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PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO

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DEFINIÇÃO

Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau, basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:

aYv

a

bXv

4

2

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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Ponto de Máximo Ponto de Mínimo

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SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO OS PONTOS MÁXIMO E MÍNIMO

O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos avárias situações presentes em outras ciências, como Física,Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.

Física: movimento uniformemente variado, lançamento deProjéteis;

Biologia: na análise do processo de fotossíntese;

Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento,lucros e prejuízos.

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EXEMPLO 1 - FÍSICALANÇAMENTO DE PROJÉTEIS

Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola deequação: y = -0,1x2 15x (onde x e y são medidos em metros). a) Determine, em metros,  a altura máxima atingida pela Bala;b) Calcule , em metros, o alcance do disparo.

Solução:

a) O valor máximo (ou mínimo) desta função é o y do vértice da parábola, ou seja, y = - /4a , onde = b2 - 4ac.Então, a altura máxima da bala é:y = -[152 - 4(-0,1)(0)] / 4(-0,1) = -(225 - 0) / (-0,4) = -225 / -0,4 = 2250 / 4 = 562,5 m.

b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x2 + 15x = 0. Vem que: -0,1x2 + 15x = x(-0,1x + 15) = 0. Então, x = 0 , ou , -0,1x + 15 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 15 / 0,1 = 150. Assim, o alcance do disparo é de 150 - 0 = 150 m.

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GRÁFICO DA FUNÇÃO

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EXEMPLO 2 - ADMINISTRAÇÃO

LUCRO MÁXIMO

O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função:L(x) = -x2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente paraque o lucro seja máximo?

Solução:

Observando o vértice da parábola, temos que o valor de uma função f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou mínimo) quando x é igual a médiaaritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a. Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7.  

Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o lucro seja máximo.

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GRÁFICO DA FUNÇÃO