Porous Media Equivalents for Porous Media Equivalents for Networks of Discontinuos Networks of Discontinuos

FracturesFractures

Equivalentes ao Meio Poroso para Redes de Fratures Descontínuas

J. C. S. LONG, J.S. REMER,

C.R. WILSON, P. A. WITHERSPOON

1982, Water Resources Research, 18(3), 645-658

1. I1. INTRODUÇÃONTRODUÇÃO

Questão?Questão?

Uma das mais importantes questões levantadas quando se considera o escoamento através das fraturas é:

A rede de fraturas A rede de fraturas comporta-se comporta-se

como meio poroso?como meio poroso?

Pode-se modelar o sistema por um tensor de permeabilidade equivalente e proceder com a análise do movimento do fluido sob condições iniciais e de contorno conhecidas?

Snow [1965]Snow [1965]

• Fez estudos matemáticos de extensivos sistemas de fraturas.

• Desenvolveu uma expressão matemática para o tensor de permeabilidade de uma fratura isolada de orientação e abertura arbitrárias em relação a um sistema de coordenadas.

• Ele mostrou que o tensor de permeabilidade de uma rede de fraturas é formado por se adicionar os respectivos componentes do tensor de permeabilidade para cada fratura individual.

• No campo constata-se que as fraturas tem comprimento finito.

• Assim, cada fratura pode contribuir para a permeabilidade da rocha a medida que ela intercepta outras fraturas.

• Uma fratura isolada, que não intercepta nenhuma outra fratura evidentemente não contribui para a permeabilidade da rocha.

• Assim, o escoamento em dada fratura não é independente do escoamento em outras fraturas.

• A permeabilidade da rocha então, não é a soma das permeabilidades de cada fratura.

2. PERMEBAILIDADE 2. PERMEBAILIDADE HOMOGÊNEA ANISOTRÓRICAHOMOGÊNEA ANISOTRÓRICA

• A lei de Darcy foi originalmente postulada para escoamento unidimensional.

ConsideraçõesConsiderações

• A permeabilidade foi apresentada como um simples escalar.

• Ferrandon [1948], Collins [1961] propuseram:

• Onde kij é simétrico e a matriz pode ser transformada em diagonal pela rotação do sistema de coordenadas.

Escoamento 3D | AnisotrópicoEscoamento 3D | Anisotrópico

i ijj

gv k

dx

1,2,3

1,2,3

i

j

• Em rochas anisotrópicas, o gradiente hidráulico (ch/cl) e o vetor velocidade nãonão são paralelos.Eles o são em rochas isotrópicas!

C. W. Fetter – Applied Hydrogeology, página 155

• Assim KK não é um escalar em rochas como em rochas isotrópicas.

• Em vez disso, há um tensor de condutividade (Kij)

• Os valores do tensor dependem das direções x,y,z, os quais transformam os componentes do gradiente hidráulico nos de velocidade.

Escoamento 3D | AnisotrópicoEscoamento 3D | Anisotrópico

Escoamento 3D | AnisotrópicoEscoamento 3D | Anisotrópico

• Experimentos comprovam esta teoria.

• Contudo, Collins [1961] destaca que não há garantia de que todo material poroso tenha um tensor de permeabilidade ortogonal.

3. ESTATÍSTICA DA 3. ESTATÍSTICA DA GEOMETRIA DAS FRATURASGEOMETRIA DAS FRATURAS

• Sob um dado número de condições de contorno, o comportamento hidráulico de uma rocha fraturada com uma matriz impermeável é determinado inteiramenteinteiramente pela geometria do sistema de fraturas.

• Para o escopo deste estudo a a descrição da geometria foi simplificadasimplificada

DescriçãoDescrição

• Cada fratura é individualmente descrita em termos de:

1.1. Abertura efetiva (Abertura efetiva (ou ou hidráulicahidráulica))

2.2. OrientaçãoOrientação

3.3. LocalizaçãoLocalização

4.4. TamanhoTamanho

Comportamento HidráulicoComportamento Hidráulico

• É função da abertura abertura efetivaefetiva.

• A determinação da permeabilidadepermeabilidade da fratura requer a determinação de sua abertura hidráulicaabertura hidráulica.

• Infelizmente, é muito difícilmuito difícil realizar testes hidráulicos em fraturas isoladas no campocampo.

• Gale [1975] tentou fazer estes experimentos mas não foi bem sucedidonão foi bem sucedido.

4. MÉTODO DE ANÁLISE 4. MÉTODO DE ANÁLISE NUMÉRICANUMÉRICA

• Um código numérico foi desenvolvido para gerargerar uma amostraamostra do sistema de fraturas em duas dimensões usando as propriedades geométricas.

