Ppt Sobre o Conceito Semântico de Satisfatibilidade

8/19/2019 Ppt Sobre o Conceito Semântico de Satisfatibilidade

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CARLOS ROBERTO TEIXEIRA ALV


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O objeto de nosso trabalho envolve umadefinição do conceito de satisfação.Tal definição é feita recursivamente na

complexidade das fórmulas da Linguagem dePrimeira Ordem e por isso qualquer ideia inicialsem definições prévias da estrutura daLinguagem ficará muito vaga.Por ora, então, uma noção de ‘satisfação’ podeser colocada como uma relação binária entre asequência de variáveis livres de uma fórmula euma sequência de objetos da Linguagem quecorrespondem uma-à-um a cada variável.


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Seja a relação P um predicado de aridaden de umafórmula φ qualquer de uma linguagem L do

Cálculo de Primeira Ordem e x 1 ,x 2 ,... , x n asvariáveis livres deφ sob escopo da relação P .Escrevemos

φ = Px 1 x 2...x n

E dizemos que há satisfação quando umasequência s = ⟨s1s2...s n⟩ semanticamentecorresponde a x 1 x 2...x n tal que s1|x 1 , s2|x 2 , ..., s n|x n.


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os números 2, 3, 5 satisfazem a fórmula x 1⊕ x 2 = x 3 no domínio dos números naturais ℕ, +quando o nome ‘ ⊕ ’é interpretado como o nome

da função de adição ‘+’, uma vez que os números2, 3, 5 comportam-se como a fórmula x 1⊕ x 2 = x 3estabelece, se também assumimos que x 1, x 2 e x 3são os nomes dos números 2, 3 e 5.A fórmula sem variáveis livres que é satisfeitanum domínio coincide com aquilo quechamamos de sentença, o que faz da verdade deuma sentença um caso especial de satisfação, ocaso de satisfação de sentenças.


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Peirce, manuscrito “ The Logic of Relatives:Qualitative and Quantitative ” de 1886:

se F é n-satisfatível, então F é (n+1)-satisfatível Schröder: asatisfatibilidade é trabalhadasemanticamente como uma função deverdade, onde cada instancia de certavariável x é adequadamente substituída pornomes de elementos de um domínioarbitrário (BRADY, G.; [2000], pp. 148-149)


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Skolem: para qualquer declaraçãoj da lógicade primeira ordem, existe uma fórmulac livre

de quantificadores com no máximo x 1, ..., x m, y 1, ..., y n livres tal quej é satisfatível em umdomínio se e somente se(∀ x

1)...(∀ x

m)(∃ y

1)...(∃ y

n)c é satisfatível no

mesmo domínio (BRADY, G.; [2000], pp.197-198).


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Kurt Gödel: Vamos supor uma expressão lógica A quecontenha as variáveis funcionaisF 1 , F 2 , ..., F k , variáveislivres individuais x 1, x 2, ..., x l , variáveis proposicionais

X 1 , X 2 , ..., X m. Seja aindaS um sistema de funções f 1, f 2,..., f k , definidas em um mesmo domínio não vazioque também contém os indivíduosa1 , a2 , ..., a l e asconstantes proposicionais A1, A2, ..., Am. Isso forma osistema ( f

1, f

2, ..., f

k ; a

1, a

2, ..., a

l ; A

1, A

2, ..., A

m).

Dizemos que esse sistemassatisfaz a expressão lógica Ase fornece uma expressão que é verdadeira nodomínio em questão quando é substituída naexpressão.


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O principal trabalho de Tarski foi a definição de‘verdade’ para as linguagens formalizadas.Em seu trabalho A Concepção Semântica daVerdade e os Fundamentos da Semântica (TARSKI,A.; [1990], p.77) escolherá como uma boa (masnão perfeita) definição de verdade aquela queele denomina concepção aristotélica clássica deverdade:

(I)dizer daquilo que é que não é, ou daquilo que não éque é, é falso, enquanto dizer daquilo que é que é, oudaquilo que não é que não é, é verdadeiro.


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Sugere (TARSKI, A.; [1990], p.77) que (I) possa ser escrita como:

(II)a verdade de uma frase consiste na sua concordância com arealidade (ou correspondência com a realidade) .

