Ponto dos Concursos - Estatística e Matemática Financeira em Exercícios ESAF

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CURSO ON-LINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

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AULA ZERO Olá, amigos! O objetivo desta “aula zero” é, senão outro, o de apresentar-lhes exatamente como será o nosso curso, qual será a dinâmica pretendida. Cada uma de nossas aulas terá dois momentos: no primeiro deles, vocês conhecerão as doze questões que compõem o estudo desse dia. Ao selecionar estas doze questões, eu as resolverei todas elas aqui de onde estou, no papel, e com base no tempo que eu gastar para resolvê-las, estabelecerei uma meta de tempo a ser buscada por vocês. Obviamente que eu levarei em consideração o fato de eu (muito provavelmente) já conhecer esses exercícios melhor que vocês todos. Mas também devo dizer que tenho uma noção muito boa do tempo ideal de resolução das questões. O tempo é talvez um elemento tão importante quanto o conhecimento, na hora de se fazer uma prova de concurso. Não basta saber. Temos que tentar raciocinar com velocidade. E só há um meio de se alcançar isso: treinando! Por isso, a título de sugestão, recomendo que você escolha uma hora livre para resolver cada aula nossa. Uma hora em que você saiba que não será interrompido! Peça a alguém que atenda aos telefonemas e anote os recados. Leve água também. Estudar costuma dar muita sede! Dito isto, seguem as doze questões desta nossa aula demonstrativa, que serão as mesmas da aula número um, com a diferença que aqui só resolverei duas delas, uma de estatística e uma de matemática financeira. 1ª ETAPA) Conheça as questões de hoje. Marque o tempo e tente resolvê-las! Obs.: como a aula é demonstrativa, não estabelecerei o Tempo Meta para hoje. 1. (AFRF-2000)

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salário Freqüências Acumuladas

( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.



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28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Os valores seguintes foram calculados para a amostra: Σ Xi = 490 e Σ Xi

2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).

a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)


4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Pode-se afirmar que:

a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativa. e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que

500.24)(71

2 =−∑ =i ii fxx e que

500.682.14)(71

4 =−∑ =i ii fxx .

Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal. 54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cinco produtos:

Ano 1960 (ano base) 1970 1979 Preço

(po) Quant. (qo)

Preço (p1) Preço (p2)

Produto A 6,5 53 11,2 29,3 Produto B 12,2 169 15,3 47,2 Produto C 7,9 27 22,7 42,6 Produto D 4,0 55 4,9 21,0 Produto E 15,7 393 26,2 64,7



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Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 com base em 1960.

a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 c) R$ 1.025,00 9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. a) 6 meses d) 7 meses e dez dias b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias c) 7 meses 13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 b) R$ 800,00 e) R$ 600,00 c) R$ 500,00 20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que

1,204 =2,0736; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832.

a) 107,36% d) 130% b) 127,1515% e) 148,832% c) 128,096% 29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 c) R$ 2.252,05



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39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 c) R$ 6.230,00 2ª ETAPA) Resolução das Questões: Obs.: Como disse, hoje só resolverei duas questões: a primeira da estatística e a primeira de matemática financeira. Vamos a elas! 1. (AFRF-2000)



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências. Esta é a principal maneira de os dados de uma pesquisa virem apresentados em uma questão de concurso. É imprescindível que conheçamos bem a Distribuição de Freqüências e saibamos trabalhar com ela. Neste nosso exemplo, temos duas colunas: a coluna das classes, que traz para nós intervalos de salários, em milhares de reais (conforme dito acima da tabela)! Se esses salários estão em milhares de reais, onde há na primeira classe (3 ; 6] nós vamos entender (3.000 a 6.000). Certo? A segunda coluna é uma de freqüências acumuladas, conforme também dito pelo enunciado! Ora, existem quatro tipos de freqüências acumuladas: freqüência absoluta acumulada crescente (fac); freqüência absoluta acumulada decrescente (fad); freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). Não se pode começar a resolver uma questão destas, sem antes ter certeza de qual das colunas de freqüências foi fornecida. Como diferenciar uma coluna absoluta de uma relativa? A absoluta apresenta números de elementos; enquanto que a relativa apresenta percentuais de elementos. Daí, para que uma coluna de freqüência seja relativa, deverá ou dizer isso expressamente no enunciado, ou trazer um sinal de % no cabeçalho da coluna, ou trazer um sinal de % após cada valor daquela coluna. Ou seja, precisamos de alguma destas pistas para sabermos que estamos diante de uma coluna de freqüência relativa.



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Outra dica: se estamos bem lembrados, quando a coluna de freqüências é acumulada e é relativa, então ela ou começará ou terminará com 100%. Se terminar com 100%, será freqüência relativa acumulada crescente; se começar com 100%, será freqüência relativa acumulada decrescente. Não tem erro! Olhando para o valor da freqüência da última classe dessa coluna, vemos que é 68. Ora, jamais poderíamos estar diante de uma freqüência relativa acumulada! Temos, portanto, uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes! Crescentes por quê? Porque seus valores são os seguintes: 12, 30, 50, 60, 65, 68. Ou seja, os valores estão crescendo. Sabendo disso, já temos uma nova missão a ser cumprida, imediatamente: construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi). Por que isso? Porque a fi é a mais importante das colunas de freqüências. Seu conhecimento é fundamental para a resolução da grande maioria das questões que derivam de uma distribuição de freqüências. A título de exemplo, precisaremos conhecer a fi para cálculo das seguintes medidas: média aritmética, moda, mediana, além de todas as medidas de dispersão (as quais, por sua vez, dependem do conhecimento da média), medidas de assimetria e medidas de curtose. Enfim, para quase tudo! Para se chegar à fi, seguiremos o caminho das pedras, que é o seguinte: Sentido de ida fac fi fad Fac Fi Fad

Sentido de volta Trabalharemos assim: para passar de uma freqüência simples para uma freqüência acumulada,... fac fi fad Fac Fi Fad

…estaremos seguindo o sentido de ida do caminho das pedras, cujo procedimento será memorizado apenas como: somar com a diagonal.

O sentido de volta consiste em passar de uma freqüência acumulada para uma freqüência simples. Da seguinte forma:



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fac fi fad Fac Fi Fad O procedimento para, neste caso, chegarmos às freqüências simples é esse: próxima freqüência acumulada menos freqüência acumulada anterior. Neste nosso exemplo, estaremos exatamente neste sentido de volta, passando da fac (freqüência absoluta acumulada crescente) para a fi (freqüência absoluta simples). Só relembrando: o apelido da fac é freqüência abaixo de. Podemos até colocar uma seta para baixo no cabeçalho da coluna fac. E no sentido da seta, ou seja, de cima para baixo, construiremos a fi. Na primeira classe, ambas as colunas têm o mesmo valor! Teremos:

Classes de Salário fac ↓ fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Para o restante da coluna fi, basta seguir o procedimento do sentido de volta do caminho das pedras. Teremos:

Classes de Salário fac ↓ fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65)

Qual o significado da fi? Ela nos diz o número de elementos que pertencem à classe correspondente. Neste nosso caso, por exemplo, o valor 18, que é fi da segunda classe, indica que 18 empregados da empresa percebem entre R$6.000 e R$9.000, incluindo-se neste intervalo o limite inferior (R$6.000) e excluindo-se o limite superior (R$9.000). Bem, a questão pergunta: quantas pessoas ganham menos de R$7.000? É isso o que se quer saber! Ora, a primeira classe vai até salários de R$6000. Logo, os 12 empregados que participam desta classe estarão integralmente incluídos em nossa resposta! Já na segunda classe, que abarca salários de R$6.000 a R$9.000, nem todos os 18 empregados que ali estão participarão da resposta! Uma vez que queremos o número daqueles que ganham até R$7.000. Conclusão: somente uma parte dos elementos da segunda classe integrará o resultado! Faremos uma regra de três simples, da seguinte forma:



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Amplitude da classe inteira ------- fi da classe inteira Amplitude da classe quebrada ---- X Amplitude é sinônimo de tamanho. Já sabíamos disso! E classe quebrada, neste caso, é aquela que pega os salários de R$6.000 somente até R$7.000, que é o valor que nos interessa! Os limites dessa classe quebrada são, portanto, 6 a 7. Esse X significará justamente o número de elementos da segunda classe que irá participar da resposta da questão. Daí, teremos: 3 ---- 18 1 ---- X Daí: X = 18/3 X=6 Abaixo de R$7.000, teremos então as 12 pessoas na primeira classe, e 6 pessoas apenas na segunda. Total: 18. Se procurarmos esse valor entre as respostas, não a encontraremos! Será que erramos alguma coisa? Absolutamente! O problema é que foi dito pelo enunciado que essa distribuição de freqüências representa uma amostra de 10% da população. Assim, qualquer resultado que encontremos com os valores da tabela (amostra), representará apenas 10% do resultado relativo à população. E o enunciado foi bem claro: pediu-nos um resultado populacional. Ora, população é o todo. E o todo é 100%. Para 10% se transformarem em 100%, temos que multiplicar por 10. Daí, esse resultado amostral que encontramos (18) também terá que ser decuplicado! Teremos: 18x10=180 Resposta da Questão! 1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 c) R$ 1.025,00 Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo AFRF de 2002, a qual resolveremos também em outra ocasião. Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! Por isso essa multa tem o nome de fixa. Teremos, portanto: (2/100) x 1.000 = R$20,00 Multa fixa!



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Com isso já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta. Agora precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. Para contarmos os dias úteis de atraso, eu recomendo neste caso que façamos um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum tempo. Observando que foi dito que o dia 5 é uma segunda-feira, faremos:

SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da contagem dos dias de atraso. Teremos:


E quanto ao dia 5? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou que a conta deveria ser paga até o dia 5, então o primeiro dia de atraso é o próximo! Excluindo, pois, também o dia 5 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos:


Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no pagamento da conta. Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor por 10. Teremos: Juros por dia útil de atraso: (0,1/100) x 1000 = R$1,00 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: Juros por todo o atraso: 10 x R$1,00 = R$10,00 Juros! Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: R$1.000,00 + R$20,00 + R$10,00 = R$1.030,00 Resposta!



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APRESENTAÇÃO DO CURSO E LISTA DE EXERCÍCIOS Olá, amigos! Espero que estejam todos bem!

Hoje, venho finalmente apresentar-lhes o novo curso online – RESOLUÇÃO DE QUESTÕES ESAF DE ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA. Como o nome sugere, o curso será de resolução de questões de provas passadas, todas elas elaboradas pela Esaf. No total, são cento e vinte questões: sessenta de Estatística e a outras sessenta de Matemática Financeira. Consegui fazer uma verdadeira seleção de exercícios, extraindo-os de mais de vinte provas diferentes. Cada questão tem sua razão de estar inclusa nesta lista; cada uma se propõe a um ensinamento, a uma dica, a uma lembrança. Achei deveras conveniente, como já havia dito em outra ocasião, fazer com que vocês conheçam o conteúdo do curso, ou seja, saibam a priori quais serão as questões resolvidas durante as aulas. Na relação que se segue, encontram-se três partes: 1ª Parte) Questões de Estatística. Nesta, vocês terão questões agrupadas por assunto, na seguinte ordem: - Colunas de freqüências e interpolação linear da ogiva; - Medidas de posição; - Medidas de dispersão; - Momento, assimetria e curtose; - Números índices. 2ª Parte) Questões de Matemática Financeira. Também aqui as questões estarão divididas pelos seguintes assuntos: - Juros simples; - Juros simples exatos; - Juros simples ordinários; - Prazo médio & Taxa média; - Desconto simples; - Relação entre Desconto Simples por Dentro & Desconto Simples por Fora; - Taxa Efetiva de Juros; - Equivalência Simples de Capitais; - Juros Compostos – Convenção linear; - Juros Compostos – Taxas Equivalentes; - Desconto Composto; - Equivalência Composta de Capitais; - Equivalência Composta com Convenção Linear; - Rendas Certas e Amortização; - País, Bônus & Cupons; - Fluxo de caixa. 3ª Parte) Questões das Provas Passadas do AFRF, de Estatística e de Matemática Financeira. Esclareça-se desde logo: as questões que serão resolvidas serão as das duas primeiras partes. Esta terceira parte é só para ajudar a quem tiver interesse em resolver integralmente as últimas provas do AFRF, e ainda não as tem. O curso será ministrado com uma aula por semana, durante dez semanas. Em cada aula, resolverei doze questões, seis de cada matéria. As questões de cada aula não seguirão a seqüência exata em que se encontram nestas listas. Farei algo mais interessante: mesclarei questões de assuntos variados, para tornar cada aula um verdadeiro simulado. A missão deste curso é uma só: preparar o candidato ao próximo concurso do AFRF – Auditor-Fiscal da Receita Federal. Em que pesem certos boatos em sentido contrário, até onde eu sei, estas duas matérias – Matemática Financeira e Estatística – estarão presentes no programa do AFRF/2005. Já me perguntaram se eu tenho absoluta certeza disto. Minha resposta é sempre a mesma: eu só tenho absoluta certeza de que o bom é preparar-se com antecedência, pois não tenho dúvidas de que é melhor correr o risco estudando, do que simplesmente torcendo para as matérias não caírem na prova! A respeito do investimento, o curso custará R$120,00 (cento e vinte reais), podendo ser dividido em três vezes iguais de R$40,00 (quarenta reais). Ou seja, a taxa de juros cobrada aqui (para quem já estudou o assunto) é de zero por cento ao mês! Começaremos o curso no dia 19 de janeiro próximo, uma quarta-feira! O concurso está aí, não há tempo a perder!



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É isso! Um abraço a todos! Fiquem com a relação das questões do nosso curso on-line!

PARTE I - ESTATÍSTICA

Colunas de Freqüências e Interpolação Linear da Ogiva 1. (AFRF-2000) Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa


( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 2. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 3. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que se segue.

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:



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Classes Freqüência

(f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900

4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas.

Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70% 6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200



12

apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%.

Classes R$ Freqüências 350 – 380 3 380 – 410 8 410 – 440 10 440 – 470 13 470 – 500 33 500 – 530 40 530 – 560 35 560 – 590 30 590 – 620 16 620 – 650 12

a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 7. (AFRF – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências Acumuladas (%)

2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500

Medidas de Posição

8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de:

a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72%

9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. f) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. g) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. h) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.



13

i) O número de mulheres é o dobro do número de homens. j) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90

Classes de Idades (anos)

Freqüências (fi)

Pontos Médios (PM)

diPM=

−5

37

di.fi di2.fi di3.fi di4.fi

19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

-3 -2 -1 --- 1 2 3

-6 -18 -23 --- 18 24 21

18 36 23 --- 18 48 63

-54 -72 -23 --- 18 96 189

162 144 23 --- 18 192 567

Total n=100 16 206 154 1106

10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de freqüências abaixo.



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30



14

( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

14. (AFRF-2000) Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 15. (AFRF-2000) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência (f)

29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20



15

69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

18. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 19. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10

(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Medidas de Dispersão 22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra

de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:

a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa

eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:

a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio

padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:

a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000,



16

(AFC-94) Para a solução das duas próximas questões considere os dados da tabela abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada.

Freqüências das Notas na Prova de Estatística

Classes de Notas

TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 0 !--- 2 2 !--- 4 4 !--- 6 6 !--- 8 8 !--- 10

20 40 30 6 4

10 15 50 15 10

5 10 70 10 5

Total 100 100 100 25. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) b) Média (turma 1) > Média (turma 2) c) Média (turma 2) < Média (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) 26. (AFC-94) A única opção errada é: a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) c) média (turma 2) = média (turma 3) d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) e) na turma 3: média = mediana = moda 27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: 2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos

de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23



a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)

29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a

receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média

aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta.



17

a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ.

b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

31. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas:

∑=

==N

iRXi

NX

100,300.14$1

e ( ) 00,200.1$15,0

1

2RXXi

NS

N

i=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: a) P é no máximo ½ b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo ½ d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20 32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

168071

2 =∑ =i ii fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de

classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 33. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo

b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.



18

d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 34. (AFRF-2002/2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 35. (AFRF-2002/2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi

observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Grupo Média Desvio

padrão A 20 4 B 10 3

Assinale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.

b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. 36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média

amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.

a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% 37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção

que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0

38. (FISCAL INSS – 2002). A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada na próxima questão e apresenta as freqüências (fi) correspondentes as idades dos funcionários (X) de uma escola. Não existem realizações de X coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes de Freqüências



19

Idades (anos)

(fi)

19,5 – 24,5 24,5 – 29,5 29,5 – 34,5 34,5 – 39,5 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5

2 9 23 29 18 12 7

Total

Para o atributo X tem-se 147970.27

1=∑ =

fiPMi i , onde fi é a freqüência simples da classe

i e PMi o ponto médio de cada classe da distribuição. Considerando a transformação Z=(X - 27,8)/10 , assinale a opção que dá a variância relativa do atributo Z. a) 0,42 b) 0,51 c) 0,59 d) 0,65 e) 0,72 39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das

classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.

b) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral

2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0%

Momento, Assimetria e Curtose 41. (AFTN-94) Indique a opção correta: a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que

o coeficiente de curtose. b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no

intervalo [-3, 3]. c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o

quadrado da variância da distribuição. d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23


a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativa. e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 43. (AFTN-98) Assinale a opção correta.



20

a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas. c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

44. (AFRF-2002) Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 45. (AFRF-2002) Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente

1090 PPQk−

=

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose к para a distribuição de X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000 46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8



21

49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: a) A distribuição é assimétrica à direita. b) A distribuição é assimétrica à esquerda. c) A distribuição é simétrica. d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor

medida de tendência central. e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que

500.24)(71


500.682.14)(71

4 =−∑ =i ii fxx .

Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal. 49. (FISCAL DO INSS-2002) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4



22

39-44 3 44-49 2

Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610 50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale a opção correta. a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média

dos cubos das observações. e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. 51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100

Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028

Números Índices

Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados:

Quantidades (1000t) Preços (R$/t) Artigos 1993 1994 1995 1993 1994 1995

A1 12 13 14 58 81 109 A2 20 25 27 84 120 164

52. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7



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c) 100,0; 141,8; 193,1 53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 c) 100,0; 141,8; 192,7 54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cinco produtos:


(po) Quant. (qo)




b) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado com base no ano de 1984.

Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 75 88 92 100 110 122

No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento desejado? a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6% 57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%



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58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período. a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00% 59. (AFRF-2002.2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% d) 92,9% e) 156,0% 60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.

Ano S1 S2 S3 1999 50 75 100 2000 75 100 150 2001 100 125 200 2002 150 175 300

a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das series S2 e S3. e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos.

PARTE II – MATEMÁTICA FINANCEIRA

Juros Simples 1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 c) R$ 1.025,00



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2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00 3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00

Juros Simples Exatos 4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 c) R$ 715,00

5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80%

Juros Simples Ordinários 6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 c) R$ 3.996,00

Prazo Médio & Taxa Média



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7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio d) Três meses c) Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias

8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. d) 6 meses d) 7 meses e dez dias e) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias f) 7 meses

Desconto Simples 10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 c) R$ 9.500,00 11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4%

Relação Desconto Simples por Dentro x Desconto Simples por Fora 12. (FISCAL INSS - 2002) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 d) R$ 981,00 b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00 c) R$ 924,96 13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.



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d) R$ 400,00 d) R$ 700,00 e) R$ 800,00 e) R$ 600,00 f) R$ 500,00

Taxa Efetiva de Juros 14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do empréstimo que utilizou em proveito próprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre 15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real paga pela empresa? a) 3,09% ao mês b) 4,00% ao mês c) 4,71% ao mês d) 4,59% ao mês e) 4,50% ao mês

Equivalência Simples de Capitais 16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 c) R$ 12.080,00 17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 d) $ 970,00 b) $ 900,00 e) $ 995,00 c) $ 945,00

Juros Compostos - Convenção Linear



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18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante. a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25% 19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que

1,204 =2,0736; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832.

a) 107,36% d) 130% b) 127,1515% e) 148,832% c) 128,096% 21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36%

Juros Compostos – Taxas Equivalentes 22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% d) 12,6162% b) 12,6825% e) 12,5508% c) 12,4864%

23. (FTE-MS-2001) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? a) 26,82% b) 26,53% c) 26,25% d) 25,97% e) 25,44% 24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4%

Desconto Composto 25. (AFRF-1998) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) R$ 9.140,00 d) R$ 9.174,00 b) R$ 9.126,00 e) R$ 9.151,00



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c) R$ 9.100,00

26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 c) R$ 30.000,00 27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 c) R$ 624,47 28. (ATE-MS-2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00

Equivalência Composta de Capitais 29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 c) R$ 2.252,05 30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 c) $ 2.333,33 31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento



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único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ 63.232,00 d) R$ 62.200,00 b) R$ 64.000,00 e) R$ 64.513,28 c) R$ 62.032,00 32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o seguinte esquema de pagamentos: a) uma entrada de 20%; mais b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, ou seja, para o final do período de financiamento. Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 c) R$ 172.432,40 33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750

Equivalência Composta com Convenção Linear

34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês. a) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 b) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 c) R$ 33.538,25 35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 c) R$ 1.584.000,00



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Rendas Certas & Amortização 36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais próximo da nova prestação mensal. a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 c) R$ 625,00 37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. a) R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 b) R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 c) R$ 10.252,62 38. (FTM-FORTALEZA-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. a) R$ 4.410,00 d) R$ 5.872,00 b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00 c) R$ 5.282,00

39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 c) R$ 6.230,00 40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 c) R$ 1.800,00



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41. (AFRF-2002-2) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 d) R$ 1.512,44 b) R$ 1.418,39 e) R$ 1.550,00 c) R$ 1.500,00 42. (MDIC-ACE-2002) Uma empresa adquiriu um equipamento no mercado internacional com uma parcela de US$ 100,000.00 financiada em dezoito prestações semestrais iguais de US$ 8,554.62, vencendo a primeira ao fim do primeiro semestre. Junto com o pagamento da décima-segunda prestação a empresa acerta com o financiador um pagamento único para quitar o resto da dívida. Calcule o valor mais próximo desse pagamento que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiamento original. a) US$ 33,333.00 d) US$ 48,225.00 b) US$ 43,420.00 e) US$ 50,000.00 c) US$ 46,938.00 43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro deveria ser igual a: a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 c) R$ 3.938,48 44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 c) R$ 151.342,00 45. (AFRF-2002/1) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de fevereiro.



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a) R$ 36.000,00 d) R$ 41.132,00 b) R$ 38.449,00 e) R$ 44.074,00 c) R$ 40.000,00 46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00 47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 c) R$ 29.124,00 48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). a) R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 b) R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 c) R$ 35.520,00

49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 986,00 d) R$ 900,00 b) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 c) R$ 923,00 50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 c) $ 11.881,00 51. (AFRF-1996) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a.,



34

capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23

País, Bônus e Cupons

52. (ANALISTA SERPRO – 2001) Um país lançou bônus no mercado internacional de valor nominal, cada bônus, de US$ 1.000,00, com dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. a) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bônus b) US$ 52,00 por bônus e) 5,94% c) 8,43% 53. (AFRF-2003) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% 54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 c) US$ 930.00 55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à taxa nominal de 12% ao ano. a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125%

Fluxo de Caixa 56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero,



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uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.511,00 d) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 e) R$ 2.873,00 c) R$ 3.617,00

57. (FISCAL DO INSS – 2002) Uma empresa possui uma taxa de atratividade mínima de 12% ao ano e está considerando uma proposta de investir hoje R$ 20.000.000,00 para obter receitas previstas de R$ 3.000.000,00 ao fim de cada um dos próximos dez anos. Obtenha a decisão da empresa baseada no critério do valor atual do fluxo de caixa previsto da empresa. a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. b) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. c) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. d) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. e) A empresa não se decide porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é zero. 58. (ANALISTA SERPRO – 2001) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1000 - 800 300 300 300 300 300 300 300 300 1300

a) 222,44 b) 228,91 c) 231,18 d) 243,33 e) 250,25 59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão 36. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.

TABELA DE FLUXOS DE CAIXA

Meses Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é:



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a) Fluxo um b) Fluxo dois c) Fluxo três d) Fluxo quatro e) Fluxo cinco 60. (AFRF-2002-2) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25

PARTE III – PROVAS PASSADAS AFRF

ESTATÍSTICA

I - Prova de Estatística – AFRF 1998: 01. Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica

que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais observações.

a) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. c) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com

duas modas nos extremos.



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d) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular. 02. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma

amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

ΣXi=490 e ΣXi2 - (ΣXi)2/50 = 668

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).

a) 9,0 e 14,0 d) 8,0 e 13,6 b) 9,5 e 14,0 e) 8,0 e 15,0 c) 9,0 e 13,6 03. Com base nos dados da questão 12, pode-se afirmar que: a) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com

assimetria negativa. b) A distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. c) A distribuição amostral dos preços é simétrica. d) A distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. e) Nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços.

04. Com base nos dados da questão 2, assinale a opção que corresponde ao preço modal.

a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9

05. Assinale a opção correta.

a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa.

b) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva.

c) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas.

d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões.

e) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido.

06. A tabela abaixo representa a evolução de preços e quantidades de cinco produtos:

Ano 1960 (ano base) 1970 1979

Preço (po)

Quant. (qo)


Produto A 6,5 53 11,2 29,3 Produto B 12,2 169 15,3 47,2 Produto C 7,9 27 22,7 42,6



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Produto D 4,0 55 4,9 21,0 Produto E 15,7 393 26,2 64,7

Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0

Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 com base em 1960.

a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6

07. A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado com base no ano de 1984.

Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986

Índice 75 88 92 100 110 122

No contexto da mudança de base do índice para 1981, assinale a opção correta.

a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preço na nova base. c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base. d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de

preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00. GABARITO: 1) A 2)C 3)D 4)A 5)E 6)B 7)D

II - Prova de Estatística – AFRF 2001:

Para efeito das questões de número 01, 02 e 03 faça uso da tabela de freqüências abaixo. Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salários Freqüências acumuladas

3 ; 6 12 6 ; 9 30 9 ; 12 50 12 ; 15 60 15 ; 18 65 18 ; 21 68

01. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale

a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências.

a) 9,93 d) 10,00



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b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50 02. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que

corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências.

a) 12,50 d) 12,00 b) 9,60 e) 12,10 c) 9,00 03. Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir

de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número.

a) 150 b)120 c)130 d) 160 e)180 04. Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber,

representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M=100 e o desvio-padrão S=13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0% d) 17,3% b) 9,3% e) 10,0% c) 17,0% 05. Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ..., Xn com média aritmética M e

variância S2, onde M=(X1+...+Xn)/n e S2=(1/n) Σ(Xi – M)2. Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta.

a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ

b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ=5%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn.

c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ=95%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn.

d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ=30%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn.

e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ=15%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn.

06. Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa quer

aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento desejado?

a) 25,3% d) 40,0% b) 20,5% e) 35,6% c) 33,3% 07. Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta

a seqüência de acréscimos δ1=3%, δ2=2% e δ3=2%, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano t0. Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período t0+2 em relação ao período t0-1.



40

a) 7,00% d) 9,00% b) 6,08% e) 6,11% c) 7,16% GABARITO: 1)A 2)B 3)E 4)B 5)A 6)C 7)C

III - Prova de Estatística – AFRF 2002/1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. OBS.: As questões 01 a 06 referem-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70 – 90 5 90 – 110 15 110 – 130 40 130 – 150 70 150 – 170 85 170 – 190 95 190 – 210 100

01. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.

a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120,00

02. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67

03. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S d) 6/S b) 4/S e) 0 c) 5/S 04. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% d) 45,0% c) 70% d) 53,4% e) 50,0%

05. Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se ΣZ2.fi=1680, onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.

a) 720,00 d) 1200,15 b) 840,20 e) 560,30



41

c) 900,10

06. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90 – P10) , onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose K para a distribuição de X.

a) 0,263 d) 0,242 b) 0,250 e) 0,000 c) 0,300

07. Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.

a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido d) A média de Z é a/b e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.

08. A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período.

a) 30,00% d) 35,30% b) 23,08% e) 25,00% c) 40,10% GABARITO: 1)E 2)C 3)A 4)A 5)B 6)D 7)C 8)B

IV - Prova de Estatística – AFRF 2002/2:

Para solução das questões de números 01 e 06 utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência (f) 29,5 --- 39,5 4 39,5 --- 49,5 8 49,5 --- 59,5 14 59,5 --- 69,5 20 69,5 --- 79,5 26 79,5 --- 89,5 18 89,5 --- 99,5 10

1. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,2 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 2. Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900



42

3. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 4. Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 5. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. a) 0,080 b) –0,206 c) 0,000 d) –0,095 e) 0,300 6. Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que

Σ (Xi – M)2.fi = 24.500 e Σ (Xi – M)4.fi = 14.682.500 Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e M a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional.

a) A distribuição do atributo é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade de

assimetria com base nos momentos centrados de X. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com

base nos momentos centrados de X. e) A distribuição é normal.

7. Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Grupo Média Desvio Padrão A 20 4 B 10 3

Assinale a opção correta.

a) No grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do grupo B é maior que a dispersão relativa do grupo

A. d) A dispersão relativa de Y entre os grupos A e B é medida pelo quociente da

diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos

grupos. 8. No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% d) 92,9% e) 156,0% GABARITO) 1)A 2)C 3)B 4)E 5)D 6)B 7)C 8)D



43

V - Prova de Estatística – AFRF 2003:

1. As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas:

∑=

==N

iRXi

NX

100,300.14$1

e ( ) 00,200.1$15,0

1

2RXXi

NS

N

i=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: a) P é no máximo ½ b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo ½ d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20 As duas próximas questões dizem respeito ao enunciado seguinte: Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100

2. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 3. Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 4. Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.

Ano S1 S2 S3 1999 50 75 100 2000 75 100 150



44

2001 100 125 200 2002 150 175 300


5. O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0%

MATEMÁTICA FINANCEIRA I - Prova de Matemática Financeira – AFRF 1996:

A tabela abaixo contém números elevados a potências específicas que poderão ser usados para facilitar seus cálculos na resolução das questões desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenças de + ou - 0,01 posto que valores em moeda corrente devem ter apenas 2 casas decimais.

(1,04)2 = 1,0816 (1,09)2 = 1,1881 (1,10)2 = 1,2100 (1,20)2 = 1,4400 (1,04)3 = 1,1248 (1,09)3 = 1,2950 (1,10)3 = 1,3310 (1,20)3 = 1,7280 (1,04)4 = 1,1698 (1,09)4 = 1,4115 (1,10)4 = 1,4641 (1,20)4 = 2,0736 (1,04)5 = 1,2166 (1,09)5 = 1,5386 (1,10)5 = 1,6105 (1,20)5 = 2,4883 (1,04)6 = 1,2653 (1,09)6 = 1,6771 (1,10)6 = 1,7715 (1,20)6 = 2,9859 (1,04)7 = 1,3159 (1,09)7 = 1,8280 (1,10)7 = 1,9487 (1,20)7 = 3,5831 (1,04)8 = 1,3685 (1,09)8 = 1,9925 (1,10)8 = 2,1435 (1,20)8 = 4,2998 (1,04)9 = 1,4233 (1,09)9 = 2,1718 (1,10)9 = 2,3579 (1,20)9 = 5,1597 (1,04)10 = 1,4802 (1,09)10 = 2,3673 (1,10)10 = 2,5937 (1,20)10 = 6,1917

1. Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00



45

2. Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% 3. Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações.Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $ 11.924,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10. mês; a segunda ao final do 30. mês; a terceira ao final do 70. mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60 4. Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00% d) 5,20% e) 4,80% 5. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão 6. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.

TABELA DE FLUXOS DE CAIXA Meses

Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050

quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100



46

cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 6. Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: a) Fluxo um b) Fluxo dois c) Fluxo três d) Fluxo quatro e) Fluxo cinco 7. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 8. Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 9. Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 b) $ 10.800,00 c) $ 11.881,00 d) $ 12.433,33 e) $ 12.600,00 10. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: a) $ 2.012,00 b) $ 2.121,00 c) $ 2.333,33 d) $ 2.484,84 e) $ 2.516,16



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II - Prova de Matemática Financeira – AFRF 1998:

1. Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 b) R$ 3.986,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.941,00 e) R$ 4.000,00 2. A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos: a) R$ 705,00 b) R$ 725,00 c) R$ 715,00 d) R$ 720,00 e) R$ 735,00 3. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 1,0 b) 0,6 c) 60,0 d) 12,0 e) 5,0

4. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio c) Três meses e dez dias d) Três meses e) Três meses e nove dias

5. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00

6. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral. a) 8,20% b) 8,05% c) 8,10% d) 8,00% d) 8,16%

7. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real. a) R$ 331,00 b) R$ 343,00 c) R$ 337,00 d) R$ 342,00 e) R$ 340,00



48

8. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) R$ 9.140,00 b) R$ 9.126,00 c) R$ 9.100,00 d) R$ 9.174,00 e) R$ 9.151,00 9. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.511,00 b) R$ 0,00 c) R$ 3.617,00 d) R$ 2.646,00 e) R$ 2.873,00

10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 986,00 b) R$ 852,00 c) R$ 923,00 d) R$ 900,00 e) R$ 1.065,00

III - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2001:

1. Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no

mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.

a) 4,83% ao mês b) 3,206% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 4% ao mês e) 4,859% ao mês 2. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do

vencimento, é de R$800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

a) R$ 960,00 b) R$ 666,67



49

c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00 3. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano

com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 21,6162% e) 12,5508% 4. Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu vencimento.

Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês.

a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43 5. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00

do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos).

a) R$ 21.708,00 b) R$ 29.760,00 c) R$ 35.520,00 d) R$ 22.663,00 e) R$ 26.116,00 6. Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e

R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) R$ 63.232,00 b) R$ 64.000,00 c) R$ 62.032,00 d) R$ 62.200,00 e) R$ 64.513,28 7. Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa

de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear?

a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36%



50

8. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra.

a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1.970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423,00

IV - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2002/1:

1. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses 2. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 3. Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00 4. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que

1,204 =2,0736; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832.

a) 107,36% b) 127,1515% c) 128,096% d) 130% e) 148,832% 5. Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$



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200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ 136.982,00 b) R$ 147.375,00 c) R$ 151.342,00 d) R$ 165.917,00 e) R$ 182.435,00 6. Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de fevereiro. a) R$ 36.000,00 b) R$ 38.449,00 c) R$ 40.000,00 d) R$ 41.132,00 e) R$ 44.074,00 7. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ 33.448,00 b) R$ 31.168,00 c) R$ 29.124,00 d) R$ 27.286,00 e) R$ 25.628,00

V - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2002/2:

1. Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 2. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4%



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b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 3. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 b) R$ 1.418,39 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.512,44 e) R$ 1.550,00 4. Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, 000.00 b) US$ 953.53 c) US$ 930.00 d) US$ 920.57 e) US$ 860.00 5. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25 6. A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste



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pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). a) R$ 1.440.000,00 b) R$ 1.577.440,00 c) R$ 1.584.000,00 d) R$ 1.728.000,00 e) R$ 1.733.457,00 7. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18

VI - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2003:

1. Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% d) 3,25% b) 3% e) 3,5% c) 3,138% 2. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% d) 1,7% b) 1% e) 2,0% c) 1,4% 3. Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00 4. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00 5. Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao



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fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8%

CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA

www.pontodosconcursos.com.br – PROF. SÉRGIO CARVALHO

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AULA 01

Olá, amigos! É com imensa satisfação que eu os acolho a todos, dando-lhes as boas-vindas a esse nosso novo projeto! Uma nova caminhada de dez semanas, ao fim das quais espero que possamos sair todos enriquecidos, e mais próximos da nossa almejada aprovação! Como já é do conhecimento de vocês, a aula será dividida em duas partes. Na primeira delas, apenas apresentarei as doze questões que serão resolvidas nesse dia. Ao vê-las, caberá a você tentar resolvê-las por conta própria, sozinho, sem conferir as resoluções constantes na segunda parte da aula. O objetivo disto é justamente o de lhe possibilitar uma auto-avaliação. Tendo concluído suas resoluções, então você deverá fazer uma leitura atenciosa da segunda parte, conferindo seus acertos e corrigindo eventuais erros que possa ter cometido! Como falei na aula de apresentação, tente buscar um local e um horário apropriados para tentar resolver estas doze questões, de modo a não ser interrompido durante a resolução. Falei também que estabeleceria um tempo meta, que você tomaria por base, para saber se está precisando ou não ganhar mais velocidade. Pois bem! O tempo meta estabelecido para hoje será o seguinte:

TEMPO META DE HOJE: 50 minutos! Hoje, estou sendo (excepcionalmente) muito bonzinho! Vou começar com um tempo meta mais folgado um pouco..., somente porque estamos em nossa primeira aula. Ok? Na seqüência, nossa primeira lista de questões! Quanto terminar de resolver, siga para a página cinco. Marque a hora, respire fundo, e pode começar a fazer o teste! Boa sorte!

Q U E S T Õ E S

1. (AFRF-2000) Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salário Freqüências

Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180



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9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos


4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23



a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)


4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23


a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativa. e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que

500.24)(71


500.682.14)(71

4 =−∑ =i ii fxx .

Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal.



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54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cinco produtos:


(po) Quant. (qo)




a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 c) R$ 1.025,00 9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. a) 6 meses d) 7 meses e dez dias b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias c) 7 meses 13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 b) R$ 800,00 e) R$ 600,00 c) R$ 500,00 20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que

1,204 =2,0736; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832.

a) 107,36% d) 130% b) 127,1515% e) 148,832% c) 128,096%



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29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 c) R$ 2.252,05 39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 c) R$ 6.230,00



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2ª ETAPA) Resolução das Questões: Olá, novamente! Agora que você já fez sua parte, confira comigo a resolução do teste de hoje. Leia com atenção e revise os conceitos que você já conhece. 1. (AFRF-2000)



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências. Esta é a principal maneira de os dados de uma pesquisa virem apresentados em uma questão de concurso. É imprescindível que conheçamos bem a Distribuição de Freqüências e saibamos trabalhar com ela. Neste nosso exemplo, temos duas colunas: a coluna das classes, que traz para nós intervalos de salários, em milhares de reais (conforme dito acima da tabela)! Se esses salários estão em milhares de reais, onde há na primeira classe (3 ; 6] nós vamos entender (3.000 a 6.000). Certo? A segunda coluna é uma de freqüências acumuladas, conforme também dito pelo enunciado! Ora, existem quatro tipos de freqüências acumuladas: freqüência absoluta acumulada crescente (fac); freqüência absoluta acumulada decrescente (fad); freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). Não se pode começar a resolver uma questão destas, sem antes ter certeza de qual das colunas de freqüências foi fornecida. Como diferenciar uma coluna absoluta de uma relativa? A absoluta apresenta números de elementos; enquanto que a relativa apresenta percentuais de elementos. Daí, para que uma coluna de freqüência seja relativa, deverá ou dizer isso expressamente no enunciado, ou trazer um sinal de % no cabeçalho da coluna, ou trazer um sinal de % após cada valor daquela coluna. Ou seja, precisamos de alguma destas pistas para sabermos que estamos diante de uma coluna de freqüência relativa. Outra dica: se estamos bem lembrados, quando a coluna de freqüências é acumulada e é relativa, então ela ou começará ou terminará com 100%. Se terminar com 100%, será freqüência relativa acumulada crescente; se começar com 100%, será freqüência relativa acumulada decrescente. Não tem erro! Olhando para o valor da freqüência da última classe dessa coluna, vemos que é 68. Ora, jamais poderíamos estar diante de uma freqüência relativa acumulada! Temos, portanto, uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes! Crescentes por quê? Porque seus valores são os seguintes: 12, 30, 50, 60, 65, 68. Ou seja, os valores estão crescendo.



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Sabendo disso, já temos uma nova missão a ser cumprida, imediatamente: construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi). Por que isso? Porque a fi é a mais importante das colunas de freqüências. Seu conhecimento é fundamental para a resolução da grande maioria das questões que derivam de uma distribuição de freqüências.

A título de exemplo, precisaremos conhecer a fi para cálculo das seguintes medidas: média aritmética, moda, mediana, além de todas as medidas de dispersão (as quais, por sua vez, dependem do conhecimento da média), medidas de assimetria e medidas de curtose. Enfim, para quase tudo! Para se chegar à fi, seguiremos o caminho das pedras, que é o seguinte: Sentido de ida fac fi fad Fac Fi Fad

Sentido de volta Trabalharemos assim: para passar de uma freqüência simples para uma freqüência acumulada,... fac fi fad Fac Fi Fad

…estaremos seguindo o sentido de ida do caminho das pedras, cujo procedimento será memorizado apenas como: somar com a diagonal.

O sentido de volta consiste em passar de uma freqüência acumulada para uma freqüência simples. Da seguinte forma: fac fi fad Fac Fi Fad O procedimento para, neste caso, chegarmos às freqüências simples é esse: próxima freqüência acumulada menos freqüência acumulada anterior. Neste nosso exemplo, estaremos exatamente neste sentido de volta, passando da fac (freqüência absoluta acumulada crescente) para a fi (freqüência absoluta simples).



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Só relembrando: o apelido da fac é freqüência abaixo de. Podemos até colocar uma seta para baixo no cabeçalho da coluna fac. E no sentido da seta, ou seja, de cima para baixo, construiremos a fi. Na primeira classe, ambas as colunas têm o mesmo valor! Teremos:

Classes de Salário fac ↓ fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Para o restante da coluna fi, basta seguir o procedimento do sentido de volta do caminho das pedras. Teremos:

Classes de Salário fac ↓ fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65)

Qual o significado da fi? Ela nos diz o número de elementos que pertencem à classe correspondente. Neste nosso caso, por exemplo, o valor 18, que é fi da segunda classe, indica que 18 empregados da empresa percebem entre R$6.000 e R$9.000, incluindo-se neste intervalo o limite inferior (R$6.000) e excluindo-se o limite superior (R$9.000). Bem, a questão pergunta: quantas pessoas ganham menos de R$7.000? É isso o que se quer saber! Ora, a primeira classe vai até salários de R$6000. Logo, os 12 empregados que participam desta classe estarão integralmente incluídos em nossa resposta! Já na segunda classe, que abarca salários de R$6.000 a R$9.000, nem todos os 18 empregados que ali estão participarão da resposta! Uma vez que queremos o número daqueles que ganham até R$7.000. Conclusão: somente uma parte dos elementos da segunda classe integrará o resultado! Faremos uma regra de três simples, da seguinte forma: Amplitude da classe inteira ------- fi da classe inteira Amplitude da classe quebrada ---- X Amplitude é sinônimo de tamanho. Já sabíamos disso! E classe quebrada, neste caso, é aquela que pega os salários de R$6.000 somente até R$7.000, que é o valor que nos interessa! Os limites dessa classe quebrada são, portanto, 6 a 7. Esse X significará justamente o número de elementos da segunda classe que irá participar da resposta da questão. Daí, teremos: 3 ---- 18 1 ---- X Daí: X = 18/3 X=6



8

Abaixo de R$7.000, teremos então as 12 pessoas na primeira classe, e 6 pessoas apenas na segunda. Total: 18. Se procurarmos esse valor entre as respostas, não a encontraremos! Será que erramos alguma coisa? Absolutamente! O problema é que foi dito pelo enunciado que essa distribuição de freqüências representa uma amostra de 10% da população. Assim, qualquer resultado que encontremos com os valores da tabela (amostra), representará apenas 10% do resultado relativo à população. E o enunciado foi bem claro: pediu-nos um resultado populacional. Ora, população é o todo. E o todo é 100%. Para 10% se transformarem em 100%, temos que multiplicar por 10. Daí, esse resultado amostral que encontramos (18) também terá que ser decuplicado! Teremos: 18x10=180 Resposta da Questão! 9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. f) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. g) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. h) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. i) O número de mulheres é o dobro do número de homens. j) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. Sol.: Para resolver esta questão, utilizaremos uma propriedade da média, que eu costumo chamar de A Média das Médias. Trata-se da seguinte situação: o enunciado apresenta dados referentes a dois grupos distintos. Neste caso, o grupo dos homens e o das mulheres. Para cada um deles, fornece o número de elementos que participam de cada conjunto (o n) e qual é a sua média. Daí, a pergunta seria: se juntássemos todos os elementos, dos dois conjuntos, em um único novo conjunto, qual seria a nova média? Ou seja, qual seria a média global? Essa questão é fácil, pois se resolve pela aplicação direta da fórmula abaixo:

( ) ( )( )BA

BBAAGLOBAL

NNxNXxNXX

++

=

Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e

AX e BX as suas médias. Dito isto, os dados fornecidos pela nossa questão são os seguintes: Média Global dos salários = GLOBALX =1.200,00

Média dos salários dos Homens = AX =1.300,00

Média dos salários das Mulheres = BX = 1.100,00 Os números de elementos de cada grupo não foram fornecidos! Vamos trabalhar com NA e NB. Teremos que:



9

( ) ( )( )BA

BBAAGLOBAL

NNxNXxNXX

++

= ( ) ( )

( )BA

BA

NNxNN

++

=110013001200

Daí, multiplicando cruzando, teremos: 1200.NA + 1200NB = 1300NA+1100NB E: 100.NA = 100.NB

Finalmente: NA = NB Ou seja: o número de homens é igual ao de mulheres! Resposta! 28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos


4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23



a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)

Sol.: Os dados aqui foram apresentados sob a forma de um rol. Não é muito comum que isso ocorra! Normalmente, a Esaf prefere trabalhar com a Distribuição de Freqüências. Este enunciado pede duas coisas: a mediana e a variância amostral. A Mediana é aquele elemento que está exatamente no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais.

Atentaremos para o fato de o conjunto ter um número par ou um número ímpar de elementos. Caso seja um número ímpar, haverá apenas um elemento que ocupara a posição central do conjunto. Esta será determinada pelo cálculo seguinte:

Posição central para n ímpar=(n+1)/2 Onde n é o número de elementos do conjunto! No caso da nossa questão, n é igual a 50. Ou seja, o conjunto tem um número

par de elementos. Significa que haverá dois deles ocupando as duas posições centrais. Estas, por sua vez, serão determinadas da seguinte forma:

1ª Posição central para n par=(n/2) 2ª Posição central para n par=a vizinha posterior à primeira!

Como temos que n=50, então as duas posições centrais serão:

(50/2) = 25ª posição; e a vizinha posterior= 26ª posição.

