Pre-C´ alculo, Vol. 3: Polin´ omios comˆ Coeﬁcientes Reais · Daremos o algoritmo de Euclides...

Pre-Calculo, Vol. 3: Polinomios com

Coeficientes Reais

Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela

IM-UFF 2007

Conteudo

3 Polinomios com coeficientes reais 7

§1. Polinomios e operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Aula 25: Polinomios - operacoes e propriedades . . . . . . . . 11

Aula 26: Divisibilidade - raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Aula 27: Dispositivo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . 37

§2. Numeros complexos e a fatoracao em R[x] . . . . . . . . . 47

Aula 28: Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Aula 29: Forma polar dos numeros complexos . . . . . . . . . 61

Aula 30: Fatoracao em R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6

Capıtulo 3

Polinomios com coeficientesreais

Em tais ocasioes, sinto vibrar em mim, com grande vivacidade,

o verdadeiro sentido de√

−1, mas creio que sera

extraordinariamente difıcil exprimi-lo com palavras . . .

Gauss

O objetivo deste volume e estudar os polinomios com coeficientes

reais, suas operacoes de adicao e multiplicacao e algumas propriedades

elementares, tais como: os conceitos de divisibilidade e fatoracao de po-

linomios em produto de potencias de fatores da forma x − a, onde a ∈ R,

e x2 + bx + c, onde b e c sao numeros reais tais que b2 − 4c < 0.

Veremos que a construcao desta fatoracao esta relacionada com a

existencia de raızes complexas para os polinomios com coeficientes reais.

O conjunto dos numeros reais nao tem raızes para todos os polinomios

com coeficientes reais. Para determinarmos todas as raızes, precisamos

de um conjunto de numeros maior, o conjunto dos numeros complexos C.

Vamos definir o conjunto dos numeros complexos C, que contem R,

suas operacoes de adicao e multiplicacao, e estudar algumas das propri-

edades relevantes para obter a fatoracao dos polinomios com coeficientes

reais.

Gauss1777-1855, Alemanha.

Carl Friedrich Gauss, um mesantes de completar 19 anos,havia feito uma importantedescoberta - a construcao comregua e compasso do polıgonoregular de 17 lados. Esse foium avanco consideravel emrelacao a Matematica grega.Havia 2000 anos que sabia-seconstruir com regua e com-passo o triangulo equilatero,o pentagono regular, assimcomo outros polıgonos regu-lares com numero de ladosmultiplo de dois, tres e cinco,mas nenhum outro polıgonocom numero de lados primo.Entre as contribuicoes deGauss, ainda como estudante,estao o metodo dos mınimosquadrados, a lei de reciproci-dade quadratica e o TeoremaFundamental da Algebra.

No endereco:http://www-history.mcs.st

-andrews.ac.uk/∼history/

Mathematicians/Gauss.html

podem ser encontradas maisinformacoes sobre Gauss.

Finalmente, conhecendo os numeros complexos, finalizamos este

volume com o famoso Teorema Fundamental da Algebra, a saber: Todo

7

polinomio de grau n ≥ 1 com coeficientes reais possui exatamente n

raızes complexas. Este teorema foi demonstrado por Gauss em 1799

que, no decorrer de sua vida, apresentou ainda tres demonstracoes desse

mesmo teorema, e D’Alembert dispendeu grandes esforcos tentando de-

monstra-lo.


§1. Polinomios e operacoes

Conceitos:Numeros reais e operacoes,fracoes irredutıveis.

Referencias:Aulas 2, 7, 8, 9.

Nesta secao definiremos o conjunto dos polinomios com coeficientes

reais e suas operacoes de adicao e multiplicacao. Estudaremos as propri-

edades destas operacoes, relacionadas diretamente com as propriedades

da adicao e multiplicacao de numeros reais, e aprenderemos a efetua-las

na pratica.

Daremos o algoritmo de Euclides para polinomios e ensinaremos a

determinar o quociente e o resto do algoritmo, em um problema do tipo

“arme a conta e efetue os calculos”. A existencia de raiz real em um

polinomio com coeficientes reais sera relacionada com a divisibilidade por

polinomios lineares. Veremos que ha polinomios com coeficientes reais

sem raızes reais.

Determinar, quando existem, as raızes reais de um polinomio nao

e um problema facil. Discutiremos um metodo para procurar as raızes

racionais de polinomios com coeficientes inteiros.

Considerando a importancia da divisao de um polinomio por um po-

linomio linear, vamos apresentar o dispositivo de Briot-Ruffini. Finalizare-

mos com a divisao sucessiva por polinomios lineares, relacionada com o

conceito de raızes multiplas.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 9 CEDERJ

Polinomios - operacoes e propriedadesPolinomiosAULA 25

Aula 25: Polinomios - operacoes e proprieda-

des

Conceitos:Numeros reais, operacoesde adicao e multiplicacao denumeros reais.

Referencias:Aulas 7, 8, 9.

Objetivos

• Definir polinomios com coeficientes reais.

• Identificar monomios e o grau de um monomio.

• Aprender as operacoes de adicao e multiplicacao de polinomios com

coeficientes reais e suas propriedades.

• Aprender o conceito de grau de polinomio e as suas propriedades.

Nas Aulas 15 e 20, estudamos expressoes do tipo ax + b e ax2 +

bx + c, sendo a, b e c numeros reais fixados e a 6= 0, sob o ponto de

vista geometrico. Estas expressoes sao polinomios com coeficientes re-

ais e serao estudadas nesta aula sob o ponto de vista algebrico, isto

e, essas expressoes serao manipuladas, usando operacoes de adicao

e multiplicacao.

Seja x um sımbolo nao pertencente ao conjunto dos numeros reais,

chamado uma indeterminada ou variavel sobre R.

Para cada numero natural j, designamos a j-esima potencia de x por

xj e escrevemos x1 = x e x0 = 1.

Um polinomio com coeficientes reais e uma expressao do tipo

O sımbolo∑

le-se comosomatorio ou soma.

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn =

n∑j=0

ajxj,

onde n e um numero natural e aj ∈ R, para 0 ≤ j ≤ n.

Para 0 ≤ j ≤ n, os numeros reais aj sao chamados de coeficientes,

as parcelas ajxj de termos e os termos ajx

j tais que aj 6= 0 de monomios

de grau j do polinomio f(x). O coeficiente a0 e chamado de termo cons-

tante.

O sımbolo ≡ le-se comoidentico.

Convencao:

(a) Para cada numero natural n, chamar 0(x) = 0 + 0x + · · · + 0xn de

polinomio identicamente nulo e escrever 0(x) ≡ 0.


Polinomios - operacoes e propriedades

(b) Chamar f(x) = a0 de polinomio constante.

(c) Escrever o polinomio f(x) com as j-esimas potencias de x em ordem

crescente ou em ordem decrescente, a saber, f(x) = a0 + a1x + a2x2 +

· · ·+ anxn ou f(x) = anxn + · · ·+ a2x2 + a1x + a0.

(d) Nao escrever o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum

termo nao-nulo no polinomio.

Exemplo 1a. Dados os numeros reais a0 =

3

2, a1 = −1, a2 =

√2 e a3 = 1, temos

f(x) =3

2− x +

√2x2 + x3.

b. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −√

5, a2 = 0, a3 = −π, a4 = 0

e a5 = −2,4, temos g(x) = 2 −√

5x − πx3 − 2,4 x5.

c. Dados os numeros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,

temos h(x) = −x + 3x2 − 3x4.

d. Dados os numeros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) =

5 − x + 3x2.

e. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,

temos s(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4.

f. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3

e a5 = a6 = 0, temos t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4.

g. As expressoes u(x) = x−2 + 3√

x + x5 e v(x) = 6√

x3 − 4x2 + 5

nao sao polinomios porque nem todos os expoentes da variavel x sao

numeros naturais.

O polinomio f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn pode tambem ser escrito

como f(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn +0xn+1 +0xn+2 + · · ·+0xn+m, para todo

numero natural m ≥ 1. Portanto, quando comparamos dois polinomios

f(x) e g(x), e possıvel assumir que os termos de ambos tem as mesmas

potencias de x.

Igualdade de polinomios:

Os polinomios com coeficientes reais f(x) = a0+a1x1+a2x

2+· · ·+anxn

e g(x) = b0 + b1x1 + b2x

2 + · · · + bnxn sao iguais se, e somente se,

aj = bj para todo j, tal que 0 ≤ j ≤ n. Escrevemos f(x) = g(x).

Isto e, f(x) e g(x) sao iguais apenas quando todos os coeficientes



das correspondentes potencias de x em f(x) e g(x) sao iguais.

Observe que, se f(x) e g(x) nao sao iguais, entao existe algum

numero natural j, com 0 ≤ j ≤ n e aj 6= bj. Neste caso, dizemos que

f(x) e g(x) sao diferentes e escrevemos f(x) 6= g(x).

No Exemplo 1, os coeficientes dos termos constantes dos polinomios

h(x) = −x + 3x2 − 3x4 e t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 sao diferentes; logo

h(x) 6= t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mes-

mas potencias de x em s(x) e t(x) sao iguais.

Exemplo 2Os polinomios f(x) = x4 −x5 +4x2 +3−2x e g(x) = 3+4x2 −2x−x5 +x4

sao iguais, porque os seus coeficientes aj da j-esima potencia xj sao:

a0 = 3, a1 = −2, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1 e a5 = −1.

Escrevendo os polinomios com as potencias de x em ordem crescente,

visualizamos imediatamente a igualdade dos polinomios. Temos

f(x) = g(x) = 3 − 2x + 4x2 + x4 − x5.

O sımbolo 6≡ le-se como nao eidentico.

O sımbolo gr(f(x)) le-se comograu de f de x.

Em todo polinomio nao identicamente nulo, f(x) 6≡ 0, algum coefici-

ente deve ser diferente de zero, entao ha um maior numero natural n, tal

que an 6= 0. Definimos o grau de f(x) por gr(f(x)) = n e, nesse caso, an

e chamado de coeficiente lıder de f(x).

Os polinomios de grau n com coeficiente lıder an = 1 sao chamados

de polinomios monicos.

Importante:

Nao definimos o grau do polinomio identicamente nulo, 0(x) ≡ 0.

Exemplo 3O polinomio constante u(x) = 5 nao e identicamente nulo e gr(u(x)) = 0.

Volte ao Exemplo 1 e observe que gr(f(x)) = 3, gr(g(x)) = 5, gr(h(x)) =

4, gr(r(x)) = 2, gr(s(x)) = 4, gr(t(x)) = 4 e que o polinomio f(x) e monico.

Note que:

gr(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) = a 6= 0.



Denotamos o conjunto de todos os polinomios na variavel x com

coeficientes reais por R[x].

R[x] = { f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn | n ∈ N, aj ∈ R, 0 ≤ j ≤ n }.

No conjunto R[x] estao definidas duas operacoes com polinomios:

adicao e multiplicacao.

Definicao 1 (Adicao de polinomios)Definimos a adicao dos polinomios f(x) =

n∑j=0

ajxj e g(x) =

n∑j=0

bjxj por

f(x) + g(x) =

n∑j=0

(aj + bj)xj.

O resultado da adicao de doispolinomios e chamado desoma.

Exemplo 4Sejam f(x) = 4x3 −3x2 +4x+5, g(x) = 2x2 −5x−2 e h(x) = −4x3 +5x2 −3x+1.

Entao,

Lembre quea − b = a + (−b),

para todos os numeros reais a

e b.

f(x) + g(x) = (4 + 0)x3 + (−3 + 2)x2 + (4 + (−5))x + (5 + (−2))

= 4x3 − x2 − x + 3,

f(x) + h(x) = (4 − 4)x3 + (−3 + 5)x2 + (4 − 3)x + (5 + 1)

= 0x3 + 2x2 + x + 6

= 2x2 + x + 6.

No exemplo anterior, observamos que

gr(f(x)) = gr(h(x)) = 3 e gr(f(x) + h(x)) = 2, enquanto gr(g(x)) = 2 e

gr(f(x) + g(x)) = 3 = maximo { gr(f(x)), gr(g(x)) }.

Na adicao de polinomios vale a seguinte propriedade do grau.

Propriedade do grau: [Adicao de polinomios]

Sejam f(x) =

n∑j=0

ajxj, com an 6= 0, e g(x) =

m∑j=0

bjxj, com bm 6= 0.

Se f(x) + g(x) 6≡ 0, entao

O sımbolo max significa o maiorou o maximo dos numeros.

gr(f(x) + g(x)) ≤ max{ gr(f(x)), gr(g(x)) } = max { n, m }

valendo a igualdade sempre que gr(f(x)) = n 6= m = gr(g(x)).

Propriedades da adicao:



A adicao de polinomios satisfaz diversas propriedades, que sao consequencia

das propriedades da adicao de numeros reais.

Sejam f(x) =

n∑j=0

ajxj, g(x) =

n∑j=0

bjxj e h(x) =

n∑j=0

cjxj elementos de R[x].

(A1) Comutativa:

f(x) + g(x) = g(x) + f(x) ,

pois para todos 0 ≤ j ≤ n e aj, bj ∈ R, temos aj + bj = bj + aj.

Lembre quea adicao de numeros reais ecomutativa e associativa.

(A2) Associativa:

(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ,

pois para todos 0 ≤ j ≤ n e aj, bj, cj ∈ R, temos (aj+bj)+cj = aj+(bj+cj) .

(A3) Existencia de elemento neutro:Lembre que em R0 e o elemento neutro aditivoe−a e o simetrico de a.

O polinomio identicamente nulo 0 =

n∑j=0

0xj satisfaz f(x) = 0 + f(x),

pois para todos 0 ≤ j ≤ n e aj ∈ R, temos aj = 0 + aj.

(A4) Existencia de simetrico:

Dado f(x) =

n∑j=0

ajxj, o polinomio −f(x) =

n∑j=0

(−aj)xj e o simetrico

de f(x), sendo

f(x) + (−f(x)) =

n∑j=0

0xj ,

pois aj + (−aj) = 0 para todo 0 ≤ j ≤ n e aj ∈ R .

Exemplo 5Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x+ 5, g(x) = 2x2 − 5x− 2

e h(x) = −4x3 + 5x2 − 3x + 1 do Exemplo 4.

a. No Exemplo 4 determinamos f(x) + g(x) = 4x3 − x2 − x + 3. Assim,

(f(x) + g(x)) + h(x) = (4x3 − x2 − x + 3) + (−4x3 + 5x2 − 3x + 1) = (4 −

4)x3 + (−1 + 5)x2 + (−1 − 3)x + (3 + 1) = 0x3 + 4x2 − 4x + 4 = 4x2 − 4x + 4.

b. A adicao de polinomios pode ser feita facilmente se escrevemos os

polinomios numa tabela, onde nas primeiras linhas estao cada um dos

polinomios com as potencias xj em ordem decrescente, e na ultima li-

nha o resultado da adicao, de maneira similar a adicao de numeros reais.

Calcularemos g(x) + h(x) desse modo.



2x2 − 5x − 2

(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1

− 4x3 + 7x2 − 8x − 1

Nesse caso, g(x) + h(x) = −4x3 + 7x2 − 8x − 1.

c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinomios,

construindo uma tabela com m + 1 linhas e tantas colunas quantas forem

necessarias. Por exemplo, para calcular f(x) + g(x) + h(x) a tabela tera

quatro linhas4x3 − 3x2 + 4x + 5

2x2 − 5x − 2

(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1

0x3 + 4x2 − 4x + 4

Logo, f(x) + g(x) + h(x) = 4x2 − 4x + 4.

No item a fizemos a adicao desses tres polinomios, usando a propriedade

associativa e o resultado do calculo de f(x) + g(x) obtido no Exemplo 4.

Faca a adicao desses tres polinomios, usando a propriedade associativa

e o resultado do calculo de g(x) + h(x) obtido anteriormente.

Definicao 2 (Multiplicacao de polinomios)Definimos a multiplicacao dos polinomios f(x) =

n∑j=0

ajxj e g(x) =

m∑j=0

bjxj

por

f(x) · g(x) =

n+m∑j=0

cjxj

O resultado da multiplicacao dedois polinomios e chamado deproduto.

sendoc0 = a0 · b0

c1 = a0 · b1 + a1 · b0

c2 = a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0

...

cj = a0 · bj + a1 · bj−1 + · · ·+ aj · b0 =∑

λ+µ=j

aλ · bµ

...

cn+m = an · bm .

Propriedade do grau: [Multiplicacao de polinomios]



Sejam f(x) =

n∑j=0

ajxj, com an 6= 0, e g(x) =

m∑j=0

bjxj, com bm 6= 0.

Entao, Lembre quenos numeros reaisa · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0.gr(f(x) · g(x)) = n + m

pois o coeficiente lıder de f(x) · g(x) e cn+m = an · bm 6= 0 .

Propriedades da multiplicacao:

A multiplicacao de polinomios satisfaz as seguintes propriedades.

Sejam f(x) =

n∑j=0

ajxj, g(x) =

m∑j=0

bjxj e h(x) =

r∑j=0

cjxj elementos

de R[x].

(M1) Comutativa:

f(x) · g(x) = g(x) · f(x) , Lembre que

no conjunto dos numeros reais amultiplicacao e comutativa e as-sociativa.

pois para todo 0 ≤ j ≤ n + m , vale a identidade∑λ+µ=j

aµbλ =∑

λ+µ=j

bλaµ .

(M2) Associativa:

(f(x) · g(x)) · h(x) = f(x) · (g(x) · h(x)) .

Note que, em vista da definicao das operacoes:

• Para todos j, k ∈ N, vale a identidade: xj · xk = xj+k.

• Se f(x) = a e g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, entao

f(x) · g(x) = a · g(x) = a ·

(m∑

k=0

bkxk

)=

m∑k=0

(a · bk)xk

= (a · b0) + (a · b1)x + · · ·+ (a · bm)xm ,

pois, nesse caso, a0 = a, n = 0, e cj = a0 ·bj = a ·bj, para todo j ∈ N.

• Se f(x) = axj com j ≥ 1, e g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, entao

f(x) · g(x) = (axj) · g(x) = (axj) ·

(m∑

k=0

bkxk

)=

m∑k=0

(a · bk)xk+j

= (a · b0)xj + (a · b1)x

j+1 + · · ·+ (a · bm)xj+m ,

pois, nesse caso, temos a0 = 0, . . . , aj−1 = 0 aj = a, n = j, n + m =

j + m, c0 = 0, . . . , cj−1 = 0, cj = aj · b0 = a · b0, cj+1 = aj · b1 = a · b1,

. . ., cj+m = aj · bm = a · bm.



Propriedade da adicao e multiplicacao:

Combinando as tres observacoes anteriores com o fato da adicao

de polinomios corresponder a adicionar os coeficientes das potencias de

x de mesmo expoente em ambos os polinomios, obtemos mais uma pro-

priedade, que envolve as duas operacoes.

Lembre que

no conjunto dos numeros reais aadicao e a multiplicacao satisfa-zem a propriedade distributiva:

a(b + c) = ab + ac .

Sejam f(x) =

n∑j=0

ajxj, g(x) =

n∑j=0

bjxj e h(x) =

m∑j=0

cjxj.

(AM) Distributiva:

(f(x) + g(x)) · h(x) = f(x) · h(x) + g(x) · h(x) .

Agora podemos fazer exemplos de multiplicacao de polinomios.

Exemplo 6Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x+ 5, g(x) = 2x2 − 5x− 2

e h(x) = −4x3 − 3x + 1.

a. Vamos calcular f(x) · g(x).

