Pórtico Assimétrico com Mola.docx

8/18/2019 Pórtico Assimétrico com Mola.docx

1/39

Calculamos os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços nasextremidades das barras do pórtico abaixo, considerando que um dos apoios, existeuma mola, como indica gura abaixo.

(1)

( 2 )

( 3 )

2 3

41

2 k N / m

2 k N / m

10 kN 10 kN

I

I I

I

I II II

X

Y

Sendo:f ck = ! "#a $ resist%ncia caracter&stica do concreto' = ()))))),)) k*+m $ módulo de elasticidade do concreto -' = f ck

!/))01 = ),)! m $ 2rea da seç3o trans4ersal dos elementos da estrutura5 = 6,67!x8) 9 m $ momento de in;rcia da seç3o tipo mais apropriado ; uma barra biarticulada,pois a mesma só responde axialmente.


2/39

2 3

41

2 k N / m

2 k N / m

10 kN 10 kN

Y

5

> k mola ser2 igual a '1+< desta barra. 'nt3o, considerando ' e 1 da no4a barracomo sendo iguais aos das demais, encontramos o seu comprimento.

k mola

= EA

L

L(6 )

= EA

k mola

= 1,26 m

8? 'tapa:@e nido o sistema de global de refer%ncia, a numeraç3o dos nós e das

barras e a incid%ncia na estrutura de cada um delas.

(1)

( 2 )

( 3 )

2 3

41

2 k N / m

2 k N / m

10 kN 10 kN

I

I I

I

I II II

5(6)I II

? 'tapa:


3/39

a0 @eterminaç3o das matriAes de rigideA Bk de cada barra, no sistema localde refer%ncia:

Dodas as barras, exceto a barra -/0 ter3o sua matriA de rigideA da seguinteforma:

'1+< ) ) -9'1+


4/39

Bk -!0 = Bk - 0Farra -/0:

1 barra -/0 ter2 a matriA de rigideA de uma barra de treliça, pois amesma ; articulada em ambas as extremidades.

'1+< ) ) -9'1+


5/39

) ) ) 8 ) )) ) ) ) 8 )) ) ) ) ) 8

Farra - 0 e Farra -60:

H = G)J

) 98 ) ) ) )8 ) ) ) ) )

BD- 0 e-60 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ) 98 )) ) ) 8 ) )) ) ) ) ) 8

) 8 ) ) ) )

98 ) ) ) ) )BD D- 0 e -60 = ) ) 8 ) ) )

) ) ) ) 8 )) ) ) 98 ) )) ) ) ) ) 8

Farra - 0:H = !6,86J

),/ 9),( ) ) ) )),( ),/ ) ) ) )

BD- 0 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ),/ 9),( )) ) ) ),( ),/ )) ) ) ) ) 8

),/ ),( ) ) ) )9),( ),/ ) ) ) )

BD D

- 0 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ),/ ),( )) ) ) 9),( ),/ )) ) ) ) ) 8

Farra -!0:H = 9!6,86J ou 6)/,(7J

),/ ),( ) ) ) )9),( ),/ ) ) ) )

BD-!0 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ),/ ),( )) ) ) 9),( ),/ )


6/39

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BD D-!0 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ),/ 9),( )) ) ) ),( ),/ )) ) ) ) ) 8

c0 @eterminaç3o das matriAes de incid%ncia:

1 seguir consta o quadro de incid%ncia das barras:

'xtremidadesFarr

a 5 55

8 *ó *ó 6

*ó 8 *ó 6 *ó *ó 6

*ó 8 *ó 6! *ó *ó / *ó *ó !

Farra -80:

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Ba -80 = ) ) ) ) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) )

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8 ) ) ) ) )

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) ) 8 ) ) )Ba D-80 = ) ) ) 8 ) )

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7/39

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Farra - 0:

8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )Ba - 0 = ) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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) ) ) ) ) 8Ba D- 0 = ) ) ) ) ) )

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Farra -60:

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Ba -60 = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) )

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8/39

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Ba D-60 = ) ) ) 8 ) )) ) ) ) 8 )) ) ) ) ) 88 ) ) ) ) )) 8 ) ) ) )

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Farra - 0:

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Ba - 0 = ) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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Ba D- 0 = ) ) ) 8 ) )) ) ) ) 8 )) ) ) ) ) 8) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )


9/39

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Farra -!0:

