PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS · RESUMO As Equações Diferenciais são...

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática César de Oliveira Almeida UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Belo Horizonte 2015

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática

César de Oliveira Almeida

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Belo Horizonte

2015

César de Oliveira Almeida

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Ensino de Ciências e Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,

como requisito parcial para a obtenção do título de

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Área de Concentração: Matemática

Belo Horizonte

2015

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Almeida, César de Oliveira

A447a Um ambiente de aprendizagem para abordagem introdutória de equações

diferenciais / César de Oliveira Almeida. Belo Horizonte, 2015.

137 f.: il.

Orientador: Dimas Felipe de Miranda

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Formação de professores. 3. Material

didático. 4. Aprendizagem por atividades. 5. Ensino auxiliado por computador. I.

Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:37.02

César de Oliveira Almeida

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,

como requisito parcial para obtenção do título de

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

_____________________________________________________________

Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda - PUC Minas (Orientador)

_____________________________________________________________

Prof. Dr. João Bosco Laudares – PUC Minas (Examinador)

_____________________________________________________________

Prof. Dr. Niltom Vieira Junior – IFMG – Campus Formiga (Examinador)

Belo Horizonte, 11 de dezembro de 2015.

“Em um lugar escuro nos encontramos e um

pouco mais de conhecimento ilumina o nosso

caminho”

Mestre Yoda

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais pela dedicação em me ensinar o melhor caminho a seguir

minha vida em busca da minha felicidade. Em especial à minha mãe, Creudes, pela sua

presença constante e por seus conselhos e avisos que sempre estarão presentes em mim. Em

especial ao meu pai, Luiz, pelas suas brincadeiras e formas de deixar qualquer ambiente mais

alegre.

À minha querida esposa, Marcela (Moe), pela presença, apoio e ombro amigo nas horas

em que mais precisei e nas muitas ainda das quais ainda vou precisar.

Aos meus amigos e à minha irmã, os quais me fazem muito feliz pela grande amizade e

que também desejo que sempre estejamos juntos.

Ao Professor Dimas, que como dizem “é quase um pai”. Pela sua enorme paciência,

dedicação e confiança depositada em mim!

A todos os professores doutores do Mestrado, por todo o conhecimento e todos os

ensinamentos partilhados. Em especial, ao Professor João Bosco que me acompanhou e

depositou confiança em mim.

Aos estudantes da turma 10 do curso de Pós-graduação, que me auxiliaram na

conquista dessa pesquisa.

Aos muitos professores que contribuíram para que eu chegasse onde cheguei, em

especial, ao Professor Fischer Stefan, o qual foi meu professor de Matemática no Ensino Médio

e aos Professores Alberto Sarmiento e Jorge Sabatucci, os quais foram meus professores na

graduação.

Aos amigos do Mestrado, entre tantos outros, presentes, durante a trajetória desta

pesquisa, pela amizade e torcida!

À FAPEMIG que, junto ao Projeto vinculado aos grupos de estudo GRUPIMEM e

PINEM, possibilitou que tal pesquisa se concretizasse.

RESUMO

As Equações Diferenciais são recursos que permeiam muitos fenômenos físicos, químicos e

biológicos, naturais ou não. Por esse motivo, elas permitem que essas áreas do conhecimento

façam uso de conteúdos matemáticos para que esses fenômenos possam ser explicados por outra

perspectiva. Pensando dessa maneira, essa pesquisa tem o intuito de apresentar a importância

das Equações Diferenciais em fenômenos físicos com um enfoque na formação de professores.

Para tanto, um ambiente de aprendizagem foi construído com base nos conceitos assumidos

pelos grupos de estudo e pesquisa GRUPIMEM e PINEM em que atividades foram aplicadas a

um grupo de dez professores em formação continuada, participantes de um curso de Pós-

graduação com enfoque em Educação Matemática. Como produto dessa pesquisa, foram

criados um caderno de atividades e um Objeto de Aprendizagem que buscam auxiliar na

construção de conceitos e conteúdos básicos de Equações Diferenciais.

Palavras-chave: Equações Diferenciais. Formação de professores. Ambiente de aprendizagem.

Recurso Didático Informatizado.

ABSTRACT

Differential equations are resources that cut across many physical phenomena, chemical and

biological, natural or otherwise. For this reason, they let these areas of knowledge makes use

of mathematical content that these phenomena can be explained from another perspective.

Therefore, this research aims to present the importance of differential equations in physical

phenomena with a focus on teacher training. Thus, a learning environment was built based on

concepts assumed by the study groups and research GRUPIMEM and PINEM where activities

were applied to a group of ten teachers in continuing education, participants of a course Post-

graduate on Mathematics Education. As this research product, it were created a notebook of

activities and a learning object that assist in building concepts and basic contents of differential

equations.

Keywords: Differential equations. Teacher training. Learning environment. Couseware

resource.

LISTAS DE FIGURAS

FIGURA 1 - Taxa de variação média em uma função ........................................................... 30

FIGURA 2 - Gráfico da família de curvas de 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝒆−𝒙 para alguns valores de 𝑪 ...... 33

FIGURA 3 - A proximidade das duplas propiciou uma maior discussão entre elas ............... 57

FIGURA 4 - Tela inicial do software EDOCA ..................................................................... 83

FIGURA 5 - Navegação no software EDOCA ...................................................................... 84

FIGURA 6 - Atividade informatizada 1 – Questão 1 ............................................................ 85

FIGURA 7 - Atividade informatizada 1 – Questão 2 ............................................................ 86

FIGURA 8 - Atividade informatizada 1 – Questão 3 ............................................................ 87

FIGURA 9 - Atividade informatizada 1 – Questão 4 ............................................................ 88

FIGURA 10 - Atividade informatizada 1 – Questão 5 (letras a e b) ...................................... 89

FIGURA 11 - Atividade 1 – Questão 5 (letras c e d)............................................................. 89

FIGURA 12 - Atividade informatizada 1 – Questão 6 .......................................................... 90

FIGURA 13 - Atividade informatizada 1 – Questão 7 .......................................................... 91

FIGURA 14 - Atividade informatizada 1 – Questão 8 .......................................................... 92

FIGURA 15 - Atividade informatizada 1 – Questão 9 .......................................................... 92

FIGURA 16 - Atividade informatizada 2 – Questão 1 .......................................................... 93

FIGURA 17 - Atividade informatizada 2 – Questão 2 .......................................................... 94

FIGURA 18 - Atividade informatizada 2 – Questão 3 .......................................................... 95

FIGURA 19 - Atividade informatizada 2 – Questão 4 .......................................................... 95

FIGURA 20 - Atividade informatizada 3 – Questão 1 .......................................................... 97

FIGURA 21 - Atividade informatizada 3 – Questão 2 .......................................................... 98

FIGURA 22 - Atividade informatizada 3 – Questão 3 .......................................................... 99

FIGURA 23 - Atividade informatizada 3 – Questão 4 ........................................................ 100

FIGURA 24 - Atividade informatizada 3 – Questão 5 ........................................................ 101

LISTAS DE QUADROS

QUADRO 1 – Elementos estruturantes das atividades impressas.......................................... 46

QUADRO 2 – Elementos estruturantes das atividades informatizadas .................................. 47

QUADRO 3 – Saberes e dificuldades observados nas questões da atividade 1 ...................... 67

QUADRO 4 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 2 ...................... 74

QUADRO 5 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 3 ...................... 81

LISTAS DE PROTOCOLOS

PROTOCOLO 1 – Atividade 1 – Questão 1 – Resposta do professor/estudante D ................ 58

PROTOCOLO 2 – Atividade 1 – questão 3 – Resposta do professor/estudante F ................. 59

PROTOCOLO 3 – Explicação sobre tendência de uma variável: professor/estudante I ......... 60

PROTOCOLO 4 – Atividade 1 – questão 9d – resposta do professor/estudante J ................. 60

PROTOCOLO 5 – Atividade 1 – Questão 10a – resposta do professor/estudante B .............. 61

PROTOCOLO 6 – Atividade 1 – Questão 11a – solução inicialmente proposta pelo

professor/estudante I ............................................................................................................ 62

PROTOCOLO 7 – Atividade 1 – Questão 11b – resposta do professor/estudante F .............. 63

PROTOCOLO 8 – Atividade 1 – Questão 11c,d – resposta do professor/estudante F ........... 64

PROTOCOLO 9 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante B .. 65

PROTOCOLO 10 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante E. 65

PROTOCOLO 11 – Atividade 2 – Questão 1 – rascunho utilizado pelo grupo A .................. 71

PROTOCOLO 12 – Atividade 2 – Questão 1 – resolução do grupo A .................................. 72

PROTOCOLO 13 - Atividade 2 – Questão 1 – continuação e finalização ............................. 73

PROTOCOLO 14 - Atividade 3 – Questão 4 – resolução feita pelo grupo B ........................ 79

PROTOCOLO 15 - Atividade 3 – Questão 7 – Resolução feita pelo grupo B ....................... 80

LISTAS DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ED Equações Diferenciais

EDO Equações Diferenciais Ordinárias

EDOCA Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo

GRUPIMEM Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática

MEC Ministério da Educação e da Cultura

AO Objeto de Aprendizagem

PINEM Grupo de Pesquisas Investigativas em Ensino de Matemática

PUC Minas Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 12 1.1 Objetivos da pesquisa ................................................................................................................13 1.1.1 Objetivo Geral .........................................................................................................................14 1.1.2 Objetivos Específicos ...............................................................................................................14 1.2 Organização e estrutura do texto ..............................................................................................14

2 AMBIENTES DE APRENDIZAGEM E TEORIAS DE SUPORTE DA PESQUISA . 16 2.1 Ambientes de Aprendizagem no Projeto do GRUPIMEM/PINEM ........................................16 2.2 Docentes/discentes lidando com a Matemática .........................................................................17 2.3 A formação continuada de docentes .........................................................................................19 2.4 Documentos oficiais e aquisição do conhecimento ...................................................................21 2.5 Informática Educacional ...........................................................................................................22 2.6 Resolução de Problemas ............................................................................................................26

3 CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ....................................... 28 3.1 Variáveis dependente e independente .......................................................................................29 3.2 Taxas de variação média e instantânea ....................................................................................29 3.3 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) .................................................................................31 3.4 Solução de uma Equação Diferencial .......................................................................................32 3.5 Problemas de valor inicial .........................................................................................................33 3.6 Equação Diferencial Ordinária Separável................................................................................34

4 TEORIAS DIDÁTICAS E ELEMENTOS DA PESQUISA .......................................... 36 4.1 Conteúdos de Aprendizagem ....................................................................................................36 4.2 Caracterização do Universo e Procedimentos ..........................................................................40 4.3 Dificuldades apresentadas.........................................................................................................42

5 AS ATIVIDADES E RESULTADOS DA PESQUISA .................................................. 45 5.1 ATIVIDADE 1 – Elementos introdutórios ao estudo de Equação Diferencial ........................47 5.1.1 Apresentação e descrição da atividade 1 ..................................................................................48 5.1.2 Análise da atividade 1 ..............................................................................................................56 5.2 ATIVIDADE 2 – Explorando o Modelo Logístico....................................................................67 5.2.1 Apresentação e descrição da atividade 2 ..................................................................................68 5.2.2 Análise da atividade 2 ..............................................................................................................70 5.3 ATIVIDADE 3 – Explorando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton ......................74 5.3.1 Apresentação e descrição da atividade 3 ..................................................................................75 5.3.2 Análise da atividade 3 ..............................................................................................................78 5.4 AS ATIVIDADES INFORMATIZADAS .................................................................................81 5.4.1 Atividade Informatizada 1 .......................................................................................................84 5.4.2 Atividade Informatizada 2 .......................................................................................................93 5.4.3 Atividade Informatizada 3 .......................................................................................................96 5.4.4 Considerações sobre as atividades informatizadas................................................................. 102

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 103

REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 106

APÊNDICE – PRODUTO DA PESQUISA .................................................................... 109

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1 INTRODUÇÃO

Iniciei o curso de Licenciatura em Matemática em 2007 em uma Universidade Federal

brasileira, começando precocemente minha carreira docente no ano de 2008. Naquele ano,

trabalhei como monitor de Matemática para os Ensinos Fundamental e Médio em um colégio

da rede privada de Belo Horizonte. Logo, em 2009, trabalhei como monitor na universidade e,

posteriormente, como professor de Matemática em um Pré-vestibular.

O modelo tradicional de ensino, que se estabelece nesse último tipo de instituição, tem

grande enfoque na memorização e vários professores chegam até mesmo a criar canções e

métodos que auxiliem os alunos a memorizar alguns conteúdos. O problema disso é que o

estudante não aprende, ele simplesmente decora aquilo que o professor diz que é importante

para aquele determinado momento. Logo, a probabilidade de esquecer o assunto é grande, seja

antes ou após o acontecimento.

Graduei-me, em 2010, e, desde 2012, já formado, leciono Matemática e Desenho

Geométrico para o Ensino Fundamental em um colégio da rede privada de Belo Horizonte.

Porém, devido à minha preocupação em relação à didática e ao trabalho docente, decidi

procurar caminhos e respostas no Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC

Minas, em 2013.

O desejo de trabalhar com o tema dessa dissertação, Equações Diferenciais, remete-me

ao tempo quando eu ainda era estudante e monitor dessa disciplina, em 2009, em um curso de

Especialização em Matemática voltado para a formação de professores. Preocupavam-me as

dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos, tanto da graduação como da pós-

graduação.

Além disso, naqueles momentos, eu rememorava e relacionava esse fato ao tipo de aulas

carregadas de tradicionalismo, da mesma forma que tive em minha graduação, em especial, na

disciplina de Equações Diferenciais. Nelas, era muito comum encontrar exercícios e problemas

que trabalhavam mais a repetição e memorização de fórmulas do que um entendimento sobre

conteúdo da disciplina. E esse entendimento era ainda menor quando se tratava de interpretar

problemas que envolviam a Física, Química, Biologia, ou outra área que demandasse um

trabalho mútuo com a Matemática.

Assim, a concretização do desejo de trabalhar com Equações Diferenciais tornou-se

viável ao cursar o Mestrado, momento vislumbrado para tentar contribuir com minha reflexão,

produção e disponibilização de algum material didático.

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Nessa linha, a presente pesquisa foi proposta a fim de implementar e disponibilizar um

ambiente didático, que pudesse contribuir para a melhoria e eficácia do ensino e da

aprendizagem de Equações Diferenciais.

Com o objetivo de que tal ambiente fosse criado, um material didático, composto por

um conjunto de atividades e um recurso informático foram desenvolvidos pelo pesquisador,

visando o entendimento conceitual, e, em especial, aplicados a problemas físicos, cujos modelos

de solução envolvem Equações Diferenciais Ordinárias, podendo ser utilizado em cursos

diversos de graduação, ou em cursos em que as noções introdutórias de Equações Diferenciais

se fazem necessárias.

O produto dessa pesquisa, para tanto, será constituído do ambiente didático idealizado,

composto de uma cartilha impressa, com textos, questões e situações-problema propostos nas

atividades didáticas e do recurso informático, que é um aplicativo disponibilizado para um

estudo individual e introdutório de Equações Diferenciais complementar à cartilha.

A resolução de questões, problemas e tarefas das atividades propostas nesse ambiente

didático de pesquisa foi realizada por um grupo de 10 pessoas, todos professores em formação,

realizando estudos de pós-graduação na área de ensino de Matemática. Além disso, um

estudante de graduação em engenharia participou do desenvolvimento do recurso informático

da pesquisa por meio de um trabalho cooperativo.

Essas 11 pessoas, portanto, sujeitos da presente pesquisa, tinham em comum o fato de

participarem, direta ou indiretamente, de dois grupos maiores de pesquisa da PUC Minas,

denominados GRUPIMEM (Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologias para o Ensino

de Matemática) e PINEM (Grupo de Pesquisa em Práticas Investigativas em Ensino de

Matemática). Essa dissertação, inclusive, se apoia em objetivos e princípios de um Projeto

desses grupos, financiado pela FAPEMIG e, ao longo dessa dissertação será denominado de

Projeto do GRUPIMEM/PINEM.

A pesquisa configurou-se, assim, como uma Pesquisa-Ação para colher dados pela

observação de “em que medida um ambiente destinado ao estudo introdutório de Equações

Diferenciais, organizado e explorado didaticamente, oportuniza a um grupo de professores em

formação elaborar e expressar saberes, conhecimentos e atitudes?”

1.1 Objetivos da pesquisa

Os objetivos da pesquisa foram separados em duas categorias: objetivo geral e os

objetivos específicos.

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1.1.1 Objetivo Geral

Organizar um ambiente didático, que pudesse ser usado por alunos e professores,

auxiliando-os no processo de ensino e aprendizagem, ao lidar com os elementos e conceitos

introdutórios de Equações Diferenciais.

1.1.2 Objetivos Específicos

a) preparar o referido ambiente com atividades didáticas e recurso informático, com foco

nos conceitos, significados e situações-problemas;

b) verificar as formas possíveis de exploração do ambiente criado e as contribuições dos

sujeitos da pesquisa: professores em formação e aluno de graduação;

c) analisar, a partir do acompanhamento e da observação, a participação dos sujeitos da

pesquisa no ambiente didático proposto.

1.2 Organização e estrutura do texto

Assim, o presente trabalho de pesquisa está organizado em seis capítulos.

Neste primeiro capítulo foi feita a introdução sobre o tema, composta pela apresentação

do pesquisador e pelos elementos orientadores da pesquisa.

No segundo capítulo é debatido o ambiente didático de aprendizagem, além de

detalhamento sobre formação continuada de professores, visto que a pesquisa teve como

sujeitos professores de Matemática em formação, embasando, também, em diretrizes de

documentos oficiais do governo. Ainda no mesmo capítulo teórico, como suportes para a

pesquisa, também são apresentadas a Informática Educacional e a Resolução de Problemas. O

primeiro serve como uma das bases para a construção do software produzido com a pesquisa.

O segundo trata-se da construção das atividades que foram baseadas em problemas físicos que

possam ser resolvidos por meio de Equações Diferenciais.

O terceiro capítulo retrata o estudo de Equações Diferenciais. Nele, encontra-se a teoria

necessária para a construção das atividades realizadas abrangendo desde a identificação e

classificação dos tipos de varáveis até a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

separáveis.

Já o capítulo quatro explana sobre os aspectos metodológicos que direcionaram a

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pesquisa, tendo, como norteador a sequência didática de Zabala (1998) para os conteúdos de

aprendizagem, além de descrever as atividades informatizadas que deram origem ao software

EDOCA, mostrando os passos, assim como as dificuldades encontradas no caminho.

O capítulo cinco, por sua vez, apresenta as atividades, assim como os resultados e as

análises de sua aplicação.

Finalizando, o capítulo seis apresenta as considerações finais, seguido das referências

utilizadas e do apêndice, onde é encontrado o produto dessa pesquisa com todas as atividades

na íntegra, assim como uma pequena introdução e explicação sobre o funcionamento do

software educacional construído. Ao final do produto, há, também, as soluções de cada questão

das atividades para que possam servir de consulta para aqueles que desejem utilizar o material.

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2 AMBIENTES DE APRENDIZAGEM E TEORIAS DE SUPORTE DA PESQUISA

O ambiente didático preparado para essa pesquisa foi vivenciado por 11 pessoas que

tinham um espaço comum, já que participavam de um mesmo Projeto desenvolvido pelo

GRUPIMEM/PINEM, cujos objetivos eram elaborar e experimentar trabalhos envolvendo

estratégias de ensino e aprendizagem de Matemática e/ou estatísticas na Educação Superior, e

de repensar ambientes de aprendizagem. Foi nesse espaço comum do Projeto, do qual o

pesquisador também participou, que aflorou o tema dessa pesquisa: preparação de um ambiente

para o estudo de Equações Diferenciais, bem como foram assumidas as teorias de suporte dessa

pesquisa.

2.1 Ambientes de Aprendizagem no Projeto do GRUPIMEM/PINEM

A pesquisa em ambientes de aprendizagem tem sido o foco de muitos trabalhos em

educação, e também em Educação Matemática, segundo Frota e Nasser (2009). As autoras,

entre seus levantamentos, citam a editora Kluwer que tem publicações na área, como, por

exemplo, um periódico de nome “Learning Environments Research”, dedicado à investigação

sobre ambientes de aprendizagem de áreas distintas, e, mais especificamente, o periódico,

“Educational Studies in Mathematics”, enfocando ambientes de aprendizagem matemática.

No Projeto do GRUPIMEM/PINEM, ambientes de aprendizagem são considerados na

sua multiplicidade, como ambientes de aprendizagem informatizados ou não. A proposta é que

ambientes de aprendizagem de Matemática sejam repensados como espaços e possibilidades de

desenvolvimento de estratégias de aprendizagem, que possam ter diferentes orientações

(prática, teórica e investigativa), objetivando a autonomia e autorregulação da aprendizagem

(FROTA, 2009).

