Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física

Trabalho de Conclusão de Curso

O COMPUTADOR QUÂNTICO

DE OSCILADOR HARMÔNICO

Autor: Vagner Vieira Lins

Orientador: Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães

Brasília - DF

2010

O COMPUTADOR QUÂNTICO DE OSCILADOR HARMÔNICO (Quantum computer of harmonic oscillator)

Vagner Vieira Lins1, Dr. Paulo Henrique A. Guimarães2

1 Curso de Física - Universidade Católica de Brasília 2 Departamento de Física – Universidade Católica de Brasília - Orientador

A computação quântica é um tema de fronteira entre a computação e a física.

Neste trabalho é feita uma revisão da literatura sobre o assunto. Num segundo

momento é apresentado o oscilador harmônico como modelo de construção de um

computador quântico. Nesse contexto, serão abordados os casos clássicos e

quânticos no sentido de construir uma teoria sobre estes sistemas. Para este último

caso, serão analisados os efeitos dos fenômenos de superposição e do

emaranhamento. Posteriormente é analisada a viabilidade de construção do

computador baseado no modelo de osciladores harmônicos.

Palavras chaves: computação quântica, osciladores harmônicos quânticos,

implementação de computadores quânticos, emaranhamento.

Quantum computing is a subject of the boundary between computing and

physics. In this work, a review of the literature on the subject. In a second step the

harmonic oscillator is presented as a model for building a quantum computer. In this

context, the cases will be dealt with classical and quantum in order to build a theory

about these systems. For the latter case, we will analyze the effects of the phenomena

of superposition and entanglement. It is then examined the feasibility of constructing

the computer model based on harmonic oscillators.

Keywords: quantum computing, quantum harmonic oscillators, the implementation of

quantum computers, entanglement.

1. Introdução A computação clássica está baseada num conjunto de operações

matemáticas sobre um conjunto formado por somente dois elementos. Nesse

sistema binário, a unidade fundamental da informação é o bit que pode assumir

o estado 0 (zero) ou 1(um) (NIELSEN, 2005). Utilizando-se essa maneira de

manipular informações, o computador tem se mostrado bastante eficiente para

muitas aplicações. O acesso a banco de dados, a realização de cálculos

matemáticos e a edição de imagens são alguns exemplos de tarefas em que o

computador é a melhor máquina para executá-las. No entanto, existem

problemas complexos que a computação clássica não consegue solucionar

com eficiência, apesar da grande evolução tecnológica tanto em nível de

arquitetura física quanto de programação. Além disso, a arquitetura dos

computadores que conhecemos atingirá seu limite, ou seja, quando chegarmos

ao limite do átomo não será fisicamente possível fabricar nada menor

(ALEGRETTI, 2004).

Podemos enumerar algumas restrições impostas à computação

clássica como a fatoração de números inteiros grandes em números primos,

que é a base da criptografia, a otimização da busca em bancos de dados, a

Inteligência artificial e a determinação da conformação geométrica ideal de

uma macromolécula a partir dos seus componentes. Tais tarefas necessitam

de um processamento paralelo maciço que seria inviável num computador

clássico ou, ao menos, demoraria muito tempo (HASS, 2006).

O objetivo deste trabalho é expor as condições necessárias para a

realização de computação quântica bem como lançar mão de um modelo físico,

o Oscilador Harmônico quântico como uma possível escolha para

implementação do computador quântico. Deste último aspecto, pretende-se

analisar, em nível introdutório, o emaranhamento, uma propriedade importante

no estudo da computação quântica.

2. Conceitos fundamentais

Historicamente, a computação quântica surgiu de especulações de

Feynman e Benioff a respeito das pontecialidades de uma máquina baseada

em princípios quânticos (HASS, 2006). Desta forma, um computador quântico é

um dispositivo que executa cálculos utilizando propriedades da mecânica

quântica.

Antes de falar sobre o computador quântico apresentaremos alguns

conceitos fundamentais, necessários para o entendimento da computação

quântica.

