuda d
Modelo matemático
e) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda e
191
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a
c) Qual a condição de contorno do problema? Ajuda b
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede. Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
a) Resolva a equação diferencial )( mTTkdt
dT. Ajuda a
b) Calcule os valores dos parâmetros k e C. Ajuda b
c) Calcule a temperatura do termômetro no instante 1t min. Dê sua resposta avaliando
em ponto flutuante. Ajuda c
d) Calcule o tempo em que o termômetro marcará 15ºF. Dê sua resposta avaliando em
ponto flutuante. Ajuda d
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial )( mTTkdt
dT, utilizando os
valores calculados de k e mT . Ajuda a
b) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda b
c) É possível definir o sinal de dt
dTobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,
estabeleça o valores de T para os quais 0dt
dT, 0
dt
dT e 0
dt
dT. Ajuda c
d) É possível prever aproximadamente as soluções de equilíbrio da equação? Ajuda d
e) Construa o gráfico de dt
dTpor T . Ajuda e
192
f) Comparar os valores obtidos no item c com o gráfico dt
dT por T . Ajuda f
g) Construa o gráfico de dt
dT por t . Ajuda g
h) Quando t cresce indefinidamente, qual o valor que dt
dT tende? Ajuda h
i) Determine as tangentes dt
dT para 2t , 6t e 10t . Ajuda i
j) Verificar se os resultados obtidos no item i são abalizados pelo gráfico do item g.
Ajuda j
k) Construa o gráfico )(tT por t . Ajuda k
l) Quando você acha que o termômetro esfria mais rapidamente? Ajuda l
m) Resolva graficamente o P.V.I. para 70)0(T e depois para 50)2/1(T . Ajuda m
n) O que você observa em relação às duas soluções do item anterior? Ajuda n
Obs.: Nos próximos itens não há AJUDA porque se trata de uma simulação a ser feita pelo
estudante com dados a serem determinados pelo mesmo.
o) Simule uma condição inicial e outra de contorno para T (temperatura) negativa, para
análise de aquecimento.
p) Plote o gráfico )(tT por t para as condições dadas.
q) Observe a variação de T e de dt
dTpara t crescente.
r) Simule outra condição inicial e de contorno para T (positiva) entre 0 e 10 graus, ainda
para análise de aquecimento.
s) Plote o gráfico para a nova condição e observe a variação de T e dt
dTpara t crescente.
193
APÊNDICE D - PROBLEMA 03.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 03 – ELETRICIDADE: CIRCUITOS EM SÉRIE
ENUNCIADO
A figura a seguir representa um circuito elétrico em série RL básico que contem uma fonte
de energia com uma voltagem dependente do tempo de E(t) volts, um resistor com uma
resistência constante de R ohms e um indutor com uma indutância constante de L henrys.
Uma corrente i(t) amperes flui através do circuito onde i(t) satisfaz a equação diferencial
(Segunda Lei de Kirchhoff)
)(tEiRdt
diL
Para R = 6 Ω, L = 3 H, E(t) = 24 V e na condição i(0) = 15 A, determinar i(t).
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema? Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema? Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema? Ajuda b
c) Quais são os parâmetros do problema? Ajuda c
194
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede. Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
a) Resolva a equação diferencial )(tEiRdt
diL . Ajuda a
b) Resolva o PVI para a condição: i(0) = 15 A. Ajuda b
c) Observando as resoluções da equação diferencial e do PVI acima descritos, você pode
prever o valor da constante da solução geral da equação diferencial? Ajuda c
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial )(tEiRdt
diL Ajuda a
b) Observando o campo de direções da equação )(tEiRdt
diL , podemos esboçar
soluções desta equação? O que é necessário para esboçarmos uma solução? Ajuda b
c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c
d) É possível definir o sinal de dt
diobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,
estabeleça os valores de i para os quais 0dt
di, 0
dt
di e 0
dt
di. Ajuda d
e) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de i que representa
soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda e
195
f) Resolva graficamente o PVI relativo ao item b da resolução do modelo. Ajuda f
g) Construa o gráfico de dt
dipor i. Ajuda g
h) Comparar os valores obtidos no item d com o gráficodt
di por i. Ajuda h
i) Por que a reta dt
diintercepta o eixo i em 4? Ajuda i
j) Construa o gráfico de i(t) por t. Ajuda j
k) O que acontece com a intensidade da corrente quando o tempo é suficientemente
grande? Ajuda k
l) Construa o gráfico de dt
di por t. Ajuda l
m) O que acontece com a taxa de variação dt
dino decorrer do tempo? Ajuda m
196
APÊNDICE E - PROBLEMA 04.
