ivobarbi.com.br · PREFÁCIO O emprego de circuitos equivalentes é usual na análise de circuitos...

N

E

C

IV

NOVO

QUIV

CIRCU

VO BAR

O CIR

VALE

UITO

RBI

RCUIT

ENTE

OS ELÉ

TO

E PAR

ÉTRI

RA

ICOS

NOVO

CIRCUITO EQUIVALENTE

PARA

CIRCUITOS ELÉTRICOS

NOVO CIRCUITO EQUIVALENTE PARA

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Florianópolis

EDIÇÃO DO AUTOR

2018

Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB‐14/071

B236n Barbi, Ivo

Novo circuito equivalente para circuitos elétricos / Ivo Barbi. –

Florianópolis : Ed. do autor, 2018.

98 p. : il.

Inclui referências

1. Circuitos elétricos. I. Título.

CDU: 621.3.011.7

Para Adriana e Antônio

PREFÁCIO

O emprego de circuitos equivalentes é usual na análise

de circuitos elétricos, por proporcionar simplicidade em

várias situações.

O conceito de circuito equivalente encontra suas raízes

na Lei de Ohm, nas Leis de Kirchoff e no Princípio da

Superposição, que por sua vez são diferentes formas de

expressão do Princípio da Conservação da Energia, do

Princípio da Conservação da Carga Elétrica e do Princípio

da Mínima Ação.

Georg Simon Ohm (1789‐1854) apresentou sua teoria

em um livro publicado em 1827.

Gustav Robert Kirchoff (1824‐1887) publicou as duas

leis que levam seu nome, na década de 1840.

Hermann von Helmholtz (1821‐1894) publicou o

Princípio da Superposição em um artigo, no ano de 1853.

No mesmo artigo, Helmholtz propõe um circuito

equivalente empregando fonte de tensão, e mostra algumas

aplicações desse mesmo circuito.

Léon Charles Thévenin (1857‐1926), engenheiro da

empresa Postes e Télégraphes na França, publicou em 1883

um artigo no qual apresentou o teorema que viria a ser

conhecido como Teorema de Thévenin, e o circuito

equivalente correspondente, apenas para circuitos de

corrente contínua.

O circuito equivalente de Thévenin é de fato o mesmo

circuito equivalente publicado por Helmholtz. Contudo,

não recai sobre Thévenin nenhuma suspeita de plágio e

toda a comunidade científica reconhece que ele desconhecia

a publicação de Helmholtz.

Apesar da relevância do Circuito Equivalente de

Thévenin, ele é limitado na representação dos fenômenos

que ocorrem no circuito original que ele representa. Serve

apenas par determinação da corrente e tensão num par de

terminais. Isso decorre do fato de que a energia não é

preservada. Dito de outro modo, o circuito equivalente não

permite a determinação da eficiência do circuito original ou

da potência cedida pelas fontes internas do circuito original,

ou mesmo toda a potência dissipada nos resistores internos

desse circuito original.

Podemos então dizer que o circuito equivalente de

Thévenin não é conservativo, assim como também não o é o

circuito equivalente de Norton. Mesmo entre si, Thévenin e

Norton não são conservativos.

É possível encontrar na literatura, autores que fazem

referência a essas falhas de representatividade do Circuito

Equivalente de Thévenin [4]. Porém, apesar de ter realizado

pesquisa bibliográfica ampla e abrangente, este autor não

encontrou nenhum teorema do circuito equivalente que

completasse o circuito equivalente de Thévenin.

Por isso, propôs‐se encontrar tal circuito, dedicando

parte de seu tempo nos últimos anos com este propósito.

Fundamentalmente, o circuito equivalente proposto

diferencia‐se daquele proposto por Thévenin, por ser

conservativo em relação ao circuito original que ele

representa.

O resultado desse esforço é apresentado no presente

texto.

O autor espera que os resultados apresentados possam

ser de alguma utilidade para os físicos e os engenheiros e

que os inevitáveis erros que certamente serão encontrados

não invalidem os teoremas e o circuito equivalente

proposto.

O autor deseja expressar seu agradecimento para as

seguintes pessoas:

•Natan Bernardo Nicolli, por sua competente

colaboração na digitação e edição deste texto.

•Bruno Barbi, pela arte da capa.

•Prof. Hans Helmut Zürn, professor de tantos

professores, por ter sido, em vários momentos, um

interlocutor disponível para conversar sobre o assunto aqui

abordado, e também um valioso encorajador.

Florianópolis, Março de 2018.

Ivo Barbi

Novo Circuit

Sej

onde 1V

Vam

equivalen

conforme

Figura 1.2

Port

to Equivalente

I

ja o circuit

Figura

10 V e 1R

mos inicial

nte de The

ilustrado n

2 – Obtenção

anto, TR

e para Circuito

INTROD

o represen

1.1 ‐ Circuito

2 3R R R

lmente ob

evenin ( TR

na Figura

da resistência

1,5 .

os Elétricos – I

CA

DUÇÃO

ntado na Fi

de corrente co

1 oR .

bter a resi

), a partir

1.2.

a do circuito eq

Ivo Barbi

APÍTUL

O

igura 1.1,

ontínua.

istência d

r dos term

quivalente de

1

LO – 1.

o circuito

minais a‐b,

Thevenin.

eq

1.3

Fi

do

Fig

ob

2

Vamos

quivalente

3.

igura 1.3 ‐ Ob

Assim,

Assim,

Portant

os terminai

gura 1.4 ‐ Cir

Vamos

btendo assi

Novo Circui

a seguir

de Theve

btenção do val

1

1T

V RV

R R

5 VTV .

to, o circu

is a‐b, é o q

rcuito equivale

conectar

im os circu

ito Equivalent

obter o v

enin ( TV ),

lor da tensão d

2

2

R

R.

uito equiva

que está re

ente de Theven

o resisto

uitos mostr

te para Circuit

valor da te

conforme

do circuito equ

alente de T

presentado

nin do circuit

or oR ao

rados na Fi

tos Elétricos –

ensão do

mostra a

uivalente de T

Thevenin,

o na Figur

to mostrado na

os termina

igura 1.5.

Ivo Barbi

circuito

Figura

Thevenin.

a partir

a 1.4.

a Fig. 1.1.

ais a‐b,

Novo Circuit

Figura 1.5 ‐

A pa

(1.1).

Port

Obv

original r

que o c

comporta

que ocorr

Vam

fontes dos

A p

equivalen

to Equivalente

‐ (a) Circuito

cir

artir do cir

anto, oV

viamente,

resultará n

ircuito eq

mento do

e ao resisto

mos analisa

s dois circu

potência e

nte de Thev

e para Circuito

de exemplo. (

rcuito utilizad

rcuito equ

o

VV

R

5 1

1,5 1

ou

o cálculo

no mesmo

quivalente

circuito o

or oR cone

ar em segu

uitos.

entregue

venin é det

os Elétricos – I

b) Circuito eq

do como exemp

ivalente ob

T o

o T

V R

R R

2 VoV .

o da tens

o resultado

de Thev

original, do

ectado nos

uida a potê

pela font

terminada

Ivo Barbi

quivalente de T

plo.

btém‐se a

são oV do

o. Ninguém

venin rep

o ponto de

s terminais

ência entre

te TV do

por (1.2).

3

Thevenin do

expressão

(0.1)

o circuito

m dúvida

resente o

e vista do

s a‐b.

egue pelas

o circuito

4

Novo Circuito Equivalente para Circuitos Elétricos – Ivo Barbi

2

2510 W

2,5

TT

T o

T

VP

R R

P

(0.2)

A resistência equivalente vista pela fonte 1V do

circuito original, é determinada por (1.3).

2 3

12 3

o

o

R R RR R

R R R

(0.3)

Substituindo os valores das resistências, obtém‐se

(1.4).

1 21

35

3

R

R

(0.4)

Então a potência fornecida ao circuito pela fonte 1V

será:

21

1

21

3 300 10 60 W

5 5

VP

R

P

(0.5)

A partir deste exemplo simples, podemos concluir que

a potência fornecida ao circuito equivalente de Thevenin,

pela sua fonte de tensão é menor que a potência entregue

pela fonte 1V ao circuito original.

5


A análise de qualquer circuito irá revelar a

desigualdade entre as potências de entrada do circuito

original e do circuito equivalente de Thevenin.

Podemos então afirmar que:

a) O circuito equivalente de Thévenin representa o comportamento do circuito original, a partir da

observação das grandezas elétricas dos terminais a‐b;

b) O circuito equivalente de Thevenin não representa o comportamento do circuito original, do ponto de vista

das grandezas medidas a partir da entrada do circuito;

c) O circuito equivalente de Thevenin não representa todas as potências, em particular a totalidade da

potência entregue pela fonte 1V e a potência dissipada

internamente. Desse modo não pode ser empregado

para a determinação da eficiência do circuito original.

O teorema de Thevenin, publicado em 1883, por Léon

Charles Thevenin é sem dúvida um dos mais importantes e

úteis teoremas da teoria de circuitos elétricos, originalmente

empregado para análise de circuitos de corrente contínua.

Apesar de sua relevância e utilidade, pelas razões

mencionadas no início deste texto, ele só é válido para a

determinação do comportamento do circuito, a partir de um

par de terminais sendo, portanto limitado.