Intenciona-se, portanto, no referido Projeto, organizar e investigar diferentes ambientes

de aprendizagem do Ensino Superior, no sentido de verificar como tais ambientes se

conformam, ou não, enquanto espaços de construção do conhecimento matemático. Além disso,

novas estratégias de ação são propostas para incentivar a investigação e a autonomia de estudos

de alunos universitários.

Então, o Projeto tem como questões norteadoras para o ensino de Matemática:

a) quais os tipos de estratégias e de ambientes de ensino-aprendizagem que podem ser

projetados na construção do próprio conhecimento matemático do aluno com o intuito

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de favorecer o desenvolvimento de uma postura investigativa?

b) quais os tipos de estratégias que os vários ambientes de ensino-aprendizagem do Ensino

Superior têm favorecido e que tipo de conhecimento matemático tais ambientes têm

desenvolvido?

Para tanto, os levantamentos feitos pelo Projeto GRUPIMEM/PINEM indicam que a

pesquisa em Educação Matemática, bem como as diretrizes curriculares dos vários cursos de

graduação, começam impactar na sala de aula de Matemática, ainda que por vezes lentamente,

de forma a transformá-la em um ambiente de aprendizagem, onde se incentiva a especulação, a

troca de ideias e experiências entre alunos, sob orientação do professor. Assim, um novo

conhecimento matemático precisa de se processar na interação em sala de aula (STEINBRIG,

2005), embora resultados de pesquisas evidenciem certa “ausência” do professor como aquele

que incentiva o desenvolvimento de métodos de estudo e aprendizagem (FROTA, 2009).

Também, não obstante toda a revolução tecnológica, constata-se que as mídias, entres

elas o computador, ainda não foram totalmente incorporadas à rotina do fazer matemático

docente e do fazer matemático do aluno, de forma que ocorra uma “reorganização do

pensamento humano”, interagindo e atuando no processo de conhecer, na perspectiva de Borba

(2010).

Na linha do Projeto do GRUPIMEM/PINEM, a pesquisa que deu origem a essa

dissertação abordou ambientes de ensino-aprendizagem, buscando construir um espaço para

um estudo inicial de Equações Diferenciais, com estratégias de ensino que buscassem favorecer

o aprendizado.

2.2 Docentes/discentes lidando com a Matemática

Os sujeitos da presente pesquisa, que realizaram as atividades e tarefas didáticas,

pertenciam a uma turma de um curso de formação continuada para professores de Matemática,

de nível de pós-graduação. O pesquisador não lecionava para esses sujeitos.

Optou-se por essa turma, por trabalharem juntos no Projeto do GRUPIMEM/PINEM e

pelo fato de que algumas aulas da turma foram cedidas pelo professor regente para a realização

da pesquisa. Eles eram professores de Matemática com experiência docente.

Tanto para docentes, como para discentes, a Matemática, em geral, é vista como de

difícil acesso por apresentar um nível de dificuldade e abstração superiores. Por outro lado, é

também comum pesquisadores procurarem reverter tal pensamento, mostrando que a

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Matemática é uma grande aliada se utilizada da maneira certa.

Em se tratando do Ensino Superior na área de Exatas, na maioria das vezes, o primeiro

e mais importante contato que o estudante tem é com a disciplina de Cálculo Integral e

Diferencial, muitas vezes chamado de Cálculo I. Porém, pesquisas mostram que o tratamento

que é dado a essa disciplina não converge para a importância que ela apresenta, como mostra

Melo (2002):

Os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, na maioria das vezes, têm sido

ensinados e aprendidos por meio de aulas que valorizam a memorização e a aplicação

de técnicas, regras e algoritmos. Dessa forma, os professores têm a convicção de que

o conteúdo foi ‘ensinado’ e os alunos têm a convicção que o conteúdo foi ‘aprendido’.

No entanto, observa-se, no Ensino Superior, que o curso de Cálculo Diferencial e

Integral I, considerado básico nos cursos da área de ciências exatas, apresenta um

índice muito alto de abandono e repetência. Esta questão foi constatada em 1992 por um estudo realizado por Masetto (1992), que apontou que cerca de 80% a 85% dos

alunos foram reprovados. Barbosa e Neto (1992), realizaram um estudo no segundo

semestre de 1992 em relação ao rendimento dos alunos na mesma disciplina, e

constataram que apenas 27,9% dos alunos obtiveram aprovação. (MELO, 2002, p.1)

Porém, apesar de os estudos de Masetto e Barbosa e Neto citados por Melo (2002) terem

acontecido há mais de vinte anos, no Brasil eles se mostram ainda atuais, justificando os estudos

que visam mudar essa realidade.

Outra pesquisa foi a de Guimarais (2010), em cuja dissertação é apontado que 94% dos

alunos que cursam a disciplina de Cálculo Integral e Diferencial

[...] não cumprem todas as tarefas extraclasses. No entanto, os professores também

não estão isentos de sua parcela de culpa por esse fracasso. Na maioria das vezes, não

fazem da sala de aula um ambiente de construção, explicitando para os educandos que

aquele é um momento de aprendizado conjunto. (GUIMARAIS, 2010, p.16).

Isso mostra que apesar de estudantes, com frequência, encontrarem dificuldades em

disciplinas que fazem uso constante da Matemática, é necessário que os professores também se

atualizem e procurem melhorar seus métodos didáticos no sentido de serem mais atrativos e

interessantes. Afinal, tanto o estudante como o professor estão em processo de aprendizagem,

mesmo que seja cada um em sua devida instância. Não se trata, portanto, de preparar novas e

cada vez maiores listas de exercícios e sim de repensar e refletir sobre o ensino de Matemática

e como agir para que ele possa tomar novas e melhores dimensões.

Porém, não se deve pensar, por parte dos professores, que essa atitude de criar

instrumentos que espelhem o ensino tradicionalista seja um ato de acomodação. Esse tipo de

comportamento, nos dizeres de Alves (2008),

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[...] não decorre unicamente do despreparo dos professores, nem das limitações

impostas pelas condições escolares deficientes. Expressa, ao contrário, uma deformação estrutural, que veio sendo gradualmente introjetada pelos participantes do

sistema escolar e que passou a ser formada como coisa natural. (ALVES, 2008, p. 43).

Não é incomum encontrar professores que entendem que o tipo de ensino tradicionalista

deve ser mudado de dentro do próprio profissional para fora na sala de aula. Mas algumas vezes,

a inércia do dia-a-dia impede que reflexões construtivas sejam feitas nesse ponto.

2.3 A formação continuada de docentes

Muitos dizem que pessoas tornam-se professores por nascerem professores, porém, a

profissão de educador é muito mais uma recorrência e retomada de valores e conceitos

agregados à sua experiência do que algo instantâneo e perfeito.

A continuidade da formação de um professor agrega conhecimento e valor à experiência

que aquele já tem e, algumas vezes, a necessidade dessa continuidade deve-se ao fato de o

docente querer responder a perguntas que ele, sozinho, com sua carga conceitual presente

naquele momento, está impossibilitado de alcançar tais respostas. Outras vezes, o docente

encontra-se em situações nas quais o atual conhecimento que ele carrega não é suficiente para

manter os desejos próprios de apresentar uma aula com um alto nível matemático. Assim, o

professor recorre a um curso de atualização, a um curso de verão, a uma especialização ou

Mestrado, a fim de sanar a sua inquietação, seja ela qual for, e contribuir positivamente para a

sua formação. Dessa forma, segundo Ribas; Carvalho e Alonso (1999, p.47-48), “[...] o sujeito

terá a consciência de tomar em suas mãos a responsabilidade de sua formação, isto é, além

daqueles subsídios propiciados pelas instituições formadoras, deve buscar conhecimentos por

sua própria conta e partir de seus interesses específicos.”

Além disso, é comum que um profissional encontre dificuldades em seu ambiente

profissional, independentemente da função e do local de trabalho, esbarrando em situações

difíceis. A diferença é que, no caso do professor, o ambiente de trabalho, na maioria das vezes,

é a sala de aula, podendo ocorrer em qualquer nível de ensino.

Tomando a Matemática como exemplo e considerando o patamar do Ensino Superior,

as instituições, às vezes, assumem ser necessário que o profissional/professor apenas apresente

muito conhecimento sobre o conteúdo da disciplina para que ele possa lecioná-la. Porém, é

nesse estágio que as dificuldades metodológicas e didáticas, em geral, são menos discutidas.

Dessa forma, com o intuito de minimizar essas dificuldades, é interessante que aconteçam

20

intervenções, formação continuada e contribuições didáticas que favoreçam o profissional.

Onuchic e Allevato (2009) expõem os dez importantes princípios que podem ser

tomados como base para planejar e elaborar programas, cursos, intervenções ou atividades para

o desenvolvimento de docentes, que serviram de base para um resumo, elaborado por Miranda

(2013), ao ministrar a disciplina Tópicos de Ensino de Cálculo na PUC Minas, quer sejam:

a) levantar questões sobre preocupações e interesses da coletividade docente;

b) envolver grupos de professores em estudos e atividades, se possível de escolas variadas,

buscando apoio da direção, de outras instâncias superiores e da comunidade;

c) reconhecer e discutir os obstáculos e dificuldades em todos os níveis;

d) usar professores como participantes, junto com estudantes, em atividades de sala de aula

e extra sala, trabalhando com situações reais e projetos;

e) suscitar o interesse e o compromisso consciente dos professores a participar das tarefas

e eventos estabelecidos;

f) reconhecer que mudanças nas crenças didáticas, ideológicas e metodológicas dos

professores são derivadas da prática da sala de aula. Sobre essa prática devem recair as

observações, análises, críticas, discussões, reflexões, validações, intervenções e, em

suma, todas as atenções;

g) dar tempo e oportunidade, diante de qualquer tarefa, para organizar, planejar, realizar,

realimentar e discutir os sucessos e fracassos, compartilhando o conhecimento e os

elementos com potencial de inovação e contribuição;

h) capacitar os professores a ganhar autonomia no seu desenvolvimento profissional e se

tornarem parceiros no processo de inovação e mudança no ambiente escolar;

i) reconhecer que mudança se processa de forma gradual, com dificuldades, críticas e até

sofrimentos. Ao longo desse processo, a clareza de objetivos, a convicção e o apoio

junto aos pares são essenciais;

j) encorajar os participantes a viverem em um processo de busca contínua de mudanças e

de inovações, mas com sustentação e objetivos estabelecidos.

Assim, diante do exposto, como educadoras, Onuchic e Allevato (2009, p. 171) afirmam

que “o elemento mais importante para se trabalhar a Matemática é o professor de Matemática”,

pois ele, para as autoras, é o guia e deve possuir conhecimento e fazer conexões entre os

diversos ramos da disciplina, contemplando, também, problemas e situações da realidade. Para

21

tanto, torna-se necessário dominar os conceitos, formatar as atividades de maneiras inovadoras

e criativas, estabelecer a dinâmica dos trabalhos, ser suporte, observar, incentivar a recuperação

de conhecimentos prévios, definir quais resoluções estão certas, erradas ou por caminhos

diferentes, sanar dúvidas e buscar consenso e, sobretudo, ser responsável pela formalização do

conteúdo. Já os alunos, esses são coconstrutores desse conhecimento, devendo ser levados a

investigar, relacionar ideias, modelar a realidade, resolver problemas, descobrir caminhos,

tomar decisões, questionar, descobrir padrões e regularidades e trabalhar colaborativamente.

As formações, tanto inicial como continuada de professores, diante do exposto, são

primordiais para que se consiga a eficácia do processo ensino/aprendizagem. Nesse sentido,

Onuchic e Allevato (2009) se mostram preocupadas com os questionamentos levantados por

elas em teses, dissertações e artigos, sobre sua qualidade, sua responsabilidade, o papel do

professor e seu conhecimento matemático, com reflexos no desenvolvimento matemático do

aluno.

2.4 Documentos oficiais e aquisição do conhecimento

Quando se trata da formação continuada de um professor, não se pode deixar de pensar

em sua formação inicial também, pois, para uma continuidade, torna-se necessário acontecer

um início. Pensando dessa maneira, há algumas leis e diretrizes que tentam padronizar o

aprendizado em cursos do Ensino Superior, e apesar de não influenciarem diretamente na

ementa de nenhuma disciplina, observa-se um objetivo de formar profissionais competentes e

críticos.

Um desses documentos, é o parecer CNE/CES nº 1.302, de 6 de novembro de 2001. De

acordo com ele, desejam-se as seguintes características para o Licenciado em Matemática:

visão de seu papel social de educador e capacidade de se inserir em diversas

realidades com sensibilidade para interpretar as ações dos educandos;

visão da contribuição que a aprendizagem da Matemática pode oferecer à

formação dos indivíduos para o exercício de sua cidadania;

visão de que o conhecimento matemático pode e deve ser acessível a todos, e

consciência de seu papel na superação dos preconceitos, traduzidos pela angústia,

inércia ou rejeição, que muitas vezes ainda estão presentes no ensino-aprendizagem

da disciplina. (BRASIL, 2001, p.3).

Nessa mesma resolução é ainda apresentada uma série de 11 competências e habilidades

que devem ser desenvolvidas em um curso de bacharelado ou licenciaturas em Matemática.

Dessas, destacam-se algumas devido à sua importância em relação à vigente pesquisa, sendo

22

essas:

a) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua prática profissional também fonte

de produção de conhecimento;

b) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação,

utilizando rigor lógico-científico na análise da situação-problema;

c) participar de programas de formação continuada. (BRASIL, 2001).

Observa-se, portanto, o quão é importante que o professor procure atualizar-se tanto em

relação ao conhecimento matemático quanto às práticas pedagógicas. Nesse sentido, para

Zabala (1998):

Se entendemos que a melhora de qualquer das atuações humanas passa pelo

conhecimento e pelo controle das variáveis que intervêm nelas, o fato de que os

processos de ensino/aprendizagem sejam extremamente complexos não impede, mas

sim torna necessário, que nós, professores, disponhamos e utilizemos referenciais que

nos ajudem a interpretar o que acontece em aula. Se dispomos de conhecimentos deste

tipo, nós os utilizaremos previamente ao planejar, no próprio processo educativo, e,

posteriormente, ao realizar uma avaliação do que aconteceu. (ZABALA, 1998, p. 15).

Dessa forma, entende-se que, para que um professor lecione uma disciplina de forma

eficaz, é necessário ter bastante conhecimento sobre ela, assim como ter postura, interesse pela

didática e fazer bom uso dos recursos tangíveis à mesma, desenvolvendo “estratégias de ensino

que favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos

educandos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e

algoritmos” (BRASIL, 2001, p.4).

2.5 Informática Educacional

Um recurso informático ou recurso computacional foi desenvolvido durante a presente

pesquisa, contando com o trabalho cooperativo de um estudante de engenharia, que participava,

junto com os demais sujeitos, do Projeto do GRUPIMEM/PINEM, cuja proposta era trabalhar

com ambientes de aprendizagem, nos quais é frequente o uso de computadores e instrumentos

da informática. Conforme Fiorentini e Lorenzato (2012, p.115): “na cooperação, alguns ajudam

os outros (co-operam), executando tarefas cujas finalidades geralmente não resultam de

negociação conjunta do grupo, podendo haver subserviência de alguns em relação a outros e/ou

relações desiguais e hierárquicas”.

23

Nas duas últimas décadas, o uso dos computadores vem crescendo por todo o mundo,

sendo aliados para aqueles que fazem uso dele no trabalho ou nos estudos. E esse crescimento

tende a ser ainda maior quando se trata de crianças, jovens e jovens adultos.

Tendo em mente tal fato, seria imprudente negligenciar um estudo que tivesse como

fator auxiliador algum recurso computacional, principalmente quando se trata de Educação

Matemática, uma vez que Borba e Penteado (2010, p.15) afirmam que a “possibilidade de

trabalhar com os computadores abre novas perspectivas para a profissão docente”. Dessa

maneira, foi criada, nessa pesquisa, um espaço para uma discussão sobre Informática

Educacional, que tinha como objetivo mostrar caminhos que redescobrissem a utilização dos

computadores.

De acordo com Boyce e Diprima (2006, p.IX): “O fato de tantos alunos terem, agora,

essas capacidades ...”, isto é, acesso a computadores de alguma espécie, “... permite aos

professores, se desejarem, modificarem, substancialmente, a apresentação do assunto e suas

expectativas do resultado dos alunos.”

Além disso, ressalta-se que os recursos que existem dentro da área de informática e que

estão ligados à Matemática são dos mais variados e que podem ser de utilidade para o ensino e

aprendizado para algum conteúdo. Assim, quando se pensa que se deve criar uma “Matemática

para todos”, é importante pensar na utilização dos computadores, já que “crianças já nascem

em contato com computadores” (BORBA; PENTEADO, 2010, orelha).

Em seu livro “Informática e Educação Matemática”, Borba e Penteado (2010, p.45)

discutem a ideia de que a Matemática e a Informática não devem seguir um caminho

dicotômico, mas, ao contrário, devem se unir para conseguir transformar. Uma mudança que

seja na “própria prática educativa”. Ainda para eles, “Uma nova mídia, como a informática,

abre possibilidades de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma

ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento.”

Porém, apesar de os computadores poderem ser usados como grandes aliados do ensino,

não somente na Matemática, a mídia lápis e o suporte papel continuam com seu valor, pois cada

um desses dois recursos tem as suas especificidades e importâncias inquestionáveis para o

ensino. O lápis e o papel, portanto, são recursos que perpassam as décadas e os séculos

auxiliando no ensino-aprendizagem em muitas áreas e situações e não seria pelo uso de

computadores que eles deixariam de ser utilizados, já que não significa que um recurso, por

existir por mais tempo que outro, deva ser suprimido, sobreposto ou substituído.

Os recursos computacionais devem ser integrados a outras mídias para que o ensino se

24

torne mais efetivo e motivador, sendo. “[...] preciso que a chegada de uma mídia

qualitativamente diferente, como a informática, contribua para modificar as práticas do ensino

tradicional vigente” (BORBA; PENTEADO, 2010, p.54).

Dessa maneira, mesmo que um software, sozinho, possa ser visto como um Objeto de

Aprendizagem, entende-se que ao uso de um software matemático direcionado e integrado a

um OA com um devido planejamento pedagógico deve-se dar maior valor ao ensino do que à

utilização isolada desse software.

Na Matemática, o estudo com expressões algébricas, gráficos e tabelas de acordo com

Borba e Penteado (2010, p.32), “ganham força com ambientes computacionais”. Além disso,

também afirmam que existem duas formas em que a informática na educação deve ser

justificada: alfabetização tecnológica e direito ao acesso.

Assim, devido à proximidade do homem com o computador, o seu acesso por parte dos

estudantes é uma ação que pode desencadear uma melhoria no desempenho de uma aula. Porém,

algumas vezes o acesso é apenas um dos problemas a serem enfrentados. Em outros casos, há

a falta de capacitação dos próprios professores perante os recursos computacionais que lhe são

disponibilizados, o que fez com que vários grupos de estudos fossem criados por universidades

e centros universitários por todo o Brasil, visando à preparação de professores voltada para a

área de informática.

Muitas instituições brasileiras pesquisam e produzem recursos didáticos, e, em muitos

casos, são classificados por seus autores na categoria de Objetos de Aprendizagem (OA),

passando, então, a desenvolver e a sistematizar uma teoria própria.

Na PUC Minas, por exemplo, os membros do GRUPIMEM/PINEM realizam frequentes

seminários com palestras, apresentações, estudos teóricos e oficinas sobre OA e se propõem a

produzi-los, utilizá-los e desenvolver atividades didáticas para eles. Dessa forma, o recurso

computacional desenvolvido para o estudo introdutório de equações diferencias, e constante

nessa dissertação, procura aproximar-se do conceito de um OA, sendo, portanto, um produto

vinculado a objetivos e propostas do GRUPIMEM/PINEM.

A definição de OA não é única entre os autores. Porém, “é recorrente o uso das palavras:

ensino, conhecimento e reutilizável” (LIMA et al, 2007, p.40), sendo que, para o presente

trabalho, adotou-se a definição apresentada por Willey (2000, p.3), segundo o qual um OA é

“qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o suporte ao ensino”. Entretanto, como

a expressão “qualquer recurso digital” deixa ampla essa definição, procurou-se delimitá-la por

meio de Nunes (2004, p.1), que afirma que “a gama de objetos passa a não ser todo e qualquer

25

recurso digital e sim aqueles com enfoque educacional”. Deste modo, um OA se volta, aqui,

para fins dessa pesquisa, exclusivamente para ensino/aprendizagem.