2.1. Bits Quânticos

Em computação quântica, utilizam-se estados quânticos ao invés de

estados clássicos.

O bit clássico é substituído pelo bit quântico, o q-bit. Os valores 0 e 1

de um bit clássico são substituídos pelos vetores e | . A notação | é a

notação de estados quânticos conhecida por notação de Dirac.

A diferença entre um bit e um q-bit é que este último pode estar em

estados diferentes de e | , ou seja, é possível que sejam formados

combinações lineares de estados. Sendo assim, um q-bit pode existir em um

estado contínuo entre e | conforme mostrado na Equação 1. Essa

propriedade é chamada de superposição:

| | | (1)

Os parâmetros e são números complexos. De outra forma,

podemos dizer que um q-bit é um vetor num espaço vetorial complexo com

duas dimensões.

Apesar dessa configuração estranha, os q-bits são reais. Sistemas

físicos podem ser utilizados para torná-los reais. Num átomo, por exemplo, o

elétron pode estar no estado fundamental ou no estado excitado. Podemos

atribuir | ao estado fundamental e | ao estado excitado (NIELSEN,

2005), conforme mostrado na figura abaixo.

Figura 1: Dois níveis eletrônicos em um átomo representando um q-bit.

Se irradiarmos o átomo com luz podemos levar o átomo do estado |

ao estado | . Também podemos levar o elétron a um estado intermediário

entre | e | , o estado | cuja probabilidade quando medido é de 50%

para 0 e 50% para 1. De acordo com a Equação 2, | | | |

|

√ |

√ | (2)

Podemos reescrever a superposição de estados da seguinte forma:

| (

|

| ) (3)

em que , e são números reais. O termo não é geometricamente

observável, logo podemos escrever a Equação 3 da seguinte forma:

| (

|

| ) (4)

O argumento e argumento presentes na Equação 4 definem um

ponto sobre a superfície de uma esfera de raio unitário chamada de esfera de

Block ilustrada na Figura 2.

Figura 2: Representação de um q-bit na esfera de Block. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.

Embora útil essa representação é limitada. Para muitos q-bits não

existe uma representação simples na esfera do Block.

2.2. Circuitos Quânticos

Um computador clássico é constituído de circuitos elétricos contendo

fios e portas lógicas. Um computador quântico é constituído a partir de um

circuito quântico onde se encontram portas lógicas quânticas que manipulam a

informação quântica e fios que transportam a informação (NIELSEN, 2005).

A grande vantagem da computação quântica é realizar uma operação

sobre todas as 2n combinações de n q-bits (VALADARES, 2004). Por exemplo,

um computador clássico com três bits de memória pode apenas armazenar oito

estados lógicos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Um computador

quântico pode atualmente armazenar 16 valores analógicos em pares para

formar 8 números complexos. A primeira coluna da Tabela 1 apresenta todos

os estados possíveis para três bits. Num computador clássico, somente um

destes estados pode ser assumido de cada vez. Um computador quântico

pode, através da superposição de estados, assumir os oito estados

simultaneamente. A segunda coluna mostra a "amplitude" para cada um destes

estados. Os oito números complexos representam uma imagem dos conteúdos

do computador quântico num determinado instante. Durante a computação

estes oitos estados irão interagir e se modificarem. A terceira coluna mostra a

probabilidade para cada estado. Não é possível realizar uma medida direta

sobre os números complexos. Quando o algoritmo é terminado somente uma

linha de 3-bits é mostrada. Isso porque uma medida sobre a superposição

pode levar o sistema para um estado desconhecido, sem a coerência que tinha

anteriormente.

A Figura 3 mostra um esquema de operação em um registrador de 3 q-

bits.

Tabela 1: Devido a superposição um computador quântico pode assumir 8 estados

simultaneamente para um conjunto de 3 q-bits.

