Primórdios da eletricidade

Fenómenos como relâmpagos, faíscas obtidas por fricção (âmbar..), animais com características “eléctricas” desde sempre intrigaram o Homem…

Estas propriedades eram explicadas como sendo devidas a um “fluido” que existia em todos os corpos: poderia estar em excesso ou em defeito (carga +/carga -)

A partir do séc. XVIII associado a uma maior experimentação (Iluminismo) há um salto no desenvolvimento científico, com uma sucessão de descobertas, das quais se podem destacar:

Máquina electrostática;

Condensador (Peter van Musschenbroek de Univ. Leyden)

garrafa de Leyden

Relação entre electricidade (estática) e relâmpagos

(B. Franklin – 1760)

Interacção entre corpos carregados

(Coulomb – 1785)

A partir do séc. XIX a evolução foi ainda mais rápida…

• 1800, Alessandro Volta: invenção da pilha (unidade Volt em sua homenagem). Permitiu a obtenção de correntes contínuas.

Hans C. Ørsted – 1777-1851

Alessandro Volta – 1745-1827

Andrè-Marie Ampère – 1775-1836

• 1820, Hans Oersted: relação entre corrente elétrica e magnetismo. Comportamento do íman nas proximidades de um circuito elétrico.

• Andrè-Marie Ampère: atracção/repulsão de dois fios percorridos por corrente eléctrica.

• 1830, Michael Faraday: indução electromagnética/introdução da noção de campo electromagnético/luz como onda electromagnética??

Em 1850, Maxwell inicia os trabalhos para tentarsistematizar e compilar o que se conhecia sobreelectricidade e magnetismo;

Em 1861 publica “On Faraday’s Lines of Force” onde jáconstam as famosas Eqs. de Maxwell, num formato de20 equações com 20 incógnitas!!

Existência de um “meio molecular” que transportaria oefeito das interacções electromagnéticas (o que hoje étraduzido pelos campos eléctrico e magnético).

Conceito de corrente de deslocamento: explica comocampo eléctrico variável no tempo origina campomagnético.

Trabalhando matematicamente as suas equações,Maxwell chega à conclusão que as perturbaçõeseléctricas e magnéticas se podem propagar emconjunto, originado uma onda electromagnética, que sepropaga à velocidade da luz!

Heinrich Hertz, 1887: realiza diversos trabalhos experimentaisque provam a existência de ondas eletromagnéticas que sepropagam no espaço (vazio), tal como previsto por Faraday eMaxwell.

Durante a década de 1890, vários cientistas propuseram a existência de carga quantizada, electrões, apartir de estudos realizados em tubos de raios catódicos.

Em 1896 J.J. Thomson mede a relação e/m para o electrão, verificando que esta relação não dependedo material do cátodo do tubo de raios catódicos, ou seja é comum a todos os materiais.

Robert Millikan em 1909 determinou a carga do electrão na famosa experiência da “gota de óleo”.

Seguem-se os diferentes modelos atómicos: “pudim de passas” de Thomson, modelo de Rutherford,modelo de Bohr, modelo quântico.

Os conhecimentos de Electromagnetismo permitiram a 2ª Revolução Industrial, resultado da utilização da Electricidade em larga escala.

Invariância das Eqs. de Maxwell ao mudar de referencial, teve um papel muito importante na Teoria da Relatividade.

Incoerência na radiação emitida por um corpo negro, foi o ponto de partida para a Teoria Quântica.

Consequências destas “descobertas”

A interação eletromagnética no quadro das interações fundamentais

importante ao nível de objectos de grandemassa

importante ao nívelda Física Atómica eMolecular

importantes ao nível dos núcleos atómicos

A unificação das interações fundamentais: como? quando?

Gravidadeterrestre

Gravidadeastronómica

Interaçãogravitacional

Eletricidade

Magnetismo

Interaçãoeletromagnética

Interação fraca

Interação forte

Interaçãoeletrofraca Grande interação

unificada-GUT

Teoria de Tudo?

A lei de Coulomb: interação entre duas cargas pontuais

Semelhante à lei de gravitação universal…

Noção de campo elétrico, 𝐸

Quando duas cargas pontuais estão à distância 𝑟 uma da outra, cada uma delas fica sujeita à forçaelétrica:

Mas, e se apenas lá estiver a carga 𝑞?

Podemos assumir que a carga 𝑞 origina um campo elétrico à sua volta, independentemente de láestar presente uma outra carga ou não…

Claro que este campo elétrico só produz efeito se estiver próximo uma carga elétrica, caso em que esta fica sujeita a uma força:

Assim, o campo criado por uma carga pontual tem a expressão:

Ou seja é radial, apontando para “fora da carga”, ou “para a carga”, dependendo da sua carga ser + ou -

Linhas de campo elétrico – uma

representação espacial de 𝐸

E no caso de existirem várias cargas pontuais?

