PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO · PDF file6.2.3 Trinômio...

PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL, ALGEBRA LINEAR E

GEOMETRIA ANALÍTICA

André Meneghetti,

Bárbara Denicol do Amaral Rodrigues,

Cinthya Maria Schneider,

Daiane Silva de Freitas,

Denise Maria Varella Martinez,

Eneilson Campos Fontes,

Fabíola Aiub Sperotto,

Rodrigo Soares,

Wilian Correa Marques

30 de janeiro de 2011

1

Este relatório é o resultado de um projeto de duração de três meses, com vigência entre 01 de Novembro e 31

de Dezembro de 2010, no qual foram desenvolvidas oficinas com a participação de Professores do Instituto

de Matemática, Estatística e Física - IMEF e alunos dos cursos de graduação da Universidade Federal do Rio

Grande - FURG.

A equipe de trabalho é composta pelos seguintes professores do IMEF:

Prof. Msc. André Meneghetti

Prof. Dra. Bárbara Denicol do Amaral Rodriguez

Prof. Dra. Cinthya Maria Schneider

Prof. Dra. Daiane Silva de Freitas

Prof. Dra. Denise Maria Varella Martinez

Prof. Msc. Eneilson Campos Fontes

Prof. Dra Fabíola Aiub Sperotto

Prof. Msc. Rodrigo Soares

Prof. Dr. Wilian Correa Marques

E pelos seguintes alunos de graduação da FURG:

Camila Perraro Sehn

Diego Souza de Lima

Eduardo de Sa Bueno Nobrega

Fabrício da Silva Cotta de Mello

Nathalia Nunes Bassi

Este projeto foi coordenado pelo Prof. Dr. Wilian Correa Marques e contou com apoio financeiro da Pró-

Reitoria de Assuntos Estudantis (PRAE), e o apoio estrutural da FURG.

2

Resumo

As práticas alternativas de ensino são ferramentas fundamentais na melhoria do ensino de Cálculo Difer-

encial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica, oferecidas pelo Instituto de Matemática Estatís-

tica e Física para os cursos de graduação da Universidade Federal do Rio Grande - FURG. Como estraté-

gia pedagógica busca-se uma modernização do material didático existente e uma nova dinâmica no fazer

pedagógico, através da utilização de recursos computacionais modernos, do uso dos laboratórios de infor-

mática para graduação e do entrosamento de professores e estudantes com o ensino básico de graduação,

buscando um salto de qualidade na formação dos futuros profissionais ligados às Ciências Exatas e da Terra

e Engenharias.

3

Sumário

1 Descrição da Proposta 8

2 Objetivo geral da proposta 8

2.1 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Justificativa 9

4 Metodologia 11

4.1 Pré-cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear e Geometria Analítica . . . . 11

4.3 Aplicações do Cálculo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Programação e visualização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Resultados 13

6 Pré–cálculo 14

6.1 Equação do 1o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.1 Variável ou incógnita de uma equação do 1o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.2 Resolução de uma equação do 1o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.1.3 Equações literais do 1o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.1.4 Resolução de uma equação literal do 1o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.1.5 Equação do 1o grau sem solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.6 Equação do 1o grau com infinitas soluções: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Equação do 2o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.1 Resolução de equações incompletas do 2o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2.2 Equações literais incompletas do 2o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2.3 Trinômio quadrado perfeito: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2.4 A resolução de equações completas do 2o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2.5 O discriminante da equação do 2o grau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2.6 Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2o grau: . . . . . . . . . 33

6.2.7 Formação da equação do 2o grau a partir de suas raízes: . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.3 Equações Irracionais: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Funções: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.4.1 Gráfico cartesiano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.2 Notação das funções: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4

6.4.3 Domínio e Imagem: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.5 Função Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.6 Função Identidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.7 Função Linear: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.8 Função Afim: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.8.1 Imagem: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.8.2 Coeficientes da função afim: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.8.3 Zero da função afim: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.8.4 Sinal da função afim: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.9 Função Quadrática: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.9.1 Concavidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.9.2 Zeros da função quadrática: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.9.3 Máximo e mínimo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.9.4 Imagem: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.9.5 Sinal da função quadrática: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.10 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.10.1 Definição de Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.10.2 Raiz (ou zero) de um Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.10.3 Igualdade de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.10.4 Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.10.5 Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.10.6 Divisão de um Polinômio por um Binômio da forma ax+b . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.10.7 Teorema do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.10.8 Teorema de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.10.9 Divisão de um Polinômio pelo Produto (x-a)(x-b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.10.10 O dispositivo Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.10.11 Decomposição de um polinômio em fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.11 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.11.1 Definição de função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.11.2 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.11.3 Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.11.4 Inequações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.11.5 Aplicações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.12 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.12.1 Definição de logaritmo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5

6.12.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.12.3 Condições de existência de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.4 Consequências da definição de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.5 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.12.6 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.12.7 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.12.8 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.12.9 Gráfico da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.12.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.13 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.13.1 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.13.2 Gráfico da função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.13.3 Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.13.4 Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Aplicações de Cálculo Diferencial e Integral 93

7.1 Modelando um furacão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1.1 Modelo de Fluxo Vórtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.2 Modelo de Fluxo Poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Pressão e Força de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4 Funções Hiperbólicas e Cabos Pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8 Aplicação da Álgebra Linear 103

8.1 Pré-Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.5 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.6 Matriz Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.7 Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.8 Matriz Reduzida Escalonada por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.9 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.10 Método para Determinação da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.11 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6

8.11.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.11.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.11.3 Matrizes Aumentadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.12 Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Aplicações dop cálculo Numérico 139

9.1 Solução da Equação Diferencial de Grandes Deflexões de uma Viga . . . . . . . . . . . . . . 139

9.1.1 Apresentação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.1.2 Métodos Usados na Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1.3 Euler Aperfeiçoado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.1.4 Previsor-Corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.1.5 Formulação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.6 Fluxograma do Algoritmo que Soluciona o Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.1.7 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Interpolação Bidimensional em uma Tabela de Temperaturas Equivalentes à Presença de Vento 147






9.3 Uso da Regra de Simpson na Computação de Eficiência Luminosa . . . . . . . . . . . . . . . 151



9.3.3 Método de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152




10 Bibliografia 155

7

1 Descrição da Proposta

Os alunos de Engenharias e Física da Universidade Federal do Rio Grande (FURG) vêm encontrando muitas

dificuldades no entendimento dos conteúdos abordados pelas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e

Álgebra Linear e Geometria Analítica. Isto motiva o desenvolvimento de uma proposta de trabalho que visa

promover melhorias no desempenho acadêmico dos estudantes que cursam disciplinas dos primeiros semestres

dos seus respectivos cursos de graduação, bem como a redução nos índices de reprovação e evasão universitária.

2 Objetivo geral da proposta

Incentivar os alunos dos cursos de Engenharias e Física a obter maior aproveitamento das disciplinas de Cálculo

Diferencial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica, através de atividades alternativas de ensino.

2.1 Objetivos específicos

• Elaborar ferramentas para fortalecer os conceitos de matemática básica, os quais são pré-requisitos para

o bom desenvolvimento dos estudos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear e

Geometria Analítica;

• Desenvolver pesquisas e elaborar material didático sobre as aplicações do Cálculo Diferencial e Integral,

Álgebra Linear e Geometria Analítica que sejam voltadas ao estudo da física e engenharias;

• Estimular as aplicações interdisciplinares de forma a fornecer uma visão global dos assuntos abordados

através da utilização concomitante do cálculo e cálculo numérico, assim como da álgebra linear e cálculo

numérico;

• Incentivar os alunos a utilizarem aplicações do cálculo numérico através da utilização de recursos com-

putacionais de programação e visualização gráfica;

• Estimular os estudantes a utilizar recursos computacionais para a solução de problemas através do de-

senvolvimento de algoritmos e programas.

8

3 Justificativa

As disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica e Cálculo Numérico

Computacional são ofertadas nos primeiros cinco semestres dos cursos de Engenharias e Ciências Exatas e da

Terra, fornecendo subsídios para a resolução de problemas naturais e aplicados. Tendo em vista as dificul-

dades que os alunos apresentam em trabalhar no contexto abstrato destas disciplinas, existe a necessidade de

um acompanhamento extraclasse que vise promover a melhoria do ensino e formação acadêmica destes alunos,

bem como motivar o estudo mais aprofundado dos conteúdos, reduzindo assim os índices de reprovação e

evasão universitária. Apesar de serem consideradas disciplinas importantes para a formação do estudante e

possuírem um caráter fundamental para a aquisição e construção do conhecimento científico, as disciplinas de

Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica e Cálculo Numérico introduzem, ainda

nos semestres iniciais dos cursos os primeiros conceitos abstratos. O pensamento abstrato constitui uma das

primeiras dificuldades de natureza epistemológica, no ensino dessas disciplinas. Além disso, existe um prob-

lema no que diz respeito à formação em matemática básica, o que agrava mais ainda negativamente os índices

de aprovação. Os indicadores desta problemática estão comprovados pelas taxas de reprovação, repetência e

abandono das disciplinas supracitadas.

De forma geral, embora estas disciplinas exijam esforços e dedicação dos alunos, estes expressam muitas difi-

culdades em compreender os conceitos explorados. Neste sentido, o que se pode perceber é que o insucesso dos

alunos está fortemente relacionado com a não adequação dos conteúdos que compõe os programas das disci-

plinas à realidade e às necessidades dos estudantes. A forma como são estruturados a maioria dos livros didáti-

cos, das disciplinas abrangidas por este projeto, adotados nas universidades brasileiras também não favorecem

o desenvolvimento e a aprendizagem dos alunos. De modo geral, cada capítulo é iniciado com definições

seguidas de teoremas ou propriedades, depois são apresentados alguns exemplos de exercícios que utilizam

estas definições e só ao final do capítulo de alguns livros, são apresentadas algumas aplicações relacionadas ao

assunto. Deste modo, o aluno, além de já receber os problemas prontos, ao resolvê–los já sabe de antemão, a

que conceitos o mesmo deve recorrer. Segundo estatísticas obtidas no sistema da FURG, podemos observar os

baixos índices de aprovação em alguns cursos de Engenharias e Física no segundo semestre do ano de 2009.

Os cursos analisados foram: Curso 1 – Engenharia de Computação; Curso 2 – Engenharia Civil; Curso 3 – En-

genharia Mecânica; Curso 4 – Engenharia de Automação; Curso 5 – Engenharia Mecânica Empresarial; Curso

6 – Engenharia Civil Empresarial; Curso 7 – Física Licenciatura e Bacharelado. Segundo a figura 1 vemos que,

a maior parte dos cursos de graduação analisados apresenta percentual de aprovação inferior a 50%. Somente o

curso de engenharia civil apresenta índices de aprovação em torno de 50% em ambas as disciplinas. De maneira

geral, as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e Álgebra Linear e Geometria Analítica apresentam os

menores índices (médios) de aprovação, de 30.95% e 44.15%, respectivamente. Os baixos índices de aprovação

nas disciplinas destacadas evidenciam a necessidade do desenvolvimento de estratégias alternativas para o au-

mento da aprovação, bem como diminuir a evasão dos estudantes, de forma a contribuir para a melhoria dos

9

coeficientes de rendimento e sucesso profissional dos profissionais formados pela instituição.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7CURSOS

CÃ�LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÃ�LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

ALGEBRA LINEAR E GEOMTERIA ANALÃ�TICA

Gráficos de barras do percentual de aprovação nos cursos:

(1) Engenharia de Computação;

(2) Engenharia Civil;

(3) Engenharia Mecânica;

(4) Engenharia de Automação;

(5) Engenharia Mecânica Empresarial;

(6) Engenharia Civil Empresarial;

(7) Física Licenciatura e Bacharelado, para o segundo semestre de 2009.

10

4 Metodologia

O desenvolvimento deste projeto está dividido em diferentes subprojetos de forma a perfazer todos os objetivos

detalhados anteriormente.

4.1 Pré-cálculo

Tendo em vista as dificuldades encontradas pelos alunos com relação aos conceitos de matemática básica, será

elaborado um material didático que abordará conceitos de matemática de ensino fundamental e médio que são

pré-requisitos para as disciplinas abrangidas pelo projeto e disciplinas equivalentes que fazem parte da grade

curricular dos cursos de Matemática. Este material será disponibilizado via digital e impressa e apresentado aos

alunos previamente inscritos pelos bolsistas que estiverem vinculados a esta linha do projeto e pelos professores

participantes, de modo que, os alunos que por ventura venham a reprovar nas disciplinas no corrente ano,

possam utilizá-lo no futuro e assim obter um rendimento satisfatório em curto prazo. O primeiro mês do

projeto terá como principal atividade o planejamento dos meses seguintes através da pesquisa e discussão entre

professor e bolsista da metodologia a ser utilizada durante as oficinas. Nos meses que seguem o projeto, as

atividades a serem ministradas serão apresentadas na forma de oficinas que serão abertas ao público.

4.2 Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear e Geometria Analítica

As dificuldades dos alunos em visualizar as aplicações do cálculo, da álgebra linear e da geometria analítica,

no cotidiano e em sua vida profissional, serão trabalhadas através de atividades extraclasses, onde os bolsistas

realizarão pesquisas na internet e livros didáticos buscando aplicações de tópicos importantes das ementas das

disciplinas em questão em que os alunos apresentam maiores dificuldades de entendimento. Estes tópicos serão

de interesse para o estudo da física, bem como para as aplicações diretas em engenharia. Após a pesquisa, será

elaborado um material didático complementar que será disponibilizado aos alunos na forma digital e impressa.

As atividades serão ministradas na forma de oficinas que serão abertas ao público.

4.3 Aplicações do Cálculo Numérico

A utilização do cálculo numérico aparece como uma ferramenta alternativa para auxiliar os alunos no apren-

dizado das disciplinas anteriormente mencionadas. As dificuldades dos alunos em aplicar métodos numéricos

à resolução de problemas do cálculo serão trabalhadas através de atividades extraclasses com o auxílio de

computadores. Para o entendimento e utilização das técnicas de cálculo numérico, os bolsistas inicialmente re-

solverão problemas clássicos que possuem soluções analíticas. Posteriormente, os mesmos realizarão pesquisas

na internet e junto a livros didáticos buscando aplicações de tópicos importantes em que os alunos apresentem

maiores dificuldades de entendimento e que não possuam soluções analíticas, mostrando assim a relevância dos

métodos numéricos. Ao final do projeto, os bolsistas ministrarão uma oficina que será oferecida para orientar

11

inicialmente os alunos de primeiro e segundo ano regularmente matriculados nas disciplinas abrangidas pelo

projeto.

4.4 Programação e visualização

Tendo em vista as dificuldades que os alunos apresentam em trabalhar com computadores, bem como, com a

utilização de programas específicos utilizados na programação e visualização de problemas resolvidos através

do emprego de métodos numéricos, existe a necessidade de um acompanhamento extraclasse na forma de

um minicurso ou oficinas que serão ministrados pelos bolsistas. Este tipo de atividade pode futuramente ser

apresentado na forma de oficinas.

12

5 Resultados

De forma a cumprir os objetivos descritos na seção 3 através da metodologia proposta na seção 5 foram real-

izadas pesquisas bibliográficas pelos alunos envolvidos no projeto sob a supervisão dos professores envolvidos

com a execução do projeto. Estas pesquisas resultaram na produção de textos e tutoriais desenvolvidos para a

utilização nas oficinas e disponibilização ao público.

Estes resultados serão apresentados nas seções sub-sequentes de forma a ilustrar o trabalho desenvolvido, assim

como, a estratégia alternativa utilizada na aplicação das ferramentas matematicas aos problemas de engenharias

e áreas afins.

13

6 Pré–cálculo

6.1 Equação do 1o grau:

Toda equação que pode ser representada sob a forma:

ax+b = 0, (1)

onde a e b R e a 6= 0, é chamada de Equação do 1o grau com uma variável x.

Membros de uma equação do 1o grau:

Em uma equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada 1o membro da equação, e a expressão

situada à direita da igualdade é chamada de 2o membro da equação.

x+10︸︷︷︸1omembro

= 2x−9︸︷︷︸2omembro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de termo da equação.

4x︸︷︷︸1otermo

− 9︸︷︷︸2otermo

= 1︸︷︷︸3otermo

− 2x︸︷︷︸4otermo

6.1.1 Variável ou incógnita de uma equação do 1o grau:

Os elementos desconhecidos de uma equação são denominados Variáveis ou Incógnitas

Exemplo 1 A equação x+5 = 8 tem uma incógnita: x

Exemplo 2 A equação x−3 = y+1 tem duas incógnitas: x e y

Exemplo 3 A equaçãoa2−3b+ c = 0 tem três incógnitas: a, b e c

Cada um dos valores que colocados no lugar da variável ou incógnita transformam a equação em uma sentença

verdadeira é chamado de Raiz de uma equação do 1o grau.

Assim, para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação basta substituirmos a incógnita por

esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

14

Exemplo 4 Verificar se 3 é raiz da equação 5a−3 = 2a+6.

5a−3 = 2a+6

5(3)−3 = 2(3)+6

15−3 = 6+6

12 = 12 (verdadeiro).

Logo, 3 é a raiz da equação.

Exemplo 5 Verificar se −2 é raiz da equação x−3x = x−6:

x−3x = x−6

(−2)−3(−2) = (−2)−6

−2+6 =−8

4 =−8

Logo, −2 não é a raiz da equação.

6.1.2 Resolução de uma equação do 1o grau:

Exemplo 6 Resolver em R a equação 5x−8 = 12+ x:

1. Inicialmente, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no no outro membro da

igualdade os termos que não apresentam variável. Observe que, quando se "passa"um termo de um

membro para outro, em verdade, a operação que está sendo realizada é a seguinte:

5x−8 = 12+ x

5x−8+8− x = 12+ x+8− x

2. Efetuamos as somas algébricas de cada membro:

5x− x = 12+8

4x = 20

3. Dividimos ambos os membros por 4:

14

4x =14

20⇒ x = 5

4. Verificamos se o número 5 satisfaz a equação:

5.5−8 = 12+5

25−8 = 17


15

Portanto, 5 é raiz da equação.

Exemplo 7 Resolver em R a equação 2(x+5)−3(5− x) = 5:

1. Inicialmente, aplicamos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses:

2(x+5)−3(5− x) = 5

2x+10−15+3x = 5

2. Com as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável,

e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável:

2x+3x = 5−10+15

3. Efetuamos ambos os membros da igualdade:

2x+3x = 5−10+15

5x = 10

4. Dividindo ambos os membros da equação por 5:

x =105

= 2


2(2+5)−3(5−2) = 5

2(7)−3(3) = 5

14−9 = 5

5 = 5 (verdadeiro).

Portanto, 2 é raiz da equação.

Exemplo 8 Resolver em R a equação2(x+3)

3+

5(2x−1)2

= 5x− 16

:

1. Calculamos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) da equação a fim de deixar todas as frações com o

mesmo denominador, para a seguir, cancelá- lo:

MMC(2,3,6) = 6

2(2)(x+3)6

+3(5)(2x−1)

6=

6(5x)6− 1(1)

6

4(x+3)6

+15(2x−1)

6=

30x−16

16

4x+12+30x−15 = 30x−1

2. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam

variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável:

4x+30x−30x =−1−12+15


4x+30x−30x =−1−12+15

4x = 2

4. Dividindo ambos os membros por 4:

x =24=

12

5. Verificamos se o número12

satisfaz a equação:

2(

12+3)

3+

5[

2(

12

)−1]

2= 5

(12

)− 1

6

Aplicando a propriedade distributiva:

2(1)2

+2(3)

3+

5(

2(1)2−1)

2=

52− 1

6

1+63

+5(1−1)

2=

52− 1

6

73+0 =

52− 1

6

MMC(2,3,6) = 6

2(7)6

=3(5)

6− 1(1)

6

146

=156− 1

6


17

Portanto,12

é raiz da equação.

6.1.3 Equações literais do 1o grau:

Existem equações que possuem outras letras além da variável x. Tais letras representam valores reais.

Essas equações recebem o nome de Equações literais do 1o grau da incógnita x.

Exemplo 9 2ax+3a = bx (Note que a solução depende de a e b.)

Exemplo 10 px+n = p (Note que a solução depende de a e b.)

Exemplo 11 2x+4m = x+9m (Note que a solução depende de a e b.)

6.1.4 Resolução de uma equação literal do 1o grau:

Exemplo 12 Resolver em R a equação literal (a+ x)2 = (a+3+ x)(a−2+ x):

1. Inicialmente, resolvemos o produto notável:

a2 +2ax+ x2 = a2−2a+ax+3a−6+3x+ax−2x+ x2



2ax+ x2−ax−3x−ax+2x− x2 =−a2 +a2−2a+3a−6


2ax+ x2−ax−3x−ax+2x− x2 =−a2 +a2−2a+3a−6

x(2a+ x−a−3−a+2− x) = a−6

x(−1) = a−6

4. Dividindo ambos os membros por −1:

x =(a−6)−1

= 6−a

5. Verificamos se o termo (6−a) satisfaz a equação:

(a+ x)2 = (a+3+ x)(a−2+ x)

[a+(6−a)]2 = (a+3+6−a)(a−2+6−a)

18

(a)2 +2(a)(6−a)+(6−a)2 = 9.4

a2 +12a−2a2 +(6)2−2(6)(a)+(−a)2 = 36

−a2 +12a+36−12a+a2 = 36


Portanto, (6−a) é raiz da equação.

Exemplo 13 Resolver em R a equação literal ax+bx+ c = 2a+2b+ c:



ax+bx = 2a+2b+ c− c


x(a+b) = 2a+2b

3. Dividindo ambos os membros da equação por (a+b) :

x =2a+2b(a+b)

=2(a+b)(a+b)

= 2


ax+bx+ c = 2a+2b+ c

a(2)+b(2)+ c = 2a+2b+ c

2a+2b+ c = 2a+2b+ c (verdadeiro).

Note que 2 é raiz da equação se a 6=−b e b 6=−a.

Exemplo 14 Resolver em R a equação literal 3ax−2(ax+b) = 6b+ x:



3ax−2ax− x = 6b+2b


3ax−2ax− x = 6b+2b

ax− x = 8b

x(a−1) = 8b

19

3. Dividindo ambos os membros da equação por (a−1) :

x =8b

(a−1), sendo a 6= 1

4. Verificamos se o termo (a−1) satisfaz a equação:

3ax−2(ax+b) = 6b+ x

3a(

8b(a−1)

)−2[

a(

8b(a−1)

)+b]= 6b+

8b(a−1)

24ab(a−1)

− 16ab(a−1)

−2b = 6b+8b

(a−1)

MMC(a−1,1) = (a−1)

24ab−16ab−2ab+2b = 6ab−6b+8b

6ab+2b = 6ab+2b

6ab−6ab = 2b−2b

0 = 0 (verdadeiro).