Portanto, entende-se que os Objetos de Aprendizagem são recursos que vêm sendo

utilizados como objetos de estudo para auxiliarem no aprendizado de um ponto específico de

uma área de conhecimento e de acordo com o Ministério da Educação e Cultura (BRASIL,

2014),

Um Objeto de Aprendizagem é qualquer recurso que possa ser reutilizado para dar

suporte ao aprendizado. Sua principal ideia é "quebrar" o conteúdo educacional

disciplinar em pequenos trechos que podem ser reutilizados em vários ambientes de

aprendizagem. Qualquer material eletrônico que provém informações para a

construção de conhecimento pode ser considerado um Objeto de Aprendizagem, seja

essa informação em forma de uma imagem, uma página HTM, uma animação ou

simulação. (BRASIL, 2014).

Assim, esses são recursos didáticos digitais que procuram dar suporte à compreensão

conceitual com inúmeras possibilidades de representação, interpretação e análise, cujo estudo

vem crescendo de maneira significativa na área de educação em geral.

Porém, não é somente pelo OA exigir tecnologia da informação que se terá a eficácia

da aprendizagem, pois, “a utilização da tecnologia não significa, necessariamente, por si só,

uma melhora no ensino-aprendizado” (RODRIGUES; SOUZA JÚNIOR; LOPES, 2007, p.

101). Entende-se, portanto, que o OA é um recurso para potencializar o aprendizado, podendo

os professores e estudantes ganharem com a sua utilização, tanto pela possibilidade de

promoção de aulas mais dinâmicas quanto para a construção de conceitos e conteúdos por meio

de métodos de estudos diferenciados, pois o “intuito com os Objetos de Aprendizagem não é

somente transmitir informação ou conceitos prontos, mas provocar novas maneiras de pensar”

(SILVA; FERNANDES; LOPES; SOUZA JÚNIOR, 2007, p. 140).

É importante salientar, também, que os OA, para receber tal nomeação, ainda devem,

principalmente, ser de fácil acesso, sendo disponibilizado em um repositório online. Um

conhecido repositório de OA brasileiro é o RIVED – Rede Interativa Virtual de Educação, onde

podem ser encontrados vários OA nas áreas de Arte, Biologia, Ciências, Engenharia, Filosofia,

Física, Geografia, História, Matemática, Português e Química.

Além disso, por meio da busca, é possível selecionar OA que pertençam apenas a um

nível de educação: Fundamental, Médio, Profissionalizante ou Superior, porém, entendendo

que cada Objeto de Aprendizagem nesse repositório tem como objetivo o ensino/aprendizagem

de um determinado conteúdo.

Existe também um repositório, denominado CESTA– Coletânea de Entidades de

26

Suporte ao uso de Tecnologia na Aprendizagem, construído a partir de um projeto da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, que disponibiliza e capta tanto Objetos de

Aprendizagem como outros repositórios nacionais e internacionais.

2.6 Resolução de Problemas

O conjunto de atividades didáticas desta pesquisa foi desenvolvido visando trabalhar

conteúdos e, em especial, aplicações a problemas físicos, cujos modelos de soluções envolvem

Equações Diferenciais Ordinárias.

Assim, a teoria de resolução de problemas também fundamentou esta pesquisa, sendo

esta uma área consolidada e estruturada pelos matemáticos e educadores.

De acordo com Polya (1995), é denominada Heurística a arte de solucionar problemas

em alguma situação. Esse estudo apresentado, portanto, tem a sua importância fundada no

conhecimento que um aluno adquire quando tem sucesso ao resolver um problema, ressaltando

que os problemas não são parte apenas da Matemática, acontecendo nas várias ciências e

tecnologias.

Ao dar início aos estudos com resolução de problemas, é importante que o professor

instigue seus alunos a pensar e raciocinar. É a partir do sucesso com pequenos problemas que

o aluno terá energia suficiente para seguir em frente com outros e, assim, participar na

construção de um raciocínio independente. Nesse sentido, para Polya (1995, p.VI), “o problema

pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas,

quem o resolver com os seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da

descoberta”.

Ainda para Polya (1995, p.4), a resolução de problemas consiste em quatro momentos:

i) compreensão do problema, ii) estabelecimento de um plano, que pode ser desde a

identificação das incógnitas do problema até o caminho que deverá ser percorrido para a sua

solução, iii) execução do plano e iv) retrospecto, examinando a solução obtida, procurando

sentido na sua obtenção.

O primeiro momento, porém, tem uma relevância maior entre os quatro acima, sendo a

compreensão do problema fundamental para que se alcance a sua solução, já que, muitas vezes,

uma má interpretação do enunciado de uma questão é suficiente para que o raciocínio não seja

compreendido. De acordo com César Camacho (2015), diretor geral do IMPA – Instituto de

Matemática Pura e Aplicada, em uma de suas palestras sobre o desenvolvimento da Matemática

pelo país, o maior motivo que impede que estudantes compreendam os objetivos de uma

27

questão é certamente a falta de interpretação dos seus dados, seja na forma textual ou numérica.

É interessante, então, que o professor questione e responda às perguntas de seus alunos

com mais indagações, direcionando-os à solução, pois o professor é um mediador entre os

questionamentos e a solução, promovendo conjecturas e testes. “O professor que deseja

desenvolver nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes

algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e praticar.”

(POLYA, 1995, p.3).

A resolução de problemas também parte do princípio da imitação, já que quando se

resolve algum, se está apenas repetindo o modo como outra pessoa resolveu. Quanto à prática,

torna-se claro entender que não há bom rendimento em qualquer área se ela não existir. Da

mesma maneira que um atleta precisa praticar seu físico e suas habilidades corporais em uma

modalidade, na Matemática o cérebro deve também ser praticado e estimulado a criar

estratégias para diversas situações.

Assim, se um aluno não tiver interiorizado os conceitos da resolução de problemas,

dificilmente ele os alcançará por conta própria, da mesma forma que alunos que não obtiveram

conhecimento sobre tal assunto no Ensino Fundamental e Médio alcançarão o Ensino Superior

com o mesmo déficit, implicando, muitas vezes, na falta de compreensão de alguns assuntos

das disciplinas universitárias, o que significa que o processo se repetirá. Tomando uma escala

maior e em contrapartida, um profissional que recebeu estudos voltados para a resolução de

problemas terá, possivelmente, maior sucesso diante dos desafios da profissão e da vida.

28

3 CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

As palavras Equações Diferenciais remetem a equações que estão relacionadas com o

estudo de derivadas e, talvez, por consequência, de integrais, o que, por sua vez, faz lembrar

incógnitas, variáveis, soluções, gráficos.

As Equações Diferenciais (ED) nasceram com o intuito de solucionar problemas que

não poderiam ser solucionados pelos mesmos métodos das equações simples. Essas equações

giram em torno de problemas reais, os quais necessitam de informações para poder predizer um

comportamento no futuro com base na variação dos valores ali presentes, pois, “os fenômenos

mais interessantes envolvem mudanças, e são melhores descritos por equações que relacionam

quantidades variáveis” (EDWARDS JR; PENEY, 1995, p.2).

O estudo de ED tem sua importância prevista em áreas que trabalham com problemas

fenomenológicos. De acordo com Boyce e Diprima (2006, p.15-16), historicamente, as ED

apareceram com o estudo de Cálculo durante o século XVII por Isaac Newton (1642-1727) e

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Além desses nomes, houve também um matemático,

Leonard Euler, que, no século XVIII, elucidou problemas de princípios básicos de mecânica

aplicados com ED.

Por sua vez, tanto os irmãos Bernoulli quanto Joseph-Louis Lagrange foram nomes

presentes nas publicações envolvendo Cálculo e ED nos séculos XVII e XVIII, assim como

Laplace, outro nome importante na história devido aos seus estudos em mecânica celeste e suas

transformadas, ensinadas hoje em cursos superiores.

A partir do século XIX, iniciam-se os estudos referentes às Equações Diferenciais

Parciais. No final do século XX, com a chegada dos computadores, evoluem as pesquisas no

campo de ED, principalmente aquelas quanto aos métodos geométricos e numéricos.

Devido à importância em enfrentar problemas fenomenológicos, em especial os físicos,

esta pesquisa apresentada busca auxiliar o estudante a conectar-se a esse movimento, já que

“Por séculos, as Equações Diferenciais têm em geral se originado dos esforços de um cientista

ou engenheiro para descrever algum fenômeno físico ou para traduzir uma lei empírica ou

experimental em termos matemáticos.” (ZILL, 2011, p.26). Ainda para o autor, uma ED é “[...]

uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes

em relação a uma ou mais variáveis independentes”. (ZILL, 2011, p.2).

29

3.1 Variáveis dependente e independente

Uma função pode apresentar uma ou mais variáveis dependendo do seu comportamento,

que podem ser classificadas em independentes ou dependentes.

No primeiro caso, as variáveis independentes (ou livres) são definidas como as que

exercem influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na

segunda, com precisão e regularidade. Nas equações, é muito comum encontrar o tempo como

uma variável independente.

Por outro lado, as variáveis dependentes são aquelas que, como a própria classificação

indica, dependem de outras variáveis, podendo ser independentes ou não. Isto é, elas mudam

de valor de acordo com a variação de alguma variável naquela função.

Apesar do jogo de palavras, o conceito de variáveis dependente e independente está

muito bem definido para as equações. Porém, nem por isso, esses conceitos estão claros para

todos os estudantes.

Um dos pontos de atenção apresentados nessa pesquisa, como poderá ser verificado

quando da apresentação dos resultados, foi a dificuldade dos sujeitos da pesquisa em diferenciar

uma variável da outra, em especial quando se tratava da transição de uma sentença na linguagem

literal para a Matemática.

3.2 Taxas de variação média e instantânea

Os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea estão mais ligados

ao Cálculo Diferencial e Integral do que à própria disciplina de Equações Diferenciais. Apesar

disso, essa faz uso constante de conceitos apresentados naquela, exigindo, algumas vezes, uma

pequena revisão das partes mais importantes como, por exemplo, as taxas de variação.

Quando se fala sobre taxa de variação, quem está variando é uma ou mais variáveis e

apesar de causar alguma confusão entre estudantes, as taxas de variação média e instantânea

são distintas apesar de manterem certa proximidade. Para explicar essa distinção, porém, é

necessário entender o sentido algébrico e geométrico de ambas:

A taxa de variação média é obtida tomando-se dois pontos quaisquer, denotados por A

e B, como apresentado na figura 1, em uma função contínua, interligados por uma reta.

30

FIGURA 1 - Taxa de variação média em uma função

Fonte: Elaborada pelo autor

De acordo com a figura 1, pode-se notar que a taxa média (𝑇𝑚) é calculada pela razão

entre a variação das ordenadas pela variação das abscissas dos dois pontos. Outra maneira para

descrever a taxa média é pela razão entre os incrementos de duas variáveis, quer seja:

𝑇𝑚 =∆𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠

∆𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠=

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑥𝐴)−𝑓(𝑥𝐵)

𝑥𝐴−𝑥𝐵 (1)

Considerando a variação 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 = ∆𝑥, tem-se que 𝑥𝐴 = ∆𝑥 + 𝑥𝐵. Dessa maneira, a

taxa média pode ser reescrita como:

𝑇𝑚 =𝑓(∆𝑥+𝑥𝐵)−𝑓(𝑥𝐵)

∆𝑥. (2)

Enquanto essa forma de escrever a taxa média depende de, no mínimo, dois pontos, a

taxa de variação instantânea depende de apenas um. Para que os dois pontos A e B se tornem

apenas um, basta que um se aproxime do outro por meio de uma função. Em outras palavras, é

necessário que a diferença entre as abscissas e ordenadas desses pontos tenda a zero (∆𝑥 → 0).

É importante salientar que quando uma variável tende a algum valor, essa variável não passa a

ser igual a ele.

Além disso, em meio ao processo da pesquisa, também foi observada uma dificuldade

dos pesquisados em compreender o conceito de tendência de uma variável, pois a maioria deles

tinha em mente que, quando uma variável tendia a algum valor, significava que ela se tornava

igual a ele. Esse é um erro comum de estudantes e que, na maioria das vezes, provém da falta

de entendimento sobre o conceito de tendência.

31

Souza (2011), na aplicação das atividades em sua dissertação, também registrou essa

dificuldade, afirmando que: “[...] os alunos, de modo geral, perceberam a tendência de variação

crescente da função e não apresentaram nenhuma dificuldade em argumentar sobre isso.

Entretanto, explicar e explicitar os seus registros usando a linguagem matemática formal foi

uma dificuldade quase geral [...]” (SOUZA, 2011, p. 67).

Como dito anteriormente, as taxas média (𝑇𝑀) e instantânea (𝑇𝑖) têm uma ligação dada

pelo limite da taxa média quando a variação das abscissas dos pontos tende a zero.

𝑇𝑖 = lim∆𝑥→0

𝑇𝑀 = lim∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥𝐵)−𝑓(𝑥𝐵)

∆𝑥 (3)

Assim, a partir da definição acima apresentada, a taxa de variação instantânea passa a

ser chamada também por outro nome: derivada.

3.3 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

As Equações Diferenciais têm uma série de classificações: quanto ao número de

variáveis independentes, quanto à ordem, quanto à sua linearidade. Como esta pesquisa tem

como participação as EDO, serão dadas explicações referentes somente a elas.

Para se conhecer uma EDO, é preciso compreender o que é uma variável independente,

pois é sabido que uma Equação Diferencia Ordinária é aquela que apresenta apenas uma única

variável independente. Alguns exemplos de EDO são:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 − 2, (4)

𝑑𝑥

𝑑𝑡−

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦, (5)

𝐴′′ + 𝐴′ − 6 = 0. (6)

Na primeira equação, a variável independente é o x; na segunda, o t; e na terceira

equação a variável independente é omitida.

Muitas vezes, essa omissão facilita a escrita, mas somente pode ser utilizada quando há

apenas uma variável independente ou quando ela está clara para aquele que a manipula. Já

quando uma equação utiliza duas ou mais variáveis independentes, ela é chamada de Equação

Diferencial Parcial.

32

3.4 Solução de uma Equação Diferencial

Existem alguns métodos para solucionar uma ED. Porém, as ED não funcionam da

mesma maneira que uma equação simples, já que algumas não apresentam solução, mesmo que

sejam semelhantes a uma outra que tenha solução, pois isso não significa que ela será resolvida

da mesma maneira. Quanto a isso, Stewart (2006, p.583) diz que “embora seja frequentemente

impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma Equação Diferencial,

veremos que as aproximações gráficas e numéricas fornecem a informação necessária”.

De acordo com Zill (2011, p.4), “uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária

de ordem n é uma função ∅ que tem, pelo menos, n derivadas e para a qual

𝐹 (𝑥, ∅(𝑥), ∅′(𝑥), … , ∅(𝑛)(𝑥)) = 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼”.

Assim, a função 𝑦 = 𝑒3𝑥 é solução da equação:

𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥 . (7)

Pois, 𝑦′ = 3𝑒3𝑥.

Logo, substituindo 𝑦 e 𝑦′ em (1), tem-se que:

𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥 → 3𝑒3𝑥 + 𝑒3𝑥 = 4𝑒3𝑥 . (8)

No caso acima, toma-se o intervalo 𝐼 = (−∞, ∞). Além disso, x é a variável

independente enquanto que y é a dependente. Portanto, (7) é uma Equação Diferencial

Ordinária.

Porém, essa não é a única solução dessa Equação Diferencial. Ela é apenas uma solução

particular. A função 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥 também tem esse papel, de maneira que 𝐶 é uma

constante real. Observa-se, então, que:

𝑦′ = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥 . (9)

Então, substituindo em (7) da mesma maneira como feito anteriormente, tem-se que:

𝑦′ + 𝑦 = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥 + 𝑒3𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥 = 4𝑒3𝑥 . (10)

Como 𝐶 é um número real arbitrário, observa-se que a quantidade de soluções

particulares que uma EDO apresenta pode ser infinita, pois para cada valor de 𝐶 escolhido tem-

33

se uma solução diferente para a mesma equação. Dessa maneira, a equação 𝑦′ = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥

é dita a solução geral da Equação Diferencial.

Denomina-se família de soluções ou família de curvas o conjunto de todas as soluções

de uma EDO. Essa família pode ser representada geometricamente também. Para o exemplo

em questão, a figura 2 ilustra uma parcela da família de curvas, soluções da Equação Diferencial

𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥.

FIGURA 2 - Gráfico da família de curvas de 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝒆−𝒙 para alguns valores de 𝑪

Fonte: Elaborada pelo autor.

Pode-se notar, portanto, na figura 2, que cada uma das curvas foi obtida a partir de

valores diferentes para o parâmetro C.

3.5 Problemas de valor inicial

Frequentemente, há necessidade de resolver um problema que apresente condições de

contorno, isto é, informações que caracterizam a situação imposta no problema para que ele

seja solucionado. Em se tratando de problemas que envolvam Equações Diferenciais, essas

condições são impostas às variáveis do problema, assim como às suas derivadas.

Essas condições são necessárias para determinar as constantes presentes na solução

geral de uma ED, alcançando, assim, uma solução particular. Geometricamente, essa condição

significa que a curva que representa a solução do problema passa por um ponto que tem, como

coordenadas, os valores que foram disponibilizados. Por exemplo, se a condição 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 é

dada em um problema, isso significa que a curva da solução passa pelo ponto (𝑥0, 𝑦0) no plano

34

𝑥𝑦.

Basicamente, um problema de valor inicial (PVI) é uma Equação Diferencial Ordinária

em conjunto com as condições de contorno que lhe são impostas.

3.6 Equação Diferencial Ordinária Separável

Uma EDO separável é aquela em que é possível, como o próprio nome sugere, separar

as variáveis de mesmo tipo em membros diferentes da equação. Isso é necessário para que cada

variável possa ser trabalhada com o seu fator de derivação (ou integração) separadamente.

Matematicamente, uma EDO separável é aquela que pode ser escrita na forma:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐻(𝑥, 𝑦). (11)

Em que 𝐻(𝑥, 𝑦) pode ser escrito como um produto de uma função de 𝑥 por uma de 𝑦.

Assim, se 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦), então,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) →

1

𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 → (12)

→ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Dessa maneira, observa-se que no primeiro membro da equação (12) tem-se apenas a

variável 𝑦 em que 1

𝑔(𝑦)= ℎ(𝑦), enquanto que no segundo membro somente 𝑥, caracterizando

uma separação de variáveis. Assim é possível integrar em ambos os membros para determinar

a solução da equação (12), como:

∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (13)

Um exemplo de Equação Diferencial separável é:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2𝑥𝑒3𝑥+4𝑦 . (14)

Inicialmente, tem-se mais de um produto entre funções, porém, é possível transformar

essa igualdade na forma apresentada na equação (12).

35

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2𝑥𝑒3𝑥𝑒4𝑦 = (𝑥𝑒3𝑥)(𝑦2𝑒4𝑦) → (𝑦−2𝑒−4𝑦)𝑑𝑦 = (𝑥𝑒3𝑥)𝑑𝑥 (15)

Nesse caso, 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒3𝑥 e 𝑔(𝑦) = 𝑦2𝑒4𝑦.

Observa-se, portanto, diante do exposto, a importância que a manipulação algébrica tem

para o entendimento das Equações Diferenciais. Assim, para que um estudante, então, procure

compreender esses conhecimentos, necessita-se que o aprendizado de conceitos e teorias

apresentados nas disciplinas de Cálculo Integral e Diferencial aconteça da melhor forma

possível.

36

4 TEORIAS DIDÁTICAS E ELEMENTOS DA PESQUISA

Esse capítulo explicita, como teorias didáticas, os conteúdos de aprendizagem, assim

como conceitos referentes aos mesmos, construídos e apresentados por Zabala (1998), além de

serem explicitados elementos estruturantes à pesquisa, considerando desde o desenvolvimento

das atividades, passando pela atuação dos sujeitos da pesquisa até a produção do recurso

informático.

4.1 Conteúdos de Aprendizagem

A aprendizagem, segundo Zabala (1998, p.63), é, de forma sintética, uma construção

pessoal que cada aluno realiza graças à ajuda que recebe de outras pessoas.

Essa construção, que leva e auxilia o aluno a atribuir significado a um determinado

conteúdo de ensino, implica a contribuição, por parte do aluno que aprende, de seu interesse e

disponibilidade, de seus conhecimentos prévios e de sua experiência.

Em tudo isso desempenha um papel essencial a pessoa especializada (professor), que

ajuda a detectar um conflito inicial entre o que já se conhece e o que se deve saber; que contribui

para que o aluno se sinta capaz e com vontade de resolvê-lo; que propõe o novo conteúdo como

um desafio interessante, cuja resolução terá alguma utilidade; que intervém de forma adequada

nos progressos e nas dificuldades que o aluno manifesta, apoiando-o e prevendo, ao mesmo

tempo, a atuação autônoma do aluno.

Esse é um processo que não só contribui para que o aluno aprenda certo o conteúdo,

mas também faz com que aprenda a aprender e que perceba que é capaz de aprender.

Ainda para Zabala (1998, p.30), o termo conteúdo vai além do simples caráter cognitivo,

ampliando o termo para “Conteúdo de Aprendizagem”, entendido como “tudo quanto se tem

que aprender para alcançar determinados objetivos que não apenas abrangem as capacidades

cognitivas, como também incluem as demais capacidades”.