Descobertas as duas posições centrais, teremos que descobrir quais são os dois elementos que as ocupam (para isso usaremos apenas um dedo!) e então somaremos estes dois elementos e dividiremos o resultado por dois.

Em outras palavras, faremos a média dos elementos que ocupam os elementos centrais do conjunto, e determinaremos o valor da Mediana!

Teremos: Senão, vejamos:



10

25ª posição! 26ª posição!

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Daí, fazendo a média destes elementos: (9+9)/2= 9,0 Md=9,0 Nem precisava ter feito esse cálculo, uma vez que os dois valores centrais são iguais! A Mediana já é o próprio elemento que se repete! Essa primeira resposta foi mais tranqüila! Já quanto à segunda, teríamos que conhecer e estarmos bem lembrados das fórmulas para cálculo da variância. Para dados apresentados sob forma de rol, a variância será dada por:

( )

nXX

S i∑ −=

2

2 ou também por ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑∑ n

XiXi

nS

222 1

Isto quando estivermos trabalhando com elementos de um conjunto que representem toda a População! Caso contrário, ou seja, caso estejamos trabalhando apenas com dados de uma Amostra, as fórmulas acima se modificarão, recebendo um fator de correção de Bessel, que consiste apenas no acréscimo de um menos um no denominador. Teremos, portanto, que:

( )

1

2

2

−

−= ∑

nXX

S i ou também por ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑∑ n

XiXi

nS

222

11

Será, pois, uma destas últimas fórmulas que utilizaremos em nossa resolução, uma vez que a questão pediu o cálculo da variância amostral, e amostral refere-se à amostra! Ora, qual das duas fórmulas empregar? Saibamos que qualquer das duas nos fará chegar ao mesmo resultado! Faremos, então, nossa escolha com base nos dados fornecidos pelo enunciado! Vejamos o que nos forneceu a questão:

( )

∑ ∑ =− 00,66850

22 Xi

Xi

Será que essa informação se encaixa em alguma das nossas fórmulas? Sim! E como uma luva! Percebamos que esses dados são exatamente o que está dentro do colchete da equação maior. Claro! Uma vez que n=50, nossa fórmula assim:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑∑ 501

12

22 XiXi

nS

Conhecendo o valor do colchete (668), e sabendo que (n-1)=49, teremos:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

496682S Daí: S2=13,6



11

Juntando os dois resultados, teremos: Md=9,0 e S2=13,6 Resposta! 42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23


a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com assimetria negativa. e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. Sol.: Aqui uma questão mais fácil. Se olharmos as três primeiras opções de resposta, veremos que elas trazem as três situações possíveis de assimetria de um conjunto. A opção A fala em assimetria negativa; a B fala em assimetria positiva; enquanto que a opção C, em distribuição simétrica! Ora, qualquer distribuição de freqüências estará inserida em uma – e somente uma – destas três situações. Não existe uma quarta possibilidade! Assim, concluímos de pronto que a resposta da questão está entre uma das três primeiras opções. Resta-nos lembrar do seguinte: existe uma relação entre as três medidas de tendência central (Média, Moda e Mediana) e a situação de simetria ou assimetria de um conjunto. As três figuras abaixo ilustram exatamente qual é esta relação. Teremos:

Figura 01

Moda < Mediana < Média



12

Figura 02

Média < Mediana < Moda

Figura 03

Média=Mediana=Moda Traduzindo: se a média for maior que a mediana, e esta por sua vez for maior que moda, estaremos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de assimetria positiva (figura 01).

Caso a média seja menor que a mediana, e esta menor que a moda, a distribuição será assimétrica à esquerda, ou de assimetria negativa (figura 02).

Por fim, se as três medidas – Média, Moda e Mediana – forem iguais, a distribuição será dita simétrica ou de assimetria nula.

Em outras palavras: basta conhecermos o valor de duas medidas de tendência central (média e moda; ou média e mediana; ou moda e mediana) e já teremos condição de afirmar se o conjunto é simétrico ou se é assimétrico à direita ou à esquerda!

Neste nosso caso, já sabemos pela questão anterior, que o valor da Mediana é Md=9,0. Pronto! Basta calcularmos a média do conjunto é chegaremos à resposta! E média de um rol é sempre dado por:

nXi

X ∑=

Onde o numerador (∑Xi) é a soma dos elementos do conjunto e o denominador (n) é o número de elementos do conjunto. Foi dito no enunciado que ∑Xi=490. Logo:

8,950490

=== ∑nXi

X



13

Ou seja, descobrimos que para esse conjunto a Média (9,8) é maior que a Mediana (9,0). Daí, caímos no caso da figura 01, de sorte que estamos diante de um conjunto assimétrico e de assimetria positiva! Resposta! 48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que

500.24)(71


500.682.14)(71

4 =−∑ =i ii fxx .

Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal. Sol.: Curtose é uma medida estatística que indica o grau de achatamento da curva de freqüências. Existem três situações de curtose de um conjunto. As seguintes: CURVA LEPTOCÚRTICA CURVA MESOCÚRTICA CURVA PLATICÚRTICA É fácil memorizar: a do meio, por exemplo, começa com meso, que significa meio. Logo, mesocúrtica é o mesmo curtose média; nem de mais, e nem de menos! A mais achatada (em verde) parece um prato virado para baixo. Ou não? Sim! Daí, lembraremos: prato leva a plati, e plati leva a platicúrtica. A curva azul, a mais alta de todas, nem é plati e nem é meso. Será lepto. Isso mesmo: leptocúrtica! Como saber a situação de curtose de um conjunto? Há duas maneiras. Cada maneira é uma fórmula diferente.

i) Coeficiente Percentílico de Curtose: ( )( )192

13DD

QQC−−

=

Esta fórmula acima faz uso de quatro medidas separatrizes: o primeiro quartil (Q1), o terceiro quartil (Q3), o primeiro decil (D1) e o nono decil (D9).



14

ii) Coeficiente Momento de Assimetria:

( )

( ) 22

4

44

.

.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

==

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

SmC

Onde m4 é o momento de quarta ordem centrado na média, e S4 é o desvio-padrão elevado à quarta potência, que é o mesmo do quadrado da variância! Este enunciado especificou que deveríamos trabalhar com a fórmula que usa os momentos centrados, ou seja, o coeficiente momento! Mesmo que não tivesse dito nada, saberíamos que seria ela a ser utilizada, em função dos dados fornecidos pela questão.

Reparemos que estes dados adicionais 500.24)(71

2 =−∑ =i ii fxx e

500.682.14)(71

4 =−∑ =i ii fxx correspondem exatamente aos numeradores da nossa

equação. Daí, teremos:

( )

( ) ( )0245,0

500.24500.682.14

.

.

222

4

44 ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

==

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

SmC

Agora resta o principal: analisar esse resultado. Sempre que estivermos usando essa fórmula acima – o índice momento de curtose – interpretaremos o resultado da conta da seguinte forma: Se C > 3 → Distribuição Leptocúrtica; Se C = 3 → Distribuição Mesocúrtica; Se C < 3 → Distribuição Platicúrtica. Daí, como 0,024 é menor que 3, nossa conclusão é a de que estamos diante de uma distribuição platicúrtica Resposta! 54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cinco produtos:


(po) Quant. (qo)



Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0



15

Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 com base em 1960.

b) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 Sol.: Questão de números índices! Das antigas...! Nunca mais caiu nada parecido! Mas como a Esaf adora fazer sempre um flash-back (é o novo!), o melhor mesmo é ficar atento! Esta questão trabalha com os índices (ditos complexos) de Laspeyres e de Paasche. São, na verdade, fórmulas que trabalham com valores de preços de produtos e as respectivas quantidades vendidas em diferentes épocas. No caso da tabela acima, temos cinco produtos (A, B, C, D e E), e seus preços correspondentes e quantidades vendidas nos anos de 1960, 1970 e 1979. Ainda foi dito, na linha superior da tabela, que o ano de 1960 é o ano-base, para efeito de aplicação da fórmula. Temos que saber que os valores referentes ao ano-base (preço no ano-base e quantidade vendida no ano-base) recebem a seguinte nomenclatura: po e qo. E também que a cada vez que estivermos aplicando a fórmula do índice, estaremos sempre trabalhando com duas épocas distintas – dois anos diferentes – um dos quais será justamente o ano-base (símbolos po e qo). O outro ano, por sua vez, será dito ano-dado, e seus valores de preço e quantidade serão designados por pn e qn. Daí, haverá dois distintos índices de Laspeyres e dois de Paasche. São os seguintes:

Índice de Preço de Paasche: ∑∑=

no

nn

qpqp

Pa..

x 100

Índice de Quantidade de Paasche: ∑∑=

no

nn

pqpq

Pa..

x 100

Índice de Preço de Laspeyres: ∑∑=

oo

on

qpqp

La..

x 100

Índice de Quantidade de Laspeyres: ∑∑=

oo

on

pqpq

La..

x 100

Vamos aprender um jeito de memorizar estas quatro fórmulas!

1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório!

Preço de Paasche: ∑∑=

..........

..........Pa

Quantidade de Paasche: ∑∑=

...........

...........Pa

Preço de Laspeyres: ∑∑=

...........

...........La



16

Quantidade de Laspeyres: ∑∑=

...........

...........La

2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de quantidade começa com quantidade! Teremos:


qpqp

Pa..


pqpq

Pa..


qpqp

La..


pqpq

La..

3ºPasso) Agora, “amarraremos” as quatro fórmulas, dando um “nó” (n,o) na vertical!

Ficaremos com:


qpqp

Pao

n

.

.


pqpq

Pao

n

.

.


qpqp

Lao

n

.

.


pqpq

Lao

n

.

.

4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou quantidades que estão faltando em cada fórmula com os índices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma destas fórmulas, os índices que estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou dois (o) ou dois (n). Aí, iremos nos lembrar do “bizú do pão-de-ló”. (Essa teoria, se é que podemos chamar assim, não existe em livro nenhum...é mais uma das minhas invenções malucas!)



17

Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o “ló”. O “ló” traz o “L” de Laspeyres e o “o” do índice “o”. Daí, lembraremos da frase: “Laspeyres é ló!” E se Laspeyres é ló, então os dois índices que estão faltando para concluirmos as fórmulas de Laspeyres são ambos o próprio “o”. Teremos:


oo

on

qpqp

La..

(“Laspeyres é ló”!)


oo

on

pqpq

La..

(“Laspeyres é ló”!)

E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos que “Paasche é

n”! Teremos:


no

nn

qpqp

Pa..

(“Paasche é n”!)


no

nn

pqpq

Pa..

(“Paasche é n”!)

Por último, é só multiplicar por cem! Voltando ao nosso enunciado, vemos que ele pede que calculemos o índice de Laspeyres do ano 1979 tendo por base o de 1960. Ou seja, o ano-base é 1960, e o ano-dado é o de 1979. Mas não foi dito expressamente, em momento algum, se esse índice seria de preço ou de quantidade! E nem precisaria, uma vez que somos bons observadores! Só teríamos que dar uma olhada nos dados fornecidos pela questão. Reparemos na última linha da tabela que nos foi fornecida, teremos o seguinte: ∑po.qo=9009,7 e ∑p1.qo=14358,3 e ∑p2.qo=37262,0 Nestes três dados, temos preço antes de quantidade. Conclusão: teremos que achar o valor do índice de preço de Laspeyres! Teremos:

136,47,009.9

262.37..

===∑∑

oo

on

qpqp

La x 100 = 413,6 Resposta!



18

1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 c) R$ 1.025,00 Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo AFRF de 2002, a qual resolveremos também em outra ocasião. Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! Por isso essa multa tem o nome de fixa. Teremos, portanto: (2/100) x 1.000 = R$20,00 Multa fixa! Com isso já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta. Agora precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. Para contarmos os dias úteis de atraso, eu recomendo neste caso que façamos um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum tempo. Observando que foi dito que o dia 5 é uma segunda-feira, faremos:




E quanto ao dia 5? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou que a conta deveria ser paga até o dia 5, então o primeiro dia de atraso é o próximo! Excluindo, pois, também o dia 5 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos:



19


Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no pagamento da conta. Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor por 10. Teremos: Juros por dia útil de atraso: (0,1/100) x 1000 = R$1,00 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: Juros por todo o atraso: 10 x R$1,00 = R$10,00 Juros! Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: R$1.000,00 + R$20,00 + R$10,00 = R$1.030,00 Resposta! 9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. d) 6 meses d) 7 meses e dez dias e) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias f) 7 meses Sol.: Esta questão é facílima. Sua beleza, todavia, consiste em traduzir o enunciado. Digo isto porque a maioria das outras questões semelhantes a esta costuma simplesmente pedir: calcule o prazo médio! Esta aqui, não: pediu a mesma coisa, só que com outras palavras.

Ora, o prazo médio é justamente um prazo comum, em que a soma dos capitais (aplicados a uma mesma taxa) produziria os mesmos juros que aqueles produzidos pela soma dos juros dos capitais individuais (em seus respectivos prazos).

Ihhhhhh... façamos uma nova tentativa: se eu somar os valores dos capitais envolvidos na questão, e colocar esta soma em uma nova data, que será o prazo médio, os juros produzidos por esta soma serão iguais à soma dos juros anteriores produzidos por cada capital individualmente.

Para quem ainda não ficou muito claro, um consolo: a questão não vai nos pedir para explicar nada! Vai querer somente que façamos o cálculo do prazo médio. Em outras palavras: trata-se de uma questão de aplicação direta de fórmula!

Daí, nossa obrigação é conhecê-la. É a seguinte:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3.32.21.1

3.3.32.2.21.1.1iCiCiC

niCniCniCPM++++

=



20

Antes de aplicarmos a fórmula, uma observação importante: a única exigência a ser cumprida, antes de lançarmos os dados do enunciado na equação é que as taxas estejam entre si na mesma unidade, e os prazos estejam entre si na mesma unidade! Por exemplo, se as taxas originais sejam todas taxas anuais (..%aa) e os prazos originais estejam todos expressos em meses, então, nesta situação, já poderíamos jogar os dados na fórmula! Sim! Mesmo tendo taxas mensais e prazos anuais! Isso porque as taxas, entre si, estão na mesma unidade. E os prazos, entre si, estão na mesma unidade. Entendido? Pois bem! Nosso enunciado diz que os três prazos originais estão em meses. Disse ainda que as taxas são iguais, portanto, possuem obviamente a mesma unidade!

Em suma: já podemos fazer nossas contas. Teremos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iii

iiiPM.6000.10000.8000

9..60005..100008..8000++++

=

Daí, podemos dividir todas as parcelas do numerador e todas as parcelas do denominador por “i”, que é nosso fator comum, de forma que teremos apenas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )60001000080009600051000088000

++++

=xxxPM

E: 0,724000

16800024000

540005000064000==

++=PM

Mas 7,0 o quê? Ora, vejamos qual é a unidade dos prazos originais? Todos em meses! Daí:

PM=7,0 meses Resposta!

13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. d) R$ 400,00 d) R$ 700,00 e) R$ 800,00 e) R$ 600,00 f) R$ 500,00 Sol.: Esta foi uma das mais tranqüilas questões presentes na prova do Fiscal da Receita de 1998. Aqui, o enunciado começou falando de elementos de uma operação de Desconto Simples Comercial (por Fora). Disse o valor do Desconto por fora (Df=600,00), disse o tempo de antecipação (n=4m) e disse a taxa (i=5% a.m.). Na segunda frase, ele pede que calculemos o Desconto Racional Simples “correspondente”. Por essa palavra “correspondente” entenderemos que serão mantidas as mesmas condições do Desconto por Fora, ou seja, a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipação. O que precisamos saber é que existe uma fórmula que se encaixa perfeitamente neste tipo de enunciado. Ela nos dá a relação entre os valores dos descontos simples por dentro e por fora.

Teremos: Df = Dd (1 + i.n)



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Aqui, taxa (i) e Tempo (n) já estão na mesma unidade. A taxa é mensal (5% ao mês) e o tempo de antecipação está em meses (4 m). Resta aplicar a fórmula, lembrando de usar a notação unitária da taxa. Teremos:

Df = Dd (1 + i.n) 600 = Dd (1 + 0,05x4) Dd = 600 / 1,20

Daí: Dd = 500,00 Resposta! 20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que

1,204 =2,0736; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832.

a) 107,36% d) 130% b) 127,1515% e) 148,832% c) 128,096% Sol.: Essa questão nos traz um ensinamento importantíssimo, e que valerá para toda e qualquer situação semelhante. É o seguinte: muitas questões de estatística vão pedir que se calcule o valor de um elemento como porcentagem de outro elemento. Neste caso, por exemplo, queremos o cálculo dos juros como porcentagem do capital. Este último será o nosso elemento de referência. E para este elemento de referência atribuiremos o valor 100 (cem)! É este o artifício! Sabendo disso, os dados de nossa questão são os seguintes:

C=100 (artifício) i=20% ao período (juros compostos!) n=4 períodos e meio

J=? (como porcentagem do Capital) Ocorre que a questão quer que trabalhemos os Juros Compostos por um método chamado de Convenção Linear. Se resolve em dois passos. No primeiro, trabalharemos com a fórmula convencional dos Juros Compostos, só que considerando apenas a primeira parte do tempo, ou seja, 4 períodos. Quando a questão chama a unidade de tempo de período, significa que pode ser qualquer um: mês, ano etc. Ou podemos deixar com esse nome mesmo: período! Vamos ao primeiro passo da resolução. 1º Passo) M = C (1 + i)n Daí: M = 100.(1 +0,20)4 Observemos que o valor do parênteses acima foi um dado adicional da questão! Temos, pois, que: (1,20)4=2,0736 Daí: M=100x2,0736 M=207,36



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Esse é o resultado apenas do primeiro passo! Agora seguiremos adiante, lembrando-nos de que, na Convenção Linear, o Montante do primeiro passo transforma-se no Capital do segundo. Além disso, trabalharemos agora apenas com a segunda parte do tempo: aquela que não foi utilizada no primeiro passo. Nossos dados agora são os seguintes: C=207,36 (antigo montante!) i=20% ao período n=0,5 período M=? Só nos resta lembrar de uma informação crucial: o segundo passo da Convenção Linear é uma aplicação de Juros Simples! Daí, teremos: M C (100) (100+i.n)

J

(i.n) Trabalharemos com a seguinte equação:

niMC

.100100 +=

Somente lembrando que, para aplicarmos a fórmula acima, teremos que ter taxa e tempo na mesma unidade. Já estão? Sim, já estão! Daí:

ni

MC.100100 +

= 5,020100100

36,207x

M+

= M=228,096

Reparemos no seguinte: o montante do segundo passo é o montante final da operação. E o que foi pedido mesmo de nós? Juros! Ora, juros é a diferença entre montante e capital. Daí, teremos: J=M-C J=228,096 – 100 J=128,096 Como usamos o artifício de chamar Capital de 100, diremos que: J=128,096 % do Capital Resposta! Outra maneira mais rápida de resolver os Juros Compostos por meio da Convenção Linear é mediante aplicação direta da fórmula abaixo:

( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada!



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Por exemplo, se temos que a aplicação durou 4,5 meses (como nesta nossa questão), então n=4 e k=0,5. Daí, teríamos que: ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= ( ) ( )5,020,01.20,01.100 4 xM ++= M=228,36 Uma vez que J=M-C , então: J=228,36 – 100 J=128,36

Como adotamos que C=100 , então: J=128,36% do Capital Resposta! Como vêem, fica bem mais prática a resolução pela fórmula, embora esta seja

um mero retrato do método explicado na primeira solução. Senão, vejamos: o primeiro parênteses da fórmula diz respeito à operação no Regime Composto (juros compostos), enquanto o segundo parênteses diz respeito à operação no Regime Simples (juros simples).

A última observação acerca da fórmula acima é que, em ambos os parênteses, a taxa será expressa em termos unitários! E só! Próxima. 29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 c) R$ 2.252,05 Sol.: Questãozinha clássica de Equivalência de Capitais. O sujeito assume uma forma original de pagamento de uma dívida qualquer, e depois deseja alterar, substituir, modificar aquela forma inicial de pagamento por uma outra maneira de quitar a dívida. Para que ninguém saia perdendo – nem o credor, nem o devedor – será preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira! Daí o nome Equivalência de Capitais. Desenhemos a questão: X 980, 420, 320, 3m 7m 9m 12m (I) (I) (I) (II) Designamos por (I) as parcelas da primeira forma de pagamento e por (II) a única parcela da nova forma de quitação da dívida.



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Se estamos bem lembrados, resolver a Equivalência de Capitais é seguir uma receita de bolo! Haverá os passos preliminares e os passos efetivos. Sigamos os passos conforme descritos na seqüência abaixo:

Passos Preliminares: 1º) Desenhar a questão! Já o fizemos. 2º) Definir quem será primeira (I) e quem será segunda (II) forma de pagamento! Também já o fizemos. 3º) Colocar taxa (i) e tempos na mesma unidade. A taxa é mensal (5% a.m.) e os tempos das parcelas estão todos em meses. Ou seja, esse passo já veio feito para nós! 4º) Definir qual o regime da operação. Aqui ficou fácil, vez que o enunciado nos falou expressamente que a taxa é de juros compostos! Sendo assim, estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de Capitais. Destarte, será resolvida por meio de operações de Desconto Composto por Dentro! E será sempre assim. Ou seja: equivalência composta só se resolve por desconto composto por dentro! 5º) Definir onde ficará a nossa Data Focal. Escolheremos, neste caso, a data 12 meses. Lembramos que na Equivalência Composta esse escolha é livre. Todavia, a escolha da data focal que está mais à direita do desenho nos será útil, vez que estaremos trocando divisões por produtos, conforme veremos adiante.

Passos Efetivos: 1º) Levar para a Data Focal (um a um) os valores da primeira forma de pagamento. Comecemos pela parcela R$980,00 que está na data 3 meses. Teremos: E 980, 3m 12m (Data Focal) Como fazer esse transporte? Por meio da operação de desconto definida no quarto passo preliminar, ou seja, pelo Desconto Composto por Dentro. Teremos, pois: E = 980.(1+0,05)9 O valor do parênteses acima (que aprendemos no primeiro curso a chamar de parênteses famoso!) pode ser encontrado com o auxílio da Tabela Financeira! Faremos:



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TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561

7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717

8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588

9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947

10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 2,367363 2,593742

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

Daí: E = 980.(1+0,05)9 E=980x1,551328 E=1.520,30 Esse valor fica guardado para o final da questão! Prosseguindo, trabalharemos agora a parcela R$320,00 e teremos: F 320, 7m 12m (Data Focal) Daí, pelo Desconto Composto por Dentro, teremos que: F = 320.(1+0,05)5 Por meio da Tabela Financeira, encontraremos que:

i n



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1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

Daí: F = 320.(1+0,05)5 F=320x1,276281 F=408,41 Por fim, trabalhando agora com a última parcela da primeira obrigação, teremos: G 420, 9m 12m (Data Focal) Usando novamente o desconto composto por dentro, teremos que: G = 420.(1+0,05)3 Usando a Tabela Financeira, teremos:


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

Daí: G = 420.(1+0,05)5 G=420x1,157625 G=486,20

i n

i n



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Com isso, encerramos o primeiro passo efetivo de resolução. O segundo passo consiste em transportar para a Data Focal os valores da segunda forma de pagamento. Ora, só temos uma parcela de segunda forma de pagamento, e que já se encontra exatamente onde queremos, ou seja, sobre a data focal. Assim, o segundo passo efetivo já está feito, sem precisarmos mover uma palha! O terceiro e derradeiro passo de nossa resolução, consiste unicamente na aplicação da chamada Equação de Equivalência de Capitais. Teremos que:

∑(I)DF = ∑(II)DF

Onde a primeira parte da equação representa a soma dos valores da primeira forma de pagamento depois de levados para a data focal, e a segunda parte da equação será a soma dos valores da segunda forma de pagamento, também depois de levados para a data focal.

Daí, teremos que: E + F + G = X

1.520,30 + 408,41 + 486,20 = X

X = 2.414,91 Resposta! 39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 c) R$ 6.230,00 Sol.: Uma boa forma de identificar o assunto de que trata a questão acima é justamente fazer o desenho do que é proposto pelo enunciado. Então, temos um valor de R$50.000,00 que deverá ser pago em 12 parcelas iguais e consecutivas, só que a primeira delas distante 4 meses do dia de hoje. Teremos: 50.000, P P P P P P P P P P P P Uma forma muito prática de resolver essa questão é a seguinte: imaginemos que existissem parcelas nesse período de carência, ou seja, nesse intervalo que vai do valor R$50.000 até a primeira parcela (a do quarto mês). Imaginando isso, nosso desenho seria o seguinte:



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50.000, P P P P P P P P P P P P Estão destacadas em verde as três parcelas fictícias! A primeira começando sempre ao final do primeiro período. Para que servem essas parcelas? Servem, obviamente, para amortizar o valor da dívida (R$50.000,00). Estamos, pois, diante de questão de Amortização. A fórmula da Amortização é a seguinte: T = P . An¬i Onde T é o valor a ser amortizado; P é o valor das parcelas que irão amortizar o valor P; n é o número de parcelas de amortização; e i é a taxa composta da operação! Porém, quando estamos diante de situação semelhante a esta, em que a primeira parcela de amortização localiza-se numa data futura, que não coincide com o final do primeiro período, usaremos esse artifício de imaginar parcelas fictícias (a primeira das quais localizada ao final do primeiro período), e aplicaremos a seguinte variação de nossa fórmula:

T = P . { (Atodas¬i) – (AF¬i) } Onde todas representa o número total de parcelas, somadas as reais e as fictícias; e F representa tão-somente o número de parcelas fictícias! Pronto! Só isso! Daí, teremos que: 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} Consultando os fatores de amortização na Tabela Financeira do An¬i, encontraremos:



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TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS n

n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261

7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926

9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024

10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567

11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874 7,498674 7,138964 6,805190 6,495061

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357650 7,903776 7,486904 7,103356

14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687

15 13,865052 12,849263 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559478 8,060688 7,606079

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí, teremos: 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} 50.000 = P {11,118387 – 2,775091} 50.000 = P . 8,3432 Finalmente, chegaremos a: P=50.000/8,3432 P=5.992,83 Resposta! É isso! Encerramos assim nosso primeiro encontro. Espero que todos tenham se saído bem, e aguardo no fórum o retorno de vocês acerca do tempo meta de hoje, se foi muito curto ou se foi (como eu imagino que tenha sido) muito complacente. Ok? Um abraço forte a todos. Fiquem com Deus e até breve!

i n

CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO


1

AULA 02 Olá, amigos! Tem alguém aí? Tem mesmo? Estou perguntando só porque passou-se a primeira semana, e ninguém deu notícia sobre como se saíram com o tempo meta da aula de inauguração do curso. Espero que esse silêncio signifique que foi tudo bem! Que o tempo sobrou! Começarei este dia de hoje fazendo uma correção da aula passada. Alguns alunos viram o erro, e me avisaram pelo fórum. Diz respeito à questão de número 48, de Estatística. Uma questão de Curtose, que caiu na prova do AFRF-2002/2. Está na página 13 da aula anterior. Bem, naquela resolução, eu fiz uma breve explanação acerca da Curtose. Fiz até o desenho que ilustra o que vem a ser uma distribuição leptocúrtica, mesocúrtica ou platicúrtica. E depois falei a respeito das duas distintas maneiras de se calcular o índice de Curtose de um conjunto. Falei da fórmula do coeficiente percentílico de Curtose, no final da página 13; e no começo da página 14, cometi o deslize de chamar a segunda fórmula de Coeficiente Momento de Assimetria. Que assimetria que nada! O índice é de Curtose! Ou seja, o correto seria (lá no início da página 14), Coeficiente Momento de Curtose! As fórmulas estão ambas corretas. Mas isso não foi tudo. Acerca das explicações, fora a ressalva acima da troca da palavra curtose por assimetria, foi tudo como deveria ter sido. O problema de fato surgiu na hora de eu aplicar a fórmula do índice momento de curtose, com os dados fornecidos pelo enunciado. O que fiz foi o seguinte:

( )

( ) ( )0245,0

500.24500.682.14

.

.

222

4

44 ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

==

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

SmC

Observem que eu esqueci, imperdoavelmente (mesmo assim espero que me perdoem!), de colocar os valores de n que aparecem na fórmula, tanto no numerador quanto no denominador. Repararam? Esse n, conforme já sabemos, significa o número total de elementos do conjunto, e neste caso valia 100 (cem), pois havia esse dado sido informado no cabeçalho desta prova. Eu esqueci de mencionar isso, e esqueci de aplicar esse dado na fórmula. Por sorte que esse meu esquecimento acabou por não influenciar a resposta da questão! (Até errando eu acerto!) Mas, fazendo os devidos acertos, teremos que a conta será a seguinte:

( )

( )45,2

100500.24

100500.682.14

.

.

222

4

44 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

==

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

SmC

Observem que no denominador (fórmula do S4) o n terá que ser elevado ao quadrado. E este n2 seria cortado com o n do numerador (fórmula do m4), de modo que aquela resposta errada que encontrei na resolução da questão na aula passada teria, na verdade, de ser multiplicado por 100.



2

(Vocês estão lembrados que, na hora de dividir uma fração por outra, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda, não é isso?). Pois bem! Correção feita. Só mais um detalhe. Se estamos usando a fórmula do coeficiente momento de curtose, então o valor padrão para efeito de interpretação do resultado é 3 (três). Daí, na hora de fazer essas contas, no momento em que encontrarmos dois vírgula qualquer coisa, nem precisaremos dar continuidade a esta conta! Claro, pois se é menor que três, então a distribuição é platicúrtica! É hora de passarmos ao nosso simulado. Da mesma forma que semana passada, apresento-lhes as doze questões de hoje, as quais tentaremos resolver (sem olhar as resoluções da segunda parte da aula), no seguinte tempo meta:

TEMPO META DE HOJE: 40 minutos! Novamente, marque a hora e comece o teste! Boa sorte!

Q U E S T Õ E S 14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% (AFRF-2000)



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68



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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa


a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale a opção correta. a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média

dos cubos das observações. e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. 57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%



4

3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00 8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 c) R$ 12.080,00 21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro deveria ser igual a: a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 c) R$ 3.938,48



5

2ª Etapa) Resolução das Questões Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% Sol.: A questão nos trouxe uma distribuição de freqüências, com duas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de P, acompanhada de um sinal de percentagem (%). Ora, esse sinal % é o indicativo, é a pista que precisamos para saber que se trata de uma coluna de freqüência relativa – F. E se estamos bem lembrados, existem três tipos de freqüências relativas: a freqüência relativa simples (Fi), a freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e a freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). As duas freqüências relativas acumuladas irão começar ou terminar com 100%. É esse nosso caso? Sim! Esta coluna terminou com 100%. Daí, sabemos que é uma coluna de freqüência relativa acumulada. Ora, para saber se é crescente ou decrescente, basta acompanhar os valores desta coluna. Eles crescem ou decrescem? Aumentam ou diminuem? Aumentam. Conclusão final: temos uma coluna de freqüência relativa acumulada crescente – Fac. Podemos até reescrever a tabela, da seguinte forma:

Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%

O enunciado nos pede, com outras palavras, para indicarmos qual o percentual de elementos do conjunto que apresenta valor (dentro das classes) abaixo de 145.



6

Analisemos a tabela acima. Vejamos a primeira classe. O que podemos dizer sobre ela?

Ora, a classe vai até o limite de 90, e a freqüência relativa acumulada crescente é 5%. Então, podemos dizer que até esse limite 90, já acumulamos 5% dos elementos do conjunto! Entendemos com isso que 5% dos elementos do conjunto tem valor abaixo de 90. Compreendido? Daí, afirmaremos que 5% é a Fac associada a esse limite 90. Certo? Para a segunda classe, cujo limite superior é 110, temos Fac de 15%. Isso nos leva a concluir que já acumulamos 15% dos elementos do conjunto até esse limite 110. Ou seja, 15% dos elementos do conjunto estão abaixo do limite 110. Podemos, pois, dizer que 15% é a Fac associada a esse limite 110. Certo? E assim por diante! Teremos: 40% é a Fac associada ao limite 130; 70% é a Fac associada ao limite 150; 85% é a Fac associada ao limite 170; 95% é a Fac associada ao limite 190; O que pergunta a questão? Qual o percentual de elementos do conjunto que estão abaixo do limite 145. É isso! Observando as classes da nossa distribuição de freqüências, tentemos localizar esse valor 145. Façamos isso. Ora, vemos que 145 não aparece nem como limite inferior, nem como limite superior de nenhuma das classes. Ao contrário, é um valor inserido na quarta classe. Vejamos:

Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%

O que fazer agora? Traremos aqui para o lado de fora da tabela aquela classe dentro da qual se encontra o limite 145 que nos interessa. Faremos o seguinte desenho: 130 150 Agora, na parte de baixo do desenho, colocaremos a Fac associada a cada limite da classe, ou seja, ao limite inferior (130) e ao limite superior (150). Ora, já sabemos quem são essas Fac associadas! Teremos, portanto: 130 150 40% 70% Agora o desenho já está quase pronto! Para completá-lo, retornaremos à pergunta da questão. O que temos na pergunta? Temos o limite 145, que fica dentro da classe. Ora, como os limites da classe ficam na parte de cima do desenho, então 145 também ficará lá. Teremos:



7

130 145 150 40% 70% Queremos saber o percentual acima ou abaixo de 145? Abaixo. Logo: 130 145 150 40% 70% Pronto! Agora podemos matar a questão, fazendo uma regra-de-três simples com os seguintes valores: 20 15 130 145 150 40% 70% X 30%

Daí, conhecendo esses quatro valores destacados em azul e vermelho, formaremos uma regra-de-três simples para descobrir o valor do X. Teremos:

. 20 . = . 15 . Daí: X=22,5% 30% X Agora só nos resta compor o resultado! Até a classe anterior já estavam acumulados 40% dos elementos do conjunto. Avançando na quarta classe, até chegarmos ao limite 145, acumulamos mais 22,5% dos elementos. Daí, concluímos que o percentual de elementos do conjunto abaixo do limite 145 será: 40% + 22,5% = 62,5% Resposta!



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68



8

Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 Sol.: A questão pede o cálculo da média (aritmética). Como o conjunto está apresentado na forma de uma distribuição de freqüências, então encontraremos a média pelo método da variável transformada, cujos passos são os seguintes: 1º Passo) verificar se já dispomos da coluna da freqüência absoluta simples (fi). Se já a tivermos, passamos ao passo seguinte. Caso contrário, será preciso construí-la. Ora, a tabela fornecida nos traz a coluna das classes e uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac). Descobrimos isso porque não há nenhum sinal indicativo de que fosse uma coluna de freqüência relativa. Ou seja, nenhum sinal de %, nem no cabeçalho da coluna, nem ao longo dela. É acumulada porque isso está dito sobre a tabela. E é crescente porque os valores da coluna estão sempre aumentando (12, 30, 50, ...). Em suma: precisamos construir a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Na primeira classe (a mais de cima) estas duas freqüências – fi e fac – são iguais. Logo:

Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

E o restante da coluna do fi? Qual o comando de construção? É uma subtração: próxima fac menos fac anterior. Daí, teremos:

Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65)

2º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos:

Classes de Salário fac fi PM ( 3 ; 6] 12 12 4,5 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 (12 ; 15] 60 10 13,5 (15 ; 18] 65 5 16,5 (18 ; 21] 68 3 19,5

Estamos, obviamente, recordados de que o Ponto Médio de uma classe é aquele ponto que está exatamente no meio daquela classe! O próprio nome sugere isso! Caso



9

não consigamos enxergar facilmente quem é o PM de uma classe, só teríamos que somar o limite inferior da classe, mais o limite superior, e dividir esse resultado por dois. Ou seja: PM=(linf + lsup) / 2 Ainda existe um facilitador: se as classe são todas de mesma amplitude (como ocorre nesta tabela, em que h=3), basta encontrarmos o valor do primeiro ponto médio (o PM da primeira classe) e sair somando esse valor com o da amplitude (h). Lembrados disso? Pois bem, adiante! 3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável, aceitando a seguinte sugestão: (Ponto Médio menos 1º Ponto Médio) / amplitude da classe. Ou seja, construiremos a seguinte coluna:

Classes de Salário fac fi PM ( ) YiPM=

−3

5,4

( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 (12 ; 15] 60 10 13,5 3 (15 ; 18] 65 5 16,5 4 (18 ; 21] 68 3 19,5 5

Analisemos o que foi feito: tomamos os Pontos Médios originais, ou seja, os Pontos Médios relativos à variável original e os transformamos por meio de duas operações: 1ª operação) subtraímos de 4,5 (que é o valor do primeiro ponto médio!); e 2ª operação) dividimos por 3 (que é o valor da amplitude da classe!). Com isso, deixamos de trabalhar com a variável original (os salários da primeira coluna) e passamos a trabalhar com uma chamada variável transformada! Outra curiosidade é que, caso sigamos a sugestão de transformação da variável que foi aqui adotada [(PM menos 1º PM)/amplitude da classe] teremos que essa coluna será sempre formada pelos valores zero, um, dois, três, ... Viram isso? Será sempre assim, desde que as classe tenham mesma amplitude! 4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e fazer seu somatório. Teremos:

Classes de Salário fac Fi PM ( ) YiPM=

−3

5,4

Yi.fi

( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 18 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 40 (12 ; 15] 60 10 13,5 3 30 (15 ; 18] 65 5 16,5 4 20 (18 ; 21] 68 3 19,5 5 15

68 123 5º Passo) Calcular o valor da Média da Variável Transformada Y: Ora, para fazer isso, aplicaremos a fórmula do cálculo da média para uma distribuição de freqüências. É a seguinte:

nYifi

Y ∑= .

Daí, teremos:



10

nYifi

Y ∑= . 81,1

68123

==Y

6º Passo) Aplicarmos, à coluna de transformação, as propriedades da Média, para soma, subtração, produto e divisão. Ou seja, se estamos trabalhando com Média Aritmética, só precisamos nos lembrar de uma frase: a média é influenciada pelas quatro operações. Sabendo disso, faremos:

( ) YPM=

−3

5,4

( ) YX=

−3

5,4

( ) YX=

−3

5,4

Ou seja, onde há X passa a haver X e onde há Y passa a haver Y . Simplesmente isso! Daí, verificamos que o valor de Y já é nosso conhecido. Foi calculado no passo anterior. Logo, isolaremos o X e o calcularemos. É o próximo passo! Teremos:

( ) YX=

−3

5,4

( ) 81,13

5,4=

−X X -4,5=5,43 X =9,93 Resposta!

23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa


b) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 Sol.: Uma questão mais fácil, mas que envolve o conhecimento de propriedades da Variância. O enunciado forneceu a variância original do conjunto: S2=1,1627x1010 Essa variância representa salários, ou seja, dinheiro. Após, disse que os salários, que são os elementos do conjunto, sofreram um corte de três zeros na moeda! Essa é a informação crucial do enunciado. Sofrer um corte de três zeros na moeda representa qual tipo de operação? Soma, subtração, produto ou divisão? Imagine um salário de R$1000 (mil reais). Para sofrer um corte de três zeros, passaria a R$1 (um real). Ora para mil se transformarem em um, houve obviamente uma divisão! Por quanto? Por mil. Conclusão: cortar três zeros de um salário corresponde à operação de dividir por mil. O que precisamos saber agora é qual será o reflexo dessa divisão no tocante à Variância. Aí entra a propriedade: se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos de um conjunto original por uma constante, a nova Variância será a variância original multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da mesma constante! É isso que reza a propriedade. Se a constante usada na divisão foi 1000 (=103), então a nova variância será a variância original dividida pelo quadrado de mil, ou seja, por (103)2 = 106. Daí: Nova Variância = (1,1627x1010)/106 = 1,1627x104 Resposta! Só para não perder a viagem, relembremos a propriedade da variância para soma e subtração. Ocorre alguma coisa com a variância de um conjunto, caso todos os elementos deste sejam somados (ou subtraídos) por uma constante? Não!



11

Absolutamente nada! Uma vez que a Variância é uma medida de dispersão, de modo que não será influenciada por operações de soma e subtração. Próxima! 44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 Sol.: A questão pede o cálculo da Assimetria do conjunto, determinada pelo primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. Se não lembrássemos da fórmula, na hora de resolver essa questão na prova, nem seguiríamos adiante...! Conhecer a fórmula é, pois, fundamental! Teremos que:

( )SMoXA −

= 1º Coeficiente de Pearson!

Se verificarmos as opções de resposta desta questão, elas já trazem o S (desvio-padrão) no denominador. Ou seja, não será preciso calcular aqui o valor deste S. Precisaremos, portanto, para chegar à resposta, calcular as medidas que compõem o numerador da fórmula, quais sejam, Média e Moda. Comecemos pelo cálculo da média: 1º Passo) Fazer todo o trabalho preliminar necessário para construção da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Esse trabalho já é nosso conhecido! Teremos o seguinte:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

n=200



12

Observe que constatamos que n (número de elementos do conjunto) é igual a 200 quando lemos, no enunciado, que foram examinados 200 itens... Certo? Pois bem! Agora, passemos aos passos seguintes para cálculo da média. 2º Passo) Construção da coluna dos pontos médios. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140 150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200

n=200 3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. Para isso, seguiremos a sugestão explicada na segunda questão que resolvemos hoje: PM menos primeiro PM, dividido pela amplitude da classe. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM=

−20

80

70-90 5% 5% 10 80 0 90-110 15% 10% 20 100 1 110-130 40% 25% 50 120 2 130-150 70% 30% 60 140 3 150-170 85% 15% 30 160 4 170-190 95% 10% 20 180 5 190-210 100% 5% 10 200 6

n=200 4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e somar esta coluna. Teremos:

Classes Fac Fi Fi PM ( ) YiPM=

−20

80

fi.Yi

70-90 5% 5% 10 80 0 0 90-110 15% 10% 20 100 1 20 110-130 40% 25% 50 120 2 100 130-150 70% 30% 60 140 3 180 150-170 85% 15% 30 160 4 120 170-190 95% 10% 20 180 5 100 190-210 100% 5% 10 200 6 60

n=200 580 5º Passo) Calcular a Média a variável transformada Y. Teremos:

nYifi

Y ∑= . 9,2

200580

==Y

6º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a Média da variável original.



13

Já aprendemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos que:

( ) YiPM=

−20

80

( ) YX=

−20

80 X -80=2,9x20 X =58+80 X =138,00

Agora, passemos ao cálculo da Moda! Para se calcular a Moda de uma distribuição de freqüências, temos antes de mais nada que conhecer a fórmula. É a seguinte:

hpa

alMo .)(

inf ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆

∆+=

Esta fórmula corresponde à Moda de Czuber, onde ∆a significa diferença anterior e ∆p significa diferença posterior. Diferença de quem em relação a quem?

∆a = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a freqüência simples da classe anterior;

∆p = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a freqüência simples da classe posterior;

E este limite inferior que inicia a fórmula? É o limite inferior da classe modal. E essa amplitude (h)? É a amplitude da classe modal. Ou seja, os valores que irão compor a nossa equação referem-se a uma

determinada classe da distribuição de freqüências, chamada classe modal. Daí, saber qual das classes da tabela é a classe modal será nosso primeiro

trabalho. E é facílimo! A classe modal será sempre aquela que tem maior freqüência absoluta simples (maior fi). Só isso! Teremos, portanto, que a classe modal será a quarta classe. Vejamos:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

n=200 Sabendo disso, teremos:

∆a=60-50=10 ∆p=60-30=30 linf=130 h=20

Lançando os dados na fórmula, encontraremos que:

hpa

alMo .)(

inf ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆

∆+= 20.

)3010(10130 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=Mo Mo=135,00

Agora, retornando ao nosso objetivo, que é o cálculo do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson, teremos que:



14

( )

SMoXA −

= ( )

SSA 3135138

=−

= A=3/S Resposta!

50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale a opção correta. a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média

dos cubos das observações. e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. Sol.: Essa questão foi mais fácil um pouco. Desde que, é claro, você conhecesse o conceito de momento central de ordem três. Isso porque não foi exigido aqui cálculo de nada! O enunciado só queria mesmo saber se o candidato conhecia aquele conceito. Os momentos estatísticos são utilizados para cálculos de assimetria, e também para cálculos de curtose. No caso da assimetria, faz-se uso deste terceiro momento central, ou ainda, terceiro momento centrado na média aritmética, cuja fórmula é a seguinte:

( )

nXXi∑ −

=3

3µ

Agora restava apenas procurar a opção de resposta que traduzisse a equação acima. A opção “e” faz isso perfeitamente. Olhando para a fórmula, vemos que o numerador corresponde ao cubo dos desvios em relação à média. E o denominador é n, que significa número de elementos do conjunto. Daí, dividir por n seria encontrar uma média. Logo, o terceiro momento central se traduz como a média dos cubos dos desvios em relação à média aritmética. Resposta! 57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% Sol.: A questão é de Números Índices, e nos fala acerca de preços sujeitos a uma tal de propriedade circular. Esta tal propriedade circular será entendida da seguinte forma:

P0,1 x P1,2 x P2,3 x ... x Pn-1, n = P0,n



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Em lugar de P (preço) poderia haver Q ou V, caso estivéssemos trabalhando com quantidades. Se, em uma questão qualquer, dispusermos dos dados relativos a variações de preço (ou de quantidade) de um bem, em diversos anos consecutivos, poderemos trabalhar com o uso desta propriedade!

Nesta questão, anotemos as variações apresentadas pelo enunciado: Variações de preço: δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2% Ora, temos que:

Po,n = 100 + variação de preço

Daí, o segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos são medidos em relação ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o ano anterior a t0 é a ano t0-1! Daí, a primeira variação (o primeiro δ) será exatamente a do ano t0 em relação ao ano t0-1! Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço: %103%3%1000,10 =+=− ttp

%102%2%10010,0 =+=+ttp

%102%2%10020,10 =+=++ ttp

Daí, aplicando a propriedade circular, teremos que o relativo de preço em t0+2 com relação a t0-1 será o seguinte:

Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16%

Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100%

Daí: Variação de Preço = 7,16% Resposta!

Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais simples, consistia apenas em adotar o valor 100 para o primeiro preço (o preço em t0-1). Daí, faríamos as variações descritas no enunciado, até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o t0+2. Vejamos:

Pt0-1=100

A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3. Daí, passaríamos

a: Pt0=103

O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a:

103x0,02=2,06. Somando este valor ao último preço, teremos: 103+2,06=105,06. Daí:

Pt0+1=105,06 Finalmente, a última variação foi de 2%. Calculando 2% de 105,06, teremos:

105,06x0,02=2,1012. Daí, somando este valor ao último preço encontrado, chegaremos a:

Pt0+2=107,16



16

Pronto! Como a questão quer saber a variação do preço de Pt0+2 em relação a Pt0-1, só teremos agora que subtrair!

Daí, teremos: 107,16-100=7,16 E poderemos colocar o sinal de %, uma vez

que a referência é 100. Teremos, finalmente: 7,16% Resposta!!

3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00 Sol.: Esta questão é para calar a boca de quem fala que não vale a pena resolver questões de provas passadas...! Quem acompanhou a nossa aula passada, vai ver que este enunciado é quase uma réplica de uma questão que resolvemos na Aula 01. Existe uma conta, no valor de R$2.000 (dois mil) a ser paga na segunda-feira, dia 08. Caso haja atraso no pagamento, o devedor incorrerá em dois encargos: uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta; e juros simples, calculados à taxa de 0,2% ao dia útil de atraso. Daí, o enunciado diz que a conta só foi paga no dia 22 do mesmo mês. Iniciemos com o cálculo da Multa Fixa, que independe do número de dias de atraso:

Multa Fixa = (2/100) x 2000 = R$40,00 Agora, para calcularmos os juros simples, precisaremos, obviamente, contar os dias úteis de atraso. Faremos um pequeno calendário:




Sabemos ainda que o dia 08 não é dia de atraso! Se a conta fosse paga até o último minuto do horário bancário do dia 08, então não haveria nenhum encargo adicional. O dia 08, portanto, está fora da contagem dos dias de atraso. Teremos:




17

Contamos, portanto, dez dias úteis de atraso! Conforme aprendemos na última aula, para cada dia de atraso, o valor dos juros

a ser pago será de:

Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Juros! Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Resposta! 8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% Sol.: Questão de Taxa Média. Via de regra, questão de aplicação direta da fórmula. Ou seja, que se resolve em pouco tempo! Neste enunciado, surgiu um detalhe importante, mas nada complicado. Vejamos: as taxas originalmente fornecidas estão todas na mesma unidade. São taxas mensais. Daí, aplicando-se a fórmula da Taxa Média, encontraremos como resultado também uma taxa mensal. O perigo é alguém não prestar atenção no que a questão está pedindo! O que a questão quer como resposta é uma taxa anual. Ou seja, a taxa mensal que será encontrada pela aplicação da fórmula terá, em seguida, que ser alterada para a unidade anual. Para se fazer essa alteração, uma vez que estamos trabalhando no regime simples, será feito, obviamente, pelo conceito de Taxas Proporcionais. Até o enunciado foi camarada, ao usar as palavras taxa média proporcional anual. Foi para ninguém errar! A fórmula da Taxa Média é a seguinte:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3.32.21.1

3.3.32.2.21.1.1nCnCnC

niCniCniCTM++++

=

Uma vez que as taxas originais estão na mesma unidade, e os prazos das quatro aplicações são iguais, já podemos lançar os dados na equação acima. Teremos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3.32.21.1

3.3.32.2.21.1.1nCnCnC

niCniCniCTM++++

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nnnnnxnxnxnxTM

.4000.3000.6000.7000.24000.43000.36000.67000

++++++

=

Percebamos que as parcelas do numerador têm um fator comum, que é o tempo “n”. O mesmo ocorre com as parcelas do denominador. Daí, colocando “n” em evidência, em cima e em baixo, o “n” será cortado, desaparecendo da fórmula! Vejamos:



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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nnnnnxnxnxnxTM

.4000.3000.6000.7000.24000.43000.36000.67000

++++++

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) nnxxxxTM

]4000300060007000[]24000430003600067000[

++++++

= = 42000080000

= % ao mês!

Agora dê uma olhada nas opções de resposta! Olha lá quem é a opção “a”! Coincidência? Absolutamente! A Esaf põe propositadamente os 4% na primeira opção de resposta, para pegar os mais apressados. Por isso, nada de precipitação! Quando acabar as contas, vale a pena voltar e reler o enunciado, para confirmar o que é mesmo o que a questão está pedindo. Aplicando agora o conceito de taxas proporcionais, faremos:

4% ao mês x 12 = 48% ao ano Resposta! 16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 c) R$ 12.080,00 Sol.: Questão de Equivalência de Capitais! Questão de receita de bolo, ou seja, basta seguir o passo-a-passo. Como já sabemos, temos os passos preliminares e os passos efetivos. Vamos a eles. Passos Preliminares: Vamos fazer tudo de uma vez: desenhar a questão; definir quem é primeira e segunda obrigação; colocar taxa e tempos na mesma unidade; definir se o regime é simples ou é composto; definir a data focal. Tudo feito, teremos o seguinte: X 4.620, 4000, 3.960, -20d 0 50d 100d (II) (I) (II) (II) (DF) A equivalência é no regime simples, e como foi expresso no enunciado que a taxa da operação é uma taxa de juros, concluímos que as operações de desconto que realizaremos serão operações de desconto racional – desconto por dentro! Taxa e tempos já estão na mesma unidade (dias!).



19

Uma observação importante quanto a escolha dessa data focal. A regra que aprendemos é a seguinte: se a questão é de equivalência simples, então quem manda na data focal é o enunciado! Ou seja, seja qual for a data focal que a questão indicar, estaremos obrigados a adotá-la. E se o enunciado da equivalência simples silenciar quanto à data focal, valerá a convenção de adotar a data zero! Agora, atenção! Lendo e relendo o enunciado acima, você certamente não encontrará, em momento nenhum, qualquer alusão à data focal. E a questão é de equivalência simples! Só que há uma explicação a ser feita: sempre que o enunciado trouxer um texto, pedindo que se calcule um valor na data tal, que seja equivalente a outras parcelas em datas distintas, então aquela data tal será a data focal. Por exemplo, se a questão diz: indique o capital hoje, que é equivalente ao capital de R$4.620 na data 50 dias, ao capital R$3960 na data cem dias e ao capital R$4000 há vinte dias... então pronto! Já está definido: a data focal é justamente aquele hoje! Entendido? Passemos agora aos passos efetivos de resolução. 1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. Ora, este passo já está feito! Claro! Se há somente uma parcela de primeira obrigação, que a parcela X, e que já está sobre a data focal, então esta parcela não precisará ser levada para lugar nenhum! Passemos logo ao passo seguinte: 2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação.

Comecemos pela parcela R$4000, na data -20d. Esse sinal de menos, obviamente, só tem efeitos didáticos! Só quer indicar que a parcela seria devida vinte dias antes do dia de hoje. Só lembrando: faremos, nesta questão, operações de desconto simples por dentro!

E 4000, -20d 0 (DF)

Teremos: 201,0100100

4000x

E+

= E=4.080,00



20

Agora, levaremos para a data focal a parcela que está na data 50 dias. Teremos:

4.620, F 0 50d (DF)

Teremos: 501,0100

4620100 xF

+= F=4.400,00

Por fim, resta a parcela de R$3.960 que está na data 100 dias.

Teremos:

3.960, G 0 100d (DF)

Teremos: 1001,0100

3960100 xG

+= G=3.600,00

Finalmente, passemos ao terceiro e último passo da nossa resolução, que consiste na aplicação da equação de equivalência. 3º Passo) ∑(I)DF = ∑(II)DF

Teremos: X=4.080+4.400+3.600 Daí: X=12.080, Resposta! 21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? b) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% Sol.: Já temos obrigação de resolver essa questão em pouco tempo, sobretudo depois da aula passada, em que aprendemos a utilizar uma equação para trabalhar questões de convenção linear! Lembrados?



21

Aqui, mais uma vez, o enunciado pede que calculemos o valor de um elemento (juros) como porcentagem de um outro elemento (capital). Como artifício, adotaremos para esse último, que é o nosso elemento de referência, o valor cem. Daí, nossos dados são os seguintes: C=100,00 i=6% ao mês n=6meses e 10dias J=? Ora, sabemos que temos que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade! E sendo o tempo quebrado em duas unidades (meses e dias, neste caso) temos que ter ambas na mesma unidade da taxa. Logo, diremos que 10 dias é o mesmo que um terço de mês. Daí: n=6 meses + (1/3) mês Ok! Estamos prontos para aplicar a fórmula. Teremos:

( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada! Daí, teremos:

( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= M=100.(1+0,06)6.(1+0,06x31

) M=144,69

Encontramos o montante da operação, mas não é isso o que está sendo solicitado! A questão quer os Juros. E este se calcula pela diferença entre montante e capital. Daí, teremos: J=M – C J=144,69-100 J=44,69 Como o enunciado pede os juros como porcentagem do capital, e pelo fato de termos adotado o capital como valendo 100, basta acrescer o símbolo de porcentagem aos juros. Teremos: J=44,69% do Capital Resposta! 33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 Sol.: Esta questão expressa uma das formas de apresentação da questão de equivalência de capitais. O entendimento é muito fácil: se eu pego uma quantia de dinheiro emprestada de alguém no dia de hoje, obviamente que terei que devolver no futuro. Logicamente que o valor a ser devolvido no futuro terá de ser maior que aquele que foi tomado emprestado!



22

Daí, o raciocínio é o seguinte: as parcelas que servirão de devolução do empréstimo têm que ser equivalentes ao valor que foi pegue emprestado! Aqui, neste enunciado, empréstimo fica como sinônimo de financiamento. Em suma: se eu chamar o que peguei hoje de primeira obrigação, a segunda obrigação recairá para a parcela (ou as parcelas) de devolução. Resta fazermos o desenho da questão, e deixar prontos, de uma feita, todos os passos preliminares. Teremos: 10.000, 6000, X 3000, 0 1m 2m 3m (I) (II) (II) (II) Ora, é bastante claro que se eu peguei dez mil emprestados hoje, e depois paguei seis mil um mês depois e mais três mil no segundo mês, é evidente que ainda não liquidei a minha dívida! Resta aquela parcela X, na data três meses. Ainda nos passos preliminares, precisamos saber se estamos trabalhando no regime simples ou no composto. Daí, ficou fácil, uma vez que o enunciado apresentou uma taxa nominal, qual seja, 120% ao ano capitalizados mensalmente. A questão ainda foi camarada e colocou entre parênteses que essa taxa significa regime composto. Não precisava fazer isso! Já era nossa obrigação saber disso. Ora, se o regime é o composto, então a equivalência é a composta. E assim sendo, as operações de desconto que realizaremos para resolver a questão serão todas de desconto composto por dentro (desconto racional)! Antes de mais nada, transformemos nossa taxa nominal em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. Teremos:

120% ao ano, c/ capitalização mensal = (120/12) = 10% ao mês Agora temos taxa e tempos na mesma unidade! Resta escolher uma data focal. Vale o lembrete: se a equivalência é no regime composto, a escolha da data focal é livre! Qualquer uma serve, e a resposta é sempre a mesma. A título de sugestão, é bom escolher por data focal aquela que fica mais à direita do desenho! Por quê? Porque fazendo assim, estaremos evitando divisões! Estaremos trocando contas de dividir por contas de multiplicar. Particularmente, prefiro multiplicar a dividir. E vocês? Nesta questão temos ainda outro motivo para escolher a data três meses como sendo a nossa data focal. Além de ser a data mais à direita do desenho, é também aquela em que está o valor X, que é por quem estamos procurando! Decidido: a data focal será a data três meses. Passemos ao primeiro passo efetivo de resolução, que consiste em levar para a data focal, uma a uma, as parcelas da primeira obrigação! 1º Passo) Só temos uma parcela de primeira obrigação. É o valor do financiamento. Do empréstimo! Teremos:



23

E 10.000, 0 3m DF O desconto é composto e é por dentro. Daí, teremos: E=10000.(1+0,10)3 E=10000x1,331 E=13.310,00 Acabou o primeiro passo. Não há mais ninguém que seja primeira obrigação. Passemos ao segundo passo, que consiste em levar para a data focal as parcelas da segunda obrigação. 2º Passo) Começando com a parcela de seis mil, na data um mês. Teremos: F 6000, 1m 3m DF Estou certo que todos já perceberam, desde a operação anterior, que o desconto composto por dentro é a mesmíssima operação do juros compostos, aqui que estamos projetando uma parcela para uma data futura. Prosseguindo, novamente usando o desconto composto racional, teremos: F=6000.(1+0,10)2 F=6000x1,21 F=7.260,00

Ainda no segundo passo, trabalharemos agora com a parcela de R$3000, que está na data dois meses. Teremos:



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G 3000, 2m 3m DF G=3000.(1+0,10)1 G=3000x1,1 G=3.300,00 A pergunta agora é a seguinte: terminou o segundo passo? Para responder isso, basta dar uma olhada no desenho completo da questão. Ainda há alguma parcela que seja segunda obrigação? Sim! Há ainda a parcela X que servirá para liquidar o pagamento do empréstimo (financiamento). Pois bem! Mas ocorre que o segundo passo nos manda levar essa parcela X para a data focal. Daí, concluímos que não precisaremos fazer isso: já está feito! A parcela X, que é parcela de segunda obrigação, já está onde queremos que esteja: sobre a data focal. Não precisará ser transportada para lugar nenhum! E quanto vale o X na data focal? Ora, vale ele próprio! Daí, dizemos que nosso segundo passo está concluído. Passemos ao terceiro e último, que consiste em aplicar a equação de equivalência de capitais. 3º Passo) Teremos:


Já sabemos o que representam a primeira e a segunda partes da equação acima. Passemos aos valores: E = F + G + X

13.310 = 7.260 + 3.300 + X X=2.750,00 Resposta!

43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro deveria ser igual a: a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 c) R$ 3.938,48 Sol.: Mais uma questão de equivalência. Havia uma forma original de pagamento de uma dívida. Por um motivo qualquer, pretende-se agora alterar essa forma originalmente contratada por uma outra maneira de se pagar a mesma dívida. É preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira. O desenho da questão, acompanhado dos passos preliminares, será o seguinte:



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5.000, 4500, 3500, X 0 3m 6m 9m (I) (II) (I) (II) Percebamos que, se chamarmos o dia 01/março de data zero; daí, 01/junho virou três meses; 01/setembro virou seis meses; e 01/dezembro virou nove meses. Foi exatamente isso o que fizemos. O enunciado falou que a taxa é de juros compostos! Daí, estamos na equivalência composta de capitais. Operações, portanto, de desconto composto por dentro. Falta escolher a data focal. A escolha é nossa, já que o regime é o composto. Se seguirmos a sugestão aprendida na questão anterior, adotaremos a data focal nove meses. Pode ser? Claro! Pelos mesmos dois motivos: é a data mais à direita do desenho (trocamos divisões por multiplicações!) e é a data em que está o X da questão! Passemos aos três passos efetivos de resolução. 1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira forma de pagamento (primeira obrigação). Começando pela parcela $3.500 que está na data zero. Teremos: E 3500, 0 9m DF Daí: E=3500.(1+0,05)9 E=3500x1,551328 E=5.429,65 O valor do parênteses famoso acima (1+0,05)9 será encontrado com auxílio da Tabela Financeira! Ainda não acabou o primeiro passo. Trabalharemos agora com a parcela de R$4.500, que está na data seis meses. Teremos:



26

F 4500, 6m 9m DF Daí: F=4500.(1+0,05)3 F=4500x1,157625 F=5.209,31

Nova consulta à Tabela Financeira do parênteses famoso, para chegarmos ao valor F.

Fim do primeiro passo. Passemos ao segundo, e levemos para a data focal os valores da segunda forma de pagamento (segunda obrigação). 2º Passo) Começando com a parcela R$5000, na data 3 meses. Teremos: G 5.000, 3m 9m DF Daí: G=5000.(1+0,05)6 G=5000x1,340096 G=6.700,47 Terminou o segundo passo? Sim, uma vez que a outra parcela de segunda obrigação, que é a parcela X, já está sobre a data focal. E quanto vale esse X na data focal? Ele próprio! Passemos ao terceiro passo efetivo de nossa resolução. 3º Passo) Teremos: ∑(I)DF = ∑(II)DF

E + F = G + X

5.429,65 + 5.209,31 = 6.700,47 + X X=3.938,49 Resposta! É isso! Encerramos nossa aula, e eu espero que todos estejam se saindo bem com as

questões e que esse curso esteja se prestando bem a seu propósito! Um abraço a todos e fiquem com Deus!


www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho

1

AULA 03

Olá, amigos! Chegamos à nossa terceira aula, com mais um simulado. Pouco (quase nenhum!) retorno tenho tido em relação a como vocês têm se saído na resolução das aulas passadas. Vou imaginar que estão se saindo bem! Quanto ao tempo meta, estou pensando se não seria o caso de eu deixá-lo de lado... Talvez (não tenho certeza disso) alguns estejam se sentindo desestimulados, por não estar conseguindo cumprir a resolução no tempo estabelecido... Não sei. O objetivo era justamente o contrário! Uma coisa eu quero que todos tenham em mente: o tempo médio para se resolver uma questão do AFRF é algo em torno de quatro minutos. Não mais que isso! Significa dizer que há questões mais fáceis na prova, as quais temos obrigação de resolver em pouco tempo. Leia-se: em menos de quatro minutos. Daí, na hora de resolver a questão demorada, poderemos usar os quatro minutos e mais aqueles que sobraram da questão mais fácil. É assim que funciona. Nestes nossos simulados semanais, eu mesclei questões com diferentes níveis de dificuldade, exatamente como faz a elaboradora da prova. De sorte que, se alguém achar uma questão muito fácil, deve tentar tirar vantagem disso e ganhar o máximo de tempo possível. Então, se temos em nossas aulas doze questões, um tempo razoável de resolução seria algo em torno de 48 minutos (4x12). Podemos arredondar para 50 minutos e fica tudo em casa. Ok? Se vocês concordarem, passará a ser este – 50 minutos – o nosso tempo meta doravante. Quem conseguir fazer em menos tempo, ótimo! Quem não conseguir, deve continuar tentando. E para quem pensa que não conseguirá nunca, nada de desânimo. Eu, quando comecei a estudar, às vezes levava um dia inteiro brigando com uma única questão. Até que fui descobrindo o caminho das pedras, e as coisas foram clareando mais e mais. Treino. Não tem outro segredo. É isso! Chega de lero-lero. Seguem as doze questões de hoje. Marque o tempo, respire e comece a resolver. Boa sorte!

Q U E S T Õ E S

3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900



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8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de:

a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72%

15. (AFRF-2000) Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salário Freqüências

Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10

24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:

a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000,

29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0%

46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300



3

4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 c) R$ 715,00

10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 c) R$ 9.500,00

18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante. a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25%

34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês. a) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 b) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 c) R$ 33.538,25

40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 c) R$ 1.800,00

54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 c) US$ 930.00



4

2ª Etapa) Resolução das Questões Acompanhemos juntos as resoluções de hoje!

3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 Sol.: Embora o enunciado não tenha falado expressamente, teremos que aplicar aqui a tal interpolação linear da ogiva, para chegarmos à resposta. Esta técnica, como já vimos em aula pretérita, consiste meramente em fazermos uma regra-de-três simples, a fim de descobrirmos qual a participação daquelas classes que entram somente parcialmente no resultado. Analisemos juntos: o enunciado pede que encontremos o número de elementos do conjunto com valores maiores que 50,5 e menores que 95,5. Ora, dentro deste intervalo solicitado (50,5 a 95,5) teremos que:

a primeira classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); a segunda classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); a terceira classe, sim, entra na resposta, só que parcialmente! a quarta, quinta e sexta classes entram integralmente na resposta! a sétima (e última) classe também entrará só parcialmente no resultado.

Sabendo disso, tomaremos aqui as duas classes que integram apenas parcialmente o resultado (a terceira e a sétima) e faremos, portanto, duas regras-de-três, uma para cada classe, a fim de descobrirmos com quantos elementos do conjunto essas classes irão compor a nossa resposta procurada.

Recordando a aula passada, em que trabalhamos uma questão semelhante a essa, sabemos que será preciso, antes da regra-de-três, conhecermos a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente – fac. Teremos:

Classes Freqüência

(f) fac

29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100



5

Para formar a regra-de-três (espero que estejamos lembrados da aula passada!), formaremos um desenho da classe que participa somente parcialmente do resultado, colocando na parte de cima do desenho os limites da classe. Assim:

linf lsup

E na parte de baixo do desenho, as freqüências acumuladas crescentes associadas a cada um desses dois limites. Na aula passada, trabalhamos uma questão em que essas freqüências acumuladas crescentes eram freqüências relativas, pois lá estávamos trabalhando com percentuais de elementos. Aqui, usaremos a freqüência absoluta acumulada crescente, uma vez que estamos tratando de número de elementos (e não de porcentagens!). Teremos:

linf lsup

fac fac

Enfim, completando o desenho, colocamos aquele valor, dentro da classe, que é

fornecido pelo enunciado, acima ou abaixo do qual se deseja conhecer a freqüência associada.

Daí, trabalhando a regra-de-três para a terceira classe, teremos: 10 9 49,5 50,5 59,5 12 26 X 14 Daí:

. 10 . = . 9 . Daí: X=12,6 14 X Agora, construindo a regra-de-três da última classe, teremos: 10 6 89,5 95,5 99,5 90 100 X 10



6

Daí: . 10 . = . 6 . Daí: X=6

10 X

Agora, finalmente, já podemos compor o nosso resultado. Teremos:

Terceira Classe: 12,6 Quarta Classe: 20,0 Quinta Classe: 26,0 Sexta Classe: 18,0 Sétima Classe: 6,0

Total: 82,6 Procurando entre as opções de resposta, não encontraremos esse valor 82,6. Mas

isso já era esperado. E por quê? Porque o este resultado diz respeito à tabela do enunciado, a qual, por sua vez, representa uma amostra! Daí, 82,6 é um resultado amostral.

Relendo a questão, vemos que é pedido um resultado referente à população! Um resultado populacional.

Daí, precisamos saber a relação que há entre esta amostra e a população respectiva. Foi dito isso no enunciado: uma amostra de cem, extraída de uma população de mil indivíduos. Ora, ficou evidenciado que a amostra representa 10% (dez por cento) da população. Conclusão: o resultado amostral que encontramos terá que ser multiplicado por dez, para chegarmos ao resultado populacional.

Claro! Vejamos: Amostra População

10% ----- x 10 ------- 100% Daí, faremos: Resultado Amostral Resultado Populacional 82,6 --------x10 ------- 826 826 Resposta da Questão! 8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de:

b) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% Sol.: Trabalharemos com a propriedade da média das médias! Uma propriedade muito simples, que usaremos quando o enunciado nos falar em dois grupos menores (no caso, homens e mulheres), e quiser alguma informação relacionada ao número de elementos de cada um desses grupos, ou à sua média. Já trabalhamos uma questão semelhante na aula um. A rigor, essa propriedade consiste numa mera aplicação da fórmula seguinte:

( ) ( )( )BA

BBAAGLOBAL

NNxNXxNXX

++

=



7

Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e

AX e BX as suas médias. Os dados fornecidos pela nossa questão são os seguintes:

Média Global das alturas = GLOBALX =165 cm

Média das alturas dos Homens = AX =172 cm

Média das alturas das Mulheres = BX = 162 cm Teremos, portanto, que:

( ) ( )( )BA

BBAAGLOBAL

NNxNXxNXX

++

= ( ) ( )

( )BA

BA

NNxNN

++

=162172165

Daí, multiplicando cruzando, teremos: 165.NA + 165.NB = 172.NA+162.NB E: 7.NA = 3.NB

Como a questão pergunta a porcentagem de mulheres, teremos: 37

=HOMENS

MULHRES

NN

Ou seja, mulheres e homens estão numa proporção de sete para três. Se considerarmos o conjunto inteiro com cem pessoas, seguindo a proporção encontrada, teríamos que 70 seriam mulheres, enquanto que 30 seriam homens. Conclusão: a proporção de mulheres do clube é de 70% Resposta!

15. (AFRF-2000)



( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 Sol.: Para cálculo da Mediana de uma distribuição de freqüências, trabalharemos de modo semelhante ao questão anterior! Só precisamos nos lembrar do próprio conceito da Mediana: é aquele elemento que divide o conjunto em duas partes iguais. Daí, no primeiro momento, calcularemos o valor de n (número de elementos do conjunto) e da fração (n/2). Antes de mais nada, contudo, precisamos descobrir que tipo de coluna de freqüência foi essa fornecida na tabela acima. Está dito que são freqüências acumuladas. Relativas elas não são, pois não há o sinal de porcentagem (%) em lugar nenhum! Então, são absolutas. Crescentes ou decrescentes?



8

Aí basta examinar os valores da coluna. Estão crescendo? Sim. Conclusão: estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes – fac. Sabemos bem que o n de um conjunto pode ser encontrado somando os valores da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Mas também sabemos que o n será sempre a fac da última classe! Vejamos:


( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68=n

Daí, diremos que: n=68 e (n/2)=34 Feito isso, como próximo passo, compararemos os valores das fac com este resultado (n/2), começando pela primeira fac e fazendo a seguinte pergunta: “Esta fac é maior ou igual a (n/2)?” Enquanto a resposta for não, seguiremos para a fac seguinte, e repetiremos a pergunta. Até que a resposta seja sim. Daí, procuraremos a classe correspondente, e diremos que esta será nossa classe mediana. Façamos isso agora:


( 3 ; 6] 12 12 é ≥ 34? Não! (pra frente!) ( 6 ; 9] 30 30 é ≥ 34? Não! (pra frente!) ( 9 ; 12] 50 50 é ≥ 34? SIM! (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Daí, a Classe Mediana é a terceira classe (9 a 12). Agora, como próximo passo, desenharemos a classe mediana, colocando na parte de cima os limites desta classe, e na parte de baixo as freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac) associadas a estes limites. Daquela forma que já havíamos falado na questão passada: linf lsup

fac fac Daí, teremos: 9 12

30 50



9

Agora, o que nos interessa? Interessa-nos saber qual será o valor, dentro dos limites dessa classe mediana, que ocupa a posição 34. Percebamos que esta posição será indicada exatamente pela fac. Em outras palavras: qual será o valor dentro da classe mediana que está associado à fac 34? Este valor será a Mediana! Teremos, pois, que: 3 X 9 Md 12 30 34 50 4 20 Daí, fazendo uma regra-de-três simples, teremos que:

. 3 . = . X . Daí: X=0,6 20 4

Agora, apenas olhando para o desenho acima, vemos que a Mediana será a soma do limite inferior da classe mediana com o valor do X que acabamos de encontrar. Teremos, pois, que:

Md=9+0,6 Md=9,6 Resposta!

24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio

padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:

b) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, Sol.: Questão simples, mas que exige o conhecimento de uma das propriedades do desvio-padrão. Inicialmente, teremos que tentar traduzir matematicamente a operação trazida pelo enunciado: o que significa receber um aumento de 10%? Como poderemos traduzir essa frase numa operação matemática? Aumentar um valor em 10% significa somar? Ou multiplicar? Ou subtrair? Ou dividir? Ora, aumentar um valor qualquer em 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10. Somente isso! Se o aumento fosse de 15? Multiplicaríamos por 0,15. Se fosse de 30%? Multiplicaríamos por 0,30. Se fosse de 8%? Por 0,08. E assim por diante! Daí, o conjunto apresentava um desvio-padrão original de 10.000. Só que aí, todos os elementos desse conjunto sofreram um aumento de 10%, ou seja, todos os elementos foram multiplicados pela constante 1,10. O que ocorre com o novo desvio-padrão? Segundo reza a propriedade, será ele também multiplicado pela mesma constante.



10

Daí: (Novo S) = (Antigo S) x 0,10 = 10000 x 0,10 = 11.000 Resposta! Caso a questão tivesse dito que todos os funcionários ganharam um abono salarial de R$200,00, então a história já seria diferente! Ganhar um abono é somar! Não é verdade? E se os elementos do conjunto original fossem todos somados a uma constante, o que ocorreria com o valor do desvio-padrão? Nada! Uma vez que o desvio-padrão não sofre influência de operações de soma ou subtração! Adiante. 29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a

receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% Sol.: Essa questão é campeã de e-mails. Simples, porém interessante. Pra começo de conversa, temos que saber o que está sendo requerido pelo

enunciado. É o coeficiente de variação. O conceito desta medida é o seguinte: XSCV =

Ou seja: desvio-padrão sobre a média. O curioso foi que a questão trouxe uma transformação da variável original. Essa transformação consiste em duas operações realizadas com os elementos da variável X: uma subtração por 200 e uma posterior divisão por 5. Podemos dar um nome à nova variável transformada. Podemos chamá-la variável Y.

Daí, teremos: ( )

5200−

=XY

É recomendado, neste caso, fazermos o desenho da transformação da variável, que nada mais é que um espelho das operações acima descritas. Teremos: 1º)-200 2º)÷5 X Y Este caminho em azul é o nosso caminho de ida. É aquele que nos conduz da variável original X para a variável transformada Y. As operações que compõem o caminho de ida são justamente aquelas trazidas na própria equação de transformação da variável, fornecida pelo enunciado.

Agora, completemos o desenho acima, construindo o caminho de volta, que é um mero retorno, da variável transformada Y para a variável original X. Para isso, basta invertermos as operações do caminho de ida. Onde havia divisão, será produto; onde havia subtração, passaremos a ter uma soma. E a ordem das operações também inverte: onde começou em cima, terminará em baixo, e vice-versa.

Teremos:



11

1º)-200 2º)÷5 X Y 2º)+200 1º)x5 Feito isto, tomaremos do enunciado os dados que foram fornecidos. Vemos então que a questão nos deu os valores da Média e do Desvio-Padrão da variável transformada! E quem é a nossa variável transformada? É a Y. Daí, teremos: 100=Y e Sy=13. Ora, o que nos interessa descobrir é o valor do CV da variável X. Para isso, teremos que conhecer os valores da Média e do Desvio-Padrão desta variável original. Colocando no desenho acima os valores conhecidos, teremos: 1º)-200 2º)÷5 X Y 100=Y e Sy=13 2º)+200 1º)x5 Trabalhemos primeiramente com a média 100=Y . Partindo do lado do Y, com o

valor Y , e percorrendo as operações do caminho de volta (em vermelho!), chegaremos ao valor da média da variável X. Só precisaremos nos lembrar das propriedades da média. E aqui fica muito fácil, uma vez que a média é influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, subtração, produto e divisão). Ou seja, trabalhando com a média, efetuaremos toda e qualquer operação que apareça no caminho de volta. Teremos: 1ª operação) 100 x 5 = 500 2ª operação) 500 + 200 = 700 Daí: X =700 Agora, resta-nos trabalhar com o desvio-padrão! Partiremos do lado do Y, com o valor Sy=13, e percorreremos novamente o caminho de volta (em vermelho), para chegarmos ao desvio-padrão da variável original, ou seja, para chegarmos ao Sx. Só que agora teremos de nos lembrar das propriedades do desvio-padrão. Teremos: 1ª operação) 13 x 5 = 65 2ª operação) Não será realizada! Daí: Sx=65 E agora, alguém me diga por que não fizemos a segunda operação acima! Muito simples: porque o desvio-padrão não sofre influência de operações de soma ou subtração! É o que nos ensina a propriedade. Pois bem! Agora que já dispomos dos dois valores relativos à variável original X, ou seja, agora que sabemos sua média e seu desvio-padrão, só nos falta aplicar a fórmula do Coeficiente de Variação.



12

Teremos:

093,00928,070065

≅===XSCV CV=9,3% Resposta!

Só a título de lembrança: o coeficiente de variação é também chamado de

Dispersão Relativa, e será sempre uma medida adimensional. Ok? Próxima! 46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 Sol.: Coeficiente quartílico de assimetria é uma fórmula na qual só aparecem Quartis. Daí, o nome quartílico. Esse nome já ajuda a relembrar a fórmula, que é a seguinte:

13

213 .2QQ

QQQA−−+

=

Onde: Q1 é o primeiro quartil; Q2 é o segundo quartil; e Q3 é o terceiro quartil. Só recordando, Q2 (segundo quartil) é sinônimo de Mediana. Pois bem! Questão braçal. Teremos, contudo, que treinar bastante em casa, para não perdermos muito tempo na hora de fazer uma questão assim na prova. Antes de começarmos os cálculos dos Quartis, construamos logo a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente.

Teremos:

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100



13

Agora, sim: comecemos pelo primeiro quartil (Q1). Temos que n=100 e a fração do Q1 será sempre (n/4). Daí: (n/4)=25. Próximo passo: comparar os valores da fac com esse valor 25, fazendo aquela pergunta já nossa conhecida: “esta fac é maior ou igual a (n/4)?” Teremos:

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 25? SIM! 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Daí, a terceira classe (49,5 a 59,5) é a classe do primeiro quartil. Vamos agora desenhá-la e preparar a regra-de-três que nos dirá o valor de Q1. Teremos: 10 X 49,5 Q1 59,5 12 25 26 13 14 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte:

1314

10 X= X=130/14 X=9,28

Daí, para chegarmos ao primeiro quartil, somaremos o limite inferior da classe

mais o valor do X encontrado. Teremos:

Q1=49,5+9,38 Q1=58,78 Passemos ao segundo quartil (Q2). A fração do Q2 é a mesma fração da Mediana, uma vez que ambos são, na verdade, a mesma coisa: (n/2) Teremos que, se n=100, então (n/2)=50. Comparemos agora os valores da fac com esse valor de (n/2), fazendo a pergunta de praxe:



14

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 59,5-69,5 20 46 46 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 69,5-79,5 26 72 72 é ≥ 50? Sim! 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Descobrimos quem é a classe do Q2. Façamos agora o desenho da classe e preparemos a regra-de-três. Teremos: 10 X 69,5 Q2 79,5 46 50 72 4 26 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte:

426

10 X= X=40/26 X=1,54

Daí, teremos que Q2 será:. Teremos:

Q2=69,5+1,54 Q2=71,04 Agora, o Q3, terceiro quartil. A fração do Q3 é (3n/4). Sendo n=100, teremos que (3n/4)=75. Daí, comparando as fac com esse valor 75, teremos:

Classes Fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 59,5-69,5 20 46 46 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 69,5-79,5 26 72 72 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 79,5-89,5 18 90 90 é ≥ 75? Sim! 89,5-99,5 10 100

O desenho auxiliar para determinação do Q3 será o seguinte:



15

10 X 79,5 Q3 89,5 72 75 90 3 18 Nossa regra-de-três ficará, portanto:

318

10 X= X=30/18 X=1,67

Daí, teremos que Q3 será:

Q3=79,5+1,67 Q3=81,17 Uma vez de posse dos valores de Q1, Q2 (=Md) e Q3, resta-nos aplicar tais valores na fórmula do coeficiente quartílico de assimetria. Teremos: Q1=58,78 Q2=71,04 Q3=81,17

13

213 .2QQ

QQQA−−+

= 095,039,2213,2

78,5817,8104,71278,5817,81

−=−

=−−+

=xA Resposta!

4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. d) R$ 705,00 d) R$ 720,00 e) R$ 725,00 e) R$ 735,00 f) R$ 715,00 Sol.: Mais uma questão de Juros Exatos! Relembrando: quando o enunciado falar neste tipo de juros simples, trabalharemos com a unidade dia. Tanto na taxa, quanto no tempo, já que taxa e tempo têm que estar sempre na mesma unidade! E o mais importante: na contagem dos dias, consideraremos o nosso calendário convencional, de 365 dias (ou 366, caso o ano seja bissexto). Primeiro passo: fazer a contagem dos dias. Teremos:



16

meses n˚ de dias

(de acordo com o calendário

convencional) Abril 30 Maio 31 Junho 30 Julho 31

Agosto 31 Setembro 30

Agora, temos que saber quantos dias de cada um desses foram efetivamente utilizados na operação. Os meses que nem são o primeiro e nem o último foram integralmente utilizados. Quanto ao último mês é só repetir a data em que terminou a operação. Já no tocante ao primeiro mês, faremos uma subtração: número de dias do mês menos dia do início da operação. Fazendo isso tudo, teremos:

Meses n˚ de dias (de acordo com o

calendário convencional)

Dias utilizados na operação

Abril 30 18 (=30-12) Maio 31 31 Junho 30 30 Julho 31 31

Agosto 31 31 Setembro 30 5 (último dia)

Total n=146 dias Já temos o tempo em dias. Precisamos agora transformar a taxa também para a unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas proporcionais, teremos que:

18% ao ano = (18/365)% ao dia Percebamos que a divisão acima é por 365, já que os juros são exatos! Pronto, agora só resta aplicar o esquema ilustrativo para resolução de operações de juros simples. Teremos:

M C (100) (100+i.n)

J

(i.n) Lançando os dados na equação, teremos:



17

niJC.100

= 146.

36518100

10000

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=J

2,7

100 J=

J = 720,00 Resposta!

10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 c) R$ 9.500,00 Sol.: Questão de resolução quase imediata! Estamos no regime simples, e o enunciado vem falar de uma relação entre os valores do desconto por fora e do desconto por dentro. Sempre que isso ocorrer, já podemos colocar no papel a fórmula seguinte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100.1. nidd df

Esta fórmula, só lembrando, fornece a relação entre os dois tipos de desconto simples – por dentro e por fora – considerando mantidas a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipação. Tudo o que precisamos é que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Estão? Sim. Daí, basta lançar os dados na equação. Teremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100.1. nidd df ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100331.9810 xdd dd=(9810/1,09) dd=9000, Resposta!

Parece brincadeira, mas questões exatamente como essa acima caíram em praticamente todas as últimas provas do auditor-fiscal da Receita. Se repetirem a dose, temos que resolvê-la sem demorar muito, para deixar mais tempo para questões mais difíceis. 18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante. a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25% Sol.: Questões de convenção linear têm sido uma constante nas provas da Esaf. Já sabemos bem do que se trata. É uma operação de juros compostos, que será resolvida por este método alternativo. Quando iremos resolver os juros compostos pela convenção linear? Quando o enunciado assim o determinar! Ou, excepcionalmente, quando não houver outra saída senão utilizá-lo! Mas essa é uma situação extremamente excepcional. Veremos neste curso uma questão assim.



18

Na aula um, aprendemos como resolver esta operação. Faremos isso aplicando a fórmula abaixo:

( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Antes de mais nada, vamos trabalhar com a taxa e o tempo, tornando-os compatíveis. Aliás, sabemos que na convenção linear o tempo será descrito em duas distintas unidades, sendo que a unidade maior será a mesma unidade da taxa. Temos que a taxa é semestral (i=10% a.s.) e o tempo é de 15 meses. Daí, teremos que transformar esses 15 meses em duas unidades, de modo que a maior delas seja exatamente o semestre. Ora, um semestre tem seis meses; dois semestres têm doze. Para quinze, faltam três. Ou seja: 15 meses = 2 semestres e 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre. Pronto. Conseguimos nosso objetivo. Agora já podemos lançar os dados na equação. Antes disso, só uma observação: o enunciado pede o cálculo dos juros como porcentagem do capital. Daí, já aprendemos isso, chamaremos o elemento de referência, neste caso o Capital, de 100. Teremos:

( ) ( )5,010,01.10,01.100 2 xM ++= M=127,05 A questão pede os juros. Sabemos que os juros são a diferença entre o Montante e o Capital. Daí: J = M – C J = 127,05 – 100 J=27,05 Como atribuímos o valor 100 ao Capital, então basta acrescentarmos o sinal de porcentagem (%) aos juros! Teremos:

J=27,05% do Capital Resposta! 34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês. d) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 e) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 f) R$ 33.538,25 Sol.: Questão típica da Esaf, uma vez que reúne dois assuntos num só: equivalência composta de capitais e convenção linear! Comecemos pelo desenho da questão. Teremos: X 20.000, 10.000, 0 1m 3,5m (I) (I) (II)



19

O regime é o composto, uma vez que o enunciado falou expressamente que a taxa é de juros compostos. Logo, as operações que faremos aqui serão de desconto composto por dentro. Qual será a nossa data focal? Pode ser qualquer uma, como já sabemos, pois na equivalência composta a escolha da data focal é livre! Todavia, a título de sugestão, adotaremos como data focal a mais à direita do desenho. Assim,trocaremos divisões por produtos. Não é verdade? Os passos preliminares de resolução já foram todos feitos. Agora, passemos aos passos efetivos. Teremos: 1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. Começando pela parcela R$10.000 que está na data zero. Teremos: E 10.000, 0 3,5m Daí, percebemos que a operação de desconto composto por dentro é a mesma que a de juros compostos. E que o tempo desta operação acima é quebrado, ou seja, não é um número inteiro! Daí, teremos que usar a fórmula da convenção linear, como o próprio enunciado nos manda fazer. Daí, teremos que:

( ) ( )5,004,01.04,01.10000 3 xE ++= E=11.473,61 Agora, trabalhando com a parcela de R$20.000, teremos: F 20.000, 1m 3,5m Atentemos para o fato de que a distância entre os 20.000 e a data focal agora será de dois meses e meio. Novamente, vamos aplicar a fórmula da convenção linear, porque assim foi determinado pelo enunciado. Teremos:

( ) ( )5,004,01.04,01.20000 2 xF ++= F=22.064,64 O segundo passo da questão seria transportar para a data focal as parcelas da segunda obrigação. Ora, a única é o próprio X que já está localizada na data focal. Ou seja, o segundo passo já está feito. Como terceiro passo, aplicaremos a equação de equivalência de capitais, de modo que teremos que:



20

∑ (I)DF = ∑ (II)DF E + F = X

Daí: X = 11.473,61 + 22.064,64 X=33.538,25 Resposta!

40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. b) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 c) R$ 1.800,00 Sol.: Questão muito parecida com outra que caiu em prova de AFRF, confirmando a tese de que as questões, vez por outra, se repetem ou se assemelham bastante! O segredo desta questão é descobrir qual será o valor total a ser amortizado nas parcelas mensais. Ou seja, saber qual será o valor total a ser diluído nas parcelas! Ora, o carro custa R$22.000,00. Só que vai ser dada uma entrada de 20%. Quanto é 20% de vinte e dois mil?

00,400.4000.2210020

=x = Entrada!

Se o bem à vista custava R$22.000 e eu pago R$4.400 de entrada, vai ficar faltando pagar somente a diferença. Teremos: 22.000 – 4.400 = 17.600,00 (= o que resta pagar do carro!) Se a questão não dissesse mais nada, já teríamos o valor a ser amortizado nas parcelas. Só que ela disse: há mais dois valores que serão igualmente diluídos nas prestações. São os seguintes: seguro de R$2.208 e taxa de abertura de crédito de R$100. Somando esses encargos adicionais, teremos: 2.208 + 100 = 2.308,00 E adicionando este valor ao do restante do carro que resta pagar, teremos que o valor total a ser amortizado será de: 17.600 + 2.308 = 19.908,00 Finalmente, aplicando a equação da amortização, teremos que: T = P . An¬i 19.908 = P . A12¬3% P=19.908/ A12¬3% Consultando a Tabela Financeira do fator de amortização, encontraremos que: A12¬3% = 9,954004. Daí, teremos, finalmente, que: P = 19.908 / 9,954004 P=1.999,99≈ 2.000,00 Resposta!



21

54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 c) US$ 930.00 Sol.: Esta questão sozinha dá um tratado..., mas vou tentar explicar da forma mais simplificada possível.

Suponhamos que não se trata de um país, mas de uma pessoa. Ora, essa pessoa fez hoje um empréstimo. Obviamente que se pegou uma quantia emprestada hoje, terá que devolvê-la no futuro. Também sabemos que, se estamos numa questão de matemática financeira, o dinheiro nunca fica parado, de sorte que o que vai ser devolvido no futuro terá de ser uma quantia maior do que a que foi emprestada. (Caso contrário, estaríamos tratando de empréstimo de mãe, e as mães, como é fato cediço, não participam das questões de matemática financeira!).

Pois bem! A forma de devolução deste empréstimo será feita de um modo muito peculiar: várias parcelas de mesmo valor e pagas em períodos de tempo iguais (mesma periodicidade) e, no final, um último pagamento em um valor próximo do que foi tomado emprestado. (Próximo ou até mesmo igual!). Vejamos ilustrada essa situação:

X Y P P P P P P P . . . Onde o traço em azul X é o valor do empréstimo, feito hoje (data zero), e as

parcelas em vermelho são as de devolução. Observemos que na última data da devolução, a parcela menor vem

acompanhada de outra (Y), num valor que pode ser igual ou bem próximo do valor do empréstimo!

Pelo desenho acima, vemos que o número de parcelas P pode ser qualquer um. Agora vamos traçar o paralelo entre a situação acima e a apresentada pelo

enunciado. Não temos mais uma pessoa, temos um país. Mas a coisa continua simples. Só

temos que nos adaptar à linguagem da questão: o valor do empréstimo X, na data zero, passa a ser o preço de lançamento do

bônus. É o que está sendo solicitado pelo enunciado. as parcelas P serão os nossos cupons. Neste enunciado, os cupons são doze e

são semestrais. Todos no valor de U$60,00 (sessenta dólares). o valor Y em vermelho, na última data do desenho, será o valor nominal do

título. Neste caso, o título é um bônus, logo temos o valor nominal do bônus.



22

Em suma: o país pegou um valor emprestado. A este valor corresponde o preço

de lançamento de um determinado título. Normalmente esse título será um bônus. Daí, se pegou emprestado vai ter que devolver. Para isso, usará diversas parcelas iguais e periódicas, ditas cupons. E além dos cupons e na data do último deles, haverá uma última parcela de devolução, que é o valor nominal do título. Este título, como vimos, será normalmente um bônus.

Está feito! Equivalência composta de capitais! O que eu peguei emprestado (data zero) tem

que ser equivalente ao que eu vou devolver no futuro! Regime composto e as operações serão de desconto composto por dentro, como já é do nosso conhecimento. Só isso!

Então agora vamos desenhar o enunciado, exatamente como foi fornecido. Teremos:

X 1.000,00 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, Qual o nosso objetivo? Transportar todos os valores em vermelho (cupons e valor

nominal do título) para a data zero! Por que dissemos que o regime dessa questão é o composto? Por causa da taxa

fornecida pelo enunciado. Ele disse: taxa de juros nominal de 14% ao ano. Ora, taxa nominal é sempre taxa composta! Mas nos lembramos que uma taxa nominal é aquela acompanhada das palavras com capitalização...! Não é mesmo? E aqui, neste caso, em que foi dito apenas taxa nominal de 14% ao ano, e não foi dito qual o período de capitalização? O que faremos?

