Pré-Estudo+Roteiro-Esdasdxp4
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EEL7052 – Sistemas Lineares (Laboratório) EEL/UFSC
Aluno(a): ______________________________________________________ Turma: ______________________
Matrícula: ______________________________ Data: _____/_____/__________
Pré‐Estudo da Simulação 4:
Séries de Fourier
Revisão Teórica
Revise no livro texto da disciplina toda a teoria relacionada às Séries de Fourier, bem como leia o
roteiro da Simulação 4 antes da aula de laboratório. Procure se informar sobre o que é chamado de
Fenômeno de Gibbs.
Memória de Cálculo
Considere o sinal periódico parcialmente mostrado na Fig. 1. Calcule, em função de A e T, os
coeficientes das séries trigonométrica e exponencial de Fourier. Trace, em função da frequência, o
módulo e a fase dos coeficientes complexos, Fk, da série exponencial de Fourier desse sinal, com A=1
e T=10.
Figura 1: Sinal Periódico
‐
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π
‐π
ω0 2ω0 3ω0 4ω0 ‐2ω0 ‐3ω0 ‐4ω0 ‐ω0 0ω
ω0 2ω0 3ω0 4ω0 ‐2ω0 ‐3ω0 ‐4ω0 ‐ω0 0ω
|Fk|
Fk
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Roteiro da Simulação 4:
Séries de Fourier
Objetivos
Verificar o comportamento da representação de sinais periódicos por Série de Fourier;
Certificar a influência de simetrias do sinal nos coeficientes da série;
Constatar a relação entre o período fundamental e o espaçamento das componentes no eixo de
frequência; e
Visualizar o erro da aproximação por série de Fourier devido às descontinuidades do sinal.
Introdução Teórica
1. Série Trigonométrica de Fourier
Seja x(t) um sinal periódico, com período fundamental T e frequência fundamental fo=1/T (Hz), ou ωo=2/T (rad/s). Se x(t) satisfaz as Condições de Dirichlet, esse pode ser representado pela seguinte Série Trigonométrica de Fourier:
∑ cos sen 1
onde
, 2
cos 3
e
sen . (4)
2. Série Exponencial de Fourier
A partir das relações de Euler, a saber:
cos sen , (5)
cos (6)
e
sen , (7)
e de (1), chega‐se a Série Exponencial de Fourier:
∑ , (8)
onde
(9)
e
. (10)
Observe as relações entre os , da Série Exponencial de Fourier, com os e da Série Trigonométrica de Fourier.
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É importante observar também que existem simplificações nos cálculos dos coeficientes da série quando o sinal periódico x(t) exibe algum tipo de simetria. Consulte o material que será apresentado como “Revisão Teórica” na aula de laboratório (disponibilizado no moodle).
Simulação O programa “fseriesdemo” permite observar a representação por Série de Fourier de sinais periódicos, tais como onda quadrada, triangular, rampa, senóides retificadas, etc. Permite, também, observar o erro da aproximação utilizando até 15 componentes harmônicas.
Inicialmente selecione a onda quadrada e ajuste seu período para 10 segundos. Comece selecionando apenas um coeficiente (F‐1 e F+1) na representação do sinal. Observe o erro. Vá aumentando o número de componentes e observe a diminuição do erro. Cabe ressaltar que os gráficos de módulo e fase podem ser plotados em função da ordem dos coeficientes, ou da frequência. Colocando esses gráficos em função da frequência, observe o efeito da alteração do período do sinal no espaçamento das componentes harmônicas.
Faça a representação dos demais sinais disponíveis no programa e transcreva suas observações na folha de “Resultados da Simulação 4”.