1) Se |x| = |y| com x < 0 e y > 0, assinale a alternativa falsa

POTNCIAS E RAZES

CONTEDO

Potncia de expoente natural

Potncia de expoente inteiro negativo

Raiz ensima aritmtica

Potncia de expoente racional

Raiz quadrada aproximada

Clculo da raiz quadrada por diviso

Equao e inequao exponencial

RESUMO TERICO

POTNCIA DE EXPOENTE NATURAL

Definio: Seja a ( R e n ( N. Potncia de base a e expoente n um nmero an tal que:

Assim, a1 = a0(a = 1(a = a

a2 = a1(a = a(a

a3 = a2(a = a(a(a

Em geral ap, p (N e p 2, um produto de p fatores iguais a a.

Exemplos:

1) 40 = 12) (5)0 = 1

3) 21 = 24)

5) (4)1 = 46) 52 = 5(5 = 25

7) (3)2 = (3)((3) = 98) 02 = 0(0 = 0

9)

10) 23 = 2(2(2 = 8

11) (2)3 = (2)((2)((2) = 8

12) 23 = (2)((2)((2) = 8

13) (2)3 = (2)((2)((2) = 8

Observao: bom lembrar que:

a0 = 1, (a ( 0

a1 = a

00 = 1

, (p ( R+*

n par ( an > 0

n mpar ( an tem o mesmo sinal de a

POTNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

Exemplos:

1)

2)

3)

4)

Em geral, temos:

RAIZ ENSIMA ARITMTICA

Definio: Seja o radicando a ( R+ e o ndice n ( N, existe sempre a raiz b ( R+, tal que .

Exemplo: , pois 25 = 32

Observao: Da definio temos que e no .

NOTA: Deve-se estar atento no clculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se . Exemplos: e .

Observao: 1) S possvel adicionar ou subtrair razes idnticas (mesmo ndice e radicando). 2) Para multiplicao ou diviso basta que as razes possuam o mesmo ndice. Exemplos: ,

POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Seja a ( R+* e , temos:

Expoente

Exemplos:

1)

2)

NOTA: As potncias de expoente irracional so definidas por aproximao de potncias racionais, mas apenas para bases no negativas.

Propriedades:

1) ap(aq = ap + q2) , a ( 0

3) (a(b)p = ap(bp4) , b ( 0

5) (ap)q = ap(qExemplos:

1) 53(52 = 53+2 = 552) 34(31 = 341 = 333)

4)

5) (2(3)2 = 22(326)

7) (53)2 = 53(2 = 568)

Observao: Como se pde notar pelos exemplos 7) e 8) acima, em geral temos .

Propriedades das razes: n, p ( N* e a, b ( R+

1)

2)

3) , b ( 0

4)

5)

Observao: 1) As propriedades das razes so iguais as propriedades das potncias para expoentes fracionrios. 2) As propriedades acima so teis para reduo de potncias ao mesmo ndice a fim de permitir a sua multiplicao ou diviso. Exemplo: .

RAIZ QUADRADA APROXIMADA

No caso de nmeros que no possuem raiz quadrada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta como o maior nmero cujo quadrado no excede o nmero dado e na raiz quadrada por excesso como o menor nmero cujo quadrado excede o nmero dado. Os dois nmero citados diferem em 1 unidade e os erros nos dois casos so inferiores a 1 unidade.

A diferena entre o nmero dado e o quadrado da raiz aproximada (em geral a raiz por falta). chamado resto da raiz quadrada

Exemplo: 36 < 42 < 49 ( 62 < 42 < 72, assim 6 a raiz quadrada de 42 por falta, 7 a raiz quadrada de 42 por excesso e o resto 42 62 = 6.

CLUCLO DA RAIZ QUADRADA POR DIVISO

Para obter a raiz aproximada deve-se obter um quadrado perfeito maior e um menor que o nmero dado e ento analisar a resultado da diviso do nmero pela mdia aritmtica das razes dos quadrados obtidos como mostrado no exemplo a seguir:

Exemplo 1: Calcular . Soluo: Sabe-se que 102 < 196 < 202. Ento 10 < < 20. Tomemos a mdia destes nmeros (10 + 20)/2 = 15 e faamos a diviso 196:15 ( 13. O quociente 13 menor que 15 (se o quociente fosse 15, ele seria a raiz), logo 13 < < 15. Testando a nova mdia, tem-se (15+13)/2 = 14. Fazendo a diviso 196:14 = 14. Logo, =14.