Estado Amplitude Probabilidade

* (a+ib) (a²+b²) 000 0.37 + i 0.04 0.14 001 0.11 + i 0.18 0.04 010 0.09 + i 0.31 0.10 011 0.30 + i 0.30 0.18 100 0.35 + i 0.43 0.31 101 0.40 + i 0.01 0.16 110 0.09 + i 0.12 0.02 111 0.15 + i 0.16 0.05

Fonte: Enciclopédia livre – Wikipédia

Figura 3: Operação F(x) simultânea em 3 q-bits.

3. Condições para a realização da computação quântica

Para construir um computador quântico, devemos além da

representação matemática, ter uma representação física dos q-bits que

mantenha as suas propriedades quânticas, preparar os q-bits num conjunto

bem definido de estados iniciais, selecionar um sistema em que os q-bits

possam evoluir e finalmente realizar a medição do estado final de saída do

sistema.

3.1. Representação da informação quântica.

A computação quântica se realiza através das transformações de

estados quânticos. Uma partícula com spin 1/2, por exemplo, pode ser usada

para representar um q-bit ( - . Isso preenche um requisito

para se realizar computação, ou seja, o conjunto de estados é finito.

Um problema relevante é que os sistemas geralmente não estão

isolados. Na computação quântica um grande problema é a decoerência, ou

seja, a distorção do estado quântico em virtude da interação com ambiente

(ALVES, 2003). A seleção da representação deve ser tal que a decoerência

seja a mínima possível. No caso do spin, ele representaria um bit quântico

quase ideal pois está confinado ao espaço de Hilbert gerado pelos estados

| | . O spin da partícula não pode estar fora desse espaço.

Um sistema que seja vulnerável e permita com facilidade a destruição

da superposição dos estados não é uma boa escolha para a representação da

informação quântica (NIELSEN, 2005). Os estados de energia num átomo, por

exemplo, não constitui uma boa escolha.

3.2. A realização de transformações unitárias

Sistemas quânticos fechados evoluem unitariamente de acordo com

seus operadores observáveis de energia (NIELSEN, 2005). Esse operador é

chamado de Hamiltoniano. É imediato então pensar que para realizar

computação quântica é necessário controlar o Hamiltoniano para selecionar

uma transformação unitária de uma família universal de transformações

unitárias. As transformações unitárias são realizadas por portas lógicas

quânticas.

A principal diferença entre uma porta lógica quântica e uma porta lógica

clássica é que nesta última as operações não são reversíveis.

Figura 4: Representação da operação de portas lógicas quânticas.

Abaixo temos algumas portas lógicas quânticas importantes:

Toffoli - Transforma um registrador quântico em um registrador

clássico. Tal operação permite reproduzir algoritmos clássicos em um

computador quântico.

Controlled NOT - Esta operação aplica NOT no segundo q-bit caso o

primeiro seja 1 ou mantém o segundo q-bit, caso o primeiro seja 0. Isso torna o

bit dependente do outro, que é a definição de entrelaçamento.

3.3. Preparação dos estados iniciais de alta fidelidade e baixa entropia

Uma vez escolhida a representação física de um q-bit é preciso

preparar o estado inicial de tal forma que uma transformação unitária sobre

este estado leve o sistema para o estado desejado. Além disso, o estado inicial

precisa ser de baixa entropia, no caso ideal igual a zero. Íons, por exemplo,

podem ser preparados em bons estados de entrada, fisicamente resfriando-os

ao estado fundamental, porém tal tarefa constitui um desafio. Um outro

problema, agora no campo da computação, é colocar todos os q-bits no mesmo

estado. Isso porque, a diferença de energia entre estes estados, numa

molécula, por exemplo, é muito pequena quando comparada com a energia

KBT (KB = constante de boltzmann, T= Temperatura. (NIELSEN, 2005).

3.4. Medida do resultado da saída

O q-bit precisa ser lido no final, e esta tarefa é extremamente

complicada, porque a menor instabilidade provocada ao sistema pode alterar o

resultado final. Além disso, devemos considerar a impossibilidade de ler o

estado real do q-bit, pois o estado é probabilístico. O que se obtém é um valor

aleatório, que segue as regras probabilísticas de seu estado real.

