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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC-SP Nilo Silveira Monteiro de Lima Investigações em Geometria Plana com Interfaces Digitais: Um estudo sobre Homotetia Mestrado em Educação Matemática São Paulo 2016
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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
PUC-SP
Nilo Silveira Monteiro de Lima
Investigações em Geometria Plana com Interfaces Digitais: Um estudo
sobre Homotetia
Mestrado em Educação Matemática
São Paulo
2016
Nilo Silveira Monteiro de Lima
Investigações em Geometria Plana com Interfaces Digitais: Um estudo
sobre Homotetia
Mestrado em Educação Matemática
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob orientação do
Prof. Dr. Gerson Pastre de Oliveira.
SÃO PAULO
2016
Banca Examinadora
____________________________
____________________________
____________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta Dissertação, por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: Local e Data: .
Dedico este trabalho:
Aos meus pais, Jorge e Mara, pelo imensurável esforço, carinho e confiança
incondicionais.
À minha irmã Ursula, pelo apoio incondicional, aos puxões de orelha e a força nos
momentos mais difíceis.
E aos amigos Rita, Noêmia, Jéssica, Elizabeth, Jacinto e Amari. Pelo apoio, conselhos e a
força que compartilharam comigo.
Agradeço a CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pelo
investimento em minha formação. Sem este apoio, nada disto teria sido possível.
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, e provavelmente, não há palavras suficientes para descrever a
admiração e respeito que tenho por eles, seja pelo esforço diário para a minha formação e
alcançar este ponto na minha vida, quanto pelo carinho incondicional desde sempre.
À minha irmã Ursula, que a sua maneira me dá um exemplo de vida, ao mostrar
sempre que a persistência é o maior combustível para vencer as adversidades, e que a calma e
o silêncio são nossos maiores companheiros e amigos ao longo desta e de todas as jornadas.
Aos meus tios Gontran e Angela, e meu primo Leandro pelo apoio, carinho e auxílio
na minha ambientação em São Paulo.
À minha amiga Rita Lôbo Freitas, por ter sido a mais grata das diversas surpresas ao
longo deste curso, tornando-se amiga incondicional e a maior incentivadora fora da família
para a realização desta pesquisa.
Aos grandes amigos Amari, Jacinto, Noêmia, Jéssica e Elizabeth pelos incontáveis
conselhos e apoio.
Ao Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira, que além de ter se tornado um amigo,
pela paciência infindável na orientação, pelos ensinamentos e conselhos imprescindíveis à
construção desta pesquisa.
Aos professores, colegas e funcionários do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da PUC-SP que me possibilitaram tanto aprendizado ao longo destes
anos e pelas lições que carregarei comigo por toda a vida.
Aos professores que participaram da banca de qualificação e da banca examinadora da
defesa.
Aos participantes desta pesquisa que tornaram possível colher os frutos, por meio das
suas participações, produções e contribuições, fundamentais para a pesquisa.
LIMA, N. S. M. Investigações em Geometria plana com Interfaces Digitais: Um estudo sobre
Homotetia. 2016. 118 f. Dissertação (Mestrado Acadêmico em Educação Matemática) -
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo, 2016.
RESUMO
Este estudo teve por objetivo desenvolver uma estratégia didática para uso de tecnologias em
atividades/problemas ligados à geometria plana, tendo o tema “Homotetia” como elemento
matemático principal, e a intenção de evidenciar as compreensões constituídas a partir de
pressupostos interativos no âmbito de pessoas-com-tecnologias-digitais. A pesquisa foi
realizada com um grupo de professores que cursavam mestrado na área de Educação
Matemática e empregou uma sequência de atividades que visava, a partir das manipulações
das mídias empregadas, tendo o GeoGebra como destaque, no âmbito de uma estratégia
didática, analisar o percurso pautado pela exploração de construções geométricas em meio
dinâmico. Os estudos prévios a partir da revisão bibliográfica resultaram na seguinte questão
norteadora: de que maneira se caracteriza um percurso de estudo e investigação, envolvendo
professores de Matemática da Escola Básica, acerca do tema “Homotetia” e de tópicos
matemáticos correlatos, realizado a partir de uma proposta que envolve tanto a resolução de
atividades por pessoas-com-tecnologias como o desenvolvimento de fluência em relação às
interfaces empregadas? A investigação empregou, como recursos teóricos, os constructos
relativos às tecnologias da inteligência e de seres-humanos-com-mídias, que serviram de base
para que, nas análises, ficasse evidenciado que as atividades propostas provocaram reflexões a
respeito de temas da geometria plana por parte dos sujeitos, e que houve, de fato,
reorganizações do pensamento matemático a partir da manipulação das mídias, permitindo
que o conhecimento sobre Homotetia pudesse ser discutido autonomamente.
Palavras-chave: Geometria plana; Homotetia; Seres-humanos-com-mídias; GeoGebra;
Educação matemática.
LIMA, N. S. M. Investigations in Plane Geometry with Digital Interfaces: A Study about
Dilatation. 2016. 118 p. Dissertation (Academic Masters in Mathematics Education) -
Program of Studies Pos-Graduates in Mathematics Education. Pontifical Catholic University
of São Paulo. São Paulo.
ABSTRACT
This study was aimed to develop a teaching strategy for the use of technologies in
activities/problems linked to plane geometry, with the subject "dilation" as main mathematical
principle, with the intent of highlighting the understandings formed by interactive
assumptions from the scope of humans-with-media. The research was conducted with a group
of teachers attending a master's degree in the area of mathematics education and employed a
sequence of activities aimed at analyzing the route marked by exploration of geometric
constructions in dynamic environment, from the manipulation of employed media, featuring
GeoGebra within a didactic strategy scope. Previous studies, from the bibliography review,
resulted in the following guiding question: how to characterize a trajectory of study and
research, involving Basic School Mathematics teachers, about the theme "dilation" and related
mathematical topics, conducted from a proposal that involves both the resolution of activities
by humans-with-media, as the development of fluency in relation to the used interfaces? The
research used, as theoretical resources, the constructs concerning to intelligence technologies
and humans-with-media, which provided the basis, for the analysis, in order to make it
evident that the proposed activities provoked reflections about themes of plane geometry by
the subjects, and that occurred some reorganizations of mathematical thought from media
manipulations, allowing the knowledge of dilation could be discussed autonomously.
Keywords: Plane Geometry; Dilatation; Humans-with-media; GeoGebra; Mathematics
Education.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Homotetia ( ) 'F F de centro O e razão 2 ........................................................... 27
Figura 2– Esquema de construção de um triângulo equilátero no GeoGebra .......................... 59
Figura 3- Exemplo do uso da interface de Geometria Analítica no GeoGebra ........................ 60
Figura 4- Uso da ferramenta Ângulo (1) .................................................................................. 61
Figura 5- Uso da ferramenta Ângulo (2) .................................................................................. 62
Figura 6- Primeiro ensaio da proporcionalidade ...................................................................... 68
Figura 7- Segundo ensaio da proporcionalidade ...................................................................... 68
Figura 8 - Triângulos Equiláteros ............................................................................................. 69
Figura 9– Triângulos equiláteros e casos de semelhança (com C 𝑨𝑩) ................................. 71
Figura 10– Ensaio da primeira etapa do Item c do participante P4 .......................................... 72
Figura 11– Triângulos equiláteros e relação de proporcionalidade .......................................... 73
Figura 12– Triângulo de mesma área não equilátero ............................................................... 75
Figura 13- Exemplo de P6– item C2 ........................................................................................ 76
Figura 14- Homotetia ............................................................................................................... 80
Figura 15– Item c da primeira construção do bloco 2 .............................................................. 86
Figura 16– Itens b e c de P5 ..................................................................................................... 87
Figura 17– Itens b e c de P7 ..................................................................................................... 88
Figura 18– Proposta para a segunda construção, bloco 2 ......................................................... 90
Figura 19– Produção de P5- segunda construção, bloco 2 ....................................................... 91
Figura 20– Produção de P7- segunda construção, bloco 2 ....................................................... 91
Figura 21– Proposta para a terceira construção, bloco 2 .......................................................... 94
Figura 22– Resolução de P5 ..................................................................................................... 95
Figura 23– Resolução de P7 ..................................................................................................... 95
Figura 24– Uma proposta para a primeira construção, bloco 3 .............................................. 107
Figura 25– Proposta para a terceira construção, bloco 3 ........................................................ 109
Figura 26- Exemplos de deduções .......................................................................................... 111
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 13
Capítulo 1 ................................................................................................................................. 21
Considerações sobre o tema matemático .................................................................................. 21
1.1 Perspectiva histórica ....................................................................................................... 21
1.2 A noção de semelhança e de Homotetia: tópicos e teoremas correlatos......................... 23
1.3 Teorema Fundamental da Proporcionalidade ................................................................. 25
1.4 Teorema de Semelhança LLL ......................................................................................... 28
1.5 Teorema de Semelhança AAA........................................................................................ 28
1.6 Teorema de Semelhança LAL ........................................................................................ 29
1.7 Semelhança nos Triângulos Retângulos ......................................................................... 29
Capítulo 2 ................................................................................................................................. 30
Referencial Teórico .................................................................................................................. 30
2.1 Tecnologias e produção do conhecimento ................................................................. 30
2.2 Seres-Humanos-com-mídias ...................................................................................... 33
2.3 Fluência em interfaces digitais e um ciclo de formação ............................................ 39
2.4 Um overview sobre trabalhos correlatos .................................................................... 42
Capítulo 3 ................................................................................................................................. 46
Aportes Metodológicos ............................................................................................................ 46
3.1 Modalidade de pesquisa ............................................................................................. 46
3.2 Descrições dos sujeitos .............................................................................................. 46
3.3 O ambiente virtual de aprendizagem Moodle ............................................................ 48
3.4 O Software GeoGebra ................................................................................................ 49
3.5 Descrição dos instrumentos de coleta dos dados ....................................................... 50
3.6 Estrutura do curso ...................................................................................................... 50
3.6.1 Objetivos e resultados ................................................................................................ 51
3.6.2 Tópicos e roteiro do curso ......................................................................................... 52
3.7 Como os autores/teorias serão empregados na análise (categorias de análise) ......... 52
Capítulo 4 ................................................................................................................................. 54
Descrições e análises ................................................................................................................ 54
4.1 Análises descritivas das atividades da pesquisa ............................................................. 54
4.1.1 Bloco 1: Atividades de fluência e o teorema fundamental da proporcionalidade ....... 55
4.1.1.1 Análise do ponto de vista didático ........................................................................ 56
4.1.1.2 Análise do ponto de vista matemático................................................................... 56
4.1.1.3 Resultado esperado ................................................................................................ 56
4.1.1.4 Primeira construção ............................................................................................... 57
4.1.1.5 Segunda construção ............................................................................................... 63
4.1.1.6 Terceira construção: A noção da proporcionalidade ............................................. 66
4.1.2 Bloco 2: Proporcionalidade, Homotetia e relações com os casos de semelhança de
triângulos .............................................................................................................................. 76
4.1.2.1 Análise do ponto de vista didático ........................................................................ 76
4.1.2.2 Análise do ponto de vista matemático................................................................... 77
4.1.2.3 Resultado esperado ................................................................................................ 78
4.1.2.4 Primeira construção: retomando as investigações ................................................. 79
4.1.2.5 Segunda construção: Homotetia e a relação da Semelhança nos triângulos ......... 88
4.1.2.6 Terceira Construção .............................................................................................. 92
Considerações Finais ................................................................................................................ 97
Referências Bibliográficas ...................................................................................................... 103
Apêndices ............................................................................................................................... 106
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INTRODUÇÃO
Ainda que não seja o elemento estruturante de uma iniciativa de pesquisa, as
motivações do investigador têm sua importância. No mínimo, permitem compreender com
alguma profundidade os elementos que, como é o caso, fizeram surgir o pesquisador a partir
do docente.
Neste sentido, trazendo à tona os elementos motivadores dessa pesquisa, enquanto
docente, minha primeira inquietação se revela no meu objetivo principal ao entrar em sala de
aula, que é ensinar Matemática aos meus estudantes de modo que eles, primeiramente, se
sintam suficientemente instigados a participar das dinâmicas que estarão em curso; que eles,
motivados por esse interesse, participem e, pouco a pouco, interajam com os colegas nesse
processo, discutindo e modificando suas concepções do que está em debate; que se habituem à
linguagem matemática e aprendam-na, e, após essa vivência inicial, sejam capazes de
compreender e se expressar por meio dessa linguagem, adaptando, se necessário, esse saber
matemático formalizado às suas necessidades de modo a estender seu alcance a outros
contextos, estimulando pouco a pouco sua autonomia.
Outra inquietação, desde a época da minha Licenciatura em Matemática, é
representada por aprender formas distintas às usuais de ensino, tais como as chamadas
tecnologias de informação e comunicação (TIC), em seu formato digital. Uma primeira
percepção indica que tais tecnologias, quando aplicadas em percursos de resolução de
problemas matemáticos, poderiam auxiliar a desenvolver estratégias de estudo diferenciadas
em relação às práticas tradicionais.
Entretanto, minha experiência não contemplou este aspecto, já que o processo
formativo pelo qual passei como estudante universitário, ocorrido na primeira década do
século XXI em um curso voltado à formação de docentes, articulava de maneira tímida os
saberes específicos aos recursos tecnológicos disponíveis, repetindo grande parte das técnicas
clássicas de ensino que envolviam apenas a transmissão de conceitos e a resolução de
exaustivas listas de exercícios.
Todo este processo pedagógico, por assim dizer, permanecia direcionado à
memorização e à execução de tarefas lineares do currículo proposto. Claramente, o objetivo
era o de prover a aprendizagem de conceitos matemáticos por meio de algoritmos que eram
aplicados nos percursos de resolução. Nas aulas de Geometria, em particular, tanto no ensino
superior como em toda minha trajetória como aluno desde o ensino básico, a massificação dos
exercícios e a obsessão por algoritmos predominou. Mais tarde, como docente de escolas
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públicas, percebi que as mesmas dificuldades repercutiam tanto na prática quanto na
aprendizagem de meus alunos, apenas confirmando a contradição que é tratar a Geometria
Euclidiana de maneira essencialmente algébrica ou aritmética, procedimento a partir do qual
se deixa de lado a exploração e a elaboração de uma lógica de argumentos que validem o que
está em jogo por meio de percursos que estimulem a construção e a manipulação dos objetos
desse campo da Matemática.
Desta forma, ao escolher um público alvo para esta investigação, colocam-se estas
convicções, estudos e esforços em ação e à prova para que, como indicado por Costa e Lins
(2010). Assim, a expectativa desde o início da trajetória no Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, foi a de que os sujeitos da pesquisa ora
apresentada, docentes/pesquisadores em formação continuada, pudessem, ao mobilizar a
tecnologia para ensinar, ao mesmo tempo repensar a prática a qual foram submetidos, bem
como outras que poderiam utilizar com seus alunos:
Nesse sentido, é importante que a formação de docente, em sua fase inicial e
continuada, proporcione situações em que os docentes sejam levados a investigar
novas alternativas de trabalho com o uso de tecnologia em sala de aula, no sentido
de aproximar as concepções construídas no campo teórico com experiências
vivenciadas na prática. (Costa e Lins, 2010, p. 456).
Entretanto, não se pode pensar em uma concepção que encare o uso de tecnologias
digitais – e softwares desenvolvidos com a finalidade de apoiar processos de ensino de
Matemática, em particular – como elementos autônomos e suficientes quando se trata de
encaminhar uma proposta que vise proporcionar ambientes dinâmicos de aprendizagem.
Semelhante intenção não prescinde de estratégia, planejamento, intencionalidade. Além disso,
os saberes dos professores são essenciais, tanto no que se refere aos temas matemáticos em
foco em suas aulas, quanto às tecnologias empregadas. Assim, processos de ensino que desta
forma se constituem pedem o desenvolvimento de fluência em relação às interfaces
mediadoras, a qual, por sua vez, pode encaminhar formas de pensar, elaborar temas de estudo
e desenvolver estratégias em integração com tecnologias. Um ciclo, portanto, encaminhado a
partir da fluência (Oliveira, 2013).
Em relação às tecnologias sobre as quais se desenvolve a mencionada fluência, há
autores que advogam que sua apropriação encaminha uma reorganização do pensamento, ao
ponto de que se constitua, na construção do conhecimento, um coletivo de seres-humanos-
com-mídias, no sentido de reivindicar, para as tecnologias, o papel de parceiras no processo
(Borba e Villarreal, 2005). Assim, na perspectiva da investigação que aqui se apresenta, serão
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os sujeitos vistos como pessoas-com-tecnologias-digitais, coletivos indissociáveis do processo
de aprendizagem, na construção da própria trajetória em relação à apropriação cognitiva dos
saberes em discussão.
Outra inquietação relevante se refere aos percursos de formação constituídos por
aqueles que militam no ensino de Matemática para a escola básica, geralmente marcados por
reproduções/repetições dos elementos empregados nos processos de ensino. Freire (2001)
chamou de “educação bancária” àquela proposta calcada na fala do professor, em sua posição
de detentor do conhecimento e em seus roteiros consolidados. Ao aluno, mesmo o de
licenciatura, neste caso, restaria tomar para si, de forma acrítica, os esquemas constituídos
pelas instruções professorais, o que concorre para sufocar a criatividade e a autonomia de
quem aprende. Assim,
Os melhores professores, nesta concepção, são os que mais abundantemente
transmitem os conteúdos que devem ser mecanicamente memorizados, enquanto que
os alunos mais eficientes são os que mais docilmente se deixam domesticar no
processo, reproduzindo integralmente o que lhes é transmitido. Quando adequados
aos ajustamentos externos propostos para efetivar a submissão, os estudantes
acabam premiados nos processos avaliativos. Ou seja, a adaptação ao modelo
pedagógico é muito mais responsável pelo eventual êxito do que o conhecimento em
si. Nesta lógica, os resultados das avaliações acabam por mostrar cenários
distorcidos, porque todas as vantagens permanecem do lado daqueles que são
especialistas em decorar, em “copiar-e-colar” (OLIVEIRA, 2007, p. 56).
Pretende-se, no entanto, no âmbito desta pesquisa, que uma proposta de resolução de
problemas matemáticos em cenários nos quais as tecnologias digitais são consideradas no
planejamento de interações com as representações dos objetos envolvidos possa encaminhar
as ideias por outras veredas, uma vez que estes elementos, segundo Kenski (2003)
transformam a maneira pela qual as pessoas pensam, sentem, agem. Além disso, “mudam,
também, suas formas de comunicar e adquirir conhecimento” (KENSKI, 2003, p. 21).
Evidentemente, a mudança destacada pela autora é intencional e depende do engajamento de
alunos e professores, além de não prescindir de planejamento, organização e de algum
enfoque específico, ligado às formas pelas quais os participantes de um processo educativo
aprendem melhor, de um lado, e/ou ensinam de forma mais eficiente, de outro. Alguns
exemplos podem ilustrar melhor esta proposição: suponha-se que um processo de ensino de
Matemática vá ser levado a efeito por meio da modalidade online, ou seja, contando com a
constituição de plataformas interativas específicas (como seria o caso do Moodle, por
exemplo) e as respectivas interações dos participantes neste cenário. Neste sentido, uma
proposição diferenciada, considerando as possibilidades abertas pelas tecnologias digitais,
poderia residir: a) na colaboração, vista como construção organizada cuja principal meta seria
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a de constituir e consolidar uma ideia compartilhada sobre tarefas, atividades ou problemas, e
que permitiria eleger objetivos comuns sem perda dos interesses individuais, de modo a
constituir uma construção do conhecimento como resultado do esforço coletivo (Oliveira,
2007); b) na cooperação, entendida como proposta de divisão de tarefas complexas entre os
participantes de um grupo, que as realizariam em caráter individual e proveriam algum
esquema sinérgico de consolidação de resultados; e c) em uma abordagem mais aberta e
situacional, em que intervenções coletivas e/ou individuais poderiam se suceder em uma
ordem que variaria de acordo com a própria dinâmica das atividades; desta forma, existiriam
diferentes características interacionais, sem que se pudesse rotular as mesmas. Quaisquer que
fossem, estas definições não afastariam a consolidação individual da aprendizagem, mas
proporiam processos de construção baseados fortemente em interações, trocas e
compartilhamento. As tecnologias digitais poderiam, aqui, quando à serviço de um projeto
didático consistente, oferecer a ambiência necessária aos projetos interativos por meio dos
Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA), cujas interfaces e ferramentas poderiam,
contando com planejamento neste sentido, promover o aprendizado por meio da constituição
de comunidades virtuais.
De outro modo, as interações em um ambiente presencial poderiam ter o mesmo valor
do ponto de vista didático, representando, também, possibilidades de uso efetivo das
tecnologias escolhidas. Esta proposta poderia partir de um rol consistente de problemas, assim
entendidos como elementos em relação aos quais os sujeitos não possuíssem todos os recursos
cognitivos, mas sobre os quais pudessem refletir e conjecturar com vistas a obter,
autonomamente, soluções provisórias, cujo caráter de teste e de confronto em relação ao
estatuto formal do conhecimento matemático permitiria aos envolvidos aceitá-la ou refutá-la,
em um processo justificado pela lógica interna do constructo e sem apelo a determinadas
indicações de caráter determinista. Neste sentido, as tecnologias mencionadas surgiriam como
elementos integrados aos processos de trabalho, à medida que pudessem ser mobilizadas pelos
“investigadores” (alunos e/ou professores) como interfaces por meio das quais obteriam
feedback em relação às suas intervenções, com apoio do dinamismo típico das ferramentas
digitais (reação reconstitutiva “instantânea”, quer dizer, reconfiguração da representação do
objeto mediante a manutenção de suas propriedades), de experimentações potencialmente
intensivas (o que permitiria examinar uma quantidade grande e variada de situações) e de
visualização das modificações/estabilidades das estruturas envolvidas. Parece claro, também
aqui, que semelhante iniciativa demandaria cuidadoso planejamento, tanto na escolha dos
problemas, quanto no controle da experimentação. Igualmente, aspectos como a presença do
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professor/pesquisador como orientador e a eleição das tecnologias mais pertinentes não
poderiam ser relegados ao esquecimento.
Ao mencionar estes exemplos, evidencia-se, em certa medida, as intenções que
nortearam este estudo, do ponto de vista do planejamento: estabelecer um ambiente de
aprendizagem para professores da educação básica, constituído por dinâmicas presenciais e
virtuais, a partir do qual os participantes se organizariam para desenvolver aspectos do
conhecimento sobre determinado tema matemático, com liberdade para colaborar, cooperar,
interagir ou mesmo compartilhar propostas/conjecturas a respeito de problemas específicos
depois de reflexões individuais. O cenário assim constituído, então, demanda o uso de
tecnologias digitais (e, eventualmente, não digitais), sobre as quais os participantes devem
desenvolver fluência.
Esta proposta, de acordo com o que se percebe, em vista do cenário supramencionado,
merece ser investigada, tendo um tema matemático específico como ponto central de
interesse.
Deste ponto de vista, o interesse matemático eleito para esta investigação é a
Homotetia. Esta transformação possui aspectos fundamentais e desdobramentos relevantes a
outros estudos importantes dentro da Geometria, a partir da ideia de proporcionalidade, como
os casos de semelhança de triângulos e polígonos, as relações métricas no triângulo retângulo,
os teoremas de Pitágoras e de Tales, entre outros tópicos. A expectativa, quando da eleição
deste elemento em relação aos sujeitos da pesquisa, era a de alinhar estratégias didáticas para
estimular, em conjunto com a escolha de um software dinâmico de geometria como o
GeoGebra, em atividades de cunho investigativo, uma oportunidade de revisitar conceitos,
compreender estruturas e lógicas próprias da Geometria Euclidiana, e propor uma
modificação em relação à maneira pela qual os mesmos compreendem a Matemática,
superando a visão por meio da qual se consolidam um conjunto de métodos e equações apenas
voltado à resolução de questões repetitivas, tendo como cenário de movimentação um AVA e
um conjunto de encontros presenciais, de modo a propor, em relação ao objeto em questão,
trajetórias de aprendizagem que se constituíssem de forma colaborativa e/ou cooperativa e/ou
individual, de acordo com as características preferenciais dos sujeitos envolvidos.
Assim, esta investigação tem, especificamente, como sujeitos, um grupo de
professores que ensinam Matemática e que realizam uma iniciativa de formação continuada,
uma vez que eram, à época da consolidação deste relatório, mestrandos no âmbito do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP. Ou seja, assim
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como o autor deste trabalho, são professores que iniciam sua formação como pesquisadores
na área mencionada.
Além disso, um primeiro desafio deste trabalho estabeleceu-se por constituir um único
tema que pudesse articular os distintos assuntos enunciados. Neste sentido, viu-se que, após
levantamento bibliográfico de artigos e teses que tratavam do tema matemático em questão,
Homotetia, apenas dois resultados surgiram: os trabalhos de Maciel (2004) e Luis (2006), os
quais, ainda assim, não tratavam estritamente deste tópico, mas de estudos voltados à
exploração do tema “semelhança”. Quando se expandiram as buscas envolvendo termos como
“semelhança”, tendo como objetivo situar a pesquisa nas produções existentes e fornecer
subsídios ao enriquecimento do corpo do texto, obtiveram-se vinte e dois resultados, mais
especificamente mediante o uso da expressão-chave "semelhança geometria dinâmica" no
Portal de Periódicos e no banco de teses da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior). Esta pesquisa também se estendeu ao repositório de teses e
dissertações da PUC/SP.
Destes vinte e dois trabalhos, após a devida seleção, destaca-se a pesquisa de Santos
(2013), que desenvolveu uma investigação utilizando o modelo de Van Hiele voltado ao
estudo de semelhança de triângulos em uma turma de 9º ano do Ensino Fundamental na qual,
por meio de atividades no GeoGebra, explora as possibilidades de progresso no reforço de
conhecimentos prévios e de formas de construir novos conceitos sobre o tema, trazendo à tona
como os estudantes iniciantes se desenvolvem à partir de manipulações no software.
Outra pesquisa em relevo é a de Medeiros (2012), que trata do tema de semelhança de
triângulos a partir de uma análise de livros didáticos selecionados e que evidencia a
construção de um curso a distância que aborda o tema com participantes de uma pós-
graduação Latu Sensu. Este autor analisa as concepções dos participantes acerca da geometria
pré e pós curso por meio de questionários e relatórios dos tutores, alinhando resultados e
exemplos práticos relevantes.
Os demais estudos trabalharam ora com geometria por meio de softwares dinâmicos,
mas voltados à aprendizagem de outros objetos matemáticos, ora com semelhança a partir de
outras tecnologias, como, por exemplo, ferramentas analógico-estáticas, tais como régua,
compasso, etc., ou, ainda, digitais, como os softwares Cábri-Géomètre e R.E.C. (Régua e
compasso). Grande parte dessas produções é voltada a pesquisas com públicos de Ensino
Fundamental e Médio, e nenhuma delas utiliza o referencial de análise deste trabalho, o que
reforçou, em relação à relevância do texto aqui apresentado, uma indicação acercada
oportunidade da pesquisa que o mesmo descreve.
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Assim, descritos os fatores que caracterizam a problemática relativa à pesquisa que
aqui se apresenta, resta indicar a questão norteadora, em relação à qual se alinham os
procedimentos e recursos teórico-empíricos julgados adequados para prover eventuais
respostas: de que maneira se caracteriza um percurso de estudo e investigação, envolvendo
professores de Matemática da Escola Básica, acerca do tema “Homotetia” e de tópicos
matemáticos correlatos, realizado a partir de uma proposta que envolve tanto a resolução de
atividades por pessoas-com-tecnologias como o desenvolvimento de fluência em relação às
interfaces empregadas?
Com base nesses fatores, o objetivo geral desta pesquisa consiste em desenvolver
uma estratégia didática para uso de tecnologias em atividades/problemas ligados à geometria
plana, tendo o tema de “Homotetia” como elemento matemático principal, e a intenção de
evidenciar as compreensões constituídas a partir de pressupostos interativos no âmbito de
pessoas-com-tecnologias-digitais.