Exemplo 2: Calcular . Soluo: 402 < 2160 < 502. Fazendo 2160:45 ( 48. Logo, 45 < < 48. Dividindo novamente por (48+45)/2 = 46,5, temos 2160:46,5 = 46,45. Logo, 46,45 0 e a ( 1: an = ab ( n = bInequao:

a > 1: ax > ab ( x > b

0 < a < 1: ax > ab ( x < bObservao: Nas inequaes exponenciais a relao entre os expoentes a mesma que entre as potncias no caso de a > 1 e o inverso daquela das potncias no caso de 0 < a < 1.

Exemplos:

1) 2x = 32 ( 2x = 25 ( x = 2

2) 3x > 81 ( 3x > 34 ( x > 4

3)

EXERCCIOS DE FIXAO

1) Calcule:

A) (2)4 =

B) (24 =

C) ( ((2)3 =

D) (( 2)0 =

E) ((1)1 =

F) 05 =

G) 00 =

H) ((2) 2 =

I) (2(2 =

J) (((2)(2 =

K)

L) =

M) (0,25)(3 =

N)

2) Simplifique:

A) =

B) 81(0,25 =

C) (322)(0,4 =

D)

E)

F)

3) Simplifique as expresses:

A)

B)

4) Efetue:

A)

B)

C)

D)

5) Sendo a > 0, simplifique:

6) Sendo ab ( 0, simplifique .

7) O quociente de 5050 por 2525 igual a :

A) 2525B) 1025C) 10025D) 225E) 2 ( 25258) Qual o valor da expresso:

9) Resolva:

10) Resolva:

11) Calcule: 12) O valor de :

A) 2

B) 3

C) 5

D) -2

E) 0

13) A metade do nmero igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

14) Seja a um nmero real positivo tal que a2 = 2. Calcule .

15) Determine o valor numrico de sendo

16) Sabendo-se que a2=56, b5=57 e c3=38, calcule (abc)15.

17) Simplifique:

18) Se n ( N* , simplifique

19) Sendo x, y e z positivos, calcule

A) x(a/2(ya(4(z4(aB) (xa/4(z1/2)2aC) x1/2(y(z3D) x3a/2(z220) Simplifique a expresso e calcule o seu valor para a = 10(3 e b = (10(2.

21) Resolva as equaes:

A) 23x(1 = 32

B)

C) 112x+5 = 1

D) 32x(1(93x+4 = 27x+1

22) Resolva a equao 2x(1+2x + 2x+1 ( 2x+2 + 2x+3 = 120.

23) Resolva as inequaes:

A) 2x > 128

B)

C) (0,1)3(4x < 0,0001

D)

24) Ache as razes quadradas abaixo com duas casas decimais pelo mtodo da diviso:

A)

B)

25) Ache um nmero cuja raiz quadrada 15 e o resto 15.

26) Que nmero se deve subtrair de 8560 para obter um quadrado?

APROFUNDAMENTO TIPO I

27) (UnED Nil 1996) Que nmero somado a 19952 resulta em 19962?

28) (ENCE 1989) Dadas as expresses:

1) 40(8(5 = 1

2) 0,096(0,12 = 0,8

3) 22 + (2)2 = 8

4)

as VERDADEIRAS so:

A) 1 e 4

B) 1 e 3

C) 1 e 2

D) 2 e 4

E) 2 e 3

29) (ENCE 1990) Se , pode-se afirmar que:

A) A no real

B) A = 22

C) A = 24

D) A = 16

E) A = 12

30) (ETFQ 1983) Considerando que um dia corresponde a 100%, determine em porcentagem, o tempo gasto por um automvel, animado por uma velocidade de 80 km/h, sabendo que a 60 km/h ele gasta, no mesmo percurso, 4 horas.

31) (ETFQ 1986) Seja , se m = 10x, determine o valor de x.

32) (ETFQ 1989) Qual o resultado mais simples da expresso abaixo?

