Probabilidade Alelos Múltiplos Prof. Lourenço Probabilidade Alelos Múltiplos Prof. Lourenço .
Probabilidade de ruína com fluxo de caixa e investimento governados por processos de difisão
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¾»¾ÍÌÏÎ z8wyxj" xZWt+s −Ws
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0 ≤ s < t⇒ As ⊂ At,
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"xZ §
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/Pº»¼ºÙ/§Ê 5" Nt, t ≥ 0 |z|?¡|z |c@'|Ñ+³´v|¥ At, t ≥ 0
Nt ∈ At ∀ t.
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/Pº»¼ºÜF(Ê "6Z"ºvw Mt, t ≥ 0 W|'|zK@#'|?vwyx@¶|³l"ZwyZ&Ý Ñ+³´v|¥ At, t ≥ 0
¾ÍÌMt
At
°|z|?¡|z¢
¾»¾ÍÌE[|Mt|] <∞ W|| Z z t
¾»¾»¾¥ÌE[Mt+s|At] = Mt
W||'Zzs ≥ 0§
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z Z` z W||z| z At¢ ¡|³ ~
M (n)t ≡ Mt∧Tn
, 0 ≤ t < ∞ @;'|?vwyx@¶|³WW||"|z| n ≥ 1P [limn→∞ Tn = ∞] = 1
¢x¡¥ zw ~
MC@¿'|?vwyx@¶|³I³"|³3lxvªyx§
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/Pº»¼º i Ê É"N = Nt, t ≥ 0 -zwyZ`)z¹¦l|?wv|¥2³´wy4wy¡|z|¤³"|³´ xZ
³ |z|?¡|z |C@x¥t → Nt
z4¦l|?wv|¥@³´wy4wy¡|z| 1"|z|wyxZ?¦l|³³´wy4wy¡|zz
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+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/Pº»¼ºÙs µI»Ô|X = M + V
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X = Xt, t ≥ 0 C@ 4wy |?vwyx@¶|³§
°²±¥à SUfBNOijh`NOEG]q^%E9ijfBq^%LOijEG P LO\R^%G]F+HWPBN_`Gâál^xãü-×ÒÓÔ`Ò×î ïѤÔlÛWÕ"×Ò"×áÓÔÜ'ÑÒ:Ô ß ÐÏWáWÒØÑáWØ× · Ó"ÑÒ:×RÖW×7á · î8×Ò:ÖÔ)Ó"×ÑÕ · Ô)ÖWÑ>¹ë ß ØÏ ß Ñ)×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · ØÑ
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5 4
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@ l¦wy xZ±)"aË+xwv|xj§ Þ »Ñ+xwy Ft l c| σ °º³ ¶ ²|¶|z|¤³|£¦l|?wvº¦wC|³"|ÖÕl?wv| Ws0≤s≤t
§
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ÛÑ@ÖW×Ò×Õ`ÖW×Ø · Ö · ÖWÑ Û× ß ÑÒ)ìÔ ß ÑÕ×Ò-ÖW×Ws(ω)
ÛÔÕ"Ôs ≤ tã*`2ÞWÒ×Õì×õÏW× Fs ⊂ Ft
ÛÔlÕÔs < t
×õÏW× Ft ⊂ F ∀ t ã
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPºÙ µI»Ô|Υ = Υ(S, T )
|8³|zB@xaç
f(t, ω) : [0,∞)× Ω → R
¡|w~
¾ÍÌ(t, ω) → f(t, ω)
B×F °Z x%@º¦³ ¢:lxz B "Z"x¡|C| σ °º³ ¶ ²|Czm±2l"³ [0,∞)§
¾»¾ÍÌkè "f(t, ·) Ft °|z|?¡|z§
¾»¾»¾¥ÌE
[∫ T
S
f(t, ω)2 dt
]
<∞ §
ö-Ü ÔæçÏWáWî ïÑϕ ∈ Υ
å£ØÝÔÜ ÔÖÔ4× ß ×Ü'×áÓÔÕ9Ò×£× ß ÔÓ"×Ü¿ÔæçÑÕÜ Ô
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j
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ÑáWÖW×Iå£ÔæçÏWáWî ïÑ · áWÖ · Ø ÔÖWÑÕ"Ô%ã)`2ÞWÒ×Õì×CõÏW×£ØÑÜ'Ñ
ϕ ∈ ΥÚWØ ÔÖÔæçÏWáWî ïÑ
ejÖW×ì×£Û×ÕÓ"×áWØ×Õ-Ô
FtjãRú:ÔÕ"ÔæçÏWáWî8@×Ò-× ß ×Ü'×áÓÔÕ×Ò
ϕ(t, ω)ÚÖW×7á · Ü'ÑÒ)Ô · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ÖW×£û¡ÓA@ØÑÜ'Ñ
∫ T
S
ϕ(t, ω) dWt(ω) =∑
j≥0
ej(ω)[Wtj+1−Wtj ](ω).
