Distribuição de Energia II5º ano da LEEC - ramo de Energia

(FEUP)

Previsão de consumos

Modelos de regressão

Cláudio Monteiro

Modelos de Regressão

y = 3,0727x + 24,2

10

20

30

40

50

60

70

1 3 5 7 9 11

Y

X

Se conhecer uma relação linear entre as variáveis dependentes e independentes podemos estimar o valor de Z em cada ponto.

Valor estimado da variável dependenteZ

Variáveis independentes Vi, no ponto PjPjViX ,

Parâmetros da regressão para a variável ViVi

Variável dependente para o ponto PjPiZ

kVkVV XXXZ 12110ˆ

PiViPi XZ ,;

A estimativa da variável dependente, com base na regressão, terá um erro (resíduo):

kPiVkPiVPiVPiPiPiPi XXXZZZ ,1,21,10ˆ

Pi

Modelos de RegressãoMínimos quadrados

3

2

1

P

P

P

Z

Z

Z

Z

Consideremos um problema com 3 pontos P1,P2 e P3 e 2 variáveis independentes V1 e V2.

3,23,1

2,22,1

1,21,1

1

1

1

PVPV

PVPV

PVPV

XX

XX

XX

X

2

1

0

V

V

XZ

Para encontrar os parâmetros usamos o método dos mínimos quadrados, que consiste em minimizar o quadrado dos resíduos.

233

2

22

2

1123

22

21

ˆˆˆPPPPPP ZZZZZZL

223,213,1032

22,212,1022

21,211,101 PVPVPPVPVPPVPVP XXZXXZXXZL

XZXZL t

Vi

Modelos de RegressãoMínimos quadrados

02

XZXL t

A derivada parcial em ordem a cada um dos parâmetros será:

Resolvendo o sistema de equações temos:

ZXXX tt 1

Exemplo: DE2_A3_MQ.xls

XZXZL t

Modelos de regressãoComo escolher variáveis1. Seleccionar uma grande lista de variáveis

Com base na experiência escolher variáveis que estão relacionadas com a grandeza a prever

2. Decompondo o modelo em vários Decompor por tipo de consumidor (industrial, doméstico,

comercial, etc.) Decompor por sazonalidade (por trimestre, por dia da

semana, por hora do dia , etc.)

3. Estruturar os modelos Analisar as dependências entre as variáveis e recalcular as

séries de forma que as dependências sejam mais evidentes (ex. prever o consumo per-capita em vez de prever o consumo global)

Analisar dependências temporais entre as variáveis (desfasamentos temporais, médias móveis, etc.)

Modelos de regressãoComo escolher variáveis4. Visualizar gráficos ZXi

Observar a relação entre as variável dependente e independente, se não existir relação elimine a variável

5. Visualizar gráficos XiXj Observar a relação entre as variáveis explicadoras,

eliminar variáveis em pares altamente correlacionadas evitando colinearidade

6. Testes de significância Fazer a regressão, observar estatísticas e significâncias (R,

t-teste, F-teste), excluir variáveis sem significância.

7. NOTA: Existem métodos formais implementados em software para a escolha das variáveis (ex. “subset regression”, “stepwise regression”, etc.)

Modelos de regressãoFerramentas úteis

Gráficos “scaterplot” ZXi e XiXj.

Fornece informação visual sobre as correlações entre as várias variáveis independentes XiXj e entre estas e a variável dependente ZXi.

Também é possível observar estas relações por classes (na figura vemos diferentes cores para cada trimestre)

Modelos de regressãoFerramentas úteis

Gráficos CCF (Cross-correlation funtion)

Permitem avaliar as dependências temporais (atrasos e avanços) entre a variável dependente e as variáveis explicadoras.

NOTA: é necessário ter prática e cuidado na interpretação destes gráficos.

Modelos de regressãoFerramentas úteis

totaisdesvios

explicados desviosˆ

2

2

2

PiPi

PiPi

ZZ

ZZR

Coeficiente de determinação R2

y = 3,0727x + 24,2

10

20

30

40

50

60

70

1 3 5 7 9 11

Y

X

Desvio explicado

Desvio não explicado

Desvio total

Z

Z

R2 representa a proporção da variável dependente Z que pode ser explicada pela regressão (valor entre 0 e 1 em que valores mais elevados correspondem a melhores regressões).

R2 ajustadoé o valor ajustado de R2 tendo em conta o nº de pontos e o número de variáveis independentes

Modelos de regressãoFerramentas úteis

11 2

2

knR

kRF

F - testeÉ a razão entre a variância devida à regressão e a variância devida ao erro. Já tem em conta o número de pontos n e o número de variáveis k.

F deve ser elevado e a significância de F deve ser inferior a 0.05 (teste de hipótese: probabilidade dos parâmetros da regressão serem 0).

ANOVA (ANalysis Of VAriance)Analisa a variância verificando a aceitabilidade do modelo do ponto de vista estatístico

Modelos de regressãoFerramentas úteis

t - testePermite avaliar a importância de cada variável independente no conjunto de variáveis do modelo.

Cada coeficiente de regressão tem uma variância associada É com base nesta variância que é calculado t

A significância de t é uma medida da importância (<0.05) relativa da variável (teste de hipótese: probabilidade desse parâmetro ser 0)

)(SE)( Vi

ViVi SEt

Análise de colinearidade

% não explicável por outras variáveis

Modelos de regressãoFerramentas úteisTransformações de funções não lineares em lineares

Modelos de regressãoMedidas de erro

Erro médio (ME)

n

ttt FY

nME

1

1

Erro médio absoluto (MAE)

Erro médio quadrático (MSE)

Erro médio percentual (MPE)

Erro médio absoluto percentual (MPE)

n

ttt FY

nMAE

1

1

n

ttt FY

nMSE

1

21

n

t t

tt

Y

FY

nMPE

1

1

n

t t

tt

Y

FY

nMAPE

1

1