Usando a propriedade distributiva da multiplicacao de polinomios, temos

f(x) · g(x) = (4x3 − 3x2 + 4x + 5) · (2x2 − 5x − 2)

= 4x3 · (2x2 − 5x − 2) + (−3x2) · (2x2 − 5x − 2)

+ 4x · (2x2 − 5x − 2) + 5 · (2x2 − 5x − 2)

= (8x5 − 20x4 − 8x3) + (−6x4 + 15x3 + 6x2)

+ (8x3 − 20x2 − 8x) + (10x2 − 25x − 10)

= 8x5 + (−20 − 6)x4 + (−8 + 15 + 8)x3

+ (6 − 20 + 10)x2 + (−8 − 25)x − 10

= 8x5 − 26x4 + 15x3 − 4x2 − 33x − 10.

Observe que as igualdades acima foram obtidas:

(1) distribuindo as parcelas de f(x) na multiplicacao por g(x);

(2) distribuindo cada multiplicacao com respeito as parcelas de g(x);

(3) fazendo a adicao dos coeficientes das potencias de x de mesmo ex-

poente.

b. Vamos calcular h(x) · g(x).

Construiremos uma tabela, escrevendo h(x) na primeira linha e g(x) na



segunda, com as potencias de x em ordem decrescente. Fazemos a

multiplicacao usando a propriedade distributiva e calculando a multiplicacao

dos termos do polinomio g(x) por h(x), em ordem crescente das potencias

de x e organizando na tabela os resultados parciais em ordem decres-

cente das potencias de x. A ultima linha da tabela sera a adicao das

multiplicacoes parciais.

− 4x3 − 3x + 1

(×) 2x2 − 5x − 2

8x3 + 6x − 2 −2 · (−4x3 − 3x + 1)

+ 20x4 + 15x2 − 5x −5x · (−4x3 − 3x + 1)

−8x5 − 6x3 + 2x22x2 · (−4x3 − 3x + 1)

−8x5 + 20x4 + 2x3 + 17x2 + x − 2 adicao das 3 parcelas

Temos gr(h(x) · g(x)) = 5 = 3 + 2 = gr(h(x)) + gr(g(x)).

Resumo

Voce aprendeu o conceito de polinomio com coeficientes reais, as

operacoes de adicao e multiplicacao de polinomios e suas propriedades

comutativa, associativa e distributiva. Tambem aprendeu que o maior in-

teiro n, tal que o coeficiente an 6= 0, e chamado de grau do polinomio.

Exercıcios

1. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 + x3 − 2x − 3,

h(x) = 2x3−2x2−x+2, r(x) = −2x3+3x2+5x−3 e s(x) = −x2+x−3.

Efetue a operacao e de o grau dos resultados nao identicamente nu-

los:

a. f(x) + g(x) b. x2 · f(x) − g(x) + x · h(x)

c. g(x) + (3 − 2x2) · h(x) d. g(x) + h(x) + r(x) + s(x)

e. h(x) + r(x) f. h(x) · s(x) + r(x) · s(x)

g. (2x − 1) · r(x) − (3x + 2) · s(x) h. (x2 − 1) · (x2 + 1) − (s(x))2

2. Determine:

a. (x4 − 3x2 + 5)(2x + 3) + (x2 + 3x)(4x3 − 6x).

b. 9x2(2x2 + 3) + 4x(3x3 − 2).

Se f(x) e um polinomio e n ≥ 1

e um numero natural, entao(f(x))n = f(x) · f(x) · · · f(x)︸︷︷︸

n fatores

Convencionamos nao escre-ver o sinal da operacao demultiplicacao de polinomios.Assim,

f(x)g(x) = f(x) · g(x).

3. Determine:



a. (x2 + 2)(x2 − 2) b. (x − 2)3 c. (x − 1)2(x + 1)2

d. (x + 3)(x + 1)(x − 4) e. (x + 2)4 f. (1

2x − 4)2

g. (1

3x + 3)3

Lembre da formula do binomiode Newton

(a + b)n =n∑

k=0

“n

k

”an−kbk

4. Determine os numeros reais a, b, c e d para que as identidades de

polinomios sejam verdadeiras:

a. (a + 5)x3 + (1 − b)x2 + (2c − 1)x + (d + 2) ≡ 0.

b. 3ax7 − 2bx5 + 3cx4 + (d + 3) = x5 − x4 + 3.

c. ax2 + bx + c = (ax − d)2.

d. (b + d)x4 + (d + a)x3 + (a − c)x2 + (c + b)x = 4x4 + 2x2.

5. Determine numeros reais a, b, c e d tais que

f(x) + 2g(x) − 3h(x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + x + 2,

sabendo que f(x) = ax3 + 2x2 − x + d, g(x) = x3 + bx2 − 2x − 4 e

h(x) = x4 + 2x3 + dx2 + cx + c.

6. Dado o polinomio g(x), determine, em cada item, o polinomio f(x),

satisfazendo a condicao indicada:

a. f(x) + g(x) = 0, g(x) = x2 − x + 3.

b. 2f(x)+ 3g(x) = 4x5 + x3 + x2 − x+ 1, g(x) = 2x4 − x3 − x2 + 3x+ 5.

c. 3f(x)−2g(x)+5x−3 = 6x3+5x2−3x−2, g(x) = 5ax3−bx2+2x+c.

7. Discuta, para a ∈ R, o grau do polinomio f(x):

a. f(x) = (a2 − 1)2x3 + (a2 − 3a + 2)x + a + 3

b. f(x) = ax2 + 2ax + 9

c. f(x) = (a3 − a)x3 + a(a − 1)x2 + a3 − 1

Auto-avaliacao

Voce deve prosseguir apos saber identificar um polinomio com coe-

ficientes reais; determinar o grau de polinomios nao identicamente nulos;

comparar polinomios; calcular a adicao e a multiplicacao de polinomios e

saber suas propriedades. Resolveu os exercıcios sem dificuldade? Caso

nao tenha conseguido, reveja as definicoes das operacoes e releia as

suas propriedades. Para resolucao dos exercıcios propostos basta sa-

ber as operacoes, suas propriedades e como comparar polinomios. Nos

exercıcios 4 a 6 use a definicao de igualdade de polinomios e no exercıcio

7, a definicao de grau. Procure os tutores sempre que a duvida persistir.



Na Aula 26 vamos aprender o algoritmo euclidiano para polinomios e o

conceito de divisibilidade.


Divisibilidade - raızesPolinomiosAULA 26

Aula 26: Divisibilidade - raızes

Conceitos:Numeros reais, operacoesde adicao e multiplicacao denumeros reais, fracoes irredu-tıveis, polinomios e operacoesde adicao e multiplicacao depolinomios.

Referencias:Aulas 2, 7, 8, 9, 25

Objetivos

• Aprender o conceito de divisibilidade e o algoritmo euclidiano

para polinomios.

• Compreender o conceito de raiz real de um polinomio em R[x].

• Relacionar a existencia de uma raiz real α com a divisibilidade por x−α.

• Relacionar a existencia de raızes reais distintas α1, . . . , αn com a divi-

sibilidade por (x − α1) · · · (x − αn).

• Determinar as possıveis raızes racionais de um polinomio com coefi-

cientes inteiros.

No conjunto dos polinomios R[x] temos o conceito de divisibilidade.

Definicao 3 (Divisibilidade)Sejam f(x), g(x) polinomios em R[x], com g(x) 6≡ 0. Dizemos que g(x)

divide f(x) se, e somente se, existe um polinomio q(x) ∈ R[x], tal que

f(x) = q(x)g(x).

Dizemos tambem que f(x) e multiplo de g(x) ou que f(x) e divisıvel por

g(x).

Exemplo 7a. Como x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), temos que x − 2 divide x2 − 4. Note que

x + 2 tambem divide x2 − 4.

b. O polinomio x4 + 5x2 + 6 pode ser escrito como

x4 + 5x2 + 6 = (x2 + 3)(x2 + 2).

Logo, x2 + 3 e x2 + 2 dividem x4 + 5x2 + 6.

c. A igualdade dos polinomios x3−8 = (x−2)(x2+2x+4), 2x+1 = 2(x+1

2)

e (2x + 1)(x3 − 8) = 2x4 + x3 − 16x − 8 significa que 2x4 + x3 − 16x − 8 e

multiplo de x +1

2, x − 2 e x2 + 2x + 4.

d. Dados numeros naturais m ≤ n, o polinomio xm divide xn pois, to-

mando r = n − m ≥ 0, podemos escrever

xn = xr+m = xr · xm.


Divisibilidade - raızes

E claro que nem sempre um polinomio e multiplo do outro.

Exemplo 8Ha algum polinomio q(x), tal que x2 + 3x + 2 = q(x)(x + 4)?

Suponhamos, por absurdo, que existe q(x). Como 2 = gr(x2 + 3x + 2)

e 1 = gr(x + 4), um tal polinomio q(x) deve ter grau igual a 1. Assim,

q(x) = ax + b com a 6= 0 e a, b numeros reais. Entao,

A reducao ao absurdo e uma es-trategia para demonstracoes.Reveja na Aula 7 a demonstra-cao de que

√2 e irracional.

x2 +3x+2 = (ax+b)(x+4) = ax2 +4ax+bx+4b = ax2 +(4a+b)x+4b.

Portanto, a = 1, 4a + b = 3 e 4b = 2. A primeira e a ultima equacao nos

dizem que a = 1 e b = 12, mas 3 = 4a+b = 4·1+ 1

2= 9

2e uma contradicao.

Concluımos assim que x2 + 3x + 2 nao e divisıvel por x + 4.

No conjunto dos numeros inteiros, conhecemos o conceito de divisi-

bilidade e aprendemos o algoritmo euclidiano, um algoritmo para a divisao

por um inteiro positivo com resto maior ou igual a zero e menor do que o

divisor. Reveja a Aula 1.

No conjunto R[x] dos polinomios com coeficientes reais temos um

algoritmo para a divisao de polinomios, similar ao algoritmo da divisao

nos inteiros, onde o resto deve satisfazer uma condicao especial.

Algoritmo de Euclides

Dados os polinomios com coeficientes reais f(x) e g(x) 6≡ 0, existe

um unico par de polinomios com coeficientes reais q(x) e r(x), satis-

fazendo as seguintes condicoes:

(i) f(x) = q(x)g(x) + r(x) ,

(ii) r(x) ≡ 0 ou gr(r(x)) < gr(g(x)) .

Os polinomios q(x) e r(x) sao chamados, respectivamente, de quoci-

ente e resto da divisao. Os polinomios f(x) e g(x) sao chamados de

dividendo e divisor. Alem disso, quando o resto r(x) e identicamente

nulo, temos que g(x) divide f(x).

Exemplo 9Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 + 3x − 2.

Como gr(2x+1) = 1 < 2 = gr(x2+3x−2), tomamos q(x) ≡ 0 e r(x) = f(x)

pois, f(x) = 2x + 1 = 0 · g(x) + r(x).



O exemplo anterior ilustra o caso geral em que o grau do dividendo

e menor do que o grau do divisor.

Sempre que gr(f(x)) < gr(g(x)) tomamos q(x) ≡ 0 , r(x) = f(x)

e

escrevemos f(x) = 0 · g(x) + r(x) .

Como determinar q(x) e r(x) quando gr(f(x)) ≥ gr(g(x))?

Primeiramente, observe que se gr(f(x)) ≥ gr(g(x)) entao q(x) 6≡ 0.

Logo, gr(q(x)g(x)) = gr(q(x)) + gr(g(x)).

Sendo r(x) ≡ 0 ou gr(r(x)) < gr(g(x)) ≤ gr(q(x)) + gr(g(x)) =

gr(q(x)g(x)), temos que gr(q(x)g(x)) = gr(q(x)g(x) + r(x)) = gr(f(x)).

Portanto, gr(q(x)) = gr(f(x)) − gr(g(x)).

Fazemos a divisao nos preocupando apenas com o grau do divisor

e do dividendo e com a condicao do resto ser identicamente nulo ou ter

grau menor do que o grau do divisor. Vejamos como sao feitos os calculos,

usando o metodo dos coeficientes a determinar.O metodo dos coeficientes a de-terminar consiste em calcular oscoeficientes do quociente e doresto, usando os coeficientes dodividendo e do divisor e a igual-dade de polinomios.

Exemplo 10Sejam f(x) = 2x2 + 5x + 3 e g(x) = x + 2. Na divisao de f(x) por g(x),

o quociente q(x) tem grau igual a gr(f(x)) − gr(g(x)) = 1 e o resto r(x)

e identicamente nulo ou tem grau menor do que gr(g(x)) = 1. Portanto,

podemos escrever q(x) = ax + b, com a 6= 0, e r(x) = c ∈ R. Assim,

f(x) = q(x)g(x) + r(x) e equivalente a

2x2 + 5x + 3 = (ax + b)(x + 2) + c = ax2 + (2a + b)x + (2b + c).

Comparando os coeficientes dos polinomios da direita e da esquerda da

igualdade anterior, obtemosa = 2

2a + b = 5

2b + c = 3

=⇒

a = 2

b = 5 − 2a = 5 − 2 · 2 = 1

c = 3 − 2b = 3 − 2 = 1

Portanto, q(x) = 2x + 1, r(x) = 1 e 2x2 + 5x + 3 = (2x + 1)(x + 2) + 1.

Exemplo 11Digamos que f(x) = 12x4 + 6x2 + 2 e g(x) = 3x2 + 2x + 1. Na divisao

de f(x) por g(x), o quociente q(x) tem grau 2 e o resto r(x) ≡ 0 ou

0 ≤ gr(r(x)) ≤ 1. Escrevemos q(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, e



r(x) = dx + e, com d, e ∈ R. Devemos determinar numeros reais a,

b, c, d, e tais que f(x) = q(x)g(x) + r(x). Isto e equivalente a

12x4 + 6x2 + 2 = (ax2 + bx + c)(3x2 + 2x + 1) + dx + e.

Desenvolvendo o lado direito da igualdade, obtemos

12x4 +6x2 +2 = 3ax4 +(2a+3b)x3 +(a+2b+3c)x2 +(b+2c+d)x+(c+e).

Comparando os coeficientes, temos

3a = 12

2a + 3b = 0

a + 2b + 3c = 6

b + 2c + d = 0

c + e = 2

=⇒

a = 123

= 4

b = −2a3

= −2·43

= −83

c = 6−a−2b3

=6−4−2·(− 8

3)

3= 22

9

d = −b − 2c = 83

− 2 · 229

= −209

e = 2 − c = 2 − 229

= −49

Concluımos assim que q(x) = 4x2 − 83x + 22

9, r(x) = −20

9x − 4

9e

12x4 + 6x2 + 2 = (4x2 − 83x + 22

9)(3x2 + 2x + 1) − 20

9x − 4

9.

Voce deve ter observado, no exemplo anterior, que a determinacao

do monomio de maior grau do quociente so depende dos monomios de

maior grau do dividendo e do divisor. No algoritmo da divisao de po-

linomios devemos prestar atencao aos graus do dividendo, do divisor e do

resto. Agora vamos armar a divisao.

Vejamos como determinar o quociente q(x) e o resto r(x) da divisao

euclidiana do polinomio f(x) por g(x) 6≡ 0. Elaboramos uma tabela, ilus-

trando os calculos passo a passo, com o objetivo de obter o algoritmo da

divisao. Na tabela armamos a divisao para calcular o quociente e o resto,

resultados do algoritmo da divisao. Os seguintes exemplos consistem de

armar e efetuar, conforme o modelo.

f(x) g(x)... q(x)

r(x)

Exemplo 12Sejam f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + 3x + 1.

(1) Temos gr(f(x)) = 1 < 2 = gr(g(x)). Nada a fazer.

(2) O quociente e q(x) ≡ 0 e o resto e r(x) = f(x) = 4x + 3.



4x + 3 x2 + 3x + 1

− 0 0

4x + 3

Exemplo 13Sejam f(x) = 2x2 + 4x + 3 e g(x) = x2 + 3x + 1.

(1) O monomio de maior grau de f(x) e 2x2 e o monomio de maior grau de

g(x) e x2. O quociente da divisao de 2x2 por x2 e q1(x) = 2.

Sempre que n = r + m, comn, m, r ∈ N, temos n ≥ m,

xn = xr · xm

e equivalente axm divide xn.

(2) Fazemos o calculo:

r1(x) = f(x) − q1(x)g(x) = (2x2 + 4x + 3) − 2x2 − 6x − 2 = −2x + 1.

2x2 + 4x + 3 x2 + 3x + 1

− 2x2 − 6x − 2 2

− 2x + 1

(3) Como 1 = gr(r1(x)) < gr(g(x)) = 2, nao podemos continuar a divisao,

paramos os calculos.

(4) Obtemos q(x) = q1(x) = 2 e r(x) = r1(x) = −2x + 1.

Exemplo 14Sejam f(x) = 3x4 + 5x3 + x2 + 2x − 3 e g(x) = x2 + 3x + 1.

(1) O monomio de maior grau de f(x) e 3x4 e o monomio de maior grau de

g(x) e x2. O quociente da divisao de 3x4 por x2 e q1(x) = 3x2.


r1(x) = f(x) − q1(x)g(x) = (3x4 + 5x3 + x2 + 2x − 3) − 3x4 − 9x3 − 3x2 =

−4x3 − 2x2 + 2x − 3.3x4 + 5x3 + x2 + 2x − 3 x2 + 3x + 1

− 3x4 − 9x3 − 3x2 3x2

− 4x3 − 2x2 + 2x − 3

(3) Como 3 = gr(r1(x)) > gr(g(x)) = 2 devemos continuar, dividindo r1(x)

por g(x), pois r1(x) nao e o resto do algoritmo de Euclides.

(4) O monomio de maior grau de r1(x) e −4x3 e o monomio de maior grau

de g(x) e x2. O quociente da divisao de −4x3 por x2 e q2(x) = −4x.


r2(x) = r1(x) − q2(x)g(x) = (−4x3 − 2x2 + 2x − 3) + 4x3 + 12x2 + 4x =

10x2 + 6x − 3.



3x4 + 5x3 + x2 + 2x − 3 x2 + 3x + 1

− 3x4 − 9x3 − 3x2 3x2 − 4x

− 4x3 − 2x2 + 2x − 3

4x3 + 12x2 + 4x

10x2 + 6x − 3

(6) Como 2 = gr(r2(x)) = gr(g(x)) = 2, podemos continuar, calculando a

divisao de r2(x) por g(x), pois r2(x) nao e o resto do algoritmo de Euclides.

(7) O monomio de maior grau de r2(x) e 10x2 e o monomio de maior grau

de g(x) e x2. O quociente da divisao de 10x2 por x2 e q3(x) = 10.


r3(x) = r2(x) − q3(x)g(x) = (10x2 + 6x − 3) − 10x2 − 30x − 10 = −24x − 13.

3x4 + 5x3 + x2 + 2x − 3 x2 + 3x + 1

− 3x4 − 9x3 − 3x2 3x2 − 4x + 10

− 4x3 − 2x2 + 2x − 3

4x3 + 12x2 + 4x

10x2 + 6x − 3

− 10x2 − 30x − 10

− 24x − 13

(9) Como 1 = gr(r3(x)) < gr(g(x)) = 2, terminamos o algoritmo, pois r3(x)

e o resto do algoritmo de Euclides.

(10) Obtemos

q(x) = 3x2 − 4x + 10 = q1(x) + q2(x) + q3(x) e r(x) = r3(x) = −24x − 13 .

Ja vimos os polinomios de graus 1 e 2 modelando problemas do coti-

diano (Aulas 16 e 20). Nesses casos, a indeterminada x varia no conjunto

dos numeros reais e olhamos x como uma variavel real.

Consideremos o polinomio f(x) = anxn + · · · + a2x2 + a1x + a0 com

coeficientes reais e o numero real α. Substituindo x por α na expressaoO sımbolo α le-se alfa.

