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Preenchimento de Polígonos

Preenchimento de Polígonos

SCC0250 - Computação Grá�ca

Prof. Fernando V. Paulovichhttp://www.icmc.usp.br/~paulovic

[email protected]

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC)Universidade de São Paulo (USP)

24 de maio de 2011

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http://www.icmc.usp.br/~paulovic

Preenchimento de PolígonosIntrodução

Sumário

1 Introdução

2 Teste de Interior-Exterior

3 Preenchimento de ÁreasAlgoritmo ScanlinePreenchimento de Regiões Irregulares

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Sumário

1 Introdução



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Introdução

Além do desenho de linhas, uma outra construção útil é opreenchimento de áreas

Usado para descrever superfícies ou objetos sólidos

Embora qualquer forma possa ser preenchida, normalmente as APIsgrá�cas suportam polígonos

Maior e�ciência por serem descritos por equações linearesMaioria da superfícies curvas podem ser aproximadas por polígonos

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Introdução

Aproximação de uma curva é normalmente chamada de tesselaçãode uma superfície ou malha de polígonos

Essas aproximações podem ser rapidamente geradas como visõeswire-frame

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Introdução

Um polígono é uma �gura plana especi�cada por um conjunto de 3ou mais vértices (posições) ligados sequencialmente por arestas(linhas retas)

Arestas só tem pontos comuns nos seus inícios e �nsTodos os vértices no mesmo plano

Devido a erros de arredondamento, as arestas de um polígonopodem não ser coplanares

Usar triângulos para resolver esse problema

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Classi�cação de Polígonos

Se todos os ângulos interiores de um polígono forem menores que1800, o polígono é convexo caso contrário é dito côncavo

Em um polígono convexo, dois pontos interiores de�nem umsegmento de reta também no interior

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O termo Polígono Degenerado descreve um polígono com vérticescolineares, ou que apresenta vértices repetidos

Uma API grá�ca para ser robusta deve rejeitar polígonos nãoplanares ou degenerados

Na verdade isso é deixado a cargo do programador

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APIs grá�cas normalmente só trabalham com polígonos convexos

Melhor dividir um polígono côncavo em um conjunto de polígonosconvexosOpenGL requer que todos os polígonos sejam convexos

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Identi�cando Polígonos Côncavos

Criar vetores com as arestas e fazer o produto vetorial de arestasadjacentes

A coordenada-z de todos os produtos deve ter o mesmo sinal emum polígono convexo

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Dividindo Polígonos Côncavos

Dividindo Polígonos Côncavos

Criar vetores para dois vértices consecutivosEk = Vk+1 − Vk

Calcular o produto vetorial desses no sentido anti-horárioSe algum produto for negativo, o polígono é côncavo

Dividir o polígono ao longo da linha do primeiro vértice

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Dividindo em Polígono em Triângulos

Um polígono convexo pode ser dividido em triângulos

Pegue quaisquer três vértices consecutivos e forme um triânguloRemova o vértice do meio da lista de triângulosRepita o procedimento até restarem 3 vértices

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Preenchimento de PolígonosTeste de Interior-Exterior

Sumário

1 Introdução



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Testes de Interior-Exterior

Vários processos grá�cos precisam identi�car regiões interiores deobjetos mais complexos que quadrados ou círculos

Dois algoritmosRegra par-impar (ou regra da paridade impar)Regra do winding-number não zero

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Regra Par-Impar

Desenhar um segmento de reta de um ponto P a um ponto distantefora dos limites de coordenadas do polígono

Contar os cruzamentos de arestas com esse segmentoSe o número for ímpar, P está dentro

Caso contrário P está fora

Assegurar que o segmento não intercepta nenhum vértice

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Regra Par-Impar

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Regra do Winding-number não zero

Conta o número de vezes que a fronteira de um objeto gira emvolta de um ponto particular na direção anti-horária

Um ponto é dito interior se sua contagem for diferente de zero

Algoritmo

Inicializa a contagem com zeroDe�ne um segmento de reta de uma posição P até um pontodistante

Não pode passar pelos vértices

Conta a quantidade de cruzamentos com as arestas (direcionais)+1 toda vez que cruzar uma aresta da direita para esquerda

−1 toda vez que cruzar uma aresta da esquerda para direita

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Algoritmo

Inicializa a contagem com zero

De�ne um segmento de reta de uma posição P até um pontodistante




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Algoritmo





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Algoritmo





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Processo baseado em Produto Vetorial

Calcular o produto vetorial entre o vetor de�nido pela aresta e ovetor de�nido pelo segmento de reta

+1 se o componente-z do produto for positivo−1 caso contrário

Processo baseado em Produto Escalar

Encontrar um vetor perpendicular ao vetor do segmento de reta(vx, vy)→ (−vy, vx) e fazer o produto escalar com o vetor da aresta

+1 se o produto for positivo−1 caso contrário

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Preenchimento de PolígonosPreenchimento de Áreas

Sumário

1 Introdução



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Preenchimento de Áreas

Maioria das APIs limita o preenchimento de áreasPolígonos porque esses são descritos por equações lineares

Polígonos convexos porque assim somente duas arestas são cruzadas

Porém, é possível preencher o interior de qualquer tipo de forma(ferramentas de desenho)

