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Modelagem de Sistemas de Controle por Espaco de
Estados
A modelagem por espaco de estados possui diversas vantagens.
• Introduz a teoria conhecida como“Controle Moderno”;
• Adequada para sistemas de multiplas entradas e multiplas saıdas (MIMO);
• Possibilita o projeto de controladores usando tecnicas avancadas.
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Modelagem de Sistemas de Controle por Espaco de
Estados
Algumas definicoes:
• Estado: O estado de um sistema dinamico e o menor conjunto devariaveis (chamadas variaveis de estado) tal que o conhecimento destasvariaveis para t = t0 ,juntamente com a entrada para t ≥ t0, determinacompletamente o comportamento do sistema para qualquer instantet ≥ t0.
• Variaveis de estado: As variaveis de estado de um sistema dinamico saoo menor conjunto de variaveis que determinam o estado do sistemadinamico. Se pelo menos n variaveis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sao necessariaspara descrever completamente o comportamento de um sistema dinamico(tal que uma vez dada a entrada para t ≥ t0 e o estado inicial em t = t0, oestado futuro do sistema esta completamente determinado), entao as taisn variaveis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sao um conjunto de variaveis de estado.
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Modelagem de Sistemas de Controle por Espaco de
Estados
• Se n variaveis de estado sao necessarias para descrever completamente ocomportamento de um sistema, entao estas n variaveis de estado podemser consideradas como as n componentes de um vetor x(t). Tal vetor echamado de vetor de estados.
• O espaco n dimensional cujo eixos de coordenadas sao x1, x2, . . . , xn, echamado espaco de estados. Qualquer estado pode ser representado porum ponto no espaco de estados.
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Modelagem de Sistemas de Controle por Espaco de
Estados
Trabalhamos nesse curso com o sistema linear na forma
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1)
y(t) = Cx(t) +Du(t), (2)
onde A e chamada de matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz desaıda e D matriz de transicao direta. Uma representacao do diagrama deblocos deste sistema de equacoes lineares pode ser representado em diagramade blocos, como mostrado na Figura 1.
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Figura: Diagrama de blocos de um sistema linear de tempo contınuo representadono espaco de estados.
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Exemplo
Representar circuito RLC na forma
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
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Relembrando a lei da tensoes de Kirchhoff:
Ldi(t)
dt+ Ri(t) + eo(t) = ei (t) e
Cdeo(t)
dt= i(t)
Denomine x1(t) = i(t) [corrente no Indutor], x2(t) = eo(t) [tensao noCapacitor], u(t) = ei (t) [entrada de tensao] para escrever as duas equacoes:
Lx1(t) + Rx1(t) + x2(t) = u(t) Cx2(t) = x1(t)
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Podemos reescrever as duas equacoes anteriores de modo equivalente a:
[x1(t)x2(t)
]
=
[−RL
−1L
0 1C
] [x1(t)x2(t)
]
+
[1L
0
]
u(t) (3)
Se consideramos eo(t) a saıda, entao
y(t) = [0 1]
[x1(t)x2(t)
]
.
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Circuitos RLC
Para um circuito eletrico RLC, pode-se empregar o seguinte procedimentopara obtencao da representacao em espaco de estados:
1. Escolha cada tensao independente de capacitores e toda correnteindependente de indutor como variaveis de estado;
2. Encontre um conjunto de correntes de malha e expresse as variaveis deestado e suas respectivas derivadas primeiras em termos das correntes demalha;
3. Escreva as equacoes de malha e elimine todas as variaveis, exceto as deestado e suas primeiras derivadas, das equacoes encontradas nos passosanteriores.
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Circuitos RLC
Exemplo
Obtenha uma representacao em espaco de estados para o circuito da Figuraabaixo.