Instruções gerais para a resolução do problema.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo autor (Descoberta
Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou
escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução do problema e
o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 04 – QUÍMICA: FÍSICO-QUÍMICA
ENUNCIADO
Sabendo-se que o radium se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade
presente e que leva 250 anos para decompor 10% de certa quantidade, quantos anos
levarão para decompor a metade da quantidade inicial?
Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 25, problema 15.
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema? Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema? Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema? Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema? Ajuda c
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a
b) Qual a condição de contorno do problema? Ajuda b
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede. Ajuda a
197
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
k) Resolva a equação diferencial mkdt
dm. Ajuda a
l) Calcule os valores dos parâmetros k e _C1. Ajuda b
m) Determinar a equação que permite calcular a massa em função do tempo. Ajuda c
n) Calcule o tempo necessário à decomposição da metade da quantidade inicial de radium,
2/1)(tm . Ajuda d
3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
a) Construa o campo de direções para a equação diferencial mkdt
dm Ajuda a
b) Observando o campo de direções da equação mkdt
dm, podemos dizer que se o
tempo tende ao infinito, a massa tende a zero? Ajuda b
c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c
d) É possível definir o sinal de dt
dmobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,
estabeleça o valores de m para os quais 0dt
dm, 0
dt
dme 0
dt
dm. Ajuda d
e) Construa o gráfico de dt
dm por m. Ajuda e
f) Comparar os valores obtidos no item d com o gráficodt
dm por m. Ajuda f
g) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de m que representa
soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda g
h) Construa o gráfico de dt
dm por t. Ajuda h
198
i) O que acontece com a taxa de variação da massa com o passar do tempo? Ajuda i
j) Qual o período em que a taxa dt
dm apresenta maior variação? Ajuda j
k) Construa o gráfico de m(t) por t. Ajuda k
l) O que acontece com a massa quando o tempo é suficientemente grande? Ajuda l
m) Qual o sinal de dt
dm? Ajuda m
n) Verifique se é coerente o valor de m para 0t no gráfico de m(t) por t de acordo com o
dado do problema. Ajuda n
o) Resolva graficamente o Problema de Valor de Contorno (PVC): mkdt
dm
%)90(9.0250
%)100(10
mt
mt. Ajuda o
p) Verifique se é coerente a solução gráfica do PVC com o gráfico obtido em k. Ajuda p
199
APÊNDICE F - PROBLEMA 05.
Instruções gerais para a resolução do problema.
O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador
(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o
problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução
do problema e o aluno segue a orientação do professor).
PROBLEMA 05 – VIBRAÇÃO DE MOLAS: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
ENUNCIADO
Sistema Massa-Mola
Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento é combinada com a lei de Hooke,
podemos obter uma equação diferencial que governa o movimento de uma massa atada a uma
mola: 02
2
2
xdt
xd, onde
m
k2. A segunda lei de Newton diz que a resultante das forças
que atuam sobre um sistema em movimento é amF . A lei de Hooke ( xkF )15 diz que
a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamento x , figura 1.
Quando o sistema está em movimento, a variável x representa o deslocamento da massa em
relação à posição de equilíbrio. Supondo que o sentido do movimento para baixo seja positivo e
que o movimento se dê em uma reta vertical que passa pelo centro de gravidade da massa,
determine a função )(tx que descreve o movimento livre, sabendo que uma massa pesando 2
kg distende uma mola em 9,8 cm. No instante t = 0, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo
da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm/s.
Figura 1
Problema adaptado do texto Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 217, exemplo 01.
15
O sinal de subtração indica que a força restauradora da mola atua em direção oposta ao movimento.