O sımbolo f(α) le-seefe de alfa.

de f(x), obtemos o numero real

f(α) = an · αn + · · ·+ a2 · α2 + a1 · α + a0

Dizemos que o numero real f(α) e obtido avaliando f(x) em x = α.



Exemplo 15Seja f(x) = x3 + x2 + x + 1. Escolhendo α = −2, temos

f(α) = f(−2) = (−2)3 + (−2)2 + (−2) + 1 = −8 + 4 − 2 + 1 = −5.

Fazendo x = 3, obtemos f(3) = 33 + 32 + 3 + 1 = 40 e tomando x = −1,

f(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = 0.

Note que podemos escrever f(x) como o produto f(x) = (x + 1)(x2 + 1) .

Para cada numero real α, temos f(α) = (α + 1)(α2 + 1) e α2 + 1 6= 0.

Portanto, f(α) = 0 se, e somente se, α + 1 = 0. Isto e, f(α) = 0 se, e

somente se, α = −1.

Exemplo 16Seja g(x) = 2x4 − 3x3 + x2. Nesse caso,

g(2) = 2 · 24 − 3 · 23 + 22 = 32 − 24 + 4 = 12, g(0) = 2 · 04 − 3 · 03 + 02 = 0,

g(1) = 2 − 3 + 1 = 0 e g(12) = 2 · (1

2)4 − 3 · (1

2)3 + (1

2)2 = 1

8− 3

8+ 1

4= 0.

Note que podemos escrever g(x) como o produto

g(x) = 2(x4 − 32x3 + 1

2x2) = 2x2(x2 − 3

2x + 1

2) = 2x2(x − 1)(x − 1

2).

A ultima igualdade foi obtida usando as formulas de Bhaskara para cal-

cular as raızes de x2 − 32x + 1

2, onde o discriminante ∆ = b2 − 4ac =

(32)2 − 4 · 1

2= 1

4,

x1 = −b+√

∆2

= 12· (3

2+ 1

2) = 1 e x2 = −b−

√∆

2= 1

2· (3

2− 1

2) = 1

2.

Para relembrar as formulas deBhaskara e a fatoracao dotrinomio do 2o grau em fatoreslineares, reveja a Aula 20.

Para cada numero real α, temos g(α) = 2α2(α − 1)(α − 12). Portanto,

g(α) = 0 se, e somente se, α2 = 0, ou α − 1 = 0, ou α − 12

= 0

se, e somente se, α ∈ { 0, 1, 12}.

Definicao 4 (Raiz)Seja f(x) = anxn + · · · + a2x

2 + a1x + a0 um polinomio com coeficientes

reais e gr(f(x)) ≥ 1. Dizemos que o numero real α e uma raiz de f(x) se,

e somente se, f(α) = 0.

No Exemplo 15, a unica raiz real de f(x) = x3 + x2 + x + 1 e α = −1,

enquanto, no Exemplo 16, o polinomio g(x) = 2x4 − 3x3 + x2 admite 3

raızes reais distintas, a saber 0, 1 e 12.



Uma raiz real α de um polinomio nao-constante f(x) esta relacionada

com o fato de x − α dividir f(x). Por que?

Dados um polinomio nao-constante f(x) e um numero real α, fa-

zendo a divisao euclidiana de f(x) por x − α, obtemos

f(x) = (x − α)q(x) + r(x), onde r(x) ≡ 0 ou 0 ≤ gr(r(x)) < 1.

Logo, podemos escrever r(x) = c ∈ R. Portanto,

f(x) = (x − α)q(x) + c.

Substituindo x = α na igualdade anterior, obtemos

f(α) = (α − α)q(α) + c = 0 · q(α) + c = c.

Logo,

O resto da divisao de f(x) por x − α e r(x) = f(α)

e

x − α divide f(x) ⇐⇒ r(x) ≡ 0 ⇐⇒ f(α) = 0 ⇐⇒ α e uma raiz de f(x).

Exemplo 17Na divisao de f(x) = x3 − 2x+ 4 por x− 1 o resto e f(1) = 13 − 2 · 1+ 4 = 3.

Portanto, 1 nao e raiz de f(x). No entanto, temos

f(−2) = (−2)3 − 2 · (−2) + 4 = −8 + 4 + 4 = 0.

Logo, −2 e uma raiz de f(x) e x + 2 divide f(x). Calcule o quociente e

verifique que q(x) = x2 − 2x + 2. A unica raiz real de f(x) e −2. Por que?

Escreva f(x) = (x + 2)(x2 − 2x + 2). As raızes de f(x) sao −2 e as raızes

de x2 − 2x + 2. Como o discriminante do trinomio do 2o grau e

∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 2 = 4 − 8 = −4 < 0,

o grafico desse trinomio e uma parabola que nao intersecta o eixo x, entao

o trinomio nao tem raızes reais.

E muito importante relacionar osconceitos aprendidos. Revejaa Aula 20 e relembre que otrinomio do 2o grau tem raızesreais se, e somente se, o graficoda parabola intersecta o eixo x.

Vimos no Exemplo 16 que (x−α1)(x−α2)(x−α3) dividia o polinomio

g(x) = 2x4 − 3x3 + x2, onde α1 = 0, α2 = 1 e α3 = 12

eram as raızes reais

distintas de g(x).

Esta propriedade vale para todos os polinomios com n raızes reais

distintas, conforme veremos na seguinte proposicao.

Proposicao 1Seja f(x) ∈ R[x]. O polinomio f(x) e divisıvel por (x−α1) · · · (x−αn), onde



α1, . . . , αn sao numeros reais distintos se, e somente se, α1, . . . , αn sao

raızes reais distintas de f(x).

Demonstracao: (⇒) Se (x − α1)(x − α2) · · · (x − αn) divide f(x), entao

existe um polinomio q(x) ∈ R[x], tal que

f(x) = (x − α1)(x − α2) · · · (x − αn)q(x).

Para provar a equivalenciaP ⇔ Q

usamos os sımbolos (⇒) e (⇐)para indicar as demonstracoesde P ⇒ Q e Q ⇒ P, respec-tivamente.

Dessa igualdade segue que f(α1) = 0, . . . , f(αn) = 0. Logo, α1, . . . , αn

sao raızes reais distintas de f(x).

(⇐) Sejam α1, α2, . . . , αn raızes reais distintas de f(x).

(1a Etapa) Como α1 e raiz de f(x) podemos escrever

f(x) = (x − α1)q1(x).

(2a Etapa) Como α2 tambem e raiz de f(x) = (x − α1)q1(x), temos

0 = f(α2) = (α2 − α1)q1(α2).

Como α2 − α1 6= 0 (pois α1 6= α2) e o produto de dois numeros reais

e zero se, e somente se, um dos fatores e zero, devemos ter q1(α2) = 0.

Portanto, α2 e raiz do polinomio q1(x), q1(x) = (x − α2)q2(x) e

f(x) = (x − α1)(x − α2)q2(x).

(3a Etapa) Como α3 tambem e raiz de f(x) = (x − α1)(x − α2)q2(x), temos

0 = f(α3) = (α3 − α1)(α3 − α2)q2(α3).

Como α3 − α1 6= 0 e α3 − α2 6= 0 (pois α1, α2 e α3 sao distintas),

devemos ter q2(α3) = 0.

Portanto, α3 e raiz do polinomio q2(x), q2(x) = (x − α3)q3(x) e

f(x) = (x − α1)(x − α2)(x − α3)q3(x).

Voce ja entendeu o que devemos fazer.

Continuamos o processo dividindo por x−αj, com j = 1, 2, . . . , n. Em

cada etapa, a raiz usada para fazer a divisao e diferente das anteriores.

Esta demonstracao deve serfeita por inducao sobre n, onumero de raızes reais distintasde f(x).

Lembre que o sımbolo � signi-fica o fim da demonstracao.

Finalmente, na ultima etapa obtemos

f(x) = (x − α1) · · · (x − αn)q(x) . �

Certamente, voce conhece diversos polinomios com coeficientes re-

ais que nao tem raızes reais. Lembre-se dos polinomios x2 + 1, x2 + 2,

x2 + 3, x2 + x + 1 e x2 + 3x + 5.



Determinar, se existirem, as raızes reais de um polinomio com coe-

ficientes reais nao e um problema facil, principalmente se as raızes sao

numeros irracionais.

Quando o polinomio tem coeficientes inteiros sabemos onde procu-

rar as raızes racionais, se existirem.

Exemplo 18O polinomio f(x) = 4x3 −16x2 +13x−3 tem raızes racionais e essas raızes

estao no conjunto

{ −1, 1,−3, 3,−12, 1

2,−1

4, 1

4,−3

2, 3

2,−3

4, 3

4} .

Avaliando f(x) nesses valores, vemos que 1 e −1 nao sao raızes. No

entanto, f(3) = 0. Assim, α = 3 e uma raiz de f(x) e x − 3 divide f(x).

Aplicando o algoritmo euclidiano, escrevemos

f(x) = (x − 3)(4x2 − 4x + 1).

Pelas formulas de Bhaskara, o trinomio do 2o grau 4x2 − 4x + 1 com dis-

criminante ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 4 · 1 = 0 tem raızes x1 = x2 = − b2a

=

−−48

= 12. Portanto, 4x2 − 4x + 1 = 4(x − 1

2)2 e

f(x) = 4(x − 3)(x − 12)2.

Pudemos fatorar f(x) porque sabıamos onde pesquisar as raızes.

Esta curioso para aprender a determinar as possıveis raızes racio-

nais de um polinomio com coeficientes inteiros?

Vamos ensinar!

Primeiramente, observamos que todo polinomio

f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 6≡ 0

com coeficientes reais e a0 = 0 tem a raiz α = 0, pois

f(0) = an · 0n + an−1 · 0n−1 + · · ·+ a1 · 0 = 0.

Reveja o Exemplo 16 e calcule as possıveis raızes racionais do po-

linomio do exemplo anterior, usando a seguinte proposicao.

Proposicao 2Seja f(x) = anxn +an−1x

n−1 + · · ·+a1x+a0 6≡ 0 com coeficientes inteiros

e suponhamos que α 6= 0 e uma raiz racional de f(x). Entao, escrevendo

α = bc

como uma fracao irredutıvel, temos que b divide a0 e c divide an.

bc6= 0 e uma fracao irredutıvel

se, e somente se,b e c sao inteiros nao-nulos pri-mos entre si.Reveja a Aula 2.



Demonstracao: Temos f(bc) = an·(b

c)n+an−1·(b

c)n−1+· · ·+a1·(b

c)+a0 = 0

que e equivalente a an ·bn

cn+ an−1 ·

bn−1

cn−1+ · · ·+ a1 ·

b

c+ a0 = 0.

Multiplicando essa igualdade por cn, obtemos

an · bn + an−1 · bn−1 · c + · · ·+ a1 · b · cn−1 + a0 · cn = 0, (1)

ou seja,

an · bn + an−1 · bn−1 · c + · · ·+ a1 · b · cn−1 = −a0 · cn,

colocando b em evidencia no lado esquerdo dessa igualdade, obtemos

b · (an · bn−1 + an−1 · bn−2 · c + · · ·+ a1 · cn−1) = −a0 · cn.

Portanto, b divide a0 · cn.

Sendo b e c primos entre si, concluımos que b divide a0.

Analogamente, da equacao (1), obtemos

an−1 · bn−1 · c + · · ·+ a1 · b · cn−1 + a0 · cn = −an · bn.

Colocando c em evidencia no lado esquerdo dessa igualdade, temos

c · (an−1 · bn−1 + · · ·+ a1 · b · cn−2 + a0 · cn−1) = −an · bn.

Portanto, c divide an · bn.

Sendo b e c primos entre si, concluımos que c divide an. �

Note que se o polinomio f(x) com coeficientes inteiros tem coefici-

ente lıder an = 1 e tem uma raiz racional α 6= 0, entao escrevendo α como

uma fracao irredutıvel, α = bc

com b e c primos entre si, pela Proposicao

2, obtemos que c divide 1. Portanto, c = 1 ou c = −1, logo, α = ±b e

um numero inteiro que divide a0 ∈ Z. Assim, obtemos a seguinte con-

sequencia da Proposicao 2:

Corolario 1Seja f(x) um polinomio monico com coeficientes inteiros. Entao, toda raiz

racional de f(x) e um numero inteiro.

Exemplo 19Para determinar as raızes racionais α = b

cde f(x) = 5x3 − 4x2 − 3x + 2,

tomamos b no conjunto dos divisores de a0 = 2 e c no conjunto dos

divisores de a3 = 5. Portanto, b ∈ { 1,−1, 2,−2 } e c ∈ { 1,−1, 5,−5 } e



α = bc∈ { 1,−1, 2,−2, 1

5,−1

5, 2

5,−2

5}.

Temos,

α −2 −1 −25

−15

15

25

1 2

f(α) −48 −4 5625

125

3225

1225

0 20

Entao, 1 e a unica raiz racional de f(x) e x − 1 divide f(x).

Fazendo a divisao de f(x) por x − 1, obtemos f(x) = (x − 1)(5x2 + x − 2).Reveja:

trinomio do 2o grau,na Aula 20;

numeros irracionais,na Aula 7.

Descobrimos que os numerosreais x1 e x2 sao irracionais, as-sim como,

√41 e −

√41. Por

que? Tente verificar diretamenteque esses numeros sao irracio-nais.

O discriminante do trinomio 5x2+x−2 e ∆ = b2−4ac = 1−4 ·5 ·(−2) = 41.

As duas raızes desse trinomio sao x1 = −1−√

4110

e x2 = −1+√

4110

e tambem

sao raızes de f(x). Sabendo as raızes fazemos a fatoracao:

f(x) = (x − 1)(5x2 + x − 2)

= 5(x − 1)(x2 + 15x − 2

5)

= 5(x − 1)(x − x1)(x − x2)

= 5(x − 1)(x + 1+√

4110

)(x + 1−√

4110

).

Exemplo 20Vamos tentar determinar as raızes reais de g(x) = x4 + 2x3 − 5x2 − 4x + 6.

Comecamos pelas raızes racionais. Como esse polinomio e monico, as

raızes racionais, se existirem, sao numeros inteiros divisores de 6. Os

divisores de 6 sao 1,−1, 2,−2, 3,−3, 6,−6. Verificamos que apenas f(1) =

0 e f(−3) = 0. Portanto,

(x − 1)(x + 3) = x2 + 2x − 3 divide f(x).

Fazendo a divisao de f(x) por x2+2x−3, obtemos f(x) = (x2+2x−3)(x2−

2).

As raızes de x2−2 sao√

2 e −√

2 e x2−2 = (x−√

2)(x+√

2). Combinando

as fatoracoes, temos

f(x) = (x2 + 2x − 3)(x2 − 2) = (x − 1)(x + 3)(x −√

2)(x +√

2).

Note que obtivemos uma novademonstracao de que

√2 e

−√

2 sao numeros irracionais.Pense sobre isso!

Resumo

Voce aprendeu o conceito de divisibilidade de polinomios com co-

eficientes reais; o algoritmo euclidiano; a armar a divisao de polinomios

numa tabela similar a da divisao de numeros; o que e uma raiz real de um

polinomio; que, na divisao de f(x) por x−α, o resto e f(α); o numero real

α e uma raiz de f(x) se, e somente se, x−α divide f(x); que a existencia



de raızes reais distintas α1 . . . , αn e equivalente a divisibilidade pelo pro-

duto (x − α1) · · · (x − αn); a determinar as possıveis raızes racionais de

um polinomio com coeficientes inteiros.

Exercıcios

1. Determine, usando a divisao euclidiana, o quociente q(x) e o resto

r(x) da divisao de f(x) por g(x):

a. f(x) = 2x2 + 1, g(x) = x3 + 2x2 − 1.

b. f(x) = x3 + 2x2 − 1, g(x) = 2x2 + 1.

c. f(x) = x6 + 1, g(x) = x3 + 1.

d. f(x) = x5 − x3 + 2x2 − 2, g(x) = x − 1.

e. f(x) = x5 − x3 + 2x2 − 2, g(x) = x + 1.

f. f(x) = 2x4 + 2x3 − 4x + 3, g(x) = x2 − 2x + 3.

g. f(x) = 8x4 − 8x2 + 6x + 6, g(x) = 2x2 − x.

h. f(x) = 3x3 + 4x2 − 13x + 6, g(x) = x2 + 2x − 3.

2. Determine o resto da divisao de f(x) por g(x), sem efetuar a divisao:

a. f(x) = x5 − 1, g(x) = x + 2.

b. f(x) = x4 + x3 − 2x − 4, g(x) = x − 4.

c. f(x) = x8 − x7 − 2x5, g(x) = x −√

3.

3. Nos exercıcios anteriores, determine os pares f(x) e g(x), tais que

g(x) divide f(x).

4. Determine as raızes racionais de f(x) e, sempre que possıvel, es-

creva f(x) como um produto de fatores lineares:a. f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 b. f(x) = 2x3 − 5x − 3

c. f(x) = x3 + 2x2 − 2x − 4 d. f(x) = x3 − 3x2 − 10x + 24

e. f(x) = x4 + 6x3 + x2 − 24x + 16 f. f(x) = 4x3 + 20x2 − 23x + 6

g. f(x) = 4x3 − 16x2 + 11x + 10 h. f(x) = 2x5 − 5x3 − 3x2

i. f(x) = 3x3 − 5x2 + 2x − 8 j. f(x) = x3 − 28x − 48

5. Determine todas as raızes reais dos polinomios do exercıcio anterior.

6. Determine, usando as propriedades da divisao:

a. o polinomio monico f(x) de grau 5, tal que

f(−2) = f(−1) = f(0) = f(1) = f(2) = 0;



b. o valor de n, tal que −8 e o resto da divisao de x2 + 5x − 2 por

x + n;

c. o valor de a para que x + 6 divida x4 + 4x3 − 21x2 + ax + 108;

d. o valor de a para que ax3 −25x2 +47x+30 seja multiplo de x−10;

e. o quociente da divisao de f(x) por (x − 1)(x + 1)(x + 2), sendo

f(x) = x5 + x4 + 5x2 − x − 6;

f. as condicoes sobre an, an−1, . . . , a1, a0, para que 1 seja raiz do

polinomio f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 6≡ 0;

g. o quociente q(x) e o resto r(x) da divisao de f(x) por x, sendo

f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0.

Auto-avaliacao

Para prosseguir, voce deve saber armar e efetuar a divisao, obtendo

o quociente e o resto do algoritmo de Euclides (Exercıcio 1); saber de-

terminar o resto da divisao euclidiana de f(x) por x − α, sem armar e

efetuar os calculos (Exercıcio 2); relacionar a existencia de uma raiz real

α de um polinomio com a sua divisibilidade por x − α (Exercıcio 3); re-

lacionar as raızes reais distintas α1, . . . , αn de um polinomio com a sua

divisibilidade pelo produto (x − α1) · · · (x − αn) (Exercıcio 4) e saber de-

terminar as possıveis raızes racionais de um polinomio com coeficientes

inteiros (Exercıcio 4). O Exercıcio 6 trabalha os conceitos apresentados

de polinomios. Caso tenha dificuldades, releia a aula e os exemplos com

atencao.


Dispositivo de Briot-RuffiniPolinomiosAULA 27

Aula 27: Dispositivo de Briot-Ruffini

Conceitos:Numeros reais e operacoes. Po-linomios com coeficientes reais,operacoes e propriedades e oalgoritmo euclidiano.

Referencias:Aulas 7, 8, 9, 25 e 26.

Objetivos

• Aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini.

• Fazer divisoes sucessivas e aprender a divisao por potencias de x − α.

• Aprender os conceitos de raiz real multipla e de multiplicidade da raiz.