ø¥:ù
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPºÙ/êég%(¾»ÀÁ"rÚ Â Ä¼Ûuä¿|oÁ"åPÌ µI»Ô|f ∈ Υ(S, T )
§ Þ »Ñ+xwy £|'wyxZ¡¶|³]z ¨ ë'zfzS|Tl
∫ T
S
f(t, ω) dWt(ω) = limn→∞
∫ T
S
ϕn(t, ω) dWt(ω),ø 4 ù
lxz ϕn C@'|4"~xjwv|zR@xaç³ x¡|"¤¡|w~
E
[∫ T
S
(f(t, ω)− ϕn(t, ω))2 dt
]
→ 0 quando n→∞.
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` ß· Ü · Ó"×9×ܽø 4 ù.×on · ÒÓ"×-ØÑÜ'ÑCÏWÜ × ß ×Ü'×áÓ"Ñ£ÖW×L2(P )
Ú@ÛÑ · Ò ∫ TSϕn(t, ω)dWt(ω) æçÑÕÜ Ô¤ÏWÜ Ô
Ò×õÏZbáWØ · Ô-ÖW×u>¹ÔÏWØ?Ýw£×ÜL2(P )
ã.äÔ · ÒÖW×ÓÔ ß ÝW×ÒÒÑÞWÕ×mÔ)ØÑáWÒÓ"ÕÏWî ïÑ-ÖÔ · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ÖW×Rû¡ÓA@-×BÒÑÞWÕ×Ô£×on · ÒÓAbáWØ · ÔCÖÔÒBæçÏWáWî8@×Ò
ϕnÛÑ@ÖW×ÜÒ×ÕBì · ÒÓ"ÑÒR×Üì`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ã:í Ò×ÐÏ · ÕmÔlÛWÕ"×Ò"×áÓÔÜ'ÑÒ
ÖWÑ · Ò`Ó"×ÑÕ×Ü ÔÒãQ`ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ æçÑÕáW×Ø×Ô ß ÐÏWÜ ÔÒ2ÛWÕÑÛWÕ · ×ÖÔÖW×Ò¤ÖÔ · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ÖW×4û¡ÓA@8×4Ñ8Ò×ÐÏWáWÖWÑÜ'ÑÒÓ"Õ"ÔCõÏW×2× ß ÔCå`ÏWÜ Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ã:í`Ò¹ÖW×Ü'ÑáWÒÓ"Õ"Ôî8×Ò¹ÛÑ@ÖW×ÜÒ×Õmì · ÒÓÔÒm×Ü`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ãMr  3Ä/PºÙPºÜF µI»Ô|
f e g ∈ Υ(S, T )
0 ≤ S < U < T.ßmx¡¥
¾ÍÌ ∫ TSf dWt =
∫ U
Sf dWt +
∫ T
Uf dWt
W||~W|£O zω
¾»¾ÍÌ ∫ TS
(cf + g) dWt = c ·∫ T
Sf dWt +
∫ T
Sg dWt
W||~W|CZ zω¢9lxz4lx%¡|xZ
¾»¾»¾¥ÌE[∫ T
Sf dWt] = 0
¾í½Ì ∫ TSf dWt
FT °Z x%@º¦³§
Mr  3Ä/PºÙPºÙU µI»Ô|f(t, ω) ∈ Υ(0, T ) ∀ T. ßmx¡¥
Mt(ω) =
∫ t
0
f(s, ω) dWs
£@¿'|?vwyx@¶|³3lxvªyxl!"ZwyZ | Ft §
/PºÙPºÙ %(îÍï  ¡OÛÅÄä¿oÁ"åí · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ÖW× û¡ÓA@ ÛÑ@ÖW×Ò×ÕÖW×7á · ÖÔÛÔÕ"ÔÏWÜ ÔØ ß ÔÒÒ×ÖW× · áÓ"×ÐÕ"ÔáWÖWÑÒ
fÜ Ô · ÑÕ£õÏW×
Υã