Da mesma forma, os seguintes objetivos específicos foram previstos:
Constituir uma sequência didática sobre Homotetia, envolvendo, igualmente, assuntos
correlatos e necessários à reflexão sobre o tema, que permita, por parte dos sujeitos, a
constituição de percursos investigativos cujos problemas estruturantes são pensados a
partir da integração das pessoas com o software GeoGebra em sua versão número 5;
Possibilitar o engajamento dos participantes na construção de conjecturas e propostas
de resolução de problemas sobre o tema “Homotetia” a partir de um ambiente e de
uma estratégia didática que busca incentivar interações no âmbito de ambientes
virtuais e presencias;
Analisar as produções dos sujeitos sob a perspectiva do referencial teórico que orienta
este trabalho, constituído pela proposta do ciclo de formação de professores para uso
das tecnologias em Educação Matemática (Oliveira, 2013; Oliveira e Marcelino,
2015; Oliveira, Gonçalves e Marquetti, 2015), o constructo seres-humanos-com-
mídias(Borba e Villarreal, 2005) e os conceitos relativos às tecnologias da
inteligência (Lévy, 1993).
Em busca de respostas para a questão supramencionada, e em atenção aos objetivos
elencados, organizou-se uma pesquisa qualitativa, na modalidade estudo de caso, tendo por
sujeitos nove professores que ensinam Matemática em diversos níveis, e que participaram de
um curso oferecido na plataforma Moodle da PUC/SP, e que contou, também, com encontros
presenciais. Este curso foi realizado no primeiro semestre de 2015, como parte dos projetos de
20
pesquisa “Tecnologias e educação matemática: investigações sobre a fluência em dispositivos,
ferramentas, artefatos e interfaces”1, coordenado pelo Prof. Dr. Gerson Pastre de Oliveira, e
“Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática em Ambientes Tecnológicos
PEAMAT/DIMAT”2, ambos desenvolvidos no âmbito do grupo de pesquisas PEA-MAT
3. No
curso mencionado, as atividades constantes da sequência didática estruturada por meio de
problemas poderiam ser resolvidas em regime interação entre os pares, a partir da forma que
melhor lhes aprouvesse e contando com as ferramentas disponíveis no Moodle, como o
fórum, por exemplo, e diálogos presenciais. As sequências foram planejadas em uma
perspectiva problematizada e foram posteriormente analisadas tendo por base o referencial
teórico já mencionado, descrito com mais detalhes nos capítulos subsequentes, os quais
trazem a seguinte organização:
Capítulo 1 –Considerações sobre o objeto matemático: aqui, uma discussão de caráter
histórico, epistemológico e didático sobre o tema “Homotetia” tem lugar;
Capítulo 2–Referencial teórico: os principais elementos teóricos que constituem
referência para esta pesquisa são debatidos: tecnologias na educação, proposta do ciclo
de formação de professores para uso de tecnologias e seres-humanos-com-mídias.
Neste mesmo capítulo, apresenta-se uma concisa revisão bibliográfica4;
Capítulo3–Aportes Metodológicos: este capítulo aponta as principais características da
investigação do ponto de vista metodológico, considerando a modalidade de pesquisa
(qualitativa, estudo de caso), a descrição dos sujeitos e do ambiente de pesquisa, a
descrição dos instrumentos de coleta dos dados e uma breve descrição sobre o uso do
referencial teórico em relação às análises;
Capítulo 4– Análises: este capítulo descreve as principais características didáticas e
matemáticas de cada um dos problemas, as dinâmicas das atividades realizadas nos
ambientes disponíveis, além das propostas de resolução dos problemas e as respectivas
correlações com as teorias empregadas.
O trabalho tem, ainda, em suas últimas páginas, as considerações finais, as referências
bibliográficas e um conjunto de apêndices elaborados e empregados ao longo da investigação.
1 Projeto apoiado pelo CNPq (Processo no. 477783/2013-9)
2 Projeto apoiado pela FAPESP (Processo no. 13/23228-7)
3 Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática (PUC/SP)
4 As revisões bibliográficas não se concentram apenas em um ponto deste texto, mas compõem, por exemplo, o
levantamento de caráter histórico acerca do tema.
21
Capítulo 1
Considerações sobre o tema matemático
1.1 Perspectiva histórica
Os estudos de Geometria, e mais exatamente sobre o tema matemático escolhido,
Homotetia, aparecem nas diversas obras apuradas no levantamento bibliográfico ligados ao
assunto “semelhança”, e estes, por sua vez, remetem a estudos anteriores aos organizados por
Euclides em sua obra "Os Elementos", como pode ser visto a seguir. Assim, com a finalidade
de discutir aspectos relevantes acerca do tema, pode-se considerar que parte da revisão
bibliográfica deste estudo foi trazida aqui.
Luis (2006) relaciona problemas de época e cultura com o desenvolvimento da
Geometria como um todo. O autor organiza um apanhado que parte das contribuições dos
egípcios, gregos, árabes e europeus até as produções mais recentes acerca do tema. Seu ponto
de partida se localiza nos primeiros estudos sobre semelhança, no Egito antigo, por volta de
3200 A.C., nos quais os egípcios utilizavam, para ampliar e reduzir figuras a uma razão K, o
processo de construir figuras semelhantes à inicial, tal que K era a razão de semelhança entre
a inicial e as outras. Utilizavam, para tanto, o método dos quadrados, que podia ser descrito,
segundo a própria autora, como “traçar a figura considerada em um quadriculado, [o que]
reproduziria uma certa razão, de maneira que a figura definitiva desenhada era a transposição
da figura desenhada. Entre esboço e desenho final havia, por conseguinte, uma razão de
semelhança” (p.16).
Na sequência, a autora indica as contribuições dos gregos, principalmente Euclides,
como amplo produtor científico e organizador da coleção "Os Elementos", uma reunião de
praticamente todo o conhecimento matemático daquele tempo, que é composta de treze livros
e publicada por volta de 300 A.C. Esta coleção, mais exatamente no livro VI, dedica-se
apenas ao estudo de semelhança, por meio da teoria das proporções (BOYER apud LUIS,
2006).
Euclides, segundo Resende e Queiroz (2000, p.52), pode ter vivido entre o reinado de
Ptolomeu I Sóter do Egito (304-285 A.C.), tendo precedido Arquimedes (287-212 A.C.).
Por outro lado, segundo Roque (2012) não há registro original da obra "Os
Elementos", havendo somente versões e traduções tardias, nas palavras da autora. Com este
fato em mãos e após uma análise histórica, a autora indaga e apresenta justificativas acerca da
22
organização dos volumes da obra supracitada, e mostra que o livro VI, relativo aos estudos
acerca de semelhança, foi, na verdade, um dos últimos dos treze que foram escritos.
Para chegar a esta conclusão, Roque (2012) apresenta contestações ao fato de todas as
construções geométricas da obra "Os Elementos" terem sido feitas apenas com régua e
compasso (ou círculos e retas de modo abstrato naquele contexto). A autora salienta que
Arquimedes e outros matemáticos gregos não seguiram este procedimento e empregaram
métodos de construção não euclidianos, como indício de que apenas régua e compasso não
seriam suficientes para resolver todos os problemas matemáticos antes e depois de Euclides.
Essa perspectiva de que os matemáticos gregos se ancoravam em padrões rígidos,
segunda a autora, tem origem na história da matemática escrita entre os séculos XIX e XX,
período conhecido como de alto rigor matemático. Dentre os trabalhos escritos nesta época,
constam os de Hilbert, que procuraram fundamentar a geometria euclidiana.
Entretanto, o formalismo não era a motivação principal da época dos estudos gregos.
A geometria, como aponta a autora, tem suas bases em uma atividade essencialmente prática
– ainda que abstrata – de resolver problemas. Disto destaca também que, a partir do
encadeamento dedutivo das proposições, uma das explicações possíveis para a organização
didática dessa obra é seu provável cunho pedagógico, organização que não se faz presente
em boa parte dos materiais didáticos disponíveis atualmente. Para a autora, ainda, uma das
razões possíveis para a escolha da régua e do compasso nas construções pode ter sido uma
opção pedagógica. Na verdade, apesar de Euclides não ter afirmado em lugar algum de sua
obra, que as construções tenham que ser feitas com retas e círculos, o mesmo não pretendia
impor uma restrição, mas indicar uma otimização, pois as construções feitas desse modo
seriam mais simples e não exigiriam nenhuma teoria adicional que as fundamentasse.
Uma segunda razão para essa escolha, de cunho epistemológico, como indica a autora,
seria a necessidade de ordenar e sistematizar a geometria, dado os avançados conhecimentos,
já naquela época, dos geômetras. Essa ordem implicaria uma gradação da matemática, do
nível mais elementar ao superior.
Na sequência, a autora indica que, após extensas pesquisas sobre a ordem dos livros
dos Elementos, que esta não expressa na verdade uma ordem cronológica, por conta dos
resultados apresentados nos primeiros livros não serem essencialmente os mais antigos. Disto
indica:
[...] os livros VII a IX, que seriam os mais antigos, empregam uma linguagem
ingênua de razões e proporções que estaria presente desde épocas muito remotas,
antes da descoberta dos incomensuráveis; os livros de I a IV tratam de resultados
sobre equivalência de áreas também antigos, mas as demonstrações evitam o uso da
teoria das razões e proporções; no livro V é apresentada a nova teoria das razões e
23
proporções, servindo de base para o estudo da equivalência de áreas e semelhança de
figuras de um novo modo, o que é feito no livro VI. Além disso, o livro I teria sido
escrito com o intuito de apresentar os princípios, por isso exibiria um cuidado
especial com o encadeamento das proposições (ROQUE, 2012, p.165).
Por fim, nota-se que, além destas justificativas acerca da ordenação dos volumes, da
restrição ao uso da régua e compasso nas construções, e o discurso da autora acerca do
encadeamento das proposições a partir dos primeiros princípios (definições, postulados e
noções comuns) e suas consequências (problemas e teoremas), todos os fatores apontavam
para um encadeamento que define o método axiomático-dedutivo.
Entretanto, a autora, mais adiante, aponta uma artificialidade nesta organização, uma
vez que essa priorização do método dedutivo ia contra os enunciados que “pertenciam a uma
mesma cultura prática. Ao dizer „artificial‟, destaca-se o fato de essas proposições terem sido
organizadas em função das técnicas de demonstração usadas para atestar sua validade, e não a
partir dos problemas efetivos que se aplicavam” (ROQUE, 2012, p.184). De todo modo,
importa compreender que o tema semelhança já possuía um estatuto formal, ainda que seu
posicionamento histórico possa ser objeto de polêmicas. Assim, cumpre ampliar as ilações
neste sentido, o que se faz a seguir.
1.2 A noção de semelhança e de Homotetia: tópicos e teoremas correlatos.
A semelhança, segundo Moise e Downs (1971), parte da ideia de proporcionalidade,
na qual duas figuras geométricas, no caso poligonais, possuem exatamente a mesma forma,
sem, contudo, possuírem necessariamente as mesmas medidas. O termo “forma”, nesse
contexto, refere-se às propriedades geométricas que essas figuras têm em comum: uma escala
entre as medidas dos lados e a congruência dos seus ângulos internos. Escala, neste caso,diz
respeito à razão de semelhança entre as propriedades das figuras em questão.
Outra definição mais recente do conceito de semelhança, alinhada com a perspectiva
exposta por Lima (1991) e retomada por Luis (2006), parte de um estudo de figuras, não
necessariamente poligonais, mas que conservam a sua forma quando se realizam ampliações e
reduções da mesma de acordo com uma razão de semelhança.
Ao relacionar dois conjuntos de pontos, figuras planas ou espaciais, chamadas aqui F e
F', estas são consideradas semelhantes se existe uma correspondência biunívoca : 'F F
entre elas, que faz com que cada ponto de F relacione-se a apenas um de F', e ambas possuam
o mesmo número de pontos, com uma razão de semelhança r. Disto, vem a seguinte
propriedade: se X, Y são pontos quaisquer de F e ( ) 'X X , X e X' homólogos; ( ) 'Y Y ,
Y e Y' homólogos, então X' e Y' são seus correspondentes em F'; logo, X'Y' = r. XY.
24
Para cada valor que r assume, há consequências para a forma estudada, sendo
reduzida, conservada ou ampliada em relação a original. Neste caso, será ampliada quando
r>1; conservada, pelo princípio da identidade, quando r=1, chamando-se isometria, a qual
determina que a distância entre dois pontos X e Y de F é a mesma distância entre seus
homólogos X' e Y' em F' (também se chama congruência). E, por fim, a forma é reduzida
quando 0<r<1(trata-se da função inversa de ,1 : 'F F tal que
1
ré a razão de
semelhança).
Considerando figuras poligonais, a abordagem por meio de Homotetia proporcionaria,
segundo Lima (1991), um estudo
[...] extremamente simples e que permite desenvolver toda a teoria elementarmente.
Nossos livros didáticos poderiam adotá-las com vantagens. Assim fazendo evitariam
um tratamento incompleto, no qual se dá uma definição válida apenas para
polígonos, enquanto a maior parte dos exemplos que encontramos não se enquadra
nessa categoria (LIMA, 1991, p.39).
Outra abordagem, de acordo com o mesmo autor, componente de um estudo de
relações dos elementos fundamentais das construções aqui empregados, tais como pontos,
segmentos de reta, semirretas e retas, parte da noção de proporcionalidade de tal maneira que,
dados dois segmentos de reta arbitrários, AB e CD, se CD= r.AB, pode-se definir uma
semelhança : AB CD de razão r de modo que, para cada X, elemento de AB, há um X' em
CD de tal forma que CX' = r.AX. Esta semelhança se comprova a partir de que, ao admitir
dois pontos arbitrários X e Y em AB, com X entre A e Y, pela definição de semelhança, há
um ponto X' entre C e Y'. Logo X'Y'= CY' – CX'= r.AY – r.AX = r.(AY-AX) = r.XY. As
demonstrações para semirretas e retas são análogas.
Em termos do uso social do conhecimento matemático, pode-se apontar que o domínio
do tema aqui tratado não pode ser desprezado: Resende e Queiroz (2000), neste sentido,
indicam a importância do estudo de semelhança como fundamental para áreas como
Engenharia e Arquitetura, quando profissionais destas áreas empregam ampliação e redução
de seus registros tais como mapas, plantas e maquetes. Em vista disto, de forma justa, pode-se
questionar por que este estudo foi conduzido apenas com triângulos. Esta escolha se justifica,
a princípio, por conta de uma suposta familiaridade dos sujeitos com elementos, propriedades
e conceitos a serem mobilizados na construção da definição geral de semelhança por meio da
Homotetia. Neste caso, ainda que os mesmos sejam mestrandos, potencialmente trabalharam
estes temas por meio de atividades roteirizadas, que priorizam algoritmos em detrimento da
percepção, apuração, inferência e generalização das propriedades evidenciadas por
25
construções geométricas. O emprego de softwares dinâmicos de geometria no âmbito de uma
estratégia didática colaborativa concorre, segundo se supõe, para a revisão deste quadro.
Ainda com relação ao objeto tratado neste texto, Resende e Queiroz (2000) indicam a
divisão do tema “semelhança” nos seguintes tópicos: a ideia e o teorema sobre
proporcionalidade, teorema fundamental de semelhança por meio do conceito de Homotetia,
semelhança nos triângulos quando ocorre um dentre os casos AAA (ângulo, ângulo, ângulo),
LLL (lado, lado, lado) e LAL (lado, ângulo, lado). Ainda se deve considerar o teorema da
semelhança nos triângulos retângulos.
A partir da estruturação destes tópicos iniciais, pode-se trabalhar outros temas
correlatos, como as áreas de triângulos semelhantes, as razões trigonométricas, a
trigonometria numérica e as relações entre as razões trigonométricas, além do tópico de
semelhança de polígonos, entre outros.
No contexto dos teoremas até aqui destacados, indicam-se alguns percursos de
demonstrações necessárias para a fundamentação matemática de propriedades que possam ser
mobilizadas mais adiante. O primeiro deles se refere ao teorema fundamental da
proporcionalidade.
1.3 Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Enunciado: Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros dois lados
distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. (MOISE-
DOWNS, 1971, p. 308).
Demonstração: Seja um triângulo ABC, com pontos D e E contidos em AB e AC,
respectivamente. Admite-se que DE é paralela à BC.
Caso sejam traçados os segmentos DC e EB, determinam-se dois triângulos inscritos em
ABC, AEB e ADC.
(1): Em AEB, pelo enunciado, D fica contido no segmento AB, e o segmento DE determina
dois triângulos em seu interior, ADE e BDE. Estes possuem AD e BD como bases.
Estes triângulos, ADE e BDE, por comporem juntos a região AEB, possuem um vértice em
comum, D, cujas áreas, quando somadas, resultam na área de mesma medida do próprio AEB.
Assim, pode-se afirmar, pelo postulado de adição de áreas, que: AEB ADE BDE (1).
ADE e BDE têm a mesma altura por terem a mesma, e única, perpendicular à AB que passa
pelo vértice comum E. Esta perpendicular determina alturas para ADE e BDE sobre o
segmento AB. Disto, admitimos que BDE tem a altura projetada em seu interior, que
chamaremos de h; logo, a área é dada automaticamente pela equação 𝐵𝐷 .ℎ
2. O triângulo BDE
26
tem sua altura externa a ele; entretanto, por possuir o mesmo vértice E, projeta sua altura
sobre a altura do acutângulo, sendo congruente a esta, por possuir a mesma base AB. Desta
forma, sua área é dada por 𝐴𝐷 .ℎ
2, sendo a metade da área do paralelogramo de base AD e
altura h. Do exposto acima e pelo teorema que indica que triângulos com mesma altura têm a
razão entre suas medidas de área igual à razão de suas bases, temos
.
2.
2
BDE
ADE
BD hA BD
AD hA AD .
(2): Da mesma forma, como exposto em (1), pode-se determinar em ADC dois triângulos,
CDE e ADE, com E contido em AC, com bases CE e AE, respectivamente. CDE e ADE têm
a mesma altura pela mesma justificativa apresentada anteriormente; disto, o cálculo das áreas
CDE e ADE também é análogo ao método anterior. Logo, temos que
.
2.
2
CDE
ADE
CE hA CE
AE hA AE .
(3): BDE e CDE têm a mesma base DE. Eles têm mesma altura, pois BC é paralelo à DE de
acordo com o enunciado; logo, suas áreas são iguais.
(4): De (1), (2) e (3), deduzimos que CDEBDE
ADE ADE
AA BD CE
A A AD AE .
(5): Somando-se 1 aos dois lados da igualdade, podemos deduzir que:
1 1BD CE BD AD CE AE BD AD CE AE
AD AE AD AD AE AE AD AE
, onde BD+AD = AB e
CE+AE= AC, logo: AB AC
AD AE .
Outro teorema de demonstração semelhante ao de proporcionalidade é aquele
enunciado como “toda Homotetia é uma semelhança que transforma qualquer reta em si
própria ou numa paralela” (LIMA, 1991, p. 46).
Indica-se, ainda, outro percurso de demonstração relevante com a ideia de
proporcionalidade, que envolve o conceito de Homotetia. Para Lima (1991), conforme
recuperado por LUIS (2006, p.33), "a definição de figuras semelhantes por Homotetia é vista
como um teorema". Disto, Lima (1991) aponta que
Sejam O um ponto no plano (ou do espaço E) e r um número real positivo. A
Homotetia de centro em O e a razão r é a função : (ou : E E )
definida do seguinte modo: ( )O O e para todo X O , ( ) 'X X é o
ponto da semirreta OX tal que OX' = r.OX.". (LIMA, 1991, p.45).
27
Em uma Homotetia, para todo ponto X que não seja o seu centro, há um semelhante X'
tal que OX'= r.OX. A Homotetia pode ser, então, em função dos valores atribuídos a r,
identidade, quando r=1, transformando toda reta que passa por O nela mesma; inversa,
quando tem mesmo centro O e razão 1
r. Desta forma, duas figuras F e F' são ditas
homotéticas quando há uma Homotetia tal que ( ) 'F F , como se vê na Figura 1.
Figura 1 – Homotetia ( ) 'F F de centro O e razão 2
Fonte: o autor
Após estas definições prévias, Lima (1991) distingue Homotetia de semelhança, de
modo geral, como ser visto na figura 1:
[...] numa Homotetia os pontos O, X, X' são sempre colineares e nesta ordem se r>1,
ou na ordem O, X', X, caso 0<r< 1; já numa semelhança, as figuras F e F' podem
ocupar posições quaisquer, como numa foto e sua ampliação que podem ser postas
em vários lugares, mas continuam semelhantes (LIMA, 1991, p. 45).
No caso de um estudo por meio de construções geométricas na qual esta razão esteja a
definir a proporção entre duas figuras, trata-se de uma Homotetia direta quando houver uma
ampliação, no caso k>1; uma identidade, no caso k=1; e uma redução, no caso 0<k<1.
Luis (2006) ainda aponta que existem os casos inversos de Homotetia, na hipótese da
adoção de um tratamento vetorial das figuras poligonais, de ampliação inversa para k<-1,
identidade inversa, para k= –1 e redução inversa, no caso 0>k>-1. Nestes casos de inversão de
um polígono, observa-se que as razões são negativas, na medida em que expressam um
afastamento em relação ao ponto que origina a Homotetia, comportamento que pode ser
observado em casos de simetria axial, por exemplo.
A partir das demonstrações anteriormente desenvolvidas e da noção de
proporcionalidade, passa-se ao caso de semelhança nos triângulos, para o qual Resende e
28
Queiroz (2000), Lima (1991) e Moise e Downs (1975)apresentam definições convergentes, ou
seja, este caso de semelhança acontece a partir do momento em que há uma correspondência
biunívoca entre os vértices de dois triângulos, congruência entre ângulos correspondentes
destes e os lados correspondentes são proporcionais, dada uma razão de semelhança r.
Disto, segue a demonstração do caso geral de semelhança de triângulos, segundo Lima
(1991, p. 51):
Seja : ' ' 'ABC A B C uma semelhança de razão r, entre os triângulos ABC e
A'B'C', com ( ) 'A A , ( ) 'B B e ( ) 'C C ; então teremos pela definição geral de
semelhança, que ' ' ' ' ' 'A B A C B C
rAB AC BC
, o que indica que os triângulos têm lados
homólogos proporcionais. A Homotetia , de centro A e razão r, transforma ABC em outro
triângulo parcial AB''C'', com B''C'' paralela a BC; assim, ''B B e ''C C .
Em seguida, constata-se que A''B''C' é côngruo em relação a A'B'C', pois AB''= A'B'= r.AB,
AC''= r.AC e B''C''= r.BC. Logo, 'A A , 'B B e 'C C .
De maneira mais específica, pode-se destacar 3 condições a partir das quais, quando
ocorrer ao menos uma delas, pode afirmar que exista uma semelhança entre os triângulos
envolvidos. São os casos nos quais os triângulos têm três ângulos correspondentes iguais
(AAA), um ângulo igual compreendido entre lados proporcionais (LAL) e o caso em que têm
os três lados proporcionais (LLL).
1.4 Teorema de Semelhança LLL
Demonstração: Admita-se que ABC e A'B'C' são triângulos, que A'B'= r.AB, A'C'=r.AC e
B'C'=r.BC, para um certo r>0. A Homotetia partindo de A com razão r transforma ABC num
triângulo AB''C'', pois AB''= r.AB, AC''= r.AC e B''C''= r.BC, o que configura que AB''C'' e
A'B'C' são congruentes. Como ABC e AB''C'' são semelhantes, ABC e A'B'C' são semelhantes
por transitividade.
1.5 Teorema de Semelhança AAA
Demonstração: Admitam-se que ABC e A'B'C' são triângulos, tais que 'A A (1), 'B e
'C C . Sobre as retas suportes de AB e BC, tomem-se B'' e C'', respectivamente, de
modo que AB''=A'B' e AC''=A'C' (2). Por (1) e (2), AB''C'' e A'B'C' são congruentes pelo caso
de congruência LAL, logo '' 'B B . Assim, B''C'' e BC são paralelas e, por conta disso,
AB''C'' e ABC são semelhantes.
29
1.6 Teorema de Semelhança LAL
Demonstração: Sejam dois triângulos ABC e A'B'C' tais que 'A A e A'B'= r.AB e A'C'=
r.AC. Como feito anteriormente, sobre as retas suportes de AB e BC, tomem-se B'' e C''
respectivamente, de modo que AB''=A'B' e AC''=A'C'. AB''C'' e A'B'C' são congruentes pelo
caso de congruência LAL. Disto, a Homotetia de centro em A faz com que AB''=r.AB e
AC''=r.AC. Logo, como AB''C'' é congruente a A'B'C', ABC é semelhante a A'B'C'.
Na sequência, indica-se aqui um caso que, por conta do extenso número de tópicos que
podem ser estudados (entre eles, o teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas), foi
cogitado como tópico a ser desenvolvido e trabalhado a partir das atividades propostas nesta
investigação5, que é o caso da semelhança nos triângulos retângulos.
1.7 Semelhança nos Triângulos Retângulos
Enunciado: A altura correspondente à hipotenusa de qualquer triângulo retângulo divide-o
em dois triângulos que são semelhantes um ao outro e também semelhantes ao triângulo
original.
Seja um triângulo retângulo ABC, com sua altura projetada de C em um ponto H sobre
AB. Esta altura divide ABC em dois triângulos, AHC e BHC, ambos retângulos em H. A
medida que se comparam AHC com ABC (1) e BHC com ABC (2), obtêm-se:
(1) AHC e ABC são retângulos, AHC em H e ACB em C, ambos têm o vértice A em comum;
disto, o angulo correspondente  é o mesmo para ambos. Pela soma dos ângulos internos do
triângulo retângulo, deduz-se que o ângulo C', relativo ao vértice C em AHC e B em ABC são
congruentes. Desta forma, AHC e ABC são semelhantes pelo caso AAA.
(2) BHC e ABC serão semelhantes de maneira análoga.
Logo de (1) e (2), podemos concluir, por transitividade, que AHC é semelhante a BHC.
Há ainda percursos de demonstração pelo teorema LLL. Segundo Luis (2006),
Hadamard (1898) indica que há demonstrações via AAA para triângulos retângulos com um
ângulo agudo congruente, ou via LAL para os lados de medidas proporcionais que compõem
o ângulo reto.
Desta forma, explorou-se até aqui, neste capítulo, os tópicos e teoremas fundamentais
às conjecturas e propostas de resolução dos problemas por parte dos sujeitos participantes do
estudo. No capítulo seguinte, será abordado o referencial teórico que fundamentou as análises
das produções dos mesmos. 5 Esta frente não chegou a ser desenvolvida em função da falta de disponibilidade de tempo dos sujeitos da
pesquisa, os quais não mais poderiam se ocupar das atividades referentes a esta investigação. De toda forma, os
problemas desenvolvidos para a cobertura deste tópico estão relacionados no Apêndice A.
30
Capítulo 2
Referencial Teórico
De acordo com o definido na introdução, neste capítulo serão descritas as noções
principais das teorias que orientam as etapas deste estudo, naquilo em que se fazem
importantes para as análises dos dados recolhidos junto aos sujeitos.
2.1 Tecnologias e produção do conhecimento
Uma forma de pensar na inserção das tecnologias na sociedade – e, por consequência,
nos processos educativos – é assumir que as mesmas representam recursos que subsidiam o
trabalho intelectual das pessoas em seus percursos de vida. Nesta pesquisa, assume-se o
pressuposto que a construção do conhecimento ocorre a partir de um coletivo formado por
seres-humanos-com-tecnologias (Borba e Villarreal, 2005), possível quando se desenvolve a
apropriação da lógica das mídias envolvidas ao adquirir fluência no uso das mesmas
(Oliveira, 2013). Na base destes constructos teóricos, estão o pensamento de Lévy (1993) e de
Tikhomirov (1981).
Os processos educativos, por exemplo, utilizam tecnologias diversas em praticamente
todos os movimentos históricos já registrados. Mesmo que os últimos tempos tenham trazido
avanços de toda ordem, do ponto de vista de tornar mais sofisticadas as tecnologias, quer no
que se refere ao instrumental (equipamentos), quanto ao funcional (programas), em uma
proposta de extensão das capacidades humanas (pensar, agir e comunicar), não se pode negar
que tecnologias diversificadas foram engendradas, ao longo dos tempos, para ampliar as
aptidões e o pensamento das pessoas. Para Lévy (1993), o processo evolutivo humano foi
constituído a partir de três paradigmas fundamentais, classificados por ele como tempos do
espírito, e objetivados na oralidade, na escrita e no polo informático-midiático, com
prevalência em distintos momentos históricos. Desta forma, oralidade, escrita e informática
são, na verdade, tecnologias da inteligência, ou seja, assumem, dado um contexto e momento
histórico, funções e ganhos específicos para a construção, manutenção e divulgação do
conhecimento.
