Testes de Convergncia para Termos Positivos

* Se uma srie =1 converge entao lim

+ = 0

** Se sabemos apenas que lim +

= 0 ento nada podemos falar sobre a convergncia da serie.

1. A Srie Geomtrica = + + + + . . .=0 converge para a soma

1 se || < 1 e

diverge se || 1.

2. A Srie-P 1

=1 diverge se 1 e converge se > 1.

3. A Srie Telescpica ( +1 )=1 converge se lim

++1 existe.

4. Teste da Divergncia: Se lim +

0, ento a srie infinita =1 divergente.

5. Teste da Integral: Seja uma funo contnua, decrescente e positiva para todo 1.

Sendo = ():

(i) se ()

converge ento

= converge.

(ii) se ()

diverge ento

= diverge.

6. Teste da Comparao: Sejam =1 e

=1 com 0 < , para todo n.

(i) se =1 converge ento

=1 converge.

(ii) se =1 diverge ento

=1 diverge.

Em geral ser uma Srie-P ou Srie Geometrica

7. Teste de Comparao por Limite: Sejam =1 e

=1 , duas sries de termos positivos.

(i) se lim +

= > 0, ento ambas as sries covergem, ou ambas divergem.

(ii) se lim +

= 0 e se

=1 converge ento

=1 converge.

(iii) se lim +

= + e se

=1 diverge ento

=1 diverge.

Testes de Convergencia para Termos No Positivos

8. Teste de Sries Alternadas ou Teste de Leibniz: Seja (1) com > 0 para todo .

(i) se +1 , ou seja, {} decrescente (ii) e lim

= 0

Ento a srie converge.

9. Teste da Razo ou Teste de dAlembert: Seja =1 uma srie. Ento:

(i) se lim+

|+1

| = < 1, a srie absolutamente convergente;

(ii) se lim+

|+1

| = > 1 ou lim

+ |

+1

| = +, a serie divergente;

(iii) se lim+

|+1

| = 1 , nenhuma concluso podemos tirar quanto convergncia da srie.

10. Teste da Raiz ou Teste de Cauchy: Seja =1 uma srie. Ento:

(i) se lim+

||

= < 1, a srie absolutamente convergente;

(ii) se lim+

||

= > 1 ou lim+

||

= +, a srie divergente;

(iii) se lim+

||

= 1, nenhuma concluso podemos tirar quanto convergncia da srie.

11. Convergncia Absoluta e Convergncia Condicional: Seja =1 uma srie. Ento:

(i) se ||=1 converge ela dita absolutamente convergente. Automaticamente, a srie

=1 tambm converge.

(ii) se ||=1 no converge mas

=1 converge ela dita condicionalmente

convergente.

Estrategia para Testar Sries

1. Se a srie for da forma 1

, ela urna p-srie, que sabemos ser convergente se > 1 e

divergente se 1.

2. Se a srie tiver a forma 1 ou , ela uma srie geomtrica, que converge se || < 1 e diverge se || 1. Algumas manipulaes algbricas podem ser necessrias para deixar a srie dessa forma.

3. Se a srie tiver uma forma similar a uma p-srie ou a uma srie geomtrica, ento um dos testes de comparao deve ser considerado. Em particular, se for uma funo racional ou urna funo algbrica de (envolvendo razes de polinmios), a srie deve ser comparada com urna p-srie. Os testes de comparao se aplicam apenas a sries com termos positivos, mas, se tiver alguns termos negativos, ento poderemos aplicar o Teste da Comparao em || e testar a convergncia absoluta.

4. Se voc vir que lim +

0, o Teste para Divergncia deve ser usado.

5. Se a srie for da forma (1)1 ou (1) ento o Teste da Srie Alternada

uma possibilidade bvia.

6. Sries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma constante elevada n-sima potncia) so com frequncia testadas convenientemente usando-se o Teste da Razo. Tenha em

mente que +1

1 quando para todas as p-sries, e portanto todas as funes racionais ou

algbricas de n. Ento. o Teste da Razo no deve ser usado para tais sries.

7. Se for da forma (), o Teste da Raiz pode ser til.

8. Se = (), onde ()

1 facilmente calculada, ento o Teste da Integral eficaz (satisfeita

as hipteses para este teste).

