Prob-Amorim

8/7/2019 Prob-Amorim

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Introduo aos Modelos ProbabilsticosProf. Sebastio de Amorim

UNICAMP - 2011

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1 Fundamentos

As leis da probabilidade governam o ou pelo menos interferem em praticamente tudo no mundo, dos

mecanismos atravs dos quais a seleo natural, progressiva e continuamente, cria a complexidade viva a

partir de elementos bsicos, s variaes do clima, dinmica social,

1.1 Desenvolvimento formal abstrato do conceito bsico de Probabilidade

O conceito de probabilidade pode ser definido matematicamente, de uma forma abstrata e completamente

desvinculada de qualquer contexto material. Este desenvolvimento til por fornecer uma infra-estrutura

simples e rigorosa, sobre a qual as propriedades matemticas inerentes do conceito podem ser deduzidas. A

estrutura matemtica produzida, com a teoria matemtica associada a Teoria da Probabilidade poder

ento ser aplicada na modelao de problemas reais de natureza probabilstica.

Construiremos aqui, de uma forma muito simplificada, a estrutura formal bsica que ser utilizada em

seguida na deduo de diversas propriedades fundamentais teis, e na modelao de diversas situaes

concretas interessantes.

Definies Bsicas

D1. Experimento aleatrio tambm denominado experimento probabilstico ou, ainda, experimento

estocstico, qualquer ao cujo resultado no pode ser previsto, seno em termos probabilsticos. O

lanamento de uma moeda ou de um dado so exemplos corriqueiros. Um experimento aleatrio

dito binrio se seu o conjunto de todos os seus resultados possveis tem apenas dois elementos. Tal

o caso do lanamento de uma moeda: os resultados possveis so Cara (C) e Coroa (c); o conjunto dos

resultados possveis ento {C, c}. Na sua forma genrica, os resultados de um experimento aleatrio

binrio so Sucesso (S) e Fracasso (F). Experimentos aleatrios binrios so tambm denominados de

Bernouli, ou bernoulianos.

D2. Espao amostral associado a um experimento aleatrio, o conjunto de todos os resultados

possveis deste experimento. Genericamente representado por , no caso do arremesso de um dado

={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Na conceituao terica abstrata, pode-se prescindir da idia de experimento

aleatrio, sendo um conjunto qualquer. O espao amostral pode tambm ser referido como

Conjunto Universo ou, simplesmente, Universo.


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A cardinalidade de um conjunto o nmero de elementos deste conjunto. Um conjunto

finito se sua cardinalidade finita. O conjunto em (D2) finito e sua cardinalidade, que se

representa por #(), 6.

No caso do arremesso de uma moeda, {C, c} e #()=2. O espao amostral correspondente

a um experimento aleatrio binrio genrico ={S, F}. Outras representaes genricas,

como por exemplo, {0, 1}, {Positivo, Negativo}, so tambm utilizadas.

Um conjunto enumervel se ele finito, ou se infinito, mas seus elementos podem ser postos

em relao unvoca com os naturais, isto , se eles podem ser contados. Todo conjunto finito

enumervel. So exemplos de conjuntos infinitos enumerveis:

{x inteiro, tal que x mltiplo de 3} {x natural, tal que x primos}

{x racional}

Todo conjunto finito enumervel

Se um experimento consiste em arremessar uma moeda at a obteno da primeira cara e o

resultado do experimento for a sequncia de resultados elementares obtidos, ento o espao

amostral deste experimento ={C, cC, ccC, cccC, ccccC, ... }, infinito, portanto... mas

enumervel.

Um conjunto infinito que no pode ser contado (isto , ter seus elementos associados

biunivocamente aos de N) dito no enumervel. So exemplos de conjuntos no

enumerveis:

O conjunto R dos reais

O conjunto dos reais no intervalo (0, 1)

O conjunto de todos os irracionais no intervalo (-0,0001, 0,0001)

D3. Evento qualquer subconjunto de .

No caso do arremesso de um dado, {1}, {2, 4, 6} e {5, 6} so exemplo de eventos. Quantos

eventos diferentes existem associados a um espao amostral de cardinalidade 6?

D4. Partio qualquer classe P de subconjuntos no vazios e disjuntos de cuja

unio . A figura ao lado representa graficamente a ideia bsica de partio,

queo pode ser, naturalmente, aplicada a qualquer conjunto. Denominamos

classe (geralmente representadas por maisculas manuscritas, como P) a

qualquer conjunto cujos elementos so conjuntos.


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A classe { {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} } uma partio de ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, assim como { {1, 2, 3, 4}, {5, 6} }.

Quantas parties diferentes existem do conjunto definido acima, isto , de quantas maneiras

diferentes ele pode ser particionado? E um conjunto de cardinalidade n?

D5. lgebra qualquer classe Fde subconjuntos de , com as trs propriedades de fechamento:

a. O conjunto vazio pertence classeF: F

b. Se A pertence classeF, ento seu complemento Ac tambm pertence: AFAcF

c. Se A e B pertencem a F ento sua unio tambm pertence: AF e BF ABF

Seja, por exemplo, ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, definindo A={1, 2} e B={3, 4, 5, 6}, C={1, 2, 3}, D={4, 5} E={6}

vemos que P1={A, B} uma partio de em duas

partes (podemos dizer, uma partio binria); P2={C, D,

E} outra partio de ,desta vez em trs partes; por

outro lado, a classe N={A, D, E} no uma partio de

. A classe F1={, A, B, } uma lgebra de

subconjuntos de (verifique); F2={, C, D, E, CD,

CE, DE , } tambm uma lgebra de subconjuntos de . Toda lgebra tem um conjunto de blocos

bsicos, formadores. Estes blocos bsicos compesm uma partio de .

D6. Geratriz da lgebra uma partioPde , tal que:

a. AP AF

b. B um subconjunto prprio de algum elemento deP, ento BF.

Toda lgebra tem uma e apenas uma geratriz, e toda partio de induz uma lgebra de

subconjuntos de . Toda partio tem uma lgebra associada, e vice-versa.

D7. tomos de uma lgebra so os elementos da partio geratriz da lgebra. Um tomo tem a seguinte

propriedade: ele pertence lgebra mas nenhum subconjunto prprio dele tambm pertence. Neste

sentido, os tomos de uma lgebra so os blocos bsicos, os menores elementos, indivisveis, da

mesma. Os tomos podem ser considerados como os blocos bsicos indivizveis, formadores dos

elementos da mesma; assim, cada elemento da lgebra, ou o vazio, ou um tomo, ou a unio de dois

ou mais daqueles tomos.


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D8. Espao Mtrico E um par formado por uma espao amostral e uma lgebra de subconjuntos desse

espao amostral : ( ; F).

Estamos prontos, agora para definir Probabilidade, formalmente :

D9. Probabilidade Dado um espao mtrico ( ; F), qualquer funo definida em F e tomando valores

reais no negativos, com as seguintes propriedades:

a. P()=0

b. Se AF, ento P(A)=1-P(Ac)

c. Se AF e BF so disjuntos (isto , AB=) ento P(AB)=P(A)+P(B) .

Note aqui que, em conseqncia das propriedades definidoras de uma lgebra, tem-se que se AF

e BF ento ABF. Prova: Pelas leis de DeMoivre, (AB)c=A

cB

c, isto , o complemento da

interseco a unio dos complementos, logo AB=( AcB

c)

C, que, j sabemos, pertence a F, pelas

suas propriedades definidoras de fechamento em relao a unio e complementao.

Uma funo de probabilidade fica completamente definida com a definio de seu valor para cada

tomo da geratriz deF.

No caso dos experimentos binrios, ={S, F}, e a partioP={ {S} , {F} }define uma lgebra com 4

elementos, a nica relevante no caso; a outra Fo={, }.A funo de probabilidades definida

por P{S}=p, com 0


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Arbitremos : P(A)=0,5, P(B)=0,4 e P(C)=0,1. Note que, como ABC= , ento, para consistncia,

necessrio que P(A)+P(B)+P(C)=1. Em seguida, obedecendo aos axiomas bsicos : P( )=0, P(AB)=0,9,

P(AC)=0,6, P(BC)=0,3 e, naturalmente, P(ABC)=P()=1. A funo P :FR, assim definida, uma

funo de probabilidades no espao (, F). Nota : possvel que voc esteja associando esse espao

amostral ao experimento de arremessar um dado. Neste caso, voc acha que P(A)=0,5, P(B)=1/3 e

P(C)=1/6 seria a definio correta para P, e que a definio proposta no faz sentido. Quanto a isto,

alguns comentrios so apropriados: (1)Como no estamos modelando nenhum experimento aleatrio

em particular, mas apenas construindo um modelo abstrato de probabilidades, a definio dada

correta, uma vez que cumpre todas as condies de uma funo de probabilidade ; (2)a segunda

definio tambm correta, desde que os valores de P para os demais eventos em A sejam calculadossegundo as leis bsicas ; e, (3)para modelar apropriadamente o experimento concreto do lanamento

de um dado normal, a segunda , certamente, a proposta adequada.

D10. Espao de Probabilidades a trade composta por um espao amostral, uma lgebra de

subconjuntos deste espao amostral, e uma funo de probabilidades definida sobre esta lgebra:

(,F, P)

D11.Evento Mensurvel Um evento A dito mensurvel se ele pertence lgebra, ou seja, se P(A) for

bem definida.

No Exemplo 1.1.1, o evento {1, 2, 3, 6} mensurvel mas {1, 2, 4}, no. Dizer que um evento

mensurvel equivale a dizer que ele tem um valor bem definido de probabilidade no espao mtrico

construdo.

D12.Varivel Aleatria Dado um espao de probabilidades (, F, P), varivel aleatria qualquer funo

real X:R que constante dentro dos tomos de F, isto , se 1 e 2 so dois elementos de

pertencentes a um mesmo tomo de F, ento

X(1)=X(2).

Continuando o Exemplo 1.1.1: Na tabela ao lado, X1 no

uma varivel aleatria ; X2 e X3 so. E X4 ?

D13.Partio de induzida por uma Varivel AleatriaX Se X uma varivel aleatria no espao de

probabilidades (, F,P), entoPX a partio que divideem regies de X constantes: isto , se 1 e

X

1 2 3 4 5 6

X1() 1 4 9 16 25 36

X 2() 1 1 1 2 2 3

X3() -1 -1 -1 1 1 1

X4() -1 -1 0 0 1 1


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2 so dois elementos de , ento X(1)=X(2) se1 e 2 pertencem a um mesmo elemento de PX, e

X(1) X(2) no caso contrrio.

