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Sistemas de ecuaciones linealesFormas cuadraticas

Practicas de Matematicas II: Algebra lineal

Jesus Getan y Eva Boj

Facultat d’Economia i EmpresaUniversitat de Barcelona

Marzo de 2014

Jesus Getan y Eva Boj Practicas de Matematicas II: Algebra lineal 1 / 27


Sistemas de ecuaciones linealesDefiniciones y forma matricialSistemas de CramerTeorema de Rouche-FrobeniusSistemas homogeneosMetodo de Gauss

Formas cuadraticasDefinicionClasificacion de formas cuadraticasMetodo de clasificacion por valores propiosMetodos de clasificacion por menores principalesFormas cuadraticas restringidas a subespacios



Definiciones y forma matricialSistemas de CramerTeorema de Rouche-FrobeniusSistemas homogeneosMetodo de Gauss

Un sistema de m ecuaciones lineales con coeficientes reales es

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

donde aij ∈ R son los coeficientes y x1, x2, . . . , xn las n incognitas.

Una solucion es un vector (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn que satisface todaslas igualdades, y resolver un sistema es hallar todas sussoluciones.




Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismassoluciones.

Por ejemplo, si de un sistema lineal se suprime una ecuacion que escombinacion lineal de las restantes se obtiene un sistema linealequivalente al dado.

Sistema

sin solucion: Incompatiblecon solucion unica: Compatible Determinadocon infinitas soluciones: Compatible Indeterminado

Matricialmente el sistema se escribe AX = B.




Ejemplo: El modelo de Leontief describe una economıa de nindustrias entrelazadas. Cada industria produce un unico bien ypara ello utiliza materias procedentes de otras industrias. Sea xi lasunidades del bien i que se van a producir en un ano y aij lasunidades de i necesarias para producir una unidad de j

Ind. pesada Ind. ligera Agricultura

Ind. pesada 0.1 0.2 0.1Ind. ligera 0.3 0.2 0.2Agricultura 0.2 0.2 0.1

Supongamos que la demanda final de los productos de cada

industria es B =

859520

respectivamente. ¿Que vector de

produccion X =

x1x2x3

consigue el equilibrio entre oferta y

demanda? Jesus Getan y Eva Boj Practicas de Matematicas II: Algebra lineal 5 / 27



X = AX + B ⇔ (I − A)X = B 0.9 −0.2 −0.1−0.3 0.8 −0.2−0.2 −0.2 0.9

x1x2x3

=

859520

o equivalentemente 9 −2 −1

−3 8 −2−2 −2 9

x1x2x3

=

850950200

La solucion es:

X = (I − A)−1B =1

528

68 20 1231 79 2022 22 66

850950200

=

150200100




Un sistema es de Cramer si m = n y det(A) 6= 0.

Teorema: Todo sistema de Cramer tiene solucion unica dada por

xi =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . .ib1 . . . a1n

a21 . . . b2 . . . a2n· · · · · · · · · · · · · · ·an1 . . . bn . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣det(A) para todo i = 1, 2, . . . , n.




En el ejemplo anterior:

x1 =

∣∣∣∣∣ 850 −2 −1950 8 −2200 2 9

∣∣∣∣∣528

= 150, x2 =

∣∣∣∣∣ 9 850 −1−3 950 −22 200 9

∣∣∣∣∣528

= 200 y

x3 =

∣∣∣∣∣ 9 −2 850−3 8 950−2 2 200

∣∣∣∣∣528

= 100.




En el estudio general de un sistema de ecuaciones la condicionnecesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

tenga solucion es que las siguientes matrices tengan igual rango:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

y A′ =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

am1 am2 . . . amn bm




Si rango A = rango A′ = no de incognitas, el sistema tienesolucion unica.

Si rango A = rango A′ < no de incognitas, el sistema tieneinfinitas soluciones.