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Ba -!0 = ) ) ) ) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) )

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Ba D-!0 = ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) 8 ) )

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Farra -/0:

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Ba -/0 = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) )


10/39

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Ba D-/0 = ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )8 ) ) ) ) )

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6? 'tapa:

a0 C2lculo do 4etor Kp ) L e Kp ) LM:

Como apenas as barras - 0 e -60 possuem carregamento fora dos nós, ent3o:

Considerando a barra como sendo uma biengastada, encontramos osesforços nas extremidades.

p ),8- 0 ),)) k*

Kp) L5,- 0 p ), - 0 ,)) k*Kp) L

- 0 =Kp) L55,

- 0 = p ),6- 0 = ,/7 k*m

p ), - 0 ),)) k*

p ),!- 0 ,)) k*p ),/- 0 9 ,/7 k*m

p ),8-60 ),)) k*

Kp) L5,-60 p ), -60 ,)) k*Kp) L

-60 =Kp) L55,

-60 = p ),6-60 = ,/7 k*m

p ), -60 ),)) k*

p ),!-60 ,)) k*

p ),/-60 9 ,/7 k*m

' utiliAando Kp ) LN-80 = BD -i0Kp) L-i0, temos:


11/39

) 98 ) ) ) ) ),)) 9 ,)) k*

8 ) ) ) ) ) ,)) ),)) k*Kp) LN-

0 = ) ) 8 ) ) ) x ,/7 = ,/7 k*m) ) ) ) 98 ) ),)) 9 ,)) k*

) ) ) 8 ) ) ,)) ),)) k*

) ) ) ) ) 8 9 ,/7 9 ,/7 k*m

) 98 ) ) ) ) ),)) 9 ,)) k*

8 ) ) ) ) ) 9 ,)) ),)) k*Kp) LN-6

0 = ) ) 8 ) ) ) x 9 ,/7 = ,/7 k*m

) ) ) ) 98 ) ),)) 9 ,)) k*

) ) ) 8 ) ) 9 ,)) ),)) k*

) ) ) ) ) 8 ,/7 9 ,/7 k*m

b0 C2lculo de K# ) L:

K#) L = OBa D-i0Kp) LN-i0

8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) 8 ) ) 9 ,)) ) ) ) ) ) ) 9 ,))) ) ) ) 8 ) ),)) ) ) ) ) ) ) ),))

K#)L = ) ) ) ) ) 8 x ,/7 P ) ) ) ) ) ) x ,/7

) ) ) ) ) ) 9 ,)) ) ) ) 8 ) ) 9 ,))) ) ) ) ) ) ),)) ) ) ) ) 8 ) ),))) ) ) ) ) ) 9 ,/7 ) ) ) ) ) 8 9 ,/7) ) ) ) ) ) 8 ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

9 ,))

),))

,/7

9 ,))

),))K#)L = 9 ,/7


12/39

9 ,))

),))

9 ,/7

9 ,))

),))

,/7

),))

),))

),))

c0 >bser4ando a estrutura, montamos K#L.

*ote que # 8) = ), pois ; um esforço localiAado no nó , que tem amo4imentaç3o li4re nessa direç3o. ' # 86 , # 8 e # 8! faAem parte dos esforçosno nó ! que est2 representado como um apoio engastado logo s3oincógnitas.

# 8 # 8# #

# 6 # 6

# )

# ! 98)

# / )K#L = # 7 = )

# ( 98)

#G )# 8) )

# 88 # 88

# 8 # 8

# 86 # 86

# 8 # 8

# 8! # 8!

d0 >bser4ando a estrutura montamos K@L:

*ote que @ 8) -deslocamento na direç3o x do nó 0 ; uma incógnita, pois seu4alor ; desconQecido, enquanto os demais deslocamentos deste nó s3o


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impedidos, iguais a Aero. >s deslocamentos @ 86 , @8 e @ 8! s3o nulos, poispertencem ao nó ! que ; engastado, ou seRa, indesloc24el.

@8 )

@ )

@6 )

@ @

@! @!

@/ @/K@L = @ 7 = @7

@( @(

@G @G

@8) @8)

@88 )

@8 )

@86 )

@8 )

@8! )

? 'tapa:

>btemos as matriAes Bk M de cada barra atra4;s da express3o:

Bk N = BD Bk BD D

Farra -80:

1 barra -80 possui H = )J, ent3o Bk M = Bk .