Exemplo 1.1.2 Um experimento consiste em arremessar uma moeda trs vezes, anotando os resultados. O

espao amostral, neste caso, ={CCC, CCc, CcC, cCC, Ccc, cCc, ccC, ccc}. Seja P a partio de em oito

elementos unitrios, e Fa lgebra induzida por esta partio simplesmente a classe, de cardinalidade 256, de

todos os subconjuntos de . A funo de probabilidade que adotaremos a naturalmente associada ao

experimento assumindo moeda no viciada, isto , P{C}=P{c}=0,5 ento, P{CCC}=1/8, assim como a de

qualquer outro evento unitrio. Vamos agora definir uma varivel aleatria X : R, como X()=nmero de caras

em . A varivel aleatria X induz uma partio de menos fina que P:

PX = { X-1(0), X-1(1), X-1(2), X-1(3)} = { {ccc}, {ccC, cCc, Ccc}, {cCC, CcC, CCc}, {CCC} }

Note que X naturalmente particiona segundo PX. A induzida por X mais grosseira que Puma vez que dois de

seus quatro tomos so iguais a tomos de P, mas os outros dois so unies de tomos de P. Na figura acima, P2

um refinamento de P1 e refinada por P3 ; P4, todavia, guarda uma relao de ordem de refinamento com

nenhuma das 3 anteriores.

Exerccio 1.1.1 Prove que se X uma varivel aleatria no espao de probabilidades (, F, P), ento PXP, onde

P a partio geratriz de F.

D14.lgebra de subconjuntos de induzida por uma Varivel AleatriaX Se X uma varivel aleatria

no espao de probabilidades (, F, P), ento FX a lgebra induzida pela partioPX.

Nota: Prove queFXF.

Exemplo 1.1.3 Um experimento consiste em arremessar uma moeda trs vezes, anotando os resultados. O

espao amostral, neste caso, ={CCC, CCc, CcC, cCC, Ccc, cCc, ccC, ccc}. Seja P a partio de em oito

elementos unitrios, e Fa lgebra induzida por esta partio simplesmente a classe, de cardinalidade 256, de

todos os subconjuntos de . A funo de probabilidade que adotaremos a naturalmente associada ao

experimento assumindo moeda no viciada, isto , P{C}=P{c}=0,5 ento, P{CCC}=1/8, assim como a de

qualquer outro evento unitrio. Vamos agora definir uma funo X : R, como X()=nmero de caras em . A

varivel aleatria X induz uma partio, PX, de menos fina que P:


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PX = { X-1

(0), X-1

(1), X-1

(2), X-1

(3)} = { {ccc}, {ccC, cCc, Ccc}, {cCC, CcC, CCc}, {CCC} }

Como cada elemento de PX est contido em F, ento X uma funo mensurvel no espao (, F, P), portanto

uma varivel aleatria neste espao. A lgebra FX de subconjuntos de, induzida por PX , a que contm os 4

elementos de PX como blocos bsicos, ou tomos ; ela contm apenas 24

elementos, e qualquer elemento seu

tambm elemento de F, ou seja, FXF. Note que a funo X tambem mensurvel no espao de probabilidades

(, FX, P).

Vamos agora definir outra funo, Y: R, correspondente representao binria com C=1 e c=0, logo Y(ccc)=0,

Y(ccC)=1, Y(cCc)=2, Y(cCC)=3, Y(Ccc)=4, Y(CcC)=5, Y(CCc)=6, Y(CCC)=7 (A funo Y tambem poderia ser descrita

como Y=4x1+2x2+x3, com x1, x2 e x3 igual ao nmero de caras no primeiro, segundo e terceiro lanamento,

respectivamente). Note que, diferente de X, a partio PY induzida por Y em to fina quanto P; de fato, PY=P

e, portanto, FY=F.. Desta forma, a lgebra que induz a prpria F. Portanto, para ser mensurvel, a funo Y mais exigente que X em termos de espao mtrico. Verifique que Y mensurvel, portanto uma varivel aleatria,

em (, F, P), mas no em (, FX, P).

Exerccio 1.1.2 Seja D5 um dado no viesado de 5 lados. Considere um experimento estocstico consistindo de 2

arremessos sucessivos e independentes deste dado.

a Construa o espao amostral correspondente ;

b Descreva a lgebra mais fina de subconjuntos de , F;

c Defina de forma sucinta, mas completa, a funo de probabilidades P : FR, fsicamente adequada ao

experimento ;d Defina X : R como a soma dos pontos nos dois arremessos, descreva PX de forma econmica e

completa ;

e Determine X, o conjunto de valores possveis de X, e determine P{X=x}, para todo xX ;

f descreva o espao de probabilidades (, Fx, P), Fx a lgebra induzida por PX, e P consistente com o

experimento. ;

g Defina Y : R, como Y(w1, w2)=5(w1-1)+(w2-1), onde w1 e w2 so os resultados do primeiro e do segundo

arremesso, respectivamente ; descreva PY, compare-a com PX;

h Mostre que Y mensurvel portanto uma varivel aleatria em (, F, P), mas no em (, FX, P).

I Defina uma funo Z : R, que induza uma partio PZ de , situada entre PX e PY em termos derefinamento ; determine Z e P{Z=z}, para todo zz.

D15. Esperana de uma Varivel Aleatria: E(X) Seja (, F,P) um espao de probabilidade,P={A1, A2, A3,

} a partio geratriz de F, e X()=xiovalor de X para todoAi, ento

= E(X) pode ser definida de forma alternativa mas equivalente como


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= = com X o conjunto de todos os valores possveis de X, e {X=x} ao subconjunto de dos elementos tais que

X()=x.

Varincia de uma Varivel Aleatria: V(X) Seja (,F, P) um espao de probabilidade, P= {A1, A2, A3,

} a partio geratriz deA, e X()=xio valor de X para todoAi, ento

VX = EX EX

= x EX

PA

Ou, alternativamente,

VX = EX = x EXPX = x

Os conceitos de esperana e varincia desempenham papel central em Probabilidade.

Propriedades bsicas da Esperana e da Varincia

Seja X uma varivel aleatria no espao (, F,P), e sejam a e b constantes reais, com a0. Ento, Y=aX+b

uma varivel aleatria.

Prova : Y : R tal que Y()=aX()+b, para todo . Ento, Y={y=ax+b ; xX}, e {Y=y} = { ;

Y()=y} = {X=(y-b)/a} = { ; X()=x}, logo {Y=y} mensurvel em (, F, P), uma vez que X sendo, por

hiptese, uma varivel aleatria, {X=(y-b)/a} mensurvel.

A varivel aleatria Y, uma transformao linear de X, tem as seguintes propriedades :

i E(Y) = aE(X) + b

Partindoda definio de Esperana, e aplicando as propriedades da somatria, temos:

= + = + =

+ = +

ii V(Y) = a2V(X)

Partindo da definio de varincia, e lembrando que E(X) uma constante na verdade um parmetro

associado distribuio da varivel aleatria X, e no mais uma varivel aleatria e, portanto,

E[E(X)]=E(X), temos:


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e

= = + = = =

iii V(X) = E(X2) E

2(X)

Sendo X uma varivel aleatria, X2

tambm o [prove]. Partindo da definio de varincia e das

propriedades do operador somatrio, temos:

VX = x EX

PX = x = x 2EXx + EX

PX = x

VX = xPX = x 2EX xPX = x

+ EX PX = x VX = EX 2X + EX

VX = EX EXExemplo 1.1.4 Seja o espao amostral={a, b, c, d, e}e os eventos A={a, b} e B={c, d, e}.

A classeF= {,A, B, } uma lgebra de subconjuntos de. A funo P:FR definida por:

P( )=0 P(A)=0,2 P(B)=0,8 e P()=1

uma funo de probabilidade. Note que os eventos A e B formam uma partio disjunta de.A trade (, A,P)

um espao de probabilidades.

Exemplo 1.1.5 Um modelo probabilstico para o arremesso de um dado pode ser construdo como se segue:

={1, 2, 3, 4, 5, 6}

F={todos os subconjuntos de },cuja geratriz P={{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}

P definida por P{1} = P{2} = P{3} = P{4} = P{5} = P{6} = 1/6. Como cada tomo tem a mesma probabilidade

1/6, a probabilidade de qualquer evento no unitrio simplesmente o nmero de elementos do evento,

vezes 1/6. Assim, por exemplo, P{1,3,5}=3x1/6=1/2.

Exemplo 1.1.6No espao de probabilidades definido no exemplo acima, sejam as seguintes variveis aleatrias e

suas propriedades fundamentais:

a X{i} = i.

EX = x PX = x =16 x

=

216 = 3,5


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VX = EX EX = x PX = x

3,5 = 16 x

12,5 = 916 12,5 = 166 2,67

b Y{i} = 2X{i} 1, com X{i}=i, como em (a)

Neste caso, E(Y)=2E(X) 1= 7 1 = 6

V(Y) = 22V(X)=4G8/3 = 32/3 10,67

c Z{i} = X2{i}, com X{i}=i, como em (a)

Como j visto em (a), E(Z)=E(X2)=91/6. Para V(Z), calcularemos primeiro E(Z2) que equivale a

E(X4)=(1

4+2

4++6

4)/6 = 2275/6. Logo V(X) = 2275/6 (91/6)

2149,14

Exemplo 1.1.7Um experimento consiste em arremessar um dado; o espao amostral ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Seja F a lgebra completa de subconjuntos de ; ela contm 26=64 elementos, sendo seus tomos os 6

subconjuntos unitrios de .Qualquer funo de probabilidades em (,F)ser completamente definida, pela

definio de seus valores para esses tomos. Em particular, a funo melhor associada s propriedades fsicas

do experimento, considerando-se que o dado bem equilibrado, a que d valor 1/6 para cada tomo. Vamos

agora definir uma varivel aleatria X :R, de forma trivial : X(w)= w. Assim, X pode assumir valores inteiros

de 1 a 6, comprobabilidades iguais a 1/6. Vamos calcular E(X) e V(X)

= = = 16 =

16

=216

= 3,5

Para o clculo de V(X), lembramos que V(X) = E(X2) E

2(X). Mas X

2, por sua vez, uma varivel aleatria,

funo da varivel aleatria original, X ; poderamos at dar-lhe um nome provisrio, digamos, Y. Assim, Y=X2,

e pode assumir valores 1, 4, 9, 16, 25 e 36, com probabilidades implcitas pelas probabilidades

correspondentes do X. Por exemplo, P{Y=4}=P{X=2}=1/6. Ento

= = = = 16 = 16

=916

Portanto,

=

=916

494 =

182 14712 =

3512 2,91667

Seria natural o leitor, nesta altura, se perguntar o que os valores 3,5 e 2,916666, respectivamente Esperana

e Varincia da v.a. X, tem a ver com o prosaico experimento estocstico do arremesso de um dado equilibrado.

S para dar um sabor das coisas que viro nas prximas aulas, adianto que, por exemplo, em mil arremessos

sucessivos de um dado equilibrado, a probabilidade do resultado mdio, vamos cham-lo (l-se xis barramil), cair entre 3,361 e 3,636 igual a 0,99, ou quase certeza, e que estes valores foram obtidos de 2,58 +2,58 , respectivamente. Mais formalmente,


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2,581000 < < +2,581000 = 0,99Como nesse caso, a explorao dos fundamentos da Probabilidade revelar um mundo

inteiramente novo, onde o leitor assumir o controle intelectual de fenmenos que julgava, at

agora, completamente fora de qualquer possibilidade de entendimento, previso e controle. A

propsito, generalizando o resultado acima, arriscando um pouco, construa um intervalo de

probabilidade 0,99, para, o resultado mdio de dez mil arremessos sucessivos de um dado.Exemplo 1.1.8 : O dado de 5 faces. Na construo dos fundamentos da Teoria da Probabilidade, usaremos com

frequncia exemplos simples, no to simples, e at bastante complexos, combinando arremessos de moedas e

dados. O dado normal, de 6 lados tem inconvenientes: a esperana e varincia do resultado so nmeros

fracionrios, sendo a varincia uma dzima. Isto tira um pouco a simplicidade operacional dos exemplos. Para

simplicidade empregaremos mais frequentemente, o dado no viezado de 5 lado, ao qual j nos referimos no

Exerccio 1.1.1, e representaremos por D5. Os resultados possveis so ={1, 2, 3, 4, 5} com chances iguais.