Ejemplox1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 02x1 + 3x3 − x4 = 13x1 + x2 + 4x3 = 2

rango A = rango A′ = 2 < 4

El sistema es equivalente a2x1 + 3x3 = 1 + x43x1 + 4x3 = 2− x2

}




Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo cuando todos losterminos independientes son cero:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

· · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0




Propiedades:

(1) El vector (0,0,. . .,0) siempre es solucion.

(2) Si (s1, s2, . . . , sn) es solucion, (ks1, ks2, . . . , ksn) tambien lo es,para todo k ∈ R. Como consecuencia, si un sistema linealhomogeneo tiene una solucion distinta del vector cero, tieneinfinitas soluciones.

(3) En un sistema homogeneo, rango A = rango A′ ⇒ siempre esCompatible.

(4) Rango A = no de incognitas ⇒ la unica solucion es la trivial.

(5) RangoA < no de incognitas ⇒ el sistema tiene infinitassoluciones.




Metodo de Gauss para la resolucion de sistemas para el caso delEjemplo de Leontiev: 9 −2 −1

−3 8 −2−2 −2 9

∣∣∣∣∣∣850950200

∼ −3 8 −2

9 −2 −1−2 −2 9

∣∣∣∣∣∣950850200

∼

∼

−3 8 −20 22 −70 0 24

∣∣∣∣∣∣950

37002400

x3 = 100, 22x2 − 700 = 3700⇒ x2 = 200,−3x1 + 8x2 − 2x3 = 950⇒3x1 = 8x2 − 2x3 − 950 = 450⇒ x1 = 150.



DefinicionClasificacion de formas cuadraticasMetodo de clasificacion por valores propiosMetodos de clasificacion por menores principalesFormas cuadraticas restringidas a subespacios

Sea E un espacio vectorial de dimension n. Una forma cuadraticaes una aplicacion q : E −→ R definida por q(~x) = ~x tA~x dondeA ∈M(R)n es una matriz simetrica.

Ejemplos:

(a) q : R2 −→ R

~x 7→ q(~x) = (x1, x2)

(2 −1−1 3

)(x1x2

)=

= 2x21 − 2x1x2 + 3x22




(b) q : R3 −→ R~x 7→ q(~x)

q(~x) =(x1 x2 x3

) 1 0 00 1 00 0 1

x1x2x3

= x21 + x22 + x23

(c) Si q(~x) = x1x2 + x2x3 + x3x1,

q(~x) = ~xTA~x con A =

0 12

12

12 0 1

212

12 0




Dada q : Rn −→ R, donde q(~x) = ~x tA~x , A = At .

• q es semidefinida positiva ⇔ q(~x) ≥ 0, ∀~x ∈ Rn

• q es definida positiva ⇔ q(~x) > 0,∀~x ∈ Rn \ {~0}

• q es semidefinida negativa ⇔ q(~x) ≤ 0, ∀~x ∈ Rn

• q es definida negativa ⇔ q(~x) < 0,∀~x ∈ Rn \ {~0}

• q es indefinida ⇔ ∃~x1, ~x2 ∈ Rn tales que q(~x1) < 0 y q(~x2) > 0




Ejemplos:

(1) q(~x) = 2x21 + x22 (definida positiva).

(2) q(~x) = 2x21 (definida positiva).

(3) q(~x) = −2x21 − x22 (definida negativa).

(4) q(~x) = −x22 (definida negativa).

(5) q(~x) = x21 − 2x22 (indefinida).




Teorema: Sea q(~x) = ~x tA~x una forma cuadratica y λ1, . . . , λn losvalores propios de A.

(1) q es semidefinida positiva ⇔ λi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n.

(2) q es definida positiva ⇔ λi > 0, ∀i = 1, . . . , n.

(3) q es semidefinida negativa ⇔ λi ≤ 0, ∀i = 1, . . . , n.

(4) q es definida negativa ⇔ λi < 0, ∀i = 1, . . . , n.

