Módulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. Método do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Exemplos. O Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.), para os corpos sólidos deformáveis (no nosso caso, estruturas), pode ser escrito:

* *

e iW = W

*We é o trabalho virtual externo, e *

iW é o trabalho virtual interno.

Recordamos que o trabalho W é o resultado do produto de esforço por deslocamento. O trabalho virtual externo é produzido pelos esforços externos aplicados à estrutura quando nela consideramos deslocamentos virtuais de suas seções (esforço externo da estrutura na seção x deslocamento virtual atribuído à seção). Esses deslocamentos virtuais, atribuídos às seções da estrutura, devem ser pequenos, respeitar a continuidade da estrutura e as restrições de deslocamentos impostas por seus apoios. O trabalho virtual interno é produto da multiplicação dos esforços internos da estrutura pelas deformações virtuais, onde estas deformações virtuais são aquelas que correspondem aos deslocamentos virtuais das seções. Nosso interesse no Princípio dos Trabalhos Virtuais é determinar um deslocamento de uma dada seção de uma estrutura, quando esta estrutura é submetida a um carregamento (neste curso, carregamento é conjunto de esforços externos aplicados à estrutura) ao qual chamamos caso real de carregamento, sendo os esforços internos solicitantes na estrutura nesse caso real de carregamento indicados por N, M, T.

O esforço externo a ser condiderado no cálculo do trabalho virtual externo *

eW é um esforço unitário

adimensional, aplicado como único esforço de carregamento da estrutura (caso barra de carregamento), na seção em que se quer o deslocamento e na direção em que se pede determiná-lo. Os esforços internos de força normal, momento fletor e torção usados no cálculo do trabalho virtual

interno *

iW , indicados por N, M, T , são os esforços internos da estrutura para esse carregamento

de esforço unitário isolado (esforços internos solicitantes da estrutura no caso barra de carregamento = carregamento de força unitária).

Os deslocamentos virtuais no cáculo do trabalho virtual externo *

eW , e as deformações virtuais no

cáculo do trabalho virtual interno *

iW , para esta estrutura com carregamento de esforço unitário

isolado (caso barra de carregamento), são os deslocamentos e deformações da estrutura na situação de carregamento para a qual queremos determinar o deslocamento (caso real de carregamento, esforços internos solicitantes N, M, T).

Da expressão do P.T.V., * *

e iW = W , resulta que o deslocamento que se deseja obter para a seção

da estrutura, no caso real de carregamento, deslocamento este indicado por “u”, é dado por:

t

NN MM TTu = dx + dx+ dx

EA EI GI

O cálculo das integrais é feito para cada trecho de diagrama em separado, ao longo da estrutura, somando-se os resultados para os trechos. Pode-se utilizar, nesse cálculo da integral em um trecho, o seguinte resultado, atribuído a Vereschagin, que fornece o resultado da integral do produto de duas funções, onde a segunda função é uma função do primeiro grau em x ou uma função constante: Integral do produto de duas funções em um trecho (intervalo) = área, no trecho, do gráfico (diagrama) da primeira função, multiplicado pelo valor da segunda função na posição do C.G. do gráfico (no trecho) da primeira função.

Valor B 2 Valor = B

2 L 3L

3

Vamos integrar, utilizando Vereschagin, o produto das funções de momento fletor M e M para um mesmo trecho da estrutura, M sendo a função de momento fletor correspondente à estrutura sujeita

ao seu carregamento (caso real de carregamento) e M a função no trecho para a estrutura sujeita ao carregamento isolado de esforço unitário adimensional (caso barra de carregamento). Seja, por exemplo, a função de momento fletor M uma função de primeiro grau em x (reta inclinada), onde o eixo x é o eixo da barra, com seus valores variando de a = 0 no início do trecho até um valor igual a “b” no final do trecho.

A função de momento fletor M , por sua vez, é a função do primeiro grau em x que varia de um valor A = 0 no início do trecho até um valor “B” no final do trecho, como se vê na integral abaixo representada: Para obtermos o valor da integral, começamos determinando a área do gráfico da primeira função, de momento fletor M, que é a área do triângulo de base igual a L e altura igual a b. Isso feito, localizamos o C.G. (centro de gravidade) da função de M. Correspondendo o gráfico de M a um triângulo retângulo, o seu C.G. está a uma distância igual a um terço da base L do lado de comprimento “b” do triângulo, que é a sua altura. Transferimos, então, a posição do C.G. da função

de M, assim determinada, para o gráfico da função de M .