Ele cita, como exemplo, capacidades motoras, de organização, de generalização, de

crítica, de reflexão, de relação interpessoal e de inserção social, entre outras, que fazem parte

do “currículo oculto”, conforme pontua o autor, já que não aparecem, em geral, no plano de

ensino da disciplina.

As atividades didáticas e o recurso informático da presente pesquisa, inspiradas no

conceito de Conteúdo de Aprendizagem, constituem-se, assim, em uma Sequência Didática,

pois é entendida por Zabala (1998), como um conjunto de atividades ou tarefas, ordenadas,

37

estruturadas e articuladas, visando à realização de objetos educacionais estabelecidos, podendo

contribuir com os trabalhos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem. Apesar disso, não

é uma tarefa fácil planejar atividades que sigam uma sequência com objetivos e procedimentos

didáticos.

Dessa forma, alguns passos foram utilizados na sequência que deu origem às atividades

e ao aplicativo dessa pesquisa.

a) revisar as bibliografias utilizadas em cursos de Equações Diferenciais em cursos

superiores, especialmente da área de exatas;

b) elaborar atividades voltadas para o campo de formação de professores que facilitem o

entendimento de problemas interdisciplinares Físicos que atendam a metodologia de

Resolução de Problemas;

c) selecionar softwares ou recursos computacionais que auxiliem nas atividades

(NetBeans; Maxima; GeoGebra);

d) aplicar as atividades;

e) analisar os resultados obtidos com a aplicação das atividades;

f) criar um aplicativo que se aproxime de um Objeto de Aprendizagem;

g) avaliar os desafios oferecidos na construção do aplicativo.

O conjunto de atividades foi elaborado e aplicado, conforme os quatro tipos ou

categorias de conteúdos de aprendizagem, presentes em Zabala (1998), sendo eles factuais,

conceituais, procedimentais e atitudinais, a saber:

Os conteúdos factuais (saber citar fatos e dados) e conceituais (saber interpretar,

relacionar, compreender fatos e dados) estão na linha do: o que saber.

Os conteúdos procedimentais (saber realizar ações, estratégias e usar habilidades frente

aos fatos) estão na linha do: como saber fazer.

Os conteúdos atitudinais (saber exercer uma conduta conforme valores e normas da

coletividade) estão na linha do: saber ser.

Zabala (1998) defende que é comum as escolas, em um nível coletivo, e ao professor,

no nível pessoal, darem um enfoque maior a um determinado tipo de conteúdo. Por outro lado,

reconhece que dificilmente esses conteúdos se apresentam ou são abordados de forma

completamente isolada.

Para o autor, o professor, ao elaborar, aplicar e/ou realizar atividades escolares, contribui

38

para o aprendizado do aluno quando explora esses conteúdos de aprendizagem, o que leva o

aluno a adquirir uma formação mais global.

Mesmo em um modelo de ensino tradicional (aula expositiva, estudo individual ao

aluno, revisão do conteúdo, prova, avaliação final), em que o conteúdo conceitual é muito forte,

o professor pode ter oportunidade de explorar um pouco dos demais conteúdos.

Já em um modelo de ensino não tradicional, em que, por exemplo, se trabalha com

projetos (situação problemática, formulação de questões, respostas intuitivas ou suposições,

fontes de informação, busca de informação, elaboração de solução, conclusões, generalizações,

fixação ou memorização, prova ou exame, avaliação do processo), todos os tipos de conteúdos

de aprendizagem podem ser devidamente explorados, contribuindo para uma formação mais

completa e cidadã do estudante.

Assim, buscando ser coerente com a teoria de Zabala (1998, p.63), para a sequência

didática da presente pesquisa foram elaboradas e aplicadas atividades que:

a) levassem em conta os conhecimentos prévios que cada aluno possa ter;

b) seus conteúdos fossem propostos de forma que fossem significativos e funcionais;

c) permitissem inferir se são adequadas ao nível de desenvolvimento de cada aluno;

d) representassem um desafio alcançável para o aluno, com acesso à orientação;

e) provocassem um conflito cognitivo e promovessem a atividade mental do aluno;

f) promovessem uma atitude favorável, ou seja, que fossem motivadoras e educassem;

g) estimulassem a autoestima e o autocontrole em relação às aprendizagens;

h) ajudassem o aluno a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender;

i) permitissem o aluno ser cada vez mais autônomo em suas aprendizagens.

Ressalta-se que as atividades criadas buscavam ter interdisciplinaridade entre as áreas

de Matemática e de Física, utilizando Equações Diferenciais Ordinárias, sendo planejadas

conforme esses princípios gerais da teoria de Zabala (1998). Mas, em cada atividade, ao ser

operacionalizada, deu-se ênfase às importantes orientações de Stewart (2006), incentivando

explorar as habilidades dos discentes quanto a:

a) análise algébrica (equações, expressões);

b) análise gráfica (visualização geométrica, padrões).

c) análise numérica (quantificação, escala, comparação, tendência).

39

d) análise verbal (linguagem, recepção e produção de texto).

Para Stewart (2006), o conceito de um conteúdo, equivalente ao conteúdo conceitual

(saber interpretar, relacionar, compreender fatos e dados) de Zabala (1998), é a meta principal

do ensino de Matemática. Ainda segundo Stewart (2006), ao se optar por dar ênfase na

compreensão dos conceitos, as análises algébrica, gráfica, numérica e verbal são formas

eficazes de se trabalhar conteúdos matemáticos, especialmente em se tratando da disciplina de

Cálculo Diferencial e Integral. Portanto, essas recomendações foram assumidas na presente

pesquisa.

A metodologia para resolução de problemas esteve conforme a teoria de Polya (1995),

o que de forma mais resumida encontra-se na abordagem feita por Laudares e Miranda (2012,

p.13). Para esses autores, existem alguns passos a serem desenvolvidos para resolver problemas

de fenômenos naturais ou artificiais que envolvam Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), e

que estão no “Caderno de Atividades de Equações Diferenciais”, produto dessa pesquisa, sendo

apresentados a seguir:

1º PASSO: Para alguns problemas, o entendimento do fenômeno físico é auxiliado com o

traçado de um diagrama ou esboço de um gráfico que ilustra a situação-problema.

2º PASSO: Identifique as LEIS FÍSICAS envolvidas e as expresse matematicamente, o que

resulta numa Equação Diferencial.

3º PASSO: Identifique os dados, os parâmetros e as CONDIÇÕES INCIAIS ou de

CONTORNO.

4º PASSO: Explique o QUE SE PEDE: se a determinação de uma expressão (fórmula) ou

se valores numéricos, e expresse matematicamente o pedido do problema.

5º PASSO: Resolva a Equação Diferencial originada da expressão matemática

correspondente à lei física, aplicando as condições dadas para determinação das constantes

e parâmetros cujos valores não são conhecidos.

Portanto, os sujeitos da pesquisa foram sempre incentivados a adotar tais

recomendações ao lidarem com os Problemas de Valor Inicial ou de Contorno existentes nas

Atividades.

Diante do exposto, a proposta de trabalho aplicada a esses sujeitos procura estimulá-los

e direcioná-los para que se tornem agentes da construção do próprio conhecimento e de sua

40

cidadania.

4.2 Caracterização do Universo e Procedimentos

O ambiente da pesquisa teve como sujeitos de estudo dez professores matriculados em

um curso de pós-graduação, destinado à formação de professores, em uma Escola de nível

Superior, complementado pelo trabalho computacional e cooperativo de um estudante de

graduação em engenharia.

Como os professores eram agentes que estavam à procura do aperfeiçoamento de sua

formação, passam a ser também estudantes, construindo novos conhecimentos e aprimorando

aqueles já presentes. Por esse motivo, a partir desse momento, esses sujeitos da pesquisa serão

apontados como professores/estudantes. Da mesma maneira, o estudante de engenharia que

auxiliou na construção do aplicativo educacional, também sujeito da pesquisa em determinados

momentos no decorrer do processo, Bernardo Cunha, como também fazia parte do Projeto do

GRUPIMEM/PINEM como bolsista, será apontado, a partir desse momento, como bolsista.

Os professores/estudantes em formação cursavam a disciplina de Tópicos de Cálculo na

qual uma das unidades de estudo versava sobre Equações Diferenciais. Assim, o professor

ministrante ou regente da disciplina cedeu 8 horas/aula para que as atividades dessa pesquisa

fossem aplicadas.

O professor regente não havia feito nenhuma introdução ao conteúdo de Equações

Diferenciais, permitindo que o pesquisador pudesse absorver o máximo de informações sobre

o conhecimento prévio dos professores/estudantes.

O professor regente acompanhou todo o processo, inclusive articulando para que o livro

texto da disciplina, de Stewart (2010), portado por todos os alunos, ou mesmo outros livros

pudessem ser utilizados durante o desenvolvimento das atividades. Procurava-se, portanto,

trabalhar a autonomia, deslocando o foco da informação da pessoa do professor para uma fonte

de consulta.

Os professores/estudantes eram licenciados em Matemática e lecionavam em

instituições públicas e privadas. A maioria atuava como professores nos Ensinos Fundamental

e Médio e dois lecionavam para o Ensino Superior, o que indica que o pesquisador teve contato

com um grupo no qual os interesses de seus membros eram bem diversificados, como sugerem

Onuchic e Allevato (2009), quando dizem que é interessante envolver grupos de professores

em estudos e atividades, se possível, de escolas variadas.

O conteúdo de Equações Diferenciais não era objeto de trabalho de nenhum dos

41

professores/estudantes, mas todos buscavam um aprimoramento de conhecimentos e alguns

intencionavam se preparar para, no futuro, lecionarem no Ensino Superior.

Dessa maneira, entende-se que a pesquisa-ação, ou a “Action Research Participativa”,

nas palavras de Barbier (2002) foi o mais adequado instrumento metodológico a se usar nesta

pesquisa, que tem caráter qualitativo, e que perpassa seis fases, a saber:

a) exploração e análise da própria experiência, a fim de preparar o pesquisador, o que

poderia ser entendido como a fase do decorrer do curso de Mestrado, quando se percebe

o tema a ser pesquisado;

b) a construção/elaboração do enunciado do problema da pesquisa;

c) o planejamento do projeto de pesquisa, com o direcionamento do delineamento

metodológico e recorte;

d) a realização do projeto e a experimentação do que fora planejado;

e) a apresentação e a análise dos resultados;

f) a interpretação, conclusão e tomada de decisão, que tem ligação direta com o projeto de

intervenção. (BARBIER, 2002, p.38-39).

Apesar da diversidade dos tipos de pesquisa-ação discorrida pelo autor, entende-se a

ação-pesquisa como a mais adequada para esse estudo, visto que:

Esse tipo representa pesquisas utilizadas e concebidas como meio de favorecer

mudanças intencionais decididas pelo pesquisador. O pesquisador intervém [...] no

processo, em função de uma mudança cujos fins ele define como estratégia. Mas a

mudança visada não é imposta de fora pelos pesquisadores. Resulta de uma atividade

de pesquisa na qual os atores se debruçam sobre eles mesmos. Se o processo é induzido pelos pesquisadores em função de modalidades que eles propõem, a pesquisa

é efetuada pelos atores em situação e sobre a situação destes. A ação parece prioritária

nesse tipo de pesquisa, mas as consequências da ação permitem aos pesquisadores

explorá-las com fins de pesquisa mais acadêmica. (BARBIER, 2002, p.42-43).

Assim, entende-se a importância desse tipo de pesquisa, entendendo-a como a mais

adequada, visto que a ideia era de que houvesse a aplicação da sequência didática aos sujeitos

dessa pesquisa e por meio dela pudessem ser verificados os problemas, erros e acertos para o

aprimoramento do produto final de modo a buscar auxiliar os próprios professores/estudantes

na busca pelo conhecimento.

Para tanto, a coleta de dados se deu por meio de registros (protocolos) manuscritos dos

sujeitos, anotações e observações do pesquisador durante as aplicações das atividades em sala

de aula e, também, no decorrer da confecção do recurso informático, considerados esses como

42

os dois momentos da pesquisa.

As atividades didáticas, elaboradas e reunidas em uma cartilha impressa, foram, no

primeiro momento, aplicadas e desenvolvidas pelos sujeitos (professores em formação),

utilizando a mídia lápis e o suporte papel e são descritas no próximo capítulo, assim como as

informações sobre suas aplicações e análises.

A partir dessa experiência e das observações daí extraídas, iniciou-se, em um segundo

momento, com a cooperação do bolsista, entendido aqui como sujeito da pesquisa nesse

momento, o trabalho de reelaboração, adequação e formatação dos conteúdos e textos dessas

atividades, visando a implementação computacional delas em forma de um aplicativo ou

software educacional. Nesse momento, foram retomados estudos e investigadas e analisadas as

formas de utilização de conceitos de Objeto de Aprendizagem, tais como modularidade

(capacidade da informação ser subdividida em grupos menores), portabilidade (utilização em

diversos sistemas operacionais) e capacidade reutilização.

Esse aplicativo, que procura se aproximar dos conceitos de um Objeto de Aprendizagem

(OA), como um recurso didático informatizado, foi cognominado de EDOCA – Equações

Diferenciais Ordinárias com Cálculo.

A escolha para o desenvolvimento desse recurso pela linguagem JAVA vem da sua

grande utilização há décadas, além da existência de um vasto material de consulta sobre essa

linguagem, como livros e fóruns, dando um suporte maior ao programador, agregando valor

maior para o conhecimento de sintaxe que ele já possuía.

Além disso, essa é uma linguagem orientada a objetos, paradigma de programação que

deu origem à teoria de Objetos de Aprendizagem. Conceitos como polimorfismo, classe, objeto

e herança podem ser vistos e utilizados na linguagem de programação escolhida e estão

estreitamente ligadas aos OA.

O Ambiente de Desenvolvimento de Interface (IDE- Interface Development

Environment) escolhido foi o NetBeans, pelo fato de ser amplamente utilizado e pela facilidade

de manuseio de suas ferramentas.

Como foi desenvolvido com as configurações de uma máquina virtual Java versão 8

(JVM 8), é importante, para que o EDOCA funcione eficazmente, atualizar o JVM para que

não aconteça um funcionamento parcial ou até mesmo o seu não funcionamento.

4.3 Dificuldades apresentadas

Faz-se mister afirmar sobre algumas dificuldades na construção desse aplicativo, sendo

43

uma delas a implementação de gráficos estáticos como participação das questões das atividades.

Graficamente, na linguagem Java existe um comando para criar um rótulo (do inglês label)

chamado jLabel. Esse rótulo, que poderia ser um texto ou algo do tipo, permite um ícone

atrelado a ele. Para inserir uma imagem no projeto, foi criado um jLabel, configurando a

imagem de ícone como o gráfico estático desejado e apagando o texto original do rótulo. Assim

a imagem foi inserida e posicionada no projeto.

Quanto à adição de gráficos dinâmicos, houve problemas com algumas classes para

realizar essa tarefa, como a classe HyperlinkLabel. Portanto, com o objetivo de simplificar a

situação sem deixar de atender a demanda, foram adicionados apenas os endereços do aplicativo

suporte (o link sem ser hyperlink, ou seja, sem ligação externa). No caso, esse aplicativo suporte

foi o GeoGebra.

As questões das atividades foram de múltiplas escolhas, sendo algumas com mais de

uma resposta. Assim, para a configuração dessas opções foi utilizada uma LOO (linguagem

Orientada a Objetos), já que ela possui o artifício de reconhecimento de características

(atributos) de um objeto em uma classe. Dessa maneira, é possível checar o estado da caixa de

seleção por meio do comando Jcheckbox.isSelected, o qual é um método que retorna se a caixa

de seleção foi selecionada ou não. Esta informação apenas é lida se o botão “confirmar” for

pressionado.

A linguagem Java possui um comando que oferece a vantagem de criar combo boxes,

ou seja, caixas com várias opções selecionáveis. Para alterar as opções, ou seja, o texto de cada

alternativa, basta alterar as propriedades do objeto (combo box). Com esse comando, se torna

fácil a utilização e o controle em questões que necessitem de um diagrama em que são aceitas

mais de uma opção de resposta.

Além disso, se o usuário marcar uma resposta (em uma caixa de seleção ou caixa de

múltipla escolha), e perceber que está enganado e quiser marcar outra alternativa, ele poderá

fazer sem problema algum. Quando ele estiver certo de suas respostas, deverá clicar em

“Confirmar’’ para verificar se conseguiu realizar a tarefa com êxito e prosseguir para a próxima

atividade.

A solução utilizada para reconhecer as respostas de cada questão foi criar variáveis para

conferir se cada questão da atividade está correta. No caso, se a opção (ou letra) errada for

selecionada, a variável auxiliar que indicará o sucesso na atividade é zerada (variável → 0). Se

a opção for a correta, a variável é incrementada (variável → variável + 1). Assim, se a variável

apresentar, como valor, o número de questões na atividade, o usuário poderá prosseguir para a

44

próxima atividade.

Outra dificuldade encontrada foi que a interface criada na IDE Netbeans teria de ser

executável em qualquer plataforma (Windows, Linux...). Então, foi utilizada uma ferramenta

disponível na própria IDE para gerar um arquivo JAR (Java Archive) que adiciona o projeto a

um pacote executável, onde existem vários arquivos relacionados ao programa, como os

códigos-fonte, as configurações e um arquivo de texto chamado Manifest. Este é um arquivo

de metadados específico do JAR, e é usado para definir os dados do pacote. Nele estão escritas

também algumas informações como a versão do Manifest e são da forma nome: valor,

registrando informações muito importantes sobre o projeto.

No projeto EDOCA, o JAR precisa ser um executável. Dentro desse arquivo é

necessário conter um apontador da classe principal do projeto, que será a primeira a aparecer

na tela inicial do aplicativo. Desta maneira, o software funcionou em computadores com

sistema operacional Linux (Ubuntu) e Windows (7 e 8), com o JVM (Java Virtual Machine)

atualizado.

Finalmente, objetivando uma abrangência maior, o arquivo foi transformado do formato

JAR para o EXE, o que tornaria o software mais funcional em um maior número de máquinas

com o sistema operacional Windows.

45

5 AS ATIVIDADES E RESULTADOS DA PESQUISA

Na pesquisa trabalhou-se, num primeiro momento, com um conjunto de 3 atividades

impressas, as quais foram aplicadas ao grupo de 10 professores em formação continuada, e,

num segundo momento, a partir da readequação das 3 atividades, implementou-se um recurso

computacional, com atividades informatizadas para um estudo introdutório de Equações

Diferenciais. Todo esse material encontra-se reunido em um Caderno de Atividades, assumido

como produto desta dissertação, podendo ser visto no Apêndice A deste trabalho.

A primeira atividade impressa foi construída visando à retomada de alguns conceitos

prévios de Cálculo Diferencial e Integral. Após esse regaste, foram introduzidos, nas demais

atividades, os elementos e definições básicas de Equações Diferenciais, assim como a resolução

de algumas delas, por processo trivial, objetivando explorar a interpretação e o entendimento

de modelos que envolvessem fenômenos físicos. O Quadro 1 apresenta os elementos

estruturantes das três atividades desenvolvidas para o Caderno de Atividades:

46

QUADRO 1 – Elementos estruturantes das atividades impressas

Atividade Duração Objetivos Específicos Metodologias Sujeitos

Atividade 1 –

Elementos

introdutórios

ao estudo de

Equações

Diferenciais

240

minutos

Fazer resgate a conceitos e

notações do Cálculo

Diferencial e Integral.

Fazer introdução à resolução

de Equações Diferenciais

Ordinárias Separáveis.

Fazer análise gráfica de

situações envolvidas em

processos que façam uso de

Equações Diferenciais.

Apresentar conceitos de

solução geral e soluções

particulares de uma Equação

Diferencial.

Estudo do caderno

de atividades,

seguindo as questões

na ordem em que são

apresentadas.

Resolução de

algumas Equações

Diferenciais,

retiradas do livro

texto, como testes de

conhecimentos.

10

professores

em

formação

continuada

Atividade 2 –

Explorando o

modelo

logístico

60

minutos

Estudar o modelo logístico de

comportamento de uma

população, segundo a teoria

de Vehulst, com base em

Equações Diferenciais

Ordinárias separáveis.

Estudo do caderno

de atividades,

seguindo as questões

na ordem em que são

apresentadas.

10

professores

em

formação

continuada

Atividade 3 –

Explorando a

Lei de

Resfriamento/

Aquecimento

de Newton

60

minutos

Estudar a lei de resfriamento /

aquecimento de Newton, com

base em Equações

Diferenciais Ordinárias

separáveis.

Estudo do caderno

de atividades,

seguindo as questões

na ordem em que são

apresentadas.

10

professores

em

formação

continuada

Fonte: Dados da pesquisa.