Neste caso, basta olhar para a periodicidade das parcelas trazidas no desenho da questão. São parcelas o quê? Semestrais. Logo, a leitura desta taxa nominal será a seguinte: taxa de 14% ao ano, com capitalização semestral.

Também aprendemos que as taxas nominais têm que ser transformadas em taxas efetivas! E que o tempo da taxa efetiva é sempre o mesmo tempo da capitalização. Ademais, para efetuar essa alteração (taxa nominal para taxa efetiva), faremos uso do conceito de taxas proporcionais.

Logo, nossa taxa efetiva será: 14% ao c/ capitalização semestral = (14/2) =7% ao semestre!

Agora, sim! Trabalhemos primeiramente com os doze cupons semestrais. Temos

aí parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais, e uma taxa no regime composto. Com essas três características, podemos trabalhar numa operação de Amortização, trazendo todos esses cupons para a data zero (um período antes da primeira parcela)! Teremos:

T=P.An¬i T=60 . A12¬7% T=60x7,942686 T=476,56

Este valor T representa todos os doze cupons de U$60,00. Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos isso, conforme aprendemos, por meio de uma operação de desconto composto por dentro.



23

Teremos que:

1000=E.(1+0,07)12 E=1000/(1+0,07)12

Daí: E=1000/(1+0,07)12 E=1000/2,252191 E=444,01

Observemos que fizemos duas consultas, a duas tabelas financeiras distintas: trabalhando com os cupons, consultamos a tabela do fator de amortização An¬i . E no segundo momento, trabalhando com o valor nominal do título, consultamos a tabela do parênteses famoso (1+i)n.

Neste nosso curso, eu estou supondo que todos já saibamos efetuar estas consultas! Estou supondo certo, não estou?

Agora sim: estamos prontos para compor o resultado final da nossa questão:

Resultado do nível dos cupons de 60: US$ 476,56

Resultado do bônus de 1000: US$444,01

Daí: X=476,56+444,01 X=920,57 Resposta!

É isso! Se me dão licença para uma notícia familiar, é o seguinte: no dia de nossa

próxima aula, minha filha Maria Clara já terá nascido! Falta muito pouco para ela vir ao mundo! A expectativa é grande!

Fico por aqui. Um abraço forte a todos e fiquem com Deus!

CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA


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AULA 04

Meus queridos amigos! Começo a aula de hoje com uma notícia particular, mas que não posso deixar de partilhar com vocês: vou entrar para o Livro dos Recordes! É verdade! Isso porque desde segunda-feira, dia 7 de março, que sou, sem sombra de dúvidas, o homem mais feliz do mundo! Nasceu nossa primogênita, a Maria Clara. Saudável e cheia de energia! Além do que, é a menininha mais linda do mundo! (Me desculpem os papais e mamães que me lêem agora...) A felicidade é completa e indescritível! É um up grade de felicidade, como me disse o meu amigo prof. João Antônio. Minha esposa Sílvia e eu somos gratos a Deus, por nos ter dado esse presente maravilhoso, que desde já se tornou nosso maior tesouro! No momento em que digito estas palavras, já estamos na madrugada da quarta-feira, 9. Esta aula vai ao ar ainda hoje pela manhã (daqui a pouco!), e eu não queria perder a oportunidade de lhes transmitir essa notícia.

-- x --- x --- x --- x --- x – Hoje faremos nosso quarto simulado. A expectativa pelo edital do AFRF continua grande, e o momento é de estudar bastante! E de resolver exercícios! Esta semana recebi no fórum a sugestão de fornecer um resumão com as fórmulas de matemática financeira e estatística. A idéia é boa. Só peço que me perdoem, mas vai ficar este resumão para a próxima aula. Ok? Seguem, portanto, as questões de hoje. Tentem resolvê-las naquele tempo de cinqüenta minutos, de modo a conseguir manter uma média aproximada de 4 minutos/questão. Quem não estiver conseguindo esse tempo, nada de desanimar! O negócio é insistir e os resultados logo se mostrarão. Marque o tempo e pode começar!

Q U E S T Õ E S



Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500,



2

Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados:



Freqüências (fi)

Pontos Médios (PM)

diPM=

−5

37


19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

-3 -2 -1 --- 1 2 3

-6 -18 -23 --- 18 24 21

18 36 23 --- 18 48 63

-54 -72 -23 --- 18 96 189

162 144 23 --- 18 192 567

Total n=100 16 206 154 1106

10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média









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5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80%

14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do empréstimo que utilizou em proveito próprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre

22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% d) 12,6162% b) 12,6825% e) 12,5508% c) 12,4864%

27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 c) R$ 624,47

35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 c) R$ 1.584.000,00

44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00



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b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 c) R$ 151.342,00




Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500,

Sol.: Vocês já devem ter percebido que muito temos nos utilizado de regras-de-três simples para resolver diversas questões de Estatística. Não é verdade? Estas tais regras-de-três têm sido úteis, e bastante práticas, na ocasião de resolvermos questões para cálculo das Medidas Separatrizes (Mediana, Quartil, Decil, Centil) e na Interpolação Linear da Ogiva (que é este caso!). Como saber que uma questão é de Interpolação Linear da Ogiva? Basta ver a pergunta do enunciado! Se é fornecida uma Distribuição de Freqüências, e a questão pede que encontremos o número (ou a porcentagem) de elementos do conjunto que está abaixo (ou acima) de um determinado limite, e este limite está inserido em uma das classes da distribuição (não coincidindo nem com o limite inferior, e nem com o limite superior de qualquer das classes), então pronto! Por exemplo, se esta nossa questão, cuja tabela fala em salários anuais, perguntasse: “quantas pessoas ganham salários anuais abaixo de R$10.000?” Ora, iríamos procurar, entre as classes, onde estaria esse valor R$10.000. E perceberíamos, então, que ele está inserido na quarta classe (entre R$9.500 e R$11.000), mas não coincide nem com o limite inferior (R$9.500) e nem com o limite superior (R$11.000). Daí, fica patente: teremos que usar a tal interpolação linear da ogiva! Tomando essa hipótese que eu criei, salários abaixo de R$10.000, teremos que as três primeiras classe participam integralmente do resultado. Concordam? Uma vez que essas classes contemplam salários de até R$9.500,00. Viram isso? Pois bem! Mas aí chega a quarta classe (R$9.500 a R$11.000), e percebemos que esta classe participará apenas parcialmente do resultado, uma vez que somente parte dela contempla salários abaixo de R$10.000! Daí a necessidade de criarmos uma regra-de-três, para descobrirmos qual será a participação desta quarta classe na resposta! É só isso que é a interpolação da ogiva. Essa regra-de-três, como já tivemos oportunidade de ver em aulas passadas, será feita usando essa classe que terá participação parcial na resposta. Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Assim:



5

linf lsup

Para completar o desenho, trabalharemos agora com as freqüências acumuladas crescentes associadas a cada um destes limites. Estas freqüências acumuladas crescentes serão absolutas (fac), caso estejamos trabalhando com número de elementos, ou serão relativas (Fac), caso estejamos trabalhando com percentual de elementos! Como saber qual é a freqüência acumulada crescente associada a cada limite da classe? É bem fácil: associada ao limite inferior da classe será a fac (ou Fac) da classe anterior! E associada ao limite superior da classe será a fac (ou Fac) da própria classe. Sempre assim! O desenho completo seria: linf lsup

fac fac (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE)

Ou, caso estejamos trabalhando com valores percentuais: linf lsup

Fac Fac (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE)

No caso desse exemplo que eu estou criando (percebam que eu ainda não comecei a resolver a primeira questão do simulado de hoje!), estamos trabalhando com número de elementos (e não percentuais!), e estamos trabalhando com a quarta classe (9.500 a 11.000), de sorte que teríamos o seguinte: 9500 11000

52 74 Observem que essas fac associadas aos limites da classe representam as posições que aqueles limites ocupam no conjunto. Ou seja, com base no desenho acima, diremos que já foram acumuladas 52 posições até o limite 9500. Ou ainda, 52 pessoas têm salário até 9.500 (abaixo de 9.500). E 74 pessoas têm salário até 11.000. Daí, para tornar o desenho completo de fato, temos que ver o que a questão pergunta! Se for fornecido um valor inserido na classe, esse valor ficará na parte de cima do desenho, e encontraremos a fac associada a este valor. É o caso desse exemplo. A questão perguntaria: quantas pessoas ganham abaixo de 10.000? Faríamos: 9500 10000 11000

52 74



6

Interessa-nos os salários abaixo ou acima de R$10.000? Abaixo. Logo, destacaremos esse pedaço da classe que é o de nosso interesse. Assim: 9500 10000 11000

52 74 De resto, faríamos algumas subtrações, para chegarmos aos valores que iriam compor a regra-de-três, da seguinte forma: 1500 (=11000-9500) 500 (=10000-9500) 9500 10000 11000

52 74 X 22 (=74-52) O objetivo agora é descobrir o X do desenho acima. A regra-de-três é feita assim: temos dois valores em azul (1500 e 22). Um em cima e um embaixo. Eles serão numerador e denominador do primeiro traço da regra-de-três. Teremos:

......

......22

1500=

Temos também dois valores em vermelho, referentes apenas à parte da classe que é de nosso interesse (salários abaixo de R$10.000). Há um deles em cima (500) e outro embaixo (X). São os valores que complementarão nossa regra-de-três, que ficará assim:

X500

221500

=

Pronto! Calculando esse X, teremos que ele será justamente a participação da quarta classe no nosso resultado. Teremos:

X=(22x500)/1500 X=22/3 X=7,33 Depois disso, finalmente, restaria compor o resultado, lembrando que as três primeiras classes (como vimos) participam integralmente da resposta, acumulando (as três juntas) 52 elementos e a quarta classe participa com 7,33 elementos, como acabamos de calcular. Daí, nossa resposta seria:

52+7,33=59,33 Resposta!



7

Bem! Esse é o primeiro formato da questão de Interpolação da Ogiva. Existe outro, que é exatamente o apresentado na nossa primeira questão de hoje, a qual passamos a resolver. O que o enunciado está perguntando agora é qual o nível salarial, ou seja, qual o salário não ultrapassado por 79% da população. Em outras palavras: qual é o valor, inserido em alguma das classes da tabela, associada à posição 79%? Percebamos que o enunciado veio nos falar em valores percentuais, de modo que trabalharemos com freqüências relativas acumuladas crescentes (e não com freqüências absolutas)! O que temos que fazer, na verdade, é saber com qual das classes iremos trabalhar para criar a nossa regra-de-três. Para isso, voltemos a olhar para a tabela:


Temos que foram fornecidas duas colunas: a das classes, e a das freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac). Ora, sabemos que a fac termina sempre com o n (número de elementos do conjunto). Daí, concluímos que n=100. Vimos que teremos que trabalhar com freqüências relativas. Ocorre que se n=100 os valores das freqüências absolutas e relativas são os mesmos! Só teremos que acrescentar o sinal de percentual (%) na coluna das relativas. Claro! Daí, teremos:

Classes de Salário Fac (5.000-6.500) 12% (6.500-8.000) 28% (8.000-9.500) 52% (9.500-11.000) 74% (11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

O que pede mesmo a questão? Pede o valor do salário, ou seja, o valor na coluna das classes, que corresponde à Fac de 79%. Fica fácil, olhando para a tabela acima, afirmar que até a quarta classe já se acumularam 74% dos elementos. Não é verdade? Veja:

Classes de Salário Fac (5.000-6.500) 12% (6.500-8.000) 28% (8.000-9.500) 52%

(9.500-11.000) 74% (11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

Mas 74% é pouco! Queremos 79%! Daí, concluímos que teremos que avançar na próxima classe! Todavia, se avançarmos toda a classe seguinte, chegaremos já a 89%. Veja:



8


(9.500-11.000) 74% (11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

Ou seja, avançando toda a quinta classe, passaríamos dos 79% desejados pela questão! Conclusão: o valor salarial questionado pelo enunciado, e que corresponde aos 79% dos elementos do conjunto, está inserido na quinta classe da tabela (11.000 a 12.500). Daí, é com esta classe que trabalharemos para formar nossa regra-de-três. Uma vez que estamos falando em valores percentuais, o desenho que irá nos auxiliar a formar a regra-de-três será o seguinte: linf lsup

Fac Fac (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE)

Substituindo os valores, teremos: 11000 12500

74% 89% Precisamos complementar o desenho! O que conhecemos? O valor salarial (entre os limites da classe) ou o percentual que indica a posição que aquele ocupa? Conhecemos o percentual. E é de 79%. Este valor, portanto, fica na parte de baixo do desenho. Teremos: 11000 12500

74% 79% 89% A quem estamos procurando? Ao limite não ultrapassado por 79%. Portanto, destacando esse pedaço da classe que nos interessa, teremos: 11000 12500

74% 79% 89% Agora resta descobrir os valores que formarão nossa regra-de-três.

Teremos:



9

1500 X 11000 12500

74% 79% 89% 5% 15%

Daí, nossa regra-de-três será a seguinte:

%5%151500 X

= E: X=500

Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à resposta da questão. Teremos: 11.000 + X = 11.000 + 500 = 11.500 Resposta! Esta questão tem um atalho? Sim! E com esse atalho, dispensaremos qualquer cálculo e chegaremos à resposta de imediato! Em que consiste esse atalho? Consiste apenas em olharmos para as opções de resposta! Vamos fazer isso? Aí estão elas: a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, Ora, procuramos pelo valor, dentro das classes, associado a essa freqüência relativa acumulada de 79%. Daí, vejamos a tabela:

Classes de Salário Fac (5.000-6.500) 12% (6.500-8.000) 28% (8.000-9.500) 52% (9.500-11.000) 74% (11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

Primeiro, descobrimos que a resposta terá que ser um valor inserido na quinta classe (11.000 a 12.500).

Logo, poderia a resposta ser a opção a (10.000)? Não, uma vez que essa resposta está fora do intervalo da quinta classe.

A mesma coisa ocorre com a opção b (9.500). Também está fora da quinta classe e, portanto, fora das chances de ser a resposta correta!

E quanto à opção c (12.500)? Ora esse valor 12.500 é justamente o limite superior da quinta classe, ao qual está associada a freqüência 89%.

Senão, vejamos:



10

Classes de Salário Fac

(5.000-6.500) 12% (6.500-8.000) 28% (8.000-9.500) 52% (9.500-11.000) 74%

(11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

Interessam-nos 79%, e não 89%. Logo, esta opção está descartada. No tocante à opção d, teremos que o valor 11.000 é o próprio limite inferior da

quinta classe, associado, portanto, à freqüência 74%. Vejamos na tabela:


(9.500-11.000) 74% (11.000-12.500) 89% (12.500-14.000) 97% (14.000-15.500) 100%

Não queremos 74%, queremos 79%. Resta, pois, descartada esta opção. Ora, se a resposta não pode ser nenhuma das quatro primeiras opções (a, b, c,

d), significa que já sabemos qual será ela! A opção restante! Portanto, letra e, 11.500 Resposta!

Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados:



Freqüências (fi)

Pontos Médios (PM)

diPM=

−5

37


19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

-3 -2 -1 --- 1 2 3

-6 -18 -23 --- 18 24 21

18 36 23 --- 18 48 63

-54 -72 -23 --- 18 96 189

162 144 23 --- 18 192 567

Total n=100 16 206 154 1106

10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos



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Sol.: Essa foi uma das primeiras ocasiões em que a Esaf trabalhou com o conhecimento de variáveis transformadas. Dê uma olhadinha na quarta coluna da tabela acima, logo após a dos Pontos Médios. Que tipo de coluna é essa? Ora, trata-se de uma coluna de transformação da variável original. Antes dela, tínhamos os Pontos Médios referentes à variável original. Até que então tomando esses Pontos Médios originais, fizemos com eles duas operações: subtraímos de 37 e depois dividimos por 5. Com isso, passamos a trabalhar com os chamados Pontos Médios Transformados, que já não mais se referem à variável original, mas a uma variável transformada! Quando a questão já trouxer pronta essa coluna de transformação da variável, então a aceitaremos da forma como foi fornecida. Aqui estamos em busca da Média Aritmética. Já sabemos que faremos uso do método da variável transformada para determinação da Média. Os passos desse procedimento, os quais já são nossos conhecidos, são os seguintes: 1º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios! Já foi feito pelo enunciado! 2º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. Também já foi feito pela questão. Caso não o tivesse sido, faríamos nós esse trabalho. E a título de sugestão, utilizaríamos as seguintes operações para construir essa coluna de transformação:

hPMPM o1−

Ou seja, faríamos: Ponto Médio subtraído do valor do primeiro ponto médio, e tudo isso dividido pela amplitude da classe. Caso a questão não tivesse trazido a coluna de transformação já pronta, a que seria construída por nós seria a seguinte:

522−PM

Uma vez que 22 é o primeiro ponto médio (o da primeira classe) e 5 é a amplitude da classe. Mas tudo bem! A questão já trouxe uma coluna de transformação, de sorte que a aceitaremos de pronto e sem reclamar! Repare que o Ponto Médio Transformado foi chamado pela questão de di. Poderia ser dado qualquer nome a esse ponto médio transformado! Quis a questão chamá-lo di. Tudo bem! 3º Passo) Construir a coluna fi.di e descobrir qual é o somatório desta coluna. Olha que beleza: a questão já fez isso! Trata-se da quinta coluna da tabela, logo após a coluna de transformação da variável. Teremos que ∑fi.di=16. 4º Passo) Calcular a Média da Variável Transformada di , mediante aplicação da fórmula abaixo:

ndifi

di ∑= .

Observemos que o valor do numerador já é nosso conhecido (16). E o n também foi dado da questão (n=100). Daí:

16,010016

==di



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5º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a Média da variável original. Sabemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos que:

diPM=

−5

37

( ) diX=

−5

37 X -37=5x0,16 X =0,8+37

X =37,8 Resposta!

Ou seja, essa questão já veio quase toda pronta! Questão feita para ser resolvida

rapidamente! Próxima! 11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos Sol.: Para cálculo da Mediana, usaremos aquela regra-de-três da qual tratamos na primeira questão de hoje! Os passos para determinação da Mediana são, pois, os seguintes: 1º Passo) Descobrir quem é o n (número de elementos do conjunto) e calcular a fração (n/2). Sabemos que n=100. Logo (n/2)=50. 2º Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). Teremos:


fi fac

19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

2 11 34 63 81 93 100

Total n=100 3º Passo) Comparar o valor da fração (n/2) com os valores da coluna da fac que acabamos de construir. Essa comparação se fará mediante aquela pergunta de praxe que já conhecemos tão bem: “esta fac é maior ou igual a (n/2)?”. Começaremos a pergunta com a fac da primeira classe. Enquanto a resposta for “não”, passaremos para a fac da classe seguinte. Quando a resposta for “sim”, pararemos, procuraremos a classe correspondente e diremos que esta será a classe mediana! Teremos:


fi fac

19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

2 11 34 63 81 93 100

2 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 11 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 34 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 63 é ≥ a 50? SIM! (achamos a

Classe Mediana!)

Total n=100



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4º Passo) Preparar o desenho auxiliar para feitura da regra-de-três. Esse desenho tem por base a classe mediana. Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites dessa classe; na parte de baixo, as freqüências acumuladas associadas a cada um desses limites. Teremos: 34,5 39,5

34 63 E agora qual é o valor que está faltando para complementar o desenho acima? Ora, estamos buscando a Mediana. Logo, o valor que falta é justamente a fração da mediana, ou seja, (n/2), que é igual a 50. Este valor (50) indica que a Mediana ocupa a qüinquagésima posição no conjunto! E as posições dos elementos ficam, no desenho, indicados na parte de baixo! Teremos, portanto, que: 34,5 39,5

34 63 Daí: 5 X 34,5 Md 39,5

34 50 63 16 29 Nossa regra-de-três será, pois, a seguinte:

16295 X= E: X=2,76

Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à Mediana. Teremos: 34,5 + 2,76 = 37,26 Resposta!

Ok? Vamos pensar um pouquinho...! Vejamos que as duas questões acima foram trabalhadas para o mesmo conjunto, no caso, a mesma distribuição de freqüências. Primeiro, encontramos que a Média do conjunto é X =37,8. Depois encontramos que a Mediana é Md=37,26.



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Caso a próxima questão da prova viesse a perguntar acerca da situação de assimetria do conjunto. Ou seja, se quisesse saber se a distribuição é simétrica ou assimétrica à direita (assimetria positiva) ou assimétrica à esquerda (assimetria negativa). Será que já teríamos condição de responder a isso?

Claro que sim! E sem maiores esforços. Só teríamos que nos lembrar do desenho de uma distribuição assimétrica à esquerda, e de uma assimétrica à direita! E daí, uma vez que a Média tem valor maior que a Mediana, o desenho de assimetria para esta situação será o seguinte:

Moda < Mediana < Média Conclusão: esta distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva! Para responder às duas próximas questões, que são facílimas, teremos que estar atentos ao que nos diz o enunciado que se segue: Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos Sol.: Ora, meus amigos! Vamos dar uma breve olhada no texto que havia sobre a tabela das questões anteriores. Vejamos:



Freqüências (fi)

Pontos Médios (PM)

diPM=

−5

37


19,5 !--- 24,5 24,5 !--- 29,5 29,5 !--- 34,5 34,5 !--- 39,5 39,5 !--- 44,5 44,5 !--- 49,5 49,5 !--- 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

-3 -2 -1 --- 1 2 3

-6 -18 -23 --- 18 24 21

18 36 23 --- 18 48 63

-54 -72 -23 --- 18 96 189

162 144 23 --- 18 192 567

Total n=100 16 206 154 1106 Repararam na data? Estávamos em 1º de janeiro de 1990! Naquela data, as idades dos funcionários estava representada na tabela acima. Só que agora, o enunciado propõe que estamos no dia 1º de janeiro de 1996. E diz ainda que o quadro de pessoal da empresa permanece o mesmo, ou seja, nenhum dos funcionários que trabalhava lá em 1990 saiu de lá, e ninguém mais entrou!



15

Pois bem! O que ocorre com a idade de uma pessoa, quando se passam seis anos? Ora, aquela idade será somada a seis, obviamente! Daí, matamos a charada: a nova situação, na data 1º/jan/1996, corresponde a pegarmos todos os elementos do conjunto original (idades em 1º/jan/1990) e a todos eles adicionarmos a constante 6. E o que pede essa questão? Pede justamente o valor da nova média das idades, nesta nova data 1º/jan/1996. Ora, havíamos calculado a Média das idades em 1990. Deu 37,8 anos. E agora? Agora recordaremos a propriedade da média, que reza que se somarmos todos os elementos do conjunto com uma constante, a nova Média será a média original também somada a essa mesma constante. Daí, meramente com o uso desta propriedade, diremos que nova média será: X NOVA = X ORIGINAL + 6 X NOVA = 37,8 + 6 X NOVA = 43,8 Resposta! Questão de resolução imediata, caso nos lembrássemos das propriedades da Média. Só posso dizer que, no estilo de prova da Esaf de hoje, conhecer todas as propriedades é algo imprescindível! 13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos Sol.: Esta questão é um retrato da anterior. Aquela propriedade da soma que usamos para a Média também se aplica, tal e qual, para a Mediana! Sabemos que qualquer distribuição de freqüências pode ser representada por uma curva. É a dita curva de freqüências. Vejamos a curva abaixo, e suponhamos que ela é o retrato de um conjunto: Pois bem! Se somarmos cada elemento do conjunto a uma constante, o efeito disso será um deslocamento na curva. Teremos: Muda, portanto, a posição da curva! Daí, Média, Moda e Mediana, que são Medidas de Posição, serão igualmente influenciadas pela operação de soma! Conclusão: a mesma propriedade da Média da soma (e da subtração) são identicamente válidas para a Moda e para a Mediana. Daí, como havíamos calculado a Mediana das idades para a data 1º de janeiro de 1990 (Md=37,26), em 1º de janeiro de 1996 todas essas idades estarão somadas à constante 6. Logo, pela propriedade, a nova Mediana será a anterior também somada à mesma constante. Teremos:



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MdNOVA = MdORIGINAL + 6 MdNOVA = 37,26 + 6

MdNOVA = 43,26 Resposta!

30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média







Sol.: Esta é das boas! Envolve um teorema de nome complicado, mas de fácil compreensão. É o Teorema de Tchebichev. Quanto ao nome desse sujeito, eu não dou garantia absoluta de estar certa a escrita, mesmo porque já o vi escrito de três formas diferentes em livros por aí...! Mas, tudo bem! O importante é conhecer o Teorema e como ele funciona. O Teorema de Tcheb (vamos chamá-lo assim, já que vamos ter mesmo que ficar íntimos dessa teoria...) trata acerca de uma relação entre a Média ( X ) e o Desvio-Padrão (S) de um conjunto. Aprende-se esse Teorema de uma forma quase que meramente visual. Vejamos o desenho abaixo:

Esta curva é representativa de uma distribuição qualquer. Certo? Daí, suponhamos que a Média esteja aí mais ou menos pelo meio da curva. Teremos: X



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O que a questão vai fazer? Vai fornecer o valor desta Média, e vai fornecer o valor do Desvio-Padrão (S). E vai fornecer dois limites, os quais definirão um intervalo qualquer. Depois disso, a questão vai poder fazer uma destas duas perguntas: 1ª) Qual a proporção máxima de elementos fora deste limite?

ou 2ª) Qual a proporção mínima de elementos dentro deste limite? Vou criar um exemplo, para entendermos melhor. Suponha que eu diga que para um conjunto qualquer, o valor da média é igual a 100 (cem) e o desvio-padrão é igual a 10 (dez). Ok? Daí, eu estabeleço um intervalo, que vai de 70 a 130. E pergunto: qual a proporção máxima de elementos do conjunto que está fora desse intervalo? Desenhando a questão, teremos: 70 100 130 Quem for bom observador já percebeu que esses limites (70 e 130) guardam uma relação entre o valor da média e o desvio-padrão do conjunto. É verdade isso? Claro. Atentem que de 70 a 130 nós temos ( X -3S) a ( X +3S). Uma relação assim será sempre observada. Não necessariamente somando e subtraindo de 3S. Pode ser de 2S, ou de apenas S, ou de 1,5S, ou de 0,5S. Não importa! O que importa é que a distância entre a média e o limite superior desse intervalo será a mesma entre a média e o limite inferior. Chamando essa distância de D, teremos: 70 100 130 D D Até aqui, tudo bem? Pois agora vem a pergunta. E pode ser qualquer uma entre as seguintes:



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1ª) Qual a proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo 70 a 130? Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 70 100 130 Repetindo: qual a proporção máxima dos elementos que estão fora dos limites do intervalo, ou seja, nestas duas áreas destacadas (à esquerda do 70 e à direita do 130)? 2ª) Qual a proporção mínima dos elementos do conjunto dentro do intervalo 70 a 130? Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 70 100 130 Entendido? As perguntas serão sempre assim: proporção máxima fora do intervalo ou proporção mínima dentro do intervalo. E o intervalo, já sabemos, traz uma relação entre a média e uma fração ou um múltiplo do desvio-padrão. Sabendo disso, vamos aprender agora como responder a estas duas possíveis perguntas. Para responder à primeira pergunta, relativa à proporção máxima fora do intervalo, faremos os seguintes passos: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo e a média do conjunto.

Repetindo um desenho já feito, esse valor D será o seguinte:



19

70 100 130 D D

No caso desse exemplo, teríamos D=30. 2º Passo) Calcularemos o valor da fração (D/Desvio-Padrão), a qual chamaremos de K. Ou seja:

K=SD

Com os dados do nosso exemplo, encontraremos que: K=(30/10)=3,0 3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb.

PMÁXIMA= 2

1K

Teremos, pois, que:

PMÁXIMA= 1111,091

31

2 == =11,11%

Ou seja: 11,11% é a proporção máxima dos elementos do conjunto que estão fora daquele intervalo (70 a 130). Uma vez conhecedores da PMÁXIMA fora do intervalo estabelecido, sem maiores problemas chegaremos à pmínima dos elementos dentro do mesmo intervalo. Basta fazer o seguinte: pmínima = 1 – PMÁXIMA Para o mesmo exemplo, teríamos que: pmínima = 1 – PMÁXIMA pmínima=1-0,1111=0,8889=88,89% Passemos, finalmente, à nossa questão do simulado! O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a variância vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se variância é S2, então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância). Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do conjunto que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz “em valor absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos.



20

Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos: M-2S M M+2S Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem da média por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai significar além de 2S. Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão fora do intervalo (M-2S a M+2S). Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção mínima? Máxima, conforme já aprendemos! Seria mínima caso fosse a proporção dos elementos dentro do intervalo. Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo e a média do conjunto. M-2S M M+2S D D Daí, encontramos que a distância D=2S. 2º Passo) Calcular a fração K. Teremos:

K=SD

k=(2S/S) k=2

3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos:

PMÁXIMA= 2

1K

PMÁXIMA=(1/4)=0,25



21

Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que diz a opção a: “Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ” É exatamente o que encontramos! Opção a Resposta! 5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80% Sol.: Estamos diante de um enunciado inequívoco! A questão fala expressamente que trabalharemos com os juros simples exatos! Agora, reparemos no que a questão está pedindo: o valor dos juros como porcentagem do capital. Neste caso, já conhecemos o artifício a ser utilizado: adotaremos o valor 100 (cem) para o capital. Daí, qualquer resultado que encontrarmos para os juros, bastará acrescentarmos o sinal de porcentagem (%) e pronto, já será nossa resposta! Iniciemos pela contagem dos dias, lembrando que nos juros exatos, esta contagem considerará o nosso ano calendário convencional, de 365 dias (ou 366, se for ano bissexto). Os meses nos quais se deu a aplicação foram de fevereiro a abril. Logo, teremos:

meses n˚ de dias

(de acordo com o calendário

convencional) Fevereiro 28

Março 31 Abril 30

Agora, passamos a contar quantos dias de cada um desses foram efetivamente utilizados na operação. Já aprendemos a fazer isso resolvendo questão semelhante (questão 04 da aula 03). Teremos:

Meses n˚ de dias (de acordo com o

calendário convencional)

Dias utilizados na operação

Fevereiro 28 18 (=28-10) Março 31 31 Abril 30 24

Total n=73 dias Dispondo do tempo em dias, resta-nos agora transformar a taxa também para a unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas proporcionais, teremos que:



22

24% ao ano = (24/365)% ao dia

Dividimos por 365, conforme já sabemos, porque estamos trabalhando com os juros exatos! Daí, aplicaremos o esquema ilustrativo para resolução de operações de juros simples. Teremos:

M C (100) (100+i.n)

J


niJC.100

= 73.

36524100

100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=J

8,4

1 J= J=4,8

Daí, finalmente: J = 4,8% Resposta!

14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do empréstimo que utilizou em proveito próprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre Sol.: Esta questão é interessante, embora verse acerca de um assunto não previsto no programa do AFRF, que é o de taxa efetiva de juros. Essa taxa efetiva, embora o nome seja o mesmo, não se confunde com aquela taxa efetiva que é o resultado da transformação de uma taxa nominal. Esse presente tipo de questão vai, em suma, definir um valor inicial, um prazo e um valor final. O valor final, obviamente, será maior que o valor inicial, para que assim se verifique a existência de uma operação de juros. Daí, o enunciado vai perguntar qual foi a taxa desta operação. Tudo o que precisamos fazer é constatar quem serão esses dois valores: o que inicia e o que encerra a operação de juros. E é justamente nesse ponto que a questão tenta dificultar as coisas. Só tenta... senão vejamos:



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É dito sobre uma pessoa que faz um empréstimo de R$10.000 em um banco. Ora, a data de qualquer empréstimo é sempre o dia de hoje (data zero). Diz-se ainda que três meses após, a pessoa terá que devolver o que pegou, acrescido de 15% de juros. Quanto vale 15% de 10.000? Essa é fácil: vale R$1.500,00

Assim, até esse momento, nosso entendimento é o seguinte: vou pegar R$10.000 hoje e, daqui a três meses, vou devolver R$1.500,00 a mais, a título de juros.

Só que a questão não pára por aí... (seria bom demais!) Ela prossegue dizendo que a pessoa não vai poder levar os R$10.000 para casa

hoje. Não! Só vai poder levar 75% do empréstimo. Quanto vale 75% de 10.000? Essa também é fácil: vale R$7.500,00. E por que só vai poder levar R$7.500 para casa? Porque com o restante

(R$2.500) será feita (por força contratual) uma aplicação no próprio banco, a qual renderá, ao final daqueles mesmos três meses, a quantia de R$150,00.

Feita esta análise, constatamos que os valores que realmente estarão no início e no final aplicação serão os seguintes: (7500+1500-150) 7500

Vamos entender esse valor que encerra a operação. Temos que ter em mente que isso é um empréstimo. Esse valor final representa, pois, o quanto terei que devolver ao credor. Daí, 7500 é o quanto levei para casa na data zero; R$1500 é o quanto eu pagarei de juros no trimestre (isso foi dito pelo enunciado!). E quanto ao valor R$150, que está sendo subtraído? Por que está sendo subtraído ao invés de somado? Ora, simplesmente porque é um valor que não terei que devolver. Ao contrário: ele é que me será repassado ao final do trimestre, por conta de uma aplicação que fiz com parte do empréstimo. Daí, funcionará como capital o valor R$7500, e como montante R$8.850. O tempo de aplicação é de três meses (um trimestre), e o regime é o simples! Se conhecemos o valor do montante e do capital, resta que também sabemos o valor dos juros. Basta fazer a diferença. Teremos: J=M-C J=1.350,00. Trabalhando os juros simples com os valores do Capital e dos Juros, teremos que:

niJC.100

= i.1

13501007500

= 7500

1001350xi =

i=18% ao trimestre Resposta!

22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% d) 12,6162% b) 12,6825% e) 12,5508% c) 12,4864%

Sol.: Essa é aquela questão para relaxar... mas sempre com muita atenção, naturalmente! Ela já caiu milhares de vezes em provas passadas e recentes da Esaf, e há sempre uma possibilidade de retornar. Trata-se de um enunciado em que se trabalha, exclusivamente, com os conceitos de taxa.



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O ponto de partida dessa resolução será sempre a taxa nominal. Daí, nosso primeiro trabalho é localizá-la (caso exista!) na leitura. Tem taxa nominal aí? Sim! 12% ao ano com capitalização mensal.

Ora, já sabemos de longa data que a taxa nominal deve sempre ser, de pronto, transformada em taxa efetiva. Sabemos também que essa transformação se faz por meio do conceito de taxas proporcionais e que o tempo da taxa efetiva é sempre o mesmo tempo da capitalização.

Daí, nossa missão é transformar 12% ao ano em uma taxa mensal, mediante o conceito de taxas proporcionais. Teremos:

12% ao ano, c/ capitalização mensal = (12/12) = 1% ao mês (=Taxa Efetiva). Cumprida essa primeira etapa, vamos ver o que pede a questão. Está sendo

solicitada uma taxa de juros anual. O que temos até aqui é uma taxa mensal (1% ao mês). Daí, precisaremos realizar nova conversão da taxa.

Só que agora não mais estamos com uma taxa nominal, e sim efetiva, de sorte que esta segunda alteração se fará por meio do conceito de taxas equivalentes.

Este se traduz pela seguinte fórmula: 1 + I = (1 + i)n. Vamos passar uma taxa ao mês (i) para uma taxa ao ano (I). Quantos meses

cabem em um ano? Doze. Logo, n=12. Lançando os dados na fórmula, teremos: 1+I=(1+0,01)12

Consultando a Tabela Financeira, para determinação do parênteses acima, acharemos que:

1+I=1,126825 Daí:

I=1,126825 – 1 I=0,126825 I=12,6825% ao ano Resposta! Em suma, esse tipo de enunciado será sempre trabalhado da maneira abaixo ilustrada:

Próxima!

Taxa Nominal

Taxa Efetiva

Taxa Efetiva em Outra unidade

Taxas Proporcionais

Taxas Equivalentes



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27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 c) R$ 624,47

Sol.: Essa questão é bem diferente! Ela começa fornecendo elementos de uma operação de desconto simples por fora (comercial). Diz que o valor do desconto por fora é Df=672,00; que o tempo de antecipação é de n=4 meses; e que a taxa da operação é i=3% ao mês (isso é dito na última frase do enunciado). Trabalhemos esta operação de Desconto Simples Comercial, para ver se descobrimos quem é o valor Nominal. Lembrando do esquema ilustrativo para resolução de operações de desconto comercial simples, teremos:

N A (100-i.n) (100)

Df

(i.n)

Daí, teremos que:

niDfN.100

= 43

672100 xN

= Daí: N=67.200/12 N=5.600,00

Agora passemos à segunda parte do enunciado, o qual diz respeito a uma operação de desconto composto racional (por dentro). Já temos os seguintes dados: N=5.600,00 n=4 meses i=3% ao mês (taxa composta!) Dd=?

Ora, sabemos que o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Daí, descobrimos que se calcularmos o valor atual para esta operação, chegaremos ao resultado pretendido, uma vez que já sabemos quem é o valor nominal.

Aplicando a equação do desconto composto racional, teremos que:

N=A.(1 + i)n A=N/(1+i)n A=5.600/(1+0,03)4

Daí: A=5.600/1,125508 A=4.975,53

Mas a questão não quer saber quem é o Valor Atual. Quer, sim, conhecer o valor do desconto. Daí, teremos:

D=N-A D=5.600-4.975,53 D=624,47 Resposta!



26

35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 c) R$ 1.584.000,00 Sol.: É bem fácil a compreensão deste enunciado. Logo na primeira frase, ele começa falando acerca de duas parcelas que têm que ser pagas em datas definidas. Logo em seguida, veio com aquela história de “liseira”, de que “os compromissos não poderiam ser honrados...” e que aquela forma original de pagamento vai ser alterada. Ora, só até aqui, nós já temos elementos suficientes para afirmar: trata-se de uma questão de equivalência de capitais!

Precisamos saber agora se é equivalência simples ou composta! E isso, o que irá nos dizer é o restante da leitura do enunciado. Então foi dito o seguinte: “...considerando...uma taxa de juros compostos...”. Pronto! Sabemos que o regime é o composto, de modo que estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de Capitais. E se é uma questão de Equivalência Composta, sabemos que será resolvida por meio de operações de desconto composto por dentro. Não é assim? É assim!

Percebamos que o enunciado não precisaria ter dito mais nada! Mas disse. Veio então com uma história de que teríamos que trabalhar a questão, utilizando uma tal de convenção exponencial.

Já sabemos que uma questão de juros compostos pode ser resolvida de duas formas: pela convenção exponencial ou pela convenção linear. Estamos lembrados disso? E sabemos que a convenção exponencial consiste na própria aplicação da fórmula fundamental dos juros compostos, qual seja: M=C.(1+i)n.

Ora, dissemos acima que esta nossa presente questão, por ser de Equivalência Composta, será resolvida por operações de desconto composto por dentro! E onde entra aí essa tal de convenção exponencial?

É do nosso conhecimento que operações de juros compostos e de desconto composto por dentro são operações correspondentes! Se compararmos as fórmulas de ambas, veremos que se trata, a rigor, da mesma fórmula. Vejamos:

M=C.(1+i)n (Juros Compostos) N=A.(1+i)n (Desconto Composto)

Dito isto, passemos aos passos preliminares de nossa resolução de equivalência composta. Teremos:

# Passos Preliminares de Resolução:

Primeiro Passo: “Desenhar” a questão!

Para esse enunciado, teremos: X 600.000, 500.000,

0 1a 2,5a



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Segundo Passo: Definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigação, designando-os, respectivamente, por (I) e (II). Teremos que:

X 600.000, 500.000,

0 1a 2,5a (I) (I) (II)

Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos na mesma unidade. Este passo já veio feito! A taxa fornecida é anual e os tempos também já estão nesta mesma unidade! Adiante!

Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Desconto! Isso tudo já foi descoberto! Já sabemos que a Equivalência aqui é a composta, de modo que trabalharemos com o desconto composto por dentro!

Quinto Passo: Definir a localização da Data Focal. Qualquer uma serve? Sim, qualquer uma! Só que haverá uma delas que nos será mais conveniente. Neste caso, por dois motivos, seria bem interessante escolhermos a data focal 2,5 anos. Primeiro motivo: é a data do valor X, que pretendemos encontrar; segundo motivo: é a data mais à direita do nosso desenho, de modo que estaremos fugindo das divisões!

Então,nosso desenho completo da questão será o seguinte: X 600.000, 500.000, 0 1a 2,5a

(I) (I) (II) (DF)

Passemos à resolução efetiva!



28

# Passos Efetivos de Resolução da Equivalência Composta:

Primeiro Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Primeira Obrigação!

Comecemos com a parcela de 500.000, que se encontra na data zero. Teremos o seguinte:

E 500.000,

0 2,5a (I) (DF)

E=500000.(1+0,20)2,5

Percebamos, de antemão, que aplicando a fórmula acima, estaremos obedecendo à ordem do enunciado, de trabalhar a questão utilizando a convenção exponencial, uma vez que esta equação do desconto composto por dentro corresponde à fórmula fundamental dos juros compostos! Ocorre que aqui nos deparamos com um problema! Reparemos bem nesse parêntese famoso. Repararam? Quanto é o valor do expoente? Ora, é um valor “quebrado”: 2,5. Existe tabela financeira para encontrarmos parêntese famoso com expoente que não seja inteiro? Não! E calculadora? Tem calculadora na hora da prova? Também não! E aí? O que faremos agora? Resta uma saída! Uma vez que descobrimos que o enunciado nos pede uma solução que não há como ser trabalhada, pensaremos na outra maneira que existe para fazermos uma operação de juros compostos! Qual é? Pela convenção linear! Então é isso que faremos! Trabalharemos essa operação de juros compostos acima, pela convenção linear! Se bem estamos recordados, a convenção linear se resolve em dois passos. No primeiro passo, aplicando os juros compostos e usando apenas a parte inteira do tempo. Teremos: 1º Passo da Convenção Linear:

M=500000.(1+0,20)2 M=500000.(1+0,20)2 M=500000x1,44

E: M=720.000,00

No segundo passo da convenção linear, quem era montante passará a ser capital. E aplicaremos agora os juros simples, trabalhando apenas com a segunda parte do tempo, aquela que ainda não foi utilizada!

Nossos dados para esse segundo passo serão: C=720.000,00 i=20% ao ano (juros simples) n=0,5 ano M=?



29

Como já temos taxa e tempo na mesma unidade, aplicando a equação dos juros simples para Capital e Montante, teremos que:

niMC

.100100 += Daí:

5,020100100720000

xM+

=

E: 10100

7200+

=M

Daí: M=7200x110 E: M=792.000,00

Este Montante M é o nosso valor E. Ou seja: E=792.000,00 Dando seqüência à nossa resolução de Equivalência Composta, ainda dentro do

primeiro passo, trabalharemos agora com a parcela de R$600.000,00, na data 1 ano. Teremos: F 600.000,

1a 2,5a (I) (DF)

F=600000.(1+0,20)1,5

Novamente aqui encontramos um parêntese famoso com expoente quebrado! E mais uma vez nos vemos impossibilitados de encontrar o valor do F de pronto, uma vez que não encontraremos auxílio na Tabela Financeira, e nem dispomos de calculadora.

Conclusão: não teremos, de novo, como calcular o F pela convenção exponencial. Teremos que recorrer à convenção linear!

No primeiro passo da convenção linear, faremos:

M=600000.(1+0,20)1 M=600000.(1+0,20)1 M=600000x1,20

E: M=720.000,00 No segundo passo da convenção linear, montante vira capital, e faremos uma aplicação de juros simples, usando apenas a parte remanescente do tempo, aquela parte que ainda não foi utilizada. Nossos dados para esse segundo passo são os seguintes: C=720.000,00 i=0,20% ao ano (juros simples) n=0,5 ano M=? Se repararmos bem, esses dados acima são exatamente os mesmos dados do segundo passo da convenção linear que havíamos feito para a outra parcela (a de R$500.000,00). Ou seja, sopa no mel! Nem sequer vamos perder tempo fazendo essas contas deste segundo passo, uma vez que já sabemos que o Montante será o seguinte:



30

M=792.000,00. Este montante corresponde exatamente ao valor F. Daí, encontramos que:

F=792.000,00 Com isso, terminamos o nosso primeiro passo da questão de Equivalência Composta. Passemos ao segundo passo:

Segundo Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Segunda Obrigação! Ora, esse passo já está pronto! Ou seja, o valor de X, que é a única parcela da segunda obrigação, está localizada exatamente sobre a data focal, não tendo necessidade de ser transportada para lugar nenhum! Concluindo: o valor do X na data focal é ele próprio!

Terceiro Passo: Aplicar a Equação de Equivalência! Chegada a hora dos finalmentes, aplicaremos a equação de equivalência.


Daí, teremos:

792.000+792.000=X Daí: X=1.584.000,00

Mas ATENÇÃO agora! Quando se pensa que já terminou a questão – mesmo porque após ter feito tudo isso encontrou-se uma das opções de resposta (a opção C) – vem a grande “casca de banana”.

Percebamos que o enunciado nos pediu para calcular aquele valor X, só que trabalhando as operações pela convenção exponencial, e nós encontramos o X utilizando operações de convenção linear. Logo, a resposta que encontramos acima (R$1.584.000,00) não é a resposta certa!

Daí, vamos ter que nos lembrar do que aprendemos sobre os resultados encontrados, numa mesma operação, pelo método da convenção linear e pelo da convenção exponencial. E a regra é a seguinte: para uma mesma operação de juros compostos, o resultado encontrado pela convenção linear é ligeiramente maior que o resultado encontrado pela convenção exponencial!

Como achamos, pela convenção linear, o resultado final R$1.584.000,00, resta que o resultado final pela convenção exponencial será ligeiramente menor que R$1.584.000,00.

Procurando entre as opções de resposta, aquela que satisfaz essa nossa conclusão é justamente a opção B) R$1.577.440,00.

Daí: X=1.577.440,00 Resposta da Questão!



31

44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 c) R$ 151.342,00

Sol.: Uma questão muito bonita! E fácil também! Existe uma situação original: um valor inicial, que será financiado (leia-se: pago em parcelas). O enunciado diz que serão vinte prestações semestrais e de mesmo valor, que irão formar uma anuidade postecipada!