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Passo 1: Ha um capacitor e um indutor no circuito. Assim a corrente x1 noindutor e a tensao x2 no capacitor serao escolhidas como variaveis de estado.Passo 2: A relacao entre as correntes de malha e as variaveis de estado saodadas por:
x1 = i2 (4)
1
2x2 = i2 − i3 (5)
Passo 3: As equacoes de malha sao:
4i1 − 2i2 = v (6)
2 (i2 − i1) + x1 + x2 = 0 (7)
−x2 + 3i3 = 0 (8)
Eliminando i1, i2 e i3 das equacoes anteriores, segue que:
x1 = 2 (−i2 + i1)− x2 = −x1 +1
2v − x2, (9)
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E
x2 = 2x1 −2
3x2. (10)
Portanto,
[x1x2
]
︸ ︷︷ ︸
x
=
[−1 −12 −2/3
]
︸ ︷︷ ︸
A
[x1x2
]
︸ ︷︷ ︸
x
+
[1/20
]
︸ ︷︷ ︸
B
v . (11)
Considere que a saıda seja a tensao no resistor de 2Ω da malha mais a direita,ou seja,
y = 2i3 =2
3x2, (12)
ou seja,
y =[0 2/3
]
︸ ︷︷ ︸
C
[x1x2
]
︸ ︷︷ ︸
x
+ 0︸︷︷︸
D
v . (13)
Vale lembrar que a forma de representacao em espaco de estados nao e unica.12 of 42
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Representacao em Espaco de Estados de Sistemas de
EDO Lineares com derivadas na entrada
Considere um sistema dinamico descrito pela equacao diferencial
(n)y +a1
(n−1)y + · · · an−1y + any = b0
(n)u +b1
(n−1)u + · · ·+ bn−1u + bnu, (14)
ou, equivalentemente, pela funcao de transferencia
T (s) =Y (s)
U(s)=
b0sn + b1s
n−1 + · · ·+ bn−1s + bn
sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an(15)
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Uma das possıveis representacoes em espaco de estados que pode ser obtida,neste caso, consiste em definir as n variaveis de estado da seguinte forma:
x1 = y − β0u
x2 = x1 − β1u
x3 = x2 − β2u...
xn = xn−1 − βn−1u
onde,β0 = b0
β1 = b1 − a1b0β2 = b2 − a1β1 − a2b0
...βn = bn − a1βn−1 − · · · − an−1β1 − anb0
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Com tal escolha, pode-se mostrar que:
x1 = x2 + β1u
x2 = x3 + β2u...
xn−1 = xn + βn−1u
xn = −anx1 − an−1x2 − · · · − a1xn + βnu
Em termos de vetor e matriz, tem-se:
x1x2...
xn−1
xn
︸ ︷︷ ︸
x
=
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...
......
......
0 0 0 · · · 1−an −an−1 −an−2 · · · −a1
︸ ︷︷ ︸
A
·
x1x2...
xn−1
xn
︸ ︷︷ ︸
x
+
β1
β2
...βn−1
βn
︸ ︷︷ ︸
B
u
(16)
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y =[1 0 . . . 0
]
x1x2...xn
+ β0u (17)
Em seguida serao vistas algumas outras formas de representacao da Equacao(14) no espaco de estados.
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Sistemas lineares
No espaco de estados, e possivel determinar G(s) = Y (s)U(s) . Note que
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (18)
y(t) = Cx(t) + Du(t) (19)
Aplicando a transformada de Laplace na equacao anterior e considerandocondicoes iniciais nulas, tem-se que
sX (s) = AX (s) + BU(s) (20)
Y (s) = CX (s) + DU(s) (21)
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Da primeira equacao, tem-se que
(sI− A)X (s) = BU(s) ⇒ X (s) = (sI − A)−1BU(s) (22)
Substituindo X (s) na segunda equacao, tem-se que
Y (s) =[C(sI− A)−1B+ D
]U(s) (23)
Portanto,Y (s)
U(s)= C(sI− A)−1B+ D = G(s) (24)
Como o termo (sI − A)−1 aparece na expressao de G(s), verifica-se que
G(s) =Q(s)
det (sI− A), (25)
onde Q(s) e um polinomio em s e det(·) e o determinante de uma matriz.Note que os polos de G(s) sao os autovalores de matriz A.
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Solucao de Equacoes de Estado Homogeneas
A solucao de uma equacao diferencial homogenea do tipo
x(t) = ax(t), (26)
e dada por
x(t) = eatx(0) (27)
Analogamente para uma equacao de estado homogenea do tipo
x(t) = Ax(t), (28)
tem-se a seguinte solucao:
x(t) = eAtx(0) (29)
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O termo eAt e chamado de matriz exponencial. Pode-se mostrar que
eAt =
∞∑
k=0
Aktk
k!(30)
Algumas propriedades:
•ddteAt = AeAt;
• eAte−At = eA(t−t) = I;• e(A+B)t = eAteBt, se AB = BA;• e(A+B)t 6= eAteBt, se AB 6= BA;• eA(t+τ ) = eAteAτ .
A solucao da equacao de estados homogenea tambem pode ser feitautilizando a transformada de Laplace. Aplicando-se a transformada naequacao x = Ax , verifica-se que
sX(s)− x(0) = AX(s) ⇒ (sI− A)X(s) = x(0) (31)
Portanto,
X(s) = (sI − A)−1
x(0) (32)20 of 42
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Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se:
x(t) = L−1
[
(sI− A)−1
]
x(0) (33)
Portanto, tem-se que:
L−1
[
(sI− A)−1]
= eAt (34)
Exemplo
Considere o sistema linear[x1(t)x2(t)
]
=
[0 −11 −2
] [x1(t)x2(t)
]
com condicoes iniciais x0 = [1 1]′. Determine x(t).