Considerando este último aspecto, as medidas representam um processo de

decoerência.

4. Implementação de computadores Quânticos

O mecanismo necessário para a construção de um computador

quântico deve ser capaz de manipular q-bits. Esse mecanismo deve levar em

consideração os seguintes aspectos:

Os q-bits precisam ser armazenados por um período de tempo

suficiente para que possam ser realizadas as rotinas computacionais.

Os q-bits precisam estar isolados ao máximo do ambiente para

minimizar a decoerência.

A leitura dos q-bits precisa ser eficiente e confiável.

É necessário manipular q-bits separadamente. Para tanto é necessário

a construção de portas lógicas quânticas de alta precisão.

A seguir apresentamos uma abordagem de computador quântico a

partir do oscilador harmônico quântico.

4.1. O computador quântico de oscilador Harmônico

Antes de investigarmos se o oscilador harmônico quântico é uma boa

escolha para a implementação do computador quântico, vamos analisar alguns

casos clássicos com a finalidade de construir uma teoria consistente sobre este

sistema físico.

4.1.1. Oscilador harmônico simples

Para este caso, consideramos um sistema disposto horizontalmente

composto por uma massa presa a uma mola e esta última presa a parede.

Figura 5: Modelo de oscilador harmônico simples com um grau de liberdade.

Inicialmente a mola não está alongada nem comprimida, ou seja, x0 =

0. Desprezando as forças de resistência como o atrito, temos que a única força

que age é a força elástica:

(5)

onde é a força resultante, k é a constante elástica da mola e x é a posição

da massa.

Igualando a Equação 5 a uma consequência da segunda lei de Newton

e fazendo , temos que:

(6)

A solução para a Equação diferencial acima é do tipo:

(7)

Derivando duas vezes a Equação 7, temos que:

(8)

Substituindo a solução e sua segunda derivada na Equação 6, obtemos

(

)

(9)

√ √

√

Do desenvolvimento acima, obtemos as seguintes soluções:

√

(10)

√

(11)

A soma das duas Equações 10 e 11 também é uma solução. Fazendo

uma combinação linear:

√

√ (12)

Utilizando a relação de Euller (Equação 13), e fazendo as substituições

abaixo (Equações 14, 15 e 16), obtemos a solução da Equação 6 que modela o

oscilador harmônico simples. Na equação 13, u é uma constante.

[ ] (13)

√

√

( ) (14)

(15)

( ) ( ) (√

) ( ) (√

) (16)

( ) √

(17)

A Equação 17 nos dá a posição da massa em função do tempo, o

parâmetro é a constante de fase relacionada a posição inicial da massa.

4.1.2. Osciladores harmônicos acoplados

O sistema é constituído de duas massas iguais, representadas por m

acopladas por três molas, duas de constantes k , e uma mola de constante

elástica kc, arranjadas conforme esquematizado na Figura 6. A oscilação tem a

característica de ser em uma dimensão e na direção horizontal, com um grau

de liberdade. Assumiremos as duas massas iguais para facilitar cálculos.

Figura 6: Modelo de oscilador harmônico acoplado com dois graus de liberdade.

Analisando as forças que agem sobre a massa da esquerda, temos

que:

Figura 7 - Forças que agem sobre a massa da esquerda.

Analisando as forças que agem sobre a massa da direita, temos que:

Figura 8 - Forças que agem sobre a massa da direita.

Aplicando a segunda Lei de Newton a cada massa considerando o

somatório das forças elásticas, temos que:

Para a massa da esquerda

(18)

Para a massa da direita

(19)

As Equações 18 e 19 estão acopladas formando um sistema linear com

duas equações diferenciais.