Portanto,8b

(a−1)é raiz da equação.

6.1.5 Equação do 1o grau sem solução:

Às vezes uma equação não tem solução para um certo universo de números. Nesse caso, dizemos que ela é

impossível ou que a solução é vazia.

Exemplo 15 Resolva a equaçãox2+

(x−1)3

=5x6

:

1. Calculamos o MMC da equação a fim de deixar todas as frações com o mesmo denominador, para a

seguir, cancelá-lo:

MMC(2,3,6) = 6

3(x)6

+2(x−1)

6=

5x6

3x+2x−2 = 5x



3x+2x−5x = 2

20


5x−5x = 2

0x = 2

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 resulte em 2. Portanto, a equação não possue raiz.

6.1.6 Equação do 1o grau com infinitas soluções:

Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes da equação. Nesse caso, dizemos que a

equação possui Infinitas soluções.

Exemplo 16 Resolva a equação(x−1)

3=

(2x−2)6

:

1. Calculamos o MMC da equação a fim de deixar todas as frações com o mesmo denominador, para a

seguir, cancelá- lo:

MMC(3,6) = 6

2(x−1)6

=2x−2

6

2x−2 = 2x−2



2x−2x = 2−2


2x−2x = 2−2

0x = 0

Qualquer número x que multiplicarmos por 0 resultará em 0. Portanto, a equação possui infinitas soluções.

6.2 Equação do 2o grau:

As equações de 2o grau com uma variável x possuem a seguinte forma:

ax2 +bx+ c = 0, (2)

21

onde a, b, c ∈ R e a 6= 0.

Exemplo 17 3x2−5x+8 = 0, com a = 3, b =−5 e c = 8.

Exemplo 18 x2−7x+34= 0, com a = 1, b =−7 e c =

34

.

Quando os coeficientes b e c de uma equação do 2o grau forem diferentes de zero, dizemos que a equação está

na forma completa.

Exemplo 19 x2−5x+6 = 0, com a =+1, b =−5 e c =+6.

Exemplo 20 −2x2 +10x−52 = 0, com a =−2, b =+10 e c =−52.

Quando o coeficiente b ou o coeficiente c ou ambos forem iguais a zero, dizemos que a equação está na forma

incompleta.

Exemplo 21 7x2−8 = 0, com a =+7, b = 0 e c =−8.

Exemplo 22 5x2 + x = 0, com a =+5, b =+1 e c = 0.

6.2.1 Resolução de equações incompletas do 2o grau:

Equações do tipo ax2 +bx = 0:

Exemplo 23 Resolver em R a equação x2−4x = 0.

1. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(x−4) = 0

2. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero.

3. Portanto, da igualdade x(x−4) = 0, obtemos: x = 4 ou x = 0

Assim, as raízes da equação são 0 e +4.

Verificação:

Substituíndo os valores encontrados para as raízes na equação x2−4x = 0:

22

• Para x = 0, temos: 02−4.0 = 0−0 = 0 (verdadeiro).

• Para x = 4, temos: 42−4.4 = 16−16 = 0 (verdadeiro).

Exemplo 24 Resolver a equação (2x+5)2 +3x = 25.

1. Inicialmente, resolvemos o produto notável (2x+5)2, obtendo:

(4x2 +20x+25)+3x = 25

4x2 +23x+25 = 25

2. Subtraindo 25 de ambos os membros da equação, obtemos

4x2 +23x+25−25 = 25−25

4x2 +23x = 0

3. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(4x+23) = 0


5. Portanto, da igualdade x(4x+23) = 0, obtemos: x =−234

ou x = 0

Assim, as raízes da equação são 0 e −234

.

Verificação:

Substituíndo os valores encontrados para as raízes na equação (2x+5)2 +3x = 25:

• Para x = 0, temos: (2.0+5)2 +3.0 = 25 = 25 = 25 (verdadeiro).

• Para x =−234

, temos:[

2(−23

4

)+5]2

+3(−23

4

)= 25 = 25 (verdadeiro).

Exemplo 25 Resolver a equação42x−3x = 2+

2x

, sendo x 6= 0.

1. Calculamos o MMC da equação:

4− (2x)(3x)2x

=2(2x)+2.2

2x

4−6x2

2x=

4x+42x

23

2. Multiplicamos os dois membros da equação por 2x, para eliminar os denominadores:

2x(4−6x2)

2x=

2x(4x+4)2x

4−6x2 = 4x+4

3. Subtraindo 4x+4 de ambos os membros da equação: 4−6x2− (4x+4) = 4x+4− (4x+4)

−6x2−4x = 0

(−1)(−6x2−4x) = 0(−1)

6x2 +4x = 0


5. Portanto, da igualdade 2x(3x+2) = 0, obtemos: x =−23

ou x = 0

No enunciado, temos a condição que x 6= 0, logo o número 0 não é solução dessa equação. Assim, a

única raiz dessa equação é −23

.

Verificação:

Substituíndo o valor encontrado para a raiz na equação42x−3x = 2+

2x

:

• Para x =−23

, temos:4

2(−2

3

) −3(−2

3

)= 2+

2

−23

=−1 (verdadeiro).

Equações do tipo ax2 + c = 0:

Exemplo 26 Resolver a equação 2x2−18 = 0.

1. Adicionando −18 a ambos os membros da equação obtemos:

2x2 = 18

2. Dividindo ambos os membros da equação por 2, obtemos:

x2 =182

x2 = 9

3. Portanto, x =+√

9 =+3 ou x =−√

9 =−3

Assim, as raízes da equação são −3 e +3.

24

Verificação:

Substituíndo o valor encontrado para a raiz na equação 2x2−18 = 0:

• Para x =+3, temos: 2(3)2−18 = 2.9−18 = 0 = 0 (verdadeiro).

• Para x =−3, temos: 2(−3)2−18 = 2.9−18 = 0 = 0 (verdadeiro).

Exemplo 27 Resolver a equação 2x2 +4 = 0.

1. Subtraindo 4 de ambos os membros da equação, obtemos

2x2 +4−4 =−4

2x2 =−4

2. Agora dividindo os membros da equação por 2:

2x2

2=−42

x2 =−42

x2 =−2

3. Portanto, extraindo a raiz quadrada x =+√−2 ou x =−

√−2

Como√−2 não é um número real, a equação apresentada não tem solução real.

Resumindo:

Na resolução de uma equação do tipo ax2 + c = 0, as raizes obtidas são sempre x =√

ca

e x =−√

ca

, logo:

• Se(− c

a

)é um número positivo, a equação tem duas raízes;

• Se(− c

a

)é um número negativo, a equação não tem raiz real.

Equações do tipo ax2 = 0:

A equação do tipo ax2 = 0 admite uma única solução: x = 0.

Exemplo 28 Resolver a equação 2x2 = 0.

1. Dividindo ambos os membros da equação por 2, obtemos:

x2 =02

x2 = 0

25

2. Portanto, x = 0

Assim, a raiz da equação é 0.

6.2.2 Equações literais incompletas do 2o grau:

Exemplo 29 Resolver a equação 4x2−mx = 0.

Note que as soluções dependem de “m”.

1. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(4x−m) = 0


3. Portanto, da igualdade x(4x−m) = 0 , obtemos: x = 0 ou x =m4

Assim, as raízes da equação são 0 em4

.

Exemplo 30 Resolver a equação 2x2−18m2 = 0.

1. Somamos 18m2 em ambos os membros da equação e obtemos:

2x2 = 18m2

2. Dividimos todos os termos da equação por 2 e obtemos:

x2 =18m2

2

x2 = 9m2

3. Portanto, x =+√

9m2 =+3m ou x =−√

9m2 =−3m

Assim, as raízes da equação são −3m e +3m.

Exemplo 31 Resolver a equação 4(x+ k)(x− k) = (x−2k)2−8k2.

1. Inicialmente, resolvemos os produtos notáveis (x+ k)(x− k) e (x−2k)2, obtendo:

4(x2− k2) = (x2−4kx+4k2)−8k2

4x2−4k2 = x2−4kx−4k2

4x2− x2 +4kx−4k2 +4k2 = 0

3x2 +4kx = 0

26

2. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(3x+4k) = 0


4. Portanto, da igualdade x(3x+4k) = 0 , obtemos: x =−4k3

ou x = 0

Assim, as raízes da equação são −4k3

e 0.

6.2.3 Trinômio quadrado perfeito:

O trinômio quadrado perfeito é um produto notável.

Então:

(x+5)2 = x2 +10x+25︸︷︷︸Trinômio quadrado perfeito

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo (x2), mais duas vezes o produto do

primeiro termo pelo segundo (2x5), mais o quadrado do segundo termo (52).

Exemplo 32 Que termo devemos acrescentar ao binômio x2+12x para que ele se torne um quadrado perfeito?

1. O termo x2 já é um quadrado perfeito.

2. O termo 12x representa o produto 2x�, onde o termo � representa a raiz quadrada do número procurado.

3. Logo, �= 6.

Portanto, o número que procuramos é 62 = 36 que forma o trinômio quadrado perfeito x2 +12x+36.

6.2.4 A resolução de equações completas do 2o grau:

Usando o trinômio quadrado perfeito

Considere a equação:

x2 +8x−20 = 0

Somando 20 a ambos os membros da equação, obtemos que

x2 +8x = 20

27

Podemos transformar o lado esquerdo da igualdade em um quadrado perfeito. Para isso, vamos encontrar o 3o

termo.

Observe que 8x = 2x4. Portanto, acrescentamos 42, ou seja, 16 aos dois membros da equação, para que a

igualdade não se altere:

x2 +8x +16 = 20 +16

x2 +8x+16 = 36

Fatorando o 1o membro, encontramos:

(x+4)2 = 36

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros: √(x+4)2 =

√36

x+4 =±6

Resolvemos as equações:

• x+4 = 6

x = 6−4

x = 2

• x+4 =−6

x =−6−4

x =−10

Verificamos se os resultados obtidos satisfazem às equações:

• Para x = 2, temos:

x2 +8x−20 = 0

22 +8.2−20 = 0

4+16−20 = 0

20−20 = 0

0 = 0

• Para x =−10, temos:

x2 +8x−20 = 0

(−10)2 +8(−10)−20 = 0

100−80−20 = 0

20−20 = 0

0 = 0

28

Logo, x = 2 e x =−10 representam as soluções da equação.

Usando a Fórmula de Bháskara

As equações do 2o grau na forma completa não podem ser resolvidas através das mesmas regras usadas para

resolver as equações incompletas. No entanto, existe uma fórmula resolutiva para as equações do 2o grau,

denominada Fórmula de Bháskara.

Considere a equação

ax2 +bx+ c = 0.

Nesse Caso, as raízes reais da equação completa do 2o grau são dadas por:

x′ =−b−

√b2−4ac

2a(3)

x′′ =−b+

√b2−4ac

2a(4)

Exemplo 33 Resolver a equação 2x2−10x+12 = 0.

Temos a = 2, b =−10, c =+12. Então:

x =−(−10)±

√(−10)2−4.2.122.2

x =10±

√100−964

x =10±

√4

4

x =10±2

4

Logo, x′ =10−2

4=

84= 2 ou x′′ =

10+24

=124

= 3

Portanto, x′ = 2 e x′′ = 3.

29

6.2.5 O discriminante da equação do 2o grau:

Na Fórmula de Bháskara, x =−b±

√b2−4ac

2a, o radicando é chamado discriminante e é indicado pela letra

grega ∆ (delta).

∆ = b2−4ac (5)

Portanto, a Fórnula de Bháskara também pode ser escrita assim:

x =−b±

√∆

2a(6)

Algumas características das raízes de uma equação são fornecidas pelo sinal do discriminante. Assim:

• Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.

• Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.

• Se ∆ < 0, a equação não tem raiz real.

Exemplo 34 Calcular o discriminante da equaçãox−1

x+

56=

2xx+1

, sendo x 6= 0 e x 6=−1. Determine suas

raízes.

1. Calculamos o MMC da equação:

MMC(6,x,x+1) = 6x(x+1)

6(x−1)(x+1)6x(x+1)

+5x(x+1)6x(x+1)

=2x(6x)

6x(x+1)

6(x2−12)+5x2 +5x = 12x2

6x2−6+5x2 +5x−12x2 = 0

−x2 +5x−6 = 0

2. Multiplicamos os dois membros da equação por (−1), obtemos:

x2−5x+6 = 0, que é uma equação do 2o grau completa.

3. Assim, a =+1, b =−5 e c =+6:

∆ = b2−4ac

∆ = (−5)2−4.1.6

30

(−1)(−6x2−4x) = 0(−1)

∆ = 1 > 0

Portanto, já sabemos que a equação admite duas raízes reais diferentes. A saber:

x =−b±

√∆

2a

x =−(−5)±

√1

2.1

x =5±√

12

x′ =5−1

2=

42= 2 ou x′′ =

5+12

=62= 3

Logo, x′ = 2 e x′′ = 3 são raízes da equação.

Exemplo 35 Calcular o discriminante e resolver a equação x2−4x+4 = 0.

Temos a =+1, b =−4 e c =+4.

Cálculo de ∆:

∆ = b2−4ac

∆ = (−4)2−4.1.4

∆ = 16−16

∆ = 0

Portanto, a equação admite duas raízes reais e iguais:

Cálculo das raízes da equação:

x =−b±

√∆

2a

x =−(−4)±

√0

2.1

x =4±√

02

x′ =4−0

2=

42= 2 ou x′′ =

4+02

=42= 2

Logo, x′ = x′′ = 2 são raízes da equação.

Exemplo 36 Calcular o discriminante e resolver a equação x2 + x+5 = 0.

31

Temos a =+1, b =+1 e c =+5.

Cálculo de ∆:

∆ = b2−4ac

∆ = (1)2−4.1.5

∆ = 1−20

∆ =−19

Portanto, a equação apresentada não possui raiz real:

x =−b±

√∆

2a

x =−1±

√−19

2.1

x =−1±

√−19

2

√−19 não é um número real.

Da mesma forma, resolvemos Equações literais completas do 2o grau:

Exemplo 37 Resolver a equação 6x2−5mx+m2 = 0.

Temos a =+6, b =−5m e c =+m2.

Cálculo de ∆:

∆ = b2−4ac

∆ = (−5m)2−4.6.m2

∆ = 25m2−24m2

∆ = m2

Portanto, a equação apresenta duas raízes reais diferentes:

x =−b±

√∆

2a

x =−(−5m)±

√m2

2.6

x =5m±m

12

x′ =5m−m

12=

4m12

=m3

ou x′′ =5m+m

12=

6m12

=m2

Logo, x′ =m3

e x′′ =m2

são raízes da equação.

32

6.2.6 Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2o grau:

Considere a equação ax2 +bx+ c = 0, onde a, b e c são os coeficientes, com a 6= 0. Sendo x′ e x′′ raízes dessa

equação, podemos estabelecer as seguintes relações:

1o relação:

x′+ x′′ =−ba

(7)

Sabemos que x =−b±

√∆

2a.

Portanto, x′ =−b+

√∆

2ae x′′ =

−b−√

∆2a

Somando x′ e x′′, obtemos:

x′+ x′′ =−b+

√∆

2a+−b−

√∆

2a=−b+

√∆−b−

√∆

2a=−2b

2a=−b

a

2o relação:

x′x′′ =ca

(8)

Multiplicando as raízes x′ e x′′, obtemos:

x′x′′ =

(−b+

√∆

2a

)(−b−

√∆

2a

)=

(−b−√

∆)(−b+√

∆)(2a)(2a)

=

=(−b)2− (

√∆)2

4a2 =b2−∆

4a2 =

=b2− (b2−4ac)

4a2 =b2−b2 +4ac

4a2 =4ac4a2 =

ca

Exemplo 38 Obter a soma e o produto das raízes da equação x2 +3x−10 = 0:

• x′+ x′′ =−ba=−(3)

1=−3

• x′x′′ =ca=−10

1=−10

33

Exemplo 39 Obter a soma e o produto das raízes da equação kx2−4kx+ k = 0, sendo k 6= 0:

• x′+ x′′ =−ba=−(−4k)

k= 4

• x′x′′ =ca=

kk= 1

Exemplo 40 Determine a soma e o produto das raízes da equação:

2x2−7x+(m−1)

2= 0, sendo m 6= 0.

(2)(2x2)+(2)(−7x)+(m−1)2

=(2)(0)

2

4x2−14x+(m−1) = 0

• x′+ x′′ =−ba=−(−14)

4=

144

=72

• x′x′′ =ca=

(m−1)4

6.2.7 Formação da equação do 2o grau a partir de suas raízes:

Considere a equação ax2 +bx+ c = 0 e x′ e x′′ as suas raízes. Podemos escrever:

• x′+ x′′ =−ba

, ou seja,ba=−(x′+ x′′)

• x′x′′ =ca

, isto é,ca= x′x′′

Dividindo a equação ax2 +bx+ c = 0 por a, obtemos:

ax2

a+

bxa+

ca= 0

x2 +bxa+

ca= 0

Portanto, x2− (x′+ x′′)x+ x′x′′ = 0

Fazendo x′+ x′′ = S e x′x′′ = P, escrevemos:

x2−Sx+P = 0 (9)

34

Exemplo 41 Escrever a equação do 2o grau cujas raízes são x′ = 1 e x′′ = 5.

Temos:

S= x′+ x′′ = 1+5 = 6

P= x′x′′ = 1.5 = 5

Sendo x2−Sx+P = 0, a equação procurada é x2−6x+5 = 0.

Exemplo 42 Formar a equação do 2o grau cujas raízes são x′ =−13

e x′′ =−12

.

Temos:

S= x′+ x′′ =−13− 1

2=−5

6

P= x′x′′ =(−1

3

)(−1

2

)=

16

Sendo x2−Sx+P = 0, a equação procurada é x2 +5x6+

16= 0 ou 6x2 +5x+1 = 0.

Exemplo 43 Determinar dois números reais cuja soma é −174

e o produto é358

.

Substituindo os valores acima na equação x2−Sx+P, temos:

x2 +17x4

+358

= 0

8x2 +34x+35 = 0

Através da Fórmula de Bháskara, obtemos:

x =−b±

√b2−4ac

2a

x =−34±

√342−4.8.352.8

x =−34±

√36

16

x =−34±6

16

Portanto, x′ =−34−6

16=−40

16=−5

2e x′′ =

−34+616

=−2816

=−74

35

Os números procurados são −52

e −74

.

6.3 Equações Irracionais:

Equações Irracionais são equações que contêm incógnita ou variável no radicando.

Para resolvê-las, procedemos da seguinte maneira:

1. Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação.

2. Elevamos os dois membros da equação a um expoente adequado.

Enquanto houver radicais na equação, repetimos esses procedimentos. Uma vez eliminados todos os

radicais da equação, procedemos assim:

3. Resolvemos a equação obtida.

4. Verificamos quais das raízes encontradas satisfazem a equação inicial.

Exemplo 44 Resolver em R a equação√

2x−5−4 =−3:

1. Isolamos o radical em um os membros da equação:√

2x−5 =−3+4√

2x−5 = 1

2. Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado:

(√

2x−5)2 = (1)2

2x−5 = 1

2x = 1+5

2x = 6

x =62

x = 3

Verificação:

√2(3)−5−4 =−3

√6−5−4 =−3√

1−4 =−3

1−4 =−3

−3 =−3 (verdadeiro).

Portanto, x = 3 é raiz da equação irracional.

36

Exemplo 45 Resolver em R a equação x−1 =√

x+5:


(x−1)2 = (√

x+5)2

2. Efetuamos os dois lados da igualdade:

x2−2x+1 = x+5

x2−2x+1− x−5 = 0

x2−3x−4 = 0

3. Calculamos o valor do discriminante ∆:

∆ = (−3)2−4.1(−4)

∆ = 9+16

∆ = 25

4. Encontramos os valores da variável x através da Fórmula de Bháskara:

x =−b±

√b2−4ac

2a

x =−(−3)±

√25

2(1)

x′ =3+5

2= 4

x′′ =3−5

2=−1

Verificação:

• Quando x =−1:

x−1 =√

x+5

−1−1 =√−1+5

−2 =√

4

−2 = 2 (falso).

• Quando x = 4:

x−1 =√

x+5

4−1 =√

4+5

37

3 =√

9

3 = 3 (verdadeiro).

Portanto, somente x = 4 é raiz da equação irracional.

Exemplo 46 Resolver em R a equação 3√

3+√

x+1 = 2:

1. Elevamos ao cubo os dois membros da equação:

(3√

3+√

x+1)3 = (2)3

3+√

x+1 = 8

2. Isolamos o radical no 1o membro:√

x+1 = 8−3√

x+1 = 5

3. Elevamos ao quadrado os dois membros dessa equação, obtendo:

(√

x+1)2 = (5)2

x+1 = 25

x = 25−1

x = 24

Verificação:

3√

3+√

x+1 = 23√

3+√

24+1 = 23√

3+5 = 2

2 = 2 (verdadeiro).


Exemplo 47 Resolver em R a equação√

x+9 = 3+√

x−6:


(√

x+9)2 = (3+√

x−6)2

x+9 = (3)2 +2(3)(√

x−6)+(√

x−6)2

x+9 = 9+6√

x−6+ x−6

2. Isolamos o radical no 1o membro:

6√

x−6 = x+9−9− x+6

6√

x−6 = 6

38


(6√

x−6)2 = (6)2

36(x−6) = 36

36x−216 = 36

36x = 36+216

36x = 252

x =25236

x = 7

Verificação:

√x+9 = 3+

√x−6

√7+9 = 3+

√7−6

√16 = 3+

√1

4 = 3+1

4 = 4 (verdadeiro).


6.3.1 Exercícios

Exercício 1 Resolva em R as equações:

(a) 10y−5(1+ y) = 3(2y−2)−20

(b)(x−5)

10+

(1−2x)5

=(3− x)

4

(c)(x+2)

3− (x−3)

5= 4

(d)(x+1)

2−5x = 9x−1

(e)

14+

x3

12

=

16− 3x

223


(a) 8ax−5(ax+b) = 6b+3x

(b)xb−n = b− x

n

(c) (k−3)x+4(2k−5)+4k = 0

39


(a) 4x2 +12x = 0

(b)2(x2−6)

3=

x2 +36

(c)2x+3

x− 3(3+ x)

x2 = 1, sendo x 6= 0.

(d)1

x−1− 1

x+1= 1, sendo x 6=−1 e x 6= 1.

(e)4(2x−1)(x−3)

3+

6+10x3

= 6

Exercício 4 Resolva as equações literais:

(a) 3(x2 +mx) = 0

(b)x2

9−4k2 = 0

(c)3x2

4k−3k2, sendo k 6= 0.