Agora, fazendo (,F, P) um espao de probabilidades, com P a funo de probabilidades que representa as

propriedades reais do experimento,isto P{w}=1/5,para todo ,e definindo a varivel aleatria X()=w,

teremos : E(X)=3 e V(X)=2. Confira.

Exerccio 1.1.3 Calcule esperana e varincia de todas as variveis aleatrias definidas no exerccio 1.1.1.

Exerccios 1.1

4. Mostre que se A, B e C pertencem a uma lgebra, ento ABCtambm pertence.

5. Mostre que uma lgebra tambm fechada com relao a operaes de interseco.

6. Seja um espao amostral ,de cardinalidade n. Qual a menor lgebra de subconjuntos de e

quantos elementos possui a maior?

7. Definindo a lgebra gerada por uma partio de como sendo a menor lgebra de subconjuntos de

que contm a partio, mostre como construir a lgebra gerada pela partio {A, B, C} de .

8. Representaes grficas de conjuntos so teis na visualizao de relaes

diversas entre os mesmos. A figura ao lado representa um conjunto com

dois subconjuntos A e B representados. D nomes s entidades importantes

para este exerccio e ainda no denominadas, determine explicitamente a


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partio associada e construa a lgebraAinduzida.

9. Construa uma funo abstrata de probabilidades sobreAcomo definida em (5).

10. SejaP={A1, A2, A3, A4} uma partio de, de cardinalidade 4.

a. Qual a cardinalidade da lgebra gerada porP?

b. Represente-a de forma extensiva, listando todos os seus elementos?

c. Defina uma funo abstrata qualquer de probabilidades sobre a lgebra gerada.

11. Mostre que seP uma partio disjunta finita de tal que #(P)=m, eA a lgebra correspondente,

ento #(A)=2m.

12. Tratando agora de um problema concreto. Seja um experimento binrio Ep, com espao amostral ={S,

F}, com P{S}=p. Um experimento composto corresponde a 4 repeties sucessivas de Ep.

a. Mostre .

b. Construa uma partio de que agrupe num mesmo tomo resultados com mesmo

nmero de S. De nomes econmicos apropriados a esses tomos.

c. Descreva de forma sucinta mas suficiente a lgebra induzida por aquela partio.

d. Defina a funo de probabilidades apropriada ao caso concreto em questo.

13. Seja o experimento aleatrio que consiste de 10 realizaes sucessivas de um mesmo experimento

binrio Ep, onde P(S) = p, com 0 p 1 genrico.

a. Determine de forma genrica (isto , no tendo que listar todos os seus elementos),

determine sua cardinalidade, e descreva sumariamente, mas de forma suficiente, a

lgebra mais fina de subconjuntos de .

b. Construa a funo de probabilidades sobre a lgebra associada ao experimento fsico

concreto em questo.

14. Seja Ep um experimento aleatrio binrio, com o={S, F} e P{S}=p ; seja E um experimento aleatrio

composto por 3 repeties sucessivas e independentes de Ep.

a. Construa o espao amostral , associado a E.


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b. Seja X : R a funo X. Determine PX, a partio de induzida por X, e a lgebra FX,

induzida por PX.

c. Complete o espao mtrico (, FX) com uma funo de probabilidade P consistente com o

E.

d. Mostre que X mensurvel em no espao mtrico (, FX, P), portanto uma varivel

aleatria neste espao mtrico.

e. Calcule esperana e varincia de X.

f. Defina Y : R como Y()=4w1+2w2+w3, onde wi o nmero de S na i-sima repetio

de Ep. Determine PY e a lgebra induzida FY. Defina o espao mtrico (, FY, P), com P

coerente com E.

g. Mostre que Y uma varivel aleatria em (, FY, P), mas no em (, FX, P), mas que X

mensurvel em ambos os espaos.

h. Considerando (, FY, P), determine E(X) e V(X).


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1.2 A soma de duas ou mais variveis aleatrias independentes

Sejam dois experimentos estocsticos elementares, E1 e E2, com espaos amostrais 1 e 2, e sejam (1, F1,

P1) e (2, F2, P2) espaos de probabilidades apropriados respectivos. Suponha E1 e E2, realizados sucessiva e

independentemente, isto , o resultado de E1 no influi no de E2. Podemos pensar no experimento

composto E, correspondente realizao sucessiva de E1 e de E2. O espao amostral associado ao

experimento composto E pode ser representado pelo produto cartesiano = 12.

Da mesma forma, sejam P1 e P2 as parties geratrizes de F1 e de F2, respectivamente. Ento P=P1P2 a

geratriz da lgebra Fde subconjuntos de , adequada ao tratamento simultneo dos dois experimentos

bsicos, agregados num nico experimento composto, E. No caso em que P1 e P2 forem parties mximas

(em peas unitrios) de 1 e 2, respectivamente, Ptambm ser a partio mxima de .

Exemplos ajudam a clarear a ideia: Considere dois experimentos estocsticos elementares E 1, o arremesso

de uma moeda, e E2, o de um D5 (nosso numericamente conveniente dado de cinco lados). Temos ento

1={C, c} e 2={1, 2, 3, 4, 5}. Considere o experimento composto: arremesso de uma moeda, seguido do

arremesso de um D5. O espao amostral para o experimento composto ser, ento, = 12 = {(C,1),

(C,2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5)}. [Nota : sempre que no houver possibilidade de

confuso, adotaremos, para produtos cartesianos como este, a notao mais simples ={C1, C2, C3, C4, C5,

c1, c2, c3, c4, c5} ].

Num caso genrico, em que 1={a, b, c, d, } e1={1, 2, 3, 4, }, o produto cartesiano ser = 12 =

{a1, a2, a3, a4, , b1, b2, b3, b3, }, e o evento {resultado a em E 1} igual a {a}2={a1, a2, a3, a4, }, da

mesma forma em que o evento {resultado 4 em E 2} 1{4}={a4, b4, c4, d4, }. Admitindo-se que E1 e E2

so experimentos estocsticos independentes, a probabilidade de eventos unitrios em , como {a1}={a

em E1 e 1 em E2} pode ser determinada por

P{a1} = P{a1, a2, a3, a4, a5, } P{a1, b1, c1, d1, } = P1{a} P2{1}

Numa ilustrao ligeira, no caso dos arremessos de moeda e D5, P{C2}=0,50,2=0,1

Uma vez definidos os valores de P para todos os eventos unitrios, a funo probabilidade fica

completamente definida.

Exemplo

1.2.1 Sejam dois experimentos aleatrios E1 e E2, respectivamente o arremesso de uma moeda e de um D5.

Seja E o experimento composto de E1 e E2, realizados sucessiva e independentemente. Aqui, 1={C, c} e 2{1,

2, 3, 4, 5}, logo = 12={C1, C2, C3, C4, C5, c1, c2, c3, c4, c5}. Sejam F1 e F2 as lgebras completas de


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subconjuntos de 1, 2. A funo P1:F1R definida por P1{C}=P1{c}=0,5; a funo P2:F2R definida por

P2{1} = P2{2} = P2{3} = P2{4} = P2{5} = 0,2. Considerando agora o espao amostral conjunto e a lgebra completa

de subconjuntos de , e a funo de probabilidades derivada de P1 e P2, temos que a probabilidade de {C1},,

bem como a de qualquer outro evento unitrio, igual a 0,5x0,2=0,1; a partir da P fica completamente

definida para todo elemento de F.

Sejam dois experimentos, E1 e E2, realizados independentemente, e sejam duas variveis aleatrias, X e Y,

associadas a E1 e E2, e definidas sobre os espaos de probabilidade (1, F1, P1) e (2, F2, P2),

respectivamente. Vamos admitir que X assume valores em X={x1, x2, x3, } e Y, em Y={y1, y2, y3, }. Por

definio, temos :

= =

= =

Acomodando X e Y no espao mtrico produto (, F, P), adequadamente definido, e definindo Z=X+Y, temos

que Z uma varivel aleatria (os subconjuntos de do tipo {Z=z} pertencem a F), e

= + = =

= = =

+ = =

= = =

+ = =

= = + =

= +

Para V(Z), lembramos que V(Z)=E(Z2)-E

2(Z). Sendo E(Z) j conhecida, resta-nos determinar E(Z

2):

=

+

=

=

= = =

+ = =

+ 2 = =

= + + 2Portanto,

= + = + + 2 +


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=

+

= +

Temos ento, completos, dois resultados muito importantes relativos soma de duas variveisindependentes: Se X e Y so duas variveis aleatrias independentes, e Z=X+Y, ento a esperana de Z a

soma das esperanas de X e de Y, e a varincia de Z a soma das varincias de X e de Y.

Exemplos:

1.2.2 Um experimento elementar D5 consiste do arremesso de um dado de cinco lados. O experimento (D5)2

composto por duas repeties sucessivas e independentes de D5. Sejam X1 e X2 variveis aleatrias

independentes, correspondentes pontuao em cada repetio de D5, e seja Y= X1 + X2.

O espao de probabilidades (, F, P) melhor ajustado a este problema tem = {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 2 1, 2 2,

, 5 3, 5 4, 5 5}, com 25 elementos; F a lgebra completa de subconjuntos de (tem, portanto, 225

elementos no vamos list-los todos, portanto), e P bem definida uma vez que qualquer evento unitrio

tem probabilidade 0,22=0,04.

J sabemos que E(Xi)=3 e V(Xi)=2, portanto E(Y)=6 e V(Y)=4. Podemos verificar esses resultados diretamente,

determinando a distribuio de probabilidades de Y. Sabemos que Y assume valores em Y={2, 3, , 10};

precisamos agora determinar a probabilidade de cada um desses 9 valores:

P{Y=2} = P{1 1} = 0,04 P{Y=3} = P{1 2, 2 1} = 20,04 = 0,08 P{Y=4} = P{1 3, 2 2, 3 1} = 0,12

P{Y=5} = P{1 4, 2 3, 3,2 4 1} = 0,16 P{Y=6} = P{1 5, 2 4, 3 3, 4 2, 5 1} = 0,20 P{Y=7} = P{2 5, 3 4, 4 3, 5 2} = 0,16

P{Y=8} = P{3 5, 4 4, 5 3} = 0,12 P{Y=9} = P{4 5, 5 4} = 0,08 P{Y=10} = P{5 5} = 0,04

Note que, enquanto a distribuio de probabilidades de X uniforme sobre seus 5 valores possveis, a de Y

no, concentrando mais probabilidade nos valores centrais que nos

extremos, como mostra a figura ao lado. Veremos mais adiante como

esta uma tendncia geral.