Após intensas e prolongadas buscas na literatura

internacional, o autor deste texto não encontrou um circuito

equivalente ou um teorema que incluísse a potência

6


entregue pelas fontes internas ao circuito, bem como a

totalidade de suas perdas internas.

Neste documento o autor propõe e demonstra novos

teoremas para circuitos de corrente contínua, e um novo

circuito equivalente que inclui a potência total dissipada

internamente em um circuito e consequentemente a

potência de entrada.

Os novos teoremas e o novo circuito equivalente são

demonstrados apenas para circuitos de corrente contínua,

embora sejam também válidos para circuitos de corrente

alternada.

A ampliação desses estudos para circuitos de corrente

alternada está em curso e será publicada no futuro. Pelo

menos é esta a intenção do autor.

Novo Circuit

R

1) EnunEqui

Seja

resistores

terminais

Figura 2.1

Tal c

circuito e

to Equivalente

RESUM

nciado d

ivalente P

um circui

e fontes

A‐B, confo

– Circuito ge

p

circuito po

equivalente

e para Circuito

O DOS

do Novo

roposto.

to de corre

de tensã

orme é mo

enérico de corr

roposto no pr

ode ser su

e mostrad

os Elétricos – I

CA

RESUL

Teorem

ente contín

o ou de

ostrado na F

rente contínua

esente trabalh

ubstituído

o na Figu

Ivo Barbi

APÍTUL

LTADO

ma e o

nua linear,

corrente,

Figura 2.1

a e o circuito e

ho.

e represen

ura 2.1 (b),

7

LO – 2.

S

Circuito

, contendo

com dois

(a).

equivalente

ntado pelo

, formado

7

8


pela fonte de tensão TV e pelos resistores BR e TR , que são

independentes de oV , oI ou oR .

A tensão TV é a tensão medida entre os pontos A‐B

com circuito aberto, ou seja, para 0oI . Esta tensão é

conhecida como tensão equivalente de Thevenin.

A resistência equivalente TR é o valor medido nos

pontos A‐B, quando todas as fontes internas do

circuito original forem anuladas, sendo conhecida

como resistência do circuito equivalente de Thevenin.

Seja BP a potência fornecida pelas fontes internas do

circuito original quando 0oI , sendo essa potência

inteiramente dissipada pelos resistores do circuito. Será

demonstrado em 2.1, que

2

TB

B

VR

P (2.1)

sendo BR o valor da resistência do circuito equivalente

responsável pelas perdas internas.

O circuito equivalente de Thevenin é um caso

particular do circuito proposto para a situação em que

0BR .

Novo Circuit

2) TeorThev

Será

seguir, o s

“A e

sempre m

Ou c

“As

Thevenin

circuito o

3) Teor

Seja

corrente, e

na Figura

Fi

Seja

fornecida

proposiçã

to Equivalente

rema de E

venin.

á demonstr

seguinte Te

eficiência

maior que a

com a segu

perdas

n são semp

riginal”.

rema de Po

o circuito

e resistore

2.2.

igura 2.2 ‐ Cir

1 1P V i

pelas fon

ão:

e para Circuito

Eficiência

rado ao lo

eorema:

do circuit

a eficiência

uinte formu

internas

pre menor

otência de

o linear c

es, com doi

rcuito linear g

2 2 ...V i

ntes interna

os Elétricos – I

do Circu

ongo do t

to equivale

a do circui

ulação alte

do circui

res que as

Entrada N

contendo

is terminai

genérico de cor

n nV i o as do circu

Ivo Barbi

uito Equiv

texto apre

ente de Th

ito origina

ernativa:

ito equiva

perdas in

Nula.

fontes de

is A‐B, rep

rrente contínu

valor da

uito. Seja a

9

valente de

esentado a

hevenin é

al”.

alente de

nternas do

tensão e

presentado

ua.

potência

a seguinte

a

a

10


“Existe um e somente um valor da corrente oI que

anula a potência P .”

Esta proposição será demonstrada mais adiante no

presente texto.

Novo Circuit

C

Seja

ou quadri

Nest

As te

entre si, p

a) Qua

to Equivalente

CIRCUIT

Q

um circui

ipolo, mos

Figura 3.

te circuito

ensões 1V

pelo sistem

ando 2 0I

e para Circuito

TO EQU

QUADR

ito elétrico

trado na F

.1 ‐ Represent

não há fon

e 2V e as c

a de equaç

1 11 1

2 12 1

V R I

V R I

, obtém‐se

1

2

V R

V R

os Elétricos – I

CA

UIVALE

RIPOLO

o com dois

igura 3.1.

tação de um qu

ntes interna

correntes I

ções repres

12 2

1 22 2

R I

R I

e (3.2).

11 1

12 1

R I

R I

Ivo Barbi

APÍTUL

ENTE D

O

s pares de

uadripolo.

as indepen

1I e 2I rela

sentado po

11

LO – 3.

O

terminais,

ndentes.

acionam‐se

or (3.1).

(3.1)

(3.2)

12


Com isso, através de (3.3)

11

11

VI

R (3.3)

obtém‐se (3.4).

122 1

11

RV V

R (3.4)

Para 2 20 TI V V , onde TV representa a tensão do

circuito equivalente de Thevenin visto dos terminais “a‐b”.

Portanto,

211

11T

RV V

R (3.5)

b) Para 2 0V , obtêm‐se (3.6).

1 11 1 12 2

12 1 22 20

V R I R I

R I R I

(3.6)

Através da equação inferior de (3.6), obtém‐se (3.7) e

(3.8).

22 2 12 1R I R I (3.7)

122 1

22

RI I

R (3.8)

13


Substituindo (3.8) na equação superior de (3.6), têm‐se:

2

121 11 1 1

22

RV R I I

R (3.9)

2

121 11 1

22

RV R I

R

(3.10)

Portanto, a resistência de entrada vista pela fonte de

tensão 1V é determinada pela expressão (3.11).

2

1211

22in

RR R

R (3.11)

c) Fazendo‐se 1 0V na expressão (3.1), obtém‐se a

expressão (3.12).

11 1 21 2

2 12 1 22 2

0 R I R I

V R I R I

(3.12)

Portanto,

121 2

11

RI I

R (3.13)

Substituindo (3.13) na parte inferior de (3.12), obtém‐se

a expressão (3.14).

2

122 22 2 2

11

RV R I I

R (3.14)

qu

de

CI

cir

F

Fig

14

Portant

Sabemo

uando 1V

e Thevenin

Desse m

IRCUITO E

A Figu

rcuito origi

Figura 3.2 ‐ C

A potê

gura 3.2 é

Novo Circui

to,

2V

os que a

0 é igual

n.

modo,

EQUIVALE

ura 3.2 re

inal, para

Circuito equiva

ência diss

determina

ito Equivalent

2 22

RV R

R

resistência

à resistên

22TR R

ENTE PARA

epresenta

2 0I .

alente do circu

nula.

sipada int

ada pela ex

te para Circuit

212

211

RI

R

a vista pel

ncia do cir

212

11

R

R

A 2 0I

o circuito

uito original, p

ernamente

pressão (3

tos Elétricos –

los termin

rcuito equi

o equivale

para corrente

e no circu

.17).

Ivo Barbi

(3.15)

nais a‐b

ivalente

(3.16)

ente do

de saída

uito da

15


2

11

11

VP

R (3.17)

Já foi demonstrado que:

121

11T

RV V

R (3.18)

Portanto,

111

12T

RV V

R (3.19)

Substituindo (3.19) em (3.17), obtém‐se

2

211

121

11

T

RV

RP

R

(3.20)

ou ainda, a expressão (3.21).

2

1 212

11

TVP

RR

(3.21)

Vamos definir BR , de acordo com a expressão (3.22).

2

12

11B

RR

R (3.22)

Então,

sã

int

na

ab

de

cir

16

Portant

o equivale

ternament

a situação

bertos.

Figu

Ambos

eterminaçã

rcuito, qua

POTENC

A Figu

Novo Circui

to, os dois

entes, no q

te, e fornec

em que o

ura 3.3 ‐ Circu

s os circu

ão da po

ando 2 0I

CIA INTER

ra 3.4 repr

ito Equivalent

1T

B

VP

R

circuitos r

que diz res

cida pela r

os termina

uitos equivale

uitos pode

otência di

0 (circuito a

RNA DO C

resenta o ci

te para Circuit

2T

B

representa

speito à p

respectiva

ais de saí

entes vistos pe

em ser e

issipada i

aberto na s

CIRCUITO

ircuito orig

tos Elétricos –

ados na Fig

otência di

fonte de e

ída se enc

ela entrada.

empregado

internamen

saída).

O PARA V

ginal para

Ivo Barbi

(3.23)

gura 3.3

ssipada

entrada,

contrem

os para

nte no

2 0V

2 0V .

Novo Circuit

Com

entrada é

Já a

(3.25).