(d) (x−m)2 +(x+m)2 = 10m2

(e)(

x− m3

)(x− m

2

)= 0

Exercício 5 Sem resolver as equações, determine a soma e o produto de suas raízes:

(a) 4x2 +8x−3 = 0

(b)3x2

5+

5x3+

75= 0

(c) 2kx2 +7kx−8k = 0, sendo k 6= 0.

(d)x2

2− 4x

3+

15= 0

(e) 5x2−8x+4 = 0

Exercício 6 Para que valores reais de m:

(a) a equação x2−3x+m = 0 admite duas raízes reais diferentes?

(b) a equaçãox2

2−3x+m = 0 admite uma única raiz real?

40

(c) a equação 5x2 +4x+m = 0 não admite raízes reais?

(d) a soma das raízes da equação x2 +(2m−3)x+2 = 0 é igual a 3?

(e) o produto das raízes da equação 2x2−7x+(m−1)

2= 0 é igual a 3?

Exercício 7 Resolva em R as equações irracionais:

(a)√

5x−10 =√

3x+2

(b) 3√

x2−2x = 2

(c)√√

5x+1 = 3.

(d)√

5+√

x+12 = 3

(e)√

x−2 =√

x+1−1

6.4 Funções:

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou

função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B tal que (x,y) ∈ f .

Para termos uma função ou aplicação, devemos satisfazer algumas condições, tais como:

1. É necessário que todo elemento x ∈ A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f , isto é, todo elemento de

A deve servir como ponto de partida de flecha.

2. É necessário que cada elemento x ∈ A participe de apenas um único par (x,y) ∈ f , isto é, cada elemento

de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha.

Uma relação f não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições acima, isto é:

1. Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou

A B

f não é função

1. Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.

41

A B

f não é função

6.4.1 Gráfico cartesiano:

Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos

se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0), em que x ∈ A, encontra sempre o gráfico de f em um

só ponto.

Exemplo 48 A relação f de A em R

A= {x ∈ R|−1≤ x≤ 3},

é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x ∈ A encontra sempre o gráfico de f num

só ponto.

y

x31


A= {x ∈ R|−2≤ x≤ 2},

não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos.

y

x22

42


A= {x ∈ R|0≤ x≤ 4},

não é função de A em R, pois há reta vertical conduzida pelo ponto (1,0) não encontra o gráfico de f .

Observemos que f é função de B em R em que:

B= {x ∈ R|2≤ x≤ 4}.

y

x1 2 3 4

6.4.2 Notação das funções:

Toda função é um conjunto de pares ordenados.

Par ordenado: Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento

(a,b), de modo que:

(a,b) = (c,d) ⇐⇒ a = c e b = d (10)

Geralmente, existe uma sentença aberta y = f (x) que expressa a lei mediante a qual, dado x ∈ A, determina-se

y ∈ B tal que (x,y) ∈ f , então:

f = {(x,y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f (x)} (11)

Isso significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de correspondência y = f (x).

Para indicarmos uma função f , definda em A com imagens em B segundo a lei de correspondência y = f (x),

usamos:

f : A→ B ou Af−→ B (12)

tal que y= f(x).

43

Exemplo 51 f : A→ B, tal que y = 2x

É uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y = 2x.

Exemplo 52 f : R→ R, tal que y = x2

É uma função que leva a cada x de R um y de R tal que y = x2.

Exemplo 53 f : R+→ R, tal que y =√

x

É uma função que faz corresponder a cada x ∈ R+ um y ∈ R tal que y =√

x.

Imagem de um elemento: Se (a,b) ∈ f , o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f

no elemento a, e indicamos:

f (a) = b (13)

que se lê f de a é igual a b.

Exemplo 54 Seja a função:

f : R −→ R

x 7−→ 2x+1

a) a imagem de 0 pela aplicação f é 1. Isto é:

f (0) = 2(0)+1 = 1

b) a imagem de −2 pela aplicação f é −3. Isto é:

f (−2) = 2(−2)+1 =−3

c) a imagem de12

pela aplicação f é 2,4. Isto é:

f(

12

)= 2

(12

)+1 = 2

f (√

2) = 2(√

2)+1 = 2(0,7)+1 = 2,4

0

2

21

0,7

x

2

1

2

2,4

2

3

2 2

1x

R R

1

44

6.4.3 Domínio e Imagem:

Domínio: Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x∈ A para os quais existe y∈ B tal que (x,y)∈ f .

Como, pela defnição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções:

Domínio é o conjunto de partida

isto é,

D = A (14)

Imagem: Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y∈ B para os quais existe x∈ A tal que (x,y)∈ f ;

portanto:

Imagem é subconjunto do contradomínio

isto é,

Im⊂ B (15)

A B

Im B.Ì

domínio contradomínio

Notemos, que, feita representação cartesiana da função f , temos:

Domínio: (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos

interceptam o gráfico de f , isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f .

Imagem: (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos

interceptam o gráfico de f , isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f .

45

y

x

4

2 1

y

x

4

2

3

1

y

x

2

2

1

y

x

2

1

12 21

Domínio das funções numéricas: As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funções

numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subconjuntos de R. As funções numéri-

cas são também chamadas funções reais de variável real.

Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu con-

tradomínio e a lei de correspondência y = f (x).

Quando nos referimos à função f e damos apenas a sentença aberta y = f (x) que a define, subentendemos que

D é o conjunto dos números reais x cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é, D é formado por

todos os números reias x para os quais é possível calcular f (x).

x ∈ D⇐⇒ f (x) ∈ R (16)

Exemplo 55 Determine o domínio da função y = 2x:

Notando que 2x ∈ R para todo x ∈ R, temos:

D = R.

Exemplo 56 Determine o domínio da função y = x2:

Notando que x2 ∈ R para todo x ∈ R, temos:

D = R.

Exemplo 57 Determine o domínio da função y =1x

:

Notando que1x∈ R se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos, então:

D = R.

46

Exercício 8 Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A =

{−1,0,1,2} em B = {−2,−1,0,1,2,3}. Justifique.

a)

1

0

2

1

2

3

1

0

1

2

b)

1

0

2

1

2

2

1

0

1

3

c)

1

0

2

1

2

2

1

0

1

3

d)

1

0

2

1

2

2

1

0

1

3

Exercício 9 Qual é a notação das seguintes funções de R em R?

(a) f associa cada número real ao seu oposto.

(b) g associa cada número real ao seu cubo.

47

(c) h associa cada número real ao seu quadrado menos 1.

(d) k associa cada número real ao número 2.

Exercício 10 Seja f a função de R em R definida por f (x) = x2−3x+4. Calcule:

(a) f (2)

(b) f (−1)

(c) f(

12

)(d) f (1−

√2)

Exercício 11 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determine o conjunto imagem.

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

48

d)

y

x

6.5 Função Constante:

Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função constante quando a cada elemento x ∈R associa sempre

o mesmo elemento c ∈ R.

f (x) = c (17)

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0,c). A imagem é o

conjunto Im = {c}.

y

x

(0 , c)

Exemplo 58 Construir os gráficos das aplicações de R em R definida por:

a) y = 3

y

x

(0 , 3)

b) y =−1

49

y

x

(0 ,-1)

6.6 Função Identidade:

Uma função f de R em R recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x ∈R associa o próprio

x, isto é:

f (x) = x (18)

O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes. A imagem é Im=R.

y

x

(2 , 2)

(1 , 1)(0 , 0)

( ,-1)-1

( ,-2)-2

6.7 Função Linear:

Uma função f de R em R recebe o nome de função linear quando a cada elemento x ∈ R associa ax ∈ R em

que a 6= 0 é um número real dado, isto é:

f (x) = ax (19)

com a 6= 0. Note que, se a = 0, temos a função constante y = 0.

Demonstra- se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem. A imagem é Im = R.

50

y

x

Assim, qualquer que seja o y ∈ R, existe x =ya∈ R, a 6= 0, tal que:

f (x) = f( y

a

)= a

( ya

)= y (20)

Exemplo 59 Construir o gráfico da função y = 2x.

Considerando que dois pontos distintos determinam uma reta e no caso da função linear um dos pontos é a

origem, atribuimos a x um valor não nulo e calculamos o correspondente y = 2x.

x y = 2x

1 2(1)= 2

y

x

(1 , 2)2

1

(0 , 0)

Exemplo 60 Construir o gráfico da função y =−2x.

x y =−2x

1 −2(1) =−2

51

y

x

1

(0 , 0)

(1 ,-2)

6.8 Função Afim:

Uma aplicação de R em R recebe o nome de função afim quando a cada x ∈R associa o elemento (ax+b) ∈R

em que a 6= 0 e b são números reais dados.

f (x) = ax+b (21)

com a 6= 0. Note que, se b = 0, a função afim y = ax+b se transforma na função linear y = ax. Podemos dizer,

então, que a função linear é uma particular função afim.

Observação: O gráfico cartesiano da função f (x) = ax+b com a 6= 0 é uma reta.

Exemplo 61 Constuir o gráfico da função y = 2x+1.

Considerando que o gráfico da função afim é uma reta, vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os

correspondentes valores de y.

x y = 2x+1

0 2(0)+1= 1

1 2(1)+1= 3

y

x

(1 , 3)3

1

(0 , 1)

52

O gráfico da função acima é a reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,3).

Exemplo 62 Constuir o gráfico da função y =−x+3.

x y =−x+3

0 −(0)+3 = 3

1 −(1)+3 = 2

y

x

(0 , 3)

2

1

(1 , 2)

O gráfico da função acima é a reta que passa pelos pontos (0,3) e (1,2).

6.8.1 Imagem:

O conjunto imagem da função afim f : R→ R definida por f (x) = ax+b, com a 6= 0, é R.

Assim, qualquer que seja y ∈ R existe x =y−b

a∈ R, tal que:

f (x) = f(

y−ba

)= a

(y−b

a

)+b = y (22)

6.8.2 Coeficientes da função afim:

O coeficiente a da função f (x) = ax+b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada

no plano cartesiano. O coeficiente b da função f (x) = ax+b é denominado coeficiente linear.

Exemplo 63 Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da função

y =32+1:

Coeficiente angular:32

Coeficiente linear: 1

Observe que, se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o

eixo y.

53

6.8.3 Zero da função afim:

Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0.

x zero de y = f (x)⇔ f (x) = 0. (23)

Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1o grau:

ax+b = 0

que representa uma única solução x =−ba

.

Exemplo 64 Determine o zero da função f (x) = 2x−1:

2x−1 = 0

2x = 1

x =12

Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x.

Construindo o gráfico da função y = 2x−1, podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x em x =12

, isto é,

no ponto(

12,0)

.

x y = 2x−1

0 2(0)−1 =−1

1 2(1)−1 = 1

y

x

(1 , 1)

( 1 , 02 (

(0 ,-1)

6.8.4 Sinal da função afim:

Considerando que x =−ba

, zero da função afim f (x) = ax+b, é o valor de x para o qual f (x) = 0, examinemos,

então, para que valores ocorre f (x)> 0 ou f (x)< 0:

54

1o caso: a > 0

f (x) = ax+b > 0 ⇔ ax >−b ⇔ x >−ba

(24)

f (x) = ax+b < 0 ⇔ ax <−b ⇔ x <−ba

(25)

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f (x) = ax+b, com a > 0, é:

x

ba

0

Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. Lem-

brando que na função afim f (x) = ax+b o gráfico cartesiano é uma reta e, se o coeficiente angular a é positivo,

a função é crescente.

Construindo o gráfico de f (x) = ax+b com a > 0:

x

ba

2o caso: a < 0

f (x) = ax+b > 0 ⇔ ax >−b ⇔ x <−ba

(26)

f (x) = ax+b < 0 ⇔ ax <−b ⇔ x >−ba

(27)

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f (x) = ax+b, com a < 0, é:

x

ba

0

Podemos analisar o sinal da função f (x) = ax+b com a < 0, construindo o gráfico cartesiano. Lembrando que

neste caso a função é decrescente.

xba

55

Exemplo 65 Estudar os sinais da função f (x) = 2x−1:

f (x) = 0

2x−1 = 0

2x = 1

x =12

a = 2 ⇒ a > 0 e −a < 0.

Logo:

• Para x >12⇒ f (x)> 0 (sinal de a)

• Para x <12⇒ f (x)< 0 (sinal de -a)

y

x1

2

Exemplo 66 Estudar os sinais da função f (x) =−2x+4:

f (x) = 0

−2x+4 = 0

−2x =−4

x = 2

a =−2 ⇒ a < 0 e −a > 0. Logo:

• Para x > 2 ⇒ f (x)< 0 (sinal de a)

• Para x < 2 ⇒ f (x)> 0 (sinal de −a)

y

x2

f(x) = 2x + 4

56

6.9 Função Quadrática:

Uma aplicação de f de R em R recebe o nome de função quadrática ou função do 2o grau quando associa a

cada x ∈ R o elemento (ax2 +bx+ c) ∈ R, em que a, b, c são números reais dados e a 6= 0.

f (x) = ax2 +bx+ c (28)

com a 6= 0.

Exemplo 67 f (x) = x2−3x+2 em que a = 1, b =−3, c = 2

Exemplo 68 f (x) = 2x2 +4x−3 em que a = 2, b = 4, c =−3

Exemplo 69 f (x) = x2−4 em que a = 1, b = 0, c =−4

Exemplo 70 f (x) =−2x2 +5x em que a =−2, b = 5, c = 0

Observação: O gráfico da função quadrática é uma parábola.

Exemplo 71 Constuir o gráfico da função y = x2−1.

x y = x2−1

−3 (−3)2−1 = 8

−2 (−2)2−1 = 3

−1 (−1)2−1 = 0

0 (0)2−1 =−1

1 (1)2−1 = 0

2 (2)2−1 = 3

3 (3)2−1 = 8

y

x(1 , 0)

(0 ,-1)

( 0,-1 )

(2 , 3)( 3,-2 )

(3 , 8)( 8,-3 )

57

Exemplo 72 Constuir o gráfico da função y =−x2 +1.

x y =−x2 +1

−3 −(−3)2 +1 =−8

−2 −(−2)2 +1 =−3

−1 −(−1)2 +1 = 0

0 −(0)2 +1 = 1

1 −(1)2 +1 = 0

2 −(2)2 +1 =−3

3 −(3)2 +1 =−8

y

x

(1 , 0)

(0 , 1)

( 0,-1 )

( 3,-2 )( 3,-2 )-

( 8,-3 )- ( 8,-3 )

6.9.1 Concavidade:

A parábola representativa da função quadrática y = ax2 + bx+ c pode ter a concavidade voltada para cima ou

para baixo.

• Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.

y

x

• Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

58

y

x

6.9.2 Zeros da função quadrática:

Os zeros ou raízes da função quadrática f (x) = ax2 + bx+ c são os valores de x reais tais que f (x) = 0 e,

portanto, as soluções da equação do 2o grau:

ax2 +bx+ c = 0

Observamos que a existência de raízes reais para a equação do 2o grau ax2 + bx+ c = 0 fica condicionada ao

fato de√

∆ ser real. Assim, temos três casos a considerar:

1o) ∆ > 0, a equação apresentará duas raízes distintas, que são:

x′ =−b+

√∆

2ae x′′ =

−b−√

∆2a

(29)

2o) ∆ = 0, a equação apresentará duas raízes iguais, que são:

x′ = x′′ =−b2a

(30)

3o) ∆ < 0, a equação não apresenta raízes reais.

Significado geométrico das raízes: Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática

são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.

Exemplo 73 Construir o gráfico da função y = x2−4x+3.

Notamos, que a parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da equação

x2−4x+3 = 0.

59

y

x

(3 , 0)

(2 ,-1)

(4 , 3)( 3,0 )

(5 , 8)( 8,-1 )

(1 , 0)

6.9.3 Máximo e mínimo:

Dizemos que o número yM ∈ Im( f ) é o valor máximo da função y = f (x) se, e somente se, yM ≥ y para qualquer

y ∈ IM( f ). O número xM ∈ D( f ) tal que yM = f (xM) é chamado ponto de máximo da função. Analogamente,

dizemos que o número ym ∈ Im( f ) é o valor mínimo da função y = f (x) se, e somente se, ym ≤ y para qualquer

y ∈ Im( f ). O número xm ∈ D( f ) tal que ym = f (xm) é chamado ponto de mínimo da função.

y

x

valormínimo

ponto de mínimo

ym

xm

Im(f

)

V

y

x

valormáximo

y

xM

Im(f

)

M V

ponto de máximo

• Se a < 0, a função quadrática y = ax2 +bx+ c admite o valor máximo yM =− ∆4a

para xM =− b2a

.

• Se a > 0, a função quadrática y = ax2 +bx+ c admite o valor máximo ym =− ∆4a

para xm =− b2a

.

Assim, observamos que o Vértice da parábola é representado pelo ponto V =

(− b

2a,− ∆

4a

).

Exemplo 74 Na função real f (x) = 4x2−4x−8, temos:

a = 4

60

b =−4

c =−8

∆ = b2−4ac = (−4)2−4(4)(−8) = 144

Como a = 4 > 0, a função admite um valor mínimo:

ym =− ∆4a

=−1444(4)

=−144

16=−9

xm =− b2a

=−(−4)

2(4)=

48=

12

Exemplo 75 Na função real f (x) =−x2 + x+34

, temos:

a =−1

b = 1

c =34

∆ = b2−4ac = (1)2−4(−1)(

34

)= 4

Como a =−1 < 0, a função admite um valor máximo:

yM =− ∆4a

=−4

4(−1)=−4−4

= 1

xM =− b2a

=−1

2(−1)=−1−2

=12

6.9.4 Imagem:

Determinamos a imagem da função quadrática, com o auxílio das seguintes fórmulas:

a > 0 ⇒ y≥− ∆4a

, ∀x ∈ R (31)

a < 0 ⇒ y≤− ∆4a

, ∀x ∈ R (32)

ou ainda:

a > 0 ⇒ Im( f ) ={

y ∈ R|y≥− ∆4a

}(33)

61

a < 0 ⇒ Im( f ) ={

y ∈ R|y≤− ∆4a

}(34)

Exemplo 76 Obter a imagem da função f de R em R definida por

f (x) = 2x2−8x+6.

Temos:

a = 2

b =−8

c = 6

∆ = b2−4ac = (−8)2−4(2)(6) = 16

− ∆4a

=−164(2)

=−2

Como a = 2 > 0, temos:

Im( f ) = {y ∈ R|y≥−2}

y

x

-2

2

Exemplo 77 Obter a imagem da função f de R em R definida por

f (x) =−x2

3+2x− 5

3.

Temos:

a =−13

62

b = 2

c =−53

∆ = b2−4ac = (2)2−4(−1

3

)(−5

3

)=

169

− ∆4a

=−16

9

4(−1

3

) =43

Como a =−13< 0, temos:

Im( f ) ={

y ∈ R|y≤ 43

}y

x3

4

3

6.9.5 Sinal da função quadrática:

A função f (x) = ax2 +bx+ c, quando ∆ < 0, tem o sinal de a para todo x ∈ R:

a > 0 ⇒ f (x)> 0, ∀x ∈ R (35)

a < 0 ⇒ f (x)< 0, ∀x ∈ R (36)

E sua representação gráfica caracteriza-se por:

x

f(x) > 0

xf(x) < 0

Exemplo 78 f (x) = x2−2x−2 apresenta ∆ = (−2)2−4(1)(2) =−4 < 0 e, como a = 1 > 0, concluimos:

63

f (x)> 0, ∀x ∈ R

Exemplo 79 f (x) =−x2+x−1 apresenta ∆ = (1)2−4(−1)(−1) =−3 < 0 e, como a =−1 < 0, concluimos:

f (x)< 0, ∀x ∈ R

A função f (x) = ax2 + bx+ c, quando ∆ = 0, tem o sinal de a para todo x ∈ R−{x′}, sendo x′ = − b2a

zero

duplo de f (x):

a > 0 ⇒ f (x)≥ 0, ∀x ∈ R (37)

a < 0 ⇒ f (x)≤ 0, ∀x ∈ R (38)


x

f(x) > 0

= xx1 2

f(x) > 0

xf(x) < 0

= xx1 2

f(x) < 0

Exemplo 80 f (x) = x2−2x+1 apresenta ∆= (−2)2−4(1)(1) = 0, então f (x) tem um zero duplo x′=− b2a

=

−(−2)2(1)

= 1 e, como a = 1 > 0, concluímos:

f (x)> 0 , ∀x ∈ −{1}

f (x) = 0 se x = 1

Exemplo 81 f (x) =−2x2 +8x−8 apresenta ∆ = (8)2−4(−2)(−8) = 0, então f (x) tem um zero duplo x′ =

− b2a

=−8

2(−2)= 2 e, como a =−2 < 0, concluímos:

f (x)< 0 , ∀x ∈ −{2}

f (x) = 0 se x = 2

64

A função f (x) = ax2 +bx+ c, quando ∆ > 0, admite que:

1. O sinal de f (x) é o sinal de a para todo x, tal que x < x′ ou x > x′′.

2. O sinal de f (x) é o sinal de -a para todo x, tal que x′ < x < x′′.


x

f(x) > 0f(x) > 0

f(x) < 0x1 x2

xf(x) > 0x1 x2

f(x) < 0 f(x) < 0

Exemplo 82 f (x) = x2− x− 6 apresenta ∆ = (−1)2− 4(1)(−6) = 25 > 0, então f (x) tem dois zeros reais e

distintos:

x′ =−b−

√∆

2a=−(−1)−5

2(1)=−2 e x′′ =

−b+√

∆2a

=−(−1)+5

2(1)= 3

e, como a = 1 > 0, concluímos que:

f (x)> 0 para x <−2 ou x > 3

f (x) = 0 para x =−2 ou x = 3

f (x)< 0 para −2 < x < 3

Exemplo 83 f (x) =−2x2 +3x+2 apresenta ∆ = (3)2−4(−2)(2) = 25 > 0, então f (x) tem dois zeros reais

e distintos:

x′ =−b−

√∆

2a=−(3)−5

2(−2)= 2 e x′′ =

−b+√

∆2a

=−(3)+5

2(−2)=−1

2

e, como a =−2 < 0, concluímos que:

65

f (x)< 0 para x <−12

ou x > 2

f (x) = 0 para x =−12

ou x = 2

f (x)> 0 para −12< x < 2

6.10 Polinômios

Chama-se expressão polinomial na incógnita real x as expressões que possuem a forma

anxn +an−1xn−1 +an−2xn−2 + · · ·+a2x2 +a1x+a0,

onde an,an−1,an−2, · · · ,a2,a1,a0 ∈ R e n ∈ N.

Funções Polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Ou seja, toda função que possui a forma

f (x) = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a2x2 +a1x+a0,

é denominada função polinomial de grau n, onde an 6= 0.

Exemplo 84 f (x) = x3−6x2 + x−1 é uma função de grau 3.