O dispositivo de Briot-Ruffini e um algoritmo eficiente e pratico para

a determinacao do quociente q(x) e do resto r(x) da divisao euclidiana de

um polinomio f(x) por x − α. A logica desse algoritmo esta fundamentada

no metodo dos coeficientes a determinar.

Lembramos que:

f(x) = q(x)(x − α) + r, onde r(x) = r ∈ R e gr(q(x)) = gr(f(x)) − 1 O sımbolo α le-se alfa.

Para voce entender esse algoritmo, consideramos a divisao por x−α

de um polinomio f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 de grau 3. Nesse caso, o

resto e r(x) = r ∈ R e o quociente e q(x) = q2x2 + q1x + q0. Entao,

f(x) = (q2x2 + q1x + q0)(x − α) + r

= q2x3 + (q1 − q2α)x2 + (q0 − q1α)x + (r − q0α) .

Logo,

a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 = q2x3 + (q1 − q2α)x2 + (q0 − q1α)x + (r − q0α).

Comparando os coeficientes, obtemosq2 = a3

q1 − q2α = a2

q0 − q1α = a1

r − q0α = a0

=⇒

q2 = a3

q1 = q2α + a2

q0 = q1α + a1

r = q0α + a0 .

Formula recursiva

A partir de um valor inicial,nesse caso o coeficiente dotermo de mais alto grau de q(x),determinamos os outros valo-res, um apos o outro.

O dispositivo de Briot-Ruffini consiste na elaboracao de uma tabela

com o objetivo de calcular, sucessivamente, os coeficientes do quociente

e do resto, usando a formula recursiva acima. A tabela tem duas linhas.

Na primeira, colocamos α seguido dos coeficientes a3, a2, a1 e a0 do

dividendo f(x). Na segunda, colocamos os coeficientes q2, q1 e q0 do

quociente q(x) e o valor do resto r(x) = r, que sao calculados um apos o

outro. A forma final da tabela e a seguinte:


Dispositivo de Briot-Ruffini

α a3 a2 a1 a0

q2 q1 q0... r

Roteiro:

(1) Os polinomios f(x) e x−α sao os dados do problema. Construımos

a primeira linha da tabela com α seguido dos coeficientes a3, a2, a1 e

a0, nessa ordem.

(2) A segunda linha e construıda passo a passo. Primeiramente, coloca-

mos embaixo de a3 o valor de q2 = a3. Esse e o valor inicial.Paolo Ruffini

1765-1822, Italia.Em 1783, ingressou na

Universidade de Modena, ondeestudou Matematica, Medicina,Filosofia e Literatura. Alem da

sua atuacao como professor naUniversidade de Modena,

exerceu a Medicina.

No endereco:http://www-history.mcs.st


Mathematicians/

Ruffini.html

podem ser encontradas maisinformacoes sobre Ruffini.

Charles Auguste Briot,matematico frances, nasceu em

1817 e faleceu em 1882.Obteve o seu doutorado em

1842, com um trabalho sobre aorbita de um corpo solido em

torno de um ponto fixo.Escreveu diversos livros e

recebeu premios pelos seustrabalhos. Trabalhou em

Analise, Calor e Eletricidade.Foi professor na Universidade

de Lyon, onde conheceuClaude Bouquet, com quem fez

importantes trabalhos deAnalise. Atuou na Ecole

Polytechnique, na Faculte desSciences e, a partir de 1864, foi

professor da Sorbonne.Lamentavelmente, nao temos

uma foto do Briot.Quer saber mais? Consulte

http://www-history.mcs.st


Mathematicians/Briot.html

α a3 a2 a1 a0

q2 = a3...

(3) Usando q2, α e a2, calculamos o valor de q1 = q2α + a2 e colocamos

embaixo de a2.

α a3 a2 a1 a0

q2 q1 = q2α + a2...

(4) Usando q1, α e a1, calculamos o valor de q0 = q1α + a1 e colocamos

embaixo de a1.

α a3 a2 a1 a0

q2 q1 q0 = q1α + a1...

(5) Usando q0, α e a0, calculamos o valor de r = q0α + a0 e colocamos

embaixo de a0.

α a3 a2 a1 a0

q2 q1 q0... r = αq0 + a0

Exemplo 21Vamos determinar o quociente q(x) e o resto r(x) = r da divisao euclidi-

ana de f(x) = x3 − 3x2 + 4 por x − 2, seguindo o roteiro anterior. Nesse

caso, α = 2 e os coeficientes de f(x) sao a3 = 1, a2 = −3, a1 = 0 e

a0 = 4.

(1) A primeira linha da tabela e:



2 1 −3 0 4

...

Construımos a segunda linha, a partir da segunda coluna, passo a passo.

O quociente tem grau 2. Comecamos determinando q2.

(2) O coeficiente do termo de maior grau do quociente e q2 = a3 = 1.

2 1 −3 0 4

1...

(3) Calculamos o coeficiente q1 = q2α + a2 = 1× 2 − 3 = −1.

2 1 −3 0 4

1 −1...

(4) Calculamos o coeficiente q0 = q1α + a1 = (−1) · 2 + 0 = −2.

2 1 −3 0 4

1 −1 −2...

(5) Calculamos o resto r = q0α + a0 = (−2) · 2 + 4 = 0.

2 1 −3 0 4

1 −1 −2... 0

Obtemos o quociente q(x) = x2 − x − 2 e o resto r = 0. O polinomio f(x)

e divisıvel por x − 2.

Assim, α = 2 e uma raiz de f(x) e f(x) = (x2 − x − 2)(x − 2).

Exemplo 22Vamos agora dividir g(x) = 2x4 + x3 − x2 + 3x − 4 por x + 2, usando o

dispositivo de Briot-Ruffini.

(1) Para construirmos a primeira linha da tabela, escrevemos α = −2,

a4 = 2, a3 = 1, a2 = −1, a1 = 3 e a0 = −4.

−2 2 1 −1 3 −4

...

Calculamos a segunda linha, comecando da segunda coluna, usando a

formula recursiva com valor inicial 2, obtendo:



−2 2 1 −1 3 −4

2 −3 5 −7... 10

(2) (3) (4) (5) (6)

(2) q3 = a4 = 2.

(3) q2 = q3α + a3 = 2 · (−2) + 1 = −3.

(4) q1 = q2α + a2 = (−3) · (−2) + (−1) = 5.

(5) q0 = q1α + a1 = 5 · (−2) + 3 = −7.

(6) r = q0α + a0 = (−7) · (−2) + (−4) = 10.

Obtemos o quociente q(x) = 2x3 − 3x2 + 5x − 7 e o resto r = 10. Nesse

caso, g(−2) = 10.

Exemplo 23Qual o valor de h(−3), sendo h(x) = x5 + 2x4 − 4x3 − 3x2 + 2x − 1 ?

Podemos fazer este calculo utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, pois

h(−3) e o resto da divisao de h(x) por x + 3.Lembre que:h(x) = q(x)(x − α) + r(x),r(x) = r ∈ R eh(α) = r(α) = r.

(1) Para formar a primeira linha da tabela, temos α = −3, a5 = 1, a4 = 2,

a3 = −4, a2 = −3, a1 = 2 e a0 = −1.

−3 1 2 −4 −3 2 −1

...

O quociente tem grau 4. Construımos a segunda linha comecando da

segunda coluna, usando a formula recursiva com valor inicial q4 = a5 = 1,

obtendo:

−3 1 2 −4 −3 2 −1

1 −1 −1 0 2... − 7

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

(2) q4 = a5 = 1.

(3) q3 = q4α + a4 = 1 · (−3) + 2 = −1.

(4) q2 = q3α + a3 = (−1) · (−3) − 4 = −1.



(5) q1 = q2α + a2 = (−1) · (−3) − 3 = 0.

(6) q0 = q1α + a1 = 0 · (−3) + 2 = 2.

(7) r = q0α + a0 = 2 · (−3) − 1 = −7.

Escrevemos o quociente q(x) = x4 − x3 − x2 + 2 e o resto r = −7, olhando

para a segunda linha da tabela. Portanto, h(−3) = −7.

Quando α1 6= α2 sao raızes reais do polinomio f(x) ∈ R[x], entao

f(α1) = f(α2) = 0 e f(x) e divisıvel por (x − α1)(x − α2). O algoritmo

de Briot-Ruffini e muito eficiente para obter o quociente q(x) e escrever a

fatoracao f(x) = (x − α1)(x − α2)q(x). Usamos o algoritmo duas vezes.

Na primeira, dividimos f(x) por x − α1, logo,

Reveja a Proposicao 1, na Aula26.

f(x) = (x − α1)h(x).

Como 0 = f(α2) = (α2 − α1)h(α2) e α2 − α1 6= 0, temos que

h(α2) = 0. Logo, h(x) e divisıvel por x − α2. Sabendo h(x), aplicamos o

algoritmo pela segunda vez, fazendo a divisao de h(x) por x−α2, obtendo

h(x) = (x − α2)q(x).

Assim,

f(x) = (x − α1)h(x) = (x − α1)(x − α2)q(x).

Consideremos o polinomio f(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2. Note que

f(1) = 0 e f(−2) = 0. Fazendo a divisao de f(x) por x − 1, aplicando

o algoritmo com α1 = 1, obtemos:

1 1 1 −1 1 −2

1 2 1 2... 0

O quociente dessa divisao e x3 +2x2 +x+2. Logo, temos a fatoracao

f(x) = (x − 1)(x3 + 2x2 + x + 2). Devemos dividir x3 + 2x2 + x + 2 por

x+ 2. Fazemos esse calculo na mesma tabela. Acrescentamos o valor de

α2 = −2 na primeira coluna da segunda linha da tabela anterior. Obtemos:

1 1 1 −1 1 −2

−2 1 2 1 2... 0

...



Aplicamos novamente o dispositivo de Briot-Ruffini, construindo uma

nova linha da tabela, formada pelos coeficientes do quociente da divisao

do polinomio x3 + 2x2 + x + 2 por x + 2 e tambem pelos coeficientes do

quociente da divisao de x4 + x3 − x2 + x − 2 por (x − 1)(x + 2). Obtemos:

1 1 1 −1 1 −2

−2 1 2 1 2... 0

1 0 1... 0

Finalmente, sendo o ultimo quociente x2 + 1, concluımos que

x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) e f(x) = (x − 1)(x + 2)(x2 + 1).

Esse procedimento pode ser generalizado, continuando a divisao,

quando o polinomio tiver outras raızes reais distintas.

Tambem podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini, sucessiva-

mente, para verificar se um polinomio f(x) e divisıvel por x − α, (x − α)2,

(x − α)3 etc. Veja o proximo exemplo.

Exemplo 24O polinomio f(x) = x6 − 3x2 + 2 tem a raiz α = −1. Os coeficientes de f(x)

sao a6 = 1, a5 = 0, a4 = 0, a3 = 0, a2 = −3, a1 = 0 e a0 = 2. A divisao de

f(x) por x + 1, aplicando o dispositivo e:

−1 1 0 0 0 −3 0 2

1 −1 1 −1 −2 2... 0

Logo, f(x) = x6−3x2+2 = (x+1)(x5−x4+x3−x2−2x+2). Para verificar se

(x+1)2 divide f(x), aplicamos novamente o dispositivo ao quociente obtido

acima. Acrescentamos na segunda linha da tabela o valor de α = −1 e

fazemos os calculos:

−1 1 0 0 0 −3 0 2

−1 1 −1 1 −1 −2 2... 0

1 −2 3 −4 2... 0



O resto da divisao e 0. Logo, (x + 1)2 divide f(x).

Para saber se (x + 1)3 divide f(x), continuamos o procedimento. Acres-

centamos α = −1 na terceira linha e aplicamos, novamente, o algoritmo:

−1 1 0 0 0 −3 0 2

−1 1 −1 1 −1 −2 2... 0

−1 1 −2 3 −4 2... 0

1 −3 6 −10... 12

Agora, o resto e diferente de zero, assim (x + 1)3 nao divide f(x). No

entanto, na terceira linha da tabela, podemos ler os coeficientes do quoci-

ente da divisao de f(x) por (x + 1)2 e escrever

f(x) = (x + 1)2(x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2) .

Observe que α = 1 e raiz de x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2. Fazendo a divisao

sucessiva de x4−2x3+3x2−4x+2 por x−1, (x−1)2 e (x−1)3, obtemos:

1 1 −2 3 −4 2

1 1 −1 2 −2... 0

1 1 0 2... 0

1 1... 3

Verificamos que (x−1)2 divide e (x−1)3 nao divide x4 −2x3 +3x2 −4x+2.

Consultanto a terceira linha da tabela anterior, escrevemos

x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2 = (x − 1)2(x2 + 2).

Portanto,

f(x) = (x + 1)2(x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2) = (x + 1)2(x − 1)2(x2 + 2).

Esse ultimo exemplo motiva a seguinte definicao.

Definicao 5 (Multiplicidade da raiz)Dizemos que o numero real α e uma raiz de f(x) com multiplicidade r se,

e somente se, (x − α)r divide f(x) mas (x − α)r+1 nao divide f(x), onde r



e um numero natural maior ou igual a 1. Nesse caso, r e o expoente da

maior potencia de x − α que divide f(x) e

f(x) = (x − α)rq(x), com q(α) 6= 0.

Dizemos que α e uma raiz simples de f(x) quando r = 1 e uma raiz

multipla de f(x), quando r ≥ 2.

Chamamos uma raiz multipla dedupla, tripla, quadrupla, quın-tupla, sextupla, . . ., quandor = 2, 3, 4, 5, 6, . . ., respec-tivamente.

No Exemplo 24, vimos que 1 e raiz de x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2 com

multiplicidade 2 , enquanto −1 e 1 sao raızes de x6 − 3x2 + 2 com multipli-

cidade 2.

Lembre que ...Se ∆ = b2 − 4ac < 0 e a > 0,entao ax2 +bx+c ≥ − ∆

4a> 0.

O grafico dessa parabola estavoltado para cima.

Exemplo 25Seja f(x) = (x − 1)(x −

√2)2(x +

√3)(x − 2)3(10x − 3)(x2 + x + 1).

Os numeros reais 1, −√

3 e 310

sao raızes simples,√

2 e raiz dupla e 2 e

raiz tripla de f(x). O polinomio x2 +x+1 tem discriminante ∆ = b2 −4ac =

1−4 = −3 < 0 e assim, para todo numero real x, o valor x2+x+1 ≥ − ∆4a

=34. Logo, o polinomio x2+x+1 nao tem raızes reais. As raızes reais de f(x)

sao 1, −√

3, 310

,√

2 e 2.

Resumo

Voce aprendeu a aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini; a utiliza-lo para

determinar se um numero real α e uma raiz de um polinomio e para

calcular a divisao sucessiva por x−α. Aprendeu tambem os conceitos de

multiplicidade de uma raiz real e de raiz real simples e multipla. Viu como

utilizar esse dispositivo para determinar a multiplicidade r de uma raiz real

α de f(x) e escrever f(x) = (x − α)rq(x), com q(α) 6= 0. E viu ainda a

relacao entre a divisibilidade por potencias de x − α e a multiplicidade da

raiz α.

Exercıcios

1. Determine f(α), usando o algoritmo de Briot-Ruffini:

a. f(x) = 3x4 + 2x3 − 3x2 − x + 7 e α = −3.

b. f(x) = 2x4 − 6x3 + 3x2 − 7x + 6 e α = 3.

2. Determine o quociente e o resto da divisao euclidiana de f(x) por

g(x):



a. f(x) = x3 − 2x2 − 13x + 6 e g(x) = x + 3 .

b. f(x) = 2x3 + 3x2 − x + 5 e g(x) = x + 1 .

c. f(x) = x3 − 27 e g(x) = x − 3 .

d. f(x) = 2x5 + 7x4 − 18x2 − 8x + 8 e g(x) = x −1

2.

3. Verifique que −2 e raiz de f(x) = 2x5+7x4−18x2−8x+8 e determine

a sua multiplicidade.

4. Verifique que α e uma raiz de f(x), determine a sua multiplicidade r

e escreva f(x) = (x − α)rq(x):

a. f(x) = x9 − x7 − x6 − x5 + x4 + x3 + x2 − 1, α = 1.

b. f(x) = x9 − x7 − x6 − x5 + x4 + x3 + x2 − 1, α = −1.

c. f(x) = x4 + x3 − 15x2 − 9x + 54, α = 3.

d. f(x) = −x4 + 11x3 − 38x2 + 52x − 24, α = 2.

5. Verifique que (x − 2)(x + 3) divide f(x) = x4 + x3 − 15x2 − 9x + 54.

Determine a multiplicidade das raızes 2 e −3.

6. Verifique que (x−1)(x+1) divide 2x7−6x6+3x5+x4+x3+3x2−6x+2.

Determine a multiplicidade das raızes 1 e −1.

7. Determine m para que x4 +ma2x2 −5ax2 +a4 seja divisıvel por x−a,

a 6= 0.

8. Diga quais das afirmacoes sao falsas ou verdadeiras, justificando a

sua resposta:

a. As raızes reais de f(x) = x4 − 4 sao simples.

b. O polinomio xn − 1 e multiplo de x + 1, para todo numero natural

n ≥ 1.

c. O polinomio (x2 − 1)(x3 − 1)(x4 − 1) tem duas raızes reais, ambas

com multiplicidade 2.

d. Existe um unico polinomio de grau 3 tendo raızes 1 , 2 e 3.

e. x3 + x − 2 tem uma unica raiz real simples.

9. Seja f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 com an 6= 0, n ≥ 1.

Determine as condicoes sobre os coeficientes de f(x) para que:

a. x divida f(x). Qual o quociente?

b. x2 divida f(x). Qual o quociente?

c. xr divida f(x), onde r ≥ 1 e um numero natural. Qual o quociente?



d. 0 seja uma raiz simples de f(x).

e. 0 seja uma raiz de f(x) com multiplicidade 2.

f. 0 seja uma raiz de f(x) com multiplicidade r.

Auto-avaliacao

Voce deve prosseguir apos ter entendido o dispositivo de Briot-Ruffini

e as suas aplicacoes: determinar se α ∈ R e raiz de um polinomio (Exercıcios

1 a 7); fazer divisoes sucessivas por fatores distintos da forma x − α

(Exercıcios 5 e 6); fazer divisoes sucessivas por potencias de x−α e de-

terminar a multiplicidade de uma raiz real (Exercıcios 5 e 6). Os Exercıcios

8 e 9 sao conceituais. Na Aula 28 vamos estudar os numeros complexos,

inventados para determinar raızes para os polinomios do 2o grau com dis-

criminante negativo.


§2. Numeros complexos e a fatoracao em R[x]

Conceitos:Numeros reais e operacoes. Po-linomios com coeficientes reais,operacoes e divisibilidade.

Referencias:Aulas 7, 8, 9, 25, 26, 27.

Nesta secao vamos definir o conjunto dos numeros complexos C e

suas operacoes de adicao e multiplicacao. Estudaremos as proprieda-

des destas operacoes, relacionadas diretamente com as propriedades da

adicao e multiplicacao de numeros reais.

Os numeros complexos foram criados para extrair raızes quadradas

de numeros reais negativos.

Todas as equacoes quadraticas ax2 + bx + c = 0, onde a 6= 0, b, c

sao numeros reais, sempre tem duas solucoes em C.

Vamos relacionar a existencia de raızes complexas para polinomios

f(x) de coeficientes reais com a sua divisibilidade por polinomios quadra-

ticos do tipo x2 + bx + c com ∆ = b2 − 4c < 0.

Finalmente, estudaremos o Teorema Fundamental da Algebra e a

sua relacao com a fatoracao de um polinomio com coeficientes reais num

produto de potencias de fatores dos tipos x−α, com α ∈ R, ou x2+bx+c,

com ∆ = b2 − 4c < 0.