Desta maneira, o autor francês assevera que mesmo aquelas tecnologias apontadas por
vezes como antigas ou ultrapassadas, assim como a oralidade e a escrita, não perdem seu
valor, apesar da ascensão da tecnologia informática; na verdade, ampliam ou reduzem sua
importância ao longo do tempo e de acordo com as circunstâncias, mas tendem à
31
convergência, em função dos objetivos com que são empregadas (Oliveira, Gonçalves e
Marquetti, 2015). Assim, quando se fala de tecnologias digitais, está incluso um aspecto
típico do polo informático-midiático: aglutinar as outras formas de comunicação e informação
sob outra lógica, que inclui velocidade ampliada, temporalidade distinta e outras
funções/aspectos para elementos como a inteligência e a memória (Lévy, 1993; Oliveira e
Marcelino, 2015).
O acesso e a objetivação dos processos de recuperação, uso e contextualização do
conhecimento passam por distinções, assim com os tempos do espírito e suas respectivas
tecnologias de inteligência. A memória, neste contexto, desempenha papel importante e ganha
distinções. Sob a oralidade, a memória se objetiva nas pessoas, em seus saberes ancestrais,
fundando-se nas narrativas, reificando a palavra falada. Personalidade e memória
praticamente não se distinguem, o que dá ao conhecimento um caráter circular e pessoal.
Em relação à escrita, outra é a condição da memória – e outros são os instrumentos
que subsidiam esta tecnologia da inteligência. A memória passa a ficar objetivada
externamente em relação às pessoas, por meio de rolos/pergaminhos e, depois, por intermédio
dos livros. O advento da escrita institui o que Lévy (1993) chama de irreversibilidade, ou seja,
o caráter de permanência do que se registra, abrindo possibilidade para a transformação dos
objetos de conhecimento em temas de crítica e/ou análise, instituindo incertezas e
preocupações, ou seja,
A partir de então, a memória separa-se do sujeito ou da comunicação tomada como
um todo. O saber está lá, disponível, estocado, consultável, comparável. Esse tipo de
memória objetiva, morta, impessoal, favorece uma preocupação que, decerto, não é
totalmente nova, mas que a partir de agora irá tomar os especialistas do saber com
uma acuidade peculiar: a de uma verdade independente dos sujeitos que a
comunicam (LÉVY, 1993, p. 95).
Enquanto a oralidade é simbolizada pelo círculo, a escrita o é pela linha: são as
trajetórias lineares encaminhadas pelos textos as caracterizadoras deste paradigma. Resta o
símbolo indicado pelo ponto, característica do polo informático-midiático. Entram em jogo a
velocidade de transmissão, as topologias reticulares e/ou rizomáticas, principalmente relativas
à Internet. A quantidade de dados armazenados toma proporções jamais vistas em termos
históricos e a noção de tempo sofre severas modificações, considerando a noção de tempo
real, instituída pela informática. As características hipertextuais / hipermidiáticas deste tempo
do espírito instituem trajetórias complexas na busca por dados interligados, em uma dimensão
dinâmica e com simulações sobre a simultaneidade.
32
Entretanto, ainda que de naturezas muito distintas, os três tempos do espírito admitem
convergências e imbricações, não operando pela exclusão mútua, mas convergindo na
ampliação da cognição das pessoas, uma vez que não existe, segundo Lévy (1993),
conhecimento independente de tecnologias intelectuais. Justamente, na visão deste autor, é
preciso
[...]pensar na imbricação, na coexistência e interpretação recíproca dos diversos
circuitos de produção e de difusão do saber, e não em amplificar e extrapolar certas
tendências, sem dúvida reais, mas apenas parciais, ligadas apenas à rede
informático-midiática (LÉVY, 1993, p. 117).
De outro ponto de vista, contudo, desde a sua gênese, a informática faz com que se
adaptem novas interfaces às necessidades dos usuários e acumulem-se novas funções nos
softwares a cada atualização, ampliando a gama de possibilidades dos seus empregos e das
produções intelectuais mediadas pelas mesmas em um ritmo tão surpreendente, guardadas as
devidas proporções, quanto o da Renascença, trazendo novos elementos indispensáveis à
produção de conhecimento humano contemporâneo (Lévy, 1993).
Lévy(1993) destaca, ainda, o caráter da interação quando se utiliza da rede digital, no
que faz menção à imersão do usuário no sistema que utiliza e no contato com outros usuários,
com a finalidade de ampliar a capacidade ou eliminar limitações dos próprios sentidos e da
sua cognição. Interação esta que, segundo Oliveira (2007) permite um aprender junto, de
participantes e docentes, em processos de cooperação e/ou colaboração, no qual os percursos
são individualizados, mas as construções são potencialmente coletivas.
Nesse contexto, a informática assume um caráter mais universal que a oralidade e a
escrita, engendrando novos estilos de saber na integração com as pessoas. É o instantâneo
alimentado por meio da interação e da coletividade, grupos e instituições com tempo de vida
muito maiores que a própria informação. Um destes novos estilos é constituído pela
simulação por meio dos modelos digitais, promovida por conta do seu caráter exploratório, de
forma interativa, substituindo situações nas quais os altos custos de toda natureza impediriam
a realização de determinado estudo. São as simulações que permitem trazer à tona as
representações, inclusive dos objetos matemáticos, conferindo às mesmas a possibilidade de
experimentação intensiva, visualização e dinamismo.
Lévy (1993, p.119) ainda destaca que “a manipulação dos parâmetros e a simulação de
todas as circunstâncias possíveis dão ao usuário uma espécie de intuição sobre as relações de
causa e efeito presentes no modelo”. Por fim, a simulação também auxilia a capacidade de
antecipação e exploração, e por consequência, de aprender. Aproxima-se, da sua maneira,
segundo o autor, mais da atividade intelectual do que a cena teórica.
33
As contribuições de sua teoria sobre tecnologias intelectuais faz do pensamento de
Lévy (1993) um elemento indispensável para o referencial teórico constituído para dar suporte
a esta pesquisa. O pressuposto da interação, alinhado na questão de pesquisa, e sua
materialização por meio de interações em ambientes virtuais são vistos pelo autor francês sob
a égide da inteligência coletiva, sustentada e suportada pelas tecnologias de toda a natureza
presentes no ciberespaço. Para Oliveira (2007, p. 86), as tecnologias, como agentes das
conexões, permitem que
Programas, máquinas, redes das mais diversas topologias e assentadas sobre os mais
diversos meios de transmissão/recepção, constituam a ambientação, permitindo a
extensão das possibilidades da pessoa, que passa a alcançar mais longe, projetar-se à
distância. As tecnologias, sobretudo aquelas envolvidas no funcionamento da
Internet, oportunizam, então, a extensão da presença, permitem uma projeção do
corpo através de sinais que trafegam e que são, de um lado, ação, ela mesma
exprimindo pensamentos e vontades das pessoas, e de outro, interpretação, tarefa das
interfaces e das outras pessoas, conectadas. Os lados são múltiplos, as ações e
interpretações são múltiplas, as conexões são múltiplas. O interesse de cada um dos
envolvidos dá o tom, é o direcionador, o criador das trajetórias (Oliveira, 2007,
p.86).
Neste ponto, julgou-se, quando da produção dos problemas componentes da sequência
didática elaborada para a coleta de dados, que a produção dos professores de Matemática,
sujeitos desta pesquisa poderia se constituir a partir de pressupostos da inteligência coletiva,
instituída no âmbito de interações em um ambiente virtual de aprendizagem, apoiada por
tecnologias digitais como o próprio AVA e o software GeoGebra, e por encontros presenciais,
em uma proposta de convergência semelhante àquela que entende o convívio entre a
oralidade, a escrita e a informática. Este coletivo agrega pessoas e tecnologias intelectuais, em
uma proposta conhecida como seres-humanos-com-mídias, que se esclarece em seguida.
2.2 Seres-Humanos-com-mídias
Desde os estágios iniciais de planejamento desta pesquisa, foram consideradas algumas
possibilidades abertas pela disponibilidade das tecnologias informáticas que se alinham com a
perspectiva teórico-metodológica deste trabalho, como por exemplo, a exploração pela
simulação digital, por meio de softwares dinâmicos de geometria como o GeoGebra, ou,
ainda, pelo convívio com os participantes da pesquisa por meio de plataformas de interação,
como o ambiente virtual Moodle. Ferramentas estas que, segundo Borba e Villarreal (2005),
fazem parte de
[...] uma nova extensão da memória com diferenças qualitativas em relação com
outras tecnologias da inteligência (como a oralidade e a escrita), e isto torna possível
a compreensão linear ser desafiada por outras formas de pensamento, baseados em
simulação, experimentação e a 'nova linguagem' que envolve escrita, oralidade,
34
imagens, e comunicação instantânea. Nesse contexto a metáfora da linearidade é
cada vez mais substituída pela descontinuidade que caracteriza o uso da internet
(BORBA E VILLARREAL, 2005, p.22).
Em relação à forma como se pode encarar a relação entre pessoas e computadores (ou
outras mídias), Borba e Villarreal (2005) propugnam que tais elementos e os seres humanos
devem ser considerados como elementos que se integram na construção do conhecimento
contemporâneo. Mais que isto, o constructo de ordem teórica pensado pelos autores
mencionados traz à tona a concepção de que o conhecimento
[...] é produzido por coletivos de seres-humanos-com-mídias e não somente por
seres humanos ou por grupos destes, ou seja, as mídias não são apenas assistentes
dos humanos ao se fazer Matemática, pois elas mudam a natureza do que é feito,
sugerindo, assim, que diferentes coletivos humanos com mídias produzem diferentes
formas de acessar o conhecimento matemático (OLIVEIRA; GONÇALVES;
MARQUETTI, 2015, p. 475).
A proposta do constructo mencionado tem suas bases filosóficas constituídas a partir
do pensamento de Lévy (1993), prioritariamente, autor que também fundamenta as asserções
que foram alinhadas anteriormente neste texto. Desta maneira, para este autor:
Qual a imagem que sobressai desta dissolução do sujeito cognitivo em uma
microssociedade biológica e funcional de base, e de sua imbricação em uma
megassociedade povoada por homens, representações, técnicas de transmissão e de
dispositivos de armazenamento, no topo? Quem pensa? Não há mais sujeito ou
substância pensante, nem “material”, nem “espiritual”. O pensamento se dá em uma
rede na qual neurônios, módulos cognitivos, humanos, instituições de ensino,
línguas, sistemas de escrita, livros e computadores se interconectam, transformam e
traduzem as representações (LÉVY, 1993, p. 135).
À alegada dificuldade de integração de agentes humanos e não humanos na produção
do conhecimento, em função das distintas linguagens que os mesmos empregam, contrapõe-se
a ideia de interface, que, na interpretação de Oliveira (2007) surge como
[...] uma estrutura constitutiva composta por camadas, que vão desde as mais
imediatas em relação aos participantes, até as mais recônditas, próximas aos
equipamentos envolvidos. Nas primeiras, predominam os recursos linguísticos,
textuais, gestuais, simbólicos das pessoas. Nas demais, de certa forma ocultas,
ocorrem as conversões dos padrões dos meios „humanos‟ de manifestação em sinais
binários, em última instância, através de recursos computacionais que envolvem
diferentes paradigmas de programação (p. 121).
Esta visão a respeito das interfaces justifica, inclusive, seu emprego no título deste
trabalho: assume-se para tais elementos o papel de tradução, de manifestação do aspecto
midiático de forma perceptível, como espaço das representações matemáticas, estas mesmas
manifestações dos diretamente inapreensíveis objetos matemáticos, segundo a ordem
platônica. Igualmente, Lévy (1993) a indica como “uma superfície de contato, de tradução, de
articulação entre dois espaços, duas espécies, duas ordens de realidade diferentes: de um
35
código para outro, do analógico para o digital, do mecânico para o humano. Tudo aquilo que é
tradução, transformação, passagem, é da ordem da interface” (LÉVY, 1993, p. 181).
Outra perspectiva do constructo teórico seres-humanos-com-mídias se constitui a
partir da ideia de que as mídias exercem a possibilidade de reorganizar o pensamento das
pessoas que com elas se integram. Isto é importante em relação a esta pesquisa, a partir da
qual se pretende averiguar as formas pelas quais estas reorganizações do pensamento dos
participantes envolvidos se dão ao longo das dinâmicas de resolução de problemas
matemáticos a partir do uso de tecnologias digitais da inteligência.
A proposição em torno da qual a reorganização do pensamento seria um efeito da
integração entre pessoas e mídias surge com Tikhomirov (1981). Para o autor russo, não há
sentido nas duas ideias mais vulgarmente divulgadas sobre a função dos sistemas
computacionais, que seriam a de substituição e a de suplementação. Para ele, então, os
computadores poderiam alterar significativamente o arcabouço estrutural da atividade
intelectual. Desta forma,
O processo de aquisição de conhecimento é alterado (por exemplo, passa a ser
possível reduzir o número de procedimentos formais a ser adquirido graças ao uso
do computador). Isto nos dá base para afirmar que, como resultado da
informatização, um novo estágio no desenvolvimento ontogenético do pensamento
também se desenvolveu. [...] A memória, o armazenamento de informações, e sua
busca (ou reprodução), são reorganizados. A comunicação é alterada, uma vez que a
comunicação humana com o computador, especialmente quando linguagens
similares à natural são criadas, é uma nova forma de comunicação. As relações
humanas passam a ser mediadas pelo uso de computadores (TIKHOMIROV, 1981,
p. 274).
Parece claro, de toda maneira, que, ainda que as mídias digitais assumam esta
possibilidade de reorganizar o pensamento, as mesmas não determinam a constituição do
conhecimento, mas condicionam-no, à medida que, mesmo sendo factível “desenvolver
conhecimento na ausência de determinada tecnologia [...] algumas possibilidades como
dinamismo, visualização múltipla e experimentação intensiva são melhor objetivadas a partir
do uso de tecnologias digitais” (OLIVEIRA; GONÇALVES; MARQUETTI, 2015, p. 478).
Deste modo, atividades de investigação de temas matemáticos por meio de mídias
digitais como as realizadas nesta pesquisa lançam mão da tríade supramencionada, constituída
pelas ações de experimentar e visualizar, apoiadas no dinamismo típico das interfaces digitais.
A experimentação, neste contexto, assume um papel que vai além de reduzir estes
momentos de ensaio por meio de uma mídia digital aos atos de apenas "pressionar botões" ou
"movimentar o mouse", despreocupados e sem sentido. Aqui, estes atos assumem o papel de
proporcionar ao sujeito conjecturar, e em conjunto com várias representações, permitem
36
iniciar um renovado processo de tentativa e erro (BORBA;VILLAREAL, 2005, p. 73) que
pode subsidiar pensamentos mais avançados, como os ligados à demonstração, por exemplo.
Este processo de "tentativa e erro" pode partir de um empirismo que promova, em
seguida, o levantamento de hipóteses, o teste de conjecturas, a argumentação e até mesmo
alcançar generalizações, ou seja, como Borba e Villarreal (2005) indicam por meio de uma
citação de Lakatos (1976), agir como elementos próprios da descrição da lógica das
descobertas matemáticas, ou seja, comportamento mais que desejável de acordo com a
problemática da pesquisa aqui proposta. Isto pode, em certa medida, soar estranho, mas nada
mais significa do que uma constatação, como aquela vista por Lévy (1993): “uma das mais
estranhas modificações ligadas ao uso das simulações digitais é a que hoje afeta as
matemáticas. Tradicionalmente consideradas como reino da dedução, elas também estão
adquirindo um caráter experimental. Simulações de objetos matemáticos podem infirmar,
confirmar, ou gerar conjecturas (LÉVY, 1993, p. 104).
O autor francês aponta que a experimentação e a simulação são elementos importantes
em relação à produção do conhecimento em um cenário com tecnologias da inteligência, e os
modelos tecnológicos digitais vão neste sentido. No contexto mencionado, simulação e
experimentação possuem constituições distintas daquela relativa a um objeto de
conhecimento, mas podem funcionar como elementos básicos, precursores, por assim dizer,
para a construção dos conceitos em estudo. Ainda que subsistam marcantes distinções entre as
tecnologias digitais e as chamadas “tecnologias tradicionais” (não digitais e/ou historicamente
constituídas como típicas de uma área – lápis e papel, por exemplo), o que ressalta do
discurso teórico aqui defendido pode ser resumido pelo termo “convergência”, o qual
significa, de modo diverso da substituição, um postulado que envolve, de acordo com o
processo educativo específico, os polos citados por Lévy (1993): oralidade, escrita e
informática.
Sobre este tema, Noss e Hoyles (1996 apud Borba e Villarreal, 2005) destacam
também a fala de Lévy (1993) sobre as mídias envolvidas nas tecnologias da inteligência,
destacando o polo da informática como extensão da memória, assim como a oralidade e a
escrita, assumindo, para além destas últimas, a possibilidade de desafiar o raciocínio linear a
partir da simulação, experimentação e o suporte multimídia dos computadores. Disto,
destacam que conhecimento é produzido em conjunto com uma determinada mídia ou
tecnologia, como inteligência coletiva.
A visualização por sua vez, desde que os monitores possibilitaram o acesso às
interfaces gráficas ao usuário comum de sistemas computacionais, tomou proporções que o
37
próprio Tikhomirov (1981) não previu em seus estudos, e que se desdobraram nos estudos de
Borba e Villarreal (2005). Do levantamento teórico realizado por estes autores, ressaltam, no
que tange à visualização, as seguintes definições:
De acordo com Ben-Chaim, Lappan e Houang (1989 apud Borba e Villarreal, 2005),
a visualização engloba a habilidade de interpretar e compreender informações de uma
figura e a habilidade de conceituar e traduzir relações abstratas e informações que não
estão na figura em termos visuais;
Zimmermann e Cunningham (1991 apud Borba e Villarreal, 2005) apontam que
visualização no contexto matemático é um processo de formação (construção) de
imagens (mentalmente, via lápis e papel ou ainda com auxílio de [outras] tecnologias)
e seu uso tem o objetivo de obter melhor compreensão e estimular o processo de
descoberta matemática;
Para Gutiérrez (1996 apud Borba e Villarreal, 2005), no contexto matemático "é o
tipo de atividade intelectual baseada no uso de elementos visuais ou espaciais, sejam
mentais ou concretos, executada para resolver problemas ou provar propriedades"
(BORBA; VILLARREAL, 2005, p. 9);
Há, ainda, a visão ampla de Zazkis, Dubinsky e Dautermann (1997 apud Borba e
Villarreal, 2005):
Visualização é um ato do qual um indivíduo estabelece uma forte conexão entre um
constructo interno e algo ao qual o acesso é estabelecido pelos sentidos. Tal conexão
pode ser feita em ambas as direções. Um ato de visualizar deve consistir em
qualquer construção mental de objetos ou processos que um indivíduo associa com
objetos ou eventos percebidos por ele/ela como externos. Por outro lado, um ato de
visualização deve consistir em uma construção, em alguma mídia externa como
papel, giz ou a tela de um computador, de objetos ou eventos que o indivíduo
identifique com os objetos ou processos em sua mente (BORBA; VILLARREAL,
2005, p.441).
Claro que falar em visualização não representa exatamente uma novidade em termos
de Educação Matemática – e nem mesmo uma exclusividade relativa ao suporte das
tecnologias digitais. As asserções de Barbosa (2009 apud Oliveira, Gonçalves e Marquetti,
2015) indicam que, nas atividades relativas à matemática, no âmbito das quais a abstração
pode ir além da percepção material, os matemáticos empregam processos simbólicos,
diagramas e várias outras formas ligadas a processos mentais que envolvem a imaginação e
referências mentais. Neste sentido, a visualização cumpre um papel de interpretação, e não
meramente de captação genérica de imagens; e esta interpretação se constitui a partir de trocas
pessoais e sociais, frequentemente oriundas do contexto escolar e da, por assim dizer,
convivência com as representações matemáticas mais comuns aos indivíduos.
38
Como elemento adicional, consta um dinamismo que pode ocorrer de maneira típica
quando se empregam tecnologias digitais. A prática de “clicar-e-arrastar”, por exemplo,
quando efetuada sobre alguma representação de objetos matemáticos, pode parecer usual e
bem simples nesta década e meia do século XXI, mas representa um aspecto revolucionário
do acesso a elementos que podem fomentar a construção do conhecimento. Em um software
dinâmico de geometria, por exemplo, arrastar um ponto e observar a manutenção de certas
propriedades ou a evidenciação de outras pode ser uma oportunidade de bastante valia no
processo de elaboração de conjecturas. A correlação entre experimentar e a instantaneidade da
reação da interface abre um mundo de situações diferenciadas, em relação às representações
de determinados objetos ou construções, no sentido de compreender, potencialmente,
inúmeros casos particulares e aquilo que pode levar a generalizações.
Neste sentido, pretendeu-se explorar, neste estudo, as potencialidades até aqui
descritas e pertinentes às tecnologias digitais por meio de atividades estruturadas como
problemas. Noss e Hoyles (1996 apud Borba e Villarreal, 2005) descrevem os papéis de
mediação dos computadores na aprendizagem matemática como 'estruturador' e 'estruturado
por', dado certo tipo de atividade dos participantes, em um tipo particular de software
empregado. Desta forma, a escolha de percursos investigativos mediante resolução de
problemas em um software dinâmico de geometria como o GeoGebra, pode proporcionar uma
oportunidade aos participantes para que os mesmos investiguem tais problemas, apurando
informações a partir das manipulações e dos feedbacks, e organizem a própria argumentação
acerca dos eventos em tela, reestruturando suas próprias concepções, e progressivamente,
adotando novos usos à essa interação.
Nesta pesquisa, o emprego das noções até aqui mencionadas, relativas às tecnologias
digitais, permitirão analisar as produções dos sujeitos por meio de categorias que indicarão se
(e como) as características de visualização, experimentação e dinamismo são mobilizadas
como forma de fomentar conjecturas, debates, reflexões e outros tipos de interação. Também
se procurou observar, a partir das propostas teóricas aqui expostas, de que maneira surgem,
nos problemas e suas resoluções, características que indiquem estar em processo alguma
forma de reorganização de pensamento. Não obstante as descrições feitas até aqui, julga-se
necessário abordar outro aspecto, relativo à fluência no uso de dispositivos digitais destinados
a ensinar e/ou aprender.
39
2.3 Fluência em interfaces digitais e um ciclo de formação
Na visão abraçada neste trabalho, as tecnologias compõem, em conjunto com as
pessoas, configurações que podem explorar aspectos como experimentação, visualização e
dinamismo, com intensidades variadas, de acordo com o tipo de interface, com a finalidade de
produzir vantagens no complexo processo de construção do conhecimento matemático. De
igual modo, adota-se a perspectiva, nesta pesquisa, de que estratégias didáticas preparadas de
forma consistente precisam coordenar, em uma iniciativa de ensino, a articulação entre o
conhecimento requerido para a compreensão do objeto, a manipulação de suas representações
e os meios pelos quais este trabalho pode ser feito. Em síntese, é dizer que o emprego de
tecnologias de forma descolada em relação às estratégias didáticas pode apresentar resultados
decepcionantes.
De outro modo, porém, se é certo que o conhecimento matemático deve orientar o
processo, a constituição de certa desenvoltura nas interfaces tecnológicas solicitadas não deve
ser desprezada. Quando há a mobilização de uma mídia nova em um processo de construção
de conhecimento, surgem desafios a superar. Neste sentido, os esforços em torno da
construção de habilidades específicas em relação às tecnologias eleitas independem da
natureza das mesmas, o que equivale dizer que mesmo instrumentos vistos como mais
“simples” ou portadores de menor potencial de dinamismo, como esquadros, transferidores,
réguas, lápis-e-papel, entre outros, não prescindem daquilo que Oliveira (2013) chama de
fluência no uso das mídias. Um exemplo desta alegação pode ser visto em Oliveira e
Fernandes (2010), que relatam um episódio no qual um processo de construção do
conhecimento matemático encontrava entraves praticamente insuperáveis pelo fato de os
estudantes envolvidos não dominarem a forma correta do uso do transferidor, o que fazia com
que a construção das curvas das funções seno e cosseno experimentasse grandes dificuldades
– os estudantes não conseguiam relacionar o conhecimento acerca do assunto que se
encontrava em processo de consolidação com os resultados empíricos que iam produzindo.
No momento em que uma intervenção dos pesquisadores fez com que os mesmos
percebessem em que erravam no uso do dispositivo, as experimentações passaram a refletir
suas conjecturas, o que concorreu para uma aprendizagem efetiva. No caso, mais do que
favorecer a compreensão dos temas envolvidos, a aquisição de fluência no uso do transferidor
colaborou para a superação de dificuldades de caráter impeditivo.
Tecnologias digitais envolvem complexidades diferentes. Neste sentido, emergem
perguntas como “no que os problemas propostos privilegiam o uso das tecnologias digitais em
40
relação às tecnologias clássicas”, ou melhor, “quais as vantagens na utilização de interfaces
digitais em relação ao suporte estático das ferramentas clássicas para o ensino do tema
matemático em questão” – neste caso, Homotetia? Finalmente, quais capacidades devem ser
desenvolvidas nesses percursos de modo que, a partir do avanço na fluência nos elementos da
interface empregada, se possa propiciar um percurso investigativo de construção de
conhecimento matemático”?
Para a primeira pergunta, já houve uma resposta preliminar nas seções anteriores dos
aportes teóricos, mas isto foi feito de maneira genérica, sem apontar de maneira específica os
ganhos de acordo com os problemas propostos. Este tópico será retomado nas análises
didáticas dos problemas na seção correspondente.
Para a segunda pergunta, Oliveira (2013) elenca um conjunto de categorias que devem
ser desenvolvidas em uma progressão interativa e não linear, com o objetivo de fazer com que
o usuário domine os elementos da interface, pois, segundo o próprio autor:
Dominar ferramentas inerentes à interface é condição para usá-la com fluência, de
modo que, a partir daí a tecnologia associada possa se transformar em extensão da
memória, do pensamento, de procedimentos de construção e conjectura - ou seja,
aprender a usar, de maneira fluente, o dispositivo, o software, o artefato. (Oliveira,
2013, p. 5)
A questão da fluência, posta pelo autor, desdobra-se em outras duas etapas, as quais se
comunicam e abrem espaço às fases seguintes previstas pelo estudo mencionado, que
compreendem a exploração dos elementos da interface e apropriação da lógica da interface
em uso (Oliveira, 2013; Oliveira, Gonçalves e Marquetti, 2015; Oliveira, 2015).
A exploração tem por objetivo familiarizar o indivíduo com os instrumentos
disponíveis na interface, e a apropriação da lógica tem por objetivo progredir essa
familiaridade e estabelecer as primeiras relações destes elementos com o saber matemático
em jogo, necessário para a resolução de um problema.
A relevância da fluência na tecnologia escolhida para um processo de ensino pode ser
de tal ordem que, se não desenvolvida de forma adequada, pode oportunizar que a interface
concorra mais para atrapalhar do que para subsidiar o processo de construção do
conhecimento matemático pelo sujeito, inclusive surgindo para impedir o desenvolvimento
das conjecturas necessárias à investigação matemática. Oliveira (2013, p. 6) ainda destaca
que “facilitar a construção de conhecimento é muito mais uma questão do percurso intelectual
do sujeito e da estratégia didática docente”. Neste sentido, então, “a fluência tecnológica (por
si só) não garante o aprendizado”. Ainda assim, e apesar destas observações, dificuldades
neste percurso de aprendizagem podem estar vinculadas com a insuficiência desta fluência.
41
A expectativa é que a fluência nas tecnologias colabore para alcançar os efeitos
apontados por Borba e Villarreal (2005) e Tikhomirov (1981), de modo que, por meio das
interações com as mídias, sejam possíveis, em relação ao movimento de compreender, certas
reorganizações do pensamento. Tais reorganizações tendem se consolidar à medida que o
docente passa a agregar na sua prática a tecnologia digital sobre a qual desenvolveu certo
nível de fluência.
Nesse meio tempo em que essas reorganizações ocorrem, os sujeitos têm a
oportunidade, desde o início deste ciclo, a partir da experimentação e a visualização por meio
do dinamismo que o software proporciona, em conjunto com as situações propostas pelo
docente, um pensar com tecnologias, à partir do incremento de seus “meios de raciocinar e
conjecturar, o que pode ampliar possibilidades de uso dos conhecimentos matemáticos
presentes em sua estrutura cognitiva, aprendendo a partir deles, mas não de maneira limitada a
eles” (OLIVEIRA, 2013, p.10).