O valor mdio esperado de Y pode ser calculado diretamente como

EY = yPY = y

= 2 0,04+3 0,08+4 0,12 + 5 0,16+6 0,20 + 7 0,16+8 0,12+9 0,08+10 0,04 = 6Para calcular a varincia de Y, primeiro vamos calcular E(Y2):

EY = yPY = y = 40,04+90,08+160,12 + 250,16+360,20+ 490,16+640,12 +810,08+1000,04= 40


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Portanto, V(Y) = E(Y2) - E2(Y) = 40 - 62 = 4, conforme j havamos previsto pelas propriedades da soma de duas

variveis aleatrias independentes.

As propriedades da soma de duas variveis aleatrias independentes, demonstradas acima (para variveis

discretas), pode ser facilmente generalizada para a soma de

um nmero n qualquer de variveis aleatrias

independentes. Assim, se X1, X2, X3, , Xn so variveis

aleatrias independentes, tais que E(Xi)=i e V(Xi)=i2, ento

EY e VY .

A figura ao lado mostra a distribuio de probabilidades de

Sn, para n de 1 a 8; abaixo v-se a distribuio de

probabilidades de S30, a soma dos resultados individuais de

30 arremessos sucessivos e independentes de D5. Embora,

teoricamente os valores possveis so os inteiros de 30 a 150,

os valores de 75 a 105 totalizam probabilidade superior a

0,95, enquanto que a probabilidade total acumulada dos

valores inferiores a 60 apenas 26,6 milionsimos, o mesmo

valendo para valores acima de 120, j que a distribuio,naturalmente, simtrica.

Exemplos

1.2.3 Seja Ep o experimento binrio elementar, com P{S}=p. Um experimento composto (Ep)n

consiste em

repetir Ep sucessiva e independentemente, n vezes. O espao amostral para (E p)n

o produto cartesiano de {S,

F} por si mesmo, n vezes: = {S, F} {S, F} {S, F} {S, F} {S, F}. Os elementos de so sequncias de Ss e

Fs de comprimento n, indo desde uma sequncia de n Ss at uma de n Fs, passando por sequncias com um

F e n-1 Ss existem n dessas ; com dois Fs e n-2 Ss das quais existem C sequncias distintas e assim


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por diante. No total existem 2n

sequncias diferentes em . A probabilidade de cada um desses eventos

unitrios compostos depende de p e do nmero de Ss. Assim, um evento unitrio consistindo de umasequncia com x Sucessos e, consequentemente, n-x Fracassos, para qualquer x inteiro tal que 0 xn, tem

probabilidade igual a px(1-p)n-x.

Voltando a cada experimento elementar, com 1={S, F} e F={, {S}, {F}, }, e P definida por P{S}=p. seja X a

varivel aleatria correspondente ao nmero de Sucessos obtido no experimento elementar. X pode ento

assumir valor 0 ou 1, com P{X=1}=p; logo, E(X)=p e E(X2)=p, portanto V(X)= E(X2)E(X)=pp2=p(1p).

Com as n repeties independentes de Ep, teremos n verses independentes e identicamente

distribudas da varivel aleatria X, que denominaremos X1, X2, X3, , Xn, todas com mesmaesperana p e mesma varincia, p(1-p). Definindo Y:R como = , temos uma varivelaleatria, com esperana e varincia conhecidas: E(Y)=np e V(Y)=np(1-p). Sabemos ainda que Y

pode assumir valores inteiros, de 0 no caso em que as n repeties resultaram em n fracassos

at n, no caso oposto, em que as n repeties resultaram em n sucesso. A probabilidade de cada

um desses n+1 resultados possveis de Y pode ser determinada, simplesmente contando o nmero

de elementos em cada evento do tipo {Y=y}. Para y=0 j sabemos: s existem uma sequncia n

fracassos consecutivos isto , a cardinalidade de {Y=0} 1, e sua probabilidade, portanto, cuja

probabilidade (1-p)n. J a cardinalidade de {Y=1}

C = n, correspondente s n posies alternativas

para o nico S em meio aos (n-1) Fs da sequncia. Isoladamente, essas n sequncias compem n eventos

unitrios, todos com a mesma probabilidade p(1-p)n-1, logoPY = 1 = C p 1 p = n p 1 pGeneralizando :

PY = y = #Y = y p 1 p = C p 1 p.Na expresso anterior, #{Y=y} representa a cardinalidade ou nmero de elementos de {Y=y}.

Este resultado tem extraordinria importncia e ter papel central neste curso. Voltaremos logo e

frequentemente a ele.

Exerccios:

1.2.1 Um experimento elementar D5 consiste em arremessar um dado de cinco lados. O experimento (D5)n

composto de n repeties sucessivas e independentes de D5. Seja X o resultado uma realizao de D5 e Y a

soma dos n resultados. Monte um espao de probabilidades apropriado a este experimento composto,

assumindo-se que o dado no viesado. Descreva genericamente o espao amostral para (D5)n

cardinalidade, cardinalidade do evento {Y=y}, etc. procure desenvolver uma expresso para P{Y=y}, mas,

mesmo que no consiga, determine E(Y) e V(Y).


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1.2.2 Sejam dois experimentos aleatrios independentes, E 1 e E2; o primeiro consiste do arremesso de

quatro moedas e o segundo o de dois dados D5. Um experimento E composto por E1, seguido de E2.Assumindo moedas e dados no viciados, construa o espao de probabilidades adequado ao caso. Definindo X1

como o nmero de Caras em E1, e X2 como a pontuao total em E2 e Y=X1+X2, determine a esperana e a

varincia de cada uma dessas trs variveis aleatrias.

Um experimento elementar E1 pode ser repetido sucessiva e independentemente, um nmero arbitrrio n

de vezes. Suponha uma varivel aleatria X associada a este experimento elementar ; repetido n vezes,

teremos X1, X2, X3, , Xn, variveis aleatrias independentes e identicamente distribuidas. Interessa-nos, em

particular, o comportamento probabilstico da mdia aritmtica desses n resultados individuais :

= 1 Denominando = , podemos afirmar, da generalizao dos resultados para esperana e varinciada soma de duas variveis aleatrias independentes, para o caso da soma de n variveis aleatrias

independentes, que E(Sn)=nX V(Sn)= n , onde X e so, respectivamente, a esperana e a varincia deX. Como = concluimos :

= = e = = Notem que a mdia de repeties independentes de uma varivel X, tem a mesma esperana que X, masuma varincia que cai com o nmero de observaes, n. Este resultado extraordinariamente importante,

conforme veremos a adiante. Antes vamos provar um resultado bsico fundamental, a Desigualdade de

Tchebyshev.

Desigualdade de Tchebyshev : Seja uma varivel aleatria X, com esperana X e varincia , e umaconstante positiva arbitrariamente pequena ; ento :

| | > A ideia da prova deste resultado simples e charmosa :

=

=

=

= = ;||+ = ;|| = ;|| + =

;||


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= ;|| + | | Logo, como a somatria no segundo membro da desigualdade acima no negativa, conclumos que :

| | E, da, o resultado :

| | = Conforme queramos demonstrar.

Ao limite denominaremos limite superior de Tchebychev.

Pode no parecer, assim, primeira vista, mas o resultado acima extraordinrio por estabelecer uma

primeira relao de limitao de valores extremos de X, em funo de sua varincia. Vemos aqui que,

quanto menor a varincia de X, menor a probabilidade de X assumir valores muito afastados de sua

esperana. Combinando este resultado, devido ao matemtico russo P. L. Tchebychev (1821-1894), com o

resultado anterior, para

= 1 chegamos a concluses notveis, como, por exemplo, que, medida que n cresce, a mdia vai sendoespremida probabilisticamente para uma vizinhana cada vez mais estreita de sua esperana X. Dizemos

que converge em probabilidade para X. Este um resultado glorioso, que permite um avanoconsidervel na compreenso profunda de como o Universo funciona; a sua descoberta uma gigantesca

conquista do intelecto humano.

Exemplo 1.2.3

Seja D5 o experimento aleatrio do arremesso de um dado no viciado de 5 lados ; (D5)n

o experimento

composto por n repeties independentes de D5. Sejam X1, X2, , Xn os n resultados independentes,

S = =1 a pontuao total acumulada nas n repeties e X = 1 =1 a pontuao mdiapor repetio. Podemos agora provar que, medida em que n cresce, Xvai ficandoprobabilsticamente confinada em uma vizinhana cada vez mais estreita de 3, a esperana de X.


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Ora, sabemos que

Xn =

=

, logo vai tendendo a zero na mendida em que n cresce

para . Assim, no importa quo pequeno for o , podemos fazer 3 < Xn < 3 + to grandequanto desejarmos, bastando fazer n suficientemente grande.

Como ilustrao, seja =0,01. Vamos determinar n para que possamos garantir, pela desigualdade

de Tchebychev, a probabilidade de X cair entre 2,99 e 3,01 seja pelo menos 0,99. Por Tchebychev,temos :

|Xn EXn| VXn Logo :

3 < Xn < 3 + 1 VXn 3 0,01 < Xn < 3 + 0,01 1 VXn0,012,99 < Xn < 2,99 1 2n0,01 = 0,99

Portanto :

1 20.000 = 0,99 = 20.0000,01 = 2.000.000Concluimos, ento, que aps 2 milhes de arremessos do dado no viciado, de 5 lados, a mdia dosresultados estar, com probabilidade pelo menos 0,99, entre 2,99 e 3,01.

A desigualdade de Tchebychev, de valor terico extraordinrio, tem relativamente pouca utilidade

no clculo prtico de probabilidades, uma vez que, sendo muito conservadora, fornece limites

inferiores2 VX altos demais, como nesse exemplo, o que leva a exigncias exageradas sobre n. Mais

adiante introduziremos resultados tericos mais poderosos. Com eles podemos determinar o valor preciso de

n para se garantir 2,99 < Xn < 2,99 = 0,99 . Passando um pouco o carro diante dos bois : so necessrios133.128 arremessos. Com 133.128 arremessos de D5, a probabilidade da mdia dos 133.128 resultadosindividuais cair no intervalo (2,99, 3,01) igual a 0,99. Mais adiante veremos como se chegou a este resultado.

Ainda ilustrando a baixa utilidade da desigualdade de Tchebychev, para clculos prtico : com

n=200 e =0,1, tem-se |X200 3| 0,1 2200, = 1, completamente no informativa, como informarque a chance de sobrevivncia de um paciente menor ou igual a 100%. Tente n=100, ou =0,01.