Solucao:
Precisamos determinar eAt para usar a expressao x(t) = eAtx0 .
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Note que
(sI − A)−1 =
[s 1−1 s + 2
]−1
=1
(s + 1)2
[s + 2 −11 s
]
Aplicando tecnica de expansao por fracoes parciais chega-se a:
1
(s + 1)2
[s + 2 −11 s
]
⇒ exp(At) =
[(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)
t exp(−t) (1− t) exp(−t)
]
Entao[x1(t)x2(t)
]
=
[(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)
t exp(−t) (1− t) exp(−t)
] [11
]
=
[exp(−t)exp(−t)
]
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Solucao do Sistema Linear
Considere o sistema linear
x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0.
Dada a condicao inicial x(0) e a entrada u(t) para todo o instante de tempot ≥ 0, a solucao do sistema e:
x(t) = eAtx(0) +
∫ t
0
eA(t−τ )Bu(τ)dτ
Homework:Considere o sistema linear
[x1(t)x2(t)
]
=
[0 −11 −2
] [x1(t)x2(t)
]
+
[10
]
u(t)
com condicoes x0 = [1 1]′ e u(t) = 1, ∀t ≥ 0. Determine x(t).23 of 42
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Realimentacao completa de estados
Considere o sistema a controlar representado no espaco de estados por:
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (35)
Supondo a existencia de sensores ou medidores de todas as variaveis deestado em x(t) = [x1(t), . . . , xn(t)]
′, podemos entao usar elementosx1(t), . . . , xn(t) para implementar a realimentacao de estados.
• A saıda y(t) = Cx(t) pode ser reescrita com C igual a matriz identidade.Isso significa que y(t) = x(t).
• Se cada uma das variaveis de estado xi (t) for empregada no controleatraves de um ganho ki , havera n ganhos ki , representados pelo vetorK = [k1 · · · kn] que podem ser ajustados para produzir os valores desejadosdos polos de malha fechada atraves da formula
u(t) = Kx(t) + r(t),
no qual r(t) representa a entrada de referencia (pode ser degrau, rampa,senoide, ou outra entrada qualquer).
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Com a realimentacao estados, tem-se que:
x = Ax+ B (Kx+ r) = (A+ BK) x+ Br (36)
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• No problema de rastreamento consideramos r(t) 6= 0 qualquer (degrau,rampa, etc).
• No problema de regulacao consideramos r(t) = 0 (sempre nulo).
Vamos supor que desejamos trabalhar a regulacao. Disto a equacaocaracterıstica do sistema descrito em (36) e dada por
det (sI− [A+ BK]) (37)
Suponha que desejamos alocar os polos da malha fechada em p1, . . . , pn.Entao
pc(s) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) , (38)
e por isso o vetor K pode ser obtido como
det (sI− [A+ BK]) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) (39)
Se o sistema dinamico x(t) = Ax(t) + Bu(t) e controlavel, entao sempreexiste K = [k1 k2 · · · kn], tal que
det (sI− [A+ BK]) = pc(s)
para qualquer polinomio pc(s) de grau n especificado.26 of 42
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Controlabilidade
• Conceito importante: Controlabilidade.
• Dizemos que um sistema linear x(t) = Ax(t) + Bu(t) e controlavel se amatriz
C =[B AB A2B · · · An−1B
]
possui rank(C)=n. Isso significa que todas as linhas de C obrigatoriamentedevem ser linearmente independentes entre si.
Exemplo
Considere o sistema descrito por
x(t) =
0 1 00 0 1−1 −5 −6
x(t) +
101
u(t)
E possıvel alocar os polos de malha fechada do sistema controlado ems = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10? Se sim determine K tal queu(t) = Kx(t) realiza essa tarefa.
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Solucao:
O Sistema e controlavel pois n = 3,
C =
1 0 10 1 −7−1 −7 37
e o rank(C)=3 pois todas as linhas de C sao linearmente independentes.Portanto a resposta e sim.