Se o grau de uma função for 0, então f (x) = a0.

Exemplo 85 f (x) = 5.

6.10.1 Definição de Polinômio

Polinômio é o nome dado a expressão que define a função polinomial. Assim, na função f (x) = 2x+ 1, o

polinômio é a expressão 2x+1. Na função g(x) = x2−3x−4, o polinômio é x2−3x−4.

Observação 6.1

• Grau 0→ polinômio constante;

• Grau 1→ polinômio linear (função afim, caso a0 = 0);

• Grau 2→ polinômio quadrático;

66

• Grau 3→ polinômio cúbico;

• Grau n→ polinômio de grau n.

6.10.2 Raiz (ou zero) de um Polinômio

Quando p(α) = 0, o número α é denominado raiz de p(x). Por exemplo, no polinômio p(x) = x2− 6x+ 8,

temos p(2) = 0. Logo, 2 é raiz desse polinômio.

Exemplo 86 Dado o polinômio p(x) = (m2−1)x3 +(m+1)x2− x+4, com m ∈ R), discuta o seu grau.

Observe que se m2−1 = 0 temos que m2 = 1. Logo, m =±1. Além disso, no caso em que m =−1 temos que

m+1 = 0, ou seja:

• Se m 6= 1 e m 6=−1, o polinômio será do 3ograu.

• Se m = 1, o polinômio será do 2ograu.

• Se m =−1, o polinômio será do 1ograu.

Exemplo 87 Seja p(x) um polinômio do 2ograu. Sabendo-se que p(−1) = 12, p(0) = 6 e que 2 é uma raiz de

p(x), vamos determinar o polinômio e calcular p(5).

Como p(x) é um polinômio do 2◦ grau, sua forma será p(x) = ax2 +bx+ c. Portanto,

p(2) = 0⇐⇒ a(2)2 +b(2)+ c = 0⇐⇒ 4a+2b+ c = 0.

Analogamente,

p(−1) = 12⇐⇒ a(−1)2 +b(−1)+ c = 12⇐⇒

a−b+ c = 12 e p(0) = 6⇐⇒ a(0)2 +b(0)+ c = 6⇐⇒ c = 6.

Resumindo:4a+2b+ c = 0

a−b+ c = 12

c = 6

Substituindo c = 6, temos: 4a+2b = −6 ⇐⇒ 2a+b = −3

a−b = 6 ⇐⇒ a−b = 6

Dai, obtemos a = 1 e b =−5. Escreve-se então:

67

p(x) = ax2 +bx+ c = x2−5x+6.

Para calcular p(5), basta substituir x por 5. Ou seja:

p(5) = (5)2−5.5+6⇐⇒ p(5) = 25−25+6 = 6⇐⇒ p(5) = 6.

6.10.3 Igualdade de Polinômios

Dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus valores numéricos são iguais para todo α per-

tencente aos R. Isso ocorre quando possuem o mesmo grau e os coeficientes dos termos de mesmo grau são

iguais.

p(x) = q(x)⇔ p(α) = q(α) para todo α ∈ R

Assim, dados os polinômios p(x) = ax3+bx2+cx+d e q(x) = 2x3+5x2−4x+3, temos p(x) = q(x)⇐⇒ a =

2,b = 5,c =−4 e d = 3.

Se P e Q são polinômios idênticos, escreve-se P = Q. A expressão P = Q é denominada identidade.

Exemplo 88 Determinar os valores de a,b,c,d,e de modo que os polinômios p(x) = ax4 + 5x2 + dx− b e

g(x) = 3x4 +(b−2)x3 +(2c−1)x2 + x+ e sejam iguais.

Para que p(x) = g(x), devemos ter:

a = 3

b−2 = 0⇐⇒ b = 2

2c−1 = 5⇐⇒ c = 3

d = 1

e =−b =⇒ e =−2

6.10.4 Operações com Polinômios

Por meio de exemplos, vamos retomar operações conhecidas no estudo de expressões algébricas, como adição,

subtração e multiplicação de polinômios, além de multiplicação de um polinômio por um número real. Em

seguida, estudaremos mais detalhadamente a divisão de polinômios.

1. Se p(x) = 3x2 +2x−1 e q(x) =−x3 +4x2−2x−5, temos:

p(x)+q(x) = 3x2 +2x−1− x3 +4x2−2x−5

68

p(x)+q(x) =−x3 +7x2−6

2. Se p(x) = 3x2−4x+1 e q(x) = 5x2−3x+4, temos:

p(x)−q(x) = 3x2−4x+1−5x2 +3x−4

p(x)−q(x) =−2x2− x−3

3. Dado p(x) = 2x3−4x2 +5x−3, temos:

7.p(x) = 7.(2x3−4x2 +5x−3)

7.p(x) = 14x3−28x2 +35x−21

4. Dados p(x) = 3x−4 e q(x) =−2x+5, temos:

p(x).q(x) = (3x−4).(−2x+5)

p(x).q(x) = 6x2 +23x−20

6.10.5 Divisão de Polinômios

Dados dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinômios

q(x) e r(x), que satisfaçam as seguintes condições:

• p(x) = h(x).q(x)+ r(x)

• o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o grau do h(x) ou então r(x) = 0.

Assim, dizemos que:

• p(x) é o dividendo;

• h(x) é o divisor;

• q(x) é o quociente;

• r(x) é o resto.

Ou seja,

dividendo divisor

· · · quociente

resto⇐⇒ quociente. divisor+resto = dividendo.

69

Quando temos r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, p(x) é divisível por h(x) ou h(x) é divisor de

p(x).

Se h(x) é divisor de p(x)⇐⇒ r(x) = 0

Verificando =⇒ quociente.dividor + resto = dividendo

Exemplo 89 Dada a divisão de polinômios

+ 10x2 − 43x + 40 2x − 5

− 10x2 + 25x 5x − 9

0 − 18x + 40

+ 18x − 45

− 5

note que

(2x−5)(5x−9)+(−5)

10x2−18x−25x+45−5

10x2−43x+40

6.10.6 Divisão de um Polinômio por um Binômio da forma ax+b

Ao calcular o resto da divisão de P(x) = 4x2−2x+3 por D(x) = 2x−1, tem-se:

+ 4x2 − 2x + 3 2x − 1

− 4x2 + 2x 2x

0 + 3

Logo: R(x) = 3

A raiz do divisor é 2x−1 = 0⇐⇒ x = 1/2.

Agora calculamos P(x) para x = 1/2:

P(1/2) = 4(1/4)−2(1/2)+3 =⇒ P(1/2) = 3.

Observe que R(x) = 3 = P(1/2). Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor

numérico de P(x) para x = 1/2, isto é, a raiz do divisor.

70

6.10.7 Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a)

Note que -b/a é raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2 +5x−1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1 = 0⇐⇒ x =−1.

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(−1). Logo

P(−1) = (−1)2 +5.(−1)−1⇐⇒ P(−1) =−5 = R(x).

Resposta: R(x)=-5.

6.10.8 Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x) = 2x3 +5x2− px+2 seja divisível por x−2.

Resolução:

Se P(x) é divisível por x−2, então P(2) = 0. Logo

P(2) = 0⇐⇒ 2.8+5.4−2p+2 = 0⇐⇒ 16+20−2p+2 = 0

Logo, a resposta é p = 19.

6.10.9 Divisão de um Polinômio pelo Produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x−a)(x−b),

sabendo que os restos da divisão de P(x) por (x−a) e por (x−b) são, respectivamente, r1 e r2.

Temos:

71

a é a raiz do divisor (x−a), portanto P(a) = r1. (I)

B é a raiz do divisor (x−b), portanto P(b) = r2. (II)

E para o divisor (x−a)(x−b) temos P(x) = (x−a)(x−b)Q(x)+R(x)

O resto da divisão de P(x) por (x−a)(x−b) é no máximo do 1ograu, pois o divisor é do 2ograu, logo R(x) =

cx+d.

Da equação dada anteriormente, temos que P(x) = (x−a)(x−b)Q(x)+ cx+d. Resolvendo:

x = a⇐⇒ P(a) = c(a)+d (III)

x = b⇐⇒ P(b) = cb+d (IV)

Das esquações (I), (II), (III) e (IV) temos: ca+d = r1

cb+d = r2

Resolvendo o sistema obtemos:

c =r1− r2

a−be d =

ar2−ar1

a−b, com a = b

Logo: R(x) =r1− r2

a−bx+

ar2−ar1

a−b= 0+0 = 0.

Observação 6.2 Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x− a1),(x− a2),...,(x− an) então P(x) é divisível

pelo produto (x−a1)(x−a2)...(x−an).

Exemplo 90 Um polinômio P(x) dividido pelo termo (x) dá resto 6 e dividido pelo termo (x− 1) dá resto 8.

Qual o resto da divisão de P(x) por x(x−1)?

Resolução:

0 é raiz do divisor (x), portanto P(0) = 6 (I)

1 é raiz do divisor (x−1), portanto P(1) = 8 (II)

E para o divisor x(x−1) temos P(x) = x(x−1)Q(x)+R(x) (III)

O resto da divisão de P(x) por x(x−1) é no máximo do 1o grau, pois o divisor é do 2o grau. Logo R(x) = ax+b.

72

2 3 -5 1

RAIZ DO DIVISOR

-2

COEFICIENTES DE P(x)

-3.(2) 5 1.(2) 1 -3.(2) 2

3 1 3 4

COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x) RESTO

Da equação (III) temos que P(x) = x(x−1)Q(x)+ax+b.

Atribuindo

x = 0⇒ P(0) = a(0)+b⇒ P(0) = b (IV)

x = 1⇒ P(1) = a(1)+b⇒ P(1) = a+b (V)

Das equações (I), (II), (IV) e (V) temos que b = 6

a+b = 8

Logo, b = 6 e a = 2.

Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6.

Resposta: R(x) = 2x+6

6.10.10 O dispositivo Briot-Ruffini

Este dispositivo serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo 91 Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3−5x2 + x−2 por (x−2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x) = 3x2 + x+3 e R(x) = 4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1. Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte em cima da grade.

2. O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

73

3. Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2o

coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4. Multiplicamos a raiz pelo número colocado abaixo do 2o coeficiente e somamos o produto com o 3o

coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5. Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda

deste serão os coeficientes do quociente.

6.10.11 Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1o caso: O polinômio é de grau 2.

De uma forma geral, o polinômio de 2o grau P(x) = ax2 +bx+ c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decom-

posto em fatores do 1o grau, da seguinte forma:

ax2 +bx+ c = a(x− r1)(x− r2)

1. Exemplo 92 Fatorar o polinômio P(x) = x2−4.

Resolução: Fazendo x2−4 = 0, obtemos as raízes r1 = 2 e r2 =−2.

Logo: x2−4 = (x−2)(x+2).

2. Exemplo 93 Fatorar o polinômio P(x) = x2−7x+10.

Resolução: Fazendo x2−7x+10 = 0, obtemos as raízes r1 = 5 e r2 = 2.

Logo: x2−7x+10 = (x−5)(x−2).

2ocaso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3ograu, podemos decompô-lo num produto de um polinômio

do 1ograu por um polinômio do 2ograu e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo 94 Decompor em fatores do 1ograu o polinômio 2x3− x2− x.

Resolução:

74

2x3− x2− x = x.(2x2− x−1)→ colocando x em evidência.

Fazendo x.(2x2− x−1) = 0 obtemos: x = 0 ou 2x2− x−1 = 0.

Uma das raízes já encontramos (x = 0).

As outras duas saem da equação: 2x2− x−1 = 0⇒r1 = 1 e r2 =−1/2.

Portanto, o polinômio 2x3− x2− x, na forma fatorada é:

2.x.(x-1).(x+(1/2))

Generalizando, se o polinômio P(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0 admite n raízes r1,r2, ...,rn, podemos

decompô-lo em fatores da seguinte forma:

anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 = an(x− r1)(x− r2)...(x− rn)

Observação 6.3 1. Se duas, três ou mais raízes forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

2. Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x− r1)2

e não por (x− r1)3.

6.11 Função Exponencial

Para estudarmos funções exponenciais devemos ter conhecimento sobre potenciação, principalmente suas pro-

priedades.

Propriedades da Potenciação:

Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas:

• aman = am+n (propriedade fundamental);

• am

an = am−n (para a 6= 0 e m > n);

• (ab)m = ambn

•(a

b

)m=

am

bm (para b 6= 0)

• (am)n = amn

Convenção a0 = 1

Qual deverá ser o valor de a0, com a 6= 0, mantendo-se válida a propriedade fundamental aman = am+n?

75

Vejamos:

a0a1 = a0+1 = a1

o que acarreta a0 = 1. Daí, convencionou-se que a0 = 1.

6.11.1 Definição de função exponencial

Dado um número real a (a > 0 e a 6= 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de R em

R∗+ definida por f (x) = ax ou y = ax.

Vejamos alguns exemplos:

• f (x) = 3x

• f (x) =(

12

)x

• f (x) = (√

2)x

6.11.2 Gráfico

Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais, a primeira com a > 1 e a segunda com 0 < a < 1 e

observar algumas propriedades.

• f (x) = 2x ou y = 2x

→ → → → →

x −3 −2 −1 0 1 2 3

2x 2−3 2−2 2−1 20 21 22 23

y = 2x 18

14

12 1 2 4 8

→ → → → →

• f (x) =(

12

)x

ou y =(

12

)→ → → → → → → →

x −3 −2 −1 0 1 2 3(12

)x(1

2)−3 (1

2)−2 (1

2)−1 (1

2)0 (1

2)1 (1

2)2 (1

2)3

y =(1

2

)x 8 4 2 1 12

14

18

76

y

x

0

1

1-2- 1 23- 3 4

2

3

4

8

f(x) = 2x

21

41

81

y

x

0

1

1-2- 1 23- 3 4

2

3

4

8

f(x) =2

x

( )1

← ← ← ← ← ← ← ←

Propriedades:

77

Pela observação das tabelas e gráficos podemos concluir que, para uma função exponencial:

• D( f ) = R, CD( f ) = R∗+ e Im( f ) = R∗+;

• o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0,1);

• o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV;

• para a > 1 a função é crescente (x1 > x2⇒ ax1 > ax2);

• para 0 < a < 1, a função é decrescente (x1 > x2⇒ ax1 < ax2)

6.11.3 Equações Exponenciais

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns exemplos:

4x = 32(

13

)x

= 81 25x+1 =√

5x 22x = 2x +12

Uma estratégia para resolver equações exponenciais consiste em reduzir os membros da equação a potências

de mesma base a (a > 0,a 6= 1) e aplicar a propriedade:

ax1 = ax2 ⇔ x1 = x2

Exemplo 95 Vejamos qual a solução das seguintes equações:

• 3x = 27

3x = 33⇒ x=3

•(

12

)x

= 3√

4

(2−1)x = 413 ⇒ 2−x = (22)

13 ⇒ 2−x = 2

23 ⇒−x =

23⇒ x =−2

3

Exemplo 96 Vamos resolver as seguintes equações:

• 9x+1 =1

279x+1 =

127⇒ (32)x+1 =

133 ⇒ 32x+2 = 3−3⇒ 2x+2 =−3⇒ 2x =−5⇒ x =−5

2

• 2x+2 +2x−1 = 18

2x+2 +2x−1 = 18⇒ 2x22 +2x.2−1 = 18

Colocando o fator comum 2x em evidência:

2x(22 +2−1) = 18⇒ 2x =189

= 4 = 22⇒ x = 2

78

6.11.4 Inequações Exponenciais

Desigualdades como as seguintes são chamadas de inequações exponenciais:

3x−1 > 27 25x <√

5 8x−1 6 116x

Para resolvê-las, devemos nos lembrar do fato de que a função exponencial f (x) = ax é crescente para a > 1 e

decrescente para 0 < a < 1, ou seja:

ax1 < ax2 ⇒ x1 < x2 (para a > 1)

ax1 < ax2 ⇒ x1 > x2 (para 0 < a < 1)

Exemplo 97 Vejamos como se resolvem as seguintes inequações:

• 2x+7 < 32

2x+7 < 32⇒ 2x+7 < 25⇒ x+7 < 5⇒ x <−2

Logo, sendo x pertencente aos reais, x <−2.

•(

12

)x+1

> 4x+3(12

)x+1

> 4x+3⇒ (2−1)x+1 > (22)x+3⇒ 2−x−1 > 22x+6⇒−x−1 > 2x+6⇒−3x > 7 >⇒ x 6−73

Logo, sendo x pertencente aos reais, x 6−73

.

6.11.5 Aplicações da função exponencial

O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se

apresenta na forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em:

f (x) =C.akx

Outra observação importante é que na expressão(

1+1n

)n

, quando n aumenta, a expressão tende ao número

irracional e = 2,7182818284...

Uma função exponencial que tem muitas aplicações na Matemática é dada por f (x) = ex.

79

6.12 Função Logarítmica

6.12.1 Definição de logaritmo de um número

Considere as seguintes questões. A que número x deve-se elevar:

a) o número 2 para obtermos 8?

b) o número 3 para obtermos1

81?

a) 2x = 8⇔ 2x = 23⇔ x = 3

Chamamos o valor 3 de logaritmo do número 8 na base 2. A notação usada é log2 8 = 3.

Assim:

log2 8 = 3⇔ 23 = 8

b) 3x =1

81⇔ 3x =

134 ⇔ 3x = 3−4⇔ x =−4

Chamamos o valor -4 de logaritmo do número1

81na base 3. A notação usada é log3

181

=−4.

6.12.2 Definição

Dados os números reais positivos a e b, com b 6= 1, chama-se logaritmo de a, na base b, o número real c que

deve ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a.

logb a = c⇔ bc = a com a > 0, b > 0 e b 6= 1

Nesta equivalência temos:

Forma logarítmica Forma exponencial

logb a = c

a : logaritmando

b : base do logaritmo

c : logaritmo

bc = a

a : potência

b : base da potência

c : expoente

Vejamos alguns exemplos:

• log3 81 = 4⇔ 34 = 81

• log 12

32 =−5⇔(

12

)−5

= 32

Observação 6.4 Veja que de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo : log3−81,

log10 0, log0 3, log−2 8 e log1 6. Experimente aplicar a definição nesses casos.

80

Observação 6.5 Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, log2 é o logaritmo de 2 na

base 10. Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs.

Outros exemplos:

Exemplo 98 Vamos calcular o valor de log 19

3√

3:

log 19

3√

3 = log3−2

(313

12

)= log3−2 3

32 =−3

4

Exemplo 99 Sabe-se que loga 25 = 2. Vamos determinar a.

O número a procurado deve ser positivo e diferente de 1 (1 6= a > 0).

loga 25 = 2⇒ a2 = 25⇒ a =±√

25⇒ a =±5

Logo, a = 5 (o valor -5 não deve ser considerado, pois a > 0).

Exemplo 100 Vamos determinar o número real A sabendo que A = log10 0,001+ log2116

:

A = log−310 + log2 2−4 =−3+(−4) =−7

6.12.3 Condições de existência de logaritmos

Já sabemos que a existência de um logaritmo, como por exemplo loga N, depende das seguintes condições:

• O logaritmando N deve ser um número positivo (N > 0).

• A base deve ser um número positivo e diferente de 1 (a > 0 e a 6= 1).

6.12.4 Consequências da definição de logaritmo

Para qualquer a > 0 e a 6= 1, temos:

81

1. loga 1 = 0 , pois a0 = 1.

2. loga a = 1 , pois a1 = a.

3. loga an = n , pois an = an.

4. aloga N = N , pois N > o.

Justificativa: loga N = x⇒ ax = N⇒ aloga N = N

5. loga x = loga y⇔ x = y , com x > 0 e y > 0.

Justificativa: se loga x = r e loga y = s, isto é, ar = x e as = y, temos:

(1) x = y⇒ ar = as⇒ r = s⇒ loga x = loga y

(2) loga x = loga y⇒ r = s⇒ ar = as⇒ x = y

Exemplo 101 Vamos calcular o valor de 2log5 10log2 5:

2log5 10log2 5 =(2log2 5)log5 10⇒ 5log5 10 = 10

Exemplo 102 Vamos calcular o valor de x tal que log2(x−2) = log2 9:

Condição de existência: x−2 > 0⇒ x > 2

log2(x−2) = log2 9⇒ (x−2) = 9⇒ x = 11

Como para x = 11, existem log2(x−2) e log2 9, a resposta é x=11.

6.12.5 Propriedades dos logaritmos

Vejamos algumas propriedades operatórias envolvendo logaritmos.

Propriedade 6.1 Logaritmo de um produto

Observe que:

• log2(4.8) = log2(2223) = log2 22+3 = 2+3 = 5

• log2 4+ log2 8 = log2 22 + log2 23 = 2+3 = 5

Dos itens acima podemos intuir que:

log2(4.8) = log2 4+ log2 8

82

De fato essa propriedade existe:

Numa mesma base positiva, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos

de cada um desse números:

loga(M.N) = loga M+ loga N

Propriedade 6.2 Logaritmo de um quociente

Observe que:

• log2

(164

)= log2

(24

22

)= log2 2(4−2) = 4−2 = 2

• log2 16− log2 4 = log2 24− log2 22 = 4−2 = 2

A partir dos itens intuimos que:

log2

(164

)= log2 16− log2 4

De fato, na mesma base positiva, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual a diferença entre

os logaritmos desses números.

logaMN

= loga M− loga N

Propriedade 6.3 Logaritmo de uma potência

Observe que:

log2 73 = log2(7.7.7) = log2 7+ log2 7+ log2 7︸︷︷︸= 3. log2 7

3 parcelas

Então:

log2 73 = 3. log2 7

De modo geral:

Numa mesma base positiva, o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da

base da potência.

loga MN = N loga M

83

6.12.6 Mudança de base

Em muitas questões matemáticas temos um logaritmo em uma base e temos de escrevê-lo em outra base. A

isso chamamos de mudança de base, Vejamos como proceder:

• log4 64 = 3, pois 43 = 64

• log2 64 = 6, pois 26 = 64

• log2 4 = 2, pois 22 = 4

Como 3 =62

, podemos escrever log4 64 =log2 64log2 4

.

De modo geral, consideramos logb N = p; loga N = q e loga b = r.

Então vemos que bp = N; aq = N e ar = b.

Fazendo substituições: N = aq = bp = (ar)p = arp.

Se aq = arp, então q = rp e daí p =qr

ou logb N =loga Nloga b

.

Então:

Para escrever o logb N usando logaritmos na base a, realizamos a mudança de base:

logb N =loga Nloga b

Assim, para calcular log2 8 conhecendo log10 8 e log10 2, fazemos log2 8 =log10 8log10 2

.