Julga que a palavradesignar poderia não só relacionar frases arealidade, mas frases a frases e a definição (II) se torna (TARSKI, A.;[1990], p.77.):

(III)uma frase é verdadeira se designa um estado de coisas existente .

Por fim escolhe como definição de ‘verdade’ nas linguagenscoloquiais a que segue (TARSKI, A.; [1983a], p. 155):

(IV)uma sentença verdadeira é aquela que diz que o estado de coisas étal e tal, e o estado de coisas é, de fato, tal e tal.


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Ela ocorre na ‘Definição 22’ de seu principaltrabalho, Concept ofTruth in Formalized

Languages, de 1936 (TARSKI, A.; [1983a]). Eleentende por satisfação a substituição dasvariáveis livres de uma fórmula bem formadapor uma sequência infinita de indivíduos dodomínio da linguagem.


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Diz-se que x satisfaz f em um sistema relacional se x∈ A(w ),f é fórmula e uma das seguintes cinco condições atendida:

(i)f é da forma v m ≡ v n, m e n são números naturais e x m = x n;(ii)f é da forma P(v m, v n, v p), m, n e p são números naturais e ( x m,

x n, x

p)∈R;

(iii)f é da forma y , onde y é uma fórmula que não é satisfeitapor x ;

(iv)f é da forma y ’ ∧y ” , onde y ’ ey ” são fórmulas, ambassatisfeitas por x ;

(v)f é da forma∃v k y , onde k é um número natural, y é umafórmula e há um elementoa∈ A tal que x (k |a) satisfaz y .

Estas cinco cláusulas correspondem às cinco cláusulas daDefinição 22, definição de satisfatibilidade no trabalho deTarski de 1936 (TARSKI, A.; [1983a], p.193).


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Asatisfatibilidade será então definidadependendo da estrutura da linguagem. Daí, háampla liberdade para se entender ‘satisfação’:

ela é definida arbitrariamente, conforme regras,que atendam a necessidade da linguagem. Eleproporá um método geral em condilções dedefinirsatisfatibilidade para linguagensformalizadas. É quando ele inaugura a ideia demodelo . Em uma classe de sentenças, se umasentença é satisfatível, então ela émodelo dessaclasse.


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MendelsonManin

Hodges


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Tarski considerou o uso de sequências finitas para satisfação dassentenças, podemos ver isso em uma nota de rodapé colocada durante adiscussão de suaDefinição 23 (TARSKI, A.; [1983a], p.195, nota de rodapé1).

“(…) nós podemos operar com sequências finitas com um número variável determos no lugar de sequências infinitas. (...)“A modificação da construçãoconsistiria em eliminar da sequência que satisfaz a dada função sentencialtodos os termos ‘supérfluos’, que não tem nenhuma influência na satisfaçãoda função. (...) O valor de tal modificação do ponto de vista da naturalidade econformidade com o procedimento usual é claro, mas quando vamos efetivá-lo, revelam-se certos defeitos de natureza lógica: a Def. 22 então toma umaforma mais complicada. Conservando o conceito de verdade, nota-se que– de

acordo com o tratamento acima – só uma sequência, nomeadamente asequência ‘vazia’ que não tem nenhum membro, pode satisfazer a sentença,i.e. uma função sem variáveis livres; deveríamos então chamar de verdadeirasas sentenças atualmente satisfeitas pela sequência ‘vazia’.Uma certaartificialidade presa a esta definição indubitavelmente desagradará a todosque não são suficientemente familiarizados com os procedimentos específicoscomuns usados em construções matemáticas.”


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Podemos estabelecer uma noção desatisfação que é efetivada por uma

sequência finita de objetos, ao invés deinfinita, evitando a supressão de ‘termos

supérfluos’?