(5) q es indefinida ⇔ ∃i , j ∈ {1, . . . , n} tales que λi > 0, λj < 0.




Metodo de clasificacion por menores principales dominantes:

Dada la matriz A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

, el menor principal

dominante de orden r es el determinante ∆r de la submatriz r × rformada por las r primeras filas y las r primeras columnas.

∆1 = a11,∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , . . . ,∆r =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1ra21 a22 . . . a2n

......

. . ....

ar1 ar2 . . . arr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Jesus Getan y Eva Boj Practicas de Matematicas II: Algebra lineal 19 / 27



Teorema: Sea A ∈Mn una matriz simetrica con menoresprincipales dominantes ∆r , r = 1, . . . , n.

(1) A es definida positiva ⇔ ∆r > 0∀r = 1, . . . , n.

(2) A es definida negativa ⇔ (−1)r∆r > 0∀r .

Ejemplo:

A =

2 1 01 1 00 0 1

es definida positiva.




Metodo de clasificacion por menores principales:

Se llama menor principal de orden r al determinante de cualquiersubmatriz r × r obtenida al suprimir n − r filas y las n − rcolumnas con la misma numeracion.

Hr es el conjunto de menores principales de orden r de A.

Si A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, entonces H1 = {a11, a22, a33},

H2 =

{∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣}




Teorema: Sea A ∈Mn una matriz simetrica con conjuntos demenores principales Hr para r = 1, . . . , n.

(1) A es definida positiva ⇔ Hr > 0 ∀r = 1, . . . , n.

(2) A es semidefinida positiva ⇔ Hr ≥ 0 ∀r = 1, . . . , n.

(3) A es definida negativa ⇔ Hr < 0 para r impar, Hr > 0 para rpar.

(4) A es semidefinida negativa ⇔ Hr ≤ 0 si r impar, Hr ≥ 0 si rpar.




Ejemplos:

(1) A =

8 4 04 2 00 0 1

H1 = {8, 2, 1} > 0, H2 = {0, 8, 2} ≥ 0 y H3 = {0} ≥ 0. Entonceses semidefinida positiva.

(2) A =

−4 2 −12 −2 0−1 0 −1

H1 = {−4,−2,−1} < 0, H2 = {4, 3, 2} > 0 y H3 = {−2} < 0.Entonces es definida negativa.




Sea q : Rn −→ R~x 7→ q(~x) = ~x tA~x , A = At

Sea M un subespacio de Rn, M = {~x ∈ Rn | B~x = ~0}:

b11x1 + b12x2 + · · ·+ b1nxn = 0b21x1 + b22x2 + · · ·+ b2nxn = 0· · ·bm1x1 + bm2x2 + · · ·+ bmnxn = 0

m < n.




Se trata de estudiar el signo de q(~x) para los vectores ~x ∈ M. Sedespejan m variables en funcion de las n −m restantes y sesustituyen en q para obtener una forma cuadratica con n −mvariables.

Ejemplos:

(1) q(x , y , z) = 2x2 + 3y2 + 4z2 − 2xy − 2xz − 2yz conM = {(x , y , z) ∈ R3 | 2x + y + z = 0}.

(2) q(x , y , z) = 5x2 + 3y2 − 4z2 + 2xy − 4yz conM = {(x , y , z) ∈ R3 | x − y = 0, 2x + y + z = 0}.




Solucion:

Paso 1. ( x y z )

2 −1 −1−1 3 −1−1 −1 4

xyz

Paso 2. z = −2x − y

Paso 3. ( x y −2x − y )

2 −1 −1−1 3 −1−1 −1 4

xy

−2x − y




Paso 4. 22x2 + 9y2 + 20xy = ( x y )

(22 1010 9

)(xy

)Paso 5. La forma cuadratica es definida positiva.

La forma cuadratica restringida del segundo ejemplo es definidanegativa.


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