Vamos por partes: quando a questão falar em anuidade, iremos traduzir que essas parcelas tanto podem fazer parte de uma operação de Rendas Certas, quanto de uma de Amortização. Em suma: se o enunciado trouxer essa palavra anuidade, já saberemos automaticamente que estamos no Regime Composto! Nem precisa ser dito isso expressamente!

Ok? Anuidade = Regime Composto!

E essa outra palavra: postecipada? O que significa isso? Quando estivermos diante de uma série de parcelas, e o enunciado disser que se trata de aplicações postecipadas, estará apenas informando que a primeira dessas parcelas será desenhada no final do primeiro período! Só isso!

Portanto, se são parcelas mensais e postecipadas, a primeira parcela estará ao final do primeiro mês; se são parcelas trimestrais e postecipadas, a primeira parcela estará ao final do primeiro trimestre; se são parcelas semestrais (como é o nosso caso nessa questão!) e postecipadas, a primeira parcela estará ao final do primeiro semestre! E assim por diante.

Contrapondo-se à palavra postecipada haverá uma outra palavra chave: antecipada! Então, se estivermos numa situação em que há várias parcelas de mesmo valor, e o enunciado disser que se trata de aplicações antecipadas, estará com isso dizendo que a primeira parcela deverá ser desenhada no início do primeiro período!

Ou seja, se forem parcelas mensais e antecipadas, a primeira parcela estará no início do primeiro mês; se forem parcelas bimestrais e antecipadas, a primeira parcela surgirá no início do primeiro bimestre; e assim por diante!

Entendido? Essas palavras – Antecipada e Postecipada – irão apenas nos informar onde estará localizada a primeira parcela da série, de modo que:

Parcelas Antecipadas: primeira parcela no início do primeiro período;

Parcelas Postecipadas: primeira parcela ao final do primeiro período.

E se forem parcelas diferidas? O que significa esse nome? Significa que as parcelas nem são antecipadas e nem são postecipadas! Ou seja, no caso de as parcelas serem diferidas, teremos a situação em que a primeira parcela estará localizada em data posterior ao primeiro período. Leia-se: a primeira parcela estará do segundo período em diante, conforme disponha o enunciado.

São importantes essas palavras que aprendemos acima? Sim, naturalmente! E por um único motivo: por meio delas, saberemos como desenhar a questão da forma correta. E se desenharmos corretamente, então não há como errarmos! Voltemos ao nosso enunciado.



32

A situação original é essa: são vinte parcelas semestrais e postecipadas, no valor de R$200.000 cada uma. Desenhemos:

X

200.000 200.000 200.000 200.000

Esta é a situação original. Reparemos que as parcelas são postecipadas, conforme nos disse o enunciado! Ocorre que logo após expor a situação original, passa-se a falar em uma mudança. E esta ocorrerá, conforme visto na leitura, “imediatamente após o pagamento da décima prestação”.

Ora, quantas prestações foram pagas antes que houvesse a mudança? Foram pagas dez prestações! Certo? Pois bem! Se foram pagas dez prestações, quantas faltariam ainda serem pagas, tendo por base a nossa situação original? Quantas? Dez, naturalmente! Se eram vinte parcelas, e já pagamos dez, restam dez a serem pagas! Vamos, portanto, redesenhar a questão, para saber exatamente o valor que resta ainda ser pago. Teremos:

200.000 200.000

Pronto! São essas dez últimas prestações que restam ser pagas! Mas o quanto elas representam? Qual é o total que corresponde a essas dez prestações? Para responder a isso, teremos que fazer uma operação de Amortização. Teremos:

T

200.000 200.000

Teremos que:

T=P.An¬i T=200000 . A10¬15%

Observemos que nesta situação original (antes da mudança), o valor da taxa da operação era de 15% ao semestre! Com o auxílio da Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que:

Daí: T=200000 x 5,018768 T=1.003.753,60

Ou seja, esse valor que acabamos de achar representa justamente o quanto ainda teria que ser pago, se fosse mantida aquela situação original.

Ocorre que houve mudanças! Quais:



33

1ª) O número restante de parcelas foi ampliado: em vez de pagar somente mais dez parcelas, pagaremos quinze!

2ª) O valor da taxa da operação passou de 15% agora para 12% ao semestre!

Ou seja, um aumento no número de parcelas e uma redução na taxa. Tomando por base a nossa nova situação, desenhemos mais uma vez a questão. Teremos:

1.003.753,60

P P P P P P P P P P P P P P P

Nossos dados nessa nova situação são os seguintes:

T=1.003.753,60 (valor que será amortizado)

n=15 (número de parcelas)

i=12% ao semestre (taxa reduzida pela negociação!)

P=?

Aplicando diretamente a fórmula da Amortização, teremos o seguinte:

T=P.An¬i 1.003.753,60=P . A15¬12%

Daí: P=1.003.753,60/ A15¬12%

Novamente usando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que:

Daí: P=1.003.753,60/ 6,810864

E: P=147.375, Resposta!

É isso!

Antes de me despedir, quero dizer que sei que estou devendo algumas respostas no fórum. São somente algumas poucas, mas irei respondê-las nos próximos dias. Ok?

Espero, sinceramente, que vocês estejam usufruindo bem destas nossas aulas! Acredito, honestamente, que o reflexo delas será sentido na hora do vamos ver,

lá na frente da prova! Fico por aqui. Vou para perto da Clarinha. Fiquem com Deus e até a próxima!



1

AULA 05

Olá, amigos! Sem mais delongas, seguem as questões do simulado de hoje! Marque o tempo e comece a resolver.

Q U E S T Õ E S

5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. a) 65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70%

32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100


168071


classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30



2

41. (AFTN-94) Indique a opção correta: a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que

o coeficiente de curtose. b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no

intervalo [-3, 3]. c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o

quadrado da variância da distribuição. d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo.



A1 12 13 14 58 81 109 A2 20 25 27 84 120 164

52. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7 c) 100,0; 141,8; 193,1 53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 c) 100,0; 141,8; 192,7 56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento desejado? a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6%

6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 c) R$ 3.996,00

11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é:



3

a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4%

24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4%

30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 c) $ 2.333,33

38. (FTM-FORTALEZA-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. a) R$ 4.410,00 d) R$ 5.872,00 b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00 c) R$ 5.282,00

45. (AFRF-2002/1) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de fevereiro. a) R$ 36.000,00 d) R$ 41.132,00 b) R$ 38.449,00 e) R$ 44.074,00 c) R$ 40.000,00


5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.



4

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70% Sol.: Ô beleza... é o tipo da questão que já não tem mais nenhum segredo para nós! Antes de mais nada, vamos descobrir qual foi esta coluna de freqüências fornecida na tabela. Diz o enunciado que se trata do “percentual da freqüência acumulada”. Ou seja, já disse tudo: estamos diante da coluna da freqüência relativa acumulada crescente – Fac. Daí, caso queiramos, podemos reescrever a tabela com a nomenclatura de nosso costume. Teremos:

Classes Fac 4 – 8 20% 8 – 12 60% 12 – 16 80% 16 – 20 98% 20 – 24 100%

Agora a pergunta da questão: qual o percentual de indivíduos desse conjunto que ganham abaixo de 14 salários mínimos? Essa nós vamos matar no olho, seguindo direto pelo atalho! Vejamos que 14 salários mínimos é um valor inserido na terceira classe. Para ser mais preciso, é exatamente o ponto médio da terceira classe, dividindo-a ao meio! Observemos ainda que, até a classe anterior (8 a 12 salários mínimos), já havíamos acumulado 60% dos indivíduos do conjunto! E avançando a terceira classe (12 a 16 salários mínimos), chegamos a acumular 80% dos indivíduos. Ou seja, participam desta terceira classe 20% dos elementos do conjunto (20%=80%-60%). Daí, pensaremos que, se a classe inteira (12 a 16) contém 20% dos indivíduos, resta que metade da classe (12 a 14) contém a metade de 20%, que é 10%. Com isso, descobrimos que a participação da terceira classe na resposta é de 10%. Como até a classe anterior já tínhamos acumulado 60% dos elementos, somando mais 10% da terceira classe chegaremos à resposta: 60% + 10% = 70% Resposta! Alguém vai dizer: professor, e se eu não estiver em um bom dia na hora de fazer a prova, e não estiver enxergando atalho coisa nenhuma? Como é que eu faria do jeito convencional? Pela regra-de-três que já aprendemos a fazer! Primeiro teríamos que descobrir que a classe que participa apenas parcialmente do resultado é a terceira classe. Isso não é lá tão difícil (ao contrário!), uma vez que 14 salários mínimos é um valor inserido naquela terceira classe. Daí, faríamos o desenho que nos ajudará a compor a regra-de-três, que é o seguinte:



5

4 (=16-12) 2 (=14-12) 12 14 16

60% 80% X 20% (=80%-60%) Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos:

X2

%204

=

E, finalmente:

X=(20%x2)/4 X=40%/4 X=10% Estes 10% correspondem à participação da terceira classe no resultado! Somando, pois, os 10% desta terceira classe aos 60% acumulados nas duas primeiras classes, chegamos aos 70% Resposta! 32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100


168071


classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 Sol.: Essa questão é das boas! Envolve uma transformação da variável original. Esta transformação foi fornecida pelo próprio enunciado, e está expressa pela seguinte conta: Z=(X-140)/10.



6

A variável original é a Xi, e está sendo transformada na Zi por meio de duas operações: uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10. Pois bem! O que nos pede a questão? Que encontremos a variância amostral. Reparemos que quando se trata de variância, faz toda diferença se estamos trabalhando com uma amostra ou com uma população! Caso estejamos calculando a variância de um conjunto que representa a população, então as fórmulas que poderemos usar são as duas seguintes:

n

fiXPMS ∑ −

=.)( 2

2 ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑ n

PMfiPMfi

nS

222 .

..1

Agora, caso estivéssemos trabalhando com um conjunto que representasse uma amostra, então as fórmulas acima receberiam um fator de correção, que consiste no acréscimo de “menos um” no denominador. Trata-se do fator de correção de Bessel. Nossas fórmulas para cálculo da variância amostral, portanto, são as seguintes:

1

.)( 22

−

−= ∑

nfiXPM

S ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

PMfiPMfi

nS

222 .

..1

1

Como a questão nos pede a variância amostral, lançaremos mão do uso de uma das duas fórmulas acima. Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar ao mesmo resultado, porém haverá sempre uma que será mais conveniente para nossa resolução, de acordo com os dados adicionais fornecidos pelo enunciado!

Neste caso, o dado adicional foi o seguinte: 168071

2 =∑ =i ii fZ

Onde Zi é o ponto médio transformado, ou seja, o ponto médio da variável Z. Dica: sempre que a questão trouxer em seu enunciado uma transformação da variável, é interessante que nós façamos de pronto um desenho que a represente. Trata-se do desenho de transformação da variável. Teremos: 1ª)-140 2ª)÷10

X Z 2ª)+140 1ª)x10 Observemos que as operações do caminho de cima nos conduzem da variável original X para a variável transformada Z. E as operações que realizam esse trabalho (em azul) são aquelas presentes no próprio enunciado da questão (X-140/10). Já o caminho de baixo (a volta) é aquele que nos faz retornar à variável original X, partindo da variável transformada Z. As operações que formam esse caminho são as inversas das do caminho de cima. Onde havia subtração, agora há soma; divisão, agora há um produto! Atentem para o fato de que também a seqüência das operações do caminho de cima são invertidas: onde acaba lá em cima, começa aqui em baixo! Viram?



7

Pois bem! Por que fizemos esse desenho? Porque, via de regra, quando a questão nos fornece uma transformação da variável (nosso caso), ela irá nos dar subsídios para calcularmos alguma coisa (média, desvio-padrão, variância etc) referente à variável transformada! Daí, calcularemos essa medida estatística para a transformada, e depois, seguindo o caminho de baixo, e lembrando-nos das propriedades daquela medida, retornaremos para o lado da variável original e chegaremos à resposta da questão! É exatamente o que vai ocorrer aqui.

Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 168071

2 =∑ =i ii fZ

Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas:

1

.)( 22

−

−= ∑

nfiXPM

S ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

PMfiPMfi

nS

222 .

..1

1

Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a fórmula desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto Médio) por Zi (que é o ponto médio da variável Z), e teremos:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

ZifiZifi

nS

222 .

..1

1

Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual a 1680. Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme dito na segunda linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑

200.

1680.1200

12

2 ZifiS

Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do colchete, ou seja, o valor de (∑fi.Zi)2. Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%) representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa acumulada crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi) e depois a da freqüência absoluta simples (fi). Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é imprescindível para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho será o seguinte:

Classes Fac Fi Fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

n=200



8

Do que precisamos mesmo? Da parcela (∑fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa conhecida! Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e que este Xi representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo construir a coluna do Xi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140 150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200

n=200 Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

10140Xi

70-90 5% 5% 10 80 -6 90-110 15% 10% 20 100 -4 110-130 40% 25% 50 120 -2 130-150 70% 30% 60 140 0 150-170 85% 15% 30 160 2 170-190 95% 10% 20 180 4 190-210 100% 5% 10 200 6

n=200 Voltemos agora para nosso objetivo: (∑fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna (fi.Zi), e somar seus valores. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

10140Xi

fi.Zi

70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 130-150 70% 30% 60 140 0 0 150-170 85% 15% 30 160 2 60 170-190 95% 10% 20 180 4 80 190-210 100% 5% 10 200 6 60

n=200 (∑fi.Zi)=-40 Quase lá! O que queremos? (∑fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só precisamos completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑

200.

1680.1200

12

2 ZifiSz ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

20016001680.

19912Sz

19916722 =Sz

E: SZ

2=8,4020



9

Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O que encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é a variância da variável original. É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável. O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos: 1ª)-140 2ª)÷10 X Z Sz

2=8,4020 2ª)+140 1ª)x10 Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos que percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância. Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a variância pelo quadrado da constante! Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, então faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100 (cem). Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda operação (soma com 140) não será realizada! Teremos: 1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20 2ª operação) Não realizaremos! Daí: Variância da Variável Original = Sx

2=840,20 Resposta! 41. (AFTN-94) Indique a opção correta:

a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que o coeficiente de curtose.

b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no intervalo [-3, 3].

c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o quadrado da variância da distribuição.

d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão.

e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. Sol.: Questão teórica! Analisemos item por item. Item a) Falso! E a razão é bem simples: não há qualquer relação entre a situação de assimetria e a situação de curtose de um conjunto. Só isso! Item b) Falso! Aqui o elaborador talvez tenha tentado provocar alguma confusão nos candidatos, com esse valor 3. Sabemos que a assimetria pode ser negativa ou positiva, mas não há essa limitação entre -3 e 3. Ok? Item c) Falso! Traduzindo o que este item afirma: C=3[(S2)2]=3.S4



10

Totalmente equivocado. Sabemos que a Curtose de um conjunto pode ser calculada por dois métodos: Coeficiente Percentílico de Curtose: C=[Q3-Q1]/[2(D9-D1)] Coeficiente Momento de Curtose: C=m4/S4

Item d) Correto! Quando estivermos trabalhando com o Coeficiente Momento de Curtose, o valor de referência para a Distribuição Mesocúrtica, ou de Curtose intermediária, é exatamente 3. E essa distribuição mesocúrtica é dita curva normal. Item e) Falso! Mesmo comentário do item a. Não há relação entre relação entre assimetria e curtose.



A1 12 13 14 58 81 109 A2 20 25 27 84 120 164

52. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7 c) 100,0; 141,8; 193,1 Sol.: Já falamos bem acerca destes índices de Paasche e de Laspeyres na nossa aula primeira. Estamos lembrados? O que faremos aqui é aplicar diretamente a fórmula do índice solicitado, e este foi o de Preços de Laspeyres! Aqui, quem for bom observador já reparou que só aplicaremos a fórmula uma única vez! Claro! Para o ano de 1995, em relação ao ano de 1993 (que é o base!). Por que isso? Porque os cinco valores, nas cinco opções de resposta, são todos diferentes: 192,5; 192,8; 193,1; 193,3; 193,7. Daí, teremos:

( ) ( )( ) ( ) 931,1

23764588

208412582016412109

.

.==

++

==∑∑

xxxx

qpqp

Laoo

on

Multiplicando esse resultado por 100, chegaremos à resposta!

Portanto: La=193,1 Item C Resposta!

53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 c) 100,0; 141,8; 192,7 Sol.: Nesta questão, da mesma forma que na anterior, só precisaremos aplicar a fórmula do índice uma única vez! Basta olharmos com cuidado para as opções de resposta e veremos que os segundos valores de cada opção são todos distintos.



11

Os terceiros valores também! Daí, podemos escolher, entre fazer o cálculo do ano 94 em relação a 93, ou do ano 95 em relação a 93. Fica a gosto do freguês! Aplicaremos aqui o preço de Paasche de 1994 em relação a 1993. Teremos:

( ) ( )( ) ( ) 420,1

28544053

25841358251201381

.

.==

++

==∑∑

xxxx

qpqp

Pano

nn

Multiplicando este valor por 100, chegaremos à resposta!

Daí: 1,42x100=142,0 Pa=142,0 Item D Resposta!

56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento desejado? a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6% Sol.: Uma questãozinha que se resolve só pela álgebra! Só precisamos saber que faturamento é quantidade vezes preço! Ou seja:

Faturamento = Quantidade x Preço

Como o enunciado vem falar em aumentos percentuais, um ótimo artifício seria estabelecer os valores inicias de preço e quantidade como sendo iguais a 100. Daí, teríamos:

10.000 (faturamento) = 100 (quantidade) x 100 (preço) Daí, a questão quer aumentar o faturamento em 60% e a quantidade em 20%. Teríamos, portanto:

16.000 (fat.) = 120 (q) x preço

Daí: preço = 16.000 / 120 E: preço=133,3 Ora, se partimos de um preço igual a 100, e passamos a 133,3 , concluímos que o aumento foi apenas dessa diferença. Ou seja: Aumento do preço = 133,3 – 100 = 33,3 E como o valor de referência é igual a 100, podemos colocar o sinal de % no resultado. Teremos: Aumento do preço = 33,3% Resposta!



12

6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 c) R$ 3.996,00 Sol.: Aqui temos que estar atentos aos conceitos. Eu próprio já mudei de opinião algumas vezes, tendo em vista as diferentes orientações de alguns autores. Todavia, no final das contas, convenci-me de que para a Esaf, juros simples ordinários são a mesma coisa que juros simples comerciais. Ou seja, aquele que considera que todos os meses do ano têm 30 dias e, portanto, o ano inteiro tem 360 dias. A idéia que se contrapõe à de Juros comerciais ou ordinários é a de juros exatos. Este, por sua vez, considera o ano convencional, tal qual está nos calendários, com 365 dias, ou 366, caso bissexto. Daí, se este enunciado fala em juros simples ordinários, estamos diante de uma questão convencional e corriqueira de juros simples! Vamos passar à contagem dos dias, para sabermos quanto tempo durou esta operação. O início de tudo se deu no dia 5 de maio, e terminou em 25 de novembro do mesmo ano. Daí, do dia 5 de maio ao dia 5 de junho, terá se passado um mês; até o dia 5 de julho, dois meses; até o dia 5 de agosto, três meses; até 5 de setembro, quatro meses; até 5 de outubro, cinco meses; até 5 de novembro, seis meses. Daí, estamos agora no dia 5 de novembro. Até chegarmos ao dia 25 de novembro, teremos que avançar mais vinte dias (25-5=20). Em suma: nossa operação durará precisamente 6 meses e 20 dias. Anotando os dados da questão, teremos: C=? n=6m20d i=36% ao ano M=4.800,00 Precisamos, antes de aplicarmos a equação, colocar taxa e tempo na mesma unidade. Neste caso, será conveniente para nós trabalharmos na unidade diária! Trabalharemos com tudo em dias! Teremos, portanto, que: i=(36/360)% ao dia=(1/10)% a.d. n=200 dias Agora, sim! A fórmula que usaremos é extraída do esquema ilustrativo dos Juros Simples. Relembrando:

M C (100) (100+i.n)

J




13

niMC

.100100 +=

200.101100

4800100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=C

120

480000=C C=4.000,00 Resposta!

11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4%

Sol.: Essa questão trata de desconto simples. Está dito que o valor de face de um título é de R$150,00. Nenhuma dúvida: valor de face é o mesmo que valor nominal. E este título vence daqui a três meses. Ou seja, daqui a três meses ele valerá aqueles R$150,00. O que houve de novo aqui é que o banco em que vamos descontar a duplicata faz uma retenção de 15% do valor nominal. Calculemos logo essa quantia: (15/100)x150,00=R$22,50. Esse valor (R$22,50) não será recebido por nós. Não integrará o valor líquido que receberemos pelo título. Ficará retido, conforme nos diz o enunciado. A questão diz ainda que receberemos líquido, hoje, a quantia de R$105,00.

Ora, o valor de face do título (o valor nominal) vai ser reduzido nesta operação de duas formas: 1ª) por meio do desconto por fora; e 2ª) pela retenção dos R$22,50. Se está sendo perguntado o valor da taxa da operação de desconto por fora, então teremos que desconsiderar aquela retenção de R$22,50, e trabalhar apenas com a primeira forma de redução do valor nominal. E para fazermos isso, teremos que somar o valor líquido (R$105,00) com o valor retido de R$22,50. Teremos: 105+22,50=R$127,50. Pronto! Esse será nosso valor atual. Daí, já temos como descobrir o valor da taxa da operação de desconto! Teremos o seguinte: N=150,00 A=127,50 n=3m i=? 127,50 150,00 100-i.n 100 0 3m

Daí: i.3100

50,127100150

−= 150.(100-3i)=127,50x100 15000-450i=12750

E: 450.i=2250 i=5% ao mês Resposta!



14

24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4%

Sol.: O enunciado nos fala em juros compostos com capitalização trimestral. Ou seja, fala-nos em uma taxa nominal. Não trabalhamos as contas com taxas nominais. Disso já sabemos! Trabalhamos, sim, com taxas efetivas. Daí, considerando que o período da capitalização é o trimestre, concluímos que nossa taxa efetiva será também trimestral. Temos que descobrir qual é o seu valor. Aplicaremos a fórmula fundamental dos juros compostos. Teremos: M=C.(1+i)n Para lançar os valores na equação acima, temos que ter taxa e tempo na mesma unidade (exigência universal da matemática financeira!) Daí, como a taxa que buscamos agora é trimestral, teremos que trabalhar com o tempo também em trimestres. Ficou fácil dizer que 1 ano = 4 trimestres. Daí, teremos: M=C.(1+i)n 60.775,31=50.000x(1+i)4 E: (1+i)4= (60.775,31/50.000) (1+i)4= 1,2155062 Consultando a Tabela Financeira do parênteses famoso, encontraremos diretamente o valor da taxa trimestral. Teremos:


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

A taxa que encontramos foi de 5%.

Agora reparemos na maldade da elaboradora. Qual é a primeira opção de resposta? É exatamente 5%. Mas esta não é resposta que queremos! Claro que não. 5% ao trimestre, a taxa que encontramos, é uma taxa efetiva. A questão pediu uma taxa nominal anual. Aprendemos que para transformar uma taxa nominal em efetiva (ou vice-versa), usaremos o conceito de taxas proporcionais. Daí, diremos que: 5% a.t. = (5x4) = 20% ao ano Resposta!

in



15

30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 c) $ 2.333,33 Sol.: Questão de equivalência de capitais! Há duas parcelas, nas datas 13 e 14 meses, que serão substituídas por uma única, na data 15 meses. Só isso! É preciso que a nova parcela (em 15 meses) seja equivalente às outras duas (13 e 14 meses). O enunciado nos informa que a taxa da operação é de juros compostos, capitalizados mensalmente. Assim, estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de Capitais! Desenhando a questão, teremos: X 1000 1000 13m 14m 15m Obedecendo aos passos necessários para resolver uma questão de equivalência, escolheremos como data focal a data 15 meses. Daí, todos os demais passos preliminares já foram realizados. Sabendo que a questão é de equivalência composta, as operações que efetuaremos serão de desconto composto por dentro (que equivalem às de juros compostos, caso estejamos transportando valores para uma data futura!). O que temos que fazer agora é justamente isso: transportar para a data focal as duas parcelas de R$1000. Teremos: E=1000.(1+0,04)2 E=1000x1,0816 E=1.081,60 F=1000.(1+0,04)1 F=1000x1,04 F=1.040,00 O segundo passo efetivo da nossa resolução seria transportar para a data focal os valores da segunda obrigação. Ora, só temos aqui a parcela X, a qual já se encontra sobre a data focal. Ou seja, o segundo passo já está feito! O arremate de toda questão de equivalência de capitais é o terceiro passo, que consiste em aplicarmos a equação de equivalência. Teremos: ∑(I)DF = ∑(II)DF 1.081,60 + 1.040,00 = X X=2.121, Resposta!



16

38. (FTM-FORTALEZA-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. a) R$ 4.410,00 d) R$ 5.872,00 b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00 c) R$ 5.282,00 Sol.: Esta questão requer um pouco da nossa atenção, embora não seja difícil. A situação é a seguinte: eu tenho 24 prestações mensais para pagar. Cada uma no valor de R$590,00. Em dado momento, desejo fazer um pagamento para quitar o restante que tenho ainda a pagar! Só isso! O que a questão pergunta? Qual é essa quantia que ainda falta ser paga na data da quitação. Ora, estamos pagando um financiamento, com parcelas de mesmo valor e mesma periodicidade (mensais). Estas parcelas estão servindo para amortizarmos um valor anterior! A questão é de Amortização! A única coisa que precisamos saber é o exato número de parcelas que restam ser pagas, naquele momento em que eu pretendo liquidar a dívida! Quantas? Doze! Por que doze, e não treze? Porque o enunciado disse que não devemos contar a prestação de vence no dia da décima segunda prestação. Ou seja, é como se a décima segunda prestação já tivesse sido paga! Temos que pagar da décima terceira à vigésima quarta. É só contar: são doze parcelas. Qual o valor de cada parcela? R$590,00. Só nos resta aplicar a fórmula da Amortização, de maneira direta, e chegaremos ao saldo ainda devido. Teremos: T=P.An¬i T=590.A12¬3% Pela Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: A12¬3%=9,954004 Daí, teremos: T=590.A13¬3% T=590x9,954004 T=5.872,00 Resposta!

45. (AFRF-2002/1) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de fevereiro. a) R$ 36.000,00 d) R$ 41.132,00 b) R$ 38.449,00 e) R$ 44.074,00 c) R$ 40.000,00

Sol.: Nesta questão, o período total de aplicação é de 18 meses. Segundo a leitura do enunciado, esse período total será dividido em três partes de seis meses cada. A divisão da linha do tempo, portanto, será a seguinte:



17

Aqui, a taxa da operação é de juros compostos. Existem três grupos de parcelas, nos valores de R$1000, R$2000 e R$3000. E além disso, todas as aplicações serão feitas ao início de cada mês, a começar pelo mês de setembro, conforme dispõe o próprio enunciado. Sabendo disso tudo, o desenho final de nossa questão será o seguinte:

X

1000,

2000,

3000,

Usando o artifício de dividir as parcelas em níveis, fazendo três tracejados (uma vez que são três grupos de parcelas), teremos o seguinte:

X

1º nível

1000, 2º nível

2000, 3º nível

3000,

Ora, pelo desenho acima, fica evidenciado que as parcelas de cada nível têm R$2.000,00. De modo que:



18

1º nível: 18 parcelas de R$1.000,00;


3º nível: 6 parcelas de R$1.000,00.

A taxa da questão é uma taxa composta de 2% ao mês. Trabalharemos cada nível, fazendo uma operação de Rendas Certas. Teremos:

1º nível: T=P. Sn¬ i T’=1000. S18¬ 2%

2º nível: T=P. Sn¬ i T’’=1000. S12¬ 2%

3º nível: T=P. Sn¬ i T’’’=1000. S6¬ 2%

Faremos, de uma feita, as três consultas à Tabela Financeira das Rendas Certas. Teremos:

TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS i

isn

in1)1( −+

=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,41209 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173

Ora, o X da questão será dada pela soma T’+T’’+T’’’. Fazendo essa soma, vemos que o valor 1000 é um fator comum. Daí, podemos fazer o seguinte:

X=1000.(6,308121+13,41209+21,412312) X=1000x41,13252

Daí, chegamos a: X=41.132, Resposta.

É isso! Estamos atingindo metade do nosso curso! Espero que vocês todos estejam realmente exercitando seus conhecimentos e reforçando, com isso, seu aprendizado. Um abraço a todos e fiquem com Deus!

in



1

AULA 06

Olá, amigos! Recebi esta semana algumas perguntas relativas a uma questão (meio polêmica), que trata acerca do conceito de Juros Simples Ordinários! Eu próprio já tive mais de um entendimento sobre este tema, de modo que o que prevalece hoje, e que é resultado de muita reflexão e da busca do pensamento da Esaf, é aquele que eu tinha no início: Juros Simples Ordinários são sinônimos de Juros Simples Comerciais. Aquele conceito segundo o qual todos os dias do ano têm trinta dias, e o ano todo, portanto, trezentos e sessenta. E assim se considera para fazer a contagem do tempo de aplicação (n) e para se fazer a conversão da taxa, para taxa ao dia, pelo conceito de taxas proporcionais. Alguns autores entendem os Juros Ordinários como um conceito diverso, no qual se contariam os dias da aplicação (o tempo n) da mesma forma que nos Juros Exatos (considerando o calendário convencional com 365 dias) e na hora de converter a taxa para taxa diária, se contaria o ano como nos juros comerciais, ou seja, com 360 dias. Pois bem! Após muita busca da verdade, eu e meu grande amigo e parceiro de autoria Weber Campos concluímos, enfim, que, para a Esaf, Juros Ordinários e Juros Comerciais são a mesmíssima coisa. Esta conclusão difere do conteúdo que coloquei no meu Ponto 31, de sorte que elaborarei um novo Ponto, o mais rápido possível, para refazer o ensinamento. Agora, cuidado: esta conclusão (de que Juros Ordinários = Juros Comerciais) é válida para o pensamento da Esaf. Não tenho elementos ainda para estendê-la a outras mesas elaboradoras! E estou sendo muito honesto em dizer isso. O tema não é de entendimento unânime, de modo que há ainda autores que identificam outros tipos de Juros Simples (como Juros Bancários etc). Fica acertado assim? Se eu próprio for fazer uma prova da Esaf, e uma questão falar em Juros Simples Ordinários, eu o tomarei como sinônimo de Juros Comerciais. Ok? Espero ter sanado as dúvidas a respeito do assunto. Chegamos hoje ao nosso sexto simulado, e a prova aproxima-se, segundo se comenta em todo lugar... A hora, pois, é de se continuar a resolver o máximo de exercícios! Peço que você siga aquele nosso ritual, de procurar um lugar isolado e silencioso, de concentrar-se ao máximo, e de marcar o tempo. Vocês certamente já perceberam que os assuntos das questões começam a se repetir. Não é verdade? Na prova também é assim! Quanto mais conhecermos as questões passadas de outras provas, menores serão as chances de surpresas na nossa prova. E surpresa costuma ser algo bom, mas nem sempre: nos concursos, por exemplo, é algo altamente indesejável... Deixemos de conversa mole! Marque o tempo, respire, e comece sua resolução!



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Q U E S T Õ E S

6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%.


a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66



3


∑=

==N

iRXi

NX

100,300.14$1

e ( ) 00,200.1$15,0

1

2RXXi

NS

N

i=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: a) P é no máximo ½ d) P é no máximo 1/2,25 b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20 c) P é no mínimo ½

43. (AFTN-98) Assinale a opção correta. a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas. c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva.

55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado com base no ano de 1984.

Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 75 88 92 100 110 122

No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00

7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio d) Três meses c) Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias



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15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real paga pela empresa? a) 3,09% ao mês b) 4,00% ao mês c) 4,71% ao mês d) 4,59% ao mês e) 4,50% ao mês

26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 c) R$ 30.000,00

36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais próximo da nova prestação mensal. a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 c) R$ 625,00

46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00

50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 c) $ 11.881,00



5


6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor X tal que a freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%.


a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 Sol.: O primeiro passo desta resolução será justamente descobrir qual é esta coluna de freqüência fornecida pela prova! Ora, por não aparece, em lugar algum, um sinal de porcentagem (%), significa isso que estamos diante de uma freqüência absoluta! Ademais, o enunciado falou que esta tabela representa uma amostra de 200 elementos. Se somarmos os valores da coluna fornecida, encontraremos exatamente esse resultado: 200. Logo, concluímos: a freqüência fornecida é a fi (freqüência absoluta simples). É dela mesmo que precisamos para dar início à resolução de uma prova de estatística! Pois bem! A questão nos pergunta qual será o valor, inserido em uma das classes da tabela, que corresponderá ao percentual de 80% dos elementos do conjunto. O valor cuja freqüência relativa acumulada a ele associado seja 80%. Daí, construamos a coluna da Freqüência Relativa Simples – Fi. Para tanto, usaremos a relação que há entre os dois tipos de freqüências simples (absoluta e relativa), e que é a seguinte: Fi=(fi/n). Para a primeira classe, teremos: Fi = 3/200 = 0,015 = 1,5% Observemos que, tirando o sinal de porcentagem, 1,5 é a metade de 3. Será que só verificando isso já estamos aptos a construir o restante dessa coluna de forma bem rápida? Sim! Pois quando estamos convertendo fi em Fi, ou vice-versa, basta enxergar uma relação qualquer de entre os valores respectivos, e estender essa relação ao restante da coluna. Mas para quem está meio incrédulo, façamos o cálculo da Fi, pela fórmula, para as duas próximas classes. Teremos: Fi=8/200=0,04=4% Fi=10/200=0,05=5%



6

E agora? Agora é acreditar e partir para o abraço! Completando o restante da coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, teremos:

Classes R$ fi Fi 350 – 380 3 1,5% 380 – 410 8 4% 410 – 440 10 5% 440 – 470 13 6,5% 470 – 500 33 16,5% 500 – 530 40 20% 530 – 560 35 17,5% 560 – 590 30 15% 590 – 620 16 8% 620 – 650 12 6%

Como é que podemos ter alguma garantia de que fizemos essas contas corretamente? Somando a coluna da Fi. Claro! Esta soma terá, necessariamente, que dar 100%. Conferindo, teremos:

Classes R$ fi Fi 350 – 380 3 1,5% 380 – 410 8 4% 410 – 440 10 5% 440 – 470 13 6,5% 470 – 500 33 16,5% 500 – 530 40 20% 530 – 560 35 17,5% 560 – 590 30 15% 590 – 620 16 8% 620 – 650 12 6%

Total=100% (Ok!)

Agora, como próximo passo, construiremos a coluna da freqüência relativa acumulada crescente – Fac. Teremos:

Classes R$ Fi Fi Fac 350 – 380 3 1,5% 1,5% 380 – 410 8 4% 5,5% 410 – 440 10 5% 10,5% 440 – 470 13 6,5% 17% 470 – 500 33 16,5% 33,5% 500 – 530 40 20% 53,5% 530 – 560 35 17,5% 71% 560 – 590 30 15% 86% 590 – 620 16 8% 94% 620 – 650 12 6% 100%

Daí, vejamos: até a primeira classe, acumulamos 1,5% dos elementos do conjunto! Até a segunda classe, 5,5%. Até a terceira, 10,5%. Até a quarta, 17%. Até a quinta, 33,5%. (Ainda estamos longe dos 80% desejados!) Até a sexta classe, acumulamos então 53,5% dos elementos. Até a sétima classe, 71%.



7

Está bem perto agora! Se avançarmos toda a próxima classe (a oitava) pularemos de 71% para 86% dos elementos daquele conjunto! Daí, concluímos: o valor, inserido numa das classes, que está associado à freqüência acumulada 80% está justamente nesta oitava classe (560 a 590). Ficou claro isso? Bem! Descoberta a classe de nosso interesse, traremos ela aqui para fora, e faremos aquele desenho que nos auxiliará na construção da já tão conhecida regra-de-três. Teremos: 30 (=590-560) X 560 590

71% 80% 86% 9% 15% (=86%-71%) Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos:

%9%1530 X

=

E, finalmente:

X=(9%x30)/15% X=270%/15% X=18 Este X calculado corresponde ao valor que terá que ser somado ao limite inferior da oitava classe, para chegarmos à resposta. Teremos: 560 + 18 = 578 Resposta! Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100



8

16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 Sol.: Quando a questão fala em valor médio, está-se referindo justamente à Média Aritmética X . Já sabemos que, se estamos diante de uma distribuição de freqüências, como é o nosso caso, usaremos o método da variável transformada para calcular a média do conjunto. Antes, porém, descubramos quem é essa coluna de freqüência fornecida pelo enunciado. Eoi chamada de P(%). Ora, se existe um sinal de porcentagem (%), então concluímos que a freqüência é relativa. Daí, olhamos logo para os valores da primeira e da última classe nesta coluna. Se algum deles for igual a 100%, então saberemos que se trata de uma freqüência relativa acumulada. É o nosso caso? Sim! Esta coluna termina com 100%. Logo, conclusão: estamos diante da coluna da Freqüência Relativa Acumulada Crescente – Fac. Daí, em um primeiro momento, construiremos a coluna da Fi, Freqüência Relativa Simples, da forma como já sabemos. Teremos:

Classes Fac Fi 70-90 5% 5% 90-110 15% 10% 110-130 40% 25% 130-150 70% 30% 150-170 85% 15% 170-190 95% 10% 190-210 100% 5%

Alguma garantia que foi construída corretamente essa coluna da Fi? Claro! Somando tudo, tem que dar 100%. Checado isto, passamos agora à construção da coluna da freqüência absoluta simples – fi. Acabamos de ver, na questão anterior, qual a relação que existe entre as duas freqüências simples (fi e Fi): Fi=fi/n ou, escrito de outra forma: fi=Fi.n. Atentemos para o fato de que o enunciado falou que n=200, quando disse que “...foram examinados 200 itens...”. Certo? Teremos, pois, para a primeira classe, que:

fi= 200100

5 x = 10

Olha aí! A relativa simples é 5% e a absoluta simples é 10. Já matamos a charada? Claro! Basta tirar o símbolo de % e multiplicar por 2. Teremos, com a utilização deste atalho, a seguinte coluna de freqüência:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

Como sabemos se estão certas as contas? Somando tudo, tem que dar 200.



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Atenção: se o enunciado desta questão tivesse deixado de falar qual era o valor do n, adotaríamos o valor n=100. Ok? Isso ocorreu no último concurso (AFRF-2003)! Dando seqüência, começaremos os passos para encontrar o valor da Média do conjunto, trabalhando com o método da Variável Transformada. Primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140 150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200

Segundo Passo: construir a coluna de transformação da variável, usando aquela sugestão que eu sempre recomendo: Ponto Médio menos primeiro Ponto Médio, tudo isso dividido pela amplitude da classe. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM (PM-80)=Yi 20

70-90 5% 5% 10 80 0 90-110 15% 10% 20 100 1 110-130 40% 25% 50 120 2 130-150 70% 30% 60 140 3 150-170 85% 15% 30 160 4 170-190 95% 10% 20 180 5 190-210 100% 5% 10 200 6

Terceiro Passo: Construir a coluna Yi.fi e fazer seu somatório. Teremos:

Classes Fac Fi fi PM (PM-80)=Yi 20

Yi.fi

70-90 5% 5% 10 80 0 0 90-110 15% 10% 20 100 1 20 110-130 40% 25% 50 120 2 100 130-150 70% 30% 60 140 3 180 150-170 85% 15% 30 160 4 120 170-190 95% 10% 20 180 5 100 190-210 100% 5% 10 200 6 60

∑=580 Quarto Passo: Calcular a Média da variável transformada Y. Teremos:

9,2200580.

=== ∑n

fiYiY

Quinto Passo: Fazer o desenho de transformação da variável. Teremos:



10

1ª)-80 2ª)÷20

X Y 2ª)+80 1ª)x20 Último Passo: Partindo do lado da variável transformada, Y, com o valor da média desta variável que calculamos acima (Y =2,9), percorreremos o caminho de baixo (em vermelho), lembrando-nos das propriedades da Média. Ou seja: como a média é influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, subtração, produto e divisão), significa que qualquer conta que apareça neste caminho nós iremos realizar. Daí, teremos: 1ª conta) 2,9 x 20 = 58,00 2ª conta) 58 + 80 = 138,00 Pronto! Chegamos, enfim, onde queríamos!

X =138,00 Resposta! 17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 Sol.: Mesma tabela! E mais uma questão bem fácil. Isso, claro, desde que você se lembrasse de que Quinto Decil = Mediana! Todos lembraram disso? Aproveitando o ensejo, diremos logo outros sinônimos da Mediana. Teremos:

Mediana = 5º Decil (D5) = 2º Quartil (Q2) = 50º Percentil (P50) Vamos agora tomar as colunas que nos interessam. Teremos:

Classes fi 70-90 10 90-110 20 110-130 50 130-150 60 150-170 30 170-190 20 190-210 10

Primeiro Passo) Calcular n e (n/2). Conforme dito no enunciado: n=200. Logo: (n/2)=100.



11

Segundo Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente. Teremos:

Classes fi fac 70-90 10 10 90-110 20 30 110-130 50 80 130-150 60 140 150-170 30 170 170-190 20 190 190-210 10 200

Terceiro Passo) Comparar os valores da fac com o valor de (n/2), fazendo a pergunta de praxe, a fim de descobrir qual é a Classe Mediana! Teremos:

Classes fi fac 70-90 10 10 10 é ≥100? Não! 90-110 20 30 30 é ≥100? Não! 110-130 50 80 80 é ≥100? Não! 130-150 60 140 140 é ≥100? Sim! 150-170 30 170 170-190 20 190 190-210 10 200

Quarto Passo) Trabalhando com classe mediana (130 a 150), faremos o desenho que nos auxiliará na regra-de-três. Teremos: 20 (=150-130) X 130 150

80 100 140 20 60 (=140-80) Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos:

206020 X

=

E, finalmente: X=(20x20)/60 X=400/60=40/6=20/3 X=6,67

Último Passo) Somar o limite inferior da classe mediana ao valor calculado X. 130 + 6,67 = 136,67 = Mediana Resposta!



12


∑=

==N

iRXi

NX

100,300.14$1

e ( ) 00,200.1$15,0

1

2RXXi

NS

N

i=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: a) P é no máximo ½ b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo ½ d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20

Sol.: Esta questão trata acerca de um teorema que era, até o dia desta prova do AFRF-2003, desconhecido de muita gente...! E como pegou gente de surpresa essa questão! Nem eu conhecia o tal de Tchebichev. Esta foi a primeira vez que a Esaf utilizou este teorema de uma forma mais direta! Mas já o havia cobrado, embora que meio disfarçadamente, em outras questões de provas anteriores a esta. Se alguém teve a oportunidade de ler, tratei deste assunto – Teorema de Tchebichev – no último Ponto que escrevi, há alguns dias. Lá explanei o assunto com maiores detalhes, resolvendo, inclusive, esta presente questão. Então, a recomendação que faço é esta: dêem uma lida no meu último Ponto. Na seqüência, vou apenas reprisar a resolução que está naquela aula, acreditando que vocês se aprofundarão na leitura da teoria que lá está presente. Ok? A resolução desta questão se faz em três passos. Vamos a eles: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo fornecido pelo enunciado e a média do conjunto.

O desenho de nossa questão é o seguinte: 12500 14300 16100 D D

Daí, teremos que: D=1.800



13

2º Passo) Calcularemos o valor da fração K (=(Distância D)/(Desvio-Padrão S) Teremos:

K=SD

K=(1800/1200)=1,5

3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tchebichev, a qual nos fornecerá a proporção máxima de elementos do conjunto que estará fora daqueles limites estabelecidos pela questão. Teremos:

PMÁXIMA= 2

1K

Teremos, pois, que:

PMÁXIMA=25,21

5,11

2 = Resposta!

Uma só ressalva há que ser feita em relação a esta questão. Para que ela estivesse perfeita, seria preciso ser dito que a resposta (1/2,25) é a proporção máxima dos elementos do conjunto fora dos limites 12.500 a 16.100, só que de forma que estes limites estivessem incluídos na proporção! Compreendem? Proporção dos valores abaixo de 12.500 inclusive; e acima de 16.100 inclusive. E isso não foi dito dessa forma! A questão fala apenas “...proporção...fora do intervalo...”, sem dizer que os limites do intervalo estariam incluídos! Na ocasião, até elaborei um recurso para um aluno amigo meu, mas a Esaf infelizmente não o aceitou. É isso! Leiam, não esqueçam, o meu último Ponto sobre esse tema!

43. (AFTN-98) Assinale a opção correta. a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas. c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva.

Sol.: Analisemos item a item. ITEM A) Errado! A primeira parte deste enunciado já é suficiente para descartamos esta opção, uma vez que colide frontalmente com uma das propriedades da média aritmética, segundo a qual a soma dos desvios dos elementos de um conjunto em relação à média será sempre igual a zero! Não poderia ser, jamais, negativa!



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ITEM B) Errado! Coeficiente de Variação, também chamado (pela Esaf) de Dispersão Relativa, é um quociente, entre o valor do Desvio-Padrão e da Média de um conjunto. Lembramos disso? CV=S/ X . Daí, trata-se de uma medida adimensional, independendo das unidades em que as observações são medidas! ITEM C) Pula! Deixemos para o fim! ITEM D) Errado! Este item trata a respeito de uma propriedade do Desvio-Padrão, a qual costumo chamar de Propriedade Visual do Desvio-Padrão! Visual por quê? Porque só olhando para o desenho abaixo, já temos condições de entendê-la. Vejamos: -3S -2S -S X +S +2S +3S ≈68% ≈95%

≈99%

Explicando: os elementos compreendidos sob a curva e limitados por:

Média menos um desvio-padrão até média mais um desvio-padrão compreende aproximadamente 68% do total dos elementos do conjunto;

Média menos dois desvios-padrões até média mais dois desvios-padrões compreende aproximadamente 95% do total dos elementos do conjunto;

Média menos três desvios-padrões até média mais três desvios-padrões compreende aproximadamente 99% do total dos elementos do conjunto.