A terceira etapa deste ciclo, no qual o aprendiz se engaja a partir de sua adesão a um
processo de aprendizagem, trata de explorar e desenvolver temas a partir da tecnologia
empregada, ou seja, no caso deste trabalho, por exemplo, a partir do dinamismo oferecido
pelo GeoGebra, proporcionar uma ampliação dos meios pelos quais se exploram os objetos
matemáticos, ao integrar um conhecimento para a resolução de um problema, uma proposta
investigativa que permita avançar em uma atividade e o seu espaço de experimentação. Nisto,
espera-se que o aprendiz possa “visualizar suas propostas e refletir sobre as mesmas, de
acordo com seus conhecimentos prévios e avançar em relação a eles” (OLIVEIRA, 2013,
p.10), partindo, por exemplo, do ato de argumentar sobre condições de existência no contexto
de um problema e alcançar uma generalização ou demonstração para o mesmo, na qual possa
empregar a tecnologia como veículo de expressão para o seu pensamento6.
A quarta etapa consiste em elaborar estratégias com a tecnologia empregada.
Segundo Oliveira (2013, p.11), ao elaborarem estratégias didáticas com o emprego de
tecnologias, deve-se levar em consideração os níveis de aprofundamento de cada etapa da
investigação matemática por meio das mídias escolhidas e os momentos necessários das
intervenções do docente, de acordo com dificuldades que possam emergir no processo e no
desenrolar das atividades que mobilizarão o objeto em questão.
6Nos PCN (BRASIL, 1998, p.86) há uma citação quanto a esta possibilidade, ou seja, da passagem de um
processo de argumentação para uma demonstração: "o refinamento das argumentações produzidas ocorre
gradativamente pela assimilação de princípios da lógica formal, possibilitando as demonstrações".
42
A cadeia de eventos descrita nos passos anteriores não se encerra após o cumprimento
de suas etapas, mas configura um ciclo, o qual se repete de formas distintas e não lineares,
partindo da fluência até a elaboração de estratégias didáticas, para o ensino de outros objetos
matemáticos como pode ser visto no diagrama contido na figura.
Figura 2 - Ciclo de uso de tecnologias por professores de Matemática
Fonte: OLIVEIRA, p.12, 2013 (adaptado)
Sobre a não linearidade do processo, pode-se destacar que,
[...] a partir do uso cada vez mais fluente de determinada tecnologia, as etapas
podem surgir de forma diversa em relação à configuração inicial, assumindo outras
constituições, como a de espiral, rede ou de rizoma, o que implicaria em ordens
distintas – isto equivale a dizer que o processo de ampliação da fluência e de
reorganização do pensamento subverte a configuração cíclica, remetendo a
disposições cada vez mais complexas em relação aos coletivos formados por seres-
humanos-com-tecnologias (OLIVEIRA; GONÇALVES; MARQUETTI, 2015, p.
484).
Desta forma, o que se espera é que à medida que os participantes desenvolvam a
fluência, tanto no software GeoGebra assim como na plataforma Moodle, estes possam
incrementar seus meios de pensar o tema escolhido com essas tecnologias, explorar as
atividades aliando seu conhecimento matemático prévio e os resultados fornecidos em tela
pelo software dinâmico de geometria e, deste modo, elaborar outras estratégias de exploração
ao longo da sequência de atividades aqui proposta.
2.4 Um overview sobre trabalhos correlatos
Com objetivo de situar a investigação e apontar aspectos relevantes dos tópicos
abordados neste texto, destacamos aqui as mais relevantes pesquisas dentre periódicos,
43
dissertações e teses que colaboraram em algum dos momentos da construção da argumentação
aqui exposta e fundamentação das escolhas nas diferentes etapas deste processo.
Dentre os elementos destacados, constam os trabalhos do GPIMEM, Grupo de
Pesquisa em Informática, outras mídias e Educação Matemática da UNESP - Rio Claro.
Dentre estes, Maltempi, Javaroni e Borba (2011, p.43-72) apontam que o emprego de
tecnologias em ambientes de ensino-aprendizagem, tanto presenciais quanto virtuais, depende
da intencionalidade na sua mobilização, ou seja, deve ser pensada "não como um objeto
principal [...], mas com diferentes graus de importância e contextos".
Neste estudo, relacionado a temas que também são abordados nesta pesquisa, dentre
eles o ensino e a aprendizagem de matemática, educação a distância e formação de docentes,
pode-se destacar que o emprego de tecnologias em relação a uma estratégia auxilia não só no
desenvolvimento da aprendizagem de objetos matemáticos, mas também na detecção de
problemas na formação de conceitos destes objetos pelos futuros docentes, oferecendo
possibilidades para a construção de abordagens distintas das usuais e que podem obter
resultados positivos.
Para os autores, resultados promissores podem ser verificados a partir de percursos
que proporcionavam a manipulação de objetos matemáticos por meio de ambientes digitais: a
partir dessa trajetória, a construção de conhecimentos matemáticos, considerando as mídias
empregadas em cada resultado de pesquisa reunido nesse estudo, não só orientam, moldam e
ampliam, mas, de maneira geral, transformam as relações dos seres humanos com os objetos
matemáticos.
No âmbito do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da
PUC/SP, Santos (2012) que desenvolveu uma pesquisa utilizando o modelo de Van Hiele
voltado ao estudo de semelhança de triângulos em uma turma de 9º ano do Ensino
Fundamental, no qual, por meio de atividades no GeoGebra, explora as possibilidades de
progresso no reforço de conhecimentos prévios, bem como a construção de novos conceitos
sobre o tema, trazendo à tona uma maneira pela qual estudantes iniciantes se desenvolvem à
partir de manipulações no software.
Outra pesquisa que se destaca é a de Medeiros (2012), que trata do tema de
semelhança de triângulos a partir de uma análise histórica dos livros didáticos utilizados, e
mostra a construção de um curso de educação à distância, no qual aborda-se o tema com
participantes de um curso de pós-graduação Latu Sensu. Este autor analisa as concepções
acerca da geometria pré e pós-curso dos participantes, utilizando questionários e relatórios dos
44
tutores. Em seu desenvolvimento e nas considerações finais, o trabalho traz consigo aportes
históricos e exemplos práticos relevantes.
O trabalho de Luis (2006) é ligado ao conceito de semelhança em um ambiente digital.
Nesta pesquisa, a autora se debruça sobre o estudo de figuras semelhantes, não somente as
poligonais, integrando um software dinâmico de Geometria, neste caso, o Cabri-Géomètre,
por meio de uma estratégia didática com objetivo de, no curso do desenvolvimento desta,
apurar e responder a duas perguntas de pesquisa: “como se dá a transição da geometria
concreta para a espaço - gráfica no contexto de figuras semelhantes?”, e “como ocorre a
passagem das validações empíricas às dedutivas nesse contexto?” (LUIS, 2006, p.106).
Foram participantes deste curso alunos do primeiro ano do ensino médio. A
metodologia do trabalho utilizada foi a engenharia didática e o referencial teórico empregado
incluiu a teoria de Parsysz para o ensino de geometria, o discurso de Balacheff sobre os
processos de validações e provas e o estudo de Freudenthal voltado para o ensino de
demonstração de uma organização local.
Neste estudo, fica explícita uma preocupação para o estudo da semelhança de formas
geométricas diversas, e não somente as poligonais, quando na análise objeto matemático da
semelhança, desde o apanhado histórico sobre o tema, com o caso dos egípcios e a
ampliação/redução de figuras, até o caso de um processo de uma demonstração que fosse
completa e recente para justificar a semelhança de maneira geral, como proposto por Lima
(1991, p.33), a partir da definição de que toda semelhança é composta de uma Homotetia com
uma isometria. Em seguida, passa pelos casos de semelhança de triângulos nos casos LLL,
AAA e LAL. Na sequência, trata de Homotetia de razão k em um estudo vetorial, para os
casos de ampliação (k>1), transformação identidade (k=1) e redução (0<k<1), além dos casos
inversos de identidade (k=-1), redução (-1<k<0) e ampliação (k<-1).
Nas obras avaliadas pela autora em uma seleção de livros didáticos, ao observar suas
exposições e exercícios sobre os temas componentes da noção de semelhança e o modo como
eram apresentados, observou que apenas um deles apresentava um estudo sobre este objeto de
maneira mais formal e completa para a construção deste conceito.
Nesta obra em destaque, contemplou-se: um caso concreto para a ampliação e redução
de figuras por meio de um suporte estático, a relação entre os lados e ângulos correspondentes
de uma figura, do uso da Homotetia, as condições para que dois polígonos sejam semelhantes
usando a ideia da razão constante entre os seus lados correspondentes, além da congruência
dos ângulos correspondentes, até chegar a definição de semelhança entre dois triângulos;
45
entretanto, Luis (2006) também aponta que o autor deste estudo não relaciona estas definições
e as influências que exercem entre si.
A partir dos pontos supracitados, a autora elaborou uma sequência que articulasse o
referencial teórico e resultasse em atividades divididas em 3 blocos, com suportes distintos a
cada etapa: o primeiro com o uso do pantógrafo, explorando a transição da geometria concreta
para a espaço-gráfica; no segundo bloco, o software Cabri-Géomètre foi usado, restrito a
atividades nas quais o alunado discerne as propriedades, mas não as explica ou demonstra, ao
passo que utiliza a mídia para as explorações. No terceiro bloco, volta-se ao suporte estático,
no caso o lápis e o papel, para que as atividades fossem resolvidas de maneira dedutiva,
segundo o método de ensino de demonstrações proposto por Freudenthal.
Nas considerações finais de sua pesquisa, a autora destaca que, apesar da preocupação
que os alunos apresentaram em justificar os resultados obtidos por eles desde o início das
atividades, estes tiveram dificuldade em descrever por meio de registros o que haviam
observado nas atividades, sendo estas justificativas bem inferiores às apresentadas nos
momentos de investigação, o que mostra uma falta de familiaridade com percursos nos quais
se justificam os resultados.
No percurso dessas justificativas das "provas" apresentadas pelos alunos, estes
reconheciam as propriedades de semelhança, mas não se preocupavam em justificá-las em
detalhes. Apesar dos percalços e da pouca familiaridade também com a linguagem
matemática empregada, além das dificuldades em se expressarem, apurou-se uma evolução
nas estruturas dos pensamentos empregados por parte dos participantes pela autora ao longo
das atividades, apontando um avanço nas validações das conjecturas apresentadas, e uma
atenuação das dificuldades citadas anteriormente.
Em relação a esta breve apresentação, é preciso destacar a ideia da autora do último
trabalho aqui mencionado, que indicou a possibilidade de trabalhar, em contextos de ensino
e/ou aprendizagem de Geometria, com um esquema de convergência de mídias, ou seja, o uso
de diversificadas formas de suporte em sequências que preveem a resolução de problemas
matemáticos. Uma circunstância desta natureza surgirá mais adiante nas análises relativas a
este trabalho.
Com estas observações, conclui-se o referencial teórico desta pesquisa. Em seguida,
apresentam-se os aportes metodológicos.
46
Capítulo 3
Aportes Metodológicos
3.1 Modalidade de pesquisa
Este trabalho se refere a uma pesquisa na modalidade qualitativa, por meio de um
delineamento de estudo de caso, o qual, no entendimento de Ponte (2006):
Um estudo de caso visa conhecer uma entidade bem definida como uma pessoa, uma
instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma política ou
qualquer outra unidade social. O seu objetivo é compreender em profundidade o
“como” e os “porquês” dessa entidade, evidenciando a sua identidade e
características próprias, nomeadamente nos aspectos que interessam ao pesquisador.
É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça
deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou especial,
pelo menos em certos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais
essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global de um
certo fenômeno de interesse (PONTE, 2006, p.2)
O autor indica que os estudos de caso são habitualmente utilizados para, entre outras
possibilidades, realizar análises das propostas de formação inicial ou contínua de docentes, o
que vem a representar, a propósito, o cenário descrito nesta investigação. Assim, em relação
ao paradigma metodológico, este estudo se baseia na interpretação dos fenômenos postos em
evidência e obtidos por meio da recolha de dados (Kilpatrick, 1988 apud Ponte, 2006).
Desta forma, a escolha por esta técnica alinha-se com os propósitos da pesquisa,
principalmente o de desenvolver uma estratégia didática para uso de tecnologias digitais em
atividades/problemas ligados à geometria plana, tendo o tema de “Homotetia” como elemento
matemático principal, e a intenção de evidenciar as compreensões constituídas a partir de
pressupostos interativos no âmbito de pessoas-com-tecnologias-digitais.
3.2 Descrições dos sujeitos
Para a coleta de dados desta pesquisa, abriram-se as inscrições a partir de um regime
de voluntariado junto aos alunos do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática da PUC-
SP. Destes, a princípio, houve o interesse de 11 alunos, dos quais nove participaram
inicialmente das interações7. De modo geral, dois estudantes finalizaram as atividades
propostas. Em relação às desistências, nenhuma justificativa foi apresentada – ou mesmo
requerida – em atenção ao fato de os participantes serem, justamente, voluntários.
Cabe ressaltar que o papel do pesquisador, desde o início deste estudo, foi o de
mediador, um facilitador, na medida em que as suas contribuições não afetassem diretamente
7 Aqui, os nomes dos sujeitos foram substituídos pelas siglas P1 a P9, como forma de preservar o anonimato dos
mesmos.
47
as produções dos sujeitos. Outro fato a ser destacado é de que as etapas previstas ao
desenvolvimento do ciclo proposto por Oliveira (2013) foram respeitadas, de modo que
pudessem ser vencidas as dificuldades iniciais já apontadas.
A disponibilidade do ambiente na plataforma Moodle, em relação aos tópicos dos
blocos 1 e 2 de atividades, ocorreu no início de maio de 2015 e estendeu-se até o início de
julho do mesmo ano. Entretanto, a participação dos indivíduos na plataforma não se deu da
maneira esperada, ou seja, de forma fluida e espontânea, por assim dizer. Após duas semanas
da abertura da plataforma, não houve acessos, gerando a necessidade de se buscar uma outra
aproximação com os participantes, o que configurou o primeiro obstáculo à aplicação da
pesquisa. Neste esforço, foi relatado por alguns dos sujeitos que os mesmos não sabiam como
operar, seja a plataforma Moodle ou mesmo o GeoGebra da maneira esperada para que se
concretizassem suas produções e postagens, além das interações necessárias para a eventual
troca de ideias entre os participantes.
Deste modo, para contornar estas questões, o pesquisador elaborou uma apresentação
no Power Point que continha os elementos necessários às primeiras explorações no Moodle.
Além disto, uma explicação breve dos elementos do GeoGebra contidos nos roteiros
propostos para as primeiras atividades também foi feita, ao mesmo tempo em que foi marcado
o primeiro de outros três encontros presenciais. Nestas oportunidades, foram distribuídas a
apresentação supracitada e o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), ambos
presentes nos apêndices.
Os sujeitos participantes, na sua maior parte, eram professores da rede pública estadual
de São Paulo ou municipal da capital paulista. Apenas três destes não atuavam como
professores ou possuíam menos de cinco anos de formados em suas licenciaturas de
Matemática ou em Pedagogia, o que configura um perfil experiente, na sua maioria, na prática
de sala de aula. As idades dos voluntários variavam entre 25 e 48 anos.
Os três encontros presenciais ocorreram na sala de estudos do PEA-MAT no campus
Consolação da PUC/SP, em sábados não consecutivos, por meio de sessões de duas horas de
duração cada. Estes encontros não estavam programados inicialmente, mas se mostraram
necessários devido à resistência dos sujeitos, e de suas dificuldades, ligadas à fluência nas
tecnologias envolvidas. De todo modo, esta possibilidade já se fazia prevista em Oliveira
(2013). Nos encontros presenciais, os participantes eram incentivados a promoverem
discussões e a acessarem as atividades disponíveis no Moodle, o que só ocorreu em relação
aos dois participantes que finalizaram as atividades. Para estes, a plataforma foi mais que um
48
facilitador:representou um meio de possibilitar sua participação, assim como esperado, desde
a elaboração dos instrumentos desta pesquisa.
Deve-se destacar, também, a quase unanimidade no discurso dos participantes de que a
geometria representava um obstáculo de diversas faces para os mesmos, principalmente pela
inexistência da formação em relação à mesma ao longo da própria trajetória acadêmica. Desta
forma, ao longo dos encontros, eram comuns relatos como: "- Eu não sei ao certo se é isso,
mas eu fiz assim...", mostrando o receio natural de se expor e colocar à prova conhecimentos
precários;de todo modo, deve-se ressaltar a coragem indispensável ao docente em buscar
meios para superar tais obstáculos ao buscar por um curso como o oferecido nesta pesquisa.
Outro destaque fica por conta das constantes perguntas, como: "- O que você quer que
eu faça?" ou "- Não entendi o que você quis dizer aqui...", o que configura um reflexo
deletério de uma formação acadêmica que predominantemente busca por questões lineares ou
decorativas. Alguns deles recordavam de aulas que tiveram desde o ensino fundamental
envolvendo alguns dos elementos e construções mais simples, mas a argumentação nas
justificativas e nas respostas era bastante precária, inicialmente.
Por se tratar de um grupo com um número restrito de participantes, tanto aplicação
como coleta de dados foram feitos pelo pesquisador. Como descrito anteriormente, uma das
funcionalidades do Moodle seria o registro das produções e diálogos, entretanto, com a
necessidade dos encontros presenciais, os fatos, reações dos participantes e as produções
foram registradas também por meio de gravações de áudio e registros manuscritos. O registro
das respostas às perguntas feitas na plataforma foi complementado e registrado na plataforma,
conforme o que foi pedido aos participantes.
Vale ressaltar que não houve preparação prévia ou adiantamento com relação ao tema
das atividades, ou seja, nada foi dito sobre o tema ser “Homotetia”, mas foi revelada a
intenção de, por meio das questões e seus percursos exploratórios, conseguir detonar um
processo pelo qual os sujeitos-com-as-mídias conseguissem repensar sua prática e houvesse
de fato reorganizações do pensamento, estas relatadas mais adiante nos resultados.
3.3 O ambiente virtual de aprendizagem Moodle
O Moodle é um ambiente virtual de aprendizagem, livre e gratuito, lançado
oficialmente em 2002, criado por Martin Dougiamas. Trata-se de um software hospedado em
um servidor privado e pode ser acessado por meio de um dos navegadores de internet, como
por exemplo, o Internet Explorer, o Google Chrome ou o Mozilla Firefox.
49
Foi arquitetado com o propósito de oferecer recursos às instituições de ensino,
professores e alunos, por meio de um ambiente que possibilita, com diversas ferramentas, o
ensino e/ou aprendizagem online por meio da constituição de cursos ou de iniciativas
semelhantes.
Este ambiente foi escolhido por conta de suas características, as quais se alinhavam
com os propósitos do estudo. Destacam-se dentre elas, por exemplo, proporcionar aos
participantes um ambiente confiável e estável para suas interações, pois as produções ficariam
registradas em um servidor, com acesso facilitado e na qual poderiam contribuir de maneira
síncrona, se assim o desejassem (por meio de um chat, por exemplo), ou assíncrona, por conta
da estrutura de fórum de discussão dos tópicos lá instalados. Além disso, não há custos
envolvidos e a participação de todos é garantida pela infraestrutura da PUC/SP, que permite o
acesso a todos os alunos inscritos.
3.4 O Software GeoGebra
O GeoGebra pode ser visto como um software dinâmico para ensino ou aprendizagem
de Matemática. Criado em 2002 por Markus Hohenwater, trata-se de um programa
computacional gratuito, de livre distribuição e uso para fins educacionais. De acordo com suas
finalidades, pode proporcionar a exploração de diversos temas de campos diversos da
Matemática por meio da sua interface, dentre eles Geometria, Álgebra, Cálculo, Probabilidade
e Estatística.
Quanto a natureza dinâmica do software, Luis (2006) aponta que este proporciona um
processo de construção (desenho, nas palavras da autora), no qual as representações dos “[...]
objetos geométricos são feitas a partir das propriedades que as definem. Através de
deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se transforma,
mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação" (Luis, 2006, p.13). Além
disto, “os desenhos em movimento criam naturalmente um ambiente de investigação,
possibilitando criar conjecturas, e buscar o entendimento do problema geométrico em
questão”(Luis, 2006, p.13).
Logo, por meio do dinamismo oferecido pelo software, por conta das simulações que
executa e exibe ao usuário, em conjunto com uma estratégia didática, o mesmo pode se
constituir em um instrumento útil na exploração, experimentação e visualização de
propriedades matemáticas de objetos dos campos citados anteriormente, à medida que se
50
"clica e arrasta" quando da mobilização das ferramentas disponíveis de acordo com o tema
escolhido.
3.5 Descrição dos instrumentos de coleta dos dados
A coleta de dados desta investigação se deu, prioritariamente, por meio das resoluções
propostas pelos sujeitos para as atividades acerca do tema matemático “Homotetia”,
explicitadas mais adiante. Além disso, foram coletas as impressões, opiniões, propostas,
conjecturas e outras expressões do pensamento dos envolvidos por meio de uma das
ferramentas da plataforma Moodle: o fórum de discussões. O produto resultante das reuniões
presenciais também foi coletado, de modo a juntar tais dados para garantir que o leitor possa
acompanhar cada uma das etapas cumpridas. Ao longo das análises, no próximo capítulo, as
interações assim obtidas são explicitadas. Não se julgou necessário distinguir quais diálogos
ou observações foram feitas em determinada modalidade (online ou presencial), uma vez que
não foi objetivo deste estudo mensurar os dados relativos a este critério.
Não obstante, as manifestações dos sujeitos por meio da interface de comunicação
assíncrona e as de cunho presencial foram essenciais para a percepção e análise das interações
dos sujeitos com as atividades por meio das mídias e o processo de construção do
conhecimento, ocorrido ao longo da investigação. A lógica de constituição dos instrumentos
de coleta se materializa, então, por meio da proposta de um curso no ambiente Moodle, para o
qual os sujeitos foram convidados, e com a ocorrência de encontros presenciais no âmbito da
PUC/SP.
3.6 Estrutura do curso
De acordo com o conceito de plano de ensino definido por Palloff e Pratt (2002, p.
115) como adequado para o ensino online, alguns elementos são necessários para a
apresentação de cursos elaborados nesta modalidade. Destes, apontam-se a apresentação, os
objetivos e resultados esperados, materiais para leitura e tópicos/roteiro de curso. Nas
sessões correspondentes, apresentam-se justificativas das exposições ou não de alguns destes
elementos de acordo com o referencial teórico e as escolhas feitas pelo autor. De antemão, é
preciso dizer que o próprio tema do curso não foi revelado para os sujeitos, com o intuito de
que os mesmos o descobrissem ao longo da constituição das resoluções e como resultado das
interações no ambiente virtual.
Neste sentido, de acordo com os autores supramencionados, na apresentação do curso,
51
deve constar os papéis do docente, dos alunos, suas responsabilidades e avaliações.
Utilizando esses pressupostos, elaborou-se um texto, apresentado na tela inicial do curso
(primeiro registro escrito com o qual os participantes tiveram contato). De forma geral, foram
listados os objetivos, papéis de docente e alunos, bem como suas responsabilidades. O texto
pode ser conferido nos apêndices deste trabalho.
3.6.1 Objetivos e resultados
Os objetivos e resultados apresentados aos alunos foram declarados na medida em que
não comprometessem a investigação proposta, ou seja, não anunciassem de antemão o tema
“Homotetia”, mas indicássemos temas que seriam evidenciados ao longo da iniciativa.
Desenvolvimento da fluência no software GeoGebra, por meio das interações com as
representações dos objetos matemáticos componentes dos problemas apresentados;
Promover, a partir da experimentação e da visualização, por meio do dinamismo que o
GeoGebra proporciona, em um movimento conjunto com as situações propostas, um
pensar com tecnologias, a partir do incremento dos meios de raciocinar e conjecturar,
o que pode ampliar possibilidades de uso dos conhecimentos matemáticos presentes
em sua estrutura cognitiva, aprendendo a partir deles, mas não de maneira limitada a
eles (Oliveira, 2013, p.10).
Explorar e desenvolver temas a partir da tecnologia empregada, ou seja, a partir do
dinamismo oferecido pelo GeoGebra, integrar os conhecimentos necessários para a
resolução de um problema, uma proposta investigativa para apresentar conjecturas e o
seu espaço de experimentação. Nisto, espera-se que o aluno possa visualizar suas
propostas e refletir sobre as mesmas, de acordo com seus conhecimentos prévios e
avançar em relação a eles (Oliveira, 2013, p.10).
Da mesma forma, os resultados esperados seriam os seguintes:
Espera-se que os participantes, enquanto desenvolvem a fluência no GeoGebra, por
meio de situações problema que articulam tópicos que compõem o tema central da
discussão, sejam capazes de construir, criticar e resolver tais problemas, apresentando
neste meio tempo seus resultados, inquietações, percepções e argumentos;
Espera-se, também, que os cursistas sejam capazes de perceber e listar, em um
percurso que estimula o uso da linguagem matemática própria para expressá-los, os
elementos geométricos, bem como os axiomas, propriedades e teoremas mobilizados
52
nas suas justificativas e o que cada problema trouxe quanto ao uso da tecnologia para
o seu aperfeiçoamento em relação ao tema matemático do curso, e na geometria como
um todo.
3.6.2 Tópicos e roteiro do curso
Os tópicos do curso não foram anunciados aos participantes inicialmente por conta da
proposta da pesquisa, que previa que os sujeitos os descobrissem à medida que iam
resolvendo os problemas; entretanto, serão aqui listados para que o leitor se situe no decorrer
dos eventos que aconteceram ao longo do curso e que foram descritos nas análises. Disto,
destacam-se as etapas:
Atividades de fluência e apresentação da plataforma e do software GeoGebra;
Atividades sobre proporcionalidade e Homotetia;
Atividades sobre Semelhança de Triângulos
o Caso LLL;
o Caso LAL;
o Caso AAA;
o Semelhança nos triângulos retângulos e temas correlatos;
3.7 Como os autores/teorias serão empregados na análise (categorias de análise)
Entende-se aqui como categorias de análise aqueles elementos que constituem os
focos preferenciais da análise dos dados levantados por meio dos instrumentos da pesquisa
(Oliveira, 2007). Além de disso, claramente neste caso, as categorias emergiram e ganharam
sua estrutura ao longo do processo relativo à pesquisa, como indicam Laville e Dionne
(1999), de modo que estes elementos, uma vez ligados à lógica estruturante da investigação,
se estabelecessem e ganhassem legitimidade. Desta maneira, as categorias elencadas aqui são:
Constituição de fluência nas tecnologias empregadas e no tema matemático em
desenvolvimento, de modo a evidenciar a reorganização do pensamento;
Formas de constituição das conjecturas e propostas de resolução de problemas ligados
ao tema “Homotetia” (e conceitos correlatos) a partir de processos interativos com
base em um coletivo de pessoas-com-GeoGebra;
Uso de características típicas das tecnologias digitais, como visualização,
experimentação e dinamismo nas propostas e discussões apresentadas, bem como a
convergência em relação a outras tecnologias (lápis e papel, por exemplo);
53
Constituição de temas e estratégias a partir da construção do conhecimento em um
cenário de pessoas-com-GeoGebra.
Estruturados desta forma os procedimentos de caráter metodológico, o próximo
capítulo se encarrega das descrições e interpretações relativas às análises.
54
Capítulo 4
Descrições e análises
4.1 Análises descritivas das atividades da pesquisa
Um ponto importante que deve ser destacado é a importância no planejamento das
atividades que envolvem o uso de tecnologias digitais em seus percursos de investigação.
Como apontam Oliveira (2013) e Oliveira, Gonçalves e Marquetti (2015), as velocidades
destas tecnologias não aceleram instantaneamente o aprendizado, e jamais o fazem, em
qualquer tempo, por elas mesmas. Deve se levar em consideração o nível cognitivo
correspondente, ao mesmo tempo que gradualmente se forneçam elementos para o
desenvolvimento da autonomia dos participantes, etapa essa da estratégia didática que permite
distinguir “[...] níveis de aprofundamento, momentos de intervenção mais direta do docente,
necessidades de retomadas e o uso reconstrutivo do erro e de concepções equivocadas, por
vezes reforçadas por obstáculos de natureza didática ou epistemológica"(OLIVEIRA, 2013,
p.11).
Por conta dos sujeitos desta pesquisa serem pessoas que têm ou já tiveram um contato
inicial com os temas matemáticos listados neste trabalho em algum momento da sua trajetória
acadêmica/escolar, e também pelo fato de serem professores e estudiosos que empregam a
geometria no cotidiano profissional/acadêmico, havia a expectativa de se discutir as
atividades em um nível no qual os mesmos conseguiriam passar pelas etapas equivalentes
àquelas que os seus alunos deveriam superar e ir além, do ponto de vista dos saberes
mobilizados e suas conexões.
