PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II

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Modulação em Largura de Pulso - PWM

O sistema PWM consiste em variar a largura do pulso da portadora, proporcionalmente ao sinal

modulante, mantendo constantes a amplitude e o intervalo de tempo a que os pulsos se repetem.

Podemos classifica o PWM como:

- PWM simétrico, quando temos variações em ambos os bordos do pulso.

- PWM assimétrico, quando temos variações em apenas um bordo de cada vez.

A figura abaixo mostra as formas de onda do PWM.

A largura instantânea do pulso é uma função do sinal modulante dada por:

)()( teKt mo ×+= ττ onde τ(t) é a largura instantânea do pulso;

K é a constante do circuito modulador, capaz de converter as

variações de tensão de em(t) em variações da largura de τ(t).

K= s/v (segundos por Volt)

Se utilizarmos um sinal modulante cossenoidal, com uma expressão do tipo:

tEte mmm ωcos)( ×=

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Então teremos o seguinte desenvolvimento:

tEKt mmo ωττ cos)( ××+=

×

×+×= t

EKt m

o

mo ω

τττ cos1)(

Definimos o índice de modulação PWM:

o

mEKm

τ×

= onde 0 ≤ m ≤ 1

O formato ideal para a portadora trem-de-pulsos que vai ser modulada em PWM é com ciclo de

trabalho de 50%, ou seja, um trem-de-pulsos simétrico. Conforme demostrado pela equações abaixo:

tEKt mmo ωττ cos)( ××+=

Quando cosωmt = 1 τ(t) = τmáx

momáx EK.+=ττ

Quando cosωmt = -1 τ(t) = τmín

momín EK .−= ττ

Se considerarmos a máxima largura do pulso modulado coincidente com o período e a mínima largura

sendo nula, teremos:

momáx EK.+=ττ Resolvendo as duas equações, temos

momín EK .−= ττ 2o

o

T=τ

Um trem-de-pulsos desenvolvida em Série de Fourier, sendo descrito como:

tnT

nn

ET

Ete o

o

o

n

o

o

ooo ω

πτπ

τcos.sen.

12.)(

1∑

∞

=

+=

No caso do sinal modulado PWM, ao invés de τo, temos τ(t) na expressão final.

Então:

tntTnm

Tn

nE

tTEm

TE

te

tntmT

nn

Etm

TE

te

tnT

tnn

ET

tEte

omo

o

o

o

n

om

o

oo

o

oo

omo

o

n

om

o

oo

oon

o

o

o

ωωπτπτπ

ωττ

ωωπτπ

ωτ

ωπτπ

cos.cos.

sen.12

cos...

)(

cos).cos1.(sen.12

)cos1.(.

)(

cos.)(

sen.12).(

)(

1

1

1

+++=

+++=

+=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

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Sendo que podemos definir os seguintes termos:

1. o

oo

TE τ.

valor constante, independente do tempo, é o valor médio do sinal modulado e(t).

2. tTEm

mo

oo ωτ

cos..

raia correspondente ao sinal modulante, pois está situada na velocidade wm.

3. 2

1

.. .sen

. . . . .. cos . cos

E nT

n mT

t n to o

o

o

om o

nππ τ π τ

ω ω+

=

∞

∑ que é a função de Bessel, e que desenvolve

numa somátoria de cossenóides de velocidades angulares múltiplas de wm. Como essa parcela está

multiplicada por cosn toω , teremos para cada valor n, um espectro semlhante ao do sinal modulado

em FM, centrado em um harmônico da portadora.

Na figura abaixo mostramos o espectro de amplitudes do sinal modulado PWM

Largura de Faixa Ocupada pelo Sinal Modulado

A largura de faixa de um trem-de- pulsos é dada por:

B = 1τ

No caso de um sinal PWM, temos τ τ= ( )t e, para determinarmos a maior largura de faixa

ocupada pelo sinal modulado PWM, consideremos τ τ( )t min= . Assim:

τ τmin o m= −( )1 e Bmo

==

11τ ( )

com m < 1

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Cicuitos Moduladores PWM

O principio básico para um modulador PWM é fazer com que uma variação de amplitude se

converta, de forma linear, em variação do espaço de tempo transcorridos entre dois eventos. Utilizando a

soma do sinal modulante com uma rampa, simétrica ou assimétrica, obtida a partir da portadora é possível

fazer essa modulação. Ver figura:

O circuito R2, C2 é um integrador que transforma a portadora em uma onda triangular que

acoplada por C3 e R3, soma-se ao sinal modulante (R1, C1) através do operacional A1. O divisor

resistivo formado por R6, R7 e P1 ajusta o nível DC da tensão de saída do somador, para torná-la

compatível com a tensão de disparo do Schmitt-Trigger.