Pelo Princípio da Sobreposição (das forças, logo de 𝐸 também) , teremos:

Soma vetorial!

O que são cargas pontuais??

Caso particular: o dípólo elétrico

Duas cargas pontuais, de cargas simétricas:

Veremos que, neste caso, é mais simples calcular 𝐸, a partir do potencial elétrico, V de que falaremos a seguir!

E se a distribuição de carga for contínua? Um fio elétrico carregado, um pedaço de metal carregado, uma folha de acetato com carga?

• Divide-se distribuição de carga em porções muito pequenas (elementares) e calcula-se o campo devido a cada uma delas:

• Em seguida somam-se (vectorialmente!) as contribuições de todos os elementos:

Distribuições contínuas de carga

Dependendo do caso, o integral pode ser de linha, de superfície ou de volume

𝜌 =𝑑𝑄

𝑑𝑉(𝐶/𝑚3)

𝜎 =𝑑𝑄

𝑑𝑆(𝐶/𝑚2)

𝜆 =𝑑𝑄

𝑑𝑥(𝐶/𝑚)

A lei de Coulomb em distribuições contínuas de carga

✔ sempre possível, mas pode ser trabalhoso …

Lei de Gauss – fluxo de E através de uma superfície

Superfícies abertas

Su

pe

rfíc

ies

fech

ad

as

Fluxo de E originado por uma linha carregada com λ(C/m) através de um cilindro centrado nessa linha

Cálculo do fluxo através da superfíciedo cilindro:

Φ = Φ𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 + Φ𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 0 + Φ𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝐸 =𝜆

2𝜋𝜀0𝑟 𝑒𝑟

= 𝑆

𝐸. 𝑑 𝑆 = 𝑆

𝐸. 𝑑𝑆 =𝜆

2𝜋𝜀0𝑟. 2𝜋𝑟𝐿 =

𝜆𝐿

𝜀0

Φ =𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0Lei de Gauss

Lei de Gauss para cálculo do campo elétrico

✔ A simetria da distribuição de cargas permite esboçar as linhas do campo;

✔ O fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada é proporcional à quantidade de carga que está no interior da superfíciefechada:

Vamos ver alguns exemplos típicos e tirar algumas conclusões importantes!

Linha carregada com a densidade uniforme de carga λ

Simetrias:

• E é radial (⊥ ao eixo)• E depende da distância ao eixo (r)

Escolha de superfície gaussiana:• Cilíndrica/eixo coincide linha

Lei de Gauss:

𝐸 =𝜆

2𝜋𝜀0𝑟 𝑒𝑟

Plano carregado com densidade uniforme de carga σ

Simetrias:

• E é ⊥ ao plano (porquê?)• E depende da distância ao plano (x)

Escolha de superfície gaussiana:• Cilíndrica (p.ex.) com eixo ⊥ ao plano

Lei de Gauss:

Condutores carregados em equilíbrioSup. gaussiana

• Condutor em equilíbrio E=0 no seu interior, porquê?

• Aplicando a lei de Gauss a qualquer superfície no interior do condutor:

=0 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 0

Conclusão:Num condutor, a carga em excesso distribui-se na superfície!

Esfera condutora carregada com carga q

No interior: 𝐸 = 0

No exterior:

Simetria esférica 𝑬 = 𝑬 𝒓 𝒆𝒓

Escolha da sup. Gaussiana: esférica (concêntrica com a esfera) Lei de Gauss:

E(r)𝐸 =

𝑘𝑞

𝑟2 𝑒𝑟

Esfera condutora carregada

𝐸 =𝑘𝑞

𝑟2 𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

𝐸 = 0, 𝑟 < 𝑅

Descontinuidade em E

Esfera isoladora uniformemente carregada com densidade de carga

No interior e exterior:

Simetria esférica 𝑬 = 𝑬 𝒓 𝒆𝒓

Escolha da sup. Gaussiana: esférica (concêntrica com a esfera) Lei de Gauss:

Esfera isoladora carregada ()

𝐸 =𝑘𝑞

𝑟2 𝑒𝑟 𝑟 > 𝑟0

𝐸 =𝜌𝑟

3 𝜀0 𝑒𝑟 , 𝑟 < 𝑟0

𝑟 < 𝑟0: 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝜌.4

3𝜋𝑟3

𝑟 > 𝑟0: 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝜌.4

3𝜋𝑟0

3

Energia potencial elétrica/ Potencial elétrico

Forças elétricas são forças conservativas, ou seja:

𝑊𝐴𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐹𝑒𝑙 ∙ 𝑑 𝑙 = −∆𝐸𝑝 = 𝐸𝑝𝐴 − 𝐸𝑝𝐵

O trabalho realizado por uma força elétrica entre 2 pontos, A e B, só depende das posições inicial e final, não do percurso seguido entre os 2 pontos. Podemos assim associar a cada ponto do espaço um valor de “energia potencial” 𝑬𝒑 𝒓 .