Esta etapa também faz parte do ciclo mencionado por Oliveira (2013), entretanto, não
se espera que uma argumentação matematicamente impecável emerja de todos os
participantes desde o primeiro momento. Trata-se de um processo gradativo. Para tanto,
esperava-se as trocas interativas concorressem para tornar menos pronunciadas as diferenças
nas formações acadêmicas dos participantes, à medida que os mesmos pudessem confrontar
suas dúvidas, expectativas e constatações, além de constituírem progressos pessoais, de modo
a aproximarem-se dos colegas e compartilharem suas descobertas, principalmente com
aqueles que não tivessem tanta segurança para fornecer suas primeiras contribuições.
55
Com a intenção de promover características de aprendizagem colaborativa em um
ambiente online interativo, as atividades componentes desta pesquisa, disponibilizadas no
ambiente Moodle, tinham a seguinte constituição:
Atividades de fluência e apresentação da plataforma e do software GeoGebra;
Atividades sobre proporcionalidade e Homotetia;
Atividades sobre Semelhança de Triângulos
o Caso LLL;
o Caso LAL;
o Caso AAA;
o Semelhança nos triângulos retângulos e temas correlatos.
Ao longo deste capítulo, evidenciar-se-á a parte das atividades que foi possível
desenvolver com os sujeitos, bem como as trajetórias de cada um durante o processo. É
preciso ressaltar que não houve tempo – e somente se descobriu isto durante o processo de
coleta de dados, materializado pelo curso já descrito no capítulo anterior – para realizar a
última etapa planejada, relativa às atividades sobre semelhança nos triângulos retângulos.
4.1.1 Bloco 1: Atividades de fluência e o teorema fundamental da proporcionalidade
Estas atividades têm por objetivo introduzir os sujeitos à lógica dos comandos da
interface do software GeoGebra 5, além de proporem o estudo inicial do teorema da
proporcionalidade. Tratam-se, assim, de atividades que têm por objetivo familiarizar os
indivíduos com a lógica interna do programa, de modo a habilitar os mesmos à execução de
construções simples para o desenvolvimento de fluência na interface do software, ao mesmo
tempo em que revisitam postulados fundamentais da geometria euclidiana, como o de
paralelismo, por exemplo, que serão úteis nas etapas seguintes dos percursos investigativos.
Neste ponto, as atividades, conforme explica Oliveira (2013, p.6), devem priorizar
duas etapas: a primeira relativa a exploração dos elementos da interface, ao iniciar as
primeiras construções no software com os desdobramentos desejados, como, por exemplo, a
preservação de proporções de alguma construção ou, ainda, a manutenção das propriedades de
um polígono regular, caso algum dos seus pontos seja movimentado; a segunda, atinente à
apropriação da lógica da interface em uso, na qual o usuário integra o conhecimento
matemático necessário para a resolução do problema e mobiliza elementos da interface em um
movimento de reconfiguração do pensamento (Tikhomirov, 1981). Estas atividades iniciais,
de caráter individual, precedem à problemática inerente às etapas seguintes.
56
4.1.1.1 Análise do ponto de vista didático
Essa atividade visa explorar os elementos operacionais presentes na interface, ou seja,
os recursos do software. Segundo os argumentos de Oliveira (2013), é importante que o
estudante se aproprie dos elementos típicos da ferramenta utilizada, de modo a encaminhar,
posteriormente, a segunda fase da fluência que diz respeito à compreensão típica da lógica do
programa, em integração com o conhecimento matemático necessário.
Em termos comparativos, a régua, no contexto do GeoGebra, pode ser representada
pela ferramenta "Reta". Já o compasso existe como uma ferramenta de mesmo nome, e o
transferidor pode ser simbolizado a partir da ferramenta "ângulo". Com o uso destes
instrumentos, podem-se construir métodos para criar escalas, explorar proporções, verificar
comprimentos de segmentos por comparação ou via transferência de medidas, verificarem
ângulos e começar a explorar as primeiras construções que aproveitam o potencial dinâmico
do software. A partir daí a expectativa é a de constituir as primeiras discussões quanto as
propriedades, suas alterações ou manutenção, dada a natureza da construção proposta. O papel
do pesquisador consistiu, neste caso, na orientação dos sujeitos em torno da dinâmica do
ambiente e no incentivo às interações (e, quando possível, à colaboração) como forma de
constituir aprendizagens; os alunos, por sua vez, propuseram soluções para as questões em
foco, discutiram e reestruturam suas conjecturas.
4.1.1.2 Análise do ponto de vista matemático
Nesta atividade, há uma ação de caráter múltiplo, tanto na manipulação supracitada,
quanto na retomada do emprego de axiomas e teoremas fundamentais da Geometria
Euclidiana, tais como os teoremas de perpendicularidade e paralelismo entre retas, que serão
úteis mais adiante no desenvolvimento das noções de Homotetia. Além disto, esperava-se que
surgissem as primeiras observações e dúvidas quanto à diferença entre desenhar e construir, já
que as figuras construídas no ambiente digital preservam suas propriedades geométricas
mesmo quando manipuladas; já as desenhadas, não necessariamente.
4.1.1.3 Resultado esperado
Fornecer elementos para que os participantes desenvolvessem, no GeoGebra, as
construções propostas, enunciando aos colegas os percursos que adotaram, interagindo neste
processo, comentando dúvidas e percalços. Nesta etapa, então, esperava-se que surgissem
57
dúvidas quanto à operação da interface e, na sequência, questionamentos sobre as restrições
do uso das ferramentas de perpendicularidade e de paralelismo8.
Além disto, esperava-se que os alunos não estruturassem completamente seus
argumentos com base em axiomas ou teoremas em um momento inicial, em função de
possível falta de familiaridade com estes elementos, não consolidados em suas formações
acadêmicas prévias. Em tese, atividades como as que foram encontradas nesta pesquisa vão
além do contexto de problemas geométricos com os quais a maioria dos professores da escola
básica estão familiarizados.
Entretanto, esperava-se que, após as primeiras discussões, a linguagem matemática
própria se constituísse, uma vez que seria recomendada pelo mediador. Desta forma, tal
abordagem poderia surgirem diferentes níveis de domínio dos elementos de Geometria
Euclidiana. Essas mudanças partem da exigência de uma linguagem distinta da linguagem
natural, formalizada e fundamentada nos pressupostos e propriedades geométricas
mobilizadas no desenvolvimento dos problemas, de certa forma aproximando gradativamente
a linguagem empregada daquela presente no discurso próprio à área.
4.1.1.4 Primeira construção
Aqui, o enunciado, disponível no AVA, por meio da ferramenta fórum9, era o
seguinte:
a) Construa um triângulo equilátero de lado com um tamanho qualquer, por exemplo,
com medida 3 cm;
b) Quais argumentos você utilizaria para garantir que o triângulo criado é, de fato,
equilátero? Caso "movimente" algum dos pontos do triângulo que criou, esta
estrutura se preserva íntegra em suas propriedades? Comente no fórum de
discussões da primeira atividade o que garante a estabilidade da construção (ou o
que não a permite);
c) Quais alterações você gostaria de descrever com relação à sua construção?
8 O GeoGebra possui as ferramentas, retas perpendiculares e retas paralelas, disponíveis sem que seja necessário
empregar quaisquer raciocínios matemáticos para obter tais elementos. Entretanto, nesta investigação, foram
priorizados os métodos de construção mesmo para elementos já existentes como comandos da interface, já que
esta condição permitiria, em tese, melhor observar as interações dos sujeitos entre si e com o conhecimento
matemático. 9 Cada uma das construções representava um tópico de um fórum de discussões, de modo que cada participante
“entregava” sua atividade postando sua proposta como resposta ao tópico.
58
Por se tratar de uma atividade que pretendia trabalhar aspectos iniciais da fluência em
relação ao GeoGebra, um roteiro foi disponibilizado, como segue, considerando que podem
existir outras formas de levar à cabo esta tarefa:
Criar um segmento de reta AB com comprimento fixo de 3cm (ou outra medida);
Utilizar a ferramenta compasso a partir de um dos seus extremos para criar duas
circunferências, "c" e "d", com centros em A e B, extremos desse segmento AB,
circunferências essas que determinam entre si dois pontos de interseção, C e D;
Caso sejam traçados dois segmentos AC e BC ou ainda AD e BD, a sequência de
segmentos escolhida em conjunto com AB determina um triângulo equilátero.
Este triângulo é equilátero por uma série de justificativas, dentre elas a trivial, oriunda
do senso comum e pela observação da estrutura já finalizada e não construída, na qual se
destacam as características básicas de um triângulo desta natureza, ou seja, todos três lados
com comprimento idêntico e ângulos internos congruentes de 60 graus.
Outra justificativa seria (1) que a partir dos extremos do segmento, dos pontos B e A,
ao traçar as circunferências c e d, com raio de medida igual ao comprimento do segmento AB,
determinam-se dois pontos de interseção de "c" com "d", chamados C e D. Disto, ao transferir
a medida AB com a ferramenta compasso partindo de A ou B sobre "c" ou "d", verifica-se que
os pontos C e D têm distâncias iguais para A e B. Dessa forma, deduz-se que 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴
(ou 𝐴𝐶 ) têm as mesmas medidas de comprimento.
Também se pode justificar (2) quanto à medida dos ângulos internos: caso transfira-se
a medida AB com o compasso novamente sobre "c" ou "d", partindo de C ou D, teremos outro
ponto, E sobre "c" ou "d", ponto este que determina outro triângulo equilátero ADE ou BDE,
de características semelhantes ao anterior, ABC. Realizando, por exemplo em "d", o mesmo
processo partindo de E, encontra-se B', que é oposto a B em relação à A, no diâmetro 𝐵′𝐵 de
"d". Nisto, 3 regiões circulares idênticas configuram-se dentro de "d" e sobre 𝐵′𝐵 , e, com
isso, garante-se que Â=180º/3 = 60º. Pela propriedade dos ângulos alternos internos, ^ ^
A D , e
pela soma dos ângulos internos de um triângulo,
^ ^ ^ ^ ^
180º 120º 180º 180º 120º 60ºA D B B B .
De (1) e (2) temos que ADB é um triângulo equilátero, como se vê na figura 2.
59
Figura 2– Esquema de construção de um triângulo equilátero no GeoGebra
Fonte: o autor
Com relação à construção no GeoGebra, foi observado ser necessário, em algumas
ocasiões, dependendo da configuração ajustada em um computador em particular, ativar os
recursos "Exibir rótulo" e "Exibir valor" em cada um dos pontos, retas e segmentos de reta
empregados nas construções para que o usuário não viesse a ficar sem notações. No âmbito do
programa em questão, podem ser utilizadas as ferramentas “segmento com comprimento
fixo”, “círculo dados centro e um de seus pontos”, “reta”, “segmento de reta”, “polígono” e
“ângulo”.
Quanto aos aspectos de dinamismo do software, caso a construção tenha sido feita
corretamente, ocorrerá a preservação das propriedades da estrutura segundo parâmetros da
geometria euclidiana, parâmetros esses pautados nos axiomas e teoremas utilizados como
elementos pelo software e mobilizados pelo usuário, mesmo que de forma intuitiva.
Ampliação e redução da construção não são possíveis neste caso, considerando o segmento de
cuja medida era fixa e que iniciou a construção: apenas os movimentos de rotação e de
translação da estrutura são possíveis, a partir da movimentação do ponto B ao redor de A, e a
movimentação de toda a estrutura a partir de A.
No que tange aos resultados apurados, destacam-se aqui as dificuldades apresentadas
pelos sujeitos neste ponto, primeiramente com a postagem dos resultados das suas atividades
obtidas por meio do GeoGebra no Moodle, sendo que dois sujeitos enviaram suas produções
por captura de tela, modo este que anula qualquer potencial de réplica dos outros
participantes, por não proporcionar a possibilidade de manipulação, configurando, deste
modo, uma produção semelhante a oferecida por um suporte estático. Em relação a uma
postagem deste tipo, um dos sujeitos indica:
60
P3:Na imagem/print da construção do equilátero pela participante, não se tem claro
se o raio é fixo, para tanto seria necessário termos acesso ao arquivo .ggb de sua
construção para que possamos ter essa certeza.
Outra dificuldade foi quanto ao uso da interface de geometria do GeoGebra (janela de
visualização), no que se refere aos elementos da geometria euclidiana. Como pode-se verificar
a seguir, a partir da produção de um dos sujeitos, surgem elementos da geometria analítica,
como o eixo cartesiano (figura 3).
Das produções apuradas, apenas esta utilizava a marcação de 3 pontos isolados usando
o suporte do eixo cartesiano, desenhando, por meio da ligação dos pontos via segmentos, e
não construindo, o triângulo equilátero como pedido. Ao movimentar os pontos, conforme
solicitado por um dos itens da atividade, o sujeito pôde observar que a "construção" que
realizara não tinha estabilidade em relação às propriedades, e que aquele método não passava
de uma aproximação do que seria um triângulo equilátero de fato.
Este foi um dos elementos abordados pelo pesquisador junto aos participantes na
apresentação de slides, contida nos anexos, realizada no primeiro dos encontros presenciais.
Figura 3- Exemplo do uso da interface de Geometria Analítica no GeoGebra
Fonte: Dados da pesquisa
61
Dos demais resultados, apesar da indicação do roteiro para que houvesse a iniciação da
exploração dos elementos da interface, apurou-se que houve alguns percursos distintos ao
proposto, dentre eles:
Exploração direta do caso geral de construção de um triângulo retângulo, não
utilizando um segmento de comprimento fixo, mas um segmento de
comprimento AB qualquer – em função disto, o participante julgava ser este
um método que justificava por si só;
Utilização da ferramenta “polígono regular”, por meio da qual o participante
digitava a medida, o lado do triângulo a ser gerado pelo software e o mesmo o
fazia – tal método não estimula reflexão nenhuma acerca dos elementos que
compõem o triângulo equilátero, muito menos a discussão sobre o que a
construção se propunha a propiciar;
Uso da ferramenta círculo dado um centro e raio, a partir do qual o
participante determinava um centro para a circunferência e atribuía um valor ao
raio de 3cm.
Neste meio tempo, apesar de não ter sido exigido, o uso da ferramenta de ângulo por
parte de alguns participantes foi observado, pois auxiliaria na argumentação da acuidade das
construções realizadas, por meio de um fator empírico de constatação, como pode ser
observado nas Figuras 4 e 5 na sequência.
Figura 4- Uso da ferramenta Ângulo (1)
Fonte: Dados da pesquisa
62
Figura 5- Uso da ferramenta Ângulo (2)
Fonte: Dados da pesquisa
Quanto ao item b, houve um consenso quanto ao que acontecia com os elementos do
triângulo de acordo com o movimentar dos seus pontos, convergindo exatamente para a
resposta esperada, em relação à qual a construção proposta teria apenas os movimentos de
rotação e translação a partir do movimento dos pontos A e B que a geram.
Entretanto, quanto a questão da argumentação do que poderia garantir que o triângulo
gerado pela construção apresentada de fato fosse equilátero, os modos de argumentar foram
diversos, exibindo, entre outros aspectos, uma precariedade esperada no domínio dos
elementos necessários para argumentar acerca da construção. Por exemplo:
P6: A garantia de ser equilátero está na forma com que foi construído. Ao analisar
a construção tendo um raio fixo de 3cm, sendo um dos pontos o centro de uma
circunferência e tendo o outro ponto como centro de uma segunda circunferência,
resultou assim na formação de três pontos, ponto de início da reta, ponto de fim da
reta[na verdade, aqui o participante se referia ao segmento 𝐴𝐵 ] e intersecção entre
as circunferências (ponto C ou D). Ao ligarmos os pontos as medidas dos lados do
triangulo serão congruentes.
Outro exemplo pode ser visto na resposta seguinte:
P4: Para garantir as propriedades necessárias, usei o recurso mais simples do
software, que é a construção de um polígono regular com 3 lados de mesma medida.
Mas quando expresso que é simples, é preciso compreender as propriedades básicas
de um triângulo equilátero que é um polígono regular de 3 lados. Esse recurso
permite criar qualquer polígono regular a partir de 3 lados. Como o segmento de reta
ou lado tem valor fixo e a figura é um polígono regular então, ele irá manter sua
forma sem deformar, sem modificar suas características, bem como conservando os
63
3 ângulos internos com 60º e também pode ser movimentada na malha do programa,
por um dos vértices.
Das argumentações utilizadas, a que apresentou os elementos e a linguagem mais
próximos do apropriado, apesar de não mencionar a congruência na medida dos ângulos, foi a
seguinte:
P3: O triângulo ABC é equilátero devido a congruência dos lados, foi
construído considerando o segmento 𝐴𝐵 como base, e os pontos C e D são pontos de
intersecção entre as circunferências que contém o ponto A e B como centro. O raio
das duas circunferências tem a mesma medida de AB, portanto, qualquer segmento
que contém nas extremidades o centro e qualquer ponto da circunferência possui a
mesma medida do raio, sendo assim, os segmentos 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 são congruentes,
possibilitando uma das construções de um triângulo equilátero.
Na sequência, o participante P7 destacou: "o texto de P3 sobre a primeira construção
traz uma linguagem matemática adequada, além de, descrever todos os procedimentos de
forma clara para a construção do triângulo equilátero. Abraços."
Em seguida, uma pequena discussão teve lugar:
P5: Boa noite, pessoal, segue em anexo a minha construção, eu li o roteiro e os
comentários dos colegas. Então fiz um triângulo, com o raio da circunferência com
valor fixo, e o outro com o raio qualquer. Para mim, ambas resultam em um
triângulo equilátero. É isso mesmo?
P7: Vi suas construções e percebi que você construiu outro triângulo considerando o
raio das circunferências como lado comum dos dois triângulos equiláteros, Abraços.
P5: [...]as minhas construções ficaram iguais (às suas). Para constatar o (triângulo)
equilátero medi os ângulos e os lados, como o triângulo está inscrito na
circunferência e foi construído "em cima" dos raios, a movimentação dos pontos não
faz com que deixe de ser equilátero.
Ao fim desta primeira atividade, chega-se à conclusão de que uma construção
relativamente simples traz à tona as incompletudes e as dificuldades no domínio dos
elementos mínimos à elaboração de uma justificativa matematicamente válida. Quaisquer
eventuais validações – ou pelo menos, a grande maioria – empregaram processos empíricos,
por meio, por exemplo, da medição de segmentos ou ângulos, formas estas ligadas a casos
particulares dos objetos em estudo. Entretanto, os resultados evidenciados dão conta dos
processos de experimentação levados à efeito pelos sujeitos, para os quais tiveram o apoio das
interfaces digitais que empregaram.
4.1.1.5 Segunda construção
A segunda construção trazia um questionamento, no seguinte sentido: “Caso vocês
quisessem fazer um modelo que gerasse um triângulo que fosse equilátero, mas que pudessem
modificar o tamanho dos seus lados, como o realizariam? Dentro da solução apresentada
64
pelos colegas, há alguma que não conhecia? Alguma argumentação que não fez sentido ou
que gostaria de comentar? Compartilhe conosco”.
Um dos percursos possíveis aqui poderia prever a construção de um segmento
qualquer AB. Depois, os participantes fariam uma circunferência c com centro C de raio 𝐴𝐵
com a ferramenta compasso. Em seguida, marcariam um ponto qualquer, chamado D, sobre c,
em um percurso semelhante ao adotado inicialmente. Na sequência, a partir de D, seria feita
outra circunferência d, secante a c em dois pontos, F e E. Disto, ao traçar os segmentos 𝐹𝐶 ,
𝐶𝐷 e 𝐷𝐹 ou 𝐶𝐷 , 𝐷𝐸 e 𝐸𝐶 resultariam os triângulos equiláteros de lados com a medida AB
escolhida. A justificativa da acuidade da construção é a mesma da etapa anterior.
As ferramentas do GeoGebra nesta alternativa seriam “segmento de reta”,
“circunferência dados centro e um de seus pontos”, “reta”, “polígono” e “ângulo” (esta última
para evidenciar os ângulos internos dos triângulos resultantes, caso o participante ache
necessário).
Com relação aos aspectos do dinamismo apresentado pelo software, destaca-se a
preservação das propriedades da estrutura construída, quando se amplie e/ou reduza a mesma
a partir da movimentação dos extremos de 𝐴𝐵 ; além disto, o movimento de rotação da
estrutura é possível a partir da movimentação do ponto D ao redor de C, e a movimentação de
toda a estrutura (translação)a partir de C.
Quanto aos resultados apurados, e examinando as respostas apresentadas pelos
participantes, logo a primeira delas foi emblemática e deu ritmo a discussão seguinte, pois
resume perfeitamente o que se queria a partir desta tarefa, em sequência à anterior: aliar o
conhecimento matemático prévio de generalização com o resultado em tela para explorar e
ampliar as possibilidades de investigação:
P6: Para construir um modelo que gerasse uma representação de um triângulo
equilátero podendo mudar a medida de suas arestas (lados) meu roteiro foi o
seguinte: Construir um segmento de medida qualquer, em seguida construir círculos
centrados em A e em B com medida de raio igual à medida do segmento. Por fim,
escolher uma das intersecções entre os círculos para criar um ponto C. Nesta
construção pode se mover os pontos A e B de modo à figura permanecer íntegra,
entretanto variando às medidas das arestas (lados).
No momento seguinte, um sujeito destacou a resposta de outro colega que o fez refletir
sobre a própria construção e as possibilidades que emergiam por meio de explorações no
GeoGebra, construção essa que utilizava um segmento de medida qualquer, e em seguida, a
ferramenta transferidor para medir os ângulos internos iguais a 60º de uma das bases de
triângulo e transferir a medida do segmento de medida arbitrária inicial com a ferramenta
65
compasso vértice a vértice à partir da base escolhida, triângulo esse que, a priori, seria
equilátero:
P5: Utilizei a ferramenta polígonos regulares para a construção do triângulo
equilátero, nomeei os vértices ABC, sendo os vértices da base os pontos A e B, os
únicos que permitem movimentação. Com a discussão da sala, o colega [...] fez a
construção do triângulo equilátero através da ferramenta “transferidor” utilizando a
medida de 60o, a qual eu não conhecia devido à falta de familiaridade com o
software.
Em seguida, outra das participantes descreveu o seu protocolo de construção,
apropriando-se dos avanços nas etapas alcançadas na atividade anterior e eliminando da tela o
que não era desejado por ela por meio do comando esconder objetos:
P7: Considerar um segmento AB com medida qualquer. Construir uma
circunferência com centro em A e outra com centro B, ambas com raio AB.
Considerei C como ponto de interseção entre as circunferências. Construir outro
segmento 𝐴𝐶 e outro 𝐵𝐶 . Esconder os objetos Circunferências, restando apenas o
triângulo que é equilátero, pois 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 apresentam mesma medida por serem
raios das circunferências. Movimentar o triângulo arrastando um dos pontos por vez,
o que deixa claro que independentemente do tamanho, sempre se mantém a
congruência entre os lados. Também verifiquei os ângulos internos, e os mesmos
mantiveram as mesmas medidas nos três ângulos, não importando o tamanho do
triângulo. Agora vou verificar a postagem dos colegas. Abraços.
Ao fim desta segunda atividade, pode-se perceber uma evolução substancial tanto no
aspecto no uso das ferramentas do GeoGebra quanto na linguagem matemática empregada, à
medida que os participantes podiam ter acesso às produções uns dos outros e refletir sobre as
próprias produções. Entretanto, o diálogo mais intenso acerca das construções na plataforma
ocorria prioritariamente entre duas das participantes, P5 e P7, por meio da implementação de
uma proposta de colaboração que surgiu espontaneamente. É preciso destacar que uma delas
tinha grandes dificuldades com o GeoGebra (P5), o que não a impediu de prosseguir
trabalhando com os problemas propostos na sequência, buscando, justamente, desenvolver
fluência com relação aos elementos da interface, conectando-a com o conhecimento
matemático, o problema e a manipulação das ferramentas disponíveis.
Além deste importante aspecto relativo à fluência, observa-se que o caráter dinâmico
da tecnologia digital empregada, e seu papel na formação de conjecturas, aparece de forma
bastante pronunciada, inclusive quando os sujeitos mencionam a forma como observaram a
manutenção das propriedades inerentes à construção, ela mesma relativa à representação, no
caso, do objeto matemático “triângulo equilátero”. Diga-se mais: a experimentação, com o
destaque indicado por Lévy (1993), e que é uma possibilidade aberta neste tipo de atividade
com interfaces digitais, permite o emprego do que Borba e Villarreal (2005) e Laborde (2000)
relacionam com o que chamam de “prova de arrastar”, justamente no sentido de testar,
66
experimentar a estabilidade das propriedades matemáticas que devem estar presentes em uma
construção consistente. Quanto ao aspecto interativo, pode-se perceber que apenas duas
participantes, P5 e P7, maximizaram este tipo de trocas, atingindo, inclusive, aspectos de
colaboração, assim entendida, como aqui já se mencionou, como o compartilhamento de
tarefas/atividades, em um fazer conjunto que cria uma interdependência positiva sem anular
as demandas e saberes pessoais. Neste ponto, então, apesar de haver interações (leitura, trocas
de ideias por meio de mensagens, intervenções assíncronas) não foi possível perceber esta
característica nos demais participantes.
4.1.1.6 Terceira construção: a noção da proporcionalidade
Com relação à terceira atividade, seu enunciado assim se dispunha: “nesta tarefa,
admita: uma reta a e três pontos colineares pertencentes à mesma, A, B e C, sendo A o centro
de duas circunferências concêntricas c e d. A circunferência c tem raio de medida AB e d tem
medida AC.
a) Realize essa construção e observe as duas circunferências enquanto movimenta o seu
centro e os pontos B e C. Quais movimentos você consegue realizar? Discuta o
significado de suas ações nas construções em questão com os demais colegas;
Roteiro: Marque dois pontos A e B com a ferramenta Ponto. Trace uma reta que os
contenha, denominada r, com a ferramenta Reta. Na sequência, marque um ponto C
sobre r. Trace as circunferências c e d, ambas com centros em A, com a ferramenta
Compasso;
b) O que pode ser observado? Há alguma regularidade ou alteração que lhe chama a
atenção? Dê um exemplo com valores concretos e explique o percurso adotado”.
No que se refere às respostas esperadas, note-se que, ao traçar uma reta no GeoGebra,
a mesma necessita de dois pontos para definir seu posicionamento relativo ao plano. Caso seja
traçado um terceiro ponto, colinear aos dois primeiros, em uma construção de circunferências
concêntricas como a aqui proposta, define-se um sistema potencialmente interessante de
estudo de proporcionalidade, dada a posição deste terceiro ponto de acordo com os dois
iniciais. Caso o aluno movimente os pontos iniciais, chamados de A e B, a circunferência "c"
se altera, ajustando-se de acordo com o comprimento AB, que é o seu raio. No entanto, ela
também altera a circunferência "d", independente se C está contido em 𝐴𝐵 ou é externo a este
segmento, pois o software automaticamente10
calcula e aplica à lei de proporcionalidade, ou
10
Entenda-se aqui a expressão “calcula automaticamente” de forma relativa, ligada ao que Lévy (1993) chama
de tempo real da informática.
67
seja,' '
AB AC
AB AC , onde AB' e AC' são as medidas dos novos segmentos quando se afasta ou se
aproxima A de B e vice-versa.
Quanto às respostas apuradas, e que surgiram como resultado do processo de
elaboração de conjecturas, com relação ao item "a", houve uma convergência, indicando que
ocorreu boa compreensão do que era pedido pela questão, ou, como descrito por um dos
participantes:
P3: Movimentando o ponto A no centro das circunferências, é possível movimento
circular (rotação) e ampliando e reduzindo a figura. O ponto B se demonstra
estático. As circunferências permanecem proporcionais ao serem movimentadas. Ao
mover o ponto B, toda a construção acompanha o movimento, o ponto A permanece
estático. O ponto B permite movimentos circulares, ampliando e reduzindo a figura.
O ponto C ao ser movimentado, vemos movimentos circulares, ampliação e redução
da figura c, porém os pontos A e B permanecem estáticos. Apenas a circunferência c
se movimenta.