Numeros complexosPolinomiosAULA 28

Aula 28: Numeros complexos

Conceitos:Numeros reais, operacoesde adicao e multiplicacao denumeros reais.

Referencias:Aulas 7, 8, 9.

Objetivos

• Definir os numeros complexos C e representa-los graficamente.

• Aprender as operacoes de adicao e multiplicacao de numeros comple-

xos e suas propriedades.

• Aprender a conjugacao de numeros complexos e suas propriedades.

• Resolver equacoes quadraticas com coeficientes reais.

Procurar solucoes para equacoes tem sido uma fonte de inspiracao

para ampliar os conjuntos numericos. No conjunto dos numeros naturais

N nao podemos resolver a equacao x + 3 = 0. Ampliando esse conjunto

para os numeros inteiros Z, a equacao anterior passa a ter solucao, pois

−3 ∈ Z. A inclusao de numeros negativos nao resolve completamente

os nossos problemas. Pois, ha equacoes sem solucao em Z, por exem-

plo, 5x − 3 = 0. Ampliamos o conjunto dos inteiros para o conjunto dos

numeros racionais.

Com o objetivo de realizar a operacao de radiciacao, o conjunto dos

numeros racionais precisou ser ampliado para o conjunto dos numeros

reais. Desse modo, numeros irracionais tais como√

2,√

3, 3√

2, 3√

5, . . . ,

foram incluıdos no nosso sistema numerico, permitindo extrair raızes n-

esimas e resolver equacoes tais como x2 − 2 = 0, x2 − 3 = 0, x3 − 2 = 0,

x3 − 5 = 0, . . ., antes sem solucao em Q.

Obtivemos os conjuntos numericos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Entretanto, equacoes tais como x2 + 1 = 0, x2 + 2 = 0, x2 + x + 1 = 0

nao tem solucao no conjunto dos numeros reais, pois nao podemos extrair

raızes quadradas de numeros reais negativos. Voce, certamente, sabe

dar muitos outros exemplos de equacoes com coeficientes reais que nao

tem solucao em R.

Os hindus Mahavira, em 850a.C., e Bhaskara, em 1150a.C., foram os primeiros a indi-car que numeros reais negativosnao tinham raiz quadrada por-que numeros negativos nao po-diam ser quadrados.

Cardan, em 1545, no trabalhoArs Magna, foi o primeiro a usara raiz quadrada de numeros ne-gativos e efetuar operacoes comnumeros complexos.

Euler, em 1748, usou a letra i,em vez de

√−1, para designar

o numero cujo quadrado e −1.

Em 1832, Gauss usou pelaprimeira vez o nome numeroscomplexos.

Motivados pelas construcoes anteriores, ampliamos o conjunto dos

numeros reais, construindo um conjunto de numeros que contenha os


Numeros complexos

numeros reais e onde seja possıvel extrair raızes quadradas de numeros

reais negativos.

Seja i um sımbolo com a propriedade

i2 = −1

Tambem escrevemos i =√

−1.

O conjunto dos numeros complexos C e definido por:

C = { a + bi | a, b ∈ R }

Os numeros 1 + 4i, −3 + 2i, −1 − 2i, 2 − 72i,

√8 +

3√

10i, 2 − 5i,√

2 +√

2i, −3 − 7i e 4√

5 + 3i sao numeros complexos.

Quando b = 0, escrevemos a + bi como a:

a + 0i = a ∈ C

logo, o conjunto dos numeros reais e subconjunto dos numeros comple-

xos,

R ⊂ C

Quando o numero a + bi nao e um numero real, temos b 6= 0.

Quando a = 0 e b 6= 0, dizemos que o numero complexo a+bi e um

imaginario puro e representamos por bi:

Descartes, em 1637, no traba-lho La Geometrie, classificou osnumeros comoreais e imaginariosconsiderando os numeroscomplexos como solucoes deequacoes.

Para ele, os numeros ima-ginarios eram os numeros com-plexos a + bi com b 6= 0

John Wallis, em 1685, no tra-balho Algebra, interpretou osnumeros com quadrado nega-tivo como medida de areas ne-gativas, pois naquela epoca anocao de comprimentos negati-vos era bem aceita.

Caspar Wessel, em 1797, foio primeiro a representar grafica-mente os numeros complexos,desenhando uma reta perpen-dicular a reta real, o eixo ima-ginario.

O tratamento rigoroso modernodos numeros complexos comopares de numeros reais foiapresentado por Hamilton, em1853. Mais tarde ele estendeuesses numeros ao espaco dequatro dimensoes, no trabalhoLectures on Quaternions.

0 + bi = bi, b 6= 0

Quando a = 0 e b = 0, escrevemos o numero 0 + 0i como 0.

0 + 0i = 0

Exemplo 26Os numeros reais 1 = 1 + 0i e −3

2= −3

2+ 0i sao numeros complexos.

Os numeros complexos 3 − 6i, −2i, i, 5√

3i e −43i nao sao numeros

reais, sendo os quatro ultimos imaginarios puros.

O conjunto dos numeros complexos C e visualizado num plano car-

tesiano, associando a cada numero complexo a + bi o ponto do plano re-

presentado pelo par ordenado de numeros reais (a, b). Reciprocamente,

a cada ponto do plano representado pelo par ordenado de numeros reais

(a, b) associamos o numero complexo a + bi.

Nessa correspondencia, os numeros reais a sao representados pe-



los pontos (a, 0) do eixo x, chamado eixo real, e os numeros imaginarios

puros bi sao representados pelos pontos (0, b) do eixo y, chamado eixo

imaginario.

Fig. 1: Representacao dos numeros complexos por pontos do plano.

Exemplo 27Na figura 1, representamos o imaginario puro 2i pelo ponto A = (0, 2),

o numero real −1 por B = (−1, 0), 1 + 2i pelo ponto C = (1, 2), −2 − 2i

pelo ponto D = (−2,−2), −2 + i pelo ponto E = (−2, 1), 2 − 2i pelo ponto

F = (2,−2) e 2 + i pelo ponto G = (2, 1).

Dado o numero complexo z = a + bi, chamamos a de parte real e b

de parte imaginaria de z e indicamos pelos sımbolos

Re(z) = a e Im(z) = b.

Os numeros complexos a + bi e c + di sao iguais se, e somente se,

suas partes real e imaginaria sao iguais. Escrevemos:

a + bi = c + di ⇐⇒ a = c e b = d.

Exemplo 28a. Considerando z = 3 − 5i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = −5.

b. No numero complexo z = −2√

3 + (1 −√

2)i, temos Re(z) = −2√

3 e

Im(z) = 1 −√

2.

c. Quais sao os numeros reais a e b tais que −2+(2a−b)i = (a+b)+3i?

Igualando as partes reais e imaginarias dos numeros complexos, obtemos

−2 = a + b e 2a − b = 3.

Para resolver o sistema de duas equacoes a duas incognitas{a + b = −2

2a − b = 3


Numeros complexos

somamos as equacoes, eliminando a incognita b e obtemos

(a + b) + (2a − b) = −2 + 3 .

Assim, 3a = 1. Logo, a = 13. Substituindo esse valor na primeira equacao,

calculamos b = −2 − a = −2 − 13

= −73.

No conjunto dos numeros complexos C estao definidas duas operacoes:

adicao e multiplicacao.

Sejam a+bi e c+di numeros complexos. Definimos a adicao desses

numeros complexos por

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,O resultado da adicao de doisnumeros complexos e chamadode soma.

O resultado da multiplicacao dedois numeros complexos e cha-mado de produto.

e a sua multiplicacao por

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Note que:

• A soma de dois numeros complexos e o numero complexo que tem como

parte real a soma das partes reais das parcelas e, como parte imaginaria,

a soma das partes imaginarias das parcelas.

Fig. 2: Regra do paralelogramo para a soma z + w.

• Identificando z = a + bi 6= 0

e w = c + di 6= 0, respecti-

vamente, com os pontos A =

(a, b) e B = (c, d) do plano, ve-

mos que a soma z + w = (a +

c)+ (b+d) i , e o numero com-

plexo representado pelo ponto

C = (a + c, b + d), onde OC

e a diagonal do paralelogramo

com lados adjacentes OA e OB.

Esta e a chamadaregra do paralelogramo (Figura 2).

• A multiplicacao foi definida de modo a satisfazer a propriedade distribu-

tiva. Podemos calcular o produto, usando a distributividade, substituindo

i2 = −1 e juntando as partes real e imaginaria:

(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + adi + bci − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i .



Exemplo 29Tomando z = 1 − 2i e w = 2 + 3i, temos

z + w = (1 − 2i) + (2 + 3i) = (1 + 2) + (−2 + 3)i = 3 + i ez ·w = (1 − 2i) · (2 + 3i) = 1 · (2 + 3i) − 2i · (2 + 3i)

= 2 + 3i − 4i − 6i2 = (2 + 6) + (3 − 4)i = 8 − i .

Faca a representacao grafica da soma utilizando a regra do paralelo-

gramo.

A adicao e a multiplicacao de numeros complexos satisfazem as se-

guintes propriedades.

Propriedades das operacoes:

As propriedades de adicaoe multiplicacao de numeroscomplexos sao decorrenciadas propriedades de adicao emultiplicacao de numeros reais.Lembre que:

A adicao e multiplicacao denumeros reais e comutativa, as-sociativa e distributiva.

Nos reais,0 e elemento neutro aditivo e1 e elemento neutro multiplica-tivo.

Todo real tem simetrico e todoreal nao-nulo tem inverso.

Sejam z1 = a + bi, z2 = c + di e z3 = e + fi numeros complexos.

Entao:

(A1)-(M1) Comutativa:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = z2 + z1 e

z1 · z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ca − db) + (da + cb)i = z2 · z1.

(A2)-(M2) Associativa:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) e

(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) .

(A3) Elemento neutro aditivo: 0

O numero 0 = 0 + 0i e tal que, (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi.

(M3) Elemento neutro multiplicativo: 1

O numero 1 = 1 + 0i e tal que, (a + bi)(1 + 0i) = a + bi.

(A4) Existencia do simetrico:

O simetrico de a + bi e −a − bi , pois (a + bi) + (−a − bi) =

0 + 0i = 0.

(M4) Existencia do inverso:

O inverso de z1 = a + bi 6= 0 e1

z1

=a

a2 + b2−

b

a2 + b2i , pois

a2 + b2 6= 0 e (a + bi)

(a

a2 + b2−

b

a2 + b2i

)= 1.

(AM) Distributiva:

z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3 .


Numeros complexos

Exemplo 30Consideremos os numeros complexos z1 = 1 − 2i, z2 = 1 −

√2i, z3 =

1+√

2 i, z4 = 2i, z5 = 2+ 3i e z6 =√

2+√

2 i. Vamos usar a definicao das

operacoes e as propriedades acima, para efetuar os calculos pedidos:

a. z1 · z2 = (1 − 2i) · (1 −√

2 i) = 1(1 −√

2 i) + (−2i)(1 −√

2 i)

= 1 −√

2 i − 2i + 2√

2i2 = (1 − 2√

2) + (−2 −√

2)i .

b. z2 · z3 = (1 −√

2 i)(1 +√

2 i) = 1 · (1 +√

2 i) + (−√

2 i)(1 +√

2 i)

= (1 +√

2 i) −√

2 i − (√

2)2i2 = (1 + 2) = 3.

c.1

z1

:

Nesse caso, sendo a = 1 e b = −2, temos a2 + b2 = 1 + (−2)2 = 5.

Logo,1

z1

=1

5+

2

5i.

d.z5

z4

:

Como todo complexo nao-nulo tem inverso, escrevemosz5

z4

= z5 ·1

z4

.

Note que1

z4

=−2i

(−2)2= −

i

2. Logo,

z5

z4

= z5 ·1

z4

= (2 + 3i)

(−

i

2

)= 2

(−i

2

)+ 3i

(−i

2

)=

3

2− i .

e. z46 :

Usando a formula do binomio de Newton e que i2 = −1 , i3 = −i e i4 = 1 ,

temosz4

6 = (√

2 +√

2 i)4

= (√

2)4 +(

41

)(√

2)3√

2 i +(

42

)(√

2)2(√

2 i)2 +(

43

)(√

2)(√

2 i)3 + (√

2 i)4

= 4 + 4!3!(√

2)4i + 4!2!2!

(√

2)4(−1) + 4!3!(√

2)4(−i) + 4

= 4 + 16i − 24 − 16i + 4 = −16 .

Dado z = a + bi, tomamosx = a e y = bi

na formula dobinomio de Newton

(x + y)n =n∑

k=0

“n

k

”xn−kyk ,

para calcular zn = (a + bi)n.

As potencias de um numero complexo com expoentes inteiros sao

definidas de modo analogo as potencias de numeros reais. Para cada

numero natural n e cada numero complexo z, definimos:



z0 = 1, se z 6= 0, z1 = z

zn = z · z · · · z︸︷︷︸n fatores

, n ≥ 2, z−n =1

zn, z 6= 0

Exemplo 31Vamos calcular a potencia in, para todo expoente n inteiro.

Ja sabemos que: i1 = i, i2 = −1, i3 = −i e i4 = 1.

A partir de n = 5, os valores comecam a se repetir:

i5 = i4 · i = i1, i6 = i4 · i2 = i2, i7 = i4 · i3 = i3, i8 = i4 · i4 = 1, . . . .

E claro que nao vamos calcular para todos os valores inteiros. Ja en-

tendemos o que acontece: quando dois inteiros diferem de 4, o valor da

potencia de i e o mesmo.

Dado o numero inteiro n, fazemos a divisao euclidiana de n por 4, ob-

tendo:

n = 4q + r, onde 0 ≤ r ≤ 3 .

Portanto, in = i4q+r = i4q ·ir = (i4)q ·ir = 1q ·ir = ir. Concluımos entao que

a potencia in esta perfeitamente determinada pelo resto r que o expoente

n deixa na divisao por 4.

in =

1, se r = 0

i, se r = 1

−1, se r = 2

−i, se r = 3 .

Definicao 6 (Conjugacao e modulo)Seja z = a + bi um numero complexo. O conjugado de z, denotado por z,

e definido por

z = a − bi

e o modulo de z, denotado por |z| e definido por

|z| =√

a2 + b2

Lembrando da representacao no plano do numero complexo z =

a+bi, podemos interpretar, geometricamente, os conceitos de conjugado

e modulo. O ponto do plano com coordenadas (a,−b) e o simetrico, em

relacao ao eixo x, do ponto (a, b). Portanto, z e z sao simetricos em


Numeros complexos

relacao a reta real. Por outro lado, a distancia do ponto (a, b) a origem

(0, 0) e√

a2 + b2.

Logo, o modulo de z e a sua distancia a origem (Figura 3).

Fig. 3: z = a − bi e |z| =√

a2 + b2.

Observe que:

• z + z = 2 Re(z). • z − z = 2 Im(z)i.

• Re(z) ≤ |z|. • Im(z) ≤ |z|.

De fato, escrevendo z = a + bi e z = a − bi , temos:

z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a = 2 Re(z) ,

z − z = (a + bi) − (a − bi) = 2bi = 2 Im(z)i ,

Re(z) = a ≤ |a| =√

a2 ≤√

a2 + b2 = |z| ,

Im(z) = b ≤ |b| =√

b2 ≤√

a2 + b2 = |z| .

Reveja na Aula 12 as proprieda-des do modulo ou valor absolutode numeros reais.

O calculo do conjugado de um numero complexo e chamado de

conjugacao. A conjugacao e o modulo satisfazem as seguintes propri-

edades.

Propriedades da conjugacao e do modulo:

Sejam z e w numeros complexos.

(1) z = 0 ⇐⇒ z = 0.

(2) z = z ⇐⇒ z ∈ R.

(3) z = z.

(4) O conjugado da soma e a soma dos conjugados: z + w = z + w.

(5) O conjugado do produto e o produto dos conjugados: z ·w = z ·w.



(6) |z| = |z|.

(7) z · z = |z|2.

(8)1

z=

z

|z|2=

z

z · z, se z 6= 0.

(9)w

z= w · z

|z|2=

w · zz · z

, se z 6= 0.

(10) o modulo do produto e o produto dos modulos: |z ·w| = |z| · |w|.

(11) Desigualdade triangular: |z + w| ≤ |z| + |w|.

A verificacao da validade das propriedades (1) a (6) e um calculo

rotineiro, faremos (2) e (3) para ilustrar, alem das propriedades (7) a (11).

Para isso, sejam z = a + bi e w = c + di. Entao,

(2) z = z ⇐⇒ a − bi = a + bi ⇐⇒ −b = b ⇐⇒ 2b = 0 ⇐⇒ b = 0 ⇐⇒z = a ∈ R.

(3) z = a − bi = a − (−b)i = a + bi = z.

(7) z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2 = (√

a2 + b2)2 = |z|2.

(8)1

z=

1 · zz · z

=z

|z|2, onde a ultima igualdade segue de (7).

(9) Esta propriedade e consequencia imediata da propriedade anterior.

(10) Usando as propriedades, (7) e (5) e a comutatividade da multiplicacao

de numeros complexos, temos|z ·w|2 = (z ·w) · (z ·w) = (z ·w) · (z ·w)

= (z · z) · (w ·w) = |z|2 · |w|2 = (|z| · |w|)2 .

Assim, |z ·w| = |z| · |w|.

Lembre que em R:

x2 = y2, x ≥ 0, y ≥ 0

se, e somente se,

x = y.

(11) Geometricamente, o comprimento da diagonal do paralelogramo e

menor do que a soma dos comprimentos dos lados. Vamos calcular o

quadrado do modulo da soma. Portanto,|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w)

= z · z + z ·w + w · z + w ·w= |z|2 + |w|2 + z ·w + w · z ,

onde a primeira igualdade segue de (7), a segunda de (4) e a ultima de

(7).

Precisamos estimar z ·w + w · z.

Seja u = z ·w. De (5) e (3), obtemos u = z ·w = z ·w = z ·w. Assim,

z ·w + w · z = u + u = 2 Re(u) ≤ 2|u| = 2|z ·w| = 2|z| · |w| = 2|z| · |w|,


Numeros complexos

onde as duas ultimas igualdades seguem de (10) e (6), respectivamente.

Logo, |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2 + 2|z| · |w| = (|z| + |w|)2.

Portanto, |z + w| ≤ |z| + |w|. �

Terminamos a demonstracao das propriedades. Voce deve escrever

as demonstracoes das propriedades (1), (4), (5) e (6), discutir com os seus

colegas e comparar as solucoes. So aprendemos a escrever Matematica,

tentando fazer. Nao tenha medo!

Vamos ver a primeira aplicacao importante dos numeros complexos.

Os numeros reais negativos nao tem raızes quadradas reais. No

entanto, em C, por exemplo, 2i e −2i sao numeros cujo quadrado e −4,

isto e, sao raızes complexas quadradas de −4.

Em geral, quando a e um numero real negativo, temos −a > 0, logo

o numero√

−a ∈ R e os numeros complexos√

−ai e −√

−ai tem como

quadrado (±√

−ai)2 = −ai2 = a < 0. Nos complexos, os numeros reais

negativos tem raiz quadrada.

Agora, os polinomios ax2 + bx + c, com ∆ = b2 − 4ac < 0 e a 6= 0

passam a ter raızes em C.

Escrevemos

x1 =−b +

√−∆i

2ae x2 =

−b −√

−∆i

2a.

Note que x2 = x1, sendo x1 e x2 numeros complexos nao-reais.

Exemplo 32Vamos determinar as raızes complexas de f(x) = x2 + x + 2.