• Por elementos finitos calcula-se QQgg, o componente da vazão na direção do na direção do gradientegradiente.

Usando a Lei de Darcy:Usando a Lei de Darcy:

• A condutividade hidráulicacondutividade hidráulica na direção do gradiente da amostra gerada é calculada por:

gg

QK

A

• Onde: AA é a área total perpendicular ao escoamento.

5. GERAÇÃO DA MALHA5. GERAÇÃO DA MALHA

SET1 e SET2INDEPENDENTES!

Distribuição Log-Normal

Distribuição Normal

Distribuição Poisson

Distribuição Log-Normal

6. MEDIÇÃO DA 6. MEDIÇÃO DA CONDUTIVIDADE HIDRÁULICACONDUTIVIDADE HIDRÁULICA

• A condutividadecondutividade em um meio homogêneo pode ser definida na direção do direção do escoamentoescoamento ou na direção direção do gradientedo gradiente.

• Queremos medir a condutividade em um meio heterogêneo de rocha heterogêneo de rocha fraturadafraturada.

• O gradiente pode ser aproximadamente linearlinear.

• A direção do direção do escoamentoescoamento é controlada pela direção das direção das fraturasfraturas.

• Um método que obtenha a condutividade condutividade na direção do na direção do gradientegradiente precisa ser usado.

0

g xx

dy

K K

2 4 2 4( ) ( )

x xg x

Q QK Q

L

L

Kxx=Kg

2 4 2 4( ) ( )

y yxy y

Q QK Q

L

L

7. ROTAÇÃO DA REGIÃO DO 7. ROTAÇÃO DA REGIÃO DO ESCOAMENTOESCOAMENTO

• A condutividade pode ser medida em qualquer região escolhida.

Meio Homogêneo AnisotrópicoMeio Homogêneo Anisotrópico

PODE SER A

PROXIMADO

PODE SER A

PROXIMADO

COMO MEIO

POROSO!

COMO MEIO

POROSO!

Meio Heterogêneo AnisotrópicoMeio Heterogêneo Anisotrópico

NÃO PODE S

ER APROX.

NÃO PODE S

ER APROX.

COMO MEIO

POROSO!

COMO MEIO

POROSO!

8. PROGRAMA8. PROGRAMA“FRACTURE FLOW”“FRACTURE FLOW”

Elementos FinitosElementos Finitos

• Desenvolvido por Wilson [1970].

• As Fraturas são representadas por elementos lineares.

• Escoamento obedecendo a lei cúbica.

• Matriz da rocha impermeável.

• Estado permanente.

9. VALIDAÇÃO DO9. VALIDAÇÃO DOMÉTODO NUMÉRICOMÉTODO NUMÉRICO

ExemploExemplo

110 cm

110

cm

75 cm

75 c

m

75 c

m

75 cm

FLOW REGION

RESULTADOSRESULTADOS

11

33

22 44

REDE 3REDE 3

1,019x10-4

11

33

22 44

1,01

9x10

-45,

42x1

0-10

8,98x10-11

ZERO!

ZERO!

Q [cm³/s]

• Q2≠Q4

• Q=0• ≠ Meio Poroso!

75 cm

75 c

mP

erm

eab

ilid

ade

Per

mea

bili

dad

e D

irec

ion

alD

irec

ion

al

Não há um tensor deCondutividade simétrico!

10. EFEITO DA DENSIDADE DE 10. EFEITO DA DENSIDADE DE FRATURAFRATURA

40 c

m

40 cm

30 c

m

30 cm

25 c

m

25 cm

625 f.m625 f.m-2-2 1111 f.m1111 f.m-2-2 1600 f.m1600 f.m-2-2

Número de interseções cresce de AA para CC

Aproxima-se de uma elipse de AA para CC

Isopotenciais: Linear de AA para CC

11. EFEITOS DA ABERTURA E 11. EFEITOS DA ABERTURA E DA ORIENTAÇÃODA ORIENTAÇÃO

AB

ER

TU

RA

= L

OG

-NO

RM

AL

O

RIE

NT

AÇ

ÃO

= C

ON

ST

AN

TE

AB

ER

TU

RA

= C

ON

ST

AN

TE

OR

IEN

TA

ÇÃ

O =

NO

RM

AL

12. EFEITO DE ESCALA12. EFEITO DE ESCALA

A r

egiã

o d

e es

coam

ento

dev

e s

er m

aio

r q

ue

o c

om

pri

men

to d

a fr

atu

ra!