200
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
a) Como você descreve este problema? Ajuda a
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
a) Qual a variável independente do problema? Ajuda a
b) Qual a variável dependente do problema? Ajuda b
c) Qual é o parâmetro do problema? Ajuda c
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
a) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda a
CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO
a) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a
O QUE SE PEDE
a) Expresse o que se pede. Ajuda a
2 – RESOLUÇÃO DO MODELO
Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software
MAPLE.
a) Determine o valor da constante k da mola utilizando a segunda lei de Newton e a lei de
Hooke. Ajuda a
b) Resolva a equação diferencial 02
2
2
xdt
xd, onde
m
k2. Ajuda b
c) Determine a função )(tx que descreve o movimento livre. Ajuda c
201
3 – ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
a) Construa o gráfico da equação )10cos(25
2)10sin(
40
1)( tttx . Ajuda a
b) Observando o gráfico, determine o valor máximo de estiramento da mola? Ajuda b
c) Observando o gráfico, determine o valor máximo de compressão da mola? Ajuda c
d) Determine o período de oscilação da mola. Ajuda d
e) O período encontrado no item anterior é coerente com o gráfico em a? Ajuda e
f) Indicar no gráfico de )(tx onde a massa está abaixo e acima da posição de equilíbrio.
Ajuda f
g) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio? Ajuda g
h) A vibração da mola tende a se anular quando t tende a infinito? Ajuda h
i) Construa o gráfico de )(tv . Ajuda i
j) Determine a velocidade da massa no instante 2t s. Ajuda j
k) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico )(tv . Ajuda k
l) Qual o sentido do movimento da massa no instante 2t s? Ajuda l
m) Comparando os gráficos de )(tx e )(tv em relação ao sentido do movimento da massa,
o que podemos concluir? Ajuda m
n) Construa o gráfico de )(ta . Ajuda n
o) Observando o gráfico )(ta , indique os valores onde a aceleração da massa é máxima?
Ajuda o
p) Determine a aceleração da massa no instante 3t s. Ajuda p
q) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico )(ta . Ajuda q
202
APÊNDICE G - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 01)
1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: um diagrama simples pode ser desenhado para ajudar na verbalização.
Ajuda a) dica 03: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo.
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: aceleração, velocidade, espaço.
Ajuda c) dica: a força resultante atuante no sistema é a força gravitacional ( gs FF )
Resposta: a lei física que se aplica é: 10dt
dvgagmam .
203
CONDIÇÕES INICIAIS DADAS
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, foram dadas uma posição e
uma velocidade.
Resposta: )(1200
/80
0
0
terralreferenciamxt
smvt
O QUE SE PEDE
Resposta:
solootocaratépedrapelapercorridoespaçox
solootocapedraaqueemv
solootocarpedraaatét
?
?
?
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é
dsolve.
Resposta: 810)( ttv
Ajuda b) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é
dsolve.
Resposta: 12085)( 2 tttx
Ajuda c) dica: substituir x(t) = 0 na equação do espaço e resolver a equação desprezando os
valores negativos de t caso aconteça.
Resposta: s05.76386946t
Ajuda d) dica: substituir o tempo encontrado s05.76386946t na equação da velocidade.
Resposta: m/s 049.6386946-v
Ajuda e) dica 01: não se pode confundir distância percorrida com posição. Para calcular a
distância percorrida, temos que determinar as posições.
Ajuda e) dica 02: a distância total percorrida representa a distância que a pedra percorre
durante a subida e a descida.
Ajuda e) dica 03: determine o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima.
Ajuda e) dica 04: substituir o valor do tempo na expressão das posições.
Ajuda e) dica 05: lembrar que a posição encontrada a partir do ponto de lançamento está
acrescida de 120m.
204
Resposta: m4,126)2,32,3120( mmmx .
3 - ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes(ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: lembre-se que g = 10 m/s2.
Ajuda a) dica 03: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 04: o comando para construir o campo de direções é DEplot.
Ajuda b) dica 01: observe as direções de todos os elementos lineares.
Resposta: a equação diferencial é da forma de uma constante cuja solução gera uma família
de funções do 1º grau.
Ajuda c) Resposta: uma reta.
Ajuda d) dica 01: analise se todos os ângulos formados pelos elementos lineares são iguais.
Ajuda d) dica 02: utilize a função arctan(x).
Resposta: 95.66784035º
Ajuda e) dica: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos
elementos lineares
Resposta: sim, funções lineares.
Ajuda f) dica: o campo de direções sugere soluções cujas funções são lineares e
decrescentes.
Ajuda g) dica 01: observe a solução da equação diferencial gdt
dv.
Ajuda g) dica 02: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda h) dica 01: o tipo do gráfico de uma função linear é uma reta.
Resposta: decrescente, pois a medida que o tempo aumenta a velocidade diminui.
Ajuda i) dica 01: pense em integrar a função aceleração.