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Exerccio 1.2.3 Uma populao de tamanho N=1 milho de indivduos, tem a altura A (em cm) distribuda

segundo a tabela abaixo (a a altura em cm e F(a) a frequncia absoluta de a, ou seja, o nmero total deindivvuos na populao com A=a)

a f(a) a f(a) a f(a) a f(a) a f(a)

141 1 151 1.353 161 33.284 171 14.832 181 127

142 4 152 2.360 162 36.963 172 11.258 182 57

143 5 153 3.625 163 39.114 173 7.920 183 37

144 12 154 5.284 164 39.854 174 5.369 184 12

145 17 155 8.005 165 39.169 175 3.448 185 4

146 65 156 11.240 166 36.867 176 2.209 186 1

147 128 157 14.960 167 32.852 177 1.380 187 2

148 236 158 19.549 168 28.970 178 812 188 1

149 456 159 24.332 169 23.827 179 448

150 773 160 29.005 170 19.551 180 222

Um experimento E1 consiste em sortear um desses indivduos ao acaso e medir-lhe a altura. Seja o valor da

altura o resultado do experimento.

a Qual o conjunto de todos os resultados possveis deste experimento?

b Construa, conceitualmente, a lgebra completa, F, de subconjuntos do espao amostral, bem como uma

funo de probabilidade P consistente com o experimento.

c Defina a funo X :R por X()=. Mostre que X uma varivel aleatria em (, F, P). Determine sua

esperana e sua varincia. Mostre que = .d Repita E1, sucessiva e independentemente, n vezes. Para isto, a rigor, voc dever fazer sorteio com

reposio : cada indivduo sorteado medido e devolvido populao, podendo inclusive vir a ser sorteado

novamente. Seja = . Determine a esperana e a varincia de.e Usando a desigualdade de Tchebychev, determine um limite superior para | | > 1, paran=1.000 e para n=10.000.

f Usando-se como estimativa de E(X) a altura mdia da populao para n=1000, qual a probabilidadede se cometer um erro superior a 1cm ?

g Qual deveria ser o nmero de repeties n de E para que o limite superior de Tchebychev para que| | > 0,5 seja 0,05.Nota: a desigualdade de Tchebychev tem extraordinrio valor terico mas, como vimos, valor prtico limitado. Seu

limite superior geralmente muito frouxo, frequentemente dando valores superiores a 1. Mais adiante

desenvolveremos ferramental especfico para tratar de problemas prticos como o sugerido no exerccio anterior.


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1.3 Probabilidade Condicional, Independncia e o Teorema de Bayes, com aplicaes

O conceito de probabilidade condicional tem um papel central na teoria do conhecimento. Mais

recentemente ele tem ganhado grande visibilidade pelo seu papel central em estratgias de busca

automtica na internet.

1.3.1 - Fundamentos

D16.Probabilidade Condicional Seja (, F, P) um espao de probabilidade e B um evento mensurvel

(isto , BF) de probabilidade no nula. A funo PB: F R definida como = umafuno probabilidade no espao mtrico (, F, P), e denominada probabilidade condicional de A,dado B.

D17.Eventos Independentes Se dois eventos mensurveis A e B so tais que PB bem definida e PB(A) =

P(A), ento dizemos que A e B so independentes.Neste caso, P[AB]=P[A]P[B].

Exemplo 1.3.1 Um experimento aleatrio consiste de 2 arremessos sucessivos de um dado equilibrado. O espao

amostral associado a este experimento

= {(1 1) , (1 2) , (1 3) , (1 4) , (1 5) , (1 6) ,(2 1) , (2 2) , (2 2) , (2 4) , (2 5) , (2 6) ,(3 1) , (3 2) , (3 3) , (3 4) , (3 5) , (3 6) ,(4 1) , (4 2) , (4 3) , (4 4) , (4 5) , (4 6) ,(5 1) , (5 2) , (5 3) , (5 4) , (5 5) , (5 6) ,(6 1) , (6 2) , (6 3) , (6 4) , (6 5) , (6 6) }

SejaFa classe de todos os subconjuntos de ; os tomos de Fso, portanto, os 36 subconjuntos unitrios de :

{(1 1)}, {(2 6)}, , {(6 6)}.

Sabemos que a funo de probabilidades fica completamente definida quando definimos seus valores para cada um

dos tomos da lgebra considerada. Sabemos que

P{1 no primeiro lanamento} = P{(1 1) , (1 2) , (1 3) , (1 4) , (1 5) , (1 6) }= 1/6

Da mesma forma como

P{3 no segundo lanamento} = P{ (1 3), (2 3), (3 3), (4 3), (5 3), (6 3) } = 1/6,


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e assim por diante. Ora, no caso concreto de dois arremessos sucessivos de um dado, os dois eventos listados so

independentes, logo

P( {1 no primeiro lanamento}{3 no segundo lanamento}) = P{13} = (1/6)x(1/6) = 1/36

Podemos fazer o mesmo para cada um dos 35 demais eventos unitrios, obtendo 1/36 todas as vezes. Assim, a

funo de probabilidade que associa a cada subconjunto unitrio de o valor 1/36, fiel s caractersticas do

experimento em questo. A funo P, assim definida, a funo de probabilidade natural neste experimento em

que o dado equilibrado e os dois arremessos so feitos de forma independente. Assim, se Aento, neste caso,

por hiptese, AF, (isto , A mensurvel) e P(A)=#(A)/36. A trade (, F, P) um espao de probabilidades. Por

exemplo, o evento A, definido por

A = {os dois resultados so iguais} = {(1 1) ,(2 2) ,(3 3) , (4 4) , (5 5) , (6 6)}

um exemplo de evento mensurvel. Neste caso, #(A)=6 ento P(A)=6/36=1/6.

Seja agora outro evento mensurvel que denominamos B:

B = { a soma dos dois resultados maior que 8 }

= { (3 6) , (4 5) , (4 6) , (5 4) , (5 5) , (5 6) , (6 3) , (6 4) , (6 5) , (6 6) }

Sua probabilidade 10/36. Como P(B)>0, podemos definir a funo de probabilidade PB:FR como

PB(A)=P(AB)/P(B), a probabilidade condicional de A, dado B. Assim, se A como definido acima, temos que AB =

{(4 4) , (5 5) , (6 6)} e P(A B)=1/12, isto , a probabilidade de se ter dois resultados iguais e a soma dos mesmos

maior que 7.

= PA/B = =3361036 =

310 = 0,3

Podemos dizer, ento, que, em dois arremessos sucessivos de um dado, a probabilidade de se ter dois resultados

iguais, dado que a soma dos dois resultados superior a 8, 0,3. Podemos tambm calcular a probabilidade de se

ter um total superior a 8 dado que os dois resultados foram iguais. D 0,333 ; confira.

Da mesma forma como a probabilidade condicional de A, dado B, foi calculada, tambm se pode calcular a

probabilidade condicional em B, de qualquer elemento de F. Por exemplo, se C = {o primeiro resultado 6}, ento

C= {6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6}, e

CB={6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6} e PB[C]=4/10 = 0,4.

Exemplo 1.3.2 Considerando o mesmo espao mtrico do exemplo anterior, seja agora o evento B definido como

B={O segundo resultado parcial seis}={1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6 6}, com P[B]=1/6. A funo de probabilidade P B:F


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R definida por PB[A]=P[AB]/P[B] para qualquer AF a probabilidade condicional de A, dado B. Esta funo

fica completamente definida quando definimos seu valor para cada um dos tomos de F:

Como {ij}{16, 26, 36, 46, 56, 66} igual a se j6 e a {ij} se j=6

{ }[ ]

[ ]

==

=

=

=

66

1

6

1

36

1

][

}{

60][

][

}{

jseBP

ijP

jseBP

P

BP

BijPijPB

Em outras palavras, os tomos {1 6}, {2 6}, {3 6}, {4 6}, {5 6} e {6 6}, que tm interseco no vazia com B tm, cada

um, PB igual a 1/6; os demais 30 tomos de F tm PB zero.

O valor de PB para qualquer dos demais elementos no atmicos de F fica perfeitamente determinado a

partir das propriedades fundamentais das funes de probabilidade. Por exemplo, PB {1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6} = 1/6.

Exemplo 1.3.3 Ainda no mesmo contexto do Exemplo 4, seja o evento:

C={o primeiro resultado parcial impar}

Ento, P[C]=, j que C contem metade dos elementos de , portanto #(C)=18. Como

BC={1 6, 3 6, 5 6}, temos que P[BC]=3/36=1/12. Logo

[ ]2

1

6

1

12

1

][

][]/[ ==

==

BP

CBPBCPCPB

Como PB[C]=P[C], conclumos que, neste espao de probabilidades, os eventos

B={O segundo resultado parcial 6} e C={O primeiro resultado parcial mpar}

so independentes, um resultado que pode ser facilmente interpretado no contexto fsico do exemplo.

Exemplo 1.3.4 Continuemos no espao de probabilidades do Exemplo 4. Seja a funo X: R, definida por

X(ij)=i+j, a soma dos dois resultados parciais. Note que X assume valores no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12} e define uma partio prpria de em 11 tomos, PX={A2, A3, A4, , A12} com Ai={(1+2), tais que

1+2 =i }, para i=2, 3, 4, ..., 12. Ilustrando

A2={11} , A3={12 , 21}, A4={13, 22, 31}, A5={14, 23, 32, 41},

e assim por diante... Como X constante dentro dos tomos de A, conclumos que X uma varivel aleatria. Na

verdade, como adotamos neste exemplo a partio mxima de , na qual cada tomo constitudo de um nico

elemento de , qualquer funo real definida em ser uma varivel aleatria.


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SejaFXa lgebra gerada porPX.Como cada tomo dePX. formado pela unio de tomos deP, dizemos que esta

partio um refinamento daquela. Como a partioPX. mais grossa queP, a lgebraFXdefine sobre uma

estrutura mtrica de menor resoluo mais grosseira que aquela definida porF.Por outro lado, como qualquer

tomo deFX a unio de tomos de F , conclumos queFXF.Na figura abaixo temos uma representao grfica

do espao amostrale das suas duas parties consideradas neste exemplo.

A funo de probabilidade P pode ser reduzida a uma verso definida sobreFX, denominada PX, de formaque

(,FX,PX) menos refinado que (, F,P), mas suficiente para estudar a varivel aleatria X. Lembrando que

FXF, qualquer elemento A deFX tambm elemento deF, e PX[A]=P[A]. Por outro lado, existem elementos

deFque no so elementos deFX. o caso, por exemplo, do evento D={O primeiro resultado parcial 2} = {(2

1), (2 2), (2 3), (2 4), (2 5), (2 6)}. Os eventos desta classe so mensurveis no espao(,FX, P)mas no o so no

espao(,FX, PX). Isto significa que eventos como D tm valor bem definido para P, mas no paraPX. Nocaso

ilustrado temos: P[D]=1/6 e PX[D]=indefinido. Finalmente, a lgebraFX a mais simples mais grossa que

ainda permite a mensurabilidade de X. Qualquer reduo da mesma e a funo X perde a condio de varivel

aleatria.