Esta propriedade visual, que não se confunde em nada com o Teorema de

Tchebichev, apresenta duas características que são amiúde exploradas por questões teóricas. São as seguintes:

1ª característica) Não se aplica a todos os conjuntos! Somente para distribuições simétricas ou bem próximas da simetria!

2ª característica) É uma propriedade de aproximação, e não de exatidão! (Lembre-se que os percentuais são apenas aproximados: ≈68%, ≈95%, ≈99%.

Pois bem! Este item explorou estas duas características e errou duas vezes: a

primeira quando disse “...para qualquer distribuição...” Não é! Somente se for distribuição simétrica! A segunda vez quando falou “...pode-se afirmar com certeza...”. Que nada! Certeza nenhuma: os percentuais são aproximados apenas!



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ITEM E) Errado! Mesocúrtica é a situação de curtose intermediária: nem de mais e nem de menos! Curtose excessiva é a curva Platicúrtica!

Voltemos à opção C:

c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. Correto! Embora o texto seja péssimo, ele quer tratar de uma transformação da variável, em que as operações desta transformação seriam: 1ª) subtrair todos os elementos do conjunto pela Média; 2ª) Dividir todos os elementos pelo Desvio-Padrão. Desenhemos esta transformação: 1ª)- X 2ª)÷S

X Y Ora, queremos chegar ao Coeficiente de Variação da variável transformada Y. E o CV, conforme já sabemos, é definido por CV=S/ X . Daí, partindo do lado da variável X, com a média X , e percorrendo o caminho de transformação acima, teremos, logo de cara, a subtração da média por ela mesma! Resultado: zero. A segunda operação é uma divisão. Ora, zero dividido por qualquer coisa é zero mesmo! Conclusão: chegamos ao lado de cá, sabendo que a média da variável Y é igual a zero. Ou seja: Y =0. Enfim, na hora de calcularmos o Coeficiente de Variação desta variável Y, teríamos que o denominador (Y ) é igual a zero. E qualquer divisão por zero é uma divisão indefinida! Por isso diz o enunciado deste item que, neste caso, o Coeficiente de Variação não está definido! Eu devo confessar-lhes que levei um bom tempo (leia-se: alguns anos!) para conseguir enxergar a intenção desse texto...! Mas consegui em boa hora! E vamos embora! Adiante. 55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um indice de preço calculado com base no ano de 1984.

Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 75 88 92 100 110 122

No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00



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Sol.: Esta questão é simples e é fácil. Difícil mesmo é acreditar em como a Esaf conseguiu complicá-la! A Mudança de Base é uma questão que trará uma tabela com duas linhas e várias colunas, exatamente como a que foi apresentada. Na linha de cima, diferentes anos. Na de baixo, diferentes índices. Geralmente, esses índices representam preços de alguma coisa. Pois bem! Somente um destes preços será 100. Reparem bem! Qual é o ano que tem o índice 100? É o ano de 1984. Ele é, originalmente, o nosso ano base! Daí, mudar a base para outro ano significa, tão somente, que este outro ano passe a ter o índice 100, e não mais 1984. Para que isso ocorra, basta dividir todos os índices da tabela original pelo índice deste outro ano que se pretende seja o novo ano base, e depois multiplicar esse resultado por 100. Por exemplo, se eu quiser que 1981 seja a nova base, o novo índice deste ano terá que passar a ser igual a 100. E quanto é hoje? É 75. O que é preciso fazer para que 75 vire 100? Primeiro: dividir 75 por 75. (Aí vira 1) Depois: multiplicar por 100. (Aí vira 100) Só resta observar que estas duas operações acima podem ser traduzidas por apenas uma: dividir por 0,75. Senão, vejamos:

75,075

1007575100

7575

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=x

Pronto! A questão era só isso! Não tinha mais o que inventar. Mas a elaboradora quis, e colocou, a meu ver, duas opções válidas. As seguintes: b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. Em suma, caberia recurso para esta questão. É o que penso! Pesquisei em diversas obras conceituadas, e várias delas de autores estrangeiros, e o que encontrei só me tornou mais convicto de que a opção B está perfeita, de ponta a ponta! O fato é que esta questão não veio a ser anulada. Nem sei se alguém apresentou recurso.

7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a)Dois meses e vinte e um dias b)Dois meses e meio d) Três meses c)Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias Sol.: Questão de prazo médio, ou seja, questão de copiar-colar! As taxas entre si estão na mesma unidade? Sim! E os prazos estão entre si na mesma unidade? Sim! Então não tem o que pensar muito. Apliquemos a fórmula, façamos as contas e acertemos a questão. Teremos:

).50000().30000().20000()2..50000()3..30000()4..20000(

iiiiiiPM

++++

=

Cortando todos as taxas i do numerador e do denominador (“e pode fazer isso?”), ficaremos apenas com valores numéricos, para chegarmos ao seguinte resultado:



17

mesesPM 7,2000.100000.270

==

Para ficar igual à resposta, transformaremos 0,7 meses em dias (multiplicando por 30, já que um mês tem 30 dias na matemática financeira), e chegaremos, agora sim, ao nosso resultado final: PM=2,7 meses = 2 meses e 21 dias Resposta!

15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real paga pela empresa? f) 3,09% ao mês g) 4,00% ao mês h) 4,71% ao mês i) 4,59% ao mês j) 4,50% ao mês Sol.: Já resolvemos questão deste assunto em aula passada. Para saber essa tal de taxa de juros real, precisamos apenas descobrir qual será o valor inicial e o valor final da operação. Vejamos: o valor final (valor de face do título!) é de R$10.000,00. Este vai sofrer um desconto de 3%. Aqui não foi especificado que tipo de desconto é esse. Faremos apenas a seguinte conta:

00,30010000100

3=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x =Desconto!

Mas não foi apenas esse desconto de 3% que foi trazido no enunciado. Além dele, houve ainda uma taxa de R$50,00 e mais 1% do título como imposto financeiro. Ora, teremos:

00,10010000100

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x + 50 = 150,00

Este valor (R$150,00) será cobrado da empresa no momento do desconto do título, ou seja, na data do início. De sorte, obviamente, que ele irá diminuir o que a empresa levará naquele dia! Logo, além dos R$300 do desconto, tem ainda R$150,00 de taxas e impostos, a serem arcados pela empresa. Conclusão: 300+150=450,00 Os valores que iniciarão e terminarão essa operação são os seguintes: 10.000,00 9.550,00 1m



18

Descobrindo a taxa de juros envolvida nesta operação, teremos:

niJC.100

= i.1

4501009550

= 955045000

=i i=4,71% ao mês Resposta!

26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 c) R$ 30.000,00

Sol.: A questão nos fala em Desconto Racional Composto, ou seja, Desconto por Dentro, no regime composto. A equação deste tipo de desconto é a seguinte: N=A.(1+i)n ou A=N/(1+i)n Pois bem! O que a questão fornece? O valor do desconto Dd=6.465,18, o valor da taxa i=5%, e o tempo de antecipação n=4 meses. E o que é solicitado? O valor descontado! Ora, valor descontado é o mesmo que Valor Atual. Daí, olhemos para a fórmula que nos faria chegar ao valor atual:

A=N/(1+i)n

Facilmente percebemos que esta fórmula, do jeito em que está apresentada, não resolverá nosso problema, uma vez que não dispomos do N (Valor Nominal do título)! Todavia, sabemos que D=N-A (Desconto = Valor Nominal menos Valor Atual). Daí, desenvolvendo a fórmula acima, trocando N por (D+A), chegaremos ao seguinte:

A=N/(1+i)n A=(D+A)/(1+i)n A.(1+i)n=D+A

A.(1+i)n – A = D A.[(1+i)n – 1] = D

A = D / [(1+i)n – 1]

Agora, sim! Uma vez que taxa e tempo estejam na mesma unidade (e estão!), resta-nos aplicar a fórmula acima para chegarmos ao resultado. Teremos:

A = D / [(1+i)n – 1] A=6.465,18/[(1+0,05)4 – 1]

A = 6.465,18 / [1,215506 – 1] = 6.465,18/0,215506

A = 30.000,00 Resposta!



19

36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais próximo da nova prestação mensal. a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 c) R$ 625,00 Sol.: Esse tipo de questão também já é nosso conhecido! Para este enunciado, a primeira coisa a ser feita é descobrir o valor da taxa da operação. Ora, estamos diante de uma aplicação de amortização. Daí, teremos: T = P . An¬i 15.000=1.184,90xA18¬i Daí, consultando na Tabela Financeira do Fator de Amortização, encontraremos que i=4%. Agora nos preocuparemos em descobrir uma coisa: quanto ainda falta ser pago? Se eram doze prestações, e já paguei doze, então faltam seis. A uma taxa de 4% ao mês, quanto isso representa? Amortização de novo! T = P . An¬i T=1.184,90xA6¬4% Nova consulta à Tabela Financeira da Amortização, e vemos que A6¬4%=5,242137 Teremos: T=1.184,90x5,242137 T=6.211,40 É este o valor que ainda terá que ser pago! Só que não mais em seis parcelas, e sim em doze, graças a um acerto com o credor. Daí, aplicando amortização pela terceira vez, descobriremos o valor das novas prestações. Teremos: T = P . An¬i P = T / An¬i P = 6.211,40 / A12¬4% P = 6.211,40 / 9,385074 P ≈ 662,00 Resposta!

46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00 Sol.: Esta questão já se tornou até corriqueira. Já sabemos que a solução aqui passa por um tal de tracejado de níveis. Não é verdade? Desenhando a questão, teremos o seguinte:



20

X

2000,

4000,

6000,

Usando o artifício de dividir as parcelas em níveis, fazendo três tracejados (uma vez que são três grupos de parcelas), teremos o seguinte:

X

1º nível

2000, 2º nível

4000, 3º nível

6000,



21

Ora, pelo desenho acima, fica evidenciado que as parcelas de cada nível têm R$2.000,00. De modo que:



3º nível: 6 parcelas de R$2.000,00.

A taxa da questão é uma taxa composta de 3% ao mês. Trabalharemos cada nível, fazendo uma operação de Rendas Certas. Teremos:

1º nível: T=P. S n i T’=2000. S 18 3%

2º nível: T=P. S n i T’’=2000. S 12 3%

3º nível: T=P. S n i T’’’=2000. S 6 3%

Fazendo, de uma feita, as três consultas à Tabela Financeira das Rendas Certas, teremos:


isn

in1)1( −+

=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,41209 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173

Ora, o X da questão será dada pela soma T’+T’’+T’’’. Fazendo essa soma, vemos que o valor 2000 é um fator comum! Daí, podemos fazer o seguinte:

X=2000.(6,468410+14,192029+23,414435) X=2000x44,074874

Daí, chegamos a: X=88.149, Resposta!

in



22

50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 c) $ 11.881,00

Sol.: Neste enunciado aparece uma taxa nominal. Transformando-a em taxa efetiva, por uso do conceito de taxas proporcionais, teremos que:

36% ao ano, c/ capit. trimestral = (36/4)= 9% ao trimestre (taxa efetiva!)

O enunciado nos fala de um empréstimo. Quando é que pegamos o valor de um empréstimo? Hoje, obviamente. Pegamos hoje para devolver no futuro! Daí, o desenho de nossa questão será o seguinte:

20.900,

P P

Observemos que a taxa composta é trimestral e o intervalo entre as parcelas também é o trimestre! Tudo compatível.

O que nos resta? Aplicarmos, diretamente, a fórmula da Amortização. Teremos:

T=P.An¬i 20.900=P x A2¬9%

Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

in



23

Daí, teremos que:

20.900=Px 1,759111 P=20.900 / 1,759111

Daí: P=11.881,00 Resposta!

É isso, meus caros! Chegamos ao fim de mais este simulado. Espero, de coração, que vocês estejam levando a sério esta oportunidade de resolver questões de provas passadas, marcando o tempo, conferindo as resoluções, relembrando o que estava meio esquecido, e aprendendo o que ainda não era conhecido! O aprendizado se faz assim: tijolo por tijolo. Chega uma hora em que a casa está pronta, e você é o dono e ninguém toma! Eu estou aqui, ao lado da Clarinha. São duas e meia da manhã e ela dorme como um anjo! Agora eu também vou! Fiquem com Deus, e até semana que vem!



1

AULA 07

Olá, amigos! A cada dia que passa, aumentam as expectativas pela liberação do edital. Muita especulação se ouve, de todos os lados, acerca de prováveis novidades. E

como isso tudo nos deixa estressados...! Li ontem a nova entrevista veiculada no Site, em que o prof. Vicente conversa

com um casal aprovado no AFRF/2003. Vocês leram? Achei muito proveitosa a mensagem que eles transmitiram. O rapaz, que foi primeiro lugar nacional naquela prova, falou (e eu faço minhas as palavras dele!) que o mais sensato neste momento é dedicar-se àquelas disciplinas que nós temos como certas no próximo concurso.

Pois bem! Haja o que houver (unificação de provas, unificação de órgãos etc.) matérias como Português, Contabilidade, Direito Constitucional, Direito Administrativo, Direito Tributário, Matemática Financeira e Estatística são algumas daquelas que se acredita, com reduzida margem de erro, que estarão presentes no novo edital.

O negócio, portanto, é fazer o que estamos fazendo: resolver o máximo de questões de provas passadas, não só de matemática financeira e estatística, mas de todas essas outras matérias.

Quero, de público, declarar minha alegria pelo fato de o Site contar agora com um professor de Português que é, a meu ver, um grande mestre dos concursos! Muito antes de saber que o Prof. Renato Aquino entraria para o time do Ponto dos Concursos, eu já era um entusiasta e divulgador do seu trabalho. Tenho todas as obras publicadas por ele na série Provas e Concursos, e só tenho elogios. (Ninguém pense que estou ganhando comissão para dizer essas palavras! O prof. Renato nem sabe que eu existo!).

Bem! Voltando ao curso: como vocês têm se saído, na resolução dos nossos simulados? Como tem sido com o tempo? Estão conseguindo manter uma média de quatro minutos por questão? Ou cinco minutos? Não toquei mais nesse assunto para evitar qualquer tipo de desânimo entre vocês. Mas não custa lembrar: tempo é ouro! Certo?

E chega de lero-lero! Passemos às questões de hoje. Marque o seu tempo, e pode começar!

Q U E S T Õ E S

Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

18. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02



2

19. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10

34. (AFRF-2002/2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0



Classes de Notas


20 40 30 6 4

10 15 50 15 10

5 10 70 10 5

Total 100 100 100 25. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) b) Média (turma 1) > Média (turma 2) c) Média (turma 2) < Média (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) 26. (AFC-94) A única opção errada é: a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) c) média (turma 2) = média (turma 3) d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) e) na turma 3: média = mediana = moda



3

38. (FISCAL INSS – 2002). A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada na próxima questão e apresenta as freqüências (fi) correspondentes as idades dos funcionários (X) de uma escola. Não existem realizações de X coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes de

Idades (anos)

Freqüências (fi)

19,5 – 24,5 24,5 – 29,5 29,5 – 34,5 34,5 – 39,5 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5

2 9 23 29 18 12 7

Total


1=∑ =


i e PMi o ponto médio de cada classe da distribuição. Considerando a transformação Z=(X - 27,8)/10 , assinale a opção que dá a variância relativa do atributo Z. a) 0,42 b) 0,51 c) 0,59 d) 0,65 e) 0,72

12. (FISCAL INSS - 2002) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 d) R$ 981,00 b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00 c) R$ 924,96

28. (ATE-MS-2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00

41. (AFRF-2002-2) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 d) R$ 1.512,44 b) R$ 1.418,39 e) R$ 1.550,00 c) R$ 1.500,00



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42. (MDIC-ACE-2002) Uma empresa adquiriu um equipamento no mercado internacional com uma parcela de US$ 100,000.00 financiada em dezoito prestações semestrais iguais de US$ 8,554.62, vencendo a primeira ao fim do primeiro semestre. Junto com o pagamento da décima-segunda prestação a empresa acerta com o financiador um pagamento único para quitar o resto da dívida. Calcule o valor mais próximo desse pagamento que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiamento original. a) US$ 33,333.00 d) US$ 48,225.00 b) US$ 43,420.00 e) US$ 50,000.00 c) US$ 46,938.00 53. (AFRF-2003) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8%

57. (FISCAL DO INSS – 2002) Uma empresa possui uma taxa de atratividade mínima de 12% ao ano e está considerando uma proposta de investir hoje R$ 20.000.000,00 para obter receitas previstas de R$ 3.000.000,00 ao fim de cada um dos próximos dez anos. Obtenha a decisão da empresa baseada no critério do valor atual do fluxo de caixa previsto da empresa. a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. b) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. c) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. d) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. e) A empresa não se decide porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é zero.



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2ª Etapa) Resolução das Questões Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

18. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 Sol.: Mais uma questão de Mediana! E como se repetem! Não custa lembrar que o enunciado poderia também estar pedindo o cálculo do segundo quartil Q2, quinto decil D5 e qüinquagésimo percentil (ou centil) P50. Estas três medidas separatrizes, conforme já é do nosso conhecimento, são sinônimas de Mediana! Ou seja:

Md = Q2 = D5 = P50 Pois bem! Vamos novamente seguir os passos necessários para descobrir a Mediana. Primeiro Passo) Calcular n e (n/2). O enunciado nos diz que: n=100. Logo: (n/2)=50. Segundo Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente. Teremos:

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Terceiro Passo) Comparar os valores da fac com o valor de (n/2), fazendo a pergunta de praxe, a fim de descobrir qual é a Classe Mediana!

Teremos:



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Classes Fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é ≥50? Não! 39,5-49,5 8 12 12 é ≥50? Não! 49,5-59,5 14 26 26 é ≥50? Não! 59,5-69,5 20 46 46 é ≥50? Não! 69,5-79,5 26 72 72 é ≥50? Sim! 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Quarto Passo) Trabalhando com classe mediana (69,5 a 79,5), faremos o desenho que nos auxiliará na regra-de-três. Teremos: 10 (=79,5-69,5) X 69,5 79,5


42610 X

=

E, finalmente: X=(10x4)/26 X=40/26=20/13 X=1,54

Último Passo) Somar o limite inferior da classe mediana ao valor calculado X. 69,5 + 1,54 = 71,04 = Mediana Resposta! Uma pergunta foi feita no fórum, a respeito da existência de uma fórmula para cálculo da Mediana. Existe? Sim, e é a seguinte:

hfi

facn

lMdANT

.2inf

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

O resultado encontrado pela aplicação desta fórmula é o mesmo que achamos fazendo a regra-de-três? Claro que sim! Na verdade, a fórmula é a tradução do raciocínio que desenvolvemos para fazer a regra-de-três. Como aplicar a fórmula?



7

Vejamos que ela se refere a elementos de uma determinada classe! Ou seja, os valores que serão lançados na fórmula são oriundos de uma das classes da tabela. Quem adivinha que classe é essa? A Classe Mediana! E esta será encontrada da mesma forma que já sabemos:

1º) calculamos n e n/2. 2º) construímos a coluna da fac. 3º) comparamos as fac com o valor de (n/2), fazendo a pergunta de praxe

(“esta fac é ≥ (n/2)?”) até que a resposta seja sim! Quando isso ocorrer, procuraremos a classe correspondente e diremos que ela é a classe mediana.

Feito isso, bastará substituir os dados da tabela na equação e fazer as contas.

Façamos isso. Já descobrimos que a classe mediana é a quinta classe. Vejamos:

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é ≥50? Não! 39,5-49,5 8 12 12 é ≥50? Não! 49,5-59,5 14 26 26 é ≥50? Não! 59,5-69,5 20 46 46 é ≥50? Não! 69,5-79,5 26 72 72 é ≥50? Sim! Classe Mediana! 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Descobrindo os valores da fórmula, teremos: linf=69,5 (n/2)=50 facANT=46 fi=26 h=10

Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100

Lançando estes valores na equação, chegaremos a:

hfi

facn

lMdANT

.2inf

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= 10.26

46505,69 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=Md Md=71,04 Resposta!

Vai ficar, portanto, a critério de cada um, se prefere usar a fórmula ou a regra-de-três. A resposta, conforme vimos, é rigorosamente a mesma! Ok? Adiante!



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19. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 Sol.: Questão de Moda é do tipo que não se perde muito tempo. O primeiro passo é descobrir a Classe Modal, e isso é muito fácil: basta procurar a classe de maior freqüência absoluta simples. Teremos:

Classes Fi

29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 Classe Modal! 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Coincidentemente, a Classe Modal foi também a Classe Mediana! Isso, porém, não é uma regra! Foi apenas coincidência. Feito isso, resta aplicar a fórmula da Moda de Czuber. Teremos:

hpa

alMo .inf ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆

∆+= 10.

8665,69 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++=Mo Mo=73,79 Resposta!

Para quem está mais esquecido, ∆a e ∆p são diferenças, que tomam por base a fi da classe modal. Assim, ∆a significa diferença anterior, que é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior à modal. E ∆p significa diferença posterior, entre a fi da classe modal e a da classe posterior à modal. Vejamos:

Classes Fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 ∆a=6 (=26-20) 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 ∆p=8 (=26-18) 89,5-99,5 10

Antes de seguir adiante, convém recordarmos que existe uma segunda fórmula para cálculo da Moda. Trata-se do Método de King! É uma outra equação, e que nos faz chegar a um outro resultado, distinto da Moda de Czuber. Quando iremos calcular a Moda de King? Em um único caso: quando o enunciado o pedir expressamente! Caso não o faça, saberemos que a fórmula a ser utilizada é a de Czuber. Certo? Recordemos a Moda de King:

hff

flMo

antpost

post .inf⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

Onde: fpost e fant são as freqüências absolutas simples anterior e posterior à fi da classe modal. Só isso! Vamos aproveitar o ensejo e calcular a Moda de King para esse nosso exemplo. Teremos:



9

Classes fi

29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 fant=20 69,5-79,5 26 Classe Modal 79,5-89,5 18 fpost=18 89,5-99,5 10

hff

flMo

antpost

post .inf⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++= 10.

2018185,69 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++=Mo Mo=74,24

Como só há uma resposta correta, precisamos saber qual das Modas a questão está pedindo, se a Czuber ou a de King. A regra, repetimos, é a Moda de Czuber (a fórmula dos deltas). Se a questão especificar nada, já sabemos: moda de Czuber! A exceção é a Moda de King. Só a usaremos se for mandado no enunciado!

É isso! Adiante! 34. (AFRF-2002/2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 Sol.: Esta questão trata acerca de mais uma das medidas de dispersão. O ponto de partida da resolução é conhecer a fórmula! Neste caso, a nossa é a seguinte:

n

fiXPMDMA

∑ −=

.

O enunciado chamou a medida de desvio absoluto médio. Poderia ser também desvio médio absoluto ou simplesmente desvio absoluto. São sinônimos.



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Esta nunca foi uma medida muito explorada em provas de estatística, embora sempre tenha figurado entre os programas! Os passos de resolução serão determinados, obviamente, pela fórmula. Olhando para a equação, veremos aquilo que já dispomos, e o que ainda não temos e precisamos encontrar. Voltemos a olhar para a nossa distribuição de freqüências e para a fórmula:


29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

O que já temos? Olhemos para a equação! Temos os Pontos Médios? Ainda não! Então é nosso primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos:

Classes fi PM

29,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59,5 14 54,5 59,5-69,5 20 64,5 69,5-79,5 26 74,5 79,5-89,5 18 84,5 89,5-99,5 10 94,5

A fórmula agora pede a Média. Já a temos? Ainda não! Então é nosso próximo

passo está definido: calcular a Média! É como se fossem duas questões em uma! Usaremos o método da variável transformada. Teremos:

Classes fi PM ( ) YiPM

=−

105,34

Yi.fi

29,5-39,5 4 34,5 0 0 39,5-49,5 8 44,5 1 8 49,5-59,5 14 54,5 2 28 59,5-69,5 20 64,5 3 60 69,5-79,5 26 74,5 4 104 79,5-89,5 18 84,5 5 90 89,5-99,5 10 94,5 6 60

∑Yi.fi=350

Daí, encontrando a média da variável transformada Y, teremos:

n

fiYiY ∑=

. 50,3

100350

==Y

Agora, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos:

n

fiXPMDMA

∑ −=

.



11

1º) 3,5 x 10 = 35,0 2º) 35 + 34,5 = 69,5 X =69,5 A equação do Desvio Médio Absoluto pede agora a diferença (PM- X ). Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) 29,5-39,5 4 34,5 -35 39,5-49,5 8 44,5 -25 49,5-59,5 14 54,5 -15 59,5-69,5 20 64,5 -5 69,5-79,5 26 74,5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 89,5-99,5 10 94,5 25

Reparando melhor na fórmula, veremos que ela pede o valor absoluto da coluna que acabamos de construir. O módulo! E o efeito do módulo é, senão outro, transformar em positivo quem estiver negativo. Daí, tomando a última coluna construída, faremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 69,5-79,5 26 74,5 5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 15 89,5-99,5 10 94,5 25 25

A fórmula agora pede que multipliquemos essa coluna por fi. Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| |(PM- X )|.fi 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 140 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 200 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 210 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 100 69,5-79,5 26 74,5 5 5 130 79,5-89,5 18 84,5 15 15 270 89,5-99,5 10 94,5 25 25 250

n=100 ∑|(PM- X )|.fi=1300

Agora, sim! Já temos tudo para aplicarmos a fórmula do DMA. Teremos, enfim, que:

n

fiXPMDMA

∑ −=

.

1001300

=DMA DMA=13,00 Resposta!



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Classes de Notas


20 40 30 6 4

10 15 50 15 10

5 10 70 10 5

Total 100 100 100 25. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) b) Média (turma 1) > Média (turma 2) c) Média (turma 2) < Média (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) Sol.: Uma seqüência muito interessante de questões! O enunciado apresenta, em uma única tabela, três distribuições de freqüência. Separadamente, seriam elas as seguintes: A primeira:

Classes Turma 01 fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30 6 – 8 6 8 – 10 4

A segunda:

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

A terceira:

Classes Turma 03 fi

0 – 2 5 2 – 4 10 4 – 6 70 6 – 8 10 8 – 10 5



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Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuição de freqüências é se ela é simétrica ou não! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usando a técnica do elevador! No que consiste? Vamos aplicar a técnica na segunda tabela fornecida pela questão. Basta seguir os seguintes passos: 1º) Identificamos qual é a fi da classe intermediária!

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 Classe intermediária! 6 – 8 15 8 – 10 10

2º) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas! Teremos:

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

São iguais essas novas fi? Sim! Daí, prossegue a técnica, novamente subindo e descendo um andar! Teremos:

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? Não! Então, acabou a nossa análise, e nossa conclusão é a seguinte: estamos diante de uma distribuição simétrica! Se em qualquer momento dessa análise, ao subir e descer um andar, tivéssemos encontrado fi diferentes, diríamos então que a distribuição não seria simétrica, mas assimétrica. Qual a razão de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuição de freqüências é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à Mediana! E essas três medidas serão calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois. Da seguinte forma:



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Classes Turma 02 Fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15

8 – 10 10

X = Mo = Md = ( )

2100+

= 5,0

E não precisamos fazer mais nenhum cálculo! Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüências da Turma 03 é simétrica ou não. Teremos:

Classes Turma 03 Fi

0 – 2 5 2 – 4 10 4 – 6 70 6 – 8 10 8 – 10 5

E aí? Simétrica! Daí, concluiremos que:

X = Mo = Md = ( )

2100+

= 5,0

E a distribuição de freqüências da Turma 01? Vejamos:

Classes Turma 01 Fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30 6 – 8 6 8 – 10 4

Logo no primeiro salto, concluímos que a distribuição é assimétrica! Daí, até o presente momento, já descobrimos que: X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02

= 5,0 X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03

Sabendo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas às turmas 02 e 03. Restam, portanto, as opções b e d. Analisemos a opção d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)



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A Mediana da Turma 02 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da turma 01:

Classes Turma 01 Fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30 6 – 8 6 8 – 10 4

Uma análise atenta nos fará ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para isso, basta somar a coluna da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas primeiras classes já somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou seja: mais da metade dos elementos do conjunto estão nas duas primeiras classes. Ora, a Mediana é exatamente aquele elemento que está no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais. Daí, concluímos que a Classe Mediana será a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana dessa distribuição será um valor qualquer inserido nesta classe! Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que não haveria como esta medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e não da segunda)! Conclusão: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) Resposta! 26. (AFC-94) A única opção errada é: a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) c) média (turma 2) = média (turma 3) d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) e) na turma 3: média = mediana = moda Sol.: Aqui procura-se pela opção errada! Observemos que a opção c compara a média das turmas 02 e 03. Já sabemos que são iguais! Descartada está, pois, esta opção! A opção e afirma que a média, moda e mediana da turma 03 são iguais. Perfeito! Já sabíamos disso, uma vez que se trata de uma distribuição simétrica! Descartamos mais essa opção de resposta! Restaram as opções a, b e d. Essas duas últimas comparam duas medidas – Desvio-Padrão e Coeficiente de Variação – das turmas 02 e 03. Acerca dessas turmas, já sabemos que: X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02

= 5,0 X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03

Vejamos qual é o conceito do Coeficiente de Variação: XSCV =

Ora, uma vez que as duas médias são iguais, temos que os denominadores dos Coeficientes de Variação das turmas 02 e 03 são os mesmos!



16

Se os denominadores são iguais, o que vai definir se um CV é maior que o outro será apenas o numerador, ou seja, o Desvio-Padrão! Daí, apenas por hipótese, consideremos que seja verdadeiro o que está dito na opção b: Desvio-Padrão (Turma 02) > Desvio-Padrão (Turma 03) Ora, se isto acima for verdadeiro, então, resta que será também necessariamente verdadeiro o que está dito na opção d: coeficiente de variação (Turma 2) > coeficiente de variação (Turma 3) Perceberam? Claro! Se o denominador (média) é o mesmo para as duas turmas! Da mesma forma, se considerarmos que o que está dito na opção b é falso, resta que será também necessariamente falsa a opção d. Em suma: uma vez que a média das turmas 02 e 03 são iguais, então as duas opções b e d estão amarradas: ou ambas serão verdadeiras, ou ambas serão falsas. Como só há uma opção falsa, concluímos (sem precisar fazer uma só conta!) que não podem ser nem a b e nem a d. E o que resta? Resta a Opção A Resposta! 38. (FISCAL INSS – 2002). A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada na próxima questão e apresenta as freqüências (fi) correspondentes as idades dos funcionários (X) de uma escola. Não existem realizações de X coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes de

Idades (anos)

Freqüências (fi)

19,5 – 24,5 24,5 – 29,5 29,5 – 34,5 34,5 – 39,5 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5

2 9 23 29 18 12 7

Total


1=∑ =


i e PMi o ponto médio de cada classe da distribuição. Considerando a transformação Z=(X - 27,8)/10 , assinale a opção que dá a variância relativa do atributo Z. a) 0,42 b) 0,51 c) 0,59 d) 0,65 e) 0,72

Sol.: Variância Relativa é, por definição, o quadrado do Coeficiente de Variação. Ou seja:

VR = CV2 = ( )22

X

S

A transformação apresentada pelo enunciado foi a seguinte:



17

1ª)-27,8 2ª)÷10

X Z 2ª)+27,8 1ª)x10 E o que conhecemos em relação a qualquer destas duas variáveis? Somente aquilo que nos foi dito pelo enunciado. Ou seja: 1ª)-27,8 2ª)÷10

X Z 2ª)+27,8 1ª)x10 E vemos que a questão pede um resultado relativo à variável Z. Como já é típico deste modelo de questão, calcularemos algumas medidas relativas a uma das variáveis e depois percorreremos o caminho necessário para chegar ao outro lado! Neste nosso caso, vamos trabalhar para encontrar os valores que compõem a variância relativa da variável X. Ou seja: 1ª)-27,8 2ª)÷10

X Z 2ª)+27,8 1ª)x10 E vemos que a questão pede a variância relativa da variável Z. Comecemos pelo cálculo da Média da variável X. Método da variável transformada! Teremos:


Freqüências (fi)

PM ( ) YiPM=

−5

22

Yi.fi

19,5 – 24,5 24,5 – 29,5 29,5 – 34,5 34,5 – 39,5 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

0 1 2 3 4 5 6

0 9 46 87 72 60 42

Total n=100 316

Daí: 100316

=Y =3,16 Daí: X =(3,16x5)+22 X =37,8

( )22

X

S X

147970.27

1=∑ =

fiPMi i



18

Agora, para descobrir o valor da Média da variável Z, percorreremos o caminho de cima da transformação trazida pelo enunciado, lembrando-nos de que a média é influenciada pelas quatro operações matemáticas. Traduzindo: qualquer operação que surja neste caminho terá que ser feita por nós. Daí, teremos:

1ª)-27,8 2ª)÷10

X Z

Z =(37,8-27,8)/10 Z =1,0 Trabalhemos, agora, para descobrir o valor da variância de Z, ou seja, Sz

2. Há duas equações para cálculo da Variância. As seguintes:

( )

nfiXPM

S ∑ −=

.2

2 ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

22 .).(.1

Observando o dado adicional fornecido pela questão 147970.27

1=∑ =

fiPMi i ,

decidimos que o mais conveniente é usar a fórmula maior! Só precisaremos encontrar o valor da segunda parcela do colchete, visto que o restante já é nosso conhecido. Daí, nosso próximo passo será construir a coluna PM.fi. Teremos:


Freqüências (fi)

PM PM.fi

19,5 – 24,5 24,5 – 29,5 29,5 – 34,5 34,5 – 39,5 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

44 243 736 1073 756 564 364

Total n=100 ∑=3780 Daí: ∑(PM.fi)2 = (3780)2 = 14.288.400,

E: ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

22 .).(.1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

10014288400147970.

10012S

Daí: [ ]142884147970.100

12 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=S 86,50

10050862 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=XS

Daí, percorrendo o caminho de cima, que nos conduz até a variável transformada Z, e lembrando-nos das propriedades da variância, teremos que:

X =37,8



19

1ª)-27,8 2ª)÷10

X Z Daí: Sz

2 = 50,86 ÷ (10)2 Sz2 = 0,5086

Finalmente, dispondo dos valores que compõem o cálculo da variância relativa da variável Z, resta-nos substituí-los na fórmula e fazer as contas. Teremos:

VRz = CVz2 = ( )2

2

Z

Sz = ( )215086,0

= 0,5086 ≈ 0,51 Resposta!

12. (FISCAL INSS - 2002) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 d) R$ 981,00 b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00 c) R$ 924,96 Sol.: Os dados iniciais da questão dizem respeito a uma operação de desconto simples por fora. São fornecidos o valor nominal (N=10.900,00), o valor do desconto por fora (Df=981,00) e o tempo de antecipação (n=3 meses). Podemos, daí, calcular o valor da taxa da operação. Teremos:

ni

DfN.100

= ===310900

981100..100

xx

nNDfi 3% ao mês

Daí, lembraremos que há uma relação entre os valores dos dois descontos simples – o comercial e o racional. Aplicando essa relação, chegaremos à resposta! Teremos:

Df=Dd.(1+i.n) 981=Dd.(1+0,03x3) Dd=981/1,09

Dd=900, Resposta!

28. (ATE-MS-2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00 Sol.: Dados da questão: Valor Atual (A=4.400); tempo de antecipação (n=4 meses) e a taxa da operação (i=3% ao mês).

2XS =50,86



20

Foi dito pelo próprio enunciado que o desconto aqui é o composto e é por dentro (racional). Taxa e tempo já estão na mesma unidade, de sorte que nos resta aplicar a fórmula, diretamente. (A questão mais fácil de hoje!) Teremos:

N=A.(1+i)n N=4.400.(1+0,03)4 =4400x1,125508

N=4.952, Resposta!

41. (AFRF-2002-2) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 d) R$ 1.512,44 b) R$ 1.418,39 e) R$ 1.550,00 c) R$ 1.500,00

Sol.: Vamos dividir nossa leitura dessa questão em duas partes. A primeira parte é formada exatamente pelas três primeiras linhas do enunciado. Façamos, pois, de conta que a questão fosse somente até ali. Teríamos, portanto, um bem (um veículo), que vale à vista R$25.000, mas que não será pago de uma só vez. Haverá uma entrada de 50% do valor à vista, e o restante será pago, diluído, liquidado, amortizado, em doze prestações mensais. Se fosse só isso, teríamos o seguinte desenho:

25.000

P P P P P P P P P P P P

12.500

Estes 12.500 correspondem à entrada, que vale exatamente a metade (50%) do bem à vista! Ora, aqui encontramos o quê? Parcelas de mesmo valor, dispostas em intervalos de tempo iguais, e sujeitas a uma taxa de juros compostos! E elas servem para quê? Para pagar, amortizar, um valor anterior!

Estamos diante de uma questão de Amortização. Contudo, sabemos que o desenho-modelo da Amortização não admite que exista parcela de entrada! Logo, fazendo a soma algébrica, desapareceremos com a entrada. Teremos:

12.500




21

Estaria quase tudo terminado, se fosse só isso! Ocorre que o enunciado complementou os dados iniciais, afirmando que a pessoa que está fazendo a compra a prazo (o financiamento) conseguiu também financiar dois outros valores (2300 e 200), referentes a pagamentos de seguro e de taxa de abertura de crédito.

Ora, quando a questão afirma que ele conseguiu também financiar estes valores, está querendo dizer que essas duas quantias adicionais (seguro e taxa de abertura de crédito) vão ser também diluídas, amortizadas, nas várias prestações, juntamente com o valor do veículo que ainda resta ser pago!

Então, já matamos a charada! Se o valor do carro que será amortizado é de R$12.500, e as duas outras quantias que serão também amortizadas são de R$2.300 e de R$200, se somarmos tudo, teremos o enunciado chamou de valor do financiamento global!

Total a ser amortizado: 12500+2300+200=15.000,00

Daí, o desenho final da nossa questão será o seguinte:

15.000


Vejamos que o desenho já está favorável para que façamos a operação de Amortização. Teremos, pois, que:

T=P.An¬i 15000=P . A12¬2%

Consultando a Tabela Financeira da Amortização, acharemos que:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí, teremos que:

15000=P . A12¬2% P=15000 / 10,575341

Daí: P=1.418,39 Resposta!

in



22

42. (MDIC-ACE-2002) Uma empresa adquiriu um equipamento no mercado internacional com uma parcela de US$ 100,000.00 financiada em dezoito prestações semestrais iguais de US$ 8,554.62, vencendo a primeira ao fim do primeiro semestre. Junto com o pagamento da décima-segunda prestação a empresa acerta com o financiador um pagamento único para quitar o resto da dívida. Calcule o valor mais próximo desse pagamento que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiamento original. a) US$ 33,333.00 d) US$ 48,225.00 b) US$ 43,420.00 e) US$ 50,000.00 c) US$ 46,938.00 Sol.: Nosso primeiro passo aqui será descobrir qual o valor da taxa envolvida na operação original. Teremos:

T=P.An¬i 100.000=8.554,62 . A18¬i%

Daí: A18¬i%=(100.000/8.554,62)=11,689587

Com isso, consultando a Tabela Financeira da Amortização, teremos:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Ou seja:

i=5% ao semestre!

Agora, passamos à situação nova: foram pagas doze parcelas, de sorte que restam pagar outras seis. A taxa é agora nossa conhecida. Daí, aplicaremos novamente a equação da Amortização, só que utilizando os novos dados. Teremos:

T=P.An¬i T=8.554,62 . A6¬5% T=8.554,62x5,075692

Daí: T=43.420, Resposta!

in



23

53. (AFRF-2003) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8%

Sol.: Aqui se fala de um país que vai captar um empréstimo por meio do lançamento de bônus e de cupons. Serão, na verdade, dez cupons semestrais de US$60 e um único bônus de US$1000 a ser pago juntamente com o último cupom. O desenho dessa questão será, pois, o seguinte: X (=“preço de lançamento”)

60 60 60 60 60 60 60 60 60 60

1000

O enunciado fornece o valor das parcelas e o valor do X. E teremos que encontrar o valor da taxa da operação!

Onde está dito no enunciado qual será o valor do X? Nas seguintes palavras: “os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal”.

A melhor tradução dessa frase destacada acima seria: “o preço de lançamento (o X) é igual ao valor nominal do bônus, com mais um ágio de 7,72%”.

Era justamente esse o desafio: saber interpretar esse enunciado. Pois bem! Vamos, de posse desse entendimento, calcular o valor do preço de lançamento (do X). Podemos logo determinar o quanto será o valor desse ágio. Teremos:

Ágio = 20,771000100

72,7=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x

Daí, o valor do X será: X=1000+77,20 X=1077,20

Todos entenderam o motivo de termos somado aos 1000 aquele valor 77,20? Somamos porque foi dito que ele (77,20) representa um ágio! E ágio é um valor a maior! Terá sempre que ser somado!



24

Contrariamente, se o enunciado houvesse falado em deságio, em vez de somar, teríamos que subtrair! É bom estar atento a essa informação! Quem sabe cairá assim na próxima prova?!

Daí, calculado o valor do X, o desenho definitivo dessa questão será:

1077,20

60 60 60 60 60 60 60 60 60 60

1000

Nossa missão agora será a seguinte: teremos que descobrir a taxa composta que envolve toda essa operação!

Ora, com as parcelas de 60 dólares, faremos uma operação de Amortização, concordam? Esquecendo por hora o bônus de 1000 dólares, e trabalhando só com os cupons de 60, teremos:

T=60 . A10¬i% (=Resultado dos cupons de 60)

Considerando agora somente o bônus de 1000 dólares, e transportando-o para a data zero por meio de uma operação de desconto composto racional, teremos que:

E=1000/(1+i)10 (=Resultado do bônus de 1000)

Daí, ao somarmos os dois valores encontrados acima, o resultado desta soma terá que ser igual ao valor do X que já é nosso conhecido! Ou seja:

(60 . A10¬i%) + [1000/(1+i)10] = 1.077,20

Enfim, chegamos ao seguinte: uma equação e uma variável. Esta variável, ou seja, esse elemento desconhecido da equação é justamente o valor da taxa i.

E agora, o que fazer? Só nos resta uma coisa: olharmos para as opções de resposta! São as seguintes:

a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8%



25

Mas não basta olhar para essas taxas. Temos ainda que observar o fato de que elas (as taxas das opções) são taxas nominais anuais, conforme disse expressamente o enunciado!

Se são taxas nominais anuais, então tem que haver um período de capitalização! Qual? Ora, isso já aprendemos: se as parcelas são semestrais, então a capitalização também o será! Daí, quando formos ler as opções de resposta, teremos que fazê-lo da seguinte forma:

a) 16% ao ano com capitalização semestral

b) 14% ao ano com capitalização semestral

c) 12% ao ano com capitalização semestral

d) 10% ao ano com capitalização semestral

e) 8% ao ano com capitalização semestral

Mas ocorre que taxa nominal não serve para ser utilizada nas contas!

Transformando-as, portanto, em taxas efetivas, teremos que nossas opções de resposta são as seguintes:

a) 16% ao ano com capitalização semestral = 8% ao semestre

b) 14% ao ano com capitalização semestral = 7% ao semestre

c) 12% ao ano com capitalização semestral = 6% ao semestre

d) 10% ao ano com capitalização semestral = 5% ao semestre

e) 8% ao ano com capitalização semestral = 4% ao semestre

Assim, naquela nossa equação final a que havíamos chegado...

... (60 . A10¬i%) + [1000/(1+i)10] = 1.077,20 ...

... iremos testar as taxas efetivas das opções de resposta! Onde houver o i da equação, substituiremos pelas taxas das respostas (8%, 7%, 6%, 5%, 4%).

Vai ser na base do teste? Vai! Não tem outro jeito!

Uma sugestão: se formos inteligentes, só teremos que fazer, no máximo, duas tentativas! Já perceberam isso? Claro! Basta que nossa primeira tentativa seja com a resposta do meio! A resposta intermediária! Se são cinco opções, começaremos pela terceira, uma vez que ficam duas para cima e duas para baixo! Vejamos:

a) 8% ao semestre

b) 7% ao semestre

c) 6% ao semestre 1ª tentativa!

d) 5% ao semestre

e) 4% ao semestre

Se, usando a taxa da letra C, encontrarmos o resultado 1.077,20, então ótimo: já teremos encontrado a resposta da questão!

Vamos ver se é isso que acontece? Substituamos, pois, a taxa i por 6%. Teremos:



26

(60 . A10¬6%)=60x7,360087=441,61 &

[1000/(1+0,06)10] = [1000/1,790847]=558,39

Compondo nossa equação, teremos que:

(60 . A10¬6%) + [1000/(1+0,06)10] = 441,61+558,39=1000,00

Ou seja, trabalhando com uma taxa de 6%, chegamos a um valor X=1000. Mas não é a 1000 que queremos chegar, e sim a 1.077,20.

Logo, concluímos que a taxa a ser escolhida terá que ser uma taxa menor que 6%.

Ihhhh, professor...! Agora baralhou tudo!! Se com uma taxa de 6% eu cheguei a 1000, e quero chegar a 1077, não teria que usar uma taxa maior que 6%?

A dúvida até que é procedente! Mas quem está certo sou eu! Por quê? Veja que esse valor, esse resultado a que chegamos (1000), localiza-se na data zero! Numa data anterior! Lá no início do desenho!

Se esse valor 1000 estivesse no final do desenho, aí, sim, você estaria certo! Se eu aumento a taxa, eu encontro um resultado da operação maior, se esse resultado está localizado no final do desenho!

Mas, se o resultado que eu procuro está no início do desenho, ocorre exatamente o inverso: se eu aumento a taxa, então diminui o valor do resultado! E vice-versa: se eu diminuo a taxa, aumento o resultado!

Ficou claro? Espero que sim!

Voltando à questão: trabalhando com uma taxa de 6% chegamos ao resultado 1000. Mas queremos chegar, na verdade, ao resultado 1077,20. Aí perguntamos: onde está localizado, no desenho da questão, esse resultado 1077,20? É no início ou no final? No início! Então, se eu pretendo aumentar um resultado que está no início do desenho, terei que diminuir a taxa!

Para diminuir a taxa, só haverá duas possibilidades. Senão, vejamos:

a) 8% ao semestre

b) 7% ao semestre

c) 6% ao semestre 1ª tentativa, que FALHOU!

d) 5% ao semestre

e) 4% ao semestre

Ou seja, taxa menor que 6% ao semestre nós só encontraremos nas opções D ou E. Uma dessas duas será a nossa resposta! Daí, tentaremos a opção D (taxa de 5%).