Bk N-80 = Bk -80

Farra - 0:

8778,(7! ) 96! 6,7! 98778,(( ) 96! 6,7!) 68!))) ) ) 968!))) )

Bk M- 0 = 96! 6,7! ) G !) 6! 6,7! ) 7 !

98778,(( ) 6! 6,7!8778,(7

! ) 6! 6,7!) 968!))) ) ) 68!))) )

96! 6,7! ) 7 ! 6! 6,7! ) G !)

Farra -60:Como Bk -60 = Bk - 0, ent3o:

Bk N-60 = Bk M- 0Farra - 0:

G86)),/8

8 )! ,! 98(8 , 9G86)),/ 98 )! ! 98(8 ,


14/39

8 )! ,!

8/8/)/,/ 86/),( 98 )! ! 98/8/)7 86/),(

Bk N- 0 = 98(8 , 86/),( 7!/) 8(8 , 986/),( 67()

9G86)),/ 98 )! ! 8(8 ,G86)),/

88 )! ,

! 8(8 ,

98 )! ! 98/8/)7 986/),(8 )! ,

!8/8/)/,

/ 986/),(98(8 , 86/),( 67() 8(8 , 986/),( 7!/)

Farra -!0:Como Bk -!0 = Bk - 0, ent3o:

Bk N-!0 = Bk M- 0

Farra -/0:1 barra -/0 possui H = )J, ent3o Bk M = Bk .

Bk N-/0 = Bk -/0

!? 'tapa:

a0 >bti4emos a matriA B da estrutura atra4;s da express3o:

B = OBa D-i0Bk N-i0Ba -i0>nde:

#arcela de4ido a barra -80:

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)))) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) )) /6)) ) 9 )) /6)) ) ) ) ) ) )

Ba D-80Bk N-80Ba-80 = ) ) ) ) /6))

8 /)) ) 9/6)) /6)) ) ) ) ) ) )

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) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )#arcela de4ido a barra - 0:


15/39

8778,(( )

96! 6,7

!9

8778,G )

96! 6,7

! ) ) ) ) ) ) ) ) )) 68!))) ) ) 968!))) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )9

6! 6,( ) G !)6! 6,7

! ) 7 ! ) ) ) ) ) ) ) ) )9

8778,G )6! 6,7

!8778,(

( )6! 6,7

! ) ) ) ) ) ) ) ) )) 968!))) ) ) 68!))) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Ba D- 0Bk N- 0Ba - 0 =

96! 6,( ) 7 !

6! 6,7! ) G !) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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#arcela de4ido a barra -60:

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Ba D-60Bk N-60Ba-60 = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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( )6! 6,7

! 98778,(7! ) 6! 6,7! ) ) )) ) ) ) ) ) ) 68!))) ) ) 968!))) ) ) ) )

) ) ) ) ) )6! 6,7

! ) G !) 96! 6,7! ) 7 ! ) ) )

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9

8778,G )

96! 6,7

! 8778,(7! ) 96! 6,7! ) ) )) ) ) ) ) ) ) 968!))) ) ) 68!))) ) ) ) )


16/39

) ) ) ) ) )6! 6,7

! ) 7 ! 96! 6,7! ) G !) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

#arcela de4ido a barra - 0:

G86)),/8 )! ,

! 98(8 , ) ) ) 9G86)8

98 )! ,

! 98(8 , ) ) ) ) ) )

8 )! !8/8/)/,

!G 86/),( ) ) ) 98 )! !

98/8/)/,

/ 86/),( ) ) ) ) ) )98(8 , 86/),( 7!/) ) ) ) 8(8 , 986/),( 67() ) ) ) ) ) )

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9G86)8

98 )! ,

! 8(8 , ) ) ) G86)),/8 )! ,

! 8(8 , ) ) ) ) ) )

98 )! !

98/8/)/,

/ 986/),( ) ) ) 8 )! !8/8/)/,

!G 986/),( ) ) ) ) ) )98(8 , 86/),( 67() ) ) ) 8(8 , 986/),( 7!/) ) ) ) ) ) )

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#arcela de4ido a barra -!0:) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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98 )! ,

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! 8(8 , ) ) )

) ) ) 98 )! !8/8/)/,

!G 86/),( ) ) ) 8 )! ,!