Encontrando a Representao de Uma Funo como Srie de Potncias

Existem trs formas:

1) Atravs de srie de Taylor

1 passo: Expandir a srie de Taylor at se encontrar um padro de repetio

2 passo: Tomar a derivada de cada termo expandido

3 passo: Substituir os valores encontrados na frumla da Srie de Taylor

4 passo: Escrever a srie de potncias correspondente srie de Taylor encontrada.

2) Atravs da derivao/integrao de uma srie conhecida

ex: representao de () como srie de potncias

Sabemos que () a derivada de (). Basta entao derivar a srie de potencias correspondente () que encontraremos a srie para ()

3) Atravs da multiplicao/divisao de um termo por uma srie conhecida

ex: representao de () como srie de potncias

Se sabemos a srie de potncias referente ao (), basta multiplicar ela por x para encontrarmos a serie correspondente ao ()

Serie de Potncias - Receita para Encontrar o Intervalo de Convergncia

Uma srie de potncias uma srie da forma:

( ) = 0 + 1( )

2 + 3( )3 + + ( )

=0

Para uma serie de potncias existem apenas trs possibilidades com relao convergencia:

(i) A srie converge apenas quando = . (ii) A srie converge para todo . (iii) Existe um nmero positivo tal que a srie converge se | | < e

diverge se| | > . Damos o nome de raio de convergncia ao valor .

Encontrando o intervalo de convergencia

1 passo: Utilizar o teste da Razao ou o teste da Raiz.

lim+

|+1

| ou lim

+ ||

2 passo: Analisar o resultado do teste

i) Se o teste deu um nmero > 1, ento a srie converge apenas quando = 0. O raio de convergencia neste caso = .

ii) Se o teste deu um nmero < 1, ento a srie converge para todo x. O raio de convergencia neste caso = .

iii) Se o teste deu uma inequaao do tipo | | < 1, ento basta apenas resolver a inequao. O raio de convergncia neste caso = + O intervalo de convergncia ser + < < +

3 passo: Testar a convergncia/divergncia nas extremidades do intervalo

(i) Substituir na serie original as extremidades encontradas no passo anterior. (ii) Utilizar o teste da Comparao, da Integral ou da Serie Alternada para descobrir se

aquelas extremidades convergem ou divergem.

Serie de Potncias - Derivao e Integrao e Sries de Taylor

Se a serie de potncias ( )

=0 tiver um raio de convergncia > 0, ento fazemos

() = 0 + 1( ) + 2( )2 + = ( )

=0

E a derivada e integral da srie sero dadas por:

() = 1 + 22( ) + 33( )2 + = ( )

1

=0

() = + 0( ) + 1( )

2+ =

( )

+ 1

+1

+

=0

O raio de convergencia continua sendo R.

* Prestar atenao! Na derivada h o deslocamento do ndice.

Chama-se srie de Taylor de f no ponto a a srie de potncias

() = ()()

!( ) = () + ()( ) +

()

2!( )2 + +

()()

!( ) +

=0

Quando = 0 chamamos de srie de Mac-Laurin de

()(0)

!

=0

= (0) + (0) +(0)

2!2 + +

()(0)

! +

Se () pode ser representado como uma serie de potncias ento

=()()

!

Srie em Ponto Ordinrio - Soluo por Sries de Potncia

Seja a equao

()" + () + () = 0

Dividindo tudo por () temos

() =()

() e () =

()

()

Se (0) 0 dizemos que 0 ponto ordinrio, e que as funes () e () sao analticas em 0.

Se (0) = 0O dizemos que 0 um ponto singular.

Pelo teorema do ponto ordinrio, existem duas solues linearmente independentes da forma

= ( 0)

=0

e o raio de convergncia dado pela diferena entre o ponto ordinario utilizado e o ponto singular mais proximo.

1 passo: Checar se o ponto utilizado mesmo um ponto ordinario. Para facilitar os clculos, em geral utiliza-se 0 = 0.

2 passo: Dizemos que a soluo da equaao da forma:

= ( 0)

=0

= ()( 0)1

=1

= +1( + 1)( 0)

=0

= ()( 1)( 0)2

=2

= +2( + 2)( 0)

=0

3 passo: Substituir e " na equaao do "enunciado". Ateno com o indice das derivadas!

