Preparar o Exame Nacional Matematica 12 Ano Prova.modelo

8/9/2019 Preparar o Exame Nacional Matematica 12 Ano Prova.modelo

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PREPARAR O EXAME NACIONAL

304

EXAME NACIONAL P R O VA- M O D E L O 2

GRUPO I

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta.

Escreva, na folha de respostas:

• o número do item;

• a letra que identifica a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações. Duração: 150 min

1. No final de maio de 2012 foram escolhidos 10 jogadores ao acaso, de entre os 23 da seleção nacional, para um

controlo antidoping.

De quantas maneiras pode ter sido feita essa escolha sendo o Cristiano Ronaldo e o Rúben Micael dois dos esco-

lhidos?

(A) 203 490 (B) 352 716 (C) 490 314 (D) 525 352

2. No triângulo de Pascal, considere:

• o número p1 , segundo elemento da linha 3;

• o número p2 , segundo elemento da linha 9;• o número p3 , segundo elemento da linha 27;

• …

• o número pn , segundo elemento da linha 3n ;

Sabe-se que p1 + p2 + p3 + … + pn = 9840 .

Qual é o valor de n ?

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14

3. Considere a função f , de domínio IR+ , definida por f (x) = ln2 x .

No referencial da Figura 1 está parte do gráfico da função g , também de domínio IR+.

Tal como sugere a figura, g(e) = 1 e a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e

é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual é o valor de gf ’ (e) ?

(A)1 +

eln 2 (B)

2 +eln 2

(C)

e

1 – 2 (D)

e

2 – 1

O 1

g

e

1

y

x

Figura 1



305

4. Seja h uma função contínua no seu domínio IR– .

Sabe-se que:

• limx → –

h(x) = 5 • limx → 0

h(x) = + • limx → –5

h(x) = 0

Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de h ?

(A) x = –5 e y = 0 (B) x = –5 e y = –5x

(C) x = 0 e y = 5 (D) x = 0 e y = 5x

5. De uma função quadrática f , sabe-se que:

• a concavidade do seu gráfico está voltada para cima;

• 0 e π são zeros de f .

Qual pode ser o valor de limx → 0

?

(A) – (B) –2 (C) 0 (D) π

6. Na Figura 2 está representado o quadrado [ABCD] .

Qual é o valor de →AB ·

→BD ?

(A) || →AB ||2 (B) –||

→AB ||2 (C) ||

→BD ||2 (D) –||

→BD ||2

7. Num referencial o.n Oxyz , os planos definidos pelas equações x + 2y – 4z = 1 e mx +2y – z = m são coincidentes,

sendo m um número real. Indique o valor de m .

(A) 1 (B) 21 (C)

31 (D)

41

8. Qual deve ser o valor do número real k de modo que o número complexo seja também real?

(A)–

9

2 (B)

–

2

7 (C)

–

5

2 (D)

–

3

2

f (x)sen x

3 – i

2k + 3i

A B

D C

Figura 2




306

GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações

necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considere a Figura 3 no plano complexo.

Sabe-se que:

• o ponto A é a imagem geométrica do número complexo z1 = 3i ;• o ponto B é a imagem geométrica do número complexo z2 = 1 + i ;

• m é a mediatriz do segmento [AB] ;

• s é a semirreta de equação Arg (z) = θ , sendo θ o argumento de uma

das soluções da equação z3 + z1—— = 5i .

Indique uma condição, em CI , para a zona colorida, incluindo as fronteiras.

2. No conjunto dos números complexos, CI , é dado um complexo z tal que a sua imagem geométrica está na reta de

equação Im (z) = 3 e cujo argumento é .

Considere os seguintes números complexos:

• w1 = –3 + 3i • w2 = – 2 + 6 i • w3 = – 2 cis α × 3 i , α 0, π2 • w4 =

Apenas um dos números complexos anteriores pode representar z .

Sem usar a calculadora, elabore uma composição na qual:

• indique a opção correta;

• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada.

3.3.1 Numa certa região, 4 em cada 5 habitantes foram vacinados contra a gripe A. Sabe-se que a probabilidade de uma

pessoa nessa região ficar infetada com a gripe A é igual a 5% se for vacinada e é igual a 90% se não for vacinada.

Suponha que se escolhe um qualquer habitante dessa região não infetado com a gripe A.

Qual é a probabilidade de ele ter sido vacinado?