Subs

Mas,

Port

to Equivalente

Figura 3.4 –

mo já defi

determina

potência

stituindo (3

,

anto,

e para Circuito

Quadripolo c

inido ante

ada pela ex

1inR R

de entrad

1P

3.24) em (3

1

1

P

R

21

RV

R

os Elétricos – I

om 2 0V (cu

eriormente

xpressão (3

212

1122

R

R

da é defin

21

in

V

R

3.25), obtém

21

212

122

V

RR

2

211

12T

RV

R

Ivo Barbi

urto‐circuito).

e, a resis

3.24).

nida pela

m‐se (3.26)

17

.

stência de

(3.24)

expressão

(3.25)

.

(3.26)

(3.27)

7

18


2

211

121 2

1211

22

T

RV

RP

RR

R

(3.28)

Ou ainda,

2

1 2 212 12

1111 22

TVP

R RR

R R

(3.29)

Mas,

2212

2 11 1222212 12

11 211 22 11

RR R

RR RR

R R R

(3.30)

2 2

22 11 12 12

222 11

e

R R R RR

R R

(3.31)

2 212 12

11 2211 11

11 22e

R RR R

R RR

R R

(3.32)

2 212 12

2211 11

22e

R RR

R RR

R

(3.33)

Novo Circuit

Sabe

Dess

Ou,

A

representa

Figura 3.5

to Equivalente

eR

emos que,

se modo,

equação

ado na Fig

‐ Circuito equ

para os t

e para Circuito

22

22

e

RR

RR

R

22

RR

R

212

11

R

R

e

RR

R

1 1

eR R

(3.29) re

gura 3.5.

uivalente vist

terminais de s

os Elétricos – I

2 212 12

11 11

2 212 12

11 11

R RR R

R RR R

212

11T

RR

R

BR

T B

T B

R R

R R

1 1

B TR R

epresenta

o pela tensão e

aída em curto

Ivo Barbi

2

então o

equivalente de

o circuito.

19

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

o circuito

e Thevenin,

a

b

c

d

e

20

RES

Os resu

Figura

Fica en

a) O circu

b) BR não

c) BR é co

circuito

d) BR rep

a vazio

e) TR é a r

as per

corrent

Novo Circui

SUMO DO

ultados ant

a 3.6 ‐ Circuito

ntão demon

uito equiva

o depende

onstante e

o.

resenta as

o.

resistência

rdas intern

te de carga

ito Equivalent

OS RESULT

teriores são

os que represe

nstrado qu

alente inclu

da corrent

e depende

perdas int

tradiciona

nas do ci

a.

te para Circuit

TADOS O

o resumido

entam os resul

e:

ui BR .

te ou da ten

apenas do

ternas do c

al de Theve

ircuito qu

tos Elétricos –

OBTIDOS

os na Figu

ltados obtidos

nsão na saí

os parâme

circuito op

enin, e rep

ue depend

Ivo Barbi

ra 3.6.

.

ída a‐b.

etros do

perando

presenta

dem da

Novo Circuit

A Fi

circuito eq

1 0I .

Figura 3.7

Seja

Seja

to Equivalente

A

igura 3.7 r

quivalente

‐ Quadripolo

a expressã

1 0I . Por

e para Circuito

ANÁLISE P

epresenta

e, visto do

o e seu circuit

nu

ão (3.39), q

1 11 1

2 12 1

V R I

V R I

rtanto:

2V R

os Elétricos – I

PARA 1I

o quadrip

s terminai

to equivalente

ula.

ue represe

12 2

1 22 2

R I

R I

22 2R I

Ivo Barbi

0

polo e seu

is de saída

para corrente

enta o quad

21

respectivo

a a‐b, para

e de entrada

dripolo.

(3.39)

(3.40)

a

3.8

22

Seja a

8.

Figura 3.

Então,

Sabemo

Portant

Assim,

Desse m

Novo Circui

seguinte e

8 ‐ Circuitos

os que

to,

R

modo,

ito Equivalent

equivalênc

equivalentes p

22 TR R

22TR R

22xR R

22 2R R

1RR

R

te para Circuit

cia, represe

para corrente

R

212

11

R

R

TR

212

2211

R

R

22

11R

tos Elétricos –

entada na

de entrada nu

Ivo Barbi

Figura

ula.

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

Novo Circuit

Para

são, porta

que está

3.11.

1) Me

2) Me

TR

to Equivalente

a obtenção

anto, reali

apresentad

ede‐se ou c

Figu

ede‐se ou

2

2

V

I .

Figur

e para Circuito

R

dos parâm

zadas três

do nas Fig

calcula‐se a

ura 3.9 ‐ Prim

calcula‐se

ra 3.10 ‐ Segu

os Elétricos – I

BR

metros do

s medições

gura 3.9, F

a tensão TV

meira medição

2V e 2I , p

unda medição

Ivo Barbi

circuito eq

s, de acor

Figura 3.10

T .

(VT).

para obter

( TR ).

23

(3.46)

quivalente

do com o

0 e Figura

r TR , pois

a

pa

or

F

24

3) Mede

B

VR

I

Todas

artir dos te

A

A Figu

iginal, par

Figura 3.12 ‐C

Novo Circui

e‐se ou ca

2

2T

VR

I

Figura 3

as três me

rminais a‐b

ANÁLISE P

ura 3.12

ra 1V e 2I im

Circuito equiv

ito Equivalent

lcula‐se V

3.11 ‐ Terceira

edições ou

b.

PARA 1V e

representa

mpostos.

valente para te

imposto

te para Circuit

2V e 2I par

a medição ( BR

u cálculos,

e 2I IMPO

a a cond

ensão de entra

s.

tos Elétricos –

ra obter R

B ).

, são realiz

OSTOS

dição do

ada e corrente

Ivo Barbi

BR , pois

zadas a

circuito

de saída

25


Para o sentido da corrente mostrada no circuito, o

quadripolo é representado pelo sistema de equações (3.47).

1 11 1 12 2

2 12 1 22 2

V R I R I

V R I R I

(3.47)

Portanto,

11 1 1 12 2R I V R I (3.48)

1 121 2

11 11

V RI I

R R (3.49)

2

1 121 1 1 1 2

11 11

V RP V I V I

R R

(3.50)

Sabemos que,

121

11T

RV V

R (3.51)

Assim,

2

11 2

1T

VP V I

R (3.52)

111

12T

RV V

R (3.53)

Portanto,

mo

F

on

es

26

Conseq

A expr

ostrado na

Figura 3.13 ‐C

nde 2

12

11

RR

R

A par

crever:

Portant

Novo Circui

quentemen

P

ressão (3.5

a Figura 3.1

Circuito equiva

BR .

rtir do si

V

to,

ito Equivalent

2 111

12

RV

R

nte,

2

1 212

11

TVP

RR

55) represe

13.

alente que rep

expressão (3

stema de

2 12 1V R I

te para Circuit

2

2TV

2TV I

enta o circ

resenta a equa

3.55).

equações

22 2R I

tos Elétricos –

cuito equi

ação obtido a p

s (3.47) p

Ivo Barbi

(3.54)

(3.55)

ivalente

partir da

pode‐se

(3.56)

27


1 122 12 2 22 2

11 11

V RV R I R I

R R

(3.57)

2

12 122 1 2 22 2

11 11

R RV V I R I

R R (3.58)

2

12 122 1 22 2

11 11

R RV V R I

R R

(3.59)

Mas,

2

1222

11T

RR R

R (3.60)

Assim,

122 1 2

11T

RV V R I

R (3.61)

Mas,

121

11T

RV V

R

(3.62)

Portanto,

2 2T TV V R I (3.63)

Com as equações (3.55) e (3.58) obtemos o circuito

equivalente representado na Figura 3.14.

BR

pa

28

Figura 3.14 ‐

A análi

B constan

aralelo com

PRO

Enunci

“Qualq

linear

termin

circuito

tensão

na Figu

TR (res

é o val

a‐b, com

Novo Circui

‐ Circuito equ

cor

ise realiza

nte indepe

m a fonte de

OPOSIÇÃ

D

iado do Te

quer circu

represen

ais de saíd

o equival

e dois res

ura 3.15, on

sistência d

or da resis

m a fonte

ito Equivalent

uivalente do qu

rente de saída

da demon

endente d

e tensão V

ÃO DO TEO

EMONST

orema:

uito elétri

ntado por

da a‐b, po

lente, form

istores, co

nde:

do circuito

stência me

de tensão

te para Circuit

uadripolo com

a impostos.

nstra a exis

da resistê

TV .

OREMA Q

TRADO

ico de co

r um q

ode ser sub

mado por

m a config

o equivalen

edida a par

de entrada

tos Elétricos –

m tensão de ent

stência do

ência carg

QUE FOI

orrente co

quadripolo

bstituído p

r uma fo

guração m

nte de The

rtir dos ter

a anulada

Ivo Barbi

trada e

resistor

ga, em

ontinua

o, com

por um

onte de

mostrada

evenin)

rminais

1 0V ,

Novo Circuit

TR

term

desc

TV é

term

Thev

Figura 3.1

Conv

para um

Contudo,

deste tex

equivalen

contínua

demonstr

para repre

Pode

Thevenin

Figura 3.1

to Equivalente

BR é a re

minais a‐b

conectada

é a tensão

minais a‐b

venin).”

