Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real...

371
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1

Transcript of Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real...

Page 1: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 2

Parte 2 Pré-Cálculo 1

Page 2: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções

Parte 2 Pré-Cálculo 2

Page 3: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é uma função?

Parte 2 Pré-Cálculo 3

Page 4: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é uma função?

Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.

D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 4

Page 5: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é uma função?

Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.

D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 5

Page 6: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 6

Page 7: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 7

Page 8: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 8

Page 9: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 9

Page 10: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 10

Page 11: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 11

Page 12: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 12

Page 13: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 13

Page 14: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Lembram-se dos diagramas de Venn?

CD

Parte 2 Pré-Cálculo 14

Page 15: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Lembram-se dos diagramas de Venn?

CD

Parte 2 Pré-Cálculo 15

Page 16: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Lembram-se dos diagramas de Venn?

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 16

Page 17: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Uma outra representação para funções

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 17

Page 18: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 18

Page 19: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 19

Page 20: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 20

Page 21: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 21

Page 22: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 22

Page 23: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 23

Page 24: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 24

Page 25: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 25

Page 26: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 26

Page 27: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 27

Page 28: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 28

Page 29: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 29

Page 30: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 30

Page 31: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 31

Page 32: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 32

Page 33: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 33

Page 34: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

A Imagem de Uma Função

Parte 2 Pré-Cálculo 34

Page 35: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

Parte 2 Pré-Cálculo 35

Page 36: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 36

Page 37: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 37

Page 38: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 38

Page 39: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 39

Page 40: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!

Parte 2 Pré-Cálculo 40

Page 41: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!

Parte 2 Pré-Cálculo 41

Page 42: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 42

Page 43: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 43

Page 44: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (

√3/2) =

√3!

Parte 2 Pré-Cálculo 44

Page 45: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (

√3/2) =

√3!

Parte 2 Pré-Cálculo 45

Page 46: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 46

Page 47: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 47

Page 48: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Moral: Imagem de f = R!

Parte 2 Pré-Cálculo 48

Page 49: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

2) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 49

Page 50: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

2) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 50

Page 51: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Temos que f (√

2) = 2. Note, também, que f (−√

2) = 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 51

Page 52: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Temos que f (√

2) = 2. Note, também, que f (−√

2) = 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 52

Page 53: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !

Parte 2 Pré-Cálculo 53

Page 54: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 54

Page 55: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 55

Page 56: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 56

Page 57: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 57

Page 58: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 58

Page 59: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 59

Page 60: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

b) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 60

Page 61: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

b) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 61

Page 62: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 62

Page 63: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 63

Page 64: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 64

Page 65: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 65

Page 66: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Moral: Imagem de f = [0,+∞)!

Parte 2 Pré-Cálculo 66

Page 67: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 67

Page 68: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 68

Page 69: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 69

Page 70: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 70

Page 71: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 71

Page 72: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 72

Page 73: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Gráfico de Uma Função Real

Parte 2 Pré-Cálculo 73

Page 74: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é o gráfico de uma função real?

Parte 2 Pré-Cálculo 74

Page 75: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é o gráfico de uma função real?

O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):

Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 75

Page 76: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O que é o gráfico de uma função real?

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 76

Page 77: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 77

Page 78: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 78

Page 79: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 79

Page 80: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Como construir o gráfico de uma função real?

A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadaspara se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 80

Page 81: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 81

Page 82: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 82

Page 83: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 83

Page 84: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 84

Page 85: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 85

Page 86: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 86

Page 87: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 87

Page 88: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 88

Page 89: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 89

Page 90: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 90

Page 91: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e Contradomínio Naturais(Efetivos) de Uma Função

Parte 2 Pré-Cálculo 91

Page 92: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 92

Page 93: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 93

Page 94: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 94

Page 95: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 95

Page 96: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 96

Page 97: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 97

Page 98: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa

que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!