O valor da função de M na posição correspondente ao C.G. da função de M, que indicaremos por “Valor”, pode ser determinado a partir da semelhança do triângulo hachurado acima com o triângulo

maior, correspondente ao gráfico da função de M . Assim, a altura do triângulo hachurado, igual a “Valor”, está para a base do triângulo hachurado,

igual a dois terços de L, assim como a altura “B” do triângulo maior (gráfico da função de M no trecho) está para a sua base, igual a L. Finalmente, temos:

Trecho

L.b 2M.M dx = Área x Valor = L

2 3

L L

b B a = 0 A = 0 x

M M

dx

Trecho

dx = Área . Valor

Valor L

C. G.

1L

3

b a = 0

x

L.bÁrea =

2

M

Trecho

L

B

1L

3

2L

3

M

A = 0

transferimos

De forma análoga, obtemos as integrais para os produtos de funções a seguir:

Função de M com valor inicial a = 0 e valor final “b”, função de M com valor inicial “A” e valor final B = 0:

Função de M com valor inicial a = 0 e valor final “b”, função de M constante, com valor inicial “A” igual ao valor final “B”:

Função de M constante com valor inicial “a” igual ao valor final “b”, função de M com valor inicial A = 0 e valor final “B”:

L

C. G.

1L

2

L

b B a A = 0 x

Área = L.a

M

transferimos

M

Valor

dx

Trecho

1L

2

1L

2

Valor B 1 Valor = B

1 L 2L

2

1 L.a B

2

L

C. G.

1L

3

L

b B a = 0

A

x

1L

3L.b

Área = 2

M

transferimos

M

dx

Trecho Valor = A = B

L.b A

2

Valor

L

C. G.

1L

3

L

b

B = 0

a = 0 A

x

1L

3

2L

3L.b

Área = 2

M

transferimos

M

Valor

dx

TrechoValor A 2

Valor = A1 L 3

L3

L.b 2 A

2 3

Função de M constante com valor inicial “a” igual ao valor final “b”, função de M com valor inicial “A” e valor final B = 0:

Função de M constante com valor inicial “a” igual ao valor final “b”, função de M constante, com valor inicial “A” igual ao valor final “B”: Outros exemplos de integração:

L

C. G.

1L

3

L b = 0

B A

A

x

1L

3

2L

3L.a

Área = 2M

transferimos

M

Valor

Trecho Valor A 2 Valor = A

2 L 3L

3

dx L.a 2

A2 3

L

C. G.

1L

2

L

b

B = 0

a

A

x

Área = L.a

M

transferimos

M

Valor

dx

Trecho

1L

2

1L

2

Valor A 1 Valor = A

1 L 2L

2

1 L.a A

2

C. G.

L

1L

2

b a

Área = L.a

M

transferimos

Trecho

1L

2

L

B A x

M

Valor

dx

Valor = A = B

L.a A

dx = A B L 2

a.L b a A B A2 2 3

Obs. Vimos, acima, casos em que as funções M e M estão do mesmo lado da barra. Caso as

funções tejam em lados opostos da barra, por exemplo, M tracionando em cima da barra e M

tarcionando embaixo, estas funções deverão ter sinais opostos. Por exemplo, M será positivo e M negativo, de onde “Valor” será negativo. A integração de Vereschagin permite, também, determinar expressões para o cálculo das integrais nos trechos, que são uma alternativa na resolução dos exercícios:

a b

A B

x L L

L

C. G.

1L

3

L b = 0

B a

A = B

x

1L

3

2L

3L.a

Área = 2M

transferimos

M

Trecho

dx L.a

A2

B

Valor = A = B

(área da parábola)

dx

a

Trecho

L

C. G.

1L

3

L b = 0

B

A = 0 x

1L

3

2L

3L.a

Área = 2M

transferimos

M

Valor B 1 Valor = B

1 L 3L

3

dx L.a 1

B2 3

B

Valor

Exercícios resolvidos

1 - Determinar o deslocamento angular da seção transversal da extremidade livre da barra prismática. EI = constante Solução Determinamos as reações de apoio e o diagrama de momento fletor M para a estrutura, como vimos no curso de EE - Estática nas Estruturas. Observamos que a força normal N e a torção T são nulas nesta estrutura, assim como será nas demais estruturas deste módulo 4 e do módulo 5. Embora tenhamos força cortante V na estrutura, que produz deslocamento, o seu efeito sempre pode ser desprezado. Portanto, a expressão do deslocamento se reduz a:

M.Mu = dx

EI

Sendo o produto EI constante na barrra:

M.MdxM.M 1

u = dx = M.Mdx = EI EI EI

B

4 tf

A

2m 3m 2m

M (tf.m)

8

12

VA = 8 tf VB = 4 tf

HB = 0

MB = 12 tf.m

B

4 tf

A

2m 3m 2m

1

AV = 0,5 m

M (adimensional)

1

BV = 0,5 m

BM = 1,5

Caso barra de carregamento e momento fletor M : Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, ser aplicado sozinho na estrutura: - Queremos o deslocamento da extremidade livre (extremidade sem ligação a apoio ou barra) aplicamos o esforço unitário na extremidade livre. - Queremos o deslocamento angular da seção o esforço unitário a ser aplicado na extremidade livre é um momento unitário.

Novamente, as reações A B BV , V e M , e os momentos fletores M , foram obtidos da maneira que

vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitário aplicado à estrutura um momento adimensional, os

momentos fletores M são adimensionais, e também o momento de reação na seção B, BM .

Para que os produtos das reações na barra pelos braços de alavanca, que estão expressos em metros, resultem momentos adimensionais, a unidade das reações deve ser m-1.

Cálculo de M.Mdx :

1

B

1

A

2m 3m 2m

1

1,5

HB = 0

1

x

1L

3

2L

3

Valor

M

Valor 1 2 Valor = 1

2 L 3L

3

+

L = 2 m

C. G.

1L

3

M

transferimos

2.8Área =

2

L = 2 m L = 2 m

C. G.

1L

3

8 1 1

x

1L

3

M

transferimos

L = 2 m Valor

2.8Área =

2

M

Valor = 1

+

8

Observamos que, no cálculo das áreas multiplicamos momentos M em quilonewtons vezes metro (kN.m) por comprimentos em metros. Então, a unidade destas áreas é kN.m². Multiplicamos as áreas por “Valor” que, neste exemplo é adimensional. Portanto, a unidade dos resultados das integrais é kN.m². Finalmente, temos o deslocamento angular procurado:

M.Mdx31,33

u = rd (radianos)EI EI

, com sentido anti-horário.

Notar que, na expressão acima, ao substituirmos o valor do módulo E para efetuar o cálculo, este deve ser expresso em kN/m² e o momento de inércia I em m4, uma vez que utilizamos KN e metro como unidades na determinação do valor da integral. Observamos ainda que, como o resultado final obtido tem sinal positivo, o sentido do deslocamento é o mesmo que foi adotado para o esforço unitário adimensional: anti-horário.

+

Valor 1,5 2 Valor = 1,5

2 L 3L

3

1,5

1L

3

2L

3

Valor

L = 3 m

C. G.

1L

3

12 x

3.12Área =

2

M

transferimos

M

L = 3 m

=

=

1º trecho 2º trecho 3º trecho

2

Valor

ValorÁrea Área Área Valor

2.8 2.8 2 3.12 21 1 1,5 = 31,33 kN.m

2 2 3 2 3

2 - Determinar o deslocamento vertical da seção da extremidade livre da barra prismática. EI = constante Solução Determinamos reações de apoio e diagrama de momento fletor M conforme vimos no curso de EE. Deslocamento “u”

Sendo o produto EI constante na barrra, a expressão do deslocamento será:

M.MdxM.M 1

u = dx = M.Mdx = EI EI EI

Caso barra de carregamento e momento fletor M : Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, ser aplicado sozinho na estrutura: - Queremos o deslocamento da extremidade livre (extremidade sem ligação a apoio ou barra) aplicamos o esforço unitário na extremidade livre. - Queremos a translação vertical da seção o esforço unitário a ser aplicado na extremidade é uma força unitária vertical.