No item "b", houve o caso de um outro participante que partiu de
testes(experimentações) no GeoGebra para começar a conjecturar sobre a proporcionalidade
apontada pelo participante anteriormente descrito. Disto, o referido sujeito enunciou a
seguinte resposta, bastante coerente:
P6: O que se mantém regular é a proporção entre as circunferências c e d quando
movimentamos o ponto A ao longo da reta r ou B ao longo da reta r.
Podemos confirmar pois, utilizando a ferramenta distância/perímetro do
GeoGebra.
Caso1:
AB=6, AC=2.
AB/AC = 3
Caso2:
AB=3, AC=1.
AB/AC = 3
As asserções dos participantes, de modo geral, podem ser imaginadas a partir das
figuras 6 e 7:
68
Figura 6- Primeiro ensaio da proporcionalidade
Fonte: Dados da Pesquisa
Figura 7- Segundo ensaio da proporcionalidade
Fonte: Dados da Pesquisa
Entretanto, em relação ao item “b”, não houve o mesmo sucesso, principalmente se
comparado com o obtido no item “a”. As respostas foram bastante diversificadas, e boa parte
delas apresentando equívocos, entre os quais a conjectura de que nãoexistiria a relação de
69
proporcionalidade entre as circunferências, assim como na passagem descrita por um dos
participantes:
P4: Ao inserir valores para os segmentos 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 , a partir da ferramenta “distância,
comprimento e perímetro” e movimentar os pontos as medidas destes segmentos vão
se alterando de acordo com este movimento. A regularidade que percebemos é o fato
de os círculos permanecerem concêntricos em A.
Outro relato de uma das participantes teve como base o insucesso na tentativa da
resolução dessa etapa: "Gente, acho que estou fazendo algo de errado, pois não consegui
fazer de maneira alguma a terceira construção. Vejam até que ponto cheguei, mas parei por
aí"(P5). Na verificação do procedimento adotado pela mesma, apurou-se que esta não
correlacionara sua proposta com as etapas anteriores, ou seja, a construção não preservava as
propriedades por não ter sido feita corretamente. Após verificar a postagem dos colegas
acabou por perceber seu equívoco e corrigi-lo. A percepção do equívoco, neste caso, se deu
em função de três elementos destacados no referencial teórico deste trabalho: a visualização
(percepção de inconsistência em relação à representação esperada), o dinamismo (a alteração
das construções conduziram a algo inesperado, o que faz o sujeito perceber que algo estava
errado) e um regime de experimentações intensivas (assim como as propriedades são
preservadas em uma construção corretas, os inúmeros casos visualizados em construções
incorretas tendem a ser “consistentemente” errados).
A atividade ainda admitia um item c, que continha: “c) A partir do procedimento de
construção realizado inicialmente, construa dois triângulos equiláteros, um inscrito no outro,
como observado na figura seguinte [figura 8].
Figura 8 -Triângulos Equiláteros
Fonte: o autor
70
Após a construção concluída, responda: O que pode observar quando desloca um dos
vértices do triângulo que está inscrito no outro? Algum destes vértices não se desloca?
Porquê? O que acontece caso o ponto C seja movimentado para além dos limites do segmento
AB? Como o triângulo ACD pode ser classificado em relação à AEB em todos esses casos?
Justifique as suas afirmações e debata com os colegas suas impressões.
Roteiro: Como feito anteriormente, marque dois pontos A e B com a ferramenta
Ponto. Trace uma reta que os contenha, denominada a, com a ferramenta Reta. Na
sequência, marque um ponto C, entre A e B, sobre a, também com a ferramenta Ponto.
Para construir os triângulos equiláteros, precisa-se de duas circunferências, a serem
feitas com a ferramenta Compasso com raios de medidas iguais as bases dos mesmos,
e centros nos extremos de cada base, para determinar os pontos que indicam o vértice
restante do triângulo desejado. Para o triângulo equilátero com lados de medida AB,
duas circunferências que chamaremos de d e d', que determinam o ponto E, e para o
triângulo equilátero de medida AC, c e c' que determinam o vértice D, como na figura
8”.
Com relação à resposta esperada para esta construção, os triângulos ACD e AEB são
triângulos equiláteros pela mesma justificativa do problema 1, com ACD inscrito em AEB,
caso C esteja contido em AB. Caso o sujeito movimente os pontos, perceberá que apenas os
pontos das bases dos triângulos construídos, no caso A, C e B terão mobilidade e que os
vértices determinados pelas circunferências descritas no protocolo se ajustam também de
acordo com os movimentos de cada um dos pontos da base. Após a exaustão dos métodos
possíveis de redução, identidade e ampliação nos casos que r>0 e nos casos inversos no qual
r<0, espera-se que o participante perceba que as características fundamentais desses
triângulos não se alteram, e que se tratam de triângulos semelhantes.
Quanto ao dinamismo do software, de acordo com uma proposta de pessoas-com-
GeoGebra, os pontos D e E não poderão ser movidos de maneira independente, pois os
triângulos foram construídos em função das circunferências com raios de medida AB e AC.
Disto, ao deslocar C no sentido de B sobre a, percebe-se que a área de ACD amplia-se até
coincidir com AEB, e em seguida, ultrapassa os limites de AEB, caso continue se deslocando
neste sentido.
Neste caso, quando C está contido em 𝐴𝐵 , a Homotetia é direta, e determina que ACD
é semelhante a AEB, podendo tratar-se, assim, de uma redução (0<r<1), uma identidade (r=1),
quando ACD for côngruo a AEB, ou uma ampliação (r>1) quando, ao movimentar o ponto C
sobre a reta suporte do segmento AB, extrapolar os limites deste segmento no sentido de B.
71
Caso o participante movimente o ponto C no sentido de A sobre a, vai observar que
ACD mudará de posição no plano, tendo como referências a reta a e o triângulo AEB – ou
seja, será “invertido” em relação às referências mencionadas. Isto se dá por conta de uma
Homotetia inversa (r<0), na qual o software ajusta as posições dos vértices C (sentido oposto
de B sobre a) e D (sentido oposto de E sobre b (reta suporte de 𝐴𝐸 ) ) de ACD.
Disto, pode-se inferir uma redução inversa de ACD (caso 0>r>-1), por exemplo,
quando se quer reduzir e inverter, uma identidade inversa (r=-1) e uma ampliação inversa (r<-
1).
Por fim, espera-se que os participantes concluam que, mesmo a partir de qualquer
movimento de C sobre a, contido ou não em 𝐴𝐵 , este determina um caso de semelhança entre
os triângulos ACD e AEB, pois os ângulos correspondentes de ambos triângulos são
congruentes e seus lados têm medidas proporcionais entre si, ou seja, proporcionais a uma
razão r de semelhança (figura 9).
Figura 9– Triângulos equiláteros e casos de semelhança (com C 𝑨𝑩 )
Fonte: o autor
Das respostas apuradas neste item, pode-se destacar que os participantes conseguiram
apresentar em tela resultados semelhantes ao exibido na figura 8, entretanto, os protocolos das
construções criavam diferenças importantes de acordo com o percurso de cada um, o que
podia ser constatado a medida que os pontos da construção eram movidos.
72
Por exemplo, um dos participantes (P4), para marcar o ponto D, ao invés de fazê-lo
como interseção de c e c', fez como interseção de c com um ponto entre A e E; logo, quando
se movia o ponto C para fora do segmento 𝐴𝐵 , podia-se observar o resultado expresso na
Figura 10, a seguir.
Por meio deste percurso, a resposta alcançada por P4 foi a seguinte: "ao movimentar o
vértice do triangulo inscrito, vemos a ampliação ou redução das medidas (com C entre A e
B). O vértice B não se desloca mantendo a integridade do triângulo ABE (na verdade, ele se
referia a ACD estar limitado a ser congruente a ABE por conta do protocolo elaborado por
ele; logo, têm-se como resultados as sentenças a seguir). Ao ultrapassar o segmento 𝑨𝑩 , o
triangulo ACD(medida de área) permanece congruente ao triângulo ABE. Os triângulos ABE
e ACD são semelhantes (isto com C contido no segmento 𝑨𝑩 , fora destes limites ou ABE se
funde a ACD ou simplesmente perde as propriedades que garantem sua semelhança)".
Protocolo semelhante foi adotado por mais um dos participantes, P1.
Figura 10– Ensaio da primeira etapa do Item c do participante P4
Fonte: Dados da pesquisa
73
O item c da atividade possuía dois subitens. Em um deles, a proposta era: “c1)
Verifique o que ocorre com a área deste triângulo menor em relação ao maior quando a
medida da sua base e a medida da sua altura são exatamente metade do valor daquele em que
ele está inscrito. Qual argumentação você utilizaria para justificar a partir da sua própria
construção?” (ver figura 11).
Neste caso, no plano algébrico, caso o sujeito substitua na equação na qual calcula a
medida da área do triângulo maior suas medidas em função das do triângulo menor, verifica-
se que esta é 4 vezes maior, pois a medida de sua base e altura são a metade de AEB. Em
função disto, quando se realiza a construção via GeoGebra, a visualização desta propriedade
se torna mais acessível. Quando o participante ajustar o ponto C, tal que este esteja sobre o
ponto médio do segmento 𝐴𝐵 , verifica que D coincide com o ponto médio do segmento 𝐴𝐸
porque este é determinado pelo software usando a relação de proporcionalidade AD AC
AE AB .
Disto, pode-se observar que a altura de ACD é exatamente a metade da altura de AEB porque
D está contido em um mesmo segmento que o ponto médio entre E e C e coincide com o
ponto médio entre esses pontos, e com uma composição de figuras, observa-se a possibilidade
de dividir AEB em 4 setores de áreas congruentes à ACD. Disto, pode-se concluir que ACD é
4 vezes menor que AEB. Uma outra interpretação, em um caso mais geral, pode determinar
que as medidas das áreas dos triângulos AEB e ACD estão para si como o quadrado da razão
de semelhança entre elas (vide teorema 3.6 em Lima, 1991, p.58).
Figura 11– Triângulos equiláteros e relação de proporcionalidade
Fonte: o autor
74
Das respostas apuradas a que mais se aproximou daquela que melhor expressaria o
estatuto formal foi a seguinte:
P7: Os dois triângulos são equiláteros, quando arrastei o ponto C, até B, percebo que
são idênticos (congruentes), isso comprova a identidade entre eles. Quando o ponto
C está (sobre a) na mediatriz do segmento 𝐴𝐵 , ACV é um quarto do triângulo ABE
(medida da área).
A partir deste posicionamento, um dos participantes que realizaram a construção
citada no item anterior teve a oportunidade de refletir sobre a própria proposta, indicando:
P5: [...] fiz a leitura das respostas e percebi que minha construção difere dos colegas
com exceção da construção de P3 em 2 de julho de 2015. O participante P7 fez uma
observação que achei importante e testei em minha construção, algo que não tinha
feito. Será que minha construção está correta? Fiquei em dúvida ao ver a construção
dos colegas.
De fato, a construção apresentava imprecisões que não permitiriam classificá-la como
correta. Na sequência, então, o sujeito pôde verificar o seu equívoco e percebeu a importância
na verificação da produção da colega de curso.
O segundo subitem do item c trazia a seguinte proposta: “C2) Determine um outro
triângulo inscrito no triângulo maior e que tenha a mesma área do menor, contanto que este
não seja equilátero como o primeiro”.
Aqui, o participante precisa apenas marcar um ponto G sobre a reta que suporta 𝐷𝐹 ,
tal que o triângulo GAC tenha mesma base e altura de medida congruente à altura do
triângulo ADC. Assim, terão a mesma área, pois possuem a mesma base (𝐴𝐶 ) e alturas,
relativas a este segmento, congruentes (pois G e D estão sobre a mesma reta suporte), mesmo
que sejam alturas projetadas em pontos diferentes. Pode-se deslocar livremente G sobre a reta
que contém 𝐷𝐹 e a medida da área de GAC não se altera (figura 12).
Em relação ao constructo pessoas-com-GeoGebra, caso G seja marcado entre D e F, o
usuário ficará limitado a movimentar este ponto no âmbito deste intervalo. Caso seja traçado
sobre a reta que contém este segmento, poderá deslocá-lo livremente. As características
dinâmicas da construção podem permitir a visualização da estabilidade das propriedades aqui
enunciadas, dadas condições análogas.
75
Figura 12– Triângulo de mesma área não equilátero
Fonte: o autor
Das respostas apuradas, a única que cumpria a tarefa e distinguia-se do modelo
proposto foi a contida na Figura 13, a seguir. Esta proposta apresentava como solução um
triângulo com o dobro da base de ACD e a metade da sua altura, fatos estes garantidos pela
sua base 𝐴𝐵 e seu vértice F ser o ponto médio de 𝐴𝐷 . Desta forma, quando indagado sobre o
que aconteceria com a medida da área do triângulo AFB em relação a ACD caso o ponto F
fosse movimentado sobre 𝐴𝐸 , P6 disse que as áreas deixariam de ser congruentes, sem,
entretanto, apresentar uma alternativa para este quadro, que poderia ser explicado da forma
como se propôs na resposta esperada.
Neste ponto, algumas evidências levantadas a partir do referencial teórico desta
investigação podiam ser identificadas nas produções dos sujeitos, principalmente entre os
mais participativos: com maior fluência relativa aos instrumentos da interface do GeoGebra, a
mobilização do conhecimento matemático necessário para resolução das atividades passou a
contar com a habilidade de selecionar, em relação à lógica da interface, os elementos mais
adequados – a consequência, então, conduz à conjectura de que estes participantes
demonstram uma reorganização do pensamento, como assinalado por Tikhomirov (1981) e
Borba e Villarreal (2005). Esta característica pode ser aventada a partir da reação do indivíduo
diante do problema matemático: ao experimentar, contar com o dinamismo da interface e
buscar validações a partir da percepção visual e do acesso ao seu conhecimento, a interação
reativa (Lévy, 1993) em relação aos feedbacks da interface passa a ser decisiva em suas
conjecturas. Isto não significa abandonar outras interfaces, até mesmo as não digitais.
76
Figura 13- Exemplo de P6– item C2
Fonte: Dados da pesquisa
4.1.2 Bloco 2: Proporcionalidade, Homotetia e relações com os casos de semelhança de
triângulos
Neste bloco de atividades, tem-se por objetivo expandir a situação anterior para os
casos de semelhança de triângulos à medida que os sujeitos têm como proposta desenvolver a
fluência para além daquela atingida (potencialmente) até este momento. Além disso, propõe-
se a continuidade da exploração do objeto matemático por meio de uma configuração formada
por pessoas-com-GeoGebra nos percursos de resolução dos problemas propostos, a partir do
princípio da Homotetia, iniciado na última construção do bloco anterior.
Desta forma, em outras palavras, trata-se de atividades que têm por objetivo explorar o
conceito e resoluções que envolvem Homotetia e que mobilizam casos de semelhança que
podem ser empregados na justificativa das perguntas componentes dos problemas a seguir.
Nesta etapa, os participantes não terão acesso a roteiros, uma vez que se espera que, a partir
deste ponto, já possuam domínio das ferramentas disponíveis no GeoGebra em um nível
suficiente para a resolução das questões e que deem sequência nas atividades tendo como
perspectiva o pensar com as tecnologias, avançando em relação aos argumentos trazidos por
Oliveira (2013).
4.1.2.1 Análise do ponto de vista didático
As atividades desta etapa partem da anterior, na qual se iniciaram as propostas de
desenvolvimento da fluência em relação ao GeoGebra em integração com o desenvolvimento
de conjecturas sobre o tema matemático, e exigem os progressos obtidos na apreensão das
77
propriedades geométricas e das ferramentas mobilizadas pelas construções já realizadas no
ambiente dinâmico. Aqui, saem de cena os roteiros propostos, e surge a perspectiva que o
trabalho colaborativo ganhe algum espaço, a partir do momento que se pressupõem
dificuldades nas construções feitas por meio dos percursos investigativos e a exigência
aumentada na elaboração de justificativas para propostas de resolução dos problemas.
Na primeira das construções, espera-se que os participantes iniciem um pensar por
meio das tecnologias (Oliveira, 2013), partindo de conjecturas que podem emergir a partir da
visualização e da experimentação que terá lugar nas construções propostas, bem como quando
formularem uma argumentação que justifique as ações tomadas no curso das referidas
construções. Na segunda delas, emerge pela primeira vez uma ocorrência na qual se propõe
uma generalização dos casos de semelhança de triângulos por meio de uma Homotetia aliada
a noção de proporcionalidade, o que traz à cena uma etapa de exploração do tema de
semelhança. Esta exploração é retomada na sequência, na última das construções, onde
propõe-se um problema de modo que os participantes possam mobilizar vários dos elementos
construídos anteriormente, com vistas a compor um conjunto de ferramentas que os auxilie a
justificar suas decisões e a resolvê-lo.
O início das ações desta etapa é semelhante a anterior, porém, a partir da segunda
construção, propõe-se a formação de duplas para as discussões. Os membros destas duplas
devem trabalhar entre si e apresentar seus resultados às demais duplas, para que discutam os
percursos adotados em suas construções, as justificativas para as mesmas, pautadas nas
observações possibilitadas pelo dinamismo que o GeoGebra proporciona, além das
inquietudes/expectativas que forem vivenciadas até então, de modo a fortalecer,
potencialmente, o aprendizado conjunto (e colaborativo, se possível), ao passo que também se
estimulem as propostas entre os grupos de formas alternativas das construções apresentadas,
incrementando a interdependência.
4.1.2.2 Análise do ponto de vista matemático
Como sequência da etapa anterior, parte-se de um estímulo ao que foi mobilizado e
institucionalizado nas construções até então, ou seja, da noção de proporcionalidade para o
estudo de outros tópicos relacionados a semelhança, como a Homotetia e semelhança nos
triângulos. Como na primeira construção, inicia-se este bloco de atividades com uma proposta
inicial de ampliação de um segmento, componente de um triângulo, com uma razão de
semelhança igual a dois. Em seguida, propõe-se uma redução desse triângulo, com uma razão
de semelhança igual a dois terços. Espera-se que, neste ponto, os participantes comecem a
78
inferir e justificar seus argumentos das construções feitas por eles, quanto à questão da
proporcionalidade entre os segmentos componentes dos triângulos, que é garantida por meio
do paralelismo das retas que suportam estes segmentos, e a garantia da forma semelhante
destes, no que tange a congruência dos ângulos correspondentes do triângulo inicial e a sua
projeção sendo mantida, já que estas são as condições para que a semelhança seja
comprovada entre eles.
Na construção seguinte, espera-se que utilizem estas noções desenvolvidas até aqui
com a finalidade de elaborar uma resolução na qual exibam ao menos um dos casos de
semelhança de triângulos para um dado triângulo qualquer, em uma Homotetia de centro A.
Não se trata de uma construção simples, considerando que precisam perceber e definir
os elementos que garantam a confiabilidade da mesma, ou seja, partindo da ideia
desenvolvida pelos casos nos quais se atribuem valores à razão de semelhança, espera-se que
os participantes percebam uma Homotetia entre os vértices do triângulo inicial e sua projeção.
Portanto, há ao menos um dos pontos, que está sobre uma das retas suporte dos vértices do
triângulo original alinhados com o centro da Homotetia A, que define um dos vértices da
figura projetada desejada.
Deste ponto homólogo, para preservar a congruência dos ângulos correspondentes
entre o triângulo inicial e a sua projeção, o participante traça retas paralelas aos lados do
triângulo inicial, partindo do ponto homólogo do vértice escolhido da figura mencionada, e,
por meio da interseção destas paralelas com as retas suporte que passam por A e pelos demais
vértices não escolhidos inicialmente do triângulo inicial, determina os outros dois pontos
homólogos que formarão a projeção desejada.
4.1.2.3 Resultado esperado
À medida que as etapas das construções forem completadas, espera-se que os
participantes, ao chegarem ao modelo geral construído, quando moverem os pontos do
triângulo inicial por meio do dinamismo que o GeoGebra proporciona, visualizem as mesmas
alterações na sua projeção, preservando sua forma. Ao moverem o vértice homólogo que
determinará os outros vértices da projeção a partir do triângulo inicial, espera-se que os alunos
reconheçam, a partir desta ação, quando se trata de uma ampliação, uma identidade ou ainda
uma redução, como já mencionado na análise do objeto matemático, de acordo com a razão de
semelhança. Caso este ponto homólogo seja arrastado além dos limites do segmento limitado
pelo centro da Homotetia A e o vértice correspondente a ele na figura inicial, no sentido de A,
o participante poderá observar uma inversão da projeção gerada.
79
4.1.2.4 Primeira construção: retomando as investigações
A primeira atividade deste bloco visava promover a continuidade da discussão das
construções que utilizaram a proporcionalidade, induzir a ideia de Homotetia para estudar
semelhanças a partir de razões com valores discretos, partindo, em seguida, para o caso geral.
No primeiro item, o enunciado era o seguinte:
a) “Construa a partir de um segmento qualquer 𝐴𝐵 , que está contido sobre uma reta a,
outro segmento 𝐴𝐵′ , também sobre a que tenha o dobro da medida AB. Movimente B
sobre a e descreva o que acontece com B'.
Roteiro: Como feito anteriormente, marque dois pontos A e B com a ferramenta
Ponto. Trace uma reta que os contenha, denominada a, com a ferramenta Reta. Na
sequência, com a ferramenta Compasso, trace uma circunferência c com centro em B
de raio AB. O ponto de interseção de c com a será o ponto B', basta marcá-lo com
precisão usando a ferramenta Interseção entre dois objetos.
Com relação ao ponto B', o software vai nomeá-lo provavelmente como C. Basta
renomear este ponto, clicando com o botão direito do mouse sobre ele, indo até a
opção renomear e atribuindo a notação desejada. Outra observação fica por conta do
uso da ferramenta Interseção entre dois objetos:utilize-a sempre que precisar marcar
algum ponto de difícil acesso, com precisão”.
Quanto à resposta esperada, após o movimento de B sobre a, o GeoGebra ajusta a
distância de B' para preservar a relação AB'= 2.AB. A transferência de medidas via
ferramenta Compasso será muito importante mais adiante.
b) “Agora, marque outros dois pontos não contidos em a, quais sejam C, contido em uma
reta d, que passa por A, e D, contido em uma reta g, que também passa por A. C e D
determinam com B um triângulo qualquer CDB. Utilize o mesmo princípio do item
anterior para marcar pontos C' e D' que sejam também determinados pelo dobro da
medida dos segmentos 𝐴𝐶 e 𝐴𝐷 , sobre as retas d e g, respectivamente.
Marque o triângulo B'C'D' com a ferramenta polígono e descreva o que percebe. Há
alguma regularidade quando se compara este triângulo com o triângulo BCD? Quais
propriedades observadas na figura garantem sua argumentação? Movimente os pontos,
observe e relate o ocorrido. O que preserva a integridade das propriedades relativas à
construção realizada nesta atividade?”
Partindo do princípio da proporcionalidade, à medida que os participantes determinem
C' e D' de acordo com o proposto, podem perceber que estão construindo B'C'D' e que se trata
80
de uma ampliação de BCD tal que a razão de semelhança é igual a 2 (ampliação), de acordo
com as proporções entre seus lados. Além disto, trata-se de triângulos semelhantes pelo caso
LLL, pois a partir do procedimento de transferência de medidas descrito anteriormente, esta já
estabelece uma relação entre os pontos BCD e os homólogos B'C'D', tais que B'C'=2.BC,
C'D'= 2.CD e D'B'= 2.DB. Quanto à congruência dos ângulos correspondentes, esta é
garantida pelo paralelismo dos lados de BCD e B'C'D'. A proposta pode ser vista, como
exemplo, na figura 14.
Neste caso, as ferramentas do GeoGebra utilizadas podem ser Ponto, Reta, Compasso,
Polígono, Ponto de interseção, Ângulo (para conferência). Os participantes-com-GeoGebra,
ao movimentarem o ponto A (centro da Homotetia) em qualquer sentido, perceberão que este
movimento faz com que a B'C'D' seja projetado em um sentido sempre oposto ao dele,
conquanto o triângulo original BCD mantenha também sua forma e não altere sua posição na
tela.
A movimentação dos pontos B, C e/ou D altera a forma de BCD por conta da alteração
dos ângulos internos, bem como a forma B'C'D' de maneira semelhante. Outros
desdobramentos interessantes poderiam acontecer caso algum dos participantes, quando
alinhasse os vértices de BCD com o centro da Homotetia A, viesse a perceber que esta
construção poderia ser reduzida a um dos casos anteriores, como o da última construção do
bloco um.
Figura 14- Homotetia
Fonte: o autor
81
Em relação às respostas apresentadas, os participantes que finalizaram as atividades
chegaram à mesma conclusão, como previsto neste estudo. Dentre as observações feitas por
eles, destacam-se:
P7: Pessoal, boa noite. Segue minha construção. Espero que esteja correta. Resposta
dos questionamentos: Observo que ao movimentar o ponto B ocorre a redução ou
ampliação dos triângulos conservando a proporcionalidade entre seus lados. Esses
novos triângulos não são equiláteros, são escalenos. Utilizei a ferramenta para medir
os lados desses triângulos e observei que: C'B' = 2CB; C'D' = 2CD; D'B' = 2DB.
Abraços.
Nota-se que P7 relacionou a resposta ao item a (ou comentário, como parece ser mais
o caso) aos triângulos construídos como resposta ao item b, e não ao segmento AB. Isto não
pode ser considerado um equívoco, pois asserções contidas nas respostas dadas possuem
validade e são da mesma natureza da resposta pretendida inicialmente. Além disso, menciona
a proporcionalidade, conhecimento que se pretendia ver relacionada à construção. Ao
mencionar a redução e a ampliação dos triângulos, P7 indica empregar a interface
computacional por meio da experimentação, movimento que vai sendo mediado por
sucessivas visualizações dos resultados por assim dizer parciais das diversas configurações
obtidas a partir do dinamismo. Esta descrição possibilita ver uma configuração de pessoa-
com-GeoGebra em uma dinâmica desenvolvida a partir da fluência em relação à interface,
mas que já configura o que Oliveira (2013) denomina como pensar com tecnologias, pois o
participante pôde verificar com o GeoGebra a alteração nas medidas dos lados dos triângulos
e estabelecer uma relação entre eles, observar a semelhança das propriedades dos triângulos
obtidos por meio da manipulação das representações dos objetos na tela e os conhecimentos já
presentes em sua estrutura cognitiva, no caso, a noção de proporcionalidade.
Na sequência, outro participante descreveu:
P5: Nilo, estou na construção 1. A parte (a) do roteiro já fiz, mas na parte (b), fique
com a seguinte dúvida: O roteiro (b) diz:não contidos em na reta a (?!) ... a minha
dúvida é: então posso escolher qualquer um que esteja, dentro, fora ou pertença a
circunferência? Eu tentei entender, daí acabei olhando o da P7. Mas fiquei com a
dúvida mencionada acima.
Entretanto, após observar a construção da colega e manipular o software como pôde,
apoiou-se sobre as mídias que dominava melhor, ou seja, lápis e papel, para, na sequência,
utilizar o software para testar a validade da sua construção. Fica cada vez mais claro que o
que está em jogo é a mídia proporcionar ao usuário esses momentos de reflexão, e não ser um
fator impeditivo, obrigatório ou limitante. Surge, então, uma observação a ser feita aqui, em
torno da convergência entre as mídias, de modo que cada uma delas sobre as quais se tem
algum tipo de fluência e com a qual se possa reorganizar o pensamento de forma mais
82
adequada possa ser integrada em uma configuração de “pessoas-com-mídias-resolvendo-
problemas”. A questão da não substituição, mas da readequação e reposicionamento do uso de
diversas interfaces, já destaca por Lévy (1993), torna a surgir neste ponto:
P5: Aleluia!!! Nilo, finalmente consegui...Estou feliz, mas preciso deixar registrado
que tentei "n" vezes pelo GeoGebra e não obtive sucesso, então "apelei", ou seja, fiz
usando folha, régua e compasso. Após isso consegui enxergar o que o roteiro está
direcionando... Homotetia. Como ficou certo no papel, apenas reproduzi o resultado
no software.
Longe de representar qualquer contrassenso em relação aos pressupostos teóricos
assumidos nesta pesquisa, reconhece-se que a convergência entre mídias de diferentes
constituições e naturezas é fator preponderante para a garantia de que o aprendiz se sinta
confortável para relacionar, na configuração da qual faz parte, a tecnologia julgada mais
adequada, qualquer que seja o polono qual se integre (oralidade, escrita ou informática –
Lévy, 1993). Neste aspecto, reconhecem Oliveira e Marcelino (2015):
Ao mesmo tempo, é preciso admitir que certas perspectivas somente se confirmam,
quando se fala em aprender matemática, a partir da associação daquele que aprende
com alguma tecnologia que lhe suporte ou lhe assessore o pensamento. O
dinamismo na observação do comportamento de uma função dados diferentes (e
muitos) coeficientes, por exemplo, ou a observação da manutenção das propriedades
de uma construção geométrica em dadas condições é bastante difícil sem o uso de
softwares específicos. Claro que lápis e papel também representam tecnologias,
assim como réguas, transferidores, compassos, esquadros e outros instrumentos
equivalentes (p. 820).