6.12.7 Função Logarítmica

6.12.8 Definição

A função g que associa a cada número real x > 0 o número real loga x, com a > 0 e a 6= 1, é chamada de função

logarítmica de base a e é indicada por g(x) = loga x, em que D(g) = R∗+ (Reais positivos) e Im(g) = R.

São exemplos de função logarítmica as funções de R∗+ em R definidas por:

• f (x) = log5 x

• g(x) = log3 x

• h(x) = log 14

x

84

6.12.9 Gráfico da função logarítmica

Observe os seguintes gráficos de função logarítmica:

x y = log2(x)14 -212 -11 02 14 2

Figura 1: Alguns pontos

y

x

0 2

1

2

f(x) = log2

x

4

1-

2-

(1 , 0 (

21

41

Figura 2: Gráfico

x y = log1/2(x)14 212 11 02 -14 -2


y

x0

2

1

2

f(x) = log x

4

1-

2-

(1 , 0 (

21

41

21

Figura 4: Gráfico

Pela observação dos gráficos da função logarítmica f (x) = loga x, conluímos que:

• o gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0);

• o gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III;

85

• quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2⇔ loga x1 > loga x2);

• quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2⇔ loga x1 < loga x2).

Uma relação importante

Observe a simetria que existe entre os gráficos das funções f (x) = ax e loga x em relação à bissetriz dos 1◦ e 3◦

quadrantes:

y

x

0 2

1

2

g(x) = log2

x

4

1-

2-

1

4

1-2-

f(x) = 2x

bissetriz

y

x

0 2

1

2

4

1-

2-

1

4

1-2-

bissetriz

f(x) =2

x

( )1

g(x) = log x21

86

6.12.10 Equações Logarítmicas

Vejamos alguns exemplos de equações logarítmicas, ou seja, equações nas quais a incógnita está no logarit-

mando ou na base do logaritmo.

Exemplo 103

log2(x−3)+ log2 x = 2

• condição de existência: x−3 > 0 e x > 0⇒ x > 3 e x > 0⇒ x > 3

• há dois modos diferentes de resolução:

a) log2(x−3)+ log2 x = 2⇒ log2 [(x−3)x] = 2

Usando a definição do logaritmo:

(x−3)x = 22⇒ x2−3x−4 = 0

∆ = 9+16 = 25

x′ = 4 e x” =−1

b) log2(x−3)+ log2 x = log2 22⇒ log2 [(x−3)x] = log2 4

(x−3)x = 4⇒ x2−3x−4 = 0

∆ = 25

x′ = 4 e x” =−1

• verificação: como a condição de existência é x > 3, então 4 pertence a solução e -1 não pertence.

Logo, S= {4}.

Exemplo 104 log2(x−6) = 3

• condição de existência: x−6 > 0⇒ x > 6

• log2(x−6) = 3⇒ 23 = x−6⇒ x−6 = 8⇒ x = 14

• verificação: a condição de existência é x > 6, logo 14 pertence a solução.

Então, S={14}.

Exercícios

Exercício 12 Qual o valor de log√2(log3 2log4 3)?

Exercício 13 A reta y = ax+2 intersecta a curva y = logx no ponto de abscissa 1. Qual é o valor de a?

87

6.13 Função Modular

O módulo ou valor absoluto de um número real x, indicado por |x|, é definido por:

|x|=

x, se x > 0

−x, se x < 0

Assim:

• se x é positivo ou zero, |x| é igual a x.

|2|= 2 |√

2|=√

2 |0|= 0∣∣∣∣14∣∣∣∣= 1

4

• se x é negativo, |x| é igual a -x.

|−2|=−(−2) = 2∣∣∣∣−1

3

∣∣∣∣=−(−13

)=

13

• |x−2|

→ |x−2|= x−2 se x−2 > 0, ou seja, se x > 2

→ |x−2|=−(x−2) = 2− x se x−2 < 0, ou seja, se x < 2

Geometricamente, interpretamos o módulo como distância. Por exemplo, |x| = 2 significa que o ponto X da

reta real está a uma distância 2 da origem.

x

-2 -1 0 1 2

x0

E, se a e b são, respectivamente, as abscissas dos pontos A e B sobre o eixo real, então |a−b| é igual à distância

dos pontos A e B.

0 A

a

B

b

| -a b |

Por exemplo, |x−1|= 2 significa que o ponto X de abscissa x está a uma distância 2 do ponto de abscissa 1:

x

0 1 2

x0

3 41-2-3-4-

Assim:

88

• x = 3 se x estiver à direita de 1 ou

• x =−1 se x estiver à esquerda de 1.

Exemplo 105 Vamos calcular o valor de |3− x|, quando x = 7.

|3− x|= |3−7|= |−4|=−(−4) = 4

6.13.1 Função Modular

Denomina-se função modular a função f, de R em R, tal que f (x) = |x|, ou seja:

f (x) =

x, para x > 0

−x, para x < 0

6.13.2 Gráfico da função modular

Vamos construir o gráfico da função f (x) = |x|:

• se x > 0⇒ f (x) = |x|= x

x y = |x|0 01 12 2


y

x

0 1 2

1

2

Figura 6: Gráfico

• se x < 0⇒ f (x) = |x|=−x

89

x y = f (x)

−1 2−2 2


y

x

0

1

2

1-2-

Figura 8: Gráfico

y

x

0

1

2

1-2- 1 2

Colocando as duas condições num só gráfico, temos:

D( f ) = R

Im( f ) = R∗+

6.13.3 Equações modulares

Equações modulares são aquelas em que a incógnita aparece dentro de módulos. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 106 Vamos resolver a equação |x2− x−1|= 1:

|x2− x−1|= 1⇔ x2− x−1 = 1 ou x2− x−1 =−1

• x2− x−1 = 1⇒ x2− x−2 = 0

∆ = 9

90

x′ = 2 e x′′ =−1

• x2− x−1 =−1⇒ x2− x = 0⇒ x(x−1) = 0⇒ x′ = 0 e x′′ = 1

S = {−1,0,1,2}

Exemplo 107 Vejamos qual é a solução da equação |3x−5|= |x+3|:

|3x−5|= |x+3| ⇔ 3x−5 = x+3 ou 3x−5 =−(x+3)

Resolvendo as equações obtidas, temos:

• 3x−5 = x+3⇒ 3x− x = 3+5⇒ 2x = 8⇒ x = 4

• 3x−5 =−(x+3)⇒ 3x−5 =−x−3⇒ 3x+ x =−3+5⇒ 4x = 2⇒ x =12

S={

12,4}

Exemplo 108 Vejamos qual é a solução da equação |3x−1|=−5:

Não existe módulo com valor negativo, logo não existe valor real para x.

S =∅

6.13.4 Inequações modulares

Observe que:

|x|< 4⇒ S = {x ∈ R|−4 < x < 4}

44-

números com módulo menor que 4

x

|x|> 4⇒ S = {x ∈ R|x <−4 ou x > 4}

44-

números com módulo maior que 4

x

De modo geral, dado um número real positivo a, temos:

|x|< a⇒ -a<x<a

|x|> a⇒ x<-a ou x>a

Usando essa propriedade, podemos resolver algumas inequações modulares.

91

Exemplo 109 Vejamos qual é a solução da inequação x−6 6 x.

Neste caso temos de resolver a inequação em três situações: para x < 0, x = 0 e x > 0. A solução da equação

será dada pela união das soluções de cada uma.

• x < 0⇒ |x−6|6 x⇒ não existe valor para x (módulo nunca é menor ou igual a um número negativo)

• x = 0⇒ |0−6|6 0⇒ 6 6 0 (impossível)

• x > 0⇒ |x−6|6 x⇒−x 6 x−6 6 x⇒

As condições x > 0, x > 3 e x ∈ R simultaneamente dão S3 = {x ∈ R|x > 3}.

Temos então S1 =∅, S2 =∅ e S3 = {x ∈ R|x > 3}.

A solução da inequação é dada por S = S1∪S2∪S3 = {x ∈ R|x > 3}.

92

7 Aplicações de Cálculo Diferencial e Integral

7.1 Modelando um furacão

Todos os anos, centros populacionais do mundo inteiro são assolados por furacões, e o objetivo de se

modelar um furacão é minimizar os danos e perdas de vidas emitindo alertas e previsões sobre furacões. Nesse

contexto, construiremos um modelo matemático simples de um furacão, usando princípios básicos de fluxo

fluido e propriedades dos campos vetoriais.

A partir disso, criaremos o modelo de um furacão e seus possíveis desdobramentos, velocidade e conse-

quências. Estudaremos o furacão Isaac que se desenvolve nas Bahamas.

Como os furacões são fluxos fluidos tridimensionais complicados, você precisa fazer muitas hipóteses

simplificadoras da estrutura de um furacão e propriedades do fluxo fluido. Consequentemente, você decide

considerar a umidade do Isaac como um fluido ideal, significando que ele é incompressível e sua viscosidade

pode ser ignorada. Um fluido imcompressível é aquele no qual a densidade é a mesma em todos os pontos e

não pode ser alterada por forças de compressão. A experiência mostrou que a água pode ser considerada como

um fluido incompressível, mas o vapor de água não. No entanto, a incompressibilidade é uma hipótese razoável

para um modelo básico de furacão, porque um furacão não está contido num recipiente fechado que poderia

gerar forças de compressão.

Todos os fluidos tem uma certa quantidade de viscosidade, que é uma resistência ao fluxo - óleo e melaço

possuem alta viscosidade, enquanto que a água, quase nenhuma em velocidades subsônicas. Assim, é razoável

ignorar a viscosidade num modelo básico. A seguir, decide-se admitir que o fluxo está em estado estacionário,

significando que a velocidade do fluido, em qualquer ponto, não varia com o tempo. Isso é razoavel para

períodos de tempos curtos e furacões que se movem e mudam vagarosamente. Finalmente, apesar dos furacões

serem fluxos tridimensionais, você decide modelar uma seção transversal horizontal de duas dimensões, de

modo que você faz a hipótese simplificadora de que o fluido na seção transversal flui horizontalmente.

O primeiro objetivo é determinar uma fórmula explícita para o campo de velocidade F(x,y) do furacão

Isaac, assim você começa introduzindo um sistema de coordenadas retangulares com origem no olho do furacão

e o eixo y apontando para o norte. Além disso, com base em conhecimentos de teoria da metereologia, você

decide construir o campo de velocidade do Isaac a partir do campos de velocidade de fluxos mais simples - um

“fluxo vórtice” F1(x,y) anti-horário, no qual o fluido flui no sentido anti-horário em círculos concêntricos em

torno do olho e um “fluxo poço” F2(x,y), no qual o fluido flui em linas retas na direção de um poço no olho.

Uma vez determinadas as fórmulas para F1(x,y) e F2(x,y), seu plano é usar o princípio da superposição da

93

dinâmica dos fluidos para expressar o campo de velocidade do Isaac como F(x,y) = F1(x,y)+F2(x,y).

7.1.1 Modelo de Fluxo Vórtice

Um fluxo vórtice anti-horário de um fluido ideal em torno da origem tem quatro características definido-

ras:

1. O vetor de velocidade num ponto (x,y) é tangente ao círculo centrado na origem e que passa pelo ponto

(x,y).

2. A direção do vetor velocidade no ponto (x,y) indica um movimento no sentido anti-horário.

3. A rapidez do fluido é constante nos círculos centrados na origem.

4. A rapidez do fluido ao longo de um círculo é inversamente proporcional ao raio do círculo (e portanto, a

velocidade tende para +∞ quando o raio do círculo tende para zero).

Em dinâmica dos fluidos, a potência k de um fluxo vórtice é definida como sendo 2π vezes a rapidez do

raio fluido ao longo do círculo unitário. Se a potência de um fluxo vórtice for conhecida, então a rapidez do

fluido ao longo de qualquer outro círculo pode ser calculada, visto que a rapidez é inversamente proporcional

ao raio do círculo. Portanto, seu primeiro objetivo é determinar uma fórmula para um fluxo vórtice F1(x,y) com

potência k dissipada.

Seja

F1(x,y) =−k

2π(x2 + y2)

(y→i −x

→j).

Vamos verificar que o campo acima é um modelo fluxo vórtice. Vamos supor que r = cte.

1. A circunferência −→r centrada na origem e que passa pelo ponto (x,y) é dada por −→r = x−→i + y

−→j .

Em coordenadas polares temos:

F1(r,θ) =−k2πr

(sin(θ)

→i −cos(θ)

→j)

−→r = r cos(θ)−→i + r sin(θ)−→j

Para concluir que a propriedade é satisfeita, basta verificar que F1 ·−→r = 0, ou seja, o campo F1 é ortogonal

a −→r .

2. Basta mostrar em um ponto, por exemplo (r,0), onde teremos F1(r,0) = −k2πr (0

→i −1

→j ) = k

2πr

→j

que não muda de sentido pois F1 tem derivada contínua e diferente de zero.

94

3. Basta mostrar que |F1|= cte.

|F1|=√

k2

4π2r2 (sin2(θ)+ cos2(θ)) =k

2πr. (39)

4. Como k = 2π, temos

|F1|=1r.

7.1.2 Modelo de Fluxo Poço

Um fluxo poço uniforme de fluido ideal na direção da origem tem quatro características definidoras:

1. O vetor de velocidade em cada ponto (x,y) é direcionado para a origem.

2. A rapidez do fluido é a mesma em todos os pontos de um círculo centrado na origem.

3. A rapidez do fluido num ponto é inversamente proporcional à sua distância da origem (de onde se deduz

que a rapidez tende para +∞,quando a distancia da origem tende para zero).

4. Há um poço na origem pelo qual o fluido sai do fluxo.

Como no caso do fluxo vórtice, a potência q de um fluxo escoado uniforme é definida como sendo 2π

vezes a rapidez do fluido nos pontos do circulo unitário. Se a potência de um fluxo escoador for conhecida então

a rapidez do fluido em qualquer ponto pode ser determinada usando-se o fato de que a rapidez é inversamente

proporcional à distancia da origem. Logo, seu objetivo é determinar uma fórmula para fluxo poço uniforme

com potência q especificada.

Seja

F2(x,y) =−q

2π(x2 + y2)

(x→i +y

→j). (40)

Em coordenadas polares temos:

F2(r,θ) =−q2πr

(cos(θ)

→i +sin(θ)

→j). (41)

Vamos verificar que este campo de velocidades é um modelo fluxo poço.

1. Precisa-se mostrar que→r (r,θ) e F2(r,θ) são paralelos e têm sentidos contrários. Sabemos que

→r (r,θ) =

r(cos(θ)→i +sin(θ)

→j ) e r = cte.

Basta mostrar que

→r ·F2 < 0 e ainda

→r ×F2 = 0.

95

Como→r ·F2 =

−q2π

(cos2(θ)+ sin2(θ)) =−q2π

< 0 e ainda

→r ×F2 =

−q2π

(cos(θ)sin(θ)− sin(θ)cos(θ)) = 0,

temos que esta propriedade é satisfeita.

2. Rapidez:

|F2|=q

2πr. (42)

3. Segue imediatamente da equação 42.

4. Basta verificar que

div(F2)∣∣∣(0,0)

=∂Fi

∂x+

∂Fj

∂y

∣∣∣(0,0)

= 0.

Ao fim do relatado acima encontramos para um modelo de furacão que combine um fluxo vórtice anti-

horário em torno da origem com potência k e um fluxo poço uniforme direcionado para a origem com potência

q:

F(x,y) =− 12π(x2 + y2)

[(qx+ ky)→i +(qy− kx)

→j ].

Podemos finalmente elaborar um modelo para o furação Isaac. Para obter dados que possibilitem determinar as

constantes k e q, você pode por exemplo ligar para a Filial de Suporte Técnico do Centro para obter informações.

Suponha que, a 20 km do olho a velocidade do vento tem um componente de 15 km/h na direção do olho e um

componente tangencial de 45 km/h no sentido anti-horário.

Neste caso temos: x = 20 e y = 0. Além disso, com as hipóteses acima temos q · 20 = 15⇒ q = 2015 = 4

3 . E

ainda, −k ·20 = 45⇒ k =−94 .

Portanto,

F(x,y) =− 18π(x2 + y2)

[(3x−9y)→i +(3y+9x)

→j ].

7.2 Pressão e Força de Fluidos

Utiliza-se a integração de forma a calcular a força exercida sobre um objeto submerso num fluido. Pode-

mos também expressar a pressão em função da profundidade, da seguinte forma:

p = wh,

onde h é a profundidade e w é a densidade do fluido, expresso em peso por volume.

96

A pressão age em cada ponto de um objeto na direção perpendicular à superfície do objeto naquele

ponto.

Tem-se também que a força F é dada por

F =pA

O método abaixo descrito pode ser usado para encontrar a força de um fluido num lado plano de qualquer

objeto submerso verticalmente (não inclinado) num fluido.

Sabendo que a profundidade do corpo vai de um ponto a até um ponto b e que dividimos o lado em N

partes temos que:

∆y =b−a

N.

Se ∆y for pequeno então a n-ésima faixa é praticamente retangular.

Então aceita-se que a força de fluido na lateral de um corpo é:

F = F1 +F2 +F3 + ...+FN .

Sendo assim F = ∑Ni=1 Fi

Fn = yn ≈ wyn f (yn)∆y = wyn f (yn)∆y.

Logo temos que F será:

F = ∑Nj=1 wy j f (y j)∆y = w

∫ ba y f (y)dy.

7.3 Trabalho

Conhecemos trabalho como a quantidade necessária de esforço para executar uma tarefa. Fisicamente,

essa palavra tem um significado que depende do conceito de força. De fato, sabemos que

F = ma.

Temos tambem que a aceleração a é a segunda derivada da posição em função do tempo. Dessa forma,

F = md2sdt2 .

Se a for constante então F será constante e, então,

97

W =Fd,

onde W é trabalho e d é distancia.

Obs: A unidade de W será em Joules(J).

Essa fórmula funciona para o caso de termos uma força constante, mas e se a força for variável? Para

resolvermos esse problema pegamos um intervalo de x = a à x = b e dividimos em sub-intervalos (∆x). Logo

a força em um ponto xi será f (xi). Se o N é grande então o ∆x é pequeno, como f é contínua, os valores não

variam muito no intervalo [xi−1;xi]. Em outras palavras, f é constante no intervalo, então o trabalho é dado pela

equação:

Wi ≈ f (xi)∆x.

Logo o trabalho total pode ser escrito como:

Wi ≈ ∑Ni=1 f (xi)∆x.

A aproximação é cada vez melhor, quanto maior o N, visto que dessa forma obteremos um ∆x menor,

obtendo assim uma melhor aproximação. Logo, definimos o trabalho feito no movimento de um objeto de a

até b como sendo o limite de quando N tende ao infinito.

W = limN→+∞ ∑Ni=1 f (xi)∆x =

∫ ba f (x)dx.

Exemplo 110 Um corpo tem sua força variando de acordo com o gráfico abaixo, calcule o trabalho realizado

pelo corpo de t = 0 à t = 8.

Resolução:

Para resolvermos o exemplo aplicaremos o que acima apuramos, aplicando a integral da função no inter-

valo correspondente.

Dividiremos em quatro trechos com intervalo 2.

De t = 0 à t = 2, a força não varia, logo, I =∫ 2

0 10dx.

De t = 0 à t = 4, a força apresenta um comportamento de reta, logo devemos calcular a função. Achando assim

II =∫ 4

2 (−5x+20)dx.

De t = 4 à t = 6, a força não varia, logo, III =∫ 6

4 0dx.

De t = 6 à t = 8, a força apresenta um comportamento de reta, logo devemos calcular a função. Achando assim

IV =∫ 8

6 (−52 x+15)dx.

Logo o trabalho total realizado será a soma das quatro parcelas.

98

W = I + II + III + IV

Resolvendo as integrais achamos o seguinte resultado:

W = 20+10+0−5 = 25J.

7.4 Funções Hiperbólicas e Cabos Pendentes

A função cosh(x) pode ser usada para descrever a forma de uma catenária. Para isso, devemos introduzir

um sistema xy de coordenadas.

Considerando o arco OP, onde temos O no ponto extremo inferior da catenária e P em um ponto qualquer

do meio da catenária, temos:

• T , como sendo a tensão que atua no ponto P, e forma um ângulo θ com o eixo x.

• H é a tensão na corda no ponto O, atuando horizontalmente.

• Q é o peso do trecho OP da corda, cujo comprimento é S, que age verticalmente para baixo.

Pelo somatório das forças nos eixos temos:

∑Fx =−H +T cosθ = 0 (43)

∑Fy =−Q+T sinθ = 0 (44)

Isolando T nas equações 43 e 44 e igualando-as temos:

tgθ =QH

Como

Q = ps,

onde p = Peso por unidade de corda e s = Comprimento do arco OP.

Temos:

tgθ =pH

s,

como p e H são constantes, entãopH

= K.

Sendo tgθ = dydx , obtém-se: dy

dx = K.

99

Diferenciando ambos os membros, temos:

d2ydx2 = K

dsdx

.

Por outro lado, temos:

dsdx

=

√1+[

dydx

]2.

Assim temos

d2ydx2 = K

√1+[

dydx

]2

.

Sendo essa última a Equação Diferencial da Catenária.

Tomaremosdydx

= p, o que nos leva a equação:

d pdx

= K√

1+ p2

d p√1+ p2

= Kdx

Integrando em ambos os lados teremos:

ln(

p+√

1+ p2)= Kx+C

Para x = 0, temos p(0) = y′(0) = 0. Assim C = 0.

eln(p+√

1+p2) = eKx,

p+√

1+ p2 = eKx.

Ou ainda: 1+ p2 = e2Kx−2p√

1+ p2− p2.

Como√

1+ p2 = eKx− p, temos:

1+ p2 = e2Kx−2p(eKx− p)− p2.

Isolando o p ficamos com:

p =eKx− e−Kx

2,

logo p = sinh(Kx).

Como p =dydx

, temos

100

dydx =

eKx−e−Kx

2 .

Integrando a equação acima temos, o resultado é:

y(x) = eKx+e−Kx

2K +C1

Para y(0) = 0, temos:

y(0) =1

2K(e0 + e0)+C1 = 0, C1 =

−1K

Logo temos como solução:

y(x) =1K

[eKx + e−Kx

2−1]

Então a solução da catenária é:

y(x) =1K[cosh(Kx)−1]

Podemos então, afirmar que é possível determinar a forma exata da curva assumida por uma corda flexível

de densidade uniforme, suspensa entre dois pontos.