Ajuda i) dica 02: a aceleração é o coeficiente angular da função velocidade.
Ajuda j) dica 01: observe no gráfico da velocidade em função do tempo onde t = 0.
Resposta: 8 m/s.
205
Ajuda k) dica: ler o enunciado do problema.
Ajuda l) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.
Ajuda l) dica 02: lembre-se que vdt
dx.
Ajuda l) dica 03: observar no eixo da velocidade onde v = 0 e verificar o tempo.
Resposta: t = 0,8s
Ajuda m) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.
Ajuda m) dica 02: observar no eixo da velocidade onde v é aproximadamente igual a -49 m/s
e verificar o tempo.
Resposta: aproximadamente 5,7s.
Ajuda n) confrontar os resultados.
Ajuda o) dica: observar o gráfico da velocidade em função do tempo.
Resposta: de 0 a 0,8s
Ajuda p) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda q) dica: observar diretamente o gráfico.
Resposta: negativa
Ajuda r) dica: observar no gráfico da aceleração em função do tempo, o comportamento da
aceleração tomando como referência o seu eixo.
Resposta: a aceleração é constante.
Ajuda s) dica : o comando para construir PVI é DEplot.
Ajuda t) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função
plotada no gráfico da velocidade em função do tempo.
Ajuda u) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda u) dica 02: o comando para construir o campo de direções é DEplot.
Ajuda v) dica 01: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos
elementos lineares
Resposta: sim, funções quadráticas.
206
Ajuda w) dica : o comando para construir o campo de direções, dadas as condições iniciais
é DEplot.
Ajuda x) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.
Ajuda y) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função
plotada no gráfico do espaço em função do tempo.
Ajuda z) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.
Resposta: 120m
Ajuda aa) confrontar os resultados.
Ajuda bb) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.
Resposta: aproximadamente 123,2m
Ajuda cc) dica 01: Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e
y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o
valor da imagem de x pela função também aumenta.
Ajuda cc) dica 02: função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y
no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Isto é, conforme os valores de x aumentam,
o valor da imagem de x pela função f diminui.
Resposta: a função é crescente.
Ajuda dd) Resposta: diminuem.
Ajuda ee) dica 01: a aceleração é sempre negativa.
Ajuda ee) dica 02: a aceleração tem sentido contrário à orientação positiva da trajetória.
Ajuda ee) dica 03: a pedra sobe até atingir a altura máxima e depois desce devido a força
gravitacional.
Ajuda ff) dica 01: o tempo para a pedra atingir a altura máxima é de t = 0,8s, a partir do
ponto de lançamento.
Ajuda ff) dica 02: a velocidade, no intervalo considerado, é contrária à orientação positiva da
trajetória
Ajuda ff) dica 03: a aceleração é constante.
207
APÊNDICE H - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 02)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
ENUNCIADO
Ajuda a) dica: trata-se de um conteúdo da Termodinâmica.
Resposta: lei de resfriamento/aquecimento de Newton.
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são
independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,
constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o
investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis
dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que
procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à
variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”
(Sousa, A. B., 2005).
Resposta: temperatura do corpo(T).
Ajuda c) dica: o parâmetro é a constante de proporcionalidade.
Resposta: k.
208
Ajuda d) dica: constante é um valor que não altera durante a análise do fenômeno, também
denominado invariante.
Resposta: temperatura do ambiente ou do meio(Tm = 10ºF).
Ajuda e) dica: a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença entre as temperaturas
do corpo e do ambiente.
Resposta: mTTkdt
dT
CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO
Ajuda a) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for
dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é
chamada de condição de contorno.
Ajuda a) dica 02: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a temperatura do
corpo?
Resposta: para FTt º700
Ajuda b) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for
dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é
chamada de condição de contorno.
Ajuda b) dica 02: no tempo 1/2 min, qual é a temperatura do corpo?
Resposta: FTt º50min2
1
O QUE SE PEDE
Resposta: 1) a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1min.
2) o tempo que levará para o termômetro marcar 15ºF.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.
Resposta: kteCtT 110)(
Ajuda b) dica 01: para calcular os valores de k e C1 você deve montar um sistema.
209
Ajuda b) dica 02: substitua as condições dadas FTt
FTt
º50min2
1
º700na solução geral da
equação diferencial.
Ajuda b) dica 03: resolva o sistema.
Resposta: )3/2ln(2k e _C1 = 60.