÷Ô à ×Ü'ÑÒ · ÒÒÑ×á%æçÕ"ÔõÏW×Ø×áWÖWÑÔÒ)ØÑáWÖ · î8@×Òø ·· ùB× ø ··· ùRÖÔÙ`×7á · î ïÑ 4 ã=:@ã=:ÛÔÕ"ÔÔÒ)Ò×ÐÏ · áÓ"×Òæ¾»¾ÍÌ"ð În · ÒÓ"×CÏWÜ'ÔævÔÜY ß· ÔØÕ×ÒØ×áÓ"×ÖW×
σþOë ß Ð×ÞWÕ"ÔÒ At; t ≥ 0
ÓÔ · Ò¹õÏW×
ÄÌWtå¤ÏWÜ!Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑÜ!Õ×ÒÛ× · Ó"Ñ Ô At
×ñ Ì
ftå At
þOÔÖÔÛ%ÓÔÖWÑ
¾»¾»¾¥Ì;ðP
[∫ T
S
f(s, ω)2 ds <∞]
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|c³|zC"f(t, ω) ∈ R
~ |vw°|9òw ×z| Þ »Ñ+xwç¥'¬§¯@§¯ò¡wyw ×#ó ¢ò¡wywyw ×#ó%|wy'|§
í`áÓ"×ÒÖW×ÖW×7á · Õ"ÜÑÒÔæçéÕÜÏ ß Ô8ÖW× û¡ÓA@WÚ.ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'ÑÒÖW×7á · ÕÏWÜ1ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖW×û¡ÓA@Wã÷Ô à ×Ü'ÑÒ· ÒÒÑÖÔ4Ò×ÐÏ · áÓ"×£Ü ÔláW× · Õ"Ôxæ
5;D
+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPº i µI»Ô|Wt
@= l¦wy xZ'±)"aË+xwv|xj8(Ω,F , P )
§ Ê z ¨ Öë@xwvzwy x%wlx|³]C@ "
Xt
(Ω,F , P )
z|`l?'|
Xt = X0 +
∫ t
0
u(s, ω) ds+
∫ t
0
v(s, ω) dWsøÅBù
lxzv ∈ ΛA
¢¹zRl?'|~
P
[∫ t
0
v(s, ω)2 ds <∞ ∀ t ≥ 0
]
= 1.
Î |'²?;|@4wy C~u At
°|z|?¡|z|òlxz At
?l (ò¡wyw ×#ó ×
P
[∫ t
0
|u(s, ω)| ds <∞ ∀ t ≥ 0
]
= 1.
ê@×Xtå£ÏWÜ!ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£û¡ÓA@WÚ×áÓïÑ× ß ×£ÛÑ@ÖW×£Ò×Õ)×ÒØÕ · Ó"Ñ'ÖWפæçÑÕÜ Ô4ÔÞWÕ×ì · ÔÖÔ4ØÑÜ'Ñ
dXt = udt+ vdWt.øÍDù
ö-ÜoÖWÑÒ Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ Ü Ô · Ò · Ü'ÛÑÕÓÔáÓ"×ÒÖÔÓ"×ÑÕ · ÔUÖW× · áÓ"×ÐÕ"Ôî ïÑU×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · Ø Ô%Ú¹Ñ õÏÔ ß ÔÛWÕ×?þÒ×áÓÔÕ×Ü'ÑÒÔÐÑÕ"Ô%Ú3åÔÕ×ÐÕ"ÔØÑáWÝW×Ø · ÖÔØÑÜ'Ñ8æçéÕÜ4Ï ß ÔÖW×'û¡ÓA@Wã8ûZá%æçÑÕÜ Ô ß Ü'×áÓ"×Ú3×ÒÓÔÕ×ÐÕ"Ôå4ÏWÜ Ô ì×ÕÒ"ïÑ8ÖÔÕ×ÐÕ"ÔÖÔØ ÔÖW× · ÔÖWÑØ ë ß ØÏ ß ÑÖ · æç×Õ×áWØ · Ô ß Ø ß ëÒÒ · ØÑWãú:ÔÕ"ÔÏWÜ ÔÛWÕÑìÔæçÑÕÜ Ô ßÖW×ÒÓ"פÓ"×ÑÕ×Ü Ôì×OâÔ`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ãMr  3Ä/PºÙPºÙsêég^Iï  ¡OÛÅÄ¡ä¿|oÁ"åOÀO¾»äO¾»3ÀOC¾ÅÀ¿Ä¼ÛÍÌ µI»Ô|
Xt
@ ",z ¨ Öë@xwvzwy x%wlx|³Iz|z`l
dXt = udt+ vdWt.