7.5 Desintegração Radioativa

A atividade de uma substância é medida pelo número de desintegrações por unidade de tempo. Este

fenômeno acontece devido à emissão de três tipos de radiações: partículas α (núcleos de hélio), partículas β

(elétrons) e raios γ (ondas eletromagnéticas de alta frequência). Os principais experimentos de que resultaram

tal compreensão foram realizados por Rutherford, Becquerel, Royds, Vilard e M. Curie no final do século XIX

e no início do século XX, quando já se sabia que a atividade é proporcional ao número de átomos radioativos

presentes em cada instante. A formulação matemática desta afirmação segue de maneira bastante simples:

se N = N(t) é o número de átomos radioativos na amostra no instante t, e N0 = N(0) a quantidade incial destes

átomos, então

dNdt

=−λN,

onde λ > 0 é a constante de desintegração (usamos o sinal negativo porque o número de átomos diminui com o

passar do tempo e, portanto dNdt < 0).

A solução particular da equação é dada por

N(t) = N0e−λt .

Levando em conta que N = NAA m, onde m é a massa do material radiotivo, A é o número de massa do

elétron radioativo e NA é o número de Avogrado que vale 6,02X1023mols−1, a razão NAA é a constante para cada

101

elemento e mede o número de átomos em um grama deste elemento. Assim, em termos de massa do material

radioativo, a lei da atividade pode ser expressa por

m(t) = m0e−λt .

A constante λ é determinada experimentalmente. Verificamos que durante um tempo t1, determinado

elemento decaiu uma porcentagem α da quantidade original. Logo

(1− α

100

)m0 = m0e−λt ,

de onde vem que

−λt1 = ln(

1− α100

),

e, portanto,

λ =−1t1

(1− α

100

).

O tempo necessário para que uma quantidade inicial de material radioativo m0 decaia para a metade m02

é denominado meia-vida do elemento e denotado por t 12. Para calcular t 1

2fazemos

m0

2= m0e

−λt 12 ,

de onde vem que

t 12=

ln2λ

.

Exemplo 1 Um exemplo da necessidade de sabermos da desintegração radioativa é para sabermos após

quanto tempo um elemento radioativo que foi isolado deixará de existir, ou passará a não oferecer perigo

a sociedade. Um caso ocorrido no Brasil que gerou muita repercurssão, foi um acontecido em Goiânia no ano

de 1987, quando causou a morte de pessoas e o pânico em toda a cidade. À nivel de informação calcularemos

a massa de Césio 137 que resta ainda:

Massa encontrada de césio-137: 0,093 kg ou então 93 gramas.

Tempo de meia vida do césio-137: 30 anos.

Ou seja, a cada dezesseis anos, a massa se reduz a metade.

Visto que o fato aconteceu em 1987, temos:

Considerando o ano de 2010, façamos uma regra de três para ver quanto decaiu nesse período de 23 anos.

Se em 30 anos, o césio perderia 46,5 gramas, então em 23 anos teremos:

102

x = 23X46,530 = 35,65 gramas.

Ou seja ainda resta de césio-137: 93-35.65 = 54,35 gramas.

8 Aplicação da Álgebra Linear

Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens, principalmente em assuntos ligados a guerra,

amor e a diplomacia. O primeiro uso documentado da criptografia foi em 1900 a.c, no Egito quando um escriba

usou hieróglifos fora do padrão em uma inscrição.

Na idade moderna, por volta de 1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina de criptografia chamada

ENIGMA, utilizada amplamente pela marina de guerra alemã em 1926, como a principal forma de comuni-

cação.

Em 1928 o exército alemão construiu uma versão conhecida como

ENIGMA G que tinha como garantia de segurança a troca periódica mensal de suas chaves. O diferencial

dessa máquina era o fato dela ser eletro-mecânica. Aparentava ser uma máquina de escrever, mas quando

pressionada uma tecla, esta provocava movimento nas outras gerando diferentes combinações de encriptação.

A descodificação desta máquina era muito difícil, pois para isso era necessário ter outra máquina e saber qual a

chave tinha sido utilizada para realizar a codificação.

Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a ser muito utilizada. Em 1948, Claude Elwood Shannon

desenvolveu a teoria matemática da comunicação que permitiu grandes desenvolvimentos nos padrões de crip-

tografia e na criptoanálise. Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversos métodos a fim de esconder

mensagens a respeito de estratégias e operações, criptografadas com diferentes métodos e chaves. Atualmente

a criptografia é amplamente utilizada na WEB, em segurança afim de autenticar os usuários para lhes fornecer

acesso, na proteção de transações financeiras e em comunicação.

8.1 Pré-Requisitos

•Matrizes

Igualdade de matrizes;

Tipos de matrizes;

Operações com matrizes;

Matriz equivalente;

Matriz escalonada;

Matriz reduzida escalonada por linhas;

Matriz inversa.

103

• Sistemas de Equações Lineares

Matrizes aumentadas;

Eliminação Gaussiana;

Eliminação de Gauss-Jordan.

8.2 Matrizes

Chama-se de MATRIZ A de ordem m×n, um quadro de m×n elementos dispostos em m linhas e n colunas,

onde os elementos podem ser números reais, polinômios, funções, etc.

A =

a11 a12 a13 · · · a1m

a21 a22 a23 . . . a2m

a31 a32 a33 . . . a3m...

......

......

am1 am2 am3 · · · amn

Essa matriz A pode ser expressa como A = [ai j]m×n, em que cada termo da matriz é expresso por ai j, onde

1≤ i≤ m e 1≤ j ≤ n.

Ex:

M = [ai j]3×5 =

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

8.3 Igualdade de Matrizes

Duas matrizes são ditas iguais se ai j = bi j para todo 1≤ i≤ m e 1≤ j ≤ n.

Ex: A=[ai j]2×2=

a11 a12

a21 a22

, B=[bi j]2×2 =

b11 b12

b21 b22

Então, a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = b22.

104

8.4 Tipos de Matrizes

Matriz retangular: É a matriz em que m 6= n.

Ex:

A = [ai j]2×3,

onde m 6= n, pois m = 2 e n = 3.

Matriz linha: É a matriz em que m = 1, isto é, o número de linhas é igual a 1.

Ex:

A = [ai j]1×3=(

a11 a12 a13

)

Matriz coluna: É a matriz em que n = 1, isto é, o número de colunas é igual a 1.

Ex:

A=[ai j]3×1=

a11

a21

a31

Matriz nula: Matriz onde todos os elementos são nulos.

Ex:

A=[ai j]2×2=

0 0

0 0

105

Matriz quadrada: Matriz em que m = n isto é o numero de linhas é igual ao número de colunas, diz-se que a

matriz é de ordem ’n’.

Ex:

A=[ai j]2×2=

a11 a12

a21 a22

No caso da matriz quadrada, chama-se de diagonal principal da matriz, todos os elementos ai j em que i = j.

Ex:

A=

a11 a12

a21 a22

, onde a diagonal principal é a11 e a22.

E chama-se diagonal secundária todos os elementos em que i+ j = n+1.

Ex:

A =

a11 a12

a21 a22

a21 → i = 2, m = 2, j = 1 e n = 2

Então,

i+ j = n+1

2+1 = 2+1

3 = 3

106

Matriz diagonal: É uma matriz quadrada em que todos os elementos são nulos, exceto os da diagonal principal.

Ex:

A=

a11 0 0

0 a22 0

0 0 a33

Matriz escalar: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais.

Ex:

A=

3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz unidade ou identidade: É uma matriz escalar onde todos os termos são iguais a 1.

Ex:

A=

1 0

0 1

Matriz triangular superior: É uma matriz quadrada em que todos os termos abaixo da diagonal principal são

nulos.

Ex:

A=

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

107

Matriz triangular inferior: É uma matriz quadrada em que todos os termos acima da diagonal principal são

nulos.

Ex:

A=

a11 0 0

a21 a22 0

a31 a32 a33

Matriz transposta de uma matriz A: É a matriz cujas linhas são iguais as colunas da matriz A, representamos

por AT .

Sendo A=[ai j]m×n , então AT = [ai j]n×m.

Ex:

A=

2 1

0 3

1 4

=⇒ AT =

2 0 1

1 3 4

Propriedades da matriz transposta: Sejam A,B matrizes e K um escalar, então:

(A+B)T = AT +BT

(KA)T = KAT

(AT )T = A

(AB)T = BT AT

108

Matriz simétrica: É uma matriz quadrada em que ai j = a ji ou pode-se dizer que uma matriz A é simétrica se

A = AT .

Ex:

A=

1 3 4

3 2 5

4 5 3

= AT

Matriz anti-simétrica: É uma matriz quadrada em que ai j=−a ji ou AT =−A

Ex:

A=

0 1 5

−1 0 2

−5 −2 0

, e AT =

0 −1 −5

1 0 −2

5 2 0

Neste caso, os elementos da diagonal principal são nulos.

Matriz ortogonal: É uma matriz quadrada de ordem n, onde AT A = In

Ex:

A=

12

√3

2√

32

−12

• De fato:

12

√3

2√

32

−12

12

√3

2√

32

−12

=

1 0

0 1

= I2

109

Matriz oposta: Uma matriz B diz-se oposta da matriz A, de mesma ordem, se bi j=−ai j para todo 1≤ i≤ m e

1≤ j ≤ n.

Ex:

A=

a11 a12

a21 a22

B=

−a11 −a12

−a21 −a22

.

Ou seja, B =−A

8.5 Operações com Matrizes

Adição e subtração: Se A e B são matrizes de ordem n×m então a soma de A e B é definida por A+B =C,

onde C = [ci j] = [ai j +bi j].

Ex: A+B =

a11 a12

a21 a22

+

b11 b12

b21 b22

=

a11 +b11 a12 +b12

a21 +b21 a22 +b22

=C

A subtração de A e B é dada por A−B =C = [ci j] = [ai j−bi j]

• Propriedades:

A+(B+C) = (A+B)+C (associativa)

A+B = B+A (comutativa)

A+0 = A (elemento neutro)

A+(−A) = 0 (elemento simétrico)

Produto de uma matriz por um escalar: O produto de uma matriz A=[ai j] por um escalar K, é uma matriz

B=[bi j] tal que bi j=Kai j.

Ex: Seja B=3A, onde A =

a11 a12

a21 a22

. Então

B = 3

a11 a12

a21 a22

=

3a11 3a12

3a21 3a22

110

• Propriedades:

K(A+B) = KA+KB

(K1 +K2)A = K1A+K2A

(K1K2)A = K1(K2A)

1A = A

Multiplicação: A multiplicação de uma matriz A = [ai j]m×n por B = [bi j]n×p é uma matriz C=[ci j]m×p, onde

ci j = ∑nk=1 aikbk j.

Ex:

A=

1 2 4

2 6 0

2×3

, B =

4 1

0 1

2 1

3×2

C = [ci j]2×2

C=

1×4+2×0+4×2 1×1+2×1+4×1

2×4+6×0+0×2 2×1+6×1+0×1

2×2

C=

12 7

8 8

• Propriedades:

AB 6= BA ( em geral)

A1 = 1A = A

A(B+C) = AB+BC

AB(C) = A(BC)

A0 = 0A = 0

111

Operações elementares com as linhas de uma matriz:

• Trocar duas linhas:

Ex: 3 4

1 1

L1←→ L2

1 1

3 4

•Multiplicar ou dividir uma linha por um escalar não nulo:

Ex: 3 4

1 1

L2←→ 2L2

3 4

4 2

• Somar uma linha a outra multiplicada por um escalar:

Ex: 3 4

1 1

L2←→ L2 +(−2)L1

3 4

−5 7

8.6 Matriz Equivalente

É toda matriz obtida a partir de outra atravéz de um número finito de operações elementares com as linhas da

mesma.

A−→ B ou A v B

Ex: A =

2 −3

4 1

L1←→ L1 +L2, L2←→ (−2)L2 B =

6 −2

−8 −2

8.7 Matriz escalonada

Uma matriz diz-se escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha,

aumenta linha por linha.

Ex: A =

2 1 3

0 2 5

0 0 7

, B =

2 −3 0 5

0 0 1 7

0 0 0 0

, C =

3 9 −4

0 1 5

0 0 3

0 0 0

112

8.8 Matriz Reduzida Escalonada por Linhas

Uma matriz está nesta forma se:

• Todas as linhas não nulas, se existirem, estão situadas abaixo das não nulas.

• O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é o numero 1, dito coeficiente líder de sua linha.

• Se as linhas i e i+ j são duas linhas sucessivas, então o coeficiente lider da linha i+ j está situado a direita

do coeficiente lider da linha i.

• Toda coluna que contém o coeficiente líder, possui todos os outros elementos nulos.

Ex: A =

1 0 0 9

0 1 0 −3

0 0 1 −2

0 0 0 0

, B =

1 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Posto e nulidade de uma matriz: Dada uma matriz A = [ai j]m×n e sua escalonada equivalente B = [bi j]m×n.

• Posto da matriz A (pA): número de linhas não nulas de sua matriz equivalente B, onde B é a matriz reduzida

de A.

• Nulidade da matriz A (nA): número de colunas da matriz A menos o posto de A.

8.9 Matriz inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A possui inversa se existir uma matriz B, também de

ordem n, tal que AB = BA = In, neste caso denotamos a inversa de A por A−1.

Ex: Seja A =

1 −2

2 3

. Vamos encontrar a inversa de A:

1 −2

2 3

a b

c d

=

1 0

0 1

a−2c = 1

2a+3c = 0

b−2d = 0

113

2b+3d = 1

isolando a na primeira equação:

a = 1+2c

substituindo a na segunda equação:

2(1+2c)+3c = 0

2+4c+3c = 0

c =−2/7

isolando b na terceira equação:

b = 2d

b = 2/7

substituindo o valor de c na primeira equação isolada:

a = 1+2(2/7)

a = 3/7

subtituindo b na terceira equação:

2(2/7)+3d = 1

d = 1/7

A−1 =

3/7 2/7

−2/7 1/7

114

8.10 Método para Determinação da Matriz Inversa

Para encontrar a matriz identidade a partir da matriz A, adjunta-se a matriz identidade a direita de A,

[A|I]

em seguida, aplica-se operações elementares nas linhas desta matriz até que o lado esquerdo dela seja reduzido

a I, fornecendo assim A−1 do lado direito desta.

[I|A−1]

Ex: Encontre a inversa da matriz:

A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

Solução: 1 2 3 | 1 0 0

2 5 3 | 0 1 0

1 0 8 | 0 0 1

↓

1 2 3 | 1 0 0

0 1 −3 | −2 1 0

0 −2 5 | −1 0 1

↓

1 2 3 | 1 0 0

0 1 −3 | −2 1 0

0 0 −1 | −5 2 1

115

↓

1 2 3 | 1 0 0

0 1 −3 | −2 1 0

0 0 1 | 5 −2 −1

↓

1 2 0 | −14 6 3

0 1 0 | 3 −5 −3

0 0 1 | 5 −2 −1

↓

1 0 0 | −40 16 9

0 1 0 | 13 −5 3

0 0 1 | 5 −2 −1

Assim,

↓

A−1 =

−40 16 9

13 −5 3

5 −2 −1

OBS: Se caso em algum momento aparecer uma linha de zeros no lado esquerdo, pode-se concluir que a matriz

não é inversível, e parar de calcular.

8.11 Sistemas de Equações Lineares

8.11.1 Equações Lineares

Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada por

116

a1x+a2y = b

Esta equação é chamada linear de variáveis x e y.

Geralmente uma equação linear é definida na forma

a1x1 +a2x2 + . . .+anxn = b

onde a1 , a2 . . . an são constantes reais.

∗ Exemplo de equações lineares:

x+3y = 7

y = (1/2)x+1

x1−2x2−3x3 + x4 = 7

∗ Encontrando a solução:

∗ x = 7−3y e y = (7− x)/3

∗ y = (1/2)x+1 e x = 2(y−1)

∗ x1 = 7+2x2 +3x3− x4

x2 = (−3x3 + x1 + x4−7)/2

x3 = (−7+ x4−2x2 + x1)/3

x4 = (7+3x3 +2x2− x1)

Para encontrarmos os valores de x ou y arbitramos valores em x ou y e substituimos nas equações.

Podemos arbitrar um valor em x = t que encontramos:

∗ x = t , y = (7− t)/3

∗ x = t , y = 1/2(t)+1

117

Estas fórmulas fornecem um conjunto solução em termos de um número arbitrário t, chamamos este número

de parâmetro. Soluções particulares podem ser obtidas substituindo valores específicos em t.

8.11.2 Sistemas Lineares

Conjunto finito de equações lineares nas variáveis x1,x2 . . . xn. Uma sequência de números S1, S2 . . . Sn é

chamada de solução do sistema se x1 = S1, x2 = S2 . . . xn = Sn é a solução de cada uma das equações deste.

Ex: Considere o sistema: 4x1− x2 +3x3 =−1

3x1 + x2 +9x3 =−4

Então, x1 = 1, x2 = 2 e x3 =−1 formam uma solução para o sistema acima. De fato:

4-2-3=-1 3.1+2+(-9)=-4

4-5=1 3+2-9=-4

-1=-1 -4=-4

∗Os valores de x1, x2 e x3 satisfazemas duas equações do sistema, portanto formam uma solução para o mesmo.

Nem todos os sistemas possuem soluções, este sistemas são chamados inconsistentes. Se existir pelo menos

uma solução para o sistema ele é dito consistente.

Ex: O sistema

x+ y = 4

x+ y = 3é inconsistente pois:

(4− y)+ y = 3

4+0 = 3

4 = 3

8.11.3 Matrizes Aumentadas

O sistema de equações lineares:

x−2y+3z = 9

−x+3y =−4

2x−5y+5z = 17

Tem a seguinte matriz aumentada:

118

1 −2 3 | 9

−1 3 0 | −4

2 −5 5 | 17

Para resolver este sistema com a matriz aumentada, utilizamos as operações elementares sobre linhas.

OBS: Como as linhas de uma matriz aumentada correspondem as equações do sistema associado, as operações

faladas anteriormente correspondem às seguintes operações nas linhas da matriz aumentada.

1) Multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula.

2) Trocar duas linhas entre si.

3) Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.

Ex: Resolver o sistema usando operações elementares sobre linhas.

x−2y+3z = 9

−x+3y =−4

2x−5y+5z = 17

Matriz aumentada:

1 −2 3 | 9

−1 3 0 | −4

2 −5 5 | 17

Operações elementares sobre linhas:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 | 9

−1 3 0 | −4

2 −5 5 | 17

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L2↔ L1 +L2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 | 9

0 1 3 | 5

2 −5 5 | 17

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3↔−2L1 +L3

119

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 | 9

0 1 3 | 5

0 −1 −1 | −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3↔ L2 +L3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 | 9

0 1 3 | 5

0 0 2 | 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3↔ (1/2)L3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3 | 9

0 1 3 | 5

0 0 1 | 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L1↔−3L3 +L1,L2↔−3L3 +L2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 0 | 9

0 1 0 | −4

0 0 1 | 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L1↔ 2L2 +L1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 | 1

0 1 0 | −1

0 0 1 | 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Solução: x = 1, y = 1 e z = 2

8.12 Eliminação Gaussiana

Em álgebra linear, a eliminação de Gauss é um algoritmo que visa transformar uma matriz arbitrária numa

matriz em escada de linhas, através de operações elementares, nomeadamente trocas de linhas e adições de

múltiplos de certas linhas a outras linhas, considerando os elementos da diagonal principal (não nulos) como

pivôs.

Algoritmo

Começando com zero pivôs executam-se as seguintes operações:

• Considera-se a submatriz da matriz inicial composta pelas linhas que ainda não têm pivô;

• Nesta submatriz, considera-se a primeira coluna com elementos não nulos, e chama-se ao primeiro destes

um pivô;

• Se a linha do novo pivô não for a primeira linha desta submatriz, trocam-se estas duas linhas;

120

• Para cada elemento não nulo abaixo do novo pivô, retira-se o múltiplo adequado da primeira linha da

submatriz de forma a anular esse elemento;

• Se ainda restarem linhas não nulas sem pivô, volta-se ao primeiro passo.

Exemplo: 2x+ y−3z =−1

−x+3y+2z = 12

3x+ y−3z = 0

Escrevendo na forma matricial:

2 1 −3

−1 3 2

3 1 −3

x

y

z

=

−1

12

0

121

1o) Matriz aumentada:

A =

2 1 −3 −1

−1 3 2 12

3 1 −3 0

2o) Eliminação:

Como a11 = 2 6= 0, ele será nosso primeiro pivô. Defini-se λ1 = a21/a11 =−1/2, calcula-se os outros elementos

transformados da segunda linha:

a22 = a22−λ1.a12 = 3− (−1/2).1 = 7/2

a23 = a23−λ1.a13 = 2− (−1/2).(−3) = 1/2

a24 = a24−λ1.a14 = 312− (−1/2).(−1) = 23/2

Após, definem-se λ2:

λ2 = a31/a11 = 3/2

e em seguida determina-se os elementos:

a32 = a32−λ2.a12 = 1− (3/2).1 =−1/2

a33 = a33−λ2.a13 =−3− (3/2)(−3) = 3/2

a34 = a34−λ2.a140− (3/2)(−1) = 3/2

Após a primeira fase de eliminação, a matriz aumentada fica:

A′ =

2 1 −3 −1

0 7/2 1/2 23/2

0 −1/2 3/2 3/2

Para seguir a eliminação, temos que admitir um novo pivô, sendo este o elemento a22 = 7/2 6= 0. Assim

122

defini-se λ3 = a32/a22 = (−1/2)/(7/2) =−1/7.

Após determinamos os elementos transformados na terceira linha.

a33 = a33−λ3.a23 = (3/2)− (−1/7)(1/2) = 11/7

a34 = a34−λ3.a23 = (3/2)− (−1/7)(23/2) = 22/7

A nova matriz aumentada então, fica:

A′′ =

2 1 −3 −1

0 7/2 1/2 23/2

0 0 11/7 22/7

3o) Substituição retrocedida:

Após a eliminaçao, obtemos o seguinte sistema triangular:

2x+ y−3z = 1

(7/2)y+(1/2)z = 23/2

11/2z = 22/7

Assim, substituindo as variáveis na terceira equação ficamos com:

z = (22/7)(7/11) = 2

Substituindo este valor na segunda equação obtemos.

7/2y+(1/2)2 = 23/2

7/2y = 23/2−1

7/2y = (23/2)/2 = 21/2

7/2y = 21/2

123

y = (42/14) = 3

Por final, substituindo os valores de y = 3 e z = 2 na primeira equação, obtemos:

2x+3−3(2) =−1

2x =−1−3+6

x = 2/2 = 1

124

ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN

Agora, vamos resolver um sistema linear utilizando o método de eliminação de GAUSS-JORDAN, tal

método permite reduzir uma matriz qualquer a sua forma escalonada por linhas.