Projeto do controle: defina K = [k1 k2 k3]
A+ BK =
k1 k2 + 1 k30 0 1
k1 − 1 k2− 5 k3− 6
tem-se que:
det (sI− [A+ BK]) =
s −1 00 s −1
1− k1 5− k2 s + 6− k3
= k2 − 6k1 + 5s − 6k1s − k2s + k3s − k1s2 − k3s
2 + 6s2 + s3 + 1
= s3 + (6− k1 − k3) s2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)
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Usando os polos em s = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10 podemos escrever
(s − (−2 + j4))(s − (−2− j4))(s + 10) = s3 + 14s2 + 60s + 200
Logo,
s3 + (6− k1 − k3) s2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)
= s3 + 14s2 + 60s + 200
Da igualdade acima obtemos (Homework: determine k1, k2, k3)
K = [k1 k2 k3]
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Realimentacao de saıda
Considere o sistema a controlar representado no espaco de estados por:
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (40)
Suponha que exista somente alguns sensores ou medidores disponıveis. Issoquer dizer que nao temos sensores simultaneamente para x1(t), . . . , xn(t).Equivalentemente, a matriz C e “deitada”, ou seja, rank(C ) e menor que n.Adotamos
u(t) = Fy(t) = FCx(t)
• Problema: determinar F = [f1, . . . , fq] de modo que os polos de malhafechada de A+ BFC satisfacam especificacoes de projeto
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Realimentacao de saıda
HomeworkConsidere o sistema linear descrito por
x =
4 2 41 0 00 1 0
x +
100
u
y =
[1 0 10 1 0
]
x
(a) Encontre (se possıvel; se nao for possıvel, justifique) uma realimentacaode estados u = Kx , K ∈ R
1×3, que aloque os autovalores do sistema emmalha fechada A+ BK em −1,−2,−3.(b) Encontre (se possıvel; se nao for possıvel, justifique) uma realimentacaode saıda u = Fy , F ∈ R
1×2, que aloque os autovalores do sistema em malhafechada A+ BFC em −1,−2,−3.
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Conversor DC-DC buck
Conversor DC-DC buckEste conversor e muitıssimo utilizado em aplicacoes de Eletronica. Suacaracterıstica basica e prover na saıda (ou seja em vo(t)) uma tensao inferioraquela da entrada vg (t). Determine a representacao em Espaco de Estados.
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Conversor DC-DC buck
Solucao
O conversor DC-DC opera em dois modos: ON ou OFF. Note na Figura que oDriver envia ao MOSFET um sinal PWM que liga-desliga o MOSFET. Talcomportamento faz o MOSFET atuar como uma chave“fechada”ou“aberta”.
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Conversor DC-DC buck
• CASO 1: MOSFET no modo ON:MOSFET se comporta como chavefechada e o diodo nao conduz. Entaoo circuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre iinj(t) = 0].Escreva RON = RL + Rt
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Conversor DC-DC buck
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Conversor DC-DC buck
• CASO 2: MOSFET no modo OFF:MOSFET se comporta como chaveaberta e o diodo conduz. Entao ocircuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre iinj(t) = 0].Escreva Roff = RL + Rd
Observacao: Neste Caso 2as equacoes sao as mesmasdo Caso 1, exceto que deve-se fazer alı vg (t) = 0 e tro-car RON por Roff para re-cuperar as expressoes exa-tas para o Caso 2.
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Conversor DC-DC buck
Importante
Observe que obtemos dois sistemas distintos, o primeiro valido para ON e osegundo para OFF. Qual deles devemos adotar?
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Conversor DC-DC buck
• Qual dos sistemas devemos adotar? Resposta: Sistema medio obtido comocombinacao linear de ambos.
Fato: Quando a frequencia do PWM e superior a 10 KHz, a representacaomedia apresenta-se muito adequada para capturar o comportamento real doconversor buck.
0 ≤ δ(t) ≤ 1
δ(t) representa a porcentagem do tempo ON do Duty-cycle do PWM.
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Conversor DC-DC buck
Representar media do Conversor DC-DC buck
O sistema medio do conversor buck e
dx(t)
dt= δ(t)[A1x(t) + B1u(t)] + (1 − δ(t))[A2x(t) + B2u(t)]
Lembrando que iinj(t) = 0 e que A1 = A2 temos
dx(t)
dt= A1x(t) + B1Vg (t)δ(t)
y(t) = C1x(t)
Normalmente supomos a entrada Vg (t) um valor constante, entao δ(t) passaa ser a entrada de controle restrita a assumir valores somente no intervalo[0, 1].
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Exercıcio do conversor DC-DC buck
ExercıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:
Rt = RL = RC = 1mΩ L = 20mH C = 100µF R = 10Ω Vg (t) = 25V
1. Determine a equacao de espaco de estados do conversor.
2. Determine se o sistema e controlavel.
3. Determine o ganho K = [k1 k2] de modo que a matriz do sistema emmalha fechada A+ BK seja estavel.
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Exercıcio do conversor DC-DC buck
ExercıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:
Rt = RL = RC = 0 L = 2H C = 1F R = 2Ω Vg (t) = 4V
(a) Determine a solucao de x(t) considerando x(0) = [0 0]′ e δ(t) = 0.5,∀t ≥ 0.(b) Determine a corrente e tensao do conversor quando o tempo tende ainfinito.
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Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.
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