33) (ETFQ 1990) Qual o resultado mais simples da expresso: .

34) (ETFQ 1991) Qual o resultado mais simples da expresso: .

35) (ETFQ 1991) Qual o valor mais simples da expresso ?

36) (ETFQ 1994) Determinar o valor da expresso E, abaixo: .

37) (ETFQ 1994) Calcular o resultado mais simples da expresso abaixo:

38) (ETFQ 1994) Considerando a expresso (6a(6a(2a(3a)2 = 46656, conclumos que o valor numrico de a :

39) (ETFQ 1996) Simplificar a expresso:

40) (ETFQ 1997) Considere:

A = (5a(5a(52a)3B = 55a(5a

e

41) (ETFQ 1999) Calcule o valor da expresso:

42) (ETFQ 2001) Calcule o valor da expresso

43) (CEFET 1983) Se m = 102, ento igual a:

A) 100m

B)

C)

D) 1

E) 0

44) (CEFET 1983) Dadas as operaes abaixo, responda:

1) 8(2(2 = 2

2) 10 (3 8) = 15

3)

4) 23 ( 32 = 655) 14,4 ( 0,12 = 120

A) Apenas a (2) correta

B) As falsas so (3) e (4)

C) As corretas so (1), (2) e (5)

D) As falsas so (1), (3) e (4)

E) Apenas a (4) falsa

45) (CEFET 1984) Dentre os nmeros seguintes, assinale o que est compreendido entre 103 e 102:

A) 1,0032

B) 0,3002

C) 0,0023

D) 0,2003

E) 2,0003

46) (CEFET 1986) Lampert e outro cientista (1969) mediram a massa seca das partculas do vrus do herpes simples (cadeia 11140) por meio de um microscpio eletrnico: a regio central pesou 2(1016 g e o envoltrio, 1,3(1015 g. O peso, em gramas, dessas duas partculas :

A) 1,5(1015B) 3,3(1031C) 3,3(1016D) 1,5(1016E) 21,3(101547) (CEFET 1987) Voc est preparado para esta prova e capacitado para verificar os erros que possam existir nas expresses abaixo. Analise-as:

1) 12(2(3 = 2

2) 0,048 ( 0,8 = 0,06

3)

4)

5) 32 = 9

e indique a frase que traduz a verdade sobre elas:

A) todas esto certas

B) todas esto erradas

C) somente 1 est errada

D) somente 2 e 4 esto certas

E) somente 1, 2 e 3 esto certas

48) (CEFET 1991) Calcule .

49) (CEFET 1992) O valor da expresso :

A) 2

B) 1/2

C) 1

D) 3/4

E) 12

50) (CEFET 1993) O valor da expresso :

A) 2

B) 4

C) 8

D) 2

E) 4

51) (CEFET 1994) Consideradas as igualdades, assinale a nica alternativa correta:

A)

B)

C)

D)

E)

52) (CEFET 1995) Tendo em vista as quatro expresses a seguir:

I) [2((3/4)]((2/3)

II) (2 3 + 1)((5)

III)

IV) [(1) + 1/3]((2/3)1Podemos afirmar que zero o resultado de

A) II e III

B) III e IV

C) I, II, IV

D) II, IV

E) somente II

53) (CEFET 1999) Ao simplificarmos , obtemos:

A)

B)

C)

D)

E)

54) (CEFET 2000) Sabendo que N a raiz quadrada positiva de 12345654321 e que a soma dos seus algarismos 6, assinale, entre as opes abaixo, aquela que representa N.

A) 111111

B) 112110

C) 211011

D) 1012011

E) 1102111

APROFUNDAMENTO TIPO II

55) (EsPCEx 1983) Determine, em potncia de 10, o valor da expresso seguinte:

56) (EsPCEx 1983) Determine o valor da expresso:

57) (EsPCEx 1984) Calcular, considerando apenas as razes positivas: .

58) (EsPCEx 1984) Calcular: .

59) (EsPCEx 1985) Calcule .

60) (EsPCEx 1985) Simplifique: .

61) (EPCAR 1984) Assinale o valor numrico da expresso

F)

G)

H)

I)

J)

62) (EPCAR 1984) Se , e , assinale a opo que apresenta uma sentena verdadeira.