A varivel aleatria X assume valores no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. A funo de distribuio de

probabilidades de X dada na tabela abaixo.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P[X=x] 0,0278 0,0556 0,0833 0,1111 0,1389 0,1667 0,1389 0,1111 0,0833 0,0556 0,0278

Exerccios 1.3. : [Todos os exerccios desta seqncia se referem ao espao de probabilidades e ao evento B do exemplo

anterior]

1. Determine explicitamente e calcule a probabilidade condicional PB dos seguintes eventos:

a.

b.

c. {O segundo resultado seis}

d. {A soma dos dois resultados d um nmero primo}


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e. {O segundo resultado maior que o primeiro}

f. {O resultado parcial 1 no ocorre}

g. {O resultado parcial 1 ocorre pelo menos uma vez}

2. Encontre um evento que seja independente de B.

3. Seja o evento D={O primeiro resultado maior que o segundo}. Defina a funo de probabilidade

condicional PD, e calcule a PD para todos os eventos citados no exemplo anterior e no exerccio 12.

a. Seja a funo X: R definida como a soma dos dois resultados parciais.

b. Mostre que X uma varivel aleatria no espao de probabilidades (,F, P).

c. DeterminePX, a partio de induzida pela varivel aleatria X.

d. Mostre que seFX a lgebra gerada porPX,entoFXF.

e. Determine a funo de distribuio de probabilidades de X e trace seu grfico.

f. Calcule E(X) e V(X)

g. Determine explicitamente o evento S6={X6}

h. Determine a distribuio condicional de X dado S6.

4. Determine E(X/S6) e V(X/S6) a esperana e varincia condicionais de X, dado S6.

5. Seja A1={O primeiro resultado 6} e A2={O segundo resultado 3}. Verifique que A1 e A2 so

independentes.

6. Sejam X1 e X2 definidas como o valor do primeiro e o segundo resultado parcial, respectivamente.Determine FX1eFX2.

Exemplo 1.3.5 Uma urna contm 3 bolas, sendo uma vermelha e duas amarelas.

Uma segunda urna contm tambm trs bolas, sendo duas vermelhas e uma

amarela. No primeiro estgio, uma das urnas selecionada ao acaso e com

chances iguais, no segundo estgio, dela sorteada uma bola e sua cor anotada...

a. Antes de retornar a bola urna, uma segunda bola ser sorteada da mesma

urna. Qual a probabilidade de que a segunda bola seja amarela dado que a

primeira foi vermelha?

O espao amostral melhor adequado a este experimento

={U1AA, U1AV, U1VA, U2AV, U2VA, U2VV}

e definimos F como a classe de todos os subconjuntos de . Para a definio da funo de probabilidade P

associada naturalmente ao experimento vamos inicialmente dar nome a alguns eventos interessantes:

U1={No primeiro estgio a urna 1 selecionada }={U1AA, U1AV, U1VA} e U2=U1c

A1={A primeira bola selecionada amarela}={U1AA, U1AV, U2AV} e V1=A1c

A2={A segunda bola selecionada amarela}={U1AA, U1VA, U2VA } e V2=A2c


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Pela estrutura do experimento, sabemos que

P[U1]=1\2P[A1 \ U1]=2/3 , P[V1 \ U1]=1/3, P[A1 \ U2]=1/3 e P[V1 \ U2]=2/3

P[A2 \ (U1A1)]= P[V2 \ (U1A1)]=1/2, P[A2 \ (U2A1)]= 0 e P[V2 \ (U1A1)]=1/2

P[A2 \ (U1V1)]= 1

P[V2 \ (U1V1)]=0

P[A1 \ U2]=1/3 e P[V1 \ U2]=2/3

Estamos agora equipados para responder pergunta: P[A2 \ V1]=?

2 1 1 22 1

1 1 2 2

1 1 1 2 1P A V P U VA , U VA 22 3 2 3 2P A \ V

1 1 1 2 1 1 2 1P V P U VA , U VA , U VV 3

2 3 2 3 2 2 3 2

+ = = = = + +

Exerccios 1.3. :

7. Modifiquemos um pouco o experimento original no exemplo acima: o segundo sorteio feito na

outra urna. Calcule P[A2 \ V1].

8. Ainda no experimento modificado, calcule a probabilidade de que a urna sorteada tenha sido a

primeira, dado que a primeira bola foi amarela: P[U1 \ A1]?

9. Em cada uma das duas variaes do experimento das duas urnas, calcule P[V1 \ A2]

10. No caso do arremesso de dois dados, tratado anteriormente, calcule a probabilidade de que o

primeiro resultado tenha sido par dado que a soma dos dois resultados foi maior que 8.

1.3.2 Regra do Valor Total e Teorema de Bayes

Seja um espao de probabilidades qualquer, (, F, P), uma

partio enumervel emensurvel de : A={A1, A2, A3, } e um

evento mensurvel qualquer B. Neste caso, AB={A1B, A2B,

A3B, } forma uma partiodisjunta e mensurvel do evento

B, e portanto

PB = PA B Mas P[AiB]=P[B/Ai]P[Ai], logo

PB = PA PB A


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Vejamos um exemplo simples de aplicao deste resultado.

Exemplo 1.3.6 Trs urnas contm 100 bolinhas cada, todas idnticas, exceto na cor. Na primeira, 90 bolinhas

so vermelhas, na segunda 50 e na terceira, uma. As restantes so amarelas. Uma urna escolhida segundo

um sorteio com probabilidades 0,10, 0,50 e 0,40 para as urnas 1, 2 e 3, respectivamente. Da urna sorteada,

uma bolinha selecionada ao acaso, e sua cor registrada.

Podemos montar o espao de probabilidades para este caso, sem dificuldade:

={ u1a, u1v, u2a, u2v, u3a, u3v}

F a classe de todos os subconjuntos de

Outras definies operacionais teis:U1={a urna selecionada foi a 1}={u1a, u1v}

A = {a bola selecionada amarela} = {u1a, u2a, u3a}

e assim por diante.

A funo P fica completamente definida quando definimos seu valor para

cada um dos eventos unitrios como:

P{u1a} = P(U1A) = P{U1}P{A/U1}= 0,10x0,10 = 0,01,

De maneira anloga os demais valores so calculados:

P{u1v}= 0,09 , P{u2a}= 0,25 , P{u2v}= 0,25 , P{u3a}= 0,396, P{u3v}= 0,004

A probabilidade de V={a bolinha sorteada vermelha} pode ser calculada pela regra do valor total, j que {U 1,

U2, U3 } uma partio disjunta e mensurvel de e o conjunto V={a bolinha sorteada vermelha} um

evento mensurvel. Assim

P(V) = P(V \ U1) x P(U1) + P(V \ U2) x P(U2) + P(V \ U3) x P(U3)

=0,9 x 0,10 + 0,5 x 0,50 + 0,01 x 0,4 = 0,090 + 0,250 + 0,004 = 0,344

Como A o complemento de V, P(A) = 1-P(V) = 0,656.

Da estrutura do problema, conhecemos a probabilidade condicional de se obter a cor vermelha, dado que a

urna selecionada foi a nmero 1. Invertendo o ponto de vista, podemos agora responder a perguntas como

qual a probabilidade de que a urna selecionada tenha sido a nmero 1, dado que a bolinha selecionada foi

vermelha?, ou seja, P(U1\V). Vejamos

= = = Observe a elegncia como a expresso acima promove a inverso de ponto de vista P(V\U1) P(U1\V).


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Introd

Ou ainda, por um outro

da urna transformada n

A probabilidade condicion

U2, U3} uma partio dis

e

Da mesma forma, conhec

A tabela abaixo e a fig

probabilidades entre as

condicionais, dado que

amarela. Note como, dad

onde esta cor rara

probabilidade a priori

semelhante se verifica na

i P(Ui) P(Ui \ V

1 0,1 0,261

2 0,5 0,726

3 0,4 0,011

o aos Modelos ProbabilsticProf. Sebastio de Amorim

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0,10

0,344 0,90 = 0,2907 0,9gulo, agrupando os termos de outra forma, a maneira co

a probabilidade condicional da urna, dada a cor da bola sor

0,900,344 0,10 = 2,6163 0,1al , por si prpria, uma medida de probabilidade: PV(U1)=

unta de , a soma PV(U1) + PV(U2) + PV(U3) igual a 1. De f

0,500,344 0,50 = 1,4535 0,5

0,40

0,344 0,01 = 1,1628 0,0ndo P(A)=1-P(V)=0,654, determinamos P(Ui\A)

0,10

0,656 0,10 = 0,1524 0,1

0,50

0,656 0,50 = 0,7622 0,5

0,40

0,656 0,99 = 0,6098 0,9ura ao lado comparam as 3 distribuio de

3 urnas: a distribuio a priori, distribuies

bola selecionada vermelha e dado que

o que a bola selecionada foi vermelha, a urna 3

se torna relativamente implausvel, com a

e 40% caindo para apenas 1,16%. Efeito

urna 1, quando a bola selecionada amarela.

) P(Ui \ A)

0,0152

0,3811

0,6037

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

s

30

0 = 0,2616

o a probabilidade a priori

teada:

0 = 0,2616P(U1\V). Logo, j que {U1,

to, como podemos ver:

0 = 0,7267

1 = 0,0116

0 0,0152

0 = 0,3811

9 0,6037

u1 u2 u3


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interessante notar como, neste exemplo, pudemos determinar P(U1 / V) a partir de P(V / U i ) e de P(Ui), para

todo i. Este um recurso muito til na anlise de diversas classes de problemas probabilsticos interessantes,conforme veremos mais adiante.

O resultado implcito no desenvolvimento acima pode ser consolidado no Teorema de Bayes.

Sejam ( , F , P) um espao de probabilidades, P = {A1, A2, A3, ... , An} uma partio enumervel,

mensurvel e disjunta de, e B um evento mensurvel qualquer com P[B]>0, ento,

= Ora, o resultado acima, o Teorema de Bayes, j havia sido sugerida e utilizada na seo anterior. Ela uma

decorrncia imediata da definio de probabilidade condicional e da regra do valor total:

= = =

Na estrutura do experimento voltamos aqui ao exemplo das trs urnas, para ilustrao a determinaode P[B/Ai] imediata, sendo decorrncia direta da sua prpria construo: a probabilidade de uma bola

vermelha, dado que a urna selecionada foi a primeira, 0,10; da mesma forma, P[V \ U 2)= 0,50 e P[V \

U3)=0,01. A frmula de Bayes permite uma reverso da ordem natural do experimento. Com ela podemos,

por exemplo, calcular a probabilidade de U1 dado V.

A frmula de Bayes causa certo desconforto ao formalista mais rigoroso da Teoria da Probabilidade. Se, por

um lado, natural perguntar: A urna u1 foi selecionada; qual a probabilidade, agora, de se sortear uma

bola vermelha?, a pergunta reversa parece violar a ordem natural do experimento: uma bola vermelha foi

sorteada; qual a probabilidade de que a urna 1 tenha sido selecionada?.

A rigor, tendo uma bola vermelha sido selecionada, queda implcito que o estgio do experimento no qual a

urna selecionada j foi realizado. Neste caso, no haveria mais probabilidade envolvida, e a pergunta:

qual a probabilidade de que a urna u1..., seria uma impropriedade formal.

Analogamente, ao se preparar para arremessar uma moeda, voc sabe que a probabilidade de Cara .

Estando j o arremesso no passado, mesmo que voc ainda no tenha conhecimento do resultado, no seria


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prprio perguntar qual a probabilidade de que o resultado tenha sido cara?, ou afirmar a probabilidade

de que o resultado tenha sido cara . A idia de probabilidade no se aplicaria a experimentos pretritos.