Exemplos: −y+ z = 2

−x+3y = 5

2x+6z = 20

A =

0 −1 1 2

−1 3 0 5

2 0 6 20

L1←→ L2 A =

−1 3 0 5

0 −1 1 2

2 0 6 20

L1←→ (−1)L1 A =

1 −3 0 −5

0 −1 1 2

2 0 6 20

(−2)L1 +L3←→ L3 e L2←→ (−1)L2 A =

1 3 0 −5

0 −1 1 2

0 6 6 30

(−6)L2 +L3←→ L3 A =

1 −3 0 −5

0 1 −1 −2

0 6 6 30

L3←→ (1/2)L3 A =

1 −3 0 −5

0 1 −1 −2

0 0 12 42

125

L3 +L2←→ L2 A =

1 −3 0 −5

0 1 −1 −2

0 0 1 7/2

Criar zeros em cima dos pivôs:

3(L2)+L1←→ L1 A =

1 −3 0 −5

0 1 0 3/2

0 0 1 7/2

A =

1 0 0 −1/2

0 1 0 3/2

0 0 1 7/2

(Forma escalonada reduzida por linhas)

Assim podemos descobrir x,y e z diretamente pela matriz escalonada:

x =−1/2

y = 3/2

z = 7/2.

126

LINGUAGEM CRIPTOGRÁFICA

A criptografia é um processo que codifica a informação de tal maneira que somente a pessoa com a CHAVE

pode decodificá-la. Na linguagem criptográfica, os códigos são denominados CIFRAS, as mensagens não cod-

ificadas são denominadas TEXTOS COMUNS e as mensagens codificadas são denominadas TEXTOS CIFRA-

DOS ou CRIPTOGRAMAS. O processo de converter um texto comum em um cifrado é chamado CIFRAR ou

CRIPTOGRAFAR, e o processo inverso de converter um texto cifrado em um texto comum é chamado DE-

CIFRAR.

TIPOS DE CIFRAS:

• CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra do alfabeto por outra letra.

• CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública é o RSA. As lojas

usam a implementação do RSA, na codificação de dados de clientes em compras pela internet.

• CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais.

Método que utiliza a álgebra linear para codificar e descodificar uma mensagem atravéz da multiplicação de

matrizes.

Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de "n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada

com uma matriz 2×2 é chamada "2-cifra de hill".

CIFRAS DE HILL

PROCEDIMENTO PARA CODIFICAÇÃO:

• Primeiro converte-se as letras em números, depois agrupa-se os números n a n e multiplica-se cada grupo por

uma matriz quadrada de ordem inversível (det 6= 0). Os números resultantes são novamente convertidos em

letras pela tabela 1, e assim tem-se a mensagem codificada.

• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um número maior que o número de letras do alfabeto, então

deve-se utilizar o resto da divisão desse número pelo número de letras do alfabeto, o que será explicado poste-

riormente.

• Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmo processo, porém utilizando a matriz inversa. Por isso

que deve-se usar apenas matrizes inversíveis.

127

• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor

númerico que especifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1).

TABELA 1

A B C D E F G H I J K L M N O P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Q R S T U V W X Y Z

17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos de textos cifrados por:

1o) Escolhe-se uma matriz 2×2.

A =

a11 a12

a21 a22

Com entradas inteiras para efetuar a codificação

2o) Agrupam-se letras sucessivas do texto comum em pares, adicionando uma letra fictícia para completar o

último par, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras. Substitui-se cada letra do texto comum

pelo seu valor numérico seguindo a tabela 1.

3o) Converte-se cada par sucessivo de letras de texto comum em um vetor coluna:

p =

p1

p2

E forma-se o produto A.p.

Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.

4o) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético, pela tabela 1.

EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DE TEXTO COMUM:

"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA"

Para a matriz codificadora A =

4 3

1 2

SOLUÇÃO:

Já que a tabela 1 não possui a letra Ç, substituimos esta por "C".

128

→ Agrupamos o texto comum em pares de letras para poder efetuar a codificação.

SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GR

AD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA

→ Usando a tabela 1, encontramos os seus correspondentes numéricos.

19-5 22-15 3-5 3-15 14-19 5-7 21-5 12-5 18-9 19-19 15-1 7-18

1-4 5-3 1-21 13-16 18-15 6-5 19-19 15-18 4-5 1-12 7-1

OBS: Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendo eles de 0 à 25. Precisamos transformar os

números que forem maiores que 25 em números iguais ou menores que este, para isto utilizamos a aritmética

modular.

Definição(aritmética modular): Dado um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos

que a é equivalente a b módulo m, e escrevemos

a≡ b (mod m),

se a−b é um múltiplo inteiro de m.

PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO.

Vamos encontrar os resíduos módulo 26 dos seguintes números:

(a) 35

dividindo |35|= 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e um resto 9.

Assim podemos afirmar que 35≡ 9(mod 26)

(b) -67

dividindo |−67|= 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 e um resto 15, ou seja 26−15 = 11.

Podemos afirmar que −67≡ 11(mod 26)

(c) -26

129

dividindo |26|= 26 por 26 dá o valor inteiro 1 resto 0.

Podemos afirmar assim, que 26≡ 0(mod 26)

Codificando os pares de letras do texto:

Para codificá-los efetuamos A.p

I1o par de letras: SE 4 3

1 2

.

19

5

=

91

29

=

13

3

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ M

C

∣∣∣∣∣∣91 > 25 então 91

26 = 3 resto 13, isto é 91≡13(mod26)

29 > 25 então 2926 = 1 resto 3, isto é 29≡3(mod26)

I2o par de letras: VO 4 3

1 2

.

22

15

=

133

52

=

3

0

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ C

Z

∣∣∣∣∣∣133 > 25 então 133

26 = 5 resto 3, isto é 133≡3(mod26)


I3o par de letras: CE 4 3

1 2

.

3

5

=

27

13

=

1

13

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ A

M

∣∣∣∣∣∣27 > 25 então 27

26 = 1 resto 1, isto é 27≡1(mod26)

I4o par de letras: CO 4 3

1 2

.

3

15

=

5

7

=

E

G

I5o par de letras: NS 4 3

1 2

.

14

19

=

113

52

=

9

0

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ I

Z

∣∣∣∣∣∣130



I6o par de letras: EG

4 3

1 2

.

5

7

=

41

19

=

15

19

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ O

S

∣∣∣∣∣∣41 > 25 então 41

26 = 1 resto 15, isto é 41≡15(mod26)

I7o par de letras: UE

4 3

1 2

.

21

5

=

21

31

=

21

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ U

E

∣∣∣∣∣∣I8o par de letras: LE

4 3

1 2

.

12

5

=

63

22

=

11

22

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ K

V

∣∣∣∣∣∣I 9o par de letras: RI

4 3

1 2

.

18

9

=

99

36

=

21

10

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ U

J

∣∣∣∣∣∣I 10o par de letras: SS

4 3

1 2

.

19

19

=

133

57

=

3

5

=

∣∣∣∣∣∣ C

E

∣∣∣∣∣∣I11o par de letras: OA

4 3

1 2

.

15

1

=

63

17

=

11

17

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ K

Q

∣∣∣∣∣∣I12o par de letras: GR

4 3

1 2

.

7

18

=

122

43

=

4

17

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ D

Q

∣∣∣∣∣∣I13o par de letras: AD

131

4 3

1 2

.

1

4

=

16

9

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ P

I

∣∣∣∣∣∣I14o par de letras: EC 4 3

1 2

.

5

3

=

29

11

=

3

11

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ C

K

∣∣∣∣∣∣I15o par de letras: AU 4 3

1 2

.

1

21

=

67

43

=

15

17

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ O

Q

∣∣∣∣∣∣I16o par de letras: MP 4 3

1 2

.

13

16

=

100

45

=

22

19

=

∣∣∣∣∣∣ V

S

∣∣∣∣∣∣I17o par de letras: RO 4 3

1 2

.

18

15

=

117

48

=

13

22

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ M

V

∣∣∣∣∣∣I18o par de letras: FE 4 3

1 2

.

6

5

=

39

16

=

13

16

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ M

P

∣∣∣∣∣∣I19o par de letras: SS 4 3

1 2

.

19

19

=

133

57

=

3

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ C

E

∣∣∣∣∣∣I20o par de letras: OR 4 3

1 2

.

15

18

=

114

51

=

10

25

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ J

Y

∣∣∣∣∣∣I21o par de letras: DE 4 3

1 2

.

4

5

=

31

14

=

5

14

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ E

N

∣∣∣∣∣∣I22o par de letras: AL

132

4 3

1 2

.

21

12

=

40

25

=

14

25

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ N

Y

∣∣∣∣∣∣I23o par de letras: GA 4 3

1 2

.

7

1

=

31

9

=

5

9

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ E

I

∣∣∣∣∣∣Assim, obtemos a mensagem cifrada completa:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQV SMV MPCEJY ENNY EI

Agrupando-as dois a dois,

MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ

DQ PI CK OQ V S MV MP CE JY EN NY EI

AGORA, FAREMOS A OPERAÇÃO INVERSA, PARA PODER DECIFRAR O CÓDIGO RECÉM

APRESENTADO

DECIFRANDO O CÓDIGO DE HILL:

Cada cifra possui um método para decifrar. No caso da Cifra de Hill, usa-se a inversa(mod 26) da matriz

codificadora.

Para ser preciso, dizemos que uma matriz A é inversível módulo m se existir uma matriz B que satisfaça:

A.B = B.A≡ I (mod m),

sendo I a matriz identidade:

1 0

0 1

EXEMPLO: DECIFRANDO A CIFRA DE HILL DO EXEMPLO ANTERIOR:

133

→ Encontrar a inversa da matriz codificadora (mod 26)

Matriz codificadora:

4 3

1 2

(mod26)

que é uma matriz:

a b

c d

Após, calculamos o determinate da matriz codificadora:

det(A) = ad−bc = 4.2−3.1 = 5

Depois de encontrarmos o valor do determinante da matriz codificadora, achamos o seu correspondente do

recíproco módulo 26 na tabela 2:

TABELA 2: (recíprocos módulo 26)

a 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25

a−1 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25

Correspondente de det(A) é igual a 21, pela tabela 2

Assim, podemos determinar a matriz inversa de det(A) (mod 26) que é dada por:

A−1=1

detA

d −b

−c a

(mod26)

Onde1

detAé o recíproco do resíduo de detA(mod 26)

Então,

134

A−1 = 21.

2 −3

−1 4

=

42 −63

−21 84

=

16 15

5 6

(mod26)

42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42≡16(mod 26)

|−63|> 25, então 6326 = 2 resto 11, 26−11 = 15 isto é, 63≡15(mod 26)

−21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu

recíproco módulo 26, 26−21 = 5, isto é, -21≡5(mod 26)

84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84≡6(mod26)

Conferindo a matriz inversa módulo 26:

A.A−1 = I(mod26)

A.A−1 =

4 3

1 2

.

16 15

5 6

=

79 78

26 27

=

1 0

0 1

(mod26)

OK!

Código da frase mostrada anteriormente:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQV SMV MPCEJY ENNY EI

MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ DQ

PI CK OQ VS MV MP CE JY EN NY EI

DECIFRANDO O CÓDIGO:

Para decifrarmos o cógido de Hill, multiplicamos o correspondente numérico das letras pela tabela 1, pela

matriz inversa da matriz codificadora módulo 26, calculada anteriormente:

Correspondentes na tabela 1, do código acima:

13-3 3-0 1-13 5-7 9-0 15-19 21-5 11-22 21-10 3-5 11-17 4-17

16-9 3-11 15-17 22-19 13-22 13-16 3-5 10-25 5-14 14-25 5-9

135

Decifrando os pares de letras:

I1o par de letras: MC 16 15

5 6

.

13

3

=

19

5

=

∣∣∣∣∣∣ S

E

∣∣∣∣∣∣I2o par de letras: CZ 16 15

5 6

.

3

0

=

22

15

=

∣∣∣∣∣∣ V

O

∣∣∣∣∣∣I 3o par de letras: AM 16 15

5 6

.

1

13

=

3

5

=

∣∣∣∣∣∣ C

E

∣∣∣∣∣∣I4o par de letras: EG 16 15

5 6

.

5

7

=

3

15

=

∣∣∣∣∣∣ C

O

∣∣∣∣∣∣I5o par de letras: IZ 16 15

5 6

.

9

0

=

14

19

=

∣∣∣∣∣∣ N

S

∣∣∣∣∣∣Até agora não encontramos nenhum valor maior que 25, portanto não precisamos utilizar a aritmética modular

nestes.

Apartir de agora, encontraremos valor maiores que 25, e utilizaremos o método anterior do módulo 26.

I 6o par de letras: OS 16 15

5 6

.

15

19

=

525

189

=

5

7

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ E

G

∣∣∣∣∣∣525 > 25 então 525

26 = 20 resto 5, isto é 525≡5(mod26)


I7o par de letras: UE

136

16 15

5 6

.

21

5

=

411

135

=

21

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ U

E

∣∣∣∣∣∣411 > 25 então 411

26 = 15 resto 21, isto é 411≡21(mod26)


I 8o par de letras: KV 16 15

5 6

.

11

22

=

506

187

=

12

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ L

E

∣∣∣∣∣∣506 > 25 então 506

26 = 19 resto 12, isto é 506≡12(mod26)


I 9o par de letras: UJ 16 15

5 6

.

21

10

=

486

165

=

18

9

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ R

I

∣∣∣∣∣∣486 > 25 então 486

26 = 18 resto 18, isto é 486≡18(mod26)


I10o par de letras: CE 16 15

5 6

.

3

5

=

123

45

=

19

19

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ S

S

∣∣∣∣∣∣123 > 25 então 123

26 = 4 resto 19, isto é 123≡19(mod26)


I 11o par de letras: KQ 16 15

5 6

.

11

17

=

431

157

=

15

1

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ O

A

∣∣∣∣∣∣431 > 25 então 431

26 = 16 resto 15, isto é 431≡15(mod26)


137

I 12o par de letras: DQ 16 15

5 6

.

4

17

=

319

122

=

7

18

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ G

R

∣∣∣∣∣∣I13o par de letras: PI 16 15

5 6

.

16

9

=

391

134

=

1

4

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ A

D

∣∣∣∣∣∣I14o par de letras: CK 16 15

5 6

.

3

11

=

213

81

=

5

3

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ E

C

∣∣∣∣∣∣I15o par de letras: OQ 16 15

5 6

.

15

17

=

495

177

=

1

21

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ A

U

∣∣∣∣∣∣I 16o par de letras: VS 16 15

5 6

.

22

19

=

637

224

=

13

16

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ M

P

∣∣∣∣∣∣I 17o par de letras: MV 16 15

5 6

.

13

22

=

538

197

=

18

15

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ R

O

∣∣∣∣∣∣I 18o par de letras: MP 16 15

5 6

.

13

16

=

448

161

=

6

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ F

E

∣∣∣∣∣∣I 19o par de letras: CE 16 15

5 6

.

3

5

=

123

45

=

19

19

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ S

S

∣∣∣∣∣∣I 20o par de letras: JY 16 15

5 6

.

10

25

=

535

200

=

15

18

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ O

R

∣∣∣∣∣∣138

I21o par de letras: EN 16 15

5 6

.

5

14

=

290

109

=

4

5

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ D

E

∣∣∣∣∣∣I22o par de letras: NY 16 15

5 6

.

14

25

=

599

220

=

1

12

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ A

L

∣∣∣∣∣∣I23o par de letras: EI 16 15

5 6

.

5

9

=

215

79

=

7

1

(mod26) =

∣∣∣∣∣∣ G

A

∣∣∣∣∣∣Mensagem cifrada:

SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GR

AD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA

Trocando o segundo C por Ç:

SE VOCE CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA!

9 Aplicações dop cálculo Numérico

9.1 Solução da Equação Diferencial de Grandes Deflexões de uma Viga

9.1.1 Apresentação do Problema

Nesse problema nosso objetivo é resolver um modelo descrito por uma Equação Diferencial Ordinária não-

linear de segunda Ordem.

Considerando que essa equação de segunda ordem pode ser reduzida a um sistema de equações de primeira

ordem usaremos técnicas para encontrar sua solução numérica de forma simultânea. São elas:

• Método de Euler Aperfeiçoado

• Método Previsor-Corretor

Considere uma viga engastada de comprimento L sujeita a uma carga P em sua extremidade livre. Sendo E o

módulo de Young para o material e I o momento de inércia da secção reta da viga sobre uma linha passando

pelo centro de massa da secção reta e perpendicular as coordenadas x e y as deflexões elásticas satisfazem a

139

seguinte equação diferencial:

y′′[1+(y′)2] 3

2=

P(L− x)EI

(45)

Visto que a viga é engastada em x = 0, ambas, a deflexão e sua inclinação, desaparecem aí. Então

y(0) = 0

y′ (0) = 0

Em muitas aplicações da engenharia a inclinação, y′, da deflexão é tão pequena para todos os valores de x que

o quadrado de y′ pode ser desprezado comparado com 1. Nesse caso (1) reduz-se a equação linear

y′′ =P(L− x)

EI(46)

Essa equação é frequentemente conhecida como a lei de Bernoulli-Euler

Dos métodos clássicos, a solução de (2) com as condições iniciais y(0) = 0 e y′ (0) = 0 é

y(x) =P

6EIx2 (3L− x) (47)

Essa solução é válida desde que as deflexões sejam “pequenas”, ou seja, para cargas P relativamente pequenas.

Se P se torna grande então y e y′ são grandes comparados com a unidade e assim (y′)2 não pode mais ser de-

sprezado. Neste caso não existe solução analítica comparável a (3), devemos então recorrer a técnicas numéri-

cas.

Como saber para que cargas P, a equação linear (3) é válida? Desenvolve-se o uso de técnicas numéricas para

resolver a equação não-linear (1) para vários valores da carga P para então comparar os resultados com os

obtidos pela solução analítica (3) do problema linear.

Assim se saberá de quão pequenas as deflexões(ou cargas) devem ser para que a solução linearizada (3) seja

140

válida.

Devemos ter em mente que a equação não-linear (1) é válida somente quando as tensões na viga inteira per-

manecem na parte elástica. Isso colocará im limite superior na grandeza da carga P.

Em (1) podemos definir a função z como sendo a derivada de y′ que é

y′ = z (48)

então (1) torna-se

z′ =C(L− x)(1+ z2)32 (49)

onde por conveniência adotamos a constante C = P/EI. As condições iniciais tornam-se

y(0) = 0

z′ (0) = 0

9.1.2 Métodos Usados na Solução

Para resumir o método de Euler num esquema amplo podemos dizer que a equação diferencial dá a inclinação

da curva em qualquer ponto como uma função de x e y; no início conhecemos somente um ponto através do

qual a curva passa, especificamente, x0 e y0. Portanto começamos nele. Computamos a inclinalção da curva

em x = x0 e prosseguimos com uma pequena distância ao longo da tangente correspondente. Se o incremento

em x é chamado h, como faremos, chegamos a um novo ponto x1 = x0 +h e da inclinação da tangente, obtida

da equação diferencial, obtemos um novo valor de y. Chamamos este novo valor de y1. Continuando dessa

maneira, obtemos uma sequência de pequenos segmentos de reta os quais, esperamos, se aproximam com

suficiente precisão da curva verdadeira que é a solução.

Obviamente há perigos nessa aproximação simples da solução numérica do método de Euler. Estamos aproxi-

mando uma curva por uma sequência de segmentos de reta. Tal prática sugere dificuldades de saída. Pode com

suficiente facilidade acontecer que a sequência de segmentos se desvie consideravelmente da curva verdadeira.

Este é o problema de estabilidade do método de Euler. Além de ter um erro de truncamento relativamente

grande, o método de Euler é frequentemente instável, ou seja, um pequeno erro(de arredondamento, de trunca-

mento ou inerente) amplia-se à medida que o valor de x aumenta.

É claro temos de encontrar alguma maneira de levar em consideração a curvatura da solução verdadeira ao

invés de aproximá-la simplesmente por uma sequência de segmentos de reta, como no método de Euler. Somos

levados então a duas categorias básicas de métodos:

• Métodos de um estágio, nos quais usamos informação sobre a curva em um ponto e não iteramos a

141

solução. Técnicas práticas desse tipo, das quais há muitas, incluem os métodos de Runge-Kutta. São

métodos diretos (sem iteração), o que parece implicar em menor esforço, mas eles realmente exigem, em

casos práticos, cálculos mais frequentes do valor da função. Além do mais, eles têm a séria desvantagem

de que é difícil estimar o erro.

• Métodos de multiestágios nos quais o próximo ponto na curva pode ser estimado com um menor número

de cálculos do valor da função, mas que exigem iteração para chegar a um valor suficientemente preciso.

Os métodos desse tipo são chamados de Previsão-correção, e é nele que vamos nos deter na solução do

nosso problema. Compensando o esforço de iteração e um certo problema em “iniciar” a solução está o

fato de que uma estimativa de erro é obtida com um subproduto do cálculo.

Dado isso, não vamos mais discutir o método de Euler, mas sim, passar a métodos mais precisos. Poderiamos

notar, entretanto, que o método de Euler é um método de Runge-Kutta, especificamente, um de primeira ordem,

visto que ele concorda com a série de Taylor até os termos eh h.

O método de Euler usa somente a inclinação no ponto xm, ym na computação de ym+1. O método pode ser

melhorado de várias maneiras, mas vamos nos ater as que resultam no método de Euler aperfeiçoado e então

mostraremos que ele nada mais é do que um da família Runge-Kutta de segunda ordem.

No método de

9.1.3 Euler Aperfeiçoado

9.1.4 Previsor-Corretor

Como o nome indica, “preveremos” um valor para ym+1 e então usamos uma fórmula diferente para “corrigir”

esse valor. Podemos ainda, se necessário, usar a fórmula de correção novamente para “re-corrigir” o valor de

ym+1.

Esse processo pode acontecer tantas vezes quanto desejarmos, embora vamos ver que há considerações que

sugerem escolher um tamanho de intervalo que evite uma grande quantidade de iterações na correção.

Para o previsor usaremos um método de segunda ordem:

y(0)m+1 = ym−1 +2h f (xm,ym)

onde o índice superior (0) indica que é a nossa primeira “estimativa” em ym+1 (um valor previsto). Isso faz com

que o método não pode ser usado para computar y1, visto que para fazer isso seria necessário exigir um ponto

anterior ao ponto inicial x0.

O método de Runge-Kutta é usado com frequência para dar início ao método previsor corretor.

Precisamos agora de um método para aperfeiçoar nosso valor previsto. Visto que conhecemos ym+1 aproxi-

madamente, podemos calcular uma inclinação aproximada em xm+1, y(0)m+1. Chamamos este valor de “corrigido”

y(1)m+1. Ele é dado por

142

y(1)m+1 = ym +h2

[f (xm,ym)+ f (xm+1,y

(1)m+1)

]Podemos então obter uma outra estimativa, presumivelmente melhor, de f (xm+1,ym+1) usando y(1)m+1 e re-

corrigindo o valor de ym+1. Assim a i-ésima aproximação para ym+1 é dada por

y(i)m+1 = ym +h2

[f (xm,ym)+ f (xm+1,y

(i−1)m+1 )

]para i = 1,2,3, . . .. As iterações são interrompidas quando

∣∣∣y(i+1)m+1 − y(i)m+1 < ε

∣∣∣para um ε positivo especificado.