É importante destacar que P5 emprega os elementos destacados na fala dos autores
supramencionados: usa as tecnologias vistas como tradicionais, mas busca validar a
construção por meio do uso do GeoGebra, ambiente no qual a tríade dinamismo-visualização-
experimentação permanece disponível de forma intensiva.
Quanto às demais respostas apresentadas, devem-se destacar as seguintes:
P5: [Há alguma regularidade quando se compara este triângulo com o triângulo
BCD?] Sim, o segundo é a ampliação do primeiro. Quando um aumenta ou diminui
o mesmo acontece com o outro;
[Quais propriedades observadas na figura garantem sua argumentação?] A origem A
vale para todos os pontos. Os novos pontos B’, C’ e D’ estão contidos nas retas
suporte dos pontos originais B, C, D. A propriedade matemática acho que é a
reflexão dos pontos (eu acho ?!) “[Aqui, P5 quis fazer menção ao princípio de
paralelismo].
P5: [Movimente os pontos, observe e relate o ocorrido. O que preserva a integridade
das propriedades relativas à construção realizada neste exercício?] As retas estão na
origem A que é um ponto fixo (centro da Homotetia), e os pontos “originais e
novos” deslizam pelas suas respectivas retas".
Nitidamente, P5 trouxe a resposta esperada em relação à primeira pergunta, indicando
que há uma ampliação. Ainda que o sujeito não tenha, neste ponto, mencionado a proporção,
83
ele já o havia feito em questão anterior. Deve-se notar que a resposta traz uma sutileza que
revela um pouco de seu processo: o participante menciona que a manipulação de um triângulo
(“aumento”/”diminuição”) implica em efeito semelhante no outro, o que pode indicar que esta
afirmação parte da observação do caráter dinâmico da construção, permitindo uma série de
experimentações que reforçariam, por meio da visualização, a criação da conjectura
apresentada (Borba e Villarreal, 2005; Oliveira, 2013). Neste aspecto, a construção assume o
caráter de modelo digital, da forma como indicada por Lévy (1993), que entende esta
possibilidade como um elemento interativo de exploração, contrapondo-se ao modelo
analógico e estático: em sua versão digital, este elemento seria “essencialmente plástico,
dinâmico, dotado de certa autonomia de ação e reação” (LÉVY, 1993, p. 121). A intervenção
no modelo digital, neste caso, subsidia a conjectura apresentada pelo sujeito, que emprega a
tecnologia como elemento que encaminha uma reorganização de suas ideias.
Na resposta seguinte, que solicitava indicar as propriedades matemáticas observadas,
nota-se que, ao mencionar o posicionamento dos pontos B‟, C‟ e D‟ nas mesmas retas que B.
C e D, P5 se referia ao princípio de paralelismo, ainda mais quando menciona A como ponto
comum entre as retas suporte. Resta destacar que, em resposta anterior, o participante revela
ter medido os lados dos dois triângulos e constatado a relação entre elas em termos gerais, ou
seja, a proporção, relacionada às propriedades que se mantêm estáveis quando se alteram as
medidas. Supõe-se, aqui, que o sujeito tenha baseado, pelo menos em parte, suas conjecturas
nas manipulações que realizou por meio do software GeoGebra nas questões anteriores. Ainda
assim, seria desejável que fosse feita menção ao caso LLL de semelhança de triângulos, o que
não ocorreu.
No que faz menção à terceira resposta, o sujeito se refere, de maneira informal, tendo
por base as experimentações realizadas no ambiente dinâmico, aos princípios de
proporcionalidade e paralelismo, os quais, de acordo com a análise já indicada anteriormente,
garantem a estabilidade e o acerto, em termos matemáticos, da construção. Evidentemente,
contam de forma decisiva a fluência na tecnologia empregada e o alinhamento da resolução
com um pensar com tecnologia: dada a sequência de atividades e o uso intensivo da interface,
as construções se integram ao que Lévy (1993) chama de condicionamento tecnológico, ou
seja, o sujeito condiciona as conjecturas que provê e as resoluções que propõe ao uso da
tecnologia a partir da qual seu pensamento se reconfigurou – qualquer tecnologia (lápis e
papel, computador, calculadora, etc.). Isto não quer dizer determinismo, ou seja, claro que
ainda é possível proceder sem o uso da tecnologia quando aquele saber está consolidado na
84
estrutura cognitiva do indivíduo, mas não é necessário fazê-lo. Isto implica em dizer que, sem
o conhecimento (matemático, no caso), pouco importa qual tecnologia ou quão sofisticada ela
seja: para pensar com tecnologias, as pessoas partem de um conhecimento que detém ou que
vão construindo como resposta ao problema sobre o qual se debruçam.
Neste item, P7 limitou-se a concordar com as respostas supramencionadas, apoiando o
colega em relação às afirmações que fazia e ajudando-o em relação às construções providas
no GeoGebra, caracterizando, segundo nossa análise, um procedimento de cooperação.
c) Realize o mesmo processo da construção anterior, mas, desta vez, marque os pontos
B', C' e D' de modo que sejam determinados por dois terços da medida AB, AC e AD
sobre as retas a, g e d, respectivamente. Relate aos colegas o que observou,
comparando a construção do item anterior a esta, considerando o processo que
empregou para desenvolver a sua construção. Há algum elemento novo? O que pode
afirmar quanto aos dois triângulos que estão nesta construção?A partir deste e do
percurso adotado no item b, pode se afirmar que estas etapas já consistem um método
geral para ampliar e reduzir figuras? Por quê? ”
Aqui, espera-se que os participantes percebam que, após dividirem os três segmentos
AB, AC e AD, cada qual sobre uma reta correspondente, como no enunciado, em 3 partes
congruentes em relação a uma reta suporte d, por exemplo, estas divisões são garantidas a
partir do paralelismo e do princípio de proporcionalidade (figura 15).
Em termos do conhecimento matemático necessário à construção solicitada, poder-se-
ia ter o seguinte raciocínio: seja 𝐴𝐵 um segmento qualquer a ser dividido em n partes
idênticas. Admite-se, então, uma reta concorrente d (com ângulo menor que 90º) a um dos
extremos deste segmento de modo que, usando uma medida arbitrária p, esta seja projetada
(transferência de medida via compasso) n vezes sobre d. Disto, a partir do último ponto
projetado por este procedimento, traça-se uma reta até o outro extremo do segmento. Desta
última, para cada um dos pontos de interseção determinados sobre d nas transferências da
medida p sobre d, traçam-se paralelas até que se esgotem todos estes pontos. A justificativa
para a precisão deste método está justamente no teorema de Tales, no qual duas retas
transversais a um conjunto de paralelas determinam segmentos proporcionais e
correspondentes sobre elas. Por fim, sobre a reta escolhida, consegue-se dividir o segmento
em n partes iguais, e, tomando-se duas destas partes, tem-se um ponto homólogo de forma
que o segmento determinado por ele e A seja tal que 2
' . .3
AB AB r AB (RESENDE;
QUEIROZ, 2002).
85
Repete-se este procedimento para cada um dos outros vértices de BCD, no caso C e D,
de modo que se localizem C' e D', tais que 2
' . .3
AC AC r AC e2
' . .3
AD AD r AD . Isto
mostra que as medidas dos lados de B'C'D' são proporcionais as de BCD; logo, pelo teorema
LLL de semelhança, BCD e B'C'D' são semelhantes.
O elemento "novo" desta construção é o uso de uma razão de proporção racional ao
invés de inteira, como utilizada até o momento, o que poderia causar uma discussão acerca de
como construir um segmento dividido desta forma e o princípio do paralelismo, mais uma vez
necessário para a tarefa.
Quanto à última das perguntas, espera-se que os participantes digam que não, pois a
razão de semelhança entre as figuras é dada em ambos os casos e não é variável, o que pode
ser observado caso se movimente o centro da Homotetia e se observe que a projeção não
altera sua forma nem proporções.
Um contraexemplo pode ser outra figura reduzida, mantida (identidade) ou ampliada
em relação à original, com razões de semelhança distintas da inicial. Ou, ainda, pode haver a
combinação de uma visualização via reposicionamento do centro de Homotetia A sobre cada
um dos vértices de BCD e a relação com o caso do último problema do bloco anterior a este,
no qual o participante pode apontar os casos inversos ou, ainda, partir da ideia da construção,
dado o seu dinamismo, para apresentar uma argumentação inicial para o caso geral.
Para esta construção, as ferramentas do GeoGebra necessárias são Ponto, Reta,
Compasso, Polígono, Ponto de interseção, Ângulo (para conferência) e Reta Paralela (para a
construção dos pontos à distância de dois terços da medida do centro da Homotetia até cada
vértice da figura original).
Em relação ao dinamismo do software, as pessoas-com-GeoGebra poderão
compreender que o centro da Homotetia, A, ao ser movimentado, reflete sobre a construção os
mesmos comportamentos apontados no caso anterior (idem para os vértices de BCD). Por
conta de a razão de semelhança estar no intervalo 0<r<1, aos participantes restará a
visualização de uma projeção "menor" e "mais próxima" de A do que a figura original.
86
Figura 15– Item c da primeira construção do bloco 2
Fonte: o autor
Neste item, podem ser destacadas as seguintes respostas:
P5: Quando movimento o ponto B, o segmento AB' aumenta ou diminui na mesma
razão(proporção). Ele segue a razão 2 coeficiente de proporção (Homotetia), ou
seja, o dobro. Então o segmento aumenta e diminui, sim, na mesma proporção;
[Há algum elemento novo?] Não tem elemento novo...acho relevante comentar
apenas que a reta a, antes era suporte do segmento AB, mas agora ela compõe a
formação da figura para fazer a Homotetia... não a considero como elemento novo
[Na verdade, o sujeito não percebeu o valor da razão, alterado para dois terços do
original e não faz menção em quanto isso altera o resultado na tela. No item b, a
atividade propiciava uma ampliação, e neste, uma redução];
[O que pode afirmar quanto aos dois triângulos que estão nesta construção?] As
áreas dos triângulos estão aumentando ou diminuindo na razão de 4, mas as
características originais são preservadas.[Neste ponto, ainda fazia menção ao
exemplo da Homotetia de razão 2];
[A partir deste e do percurso adotado no item b, pode-se afirmar que estas etapas já
consistem um método geral para ampliar e reduzir figuras? Por quê?] Este é sim um
método de ampliação e redução, pois os novos pontos B', C' e D', fazem parte das
retas suporte dos pontos originais.
Estas respostas de P5 revelam que as atividades eram, de fato, realizadas por uma
configuração constituída por pessoas-com-GeoGebra, formada a partir da construção de
fluência em relação à tecnologia e revelando formas de pensar de forma integrada com os
dispositivos computacionais: o sujeito revela perceber a proporcionalidade existente na
proposta quando movimenta o ponto B (experimentação e visualização, proporcionadas pelo
87
dinamismo do ambiente). Quanto à não percepção do “elemento novo” constante da atividade,
é preciso reconhecer que talvez o enunciado não tenha provocado o entendimento desejado,
ou seja, a percepção de que se tratava de outra razão, a qual, por sua vez, teria como resultado
uma redução, no lugar de uma ampliação, como feito anteriormente. Talvez também por isso
a resposta seguinte tenha sido baseada na Homotetia de razão 2. De todo modo, até aqui,
ainda que tenha havido alguma dificuldade na comunicação, percebe-se que os conceitos
emergem de forma consistente nas respostas fornecidas.
Na última resposta, P5 parece acreditar que o método em questão representa um caso
geral de Homotetia, ignorando que as razões empregadas nas atividades em questão não são
variáveis. Ainda que várias características da construção assumam distintos valores, mantendo
as propriedades, mudando dinamicamente a partir da ação de clicar-e-arrastar, o aspecto
invariável da razão impede que se trate esta atividade como um caso geral. Aqui, pode-se
aventar que o participante em questão não tenha percebido o caráter constante da razão ou que
detenha uma ideia equivocada de generalização.
Com relação às respostas providas neste item, seguem as figuras 16 e 17 com as
construções realizadas pelos sujeitos P5 e P7.
Figura 16– Itens b e c deP5
Fonte: dados da pesquisa
88
Figura 17– Itens b e c de P7
Fonte: dados da pesquisa
4.1.2.5 Segunda construção: Homotetia e a relação da Semelhança nos triângulos
O objetivo desta atividade consiste em expandir o emprego da Homotetia nos estudos
aqui realizados e fazer com que os participantes concluam que: toda Homotetia entre dois
triângulos determina uma semelhança entre eles, e que, a partir desse princípio, os mesmos
podem resolver problemas que necessitem deste conceito na construção e na argumentação.
a) “Construa um triângulo qualquer BCD. A partir das construções feitas até agora,
utilize os conceitos que foram trabalhados para determinar um triângulo B'C'D' tal que
a razão entre as medidas dos lados destes dois triângulos seja a mesma, de valor
qualquer, estabelecida por vocês. Explorem possibilidades quanto às regularidades
apuradas nas construções anteriores, compartilhe com os colegas o processo de
construção que empregaram e as justificativas geométricas que puderem listar e que
foram percebidas e mobilizadas. Não deixe de comentar as construções dos colegas, e
caso tenham imaginado alguma outra construção que seja válida para a resolução do
problema, compartilhem com o grupo”.
Quanto à resposta esperada, a partir das construções anteriores, os participantes
poderiam notar a relação que indica onde se encontram os pontos tais que, a partir da
Homotetia entre BCD e B'C'D', determinam a razão de semelhança entre elas.
89
Alguns fatos a partir deste enunciado: no caso, a Homotetia determina dois segmentos,
AB e AB', que são proporcionais a uma razão de semelhança r, partindo do ponto do centro
de Homotetia A, resultando em uma ampliação (se r>1), uma identidade (se r=1) ou uma
redução da imagem (quando 0<r<1). Isto é possível considerando uma simples verificação, à
medida que, a partir de A e de 3 pontos não colineares simultaneamente, BCD, forma-se um
triângulo, e a partir de um de seus vértices, por exemplo B, no prolongamento da reta suporte
do segmento 𝐴𝐵 , seu homólogo B' se encontra contido.
A partir de B', caso sejam traçadas retas paralelas aos lados do triângulo BCD,
determinam-se pontos de interseção entre essas paralelas e as retas de suporte dos demais
vértices C e D que determinam seus homólogos C' e D' tais que, quando se movimenta B, o
princípio do paralelismo faz com que ele reproduza os resultados visuais supracitados. Caso
B' seja movimentado sobre sua reta suporte (a mesma de A) e o extrapole, este determina uma
Homotetia inversa, tal que r<0(ver figura 18).
A semelhança entre o triângulo inicial BCD e seu homólogo B'C'D' pode ser
justificada das formas apuradas de semelhanças de triângulos desde o estudo do objeto
matemático, ou seja, por LLL(caso sejam apuradas a razão de semelhança r entre as medidas
dos lados), por meio de um caso AAA (por conta da conservação da congruência dos ângulos
correspondentes destes por meio do paralelismo entre os seus lados), ou, ainda, por um caso
LAL (a partir do momento que se usa um ponto homólogo B', seu ângulo correspondente e
congruente com o original, B, e dois lados consecutivos que partem destes e que são
proporcionais entre si pela razão de semelhança r).
As ferramentas do software que permitiriam trabalhar com estes procedimentos seriam
Ponto, Reta, Compasso, Polígono, Ponto de interseção, Ângulo e reta paralela (para a
construção dos pontos homólogos de cada vértice da figura original que comporão a projeção
de BCD, B'C'D').
De todas as construções até aqui realizadas, esta foi a única para a qual não houve
propostas que pudessem ser consideradas corretas, do ponto de vista do rigor matemático. As
dificuldades experimentadas na resolução do item c da primeira construção acarretaram a
inexistência de uma experiência anterior que pudesse permitir uma associação com a tarefa
aqui proposta. Da mesma forma como cogitado em relação ao item anterior mencionado, não
fica claro para o pesquisador em qual dos aspectos houve falha, se em relação ao
conhecimento matemático, à compreensão da questão ou à fluência na mídia, ou ainda uma
90
falha na estratégia didática por não ter sido considerado que haveria, neste momento,
problemas quanto às construções propostas.
Figura 18– Proposta para a segunda construção, bloco 2
Fonte: o autor
As construções propostas por P5 e P7 são exibidas, respectivamente, nas figuras 19 e
20, a seguir. Nota-se que as propostas mencionadas não permitem a que a proposta simulasse
um caso geral, a partir do qual se pudesse, como na construção da figura 18, que a variação do
ponto A mantivesse válida a Homotetia, variando a razão de acordo com a experimentação
proposta pelo sujeito.
91
Figura 19– Produção de P5- segunda construção, bloco 2
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 20– Produção deP7- segunda construção, bloco 2
Fonte: Dados da pesquisa
92
4.1.2.6 Terceira Construção
A terceira construção da sequência de atividades trazia o seguinte enunciado:
“Sejam 3 retas paralelas, p,s,t e que têm entre si uma mesma distância, sendo
interceptadas por um feixe de 5 semirretas que determinam sobre p, s, e t cinco segmentos de
mesma razão, feixe este que parte de um ponto A exterior às retas supracitadas. Disto, elabore
uma construção que traduza o que foi descrito acima, justifique a validade desta, e
compartilhe com seus colegas as observações que pôde fazer neste percurso. Nesta construção
que elaborou, há a possibilidade de movimentar algum dos pontos? Quais deles? O que o
movimento destes pontos lhe revela? Qual justificativa empregaria para garantir que estes
segmentos determinados sobre p, s e t pelo feixe de semirretas determinado é de fato regido
por uma mesma proporção? Qual a razão de proporcionalidade entre estes segmentos?”.
Espera-se, neste ponto, que os sujeitos determinem uma estratégia para, em primeiro
lugar, conseguirem posicionar as 3 retas p, s e t a uma mesma distância arbitrária. Para tanto,
podem usar a transferência de um segmento de medida qualquer, por exemplo CD, sobre uma
reta auxiliar que é suporte de um segmento 𝐴𝐵 e que seja concorrente às 3 retas p, s, t.
Repetindo este processo de transferência por 3 vezes, obtêm-se os pontos de interseção (F, H,
J) das três retas com a reta auxiliar a.
Para determinar a direção de p, s e t, traça-se a primeira destas retas, p, com a
ferramenta reta, por um ponto K qualquer e não contido em a e, em seguida, em um dos
pontos determinados pela medida CD à partir de A sobre a, no caso, F. Depois, as duas retas
seguintes deverão ser traçadas por H e J com a ferramenta Reta Paralela a partir de a, para a
conservação da inclinação entre elas em função da primeira, por conta de que quando duas
paralelas são cortadas por uma transversal, esta determina ângulos correspondentes
congruentes.
Feito isso, devem ser determinados os 5 pontos por onde o feixe de semirretas irá
passar, estabelecendo os 5 segmentos idênticos sobre cada uma das 3 paralelas. A marcação
desses pontos pode ser feita a partir de qualquer uma das retas, uma vez que no enunciado já
havia a restrição do feixe, indicando que este deveria partir de A e passar pelos 5 pontos
determinados nesta etapa, de maneira e justificativa análogas à etapa anterior.
Para tanto, pode-se usar a medida do mesmo segmento que originou o primeiro
controle deslizante, ou ainda criar um outro segmento, por exemplo LM, como base para as
transferências, de tal forma que a medida estipulada seja transferida a partir de um dos pontos
de interseção sobre a reta paralela, no caso o ponto J, por cinco vezes. Isto vai fazer com que
93
encontrem os 5 pontos equidistantes sobre uma das três paralelas, e que se possa traçar o feixe
de retas desejado. A figura 21 traz um esboço da construção aqui indicada.
De fato, a razão entre os segmentos será a mesma. Isto ocorre porque, a partir dos 5
pontos determinados para a passagem do feixe de semirretas, determinam-se 5 triângulos a
partir do ponto de origem que têm propriedades semelhantes. Cada um deles têm um vértice
em A e é cortado por três paralelas. Como pode ser visualizado na figura 21, os lados destes
triângulos, contidas nas semirretas do feixe e cortadas pelas paralelas, constituem uma mesma
razão para os segmentos que são determinados por eles ao dividirem exatamente estes lados
em 3 partes iguais. Nisto, tem-se 5 casos de semelhança LAL; portanto, os segmentos
determinados pelos pontos de interseção das semirretas do feixe com as paralelas são
proporcionais e tem uma razão de proporcionalidade igual a 1/3 para cada uma das paralelas a
partir do vértice A.
Nesta construção, as ferramentas utilizadas no software foram Ponto, Reta, Compasso,
Polígono, Ponto de interseção, Ângulo (para conferência) e Reta paralela (para a construção
dos pontos homólogos de cada vértice da figura original).
Caso movimente-se o ponto K, torna-se possível às pessoas-com-GeoGebra
visualizarem que as demais paralelas também modificarão suas inclinações, preservando a
distância que há entre elas. Ao movimentar o ponto B, toda a estrutura gira ao redor de A. A
medida que se movimenta os extremos do segmento 𝐶𝐷 , criado para determinar a distância
entre as paralelas, pode-se observar que a distância entre elas vai ampliando ou diminuindo de
forma diretamente proporcional a sua medida e, por fim, ao mover os extremos de 𝐿𝑀 , os
pontos do feixe determinados sobre as paralelas também se aproximam ou se afastam entre si,
diretamente proporcionais a ele.
94
Figura 21– Proposta para a terceira construção, bloco 2
Fonte: o autor
Em relação às respostas esperadas, apenas P5 apresentou uma proposta de resolução,
ainda que parcial a construção requerida, como exposto na figura 22. Neste ponto, P7 alegou
ter muitas dúvidas acerca de como empregar o conhecimento matemático que fosse adequado
ao problema proposto e apenas esboçou o que seria um processo de construção (figura 23).
Além de uma construção mais próxima do estatuto formal do conhecimento
matemático válido, P5 procurou responder às questões lançadas:
P5: [Há a possibilidade de movimentar algum dos pontos? Quais deles?] Sim,
somente o ponto A (origem das semirretas) e o centro das circunferências.
[O que o movimento destes pontos lhe revela? ] Que as medidas da divisão dos
segmentos mantêm a mesma proporção entre si.
[Qual justificativa empregaria para garantir que estes segmentos determinados
sobre p,s e t pelo feixe de semirretas é de fato regido por uma mesma
proporção?] As propriedades se mantêm, acho que isso ocorre porque as paralelas
são equidistantes e porque as retas que saem do ponto A fazem parte das
circunferências.
[Qual a razão de proporcionalidade entre estes segmentos?] A razão é um.
O que há de mais interessante nessas repostas e na construção em si é que P5 foi
bastante eficaz no que se refere ao emprego do sistema computacional para representar a
construção solicitada, apesar do equívoco em usar 4 ao invés de 5 retas no feixe, como pedido
no enunciado. Entretanto, não conseguiu alcançar um resultado ainda mais próximo da
conformidade em relação ao conhecimento matemático em jogo por conta de não ter
95
percebido que, para os segmentos serem proporcionais a uma razão como a dada, as retas
paralelas deveriam ter uma mesma distância entre si a partir do centro da Homotetia, fato que
não ocorreu. A maior discrepância, se considerada a resolução indicada na figura 21, ficou por
conta da razão indicada pelo participante: um. Na verdade, é provável que o mesmo estivesse
se referindo à razão dos segmentos sobre as retas paralelas.
Figura 22– Resolução de P5
Fonte: Dados da Pesquisa
Figura 23– Resolução de P7
Fonte: Dados da Pesquisa
Neste caso, percebe-se que a fluência no uso do GeoGebra e as propostas trazidas a
partir de uma configuração de pessoas-com-tecnologias encaminhou conjecturas que
permitiram alcançar, principalmente no caso de P5, algum progresso em relação ao
96
conhecimento matemático, mas não garantiu, de todo modo, que o conhecimento fosse
consolidado integralmente. É preciso considerar que as estratégias usadas pelos sujeitos
permitiram, no que se refere a esta atividade, algum avanço, mas que outras possibilidades
poderiam ser levadas em conta. Claramente, então, uma limitação deste estudo surgiu quando
o planejamento dos problemas não considerou a hipótese de reaproveitar os impasses,
equívocos e eventuais erros para reconfigurar pontos do processo de construção do
conhecimento, de modo a propor a retomada das atividades, por exemplo, após uma discussão
sobre os possíveis caminhos para levá-la a bom termo.
Assim, concluídas as análises, a parte seguinte deste texto traz as últimas
considerações relativas à investigação aqui descrita.
97
Considerações Finais
Um olhar retrospectivo sobre a pesquisa e suas experimentações se faz necessário
agora, quando se pretende tecer as palavras finais sobre esta iniciativa. A primeira impressão
que restou ao pesquisador, forte e indelével, é o caráter de inacabamento do ato de pesquisar,
de procurar subsídios para responder às questões que surgem após largas reflexões, buscas por
textos de referência, leituras, planejamento de atividades, esforço de campo, análises e
sínteses de dados. Muito mais poderia ser feito e dito, mas “é da própria dinâmica da
atividade de pesquisa e do ato de investigar o recorte, o delineamento, o design, o plano”
(OLIVEIRA, 2016, s/p). Desta forma, não seria possível a tudo abarcar, nem ter a pretensão
de cuidar de elementos que fugissem à esfera do compromisso assumido quando se elegeram
objetivos e questões direcionadores.
No caso desta investigação, tinha-se como norte primordial a reunião de elementos
que permitissem de alguma forma responder à indagação formulada assim: de que maneira se
caracteriza um percurso de estudo e investigação, envolvendo professores de Matemática da
Escola Básica, acerca do tema “Homotetia” e de tópicos matemáticos correlatos, realizado a
partir de uma proposta que envolve tanto a resolução de atividades por pessoas-com-
tecnologias como o desenvolvimento de fluência em relação às interfaces empregadas?
Na mesma linha de raciocínio, surgiu como objetivo geral o de desenvolver uma
estratégia didática para uso de tecnologias digitais em atividades/problemas ligados à
geometria plana, tendo o tema de “Homotetia” como elemento matemático principal, e a
intenção de evidenciar as compreensões constituídas a partir de pressupostos interativos no
âmbito de pessoas-com-tecnologias-digitais. Também existiram os objetivos específicos, que
foram listados como:
Constituir uma sequência didática sobre Homotetia, envolvendo, igualmente, assuntos
correlatos e necessários à reflexão sobre o tema, que permita, por parte dos sujeitos, a
constituição de percursos investigativos cujos problemas estruturantes são pensados a
partir da integração das pessoas com o software GeoGebra em sua versão número 5;
Possibilitar o engajamento dos participantes na construção de conjecturas e propostas
de resolução de problemas sobre o tema “Homotetia” a partir de um ambiente e de
uma estratégia didática que busca incentivar interações no âmbito de ambientes
virtuais e presencias;
98
Analisar as produções dos sujeitos sob a perspectiva do referencial teórico que orienta
este trabalho, constituído pela proposta do ciclo de formação de professores para uso
das tecnologias em Educação Matemática (Oliveira, 2013; Oliveira e Marcelino,
2015; Oliveira, Gonçalves e Marquetti, 2015), o constructo seres-humanos-com-
mídias(Borba e Villarreal, 2005) e os conceitos relativos às tecnologias da
inteligência (Lévy, 1993).
Repetir estes compromissos aqui se configura como um recurso de bastante utilidade.
Permite indicar, por exemplo, que o percurso não teve nada de linear, mas teve que ser
recomposto e reconfigurado constantemente, à medida que as perplexidades e imprevistos
aconteciam, justamente porque “fazer pesquisa não é perseguir um roteiro pronto e asséptico,
preparado para o livramento do pesquisador em relação aos percalços da realidade, mas
justamente, de maneira inversa, facear a realidade, tendo, por recursos, os elementos
metodológicos eleitos e por retaguarda, o referencial teórico composto” (OLIVEIRA, 2016,
s/p). Foi assim que, nesta pesquisa, viu-se que alguns sujeitos se iam distanciando e mesmo
abandonando as atividades, de modo a reduzir os nove participantes iniciais a dois.
