Preleções Científicas Universidade Estadual do Ceará Pró-Reitoria de Extensão Integrais...

Preleções Científicas

Universidade Estadual do CearáPró-Reitoria de Extensão

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

Ministrante: Prof. K. David Sabóia

Duração: 12 horas

IntegraçãoÁrea sob a Curva


2

∆x

3

1i

i

A f x

IntegraçãoÁrea sob a Curva


3

∆x

5

1i

i

A f x

Integração Área sob a Curva


4

∆x

01

lim ( )N

x ii

A f x x

( )b

aA f x dx

Integrais de Volume


5

Integrais de Volume


6

Integrais de Volume


7

Integrais de VolumeExemplo: Se a base de um

sólido é um círculo de raio r e se todas as seções do plano perpendiculares a um diâmetro fixo são quarados, encontre o volume do sólido.


8

Integrais de Volume


9

Integrais de Volume


10

Sólido de Rotação


11

Sólido de Rotação

Definição:


12

Integrais de VolumeExemplo: Encontre o

sólido de revolução gerado pela curva y=x2, o eixo x e as linhas x=1 e x=2.


13

Sólidos de Rotação


14



15



16


Definição:

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume 17

Sólidos de RotaçãoExemplo: Encontre o

volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y=x+3 e y=x2+1.


18



19



20

Integrais Múltiplas


21

( , )R

f x y dA

( , )R

f x y dxdy

Integrais Múltiplas


22

2

1

( )

( )

( , )y xb

a y x

V f x y dy dx

Integrais MúltiplasExemplo: Calcule a

integral:


23

2

1

02

x

xV ydydx

Integrais MúltiplasExemplo: Use uma

integral iterada para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1.


24

Integrais duplas em Coordenadas Polares


25

( )( )dA dr rd rdrd

( , ) ( cos , )R R

f x y dA f r rsen rdrd


Exemplo: Calcule a área da região englobada pela cardicóide r=a(1+cosθ).


26



27

Integrais Triplas


28

( , , )R

f x y z dV

( , , )R

f x y z dxdydz

Elemento de Área de Coordenadas Esféricas


29

Elemento de Área de Coordenadas Esféricas


30

Coordenadas Esféricas

Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera.


31

Elemento de Área de Coordenadas Cilíndricas


32

Coordenadas Cilíndricas

Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de um cilindro.


33

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Ministrante: Prof. K. David Sabóia

Duração: 12 horas

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