15 ‐ Circuito e

vém lemb

quadripol

como se

to, o teor

nte são vá

linear co

ar que po

esentar cir

emos con

é um ca

15 sem a pr

e para Circuito

esistência

b com a f

1 0I ,

o de circu

b (tensão

equivalente de

brar que es

lo genérico

erá demon

rema prop

álidos para

om dois t

demos uti

cuitos de c

ncluir que

aso particu

resença do

os Elétricos – I

equivalen

fonte de

uito aberto

do circui

e um quadripo

stes result

o ou circu

nstrado no

posto e o

a qualque

terminais.

ilizar esse

corrente alt

e o circui

ular do cir

o resistor R

Ivo Barbi

nte medida

tensão d

o, medida

ito equiv

olo de corrente

tados foram

uito de du

o capítulo

respectiv

er rede de

Podemos

circuito eq

ternada.

ito equiv

rcuito mo

BR .

29

a entre os

e entrada

a entre os

alente de

e contínua.

m obtidos

uas portas.

o seguinte

vo circuito

e corrente

s também

quivalente

alente de

ostrado na

a

m

D

Fig

si,

30

DEMON

1) Seja um

e dois t

gura 4.1 ‐ Cir

As corr

de acordo

Novo Circui

NSTRAÇ

G

m circuito c

terminais a

rcuito com dua

rentes e te

o com a equ

ito Equivalent

ÇÃO PA

GENÉR

com duas

a‐b, represe

as fontes de te

ensões do c

uação (4.1)

te para Circuit

CAP

ARA UM

RICO

fontes de t

entado na

ensão de entra

circuito rel

).

tos Elétricos –

PÍTULO

M CIRCU

tensão de

Figura 4.1

ada e dois term

lacionam‐s

Ivo Barbi

O – 4.

UITO

entrada

.

minais a‐b.

se entre

31


1 11 12 13 1

2 12 22 23 2

3 13 23 33 3

V R R R I

V R R R I

V R R R I

(4.1)

2) Vamos considerar 3 0I e determinar a expressão para

a tensão 3V .

1 11 12 13 1

2 12 22 23 2

3 13 23 33 0

V R R R I

V R R R I

V R R R

(4.2)

Portanto,

1 11 12 1

2 12 22 2

3 13 23

V R R I

V R R I

V R R

(4.3)

Ou,

3 13 1 23 2V R I R I (4.4)

A partir de (4.3) obtêm‐se (4.5).

1 11 12 1

2 12 22 2

V R R I

V R R I

(4.5)

Portanto,

32


1

1 11 12 1

2 12 22 2

I R R V

I R R V

(4.6)

Realizando‐se os produtos obtêm‐se as expressões

(4.7) e (4.8).

12 2 22 21 2

12 11 22

R V R VI

R R R

(4.7)

12 1 11 12 2

12 11 22

R V R VI

R R R

(4.8)

Substituindo‐se (4.7) e (4.8) em (4.4) obtêm‐se (4.9).

12 2 22 1 13 12 1 11 2 23

3 212 11 22

R V R V R R V R V RV

R R R

(4.9)

Por definição, para 3 0I , 3 TV V que é a tensão do

circuito equivalente de Thevenin.

Portanto,

12 2 22 1 13 12 1 11 2 23

212 11 22

T

R V R V R R V R V RV

R R R

(4.10)

3) Resistência medida entre os terminais a‐b para

1 2 0V V .

A partir da expressão (4.1), com 1 2 0V V obtêm‐se:

33


11 12 13 1

12 22 23 2

3 13 23 33 3

0

0

R R R I

R R R I

V R R R I

(4.11)

Portanto,

1

1 11 12 13

2 12 22 23

3 13 23 33 3

0

0

I R R R

I R R R

I R R R V

(4.12)

Ou ainda,

1 11 12 13

2 12 22 23

3 13 23 33 3

0

0

I G G G

I G G G

I G G G V

(4.13)

Onde,

212 11 22

33 2 2 233 12 12 13 23 22 13 11 23 11 22 332

R R RG

R R R R R R R R R R R R

(4.14)

Mas,

3 33 3I G V (4.15)

Então,

3

3 3

1V

I G (4.16)

Seja,

34


33

1TR

G (4.17)

Então,

2 2 2

33 12 12 13 23 22 13 11 23 11 22 332

12 11 22

2T

R R R R R R R R R R R RR

R R R

(4.18)

TR é o valor da resistência medida entre os terminais

a‐b, para 1 2 0V V . Portanto, representa a resistência do

circuito equivalente de Thevenin clássico.

4) Dados 3I , 1V e 3V , podemos determinar as

expressões de 1I , 2I e 3V , com o emprego da

expressão (4.1).

Para valor dado de 3I , a partir da expressão (4.1)

podemos obter a expressão (4.19).

13 31 11 12 1

23 32 12 22 2

R IV R R I

R IV R R I

(4.19)

Portanto,

1

13 31 11 12 1

23 32 12 22 2

R II R R V

R II R R V

(4.20)

Realizando‐se a multiplicação e as manipulações

algébricas adequadas obtêm‐se:

35


12 2 23 3 22 1 3 13 22

1 212 11 22

R V R I R V I R RI

R R R

(4.21)

12 1 13 3 11 2 3 11 22

2 212 11 22

R V R I R V I R RI

R R R

(4.22)

A tensão 3V , a partir da expressão (4.1), é representada

por (4.23).

3 13 1 23 2 33 3V R I R I R I (4.23)

Substituindo‐se (4.21) em (4.22) em (4.23) e fazendo‐se

a manipulação algébrica adequada, obtêm‐se (4.24).

11 23 2 12 13 2 12 23 1 13 22 13 2

12 11 22

2 2 233 12 12 13 23 22 13 11 23 11 22 33 2

212 11 22

2

R R V R R V R R V R R VV

R R R

R R R R R R R R R R R R I

R R R

(4.24)

Mas, como foi demonstrado anteriormente:

11 23 2 12 13 2 12 23 1 22 13 12

12 11 22T


R R R

(4.25)

2 2 2

33 12 12 13 23 22 13 11 23 11 22 332

12 11 22

2T

R R R R R R R R R R R RR

R R R

(4.26)

Portanto, substituindo‐se (4.26) e (4.25) em (4.24),

obtém‐se (4.27).

3 3T TV V R I (4.27)

cir

Fig

co

vis

inf

or

rep

atr

a

cir

eq

36

A equ

rcuito equi

gura 4.2.

Figu

Na for

orrente é in

O circu

stas dos te

formação s

iginal.

Após

presenta o

ravés dos

potência f

rcuito.

Seja a

quação (4.2

Novo Circui

uação (4.27

ivalente cl

ura 4.2 – Circ

rma usua

nvertido. Po

uito repres

erminais de

sobre o qu

termos en

o comporta

terminais

fornecida

equação

29).

ito Equivalent

7) represe

lássico de

cuito equivalen

al de rep

ortanto, ne

3 TV V R

senta a rela

e saída a‐b

ue acontece

ncontrado

amento da

a‐b, podem

pelas font

(4.19) re

te para Circuit

enta o com

Thevenin,

nte clássico de

presentação

esse caso p

3TR I

ação entre

b, mas não

e dentro do

a expre

tensão e d

mos pross

tes 1V e V

enomeada

tos Elétricos –

mportame

, represent

e Thevenin.

o, o sent

pode‐se esc

tensão e c

oferece ne

o próprio

essão (4.27

da corrent

seguir, ana

2V , na entr

a seguir

Ivo Barbi

ento do

tado na

tido da

crever:

(4.28)

corrente

enhuma

circuito

7), que

te vistas

alisando

rada do

r como

37


13 31 11 12 1

23 32 12 22 2

R IV R R I

R IV R R I

(4.29)

Substituindo‐se 1I e 2I pelas respectivas expressões

(4.21) e (4.22) na expressão (4.29), encontra‐se:

1 13 3V R I (4.30)

2 23 3V R I (4.31)

A potência fornecida pelas fontes 1V e 2V ao circuito é

definida pela expressão (4.32).

1 1 2 2 V IP V I (4.32)

Substituindo as expressões de 1I e 2I na expressão

(4.32) encontramos a expressão (4.33).

2 222 1 12 1 2 11 2

212 11 22

11 23 2 12 13 2 12 23 1 22 13 1 32

12 11 22

2R V R V V R VP

R R R

R R V R R V R R V R R V I

R R R

(4.33)

Mas, como já foi demonstrado anteriormente,

11 23 2 12 13 2 12 23 1 22 13 12

12 11 22T


R R R

(4.34)

Vamos representar o primeiro termo da expressão

(4.33) por BP .

38


Desse modo,

2 2

22 1 12 1 2 11 22

12 11 22

2B

R V R V V R VP

R R R

(4.35)

Substituindo (4.34) e (4.35) na expressão (4.33),

obtemos (4.36).

3B TP P V I (4.36)

Seja a expressão de BR anteriormente deduzida:

211 23 2 12 13 2 12 23 1 13 22 1

2 2 212 11 22 22 1 12 1 2 11 1

( )

2B

R R V R R V R R V R R VR

R R R R V R V V R V

(4.37)

Multiplicando a numerador e o denominador da

expressão (4.37) por 212 11 22R R R encontramos a

expressão (4.38).