µI»Ô|g(t, x) ∈ C2([0,∞) × R)
ò¡wZs¢¶6zW|¦"lxvwyxW| xZzw "xjwvº¦³`[0,∞)× R)
§²ßmx¡¥Yt = g(t,Xt)
£¡|'²?!@ " z ¨ Öë¢9
dYt =∂g
∂t(t,Xt)dt+
∂g
∂x(t,Xt)dXt +
1
2
∂2g
∂x2(t,Xt) · (dXt)
2,øñù
lxz(dXt)
2 = (dXt) · (dXt)"|³@³|z z|lz&Ý£"¡¶|
dt · dt = dt · dWt = dWt · dt = 0, dWt · dWt = dt.
ú:ÔÕ"ÔÔ£æçéÕÜ4Ï ß Ô¤ÖW×`û¡ÓA@á@þZÖ · Ü'×áWÒ · ÑáÔ ß ì×OâÔí`áW×n%Ñ4ûãí Ò×ÐÏ · ÕR×áÏWáWØ · ÔÜ'ÑÒR×`ÛWÕÑìÔÜ'ÑÒRÛÔÕÓ"×ÖWÑ×on%×ÕØYØ · ÑBWã 4 ÖW×`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ÚÑõÏÔ ß Ò×Õ"ëÏ%Ó ·ß·à ÔÖWÑCáWÑØ ÔÛZYÓ"Ï ß ÑñCÖW×ÒÓÔÖ · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWã
5ñ
0  .ôõC¾»È[ÉZ/PºÙPºÙ µI»Ô|Xt
Yt"Cz ¨ Öë
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d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + dXtdYt.
Ó "l¦l|®ê@×OâÔÜ
Wt =
Xt
Yt
,
ÑÏ8Ò×OâÔ%ÚWtå£ÏWÜ!ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖW×£û¡ÓA@Þ · Ö · Ü'×áWÒ · ÑáÔ ß øí©B×OâÔí`áW×on%Ñ'ûù?ã
ê@×OâÔZ(t, ω) = g(t,Wt) = xy
ãBú:× ß ÔæçéÕÜÏ ß ÔÖW×£û¡ÓA@'á@þZÖ · Ü'×áWÒ · ÑáÔ ß Ú@á.ö,:@ÚWÓ"×Ü'ÑÒ9õÏW×
d(XtYt) = 0 + YtdXt +XtdYt +1
2· 1 · dYtdXt +
1
2· dYt · dXt.
ý]ÑÐÑ
d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + dXtdYt.
/PºÙPºÙ/ 0  #÷[3C俽ZÄ Â ¾ÅļÈ[ÉZøP¿Ä¼ä Â;ù Á;¾»÷[Ä+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPº»r µI»Ô|
Nt(.) : Ω → R@ "Z"ºvwlxvªyx§ Þ »Ñ+x|
[N ]t ≡ lim∆tk→0
∑
tk≤t(Ntk+1
(ω)−Ntk(ω))2 (limite em probabilidade)
lxz0 = t1 < t2 < ... < tn = t
∆tk = tk+1 − tk.
