Pressão e Força de fluídos e outras aplicações de Cálculo I. · Pressão e Força de Fluidos....
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PRAE - Práticas Alternativas de Ensino 1 Pressão e Força de fluídos e outras aplicações de Cálculo I.
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PRAE - Práticas Alternativas de Ensino 1
Pressão e Força de fluídos e outras aplicações de Cálculo I.
O que é PRAE? Práticas Alternativas de Ensino.
Objetivo: Demonstrar o porquê do aprendizado da disciplina de Cálculo I.
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Ensino
Pressão e Força de Fluidos.
Catenárias e Funções Hiperbólicas.
Cálculo de Trabalho, através do uso de integrais.
Uso de equações diferenciais em Desintegração Radioativa.
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Utiliza-se a integração para calcular a força exercida sobre um objeto submerso em um fluido.
Para tal temos a pressão como uma função de profundidade.
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Para ser possível o cálculo temos algumas definições:
Profundidade: h Densidade do fluido: ω Pressão: P
Temos assim: P = ωh
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A Pressão por sua vez, age em casa ponto de um objeto na direção perpendicular à superfície do objeto naquele ponto.
Têm-se também que: Força: F Área: A
F = P*A
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O método pode ser usado para encontrar a força de fluido em um lado plano de qualquer objeto submerso verticalmente (não inclinado).
Sabendo que a profundidade do corpo vai de A até B e que dividimos o lado em N partes temos que:
Δy = (B – A) N
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Se tivermos um Δy pequeno, então a n-ésima faixa é praticamente retangular, podendo assim considerar que a força na lateral de um corpo é...
F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Σ Fi .
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F1 = yn ≈ ω yn X f (yn) Δy = ω yn f (yn) Δy
Integrando da parte superior até a inferior encontramos assim a força total na lateral do corpo.
F = ω ∫ y f(y)dy. (1)
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Uma aplicação do conteúdo apresentado acima é em barragens. Como mostra o exemplo a seguir:
Uma comporta de 1,5mx1,5m esta localizada em uma parede abaixo do nível da água. Determine a intensidade da resultante das forças exercidas pela água na comporta AB.
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Primeiramente, devemos considerar um referencial fixo para solucionar o problema.
Colocaremos a eixo x na superfície da água e o eixo y na comporta.
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Considerando o ponto A e B, então teremos que a força exercida pela coluna de água nesse ponto será a profundidade multiplicada pela gravidade.
FA : 0,9*9,81 = 8,83 KNFB : 2,4*9,81 = 23,544 KN
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Como anteriormente determinamos que o referencial se encontra em cima da barragem à altura da superfície da água, podemos determinar que as coordenadas das forças serão:
FA : (-8,83;-0,9)FB : (-23,544;-2,4)
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Sabemos que o comportamento da força imposta pela água na superfície se comporta de maneira uniforme, desenvolvendo assim o comportamento de uma reta.
Como temos dois pontos, podemos assim determinar a reta, para calcularmos assim a força exercida pela água no elemento.
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Sabemos que uma reta baseia-se na equação
Y = aX + b
Como temos dois pontos descobrimos que a equação da reta é:
Y ≈ 0,1019X
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Isolando X temos que
X = Y 0,1019
Sabemos que: F = ω ∫ y f(y)dy
Então agora temos todos os componentes para resolver essa integral e calcular a força.
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O ω da água é de 1000 Kg/m³
Ficando a integral da seguinte maneira:
F = 1000 ∫ (Y²/0,1019)dy
Encontrando assim uma força resultante de
F = 42,8 KN.
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A atividade de uma substância radioativa é medida pelo número de desintegrações por unidades de tempo. Este fenômeno é devido à emissão de três tipos de radiações: partículas α (núcleos de hélio), párticulas β (elétrons) e raios γ (ondas eletromagnéticas de alta frequência).Esses estudos foram feitos no final do século XIX, quando já se sabia que a atividade é proporcional ao número de átomos radioativos presentes em cada instante.
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A formulação matemática desta afirmação
segue de maneira bem simples:
Se N = N(t) é o número de átomos radioativos na amostra no instante t, e N0 a quantidade inicial destes átomos, isto é, N(0) = N0, então
dN = -λN dt
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Onde λ > 0 é a constante de desintegração (usa-se o sinal negativo pois o número de átomo diminui com o passar do tempo, e portanto, dN/dt < 0).
A solução particular é dada por:
N(t) = N0 e-λt
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Levando em conta que N = (NA/A)*m, onde A é o número de massa do elemento radioativo e NA é o número de Avogrado que vale
6,02 x 10²³ mols-1.
A razão NA/A é constante para cada elemento e mede o número de átomos em um grama deste elemento.
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Assim, em termos de massa do material radioativo, a lei da atividade pode ser expressa por:
M(t) = m0 e-λt
Através desta fórmula podemos também determinar o tempo de meia vida de um elemento, que é o tempo que ele leva para perder metade de sua massa.
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Tendo como massa inicial m0 e como massa final m0/2, fazemos:
m0/2 = m0 e-λT. Onde T = t1/2
O que implica em: T = ln 2 λ
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