Somando e subtraindo as Equações 18 e 19 temos um sistema de

equações equivalente (NUSSENZVEIG, 2003) e dividindo as duas equações

resultantes por m, temos que:

( )

( ) (20)

( )

( ) (21)

As Equações 20 e 21 nos fornecem as duas freqüências do movimento

harmônico simples conforme mostrado nas Equações 22 e 23:

(22)

(23)

As soluções das Equações 20 e 21 são respectivamente,

( ) (24)

( ) (25)

As amplitudes Aa e Ab que aparecem nas Equações 24 e 25 e as

constantes de fase a e b são determinadas pelas condições iniciais: posição

inicial e velocidade inicial de cada partícula.

Resolvendo as Equações 24 e 25 para x1 e x2 obtemos as seguintes

equações:

(26)

(27)

As Equações 26 e 27 revelam que o movimento de dois osciladores

acoplados pode ser considerado como uma superposição de dois modos

normais de oscilação de freqüências angulares iguais as presentes nas

Equações 22 e 23.

No tempo t = 0, as posições inicias das duas massas são,

respectivamente, x01 e x02 e as velocidades iniciais são iguais a zero.

As equações 26 e 27 são transformadas nas equações 28 e 29 após

algumas operações algébricas e trigonométricas.

(28)

(29)

O primeiro modo normal de oscilação pode ser obtido quando as

duas massas movem-se em fase, ou seja, x01 = x02. Nessa situação a mola

central não sofre nenhuma deformação. Sendo assim, esta mola não exerce

força sobre as massas e estas últimas movem-se como se não estivessem

acopladas. As Equações 30 e 31 representam matematicamente essa

situação.

(30)

(31)

O segundo modo normal de oscilação é obtido quando as duas

massas movem-se em oposição de fase, ou seja, x01 = - x02. Nessa situação o

movimento de cada massa é matematicamente representado pelas Equações

32 e 33.

(32)

(33)

4.1.3. Oscilador harmônico quântico

A análise do oscilador harmônico quântico está diretamente ligada a

determinação das soluções da equação de Schrödinger para uma partícula de

massa m e coordenada x movendo numa região onde a energia potencial tem

a forma de um oscilador harmônico, conforme ilustrado na Figura 9.

Figura 9: Energia Potencial do Oscilador em função do deslocamento da partícula.

No caso quântico, a constante k define quão bruscamente a energia

potencial varia da posição de equilíbrio a medida que se afasta deste ponto.

Para o oscilador harmônico, a equação de Schrödinger pode ser escrita

independente do tempo como mostra a Equação 34.

( ) ( ) (34)

(

) ( )

No caso clássico, o módulo da posição não deve ser maior que a

amplitude. No entanto, a mecânica quântica permite a penetração em regiões

proibidas classicamente. Nessa situação a probabilidade da penetração diminui

a medida que a penetração aumenta.

Quando os valores do módulo de x são elevados, o valor da grandeza

- torna-se positivo, portanto a função de onda ( ) e sua segunda

derivada devem ter o mesmo sinal. A segunda Derivada de ( ) fornece a taxa

de inclinação de ( ). Considerando um ponto tal que x > A para o qual

- > 0, quando ( ) é positiva, a sua segunda derivada também

deve ser positiva e a curva possui concavidade para cima.

Entre as curvas que tendem ao infinito por valores positivos e as que

tendem ao infinito por valores negativos existe a possibilidade de que a curva

tenda assintoticamente ao eixo Ox, conforme ilustrado na Figura 10. Nesse

caso, ( ), ( ) e ( ) tendem simultaneamente a zero quando x

tende ao infinito. Essa possibilidade satisfaz a condição de contorno ( ) 0

quando x ∞.

Figura 10: Curva aceitável de ( ) quando x ∞.

Antes de apresentarmos a solução geral da Equação 34, mostraremos

as funções de onda para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. A

função de onda do estado fundamental ( ) é uma função gaussiana

centrada na origem (TIPLER, 1933).

( )

(35)

As constantes e a são positivas. Podemos verificar se a Equação 35

é uma solução para a equação 34 que modela o oscilador harmônico.