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Vamos supor a sequência vazia como uma função =∅→ ∅.Entendemos agora que ou a sequência é vazia ou é finita para X finito:

Se consideramos que podemos adicionar um objetosk a umasequência s já dada (ousn a uma sequência t ) de modo concatenado(isto é, fazersk seguir-se ao último termo de s por exemplo, eescrevemos isso comos

͡

sn), podemos listar quatro axiomas básicos(WOLENSKI, J. [1999], p.271):

(A1) ∈Seq(A2) s

͡

sk ∊Seq(A3) s

͡

sk ≠∅(A4) [(s

͡

sk ) = (t ͡

sn)]↔ [(sk = sn)⋀ (s = t )]


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Baseado no ‘LEMA A’ do trabalho principal de Tarskide 1936, Popper faz uma modificação da ‘definição22’, de satisfatibilidade, de Tarski, e consegue que

sequências finitas efetivem satisfação.“L EMA A . Se a sequência f satisfaz a função sentencial x, e a sequênciainfinita g de classes é tal que para todo k, f k = gk se v k é uma variável livrede x, então a sequência g também satisfaz a função x .”

Esse ‘LEMA A’ quer dizer a satisfação de uma funçãosentencial por meio de uma sequência f só consideraos elementos de f que estão em posiçõescorrespondentes aos índices de variáveis livres de x .


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O resultado de Tarski– uma sequência infinita– faz uso sódos primeirosn termos de uma sequência finita parasatisfazer até a n-ésima variável livre de uma fórmula e deixaum ‘resto’ infinito de termos supérfluos na sequência.

A solução de Popper tem o mesmo problema. Também tem‘elementos supérfluos’. A sequência, para Popper, quesatisfaria a fórmula

Rx 1 x 2 x 15seria sequência s = s1s2s3s4s5s6s7s8s9s10s11s12s13s14s15, onde ostermos diferentes de s1,s2 e s15seriam supérfluos, mesmoconstando da sequência.


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Mais estritamente, queremos a situação onde ao figuraruma fórmula com variáveis livres do tipoRx 1 x 2 x 15, porexemplo, exatamente a sequência finita de objetosconstituída de unicamente de três termos e exatamente oprimeiro, o segundo e o terceiro termos (e precisamentenessa ordem), e só assim, seja a sequência que satisfaça afórmula Rx 1 x 2 x 15.A principal característica de nosso resultado é conseguirsatisfazer fórmulas usando sequências que nãotenham

termos supérfluos . Nosso resultado é novo nesse sentido:nossa sequência tem exatamente os termos – e só essestermos – que cabem por substituição nas variáveis livres, índice à índice, preservando a ordem dada pelas variáveisna fórmula.


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Vamos estabelecer critérios para considerar queuma sequência satisfaça uma fórmula de umaLinguagem de Primeira Ordem queintroduziremos em seguida. Mostraremos queuma sequência finita, sem termos supérfluos,atende a todos esses critérios.

1.Critério de adequação formal .2. Critério de recursividade. 3. Critério de adequação material .4. Critério de adequação material estrito . 5. Critério de adequação lógica .


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Os símbolos lógicos deLsão símbolos de variáveis ,símbolos para conectivos , símbolos para quantificadores eo caso de um símbolo para um predicado especial, o deigualdade .

O conjunto VAR de variáveis é entendido como uma enumeração fixa(podemos escrever VAR = { x 0, x 1, x 2, ..., x n} paran∈w =ℕ) estabelecidacomo c de VAR;Os símbolos de conectivos são ‘ ’ (negação), ‘⋀’ (conjunção);‘∃’ (quantificação existencial);

Os símbolos não-lógicos deLsignificam os predicados de

nossa linguagem. Se estabelecermos o conjuntoℛ comosendo o conjunto de todos os predicados da linguagemL,entendemos que um predicado P arbitrário qualquer é talque P∈ℛ.PREDICADO DE IGUALDADE. O símbolo ‘=’ significa o

predicado de igualdade, tal quear (=)≔ 2.


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Estabelecemos a funçãos : n⟶ A. Essaaplicação explicita que a cada númeron

corresponde um único elemento de A. Issodistingue cada elemento de A de modo que aaplicaçãos indexa cada elemento de A.

DEFINIÇÃO DE N-SEQUÊNCIA. É uman-sequência aindexação que preserva a ordem crescente, obtidapela aplicação da função expressa pors : n⟶ A.


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Definição do conjunto FOR de fórmulas;Definição de sentença;

Definição de Aridade de uma fórmula;


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As operaçõesx* e x*-1 fornecem os LEMAS:LEMA A

LEMA BLEMA C


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Será necessária a prova do seguinte teorema:


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