Se a resposta estiver na D, matamos a questão.

Se não for ainda a resposta D, matamos do mesmo jeito, porque só poderá ser a E.



27

Enfim, fazendo só mais uma tentativa, chegaremos sempre ao resultado!

Trabalhando com a taxa i=5% ao semestre (opção d), encontraremos o seguinte:

(60 . A10¬5%)=60x7,721735=463,30 &

[1000/(1+0,05)10] = [1000/1,628894]=613,90

Compondo nossa equação, teremos que:

(60 . A10¬5%) + [1000/(1+0,05)10] = 463,30+613,90=1.077,20

Era nesse resultado que queríamos chegar? Sim! Exatamente a 1.077,20. Daí, concluímos: a taxa efetiva dessa operação é 5% ao semestre.

Só que as opções de resposta não trazem taxas efetivas. Trazem taxas nominais anuais.

Daí, como vimos acima, essa resposta que procuramos será:

d) 10% ao ano (com capitalização semestral) Resposta!

57. (FISCAL DO INSS – 2002) Uma empresa possui uma taxa de atratividade mínima de 12% ao ano e está considerando uma proposta de investir hoje R$ 20.000.000,00 para obter receitas previstas de R$ 3.000.000,00 ao fim de cada um dos próximos dez anos. Obtenha a decisão da empresa baseada no critério do valor atual do fluxo de caixa previsto da empresa. a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. b) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. c) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. d) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. e) A empresa não se decide porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é zero. Sol.: Essa questão é bem mais simples do que possa parecer. A empresa vai investir hoje um total de R$20.000.000,00 , já sabendo que irá receber de volta dez parcelas anuais de R$3.000.000,00. E a pergunta: se a taxa da operação for de 12% ano, valerá a pena fazer esse investimento? O desenho da questão é o seguinte: 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000

20.000.000,



28

Aqui, o que tem que ser feito é apenas atualizar, ou seja, trazer para a data zero, todas aquelas parcelas de R$3.000.000,00 , a uma taxa de 12% ano. Façamos isso:

T=P.An¬i T=3.000.000 . A10¬12%

T=3.000.000 x 5,650223 T=16.950.669,

Em outras palavras: trabalhando com uma taxa anual de 12%, bastaria eu

investir R$16.950.669 e já resgataria as parcelas anuais de R$3.000.000,00. Então, se só preciso investir um valor menor que R$20.000.000,00 e obterei o

mesmo resultado, será que vale a pena esse investimento proposto pela questão? O desenho da questão agora, todo concentrado na data zero, será:

16.950.669, 20.000.000,00 Ou seja, um fluxo de caixa com resultado negativo! Isso confirma nosso entendimento de que esse investimento proposto pelo enunciado é um barco furado! Não vale a pena! Essa resposta nós encontraremos na opção ... ... a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. Resposta! E assim concluímos mais um simulado! Mas, professor, pelo-amor-de-Deus, cadê os resumões das fórmulas que você prometeu? Calma, minha gente! A paciência é a mãe das virtudes! Já estou quase concluindo os resumões. Só peço um pouquinho mais de paciência. Certo? Espero que todos tenham conseguido fazer as questões de hoje com um bom tempo de resolução! Havia questões bem interessantes aqui! Não acharam? Não? Tudo muito fácil? Ótimo! Sinal que estão bem conhecedores do estilo Esaf de elaborar questões!

Fiquem todos com Deus. Um forte abraço e até breve!



1

AULA 08

Olá, amigos! Hoje vou pedir-lhes licença para tentar ser um pouco mais conciso nas resoluções

das questões deste simulado que sejam muito semelhantes a outras trabalhadas aqui nas aulas passadas, tendo em vista que estou acometido por uma virose daquelas, muito comuns em Fortaleza quando as chuvas começam...

Sem mais demora, seguem as questões de hoje! Marque o tempo e pode começar seu simulado.

Q U E S T Õ E S (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.

a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2%

40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0%



2

51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100


58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período. a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00%

17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 d) $ 970,00 b) $ 900,00 e) $ 995,00 c) $ 945,00

32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o seguinte esquema de pagamentos: a) uma entrada de 20%; mais b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, ou seja, para o final do período de financiamento. Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 c) R$ 172.432,40



3

47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 c) R$ 29.124,00

49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 986,00 d) R$ 900,00 b) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 c) R$ 923,00

55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à taxa nominal de 12% ao ano. a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125%

59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão 36. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.


Meses Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: a) Fluxo um b) Fluxo dois c) Fluxo três d) Fluxo quatro e) Fluxo cinco



4

2ª Etapa) Resolução das Questões Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100

20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 Sol.: A questão diz, quase expressamente, que a coluna fornecida é de freqüência relativa crescente! Diz também que n=200 elementos. Construindo a coluna da Fi e depois a fi, teremos:

Classes Fac Fi fi 4 – 8 20% 20% 40 8 – 12 60% 40% 80 12 – 16 80% 20% 40 16 – 20 98% 18% 36 20 – 24 100% 2% 4

Para encontrarmos a média do conjunto, usaremos o método da variável transformada. Os passos são aqueles já nossos conhecidos: 1º Passo) Pontos Médios!

Classes fi PM 4 – 8 40 6 8 – 12 80 10 12 – 16 40 14 16 – 20 36 18 20 – 24 4 22

2º Passo) A coluna de transformação da variável e a coluna fi.Yi. Teremos:

Classes fi PM (PM-6)/4=Yi fi.Yi 4 – 8 40 6 0 0 8 – 12 80 10 1 80 12 – 16 40 14 2 80 16 – 20 36 18 3 108 20 – 24 4 22 4 16

284



5

3º Passo) Calcular a média da variável transformada Y : Y =(∑fi.Yi)/n Y =284/200 Y =1,42 4º Passo) Percorrer o caminho de volta da transformação da variável e chegar à Média da Variável original X : 1,42 x 4 = 5,68 5,68 + 6 = 11,68 X =11,68 Resposta! 21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 Sol.: Questão típica e fácil. 1º Passo) Descobrir quem é a classe modal (aquela de maior freqüência absoluta simples). Teremos:

Classes fi 4 – 8 40

8 – 12 80 Classe Modal! 12 – 16 40 16 – 20 36 20 – 24 4

2º Passo) Aplicar a fórmula de Czuber! Teremos:

hpa

alMo .inf ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆

∆+= 4.

4040408 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++=Mo Mo=10,00 Resposta!

36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.

a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2%

Sol.: Questão também muito típica da Esaf! Vejamos logo como é que fica essa transformação fornecida pelo enunciado: 1ª)x5 2ª)+5

W Y 2ª)÷5 1ª)-5



6

Daí, foi dito que, do lado da variável W, teremos que: W =5 e Sw=1. Com esses valores, percorreremos aqui o caminho de ida e descobriremos quem é o valor da Média e do Desvio-Padrão da variável Y, ou seja, quem é Y e Sy. Começando com a Média, teremos: Y =(W x 5) + 5 Y =(5 x 5) + 5 Y =30,00 Já em relação ao Desvio Padrão, lembraremos que esta medida não é influenciada por operações de soma ou subtração, de modo que a segunda operação do caminho de ida (somar a 5) será desconsiderada, nesta busca pelo Sy. Teremos: Sy = (Sx . 5) Sy = 1 x 5 Sy = 5,00 Por fim, uma vez conhecedores dos valores da Média e do Desvio Padrão da variável Y, resta-nos aplicar a fórmula do Coeficiente de Variação, e teremos: CV = Desvio-Padrão / Média CV=5,00/30,00 CV=0,167 Ou seja: CV=16,7% Resposta!

40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral

2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. b) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0%

Sol.: Questão muito parecida com a anterior! A diferença é que aqui trabalharemos com a Variância. A transformação é a seguinte:

1ª)-2 2ª) ÷3 X Z 2ª)+2 1ª)x3

Sabemos que a Média de Z é igual a Z =20. Daí, chegaremos à média de X seguindo o caminho de volta (em vermelho!), e lembrando-nos das propriedades da média! Essa, conforme sabemos, é influenciada pelas quatro operações. Teremos: X =( Z x 3) + 2 X =(20 x 3) + 2 X =62,00 Quanto à outra medida da qual dispomos, trata-se da variância. Ora, o que a questão nos pede é um coeficiente de variação. Para isso, não nos interessa a variância de Z, e sim o seu desvio-padrão. Sabemos também que este último é a raiz quadrada da variância. Daí, teremos:

Sz = ( ) 6,156,22 ==Sx



7

Daí, para chegarmos ao desvio-padrão da variável X, percorreremos novamente o caminho de volta, recordados que esta medida não é influenciada por operações de soma e subtração. Teremos que:

Sx = (Sz . 3) Sx = 1,6 x 3 Sx = 4,80

Finalmente, uma vez conhecedores dos valores da Média e do Desvio Padrão da variável X, resta-nos aplicar a fórmula do Coeficiente de Variação, e teremos: CV = Desvio-Padrão / Média CV=4,80/62,00 CV=0,077 Ou seja: CV=7,7% Resposta!

51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100


Sol.: A fórmula que pede o enunciado é a seguinte:

19

5.219DD

DDDA−−+

=

Daí, era isso que teremos que calcular: primeiro, quinto e nono decil. Para tanto, trabalhemos preliminarmente as colunas de freqüências. Observemos que a questão disse que a coluna fornecida é a Fac, mas omitiu-se de informar quanto vale o n (número de elementos do conjunto). Quando isso ocorrer, adotaremos n=100. Teremos:

Classes Fac 2.000 – 4.000 5% 4.000 – 6.000 16% 6.000 – 8.000 42% 8.000 – 10.000 77% 10.000 – 12.000 89% 12.000 – 14.000 100%

Ora, tendo que n=100, as outras colunas de freqüência serão as seguintes:



8

Classes Fac Fi fi fac 2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 12.000 – 14.000 100% 11% 11 100

1º Passo) Cálculo do primeiro decil – D1. Teremos: A fração do D1 é (n/10)=10. Comparando a coluna da fac com esse valor 10, por meio das perguntas de praxe, teremos que:

Classes Fac Fi fi fac 2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 Classe do D1! 6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 12.000 – 14.000 100% 11% 11 100

Daí: 2000 (=6000-4000) X 4000 D1 6000


5112000 X

=

E, finalmente: X=(5x2000)/11 X=10.000/11 X=909,09

Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D1 ao valor calculado X. 4000 + 909,09 = 4.909,09 = D1



9

2º Passo) Cálculo do nono decil – D9. Teremos: A fração do D9 é (9n/10)=90. Comparando a coluna da fac com esse valor 90, por meio das perguntas de praxe, teremos que:

Classes Fac Fi fi fac 2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 6.000 – 8.000 42% 26% 26 42 8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 10.000 – 12.000 89% 12% 12 89

12.000 – 14.000 100% 11% 11 100 Classe do D9! Daí: 2000 (=14000-12000) X 12000 D9 14000


1112000 X

=


Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D9 ao valor calculado X. 12000 + 181,81 = 12.181,81 = D9 3º Passo) Calculo da Mediana, que é o mesmo de quinto decil D5. Teremos: A fração da mediana é igual a (n/2). Temos que n/2=50. Daí:

Classes Fac Fi fi fac 2.000 – 4.000 5% 5% 5 5 4.000 – 6.000 16% 11% 11 16 6.000 – 8.000 42% 26% 26 42

8.000 – 10.000 77% 35% 35 77 Classe do D5! 10.000 – 12.000 89% 12% 12 89 12.000 – 14.000 100% 11% 11 100



10

Daí: 2000 (=10000-8000) X 8000 D5 10000


8352000 X

=


Daí, resta-nos somar o limite inferior da classe do D5 ao valor calculado X. 8000 + 114,28 = 8.457,14 D5 Enfim, encontramos nesta resolução que: D1 = 4.909,09 D9 = 12.181,81 D5 = 8.457,14 Daí, aplicando a fórmula aludida acima, teremos:

195.219

DDDDDA

−−+

= 09,490981,12181

)14,457.8209,490981,12181(−

−+=

xA

Daí, teremos: A=(176,62)/7272,72 E: A=0,024 Resposta!



11

58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período. a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00%

Sol.: Esta questão exigiu o conhecimento de um índice que, ao meu ver, não estava no programa deste concurso. Trata-se do índice deflator, ou índice de desvalorização da moeda! Seu cálculo é dado pelo seguinte:

11

,

−=toIP

açãodesvaloriz

Onde IPo,t significa exatamente o índice de preço, e será calculado com base no valor da inflação do período, da seguinte forma:

IPo,t=INFLAÇÃO+100%

Esta inflação foi fornecida pelo enunciado como sendo igual a 30%. Daí, teremos:

IPo,t=30%+100%=130%=1,30 Agora, é só aplicar a fórmula do deflator. Teremos:

%08,232308,0130,11

−=−=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=açãodesvaloriz

O sinal negativo apenas indica que o dinheiro se desvalorizou naquele período. Daí, chegamos à nossa resposta:

Desvalorização = 23,08% Resposta!

17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 d) $ 970,00 b) $ 900,00 e) $ 995,00 c) $ 945,00

Sol.: Esse aqui é justamente aquele modelo de enunciado em que se fala em um financiamento. Este será entendido por nós como sendo um empréstimo. Ora, quando eu faço um empréstimo com alguém, é óbvio que eu pego uma quantia hoje (data zero), comprometendo-me a devolvê-la em uma data (ou várias datas) no futuro. Para que nem eu e nem o meu credor saiamos perdendo, será preciso que o valor que eu peguei emprestado hoje (o valor do financiamento) seja equivalente às parcelas de devolução em datas futuras! Em outras palavras: o que eu tomei emprestado tem que ser equivalente ao que eu vou devolver no futuro.



12

A única coisa que se quis inovar neste enunciado foi que, em vez de dizer diretamente quais os valores das duas parcelas que constituem a nossa “devolução”, ele falou em um certo valor total ($1.400,00), e que a primeira parcela de devolução corresponde a 70% deste valor, enquanto que a segunda parcela de devolução corresponde a 30% do valor total. Podemos calcular logo esses valores que compõem a nossa segunda obrigação. Teremos:

Primeira parcela de devolução: 00,980400.110070

=x

Segunda parcela de devolução: 00,420400.110030

=x

Com isso, já estamos aptos a desenhar nossa questão. Teremos: X 980, 420,

0 4m 11m (I) (II) (II) O raciocínio é o seguinte: se chamarmos de primeira obrigação o valor que pegamos emprestado (na data zero), então as parcelas da devolução serão ditas como nossa segunda obrigação. O contrário também pode ser feito, sem nenhum problema: chamar as parcelas de devolução de primeira obrigação e o valor do empréstimo (na data zero) de segunda obrigação. O importante é nunca misturar parcela do empréstimo e parcela da devolução. Entendido? Como a questão é de Equivalência de Capitais, então a resolveremos por meio de operações de desconto! O enunciado falou em taxa de juros simples. Com isso, sabemos que estamos trabalhando no regime simples, e que nossas operações, nessa resolução, serão todas de desconto por dentro! Percebamos ainda que a taxa fornecida é mensal e os tempos já estão nesta mesma unidade (mês). Resta-nos constatar onde estará nossa data focal. Observemos que nada foi dito acerca deste elemento, razão pela qual concluímos: usaremos, como data de referência, a data zero! O desenho completo de nossa questão será o seguinte: X 980, 420,

(DF) 4m 11m (I) (II) (II)



13

Comecemos os nossos passos efetivos de resolução. 1º Passo) Projetar para a data focal os valores da primeira obrigação. Reparemos que este passo já está cumprido, uma vez que só temos uma parcela de primeira obrigação (que é justamente o X), e que esta parcela já se encontra sobre a data focal. Destarte, não teremos que projetá-la para lugar nenhum, nem para uma data futura, e nem para uma data anterior! Aliás, na data focal, esse X vale ele mesmo, ou seja, X. Adiante! 2º Passo) Projetar para a data focal os valores da segunda obrigação. Vamos começar com a parcela $980, que está na data 4 meses. Aplicando o desconto simples por dentro, teremos: 980, E

100 100+i.n (DF) 4m (II)

Daí: 410100

980100 xE

+=

14098000

=E E=700,00

Passando agora a trabalhar com a parcela $420,00 na data 11 meses, teremos: 420, F

100 100+i.n

(DF) 11m (II)

Daí: 1110100

420100 xF

+=

21042000

=E F=200,00

Acabou-se também o segundo passo, e passamos ao terceiro.

3º Passo) Aplicar a Equação de Equivalência.

∑ (I)DF = ∑ (II)DF

Na primeira parte da equação, teremos apenas um valor de primeira obrigação, que é justamente o X, e que já estava sobre a data focal. Logo, na equação acima, ele, o X, entrará com o seu próprio valor (X).



14

Segunda parte da equação é a soma dos resultados do segundo passo. Daí, teremos que:

X = 700 + 200 X=900,00 Resposta!

32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o seguinte esquema de pagamentos: a) uma entrada de 20%; mais b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, ou seja, para o final do período de financiamento. Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 c) R$ 172.432,40

Sol.: Há duas formas de pagamento para o mesmo bem: ou à vista, ou financiado (a prazo). Então, nem precisa pensar muito: questao de equivalência! É preciso que o pagamento à vista seja equivalente ao pagamento a prazo, e vice-versa! O desenho da questão é o seguinte: 400.000 X X 100.000 80.000

0 4m 6m 12m (I)(II) (II) (II) (II) (DF) Como o regime é o composto (foi dito isso pelo enunciado!), então a escolha da data focal é livre. Adotaremos a data 12 meses! De resto, é seguir aqueles passos da equivalência composta, que já estamos carecas de conhecer. 1º Passo) E=400000.(1+0,04)12 E=640.412,88 2º Passo) F=80000.(1+0,04)12 F=128.082,57 G=100000.(1+0,04)8 G=136.856,90 H=X.(1+0,04)6 G=1,265318.X



15

3º Passo) Equação de Equivalência. Teremos:

640.412,88 = 128.082,57 + 136.856,90 + 1,265318X + X Daí: X=165.748, Resposta! 47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 c) R$ 29.124,00

Sol.: A questão aqui falou em fluxo de pagamentos! Já sabemos o que é isso, só que com outros nomes: fluxo de valores e fluxo de caixa. Tudo a mesma coisa! Sinônimos! Ok?

Antes de desenharmos a questão, verifiquemos qual é o prazo total em que estarão dispostas as parcelas. Quanto tempo? 18 períodos. Ora, a questão não especificou o que é um “período”, de modo que qualquer um serve. Ou seja, podemos, se quisermos, dizer que são 18 meses. Foi dito ainda pelo enunciado que as parcelas desse pagamento serão dividas em três “blocos”, dispostos de seis em seis períodos. Assim, desenhando esse prazo total, com as respectivas divisões, teremos:

No primeiro “bloco”, os pagamentos são feitos ao fim de cada período, dentro dos meses de 1 a 6, todos no valor de R$3.000,00. Daí, teremos:

3000,

O segundo “bloco” é o das parcelas dispostas do sétimo ao décimo segundo mês. São todas elas no valor de R$2000, e pagas também ao fim de cada período.

Teremos:



16

2000,

3000,

Por fim, o terceiro “bloco” traz as parcelas de R$1000, pagas entre o décimo terceiro e o décimo oitavo mês, igualmente ao fim de cada período. Teremos:

1000,

2000,

3000,

Ora, esse nosso desenho acima é um fluxo de caixa. Já o desenhamos! Agora, vamos ver qual é a data de interesse da questão, ou seja, qual é aquela data para a qual teremos que “transportar” todos os valores desse fluxo.

O enunciado disse isso logo em seu início: “Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período...”. Ou seja, teremos que levar todo mundo para a data zero! Logo, o desenho completo desta questão é o seguinte:

X

1000,

2000,

3000,



17

Agora, utilizaremos um artifício muito utilizado em questões de Rendas Certas: a criação de diferentes níveis de parcelas, por meio de simples tracejados! Vamos tentar fazer a mesma coisa por aqui. Teremos:

X

1º nível

1000,

2º nível

2000,

3º nível

3000,

Agora, se repararmos apenas nas parcelas do 1º nível, veremos o seguinte:

T’

1º nível

1000, 1000, 1000, 1000,

Ou seja: 18 parcelas de 1000, estando a primeira ao final do primeiro período!

Ora, ficou fácil verificar que se realizarmos uma operação de Amortização para as parcelas desse 1º nível, encontraremos um valor correspondente a todas elas, exatamente na data de interesse da questão, que é a data zero! E com isso, teremos trabalhado todo esse 1º nível.

Agora, tentemos visualizar somente as parcelas do 2º nível. Teremos:



18

T’’

2º nível

1000, 1000, 1000,

Aqui, vemos a mesma coisa: bastará fazermos uma operação de Amortização (por uma aplicação direta da fórmula) e encontraremos um valor que representará todas essas parcelas do 2º nível.

Visualizando o 3º nível isoladamente, veremos o seguinte:

T’’’

3º nível

1000,

São apenas seis parcelas, e em condições perfeitas (assim como as parcelas dos outros dois níveis) de serem submetidas a uma operação de Amortização!

Ora, quando acabarmos de trabalhar, por meio de operações de Amortização, cada um dos três níveis de parcelas, teremos encerrado nossa resolução!

Conclusão: faremos aqui não apenas uma, mas três operações de Amortização!

Nossa composição dos níveis é a seguinte:

1º nível) n=18 (18 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!)

2º nível) n=12 (12 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!)

3º nível) n=6 (são 6 parcelas); P=1000; e i=4% (juros compostos!)

Daí, para encontrarmos os valores de T’ (resultado da amortização referente às parcelas do 1º nível), T’’ (resultado da amortização referente às parcelas do 2º nível) e T’’’ (resultado da amortização referente às parcelas do 3º nível), faremos:

T’=P.An¬i T’=1000 . A18¬4%

T’’=P.An¬i T’’=1000 . A12¬4%

T’’’=P.An¬i T’’’=1000 . A6¬4%

O valor que procuramos nessa questão será o resultado de todas as parcelas, logo, o resultado de todos os três níveis. Portanto, diremos que:

X=T’+T’’+T’’’



19

X=(1000 . A18¬4%)+(1000 . A12¬4%)+(1000 . A6¬4%)

Colocando os 1000 (fator comum) em evidência, teremos que:

X=1000 ( A18¬4% + A12¬4% + A6¬4%)

Podemos, de uma feita, consultar na Tabela Financeira da Amortização os três fatores de amortização requeridos acima. Teremos:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí, teremos que:

X=1000 ( 12,659297 + 9,385074 + 5,242137)

X=1000 x 27,28650

E: X=27.286, Resposta!

49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a)R$ 986,00 d) R$ 900,00 b)R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 c)R$ 923,00 Sol.: Este enunciado vem nos falar de uma compra a prazo, que será feita com o pagamento de doze prestações. Ora, só até aqui, nós já estamos seriamente desconfiados de que essa questão pode ser de Amortização! Senão, vejamos:

1º) as parcelas são de mesmo valor? Sim! “... doze prestações... iguais...”;

in



20

2º) as parcelas estão dispostas em intervalos de tempo iguais, ou seja, tem igual periodicidade? Sim! “doze prestações mensais...”;

3º) a taxa da operação é de juros compostos? Sim! Ocorre que esta última informação não foi feita de um modo convencional.

Aqui, o enunciado nos informou que o Regime da questão é o composto, quando disse que “este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa”.

Sempre uma questão disser que as parcelas correspondem a uma anuidade, essa será a palavra chave, a qual traduziremos assim: “estamos no regime composto”. Ok? Em suma: anuidade implicará regime composto!

Daí, vemos que estão presentes na questão as três características de uma questão tanto de Rendas Certas, quanto de Amortização. Mas para que servem essas parcelas? Ora, servem, neste exemplo, para pagar uma compra que foi feita anteriormente.

Então não resta dúvida: a questão é de Amortização!

Antes de passarmos ao desenho da questão, uma última consideração: percebamos que o enunciado falou no pagamento de uma entrada. Ora, em que data se paga uma entrada qualquer? Na data da compra, obviamente. Neste exemplo, foi dito que o valor do bem é de R$10.000 e que a entrada foi de 20% deste valor. Logo: 10.000x(20/100)=2.000. Encontramos o valor da entrada.

Daí, o desenho de nossa questão será o seguinte:

10000


2000

Ora, se pensarmos do desenho-modelo da Amortização, lembraremos que ele não admite entrada! A lei da Amortização diz que, para efeito de aplicação da fórmula, o valor a ser amortizado terá que estar um período antes da primeira parcela.

Conclusão: sempre que a questão de Amortização apresentar um pagamento de uma entrada (pagamento feito no dia da compra), teremos que desaparecer com ela! E como daremos sumiço a essa entrada? Fazendo a soma algébrica: (valor do bem à vista) menos (valor da entrada).

Teremos, pois, o seguinte:

8000




21

Agora, sim! O desenho da nossa questão assumiu o mesmo formato do desenho-modelo da Amortização. Ou seja, a primeira parcela agora está um período após a compra!

Feito isso, só nos resta aplicar a fórmula da Amortização. Teremos:

T=P. A n i 8000=P. A12¬4%


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí: 8000=P. A12¬4% P=8000/9,385007

Fazendo a divisão, chegaremos a: P=852,42 Resposta!

55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à taxa nominal de 12% ao ano. a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125%

Sol.: Esse tipo de questão já não tem mais segredo para nós, haja vista que já trabalhamos enunciados semelhantes a esse em aulas passadas! Passemos sem demora ao desenho da questão. Teremos:

X 1.000,00 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

in



22

Qual o nosso objetivo? Descobrir o valor do X, que representa o preço de lançamento do bônus! De antemão, sabemos que esse X será um menor mil, uma vez que a própria questão quer que descubramos o deságio! Qual é a taxa da operação? 12% ao ano, com capitalização semestral. Daí, a taxa efetiva é de 6% ao semestre! Levando todos os doze cupons, teremos: T=P.An¬i T=50 . A12¬6% T=50x8,383844 T=419,19

Este valor T representa todos os doze cupons de U$60,00. Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos isso, conforme sabemos, por meio de uma operação de desconto composto por dentro.

Teremos que:

1000=E.(1+0,06)12 E=1000/(1+0,06)12

Daí: E=1000/(1+0,06)12 E=1000/2,012196 E=496,97

Feito isso, concluímos que o valor X será a soma destes dois resultados. Ou seja:

X=419,19+496,97 X=916,16

Ora, sendo o valor do bônus de U$1000,00 e o preço de lançamento de U$916,16, diremos que houve um deságio de: 1000 – 916,16 = 83,84 Em termos percentuais, tendo por base o valor do bônus, teremos: 83,84 / 1000 = 0,08384 = 8,384% Resposta!

59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.


Meses Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8

Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050

quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100

Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: a) Fluxo um



23

b) Fluxo dois c) Fluxo três d) Fluxo quatro e) Fluxo cinco Sol.: Esta questão é a maior recordista de e-mails de todos os tempos! O entendimento dela, todavia, não é dos mais complexos. Tomemos, como exemplo, o primeiro fluxo de caixa fornecido na tabela acima, ...

Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050

... e o desenhemos. Teremos:

1.000 1.000 500 500 500 500 250 50

Daí, o objetivo é descobrir, considerando-se uma taxa de juros compostos de 4% ao período, quanto será o resultado de todas essas parcelas juntas, quando levadas para a data zero! Ou seja, queremos atualizar esse fluxo de caixa! Queremos descobrir o valor X1 (esse 1 é de fluxo 1). X1

1.000 1.000 500 500 500 500 250 50

Vimos na questão 47 de hoje que o artifício de fazer tracejados e com eles definir diferente níveis de parcelas é a melhor maneira de resolver esse tipo de questão. Teremos, portanto, que: X1

1.000 1.000 500 500 500 500 250 50



24

Daí, teremos que:

X1 = (50.A8¬4%)+ (200.A7¬4%)+(250.A6¬4%)+ (500.A2¬4%) Observemos que cada um desses parênteses acima corresponde a um dos quatro

níveis do desenho! A mesma coisa faríamos para os fluxos 2, 3, 4 e 5, encontrando,

respectivamente, os valores de X2, X3, X4 e X5. Teríamos que:

Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300

X2

1.000 500 500 500 500 500 500 300

Daí, teremos que:

X2 = (300.A8¬4%)+ (200.A7¬4%)+(500.A1¬4%)

Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050

X3

1.000 1.000 1000 500 500 500 150 50

Daí, teremos que:

X3 = (50.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(350.A6¬4%)+ (500.A3¬4%)



25

Para o fluxo 4, teremos:

Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 Quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100

(Por razões de praticidade, peço que vocês façam esse desenho, ok?) Daí, teremos que:

X4 = (100.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(200.A5¬4%)+ (200.A4¬4%)+(200.A3¬4%)+(200.A2¬4%) E finalmente o fluxo 5:

Fluxo 1 2 3 4 5 6 7 8 Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100

X5

1.000 1.000 800 400 400 400 200 100

Daí, teremos que:

X5 = (100.A8¬4%)+ (100.A7¬4%)+(200.A6¬4%)+ (400.A3¬4%)+(200.A2¬4%)

Enfim, fazendo-se as devidas consultas à tabela financeira da amortização, e efetuando-se todas as contas para os cinco fluxos de caixa, concluiremos que o X3, resultado do fluxo três, é maior que os demais! Daí: Fluxo três Resposta! É isso, meus amigos! Fico devendo (justificadamente!) os resumões das fórmulas. Se Deus quiser, da próxima aula não passa! Um abraço forte a todos e fiquem com Deus! P.S. Para quem ia fazer uma aula concisa, essa até que ficou bem grande...



1

AULA 09

Olá, amigos! Chegamos hoje ao nosso penúltimo simulado! Com mais esta aula, completaremos 108 (cento e oito) questões resolvidas e minuciosamente analisadas (54 de cada matéria). Tenho a impressão de que este curso, se levado a sério, será capaz de nos elevar a um bom nível de conhecimento, nas duas disciplinas. Penso que a hora de aproveitar o tempo é agora, enquanto ainda não tem edital publicado! Quem me conhece mais de perto, sabe que sou um otimista inveterado, de sorte que eu acredito que as questões das próximas provas de Matemática Financeira e de Estatística da Esaf dificilmente estarão distantes destas resolvidas por nós neste curso. Ademais, ainda que o estilo da questão seja outro, uma inovação, é certo que com essas questões que estamos resolvendo, teremos condições de desenvolver novos raciocínios! Claro! Não somos robôs e nem estamos aqui aprendendo a decorar nada (a não ser as fórmulas!). Estamos aprendendo a pensar esses vários assuntos. Já quase em tom de despedida, uma vez que a próxima aula é a saideira, peço a todos, sinceramente, que não desperdicem essa chance de revisar cada questão deste curso, e assim torná-lo (por que não dizer?) um marco definitivo na sua preparação de Estatística e de Matemática Financeira. Seguem as questões de hoje. Marque o tempo e pode começar!

Q U E S T Õ E S

7. (AFRF – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100


33. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo

b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.



2

35. (AFRF-2002/2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Grupo Média Desvio padrão

A 20 4 B 10 3

Assinale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos.

45. (AFRF-2002) Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente

1090 PPQk−

=

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose к para a distribuição de X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000

49. (FISCAL DO INSS-2002) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2

Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610



3

31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ 63.232,00 d) R$ 62.200,00 b) R$ 64.000,00 e) R$ 64.513,28 c) R$ 62.032,00

48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). a) R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 b) R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 c) R$ 35.520,00

52. (ANALISTA SERPRO – 2001) Um país lançou bônus no mercado internacional de valor nominal, cada bônus, de US$ 1.000,00, com dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. a) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bônus b) US$ 52,00 por bônus e) 5,94% c) 8,43% 56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.511,00 d) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 e) R$ 2.873,00 c) R$ 3.617,00



4

58. (ANALISTA SERPRO – 2001) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1000 - 800 300 300 300 300 300 300 300 300 1300

a) 222,44 b)228,91 b) 231,18 c) 243,33 d) 250,25 60. (AFRF-2002-2) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25


7. (AFRF – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.


2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100




5

Sol.: Este enunciado trouxe uma distribuição de freqüências, mas não disse, em momento algum, quanto vale o n (número de elementos do conjunto)! Quando isso ocorrer, usaremos n=100. Isso será feito para facilitar as nossas contas e, portanto, a nossa vida! Sabendo disso, tudo fica fácil. Pois, se o n=100, então para transformarmos a Fi (Freqüência Relativa Simples) em fi (freqüência absoluta simples), basta tirar o sinal de porcentagem (tirar o %). O mesmo vale para as seguintes transformações: Para transformar a Fac (Freqüência Relativa Acumulada Crescente) em fac (freqüência absoluta acumulada crescente); Para transformar a Fad (Freqüência Relativa Acumulada Decrescente) em fad (freqüência absoluta acumulada decrescente). Em suma: para fazer as seguintes alterações: Fi para fi Fac para fac Fad para fad Sendo n=100, então basta tirar o sinal de porcentagem (%)! Daí, teremos:

Classes Fac fac

2.000 – 4.000 5% 5 4.000 – 6.000 16% 16 6.000 – 8.000 42% 42 8.000 – 10.000 77% 77 10.000 – 12.000 89% 89 12.000 – 14.000 100% 100

Na verdade, só falei dessa dica para o caso de uma necessidade, mas para essa questão especificamente, não era necessário outra coluna, senão a própria Fac que já foi fornecida pelo enunciado. Queremos saber qual o valor, dentro de uma das classes, que corresponde exatamente a 80% dos elementos do conjunto. Vamos pegar um atalho para resolver esse problema. É fácil verificar que ao limite superior da quarta classe (10.000), corresponde a Fac de 77%. Vejam:

Classes Fac 2.000 – 4.000 5% 4.000 – 6.000 16% 6.000 – 8.000 42%

8.000 – 10.000 77% 10.000 – 12.000 89% 12.000 – 14.000 100%

Se avançarmos toda a próxima classe (10.000 a 12.000), chegaremos a 89%. Confira:



6

Nosso intuito é chegar aos 80%, de sorte que só teremos que avançar mais 3%, dentro da quinta classe (10.000 a 12.000). Está claro isso? De 77%, para chegarmos aos 80%, restam 3%. Conclusão: nossa resposta está, necessariamente, inserida nesta quinta classe (10.000 a 12.000). Certo? Pois bem! Vamos analisar as opções de resposta, uma a uma. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 Será que a letra a (10.000) pode ser nossa resposta? Claro que não, uma vez que o limite 10.000 corresponde a 77% dos elementos do conjunto. Vejam:

Classes Fac

2.000 – 4.000 5% 4.000 – 6.000 16% 6.000 – 8.000 42%

8.000 – 10.000 77% 10.000 – 12.000 89% 12.000 – 14.000 100%

E a letra b (12.000)? Também não, uma vez que corresponde ao percentual 89%. Vejam:

Classes Fac 2.000 – 4.000 5% 4.000 – 6.000 16% 6.000 – 8.000 42% 8.000 – 10.000 77%

10.000 – 12.000 89% 12.000 – 14.000 100%

E quanto à letra c (12.500)? De jeito nenhum! Esse valor, 12.500, sequer pertence à quinta classe, na qual nós sabemos que está nossa resposta! Seria a letra d (11.000) a nossa resposta? Vejamos: 11.000 é exatamente o Ponto Médio da quinta classe. Ora, esta quinta classe tem 12% dos elementos do conjunto (89%-77%=12%). Se a classe tem 12%, então metade da classe terá 6%. Até a classe anterior já acumulamos 77% dos elementos do conjunto. Avançando mais 6%, chegaremos a 83% (77%+6%=83%). Ou seja, está descartada a opção d. Por via de exceção, chegamos à resposta certa:

Letra “e” (R$10.500,00) Resposta!

Classes Fac 2.000 – 4.000 5% 4.000 – 6.000 16% 6.000 – 8.000 42% 8.000 – 10.000 77%

10.000 – 12.000 89% 12.000 – 14.000 100%



7

33. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.

a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.

Sol.: O segredo para acertarmos essa questão sem maiores dificuldades é o seguinte: substituiremos as letras trazidas pelo enunciado (para representar média e desvio padrão) pela nomenclatura com a qual já estamos acostumados! Assim, teremos: Média de W = a = W Desvio Padrão de W = b = Sw. Pronto! A transformação da variável apresentada pelo enunciado foi a seguinte: 1ª)- W 2ª)÷Sw

W Z 2ª)+W 1ª)÷Sw Analisemos item por item: a) A média amostral de Z coincide com a de W. Vamos partir do lado de cá (do W), com a média W , e seguirmos o caminho de cima (em azul). Teremos: 1ª operação) W -W =0

2ª operação) 0 ÷ Sw = 0 Daí: Z =0 Uma vez que foi dito pelo enunciado que W é diferente de zero, concluímos que a

Média de W não pode ser igual à Média de Z. Ou seja: (W ≠Z ). A letra a está descartada! b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. Vejamos! A definição de coeficiente de variação (CV) é a seguinte:

CV = Média

PadrãoDesvio−

Ora, sabemos que a média de Z é igual a zero! Foi o que descobrimos na letra a. Daí, o CV de Z será o seguinte: CVz = Sz/0



8

Ora, quanto vale uma divisão por zero? É possível realizar tal operação? Não! Trata-se de resultado que não está definido! A letra b pergunta se esse CVz é igual a 1. Não é! Este CVz é um valor que não está definido! É exatamente o que nos diz a letra c. Portanto, concluímos: Letra c Resposta!

35. (AFRF-2002/2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Grupo Média Desvio

padrão A 20 4 B 10 3

Assinale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. Sol.: Questão facílima! Este tipo de enunciado foi muito explorado antigamente pela Esaf. Eu mesmo julgava que não mais veria questão como essa nas provas atuais. Mas a Esaf como sempre surpreende. Nesse caso, para o bem! Aqui só precisaremos conhecer o significado de dois termos: Dispersão Absoluta é o mesmo que Desvio Padrão. Dispersão Relativa é o mesmo que Coeficiente de Variação. E mais: o Coeficiente de Variação é dado por: CV=(desvio padrão/média). Daí, podemos compor uma nova tabela, com esses sinônimos e com o cálculo do CV dos dois grupos A e B. Teremos:

Grupo Média

Desvio padrão Dispersão Absoluta

CV Dispersão Relativa

A 20 4 (4/20)=0,20 B 10 3 (3/10)=0,30

Pronto! Só isso. Não há mais como errarmos essa questão! Até sem maior perda de tempo, chegaremos à conclusão que a resposta certa é a opção c. Vejamos: c) A dispersão relativa do Grupo B (0,30) é maior do que a dispersão relativa do Grupo A (0,20). Resposta!



9

45. (AFRF-2002) Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente

1090 PPQk−

=

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose к para a distribuição de X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000

Sol.: No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da fórmula do índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que Nono Decil (D9).

Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos:

( )( )19

13

2 DDQQC−−

=

Obviamente que todos sabemos que há um trabalho preliminar a ser realizado, que é exatamente o de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi.

Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho das Pedras para chegarmos às freqüências desejadas, expomos a seguir o resultado destas operações e, finalmente, a coluna da fi.

Classes Fac↓ Fi fi 70 – 90 5% 5% 10 90 – 110 15% 10% 20 110 – 130 40% 25% 50 130 – 150 70% 30% 60 150 – 170 85% 15% 30 170 – 190 95% 10% 20 190 – 210 100% 5% 10

Cálculo do Primeiro Quartil – Q1: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):

Xi fi 70 !--- 90

90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

n=200 Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50



10

2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

10 30 80 140 170 190 200

n=200 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:

Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110

110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

10 30 80 140 170 190 200

10 é maior ou igual a 50? NÃO! 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 80 é maior ou igual a 50? SIM!

n=200

Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil. 4º Passo) Fazemos o desenho que nos auxiliará a compor a regra de três que nos fará chegar ao primeiro quartil. Teremos: 20 (=130-110) X 110 Q1 130


205020 X

=

E, finalmente: X=(20x20)/50 X=400/50 X=8,0 Daí: Q1=118,00



11

Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4). Já sabemos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150. 2º Passo) Construímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:

Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

10 30 80 140 170 190 200

10 é maior ou igual a 150? NÃO! 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 170 é maior ou igual a 150? SIM!

n=200 Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil. 3º Passo) Fazemos o desenho que nos auxiliará a compor a regra de três que nos fará chegar ao terceiro quartil. Teremos: 20 (=170-150) X 150 Q3 170


103020 X

=

Daí:

X=(20x10)/30 X=200/30 X=6,67 Daí: Q3=156,67



12

Cálculo do Primeiro Decil: D1 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10). Sabemos que n=200 e, portanto, (n/10)=20. 2º Passo) Construímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:

Xi fi fac↓ 70 !--- 90

90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

10 30 80 140 170 190 200

10 é maior ou igual a 20? NÃO! 30 é maior ou igual a 20? SIM!

n=200

Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do Primeiro Decil! 3º Passo) Fazemos o desenho que nos auxiliará a compor a regra de três que nos fará chegar ao terceiro quartil. Teremos: 20 (=110-90) X 90 D1 110


102020 X

=

Daí:

X=(20x10)/20 X=200/20 X=10,00 Daí: D1=100,00



13

Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10). Sabemos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180. 2º Passo) Construímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:

Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210

10 20 50 60 30 20 10

10 30 80 140 170 190 200

10 é maior ou igual a 180? NÃO! 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 190 é maior ou igual a 180? SIM!

n=200 Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do Nono Decil. 3º Passo) Fazemos o desenho que nos auxiliará a compor a regra de três que nos fará chegar ao nono decil. Teremos: 20 (=190-170) X 170 D9 190

170 180 190 10 20 (=190-170) Neste caso, nem precisaríamos fazer regra de três, pois fica evidenciado que os limites da classe (170 e 190) coincidem com as freqüências acumuladas associadas (170 e 190). Daí, concluímos que o X=20. Daí: D9=180 Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portanto:

( )( )19

13

2 DDQQC−−

= ( )( )1001802

1186,156−−

=C

242,0=C Resposta!



14

49. (FISCAL DO INSS-2002) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2

Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610

Sol.: Precisaríamos aqui identificar qual foi a fórmula pedida pelo enunciado, para o cálculo da Assimetria! Ora, o enunciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula na qual constarão a Média, a Mediana e o Desvio-Padrão. Trata-se, obviamente, do 2º Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado pelo seguinte:

( )S

MdXA −=

3

Temos que o enunciado já nos forneceu o valor do denominador (S=10). Resta-nos, pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediana! Comecemos pela Média:

Classes fi PM ( ) YiPM

=−5

5,6

fi.Yi

4-9 5 6,5 0 0 9-14 9 11,5 1 9 14-19 10 16,5 2 20 19-24 15 21,5 3 45 24-29 12 26,5 4 48 29-34 6 31,5 5 30 34-39 4 36,5 6 24 39-44 3 41,5 7 21 44-49 2 46,5 8 16

∑=213 Calculando a Média da variável transformada Y , teremos:

Y = 227,366213

=



15

Daí, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos: 3,227 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 = 22,64 Daí: Média = 22,64 Passando ao cálculo da Mediana, faremos: (n/2)=33. Construiremos a coluna da fac, e compararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos:

Classes fi Fac 4-9 5 5 5 é maior ou igual a 33? NÃO! 9-14 9 14 14 é maior ou igual a 33? NÃO! 14-19 10 24 24 é maior ou igual a 33? NÃO! 19-24 15 39 39 é maior ou igual a 33? SIM! 24-29 12 51 29-34 6 57 34-39 4 61 39-44 3 64 44-49 2 66

Daí, faremos o desenho que nos ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos o valor da Mediana. Teremos:

5 (=24-19) X 19 Md 24


9155 X=

Daí:

X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Daí: Md=22,00

Agora, aplicando a equação da Assimetria, teremos:

( )10

00,2264,223 −=A A=0,191 Resposta!



16

31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a)R$ 63.232,00 b)R$ 64.000,00 c)R$ 62.032,00 d) R$ 62.200,00 e) R$ 64.513,28 Sol.: Primeiramente, como identificamos que se trata de uma questão de Equivalência de Capitais? Ora, havia uma forma original de cumprir uma determinada obrigação. (Essa forma original de pagamento, a propósito, está explicitada na primeira frase do enunciado!) Ocorre que por estar sem condições de cumprir a obrigação (nos termos originalmente contratados), a devedora vai querer alterar a forma original de pagamento! Pronto! Já é o suficiente! Neste enunciado, identificamos que a Equivalência é composta pela última informação que foi trazida: “...considerando uma taxa de juros compostos...”!

Sabemos que a resolução da questão de equivalência é uma receita de bolo. Iniciemos pelos passos preliminares de resolução. Teremos: # Passos Preliminares de Resolução:

Primeiro Passo: “Desenhar” a questão! Para esse enunciado, teremos: X

31.200, 20.000, 10.000, 0 30d 60d 90d

Segundo Passo: Definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigação, designando-os, respectivamente, por (I) e (II). Teremos:



17

X

31.200, 20.000, 10.000, 0 30d 60d 90d

(I) (I) (II) (I)

Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos na mesma unidade. Aqui a taxa fornecida é mensal, logo, chamaremos 30 dias, 60 dias e 90 dias, de 1, 2 e 3 meses, respectivamente. Teremos: X

31.200, 20.000, 10.000, 0 1m 2m 3m

(I) (I) (II) (I)

Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Desconto! Neste caso, a equivalência é composta e o desconto é o composto por dentro.

Quinto Passo: Definir a localização da Data Focal. Podemos escolher qualquer uma, já que equivalência composta a escolha da data focal é livre! Aqui, escolheremos a data dois meses como sendo nossa data focal.

Teremos:



18

X

31.200, 20.000, 10.000, 0 1m 2m 3m

(I) (I) (II) (I) DF Concluídos os passos preliminares de resolução, passemos aos passos efetivos! # Passos Efetivos de Resolução da Equivalência Composta:

Primeiro Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Primeira Obrigação! Comecemos com a parcela de 20.000, que se encontra na data zero. Levando-a para a data focal, por meio de uma operação de desconto composto por dentro, teremos: E 20.000, 0 2m

(I) DF

E=20000.(1+i)n E=20000.(1+0,04)2

Daí: E=20000x1,0816 E=21.632,00 Trabalhando agora com a parcela R$10.000,00 que está sobre a data 1 mês, teremos: F 10.000, 1m 2m

(I) DF



19

F=10000.(1+i)n F=10000.(1+0,04)1

Daí: F=10000x1,04 F=10.400,00 Acabou o segundo passo? Ainda não! Falta a parcela de R$31.200,00 na data 3 meses. Levemo-na para a data focal. Teremos:

31.200,

G 2m 3m

DF (I)

31200=G.(1+i)n G=31200/(1+0,04)1 G=31200/1,04

E: G=30.000,00 Tem mais alguém que seja primeira obrigação para que nós o levemos para a data focal? Não, ninguém! Então, significa que terminou o nosso primeiro passo!