Apresente o valor em percentagem, arredondado às décimas.

3.2 Num grupo de controlo com n habitantes, apenas dois deles não estão infetados com a gripe A.

Vai ser escolhido, aleatoriamente, um desses n habitantes para uns testes.

Seja X a variável aleatória «número de infetados».Sabendo que o valor médio de X é

11

01, calcule n .

2π

3

O

A

Im ( z )

Re ( z )

B

s

m

Figura 3

6 cis 4π

10

3 cis – 6π



4. Considere a função definida por f (x) = 2 + log2 (x + 2) .4.1 Seja A um ponto do gráfico de f de abcissa 2,4. A reta tangente ao gráfico de f no ponto A interseta a sua

assíntota num certo ponto B . Recorrendo à sua calculadora, determine a ordenada desse ponto B .

Na sua resposta, deve:

• reproduzir o gráfico da função f , devidamente identificado, incluindo o referencial;

• reproduzir a assíntota do gráfico de f ;

• reproduzir a reta tangente pedida, com os parâmetros arredondados às centésimas;

• assinalar os pontos A e B e indicar a ordenada do ponto B com arredondamento às centésimas.

4.2 Para um certo valor de k , positivo mas

inferior a 2, é contínua em IR a função definida por:

Resolva, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, os itens seguintes.

4.2.1 Determine o valor de k .

4.2.2 Mostre que a equação h(x) = 3 – x tem pelo menos uma solução em ]−1, 6[ .

5. Considere a função g , de domínio [0, 2π] , definida por g(x) =sen x

2+ cos x .

O gráfico de g interseta a reta de equação y =

4

2 em alguns pontos.

Recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, determine as suas abcissas.

6. Na Figura 4 estão representados:

• parte do gráfico da função f , de domínio IR , definida por f (x) = 4x · e–x ;

• um triângulo retângulo [OPQ] , em que:

• O é a origem do referencial;

• P é um ponto do gráfico de f ;

• Q pertence ao eixo das abcissas.

Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não

incluídos), ao longo do gráfico de f . O ponto Q acompanha o movimento

do ponto P , deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo

que o triângulo [OPQ] é sempre retângulo no ponto Q .

Seja A a função, de domínio IR+ , que faz corresponder, à abcissa x do ponto P , a área do triângulo [OPQ] .

6.1 Mostre que, para cada x IR+ , se tem A(x) = 2x2 · e–x .

6.2 Sem usar a calculadora, estude a função A quanto à monotonia e determine as coordenadas do ponto P

quando a área do triângulo [OPQ] for máxima.

7. Na Figura 5 está representada, num referencial o.n. xOy , a circunferência

de centro C e equação x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0 e a reta t , tangente à

circunferência no ponto A , de coordenadas (4, –5) .

A reta t interseta o eixo Ox num ponto B .Sem usar a calculadora, determine a sua abcissa.

Of

P

Q

y

x

O

C

A

t

y

x

307

Figura 4

Figura 5

log2 (5x2 + 2x + 1) se x ≤ k

h(x) = f (x) se x > k

FIM



380

Prova-modelo 2

Grupo I (8 × 5 pontos = 40 pontos)

1. Se o C. Ronaldo e o R. Micael já lá estão, então restam 21 jogado-res para 8 lugares: 21C8 .

2. Os segundos elementos das linhas do triângulo de Pascal são 3,9, 27, etc.

∴3 + 32 + 33 + … + 3n = 9840 ⇔

⇔ 3 ×11

––

33

n = 9840

(soma de n termos de uma progressão geométrica de primeiro

termo = 3 = razão)

⇔

23 × (3n – 1) = 9840 ⇔ 3n – 1 = 6560 ⇔

⇔ 3n = 38 ⇔ n = 8

3. gf ' (e) =

f (e) = 1

f '(x) = 2 In x(ln x)' = ⇒ f '(e) =

e2

g(e) = 1 = g'(e)

∴ gf ' (e) = =

e2 – 1

4. limx → 0

h(x) = + , logo x = 0 é a equação da A.V.

limx → –

h(x) = 5 , logo y = 5 é a equação da A.H.

5. limx → 0

sf e(nx)

x =

00 (ind.)

Seja f (x) = ax(x – π) , a > 0 (pois a parábola tem a concavidadevoltada para cima).