Parte 2 Pré-Cálculo 98

Page 99: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 99

Page 100: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 100

Page 101: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 101

Page 102: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 102

Page 103: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 103

Page 104: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 104

Page 105: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 105

Page 106: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 106

Page 107: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 107

Page 108: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 108

Page 109: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 109

Page 110: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 110

Page 111: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 111

Page 112: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 112

Page 113: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 113

Page 114: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 114

Page 115: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 115

Page 116: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 116

Page 117: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 117

Page 118: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 118

Page 119: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 119

Page 120: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 120

Page 121: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 121

Page 122: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 122

Page 123: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 123

Page 124: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 124

Page 125: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 125

Page 126: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 126

Page 127: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 127

Page 128: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 128

Page 129: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 129

Page 130: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 130

Page 131: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 131

Page 132: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 132

Page 133: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 133

Page 134: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 134

Page 135: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 135

Page 136: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 136

Page 137: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 137

Page 138: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas

Parte 2 Pré-Cálculo 138

Page 139: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 139

Page 140: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 140

Page 141: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 141

Page 142: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 142

Page 143: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 143

Page 144: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 144

Page 145: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 145

Page 146: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 146

Page 147: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 147

Page 148: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 148

Page 149: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 149

Page 150: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 150

Page 151: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 151

Page 152: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 152

Page 153: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 153

Page 154: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 154

Page 155: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 155

Page 156: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 156

Page 157: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 157

Page 158: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 158

Page 159: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 159

Page 160: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 160

Page 161: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 161

Page 162: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 162

Page 163: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 163

Page 164: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 164

Page 165: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 165

Page 166: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 166

Page 167: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 167

Page 168: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 168

Page 169: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 169

Page 170: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 170

Page 171: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 171

Page 172: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 172

Page 173: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 173

Page 174: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 174

Page 175: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 175

Page 176: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 176

Page 177: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 177

Page 178: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 178

Page 179: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 179

Page 180: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 180

Page 181: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 181

Page 182: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 182

Page 183: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 183

Page 184: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 184

Page 185: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 185

Page 186: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 186

Page 187: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 187

Page 188: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 x

−1

1

2

3

4

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 188

Page 189: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas, sobrejetivas ebijetivas

Parte 2 Pré-Cálculo 189

Page 190: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 190

Page 191: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 191

Page 192: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 192

Page 193: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 193

Page 194: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 194

Page 195: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 195

Page 196: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 196

Page 197: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 197

Page 198: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 198

Page 199: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 199

Page 200: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 200

Page 201: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 201

Page 202: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 202

Page 203: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 203

Page 204: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 204

Page 205: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 205

Page 206: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 206

Page 207: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 207

Page 208: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 208

Page 209: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 209

Page 210: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 210

Page 211: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 211

Page 212: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 212

Page 213: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 213

Page 214: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 214

Page 215: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 215

Page 216: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 216

Page 217: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 217

Page 218: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 218

Page 219: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 219

Page 220: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 220

Page 221: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 221

Page 222: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 222

Page 223: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 223

Page 224: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 224

Page 225: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 225

Page 226: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 226

Page 227: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 227

Page 228: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 228

Page 229: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções sobrejetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 229

Page 230: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções sobrejetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 230

Page 231: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 231

Page 232: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 232

Page 233: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 233

Page 234: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 234

Page 235: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 235

Page 236: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 236

Page 237: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 237

Page 238: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 238

Page 239: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 239

Page 240: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 240

Page 241: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 241

Page 242: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 242

Page 243: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 243

Page 244: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 244

Page 245: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 245

Page 246: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 246

Page 247: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 247

Page 248: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 248

Page 249: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 249

Page 250: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 250

Page 251: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 251

Page 252: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 252

Page 253: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 253

Page 254: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 254

Page 255: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 255

Page 256: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 256

Page 257: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 257

Page 258: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 258

Page 259: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 259

Page 260: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Composição de funções

Parte 2 Pré-Cálculo 260

Page 261: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 261

Page 262: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 262

Page 263: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 263

Page 264: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 264

Page 265: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 265

Page 266: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 266

Page 267: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 267

Page 268: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 268

Page 269: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 269

Page 270: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 270

Page 271: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 271

Page 272: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 272

Page 273: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 273

Page 274: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = x + 3, (g ◦ f )(x) =√

x2 + 3.