Para contornar este desconforto formal, os estatsticos criaram o conceito de nvel de confiana, e uma

maneira objetiva de quantific-lo. Se uma urna contm 100 bolas idnticas, exceto na cor cinco so

amarelas e 95 so vermelhas sabemos que, ao sortear aleatoriamente uma bolinha desta urna, a

probabilidade de sair uma bolinha amarela 0,05. Digamos agora que eu sorteio aleatoriamente uma

bolinha da urna e a mantenho fechada na minha mo. Voc no sabe a cor da bolinha, mas no precisa dizer

que a probabilidade de que ela seja vermelha 0,95. Em vez disto, voc pode dizer que como a bolinha foi

selecionada aleatoriamente de uma urna com 100 bolinhas, das quais 95 so vermelhas, eu tenho 95% de

confiana de que a bolinha na sua mo vermelha.

Viu? A questo foi tratada com elegncia formal, sem usar probabilidade num experimento pretrito. E o

conceito de nvel de confiana, central em Estatstica, foi introduzido. Mais adiante voltaremos a ele.

A Frmula de Bayes fala de probabilidade, associada a um experimento pretrito, causando desconforto

formal; e causar ainda mais desconforto quando sugerir o conceito de probabilidade subjetiva. Tanto que

provocar a diviso dos estatsticos e probabilistas em dois campos mais ou menos antagnicos e mais ou

menos irreconciliveis, o dos freqentistas e o dos bayesianos. H ainda um campo intermedirio, dos

pragmticos, que procuram utilizar o ferramental terico e operacional dos dois lados, maximizando a

eficcia no tratamento de problemas reais.

E os Bayesianos tm realmente ferramentas muito interessantes, conforme veremos adiante, num contexto

bem bsico.

Exemplo 1.3.7: Um pequeno restaurante em Paris muito freqentado por turistas de todo o mundo; em

particular, de Portugal e do Brasil.

Chega um grupo de turistas e o recepcionista percebe que eles falam Portugus, mas seu conhecimento do

idioma de Cames apenas vestigial, e ele no consegue distinguir, pelo sotaque, se so brasileiros ou

portugueses. Acontece que, conforme se sabe no pequeno bistr, historicamente, cerca de 80% dos turistas de

lngua portuguesa que aparecem por l so brasileiros e os outros, portugueses (para simplicidade, e com todo

o respeito, no consideramos aqui, os demais paises que compartilham conosco a ltima flor do Lcio, e que

contribuem para fazer do nosso o quarto idioma mais falado no mundo.). H ainda outros fatos histricos, de

conhecimento do perceptivo recepcionista. Observador atento de hbitos e costumes se sua clientela

internacional, ele sabe, por exemplo, que 80% dos seus clientes brasileiros tomam cerveja e os demais tomam


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vinho. Entre os portugueses diferente: apenas 10% tomam cerveja; 90% preferem vinho. Pois bem, um grupo

de turistas chega, falando portugus. Ele sabe, ento, a priorique, com probabilidade 0,80, eles so brasileirose com 0,20, portugueses.

a Qual a probabilidade de que o grupo pea vinho?

Uma definio conveniente do espao amostral para este experimento ={bc, bv, pc, pv};a lgebra

a completa (com todos os 16 subconjuntos e a funo prpria de probabilidades neste caso definida a

partir das probabilidades dos tomos da lgebra mxima (que so, portanto, os subconjuntos unitrios de

.

P{bc}= P[B]P[C\B]=0,80,8=0,64

P{bv}= P[B]P[V\B]=0,80,2=0,16

P{pc}= P[P]P[C\P]=0,20,1=0,02P{pv}= P[P]P[V\P]=0,20,9=0,18

Podemos agora calcular P[V]=P{bv, pv}=P{bv}+P{pv)=0,16+0,18=0,34

b Qual a probabilidade de que eles sejam portugueses, dado que pediram vinho?

A probabilidade a priori de que os clientes sejam portugueses apenas 0,20. Dado que eles pediram vinho,

uma ao fortemente associada aos portugueses, a probabilidade de serem portuguesas deve aumentar.

Vejamos:

VP P V P V \ P P P 0,90 0,20 0,18 18

P P P P \ V 0,529P V P V \ B P B P V \ P P P 0,20 0,80 0,90 0,20 0,16 0,18 34

= = = = = = = + + +

= = = +

= 0,900,200,200,80+0,900,20 = 0,180,16 + 0,18 = 1834 = 0,529Como PV uma funo de probabilidades em (, F), logo PV(B) =PV(P

c)=1-PV(P)=0,471. Este resultado

pode, naturalmente, ser confirmado pelo clculo direto da expresso de PV[P].

c Qual a probabilidade de que eles sejam brasileiros, dado que pediram cerveja?

Neste caso, a bebida corrobora a avaliao a priori de que eles seriam brasileiros. O nvel de convico na

brasilidade dos turistas deve, ento, aumentar, a partir do resultado experimental: eles pediram cerveja.

= = = = 0,80 0,801 0,34 = 6466 = 0,970E, portanto, PC[P]=0,030. A priori, a probabilidade de o grupo ser brasileiro j elevada; ao pedir cerveja

o grupo refora a evidncia ao nvel de quase certeza: eles so mesmo brasileiros.


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d Vamos agora admitir que uma distribuio a priori objetiva no exista para a nacionalidade brasileira ou portuguesa dos clientes que entram no bistr falando portugus. Mas o recepcionista,

pessoa observadora e inteligente, tem uma percepo subjetiva aguda. Por motivos que ele no consegue

definir de forma nem clara nem objetiva, ele sente os recm chegados so brasileiros. Treinado a pensar

estatisticamente, ele consegue, inclusive, quantificar subjetivamente o grau de convico neste seu

feeling: jai 90% de conviccin que ils sont brasilienes.

Pois bem, admitindo ento a distribuio a priori de probabilidades, podemos calcular, moda

bayesiana, a distribuio a posteriori de probabilidades (brasileiros ou portugueses) relativa aos

turistas. Novamente, se eles pedirem cerveja, a convico do matre serreforada:

= , = 0,640,64+0,02 = 0,9697Asoutras trs probabilidades condicionais de interesse poderiam aqui ser calculadas de forma anloga.

Deixo a tarefa ao leitor.

No exemplo anterior vimos como a Frmula de Bayes permite conjugar informao a priori, muitas vezes de

natureza subjetiva, com resultados experimentais objetivos, compondo uma distribuio a posteriori de

convices. A grande utilidade da abordagem decorre do fato que muitas vezes conhecimento no baseado

em experimentos cuidadosamente planejados e executados, so valiosos por agegarem percepes e

aprendizado adquirido de forma expontnea, como atravs do acmulo gradual de experincia sobre

fenmenos especficos.

Teremos adiante mais exposio ao mtodo e pensamento bayesianos.

Exerccios 1.3. :

11. Determinada doena tem, numa dada populao, prevalncia igual a, em mdia, cinco casos para cada 100 mil

indivduos. Um exame clnico para diagnosticar esta doena tem especificidade 98% e sensibilidade 99%. Isto

quer dizer que a probabilidade deste exame dar um falso positivo, ou seja P {+}, igual a =0,02, enquanto que

a probabilidade de um falso negativo, isto P+{}, 0,01. Um indivduo selecionado ao acaso desta

populao e examinado. Calcule :

a. P{Resultado d positivo}

b. P+{+}, a probabilidade que o paciente seja realmente doente, dado que o resultado deu positivo.


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1.3.3 Jogando dados e contando

O arremesso de um dado oferece um contexto frtil para o desenvolvimento e consolidado de algumas

idias bastante sofisticadas em probabilidade; vamos elaborar mais sobre o D5 e suas variantes. De quantas

maneiras diferentes se pode obter 16 pontos em 4 arremessos de D5? A resposta a esta pergunta essencial

para se determinar P{S4=16}. A resposta 35. E de quantas maneiras diferentes se pode obter 60 pontos em

D520

, ou 20 arremessos de nosso numericamente amigvel dado de 5 lados? A resposta agora

5,966,636,799,745, fazendo P{S20=60}=S200,220

igual

a 0.062564721 ou, aproximadamente, 6,26%. Como

foram feitos esses clculos?

Seja D5 o experimento aleatrio que corresponde ao

lanamento de um dado no viesado de cinco lados, e

D5n

o experimento composto por n repeties

sucessivas e independentes de D5. Seja Xi o resultado

parcial do i-simo lanamento. Temos agora uma

linguagem para este problema: queremos determinar

#{Sn=s}. Vamos desenvolver uma soluo recursiva.

Como Sn=s pode ser alcanado a partir dos valores s-1,

s-2, s-3, s-4 e s-5 para Sn-1, sempre de uma nica

maneira, com Xn igual a 1, 2, 3, 4 ou 5,

respectivamente, conclui-se que

# = = = Na tabela ao lado tem-se #{Sn=s} para n de 1 ao 8; seu

formato sugere o esquema construtivo. As clulas

sombreadas mostram como cada valor obtido, a

partir da primeira coluna, para n=1. Por exemplo:

# = 21 = 29.400 = = 21 = 3535 + 4795 + 6055 + 7140 + 7875

Com uma planilha tipo Excel simples; as colunas

podem ir sendo construdas sucessivamente. Este

mtodo recursivo pode ser adaptado para clculos

anlogos em diversas situaes, como lanamentos de dados de qualquer nmero de faces, entre outros.

s#{Sn=s}

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8

1 1

2 1 1

3 1 2 1

4 1 3 3 1

5 1 4 6 4 1

6 5 10 10 5 1

7 4 15 20 15 6 1

8 3 18 35 35 21 7 1

9 2 19 52 70 56 28 8

10 1 18 68 121 126 84 36

11 15 80 185 246 210 120

12 10 85 255 426 455 330

13 6 80 320 666 875 784

14 3 68 365 951 1520 1652

15 1 52 381 1246 2415 3144

16 35 365 1506 3535 5475

17 20 320 1686 4795 880018 10 255 1751 6055 13140

19 4 185 1686 7140 18320

20 1 121 1506 7875 23940

21 70 1246 8135 29400

22 35 951 7875 34000

23 15 666 7140 37080

24 5 426 6055 38165

25 1 246 4795 37080

26 126 3535 34000

27 56 2415 29400

28 21 1520 23940

29 6 875 18320

30 1 455 1314031 210 8800

32 84 5475

33 28 3144

34 7 1652

35 1 784

36 330

37 120

38 36

39 8

40 1


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Como os resultados individuais de D5 so equiprovveis, as probabilidades de eventos como {Sn=s} so

determinadas diretamente: P{Sn=s}=#{Sn=s}0,2n, podemos determinar P{S8=21}=0,075266. Simples.

Queremos agora desenvolver uma abordagem para a resposta a questes como:

Em D54

, dado que S4=16, qual o valor mais provvel de X1? Posto numa linguagem coloquial: se, em

quatro lanamentos de D5, a pontuao acumulada foi 16, qual o resultado do primeiro

lanamento mais provvel de ter acontecido?

Generalizando: Em D5n, se Sn=s, qual a distribuio de Xm, para mn? e para m>n?

Exemplo

Seja o experimento aleatrio D520

. Qual a distribuio de X15, dado S20=50?

Ora, podemos determinar a distribuio a priori (incondicional) de X 15: uniforme sobre o suporte {1, 2, 3, 4, 5}.