Calculado a primeira e a segunda derivada da Equação 35, temos que:

(

)

(

)

= - - ) (36)

Substituindo a Equação 36 na Equação 34, temos que:

(37)

Dividindo ambos os lados da Equação 37 por - , obtemos a

Equação 38.

(38)

Rearranjando a Equação 38 na forma polinomial, temos que:

(

) (

) (39)

Partindo do seguinte teorema " Se um polinômio é igual a zero sobre

um intervalo contínuo de x, então cada coeficiente do polinômio é nulo".

Aplicando este teorema na Equação 39, temos que:

(

) (40)

(

) (41)

Resolvendo a Equação 40 para a, obtemos:

(43)

Resolvendo a Equação 41 para , obtemos:

(44)

Substituindo a Equação 43 na equação 44, obtemos a energia do

estado fundamental independente do valor de .

(45)

O primeiro estado excitado tem um nó exatamente no centro do poço

de potencial, da mesma forma que uma partícula numa caixa. A função de

onda desse estado é

( )

(46)

Procedendo de forma análoga ao realizado para o estado fundamental

(

)

(

)

= - - ) (47)

Substituindo a Equação 47 na Equação 34, temos que:

(48)

Dividindo ambos os lados da Equação 48 por - , obtemos a

Equação 49.

(49)

Rearranjando a Equação 49 na forma polinomial, temos que:

(

) (

) (

) (50)

Partindo novamente do teorema enunciado anteriormente aplicando-o

na Equação 50, temos que:

(

) (

) (51)

(

) (52)

Resolvendo a Equação 51 para a, obtemos:

(53)

Resolvendo a Equação 52 para , obtemos:

(54)

Substituindo a Equação 53 na equação 54, obtemos a energia do

primeiro estado excitado.

(55)

De modo geral, a solução da Equação de Schrödinger para o oscilador

harmônico é dado pela expressão abaixo:

( )

A Figura 11 mostra o gráfico das funções de onda para o estado

fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Observe que cada

estado de energia tem um nó adicional na função de onda.

Figura 11: Funções de onda para o estado fundamental e para os cinco primeiros estados

excitados. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.

A partir dos resultados apresentados acima podemos generalizar a

energia do n-ésimo estado excitado de um oscilador harmônico quântico,

matematicamente descrita pela Equação 56.

(

) (56)

onde n = 1, 2, 3,...

A Figura 12 mostra que os níveis de energia são uniformemente

espaçados por uma quantidade igual a , ou seja, as energias são

quantizadas o que corrobora com a característica de sistemas mecânicos-

quânticos.

Figura 12: Energias do estado fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Fonte:

Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA, Gene, 2009, p. 38.

4.1.4. Oscilador Harmônico quântico acoplado

A equação de Schrödinger para um sistema com dois ou mais elétrons

não pode ser resolvida exatamente e neste caso são utilizados métodos de

aproximação. Essa situação é semelhante a vista para oscilador acoplado

clássico. No entanto, surgem complicações decorrentes da própria identidade

dos elétrons, que é um efeito puramente quântico e não tem contrapartida na

mecânica clássica. Isso acontece devido ao fato de ser impossível distinguir um

elétron do outro. Classicamente partículas idênticas podem ser identificadas

pelas suas posições, que em princípio pode ser determinado com precisão

ilimitada. Isto é impossível na mecânica quântica por causa do principio de

incerteza. (TIPLER, 2009). A figura 13 ilustra essa situação.

Figura 13: Se o elétron fosse uma partícula os caminhos a e b representam as duas

possibilidades de caminhos. No entanto, em virtude das propriedades de onda do elétron, os

caminhos são espalhados. Nessa situação é impossível analisar os elétrons depois que eles se

separam. Fonte: Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA,

Gene, 2009, p. 47.