211 23 2 12 13 2 12 23 1 13 22 1

2 22 22 1 12 1 2 11 12

12 11 22 212 11 22

( )

2B


R V R V V R VR R R

R R R

(4.38)

A partir da expressão (4.39), obtemos:

2

TB

B

VR

P (4.39)

Portanto,

Novo Circuit

Subs

A ex

circuito p

correspon

Figura 4.3

O cir

determina

As e

equivalen

to Equivalente

stituindo (4

xpressão (4

pelas font

ndente é m

3 ‐ Circuito eq

fo

rcuito sob

ado pelas s

equações

nte mostrad

e para Circuito

BP

4.40) em (4

2T

B

VP

R

4.41) repre

tes 1V e

mostrado na

quivalente par

fontes de entra

a análise t

seguintes e

3 TV V

2T

B

VP

R

(4.42) e (

do na Figu

os Elétricos – I

2T

B

V

R

4.36) obtem

3TV I

esenta a p

2V . O c

a Figura 4.3

a a potência en

ada ou interna

tem então

equações:

3 3R I

3TV I

(4.43) repr

ra 4.4.

Ivo Barbi

mos (4.41).

potência en

circuito eq

3.

ntregue ao cir

as.

seu comp

resentam

39

(4.40)

(4.41)

ntregue ao

quivalente

rcuito pelas

ortamento

(4.42)

(4.43)

o circuito

F

ob

pe

de

co

40

Figura 4.4 ‐ C

Dividin

btemos (4.4

onde,

Desse

elas equaçõ

Podem

epende ape

onstante e i

Novo Circui

Circuito equiva

ndo todos

44),

modo, o

ões (4.46) e

mos conclu

enas dos p

independe

ito Equivalent

alente que rep

os termos

TT

B

VI

R

TT

PI

V

circuito e

e (4.47).

3 TV V R

TT

B

VI

R

uir que o

parâmetros

nte de 3I ,

te para Circuit

resenta as equ

da expres

3I

T

P

V

equivalente

3 3R I

3I

valor da

s internos d

3V ou 3P .

tos Elétricos –

uações (4.42) e

ssão (4.43)

e é determ

a resistên

do circuito

Ivo Barbi

e (4.43).

por TV

(4.44)

(4.45)

minado

(4.46)

(4.47)

ncia BR

o, sendo

41


Como TV é constante, podemos concluir que a

potência dissipada pelo resistor BR é constante.

Desse modo, a potência dissipada internamente no

circuito, iP , é determinada pela expressão (4.48).

2

23

Ti T

B

VP R I

R (4.48)

Desse modo, a potência dissipada internamente possui

um termo constante e independente da potência transferida

para a carga, dado por 2

T

B

V

R, e um termo variável

dependente da carga dado por 23TR I .

5) Obtenção dos parâmetros do circuito equivalente.

a) Parâmetro TV : tensão medida nos terminais a‐b, com

circuito aberto ( 3 0I ), conforme representa a Figura

4.5.

b

42

Figura 4.

b) Parâme

Figura 4.6

Novo Circui

5 ‐ Circuito e

etro TR , on

6 ‐ Circuito eq

ito Equivalent

equivalente pa

nde 3

3T

VR

I

quivalente par

te para Circuit

ra obtenção do

para 1V

ra obtenção do

tos Elétricos –

o parâmetro V

2 0V .

o parâmetro R

Ivo Barbi

TV .

TR .

Novo Circuit

c) Parâ

Figur

Com

intername

determina

Entã

6) EXE

Dete

circuito m

to Equivalente

âmetro BR

ra 4.7 ‐ Circui

mo é mostr

ente no

ada por BP

ão, 2

TB

B

VR

P

MPLO NU

erminar os

mostrado na

e para Circuito

.

ito equivalente

rado na Fig

circuito (

1 1V I V

2

B

.

UMÉRICO

s parâmetr

a Figura 4.

os Elétricos – I

e para obtençã

gura 4.7, a

(original o

2 2V I .

O

ros do circ

.8.

Ivo Barbi

ão do parâmet

a potência

ou equiv

cuito equiv

43

tro Rb.

dissipada

alente), é

valente do

a

a

F

b

44

Figu

a) Determ

a parti

anulad

igura 4.9 ‐ Ci

b) Determ

circuito

circuito

Novo Circui

ra 4.8 ‐ Circu

minação de

ir dos ter

das, é mostr

ircuito equiva

TR

minação de

o com os t

o nos perm

ito Equivalent

uito utilizado p

e TR : o circ

rminais a‐

rado na Fig

lente para obt

numéric

3 62

3 6

e TV : Na

terminais a

mite obter o

te para Circuit

para o exempl

cuito equiv

b, com as

gura 4.9. P

tenção do parâ

co.

4 TR

Figura 4.

a‐b abertos

o valor de

tos Elétricos –

lo numérico.

valente obs

s fontes i

Portanto,

âmetro TR do

10 é most

s. A anális

TV .

Ivo Barbi

servado

internas

exemplo

trado o

se desse

Novo Circuit

Figura 4.10

c) Deter

intern

abert

do m

Figura 4.11

to Equivalente

0 ‐ Circuito eq

3TV

rminação

namente n

tos, e o va

modo descr

‐ Circuito eq

e para Circuito

quivalente par

num

6

6TV

de BR :

no circuito

lor da resi

ito a segui

uivalente para

num

os Elétricos – I

a obtenção do

érico.

2 6TV

a potên

original c

istência BR

r.

a obtenção do

érico.

Ivo Barbi

parâmetro TV

6 V

ncia BP

com os term

B , são dete

parâmetro BR

45

do exemplo

dissipada

minais a‐b

erminados

B do exemplo

d

46

d) O circu

parâme

Figur

7) TEOR

EQUI

a) Seja

no F

Novo Circui

B

B

P

P

P

uito equiv

etros é mos

ra 4.12 ‐ Circ

REMA D

IVALENT

a o circuit

Figura 4.13

ito Equivalent

2

2

336

03

3

3

TB

B

TB

B

VVP

P

VR

R

alente resu

strado na F

cuito equivale

DA EFICI

E DE THE

to equivale

3.

te para Circuit

2

2

6

6

12 W

36

12

T

T

B

V

V

P

ultante, co

Figura 4.12

nte do exempl

IÊNCIA D

EVENIN.

ente genér

tos Elétricos –

om os resp

2.

lo numérico.

DO CIR

rico repres

Ivo Barbi

pectivos

CUITO

sentado

Novo Circuit

A p

determina

A p

determina

A ef

(4.51).

Port

to Equivalente

Figura 4

potência e

ada pela ex

potência e

ada pela ex

P

ficiência do

anto,

e para Circuito

4.13 ‐ Circuito

entregue

xpressão (4

oP

entregue p

xpressão (4

2T

i TB

VP R

R

o circuito

0 0

V

V I

os Elétricos – I

o equivalente g

ao resisto

4.49).

o oV I

pela fonte

4.50).

20 0T I V I

é determin

o

i

P

P

0 02

0T

TB

V I

VR I

R

Ivo Barbi

genérico.

or de car

e TV ao

0I

nada pela

20

47

rga oR é

(4.49)

circuito é

(4.50)

expressão

(4.51)

(4.52)

7

cu

Th

Fig

48

2

T

B

V

R rep

resistor

20TR I

no resis

b) Seja

repr

F

uja eficiênci

A relaç

hevenin e

gura 4.13 é

Portant

Novo Circui

presenta a

r BR .

represent

stor TR .

a o cir

resentado

Figura 4.14 ‐

ia é repres

T

ção entre a

a eficiênci

é determin

T

to, >T p

ito Equivalent

a potência

ta a potên

rcuito eq

na Figura

Circuito equi

entada pel

0

0 0T

V

V I

a eficiência

ia do circu

nada pela e

0 0

0 0

TV I R

V I

ara qualqu

te para Circuit

dissipada

cia dissipa

quivalente

4.14,

ivalente de Th

la expressã

02

0T

I

R I

a do circui

uito comp

xpressão (4

22

0

20

T

B

T

VI

R

R I

uer valor d

tos Elétricos –

intername

ada intern

de Th

hevenin.

ão (4.53).

ito equival

leto mostr

4.54).

de oI ou de

Ivo Barbi

ente no

namente

hevenin

(4.53)

lente de

rado na

(4.54)

e oP .

Novo Circuit

Esta

“A e

sempre m

Esta

equivalen

ocorrem c

Port

não perm

um circuit

8) EX

Seja

a eficiênci

F

A an

Port

Figura 4.1

to Equivalente

demonstr

eficiência

maior que a

diferença

nte do The

com o circu

anto, sua

mite a dete

to elétrico.

XEMPLO N

o circuito

ia de ambo

Figura 4.15 ‐ C

nálise num

anto, o c

16.

e para Circuito

ação nos p

do circuit

a eficiência

a advém

venin não

uito origina

a equivalê

rminação

.

NUMÉRICO

representa

os os circui

Circuito utiliz

mérica resul

ircuito eq

os Elétricos – I

permite pro

to equivale

a do circui

do fato

inclui as

al sem carg

ência é par

das perda

O.

ado na Figu

itos equiva

zado para exem

lta em TR

quivalente

Ivo Barbi

opor que:

ente de Th

ito origina

de que o

perdas int

ga.

rcial e inco

as e da efi

ura 4.15. D

alentes.

mplo numéric

15 e TV

é represe

49

hevenin é

al”.

o circuito

ternas que

ompleta, e

ciência de

Determinar

co.

