Probabilidad de a. C Morgado y Otros

7/27/2019 Probabilidad de a. C Morgado y Otros

1/12

5 . P r o b a b i l i d a d e

A teora do azar consiste em reduz i r todosos acont ecimen tos do mesmo gnero a umcerto nmer o de casos igu al ment e possveis,ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existencia, e em de te rminar o

nmero de casos favorveis ao acontecimentocuja probabi l idade bu scada . A razo destenmero para o de todos os casos possveis a medida dessa probabi l idade, a qual port an to u ma frago cujo nu merad or o nmerode casos favorveis e cuj o den omi n ad or onmero de todos os casos possveis.

F i e r r e Simn L a p l a ce' Ensaio filosfico sobre as Probabilidades

5.1 Introdugo

U m a das aplicagoes mais im port ant es dos resul tados anterior es n a Teora das P robab i l idades . , ,

Diremos que u m experimento d e t er m i m s t i co q u a n d o repe t ido ein condigoes semelhan tes condu z a resul tados essencial mente

118

Cap.5 Probabilidade II!)

idnticos. Os exper im entos que repetid os sob as mesmas condigoesproduzem resul tados geral mente diferentes sero cham ados exper imentos a l e a t o r i o s . F enmenos aleator ios acontecem const an temente em nossa v i d a diar ia . Sao frequentes pergun tas tais como:chover amanh? Q u a l ser a t e m p e r a t u r a mxima no prximodomingo? Q u a l ser o nmero de ganhad ores da L otera E s

port iva? Q u a n t o s habi tantes ter o B r a s i l no ano 2000?A Teora das P robabi l idades o ra mo da M atemti ca que

cria , desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser u t ilizados para estud ar experiment os ou fenmenos aleatorios.

O modelo matemtico ut i l izado para estudar um fenmenoaleatorio par t icu la r v a r ia em sua compl exida de matemtica, de-pendendo do fenmeno estu da do. M as todos esses modelos tmingredientes bsicos comun s. O qu e vamos fazer agor a estu daru ma serie de fenmenos aleatorios relativamente simples e inte-ressantes, e fixar u m a seri e de idias e nogoes que sao total ment e

geras. i

5.2 E spa go Amos t ra l e Probabilidades de L aplace

N e st a sego vamos t r a ta r de um caso par t icu la r da situago geralque ser desenvol vi da na sego segui nte. E s t e caso par t icu la r m u i t o impor tan te , e a maior parte dos exemplos e exerccios destecaptulo sao relativos a esta sego. 2:

A definigao de probabil idade como quociente do nmerode "casos favorveis" sobre o nmero de "casos possveis" foia p r i m e i r a definigao formal de probabi l idade, e aparecen pe lap r ime i ra vez em fo rma c la ra na obra L i b er d e L u d o A l ea e deJ er ni m o C a r d a n o (1501-1576). A p r o b a b i l i d a d e i n t r o d u z i d a nestasego tem, como veremos, var ias propriedades. E l a s sero tomadascomo definigao de u ma fungo de conju nt o que tambm cham ar emo s p r o b a b i l i d a d e n a sego segui nte.

Consideremos o segui nte experim ento aleatorio: jogue u mdado e observe o nmero mostrado na face de cima.


2/12


3/12

IT Probabilidade Cap.5

S o lugao : Vamos indicar comH , cara e com T coroa. O espagoamostra l ento

l = {{H H H ) , ( H H T ) , { H T H ), { H T T ) , ( T H H ) ,

{ T H T ) , { T T H ) , T T T ) }

Donde: # ( ) = casos possveis = 8.

Se A in d ica o evento "obter 2 caras" temos que

A = {{ H H T ) ,{ H T H ) ,{ T H H ) }.

A s s i m#(A ) = 3 e port ant o

Se B denotao evento "obter pelo menos duas caras" temos

B = { {H H T ) ,{ H T H ) ,{ T H H ) ,( H H H ) }.

R e s u l t aqu e = 4 e P { B ) = | = 5-

E xem pl o 5.2: Dois dados saojogados simultneamente. C a lcular a probabilidade de que a soma dos nmeros mostrados as

faces de ci m a seja 7.Sol ug o: O espago amostral f2 consiste detodos os pares (, j)onde i e j sao in tei ros posit iv os compr eendid os entr e 1 e 6. Afigura 5. 1 descreve o espago am ost r al compl etam ent e. ' '


4/12

12't Probabilidade Cap.5

E x em p l o 5.4: Suponhamos que de n objetos escolhemos r aoacaso com reposigao. Q u a l a pr obabil id ade de que nen hu m objeto seja escolhido mais de uma vez?