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Preenchimento de Áreas

Existem basicamente duas formas

Determinar os intervalos de preenchimento usando scalines epreencher o interior

Indicado para polígonos

A partir de um ponto, colorir a vizinhança até encontrar as bordasIndicado para formas mais complexas

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Preenchimento de PolígonosPreenchimento de ÁreasAlgoritmo Scanline

Sumário

1 Introdução



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Algoritmo Scanline

Primeiro determina as intersecções das scanlines com o polígono

Então, as seções da scanline que residirem dentro do polígono sãocoloridas

Usa a regra par-ímpar

Para polígonos, 2 equações lineares são usadas para encontrar asintersecções

Calcula as intersecções de um polígono da esquerda para a direita

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Algoritmo Scanline

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Problema da Scanline

Problemas quando a scanline passa por um vértice

Intersecta dois polígonos simultaneamente

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Problema da Scanline

A contagem de intersecção deve ser diferente dependendo datopologia

Duas arestas de lados opostos da scaline: conta uma intersecção

Duas arestas do mesmo lado da scaline: conta duas intersecções

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Solução para o Problema da Scanline

Para descobrir se as arestas estão opostasDe�nir a fronteira do polígono de forma anti-horária (ou horária) eobservar as mudanças em ySe os 3 vértices de duas arestas consecutivas são monotonicamentecrescentes (ou decrescentes) conta somente uma intersecção

Caso contrário conta duas

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Solução para o Problema da Scanline

Outra solução (pré-processamento)Percorrer as arestas no sentido anti-horário (ou horário) e veri�car se3 vértices consecutivos são monotonicamente crescentes

(decrescentes) em relação a yNesse caso a aresta inferior pode ser reduzida para assegurarsomente uma intersecção

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Algoritmo Scanline (Intersecção)

A interseção da i-ésima scanline com uma aresta {(x1, y1), (x2, y2)}é calculada com duas equações

y = ix = y/m− bm = (y2 − y1)/(x2 − x1)b = y1/m− x1

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Algoritmo Scanline (Intersecção)

É possível acelerar esse processo usando uma abordagem incremental

m = (yk+1 − yk)/(xk+1 − xk)

Como entre duas scalines consecutivas

yk+1 − yk = 1

Entãom = 1/(xk+1 − xk)xk+1 = xk + 1/m

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Algoritmo Scanline

É possível usar somente inteiros lembrando que

m =∆y

∆x

Então

xk+1 = xk +∆x

∆y

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Algoritmo Scanline

Para polígonos convexos, só existe um bloco de pixelssubsequentes em cada scanline

Só processa a scanline até encontrar duas intersecções

Mesmo algoritmo anterior, porém muito mais simplesIntersecções nas arestas não apresentam dubiedade

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Preenchimento de PolígonosPreenchimento de ÁreasPreenchimento de Regiões Irregulares

Sumário

1 Introdução



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Preenchimento de Regiões Irregulares

É possível preencher uma região irregular selecionando um pixel epintando os pixels vizinhos até alcançar as bordas

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Algoritmo de Preenchimento de Borda

Se a borda de uma região tem a mesma cor, é possível preencheressa região pixel por pixel até atingir a cor da borda

Normalmente usado em programas grá�cosComeça com um ponto inicial (x, y) e testa os vizinhos para ver acor, se não for borda, preenche

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(a) Diferentes testes de vizin-hança

(b) Problemas com a máscara de quatro viz-inhos

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1 void fill(int x, int y, int fillcolor, int bordercolor) {2 int intcolor;3 getPixel(x,y,intcolor);4 if((intcolor != bordercolor) && (intcolor != fillcolor)) {5 setpixel(x,y, fillcolor);6 fill(x+1,y,fillcolor,bordercolor);7 fill(x-1,y,fillcolor,bordercolor);8 fill(x,y+1,fillcolor,bordercolor);9 fill(x,y-1,fillcolor,bordercolor);

10 }11 }

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Problemas se algum pixel interior já for da cor escolhida para serpreenchida

Algum ramo da recursão pode ser descartado

Pode levar a um consumo excessivo de memória devido a recursãoSolução é empilhar, ao invés de pixels vizinhos, blocos de pixelssucessivos (o pixel inicial desses)

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Algoritmo Flood-Fill

As vezes é necessário colorir uma área que não é de�nida apenaspor uma cor de borda

Ao invés de procurar uma cor de borda, procurar por uma cor de

interior

Se o interior tem mais de uma cor, pode-se inicialmente substituiressa cor para que todos pixels do interior tenham a mesma cor

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1 void fill(int x, int y, int fillcolor, int interiorcolor) {2 int color;3 getPixel(x,y,color);4 if(color == interiorcolor) {5 setpixel(x,y, fillcolor);6 fill(x+1,y,fillcolor, interiorcolor);7 fill(x-1,y,fillcolor, interiorcolor);8 fill(x,y+1,fillcolor, interiorcolor);9 fill(x,y-1,fillcolor, interiorcolor);

10 }11 }

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Observação

No caso de preenchimento de áreas irregulares, cada pixel está sendo�pintado� com uma cor

No caso de rendering de superfícies, cada pixel é pintado com a cordeterminada pela aplicação do algoritmo de iluminação +tonalização (shading)

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