Ajuda c) dica 01: para resolver uma equação com uma variável no Maple, utiliza-se o
comando solve.
Ajuda c) dica 02: substitua na solução geral da equação diferencial o valor 1t min.
Ajuda c) dica 03: utilize a função evalf.
Resposta: 36,6666667ºF
Ajuda d) dica 01: substitua na solução geral da equação diferencial o valor T = 15ºF.
Ajuda d) dica 02: utilize a função evalf.
Resposta: 3,064266938min
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 02: Tm = 10ºF e )3/2ln(2k .
Ajuda b) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu
caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial/logarítmica.
Ajuda c) dica 01: observar a inclinação dos elementos lineares.
Resposta 01: sim
Ajuda c) dica 02: observar os valores no eixo )(tT .
Resposta 02: 0dt
dTpara 10)(tT , 0
dt
dTpara 10)(tT e 0
dt
dTpara 10)(tT .
Ajuda d) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, FtT 10)( .
210
Ajuda e) dica: substitua o valor de )3/2ln(2k na equação diferencial e defina a equação
a ser plotada.
Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico dt
dTpor T , confirmamos os resultados do estudo
dos sinais de dt
dT, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
Ajuda g) dica 01: carregue o pacote (student);
Ajuda g)dica 02: redefina a função )(tT .
Ajuda g) dica 03: calcule a derivada de )(tT e plote o gráfico.
Ajuda h) dica 01: observar o comportamento de dt
dTno gráfico de
dt
dT por t .
Resposta: dt
dTtende para o valor zero.
Ajuda i) dica 01: redefina a equação dt
dT por t .
Ajuda i) dica 02: utilize o comando subs e substitua o valores de t na equação pré-definida.
Respostas: 611024783,9 , 3750072161,0 e 30146321974,0 .
Ajuda j) dica: observar se os valores obtidos em i são compatíveis com os do gráfico de g.
Ajuda k) dica: utilize a função obtida no item c da resolução do modelo.
Ajuda l) dica 01: calcule a variação de temperatura nos intervalos de tempo [0,1]; [1,2]; [2,3]
e [3,4].
Resposta: no intervalo [0,1].
Ajuda m) dica: utilize o comando DEplot para resolver o PVI.
Ajuda n) Resposta: apresentam a mesma solução.
211
APÊNDICE I - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 03)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são
independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,
constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o
investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis
dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que
procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à
variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”
(Sousa, A. B., 2005).
Ajuda b) resposta: intensidade do corrente i(t).
Ajuda c) dica: os parâmetros são valores dados no problema.
Resposta: E, L e R.
212
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: é a lei do crescimento da intensidade da corrente elétrica num circuito RL
(série).
Ajuda a) dica 02: segunda Lei de Kirchhoff.
Resposta: )(tEiRdt
dIL .
CONDIÇÃO INICIAL
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a intensidade da
corrente?
Resposta: Ait 150
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar a expressão que calcula a intensidade da corrente num tempo
qualquer.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação
diferencial.
Ajuda a) dica 03: utilize o comando dsolve para a resolução da equação diferencial.
Resposta: 1_4)( 2 Ceti t
Ajuda b) dica 01: você pode resolver o PVI definindo a condição inicial ou inserindo-a
diretamente na linha do comando.
Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para a resolução do PVI.
Resposta: teti 2114)(
Ajuda c) dica: comparar a resposta da equação diferencial com a do PVI.
Resposta: _C1=11
213
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação
diferencial.
Ajuda a) dica 02: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções com ou sem
condições iniciais e de contorno.
Ajuda b) resposta 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras
soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).
Ajuda b) resposta 02: é necessário termos uma condição inicial, por exemplo:
Ait 150 para se determinar uma curva da família.
Ajuda c) dica: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu caminho
acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial/logarítmica.
Ajuda d) resposta 01: sim, observando a inclinação dos elementos lineares.
Ajuda d) dica: observar os valores no eixo )(ti .
Resposta 02: 0dt
dipara 4)(ti , 0
dt
dipara 4)(ti e 0
dt
dipara 4)(ti .
Ajuda e) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, 4)(ti .
Ajuda f) dica: para resolver um PVI graficamente, utilize o comando DEplot.
Ajuda g) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.
Ajuda g) dica 02: isolar dt
dina equação diferencial para construir o gráfico.