60 VT .

entado na

r

a

rep

50

Figu

Portant

A corre

Desse m

Portant

O cir

presentado

Novo Circui

ura 4.16 ‐ Circ

to,

oV

oP V

P V

T

ente 1 7 I

1P V

modo, a efi

to, >T .

rcuito e

o na Figura

ito Equivalent

cuito equivalen

30 V e oV I

30o oV I

60T oV I

60

12O

T

P

P

A no circu

1 1 120V I

iciência do

60

840O

i

P

P

quivalente

a 4.17,

te para Circuit

nte de exemplo

2 AoI

2 60 W

2 120 W

00,5

20

uito origina

7 840 W

o circuita o

0,070

e comple

tos Elétricos –

o numérico.

W

al. Portant

W

original é

eto enco

Ivo Barbi

o,

ontra‐se

Novo Circuit

onde,

Port

Assi

que a efic

eficiência

eficiência

to Equivalente

Figura 4

60

5iP

anto,

im, verifica

ciência do

do circuito

do circuito

e para Circuito

4.17 ‐ Circuito

T

B

T

o

o

o

V

R

R

V

I

P

2

2

60 2

Ti

B

VP

R

8o

i

P

P

amos no ex

circuito e

o original.

o equivalen

os Elétricos – I

o equivalente c

60 V

5

15

30 V

2 A

60 W

720 120

T oV I

600,07

840

xemplo nu

quivalente

Portanto s

nte de The

Ivo Barbi

completo.

840 W

umérico em

e completo

seu valor é

evenin.

51

m questão,

o é igual à

é inferior à

à

à

9

Fig

é d

igu

rep

res

52

9) CORRE

ENTRA

Seja o c

gura 4.18 ‐ Ci

Há um

dada pela e

Quand

ual a zero,

Foi de

presentada

spectivame

1I

Novo Circui

ENTE oI

ADA DO C

circuito equ

ircuito equival

m valor da

expressão

do 0XI

ou seja:

emonstrad

as pelas

ente.

12 2R V

ito Equivalent

o QUE A

CIRCUITO

uivalente r

lente para anu

de oI .

corrente I

(4.55).

To

B

VI

R

a potência

1 1 2V I V I

o que as

s expres

3 232

12

I R R

R R

te para Circuit

NULA A

O.

representad

ulação da potê

oI que anu

T

B

a na entra

2 0I

s corrente

ssões (4

22 1 3

11 22

R V I R

R R

tos Elétricos –

POTÊNC

da na Figu

ência de entrad

ula a corren

ada do cir

es 1I e

4.64) e

13 22R R

Ivo Barbi

CIA DE

ura 4.18.

da através

nte, que

(4.55)

rcuito é

(4.56)

2I são

(4.65)

(4.57)

Novo Circuit

Subs

expressão

3I

A ex

que anula

Assi

circuito é

Esta

Figura 4.1

O qu

to Equivalente

122

RI

stituindo‐s

o (4.59).

2

2 11

R

V R R

xpressão (

a a potência

im, toda a

fornecida

situação é

19 ‐ Represen

ue foi dem

e para Circuito

1 3 132

12

V I R

R

se (4.57) e

222 1

23 12 13

2V R

R R R

4.59) deter

a fornecida

a potência

pela fonte

é mostrada

tação da dissip

onstrado n

os Elétricos – I

11 1

11 22

R V I

R R

e (4.58) em

12 1 2

3 1 12

R V V R

V R

rmina a v

a pelas fon

a dissipad

3V , que ge

a na Figura

pação da potên

nos permite

Ivo Barbi

3 11 23I R R

m (4.56) o

211 2

23 13

R V

R R R

valor da co

ntes 1V e 2V

da interna

era a corren

a 4.19.

ncia interna n

e afirmar q

53

(4.58)

obtemos a

22R (4.59)

orrente 3I

2V .

amente no

nte 3I .

no circuito.

que:

a

54


“Num circuito linear há um valor de corrente entre os

terminais a‐b que anula a potência fornecida pelas fontes

desse mesmo circuito”.

10) MÉTODO ALTERNATIVO PARA A

DETERMINAÇÃO DE BR .

A partir da equação (4.55) podemos escrever (4.60).

3T

B

VI

R (4.60)

Portanto,

3

TB

VR

I (4.61)

A tensão TV é dada pela expressão 4.10.

Assim, dividindo TV por 3I dada pela expressão (4.59),

encontramos o valor de BR , dado pela expressão (4.62).

2

11 23 2 12 13 2 12 23 1 13 22 1

2 2 212 11 22 22 1 12 1 2 11 22

B


R R R R V R V V R V

(4.62)

Portanto, a mesma expressão encontrada

anteriormente.

Novo Circuit

O v

representa

ser determ

Vari

mede‐se a

de 3I que

de entrad

11) EX

PA

Seja

Figura 4.20

a) Dete

visto

to Equivalente

valor de I

ado matem

minado exp

ia‐se a ten

a potência

e buscamo

a.

XEMPLO

ARÂMETRO

o circuito

0 ‐ Circuito ex

erminação

o dos termi

e para Circuito

3I que an

maticamen

perimental

nsão 3V a

fornecida

s é aquele

DE

OS DO CIR

representa

xemplo para de

equiva

dos parâm

inais a‐b.

os Elétricos – I

nula a po

nte pela ex

lmente.

aplicada n

pelas font

que anula

DETERM

RCUITO E

ado na Figu

eterminação d

alente.

metros do

Ivo Barbi

otência de

pressão (4

nos termin

tes 1V e V

a o valor d

MINAÇÃO

EQUIVALE

ura 4.20.

dos parâmetro

circuito eq

55

e entrada,

4.59), pode

nais a‐b e

2V . O valor

e potência

O DOS

ENTE.

s do circuito

quivalente

r

a

S

a

a

cir

na

a

56

a.1) Deter

Remo

cálcul

a.2) Deter

Vamos

rcuito equi

a Figura 4.2

Figura

Portant

O valor

Portant

a.3) Potên

0oI (

Realiz

Novo Circui

minação d

ovendo‐se

los apropri

minação d

fazer um

ivalente pa

21.

a 4.21 ‐ Circu

to, TT

VR

I

r encontrad

to, 15

4,0TR

ncia fornec

(circuito ab

zando‐se o

ito Equivalent

de TV

o resisto

iados obtém

de TR .

curto circ

ara a corre

uito equivalent

.

do é 4,I

, 023,693

067

cida pelas

berto na sa

os cálculos

7,409P

te para Circuit

or oR e

m‐se 1TV

cuito entre

ente de saí

te para a corre

067 A .

3 .

fontes V

aída)

apropriad

9 W

tos Elétricos –

realizando

15, 02 V .

os pontos

ída é apres

ente de saída.

1V , 2V e V

dos obtém‐s

Ivo Barbi

o‐se os

s a‐b. O

sentado

3V para

se:

Novo Circuit

que é a

circuito, p

a.4) Det

Ob

das

a.5) Val

Figura

Com

simulação

to Equivalente

potência

para operaç

terminação

btemos o v

s equações

R

lor da corr

4.22 ‐ Circuit

P

m o empreg

o numérica

e para Circuito

dissipada

ção sem ca

o de BR .

valor da re

s deduzida

2T

B

VP

R

15,023

7,409BR

rente oI qu

to que anula a

1 1P V I V

go de um e

a, o valor d

os Elétricos – I

pelos res

arga.

esistência

as anteriorm

2T

B

VR

P

2330,46

9

ue anula a p

a potência de e

2 2 3V I V I

experiment

de oI é va

Ivo Barbi

sistores in

BR com o

mente.

potência n

entrada atravé

3I

to virtual,

ariado até q

57

nternos do

o emprego

na entrada.

és de oI .

através de

que 0P .

7

Qu

no

co

de

b

mo

58

uando isso

o circuito re

Como

ondição o c

Figura 4.

Portant

Verifica

eterminaçã

b) Determ

para oR

O circu

ostrado na

Novo Circui

o ocorre I

epresentad

já foi de

circuito equ

.23 ‐ Circuito

to,

amos então

ão do valor

minação da

2 o com

uito equiva

a Figura 4.2

ito Equivalent

0, 493 AoI

do na Figu

emonstrad

uivalente é

equivalente p

15,02

0, 493

B

B

R

R

o que os d

r de BR pro

as perdas

mo está re

alente para

24.

te para Circuit

A . Tal con

ra 4.22.

o anterior

é mostrado

para potência d

230, 45

3

T

o

V

I

ois método

oduzem o m

internas t

presentado

a esta con

tos Elétricos –

dição é m

rmente, so

o na Figura

de entrada nu

os propost

mesmo res

totais do

o na Figur

dição enco

Ivo Barbi

mostrada

ob esta

a 4.23.

ula.

tos para

sultado.

circuito

a 4.19.

ontra‐se

Novo Circuit

Figura

Nest

Assi

c) Dete

to Equivalente

4.24 – Circui

ta condição

im,

TVP

R

15,02

30,45P

erminação

oP

iP P

e para Circuito

ito equivalente

15

30

3,

T

B

T

o

V

R

R

R

o, 5, 28oV

22T

T oB

VR I

R

223,693 2

5

da eficiênc

2 5, 28

2o

o

V

R

13oP P

os Elétricos – I

e que determin

5,02 V

0, 45

,693

2

8 V e 2oI

(Perdas in

22,64 P

cia do circu

28 27,88

2

3,94 33,15

Ivo Barbi

na as perdas i

2,64 A .

nternas)

33,15 WP

uito.