Nesse caso, ∆ = 12 − 4 · 2 = −7. Assim, as raızes de f(x) sao

α =−1 +

√7i

2e α =

−1 −√

7i

2.

Resumo

Voce aprendeu o que sao os numeros complexos; sua representacao

grafica por pares ordenados no plano; suas operacoes de adicao e mul-

tiplicacao e suas propriedades associativa, comutativa e distributiva; a

conjugacao de numeros complexos e suas propriedades e a resolver, no



conjunto de numeros complexos, equacoes quadraticas com coeficientes

reais. Agora voce sabe determinar em C raızes para todos os polinomios

do 2o grau com coeficientes reais.

Exercıcios

1. Dados z1 = 4 − 3i, z2 = −1 + i e z3 = 2 + 3i, calcule:

a. z1 · z2 . b. z2 · z3 + z1 · z3 .

c. 2i · z1 + z2 . d. 3z2 + 3i · z2 .

e.z2

z3

.

2. Calcule:

a. (1 + i)(2 − i) . b.1 + i

2 − i. c.

1

2 + 2√

2 i. d.

1 − i

1 + i−

1 + i

1 − i.

e.1 + i

i−

i

1 − i. f.

1

3 + 4i. g.

4 + 3i

1 +√

3i. h.

(1 + 2i)(2 − i)

(3 + i)(1 + 3i).

3. Calcule o modulo e o conjugado dos numeros complexos: 2 − 5i,

3 − 2i, 4 − 3i, 1 + i, 1 −√

3i e −3 − 3i . Represente no plano os

numeros complexos.

4. Calcule, usando a formula do binomio de Newton:

a. (1 + i)5 . b. (1 +√

3i)6 . c. (2 − 2i)4 .

5. Calcule os valores de f(1 + i) e de f(1 − i) e compare-os, sendo

f(x) = 3x2 + 2x − 1.

6. Determine os numeros reais a e b, para que a propriedade se verifi-

que:

a. a · b + (b2 − 1)i = i .

b. (2a + b) + bi = (a − 1) + (2b + 1)i .

c. (a2 − 1) + (b2 − 3)(a − 1)i seja um imaginario puro.

d. (a2 − 1) + (b2 − 3)(a − 1)i seja um complexo nao-real.

e. (a2 − 1) + (b2 − 3)(a − 1)i seja real.

7. Determine o numero complexo z que satisfaz a igualdade:


Numeros complexos

a. 2(z − i) + i(z − 1) = 2 . b. (2 − i)z + 3i − 4 = 0 .

c. (z − 2)(z + i) = 3 − 4i . d.z + 2i

z + i= 1 + i .

8. Seja S1 = { (x, y) | x2 + y2 = 1 } o cırculo de centro (0, 0) e raio 1.

Sejam z = a + bi e w = c + di numeros complexos. Verifique que:

a. Se z ∈ S1 , entao z ∈ S1. b. Se z ∈ S1, entao z−1 = z ∈ S1.

c. Se z, w ∈ S1 entao z ·w ∈ S1.

9. Determine: i25, i2002 e i−327.

10. Determine em C as raızes do polinomio com coeficientes reais:

a. 2x2 + 5x + 5 . b. 2x2 − 3x + 2 . c. x3 + 2x .

11. Seja z = a + bi 6= 0. Mostre, usando a igualdade de numeros com-

plexos, que, se o complexo c+di e tal que (a+bi)(c+di) = 1, entao

c =a

a2 + b2e d = −

b

a2 + b2.

12. Sejam z e w numeros complexos. Mostre que: z · w = 0 se, e

somente se, z = 0 ou w = 0.

Auto-avaliacao

Voce deve prosseguir apos saber o que sao os numeros complexos,

suas operacoes de adicao e multiplicacao e suas propriedades, alem de

saber calcular o conjugado e o modulo de um complexo. Resolvendo os

Exercıcios 1, 2, 3 e 4, voce vai trabalhar as operacoes e suas proprieda-

des, o modulo e a conjugacao. Os Exercıcios 6 e 7 tratam da igualdade

de complexos e da solucao de equacoes. Faca a representacao no plano

dos numeros complexos, quando estiver resolvendo o Exercıcio 8. Re-

leia a aula e os exemplos, sempre que tiver alguma duvida. Acompanhe

as demonstracoes e os exemplos com cuidado e retorne aos exercıcios.

Uma boa estrategia para melhorar a sua aprendizagem e trabalhar em

grupo, discutindo os conceitos com outros colegas do curso. Isso pode

ser feito no polo. Que tal essa ideia? Faca em grupo os Exercıcios 11 e

12. Voce e capaz de resolve-los!


Forma polar dos numeros complexosPolinomiosAULA 29

Aula 29: Forma polar dos numeros complexos

Conceitos:Numeros complexos e Trigono-metria.

Referencias:Aula 28.

Objetivos

• Representar os numeros complexos nao-nulos na forma polar.

• Multiplicar numeros complexos na forma polar e interpretar geometrica-

mente a multiplicacao.

• Extrair raızes n-esimas de numeros complexos.

Vamos fazer uma outra representacao dos numeros complexos nao-

nulos, chamada forma polar ou forma trigonometrica dos numeros com-

plexos. Esta representacao e muito util para multiplicar numeros comple-

xos, interpretar geometricamente a multiplicacao de numeros complexos

nao-nulos, extrair raızes n-esimas de numeros complexos e visualizar a

radiciacao de numeros complexos no plano.

Sejam z = a+bi um numero complexo nao-nulo e r = |z| =√

a2 + b2 6=0 o seu modulo. O ponto P = (a, b) do plano que representa z 6= 0, e di-

ferente da origem O = (0, 0). Portanto, o segmento de reta OP determina

com o eixo x um angulo maior ou igual a zero grau e menor do que 360

graus, cuja medida θ, em radianos, esta no intervalo [0, 2π).

O numero real θ e o argumento de z e escrevemos arg(z) = θ.

Lembre que:O cırculo trigonometrico e ocırculo de raio 1.

A medida em radianos de umangulo nao-negativo e o compri-mento do arco correspondenteno cırculo trigonometrico.

O comprimento da circun-ferencia de raio 1 e 2π radianos.

O sımbolo arg(z) = θ le-seargumento de ze igual a teta.

Fig. 4: Argumento θ de z = a + bi 6= 0 e r =√

a2 + b2.

Geometricamente, o argumento de z e a medida em radianos, no

cırculo trigonometrico, do angulo que devemos girar o semi-eixo positivo

da reta real, no sentido anti-horario, ate coincidir com o segmento OP.

Observe que a = r cos θ e b = r sen θ. Portanto,

Em Matematica, o argumentodo numero complexo z nao-nuloe a medida do comprimento doarco correspondente no cırculotrigonometrico.

Na nossa linguagem, um argu-mento e um raciocınio pelo qualse chega a uma consequenciaou deducao. Consulte um di-cionario, para aprender outrossignificados da palavra argu-mento nas areas de Historia, Fi-losofia e Astronomia.

arg(z) = θ, com θ ∈ [0, 2π), cos θ =a

re sen θ =

b

r


Forma polar dos numeros complexos

Nas figuras a seguir, representamos o ponto P do plano correspon-

dente ao numero complexo z 6= 0 e a variacao do sinal do cosseno e do

seno do angulo de θ radianos, onde θ = arg(z), conforme o quadrante em

que se encontra z.

Quadrante I: 0 < θ < π2

cos θ > 0 e sen θ > 0 .

Quadrante II: π2

< θ < π

cos θ < 0 e sen θ > 0 .

Quadrante III: π < θ < 3π2

cos θ < 0 e sen θ < 0 .

Quadrante IV: 3π2

< θ < 2π

cos θ > 0 e sen θ < 0 .

Lembre que:

• Para cada θ ∈ [0, 2π), −1 ≤ cos θ ≤ 1 e −1 ≤ sen θ ≤ 1.

• O cosseno e o seno de θ satisfazem a relacao: cos2 θ + sen2 θ = 1,

pois, qualquer que seja θ ∈ [0, 2π), o ponto do plano (cos θ, sen θ) esta

no cırculo de centro na origem e raio 1, representado na Figura 5.

• Na Figura 6, estao os valores do cosseno e do seno de alguns angulos

notaveis em radianos entre θ = 0 e θ = 2π, representados no cırculo de

raio 1!Fig. 5: Ponto (cos θ, sen θ).



Fig. 6: Representacao de θ radianos, cos θ e sen θ no cırculo de raio 1.

Exemplo 33Determinemos o argumento de cada um dos seguintes numeros comple-

xos:

a. z1 = 3, z2 = −3, z3 = 2i e z4 = −2i. Faca a representacao no plano

desses numeros complexos para visualizar os seus argumentos.

z1 e z2 estao situados sobre a reta real, sendo z1 no semi-eixo positivo e

z2 no semi-eixo negativo. Logo, θ1 = arg(z1) = 0 e θ2 = arg(z2) = π.

z3 e z4 estao situados sobre o eixo imaginario, sendo z3 no semi-eixo

positivo e z4 no semi-eixo negativo. Logo, θ3 = arg(z3) = π2

e θ4 =

arg(z4) = 3π2

.

b. z5 = 2 − 2i, z6 = −1 −√

3i.

Primeiramente, observe que z5 e z6 estao nos quadrantes IV e III, res-

pectivamente. Como r5 = |z5| =√

22 + (−2)2 =√

8 = 232 = 2

√2 , temos:

cos(θ5) =2

2√

2=

1√2

=1√2·√

2√2

=

√2

2

sen(θ5) =−2

2√

2=

−1√2

=−1√

2·√

2√2

= −

√2

2.

Logo, θ5 = arg(z5) =7π

4(veja a Figura 6).

Como r6 = |z6| =√

(−1)2 + (−√

3)2 =√

4 = 2, temos que:

cos(θ6) =−1

2= −

1

2e sen(θ6) =

−√

3

2= −

√3

2.

Curiosidade:

Costuma-se escrever

eiθ = cos θ + i sen θ.

Em particular,

eiπ = cos π + i sen π = −1.

E devido a Euler uma das maisbelas formulas de Matematica

eiπ + 1 = 0,

envolvendo cinco numeros im-portantes 0, 1, e, π, i.

Logo, θ6 = arg(z6) =4π

3(veja a Figura 6).



A forma polar ou forma trigonometrica do numero complexo nao-nulo

z = a + bi, com modulo r =√

a2 + b2 e argumento arg(z) = θ e:

z = r(cos θ + i sen θ) , onde cos θ =a

re sen θ =

b

r.

Quando expressamos um numero complexo nao-nulo na forma po-

lar, explicitamos o seu modulo e o seu argumento.

Exemplo 34Vamos expressar os numeros complexos do Exemplo 33 na forma polar,

aproveitando os calculos dos seus modulos e argumentos:

z1 = 3 = 3(cos 0 + i sen 0), z2 = −3 = 3(cos π + i sen π),

z3 = 2i = 2(cos π2

+ i sen π2), z4 = −2i = 2(cos 3π

2+ i sen 3π

2),

z5 = 2 − 2i = 2√

2(cos 7π4

+ i sen 7π4

), z6 = −1 −√

3i = 2(cos 4π3

+ i sen 4π3

).

Produto de numeros complexos na forma polar:

Dados os complexos z1 = r1(cos θ1+i sen θ1) e z2 = r2(cos θ2+i sen θ2),

temos:

z1z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)).

A relacao acima da uma interpretacao geometrica para o produto

de numeros complexos nao-nulos: para calcular o produto, e suficiente

calcular o produto dos modulos de z1 e z2 e somar os seus argumentos θ1

e θ2.

De fato,

z1 z2 = r1(cos θ1 + i sen θ1)r2(cos θ2 + i sen θ2)

= r1r2 ((cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2) + i (cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2))

= r1r2 (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)) .

Na ultima igualdade, usamos as duas identidades trigonometricas:

cos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2

sen(θ1 + θ2) = cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2.

Exemplo 35Vamos determinar na forma polar o produto z1z2, sendo

z1 = −5 + 5√

3i e z2 = 2√

3 − 2i.



Temosr1 =

√(−5)2 + (5

√3)2 =

√25 + 25 · 3 =

√100 = 10 e

r2 =

√(2√

3)2 + (−2)2 =√

4 · 3 + 4 =√

16 = 4 .

Portanto, r1r2 = 40 .

Note que z1 e z2 estao nos quadrantes II e IV, respectivamente. Alem

disso,

cos θ1 =−5

10=

−1

2= −

1

2e sen θ1 =

5√

3

10=

√3

2, nos da θ1 = arg(z1) =

2π

3;

cos θ2 =2√

3

4=

√3

2e sen θ2 =

−2

4=

−1

2= −

1

2, nos da θ2 = arg(z2) =

11π

6.

Assim, θ1 + θ2 =2π

3+

11π

6=

15π

6=

12π

6+

3π

6= 2π +

π

2.

Logo, z1z2 = 40(cos(2π + π2) + i sen(2π + π

2)) = 40(cos π

2+ i sen π

2).

Para visualizar os argumentos,faca a representacao no planodos numeros complexos z1, z2

e z1 · z2.

Fig. 7: Congruencia de θ e θ + 2π radianos.

Ao marcarmos sobre o cırculo tri-

gonometrico os comprimentos de θ ra-

dianos e θ + 2π radianos, no sentido

anti-horario, comecando no ponto A =

(1, 0), correspondente a 0 radiano, pa-

ramos no mesmo ponto P. Assim, os

segmentos OA e OP, segmentos inicial

e final para a determinacao do angulo

em graus correspondente a θ radianos

e a θ + 2π radianos, coincidem (Figura 7).

Dizemos que θ radianos e θ + 2π radianos sao congruentes.

Geometricamente, θ + 2π significa uma volta a mais no cırculo trigo-

nometrico, a partir de θ.

Dizemos que o cosseno e o seno sao periodicas de perıodo 2π por-

que satisfazem:

cos θ = cos(θ + 2π) e sen θ = sen(θ + 2π).

Qual e o argumento do produto z1z2?

Como 0 ≤ θ1 = arg(z1) < 2π e 0 ≤ θ2 = arg(z2) < 2π, temos



0 ≤ θ1 + θ2 < 4π e ha um unico θ, com 0 ≤ θ < 2π tal que

cos θ = cos(θ1 + θ2) e sen θ = sen(θ1 + θ2).

Dizemos que θ, pertencente ao intervalo [0, 2π), e congruente a θ1 +

θ2 e arg(z1z2) = θ.

Assim, z1 · z2 e o numero complexo , tal que

|z1z2| = r1r2 e arg(z1z2) = θ ∈ [0, 2π), com θ congruente a θ1 + θ2.

Exemplo 36O que significa multiplicar um numero complexo z 6= 0 por i?

Jean Robert Argand, ummatematico amador, nascidona Suıca em 1768, ficou fa-moso pela sua interpretacaogeometrica dos numeros com-plexos, onde i e interpretadocomo uma rotacao de 90o.

A representacao no plano dosnumeros complexos e conhe-cida como plano de Argand-Gauss.

Para saber mais sobre Argand,consultehttp://www-history.mcs.st


Mathematicians/Argand.html

Fig. 8: Multiplicacao de z 6= 0

por i.

Abraham De MoivreVitry, Franca.

1667-1754

Deu grandes contribuicoes paraEstatıstica, Probabilidade e Tri-gonometria. Desenvolveu oconceito de eventos estatistica-mente independentes e escre-veu um tratado importante deProbabilidade. Teve uma vidasimples e modesta, como tutorparticular de Matematica.Quer saber mais? Consulte:http://www-history.mcs.st


Mathematicians/

De Moivre.html

O numero complexo iz tem modulo |iz| = |z| e seu argumento e congru-

ente a arg(z) + π2.

O produto de i por z corresponde a uma rotacao de 90o em torno da ori-

gem, no sentido anti-horario, do ponto do plano que representa z (Figura

8).

Exemplo 37Quando multiplicamos dois complexos z1 e z2 de modulo 1 e argu-

mentos θ1 e θ2, o produto e o numero complexo do cırculo de raio 1

centrado na origem definido por θ1 + θ2.

Para ilustrar, consideremos z1 =√

32

+ 12i e z2 = 1

2+

√3

2i. Verificamos que

|z1| = 1, |z2| = 1, arg(z1) = π6

e arg(z2) = π3. Como π

6+ π

3= π

2, temos

z1z2 = cos π2

+ i sen π2

= i.

A multiplicacao na forma polar permite determinar uma expressao

para potencias de expoente natural n ≥ 1 cuja base e um numero com-

plexo nao-nulo, conforme veremos na seguinte proposicao.

Proposicao 3 (Formula de De Moivre)Seja z 6= 0 um numero complexo dado na forma polar z = r(cos θ+i sen θ).

Entao, para cada numero natural n ≥ 1,

zn = rn (cos(nθ) + i sen(nθ)).

Demonstracao: Esta demonstracao sera feita por inducao sobre o expo-

ente n, isto e: verificamos que a formula e valida para n = 1, supomos a

formula verdadeira para n (hipotese de inducao) e mostramos que e valida

para n + 1. Temos z = r(cos θ + i sen θ), que corresponde a substituicao



de n = 1 na expressao do enunciado. Suponhamos que a formula vale

para n. Entao,zn+1 = z · zn

= r(cos θ + i sen θ) · [rn(cos(nθ) + i sen(nθ))]

= rn+1[cos(θ + nθ) + i sen(θ + nθ)]

= rn+1[cos ((n + 1)θ) + i sen((n + 1)θ)] ,

onde a segunda igualdade segue da hipotese de inducao, a terceira da

multiplicacao de numeros complexos na forma polar e a ultima mostra a

validade da formula do enunciado em n + 1. Concluımos, por inducao, a

validade da formula para todo numero natural n ≥ 1. �

Exemplo 38Seja z = −

√3 + i. Vamos calcular z8.

Nesse caso, r =

√(−√

3)2 + 12 =√

3 + 1 =√

4 = 2.

Alem disso, as relacoes cos θ =−√

3

2= −

√3

2e sen θ =

1

2nos dizem

que arg(z) = θ =5π

6. Logo, z = 2

(cos 5π

6+ i sen 5π

6

)e

z8 = 28(

cos(8 · 5π

6

)+ i sen

(8 · 5π

6

))= 256

(cos 40π

6+ i sen 40π

6

).

Vamos determinar arg(z8), isto e, θ ∈ [0, 2π) com θ congruente a 40π

6.

Escrevemos 40π

6=

20π

3=

18π + 2π

3= 6π+

2π

3(6π corresponde a 3 voltas

no cırculo trigonometrico).

Portanto, θ =2π

3e o argumento de z8 e z8 = 256

(cos 2π

3+ i sen 2π

3

).

Curiosidade sobre De Moivre

Previu a data da sua morte:morreria no dia que dormissepor 24 horas, considerando quedormia 15 minutos a mais cadanoite. Para calcular o dia dasua morte usou uma progressaoaritmetica!

Exemplo 39Seja z = −1 + i. Vamos calcular z6.

Nesse caso, r =√

(−1)2 + 12 =√

1 + 1 =√

2. Alem disso, as igualdades

cos θ =−1√

2= −

1√2

= −

√2

2e sen θ =

1√2

=

√2

2,

nos dizem que arg(z) = θ =3π

4. Logo, z =

√2(

cos 3π

4+ i sen 3π

4

)e

z6 = (√

2)6(

cos(6 · 3π

4

)+ i sen

(6 · 3π

4

))= 8

(cos 18π

4+ i sen 18π

4

).

Vamos determinar arg(z6), isto e, θ ∈ [0, 2π) com θ congruente a 18π

4.

Escrevemos 18π

4=

9π

2=

8π + π

2= 4π +

π

2(4π corresponde a 2 voltas no

cırculo trigonometrico).