47

Com base em teorias fundamentadoras, nas questões do Caderno de Atividades, na

experiência da aplicação das mesmas para os sujeitos das pesquisas e nos retornos recebidos

pelos mesmos em relação à aplicação, foram produzidas atividades informatizadas que se

aproximassem dos conceitos e das construções promovidas pelo Caderno, a fim de otimizar o

processo de ensino-aprendizagem das Equações Diferenciais. O Quadro 2 apresenta os

elementos estruturantes que deram origem à essas atividades informatizadas.

QUADRO 2 – Elementos estruturantes das atividades informatizadas

Atividade Duração Objetivos Específicos Metodologias Participantes

Atividades

Informatizadas

120

horas

Produzir um recurso

computacional, com

atividades, para o

estudo introdutório de

Equações Diferenciais.

Construir questões, a

partir das atividades

impressas,

adaptando-as como

questões fechadas.

Pesquisador e

Bolsista

Fonte: Dados da pesquisa.

No início da aplicação das atividades, o professor regente (ministrante) da disciplina fez

a apresentação do pesquisador, o qual assumiu a turma, dando todas as orientações necessárias

ao andamento dos trabalhos. Ambos mantiveram-se em sala de aula, distribuídos de tal forma

que era possível observar as falas dos professores/estudantes sem pressioná-los a alguma ação,

mas prontos para ouvi-los em alguma dúvida, ou instigá-los a desenvolver algum raciocínio

importante.

Dessa maneira, as atividades foram aplicadas conforme orientam Fiorentini e Lorenzato

(2012, p. 54), isto é, “o pesquisador insere-se no ambiente educacional não só para compreendê-

lo, mas também para mudá-lo em direções que permitam aos participantes maior liberdade de

ação e aprendizagem”.

A seguir são apresentadas e comentadas as questões das atividades, sendo importante

destacar que suas respectivas soluções encontram-se no Apêndice A (Caderno de Atividades).

5.1 ATIVIDADE 1 – Elementos introdutórios ao estudo de Equação Diferencial

Os objetivos da atividade 1 foram:

a) explorar a função como dependência entre variáveis;

48

b) explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica;

c) resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral;

d) introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis;

e) apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar a representação gráfica

(família de curvas);

f) apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições iniciais;

g) desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece à Lei de Malthus,

identificando e registrando todos os procedimentos, conforme objetivado nos itens

anteriores.

5.1.1 Apresentação e descrição da atividade 1

Essa atividade é a maior entre as três, pois se propõe a resgatar ou consolidar conceitos.

Ela foi elaborada contemplando as recomendações didáticas de Zabala (1998) e Stewart

(2010), sendo inicialmente realizada uma introdução sobre a dependência de variáveis e sua

importância em uma função. Eis a questão:

Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), segundo Stewart (2010), é uma expressão matemática que

descreve uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão são vistos dois tipos

de variáveis: 𝑥 e 𝑦. Cada valor de 𝑦 depende diretamente ou não de cada valor de 𝑥. Dessa

maneira, a variável 𝑦 é chamada de dependente, enquanto que 𝑥 é a independente ou livre.

Porém, é importante ter em mente que em outras situações e funções as variáveis podem

ser escritas com outras letras por uma questão de melhor aproximação ou adaptação.

As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a característica

de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em cada caso

ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce influência

sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda, com

precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores

explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável

independente.

Na questão 1, o objetivo foi identificar se o texto foi entendido com clareza quanto aos

conceitos de variáveis dependentes e independentes. Para tanto, um fenômeno foi apresentado

49

a fim de trabalhar com variáveis diferentes das usualmente trabalhadas em sala de aula pelos

professores: x e y.

1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal.

a) Quais as variáveis independente e dependente no fenômeno enunciado?

Dependente: ____ Independente: ____

b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática:

c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), como

você a transcreveria em linguagem verbal?

Linguagem verbal:

.

Em seguida, as questões 2, 3 e 4 tiveram o objetivo de identificar conhecimentos básicos

sobre representação algébrica e gráfica em relação a funções. Um ponto forte e importante para

a pesquisa foi a identificação escrita e o significado de uma condição inicial em uma situação.

2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em

relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações, pois, é por

meio deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando 𝑦 =

𝑓(𝑥), quando se escreve 𝑓(4) = 2 quer-se dizer que “quando 𝑥 = 4, o resultado ou

imagem encontrada será 𝑦 = 2”. Com esse pensamento, considerando o fenômeno

apresentado no início da questão 1, explique com suas palavras o significado de 𝑃(0) =

5600 e 𝑃(4) = 8000, considerando t em anos.

P(0) = 5600 _______________________________________________________

P(4) = 8000 _______________________________________________________

3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de

uma forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter: 𝑃(8) = 10400,

𝑃(12) = 12800, 𝑃(16) = 15200, ...

Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo

Uma população P sendo observada em função de um tempo t.

50

ilimitado? Justifique a sua resposta.

_________________________________________________________________

4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer

ao longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê

de você ter escolhido construir tal gráfico.

Na questão 5, o objetivo era apresentar o conceito de incremento ou variação de uma

variável. Por meio de um exemplo numérico, a sequência das questões 5, 6 e 7 tinha o objetivo

de levar a compreender o significado da taxa média simbolizada como a razão entre os

incrementos de duas variáveis.

5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor

numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra ∆ seguida da

letra que representa a variável. Por exemplo, na Física, ∆𝑣 pode representar a variação

de velocidade de um corpo.

Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada

população de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: 𝑃(7) = 15000 e

𝑃(10) = 12400. Então, diz-se que: para um incremento de tempo ∆𝑡 = _____ tem-se

um incremento populacional ∆𝑃 = _________. (Complete os espaços em branco)

6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física,

entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da

distância percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elementos da

questão 5, qual a taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é

positiva ou negativa? Dê uma possível explicação para tal característica.

________________________________________________________________

7. Considere 𝑇𝑚 como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na

questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa

média populacional.

A sequência que continha as questões 8 e 9, por sua vez, pretendia levar à transição da

taxa média à taxa instantânea por meio de representações gráficas e algébricas. Um ponto forte

a ser destacado foi a retomada da dependência de variáveis no item 9-c, assim como a escrita

51

da taxa instantânea como derivada em três notações diferentes.

8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com

𝑇𝑚 =𝑃(𝑡+∆𝑡)−𝑃(𝑡)

∆𝑡. As duas são equivalentes? Explique por quê.

_________________________________________________________________

9. a) Considere a variável em certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico

para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.

b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine ∆𝑡

diminuindo, e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz ∆𝑡 tender para o valor

_____ (Complete), e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de

velocidade ou variação instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva

matematicamente a expressão da questão 8 incorporada com esse movimento do ∆𝑡.

c) Para uma tradicional função matemática 𝑦 = 𝑓(𝑥), são símbolos da primeira

derivada: 𝑦′; 𝑓′(𝑥); 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a

variável _____________ e no denominador a variável ___________ (Complete).

d) Escreva, para 𝑦 = 𝑓(𝑥), os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta,

utilizando as três notações do item c.

e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.

Já a questão 10 faz uma introdução ao universo das Equações Diferenciais com alguns

exemplos, assim como o conceito de Soluções Geral e Particular. No início, apresenta Equações

de Variáveis Separáveis, mostrando, por meio de um exemplo, o caminho a ser utilizado para

resolvê-las e pedindo que o leitor complete a resolução revolvendo integrais e desenhando

curvas de famílias de soluções em um plano cartesiano e em um campo direção.

10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas

derivadas. Essas equações são chamadas de Equações Diferenciais.

Exemplos:

52

2𝑥 − 𝑦′ = 0

3𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦2 = 0

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 2𝑃

𝑦′′ − 3𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Um tipo dessas equações bastante simples de ser resolvido são as EQUAÇÕES DE

VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação:

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥 = 0

Para resolver esse tipo de equação, devemos fazer como a própria classificação diz:

separar as variáveis.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 → 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥

Com os fatores de integração 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 separados, pode-se, então, integrar em ambos os

membros da equação para obter-se a solução.

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥

a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo

membro. (OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.)

Observe que basta adicionar uma única constante “C” no segundo membro. A solução

dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da

___________________. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma

___________________, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de

Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.

b) Na solução geral do item a), substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes.

Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo.

c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. E cada uma dessas curvas

53

é uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente.

Acima, temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são

soluções da equação.

Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano

cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial.

Em cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação

Diferencial. Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO,

permitindo visualizar “silhuetas” ou formato gráfico das curvas da família, conforme

o quadro a seguir.

d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2,

4), C(-1, 1) e D(-2, 4).

e) Nos pontos do item d), use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses

quatro pontos dados.

Quando se quer determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis,

constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo, nesse caso, é

determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o

valor da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução

particular para as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em

10-a.

i) Para x = 1 tem-se y = 2

ii) 𝑓(3) = 1.

Um dos objetivos dessa pesquisa foi o localização das Equações Diferenciais em meio

a fenômenos físicos. Até o momento, essa atividade não havia tratado disso formalmente. Na

questão 11, a seguir, a Lei de Malthus é apresentada, requisitando que o leitor faça uso de todos

54

os conceitos que foram retomados e/ou introduzidos nas questões anteriores. Ressalta-se que

essa lei foi tratada de maneira importante pelo pesquisador pois traz a

[...] hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado

instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto

mais pessoas houver em um instante 𝑡, mais pessoas existirão no futuro. Em termos

matemáticos, se 𝑃(𝑡) for a população total no instante 𝑡, então essa hipótese pode ser expressa

por 𝑑𝑃

𝑑𝑡∝ 𝑃 𝑜𝑢

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃. (ZILL, 2011, p.21).

Outro objetivo dessa questão foi fazer uma introdução a um tipo de estudo mais simples

de crescimento populacional, em preparação para uma situação mais complexa na Atividade 2,

quando será retratado um modelo populacional mais realístico: o modelo logístico de Vehulst.

11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de

uma população com o passar de um tempo obedece à Lei de Malthus (1803):

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃, onde: P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade.

Em linguagem verbal, essa equação significa um fenômeno em que: “a taxa de

variação (𝒅𝑷

𝒅𝒕) de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional

(k vezes) ao tamanho daquela população”.

Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis, havendo casos

em que isso não será possível, exigindo que se recorra a outros processos. Mas, no

caso:

𝑑𝑃

𝑃= 𝑘𝑑𝑡

a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10-a) para obter a solução geral dessa

Equação Diferencial.

b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após

uma hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa

situação, usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a).

c) Esboce o gráfico que representa a situação acima.

55

d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c), mais duas curvas para uma mesma

população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempos

diferentes.

e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem

exponencialmente e de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado

matematicamente pela Lei de Malthus). Mas, é possível manter, na vida real, essa

tendência por um tempo ilimitado? Explique.

OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a Lei de Malthus, adaptando-a à

realidade, o que será abordado à frente.

Ao final da atividade 1 foram propostas algumas questões a título de avaliação e

sistematização dos conceitos abordados. As questões foram resolvidas pelos grupos e

posteriormente socializadas e discutidas as soluções. Para tanto, os professores/estudantes

poderiam consultar o livro texto da disciplina de Cálculo (STEWART, 2010). Todos portavam

esse livro em sala de aula e o professor regente da disciplina participou da escolha dessas

questões, visando revisitar a unidade de Integração, percorrendo intencionalmente o livro texto.

AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS

(Resolva-as em folha separada)

1) Inicialmente, vá em Stewart (2010, p.363), e copie o Teorema Fundamental do Cálculo.

2) Usando o conceito de antiderivada, mostre que:

a) ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑐 (se precisar, consulte Stewart (2010))

b) ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝑐

56

c) ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐

3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥3,0

0,0

Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área.

Escreva, resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral

e o conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart (2010))

4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo.

a) 𝑒5𝑥 − 𝑦′ = 0 (ver página 378, exemplo 4)

b) 𝑦′ − 𝑥3 cos(𝑥4 + 2) = 0 (ver página 377, exemplo 1)

c) (𝑥2 − 4)𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 = 0 (ver página 449, exemplo 3)

5.1.2 Análise da atividade 1

Para facilitar e manter em sigilo a integridade de cada participante da pesquisa, os

professores/estudantes serão identificados por letras de A a J.

As análises das questões apresentadas nessa parte do texto referem-se àquelas que se

mostraram mais importantes e interessantes para a presente pesquisa. Além disso, as outras

questões têm o mesmo objetivo ou análises. Por esses motivos, nem todas as questões da

atividade apresentam protocolos ou descrições.

O tempo utilizado para aplicação dessa atividade foi de quatro horas com 20 minutos de

intervalo. A turma foi separada em cinco duplas com liberdade de escolha entre os alunos.

Apesar disso, os trabalhos foram entregues separadamente, permitindo soluções diferenciadas.

Inicialmente, o pesquisador ressaltou a importância de os alunos lerem cuidadosamente

as instruções, pois se tratava de um material de pesquisa.

Do início ao fim da atividade, uma das duplas ocupou um espaço mais distante das

outras, enquanto que as outras quatro posicionaram-se mais próximas umas das outras. O

motivo desse distanciamento foi justificado ao pesquisador por uma questão de privacidade e

que não gostariam que os outros colegas influenciassem seus pensamentos mesmo que

indiretamente. Esse fato é importante do que diz respeito às respostas dessa dupla isolada, pois

se mostraram muitas vezes diferenciadas em relação às outras duplas, as quais eram mais

homogêneas entre si.

Cada aluno teve liberdade para indicar e se pronunciar sobre pontos em que eles

57

achassem confusos durante a aplicação da atividade.

FIGURA 3 - A proximidade das duplas propiciou uma maior discussão entre elas

Fonte: Dados da pesquisa

Era visível o sentimento de comprometimento quando, nos exercícios, os alunos eram

desafiados a pensar. Esse foi o principal motivo da transformação do pesquisador em um

mediador, apenas auxiliando no processo de construção do conhecimento e não de um

transmissor, fazendo perguntas em cima dos questionamentos dos próprios alunos.

No início da atividade, na questão 1, houve dificuldade por parte dos

professores/estudantes em identificar a diferença entre variáveis dependentes e independentes,

apesar de a atividade trazer um texto inicial relatando sobre isso, sendo relativamente comum

a confusão com as variáveis apresentadas pelo texto em relação às variáveis mais usuais (𝑥 e

𝑦). Apesar de o protocolo 1 não destacar esse fato em especial, observa-se que há dificuldade

em trabalhar a transcrição da linguagem verbal para a matemática e vice-e-versa.

58

PROTOCOLO 1 – Atividade 1 – Questão 1 – Resposta do professor/estudante D

Fonte: Dados da pesquisa

Apesar disso, nesse mesmo protocolo, no item b, destaca-se a resposta dada para a

transcrição do fenômeno para a linguagem matemática. Quando o professor/estudante D

escreve 𝑃(𝑡) = 𝑡, matematicamente, entende-se que a população e o tempo têm o mesmo valor

em qualquer situação, revelando uma falha na interpretação e na concretização de um fato por

meio de uma linguagem, divergindo dos conteúdos conceituais de Zabala (1998).

A transcrição da linguagem matemática para a linguagem verbal também é mostrada de

maneira defasada no item c pelo mesmo professor/estudante, que expressa uma ideia que ainda

está ligada com o fenômeno apresentado no enunciado da questão ao invés de trabalhar com a

forma geral de um função 𝑦 = 𝑓(𝑥).

É comum a dificuldade de alunos, em um âmbito geral, apresentar dificuldades na

utilização das linguagens matemática e verbal, sendo observado que 40% dos participantes não

conseguiram totalmente ou parcialmente interpretar e representar transições entre as duas

linguagens. Isso acontece mais especialmente quando se trata de resolução de problemas, como

ressaltam Azevedo e Rowell (2007), já que

[...] tais dificuldades não estão situadas no âmbito dos algoritmos, das fórmulas ou

dos conceitos específicos dessas áreas [...], mas nas construções lingüístico-

discursivas dos enunciados dos problemas. São dificuldades de nível lexical, sintático,

semântico, textual e/ou discursivo que impedem os alunos de resolver adequadamente

os problemas por não poderem recuperar sua unidade de sentido. (AZEVEDO;

ROWELL, 2007, p. 13).

É interessante que um professor tenha domínio sobre a disciplina que leciona. No caso

do professor de Matemática há a necessidade do domínio da linguagem matemática, assim

59

como a forma de utilizá-la em modelos, como sugerem Onuchic e Allevato (2009).

A questão 3 apresenta uma população em três pontos diferentes e igualmente

distanciados seguidos de reticências. O professor/estudante F questionou, verbalmente, sobre a

utilização dessa palavra no enunciado: “Não se pode dizer sobre a tendência de uma população

sem conhecer a própria função”. O seu par concordou com esse pensamento. Esse tipo de

pensamento mostra um vício de raciocínio direcionado a funções contínuas expressadas

analiticamente. Ou seja, as informações não foram tratadas de forma discreta em nenhum

momento pelos professores/estudantes.

Infere-se, portanto, que mesmo em se tratando de alguns professores/estudantes

lecionarem em disciplinas no Ensino Superior, talvez o conceito de tendência não esteja muito

bem fixado, como é apresentado no protocolo 2.

PROTOCOLO 2 – Atividade 1 – questão 3 – Resposta do professor/estudante F

Fonte: Dados da pesquisa.

Souza (2011) verificou esse mesmo fato em uma de suas pesquisas, concluindo que em

relação ao conceito de tendência, para o estudante “explicar e explicitar os seus registros usando

a linguagem matemática formal foi uma dificuldade quase geral”.

Após algumas discussões sobre esse assunto, o professor/estudante I, como é

apresentado no protocolo 3, voluntariou-se a ir ao quadro da sala e explicar sobre o que ele

havia compreendido sobre o conceito de tendência. Essa atitude vai ao encontro das ideias de

Stewart (2006), o qual defende que aproximações gráficas e numéricas fornecem, muitas vezes,

informações necessárias para compreensões em situações de cunho algébrico.

Esse voluntário representou, então, o conceito de tendência na forma de uma função

contínua em que dois pontos, A e B, tendem a se encontrar quando a distância entre eles tendem

a zero. Porém, mais uma vez, houve apresentação de um vício analítico, mostrando que o

conhecimento sobre tendência derivava-se de uma situação cuja função contínua, diverge da

situação apresentada na questão, a qual apresentava informações discretas.

60

PROTOCOLO 3 – Explicação sobre tendência de uma variável: professor/estudante I

Fonte: Dados da pesquisa.

Na questão 9, item d, pede-se que o aluno represente a derivada em segundo, terceiro

e quarto graus por símbolos distintos. Nessa parte, 80% dos alunos mostraram que não

compreendiam corretamente o significado na linguagem matemática para derivadas múltiplas:

𝑑(𝑛)𝑦

𝑑𝑥𝑛 , principalmente quando se tratava de derivadas em graus superiores, ou seja, em graus

maiores do que 1 (um). O protocolo 4 apresenta essa dificuldade, em especial com o

professor/estudante J. Apesar disso, não houve problemas para as outras duas formas de

escrever. Esse último fato mostra que os conteúdos conceituais de Zabala (1998), discutidos

anteriormente, foram atingidos apenas parcialmente.

PROTOCOLO 4 – Atividade 1 – questão 9d – resposta do professor/estudante J

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 10, por sua vez, mostrava passo a passo como se resolver uma Equação

Diferencial Separável. No item a dessa questão cabia ao professor/estudante resolver as

integrais em ambos os membros. Porém, como as integrais eram indefinidas, foi necessário o

surgimento de uma constante. Nessa parte, 30% dos alunos, ao igualar os resultados das

61

integrais, questionaram a possibilidade de cancelar a constante “C” em ambos os membros da

equação, já que estavam utilizando a mesma letra. Por meio da mediação do pesquisador, todos

compreenderam que as constantes em ambos os membros da equação não poderiam receber o

mesmo símbolo por fazerem parte de integrações diferentes.

PROTOCOLO 5 – Atividade 1 – Questão 10a – resposta do professor/estudante B

Fonte: Dados da pesquisa.

Além disso, nesse mesmo item, 50% dos participantes sentiram necessidade de consultar

o livro texto (STEWART, 2010) ou pedir auxílio para os colegas ou para os mediadores para

resolver as integrais propostas. Isso se agravou ao fato de que mesmo com a sequência

apresentada no início da questão, 40% dos participantes não compreenderam o funcionamento

em separar as variáveis de uma ED.

62

PROTOCOLO 6 – Atividade 1 – Questão 11a – solução inicialmente proposta pelo

professor/estudante I

Fonte: Dados da pesquisa.

Após o pesquisador fazer algumas ponderações sobre a solução proposta, o

professor/estudante I sugere uma nova solução em que ∫𝑑𝑃

𝑃= ∫ 𝑃−1𝑑𝑃 = 𝑃0 + 𝐶 = 1 + 𝐶,

observando-se que houve confusão com a integral polinomial, mostrando que existe ainda um

hábito de resolver integrais que derivam do ensino/aprendizado focado em fórmulas e na

memorização.