Passemos ao segundo passo efetivo de resolução.

Segundo Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Segunda

Obrigação! Vejamos de novo o desenho completo da nossa questão: X

31.200, 20.000, 10.000, 0 1m 2m 3m

(I) (I) (II) (I) DF



20

Ora, se o objetivo agora é o de levar para a data focal quem for segunda obrigação, então percebemos que este segundo passo já está concluído, sem que precisemos fazer nada! Estão vendo? De segunda obrigação nós só temos o valor X, o qual já se encontra sobre a data focal. Daí, não terá que ser levado para lugar nenhum, uma vez que já está onde queremos que ele esteja! Ou seja, o resultado do segundo passo efetivo é o próprio X! Resta passarmos ao terceiro e último passo efetivo, o arremate de toda questão de equivalência de capitais!

Terceiro Passo: Aplicar a “Equação de Equivalência”: Este passo final da resolução, conforme estamos lembrados, é a forma pela qual se encerram todas as questões de Equivalência de Capitais, seja qual for o regime (simples ou composto)! É a seguinte:

∑(I)DF = ∑(II)DF Somente recordando: a primeira parte da equação, antes do sinal de igualdade, representa os valores da primeira obrigação, depois de levados para a data focal. Ou seja, a primeira parte da equação nada mais é que a soma dos resultados do primeiro passo efetivo de resolução! Enquanto que a segunda parte da equação, após o sinal de igualdade, será a soma dos resultados do segundo passo efetivo. Teremos:

21632+10400+30000=X Daí: X=62.032,00 Resposta!

48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). a)R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 b)R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 c)R$ 35.520,00 Sol.: Mais uma questão de Rendas Certas, no mesmíssimo modelo já nosso conhecido! Aqui teremos três séries de aplicações: quatro parcelas de R$1000, quatro de R$2000 e mais quatro de R$3000. Daí, o enunciado pergunta o montante que resulta destas doze aplicações, na data da última de R$3000, considerando uma taxa de juros compostos.

Só teremos que desenhar a questão e utilizarmos o artifício de definir níveis, por meio de simples tracejados. Teremos, enfim, que:



21

X

1º Nível

1000 1000 1000 1000 2º Nível

2000 2000 2000 2000 3º Nível

3000 3000 3000 3000

Pronto! Agora que já fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em três níveis, nossa resolução será quase que imediata!

Trabalharemos cada nível separadamente!

Para o primeiro nível, teremos que:

T=P. S n i T=1000. S 12 2%

Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:


isn

in1)1( −+

=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,41209 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173

Daí, o resultado do primeiro nível será: T’=1000x13,41209

in



22

E: T’=13.412,09 1º Nível

Esse resultado ficará guardado, “de molho”, para o final da questão!

Vamos trabalhar agora somente com as parcelas do 2º nível. Teremos:

T=P. S n i T=1000. S 8 2%



isn

in1)1( −+

=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

8 8,285670 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259802 10,636627 11,028474 11,435888

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173

Daí, o resultado do segundo nível será: T’=1000x8,582969

E: T’’=8.582,69 2º Nível

Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nível. Teremos:

T=P. S n i T=1000. S 4 2%



isn

in1)1( −+

=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173

Daí, o resultado do terceiro nível será: T’’’=1000x4,121608

E: T’’’=4.121,60 3º Nível

in

in



23

Finalmente, compondo o resultado das três séries de aplicações, teremos:

T’+T’’+T’’’=X=13.412,09+8.582,69+4.121,60

X=26.116,38 Resposta!

52. (ANALISTA SERPRO – 2001) Um país lançou bônus no mercado internacional de valor nominal, cada bônus, de US$ 1.000,00, com dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. d) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bônus e) US$ 52,00 por bônus e) 5,94% f) 8,43% Sol.: Esta não é a primeira questão de país e bônus que resolvemos! Pelo que já conhecemos, o desenho desta questão será o seguinte:

X 1.000,00 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, Qual o nosso objetivo? Transportar todos os valores em vermelho (cupons e valor

nominal do título) para a data zero! A taxa da operação é uma taxa nominal, de 12% ao ano, com capitalização

semestral, uma vez que o período entre os cupons é o semestre! Transformando a taxa nominal em efetiva, teremos:

12% ao c/ capitalização semestral = (12/2) =6% ao semestre! Trabalhemos primeiramente com os doze cupons semestrais. Temos aí parcelas

de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais, e uma taxa no regime composto. Com essas três características, podemos trabalhar numa operação de Amortização, trazendo todos esses cupons para a data zero (um período antes da primeira parcela)! Teremos:

T=P.An¬i T=50 . A10¬6% T=50x 7,360087 T=368,00 Este valor T representa todos os doze cupons de U$50,00. Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos isso, conforme sabemos, por meio de uma operação de desconto composto por dentro.

Teremos que:



24

1000=E.(1+0,06)10 E=1000/(1+0,06)10

Daí: E=1000/1,790847 E=558,40

Agora, estamos prontos para compor o resultado final da nossa questão:

Resultado do nível dos cupons de 60: US$ 368,00

Resultado do bônus de 1000: US$558,40

Daí: X=368,00+558,40 X=926,40

Em relação ao valor nominal do bônus, que é de US$1,000.00 esse valor encontrado apresenta um deságio de:

1.000 – 926,40 = 73,60 Resposta!

56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a)R$ 2.511,00 d) R$ 2.646,00 b)R$ 0,00 e) R$ 2.873,00 c)R$ 3.617,00

Sol.: Trabalharemos esta questão (e a próxima!) com o chamado fluxo de valores!

Fluxo de valores nada mais é do que uma linha do tempo, sobre a qual, em diferentes datas, estarão dispostos valores positivos e valores negativos.

Valor positivo é qualquer quantia que se entenda estar entrando no nosso bolso, no nosso caixa! É qualquer valor monetário que estamos recebendo. Nas provas, podem vir com o nome receitas, entradas, ganhos etc. Pode ser também qualquer outro nome, contanto que nos faça entender que é um dinheiro que está chegando (e não saindo) do nosso bolso!

Valor negativo, ao contrário, é toda quantia que esteja sendo retirada do nosso bolso, ou seja, que esteja saindo de nossa mão! As questões podem chamar esses valores negativos de desembolsos, saídas, retiradas, despesas, ou qualquer outro que traga o mesmo entendimento.

Daí, via de regra, uma questão de Fluxo de Valores, que é o mesmo que Fluxo de Caixa, dirá exatamente quais são os valores positivos e negativos, e onde eles se localizam na linha do tempo. Então, quando já tivermos condição de desenhar a questão, o enunciado nos irá pedir o quanto valem todas aquelas parcelas (sejam positivas, sejam negativas) em uma determinada data que será estabelecida.

Ou seja, teremos que “transportar” todas as parcelas que compõem o fluxo de caixa para uma mesma data, que será dita pela questão.

Uma coisa importante é a seguinte: quando formos desenhar o nosso fluxo de caixa, seguiremos a seguinte regra:

Os valores positivos (receitas, entradas, ganhos) serão todos desenhados com uma seta para cima!



25

Os valores negativos (despesas, desembolsos, saídas, retiradas) serão todos desenhados com uma seta para baixo!

De posse dessas informações, vamos reler o nosso enunciado, e tentar desenhar o fluxo de caixa (fluxo de valores) que ele apresenta:

“... o seguinte fluxo de valores: um desembolso de $2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de $3.000,00 e nove receitas iguais de $1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês...”

Vamos lá, façamos o desenho. Ora, o enunciado falou que são dez “momentos”, e depois disse que esse momento é o mês! Tracemos logo esse prazo total de 10 meses. Teremos:

Daí, o enunciado começou logo falando em desembolso de R$2000 na data zero. A data zero, conforme já sabemos, é onde começa a linha do tempo. E desembolso é uma palavra inequívoca: trata-se de um valor negativo, de modo que o desenharemos com uma seta para baixo. Teremos:

2000

Na seqüência, a questão fala de uma despesa de R$3000 no momento um. Despesa também é uma palavra que não deixa qualquer margem de dúvida: é um valor negativo, e ganhará uma seta para baixo.

Teremos:

2000

3000

Após isso, vem-se falando em nove receitas. Ora, receita é um valor positivo, e por isso, receberá sempre uma seta para cima. Neste caso, serão nove receitas, todas no mesmo valor de R$1000, do momento dois ao momento dez.

Teremos:



26

1000 1000 1000 1000 1000

2000

3000

Eis o nosso fluxo de caixa! Uma vez desenhado, resta-nos saber para qual data o enunciado quer que nós transportemos todos os valores positivos e negativos! E isso foi dito logo no início da questão: “Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores...”.

Ou seja, a nossa data de interesse da questão será a data zero. Essa data de interesse é como se fosse uma data focal, nas questões de equivalência de capitais! A rigor, uma questão de fluxo de caixa é uma questão de Equivalência, em que se pretende calcular uma única parcela, que é equivalente a todas as outras que formam o fluxo de caixa.

A informação que nos falta é a que fala da taxa da operação. Disse o enunciado que “...a taxa de juros compostos é de 3% ao mês.”

Pronto! Estamos preparados para iniciar a questão! Demos logo uma rápida olhada nas parcelas que compõem os valores positivos de fluxo:

1000 1000 1000 1000 1000

2000

3000

O que vemos aí? São parcelas de mesmo valor? Sim! Estão dispostas em intervalos de tempo iguais? Sim! Estão sujeitas a uma taxa de juros compostos? Sim novamente! Conclusão: com estas parcelas, poderemos trabalhar tanto numa operação de Rendas Certas, quanto numa de Amortização!

E quem vai decidir isso? Você, obviamente! Ora, de acordo com o que está sendo pedido pelo enunciado, haverá sempre uma destas opções que será mais conveniente e que tornará a resolução mais rápida, portanto, mais eficiente!

Se quiséssemos trabalhar esses valores positivos numa aplicação de Rendas Certas, o nosso T da fórmula das Rendas Certas estaria, em nosso desenho, na seguinte posição:



27

T(Rendas Certas)

1000 1000 1000 1000 1000

2000

3000

Por outro lado, se quisermos trabalhar os valores positivos numa operação de Amortização, o T da fórmula de Amortização apareceria, no desenho da questão, na seguinte posição:

T (Amortização)

1000 1000 1000 1000 1000

2000

3000

Ora, se a data de interesse da questão é a data zero, ficou fácil enxergar que o T que ficará mais perto dessa data é o da Amortização. Por esse simples motivo, optaremos por trabalhar as parcelas de R$1000, em uma operação de Amortização. Teremos:

T=P. A n i T=1000. A9¬3%

Consultando na Tabela Financeira da Amortização, acharemos que:

Daí: T=1000 . 7,786109 E: T=7.786,10

Aprendemos que o T da amortização, uma vez calculado, representa todas aquelas parcelas de mesmo valor, mesma periodicidade e taxa composta!

Sabendo disso, nosso desenho da questão agora se resumirá ao seguinte:



28

7.786,10

2000

3000

Aqui recordaremos outra coisa: percebamos que na data um mês estão presentes dois valores: um positivo (7.786,10) e um negativo (3000).

Sempre que isso ocorrer, teremos de fazer a chamada soma algébrica, que significa pegar o valor maior, e subtrair do valor menor. Se o valor maior for um valor positivo (seta para cima), o resultado da subtração também ficará com a seta para cima; se o maior dos dois valores for o negativo (seta para baixo), o resultado da subtração também ficará com seta para baixo!

Neste caso, o valor positivo (7.786,10) é maior que o valor negativo (2000) que está na mesma data. Logo, ao subtrairmos o maior do menor, o resultado será uma parcela com seta para cima! Teremos:

4.786,10

2000

Qual o nosso objetivo? Transportar todos os valores do fluxo de caixa para a data zero. Ora, a parcela negativa 2000 já se encontra exatamente onde queremos que ela esteja! Ou seja, não precisaremos levá-la para lugar algum. Já o valor positivo 4.786,10 está na data um mês, e precisa ser “recuado” (projetado) para a data zero! O regime é composto? Sim. Então, faremos um desconto composto por dentro!

Teremos:

4.786,10

E



29

Daí: 4.786,10=E.(1+0,03)1 E=(4.786,10)/1,03 E=4.646,69

Feito isso, o nosso fluxo de caixa passa a ter a seguinte configuração:

4.646,69

2000

Repete-se aqui a situação que vimos há pouco: numa mesma data do fluxo de caixa, um valor positivo e um valor negativo.

O que faremos? A soma algébrica. A maior das parcelas é o valor positivo (4.646,69), logo, o resultado da subtração será uma seta apontando para cima. Desprezando os centavos da conta final, teremos que:

4.646,69 2.646, Resposta!

⇒

2000

58. (ANALISTA SERPRO – 2001) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1000 - 800 300 300 300 300 300 300 300 300 1300

a)222,44 b)228,91 c)231,18 d)243,33 e)250,25 Sol.: Desenhemos logo como será este nosso fluxo de caixa. Teremos:



30

1300 300 300 300 300

800

1000

O objetivo é levar todas essas parcelas para a data zero, a uma taxa composta de 10% ao período! Percebamos que cabe aí um tracejado nas parcelas positivas. Teremos: 1300 300 300 300 300

800

1000

Esse tracejado definiu um nível de nove parcelas de R$300,00. Trabalhando-as numa operação de amortização, teremos:

T=P. A n i T=300. A9¬10%

Consultando na Tabela Financeira da Amortização, acharemos que:

Daí: T=300 . 5,759024 E: T=1.727,70



31

O desenho do fluxo agora é este: 1.727,70 1000

800

1000

Veja que temos na data um período um valor positivo e um negativo. Já sabemos o que fazer nesses casos. Nosso novo desenho será, pois, o seguinte: 1000 927,70

1000

Com duas operações de desconto composto racional, traremos para a data zero (que é a de nosso interesse!) os valores positivos desse fluxo de caixa. Teremos:

1.000,00=E.(1+0,10)10 E=(1.000,00)/2,593742 E=385,55

927,70=F.(1+0,10)1 E=(927,70)/1,10 E=843,36

Somando esses dois valores na data zero, teremos: R$1.228,91 (positivos!) Feito isso, nosso desenho se resume agora ao seguinte:



32

1.228,91 228,91, Resposta!

⇒

1000

60. (AFRF-2002-2) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25 Sol.: Questão parecidíssima com a anterior! Passemos ao desenho deste fluxo de caixa. Teremos:

X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Só para efeitos didáticos, colocamos as setas para baixo!

A questão diz que a taxa é composta, e quer que descubramos o valor desse “fluxo de caixa” na data zero, que corresponde ao início do primeiro ano. Vamos ver se é possível criar tracejados e dividir essas parcelas em diferentes níveis? Comecemos com um tracejado no valor de 200, que é a menor parcela.

Teremos:



33

X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Agora façamos mais um tracejado, pegando as parcelas de R$400. Teremos:

X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Com isso, criamos dois níveis de parcelas:

1º nível) 10 parcelas (n=10) de R$200 cada;

2º nível) 4 parcelas (n=4) de R$200 também!

E será que é só isso? Será que esses dois níveis já abrangem todas as parcelas? Basta olhar para o desenho e responder: Não! A última parcela, no valor original de R$1200 só foi tocada pelo primeiro tracejado. Dessa forma, após trabalharmos com as parcelas do primeiro e segundo níveis, ainda teremos que pegar o “restante” da última parcela, que vale exatamente R$1000, e transportá-lo para a data zero!

Por que a última parcela que era de R$1200 vai ser trabalhada como se fosse apenas de R$1000? Porque uma parte dela (R$200) já está sendo trabalhada no primeiro nível.



34

As parcelas que compõem ambos os níveis, conforme aprendemos na aula passada, serão trabalhadas em operações de Amortização. Chamando T’ o resultado do primeiro nível, e T’’ o resultado do segundo, teremos:

T’=P.An¬i T’=200 . A10¬10%

T’’=P.An¬i T’’=200 . A14¬10%

Fazendo logo a soma de T’ e T’’, teremos que:

T’+T’’=(200 . A10¬10%)+(200 . A4¬10%)

Colocando os 200 (fator comum) em evidência, teremos que:

T’+T’’=200 ( A10¬10% + A4¬10%)

Para ganharmos tempo, faremos uma única consulta à Tabela Financeira da Amortização. Teremos:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí, teremos que:

T’+T’’=200 (6,144567+ 3,169865) T’+T’’=1.862,89

Resta ainda levarmos os R$1.000 da data dez anos para a data zero! Faremos aqui uma operação de desconto composto racional. Teremos que:

1000=E.(1+0,10)10 E=1000/(1+0,10)10

Encontraremos que:

E=1000/(1+0,10)10 E=1000/2,593742 E=385,54

Agora, sim, somos capazes de compor o resultado final da nossa questão:

Resultado dos dois níveis de parcelas: R$1.862,89

Resultado da última parcela: R$385,54

Daí: X=1862,88+385,54 X=2.248,43 Resposta!

in



35

É isso, meus amigos! Espero que tenham todos se saído muito bem neste simulado de hoje! Na seqüência, apresento-lhes o Resumão das fórmulas de Estatística! O de matemática financeira ficarei devendo. Para a próxima semana, se Deus quiser! Um abraço forte a todos. Fiquem com Deus e até a semana que vem!

RESUMÃO DAS FÓRMULAS DE ESTATÍSTICA

Média Aritmética:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

nXi

X ou ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= ∑

nfiXi

X ou ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

nfiPM

X.

Média Geométrica:

n XiXg ∏= ou n fiXiXg ∏= ou n fiPMXg =

Média Harmônica:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∑ Xi

nXh1

ou

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∑ Xifi

nXh ou

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∑ PMfi

nXh

Moda:

Classe Modal(>fi). Daí: (Czuber) hpa

alMo ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+∆

∆+= inf

ou (King) hfantfpost

fpostlMo ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= inf

Mediana:

hfi

facn

lMdANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=2inf

Relação Empírica de Pearson: X - Mo = 3( X - Md)

Primeiro Quartil: hfi

facn

lQANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= 4inf1



36

X-ésimo Quartil: hfi

facXn

lQXANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=4inf

Primeiro Decil: hfi

facn

lDANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=10inf1

X-ésimo Decil: hfi

facXn

lDXANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=10inf

Primeiro Percentil: hfi

facn

lPANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=100inf1

X-ésimo Percentil: hfi

facXn

lPXANT

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=100inf

Desvio Quartílico (Amplitude Semi-interquartílica): ( )

213 QQDq −

=

Desvio Médio Absoluto:

n

XXiDM

∑ −= ou

n

fiXXiDM

.∑ −= ou

n

fiXPMDM

.∑ −=

Desvio-Padrão:

( )n

XXiS ∑ −=

2

ou ( )

nfiXXi

S.

2∑ −

= ou ( )

nfiXPM

S.

2∑ −

=

( )1

2

−

−= ∑

nXXi

S ou ( )

1.

2

−

−= ∑

nfiXXi

S ou ( )

1.

2

−

−= ∑

nfiXPM

S



37

Desvio-Padrão - Fórmulas Desenvolvidas:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

21 ou

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

2

11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nfiXi

fiXin

S2

2 ..1

ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nfiXi

fiXin

S2

2 ..

11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

2 ..1

ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

2 ..

11

Variância:

( )n

XXiS ∑ −

=2

2 ou ( )

nfiXXi

S.

2

2 ∑ −= ou

( )n

fiXPMS

.2

2 ∑ −=

( )1

2

2

−

−= ∑

nXXi

S ou ( )

1.

2

2

−

−= ∑

nfiXXi

S ou ( )

1.

2

2

−

−= ∑

nfiXPM

S

Variância - Fórmulas Desenvolvidas:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

22 1 ou

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

22

11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nfiXi

fiXin

S2

22 ..1

ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nfiXi

fiXin

S2

22 ..

11

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

22 ..1

ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= ∑ ∑

nfiPM

fiPMn

S2

22 ..

11

Coeficiente de Variação: XSCV =



38

Momento Natural de Ordem “r”:

( )nXi

mr

r∑= ou

( )n

fiXim

r

r

.∑= ou ( )

nfiPM

mr

r

.∑=

Momento Centrado na Média Aritmética:

( )n

XXim

r

r∑ −

= ou ( )

nfiXXi

mr

r

.∑ −= ou

( )n

fiXPMm

r

r

.∑ −=

Índice Quartílico de Assimetria: ( )

( )13213

QQMdQQA

−−+

=

Índice Decílico de Assimetria: ( )

( )19219

DDMdDDA

−−+

=

Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson: ( )

SMoXA −

=

Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson: ( )

SMdXA −

=3

Índice Momento de Assimetria: 33

Sm

A =

( )

( )3

2

3

.

.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

A

Índice Percentílico de Curtose: ( )( )19

13

2 DDQQC−−

=

Índice Momento de Curtose: 44

SmC =

( )

( ) 22

4

.

.

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

−

=

∑

∑

nfiXPM

nfiXPM

C

Índices de Laspeyres: ( )( )∑

∑⋅

⋅=

oo

ott,0 qp

qpLp ou

( )( )∑

∑⋅

⋅=

oo

tot,o qp

qpLq

Índices de Paasche: ( )( )∑

∑⋅

⋅=

to

ttt,o qp

qpPp ou

( )( )∑

∑⋅

⋅=

ot

ttt,o qp

qpPq



1

AULA 10

Olá, amigos! Chegamos hoje ao nosso último simulado! Uma pequena diferença: em vez de doze questões, teremos treze. Por desatenção, coloquei uma questão a menos de Estatística na aula passada. Fizemos apenas cinco. Como o combinado eram seis, segue hoje a que ficou faltando. E aí, sim, concluiremos as 120 resoluções: 60 de cada matéria. E é neste clima, já cheio de saudades, que lhes apresento as questões de hoje! Marque o seu tempo e pode começar.

Q U E S T Õ E S 22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra


a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: a) 2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção

que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das


a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: a) A distribuição é assimétrica à direita. b) A distribuição é assimétrica à esquerda. c) A distribuição é simétrica. d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor

medida de tendência central. e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.

Ano S1 S2 S3 1999 50 75 100 2000 75 100 150 2001 100 125 200 2002 150 175 300



2


(AFRF-2002/2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. a) 162,5% d) 092,9% b) 130,0% e) 156,0% c) 120,0% 2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00 19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%

23. (FTE-MS-2001) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? a) 26,82% b) 26,53% c) 26,25% d) 25,97% e) 25,44% 25. (AFRF-1998) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) R$ 9.140,00 d) R$ 9.174,00 b) R$ 9.126,00 e) R$ 9.151,00 c) R$ 9.100,00 37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. a) R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 b) R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 c) R$ 10.252,62



3

51. (AFRF-1996) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23

2ª Etapa) Resolução das Questões Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra


a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 Sol.: Questão muito simples, o que às vezes se torna algo perigoso! Sim! A coisa fica parecendo tão fácil que deixamos passar detalhes importantes. Neste caso, tudo o que precisaríamos nos lembrar é de que o desvio padrão recebe um fator de correção em sua fórmula, caso o conjunto trabalhado seja uma amostra. Estamos falando do menos um no denominador! É o tal fator de correção de Bessel. Nossa fórmula será, portanto, a seguinte:

( )1

2

−−

=n

XXiS

Olhando para a fórmula, vemos a necessidade de descobrirmos a Média do conjunto! Teremos, pois que:

( ) 0,31030

1010644222000

==+++++++++

== ∑nXi

X

Daí, faremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)} (Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)} Agora, faremos (Xi- X )2. Teremos: (Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2} (Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49} Daí: ∑(Xi- X )2=90 Finalmente, aplicando a fórmula do desvio padrão de uma amostra em forma de rol, teremos:



4

( ) 10

990

1

2

==−−

=n

XXiS Resposta!

Caso nos esquecêssemos de usar o fator de correção de Bessel (o menos um no denominador!) chegaríamos a uma resposta diferente! Vejamos:

( ) 9

1090

2

==−

=n

XXiS Opção B Errada!

27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: a) 2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 Sol.: Teremos que nos lembrar da fórmula do Desvio Médio para um rol. Teremos:

n

XXiDMA

∑ −=

Essa medida não sofre o fator de correção de Bessel! Este só se aplica ao desvio padrão e à variância! Pois bem! Passemos à fórmula. Como primeiro passo, calcularemos a média do conjunto. Teremos:

( ) 0,7

535

5119753

==++++

== ∑nXi

X

Teremos agora que construir o conjunto (Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} (Xi- X )={-4, -2, 0, 2, 4} Agora, a fórmula pede o módulo de (Xi- X ). Teremos: |(Xi- X )|={+4, +2, 0, 2, 4} Daí: ∑|(Xi- X )|=12 Como vimos, o efeito do módulo é apenas o de tornar positivo quem era negativo! Finalmente, aplicando a fórmula do Desvio Médio Absoluta para um rol, teremos:

4,25

12==

−=∑

n

XXiDMA Resposta!



5

37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.

a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 Sol.: Como sempre, o ponto de partida da resolução é a fórmula. Teremos:

( )

nXXi

S ∑ −=

2

2

Daí, como primeiro passo, calcularemos a média do conjunto. Teremos.

( ) 0,4

520

537244

==++++

== ∑nXi

X

(Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(4-4), (4-4), (2-4), (7-4), (3-4)} (Xi- X )={0, 0, -2, 3, -1} (Xi- X )2={(0)2, (0)2, (-2)2, (3)2, (-1)2} (Xi- X )2={0, 0, 4, 9, 1}

∑(Xi- X )2=14 Pronto! Chegamos ao nosso numerador! Daí, teremos:

( )

nXXi

S ∑ −=

2

2 S2=(14)/4 S2=3,5 Resposta!

39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das


b) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 Sol.: Questão de variável transformada. Façamos logo o desenho desta transformação trazida pelo enunciado. Teremos: 1ª)-14 2ª)÷4

X Z

2ª)+14 1ª)x4

Daí, vemos que foi fornecido pela questão o valor do desvio padrão da variável Z (Sz=1,10). E solicita que calculemos o desvio padrão da variável X (Sx). Ora, partindo do valor de desvio padrão fornecido, seguiremos o caminho de baixo (em vermelho), lembrando-nos das propriedades do desvio padrão, e chegaremos à resposta.

Teremos:



6

1º) 1,10 x 4 = 4,40

2º) Soma não altera o Desvio Padrão! Daí: Sx=4,40 Resposta!

47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: a) A distribuição é assimétrica à direita. b) A distribuição é assimétrica à esquerda. c) A distribuição é simétrica. d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor medida de tendência central. e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. Sol.: Esta questão trata acerca de Assimetria, mas não solicita que calculemos um valor numérico, senão que indiquemos qual é a situação de assimetria do conjunto. Ou seja, quer que digamos se o conjunto é simétrico, ou se a assimetria é positiva (assimetria à direita), ou negativa (assimetria à esquerda)! Já sabemos que, somente para definir tal situação, basta que conheçamos o valor de duas medidas de tendência central (média e moda, ou média e mediana, ou moda e mediana). Aqui o enunciado foi camarada, e nos deu logo o valor das três medidas! Resta nos lembrarmos daqueles desenhos que relacionam média, moda e mediana com a assimetria do conjunto. Teremos:

Figura 01

Moda < Mediana < Média

Figura 02

Média < Mediana < Moda



7

Figura 03

Média=Mediana=Moda No caso desta questão, temos que média=1,20 , mediana=0,53 e moda=0,25. Ou seja, Média>Mediana>Moda, o que se enquadra perfeitamente na situação da Figura 01 acima. Conclusão: estamos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de assimetria positiva! Resposta! 60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.

Ano S1 S2 S3 1999 50 75 100 2000 75 100 150 2001 100 125 200 2002 150 175 300


Sol.: Esta questão vem nos falar em evolução dos preços. São quatro anos (de 1999 a 2002). Daí, partindo do primeiro ano (1999), vai haver três acréscimos percentuais de preço. Só precisamos descobrir quais são esses percentuais. Para a série 1 (S1), teremos: De 2000 para 1999: (75/50)=1,50 Acréscimo de 50%. De 2001 para 2000: (100/75)=1,3333 Acréscimo de 33,33% De 2002 para 2001: (150/100)=1,50 Acréscimo de 50%. Para a série 2 (S2), teremos: De 2000 para 1999: (100/75)=1,3333 Acréscimo de 33,33%. De 2001 para 2000: (125/100)=1,25 Acréscimo de 25% De 2002 para 2001: (175/125)=1,40 Acréscimo de 40%. Para a série 1 (S1), teremos: De 2000 para 1999: (150/100)=1,50 Acréscimo de 50%. De 2001 para 2000: (200/150)=1,3333 Acréscimo de 33,33% De 2002 para 2001: (300/200)=1,50 Acréscimo de 50%.



8

Para enxergarmos melhor esses percentuais da evolução dos preços, nas três séries, vejamos a tabela seguinte:

Acréscimos da Série 1 50% 33,33% 50% Acréscimos da Série 2 33,33% 25% 40% Acréscimos da Série 3 50% 33,33% 50%

Propositadamente, já coloquei em destaque a evolução dos preços das séries 1 e 3, pois são exatamente iguais. E diferentes da série 2. É precisamente o que diz a opção b:

b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3 Resposta! Outra forma de chegar a essa conclusão era simplesmente fazendo a mudança de base nas séries S1 e S2, de modo que o índice 100 ficasse no início da série (no ano de 1999). Com isso, ficaria bem fácil fazer uma comparação da evolução dos preços das três séries. Para a série S1, teremos:

Ano S1 1999 50 2000 75 2001 100 2002 150

Ora, para o preço em 1999 (50) virar 100, temos que multiplicá-lo por 2. Daí, isso terá também que ser feito para todos os preços da série. Teremos:

Ano S1 1999 100 (50x2) 2000 150 (75x2) 2001 200 (100x2) 2002 300 (150x2)

Comparemos agora esses resultados com os preços da série S3. São iguais? Sim! Agora, se fizermos o mesmo com a série S2, encontraremos valores diferentes. Daí, chegamos à mesma conclusão já conhecida, só que por outro caminho! (AFRF-2002/2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. a) 162,5% d) 092,9% b) 130,0% e) 156,0% c) 120,0% Sol.: Essa questão fala de variações de preços de um bem em diferentes períodos de tempo. Daí, no final, pergunta um relativo de preços de um ano, em relação a outro ano! Como se calcula isso? Fazendo o quociente entre esses dois preços. No caso, é pedido o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. Ou seja: [Preço(t0+3)]/[ Preço(t0+1)]=?



9

De resto, só teremos que utilizar as informações trazidas pelo enunciado. Teremos: O preço médio em t0+2 é 30% maior que em t0+1: P(t0+2)=1,30.P(t0+1) O preço médio em t0+2 é 20% menor que em t0: P(t0+2)=0,80.P(t0) O preço médio em t0+2 é 40% maior que em t0+3: P(t0+2)=1,40.P(t0+3) Comparemos as duas equações em vermelho. São iguais. Certo? Daí, igualando a segunda parte da igualdade de ambas, teremos: 1,40.P(t0+3) = 1,30.P(t0+1) [P(t0+3)]/[ P(t0+1)]=(1,30)/(1,40) Daí, finalmente, achamos que: [P(t0+3)]/[ P(t0+1)] = 0,929 = 92,9% Resposta! 2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00 Sol.: Esta é uma questão bem interessante! Não que seja difícil, absolutamente! Mas é, de certa forma, enganosa. É uma questão parece mas não é! Vejamos o desenho:

X 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,,

O que parece ser essa questão? Parece ser uma operação de Rendas Certas!

Quais são as três características das Rendas Certas? 1ª) Parcelas de mesmo valor; 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3ª) Taxa no regime composto!

Pois bem! As duas primeiras características estão presentes. Mas não a terceira! O regime dessa operação é o simples. Daí, concluímos: não se trata de uma

operação de rendas certas, e sim, de equivalência simples de capitais. A data focal dessa operação será a do X, uma vez que o enunciado pede que se

calcule o valor, naquela data, que seja equivalente a todas as outras parcelas. Ora, como foi estabelecido que a taxa da operação é uma taxa de juros simples,

então as operações de desconto que serão realizadas serão, todas elas, operações de desconto simples por dentro (desconto racional).



10

E se bem nos lembrarmos, a operação de desconto simples por dentro é equivalente à operação de juros simples. Assim, poderemos perfeitamente tratar essa questão como sendo uma de aplicação de juros simples.

Mas, e agora? Será que teríamos que projetar cada uma dessas parcelas de R$1000, (por meio dos juros simples), e depois somar todos os montantes? Isso daria muito trabalho e demoraria muito tempo para ser feito. O melhor é usarmos o seguinte artifício: atribuiremos o valor zero (0) para a primeira parcela de R$1000 e seguiremos com os valores 1, 2, etc para as demais parcelas, até chegarmos à última.

Teremos:

X 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Feito isso, somaremos os valores atribuídos à primeira parcela e à última, e dividiremos essa soma por dois. Teremos: (0+9)/2=4,5. Pronto! Esse 4,5 é o nosso prazo médio! Nesta data (4,5) haverá uma nova parcela, que substituirá todas as outras de R$1000. Vejamos:

X 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,,

0 1 2 3 4 4,5 5 6 7 8 9 4,5 meses E qual será o valor desta nova parcela? Será o valor da soma! Nosso novo desenho da questão será, agora, o seguinte:

X 10.000,

4,5 meses



11

Agora, sim! Temos uma operação corriqueira de juros simples. Para descobrir o Montante (que é o X), faremos:

ni

MC.100100 +

= 5,44100100

000.10x

M+

= M=11.800,00 Resposta!

Esse artifício sempre poderá ser utilizado, se o regime da operação for o simples. Se for o composto, trabalharemos a questão com uma operação de rendas certas! 19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% Sol.: Nesse caso, teremos que encontrar dois montantes dessa operação de juros compostos: o da convenção exponencial e o da convenção linear. Ora, o valor do Capital não foi fornecido. Podemos, se quisermos, adotar o valor cem (C=100). Não há problema nenhum em fazer isso. Comecemos pela Convenção Exponencial. Teremos: M=C.(1+i)n M=100.(1+0,40)1,5 M=100x1,656502 M=165,65 Agora, calculemos o Montante da Convenção Linear. Teremos: M=C.(1+i)n1.(1+i.n2) Onde n1 e n2 correspondem, respectivamente, à parte inteira e à parte quebrada do tempo. Neste caso, em que o tempo de aplicação é um ano e meio (n=1,5a), então, n1=1 e n2=0,5. Teremos: M=100.(1+0,40)1.(1+0,40x0,5) M=168,00 Como já era de esperar, o Montante da Convenção Linear é ligeiramente maior que o da Convenção Linear. Então, houve aí uma perda percentual. Como calcular a perda percentual entre dois valores? Da seguinte forma: Perda Percentual = (Valor Maior/Valor Menor) – 1 Daí, teremos:

Perda Percentual = (168/165,65) – 1 = 1,014 – 1 = 0,014 = 1,4% Resposta!



12

23. (FTE-MS-2001) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos? a) 26,82% b) 26,53% c) 26,25% d) 25,97% e) 25,44% Sol.: Já trabalhamos questão semelhante a essa! Aqui, só se trabalha com o conceito de taxas! Por onde começa nossa resolução? Pela Taxa Nominal. Temos que transformá-la numa Taxa Efetiva, por meio do conceito de Taxas Proporcionais. Cabe lembrar que, nesse caso, o tempo da Taxa Efetiva é sempre o mesmo tempo da capitalização. Teremos: 24% a.a. c/ capitalização mensal = (24/12) = 2% ao mês (=Taxa Efetiva!) Agora veremos o que a questão nos pede: uma taxa anual! Daí, teremos que alterar a unidade da taxa efetiva, passando de taxa mensal para taxa anual. E como faremos essa alteração? Por meio do conceito de Taxas Equivalentes! Teremos: 1+I=(1+i)n 1+I=(1+0,02)12 1+I=1,2682 I=0,2682 I=26,82% ao ano Resposta! 25. (AFRF-1998) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a)R$ 9.140,00 d) R$ 9.174,00 b)R$ 9.126,00 e) R$ 9.151,00 c)R$ 9.100,00 Sol.: Essa questão não ofereceu muita resistência. Facilmente identificamos o assunto, de uma forma completa e segura. Isso se fez por meio de três palavras presentes no enunciado: “...desconto racional composto...”! Pronto! É tudo o que precisamos saber para a resolvermos: a questão é de desconto; o regime é o composto; e a modalidade é a de desconto por dentro! Anotemos os dados que foram fornecidos: N=10.000,00 n=3 meses i=3% ao mês (juros compostos) A=? Ora, usaremos a fórmula fundamental do desconto composto racional, cuja exigência de aplicação já veio observada pelo próprio enunciado. Ou seja, taxa e tempo já estão na mesma unidade. Em suma: aplicação direta da fórmula! Teremos: N=A.(1+i)n Daí: A=N/(1+i)n A=10000/(1+0,03)3 Aqui, podemos recorrer à Tabela Financeira do parêntese famoso, para encontrarmos que:



13


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

Daí: A=10000/1,092727

Eu sei perfeitamente (quantas vezes passei por isso!) que o grande calo da maioria de nós, concursandos, na hora de resolver a prova de matemática financeira, surge justamente na hora de fazermos as contas. Divisões, sobretudo! Daí, vou ensinar agora como se divide na hora da prova.

Dizem que em terra de cego, quem tem um olho é rei. Já ouviram isso? Então, quem tem dois olhos, vai incumbi-los, a cada um, de uma missão diferente: com um olho você olha para a conta. Com o outro, para as opções de resposta! Senão, vejamos:

1º Passo) Temos que dividir 10.000 por 1,092727. Vamos decidir logo com

quantas casas decimais iremos trabalhar essa divisão. Em geral, o trabalho com três casas decimais costuma ser satisfatório, e muito seguro! Podemos, então, optar por isso. Daí, nossa conta será: 10.000 / 1,092

2º Passo) Agora igualaremos o número de casas decimais. Então vamos lá: 1,092

tem quantas casas decimais? (Para os mais esquecidos, casa decimal é algarismo depois da vírgula!). Então. Quantos? Tem 3 casas decimais. E o 10.000 tem quantas casas decimais? Nenhuma. Então, pegaremos os 10000, passaremos uma vírgula e acrescentaremos três zeros. Daí, teremos:

10.000,000 / 1,092

Perceba que conseguimos igualar o número de casas decimais: três para cada lado. Feito isso, o arremate: excluímos as vírgulas! Nossa conta será, portanto, somente:

10.000.000 / 1.092 Agora, sim, vem a parte boa! É aqui que vocês vão perceber a importância de se resolver a conta de divisão olhando para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta. Primeiramente, olhamos para as opções de resposta. Qual o algarismo que inicia todas elas? Olha lá! a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174,

É um 9. Daí, você – gênio da matemática – começa colocando logo um 9 no quociente. Ficamos com:

10000’000 1092

9828 9 172



14

Agora desce um zero. Teremos: 10000’0’00 1092

9828 9 1720

E agora? Agora você olha para as respostas novamente. Qual é o segundo dígito (o segundo algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Daí, nem precisa adivinhar quem será o próximo valor no nosso quociente! Obviamente que será o 1. Teremos:

10000’0’00 1092

9828 91 1720 1092

628 Reparemos que nossa conta está quase no fim! Claro! Basta darmos uma outra olhadela nas opções de resposta, e conferirmos qual é o terceiro algarismo que aparece em cada uma delas. Façamos isso: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174,

Olha aí, minha gente! Em todas as opções, não houve terceiro algarismo repetido! Isso significa que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta será a letra a; se encontramos um 5, a resposta será a letra b; se encontrarmos um 0, será a letra c; se encontramos um 2, será a letra d; finalmente, se encontrarmos um 7, nossa resposta será a letra e.

Sem medo de ser feliz!

Voltando à nossa conta. Desce mais um zero. Teremos:

10000’0’0’0 1092 9828 91 1720 1092

6280 Ora, não ficou muito difícil perceber que caberá aí um 5 no nosso quociente! Vejamos:

10000’0’0’0 1092

9828 915 1720 1092

6280 5460



15

Não dava para ser um 7, porque 7x1092=7644, que já passava de 6280. Pronto! Nem precisamos mais levar adiante essa divisão. Podemos ter certeza absoluta que a resposta será a opção B.

Daí: 9.151, Resposta! 37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. a)R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 b)R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 c)R$ 10.252,62 Sol.: Uma questão nada complicada! Façamos o desenho original e descubramos quanto vale cada prestação. Teremos: 19.908,


Daí, aplicamos a equação da Amortização, e teremos:

T = P. An¬i P = T / An¬i Daí: P=19.908/A12¬3%

Consultando a Tabela Financeira, acharemos que A12¬3%=9,954004

Daí, teremos: P=19.908/9,954004 P=1999,99 P≈2000,00 Agora, sabendo que as parcelas eram, originalmente, de R$2.000,00, e sabendo que, conforme disse o enunciado, já foram pagas seis parcelas, o novo desenho agora é o seguinte: 19.908,

2000 2000 2000 2000 2000 2000

E para descobrirmos o saldo devedor, só teremos que aplicar novamente a equação da amortização! Teremos:



16

Saldo Devedor 2000 2000 2000 2000 2000 2000

T = P. An¬i T=2000 x A6¬3%

Na tabela financeira, vemos que A6¬3%=5,417191

Daí: T=2000x5,417191 T=Saldo Devedor=10.834,38 Resposta!

51. (AFRF-1996) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 Sol.: Antes de fazermos o desenho dessa questão, que por sinal é bem simples, percebemos, já na leitura do enunciado, a presença de uma taxa nominal. Já estamos que ela terá que ser convertida em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. Fazendo isso, teremos:

120% ao ano, c/ capit. mensal = (120/12) = 10% ao mês = taxa efetiva!

Pronto. Agora, passemos ao desenho da questão. Teremos:

X (=valor à vista!)

14,64 14,64 14,64 14,64

23,60

O que vemos? Uma compra a prazo, sujeita a uma taxa composta! É amortização? Sem dúvidas! Só que o valor de uma entrada não nos interessa!



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Daí, para fazermos essa entrada desaparecer, só precisamos efetuar uma subtração. Teremos, pois, que:

(X-23,60)

14,64 14,64 14,64 14,64

Agora, só nos resta aplicarmos a fórmula da Amortização! Teremos:

T=P.An¬i (X-23,60)=14,64 . A4¬10%

Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que:


n

in )i1.(i1)i1(a

+

−+=¬

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412

Daí, teremos que:

T=P.An¬i (X-23,60)=14,64 x 3,169865

Daí: X-23,60 = 46,40 E: X=70,00 Resposta!

in



18

Na seqüência, conforme combinado, um resumo das equações usadas nas resoluções de Matemática Financeira. # Juros Simples:

niJC.100

= ni

MC.100100 +

= ni

MniJ

.100. +=

Prazo Médio:

).(...).().()..(...)..()..(

2211

222111

kk

kkk

iCiCiCniCniCniCPM

++++++

=

Taxa Média:

).(...).().()..(...)..()..(

2211

222111

kk

kkk

nCnCnCniCniCniCTM

++++++

=

# Desconto Simples por Dentro:

ni

DA d

.100=

niNA

.100100 +=

niN

niDd

.100. +=

# Desconto Simples por Fora:

ni

DN f

.100=

niAN

.100100 −=

niA

niD f

.100. −=

Relação Desconto Simples por Dentro x Desconto Simples por Fora:

Df=Dd.(1+i.n)

# Equivalência Simples de Capitais: Passos Preliminares:

1º Passo) Desenhar a questão; 2º Passo) Definir quais são as parcelas de primeira e segunda obrigação; 3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade;

4º Passo) Definir qual é o regime e qual a modalidade das operações de desconto que serão realizadas na questão;

5º Passo) Definir qual será a data focal. (Quem manda na data focal na equivalência simples é a questão!) Passos Efetivos de resolução:

1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 3º Passo) Aplicar a equação de equivalência: ∑(I)DF=∑(II)DF



19

# Juros Compostos:

M=C.(1+i)n (=convenção exponencial)

Convenção Linear: M=C.(1+i)a.(1+i.b) Onde: a é a parte inteira do tempo e b, a parte quebrada! Obs.: o montante da convenção linear será ligeiramente maior que o da convenção exponencial. # Desconto Composto por Dentro:

N=A.(1+i)n A=N/(1+i)n # Desconto Composto por Fora:

A=N.(1-i)n N=A/(1-i)n # Equivalência Composta de Capitais: Passos Preliminares:

1º Passo) Desenhar a questão; 2º Passo) Definir quais são as parcelas de primeira e segunda obrigação; 3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade;

4º Passo) Definir qual é o regime e qual a modalidade das operações de desconto que serão realizadas na questão. (Na equivalência composta, as operações serão sempre de desconto composto por dentro!)

5º Passo) Definir qual será a data focal. (Quem manda na data focal na equivalência composta é você!) Passos Efetivos de resolução:

1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 3º Passo) Aplicar a equação de equivalência: ∑(I)DF=∑(II)DF

# Rendas Certas: T=P.Sn¬i # Amortização: T=P.An¬i



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É isso, meus queridos amigos! Alguns números do curso: 10 semanas; 10 simulados; 120 resoluções; 270 páginas(!!); Dois resumos de fórmulas; ( Muitas horas de sono não dormidas...) Quero agradecer, sinceramente, a todos vocês que participaram deste projeto! Espero, de coração, que não tenha sido apenas mais um curso, mas que tenha valido a pena, e que continue valendo! Encadernem esse material e que ele seja um manual para vocês. Agradeço ao Ponto dos Concursos, na pessoa do Prof. Vicente Paulo, por mais essa oportunidade! Agradeço a Deus e a minha família. Dedico esse curso a Maria Clara, a minha Clarinha, que hoje tem um mês e meio de nascida, e há um mês e meio faz de mim a pessoa mais feliz deste mundo! Fiquem todos com Deus, e até a próxima!

Ponto dos Concursos - Estatística e Matemática Financeira em Exercícios ESAF

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