Portanto, θ =π

2e o argumento de z6 e z6 = 8

(cos π

2+ i sen π

2

)= 8i.

Voce, certamente, ja observou que no calculo do argumento de zn

subtraımos de n · arg(z) um multiplo inteiro conveniente de 2π, de modo a

obter um numero real θ ∈ [0, 2π). Nesse caso, arg(zn) = θ.

Definicao 7 (Raızes complexas n-esimas)Dado um numero complexo z 6= 0 e um numero natural n ≥ 2, definimos

as raızes complexas n-esimas de z como sendo os numeros complexos

w tais que

wn = z .A expressao n-esimas le-seenesimas.

Exemplo 40Calculando, (3i)2 = 9i2 = −9 e (−3i)2 = (−3)2 · i2 = −9, concluımos que

3i e −3i sao raızes complexas quadradas de −9.

Exemplo 41Tomando z = 1 e n = 4 temos que todo w ∈ {1,−1, i,−i} satisfaz w4 = 1

e e chamado uma raiz complexa quarta da unidade.

Exemplo 42As raızes complexas cubicas de 8i sao os numeros −2i,

√3 + i,−

√3 + i .

De fato, temos (−2i)3 = (−2)3 · i3 = (−8) · (−i) = 8i. Para calcular o cubo

dos numeros√

3 + i e −√

3 + i escrevemos primeiro a sua forma polar:√

3 + i = 2(

cos π

6+ i sen π

6

)e −

√3 + i = 2

(cos 5π

6+ i sen 5π

6

).

Usando a formula de De Moivre, obtemos:

(√

3 + i)3 = 23(

cos π

2+ i sen π

2

)= 8i ,

(−√

3 + i)3 = 23(

cos 5π

2+ i sen 5π

2

)= 23

(cos

(2π +

π

2

)+ i sen

(2π +

π

2

))= 8

(cos π

2+ i sen π

2

)= 8i .

Proposicao 4 (Raızes complexas n-esimas)Todo numero complexo z 6= 0 tem exatamente n raızes complexas n-

esimas de z, para cada numero natural n ≥ 2, a saber,

Para cada numero real r ≥0 e para cada numero naturaln ≥ 2, o sımbolo n

√r significa

o numero real ρ ≥ 0, tal que

ρ = n√

r ⇐⇒ ρn = r, ρ ≥ 0.

Reveja a Definicao 6, na Aula 9.

Lembre que:4√

16 = 2, 2√

25 = 5, 6√

1=1.

zk = n√

r(

cos(

θ + 2kπ

n

)+ i sen

(θ + 2kπ

n

)), k = 0, 1, . . . , n − 1 ,

onde r = |z| e θ = arg(z).



Demonstracao: Seja n ≥ 2 um numero natural dado. Primeiramente,

escrevemos z na forma polar z = r(cos θ + i sen θ), onde r = |z| e

θ = arg(z). Vamos calcular as raızes n-esimas tambem na forma polar.

Queremos determinar os numeros complexos w = ρ(cos φ + i sen φ) tais

que z = wn.Le-seρ como ro e φ, como fi.

Como wn = ρn(cos(nφ) + i sen(nφ)), temos wn = z se, e somente

se, ρn = r

nφ = θ + 2πλ, λ ∈ N⇐⇒

ρ = n√

r, ρ ∈ R , ρ > 0

φ =θ + 2πλ

n, λ ∈ N Le-se

λ como lambda.

A equivalencia sobre φ foi obtida usando as identidades

cos(nφ) = cos θ = cos(θ + 2π) = cos(θ + 4π) = · · · = cos(θ + λ · 2π) ,

sen(nφ) = sen θ = sen(θ + 2π) = sen(θ + 4π) = · · · = sen(θ + λ · 2π) ,

para todo numero natural λ.

Fazendo a divisao euclidiana de cada λ ∈ N por n, obtemos

λ = q · n + k, sendo q ∈ N e 0 ≤ k ≤ n − 1.

Assim, φ =θ + 2πλ

n=

θ + 2π(q · n + k)

n=

θ

n+

2πk

n+ 2πq .

Logo, φ e congruente a φk =θ

n+

2πk

n, para k = 0, 1, . . . , n − 1.

Portanto, para cada k = 0, 1, . . . , n−1 ha uma raiz complexa n-esima

de z, determinada pelo argumento φk, a saber:

φ0 =θ

n, φ1 =

θ

n+

2π

n, φ2 =

θ

n+ 2 · 2π

n, . . ., φn−2 =

θ

n+ (n − 2) · 2π

n,

φn−1 =θ

n+ (n − 1) · 2π

n,

sendo as raızes complexas n-esimas de z dadas por

zk = n√

r(cos φk + i sen φk) , φk =θ + 2kπ

n, k = 0, 1, . . . , n − 1 . �

Observacao:

Quando z e um numero real positivo, temos arg(z) = 0 e as n raızes

complexas n-esimas de z tem argumento dado por φk = 2kπn

, onde k =

0, 1, . . . , n − 1.

Geometricamente, as raızes complexas n-esimas do numero real

positivo z = |z| sao os pontos que dividem em n partes iguais o cırculo de

raio n√

|z| centrado na origem.



Exemplo 43As 4 raızes complexas quartas de 16 sao: 2, 2i, −2, −2i, determinadas

por φk =2π · k

4=

π · k2

, k = 0, 1, 2, 3 e ρ =4√

16 = 2 .

Fig. 9: Raızes quartas de 16.

Assim,

φ0 = 0 ⇒ z0 = 2(cos 0 + i sen 0) = 2 ,

φ1 = π2

⇒ z1 = 2(cos π2

+ i sen π2) = 2i ,

φ2 = π ⇒ z2 = 2(cos π + i sen π) = −2 ,

φ3 = 3π2

⇒ z3 = 2(cos 3π2

+ i sen 3π2

) = −2i .

Veja na Figura 9 a representacao geometrica

das raızes complexas quartas de 16 no cırculo

de raio 2 =4√

16 centrado na origem.

As raızes complexas n-esimas de z = 1 sao chamadas raızes n-

esimas da unidade. Nesse caso, θ = arg(1) = 0, φk = 2kπn

, onde

k = 0, 1, . . . , n − 1. As raızes complexas n-esimas da unidade sao os

pontos zk, com k = 0, 1, . . . , n − 1 do cırculo trigonometrico que o dividem

em n partes iguais, sendo z0 = 1.

Veja na Figura 9 arepresentacao geometricadas raızes complexas quartasda unidade no cırculo de raio 1

centrado na origem.

Exemplo 44Nas Figuras 10 e 11, estao representadas as raızes complexas cubicas

da unidade e as raızes complexas sextas da unidade, respectivamente.

Fig. 10: Raızes complexas cubicas de 1. Fig. 11: Raızes complexas sextas de 1.

Exemplo 45Vamos determinar as raızes cubicas de z = −27i.

Temos r = 27 e θ = arg(z) = 3π2

. Entao, θ3

= 3π6

= π2, φk = π

2+ k · 2π

3,

k = 0, 1, 2. Portanto, as raızes complexas cubicas tem como modulo o



numero real ρ =3√

27 = 3 e argumentos φk. Assim,

φ0 = π2

=⇒ z0 = 3(cos π2

+ i sen π2) = 3i ;

φ1 = π2+ 2π

3= 7π

6=⇒ z1 = 3(cos 7π

6+i sen 7π

6) = 3(−

√3

2−i1

2) = −3

√3

2− 3

2i

e

φ2 = π2+2· 2π

3= 11π

6=⇒ z2 = 3(cos 11π

6+i sen 11π

6) = 3(

√3

2−i1

2) = 3

√3

2− 3

2i.

Exemplo 46Vamos determinar as raızes complexas quadradas de z = 2 + 2

√3i.

Temos r =√

22 + (2√

3)2 =√

4 + 4× 3 =√

16 = 4 e ρ =√

r =√

4 = 2 .

Seja θ = arg(z). Entao, cos θ = 24

= 12

e sen θ = 2√

34

=√

32

. Logo, θ = π3

.

Assim, φk = θ2

+ k · 2π2

= π6

+ k · π com k = 0, 1.

Logo,

φ0 = π6

=⇒ z0 = 2(cos π6

+ i sen π6) = 2(

√3

2+ 1

2i) =

√3 + i e

φ1 = π6

+ π = 7π6

=⇒ z1 = 2(cos 7π6

+ i sen 7π6

) = 2(−√

32

− 12i) = −

√3 − i.

Resumo

Voce aprendeu a forma polar de um numero complexo nao-nulo, que

explicita o modulo e o argumento; a fazer a multiplicacao de dois numeros

complexos escritos na forma polar; a calcular potencias de expoente na-

tural n ≥ 1 de numeros complexos nao-nulos escritos na forma polar.

Agora voce sabe a interpretacao geometrica da multiplicacao de numeros

complexos e aprendeu a calcular as n raızes complexas n-esimas de um

numero complexo nao-nulo.

Exercıcios

1. Determine o modulo, o argumento e escreva o numero complexo z

na forma polar. Represente z no plano, indicando o seu modulo e o

seu argumento no desenho.

a. z = 3 − 3i . b. z = −1 + i . c. z = 4 + 4i .

d. z = 5i . e. z = −7 . f. z = 2 + 2i .

g. z =√

3 − i . h. z = −2√

3 − 2i . i. z =1

−1 − i.

j. z = 5 . k. z = −2i . l. z = −2 − 2√

3i .



2. Calcule z1 · z2:

a. z1 = 2(cos 2π5

+ i sen 2π5

) e z2 = 3(cos 3π5

+ i sen 3π5

).

b. z1 = 3(cos 2π6

+ i sen 2π6

) e z2 = cos 5π6

+ i sen 5π6

.

c. z1 = 32(cos 7π

12+ i sen 7π

12) e z2 = 2(cos 11π

12+ i sen 11π

12).

d. z1 = 3(cos 3π8

+ i sen 3π8

) e z2 = 5(cos 7π8

+ i sen 7π8

).

3. Calcule as potencias:

a. (2 + 2i)5 . b. (−1 + i)7 . c. (−√

3 − i)10 . d. (−1 +√

3i)8 .

4. Refaca o exercıcio 4, da Aula 28, usando a forma polar de um numero

complexo.

5. Dado z = cos π15

+ i sen π15

, determine: z5, z25 e as raızes complexas

4-esimas de z20.

6. Determine os valores do numero natural n ≥ 2 , para os quais

(√

2 +√

2i)n:

a. e um numero real.

b. e um imaginario puro.

7. Determine as raızes complexas n-esimas de z:

a. n = 2, z = 1 −√

3i . b. n = 4, z = 3 .

c. n = 3, z = −16 + 16i . d. n = 6, z = −1 .

8. Determine e represente no plano as raızes complexas n-esimas de

z = 1, para n = 2, 3, 4, 6, 8, 12.

Auto-avaliacao

Voce sabe determinar a forma polar de um numero complexo z 6= 0?

Qual a utilidade da forma polar? Se voce nao sabe responder, volte ao

texto, releia as definicoes de modulo de z, argumento de z e forma polar de

z e refaca os exemplos. Os conhecimentos elementares de Trigonometria

sao importantes para a determinacao do argumento de z. Talvez a sua

dificuldade esteja na Trigonometria. Que tal uma revisao dessa materia?

As aplicacoes da forma polar sao o calculo de potencias de expoente

natural e a radiciacao de numeros complexos. Os exercıcios so requerem



escrever a forma polar de um numero complexo (Exercıcio 1), multiplicar

numeros complexos na forma polar (Exercıcio 2) e saber determinar as

potencias naturais (Exercıcios 3, 4, 5 e 6) e as n raızes complexas n-

esimas de um numero complexo (Exercıcios 5, 7 e 8).


Fatoracao em R[x]PolinomiosAULA 30

Aula 30: Fatoracao em R[x]

Conceitos:

Numeros reais e operacoes,polinomios com coeficientesreais, numeros complexos eoperacoes.

Referencias:Aulas 7 a 9 e 25 a 29.

Objetivos

• Compreender o Teorema Fundamental da Algebra.

• Relacionar uma raiz β complexa nao-real de um polinomio em R[x] com

a sua divisibilidade por x2 − (β + β)x + ββ ∈ R[x].

• Decompor polinomios em R[x] de grau n ≥ 1 em produto de potencias

de fatores dos tipos x − a e x2 + bx + c, onde a, b, c ∈ R e b2 − 4c < 0.

Combinando as formulas de Bhaskara, aprendidas na Aula 20, com

o metodo de resolucao em C das equacoes do 2o grau com discriminante

negativo, visto na Aula 28, podemos determinar, no conjunto dos numeros

complexos, todas as raızes para os polinomios do segundo grau com co-

eficientes reais f(x) = ax2 +bx+ c, onde a 6= 0, b, c ∈ R e ∆ = b2 − 4ac.

A saber:

∆ = 0 ⇐⇒ x1 = x2 = −b

2a∈ R

∆ > 0 ⇐⇒ x1 =−b +

√∆

2a, x2 =

−b −√

∆

2a, x1, x2 ∈ R

∆ < 0 ⇐⇒ x1 =−b +

√−∆i

2a, x2 =

−b −√

−∆i

2a, onde x2 = x1

sao numeros complexos nao-reais.

Antes de apresentarmos o Teorema Fundamental da Algebra vamos

aprender mais propriedades de polinomios com coeficientes reais.

O Teorema Fundamental daAlgebra foi demonstrado porGauss e por D’Alembert. NaFranca ele e conhecido comoTeorema de D’Alembert, poisele dispendeu muito tempo eesforco tentando demonstra-lo.

Definicao 8Seja f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 um polinomio com coeficientes reais.

Dado β ∈ C, definimos a avaliacao de f em β como sendo o numero

complexo

f(β) = anβn + · · ·+ a1β + a0 .

No Exercıcio 5, da Aula 28, voce fez a avaliacao do polinomio f(x) =

3x2 + 2x − 1 nos numeros complexos β = 1 + i e β = 1 − i. Comparando

os resultados obtidos, qual a relacao entre os numeros complexos f(β) e

f(β)?

Note que f(β) = 3β2

+ 2β − 1 = 3β2 + 2β − 1 = f(β), sendo a


Fatoracao em R[x]

segunda igualdade consequencia das propriedades da conjugacao (2),

(5) e (4) vistas na Aula 28. Assim, f(β) = f(β) para todo β ∈ C.

O que voce observou, nesse caso particular, e uma propriedade ge-

ral que vale para todos os polinomios com coeficientes reais e numeros

complexos β e β, conforme veremos na seguinte proposicao.

Proposicao 5Sejam f(x) e g(x) polinomios com coeficientes reais e β um numero com-

plexo. Valem as seguintes propriedades:

(i) f(β) = f(β). Em particular, f(β) = 0 ⇐⇒ f(β) = 0.

(ii) Se s(x) = f(x) + g(x), entao s(β) = f(β) + g(β).

(iii) Se p(x) = f(x) · g(x), entao p(β) = f(β) · g(β).

(iv) Seja β um numero complexo nao-real, isto e, β 6= β, e seja f(x) um

polinomio de grau maior ou igual a 1. Entao,

f(β) = 0 se, e somente se, x2 − (β + β)x + ββ ∈ R[x] divide f(x).

Demonstracao: Seja f(x) = anxn + · · ·+a1x+a0 com an, . . . , a1, a0 ∈ R.

Jean Le RondD’Alembert1717 - 1783,

Franca.

D’Alembert tinha instrucao nasareas de Direito, Medicina,Ciencia e Matematica. Comapenas 24 anos, foi eleito paraa Academie de Sciences daFranca. Entre 1751 e 1772, co-laborou com Diderot na edicaoda primeira enciclopedia: Ency-clopedie raisonne des sciences,des arts et des metiers, ondepublicou diversos trabalhos deMatematica. Em 1744, publicouTraite de l’equilibre et du mou-vement des fluides e, em 1747,seu trabalho em vibracao decordas, onde aparece pela pri-meira vez a equacao da onda.Deu importantes contribuicoesa Matematica: foi o primeiroa entender a importancia dasfuncoes e da teoria dos limites;a definir a derivada como olimite de um quociente de incre-mentos; e pioneiro no estudo deequacoes diferenciais parciais.

Para ter mais informacoes sobreD’Alembert, consulte:http://www-history.mcs.st


Mathematicians/

D’Alembert.html

(i): Das propriedades (2) e (5) da conjugacao, para cada j = 0, 1, . . . , n,

temos ajβj= ajβ

j= ajβj = ajβj. Portanto,

f(β) = anβn

+ · · ·+ a1β + a0

= anβn + · · ·+ a1β + a0

= anβn + · · ·+ a1β + a0

= f(β) ,

onde a penultima igualdade e consequencia do conjugado da soma ser

igual a soma dos conjugados (propriedade (4) da conjugacao).

Em particular, como 0 = 0 e f(β) = f(β), temos que:

f(β) = 0 ⇐⇒ f(β) = 0 ⇐⇒ f(β) = 0.

(ii): Seja g(x) = bnxn + · · · + b1x + b0. Usando a definicao da adicao de

polinomios, temos que

s(x) = f(x) + g(x) = (an + bn)xn + · · ·+ (a1 + b1)x + (a0 + b0).

Logo,



s(β) = (an + bn)βn + · · ·+ (a1 + b1)β + (a0 + b0)

= (anβn + bnβn) + · · ·+ (a1β + b1β) + (a0 + b0)

= (anβn + · · ·+ a1β + a0) + (bnβn + · · ·+ b1β + b0)

= f(β) + g(β) ,

onde a segunda igualdade segue da distributividade da adicao e multiplicacao

em C e a terceira, da comutatividade e associatividade da adicao em C.

(iii): Seja g(x) = bmxm+· · ·+b1x+b0. Usando a definicao da multiplicacao

de polinomios, temos que p(x) = f(x) · g(x) =

n+m∑k=0

ckxk, sendo ck =∑

λ+µ=k

aλbµ.

Logo,

p(β) =

n+m∑k=0

ckβk =

n+m∑k=0

( ∑λ+µ=k

aλbµ

)βk

= anbmβn+m + (an−1bm + anbm−1)βn+m−1 + · · ·+

+ (a2b0 + a1b1 + a0b2)β2 + (a1b0 + a0b1)β + a0b0 .

Usando as propriedades distributiva e comutativa da adicao e multiplicacao

de numeros complexos, calculamos o produto

f(β)g(β) = (anβn + · · ·+ a1β + a0)(bmβm + · · ·+ b1β + b0)

e verificamos a igualdade desejada.

(iv): Seja β ∈ C, tal que β 6= β. Primeiramente, lembre que

β + β = 2 Re(β) ∈ R e ββ = |β|2 ∈ R .

Logo, x2 − (β + β)x + ββ ∈ R[x].

Nao esqueca:

Para demonstrar que as propri-edades P eQ sao equivalentes,isto e,

P ⇐⇒ Q,

devemos demonstrar que:

P =⇒ Q e Q =⇒ P.

=⇒: Seja agora f(x), um polinomio com coeficientes reais, tal que f(β) =

0. Pelo item (i), temos tambem que f(β) = 0. Fazendo a divisao euclidiana

de f(x) por x2 − (β + β)x + ββ, obtemos q(x) ∈ R[x] e r(x) = ax + b, com

a, b ∈ R tais que:

f(x) = (x2 − (β + β)x + ββ)q(x) + ax + b .

Pelos itens (ii) e (iii) ja demonstrados, avaliando f(x) em β e β, obtemos:

0 = f(β) = (β2 − (β + β)β + ββ) · q(β) + aβ + b = 0 · q(β) + aβ + b = aβ + b

0 = f(β) = (β2− (β + β)β + ββ) · q(β) + aβ + b = 0 · q(β) + aβ + b = aβ + b .