13,94 W

47, 09 W

59

nternas.

W

W

a

cir

pr

b

60

Portant

12) PROPR

PROPO

a) Seja o c

Este cir

rcuito equi

ropriedade

b) A potên

(4.63).

Para oI

Novo Circui

to, a eficiên

RIEDADES

OSTO.

circuito equ

Figura 4.25

rcuito não

ivalente é o

e.

ncia intern

0o , i

VP

R

ito Equivalent

ncia será

S DO CI

uivalente m

5 ‐ Circuito equ

pode ser s

o próprio c

na dissipad

2T

iB

VP R

R

2T

B

V

R.

te para Circuit

13,

47,o

i

P

P

IRCUITO

mostrado n

uivalente prop

simplificad

circuito. Es

da é definid

2T oR I

tos Elétricos –

,940,296

,04

EQUIVA

na Figura 4

posto.

do ou redu

sta é sua p

da pela ex

Ivo Barbi

6 .

ALENTE

4.25.

uzido. O

primeira

pressão

(4.63)

61


Para 0TV , 2i T oP R I .

Podemos então afirmar que neste circuito, pode ser

aplicado o princípio da superposição para a potência

dissipada, o que não pode ser feito para outros circuitos.

C

um

pe

ten

62

COMPO

Seja o

ma fonte d

ela carga co

Figura 5.1

Vamos

nsão oV na

Mas,

Portant

Novo Circui

ORTAM

circuito re

de potência

onectada e

‐ Circuito qu

inicialmen

a carga.

to,

ito Equivalent

MENTO

epresentad

a que repre

entre os pon

ue representa a

nte obter a

o TV V R

oo

o

PI

V

te para Circuit

CAP

DAS PO

do na Figu

esenta a po

ntos a‐b.

a potência abso

a expressão

T oR I

o

o

P

V

tos Elétricos –

PÍTULO

OTÊNC

ura 5.1, ond

otência ab

orvida pela ca

o que repre

Ivo Barbi

O – 5.

CIAS

de oP é

sorvida

arga.

esenta a

(5.1)

(5.2)

63


T oo T

o

R PV V

V (5.3)

Assim,

2 0o T o T oV V V R P (5.4)

Desse modo,

2

2 2T T

o T o

V VV R P

(5.5)

Pois a solução

2

2 2T T

o T o

V VV R P

(5.6)

não é realizável fisicamente.

A corrente oI é obtida com o emprego da expressão

(5.7).

2

1

2 2T T T

o T oT T

V V VI R P

R R

(5.7)

Com apropriada manipulação algébrica da expressão

(5.7) obtêm‐se (5.8).

2

2 2oT T

oT T T

PV VI

R R R

(5.8)

64


Seja iP a potência fornecida pela fonte de tensão TV .

Assim,

2

Ti T o

B

VP V I

R (5.9)

Mas,

2

TB

B

VP

R (5.10)

Portanto,

i B T oP P V I (5.11)

Substituindo (5.8) em (5.11) obtêm‐se (5.12).

2

2 2oT T

i B TT T T

PV VP P V

R R R

(5.12)

Vamos derivar a expressão (5.12) em relação a oP , o

que resulta na expressão (5.13).

2

1

2

2

i T

o ToT

T T

P V

P R PVR R

(5.13)

Fazendo 0i

o

P

P

, obtém‐se a expressão (5.14).

65


2

02

omáxT

T T

PV

R R

(5.14)

Portanto,

21

2T

omáxT

VP

R

(5.15)

omáxP representa a máxima potência que pode ser

transferida pelo circuito à carga conectada entre os pontos

a‐b.

Substituindo (5.15) em (5.5) encontramos (5.16),

2T

omáx

VV (5.16)

onde omáxV representa o valor da tensão entre os pontos a‐b,

na condição da potência máxima sendo transferida para a

carga.

Nessa condição,

2

Tomáx

T

VI

R

(5.17)

Seja RTP a potência dissipada no resistor TR . Portanto,

RT T o oP V I P (5.18)

Ou ainda,

66


2

2 2oT T

RT T oT T T

PV VP V P

R R R

(5.19)

Realizando‐se a operação matemática apropriada

obtém‐se a expressão (5.20).

22 2 2

22 2 2

T T TRT o o

T T T

V V VP P P

R R R

(5.20)

Substituindo‐se (5.15) em (5.20) obtêm ‐se (5.21).

22 2 4RT omáx omáx omáx o oP P P P P P (5.21)

Assim,

2 22 4 4 oRT omáx o omáx omáx

omáx

PP P P P P

P (5.22)

Portanto,

2 2 1o oRT

omáx omáx omáx

P PP

P P P (5.23)

Seja,

RTRT

omáx

PP

P (5.24)

oo

omáx

PP

P (5.25)

67


Assim,

2 2 1RT o oP P P (5.26)

A expressão (5.26) relaciona a potência dissipada no

resistor TR com a potência entregue à carga conectada nos

terminais a‐b.

0RTP para 0oP e RT omáxP P para o omáxP P .

A partir da expressão (5.21) podemos escrever:

1 B R oP P P P (5.27)

Portanto,

2

1 2 2 4B omáx omáx omáx oP P P P P P (5.28)

Então,

1 2 2 1 oB

omáx omáx omáx

PP P

P P P (5.29)

Seja,

11

omáx

PP

P (5.30)

e

BB

omáx

PP

P (5.31)

68


Portanto,

1 2 2 1 oB

omáx

PP P

P (5.32)

A expressão (5.32) relaciona a potência entregue ao

circuito pelas suas fontes internas, com a potência

transferida à carga conectada entre os terminais a‐b.

Seja iP a potência parametrizada dissipada

internamente nos resistores do circuito.

Portanto,

1i oP P P (5.33)

e

2 1i B o oP P P P (5.34)

A expressão (5.34) nos permite obter a curva mostrada

na Figura 5.2. Ela representa, de forma parametrizada, a

potência entregue ao circuito pelas suas fontes internas, em

função da potência dissipada no resistor conectado entre os

terminais a‐b.

Novo Circuit

Figura 5.2

to Equivalente

2 ‐ Curva para

e para Circuito

ametrizada qu

inter

os Elétricos – I

ue representad

rnas.

Ivo Barbi

da o circuito p

69

elas perdas

6.1

oR

Fig

pe

70

SOBR

TRA

1) Máxim

Circuit

Seja o c

o conectad

gura 6.1.

A potê

ela express

Mas,

Novo Circui

RE A EFI

NSFER

ma Transfe

to Equival

circuito eq

do aos se

Figura 6.1 ‐ C

ncia oP di

ão (6.1).

ito Equivalent

ICIÊNC

ÊNCIA

erência de

ente de Th

quivalente d

eus termin

Circuito equiv

issipada no

o oP R

te para Circuit

CAP

IA E A

DE POT

e Potência

hevenin.

de Theven

nais a‐b,

valente de The

o resistor R

2oI

tos Elétricos –

PÍTULO

MÁXIM

TÊNCIA

a e Eficiên

nin, com o

representa

evenin.

oR é deter

Ivo Barbi

O – 6.

MA

A

ncia do

resistor

ado na

minada

(6.1)

71


To

T o

VI

R R

(6.2)

Portanto,

2

2o T

o

T o

R VP

R R

(6.3)

Derivando‐se oP em relação a oR , obtêm‐se (6.4)

22

2 3

2o o TT

o T o T o

P R VV

R R R R R

(6.4)

oP é máximo quando 0o

o

P

R

.

Igualando‐se a expressão (6.4) a zero obtêm‐se, após

manipulação algébrica adequada, a expressão (6.5).

o TR R (6.5)

Portanto, demonstramos que a potência transferida

para o resistor de carga oR é máxima quando oR é igual à

resistência do circuito equivalente de Thevenin TR , o que é

um fato bem conhecido.

A eficiência é definida pela expressão (5.6),

o

i

P

P (6.6)

72


onde iP representa a potência fornecida pela fonte TV .

Mas,

2

2o T

o

T o

R VP

R R

(6.7)

e

2T

iT o

VP

R R

(6.8)

Substituindo (6.7) e (6.8) em (6.6) obtemos (6.9).

o

o T

R

R R

(6.9)

Mas, na condição de máxima transferência de potência

o TR R . Portanto 0,5 .

Isto então mostra que a máxima potência não significa

máxima eficiência.

Analisando a expressão (6.9), concluímos que

1 oR quando

ou seja, a eficiência do circuito tende para um quando a

resistência de carga tende para infinito e a potência

transferida à carga tende a zero.

Ou ainda, quando TR .

Novo Circuit

Figura 6.2

potência

Na F

o

T

RR .