A energia potencial fica sempre definida a menos de uma constante, uma vez que é definida como uma diferença entre 2 valores.

Expressão para 𝑬𝒑 entre duas cargas pontuais:

É habitual considerar-se que para duas cargas infinitamente afastadas 𝑟 → ∞, 𝑬𝒑 = 0:

𝐸𝑝 𝑟 =𝑞𝑄

4𝜋𝜀0𝑟é a expressão de 𝑬𝒑 entre 2 cargas pontuais

𝐴

𝐵

𝐹 ∙ 𝑑 𝑙 = 𝐸𝑝𝐴 − 𝐸𝑝𝐵 = 𝐴

𝐵 1

4𝜋𝜀0

𝑞𝑄

𝑟2 𝑟 ∙ 𝑑 𝑟 =𝑞𝑄

4𝜋𝜀0(1

𝑟𝐴−

1

𝑟𝐵)

Potencial elétrico, V(r)

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐸 ∙ 𝑑 𝑙 = 𝐴

𝐵 1

4𝜋𝜀0

𝑄

𝑟2 𝑟 ∙ 𝑑 𝑟 =𝑄

4𝜋𝜀0

1

𝑟𝐴−

1

𝑟𝐵= −∆𝑉

Se em vez da força elétrica, pensarmos no campo elétrico associado:

O potencial elétrico V, tal como 𝑬𝒑, fica sempre definido a menos de uma constante.

É habitual considerar-se que para pontos distantes da carga, 𝑟 → ∞, 𝑽 = 0:

𝑉 𝑟 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑟é a expressão de 𝑽 devido a uma carga pontual

Como obter 𝐸 a partir de V(r)?

𝑉(𝑟) é uma função contínua, porquê?

𝐸 = −𝜕𝑉

𝜕𝑟 𝑒𝑟

O campo elétrico aponta no sentido da maior variação dos potenciais (gradiente de uma função escalar)

Potencial elétrico, V(r) e campo elétrico 𝑬(𝒓)

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐸 ∙ 𝑑 𝑙

𝐸 = −𝜕𝑉

𝜕𝑟 𝑒𝑟

𝑝 = 𝑄 𝑠

𝑉 𝑃 = 𝑘 𝑄𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟2 = 𝑘 𝑝. 𝑟

𝑟2

O Princípio da Sobreposição aplicável a campos elétricos, aplica-se também ao potencial elétrico, V.

Caso do dipolo elétrico 𝑉 𝑃 = 𝑉+ + 𝑉− = 𝑘𝑄1

𝑟+−

1

𝑟−= 𝑘𝑄(

𝑟− − 𝑟+𝑟−. 𝑟+

) ≅ 𝑘𝑄(𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟2 )

𝐸 𝑟, 𝜃 = −𝜕𝑉

𝜕𝑟 𝑒𝑟 −

1

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃 𝑒𝜃 =

𝑘𝑄𝑠

𝑟3(2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃)

𝐸𝑝 = 𝑞𝑉

Potencial elétrico criado por diversas distribuições de cargas

Carga pontual q

Esfera carregada com a carga Q, num ponto exterior à esfera

Linha infinita com a densidade linear de carga λ

Placa infinita com a densidade superficial de carga σ

Esfera condutora carregada com a carga Q

O campo elétrico é nulo em todos os pontos de um condutor em equilíbrio;

A carga distribui-se na superfície do condutor;

O condutor é uma região de potencial constante.

Condensadores e dielétricos

★ Condensador: sistema de dois condutores que armazena carga; para carregar o condensador é necessário fornecer energia às cargas; o condensador é um reservatório de energia.

★ Capacidade de um condensador:

★ A capacidade de um condensador depende da geometria e das dimensões do condensador e do material que existe entre os condutores (material isolador ou dielétrico).

★ Quanto maior for a permitividade relativa do dielétrico, 𝜀𝑟 , maior é a capacidade do condensador.

★ A energia armazenada num condensador: 𝑊 =1

2𝐶𝑉2