Fatoracao em R[x]

Portanto, para calcular o resto da divisao, devemos resolver em C o sis-

tema de 2 equacoes a 2 incognitas:aβ + b = 0

aβ + b = 0 .

Subtraindo a segunda equacao da primeira, eliminamos b, obtendo:

(aβ + b) − (aβ + b) = 0 , que e equivalente a, a(β − β) = 0.

Como β 6= β, temos β − β 6= 0. Sendo o produto de dois numeros com-

plexos igual a 0 se, e somente se, um dos fatores e 0, obtemos a = 0.

Substituindo esse valor na primeira equacao do sistema, concluımos que

b = 0 e, portanto, r(x) ≡ 0. Isto e, x2 − (β + β)x + ββ divide f(x).

Voce fez o Exercıcio 12, da Aula28?Ainda esta em tempo.

⇐=: Reciprocamente, se x2 − (β + β)x + ββ divide f(x), entao existe

q(x) ∈ R[x], tal que

f(x) = (x2 − (β + β)x + ββ)q(x) e

f(β) = (β2 − (β + β)β + ββ)q(β) = 0 · q(β) = 0 . �

Note que:

• O item (iv) da proposicao anterior diz que as raızes complexas nao-reais

de um polinomio f(x) ∈ R[x], quando existem, ocorrem aos pares. Nesse

caso, tanto β quanto β, com β 6= β, sao raızes de f(x).

• Quando β ∈ C e um numero complexo nao-real, temos Im(β) 6= 0 e o

discriminante do polinomio x2 − (β + β)x + ββ e

∆ = (β + β)2 − 4ββ = β2 + 2ββ + β2− 4ββ = β2 − 2ββ + β

2= (β − β)2

= (2i Im(β))2 = −4(Im(β))2 < 0 .

Como uma motivacao para enunciar o Teorema Fundamental da

Algebra e sua relacao com a decomposicao de polinomios em R[x] num

produto de potencias de fatores dos tipos x−a e x2+bx+c, onde a, b, c ∈ Re ∆ = b2 − 4c < 0, vamos analisar, nos exemplos a seguir, alguns po-

linomios em R[x], determinando suas raızes reais (relacionadas com seus

fatores do tipo x − a) e verificando se sao divisıveis por fatores monicos

do 2o grau com discriminante negativo.

Lembre que:

um polinomio e dito monico seo coeficiente do seu termo demais alto grau e igual a 1. Exemplo 47

Seja f(x) = x4 − 2 ∈ R[x].

Observamos que so ha dois numeros reais cuja quarta potencia e 2: 4√

2

e −4√

2. Esses numeros reais sao raızes de f(x), o que e equivalente a

(x −4√

2)(x +4√

2) dividir f(x). Fazendo a divisao, obtemos:



f(x) = x4 − 2 = (x −4√

2)(x +4√

2)(x2 +√

2).

Trace o cırculo de raio 4√

2 evisualize as raızes complexasquartas de 2.

Lembre que ...Geometricamente, as raızescomplexas n−esimas de umnumero real r > 0 dividem ocırculo de raio n

√r em n partes

iguais.

Entretanto, no conjunto dos numeros complexos ha quatro numeros cuja

quarta potencia e 2: −4√

2, 4√

2, −4√

2i e 4√

2i , que sao as raızes

complexas quartas de 2.

Para determina-los, tomamos os argumentos φk = 2π·k4

, k = 0, 1, 2, 3, ob-

tendo

φ0 = 0, φ1 = π2, φ2 = π e φ3 = 3π

2.

Escrevendo o modulo ρ =4√

2 das raızes complexas quartas de 2, temos

as quatro raızes complexas quartas de 2 dadas por:

z0 =4√

2, z1 =4√

2i, z2 = −4√

2 e z3 = −4√

2i.

Os numeros complexos conjugados 4√

2i e −4√

2i sao as raızes em C do

polinomio do 2o grau x2 +√

2 com coeficientes reais.

Em C a equacao x4 − 2 = 0 tem quatro solucoes, enquanto em R ha

apenas duas solucoes.

Exemplo 48Seja f(x) = −2x9 + 32x6 − 128x3. Quais sao as raızes de f(x)?

Colocando −2 em evidencia, temos f(x) = −2(x9 − 16x6 + 64x3) e vemos

que f(x) e divisıvel por x3. Portanto,

f(x) = −2x3(x6 − 16x3 + 64).

O numero a = 0 e uma raiz de f(x) com multiplicidade 3. As outras raızes

de f(x), forcosamente, sao raızes de x6 − 16x3 + 64, pois

f(α) = −2α3(α6 − 16α3 + 64) = 0 ⇐⇒ α3 = 0 ou α6 − 16α3 + 64 = 0

⇐⇒ α = 0 ou α6 − 16α3 + 64 = 0 .

Nao esqueca que:

Se a, b ∈ R, entaoa · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0.

Se z, w ∈ C, entaoz ·w = 0 ⇐⇒ z = 0 ou w = 0.

Lembre dos produtos notaveis:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

a2 − b2 = (a − b)(a + b).

Para continuar a pesquisa das raızes de f(x), devemos buscar agora as

raızes do fator x6 − 16x3 + 64. Observando as potencias de x e os coefici-

entes, lembramos de um produto notavel e escrevemos

x6 − 16x3 + 64 = (x3 − 8)2.

Portanto, as raızes de x6 − 16x3 + 64 sao as raızes de (x3 − 8)2. Assim,

basta determinar as raızes de x3 − 8, sem esquecer que a multiplicidade

delas no polinomio x6 − 16x3 + 64 e 2.

O polinomio x3 − 8 tem tres raızes em C, as raızes complexas cubicas


Fatoracao em R[x]

de 8. Apenas uma delas e um numero real e as outras duas sao numeros

complexos nao-reais. Para determina-las, calculamos o modulo ρ =3√

8 =

2 e os argumentos φk = 2πk3

, com k = 0, 1, 2. Obtemos, φ0 = 0,

φ1 = 2π3

e φ2 = 4π3

.

Assim, z0 = 2, z1 = 2(cos 2π3

+ i sen 2π3

) = 2(−12

+ i√

32

) = −1 +√

3i e

z2 = 2(cos 4π3

+ i sen 4π3

) = 2(−12

− i√

32

) = −1 −√

3i.

Note que

z2 = z1 , z1 + z2 = z1 + z1 = −2 e z1 · z2 = z1 · z1 = |z1|2 = 4 .

Logo, z1 e z2 sao raızes do polinomio do 2o grau x2 + 2x + 4 ∈ R[x].Lembre que:

(x − a)(x − b) =

x2 − (a + b)x + ab. Fazendo a divisao euclidiana de x3 − 8 por x − 2, temos

x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) e (x3 − 8)2 = (x − 2)2(x2 + 2x + 4)2.

Portanto,

−2x9 + 32x6 − 128x3 = −2x3(x3 − 8)2 = −2x3(x − 2)2(x2 + 2x + 4)2.

Esse polinomio de grau 9 tem duas raızes reais: a raiz 0 com multiplici-

dade 3 e a raiz 2 com multiplicidade 2. No conjunto dos numeros com-

plexos temos, alem dessas, as raızes −1 +√

3i e −1 −√

3i, ambas com

multiplicidade 2, porque (x2 + 2x + 4)2 divide f(x), mas (x2 + 2x + 4)3

nao divide f(x). Contando as raızes com as suas multiplicidades, temos

3 + 2 + 2 + 2 = 9 = gr(f(x)) raızes complexas.

De modo totalmente analogo ao conjunto R[x] dos polinomios com

coeficientes reais, definimos o conjunto C[x] dos polinomios com coefici-

entes complexos:

C[x] = { f(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 | n ∈ N, an, . . . , a1, a0 ∈ C }.

Em C[x] estao definidas tambem duas operacoes: adicao e multiplicacao

de polinomios.

Operamos com os polinomios de coeficientes complexos de modo

similar as operacoes de polinomios com coeficientes reais.

Como R ⊂ C, temos que R[x] ⊂ C[x].

Agora, estamos prontos para apresentar o Teorema Fundamental da

Algebra, ou o Teorema de D’Alembert, demonstrado por Gauss de quatro

maneiras diferentes.



Teorema 1 (Teorema Fundamental da Algebra)Todo polinomio f(x) de grau n ≥ 1 com coeficientes complexos se escreve

de modo unico, a menos da ordem dos fatores, como:

f(x) = a(x − β1)r1 · · · (x − βt)

rt , onde r1 + · · ·+ rt = n,

com a, β1, . . . , βt ∈ C, a 6= 0 e βj 6= βk, se j 6= k.

Curiosidades sobre a vida etrabalhos de Jean le RondD’Alembert:

era filho ilegıtimo de uma aris-tocrata e foi abandonado porela nos degraus da Igreja St.Jean Le Rond (daı a origem deseu nome), mas seu pai con-seguiu que uma famılia humildeo acolhesse, deu apoio a suaeducacao e deixou, com a suamorte em 1726, dinheiro sufici-ente para a sua instrucao.

D’Alembert e Euler trocaramcorrespondencia sobre topicosde interesse mutuo, entre 1750e 1760, e D’Alembert publi-cava seus trabalhos na Acade-mia de Berlim. Foi convidadopara ser presidente da Acade-mia e recusou, em respeito aEuler. De 1761 a 1780, epocaem que esteve estremecido comEuler, publicou seus trabalhosem 8 volumes como OpusculesMathematiques.

Em linguagem matematica, aexpressao a menos de e larga-mente utilizada. Exprime a ideiade: salvo ou excetuada.

As raızes distintas de f(x) sao β1, . . . βt, e o natural rj, j = 1, . . . , t e

a multiplicidade da raiz βj.

Como gr(f(x)) = r1 + · · · + rt, segue que todo polinomio f(x) de

grau n ≥ 1 com coeficientes complexos tem exatamente n raızes em C,

contadas com as suas multiplicidades.

Note que a e o coeficiente lıder de f(x).

Exemplo 49Para ilustrar esse resultado, considere os polinomios dos Exemplos 47 e

48.

Em C[x], temos que:

x4 − 2 = (x −4√

2)(x +4√

2)(x −4√

2i)(x +4√

2i),

sendo todas as suas raızes simples, e

−2x9 + 32x6 − 128x3 = −2x3(x − 2)2(x − (−1 +

√3i))2(

x − (−1 −√

3i))2

,

sendo uma raiz tripla e as outras tres duplas.

Vejamos algumas consequencias do Teorema 1.

Corolario 2Se f(x) e um polinomio com coeficientes reais e β e uma raiz complexa

nao-real de f(x), entao β tambem e raiz de f(x). Alem disso, as raızes β

e β tem a mesma multiplicidade.

Demonstracao: Pela Proposicao 5, itens (i) e (iv), β e β sao raızes de

f(x), β 6= β e s(x) = x2 − (β + β)x + ββ divide f(x) em R[x].

Seja r ≥ 1 o maior natural, tal que s(x)r divide f(x), mas s(x)r+1 nao

divide f(x) em R[x]. Entao, existe q(x) ∈ R[x] tal que


Fatoracao em R[x]

f(x) = s(x)rq(x) e s(x) nao divide q(x) em R[x].

Como s(x) = (x − β)(x − β) e s(x) nao divide q(x) em R[x], entao

q(β) 6= 0 e q(β) 6= 0. Assim,

f(x) = (x − β)r(x − β)rq(x)

e r e a multiplicidade de β e de β em f(x) . �

Corolario 3Todo polinomio de grau ımpar com coeficientes reais tem uma raiz real.

Demonstracao: As raızes complexas nao-reais ocorrem aos pares com

a mesma multiplicidade, como o polinomio tem grau ımpar, tem de existir,

pelo menos, uma raiz real. �

Estamos interessados apenas nos polinomios com coeficientes re-

ais. Vamos enunciar o Teorema Fundamental da Algebra para os po-

linomios com coeficientes reais.

Teorema 2 (Teorema Fundamental da Algebra em R[x])Todo polinomio f(x) de grau n ≥ 1 com coeficientes reais se escreve de

modo unico, a menos da ordem dos fatores, como:

Quer saber mais sobreGauss?

A habilidade de Gauss com aMatematica foi percebida porseu professor quando ele tinhasete anos. Ao ser perguntadoqual a soma dos numeros natu-rais de 1 a 100, Gauss imediata-mente respondeu: sao 50 paresde numeros somando 101!

Gauss publicou, dois anos aposa obtencao do seu doutorado,um dos classicos da litera-tura matematica, DisquisitionesArithmeticae e contribuiu em di-versas areas: Geometria Di-ferencial (no estudo das su-perfıcies com suas ideias sobrecurvatura e seu interesse so-bre as geodesicas); Teoria dosNumeros; Analise Matematica(apresentou criterios de con-vergencia de series) e Astrono-mia.

Por que o Disquisitiones Arith-meticae e um dos classicos daliteratura matematica?Nessa obra aparecem: os con-ceitos de congruencia de intei-ros e classe de restos; umademonstracao do Teorema Fun-damental da Aritmetica (reveja aAula 1) e numeros da forma

Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z },

hoje conhecidos como os intei-ros de Gauss.

f(x) = a(x − α1)r1 · · · (x − αt)

rt(x2 + b1x + c1)n1 · · · (x2 + bsx + cs)

ns,

onde a 6= 0 e o coeficiente lıder de f(x); α1, . . . , αt sao as raızes reais

distintas de f(x); x2+b1x+c1, . . . , x2+bsx+cs sao polinomios distintos com

bj2 − 4cj < 0, para todo j = 1, . . . , s, e r1 + · · ·+ rt + 2n1 + · · ·+ 2ns = n.

Os polinomios com coeficientes reais da forma x−a ou x2 +bx+ c

com ∆ = b2 − 4c < 0 sao chamados de polinomios monicos irredutıveis

de R[x], pois seus unicos divisores monicos em R[x] sao 1 e o proprio

polinomio. Esses polinomios em R[x] desempenham o mesmo papel que

os numeros naturais primos tem em Z. A decomposicao de um polinomio

nao-constante na forma do teorema anterior e dita a decomposicao em

produto de potencias de fatores monicos irredutıveis em R[x].

Exemplo 50Vamos determinar a decomposicao de f(x) = 3x8 − 3 em produto de

potencias de fatores monicos irredutıveis em R[x].



Lembrando do produto notavel a2 − b2 = (a − b)(a + b), temos

x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1), x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

e

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

Combinando essas decomposicoes, obtemos:

f(x) = 3(x8 − 1) = 3(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1).

Agora devemos fatorar x4 + 1 (Veja a observacao na margem). Nao esqueca:

Se f(x) ∈ R[x] e seu grau emaior ou igual a 2, entao f(x) edivisıvel por algum polinomio dotipo x − a ou x2 + bx + c comb2 − 4c < 0.

As raızes em C desse polinomio sao as raızes complexas quartas de −1.

Vamos determina-las. O argumento de −1 e π. Assim, as raızes comple-

xas quartas de −1 tem argumentos

φk = π4

+ 2πk4

= π(2k+1)4

, k = 0, 1, 2, 3

e modulo ρ = 4√

| − 1| =4√

1 = 1. Logo,

φ0 = π4

=⇒ z0 = cos π4

+ i sen π4

=√

22

+√

22

i

φ1 = 3π4

=⇒ z1 = cos 3π4

+ i sen 3π4

= −√

22

+√

22

i

φ2 = 5π4

=⇒ z2 = cos 5π4

+ i sen 5π4

= −√

22

−√

22

i

φ3 = 7π4

=⇒ z3 = cos 7π4

+ i sen 7π4

=√

22

−√

22

i

Note que z0 = z3 e z1 = z2. Portanto, z0 e z3 sao raızes do polinomio

x2 −√

2x + 1 e z1 e z2 sao raızes do polinomio x2 +√

2x + 1. Logo,

x4 + 1 = (x2 +√

2x + 1)(x2 −√

2x + 1) e

3x8 − 3 = 3(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 +√

2x + 1)(x2 −√

2x + 1).

Observacao:

Como voce deve ter notado, uma estrategia para decompor polinomios

f(x) em R[x] e obter as raızes complexas nao-reais β e combina-las com

a sua conjugada β, de modo a determinar os divisores de f(x) do tipo

x2 + bx + c com b2 − 4c < 0.

Resumo

Voce aprendeu o Teorema Fundamental da Algebra; a relacionar

uma raiz β complexa nao-real de um polinomio em R[x] com a sua di-

visibilidade pelo polinomio x2 −(β+β)x+ββ ∈ R[x] e a fatorar polinomios

em R[x] de grau n ≥ 1 em produto de potencias de fatores dos tipos x − a

e x2 + bx + c, onde a, b, c ∈ R e b2 − 4c < 0.


Fatoracao em R[x]

Exercıcios

1. Faca o que se pede:

a. Determine o polinomio f(x) de grau 3 com coeficientes reais e

coeficiente lıder 2, tal que −1 e 1 + i sao raızes de f(x).

b. Determine o polinomio g(x) de grau 4 com coeficientes reais e

coeficiente lıder −1, tal que i e 3 − 4i sao raızes de f(x).

c. Determine a decomposicao do polinomio f(x) do item a em pro-

duto de potencias de fatores monicos irredutıveis em R[x].

d. Determine a decomposicao do polinomio g(x) do item b em pro-

duto de potencias de fatores monicos irredutıveis em R[x].

e. Determine todas as raızes complexas de h(x) e de a sua decomposicao

em produto de potencias de fatores monicos irredutıveis em R[x],

onde

h(x) = 2x6 + 5x5 + x4 + 10x3 − 4x2 + 5x − 3.

2. Determine todas as raızes reais e complexas nao-reais, suas multi-

plicidades e de a decomposicao do polinomio em produto de potencias

de fatores monicos irredutıveis em R[x]:

a. −x5 + 5x4 − 3x3 − 15x2 + 18x. b. −2x6 + 2.

c. x4 − x3 − 5x2 − x − 6. d. 3x12 − 3.

e. 6x4 + 9x3 + 9x − 6. f. x5 + x4 + 5x2 − x − 6.

g. x4 + 4x3 − 7x2 − 36x − 18. h. x4 − 3x3 + 5x2 − x − 10.

i. x5 − 3x4 − 3x3 + 9x2 − 10x + 30. j. 2x4 − 5x3 + x2 + 4x − 4.

k. x5 − 9x4 + 31x3 − 49x2 + 36x − 10. l. −x3 + 28x + 48.

m. x4 − 5x3 + 3x2 + 15x − 18.

Auto-avaliacao

Nesta aula, combinamos a divisao sucessiva por potencias de x−α,

onde α ∈ R, e a divisibilidade por potencias de fatores do tipo x2 + bx +

c, onde b, c ∈ R e ∆ = b2 − 4c < 0, para obter a decomposicao de

polinomios com coeficientes reais num produto de potencias de fatores

monicos irredutıveis em R[x].



Agora, duas perguntas importantes:

• Voce sabe que as raızes complexas nao-reais ocorrem aos pares?

• Alem disso, sempre que β e raiz, com β 6= β, β tambem e raiz e

essas raızes dao origem aos fatores quadraticos monicos com dis-

criminante negativo?

Pode entao prosseguir.

Terminamos o Vol. 3 e e hora de voce refletir sobre todos os concei-

tos apresentados, alem de procurar os tutores para esclarecer quaisquer

duvidas sobre polinomios com coeficientes reais. Nao deixe para depois!

Os conhecimentos nao aprendidos prejudicam o entendimento de outros

topicos.

Vamos agora estudar funcoes, usadas para modelar matematica-

mente os problemas cotidianos.


Pre-C´ alculo, Vol. 3: Polin´ omios comˆ Coeﬁcientes Reais · Daremos o algoritmo de Euclides...

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