Obse

Por o

enquanto

6.2) Aná

Equi

to Equivalente

2 – Potência tr

a máxima, e ef

Figura 6.2 e

ervamos q

outro lado

a eficiênci

álise da

ivalente P

e para Circuito

ransferida par

ficiência, para

estão repre

que para oR

o, quando R

ia tende a u

Eficiência

roposto.

os Elétricos – I

ra a carga, par

o circuito equ

esentados

o TR , o

máx

P

P

o

T

RR cresc

um.

a Empreg

Ivo Barbi

rametrizada em

uivalente de T

oP e em

1x

e

ce, o

máx

P

P ten

gando o

73

m relação à

Thevenin.

função de

0,5 .

nde a zero

Circuito

ten

Po

ca

oR

efi

74

Seja o c

Como

nsão TV ,

ortanto, nã

rga repres

Portant

o TR ou q

Vamos

iciência do

A corre

Assim,

Ou aind

Novo Circui

circuito equ

Figura 6.3

BR está co

seu valor

ão afeta o

entada pel

to, a potê

quando oV

em segu

o circuito re

ente oI é d

da,

ito Equivalent

uivalente m

‐ Circuito equ

onectado e

não afeta

valor da p

lo resistor

ência tran

2TV

.

uida anali

epresentad

determinad

To

o

VI

R

o oP R

te para Circuit

mostrado n

uivalente prop

em paralel

a o valor

potência tr

oR .

sferida é

isar a com

do na Figur

da pela exp

T

T

V

R

2oI

tos Elétricos –

na Figura 6

posto.

lo com a f

da corre

ransferida

máxima

mportame

ra 6.3.

pressão (6.1

Ivo Barbi

6.3.

onte de

nte oI .

a para a

quando

ento da

10).

(6.10)

(6.11)

75


2

2o T

o

T o

R VP

R R

(6.12)

A potência entregue pela fonte 1V é determinada pela

expressão (6.13).

2T o T B

iB T o

V R R RP

R R R

(6.13)

A eficiência é determinada pela expressão (6.14).

o

i

P

P (6.14)

Após a substituição de (6.12) e (6.13) em (6.14) e

manipulações algébricas apropriadas obtemos (6.15).

o B

T o B T o

R R

R R R R R

(6.15)

Na condição de máxima transferência de potência para

o resistor oR , o TR R . Assim, a partir da expressão (6.15),

obtemos (6.16).

1

22 1 T

B

R

R

(6.16)

A expressão (6.16) revela que a eficiência do circuito,

para a condição da máxima transferência de potência é de

76


fato sempre menor que 0,5, igualando‐se a esse valor apenas

quando BR .

A partir da expressão (6.15) vamos determinar a

eficiência máxima do circuito representado na Figura 6.3.

Como foi demonstrado,

o B

o T o B T

R R

R R R R R

(6.17)

Derivando – se a expressão (6.17) em relação a oR

obtemos a expressão (6.18).

2 2

2 2

B T B T o

o T o B T o

R R R R R

R R R R R R

(6.18)

A eficiência é máxima quando,

0oR

(6.19)

Portanto quando,

2 2 0T B T oR R R R (6.20)

O que nos permite obter,

omáx T B TR R R R (6.21)

onde omáxR representa o valor de oR que maximiza a

eficiência do circuito.

77


Quando BR , maxoR , que é o valor obtido para o

circuito equivalente de Thevenin.

O valor máximo da eficiência é obtido ao se substituir

a expressão (6.21) na expressão (6.17), resultando na

expressão (6.22).

2

2

B T T B Tmáx

B T T B T

R R R R R

R R R R R

(6.22)

A expressão (6.22) revela que o valor máximo da

eficiência do circuito será sempre inferior a um, pois o

numerador é menor que o denominador.

Vamos analisar o comportamento da eficiência e da

potência de um circuito através do seguinte exemplo

numérico:

100

50

500

T

T

B

V

R

R

V

Com o emprego da expressão anteriormente obtida,

obtemos os valores e as curvas apresentadas a seguir:

50omáxP W (para 50o TR R )

185,8omáxR (para máxima eficiência)

0,537máx

efi

de

seu

78

Figura

Na Fig

iciência e p

Consta

e carga é ze

A eficiê

u valor é ig

Novo Circui

a 6.4 – Curvas

gura 6.4

potência, p

atamos que

ero quando

ência do ci

gual a 0,53

ito Equivalent

s de eficiência

estão rep

parametriza

e a potênci

o 1o

T

RR

ircuito é m

37.

te para Circuit

e potência pa

presentada

adas em fu

a transferi

, situação e

máxima qu

tos Elétricos –

arametrizadas.

as as cur

unção de R

ida para o

em que

ando o

T

R

R

Ivo Barbi

.

vas de

o

T

RR .

resistor

0,42 .

3,32 , e

Novo Circuit

6.3) Exem

Seja

Figura 6.5

Dete

a) Valo

seja

b) O va

c) A ef

máx

d) A m

Solu

a) Cálc

to Equivalente

mplo Num

o circuito

5.

Figu

erminar:

or de oR p

máxima;

alor da pot

ficiência d

xima potên

máxima efic

ução:

culo de TV

e para Circuito

mérico

o de corren

ura 6.5 – Circ

para que a

tência máx

do circuito

ncia para o

ciência do c

os Elétricos – I

nte contín

cuito para aná

a potência

ima transf

o, quando

resistor oR

circuito.

Ivo Barbi

nua represe

álise.

transferid

ferida para

está trans

o ;

79

entado na

a para ele

a oR ;

sferindo a

a

rep

b

en

80

O cir

presentado

Figu

b) Cálculo

O circu

ncontra – se

Figu

Novo Circui

rcuito co

o na Figura

ura 6.6 ‐ Circu

8TV

o de TR

uito equiv

e represent

ura 6.7 ‐ Circu

ito Equivalent

m oR

a 6.6, onde

uito equivalen

8 2010

40

valente com

tado na Fig

uito equivalen

te para Circuit

desconecta

e ab TV V . P

nte para o cálc

14TV V

m todas a

gura 6.7.

nte para o cálc

tos Elétricos –

ado enco

Portanto,

culo de TV .

V

as fontes z

culo de TR .

Ivo Barbi

ontra‐se

zeradas

Novo Circuit

c) Cálc

A p

circuito pa

Mas,

Port

d) Circu

O

representa

to Equivalente

culo de BR

potência d

ara oR des

,

anto,

R

uito Equiv

circuito

ado na Fig

Fig

e para Circuito

dissipada

sconectado

BP

2 14

8T

BB

VR

P

valente.

equivalen

gura 6.8.

gura 6.8 ‐ Circ

os Elétricos – I

pelos resi

o é igual a

2T

B

V

R

2422, 27

,8

nte resu

cuito equivale

Ivo Barbi

istores int

8,8BP W

ultante en

ente.

81

ternos do

.

ncontra‐se

82


e) Valor de oR para a máxima transferência de potência.

Como foi demonstrado anteriormente, a transferência

de potência para oR é máxima quando o TR R , ou seja,

quando 13oR .

f) Valor da potência máxima transferida para o resistor

oR .

Foi demonstrado anteriormente que,

2

4T

máxT

VP

R

Portanto,

2143,769

4 13máxP

g) Eficiência do circuito operando com a máxima

transferência de potência.

A eficiência máxima para o TR R é determinada pela

expressão:

1

22 1 T

B

R

R

Portanto,

83


10,231

2 132 1

22,27

h) Valor da resistência do resistor que proporciona a

máxima eficiência ao circuito.

Foi demonstrado que,

omáx T B TR R R R

Portanto,

13 22,27 13

21,413

omáx

omáx

R

R

i) Valor da máxima eficiência.

Foi também demonstrado que,

2

2

B T T B Tmáx

B T T B T

R R R R R

R R R R R

Portanto,

0, 244máx

84


6.4) Resumo dos Resultados Obtidos Neste Capítulo

A partir dos estudos realizados e apresentados neste

capítulo, podemos concluir o seguinte:

a) Circuito Equivalente de Thevenin

A máxima transferência de potência ocorre quando

o TR R ;

Na condição de máxima transferência de potência, a

eficiência é igual a zero;

A eficiência máxima é igual a um e ocorre para

oR consequentemente, para 0oP .

b) Circuito Equivalente Proposto

A máxima transferência de potência ocorre quando

o TR R .

Na condição de máxima transferência de potência, a

eficiência e determinada por,

1

22 1 T

B

RR

sendo inferior a 0,5.

A máxima eficiência do circuito ocorre quando,

o T B TR R R R

A máxima eficiência é determinada pela expressão,

85


2

2

B T T B Tmáx

B T T B T

R R R R R

R R R R R

86


REFERENCIAS

[1] L. Thévenin, “Sur un Nouveaux Théoreme

d’Electricité Dynamique”, C. R. des Séances de l’Academie

des Sciences, 97:159‐161, 1883.

[2] Joseph A. Edminister, “Electric Circuits”, Schaum

Publishing Co. New York, 1965.

[3] Don H. Johnson, “Origins of the Equivalent Circuit

Concept: The Voltage‐Source Equivalent”, Proceedings

IEEE, September 2002.

[4] R. E. Collin, “Limitations of the Thévenin and

Norton Equivalent Circuits for a Receiving Antenna”, IEEE

Antennas and Propagation Magazine, Vol. 45, No. 2, April

2003.

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