Sol ug o: O nmero de casos possveis ig u a l a n ' ^ . O nmero decasos favorveis ig u a l a n { n - l ) { n - 2 ) { n - r + 1 ) (r fatores).

A probab i l idade por tan to ig u a l a

n ( n - l){n-2)---{n-r + l ) ^

U m a aplicago interessante deste resultado a seguinte:suponh amos que o ani versar io de um a pessoa possa cair com i g u a lprobab i l idade em qua lquer dos das do an o. Se r pessoas sa oescolhi das ao acaso, a pr obabi li dad e de que todas faga m anos emdas diferentes dada pela frmula an te r io r com n = 365.

A tabela 5.1 d aproximagoes por excesso d e s t a p r o b a b i l idade, p ar a diferentes valor es de r ; por exempl o, pa r a r = 30 apr obabi li dade menor do que 0,30. Os result ados sao bastan tessur preendentes; em um gru po com 35 pessoas, por exempl o, aprobab i l idade de duas dlas terem nascido no mesmo da do ano,(an iversa r ios no mesmo da) ma ior do que 80% .

r P r o b a b i l i d a d e ios i i i i c d i u -t a da definigao.


5/12


6/12

\ 2H Probabilidade Cap.5

C o m as mesmas tcnicas usadas p a r a descrever e pr ovar oP r i n c i p i o da Incki so-Excluso pode-se estabelecer uma frmul apai-a P{Ai U 2 U An ) onde Ai , A2, . , An sao n eventos. C omo,salvo modifi cagoes evident es, a demonstr ago a mesma, e n u n c i amos o r esul tado sem apresentar uma prova.

Proposigo 5 . 4 :

P{Ai UA2U- -- U A n ) = P{Ai) + P {A2) + + P{An) +

:- - -P {AinA2) P i A r ^ - l n A n ) +

+ p{Ain A2nA3) + --- +

+ _ {- i y ' - ^ p{ A i n A 2 n- - - n A n )

A s propr i edades provadas as proposigoes anter ior es saovlidas p a r a qua lquer p r obab i l i dade ; ou seja, p a r a qua lquer fungode conjun tos sati sfazendo as condigoes da defini gao 5.1. Note-seque sobre o mesmo espa go amostral 2 e posswel defini r muitasp r o b a b i l i d a d e s di ferent es. U m fenmeno al eatori o representadomatemicament e por um par de objet os: o-espa go amostral fi (ouc o n j u n t o de eventos elementares) e uma probabili dade P d e f i n i d asobre os subconj un tos (eventos) de f2. O par ( 2, P ) chamadoEspago de P r o b a b i l i d a d e s .

I n t i - oduz imos a nogo de E spago A m o s t r a l como u m objetoun vocamente determi nado por u m dado fenmeno a l ea to r io . Issonao es t r i t amen te cei'to, como podemos ver pelo seguinte exempl o

simples: joguemos uma moeda duas vezes e observemos o n merode caras obtidas.

Representemos como anteriormente c a r a e coroa com asl e t r a s H e T. Podemos tomar como espago a m o s t r a l , , )

i = {H ,H),H ,T),{T ,H ),{T,T)}

e como P i a pr obabi l i dade que faz todos os eventos elementar es(pontos de i ) i g u a l m e n t e provveis. M as, como o que estamos

Cap.5 Probabilidade 12!)

observando neste experimento o nmero de caras, poderamost omar como espago a m o s t r a l o conjunto I2 = {0,1,2} correspondente a observar O caras, 1 c a ra , ou 2 caras. E como definimos'2? Se queremos um modelo que "represent e" o fenmeno real (noHomtido de que as freqncias re l a t i v a s " a p r o x i m e m " as p r o b a b i l idades do modelo) deveramos d e f i n i r P2 da seguinte f o r m a

2 (0) = P2 (2) = i 2 (1) = .

Temos ento dois espagos de probabiH dades (f i ,P i ) e{0 ,2, P2) que r ep r esen t a r a o mesmo fenmeno a l ea to r io . E x i s t e al -gu m moti vo que deter min e a prefer encia de um modelo sobre umoutro? A resposta a f i r m a t i v a : um model o em que os eventos elementa r es sejam i g u a l m e n t e provveis m a i s conveniente porquef ac i l i t a geral mente os clcul os de quase todas as pr obab i l i dades .A s tcnicas desenvolvidas nos Capt ul os 2 e 3 podem ser u t i l i z a d a scom provei to. N os exemplos seguint es as propri(Hl ad(s das p i o b a -b i l i dades sero usadas na m a i o r p a r t e dos casos sem r e f e r enc i aespecfica. A pr obabi l i dade ser quase sempre a i n t r o d u z i d a nasego 5.2.