4 passo: Trabalhar algebricamente com as equaes para juntar os coeficientes de ( 0) em

um nico coeficiente () colocando ( 0) em evidencia.

5 passo: Achar a relao de recorrncia. Para isso fazemos () = 0 e isolamos o termo de maior ndice. Logo aps, escrevemos os termos da relao de recorrncia comeando por = 0 e buscamos identificar um padro. Dica: escrever os ndices pares e impares separadamente.

6 passo: Escrever o padro encontrado na forma de serie.

7 passo: Escrever a soluao na forma:

= = 01() + 12()

=0

Ateno! Os valores 0 e 1 so dados pelas condies iniciais: 0 = (0) e 1 = (0)

Srie em Ponto Singular Regular Equaes de Euler

As Equaes de Euler so equaes diferenciais da forma

[] = + + = 0

Onde e so coeficientes constantes.

Encontrando as solues da equao

1 passo: Dizemos que a equao tem uma soluo do tipo.

=

2 passo: Determinar e .

= 1

= ( 1)2

3 passo: Substituir e na equao e determinar as raizes 1 e 2

Aps descobrir as raizes, teremos 3 casos diferentes:

RAZES REAIS E DISTINTAS

1() = 1 2() =

2

() = 11 + 2

2 > 0

RAZES IGUAIS

1() = 1 2() =

2

() = (1 + 2 )1 > 0

RAZES COMPLEXAS

Suponha que as razes so complexas conjugadas, digamos, = + e = , com 0

() = 1 cos( ) + 2

sen( ) > 0

Transformadas de Laplace - Receita para Resoluo do PVI

A transformada de Laplace de (), designada por {()} ou () :

{()} = () = ()

0

S existe transformada de uma funao () caso o seguinte limite exista:

lim

()

0

Em geral, utiliza-se a integrao por partes para resolver as integrais.

Propriedades das Transformadas de Laplace

(i) {1() + 2()} = 1{()} + 2{()} = 1() + 2()

(ii) {()} = ( )

(iii) {()} = 1

[()]

Encontrando a soluo para Problemas de Valor Inicial (PVI)

Antes de tudo, necessrio garantir duas condies para que a transformada de uma funo exista:

(i) a funao deve ser seccionalmente contnua (contnua por partes) (ii) a funo deve ser de ordem exponencial (limitada por uma exponencial)

1 passo: Calcular a transformada de Laplace da equao diferencial, utilizando

{()} = ()

{()} = () 0

{()} = 2 () 0 1

para expressar {} e {} em funao de ()

2 passo: Substituir os valores de 0 e 1 dados pelas condies iniciais, onde

(0) = 0, e (0) = 1

3 passo: Resolver para ()

Neste passo geralmente camos numa frao de polinmios. Para resolver este problema, utilizamos fraoes parciais de modo a separar a fraao em funes familiares que saibamos a transformada.

4 passo: Encontrar a inversa da transformada, pois sabemos que

1{ () } = ()

Transformadas de Laplace - Funo Degrau e Delta de Dirac

Funo Degrau: A funo degrau unitrio definida e denotada por:

() = {0, < , 01, 0

A transformada de Laplace da funo degrau :

{()} =

, > 0

Utilizamos a funo degrau quando queremos escrever uma funo com "salto" (). Essa funo () pode ser obtida pela translao de uma funo conhecida ().

Podemos escrever usando a funo e a funo degrau

() = () ( ) = {0, < ( ),

Teorema do Deslocamento em t

Se a funo () sofre um deslocamento de unidades ento sua transformada alterada por um fator multiplicativo :

{() ( )} = {()} = ()

Reciprocamente, se () = 1{()}, ento

1{ ()} = () ( )

Teorema do Deslocamento em s

Se multiplicamos a funo () por sua transformada sofre um deslocamento em unidades;

{ ()} = ( )

Reciprocamente, se () = 1{()}, ento

() = 1{( )}

Delta de Dirac: utilizado para definir funes de impulso unitrio e tem as seguintes propriedades:

() 0,

() = 1

0

() () = ()

0

{()} =

Notao: () = 0()