Para este caso, vamos considerar duas partículas idênticas colocadas

num poço quadrado infinito e unidimensional. Essas partículas não tem

interação eletrostática. A Equação 57 descreve a equação de Schrödinger

independente do tempo para as duas partículas com massas iguais a m.

( ) ( ) ( ) (57)

Resolvendo a equação de Schrödinger dentro do poço onde U = 0

temos que:

(58)

Os índices a e b da Equação 58 representam os números quânticos

das partículas 1 e 2 e

são as respectivas funções de onda. Por

exemplo, se a = 1 e b = 2, a função de onda resultante é mostrada pela

Equação 59.

(

) (

) (59)

A densidade de probabilidade de encontrar a partícula 1 numa região x

= x1 e x = x1 + dx é a mesma probabilidade de encontrar a partícula 2 numa

região x = x2 e x2 = x2 + dx2 já que as partículas são idênticas e não podem ser

diferenciadas, matematicamente.

( ) ( ) (60)

A Equação 60 é satisfeita se ( ) = ( ) ou ( ) =

- ( ), ou seja, se as funções forem simétricas ou anti-simétricas.

Procedendo de forma análoga ao caso clássico podemos encontrar

funções de onda simétricas e anti-simétricas que são soluções da equação de

Schrödinger, através da adição ou subtração das funções e

,

conforme as Equações 61 e 62.

(

)

[( (

]

(61)

(

)

[( - ( ]

(62)

As funções obtidas e

são respectivamente as funções simétricas

e anti-simétricas.

Para o primeiro estado excitado podemos reescrever as Equações 61 e

62 da seguinte forma;

( (

) (

) (

) (

)) (64)

( (

) (

) (

) (

)) (65)

A solução da equação de Schrödigner para o caso acoplado mostra as

funções simétricas e anti-simétricas depende simultaneamente das posições

das duas partículas, isto é, o resultado é uma superposição das posições das

duas partículas.

5. Análise do oscilador harmônico como modelo de construção do

computador quântico.

Apesar do nível de abordagem não considerar todo o formalismo da

mecânica quântica, o estudo dos osciladores harmônicos, sobretudo os

acoplados, revelou duas propriedades quânticas fundamentais para a

computação quântica: a superposição e o entrelaçamento. Para a primeira

propriedade, percebida também para o caso do oscilador harmônico clássico

acoplado, notamos através das Equações 26 e 27 que as funções de onda

para as duas massas formam uma superposição de dois modos normais de

oscilação. A Figura 14 ilustra esse tipo de situação para um caso geral similar

ao representado matematicamente pelas duas equações citadas anteriormente

Figura 14: Duas ondas estacionárias representadas pelas cores azul e vermelho. A onda na cor

negra representa o resultado da superposição dessas duas ondas. Fonte: Física -

Enciclopédia livre - Wikipédia.

Ainda analisando o caso clássico de oscilador harmônico acoplado

notamos que, se ocorrer, por exemplo, uma mudança de freqüência no modo

de oscilação de uma das massas, essa mudança afetará diretamente a posição

da outra massa. Essa situação em que dois ou mais objetos estejam de alguma

forma ligados de tal forma que um objeto não possa ser corretamente descrito

sem que uma propriedade do outro seja considerada constitui o conceito de

entrelaçamento.

Para o caso quântico acoplado temos uma configuração semelhante

onde a solução da equação Schrödigner depende das posições das duas

partículas mesmo as soluções não sendo simétricas ou anti-simetricas como

pode ser visto através da Equação 59. Embora as partículas não estejam

espacialmente ligadas por molas, como acontece no caso clássico, a descrição

do estado de uma partícula depende diretamente do estado da outra. Essa

conjuntura implica também no conceito de entrelaçamento. Essa importante

propriedade tem sido utilizada para experiências como o teletransporte

quântico.

