Preparação PROFMAT_7.pdf
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Preparação para o Exame de Qualificação - PROFMAT Encontro 3: Geometria Espacial 1. É dado um octaedro regular de aresta . Calcular: (a) A medida de sua diagonal. (b) A distância entre duas faces opostas. (c) Os raios das esferas circunscritas, inscrita e tangente às arestas. (d) O cosseno do diedro do octaedro. 2. Calcular a razão entre as áreas totais de um tetraedro regular e seu tetraedro órtico. OBS.: Chama-se tetraedro órtico do tetraedro ABCD, aquele cujos vértices são os pés das alturas de ABCD. 3. (a) Prove que o contorno da projeção de um cubo sobre um plano perpendicular a uma diagonal sobre um plano perpendicular a uma diagonal do cubo é um hexágono regular. (b) Calcule o lado do hexágono em função da aresta a do cubo. 4. Um plano paralelo a duas arestas opostas de um tetraedro regular de aresta a , intercepta o poliedro e dista x de uma aresta. Determine a área máxima da seção determinada por este plano em função de a , sendo 2 0, 2 a x ∈ . 5. Dado um cubo de aresta a , considere um plano que contém uma das diagonais da face e que forma 60º com essa face. Calcule a área da seção determinada por este plano no sólido. 6. Dado um cubo ABCD-RSTU, de 4 cm de aresta, considere os pontos M e N, médios respectivamente das arestas AB e AD, bem como o ponto J, pertencente à aresta BS e distante 1 cm do vértice B. Calcule o perímetro e a área da seção produzida pelo plano (M, N, J). 7. Em um tetraedro, provar: (a) A soma dos quadrados de dois pares de arestas opostas é igual a soma dos quadrados das arestas do terceiro para mais quatro vezes o quadrado da distância entre os pontos médios destas duas últimas. 8. Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja soma dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos é constante, é uma superfície esférica de centro no ponto médio do segmento limitado pelos pontos dados. 9. Prove que em qualquer poliedro convexo ou existe uma face triangular ou um vértice triédrico. 10. Considere dois planos perpendiculares e ' , bem como uma reta r que forma ângulos e com e ' , respectivamente. Calcular o cosseno do ângulo da reta r com a interseção ' . 11. Prove que se 1 2 3 4 x,x,x,x são as distâncias de um ponto arbitrário interior a um tetraedro às suas faces e 1 2 3 4 h,h,h,h são as alturas correspondentes do tetraedro, então 3 1 2 4 1 2 3 4 + + 1 x x x x h h h h + = .
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Preparação para o Exame de Qualificação - PROFMAT Encontro 3: Geometria Espacial 1. É dado um octaedro regular de aresta . Calcular: (a) A medida de sua diagonal. (b) A distância entre duas faces opostas. (c) Os raios das esferas circunscritas, inscrita e tangente às arestas. (d) O cosseno do diedro do octaedro. 2. Calcular a razão entre as áreas totais de um tetraedro regular e seu tetraedro órtico. OBS.: Chama-se tetraedro órtico do tetraedro ABCD, aquele cujos vértices são os pés das alturas de ABCD. 3. (a) Prove que o contorno da projeção de um cubo sobre um plano perpendicular a uma diagonal sobre um plano perpendicular a uma diagonal do cubo é um hexágono regular. (b) Calcule o lado do hexágono em função da aresta a do cubo. 4. Um plano paralelo a duas arestas opostas de um tetraedro regular de aresta a , intercepta o poliedro e dista x de uma aresta.
Determine a área máxima da seção determinada por este plano em função de a , sendo 20,
2ax
∈
.
5. Dado um cubo de aresta a , considere um plano que contém uma das diagonais da face e que forma 60º com essa face. Calcule a área da seção determinada por este plano no sólido. 6. Dado um cubo ABCD-RSTU, de 4 cm de aresta, considere os pontos M e N, médios respectivamente das arestas AB e AD, bem como o ponto J, pertencente à aresta BS e distante 1 cm do vértice B. Calcule o perímetro e a área da seção produzida pelo plano (M, N, J). 7. Em um tetraedro, provar: (a) A soma dos quadrados de dois pares de arestas opostas é igual a soma dos quadrados das arestas do terceiro para mais quatro vezes o quadrado da distância entre os pontos médios destas duas últimas. 8. Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja soma dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos é constante, é uma superfície esférica de centro no ponto médio do segmento limitado pelos pontos dados. 9. Prove que em qualquer poliedro convexo ou existe uma face triangular ou um vértice triédrico.
10. Considere dois planos perpendiculares e ' , bem como uma reta r que forma ângulos e com e ' , respectivamente.
Calcular o cosseno do ângulo da reta r com a interseção ' . 11. Prove que se 1 2 3 4 x , x , x , x são as distâncias de um ponto arbitrário interior a um tetraedro às suas faces e 1 2 3 4 h , h , h , h são as
alturas correspondentes do tetraedro, então 31 2 4
1 2 3 4+ + 1xx x x
h h h h+ = .