O diálogo abaixo, registrado pelo pesquisador, apresenta, na integra, a conversa entre o

pesquisador e o aluno I sobre a resolução desse tipo de integral. O pesquisador tenta, sem

entregar as respostas, fazer com que o professor/estudante entenda a diferença entre o

apresentado por ele e a integral polinomial.

Pesquisador: O que aconteceu quando você integrou 𝑃−1?

Professor/estudante I: Somei 1 ao expoente. Como −1 + 1 = 0, então resultou em

𝑃0.

Pesquisador: E qual é a integral de 𝑥2? (Alguns segundos depois)>

Professor/estudante I: 𝑥3

3.

Pesquisador: Então, isso significa que o expoente passa a existir no denominador.

Correto?

Professor/estudante I: Sim!

Pesquisador: Qual é o denominador em 𝑃0? Professor/estudante I: ... 1.

Pesquisador: De acordo com o seu raciocínio não deveria ser zero? O número zero

pode ficar no denominador?

Professor/estudante I: É verdade. Isso não pode acontecer. Ah! É logaritmo.

Um dos objetivos da atividade 1, mais especificamente na questão 11, era a

compreensão dos conceitos das soluções geral e particular de uma Equação Diferencial, assim

como a diferença entre elas. Porém, apesar desse conceito ser tratado com uma certa frequência,

63

20% dos participantes demonstraram dificuldade em discernir uma da outra por realmente não

compreenderem os seus significados. Muitas vezes, o professor/estudante havia compreendido

o caminho para resolver a ED, mas a solução era algo meio vago, indicando o quanto o

tradicionalismo por parte da memorização está cravado na área de educação.

Pesquisador: Você encontrou a solução dessa Equação Diferencial. Essa é uma

solução o que? Solução... Professor/estudante H: Solução Geral.

Pesquisador: Qual a diferença dessa solução geral para uma solução particular?

Professor/estudante H: Faltou o C (constante) na minha solução.

Já na questão 11, item c, foi pedido que os participantes esboçassem um gráfico que

representasse a solução encontrada no item b da mesma questão, a qual tem sua forma geral

como 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que y é a variável dependente, t é a variável independente, C é uma

constante real, k é um parâmetro real e e é o número neperiano.

PROTOCOLO 7 – Atividade 1 – Questão 11b – resposta do professor/estudante F

Fonte: Dados da pesquisa.

Observou-se que 30% dos alunos construíram o gráfico na escala errada. No eixo

vertical (População) a distância entre os pontos 10 000 e 20 000 era o mesmo de 20 000 para

40 000, implicando em um gráfico desproporcional em relação ao que deveria ser feito, fato

que é constatado pelo grupo de conteúdos conceituais de Zabala (1998). Observa-se que houve

falha, então, por parte dos professores/estudantes no que cerne à interpretação e à compreensão

dos fatos e dados apresentados pelo problema. Na mesma linha, houve falha no grupo de

conteúdos procedimentais, pois a estratégia utilizada para a construção do gráfico não foi

64

completamente válida. Porém, após uma pequena intervenção do pesquisador, todos

compreenderam que isso não poderia acontecer.

PROTOCOLO 8 – Atividade 1 – Questão 11c,d – resposta do professor/estudante F

Fonte: Dados da pesquisa.

Ao final da atividade 1, nas questões propostas, os participantes foram convidados a

resolver algumas Equações Diferenciais como teste do que aprenderam com todas as questões

anteriores, assim como relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo1. Foi dito que eles

poderiam consultar o livro texto o quanto quisessem, mas que seria mais interessante se não o

fizessem. Talvez pelo cansaço ou pelas dificuldades encontradas e acumuladas durante toda a

atividade, 50% dos alunos recorreram ao livro texto para resolver as Equações Diferenciais

propostas ao final da atividade.

Apesar das tentativas de entender o método de resolução das questões, aqueles que

recorreram ao livro texto copiaram como estava escrito, sugerindo uma falta de compreensão

por parte deles. Os dois protocolos a seguir apresentam a diferença entre uma solução

construída e outra reproduzida por meio do livro texto.

O primeiro, referente ao professor/estudante B, apesar de não ser uma resolução

1 De acordo com STEWART (2010, p.363), o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) diz que supondo que 𝑓

seja contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], tem-se:

a) Se 𝑔(𝑥) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑥

𝑎, então 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎, quando 𝐹 for qualquer primitiva de 𝑓, isto é, 𝐹′ = 𝑓.

65

totalmente correta, considerando apenas alguns lapsos na linguagem matemática, como a

segunda e última linhas do protocolo 9, é possível perceber que houve construção do raciocínio,

solucionando a integral por meio da substituições de variáveis.

PROTOCOLO 9 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante

B

Fonte: Dados da pesquisa.

Quanto ao segundo, referente ao professor/estudante E, houve apenas uma resposta no

final, revelando apenas uma técnica de manipulação algébrica sem resolver uma das partes mais

importantes da Equação Diferencial que era a integral.

PROTOCOLO 10 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante

E

Fonte: Dados da pesquisa.

66

Infere-se ainda, diante da situação observada, que em se tratando de problemas, há

dificuldade dos estudantes em obterem as informações necessárias, as quais muitas vezes são

apresentadas na linguagem verbal, para transcrever para a linguagem matemática,

possibilitando, então, alcançar a uma solução.

Souza (2011, p.80) identificou que, para que os estudantes de uma disciplina de

Equações Diferenciais Ordinárias pudessem entender a importância do uso do processo de

modelagem aplicada à resolução de problemas, havia “necessidade de rever, resgatar e

consolidar conceitos e teoria bem fundamentais, além de discutir e reforçar manipulações e

técnicas algébricas referentes a esses conceitos e teorias”.

Nesta presente pesquisa constatou-se, da mesma forma de Souza (2011) a importância

do resgate de conceitos, de linguagem e simbologias, de teorias e de manipulações algébricas

para iniciar-se um estudo de Equações Diferenciais. Apesar de se ter aqui um público formado

por professores, percebeu-se o benefício que esse resgate trouxe para a capacitação deles, na

linha do que colocam Onuchic e Allevato (2009).

Assim, acredita-se que o ambiente da atividade 1 oportunizou aos

professores/estudantes expressarem e elaborarem seus saberes, observados em suas

dificuldades pelo pesquisador, conforme representado no quadro 3.

67

QUADRO 3 – Saberes e dificuldades observados nas questões da atividade 1

Ambiente da atividade 1

oportunizou resgatar ou

consolidar conteúdos de:

Sujeitos expressam e

elaboram seus saberes

lidando com:

Dificuldades observadas

Funções e variável

- Recepção de texto

- Representação simbólica

- Linguagens diversas

- Representação gráfica

- Tendência de uma variável

- Retirar informações de um

texto ou de definição

- Libertar-se de uma

linguagem matemática

única

Taxa média

- Incremento de uma variável

- Variação ou taxa média

- Representação simbólica

- Representação gráfica

- Representação gráfica da

taxa média

Derivada

- Passagem ao limite

- Taxa instantânea ou derivada

- Representação geométrica

- Representação simbólica

- Apresentação do conceito

de derivada, expresso de

forma geométrica

- O conceito embutido nas

diferentes notações de

derivada

Integral

- Operação inversa da derivada

- Equação Diferencial

(solução)

- Importância da constante

- Técnicas simples de

integração

- Lidar com variáveis

- Lidar com parâmetros

-Resolução das integrais

imediatas

Fonte: Dados da pesquisa.

5.2 ATIVIDADE 2 – Explorando o Modelo Logístico

Os objetivos da atividade 2 foram:

68

a) retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro modelo

mais realístico, mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais;

b) desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística;

c) mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo;

d) representar graficamente esse modelo;

e) determinar uma solução particular que envolva esse modelo.

5.2.1 Apresentação e descrição da atividade 2

A atividade 2 é iniciada com um texto remetendo ao problema do modelo populacional

de Malthus, apresentado na primeira atividade, para que fosse introduzido o Modelo Logístico

de Vehulst.

Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: “uma população cresce

ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante”, que se traduz

pela Equação Diferencial: dP

dt= KP

Vimos que, na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um

tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional,

que foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do

crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova

equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward

Penney, pode ter a forma: dP

dt= KP(M − P).

Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator

com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do

crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M

é um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar,

em situação normal.

Na questão 1, portanto, o professor/estudante é desafiado a resolver a Equação

Diferencial do modelo logístico apresentada no texto introdutório. O objetivo dessa questão era

deixar que o professor/estudante fizesse uso dos conhecimentos adquiridos na atividade 1 e

exigia que o aluno diferenciasse variáveis de parâmetros, assim como a dependência das

variáveis, separasse as variáveis para que pudesse resolver a equação e, finalmente, resolvesse

as integrais.

69

1. A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a

solução geral na forma 𝑃 = 𝑓(𝑡).

A questão 2 tinha como objetivo escrever solução geral determinada na questão 1,

supondo um valor para uma população inicial. Esse questão foi criada pensando em reduzir a

quantidade de parâmetros a serem utilizados na questão 3, quando seria determinado o limite

de uma população.

2. Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre

a solução particular escrevendo 𝑃(𝑡) em função de k, M e t.

3. Considerando a questão 2, qual o resultado para lim𝑡→∞

𝑃(𝑡)? Interprete o resultado

obtido.

A questão 4, procurava utilizar conceitos do Cálculo Diferencial e Integral (pontos de

inflexão) para construir um esboço do gráfico que obedecesse o modelo logístico, a população

inicial sugerida na questão 2 e o limite populacional determinado na questão 3. Eis a questão:

4. Vamos construir o gráfico P x t referente à expressão P(t) determinada no item anterior.

a) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão

para 𝑑𝑃

𝑑𝑡.

b) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0.

Para finalizar a atividade, a questão 5 tinha como objetivo que o aluno solucionasse um

problema envolvendo o modelo logístico utilizando as condições impostas por ele.

5. Suponha que em 1885 a população de certo país era de 50 milhões e estava crescendo

à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha, também, que em 1940 sua

população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma

que esta população satisfaça à equação logística e determine tanto a população limite

M quanto a população prevista para o ano 2000.

70

5.2.2 Análise da atividade 2

O tempo destinado à atividade foi de 60 minutos.

Os participantes foram separados em dois grupos de cinco pessoas, sendo que o grupo

A ficou responsável por desenvolver a atividade 2 e o grupo B, a 3.

Para quebrar um pouco a composição viciada de formação de grupos por escolha livre

observada na primeira atividade e contemplando a proposta do conteúdo atitudinal de Zabala

(1998), procurou-se promover uma interação maior entre os professores/estudantes, definindo

os membros dos grupos por sorteio. Feito isso, os integrantes do grupo A, os quais realizaram

essa atividade, foram os alunos A, B, G, H e J.

O trabalho nessa atividade foi diferente da anterior, já que os cinco analisaram e

pensaram em conjunto cada questão.

Durante o processo, era evidente o comprometimento e cooperação de cada integrante

do grupo, em especial um dos professores/estudantes (professor/estudante G), que sentiu-se tão

desafiado que não queria entregar a atividade até terminá-la, apesar do tempo esgotado,

constatando, mais uma vez, a presença dos conteúdos atitudinais de Zabala (1998).

Ao final da atividade 1, uma das Equações Diferenciais que foram sugeridas a serem

respondidas aceitava o uso de frações parciais para sua solução. Isso foi feito para que o

professor/estudante pudesse ter mais compreensão desse tipo de estratégia, visto que a atividade

2 apresentava uma Equação Diferencial que exigia esse mesmo raciocínio.

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐾𝑃(𝑀 − 𝑃) →

𝑑𝑃

𝑃(𝑀−𝑃)= 𝐾𝑑𝑡 →

1

𝑀(

1

𝑃+

1

𝑀−𝑃) 𝑑𝑃 = 𝐾𝑑𝑡 (16)

Considerando que outros problemas já haviam sido analisados, resolvidos e concluídos

na atividade 1, essa atividade mostrou-se mais desafiadora do que era esperado. Porém, o grau

de dificuldade foi gradativo de uma atividade para a outra. Além disso, em todos os momentos

o pesquisador instigou o grupo a pensar e raciocinar de maneira independente, como sugere

Polya (1995) para o estudo de resolução de problemas.

Analisando o rascunho criado pelo grupo A para resolver a questão 1 da atividade 2

PROTOCOLO 11), é possível verificar que o objetivo de incentivar o uso de frações parciais,

nas questões propostas da atividade 1, para resolver Equações Diferenciais foi alcançado. Além

disso, considerando que o nível de dificuldade para essa questão era superior ao da questão

71

apresentada ao final da atividade 1, pôde-se concluir que barreiras e dificuldades emergidas

anteriormente foram superadas.

PROTOCOLO 11 – Atividade 2 – Questão 1 – rascunho utilizado pelo grupo A

Fonte: Dados da pesquisa.

Pela quantidade de parâmetros (K e M) somados com as variáveis (P e t) existentes na

Equação Diferencial, entende-se que houve dificuldade por parte dos professores/estudantes em

resolvê-la. Dessa maneira, foi necessária uma intervenção do pesquisador a fim de auxiliar na

compreensão e sanar as dúvidas relativas à resolução da equação logística. Mesmo com essa

intervenção, porém, apenas dois alunos mantiveram-se concentrados em resolvê-la, enquanto o

restante ficou apenas observando o processo, o que não deixa de ser também um meio de

aprendizagem.

Apesar disso, foi possível observar que não houve grandes dificuldades no que se referia

à separação de variáveis da Equação Diferencial do Modelo de Vehulst. Da mesma forma, o

grupo mostrou-se competente ao resolver as duas integrais resultantes dessa manipulação

algébrica.

72

PROTOCOLO 12 – Atividade 2 – Questão 1 – resolução do grupo A

Fonte: Dados da pesquisa.

Na segunda parte e finalização da resolução da questão 1, não foram necessários auxílios

por parte do pesquisador, já que o grupo conseguiu resolver todo o restante PROTOCOLO 13),

apenas discutindo entre os integrantes se as formas e passos estavam corretos.

73

PROTOCOLO 13 - Atividade 2 – Questão 1 – continuação e finalização

Fonte: Dados da pesquisa.

Como houve um tempo reduzido de execução da atividade, apenas 60% dela foi

completada pelos participantes. Apesar disso, devido à energia e determinação, o grupo gostaria

de ter permanecido mais alguns minutos para terminar a atividade, mostrando gosto e satisfação

mesmo nos últimos e cansativos momentos. Assim, atendendo a pedidos dos

74

professores/estudantes, o grupo A complementou as atividades em casa, desenvolvendo e

concluindo todas as questões da atividade 2.

Entende-se, portanto, que o ambiente da atividade 2 oportunizou aos

professores/estudantes expressarem e elaborarem seus saberes, observados em suas

dificuldades pelo pesquisador, conforme resumido no quadro 4.

QUADRO 4 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 2

Ambiente da atividade 2

oportunizou resgatar ou

consolidar conteúdos de:

Sujeitos expressam e

elaboram seus saberes

lidando com:

Dificuldades observadas

Modelagem algébrica de

problemas (primeiro

contato)

Conexão entre linguagem

verbal do problema e seu

modelo algébrico

Conceito de parâmetro

Equação Diferencial

- Separação de variáveis

- Resolução de integral

- Análise gráfica da solução

particular

- Projeção da demanda futura

- Lidar com parâmetros e

variáveis

- Decomposição em frações

parciais

- Desatenção na receptação

do texto, como auxiliar na

análise gráfica

Fonte: Dados da pesquisa.

Então, as dificuldades observadas foram superadas dentro do próprio grupo, recorrendo

ao livro texto e, em especial, pela socialização do conhecimento e o pesquisador e o professor

regente, ao final, auxiliaram os professores/estudantes a consolidarem os conceitos.

5.3 ATIVIDADE 3 – Explorando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton

Os objetivos da atividade 3 foram:

a) apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação com

as Equações Diferenciais;

b) retomar conceitos e símbolos matemáticos que serviram de base para as Equações

Diferenciais;

75

c) mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em que

aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do ambiente;

d) representar graficamente esse modelo;

e) determinar uma solução particular que envolvesse esse modelo;

f) desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor do

que a do ambiente no qual aquele é inserido.

5.3.1 Apresentação e descrição da atividade 3

A terceira atividade procurava desenvolver o entendimento da Lei de Newton do

resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que:

a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre

a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura

ambiente. Se 𝑇(𝑡) representa a temperatura de um corpo no instante 𝑡, 𝑇𝑚 a

temperatura do meio que o rodeia e 𝑑𝑇

𝑑𝑡 a taxa segundo a qual a temperatura do corpo

varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença

matemática 𝑑𝑇

𝑑𝑡∝ 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑜𝑢

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚). (ZILL, 2011, p.22).

Essa atividade, diferentemente das outras duas, não apresentava um texto introdutório,

já sendo estruturada a fim de desenvolver um raciocínio passo a passo. A questão 1 tem o

mesmo objetivo que as questões iniciais da atividade 1: a partir de um fenômeno determinar as

variáveis e sua relação de dependência.

1. Observe o fenômeno a seguir.

Uma substância a uma temperatura T

variando ao passar de um tempo t.

a) Quais as variáveis do fenômeno descrito acima?

b) Destas duas variáveis, qual é a dependente e qual é a independente?

Dependente: _____ Independente: _____

A questão 2 apresentava verbalmente a Lei de Newton para que, posteriormente, o

professor/estudante fosse convidado a transcrevê-la para a linguagem matemática utilizando

elementos do Cálculo Diferencial e Integral. Eis a questão:

76

2. A lei de Newton diz que: “a velocidade de resfriamento/aquecimento da

temperatura T de um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente,

é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA”.

a) Circule na(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade

(variação) de uma temperatura T em um tempo t?

b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito

no início da questão 2 (lei de Newton).

c) Com base na equação descrita acima, responda:

(i) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo?

_____

(ii) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma

temperatura diferente da sua?

Na questão 3, o leitor é desafiado a resolver a Equação Diferencial determinada por ele

no item 2-b) e escrever uma solução particular utilizando as condições impostas na questão 4.

3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada

na questão 2-b), substituindo a temperatura ambiente por 25°C.

4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37°C. Se após 1 minuto

a temperatura passa a ser de 31°C, determine a solução particular. OBS: procure

substituir os valores citados na solução geral determinada na questão 3.

Com base na solução particular determinada na questão 4, o professor/estudante foi

questionado entre qual das três opções seria a melhor representação geométrica para tal

situação. Na questão 5, por sua vez, o objetivo era identificar a capacidade de ler uma equação

e transcrevê-la graficamente:

5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa?

𝑑𝑇

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑇

dT - dt ∆𝑇

∆𝑡

𝑑2𝑇

𝑑𝑡2

77

Justifique.

Justificativa:

___________________________________________________________________

A questão 6 tinha o mesmo objetivo que a questão anterior, porém, a equação a ser

representada era uma Equação Diferencial e não uma solução particular.

6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um

corpo. Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação

4) tem-se a equação

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −0,6931(𝑇 − 25)

Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial e justifique.

78

Justificativa

___________________________________________________________________

A sétima questão tinha a intenção de identificar se o estudante compreendeu os

conceitos e raciocínios impostos das questões anteriores da atividade 3. Nessa consolidação de

ideias, o professor/estudante foi desafiado a resolver uma situação particular de aquecimento

ao invés de resfriamento na qual a temperatura do corpo é menor do que a temperatura do

ambiente em que ele se encontra.

7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o

comportamento de um corpo cuja temperatura inicial seja menor do que a temperatura

ambiente.

5.3.2 Análise da atividade 3

O tempo destinado à atividade foi de aproximadamente 60 minutos.

Assim como aconteceu com a atividade 2, dos dez participantes, cinco fizeram essa

atividade logo após finalizarem a atividade 1, analisando e pensando em conjunto cada questão.

Com o sorteio, o restante dos alunos que participaram dessa atividade foi: C, D, E, F e I.

Todas as questões foram concluídas em sala de aula.

O grupo observou que as questões da atividade 3 eram muito semelhantes àquelas

concluídas por eles na atividade 1. Esse fato foi proposital, pois tinha o objetivo de retomada e

consolidação dos conceitos apresentados e exercitados anteriormente. Polya (1995) acredita na

necessidade de repetir exercícios com o intuito de promover o aprendizado no que tange à

resolução de problemas.

O tipo de dificuldades que surgiu era verbal, como o significado da palavra corpo no

enunciado do problema. O grupo considerava sempre que se tratava de um corpo humano e não

simplesmente de um objeto animado ou não.

Em nenhum lugar da atividade havia instruções sobre o uso de calculadoras. Apesar de

ser um recurso muito utilizado, principalmente em cursos do Ensino Superior, não houve

questionamentos ou pedidos para utilizá-lo. Um fato que mostra com clareza esse

acontecimento foi na questão 4 e apresentado no protocolo 14, no qual o grupo encontrou a

constante 𝑘 = ln (1

2).