E x e m p l o 5.6: U ma r ecepc ion i s t a recebeu n chapus, mas estesficaram t o t a lmen te mi s tu r ados . D e c i d i u , ento devolv-los a esmo.C a l c u l a r a p r o b a b i l i d a d e de que n e n h u m homem receba o seu. (Einteressante t e n t a r a d i v i n h a r o comportament o dessa p r o b a b i l i

dade quando n grande, antes de efetuar o clculo.)

Sol u go: O nmero de casos possveis i gua l ao das permutagesde n elementos, que n!. O nmero de casos favorveis i g u a l aodos permutages caticas de um conju nt o com n elementos. E s tenmero foi cal cul ado na sego 3.2 e i gua l a


7/12

i:{() ProbabilidadeCap.5

A probab i l idade buscada ig u a l ao quociente destes nmeros;

po r t an to ig u a l a

2! 3! 4! ^ ' n i

E s t a probab i l idade se e s t ab i l i za rpidamente quando n au

m e n t a ; p a r a n > 4 a variago men or que 0,01. (O l i m i t e destaexpresso quando i oo ~ 0,37.)

E x e m p l o 5.7: U m a lotera t em N nmeros e s um premio.U m jogador compr a n bi lh etes em um a extrago. O ut r o compras u m bil het e em n extrages diferentes. (A mbos os jogadoresapos tam po r t an to a mesma impor tanc ia ) . Q u a l deles tem maiorp robab i l idade de ganha r o p remio?

Sol u go: Se todo o d inhe i ro jogado n u m a nica vez a probab i l i d a d e de ganhar n / N . P a r a ca lcu la r a ou t r a p robab i l idade

procedemos da segu in te mane i r a . V amos ca lcu la r p r ime i r o a p robab i l i d a d e de nao ganhar. O nmero de casos possveis ig u a l a N ' ^ .O s casos favorveis (neste caso nao ganhar) sao (A'^ 1 ) ". Po r t a n t oa probab i l idade de nao ganha r ig u a l a

{ N - l y / N - 1\

l N ) 1 y '

e a de ganhar

T emos que compara r ago ra n / iV e 1 - (1 - /iV)'^. A f i r m a m os

qu e

ou equivalentemente ,

n ( 1 ^ "

Cap.5 Probabilidade 1.31

A demonstrago desta desigualdade fe i ta no Apndice 3.in teressante observar a concluso deste resul tado: j oga r t udo

de um a s vez melhor do que i r jogando a os pou cos. E m o ut r a spa lavras , o jogo "fro" melh or (porm, em gera l, parece p rov ocarmenos "satisfago", porque joga-se menos tempo). E s t a concluso vlida em geral para quase todos os jogos de azar .

E x em p l o 5.8: Seis bolas diferentes sao colocadas em tres urnasdiferentes . Q u a l a probabilidade de que todas as urnas estejamocupadas? . - . .K . . . .

Sol u go: A escolha da u r n a em que cada um a das 6 bolas colocada pode ser feita de 3 modos d i feren tes . L ogo , pelo P r i nc i p i oda M ult i pl icago, o nmero de casos possveis

^ #( ) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 .

^ P a r a contar os casos favorveis sejam yl i o (conjunto dedistribuiges de bolas pelas urna s que deixa m vazia a pr im eir au r n a , A2 o conjunto das distribuiges que deixam vazi a a segundau r n a e A 3 da s distribuiges que deixam vazia a terceira .

Temos agora:

#( A i ) = #(^2) = #(A 3) = 26, #( A i n A 2 ) - #( A i n A 3 ) = #( A 2 n y l 3 ) = i

# { A i n A 2 n A 3 ) = o .

P o r t a n t o, p el o P r i n c i p i o d e In c luso-E xcluso ,

# i A i U 2 U ^ 3 ) = 3 X 2^ - 1 - 1 - 1 = 3(2^ - 1)

36 35 243 27


8/12

Probabilidade Cap.5

A s s i m , a p r obab i l i dade p rocur ada

7 27 7 20P I ( A , U A . U A , r i= l - - = =

E x e m p l o 5.9: U m nm ero entre 1 e 300 escolhido a lea to r i a

mente. C a l c u l a r a proba bi li dad e de que ele seja divis vel por 3 oupor 5.