K) C < B < A

L) A < C < B

M) C < A < B

N) B < C < A

O) B < A < C

63) (EPCAR 1987) Um conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b subconjuntos e um conjunto C tem p elementos e c subconjuntos. Se b = 8, a = c 2b e m = 2p 2n, ento a + b + c vale:

A) 56

B) 12

C) 32

D) 16

E) 48

64) (EPCAR 1987) Calculando a expresso encontra-se um resultado M. O nmero de divisores de M :

A) 10

B) 8

C) 6

D) 12

E) 7

65) (EPCAR 1988) Assinale a afirmativa correta:

A)

B)

C)

D)

E)

66) (EPCAR 1989) O valor da expresso :

A) 1

B) 2

C) 0,1

D)

E)

67) (EPCAR 2000) Simplificando a expresso abaixo, obtm-se

A) (2)2B) 22C) 22D) (2)268) (EPCAR 2001)Dentre as identidades a seguir, marque a FALSA.

A)

B)

C)

D)

69) (EPCAR 2001) O valor da expresso :

A) 10

B) 1

C) 101D)

70) (EPCAR 2001) Marque a alternativa FALSA:

A) somente se x 0

B) , (a ( R+*)

C) , ( x ( R

D)

71) (EPCAR 2002) A diferena 80,666... 90,5 igual a:

A) 2

B)

C)

D) 1

72) (EPCAR 2002) Ao se resolver a expresso numrica o valor encontrado

A)

B)

C) 1

D) 0,1

73) (EPCAR 2002) O inverso de , com x > 0 e y > 0, igual a

A)

B)

C)

D)

74) (EPCAR 2003) Escolha a alternativa FALSA.

A)

B)

C)

D)

75) (EPCAR 2004) O valor da expresso

A)

B)

C)

D)

76) (CN 1976) A raiz cbica de um nmero N 6,25. Calcular a raiz sexta desse nmero N.

P)

Q) 2,05

R)

S) 2,5

T) 1,5

77) (CN 1977) O valor de :

U)

V)

W)

X)

Y)

78) (CN 1978) O valor mais aproximado de :

Z) 0,045

AA) 0,125

AB) 0,315

AC) 0,085

AD) 0,25

79) (CN 1982) Na expresso , a e b so nmeros inteiros e positivos, a + b vale:

AE) 15

AF) 14

AG) 13

AH) 12

AI) 11

80) (CN 1983) O valor de :

AJ) 139

AK) 120

AL) 92

AM) 121

AN) 100

81) (CN 1984) Seja o nmero , o nmero de divisores positivos de N :

AO) 6

AP) 13

AQ) 15

AR) 4

AS) 2

82) (CN 1984) Calcule a diferena y x, de forma que o nmero: 2x(34(26y possa ser expresso como uma potncia de base 39.

AT) 8

AU) 0

AV) 4

AW) 2

AX) 3

83) (CN 1984) Simplificando a expresso: para n ( {0, 1}, temos:

AY) 5

AZ) 51BA) 52BB) 52BC) 5084) (CN 1985) O valor da expresso: :

A)

B)

C)

D)

E)

85) (CN 1985) Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das unidades simples do resultado de :

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

86) (CN 1987) Qual o valor da expresso

A) 1B)

C) D)

E)

87) (CN 1987) Considere as sentenas abaixo:

I -

II -

III -

IV - , para todo A e B reais

Pode-se concluir que:

A) todas so verdadeiras

B) (III) a nica falsa

C) somente (I) e (II) so verdadeiras

D) (IV) a nica falsa

E) existe somente uma sentena verdadeira

88) (CN 1988) Simplificando a expresso , obtm-se:

A) 350

B)

C)

D)

E) 22589) (CN 1989) Considere as sentenas dadas abaixo:

(I)

(II)

(III) 32 = 1/9

(IV) 811/2 = ( 9

Pode-se afirmar que o nmero de sentenas verdadeiras :

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

E) 0

90) (CN 1991) A expresso escrita como potncia de base 2, tem como expoente.