79

PROTOCOLO 14 - Atividade 3 – Questão 4 – resolução feita pelo grupo B

Fonte: Dados da pesquisa.

Em especial na questão 7, quando o grupo discutiu sobre a situação inversa à que estava

sendo colocada, foi construído o gráfico corretamente. Porém, apesar da presença de uma

assíntota em 𝑇𝐴, o grupo indicou a escolha de uma função logarítmica para representá-lo, a qual

não tem limite superior ou inferior. Com uma pequena intervenção do pesquisador, os alunos

compreenderam que a escolha não era adequada para a situação e finalizaram de maneira

correta, como mostra o seguinte diálogo:

Pesquisador: Uma função logarítmica tem assíntota em relação a y (paralela ao eixo

x)?

Grupo: Não.

Pesquisador: Então, como ‘espelhar’ uma função em relação a uma reta?

Apesar disso, mesmo com esse pequeno auxílio, foi possível observar que o grupo não

concluiu de imediato a melhor representação gráfica que se encaixava na situação dessa questão

(PROTOCOLO 15).

80

PROTOCOLO 15 - Atividade 3 – Questão 7 – Resolução feita pelo grupo B

Fonte: Dados da pesquisa.

De maneira geral, para as três atividades, diante do exposto, infere-se que foi alcançada

uma visão de construção do conhecimento por meio da resolução de problemas com base nas

teorias de Polya (1995), sendo possível, ainda, visualizar os quatro momentos dessa teoria, que

consistiam em compreensão do problema, estabelecimento e execução de um plano e análise

da solução obtida, perpassando pelas atividades.

Além disso, de acordo com Stewart (2006), entende-se que, ao se optar por dar ênfase à

compreensão dos conceitos, às análises algébrica, gráfica, numérica e verbal essas foram formas

eficazes de se trabalhar conteúdos matemáticos, mostrando que a presente pesquisa também

atingiu esse objetivo.

81

QUADRO 5 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 3

Ambiente da atividade 3

oportunizou resgatar ou

consolidar conteúdos de:

Sujeitos expressam e elaboram

seus saberes lidando com:

Dificuldades

observadas

Modelagem algébrica

parcial de um problema

Conexão entre linguagem verbal e

algébrica

Distanciamento da

linguagem verbal de

enunciado de leis de

outras ciências

Equação Diferencial

- Separação de variáveis

- Resolução de integral

- Análise de solução particular e

da própria Equação Diferencial

- Condição inicial de problemas

da vida real

Ao lidar com a análise

gráfica em situações

variadas.

Fonte: Dados da pesquisa.

Quanto à primeira dificuldade observada, os sujeitos da pesquisa reconheceram que

professores de Matemática, em geral, se tornam reféns da linguagem e de termos próprios da

disciplina. No entanto, os professores/estudantes declararam-se despertados para a necessidade

de introduzirem mudanças em suas aulas, com uma Matemática mais inserida em situações e

problemas de outras ciências e da vida social.

A segunda dificuldade foi superada entre os integrantes do próprio grupo para o

problema específico, sendo entendido por eles que é possível adquirir mais habilidade à medida

que se pratica.

5.4 AS ATIVIDADES INFORMATIZADAS

Objetivou-se implementar as atividades 1, 2 e 3 do caderno de atividades com o uso de

uma linguagem computacional, gerando um recurso informático para o estudo introdutório de

Equações Diferenciais.

A informatização das atividades foi feita com o auxílio de um bolsista participante do

Projeto do GRUPIMEM/PINEM, graduando em Engenharia Eletrônica.

O software escolhido para construir o recurso didático informatizado foi o NetBeans por

ser um software livre que suporta a linguagem computacional JAVA. Essa linguagem foi

escolhida por ser de fácil acesso devido à sua grande utilização nos inúmeros softwares que

82

rodeiam o nosso atual mundo tecnológico. Além disso, se um computador não apresentar o

aplicativo Java, é possível fazer o download gratuitamente.

Outro importante motivo dessa escolha é que, de acordo com o MEC (BRASIL, 2015),

um OA deve ser de fácil acesso e que ainda possa ser reutilizado para dar suporte ao

aprendizado. Pensando nisso, ele foi construído sem a necessidade da instalação do próprio

software NetBeans, bastando que o computador tivesse o aplicativo Java instalado.

O OA construído, EDOCA, apresentava atividades que complementavam as questões

apresentadas no caderno de atividades (atividades 1, 2 e 3).

Na apresentação das telas do EDOCA, a seguir, é possível que algumas pareçam um

pouco maiores que outras. Isso se deve à necessidade de uma montagem para que as atividades

e questões não ficassem dispersas na presente dissertação, assim como em suas análises.

A tela inicial do aplicativo apresentava uma janela na qual o estudante pode selecionar

um diretório para salvar as respostas das atividades, como pode ser visto na figura 4. Da mesma

maneira, há um campo para e-mail do professor, para o qual essas respostas serão enviadas.

83

FIGURA 4 – Tela inicial do software EDOCA

Fonte: Dados da pesquisa.

Na guia “arquivos”, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades.

Essa opção foi trabalhada pensando em um estudante que, ao terminar uma questão em uma

das atividades, conseguiria dar continuidade aos seus estudos a partir da última questão

resolvida. Da mesma forma, é possível iniciar uma atividade a partir de uma questão de acordo

com os comandos do professor, como pode ser visto na figura 5.

84

FIGURA 5 – Navegação no software EDOCA

Fonte: Dados da pesquisa.

5.4.1 Atividade Informatizada 1

Como já se sabe, a Atividade 1 é segmentada em nove questões.

Na questão 1, é apresentado um texto como suporte teórico que também permanece

para a questão 2.

Na figura 6 é possível visualizar que abaixo desse texto há um fenômeno físico (“Uma

população P variando com o passar de um tempo t”) que também serve de suporte para os itens

da questão 1, pois são respondidos com base nele.

Nessa questão, são trabalhados a identificação de variáveis dado um fenômeno, o

conceito de relação de dependência entre duas variáveis, a relação matemática entre essas duas

variáveis e como escrever essa relação na linguagem verbal.

85

FIGURA 6 – Atividade informatizada 1 – Questão 1

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 2, como já registrado, apresentava um texto e um fenômeno como suporte

teórico. São os mesmos texto e fenômeno introduzidos na questão anterior.

Nessa questão, então, são trabalhados significados numéricos em relações de

dependência, assim como a escrita na linguagem verbal e representações geométricas no plano

cartesiano para esses significados, como pode ser visto na figura 7.

86

FIGURA 7 – Atividade informatizada 1 – Questão 2

Fonte: Dados da pesquisa.

Na questão 3, o fenômeno, o mesmo introduzido nas questões 1 e 2, ainda foi mantido.

A figura 8 mostra essa questão em que são apresentadas algumas informações

numéricas. Com base nelas, o usuário foi instigado a raciocinar em qual seria o comportamento

da população quando o tempo tivesse valores muito grandes ou ilimitados.

Aqui foi introduzido, na atividade, o conceito de tendência de uma função, retomado

em questões posteriores.

87

FIGURA 8 – Atividade informatizada 1 – Questão 3

Fonte: Dados da pesquisa.

Na questão 4, o suporte teórico apresenta conceitos sobre uma função afim e a relação

com seus parâmetros.

Há um botão em que o estudante, ao clicar, tem acesso a um gráfico construído com o

auxílio do GeoGebra, que permite a alteração dos parâmetros. Essa alteração é necessária para

responder e completar o texto à esquerda, como pode ser visto na figura 9.

88

FIGURA 9 – Atividade informatizada 1 – Questão 4

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 5, apresentada pelas figuras 10 e 11, foi dividida em quatro partes: letras a e

b na primeira tela e c e d, na segunda tela, podendo-se notar que em ambas as telas, há um

suporte teórico sobre o incremento ou variação de uma variável, assim como o retorno do

fenômeno físico “Uma população P variando com o passar de um tempo t”.

Na primeira tela, o estudante era instigado a responder, com valores numéricos, sobre a

variação da população e do tempo sobre o fenômeno físico em questão com valores numéricos

e relacionar essa situação graficamente.

89

FIGURA 10 – Atividade informatizada 1 – Questão 5 (letras a e b)

Fonte: Dados da pesquisa.

Na segunda tela, foi introduzido o conceito de taxa média em uma linguagem verbal,

para que, em seguida, fosse requisitada na linguagem matemática (simbólica). Ainda nessa tela,

dever-se-ia responder sobre a taxa média usando os valores da população e do tempo dados

anteriormente.

FIGURA 11 – Atividade 1 – Questão 5 (letras c e d)

Fonte: Dados da pesquisa.

90

A questão 6, por sua vez, relembrava a representação de taxa média usada na questão

anterior como uma razão entre a variação da população e a variação do tempo, como é

apresentada na figura 12; porém, foi requisitado que fosse apresentada mais uma maneira de

representá-la.

FIGURA 12 – Atividade informatizada 1 – Questão 6

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 7, apresentada pela figura 13, aproveitava a nova representação de taxa média

selecionada na questão anterior para dar continuidade à atividade. Isso foi necessário para

iniciar o pensamento sobre a tendência do valor da taxa média da população quando a variação

do tempo tende a zero, “diminuindo, diminuindo, cada vez mais”.

Era esperado que, nesse momento, o estudante relacionasse o limite da taxa média com

o conceito de derivada de uma função.

91

FIGURA 13 – Atividade informatizada 1 – Questão 7

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 8 mostra um suporte teórico onde eram introduzidas as Equações

Diferenciais, apresentando alguns exemplos. Logo em seguida, eram apresentadas as Equações

Diferenciais Ordinárias, assim como o passo a passo parcial de como resolvê-las.

Esse caminho foi apenas parcial para que o estudante pudesse ser induzido a dar

continuidade nos itens a e b, apresentados pela figura 14.

No item a, pede-se para resolver as integrais do primeiro e do segundo membros da

equação ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥. No item b, os resultados dos dois membros são igualados para dar

solução à Equação Diferencial.

92

FIGURA 14 – Atividade informatizada 1 – Questão 8

Fonte: Dados da pesquisa.

Para finalizar a atividade, a última questão exibia um suporte teórico sobre a Equação

Diferencial que envolvia uma população dada pela Lei de Malthus no século XIX.

Essa questão fechava a atividade, pois dava continuidade em todo o raciocínio

trabalhado em volta da variação de uma população com o passar de um tempo t.

A questão pedia para que essa Equação Diferencial Ordinária fosse resolvida utilizando

os mesmos passos e conceitos trabalhados anteriormente, encontrando uma população P em

função de um tempo t. Além disso, eram dados valores numéricos para substituir os parâmetros

dessa solução, como apresentado na figura 15.

FIGURA 15 – Atividade informatizada 1 – Questão 9

Fonte: Dados da pesquisa.

93

5.4.2 Atividade Informatizada 2

Ao término da atividade 1, o aplicativo dava continuidade ao trabalho seguindo para a

atividade 2, a qual apresentava quatro questões, todas elas envolvidas com a ideia de

crescimento populacional. Porém, estão relacionadas com a teoria de Vehulst sobre a limitação

de uma população de acordo com o meio em que ele está inserida.

Em todas as questões há um suporte teórico que introduz a teoria de Vehulst sobre o

crescimento populacional apresentada na forma de uma Equação Diferencial:

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑀 − 𝑃). (17)

Na questão 1, o estudante era desafiado a resolver essa equação, utilizando os

conhecimentos adquiridos com a atividade 1 desde a identificação das variáveis até a resolução

de uma Equação Diferencial Ordinária (FIGURA 16).

FIGURA 16 – Atividade informatizada 2 – Questão 1

Fonte: Dados da pesquisa.

Já a questão 2, com base na resposta da questão1, eram disponibilizados valores, os

quais determinavam que a população inicial era 20, para que uma solução particular da equação

seja construída. (FIGURA 17)

Apesar de a questão pedir que a população P fosse escrita em função de k, M e t, apenas

t (tempo) era uma variável, pois M era a população limite e k uma constante que dependia das

94

condições em que a população se encontra.

FIGURA 17 – Atividade informatizada 2 – Questão 2

Fonte: Dados da pesquisa.

Na questão 3 era requisitado o limite da população P, de acordo com os valores

apresentados na questão anterior, quando o tempo t tende ao infinito.

Esperava-se que fosse consolidado o conceito de limite, assim como compreendido que

a constante M referia-se ao limite superior da população P.

95

FIGURA 18 – Atividade informatizada 2 – Questão 3

Fonte: Dados da pesquisa.

A última questão da atividade 2, apresentava um problema de valor de contorno no qual

a população inicial era de 50 milhões, crescendo a uma taxa de 750 000 pessoas por ano e que

após 55 anos essa população passaria a ser o dobro.

Esperava-se que o estudante utilizasse o limite determinado na questão anterior para

encontrar a população limite M, como mostra a figura 19.

FIGURA 19 – Atividade informatizada 2 – Questão 4

Fonte: Dados da pesquisa.

96

5.4.3 Atividade Informatizada 3

A atividade 3 apresentava cinco questões que tinham como objetivo retomar alguns

conceitos introduzidos principalmente na atividade 1, como identificação de variáveis,

interdependência de variáveis, transcrição da linguagem literal para a linguagem simbólica

matemática, resolução de uma Equação Diferencial Ordinária, determinação de uma solução

particular de acordo com um problema.

A questão 1 elaborava um fenômeno físico relacionando uma temperatura T em função

de um tempo t. O estudante era requisitado a traduzir a linguagem literal apresentada, a fim de

obter as variáveis, assim como a sua interdependência (FIGURA 20):

97

FIGURA 20 – Atividade informatizada 3 – Questão 1

Fonte: Dados da pesquisa.

Assim como na questão anterior, o estudante era desafiado a obter respostas a partir das

informações provenientes da linguagem verbal.

Já na questão 2, era apresentada a Lei de Newton sobre o resfriamento, aquecimento de

um corpo com o passar de um tempo t. Porém, o objetivo era escrever a taxa de variação da

temperatura em função do tempo e, logo após, assinalar a Equação Diferencial que melhor

representasse o fenômeno térmico (FIGURA 21).

98

FIGURA 21 – Atividade informatizada 3 – Questão 2

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 3 (FIGURA 22) solicitava que o estudante resolvesse a Equação Diferencial

Ordinária assinalada na questão anterior, escrevendo a solução geral da temperatura T em

função do tempo t, considerando a temperatura ambiente TA igual a 25°C.

99

FIGURA 22 – Atividade informatizada 3 – Questão 3

Fonte: Dados da pesquisa.

Na questão 4, um problema de valor de contorno de resfriamento de um corpo era

discutido, mantendo a temperatura ambiente definida na questão anterior. Ainda eram

determinadas a temperatura inicial do corpo de 37°C e a temperatura do mesmo corpo de 31°C

após 1 minuto.

O objetivo era escrever uma solução particular de acordo com a solução geral

determinada na questão anterior (FIGURA 23).

100

FIGURA 23 – Atividade informatizada 3 – Questão 4

Fonte: Dados da pesquisa.

A questão 5 era dividida em duas partes, sendo ambas de interpretação gráfica referente

à solução da questão 4.

A primeira parte relacionava graficamente a temperatura T (eixo vertical) com o tempo

t (eixo horizontal) e espera-se que o estudante entendesse que, mesmo que o corpo esteja

sofrendo um resfriamento, há um limite para a sua temperatura que é a ambiente.

A segunda parte relacionava graficamente a taxa de variação 𝑑𝑇

𝑑𝑡 (eixo vertical) com a

temperatura T (eixo horizontal) e esperava-se que o estudante entendesse que a relação entre

essas duas grandezas é linear.

O estudo com gráficos, incluindo a sua relação com as equações e expressões algébricas,

repercutiu quase que diretamente em um bom entendimento das leis físicas que permeavam a

integração dessa ciência com a Matemática. Pensando dessa maneira, as análises de gráficos

não poderiam deixar de ser exploradas nesta pesquisa, principalmente quando se trata da

possibilidade de informatizar esses gráficos, causando uma maior interação entre os estudantes.

Borba e Penteado (2010), vão ao encontro desse pensamento, defendendo que o estudo com

gráficos ganham força quando há a possibilidade de auxílio por meio de recursos

computacionais.

101

FIGURA 24 – Atividade informatizada 3 – Questão 5

Fonte: Dados da pesquisa.

102

5.4.4 Considerações sobre as atividades informatizadas

Pôde-se averiguar que as atividades informatizadas serviram de apoio e sugestão para

um curso que tivesse necessidade da utilização de Equações Diferenciais Ordinárias, seja para

a introdução à disciplina de Equações Diferenciais ou para a retomada desse conteúdo em

alguma outra disciplina que fizesse uso delas.

Porém, de acordo com Rodrigues; Souza Júnior e Lopes (2007), a tecnologia por si

mesma, seja sozinha ou acompanhada por elementos contrastantes ao uso da mesma, não leva

a uma melhoria no ensino-aprendizagem. Dessa maneira, o Caderno de Atividades em conjunto

com o EDOCA são complementares um ao outro, já que individualmente perde-se o significado

de utilização.

103

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante o desenvolvimento da pesquisa, a construção do ambiente de aprendizagem e

das atividades foi convergida a fim de auxiliar professores em formação continuada que

almejam conquistar ou retomar conhecimentos provenientes do conteúdo de Equações

Diferenciais Ordinárias. Para tanto, conceitos básicos de cálculo, assim como conceitos iniciais

de Equações Diferenciais foram retratados nas atividades desenvolvidas nesta pesquisa.

Dessa maneira, à luz da teoria de Zabala (1998) em relação às sequências didáticas,

foram construídas atividades com perspectivas algébrica, geométrica, numérica e verbal

inseridas nesse meio conceitual para que a retomada de conteúdo pudesse ser a mais abrangente

possível.

Apesar do desenvolvimento com o enfoque em formação continuada de professores de

Matemática, o EDOCA, atividade informatizada como produto dessa pesquisa, tem

competência, também, para ser utilizado em cursos de graduação que façam uso do conteúdo

de Equações Diferenciais.

Observa-se que a sequência de atividades contribuiu consideravelmente para o ensino e

aprendizagem das EDO, pois, além dos resultados obtidos, o empenho e comprometimento dos

participantes, com seus comentários e questionamentos, auxiliaram no aprimoramento das

atividades e mostraram caminhos que antes não haviam sido visualizados. Assim, o terceiro

objetivo especifico dessa pesquisa foi alcançado, visto que havia necessidade de analisar, a

partir do acompanhamento e da observação, a participação dos sujeitos da pesquisa no ambiente

didático proposto.

Dos professores/estudantes participantes, muitos assumiram que não se lembravam ou

nem mesmo conheciam conceitos relativos às EDO. Da mesma maneira, os mesmos apontaram

que as atividades tiveram bastante fluidez, fazendo-os relembrar (ou aprender) algo que parecia

aparentemente inalcançável. Isso mostra que o Caderno de Atividades surtiu o efeito esperado,

despertando o gosto e a necessidade do aprendizado em Equações Diferenciais.

Os professores/estudantes participantes mostraram que o reconhecimento de variáveis

em uma sentença é importante para que seja equacionada, da mesma forma que a transição da

linguagem literal para a linguagem simbólica matemática.

Um dos questionamentos iniciais da pesquisa foi a “falta de conhecimentos” básicos

relativos ao campo de Equações Diferenciais. Relativamente, essa resposta foi obtida por meio

das resoluções das atividades. Em sua grande maioria, os professores/estudantes não

demonstraram domínio, principalmente na sistematização dos processos, tanto de transição das

104

linguagens literal e matemática como na resolução das próprias equações.

Foi observado, também, que alguns conceitos de Cálculo Diferencial e Integral não

estavam muito bem definidos ou estavam completamente esquecidos. Dessa maneira, a

atividade 1, na visão dos professores/estudantes serviu como um ótimo meio para relembrar,

revisar e/ou entender esses conceitos.

Com o passar das atividades, muitos desses sujeitos da pesquisa apresentaram sugestões

de melhoria para a própria atividade, que foram recebidas com satisfação pelo pesquisador. Da

mesma maneira, na medida do possível, foi requisitada a presença do pesquisador em alguns

momentos para auxiliar no conteúdo das atividades. As respostas foram dadas com mais

questionamentos, a fim de direcionar os professores/estudantes às respostas, mantendo o

pesquisador em uma posição de mediador. Assim, o segundo objetivo específico foi

conquistado, utilizando o ambiente de aprendizagem em questão para dar e receber

contribuições dos sujeitos da pesquisa, além da sociedade de uma forma geral, pois, de acordo

com Bicudo (1993), um trabalho de pesquisa deve trazer contribuição para a sociedade

acadêmica e civil, pois pesquisar significa “perseguir uma interrogação (problema, pergunta)

de modo rigoroso, sistemático, sempre, sempre andando em torno dela, buscando todas as

dimensões... qualquer que seja a concepção de pesquisa assumida pelo pesquisador” (BICUDO,

1993, p. 18-19).