∴ limx → 0sf e(nx)x = a × lim

x → 0senx x × lim

x → 0 (x – π) =

= a × 1 × (−π) = n.º negativo (porque a > 0 )

6. AB→

⋅ BD→

= ||AB→

|| × ||BD→

|| cos 135º =

= ||AB→

|| × 2 ||AB→

|| × –

2

2 = –|| AB

→||2

7. 41 x +

2y – z =

41 ⇔ x + 2y − 4z = 1

8. 2k

3+–

3i

i ×

22

kk

––

33

ii =

6k –49ki2

–+2

9ki – 3

Para ser um número real, tem-se –9 – 2k = 0 ⇔ k = – 92

Grupo II (160 pontos)

1. ........................................................................................................ 10 pontos

Sabe-se que a condição é algo do género:

|z – 3i| ≥ |z – (1 + i)| ∧ θ ≤ Arg (z) ≤ π

sendo θ o argumento de uma das soluções da equação dada.

z 1 = –3i ............................................................................................. 1

z3 + z 1 = 5i ⇔ z3 = 8i ⇔

⇔ z = 38 c is π2 ................................................................... 2

⇔ z = 2cis , k {0, 1, 2}.............................. 2

k = 0 → 2 cis 6π ......................................................................... 1

k = 1 → 2 cis

5

6

π

......................................................................... 1

Concluir que θ =5

6π ..................................................................... 1

Condição pedida:

|z – 3i| ≥ |z – 1 – i| ∧ 5

6π ≤ Arg (z) ≤ π ................................ 2

2. ........................................................................................................ 15 pontos

Há quatro tópicos a explicar:A – indicar a opção correta;B – indicar uma razão para rejeitar w1 ;C – indicar uma razão para rejeitar w2 ;D – indicar uma razão para rejeitar w3 .

Explicação correta dos quatro tópicos (ou B, C e D) ........ 15Explicação correta de três tópicos (A incluído) ................. 12Explicação correta de dois tópicos (A excluído).............. .. 9Explicação correta de dois tópicos (A incluído)...... ........... 6Explicação correta de um tópico (A excluído)..................... 3Explicação correta do tópico A .................. .................. ........... 1Apenas w4 pode representar o complexo z .

• O número w1 não pode representar o complexo z porque o seu

argumento é 3

4π e devia ser

23π.

• O número w2 também não pode ser o complexo z porque a sua ima-

gem geométrica está na reta de equação Im (z) = 6 (e devia estar

em Im (z) = 3 ).

• Finalmente, também o número w3 não pode ser o complexo z já que

w3 = 2 cis (α + π) × 3 i = 2 3 cis α + π +

2π = 2 3 cis α +

32π , ou

seja, o seu argumento está no 4.º quadrante.

3.1 ...................................................................................................... 15 pontos

Sejam os acontecimentos:V : «O habitante foi vacinado.»

A: «O habitante tem a gripe A.»

págs. 304 a 307

f ’(e)g(e) – f (e)g’(e)

[g(e)]2

2 ln x

x

2

e

× 1 – 1 × 1

12

π2 + 2 πk

3


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A A D C B B D A

AB

135°BD

Habitante

Vacinado(P(V ) = 0,8)

Não vacinado(P(V ) = 0,2)

Tem gripe A

(P(A| V ) = 0,05)

Não tem gripe A

(P(A | V ) = 0,95)

Tem gripe A

(P(A | V ) = 0,9)

Não tem gripe A

(P(A | V ) = 0,1)



381

RESOLUÇÕES E CRITÉRIOS DE CORREÇÃO DAS PROVAS-MODELO

O

A

B f

y

x

0 2 +

A' + 0 –A Máx.

Identificar o pedido com P(V | A ) ............................................ 2

P(V | A ) = ................ .................. .................. ................ 1

P(VA ) = 0,8 × 0,95 = 0,76 .................. .................. .................. . 2

P(A) = P(AV ) + P(AV ) ........................................................... 2

= 0,8 × 0,05 + 0,2 × 0,9 ................................................................ 3

= 0,22 ................................................................................................ 1P(A ) = 1 – 0,22 = 0,78 .................. .................. .................. ............. 2

P(V | A ) ≈ 97,4%.............................................................................. 2

3.2 ...................................................................................................... 15 pontos

P(X = 0) = n2 .................................................................................... 3

P(X = 1) = .......................................................................... 3

µ = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) .................................................... 5