O estudo do oscilador harmônico quântico simples mostra que este

sistema pode ser utilizado para representar os q-bits, pois podemos ter uma

superposição linear do primeiro estado excitado com o estado fundamental

guardando a característica do q-bit ser um sistema de dois níveis. Através

dessa primeira constatação podemos dizer também que seria possível realizar

transformações unitárias de um q-bit, ou seja, construir portas lógicas que

manipulam um q-bit. Um exemplo de operação deste tipo seria um processo

que conseguisse levar o estado | para o estado | e vice-versa.

Embora tenhamos uma representação do q-bit através dos níveis de

energia do oscilador harmônico temos um problema se tentarmos diferenciar

esses q-bits. Como os níveis de energia são igualmente espaçados por uma

quantidade , um q-bit representado pelo estado fundamental e pelo

primeiro estado excitado seria idêntico a um q-bit representado pelo terceiro e

quarto estado excitado. Para contornamos essa situação, poderíamos acoplar

outro sistema que controle a diferenciação de q-bits. Submeter o sistema a um

potencial externo poderia ser uma escolha. No entanto, esse acoplamento leva

a decoerência e conseqüentemente a destruição da superposição. Neste

ponto, podemos ressaltar uma condição para a realização da computação

quântica. Os estados de entrada não seriam bons em virtude de a preparação

ser vulnerável a decoerência.

O acoplamento estudado no caso das duas partículas num poço de

potencial quadrado infinito pode ser utilizado para a criação de portas lógicas

quânticas que manipulam mais de um q-bit, ou realizam transformações

unitárias sobre mais de um q-bit. Um exemplo de portas desse tipo é porta Não

– Controlada que usa diretamente o conceito de entrelaçamento.

6. Conclusão

Este trabalho apresenta os conceitos básicos em computação quântica

mediante uma pesquisa bibliográfica. Através do estudo de sistemas de

osciladores harmônicos procurou-se um modelo físico que viabilize a

construção do computador quântico. Os casos quânticos revelaram-se como

uma estrutura aceitável ao menos para representação da informação quântica

e para implementação de portas lógicas quânticas. No entanto, a escolha

destes sistemas torna a condição de preparação dos estados iniciais

dificultosa.

Os resultados obtidos nos casos acoplados elucidaram os conceitos de

superposição e entrelaçamento, embora o texto não use todo o formalismo da

mecânica quântica.

Sem Dúvida, a escolha do sistema físico para construção do

computador quântico é uma das grandes questões a ser resolvida. Este fato

motiva a busca por outros sistemas que obedeçam as condições necessárias

para a realização da computação quântica.

Agradecimentos

A realização deste trabalho foi concretizada graças a cooperação de

muitas pessoas. Em especial à aqueles que acreditaram no meu potencial. Ao

meu orientador, Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães, pela disponibilidade e

constante auxílio. À minha família pelo apoio e incentivo. À minha namorada

Sônia que mesmo distante desempenhou papel similar ao realizado pela minha

família.

7. Bibliografia

NIELSEN, Michael. A; CHUANG, Isaac. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005. ALEGRETTI, José Francisco. Computação Quântica. Rio Grande do Sul, 2004. HASS, Fernando. Computação Quântica: Desafios para o Século XXI, Cadernos IHU ideais, Porto Alegre, 2006. VALADARES, Arthur Rodrigo S; BACHMANN, Denis E; JÚNIOR, Roberto B. computação Quântica. São Paulo, 2005. NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de física básica. 3. ed, São Paulo: Edgard Blücher, 63-68, 1996. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed, Rio de Janeiro, RJ: LTC, 31-38, v. 3, 2009. ALVES, Flávio Luiz. Computação Quântica: Fundamentos Físicos e Perspectivas. Minas Gerais, 2003. Monografia (Bacharel em Ciência da Computação), Universidade Federal de Lavras. MENDES, Wendel Macedo. Quantização canônica do campo escalar de klein-gordon Minas. Fortaleza, 2010. Monografia (Bacharel em Física), Universidade Estadual do Ceará. MONTEIRO, João Frederico Hass Leandro. O estudo do emaranhamento na emissão espontânea no espaço livre e em uma cadeia de osciladores

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