Ajuda h) obs.: por meio da análise do gráfico dt
di por i, confirmar os resultados do estudo
dos sinais de dt
di, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
Ajuda i) Resposta: 4 é o valor onde 0dt
di, representa a solução de equilíbrio da equação
diferencial.
214
Ajuda j) dica: usa-se a seguinte equação para plotar o gráfico: teti 2114)( .
Ajuda k) dica 01: observar no gráfico i(t) por t a tendência de )(ti .
Ajuda k) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.
Resposta: a corrente se estabiliza em 4)(ti .
Ajuda l) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.
Ajuda l) dica 02: substituir teti 2114)( na equação diferencial e isolar
dt
di.
Ajuda m) dica 01: observar o gráfico.
Resposta: a taxa de variação dt
di diminui em módulo até chegar a zero onde ocorre a
estabilidade.
215
APÊNDICE J - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 04)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: massa m(t).
Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.
Resposta: K.
216
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: este tipo de problema que resulta em expressões exponenciais são
denominados de crescimento ou decrescimento exponencial.
Ajuda a) dica 02: dt
dm varia proporcionalmente a m.
Resposta: mkdt
dm.
CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO
Ajuda a) dica 01: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a massa de radium
existente?
Resposta: %)100(10 mt .
Ajuda b) dica 01: ao término de 250 anos, qual é a porcentagem de radium existente?
Resposta: %)90(9,0250 mt .
OBS.: "m" é a massa do radium que não se decompõe, isto é, 90% são o que resta após
250 anos.
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar o tempo para decomposição da metade da quantidade inicial de
radium, ou seja: %)50(2/1? mt .
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.
Resposta: kteCm 1_ .
Ajuda b) dica 01: para determinar os valores de k e _C1 aplica-se as condições iniciais e de
contorno.
Ajuda b) dica 02: montar um sistema onde a variáveis são k e _C1.
Resposta: 6260004214420,0k , _C1=1
Ajuda c) dica: substituir k e _C1 na solução geral da equação diferencial.
217
Resposta: tetm 6260004214420,0)(
Ajuda d) dica: substitua o valor de 2/1)(tm na equação da massa em função do tempo e
determine o tempo.
Resposta: 1644,703370 anos
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de
curvas integrais da equação diferencial.
Ajuda a) dica 02: substitua o valor de 6260004214420,0k na equação diferencial.
Ajuda a) dica 03: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções.
Ajuda a) dica 04: utilize valores altos para o tempo, por exemplo: t variando de 0 a 6000
anos para não comprometer o aspecto geral do gráfico.
Ajuda b) dica 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras
soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).
Ajuda b) dica 02: você pode calcular o limite da função para quando o tempo tende a infinito.
Ajuda b) dica 03: observar diretamente no gráfico o comportamento da função.
Resposta: sim
Ajuda c) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu
caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.
Resposta: exponencial
Ajuda d) resposta 01: Sim, observando a inclinação dos elementos lineares.
Ajuda d) dica 01: observar os valores no eixo )(tm .
Resposta 02: 0dt
dm não existe, 0
dt
dm para 0t e 0
dt
dmpara 0t .
Ajuda e) dica 01: usar o comando plot para plotar gráficos em 2D.
Ajuda e) dica 02: isolar dt
dmna equação diferencial para construção do gráfico ou utilize
diretamente a função rhs.
218
Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico dt
dmpor m, confirmamos os resultados do estudo
dos sinais de dt
dm, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.
Ajuda g) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação
diferencial.
Resposta: sim, 0)(tm .
Ajuda h) dica: substituir a equação da massa em função do tempo na equação diferencial
dada.
Ajuda i) dica: observar o gráfico.
Resposta: tende a zero
Ajuda j) resposta: de acordo com o gráfico, a taxa apresenta maior variação para o tempo
próximo de zero.
Ajuda k) dica: use valores altos para indicar o eixo do tempo, por exemplo: t variando de 0 a
6000.
Ajuda l) dica 01: observar no gráfico )(tm por t a tendência de )(tm .
Ajuda l) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.
Ajuda m) dica: observar todos os gráficos onde aparece dt
dm.
Ajuda o) dica: utilize o comando DEplot e as condições iniciais e de contorno para a
resolução gráfica do problema.
Ajuda p) dica: comparar os gráficos.
219
APÊNDICE K - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 5
ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO
(PROBLEMA 05)
1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO
VERBALIZAÇÃO
Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de
informações.