Entretanto, o tratamento imposto pelo binômio metodologia-teoria desta investigação
não dependia de um número específico de sujeitos: observar e descrever como se dava o
processo de construção/refinamento do conhecimento matemático no tema em destaque a
partir de uma configuração de pessoas-com-tecnologias pôde acontecer sem prejuízos, a não
ser em relação a um universo mais reduzido. Pode-se imaginar que, se mais pessoas pudessem
ter finalizado as atividades, diferentes e mais numerosas análises poderiam ser feitas, mas isto
é algo que não se pode garantir. A partir do segundo bloco, quando P5 e P7 assumiram a
condição de público total do curso que serviu de base à recolha de dados, intensivas
interações tiveram lugar, o que permitiu que as análises encetadas no capítulo anterior
tivessem lugar. Claro que é preciso indicar uma possibilidade no sentido de que, em futuras
pesquisas que se debrucem sobre temas semelhantes aos cuidados aqui, maiores cuidados
sejam tomados no sentido de preservar, quanto possível, o número original de pessoas
envolvidas nas interações.
Outro ponto importante a ser destacado nestas últimas páginas se refere ao fato de que
a organização do estudo facultou acompanhar as trajetórias dos participantes ao longo de uma
experiência que permitiu a apropriação de uma nova forma de pensar – e de reorganizar o
pensamento – acerca de temas matemáticos fortemente interligados (paralelismo,
proporcionalidade, semelhança e Homotetia), e que se deu a partir do uso de tecnologias
digitais (em princípio) e não digitais (incidentalmente). Esta trajetória que elencou momentos
99
de convergência e de uso intensivo da interface computacional, marcou de forma bastante
distintiva o papel da construção de fluência dos dispositivos empregados como uma
importante etapa de consolidação de processos cognitivos. Esta fluência apoiou o movimento
por meio do qual se deu a reorganização do pensamento e o pensar com tecnologias. Foi
possível observar como isto acontecia a partir do discurso dos sujeitos, da forma distinta
como se expressavam à medida que iam ganhando maior desenvoltura no GeoGebra. As
justificativas apresentadas para as conjecturas vinham predominantemente calcadas no
trinômio “dinamismo – experimentação – visualização”, ou melhor, em um tipo de
experimentação possibilitado por um tipo de dinamismo e que permite um tipo de
visualização. Isto quer dizer que o dinamismo do GeoGebra, materializador do “tempo real” e
da “interface reativa” dos sistemas modeladores, como destacado por Lévy (1993), permite
construir uma relação com o conhecimento matemático que tem lugar quando
experimentações intensivas, sucessivas e virtualmente numerosas podem ocorrer. Outro é o
tipo de dinamismo e outra é a experimentação quando se recorre ao lápis e ao papel, por
exemplo: este estudo levanta a possibilidade de que a manipulação dos chamados “recursos
tecnológicos tradicionais” pode ser marcada por algum dinamismo – mexer o papel, mudar o
olhar, variar o ângulo do desenho em relação à folha com o lápis – e alguma experimentação
– desenhar ao lado de um diagrama inicial, rabiscar. Nos dois casos, possibilidades de
visualização são abertas, com mais subsídios e recursos na versão digital, mas, às vezes, de
uma forma mais familiar ao sujeito, na versão não digital. De todo modo, a estimular a
conjectura das tecnologias como reorganizadoras do pensamento, e da resolução das
atividades por pessoas-com-tecnologias (ou pessoas-que-pensam-com-tecnologias), percebe-
se o recurso a elas em todas as circunstâncias da investigação aqui descrita, bem como a
forma como convergem, quando necessário, para subsidiar a construção do conhecimento.
Com base nisto, o discurso dos sujeitos surgia povoado por termos como “- Quando
movimentei a construção, observei que as figuras eram proporcionais...”, “- Alterei o tamanho
do segmento e as propriedades se mantiveram...”, “- Quando uma construção tem seu
tamanho aumentado, a outra diminui...”, “- Mudando a razão, as propriedades se mantêm...”.
As falas apontam, então, de maneira inequívoca, raciocínios e conjecturas em torno de
pensamentos-com-tecnologias. Reconhece-se, é claro, que não se tratam de demonstrações –
como limitação do estudo, aliás, deve-se dizer que mesmo a busca de casos gerais representou
grande dificuldade para os participantes. No entanto, estas possibilidades podem encaminhar
outras, reservando ao emprego de estratégias didáticas com tecnologias um papel importante
100
na elaboração de propostas de resolução de atividades e problemas matemáticos. Os aspectos
relativos às generalizações e/ou demonstrações ficam, no que se refere a este estudo, como
potenciais inquietações, pedindo novas pesquisas.
De outro ponto de vista, pode-se dizer que, desde o início desta pesquisa, houve o
interesse, de fato, no estudo da noção de semelhança a partir do conceito de Homotetia, aqui
apresentado e explorado nas situações que foram propostas aos participantes. Para tanto, as
buscas por referenciais bibliográficos e do apanhado histórico acerca deste objeto em
dissertações e teses apontavam a necessidade de um estudo que investigasse as
potencialidades de uma estratégia didática na qual se utilizassem mídias digitais e que
abordasse esse tema. O que se viu, então, a partir destes pressupostos, foi uma série de
resultados que destacam a relevância destas tecnologias, mas que indicam o quanto convivem
com as mesmas outras mídias. Pensar em configurações que amplificam as possibilidades do
pensamento, sem criar restrições ao uso de um ou outro recurso, é um tema que também pode
ser continuado.
Para implementar o que se planejou, foram concebidos três blocos de atividades, sendo
que os dois primeiros compõem as descrições principais deste texto, enquanto o terceiro não
foi posto em prática e consta na seção de apêndices, logo após as referências deste estudo.
Este terceiro bloco possui atividades que partem do conceito de Homotetia para o estudo de
semelhança em triângulos retângulos e uma aplicação neste sentido, como um processo de
demonstração para o Teorema de Pitágoras.
Este bloco fica à disposição de outros pesquisadores que se interessem pelo assunto e
que queiram empregá-lo em seus grupos de estudos e/ou alunos. A razão da não
implementação do terceiro bloco foi, como já indicado, o desligamento de alguns dos
participantes, até que restaram apenas duas destas pessoas. Estes, por sua vez, indicaram que
as atividades passaram a tomar muito do seu tempo. Aqui, então, valem algumas reflexões: o
Moodle assumiu para a maior parte dos participantes apenas a função de espaço para depósito
dos arquivos, e, em poucos momentos, ocorreram diálogos mais intensivos entre os
participantes, a não ser nos casos de P5 e P7, que interagiram de forma bastante pronunciada
usando os elementos do AVA. Na visão de Oliveira (2007) e de Castells (2002), a percepção
de tempo e espaço são alteradas pelas tecnologias, ao menos em relação às pessoas que
aderem ao uso dos espaços virtuais de aprendizagem. Para aqueles que assim o fazem, soma-
se, ao tempo cronológico, o que os autores chamam de tempo intemporal, constituído por uma
medida distinta, que amplia aquele tempo localizado, marcado por uma ocasião, um encontro,
um decorrer de horas, minutos e segundos. Uma atividade se estende, e usa, por exemplo, de
101
mecanismos assíncronos (como o fórum de discussões, por exemplo) para se prolongar e
subsistir em intervalos distintos. Neste estudo, este tempo diferente se abriu àqueles que
aderiram ao uso do Moodle mais do que como repositório de arquivos. Ainda assim, é preciso
verificar, para estudos futuros, de que forma se pode promover o uso destes espaços virtuais –
espaços de fluxos, para Castells (2002) – de maneiras não alcançadas pela presente pesquisa,
como uma forma de melhorar esta relação com o uso do tempo e a disponibilidade para o
aprimoramento pessoal no conhecimento matemático. Assim, outras formas de trabalho
conjunto poderiam ser priorizadas, o que não ocorreu aqui, como a colaboração e/ou a
cooperação.
Sobre outro aspecto, pode-se dizer que a estratégia didática empregada foi essencial
para que se pudesse discutir a construção do conhecimento sobre os temas matemáticos
abordados. A postura de não interferência direta do pesquisador, que não deixou de esclarecer
pequenas questões relativas à interface e aos enunciados, colaborou para que debates fossem
abertos, principalmente entre P5 e P7. A estratégia permitiu implementar as atividades
organizadas na pesquisa e acompanhar as propostas de resolução relativas às mesmas. Tal
postura permite afirmar que vários avanços foram obtidos, em que pesem algumas incorreções
e dificuldades que notoriamente persistiram.
Vale destacar, mais uma vez que os roteiros constantes das atividades foram
fornecidos aos participantes com o propósito de que as discussões fossem iniciadas, até o
ponto em que os mesmos tivessem condições de executar minimamente o que se objetivava.
À medida que as dificuldades persistiam, desde o desenvolvimento da fluência nas interfaces,
como foi mencionado anteriormente, fluência esta que compreende a exploração dos
elementos da interface e a apropriação da lógica da interface, a necessidade destes roteiros foi
novamente reestabelecida, de modo que a estratégia didática não tivesse seu andamento
comprometido. De todo modo, as interfaces escolhidas tinham o propósito de subsidiar a
construção de conhecimento matemático, fato esse que se consolidou parcialmente, como já
foi destacado.
Entretanto, como pode ser visto pelos resultados apresentados pelo participante P5, a
sucessão dos roteiros não foi suficiente para desenvolver a sua fluência como esperado em um
primeiro momento. Este fato não o impediu de explorar e investigar valendo-se do suporte
“lápis-e-papel” que dominava para dar solução a um problema proposto, seguido da
reprodução do resultado por meio do suporte digital. Na sequência do seu discurso (p. 83-84),
em resposta às questões da atividade, P5 compreende o sentido da questão (que menciona
102
pela figura do roteiro) e o saber já presente em sua estrutura cognitiva que justifica o resultado
obtido pelo mesmo (Homotetia).
De todo o modo, os resultados aqui obtidos apontam para uma evolução gradativa dos
participantes, evolução esta que, espera-se, mantenha o potencial de estender-se para a prática
profissional dos sujeitos como professores e pesquisadores. Essencialmente, além de um
acréscimo em relação ao conhecimento sobre os temas geométricos aqui tratados, a
expectativa é a de que tanto os participantes quanto os leitores desta contribuição à área de
Educação Matemática possam desenvolver e manter uma visão sobre as tecnologias de
natureza variada que lhes permita trabalhar com entusiasmo, sem afastamento em relação ao
aspecto crítico.
103
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106
Apêndices
Apêndice 1- Bloco retirado do estudo: semelhança no triângulo retângulo
A partir deste momento, espera-se utilizar as noções, os recursos e as justificativas já
apresentadas pelos participantes no estudo de semelhanças em um tipo específico de
triângulos, a respeito das quais se observam regularidades que merecem destaque, devido ao
grande número de aplicações práticas, entre elas, a demonstração de teoremas amplamente
utilizados por estudantes de matemática, como, por exemplo, o teorema de Pitágoras.
Assim, este tópico específico trata da semelhança nos triângulos retângulos. Para
tanto, este estudo inicia por algumas discussões iniciais. Por meio das atividades, parte-se de
uma construção de triângulos retângulos por meio de ternas pitagóricas dadas, de modo a
estabelecer, a partir um processo de construção empírico, as primeiras propriedades de um
triângulo retângulo. Na sequência, tenta-se uma justificativa, com uma potencial
demonstração, do que é de fato necessário para garantir para um triângulo ser apontado, de
fato, como retângulo. A seguir, um contraexemplo é solicitado, via construção, para a
justificativa de que as ternas pitagóricas não geram todos os triângulos retos.
Na segunda construção, alinha-se um processo para a construção de um triângulo
retângulo qualquer, um processo de demonstração da semelhança nos triângulos retângulos
em um caso geral e, em seguida, um problema sobre justificar a origem da média geométrica
e de um processo de demonstração teorema de Pitágoras, ambos via noção de semelhança.
1- Primeira construção
Os objetivos da atividade serão descritos na versão final.
a) “Construa triângulos com lados de medidas 3, 4 e 5; 6, 8 e 10; 5, 12 e 13. Qual o
procedimento adotado? E o que pode afirmar para garantir que a construção é
válida? O que pode afirmar sobre elas ao compará-las entre si? ”.
Espera-se que, nesta etapa,os participantes construam sem dificuldade os triângulos
pedidos pela questão. Trata-se de um procedimento que não tem exatamente o status de
problema, por conta do grau de complexidade; entretanto, faz-se necessário, à medida que
introduz o tema do bloco e motiva algumas discussões voltadas às perguntas a seguir.
Poderá ser verificado que são triângulos retângulos necessariamente, porque de outro
modo as medidas dos lados não cumpririam as exigências do enunciado para a construção de
triângulos retângulos, algo facilmente verificado via teorema de Pitágoras.
107
Outro método para averiguar o anteriormente citado pode ser feito pela construção de
um triângulo com as medidas dadas via circunferências a partir de segmentos desenhados no
GeoGebra com as medidas dadas pelo enunciado, por meio do transporte de medidas via
compasso. Por exemplo, faz-se 3 segmentos com a ferramenta segmento com comprimento
fixo, de comprimentos 3, 4 e 5. Disto marca-se um ponto A qualquer e usa-se qualquer uma
das medidas, por exemplo o segmento que mede 5, para se fazer uma circunferência com a
ferramenta Compasso de centro em A e raio desta medida. Marca-se B sobre a circunferência;
logo, AB mede 5. A partir de B, faz-se o mesmo procedimento, só que com outro segmento,
por exemplo, o que mede 4. Logo, qualquer ponto sobre a circunferência de centro em B de
raio 4, estará a uma distância de 4 de B, em função do conceito de lugar geométrico relativo à
circunferência. Por fim, para marcar C, a partir de A se cria uma outra circunferência de raio
congruente com a medida do segmento restante igual a 3; disto, encontram-se os pontos de
interseção C e C' desta última circunferência com a circunferência de centro em B e raio 4, e
ambos distam 3 de A e 4 de B. Logo, podemos traçar ABC com as medidas pedidas. O
mesmo pode ser feito a partir das medidas das outras duas ternas, como pode ser verificado na
figura 24. CEF tem medidas 6, 8 e 10 e CRT tem medidas 5,12 e 13.
Figura 24– Uma proposta para a primeira construção, bloco 3
Fonte: o autor
108
Os participantes, com base nos conhecimentos anteriores e nas construções aqui
realizadas, possivelmente afirmarão que a primeira e a segunda ternas são proporcionais e
determinam triângulos semelhantes por LLL de razão 2. Entretanto, quanto a terceira terna, a
única característica em comum com as duas primeiras se refere ao fato de formar um triângulo
retângulo a partir de suas medidas, sem, no entanto, ser semelhante às outras duas, porque não
há como estabelecer nem ao menos uma das três relações que compõem o mínimo para se
determinar a semelhança entre tais triângulos: LLL (os lados não têm medidas proporcionais),
LAL (há ângulo correspondente e congruente, no caso o ângulo reto, mas este não está
compreendido entre dois pares de lados com medidas proporcionais) ou AAA (os ângulos
correspondentes, com exceção ao ângulo reto, não são congruentes).
Quanto a justificativa destes triângulos serem retângulos, isto se verifica por que a
hipotenusa de cada um deles determina um diâmetro de uma circunferência, de modo que o
vértice oposto à hipotenusa esteja sobre a circunferência e determine desta forma um arco
capaz de 90 graus.
Outra justificativa passaria pela demonstração geral e pela seguinte argumentação:
dados os três vértices de um triângulo ABC tais que AB forme um diâmetro de uma
circunferência c, de centro O e C esteja sobre ela, de modo que, por hipótese, suponha-se que
o ângulo correspondente a C, ^
BC A seja reto e os demais ^
B AC e ^
A BC sejam tais que,
dado a soma do dos ângulos internos do triângulo ABC resultem em^
B AC +^
A BC = 90º
(1). Sobre c, ao traçar uma reta que passe por C e por O, determina-se outro diâmetro de
medida AB=CC' em c, tal que o ponto simétrico de C, C' seja determinado.
Caso liguem-se os pontos A e B à C', forma-se um triângulo ABC'. Pode-se deduzir da
figura 25 que 4 triângulos foram formados: CO e C'O são congruentes e AO é congruente à
BO pelos diâmetros que os contêm; além disto;^
C O B e^
'C O A são congruentes, pois são
opostos pelo vértice; logo, COB e C'OA são semelhantes por LAL.
De maneira análoga pode-se deduzir que AOC e C'OB também são semelhantes.
Disto, podemos afirmar por uma composição, que ABC e ABC' são semelhantes, e que
AC'BC é um paralelogramo (2). Por (1) e (2) temos que AC'BC é um retângulo e ABC é, de
fato, reto em ^
BC A .
109
Figura 25– Proposta para a terceira construção, bloco 3
Fonte: o autor
As ferramentas do GeoGebra utilizadas nesta construção poderiam ser Ponto, Reta,
Segmento de comprimento fixo, Compasso, Polígono e Ângulo.
A construção de permitir às pessoas-com-GeoGebra visualizarem que duas das ternas
são semelhantes por LLL; entretanto, a terceira não é semelhante a nenhuma das duas
primeiras, o que pode ficar evidente com apoio das investigações com o GeoGebra indicarem
elementos que justificam que esta não apresenta nenhuma das relações necessárias para
definir uma semelhança com as demais.
b) “Caso se multiplique indefinidamente por uma constante r as medidas da primeira
e da última ternas propostas no item anterior, poderia se formar todos os triângulos
retângulos? Caso não, construa um contraexemplo, justificando a escolha do
mesmo. Discuta com os colegas em quais contextos aparecem tais tipos de
triângulos e no que o estudo proposto até aqui auxilia nas suas investigações.
A resposta deveria ser “não”. E como contraexemplos podem ser sugeridas ternas com
valores racionais não proporcionais às ternas já propostas como a terna (5, 5,96, e 7,78) ou
ainda a presença de números incomensuráveis nas medidas dadas, como as raízes quadradas
de números primos, como as que compõem alguns dos elementos da espiral de Teodoro,
partindo da terna (1,1, 2 ). Isto pode trazer à tona a discussão da apresentação realizada por
alguns materiais didáticos, ou ainda estratégias didáticas que exploram apenas algumas ternas
pitagóricas no estudo de triângulos retângulos.
2- Segunda construção: Triângulos retângulos - caso geral e média geométrica
Objetivo da atividade: Promover a elaboração de um método para a construção de triângulos
retângulos dado um segmento AB, que determina o diâmetro de uma circunferência de centro
C e raio CA e, a partir desta construção deduzir por meio de semelhança que, os triângulos
determinados pela altura h, de um vértice D sobre 𝐴𝐵 , são semelhantes com o triângulo
110
original e entre si. Disto, passamos às deduções de algumas propriedades determinadas por
estas semelhanças e dois problemas que empregam destas, no caso, a média geométrica e o
teorema de Pitágoras.
a) Construa um triângulo retângulo ABD qualquer, de altura de medida DH, com H contido
em 𝐴𝐵 , AB tal que seja o diâmetro de uma circunferência c e D esteja sobre esta
circunferência. Realize esta construção e argumente sobre quais fatores garantem a
confiabilidade da estrutura. Movimente seus vértices e pontos, e descreva o que puderam
observar.
Resposta esperada:
A demonstração que pode ser indicada para que ABD seja reto pode partir do arco capaz de
180º relacionado a AB, o que garante o ângulo ser reto no vértice em D. Ou ainda uma
demonstração que se alinha com a feita no caso geral, como a que consta na seção resposta
esperada da primeira construção deste mesmo bloco.
Ferramentas utilizadas no software: Ponto, Reta, Compasso, Ponto médio ou Centro (para
determinar o centro da circunferência de diâmetro AB), e perpendicular (Para determinar H,
sobre 𝐴𝐵 alinhado com D, o que determina a altura relativa a D, 𝐷𝐻 ) , interseção entre dois
objetos e polígono.
Aspectos do dinamismo do software: Ao movimentar os extremos do segmento 𝐴𝐵 , o
triângulo ABD se diminui ou amplia a medida que aproxima-se ou afasta-se A de B. Por
conta de D estar sobre a circunferência de diâmetro AB, a medida que este seja movimentado
sobre c, sua altura DH varia de 0, quando D coincide com um dos extremos de AB, ao no
máximo AB/2 (medida do raio dado o segmento AB ser o diâmetro de c), ponto no qual ABD
torna-se além de reto, isósceles.
b) Partindo-se da construção anterior, quantos triângulos estão presentes nesta construção que
realizaste acima?Qual a relação que pode estabelecer entre estes triângulos e o triângulo
ABD? E qual a relação que pode estabelecer entre eles mesmos?
Resposta esperada: Espera-se que os participantes relacionem os triângulos determinados pela
altura DH em ABD, ou seja, AHD e DHB. Logo, tratam-se de 3 triângulos. Espera-se que por
conta dos progressos alcançados até aqui, que os participantes consigam por meio de uma
reconfiguração de AHD e DHB, que estes investiguem sobre a semelhança destes com ABD e
em seguida entre si, e por meio da argumentação empregada, desenvolver uma demonstração
para tal teorema. Para tanto, deve se relacionar vértices homólogos de suas construções
iniciais com os das reconfigurações e os ângulos correspondentes para que as construções
sejam válidas. Como pode ser visto na figura 26:
111
Figura 26- Exemplos de deduções
Fonte: o autor
Disto pode-se estudar os casos de semelhança primeiro de AHD com ABD. (1)
Pela reconfiguração proposta no início desta seção, pela identidade da semelhança
transferimos AHD sobre ABD de modo que se pudesse relacionar os elementos de ambos
com o objetivo de exibir uma semelhança entre eles. Para tanto, por ^
A H D ser reto o
homólogo de H na figura nova passa a ser D', tal que D' e D fiquem sobrepostos, (pois o
ângulo correspondente de D é ^
A D B também é reto).
A por transferência de medidas passa a ser A'' e D passa a ser D'', formando o
triângulo AD'D''. Com o auxílio das medições e do suporte dinâmico do GeoGebra, pode-se
apurar que ABC e AD'D'' são semelhantes por AAA pois seus ângulos correspondentes são
todos congruentes. Logo, ABC é semelhante com AHD.
O procedimento e as justificativas são análogas para DHB. (2)
Por (1) e (2) e a transitividade pode-se afirmar que AHD é semelhante a DHB.
Ferramentas utilizadas no software: As mesmas da etapa anterior, com destaque a ferramenta
polígono que foi usada para destacar AHD e DHB.
Aspectos do dinamismo do software: Nesta etapa, além do já explicado na primeira
construção sobre as consequências de movimentar A e B, agora quando movimenta-se D os
112
dois triângulos que compõem ABC, AHD e DHB, se alteram e se complementam, seja pelas
proporções que seus lados determinam entre si e com ABC quanto a manutenção da
congruência dos seus ângulos correspondentes, mostrando de fato que trata-se de uma
semelhança.
c) Normalmente, é apresentada a fórmula de média geométrica pela equação .h a b sem
que haja necessariamente um caminho de dedução para justificá-la, uma ideia da qual
construção esta relação possa estar relacionada, ou ainda quais outras relações métricas
podem ser exploradas à partir do mesmo raciocínio que a originou.
Disto, partindo das conclusões apuradas da construção anterior, com a e b tais que, a = AH e
b = HB, escreva uma relação que traduz o que consta na fórmula acima e justifique o processo
de formação dessa relação.
Resposta esperada:
Verifica-se o valor da média geométrica por exemplo, os casos de semelhança destes com
AAA pois os ângulos correspondentes de AHD e DHB são todos congruentes, logo pelo
mesmo princípio, pelo vértice H, quando comparamos AHD e DHB temos que
BH/DH=DH/AH, o que resulta em DH²=BH.AH , logo DH é a média geométrica entre BH e
AH.
d) Deduza por meio das relações estabelecidas até aqui o teorema de Pitágoras.
Resposta esperada: Na verdade, o que acontece com as relações métricas do triângulo
retângulo é que elas são deduzidas, por exemplo, à partir dos casos de semelhança, entre elas
os resultados que serão demonstrados a seguir. Utilizando as semelhanças apuradas nas
construções anteriores, pode-se afirmar que:
(1) Da semelhança (por LAL) apurada entre DHB e ABD, à partir do vértice B e seus ângulos
correspondentes podemos deduzir a proporção DB AB
BH DB , disto se
2.DB AB BH
(2) Da semelhança (por LAL) apurada entre AHD e ABD, à partir do vértice A e seus ângulos
correspondentes podemos deduzir a proporção DA AB
AH AD , disto se
2.DA AB AH .
Somando os resultados de (1) e (2) temos:
2 2
. . ( )DB DA AB BH AB AH AB BH AH , logo como já definido, AB= AH+BH,
disto 2 2 2( )DB DA AB como se queria demonstrar.
113
Apêndice 2 - Apresentação de slides feita para os participantes
114
115
116
Apêndice 3 - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE)
117
Apêndice4–Texto inicial do curso na plataforma Moodle
As construções propostas pelos problemas que serão apresentados a vocês neste curso
têm por objetivo "cobrir" as propriedades e teoremas acerca de um tema (objeto) da geometria
plana sobre o qual conversaremos gradativamente. Cabe a cada participante, neste momento,
explorar as ferramentas e os elementos da interface que empregaremos nas interações com os
objetos matemáticos, o GeoGebra 5. Isto deverá ocorrer, em um primeiro momento, por meio
de atividades com roteiros que têm a finalidade de promover a familiarização em relação ao
programa computacional, iniciando e desenvolvendo um processo de construção de fluência
que será muito importante para o trabalho com os temas que apresentaremos.
Fluência, neste contexto, segundo Oliveira (2013), compreende duas etapas:
exploração dos elementos da interface e a apropriação lógica da mesma. A exploração tem
por objetivo de familiarizar o indivíduo com os instrumentos disponíveis na interface,
enquanto a apropriação da lógica:
Consiste em estender a compreensão inicial, restrita às ferramentas, para a forma
como a tecnologia em questão trata a perspectiva matemática pensada pelo usuário,
ou seja, como se dá a integração entre o conhecimento matemático, fundamental
para a resolução de um problema, e a expressão desta resolução sob o ponto de vista
da forma como a interface opera(OLIVEIRA, 2013, p. 3).
Outro elemento teórico importante nesta trajetória diz respeito às atividades em si, que
deverão assumir natureza colaborativa, de modo a fomentar a constituição de uma
comunidade virtual de aprendizagem colaborativa. A atitude colaborativa se consolida, como
pode parecer óbvio, pelo desenvolvimento de uma cultura de colaboração. Por sua vez,
colaborar, neste contexto, tem o sentido de construir em conjunto, ao longo da trajetória, de
forma partilhada, participativa. As participações, ainda que destinadas a qualquer pequena
intervenção significativa, serão valorizadas e bem-vindas. Esta atitude, então, não pode ser
confundida com cooperação, que tem sua importância, como procedimento por meio do qual
se dividem tarefas, de consecução separada, para serem reunidas posteriormente em um
momento sinérgico de integração.
Assim, são fundamentais as interfaces de potencial colaborativo do Moodle, nosso
AVA (ambiente virtual de aprendizagem) o fórum, o chat, o wiki, entre outras, sobre as quais
falaremos oportunamente.
Neste contexto, o papel do docente é o de motivador e mediador; trata-se do
elaborador/planejador das atividades que têm por base uma proposta de ensino calcada em
problemas e construções, justamente no intuito de explorar um tema da Geometria Euclidiana
118
por meio do GeoGebra 5, a partir do qual os participantes das atividades têm a base para
desenvolver propostas e conjecturas, investigar, e, ao mesmo tempo, ampliar a fluência, nas
discussões entre os pares e com o docente. Os temas serão, via de regra, as propriedades e
fenômenos que poderão ser observados no transcurso das atividades, ao mesmo tempo que
expõem suas inquietações, percepções, êxitos e eventuais falhas.
Na sequência, os papéis dos alunos/participantes; passam pela facilitação das
discussões, observação crítica do processo, construção de intervenções significativas em
relação à dinâmica do grupo, promoção da atitude colaborativa. O objetivo é aprender e
ensinar, de todos para todos.
Estes elementos fundamentais orientarão as ações ao longo da jornada de estudos deste
tema de geometria euclidiana plana, e têm como um dos objetivos não somente iniciar,
desenvolver e encerrar as discussões acerca do mesmo, mas proporcionar um ambiente
profícuo para o surgimento de outros estudos, não necessariamente em Geometria Euclidiana,
mas nas áreas matemáticas de interesse comunitário.
Agradecemos desde já pela participação de todos! Fiquem à vontade para começar
com as atividades”.