O nível de disparo do Schmitt- Trigger é constante e dado pelos próprios componentes do circuito

e ao variarmos a posição do cursor P1 alteramos a profundidade de modulação dada a portadora. Podemos

deduzir que se fixados τo e EM, o potenciômetro P1 altera o índice de modulação, sendo responsável pelo

“K” do circuito. Na figura mostramos a analise do sinal em cada ponto do circuito.

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Na figura abaixo mostramos uma alternativa de modulador PWM assimétrico de bordo esquerdo e

um integrador para gerar PWM de bordo direito com seus respectivos sinais. Em ambos os integradores, o

resistor R13 é muito menor que R2, de maneira que a carga do capacitor seja lenta, feita somente por r2, e

a descarga é rápida, feita por R13 em paralelo com R2. O comportamento do segundo circuito é o inverso

do primeiro.

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Outro modo de geração do sinal PWM é através do CI 555 ou 556, conforme figura abaixo. A

portadora gerada internamente por esse modulador é um trem-de-pulsos com freqüência dada por:

1).2.21(44,1

CRRfo +

= e ciclo de trabalho 2.21

2RR

Rct

+=

Demodulação do Sinal PWM

A demodulação do sinal PWM pode ser feita por dois processos:

1.Utilizando um circuito detetor de envoltória com um filtro passa-baixas. O inconveniente deste

processo é que há uma inevitável interferência das bandas laterais relativas a fo, causando uma distorção

que só poderia ser eliminada se aumentássemos muito fo. Ocorre que esse aumento exigiria uma largura

de faixa muito maior que aquela calculada, tornando o sistema inviável em função da largura de faixa

ocupada.

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Então, a ser o aumento de fo até o ponto em que isso provoque uma distorção tolerável no sinal

recuperado, mantendo a largura da faixa originalmente determinada.

Tomando por base os valores de Bessel, podemos chegar a um conjunto de equações que definem

a freqüência mínima de portadora, em função do índice de modulação e da freqüência do sinal modulante,

tendo como parâmetro a distorção. Essas expressões, giraram em torno do intervalo 0 < m < 1.

Distorção de 1%:

fo ≥ fm . (3,5 + 2,5 . m)

Distorção de 2%:

fo ≥ fm . (2,9 + 2,2 . m)

Distorção de 5%:

fo ≥ fm . (2,2 + 2 . m)

Distorção de 10%:

fo ≥ fm . (2 + m)

Essas expressões levam em conta que o ciclo de trabalho da portadora é de 50%. Outros valores

do ciclo de trabalho provocam variações no termo que está multiplicando o índice de modulação.

Na modulação PWM, a observância restrita do Teorema da Amostragem (ou seja: fo = 2. fm)

provocará uma distorção no sinal recuperado seguramente maior que 10%.

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2.O outro processo é chamado de “Demodulação Indireta” e consiste em converter o sinal PWM

em PAM, fazendo posteriormente uma amostragem com retenção e uma filtragem passa-baixas, para

recuperar a informação. A figura abaixo mostra um diagrama de blocos básicos para este demodulador.

A figura abaixo mostra as formas de onda relacionadas aos pontos numerados no diagrama de

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blocos do demodulador.

Convém observar que a melhor opção do tipo de PWM a usar para esta demodulação é o

assimétrico de bordo direito, pois todos os instantes de sincronismo são obtidos em relação ao bordo de

subida do pulso modulado PWM. Outro detalhe é relativo às formas de onda nos pontos 6 e 7, que

supõem o circuito já em funcionamento, pois se este tivesse sido ligado em condições iniciais nulas, no

instante do início do gráfico, a forma de onda deveria iniciar em zero.