B

2 tf/m

A

2m 3m

9 tf.m 2 tf.m

VA = 1 tf VB = 3 tf

HB = 0

M (tf.m)

4

5

2

B

2 tf/m

A

2m 3m

9 tf.m 2 tf.m

Novamente, as reações A B BV , V e H , e os momentos fletores M , foram obtidos da maneira que

vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitário aplicado à estrutura uma força adimensional, as forças

de reação também serão adimensionais, e os momentos fletores M terão metro como unidade, pois serão o resultado do produto de forças adimensionais por braços de alavanca em metros (adimensional x metro = metro).

Cálculo de M.Mdx :

M (m)

B

1

A

2m 3m

2

AV = 0,6667 BV = 1,667

BH = 0

x + x M

L = 3 m

L = 3 m

MM

M

L = 2 m L = 2 m

=

2

3

2

5

2 2

4

4

=

+

=

+

=

transferimos

C. G.

1L

2

2 x

Área = 3.2

M

L = 3 m

Valor -2

2 LL

3

2 Valor = (-2)

3

Valor

M

1L

2

1L

2

L = 3 m

2

+

L = 3 m

C. G.

1L

3

3

3.3Área =

2

M M

2L

3

L = 3 m

1L

3

x

Valor

+

Valor -2

1 LL

2

1Valor = (-2)

2

2

transferimos

2º Trecho1º Trecho

33

Área

ValorÁrea ÁreaValor FórmulaValor

1 3.3 2 2.4 2 2.2 2+0 3.2 . (-2) + (-2) + 2 - = - 8 tf.m

2 2 3 2 3 12 2

Importante: Nas expressões acima, “Valor” é negativo quando os momentos M e M estão em

lados diferentes da barra, por exemplo, M embaixo (tracionando o lado de baixo da barra) e M em cima (tracionando o lado de cima da barra). O deslocamento pedido é, portanto:

M.Mdx-8

u = = mEI EI

O fato do deslocamento ter resultado negativo quer dizer que o sentido do deslocamento é contrário ao sentido adotado para o esforço unitário no caso barra de carregamento. Portanto, o delocamento é:

2 4

8u = m ( ), para cima, sendo que o módulo de elasticidade E deve ser expresso em

EI

tonelada-força por metro quadrado (tf/m ) e o momento de inércia I em metros à quarta (m ).

+

C. G.

1L

3

M

transferimos

2.4Área =

22

x

1L

3

2L

3

Valor

M

Valor 2 2 Valor = 2

2 L 3L

3

+

L = 2 m L = 2 m

4

x

L = 2 m

L = 2 m

A = 2

B = 0

q = 2 tf/m

=

3

Trecho

q.L A+BM.M dx = - (fórmula)

12 2

Exercícios propostos 3 - Determinar o deslocamento vertical do apoio B da barra prismática. EI = constante

Resposta: 160

u mEI

para baixo, com E em kN/m², I em m4

4 - Determinar o deslocamento vertical da extremidade livre da estrutura. EI = constante

Resposta: 320

u mEI

para baixo, com E em kN/m², I em m4

5 - Determinar o deslocamento angular da seção transversal do apoio B. EI = constante

Resposta: 10

u rdEI

no sentido anti-horário, E em kN/m², I em m4

4m

A

20 kN.m

B

2m

10 kN

2m

A B

A 4m

10 kN/m

6 - Determinar a deflexão angular da seção transversal do apoio móvel da barra prismática. EI = constante

Resposta: 6

u rdEI

no sentido anti-horário, E em tf/m², I em m4

7 - Determinar o deslocamento vertical da articulação da estrutura.

EI = constante

Resposta: 90

u mEI

para baixo, E em kN/m², I em m4

8 - Determinar o deslocamento vertical da seção da extremidade livre da barra prismática. EI = constante

Resposta: 11,5

u mEI

para baixo, E em tf/m², I em m4

2m 3m

20 kN.m

A B C

4 tf.m

B

4 tf

A

2m 3m

B

2 tf/m

A

2m 3m

4 tf.m