Ajuda a) dica 02: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias
palavras.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos
sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.
Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que
são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da
investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,
recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas
variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: tempo(t).
Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas
que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as
respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o
investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela
que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo
chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da
investigação” (Sousa, A. B., 2005).
Resposta: posição )(tx .
Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.
Resposta: constante da mola(k).
220
MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA
Ajuda a) dica 01: este problema envolve o sistema Massa-Mola: movimento livre não
amortecido ou movimento harmônico simples.
Ajuda a) dica 02: o modelo combina a lei de Hooke e a segunda lei de Newton.
Resposta: 02
2
xm
k
dt
xdoux
m
kaxkam
xkF
amF sendo 0mek ,
onde m
k2.
CONDIÇÕES INICIAIS
Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a posição da mola?
Resposta: 80 xt .
Ajuda b) dica: no tempo inicial t = 0, qual é a velocidade da mola?
Resposta: 25)0('0 xt .
O QUE SE PEDE
Resposta: determinar a função )(tx que descreve o movimento livre não amortecido.
2 - RESOLUÇÃO DO MODELO
Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações
diferenciais do Maple.
Ajuda a) dica 02: a segunda lei de Newton é: amF .
Ajuda a) dica 03: a lei de Hooke é: xkF .
Ajuda a) dica 04: igualar as duas forças.
Resposta: 200k N/m
Ajuda b) dica 01: verificar que o valor de 1002
m
k.
Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial.
Resposta: )10cos(2_)10sin(1_)( tCtCtx .
Ajuda c) dica: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial com as
condições iniciais.
221
Resposta: )10cos(25
2)10sin(
40
1)( tttx .
3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO
Ajuda a) dica: utilize o comando plot para plotar o gráfico.
Ajuda b) dica: ocorre estiramento da mola quando 0)(tx .
Resposta: 8)(tx .
Ajuda c) dica: ocorre compressão da mola quando 0)(tx .
Resposta: 8)(tx .
Ajuda d) dica 01: o período de vibrações livres é calculado por: 2
T .
Resposta: 5
T s.
Ajuda e) dica: observar no gráfico de )(tx o período de oscilação que é o intervalo de tempo
entre dois máximos sucessivos, e confrontar com o resultado calculado.
Ajuda f) dica: a massa está abaixo da posição de equilíbrio onde 0)(tx e acima da
posição de equilíbrio onde 0)(tx .
Ajuda g) dica: a massa passa pela posição de equilíbrio quando 0)(tx .
Resposta: kk
arctgt ,105
16
10
1.
Ajuda h) dica 01: observar o gráfico )(tx .
Ajuda h) dica 02: a amplitude não altera no decorrer do tempo.
Resposta: não.
Ajuda i) dica 01: )(')( txtv .
Ajuda i) dica 02: carregue o pacote “student” para calcular a derivada da função )(tx .
Ajuda i) dica 03: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função )(tx .
Ajuda i) dica 04: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.
Ajuda j) dica: utilize o comando “subs” para substituir 2t em )(tv , ou substitui 2t direto
em )(tv e resolva a equação.
Resposta: -0,8323767160 m/s.
222
Ajuda k) dica: observar o resultado encontrado -0,8323767160 no gráfico )(tv alterando a
escala para melhor visualização.
Resposta: sim.
Ajuda l) dica: observar o gráfico )(tx .
Resposta: para cima.
Ajuda m) dica 01: construir os gráficos de )(tx e )(tv em um mesmo plano.
Ajuda m) resposta: quando )(tx é decrescente )(tv é menor que zero e o movimento da
massa é para cima, quando )(tx é crescente )(tv é maior que zero e o movimento da massa
é para baixo.
Ajuda n) dica 01: )('')( txta .
Ajuda n) dica 02: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função )(tv .
Ajuda n) dica 03: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.
Ajuda o) dica 01: observar no gráfico )(ta onde ocorre os valores máximos e mínimos da
aceleração.
Ajuda o) dica 02: determinar a derivada da função )(ta .
Ajuda o) dica 03: resolver a equação 0)(
dt
tda para encontrar os valores máximos e
mínimos.
Resposta: kk
arctgt ,1016
5
10
1
10.
Ajuda p) dica: utilize o comando “subs” para substituir 3t s na expressão da aceleração,
ou substitua 3t s direto na expressão da aceleração e resolva a equação.