9.1.5 Formulação Numérica

Para encontrar a solução numérica do sistema de equações efetuamos os seguintes procedimentos:

• Seja f (x,z) =C (L− x)(1+ z2

)3/2

• Use o Método de Euler Aperfeiçoado para computar y1 e z1 lembrando que y0 = z0 = 0

y1 =CLh2

2(50)

z1 =h2(CL+ f (h,hCL)) (51)

• Para m = 1,2,3 . . ., preveja os valores de ym+1 e zm+1 a partir de

y(0)m+1 = ym−1 +2hZm (52)

z(0)m+1 = zm−1 +2h f (xm,zm) (53)

• Corrija os valores de ym+1 e zm+1 usando

y(i)m+1 = ym +h2

[zm + z(i−1)

m+1

](54)

143

z(i)m+1 = zm +h2

[f (xm,zm)+ f

(xm+1,z

(i−1)m+1

)](55)

Note que (11) não envolve ym+1. Logo podemos resolve-lo sem referência a (10).

Uma vez que os valores de z(i)m+1 tenham convergido, isto é,

∣∣∣z(i)m+1− z(i−1)m+1

∣∣∣< ε

, paramos a iteração.

• Fazemos a correção final para zm+1 estimando o erro de truncamento de

eT =15

[z(0)m − z(i)m

]e então fazendo

zm+1 = z(i)+ eT = z(i)m +15

[z(0)m − z(i)m

]• Assim podemos voltar a (8) onde substituímos z(i−1)

m+1 pelo valor de zm+1 que acabou de ser computado.

Assim

ym+1 = ym +h2(zm + zm+1) (56)

Note que agora já não precisamos mais do previsor (8) para y(0)m+1 já que (12) computa ym+1 diretamente.

9.1.6 Fluxograma do Algoritmo que Soluciona o Problema

Todo esse processo pode ser resumido no seguinte fluxograma

O precedimento está claro à partir do Fluxograma mostrado, mas vamos salientar alguns detalhes que podenão

não parecer de fácil compreensão.

Fixamos os valores de L (a extenção da carga), E (módulo de Young), I (momento de inércia) como constantes

no programa.São lidos apenas P (valor de carga) e h (o tamanho do intervalo).

Fazemos isso para, ao tentar diferentes tamanhos de intervalos, observar o número de iterações exigidas pelo

corretor.

E queremos também variar a carga e observar o desvio de uma solução não-linear da linear à medida que a

carga aumenta.

144

Inserimos um contador de iterações ITN no ciclo corretor para ter certesa de que o algoritmo terminará sob

qualquer circunstâncias.

Para cada valor de x (dimensão ao longo da viga,0,h,2h, . . . ,L ) o programa imprime o valor de y que satisfaz

a equação diferencial não-linear (1) e a linear (3). Para todos, exceto os dois primeiros, valores de x o erro

percentragem relativo em y′ = z e o número de iterações são impressos.

9.1.7 Análise dos Resultados

Após rodar o programa notamos que quanto menor o h, menor o número de iterações exigidas pelo corretor.

Mas até quanto? Equilibrando os cálculos extras e alguma outra aritimética adicional para h = 5 cabe destacar

duas coisas:

• A solução obtida quando h = 5 é mais exata (note o erro em y), embora não o suficiente para justificar o

esforço extra.

• Poderiamos usar a solução obtida quando h = 10 e interpolar linearmente para encontrar, por exemplo, a

deflexão em x = 18.

145

No equilíbrio parece que h = 10 é uma boa escolha e usaremos esta nas nossas computações. Note que o fato

de que para h = 10 duas iterações são exigidas na maioria dos intervalos.

Vamos então a seguinte questão:

• Realmente precisávamos calcular a equação não-linear (1) numéricamente ou a solução analítica da

equação linear (3) funcionaria perfeitamente bem?

Se traçarmos o gráfico das curvas de deflexão elas não parecerão diferir muito a menos que usemos uma escala

muito exagerada ao longo do eixo y.

Por outro lado suponha que olhemos o erro de percentagem relativa na deflexão na extremidade livre (x = 100)

usando a solução linear. Esse erro é

e =42,78987−41,85268

42,78987100 = 2,19%

Ainda não podemos responder essa questão: A Solução Linear é suficientemente boa?

A resposta para tal pergunta depende do uso para o qual colocamos os resultados da computação. Se aqueles

usos podem tolerar o erro da grandeza mostrada em e. Então a solução linear é satisfatória e muito mais fácil

de se computar.

Por outro lado se esse tamanho de erro não é tolerável então precisamos recorrer a solução numérica, mais

trabalhosa, da equação não-linear.

Como uma variação final do nosso tema, suponha que decidamos que um erro de 4% na deflexão máxima é

aceitável perguntarmos então:

• De que tamanho pode tronar-se a carga antes de devermos usar a solução não-linear?

Como precisamos da computação para responder essa pergunta, façamos então a execução do programa para

variar as cargas P.

DEFLEXÃO DEFLEXÃO

CARGA NÃO-LINEAR LINEAR ERRO

(KG) (CM) (CM) PERCENTUAL

5 6.67898 6.97545 0.0507010 13.98324 13.95089 0.2313215 21.03858 20.92634 0.5334920 28.17193 27.90179 0.9589125 35.41197 34.87723 1.5100530 42.78987 41.85268 2.1902235 50.34017 48.82812 3.0036540 58.10186 55.80357 3.9556345 66.11987 62.77902 5.05271...

......

...

146

Um gráfico para outra viga (com E, I, L diferentes), forneceria uma curva com o mesmo aspecto geral mas não

com os mesmos resultados numéricos. Nesse caso a solução linear é aceitável para cargas menores de 40 Kg.

Podemos notar que os resultados das últimas entradas da tabela acima não são significativos. Lembre-se de

que (1) é um modelo preciso para as deflexões elásticas. A uma carga de 100kg, parte da viga, notavelmente

próxima da extremidade fixa, terá tensões na faixa plástica. Portanto a análise inteira cai por terra. Realmente,

para a liga de alumínio em questão, cargas de mais de 60kg são capazes de produzir algum comportamento

plástico.

Claro, as equações diferenciais - linear e não-linear - ainda possuem soluções, e podemos computar aque-

las soluções. O ponto é: Ainda que a solução exista e possa ser computada, pode ser não significativa

porque a equação diferencial não é uma representação exata do fonômeno físico. Não há maneira pela qual

a análise numérica ou o computador nos diga quando isso acontece. A responsabilidade de determinar o mod-

elo matemático apropriado fica para o próprio analista.

9.2 Interpolação Bidimensional em uma Tabela de Temperaturas Equivalentes à Presença de

Vento


O calor perdido pela superficie do corpo humano é afetado não somente pela temperatura ambiente mas também

pela velocidade do vento. Por exemplo, a perda de calor em 0 ◦C acompanhada de um vento de 30km/h é

equivalente à perda de calor em −14 ◦C sem vento.

Dada a temperatura e a velocidade do vento, é possível computar a temperatura que, na ausência do vento, tem

valor equivalente.

Segue uma parte da tabela de amostragem de dados de uma empresa de Serviços do Meio Ambiente. Para

encontrar a temperatura equivalente na ausência de vento a partir dessa tabela, localizamos a temperatura real

no cabeçalho das colunas e a velocidade do vento ao lado das linhas. Por exemplo, em−10 ◦C com a velocidade

do vento a 30km/h, a temperatura equivalente na ausência de vento é −27 ◦C.


Suponha agora que desejamos conhecer a temperatura na ausência de vento para −12.5 ◦C e um vento de

25km/h. Como pode este resultado ser obtido a partir da tabela?

Uma resposta óbvia é interpolar, mas agora temos duas variáveis(temperatura e velocidade do vento) nas quais

devemos interpolar. Segue então a maneira mais fácil de se abordar esse problema.

Primeiro vamos nos restringir à interpolação linear. Em segundo lugar iremos interpolar inicialmente a veloci-

dade do vento para temperaturas dadas na tabela. Isso nos dá a temperatura equivalente na ausência de vento

147

Tabela 1: Temperaturas Equivalentes à Presença de Vento

TEMPERATURA ◦C−30 −25 −20 −15 −10 −5 0

0 −30 −25 −20 −15 −10 −5 010 −38 −33 −27 −22 −16 −11 −520 −46 −40 −35 −29 −22 −16 −10

Velocidade 30 −54 −48 −41 −34 −27 −20 −14do vento 40 −58 −52 −45 −36 −30 −23 −17

km/h 50 −62 −56 −48 −41 −33 −25 −1960 −65 −58 −50 −42 −34 −26 −2070 −66 −59 −51 −43 −35 −27 −2180 −67 −60 −52 −44 −36 −28 −22

para:

• uma velocidade de vento de 25km/h e uma temperatura de ar real de −10 ◦C

• uma velocidade de vento de 25km/h e uma temperatura de ar real de −15 ◦C

Usaremos esses valores para interpolar mais uma vez, agora a velocidade do vento manteremos constante

(25km/h) para assim interpolar na temperatura. Vamos mostrar um exemplo numérico para um melhor en-

tendimento.

Se desejamos a temperatura equivalente na ausência de vento para −12.5 ◦C e 25km/h encontramos primeira-

mente as duas temperaturas que enquadram −12.5 ◦C, ou seja, −10 ◦C e −15 ◦C. Para cada uma dessas inter-

polamos para encontrar a temperatura equivalente para a velocidade do vento de 25km/h.

Na coluna−10 ◦C encontramos então duas velocidades que enquadram 25km/h (20 e 30), a interpolação nessas

condições é

−29+(−34)2

=−31.5 ◦C (57)

Na coluna −15 ◦C, também encontramos que 20km/h e 30km/h enquadram 25km/h. O que nos leva ao resul-

tado da interpolação linear para −15 ◦C e 25km/h

−22+(−27)2

=−24.5 ◦C (58)

Até o momento computamos dois valores de temperatura na faixa dos 25km/h (−10 ◦C e −15 ◦C, já que eles

enquadram −12.5 ◦C) para podermos então interpolar novamente para obter o resultado final, que é

148

−31.5+(−24.5)2

=−28 ◦C (59)

Essa é a temperatura equivalente na ausência de vento correspondendo a −12.5 ◦C e 25km/h se usarmos in-

terpolação linear. Se precisamos de um resultado de precisão mais elevada, nesse caso, a interpolação linear é

inadequada. A partir daí temos duas escolhas a seguir: usar uma fórmula de interpolação de ordem superior ou

usar uma tabela mais densamente preenchida e maior.

Como para o nosso objetivo aqui a precisão é suficiente, vamos formalizar o processo de interpolação linear em

duas variáveis numéricamente.


Suponha que temos uma função f (x,y) de duas variáveis, x e y, onde os valores da função são tabelados para

m valores de x e que para cada um desses valores de x a função é tabelada para n valores de y. Os valores de x

para os quais f (x,y) são tabulados são rotulados x1,x2, . . . ,xm. Da mesma forma, os valores de y são rotulados

y1,y2, . . . ,ym.

Se queremos computar o valor da função f para x = x e y = y, primeiro encontramos valores de x j e yi que

enquadram x e y, ou seja, encontramos

x j−1 ≤ x≤ x j (60)

yi−1 ≤ y≤ yi (61)

Anotando os índices de j e i e fazendo para x = x j−1, a função f (x j−1,y) é uma função de uma variável,

y. Interpolamos linearmente para estimar f (x j−1, y). Usando a fórmula para o cálculo da interpolação de y,

obtemos

f (x j−1, y) = f (x j−1,yi−1)+y− yi−1

yi− yi−1[ f (x j−1,yi)− f (x j−1,yi−1)] (62)

Da mesma forma, para x = x j interpolamos e obtemos

149

f (x j, y) = f (x j,yi−1)+y− yi−1

yi− yi−1[ f (x j,yi)− f (x j,yi−1)] (63)

Se considerarmos agora y = y, então f (x, y) é uma função de uma variável: x. Visto que x j−1 e x j enquadram x,

podemos interpolar f (x, y) para estimar f (x, y). Novamente, usando a fórmula de interpolação, isso resulta em

f (x, y) = f (x j−1, y)+x− x j−1

x j− x j−1[ f (x j, y)− f (x j−1, y)] (64)

Note que para calcular (20) precisamos encontrar o valor das funções f de (18) e (19).

Para verificar as operações aqui descritas poderiamos usar a tabela das temperaturas e as equações (18),(19) e

(20) para estimar a temperatura na ausência de vento equivalente a −12.5 ◦C e 25km/h. O resultado tem de ser

−28 ◦C conforme calculamos anteriormente.


i = 2

Esse é um fluxograma direto e fácil de ser seguido. A primeira parte trata da alocação da dimensão e da leitura

dos valores da tabela de temperatura x velocidade do vento. Em seguida vem os testes de determinam a validade

150

dos x e y fornecidos pelo usuário. E apenas no final faz-se a interpolação para o cálculo de f (x, y).


Usando este programa, para computar os valores da temperatura equivalente na ausência de vento usando a

tabela lida do arquivo, o resultado para −12.5 ◦C e 25km/h é

TEMP=−12.50 VEL VENTO= 25.00

EQUIV SEM VENTO=−28.00

Que condiz com o raciocínio feito anteriormente nos nossos cálculos manuais.

Podemos fazer outros testes, como por exemplo para temperatura −10 ◦C e vento à 30km/h. A saída de dados

é



Vamos agora usar um y que esteja na tabela para ver que a interpolação também funciona somente em x. Assim

vamos entrar com −8 ◦C e 30km/h



Podemos também testar valores impossíveis de x e y para verificar se nossos critérios de parada estão funcio-

nando corretamente. 35 ◦C

x É MUITO GRANDE

9.3 Uso da Regra de Simpson na Computação de Eficiência Luminosa


Imaginemos um corpo negro(radiador perfeito) que emite energia em uma taxa proporcional à quarta potência

de sua temperatura absoluta, de acordo com a seguinte equação

E = 36,9.10−12T 4 (65)

onde E =potência de emissão, W/cm2; T =temperatura, K

Estamos interessados na fração dessa energia total contida no espectro visível, que é tomado aqui como sendo

4.10−5 e 7.10−5cm. Podemos obter a parte visível integrando a equação de Planck entre os limites:

151

Evisível =∫ 7.10−5

4.10−5

2,39.10−11dxx5(e1.432/T x−1)

(66)

onde x = comprimento da onda, cm; E e T como constantes. A eficiência luminosa é definida como a relação

da energia no espectro visível para a energia total. Se multiplicarmos por 100 para obter a eficiência percentual

e combinamos as constantes, o problema torna-se o de calcular

EFF =

64.77∫ 7.10−5

4.10−5

dxx5(e1.432/T x−1)T 4

Nosso objetivo é escrever um programa que compute EFF para um número de temperaturas indo desde um

valor inicial TEMP1 a um valor máximo TEMP2, em incrementos que chamaremos de TMPINC. Iremos ainda

ler valores dos limites do espectro visível, de A a B, de modo que estes números ligeiramente indefinidos

possam variar se desejado. Um número de ponto fixo N será lido para dar o número de intervalos a ser usado

na integração numérica.


9.3.3 Método de Simpson

I =h3(y0 +4y1 +2y2 +4y3 +2y4 + . . .+2yn−4 +4yn−3 +2yn−2 +4yn−1 + yn) (67)


Começamos lendo seis valores de entrada e então executando dois estágios que nunca se repetirão: a com-

putação de H, o tamanho do intervalo, e o estabelecimento de T igual à temperatura inicial no intervalo. Vamos

então à rotina de integação numérica onde fixamos duas posições de soma SUM4 e SUM2, para registrar a

soma das ordenadas a serem multiplicadas por 4 e 2, respectivamente, na regra de Simpson. Estaremos em

breve computando um valor para o integrando no primeiro ponto interior A+H (adicionando a SUM4) e no

segundo ponto interior (adicionando a SUM2), de forma a darmos a X o valor inicial conveniente.

Para dar a X um valor que seja exatamente igual a B−3H contaremos o número de pontos internos computados

com ema variável de ponto fixo. Assim, fazemos I igual a 1 antes de entrar no ciclo da soma. Computamos

então os dois próximos pontos internos, somamos os mesmos às somas apropriadas e verificamos se terminamos

esse ciclo, se não, incrementamos I e X e voltamos novamente. Se terminamos estamos prontos para computar

EFF .

A variável SUM4 contém todas as ordenadas a serem multiplicadas por 4 exceto a de B−H, que deve ser

computada.

152

SUM2 contém todas as ordenandas a serem multiplicadas por 2, o que deixa de fora as ordenadas A e B.

Precisamos então obter uma declaração para computar as 3 ordenadas deixadas de fora do ciclo, usando uma

função anteriormente definida, e fazemos as multiplicações por 4 e por 2. Esta declaração também leva em

consideração o fator de H3 da regra de Simpson, e o 64,77

T 4 da fórmula.

Após imprimir o resultado, T é incrementado e então testado. Se o valor incrementado é menor que T EMP2,

o valor de entrada que dá a maior temperatura a ser considerada, voltamos a realizar toda a parte da inte-

gração novamente. Se a eficiência luminosa tiver tido calculada para a maior temperatura especificada, então

terminamos!


A estimativa de erro de truncamento a partir do limite de erro é possível, mas em termos práticos dá muito

trabalho. Poderiamos ter de encontrar a quarta derivada de

1x5(e1.432/T x−1)

153

que, embora possa ser feito, gera um trabalho considerável. Então poderíamos precisar de ter alguma ideia de

onde o intervalo da quarta derivada seria maior.

Um método muito mais prático é fazer o computador nos ajudar. Um método de extrapolação para o limite

para a regra de Simpson, semelhante a equação de extrapolação para o limite de Richardson aplicada a regra

do trapézio, é facilmente deduzido.

I = Ih +ih− Ik

I− k4

h4

(68)


Se executamos o programa para, por exemplo, N = 10 e então para N = 20 temos uma maneira de estimar

a integral verdadeira. A partir do tamanho da diferença entre os dois valores computados temos também uma

idéia bastante entre os dois valores computados temos também uma idéia bastante boa de quantos intervalos

usar habitualmente.

Para esse programa, com T = 3500 ◦K. Para 10 intervalos o valor computado foi 14.51275% e para 20 foi

14.51269%. A diferença é tão menor do que qualquer uso prático dos resultados poderia possivelmente pedir,

que desprezamos imediatamente qualquer preocupação adicional sobre precisão.

Embora não seja uma questão de análise numérica, é interessante traçar em gráfico a variação de eficiência com

a temperatura, como mostramos a seguir. Vemos que a fração visível da energia total é ínfima abaixo de cerca de

7000 ◦K. Considerações tais como estas estabelecem limitações na eficiência de uma lâmpada incandescente,

por exemplo.

Gráfico Temperatura X Eficiência Luminosa

154

10 Bibliografia

• Matemática: Ensino de Primeiro grau Matemática: Ensino de Primeiro grau - Miguel Asis Name/Editora

do Brasil S.A - São Paulo

• Matemática Fácil - Linaldo Malveira/Editora Ática 9o edição - São Paulo

• Praticando Matemática - Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos/Editora do Brasil 1o edição - São

Paulo

• Para Saber Matemática/ Editora Saraiva 2o edição - São Paulo, Luiz G.Cavalcante

• Matemática: Uma aventura do pensamento/Editora Ática - São Paulo- Miguel Asis Name/Editora do

Brasil S.A - São Paulo, Oscar Guelli

• Fundamentos de Matemática 1 Elementar-Conjuntos e Funções; 7aEdição; Atual Editora; São Paulo,

1996, Gelson Iezzi e Carlos Murakami

• Matemática, Contexto & Aplicações - Volume Único; Editora Ática; 1a Edição; São Paulo,200, Dante,

Luiz Roberto

• Pré-Cálculo ; 2a Edição; Editora UFRGS, Porto Alegre, 2009, Claus Ivo Doering, Liana Beatriz Nácul,

Luisa Rodrigues Doering

• http://www.vestibular1.com.br/revisao/polinomios.doc consultado em 25/10/2010;

• http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-de-polinomios.htm consultado em 25/10/2010;

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio consultado em 25/10/2010

• Anton, Howard. Cálculo - Volume II. 8 ed. Porto Alegre, Artmed Editora S.A. 2006.

• Halliday David. Fundamentos de física. 7 ed. Rio de Janeiro, LTC, 2006.

• Righetto, Armando.Cálculo Diferencial e integral. 2 ed. São Paulo, Instituto Brasileiro de Edições

Científicas, 1987.

• Munem, Mustafa A.Cálculo. Edição Única, Rio de Janeiro, Guanabara, 1982.

• Bassanezi, Rodney Carlos. Equações Diferenciais com aplicações. Edição Única. São Paulo, Harbra,

1988.

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Acidente-radiológico-de-Goiânia, acessado em 23 de novembro de 2010.

• http://www.if.ufrgs.br/cref/radio/capitulo2.htm, acessado em 23 de novembro de 2010.

155

• www.inf.ufsc.br/˜davigp/INE-5386/Enigma/informatica.hsw.uol.com.br/criptografia.htm

• ensino.univates.br/˜chaet/Algebra_Linear.html

• www.infowester.com/criptografia.php

• www.magiadamatematica.com/diversos/eventos/20-congruencia.pdf

• www.raymundodeoliveira.eng.br/eliminacao_gauss.html

• www.leandroengenharia.com.br/materias/algebralinear/Aula_04_AlgLinear.pdf

• www.dt.fee.unicamp.br/˜valente/capt23_044.pdf

• www.igm.mat.br/aplicativos

• Álgebra Linear com Aplicações -ANTON E RORRES

• Álgebra Linear 3a Edição- José Luiz Boldrini- Suelli. Rodrigues Costa- Vera Lúcia Figueiredo- Henry

G. Wetzler

• Álgebra Linear e Aplicações 6aEdição- Carlos A. Callioli- Hygino H. Domingues- Roberto C. F. Costa

• Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, Boyce & DiPrima

• Métodos Numéricos. Teoria e Programação, Sebastião Cícero Pinheiro Gomes

• Cálculo Numérico, Neide Bertoldi Franco

• Cálculo Numérico - Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos, Décio

Sperandio, João Teixeira Mendes, Luiz Henry Monken e Silva

• Cálculo Numérico Com Estudos de Casos em Fortran IV, William S. Dorn & Daniel D. McCracken

156

PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO · PDF file6.2.3 Trinômio...

Documents

Transcript of PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO · PDF file6.2.3 Trinômio...