98/8/)/,

/ 86/),( ) ) )


17/39

Ba D-!0 Bk N-!0Ba -!0 = ) ) ) 8(8 , 86/),( 7!/) ) ) ) 98(8 , 986/),( 67() ) ) )

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) ) ) 9G86)88 )! ,

!9

8(8 , ) ) ) G86)),/)(98 )! ,!

98(8 , ) ) )

) ) ) 8 )! !

98/8/)/,

/9

86/),( ) ) )9

8 )! ,!8/8/)/,

!G9

86/),( ) ) )) ) ) 8(8 , 86/),( 67() ) ) ) 98(8 , 986/),( 7!/) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

#arcela de4ido a barra -/0:

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Ba D-/0 Bk N-/0 Ba-/0 = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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8)))))) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

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8)))))) ) ) 8)))))) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

"atriA B :

G6)7,!

8 )! ,!

9!6!(,8

!

98778,

G )

96! 6,7

!9

G86)8

98 )! ,

! 98(8 , ) ) ) ) ) )

8 )!!

7//)/,!G 86/),( ) 968!))) )

98 )!

!

98/8/)/,

/ 86/),( ) ) ) ) ) )9

!6!(,86/),( 87)8)

6! 6,7! ) 7 !

8(8 ,986/),( 67() ) ) ) ) ) )

98778,

G )6! 6,7

!!86)7

98 )! ,

!!6!(,8

!

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(8 )! ,

! 8(8 , ) ) )

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!G 7//),( ) 9 )) /6))8 )! ,!

98/8/)/,

/ 86/),( ) ) )

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96! 6,

( ) 7 !!6!(,

8! 7//),( G/8) ) 9/6)) /6)) 98(8 , 986/),( 67() ) ) )


18/39

9G86)8

98 )! ,

! 8(8 ,

9)))) ) )

!86)7 8 )! ,!

!6!(,8! 98778,(7! )

6! 6,7! ) ) )

98 )!

!

98/8/)/,

/ 986/),( ) 9 )) 9/6))8 )!

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!G 97//),( ) 968!))) ) ) ) )9

8(8 ,86/),( 67() ) /6)) /6))

!6!(,8! 97//),( G/8) 96! 6,7! ) 7 ! ) ) )

) ) )9

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! 98(8 ,

98778,

G )

96! 6,7

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(6

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9!6!(,8

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19/39

b0 "ontagem da equaç3o K#L = B K@L P K# ) L:

c0#

d0

e0 G6)7,

(6

f0 8

)!

,! g0

9

Q0 98778,(7! i0 )

R09

k0 9G86)),/)(

l0 98

)!

,! m0

9n0 ) o0 )

p0)

q0)

r0)

s0) t0

u0) 40

T09

x0#

U0

A0 8

)!

,!

aa07//)/,!G

ab086

ac0 )

ad0 968!)))

ae0)

af0 98

)!

,!

ag0 98/8/)/,!G

aQ086

ai0 ) aR0 )ak0)

al0)

am0)

an0) ao0

ap0) aq0

ar0),

as0#

at0

au0 9!6!(,8!

a40 86/),(

aT087

ax0 6!

6,7! aU0 )

aA07

ba0 8(8

,

bb0 986/),(

bc067

bd0 ) be0 )bf0)

bg0)

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la0) lb0

lc0) ld0

le0),

lf0


22/39

lg0 Xoi necess2rio faAer a mudança da linQa correspondentes a K# 8L, K# L e K# 6L todas para a linQa anterior a K# 88 L, como mostra aseguir:

lQ0) li0

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23/39

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24/39

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4u0

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xQ0) xi0

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25/39

xk0 #ara que n3o ocorra modi caç3o no determinante da matriA de rigideA global, desloca9se obrigatoriamente, a posiç3o das colunas8, e 6 -referentes a # 8, # , e # 60 encaixando9as entre as colunas 8) e 88 -referentes a # 8) e # 88 0, como mostra a seguir.

xl0

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26/39

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27/39

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28/39

aRp0 C2lculo dos @eslocamentos *odaisaRq0

aRr0K#LC 9 K#) LC = B CCK@LC P B C K@LaRs0 Sendo: B C K@L = )

aRt0'nt3o: K@L C = B 98CC -K#Lc 9 K# ) LC0

aRu0 K#LC = B CCK@LC P B C K@L P K# ) LCaR40

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29/39

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30/39

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