Queremos saber como o conhecimento de S20=50 distorce esta distribuio. Para isto, temos que determinar

P{X15=x / S20 = 50}, para todo x em x={1, 2, 3, 4, 5}. Primeiro, vamos determinar P{X15=1 / S20 = 50}.

= 1 = 50 = = 1 = 50 = 50 = = 1 = 49 = 50 = 1 = 50 = # = 1 # = 49 0,2# = 50 0,2 = 1 538.320.708.3401.751.059.016.758 = 0,307426

De forma anloga determinamos P{X15=x}, para x=2, 3, 4 e 5, obtendo,

respectivamente, 0.246527, 0.192365, 0.145987 e 0.107695. A figura ao lado

mostra as distribuies a priori, em vermelho, e a posteriori, em verde, de X 15.

Vemos como a informao de que S20=50 distorce a distribuio de

probabilidades de X15, aumentando a verossimilhana de valores baixos e

diminuindo a de valores altos. Isto era esperado, uma vez que S20=50 um

resultado baixo, inferior ao valor mdio esperado, 60. Valores ainda mais baixos

diminuiriam ainda mais a plausibilidade de {X15=5}. Para S20=40, a probabilidade

condicional de {X15=5} fica reduzida a 4,41% enquanto a de {X15=1} sobe para 45,2%. Todos estes clculos foram

feitos diretamente sobre a tabela estendida de #{Sn=s}, da qual apresentamos um segmento acima.

Vamos agora explorar uma outra questo. J resolvemos o desafio numrico associado determinao da

distribuio exata a priori, ou incondicional, de Sn. Que tal agora enfrentar o seguinte desafio: Qual a

distribuio de Sm, dado Sn, para mn? O desenvolvimento segue a mesma linha:

= = = = = = = = = =

= = = = = # = # = # = =Note que = = igual probabilidade de Sm ser igual a m e os n-m arremessos seguintesresultarem em um total de sn-s pontos. Os dois eventos, {Sm=s}={X1+ X2 + +Xm= s} e {Sn-Sm=sn-s} = {Xm+1+


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Introd

Xm+2 ++Xn=sn-s} so, obviamen

suas probabilidades. Alem disto,

sn-s}, que a probabilidade de

Assim explica-se a passagem an

foi apresentado acima.

Na figura abaixo temos a distri

S20=70. Note que um resultado

improvveis valores pequenos d

S15 menores que 45, dado que S

de S15 superiores a 65.

A distribuio de S20 est dada

o deslocamento da distribuio

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

15

17

19

21

23

25

27

0,00

0,01

0,02

0,03

0,040,05

0,06

0,07

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

o aos Modelos ProbabilsticProf. Sebastio de Amorim

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e, independentes, logo a probabilidade da intersec

tambm obviamente, P{Xm+1+ Xm+2 ++Xn=sn-s} igu

se totalizar sn-s pontos em n-m arremessos, porta

terior. As contagens so obtidas da tabela de #{Sn=s

buio a priori de S15 ( em vermelho) e a diatribui

uito grande de S20, bem acima do valor mdio espe

e S15; como nos do 15 ao 20 a mxima pontuao

20=70, so impossveis; pelo mesmo motivo, tambm

a figura abaixo. Note que o resultado 70 realment

de S15 para a direita.

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

82

s

37

o deles o produto de

al a P{X1+ X2 + +Xn-m =

nto igual a P{Sn-m=sn-s}.

, da qual um segmento

o a priori de S15, dado

rado, E(S20)=60, tornam

ossvel 25, valores de

so impossveis valores

e grande, o que induziu

63

65

67

69

71

73

75

84

86

88

90

92

94

96

98

100


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39

1.4 Alguns Modelos Discretos Importantes

Desenvolveremos aqui alguns modelos probabilsticos discretos importantes, explorando suas propriedades

e possibilidades de aplicao a problemas concretos. Comearemos com modelos derivados de

experimentos binrios.

1.4.1 O Modelo Binomial

Seja um experimento binrio E com P{S} = p. Um experimento composto consiste em repetir E,

independentemente, n vezes. O espao amostral associado a este experimento contm, portanto, 2n

elementos, Nos casos para n=3 e n=4, os espaos amostrais so:

3={FFF, FFS, FSF, SFF, FSS, SFS, SSF, SSS}

4={ FFFF, FFFS, FFSF, FSFF, SFFF, FFSS, FSFS, FSSF, SFFS, SFSF, SSFF, FSSS, SFSS, SSFS, SSSF, SSSS }

Uma funo X: R

interessante aquela

que conta os sucessos

em cada . Com

n=4, por exemplo,

X(SFSF)=2. Para estudar

o comportamento

probabilstico desta

funo, vamos definir F

como a lgebra mxima

de subconjuntos de

isto , a classe de todos

os subconjuntos de . A

funo deprobabilidade

P: F [0, 1]

naturalmente associada

s caractersticas concretas do experimento tal queP{}=px(1-p)

n-x,onde x o nmero de Ss em , para

qualquer


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A funo X, como definida, uma varivel aleatria no espao de probabilidades (,F, P)1, uma vez que a

partio deinduzida por X est contida em F.

No caso n=4, a partio induzida por X tem 5 elementos:

A0 = {X=0} = {FFFF}

A1 = {X=1} = {FFFS, FFSF, FSFF, SFFF}

A2 = {X=2} = {FFSS, FSFS, FSSF, SFFS, SFSF, SSFF}

A3 = {X=3} = {FSSS, SFSS, SSFS, SSSF}

A4 = {X=4} = {SSSS}

Uma descrio completa do comportamento probabilstico da varivel aleatria X dada pela sua funo de

distribuio de probabilidades. Esta funo d a probabilidade de X assumir cada um de seus valores

possveis. No caso dos experimentos binomiais, a funo de distribuio de probabilidades de X

desenvolvida seguindo-se um roteiro lgico muito simples. Como sabemos, qualquer evento unitrio {}

tem probabilidade igual a px(1-p)

n-x, onde x o nmero de Ss em, logo, para o clculo de P{X=x}, basta

determinar a cardinalidade do evento {X=x}, e multiplic-la por px(1-p)n-x. Por exemplo, com n = 3 :

P{SSF} = P{SFS} = P{FSS} = p2q

P{X=2} = P{SSF, SFS , FSS} = 23C p2q = 3p

2q

Com n=4...

P{FFSS} = P{FSFS} = P{FSSF} = P{SFFS} = P{SFSF} = P{SSFF} = p2q

2

P{X=2} = P{FFSS, FSFS, FSSF, SFFS, SFSF, SSFF} = 24C p2q

2= 6p

2q

1A rigor, a lgebra mxima no necessria para se acomodar X como uma varivel aleatria. Para isto bastaria a lgebra gerada pela

partio de induzida por X, ou seja, {A0,A1, A2,, An}, onde Ai o conjunto de todos os elementos de com X()=i.


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Ora, o evento {X=x} o conjunto de todos os elementos de compostos de x sucessos e,

consequentemente, (n-x) fracassos. Como a probabilidade associada a qualquer evento unitrio com estas

caracterscicas , simplesmente, pxq

n-x, para calcular P{X=x} suficiente determinar o nmero de maneiras

diferentes que se pode compor uma seqncia de comprimento n, formada por de x sucessos e (n-x)

fracassos e multiplicar este nmero por pxq

n-x. Este nmero xnC , ou seja:

# !! !

Portanto:

= = 1

Dizemos que uma varivel aleatria como X, que representa o nmero de sucessos em n repeties

independentes de um mesmo experimento binrio Ep, tem distribuio binomial, com parmetros n e p, e

representamos por X~b(n, p). A denominao binomial vem da estreita associao formal da expresso

algbrica de P{X=x} com o binmio de Newton. De fato, a expanso do binmio de Newton (p+q)n

algebricamente idntica a soma de, justificando a denominao. Para 0


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Introd

{P 60 X 1

A figura abaixo, representa, de

extremas: X~b(100, p), para p=0

Exerccios 1.4. : (use computad

12. Seja X ~ b(10, 0,3). Cal

c. P{X=5]

d. A tabela comp

e. A esperana d

f. A varincia de

13. Um dado arremessa

mximo.

g. Calcule P{X=1

h. Calcule E(X) e

i. Calcule P{X


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repetida 100 vezes. Qual a probabilidade de que, no final, uma bolinha branca tenha sado

exatamente 5 vezes?

16. Os eleitores de uma cidade muito grande esto divididos: 30% pensam em votar no candidato A, os

demais tm outras preferncias, ou ainda no decidiram. Voc sorteia 10 eleitores aleatoriamente.

Qual a probabilidade de que, entre eles

n. tenham exatamente 3 eleitores de A?

o. no tenha nem um eleitor de A?

p. sejam, todos, eleitores de A?

q. O nmero de eleitores de A esteja no intervalo [2, 4]

17. Refaa o exerccio anterior para, agora, uma amostra aleatria de n eleitores. Qual a probabilidade

de que, entre eles

r. tenham exatamente 30 eleitores de A?

s. no tenha nem um eleitor de A?

t. sejam, todos, eleitores de A?

u. O nmero de eleitores de A esteja no intervalo [20 , 40].

18. No contexto dos 2 exerccios anteriores voc vai, agora, sortear 1000 eleitores, aleatoriamente. E

voc usar a frao de eleitores de A na amostra (X/1000) como uma estimativa da frao de

eleitores de A na cidade (admita que a populao seja to grande que p pode ser considerado

constante ao longo do processo amostral).

v. Qual a probabilidade de que o erro absoluto cometido |(X/1000-0,30)| seja superior a

0,05.?

w. Qual a probabilidade de que sua estimativa seja inferior a 0,20. E superior a 0,40?

x. Determine um intervalo em torno do valor verdadeiro, 0,30, no qual a probabilidade de

sua estimativa cair seja igual ou superior a 0,95.y. Comente sobre o potencial deste procedimento para se estimar p em uma populao

muito grande, a partir de amostra de uma frao muito pequena da mesma.

19. Sejam n repeties de um mesmo experimento binrio Ep. Seja X o nmero de Ss nas n repeties,

Um o nmero de Ss nas m primeiras e Vm o nmero de Ss nas m ltimas repeties de Ep, com

mn. Seja n=10 e p=0,40.


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a)Calcule

a. P[X>5 / U6300 }

Algumas propriedades bsicas da Distribuio Binomial.

Seja Ep um experimento binomial com, com ={S, P}, F={, {S}, {F},

}, e P definida por P{S}=p. O espao de probabilidades (, F, P)

uma estrutura extraordinariamente simples ; no se pode pensar

em espao mtrico mais simples. Neste espao vamos definir a

funo T : R, como T(S)=1 e T(F)=0. A funo T mensurvel,

logo uma varivel aleatria, com P{T=1}=1-P{T=0}=p.

Uma varivel aleatria assim definida binria, com P{T=1}=1-

P{T=0}= p dita ter distribuio de Bernoulli, com parmetro p, o

que se representa por T~B(p). Sua esperana E(T)=0(1-p)+1p=p

e sua varincia V(T) = E(T2) E

2(T) = p p

2= p(1 p) = pq

Sumarizando : Se T~B(p), ento E

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