Sol ug o: S e jam A e B o s eventos que acontecem se o nmeroescolhido for divisvel por 3 e por 5 respectivamente. Temos quecalcular P {A U B ). Os n m eros entr e 1 e 300 divis veis por 3 sao100; os divisveis por 5 sao 300/5 = 60, e os divisveis por 3 e 5si mu ltneam ente sao 300/15 = 20. < '

Temos por tan to

P { B ) =

100 1

300 " 3'60 1

300 ~ 5 '

> 20' ) 300

1 _

15'

A s s i m ,

P{ A U B ) = P { A ) + P { B ) - ^( ^ n J 5) = i -f- i - = ^ .

E x e m p l o 5.10: U m trnelo d is pu tado por 4 t imes A , B , C eD . E 3 vezes mais provvel que A venga do que B , 2 vezes m ai sprovvel que B venga do que C e 3 vezes ma i s provvel qu e Cvenga do que D . Q u a i s as probabi li dades de ganh ar pa ra cada umdos t imes?

Solugo: Va m o s i nd ica r com

= { w i , W 2 , W 3 , W 4 } . f . ' -

Cap.S Probabilidade \ r A

O espago amost ra l que consi ste dos quat ro possveis r esul tados doexperimento:

w i corresponde a que A ganhe o trnelo;

W 2 corresponde a que B ganhe o trnelo;

W 3 corresponde a que C ganhe o trnelo;

W 4 corresponde a que D ganhe o trnelo.

Seja p = P{w4). Tem o s

P{ w3 ) = 3p , P{ w2 ) = 2P{w3) = 6 p ,

P { w i ) = 3P{w2) = 18p.

C o m o a soma das probabi li dades tm que ser igual a 1,

r e su l t a qu ep + 3p + 6p+18p= 1,

ou sej a 28p = 1, de ond e P

P o r t an t o

P ( 4 ) = . i ' ( 3 ) = | , P ( 2 ) = . P ( l ) = ^ .

E x e m p l o 5.11: Seja P u m a p r o b a b i l i d a d e sobre os eventos (subconjuntos) de um espago amost ra l . Sejam A e B eventos t a i sq ue P ( A ) = e P ( P ) = | .P r ov e que: .

a) P {A U P ) > | ; ' "b) I < P ( A n P ^ ) < ;c) i < p ( A n p ) < | .

Sol ug o: P(>1) = | ; i -. .. ^ k: i ; . . : r j. , r


9/12

134 Probabilidade Cap.5

b)

c)

P {A n B " ) < P i B " ) = 1 - P { B ) = - ;

P {A n B " " ) = P { A - B ) = P { A ) - P { A n B )

^ n A ) -P i B ) = l - = ;

P { A n B ) < P {B ) = ^ ;

P { A n B ) = P { B ) - P { B - A )

> P i B ) - P { A ^ ) = - = - . - ^ ' ^ ^ 9 3 9

Exerccios "

1. U m a ca i x a contm 20 pegas em boas condigoes e 15 em mscondigoes. U m a am ostr a de 10 pegas extrada. C a l c u l a r a probab i l i d a d e de qu e ao menos u m a pega na amost r a seja defeit uosa.

2. (P quer com dados) C in co dados sao jogados s i m u l t a n e a -mente e os resultados sao classificados em:

Ai = todos diferentes;A2 = u m par; jA 3 = dois pares;^ 4 = t res iguais ;A 5 = f u l l (tres iguais e dois iguais);AQ ^ quatro iguais (pquer) ;Ar = cinco iguais;A 8 = u m a seqncia.

C a l c u l a r as probabi l idades d e A i i = 1,2,... , 8 . k ) \

Cap.5 Probabilidade l.3(i

3. U m a cidade tem 30 000 habi t antes e t res jorn ais A ,B e 6'.U m a pesquisa de opinio revela que:

12000 lem A ;8 000 lem B ; - 7000 lem A e B ;6000 lem C ; / ,4500 lem A e C ; ' ^Vj . ,1000 lem B e C ;500 lem A , B e C .

Q u a l a probabi l idade de que um h abi t ant e lea :

a) pelo menos um jor na l ;b) s u m jor na l .

4. Os algar ismos 1,2,3,4,5 sao escritos em 5 cartes diferentes.E s t e cartes sao escolhidos (sem reposigo) aleator iamente e os

algarismos que vo aparecendo sao escritos da esquerda para adire i ta , fo rmando u m nmero de cinco algarismos.

a) C a l c u l a r a probabilidade de que o nmero scrito seja par.b) Se a escolh a fosse com reposigo qua l s er i a a p iobab i l idade?