A) 14/3

B) 16/3

C) 6

D) 22/3

E) 8

91) (CN 1995) Resolvendo-se a expresso: , encontra-se:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

92) (CN 1996) Dadas as operaes: x*y = x + y, x # y = x y e x ( y = xy; o valor da expresso:

[2*(8 # 12)]*{[(3*2) # 5] ( [10*(2 # (4(2))]}

A) no um nmero real

B) igual a 1

C) igual a 2

D) igual a 3

E) igual a 4

93) (CN 1998) Resolvendo-se a expresso , encontra-se

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

E) 0

94) (CN 1999) Coloque (F) falso ou (V) verdadeiro nas afirmativas e assinale a opo correta.

( ) Se x2 = 4 ento x6 = 64

( ) Se x6 = 64 ento x = 2

( )

( ) Se 10x = 0,2 ento 102x = 0,04

( ) 2n+2 + 2n = 5(2nA) (F) (V) (V) (V) (F)

B) (V) (F) (V) (V) (V)

C) (V) (F) (V) (V) (F)

D) (V) (V) (F) (V) (V)

E) (V) (F) (V) (F) (V)

95) (CN 2000) Sabendo que , e , (x > 0, y > 0 e z > 0), o valor de :

A) 19999B) 19996C)

D) 19996E) 1999996) (CN 2000) Para registrar o resultado da operao 2101(597, o nmero de dgitos necessrios

A) 96

B) 97

C) 98

D) 99

E) 100

97) (CN 2000) So dadas as afirmativas abaixo:

I)

II)

III)

IV)

Assinale a alternativa correta:

A) Todas as afirmativas so falsas

B) Somente II verdadeira

C) I e II so verdadeiras

D) I, II e III so verdadeiras

E) Todas as afirmativas so verdadeiras

98) (CN 2001)O valor da expresso , :

A)

B)

C) 0

D) 1

E) 1

99) (CN 2001) Considere as afirmativas abaixo:

I) 268 + 1068 = 268 + (2(5)68 = 268 + 268(568 = 468(568 = 2068II) 268 + 1068 = 268 + (2(5)68 = 268 + 268(568 = 2136(568III) 617 + 1023 = (2(3)17 + (2(5)23 = 217(317 + 223(523 = (217(223) + (317(523)

Pode-se afirmar que:

A) apenas a afirmativa I verdadeira

B) apenas as afirmativas I e III so verdadeiras

C) apenas a afirmativa II verdadeira

D) apenas as afirmativas II e III so verdadeiras

E) as afirmativas I, II e III so falsas

APROFUNDAMENTO TIPO III

100) (ITA 1988) Seja a um nmero real com 0 < a < 1. Ento, os valores reais de x para os quais a2x (a + a2).ax + a3 < 0 so:

A) a2 < x < a

B) x < 1 ou x > 2

C) 1 < x < 2

D) a < x <

E) 0 < x < 4

101) (ITA 1999) Seja a ( R com a > 1. O conjunto de todas as solues reais da inequao a 2x.(1 x) > ax 1 :

A) ]-1 , 1[

B) ]1 , +([

C) ]-1/2 , 1[

D) ]-( , 1[

E) vazio

102) (ITA 2000) A soma das razes positivas da equao vale

A) 2

B) 5

C)

D) 1

E)

103) (IME 1997) Resolva o sistema onde a ( 1 e a > 0.

104) A equao satisfeita apenas quando x igual a:

A) infinito

B) 2

C)

D)

105) Chamam-se cosseno hiperblico de x e seno hiperblico de x, e representam-se respectivamente por cosh x e senh x os nmeros e . Calcule (cosh x)2 ( (senh x)2.

106) Calcule o valor de sendo a = 103 e b = 102.

A) 0

B) 1

C) 10

D) 100

E) 1000

107) . Sabendo que: 1989a = 13 e 1989b = 17. Calcule . SOLUO:

EMBED Equation.3

_1135687985.unknown

_1135755341.unknown

_1135760109.unknown

_1136060116.unknown

_1136065763.unknown

_1136066511.unknown

_1136068264.unknown

_1136069082.unknown

_1136069396.unknown

_1136069413.unknown

_1136069177.unknown

_1136068690.unknown

_1136066702.unknown

_1136068081.unknown

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_1136067009.unknown

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_1136066446.unknown

_1136066468.unknown

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