⇔ = ............................................................... 2

⇔ n = 22 ................................................................................ 2

4.1 ...................................................................................................... 15 pontos

Gráfico de f ..................................................................................... 2

Assíntota do gráfico de f .......................................................... 2Reta tangente ................................................................................ 3

Equação da reta tangente:y ≈ 0,33x + 3,35 ........................................................................ 3

Pontos A e B assinalados........................................................ 2Ordenada de B :

y ≈ 0,33 × (−2) + 3,35 ≈ 2,69 ................................................. 3

4.2.1 .................................................................................................. 15 pontos

limx → k–

h(x) = limx → k+

h(x) = h(k) ........................................................ 3

log2 (5k2 + 2k + 1) = 2 + log2 (k + 2) .......................................... 1

⇔ log2 (5k2 + 2k + 1) = log2 [4(k + 2)] ...................................... 4

⇔ 5k2 + 2k + 1 = 4(k + 2) ............................................................. 3

⇔ k =

5

7 ∨ k = –1 ......................................................................... 2

Resposta: k = 57 .......................................................................... 2

4.2.2 .................................................................................................. 15 pontos

Considerar uma função j assim definida: ........................... 2

log2 (5x2 + 2x + 1) – 3 + x se x ≤ k j(x) =

f (x) – 3 + x se x > k

Referir que j é contínua em [–1, 6] ....................................... 2 j(– 1) = log2 4 – 3 – 1 = –2 .......................................................... 2 j(6) = 2 + log2 8 – 3 + 6 = 8 .................. .................. ................. ..... 2

j(–1) × j(6) < 0.................................................................................. 2Referir que, pelo teorema de Bolzano, j tem pelo

menos um zero em ]−1, 6[ ..................................................... 3Conclusão......................................................................................... 2

5. ........................................................................................................ 15 pontos

g(x) = ................. .................. .................. .................. ................ 2

⇔ 2 × = 2 × ........................................ 2

⇔ × sen x + × cos x =

2

1 ........................................ 1

⇔ sen x + 4π =

2

1 ........................................................................ 3

⇔ x +

4π =

6π + 2πk ∨ x +

4π =

56π + 2πk , kZZ ..... ..... .... . 3

⇔ x = –1π2 + 2πk ∨ x =

712π + 2πk , kZZ .... ..... .... ..... .... .... 2

Soluções em [0, 2π] :

k = 0 → x = –1π2 ∨ x =

712π

k = 1 → x = –1

π

2 + 2π ∨ x =

7

12

π + 2π ⇔

⇔ x =2132π ∨ x = –

3112π

k = 2 → x = –1π2 + 4π ⇔ x =

4172π

Abcissa pedidas: 712

π e

2132π ................................................... 2

6.1 ...................................................................................................... 10 pontos

A(x) = ................ .................. .................. .................. .... 1

Base = x ............................................................................................ 2

Altura = 4x ⋅ e –x ............................................................................. 6

A(x) = 2x2 ⋅ e –x ................................................................................ 1

6.2 ...................................................................................................... 15 pontos

A'(x) = 4xe–x + 2x2 (–1)e–x .......................................................... 1

= (4x – 2x2)e–x ................................................................................ 2

A'(x) = 0 ⇔ 4x – 2x2 = 0 ............................................................... 2

⇔ 2x (2– x) = 0 ⇔ x = 2............................................................... 2

(pois x > 0) ..................................................................................... 1

Quadro de sinal e monotonia..................................................... 3

A abcissa que maximiza a área é 2 ......................................... 2

f (2) = 4 × 2e–2 =

e82 ...................................................................... 2

Coordenadas pedidas: 2,

e82

7. ........................................................................................................ 20 pontosx2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0 ⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 10................ 5

Coordenadas de C : (3, –2) ........................................................ 1

CA→

(1, –3) .......................................................................................... 2

Dado um ponto qualquer P(x, y) de t , AP→

(x −4, y + 5)....... 2AP→

⋅ CA→

= 0 .................. .................. .................. .................. ................ 3⇔ x – 4 − 3y – 15 = 0 .................................................................... 4y = 0 ⇒ x = 19 ................. .................. .................. .................. .......... 3

P(VA )

P(A )

n – 2

n

n – 2

n10

11

2

4

2

4sen x + cos x

2

O Q × P Q

2

2

2

2

2

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