5. C olocam-se a leator iam ente b bolas em b u r n a s . C a l c u l a r aprobabi l idade de que exatamente uma u r n a seja deixada desocu-l)ada. "

6. D ez pessoas sao separadas em dois grupos de 5 pessoas cada

i nn . Q u a l a probabilidade de que duas pessoas de te rminadasA

( B fagam part e do mesmo gru po?

7. 5 homens e 5 mu lh eres compr am 10 cadeir as consecuti vas n amesma fila de u m teatro . Su pondo que se sentar am aleator iam entelias 10 cadeiras , ca lcular :

a) A probabilidade de que homens e mulheres se sentem emcadeiras a l t ernadas; >

b) A pr obabi l id ade de que as mu lh eres se sentem ju nt as.


10/12


11/12


12/12

M O Probabilidade Cap.5

33. E m u m roda sao colocadas, ao acaso, n pessoas.Q u a l aprol)abilidade de duas determinadas dessaspessoas ficarem j u ntas?

34. J oo e Pedro langam, cada um, umdado no-tendencioso.Q u a l a probabilidade do resultado deJ oo ser maior oui gua l aoresultado de Pedro?

35. Q u a l a probabil idade de umapermutago dos nmeros( 1 , 2 , . . . , 10) ter exatamente 5 elementos n o seu lugar pr im it iv o?

36. PA ) = i , P { B ) = P { C ) = i , P { A n B ) = i , P ( A n C ) =^ , P { B n C ) = 0 . C a l c u l e :

a) P { A U B U C ) - - - ' 'h ) P [ A - {B U C ) ] ;c) P {A n ( P U C ) ] ; id ) p ( p n p ) u c ) ] . -

37. P { A ) = l P { B ) = i , P { C ) = i , P i A H B ) = i , P { A n C ) =P {B n C ) = , P {A n P n C ) = . D etermi ne a probabih dadede ocorrncia de:

a) E xatam ente um doseventos A,B,C;b) E xat am ent e dois doseventos A , P , C ;c) P elomenos dois desses eventos;d) N omximo dois desses eventos;e) N o mximo u m desses eventos.

5.4. Probabilidades Condicionis

Con sider emos o experi mento que consiste em jogar u mdado no-vi cia do. Sej am = {1, 2, . .. , 6}, ^ ={2,4,6} e P = {1,24}Temos queP (P )#(P ) /#( 1 ) = 3/6 = 1/2. E s t a a probabil idadede P a p r i o r i , quer dizer, antes que o experimento se realize.Suponhamos que, uma vez realizado o experimento,algum nos

Cap.5 Probabilidade 141

informe que o resultado domesmo u m nmero par, isto , q n v Aocorreu . N ossaopinio sobre a ocorrncia de P se mod if ica comesta informago,j que, ento, somente poder ter ocorri do P se oresul tado do experi ment o tiv er sido 2.E s t a opinio quantif icadacom a introdugo de uma "probabil idade a poster ior i" ou ,comovamos cham-la doravante, p r o b a b i l i d a d e c on d i c i o n a l d eB da doA , def in ida por

4: #( P n A ) ^ 1#(yl) 3'

In troduzimos em geral a seguin te

Definigao 5.2: Dados doiseventos A e B, a p r o b a b i l i d a d e condi-c i o n a l d e B da do A o nmero P{AnB)/P{A). Representaremoseste nmero pelo smbolo P ( P / ^ ) . Tem osento simblicamente

(5.1) P {B / A )p{ A n p )

N ote-se queeste nmero s est definido quandoP { A ) > 0.

A equago (5.1) tambm escr i ta como

(5.2) P ( A D P ) = P ( ^ ) P ( P / ^ ) .

Se P (P ) > Otemos tambm

(5.3) P { A n B ) = P { B ) P {A / B ) .

Antes de passar aos exemplos indicaremos algumas propriedades bsicas da nogo de probabil idade condicional .

Proposigo 5.5: Seja A t a l q u e P { A ) > 0. En to

a ) P {

. O u

s t i j a , f ado A a p r o b a b i l i d a d e c on d i c i o n a l o u t r a p r o b a b i l i d a d esobre o espago a m o s t r a l 2.

Probabilidad de a. C Morgado y Otros

Documents

Transcript of Probabilidad de a. C Morgado y Otros