Moral: (em geral) f ◦ g 6= g ◦ f .A operação de composição de funções não é comutativa!

Parte 2 Pré-Cálculo 274

Page 275: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 275

Page 276: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 276

Page 277: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = tg(x) e g(x) = x5.

Parte 2 Pré-Cálculo 277

Page 278: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = tg(x) e g(x) = x5.

Parte 2 Pré-Cálculo 278

Page 279: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) =√

4− 3 x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) =√

x e g(x) = 4− 3 x .

Parte 2 Pré-Cálculo 279

Page 280: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) =√

4− 3 x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) =√

x e g(x) = 4− 3 x .

Parte 2 Pré-Cálculo 280

Page 281: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = 8 +√

x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 8 + x e g(x) =√

x .

Parte 2 Pré-Cálculo 281

Page 282: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = 8 +√

x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 8 + x e g(x) =√

x .

Parte 2 Pré-Cálculo 282

Page 283: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 283

Page 284: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Identificando composições

h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 284

Page 285: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções inversíveis

Parte 2 Pré-Cálculo 285

Page 286: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções inversíveis

Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D

e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.

Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:

g = f−1.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 286

Page 287: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Funções inversíveis

Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D

e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.

Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:

g = f−1.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 287

Page 288: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Parte 2 Pré-Cálculo 288

Page 289: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

Parte 2 Pré-Cálculo 289

Page 290: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 290

Page 291: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 291

Page 292: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 292

Page 293: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 293

Page 294: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 294

Page 295: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 295

Page 296: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 296

Page 297: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 297

Page 298: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 298

Page 299: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 299

Page 300: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 300

Page 301: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 301

Page 302: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 302

Page 303: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 303

Page 304: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 304

Page 305: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 305

Page 306: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 306

Page 307: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 307

Page 308: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 308

Page 309: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 309

Page 310: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 310

Page 311: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 311

Page 312: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 312

Page 313: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 313

Page 314: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 314

Page 315: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 315

Page 316: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 316

Page 317: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 317

Page 318: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 318

Page 319: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 319

Page 320: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 320

Page 321: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 321

Page 322: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 322

Page 323: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 323

Page 324: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 324

Page 325: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 325

Page 326: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 326

Page 327: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 327

Page 328: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 328

Page 329: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 329

Page 330: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 330

Page 331: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 331

Page 332: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 332

Page 333: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 333

Page 334: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 334

Page 335: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 335

Page 336: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 336

Page 337: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 337

Page 338: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 338

Page 339: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 339

Page 340: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 340

Page 341: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 341

Page 342: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 342

Page 343: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 343

Page 344: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 344

Page 345: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 345

Page 346: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 346

Page 347: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 347

Page 348: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 348

Page 349: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 349

Page 350: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 350

Page 351: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 351

Page 352: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 352

Page 353: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 353

Page 354: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 354

Page 355: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 355

Page 356: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 356

Page 357: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 357

Page 358: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 358

Page 359: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 359

Page 360: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 360

Page 361: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 361

Page 362: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 362

Page 363: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 363

Page 364: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 364

Page 365: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 365

Page 366: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 366

Page 367: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 367

Page 368: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 368

Page 369: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 369

Page 370: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 370

Page 371: Pré-Cálculo...Parte 2 Pré-Cálculo 28. Cuidado! f : D ! C x 7!y = f(x) Aqui x é umnúmero real no domínio D! Aqui f(x) é umnúmero real no contradomínio C! f(x) 2C chama-se

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 371