Porém, apesar de todo o esforço e comprometimento dos participantes, ficou claro para

eles que as atividades foram apenas um pequeno degrau para aqueles que, por meio da

continuidade de estudos, desejam ingressar no magistério superior como professores

universitários. Para aqueles que já o eram, o sentimento foi de que havia necessidade da busca

pela melhoria do próprio aprendizado para que houvesse, consequentemente, melhoria no seu

ensino. Tudo isso mostra que a pergunta norteadora da pesquisa foi alcançada: “em que medida

um ambiente destinado ao estudo introdutório de Equações Diferenciais, organizado e

explorado didaticamente, oportuniza a um grupo de professores em formação elaborarem e

expressarem saberes, conhecimentos e atitudes?”

Portanto, essa foi uma pesquisa que esteve inserida no Projeto vinculado ao

GRUPIMEM/PINEM, satisfazendo um dos seus objetivos: a construção de um Objeto de

Aprendizagem. Além disso, o subgrupo de estudos para o Ensino Superior também foi atendido,

dado que a atual pesquisa foi produzida com ênfase na aprendizagem para esse nível de ensino.

De forma geral, espera-se que a contribuição para esse grupo de professores tenha sido

realmente satisfatória e que a busca por conhecimentos não lembrados ou nunca vistos faça

105

parte de suas contínuas formações.

Espera-se, também, que as atividades em conjunto com o recurso didático informatizado

desenvolvido, o EDOCA, desperte a continuidade e o interesse de outros professores em

formação.

Como professor, pode-se afirmar ter havido significativa contribuição para o

pesquisador, já que este não é isento da constante busca pelo aperfeiçoamento e atualização de

sua formação profissional. A recente pesquisa o fez crescer em sua prática e com olhares

pedagogicamente diferenciados dos que havia anteriormente.

De forma geral, o pesquisador sentiu-se como um investigador, respondendo perguntas

e angústias provenientes desde a sua graduação. Além disso, o pesquisador considera-se um

professor melhor do que era quando ingressou no curso de Pós-graduação da PUC Minas. Por

outro lado, mais perguntas e questionamentos foram criados promovendo sentimentos e desejos

de realizar mais pesquisas.

106

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ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 9.ed. São Paulo:

Cengage Learning, 2011.

109

APÊNDICE – PRODUTO DA PESQUISA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM

INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

César de Oliveira Almeida

Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2015

110

César de Oliveira Almeida

CADERNO DE ATIVIDADES

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM

INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Produto construído durante a realização de pesquisa, apresentado ao Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção

do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Área de concentração: Matemática

Belo Horizonte

2015

111

INTRODUÇÃO

Esta obra é o produto da dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, cujo título é “Um Ambiente de Aprendizagem

para Abordagem Introdutória de Equações Diferenciais”, realizada nos anos de 2014 e 2015.

Este caderno surgiu da inquietação e necessidade de estimular o estudo e o interesse pela

importância das Equações Diferenciais para o mundo.

O objetivo principal aqui proposto é estimular os alunos e professores no aprendizado

e ensino de Equações Diferenciais que fujam da memorização e convirjam para o entendimento

das mesmas como necessária para a resolução de problemas físicos, químicos, biológicos e

áreas afins à matemática ou que de alguma maneira façam uso dela.

Assim, propõe-se através deste caderno desenvolver algumas estratégias que

estimulem a resolução de Equações Diferenciais por meio da resolução de problemas, desde

conceitos básicos, porém necessários, do Cálculo Diferencial e Integral como interdependência

de variáveis, análises de gráficos, limite de uma expressão algébrica, transição da linguagem

literal para a matemática, até conceitos e conteúdos mais elaborados como escrita e

compreensão de uma Equação Diferencial Ordinária e resolução de uma Equação Diferencial

Ordinária separável.

A estrutura deste caderno consiste em três capítulos contendo teorias e atividades que

buscam desenvolver o raciocínio e compreensão que envolvam problemas que façam uso de

Equações Diferenciais. O Caderno pode ser utilizado tanto por professores que queiram fazer a

introdução em uma disciplina de Equações Diferenciais ou relembrar esse assunto, como

também para estudantes que almejam aprimorar seus conhecimentos nessa área. Ao final,

encontram-se as resoluções de todas as atividades.

Em conjunto com o Caderno também é disponibilizado o software EDOCA, que,

também como produto dessa dissertação, serve de apoio às atividades aqui propostas.

Bons estudos!

Os autores

112

ATIVIDADE 1 – Crescimento Populacional

Objetivos

a) Explorar a função como dependência entre variáveis;

b) Explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica;

c) Resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral;

d) Introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis;

e) Apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar à representação

gráfica (família de curvas);

f) Apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições

iniciais;

g) Desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece a Lei de

Malthus, registrando todos os procedimentos e identificando os procedimentos,

conforme objetivado nos itens anteriores.

Introdução

Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), segundo Stewart, é uma expressão matemática que descreve

uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão vê-se dois tipos de variáveis: x e 𝑦.

Cada valor de 𝑦 depende diretamente ou não de cada valor de 𝑥. Dessa maneira, a variável 𝑦 é

chamada de dependente, enquanto que 𝑥 é a independente ou livre. Porém, é importante ter em

mente que em outras situações e funções as variáveis podem ser escritas com outras letras por

uma questão de melhor aproximação ou adaptação.

As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a

característica de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em

cada caso ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce

influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda,

com precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores

explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável

independente.

113

1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal.

a) Quais as variáveis

independente e dependente no fenômeno enunciado?

Dependente: ____ Independente: ____

b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática: _______

c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), como você

a transcreveria em linguagem verbal?

Linguagem verbal:

2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em

relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações. Pois, é por meio

deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando 𝑦 = 𝑓(𝑥),

quando se escreve 𝑓(4) = 2 quer-se dizer que “quando 𝑥 = 4 o resultado ou imagem

encontrado será 𝑦 = 2”. Com esse pensamento, considerando o fenômeno apresentado no

início da questão 1, explique com suas palavras o significado de 𝑃(0) = 5600 e 𝑃(4) =

8000, considerando t em anos.

P(0) = 5600 _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

P(4) = 8000 _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de uma

forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter: 𝑃(8) = 10400,

𝑃(12) = 12800, 𝑃(16) = 15200, ...

Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo

ilimitado? Justifique a sua resposta.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Uma população P sendo observada em função de um tempo t.

114

4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer ao

longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê de você

ter escolhido construir tal gráfico.

5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor

numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra ∆ seguido da letra

que representa a variável. Por exemplo, na Física, ∆𝑣 pode representar a variação de

velocidade de um corpo.

Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada população

de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: 𝑃(7) = 15000 e 𝑃(10) =

12400. Então, diz-se que: para um incremento de tempo ∆𝑡 = _____ tem-se um incremento

populacional ∆𝑃 = _________. (complete os espaços em branco)

6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física,

entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da distância

percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elemento da questão 5, qual a

taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é positiva ou negativa? Dê

uma possível explicação para tal característica.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

115

7. Considere 𝑇𝑚 como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na

questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa média

populacional.

8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com

𝑇𝑚 =𝑃(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑃(𝑡)

∆𝑡

As duas são equivalentes? Explique porque.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

9. a) Considere a variável em um certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico

para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.

b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine ∆𝑡 diminuindo,

e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz ∆𝑡 tender para o valor _____ (complete),

e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de velocidade ou variação

instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva matematicamente a expressão da

questão 8 incorporada com esse movimento do ∆𝑡.

116

c) Para uma tradicional função matemática 𝑦 = 𝑓(𝑥), são símbolos da primeira derivada:

𝑦′; 𝑓′(𝑥); 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a variável

_____________ e no denominador a variável _______________ (complete).

d) Escreva, para 𝑦 = 𝑓(𝑥), os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta, utilizando

as três notações do item c.

e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.

10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas

derivadas. Essa equações são chamadas de Equações Diferenciais.

Exemplos:

2𝑥 − 𝑦′ = 0

3𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦2 = 0

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 2𝑃

𝑦′′ − 3𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Um tipo dessas equações bastante simples de serem resolvidas são as EQUAÇÕES DE

VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥 = 0

Para resolver esse tipo de equação devemos fazer como a própria classificação diz: separar

as variáveis.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 → 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥

Com os fatores de integração 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 separados pode-se integrar em ambos os membros

da equação para obter-se a solução.

117

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥

a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo membro.

(OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.)

Observe que basta adicionar uma única constante “C” no segundo membro. A solução

dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da

_______________________. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma

______________________, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de

Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.

b) Na solução geral do item a substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes.

Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo.

c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. Cada uma dessas curvas é

uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente. Acima

temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são soluções da

equação.

118

Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano

cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial. Em

cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação Diferencial.

Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO, permitindo visualizar

“silhuetas” ou formato gráfico das curvas da família, conforme o quadro gráfico a seguir.

d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2, 4),

C(-1, 1) e D(-2, 4).

e) Nos pontos do item d use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses quatro

pontos dados.

Quando quer-se determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis,

constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo nesses caso é

determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o valor

da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução particular para

as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em 10-a.

iii) Para x = 1 tem-se y = 2

iv) 𝑓(3) = 1.

119

11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de uma

população com o passar de um tempo obedece a lei de Malthus (1803).

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃

Onde P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade.

Em linguagem verbal essa equação significa um fenômeno em que: “a taxa de variação

(𝒅𝑷

𝒅𝒕) de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional (k vezes) ao

tamanho daquela população”.

Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis. Há casos em que isso

não será possível e recorre-se a outros processos. Mas, no caso:

𝑑𝑃

𝑃= 𝑘𝑑𝑡

a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10 para obter a solução geral dessa Equação

Diferencial.

b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após uma

hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa situação,

usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a.

120

c) Esboce o gráfico que representa a situação acima.

d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c, mais duas curvas para uma mesma

população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempo diferentes.

Utilize o quadro abaixo para eventuais cálculos, caso necessário.

e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem exponencialmente e

de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado matematicamente pela lei de Malthus).

Mas, é possível manter na vida real essa tendência por um tempo ilimitado? Explique.

OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a lei de Malthus, adaptando-a à realidade.

Isso será abordado a frente.

121

AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS

(Resolva-as em folha separada)

1) Inicialmente, vá em Stewart (6ª edição), página 363, e copie o Teorema Fundamental do

Cálculo.

2) Usando o conceito de antiderivada e mostre que:

d) ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑐 (se precisar, consulte Stewart)

e) ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝑐

f) ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐

3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥3,0

0,0

Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área.

Escreva resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral e o

conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart)

4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo.

d) 𝑒5𝑥 − 𝑦′ = 0 (ver página 378, exemplo 4)

e) 𝑦′ − 𝑥3 cos(𝑥4 + 2) = 0 (ver página 377, exemplo 1)

(𝑥2 − 4)𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 = 0 (ver página 449, exemplo 3)

122

ATIVIDADE 2 – Modelo Logístico

Objetivos

a) Retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro

modelo mais realístico mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais;

b) Desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística;

c) Mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo;

d) Representar graficamente esse modelo;

e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo.

Introdução

Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: “uma população

cresce ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante”, que se traduz

pela Equação Diferencial: dP

dt= KP

Vimos que na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um

tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional, que

foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do

crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova

equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward Penney,

pode ter a forma: dP

dt= KP(M − P).

Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator

com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do

crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M é

um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar, em

situação normal.

123

1) A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a

solução geral na forma 𝑃 = 𝑓(𝑡).

2) Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre a

solução particular escrevendo 𝑃(𝑡) em função de k, M e t.

3) Considerando a questão 2, qual o resultado para lim𝑡→∞

𝑃(𝑡)? Interprete o resultado obtido.

124

4) Vamos construir o gráfico P x t referente a expressão P(t) determinada no item anterior.

5) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão para 𝑑𝑃

𝑑𝑡.

6) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0.

7) Suponha que em 1885 a população de um certo país era de 50 milhões e estava crescendo

à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha também que em 1940 sua

população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma que

esta população satisfaça a equação logística. Determine tanto a população limite M quanto

a população prevista para o ano 2000.

125

ATIVIDADE 3 – Lei do resfriamento/aquecimento de Newton

Objetivos

a) Apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação

com as Equações Diferenciais;

b) Retomar conceitos e símbolos matemáticos que servem de base para as Equações

Diferenciais;

c) Mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em

que aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do

ambiente;

d) Representar graficamente esse modelo;

e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo;

f) Desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor

do que a do ambiente em que aquele é inserido.

Introdução

A terceira atividade procura desenvolver o entendimento da Lei de Newton do

resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que:

a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre

a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura

ambiente. Se 𝑇(𝑡) representa a temperatura de um corpo no instante 𝑡, 𝑇𝑚 a

temperatura do meio que o rodeia e 𝑑𝑇

𝑑𝑡 a taxa segundo a qual a temperatura do corpo

varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença

matemática2

𝑑𝑇

𝑑𝑡∝ 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑜𝑢

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)

2 ZILL, Dennis G., 2011, p.22.

126

1. Observe o fenômeno a seguir.

Uma substância a uma temperatura T

variando ao passar de um tempo t.

a) Quais as varáveis do fenômeno descrito acima?

b) Destas duas variáveis qual é a dependente e qual é a independente?

Dependente: _____ Independente: _____

2. A lei de Newton diz que: “a velocidade de resfriamento/aquecimento da temperatura T de

um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente, é proporcional à diferença

entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA”.

a) Circule a(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade (variação) de

uma temperatura T em um tempo t?

b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito no início da

questão 2 (lei de Newton).

c) Com base na equação descrita acima, responda:

(iii) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo? _____

(iv) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma temperatura

diferente da sua?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada na

questão 2-b, substituindo a temperatura ambiente por 25°C.

𝑑𝑇

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑇

dT - dt ∆𝑇

∆𝑡

𝑑2𝑇

𝑑𝑡2

127

4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37°C. Se após 1 minuto a

temperatura passa a ser de 31°C, determine a solução particular. OBS: procure substituir

os valores citados na solução geral determinada na questão 3.

5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa?

Justifique.

128

Justificativa

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um corpo.

Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação 4) tem-se a

equação

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −0,6931(𝑇 − 25)

Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial.

Justificativa

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

129

7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o

comportamento de um corpo que sua temperatura inicial fosse menor do que a temperatura

ambiente.

130

ATIVIDADE 4 – Estudo informatizado

Em consonância com as atividades apresentadas nesse bloco de atividades, há um

software denominado EDOCA – Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo.

Esse software foi construído com o objetivo de informatizar as atividades do bloco,

agindo como suporte para estudos mais dinâmicos e que produzam respostas instantâneas.

Na tela inicial é possível inserir o email do estudante e do professor para que as

respostas das questões sejam enviadas para ambos. Assim como também há a possibilidade de

que o estudante, ao finalizar o estudo, salve suas respostas na máquina em que estiver realizando

as atividades.

131

Na guia arquivos, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades.

Basta que uma questão de alguma atividade seja selecionada de acordo com a necessidade.

A maioria das atividades concede um suporte teórico em que o estudante pode

consultar sem perder a essência de uma atividade que testa os conhecimentos. O suporte teórico

sempre aparece no lado direito da tela, enquanto que as questão estarão no lado esquerdo.

132

SOLUÇÕES DAS QUESTÕES DAS ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

1. a) dependente: P; independente: t.

b) 𝑃 = 𝑓(𝑡)

c) Uma variável dependente y está em função de uma variável independente x. Ou uma

quantidade y varia de acordo com uma quantidade x.

2. a) No tempo t = 0 (inicial), a população é de 5600 habitantes.

b) No tempo t = 4, a população é de 8000 habitantes. Ou após 4 anos, a população passou

a ser de 8000 habitantes.

3. Não. Uma população não cresce ilimitadamente por vários motivos. Esses motivos

podem ser desde limitações espaciais a limitadores biológicos como doenças.

4. Um possível gráfico é quando uma população por um determinado tempo cresce de

maneira exponencial. Muitas populações antes de se depararem com algum limite

crescem dessa maneira. Porém, isso não significa que seja o único gráfico ou um gráfico

determinante para essa questão, já que uma população pode também ser representada

de forma decrescente dependendo da situação.

5. ∆𝑡 = 3 e ∆𝑃 = −2600

6. Taxa média = ∆𝑃

∆𝑡= −

2600

3= −866,67. A taxa é negativa, logo isso significa que nesse

intervalo de tempo houve decrescimento do número de indivíduos dessa população.

7. 𝑇𝑚 =∆𝑃

∆𝑡=

𝑃2−𝑃1

𝑡2−𝑡1

8. Sim. Observa-se que ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 → 𝑡2 = ∆𝑡 + 𝑡1. Logo, 𝑃(𝑡2) = 𝑃(∆𝑡 + 𝑡1). Então,

usando a notação descrita na questão7, tem-se,

𝑇𝑚 =∆𝑃

∆𝑡=

𝑃(𝑡2) − 𝑃(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1=

𝑃(∆𝑡 + 𝑡1) − 𝑃(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1

Logo, é possível verificar que as duas expressões são equivalentes se houve uma

mudança de variável de 𝑡1 para 𝑡.

133

9. a)

b) 0 (zero).

lim∆𝑡→0

𝑇𝑚 = lim∆𝑡→0

𝑃(∆𝑡 + 𝑡) − 𝑃(𝑡)

∆𝑡

c) Dependente. Independente.

d) 𝑦′′; 𝑓′′(𝑥);𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 . 𝑦′′′; 𝑓′′′(𝑥);𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 . 𝑦(4); 𝑓(4)(𝑥);𝑑4𝑦

𝑑𝑥4.

e) lim∆𝑡→0

𝑃(∆𝑡+𝑡)−𝑃(𝑡)

∆𝑡= 𝑃′ = 𝑃′(𝑡) =

𝑑𝑃

𝑑𝑡

10. a) ∫ 𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝐶1. ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶2. 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶. Equação Diferencial. Solução.

b)

d)

134

e)

f) (i) 𝑦 = 𝑥2 + 1; (ii) 𝑦 = 𝑥2 − 8.

11. a) 𝑃 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que C e K são constantes

reais.

b) 𝑃(𝑡) = 10000 ∙ 2𝑡

c)

d)

e) Não, pois existem fatores externos que influenciam no crescimento de uma população

limitando-a de alguma maneira. Essa limitação pode ser dada pelo próprio espaço em

que a população está localizada como conflitos entre outras populações (predador-

presa).

135

ATIVIDADE 2

1. 𝑃(𝑡) =𝑎∙𝑀∙𝑒𝑘𝑀𝑡

𝑎∙𝑒𝑘𝑀𝑡+1=

𝑎𝑀

𝑎+𝑒−𝑘𝑀𝑡, em que a, K e M são constantes.

2. .

𝑃(𝑡) =(

20𝑀𝑀 − 20) 𝑒𝑘𝑀𝑡

(20

𝑀 − 20) 𝑒𝑘𝑀𝑡 + 1=

(20𝑀

𝑀 − 20)

(20

𝑀 − 20) + 𝑒−𝑘𝑀𝑡=

20𝑀

(𝑀 − 20)𝑒𝑘𝑀𝑡 + 1

3. lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡) = 𝑀. A constante M é o limite que uma população consegue atingir de acordo

com a Teoria de Vehulst.

4. Como 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑀 − 𝑃), então

𝑑2𝑃

𝑑𝑡2 = 𝑘𝑀 − 2𝑃. Logo, o ponto de inflexão fica em 𝑃 =𝑘𝑀

2.

5. 153,7 milhões de pessoas.

136

ATIVIDADE 3

1. a) Temperatura T e tempo t.

b) Dependente: T e independente: t.

2. a) 𝑑𝑇

𝑑𝑡

b) 𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝐴), em que k é uma constante real.

c) (i) sim. (ii) A temperatura do corpo tende a entrar em equilíbrio com a temperatura

ambiente com o passar do tempo.

3. 𝑇 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡 + 25, em que C é uma constante real.

4. 𝑇 = 12 ∙ (1

2)

𝑡

+ 25

5. O primeiro gráfico retrata melhor a situação, pois a função 𝑇 = 12 ∙ (1

2)

𝑡

+ 25 é do tipo

exponencial descente com limite inferior em T = 25°C.

6. O segundo gráfico retrata melhor a situação, pois a equação 𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−0,6931(𝑇 − 25) é do tipo linear em que -0,6931 é o coeficiente angular.

7. .

Como a temperatura do corpo é menor do que a temperatura ambiente, a sua tendência é aquecer

até atingir o equilíbrio entre as duas.

Como a velocidade de aquecimento do corpo depende da temperatura de forma diretamente

proporcional, o gráfico é um segmento de reta crescente com ponto inicial na temperatura inicial

do corpo e ponto final na temperatura ambiente.