Resposta: 8)3(a m/s2.
Ajuda q) dica: observar o resultado encontrado 8)3(a no gráfico )(ta .
Resposta: sim.
223
APÊNDICE L - QUESTIONÁRIO INICIAL APLICADO AOS ALUNOS
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
Questionário inicial aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho
Nome: ____________________________________________________________________
1. “O limite de uma função f quando x → t é um número L”. Explique em poucas palavras o
significado desta expressão?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Das alternativas abaixo, marque aquela que você mais identifica com o conceito de
derivada.
( ) Função;
( ) Limite;
( ) Coeficiente angular;
( ) Inclinação;
( ) Medida de variação.
3. Dos conteúdos abaixo, assinale aqueles que você já utilizou para a resolução de
problemas com aplicação de derivadas?
( ) Máximos e Mínimos;
( ) Extremos de Funções;
( ) Inflexão;
( ) Crescimento e Decrescimento;
( ) Taxas Relacionadas;
( ) Modelagem e Otimização;
224
( ) Linearização.
4. Qual é a sua interpretação de Derivada como taxa de variação?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5. Qual o significado geométrico de Derivada?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6. O que representa a Derivada de uma função em um ponto?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
7. Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação
diferencial? Dê um exemplo.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
8. Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
9. Das equações abaixo, identifique aquelas que você consegue resolver?
( ) Variáveis Separáveis;
( ) Homogêneas;
( ) Exatas;
( ) Lineares;
( ) de Bernoulli;
10. Em que ano/período você cursou a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I?
225
__________________________________________________________________________
11. Nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II foram utilizados softwares para
exploração dos conteúdos? Quais?
_______________________________________________________________________
226
APÊNDICE M - QUESTIONÁRIO FINAL APLICADO AOS ALUNOS
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA
Questionário Final aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do
curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho
Nome:
1. Qual o significado geométrico de Derivada?
2. Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação
diferencial? Dê um exemplo.
3. Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?
4. Os gráficos podem ajudar na interpretação e análise de um fenômeno físico no contexto
do estudo das Equações Diferenciais?
( ) Sim;
( ) Não;
( ) Às vezes.
5. Identifique as principais dificuldades encontradas no desenvolvimento das atividades.
( ) Interpretação do texto;
227
( ) Determinação das variáveis;
( ) Resolução das equações;
( ) Construção dos gráficos;
( ) Utilização/familiarização do software MAPLE;
( ) Outros. Especificar:
6. Como você caracteriza as atividades desenvolvidas no decorrer da aplicação da
proposta?
( ) As atividades promovem a construção do conhecimento;
( ) As atividades apresentam cunho de pesquisa científica;
( ) As atividades contribuem para uma melhor compreensão dos fenômenos físicos
abordados;
( ) As atividades promovem o pensamento lógico matemático;
( ) As atividades são diferentes dos moldes tradicionais;
( ) As atividades possibilitam a experimentação;
( ) Outros. Especificar:
7. Assinale as principais utilizações do software MAPLE no estudo das Equações
Diferenciais.
( ) Contribui para uma melhor interpretação e visualização dos fenômenos físicos
abordados;
( ) Agiliza os procedimentos de resolução das equações e construção dos gráficos;
( ) Trás uma visão diferente para o aprendizado de matemática;
( ) Obtém maior confiabilidade dos resultados;
( ) Gera maior variedade de casos;
( ) Concentra a atenção no conceito;
( ) Outros. Especificar:
8. Analisando o campo de direções (campo de inclinações) de uma equação diferencial
ordinária linear de 1ª ordem, pode-se concluir que:
( ) O campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas integrais
da equação diferencial;
228
( ) Permite aproximar e visualizar os ângulos formados pelos vetores tangentes (elementos
lineares) em cada ponto do gráfico;
( ) Permite visualizar determinadas regiões do plano nos quais um solução exibe um
comportamento não usual;
( ) Permite visualizar possíveis soluções de equilíbrio da equação diferencial;
( ) Permite verificar o sinal algébrico da derivada envolvida na equação diferencial e
consequentemente se a função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo;
( ) Outros. Especificar:
9. Em sua opinião, de uma forma geral, as atividades desenvolvidas contribuíram para
uma aprendizagem mais significativa de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª e 2ª
ordem.
( ) Muito;
( ) Pouco;
( ) Não contribuiu.