© W|'| [N ]t|¦l|?wv|¥~W|zºvw"|
zNxj'wyx%¡|xZ£y¢)
[N ] = [N ]t, t ≥ 0 ¤"¦l|?wv|¥'~W|zºvw||wv|z'| N §
`ÃÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ßMtÖW×7á · ÖWÑ'áWÑQp3×ÑÕ×Ü Ô 4 ã=:@ã=DÓ"×ÜìÔÕ · Ôî ïÑ4õÏÔÖWÕ"ëlÓ · Ø Ô4ÖÔÖÔÛÑÕ
[M ]t =
∫ t
0
|f(s, ω)|2ds.`2Ò'ÖWÑ · ÒÓ"×ÑÕ×Ü ÔÒ'õÏW×Ò×ÐÏW×Ü Ò×Õ"ïÑcÖW×æçÏWáWÖÔÜ'×áÓÔ ß)· Ü'ÛÑÕÓáWØ · Ô áWÑcØ ÔÛZYÓ"Ï ß ÑUñ%Ú¹áWÑ
õÏÔ ß Ö · ÒØÏ%Ó · ÜÑÒ2ÑÜ'ÑÖW× ß ÑÖW×4Ö · æçÏWÒ"ïÑÛÔÕ"ÔÔÕ×Ò×ÕìlÔ8ÖW×4ÏWÜ Ô Ò"×ÐÏWÕ"ÔÖWÑÕ"Ô%ãS` ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ åÑp3×ÑÕ"×Ü Ô'ñ%ã65£×£ÑÒ×ÐÏWáWÖWÑ å¤Ñ>mÑÕÑ ß ëÕ · ÑSBWã=DÖW×->mÝÏWáWÐ&¨ú« ·ßß· ÔÜÒ£ø 5"T[T f ù?ãMr  3Ä/PºÙPº».Ê Å"
W = Wt, t ≥ 0 C@! l¦wy xZ±)"aË+xwv|xj R
l xZ9CgÒwZ`@'|IÑ+³´v|¥ At¡|³j~
W2 '|?vwyx@¶|³³"|³Il"ZwyZ4| At
l¿¦l|?wv|¥'~W|zºvw"|[W ] |vwv|xz
[W ]t = t q.c. ∀ t.
5;E
Mr  3Ä/PºÙPº»3 µI»Ô|M = Mt, t ≥ 0 @ '|?vwyx@¶|³2³"|³£lxvªyxdcz¦l|?wv|¥
³´wy4wy¡|z|'³"|³´ xZ §Ißmx¡¥
P (Mt = M0 ∀ t ≥ 0) = 1.
5"c
û Æ Ì À5Á Ì Â ü Í8Í ÄÂ Ì Í Á Æ Äȧ£5Á ÍÊÅÄÆÇÁ ÈËÊ Ì
ý ±´³ þ HWE9ijG]q@q@EV_`G HWG]q@GIH%Y:P _`G HWLOq@ijEü-×ÒÓÔ Ò×î ïÑ Ö · ÒØÏ%Ó · Ü'ÑÒ Ñ Ü'ÑÖW× ß Ñ Ø ß ëÒÒ · ØÑ ÖW×Õ · ÒØÑWã í`ÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒ õÏW×Ôc×ìÑ ß ÏWî ïÑ ÖÔ
Õ×Ò×ÕìlÔU = Ut, t ≥ 0 ÖW× ÏWÜ ÔsØÑÜ'ÛÔáWÝ · ÔsÖW× Ò×ÐÏWÕÑÒå ×ÜÞÔÒ"ÔÖÔ6×Ü ÏWÜ ×ÒÛÔîÑ
ÖW×ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×(Ω,F , P )
ØÑÜ'Ñ Ò×ÐÏW×ãÅê@×OâÔU0 = u > 0
ÔcÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß ã ú+ÕgbÜ · ÑÒØÝW×ÐÔÜ ØÑáÓ · á@ÏÔlÜ'×áÓ"×-Ô£ÏWÜ Ô2ÓÔ;nWÔ£ØÑáWÒÓÔáÓ"×
p > 0× · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒRÒ"ïÑCÛÔÐÔÒB×Ü · áWÒÓÔáÓ"×Ò
Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÑÒT1, T2, . . . (0 < T1 < T2, . . .)
ÑáWÖW×CÑÒ)ìÔ ß ÑÕ×Ò-ÔÒ×Õ×Ü;ÛÔÐÑÒ-áW×ÒÒ×Ò · áWÒÓÔáÓ"×Ò-Ò"ïÑÖW×ÒØÕ · Ó"ÑÒ.ÛÑÕ:ìlÔÕ · ë ì× · Ò.Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ3áïÑlþZáW×ÐÔlÓ · ìlÔÒ
X1, X2, . . . .`ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ£ÖW×9Õ · ÒØÑ2Õ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×Ú
ÛÔÕ"Ôt > 0ÚWå
Ut = u+ pt− St,øÍEù
ÑáWÖW×St =
∑
i≥1
XiI(Ti ≤ t),×IåÔ æçÏWáWî ïÑ · áWÖ · Ø ÔÖWÑÕ"Ô%ãsÙ`×7á · Ü'ÑÒ'Ô ìÔÕ · ë ì× ß Ô ß × ÔlÓ"éÕ · Ô
τ = inft ≥ 0 : Ut ≤ 0 ãN`ìÔ ß ÑÕ£ÖW× τ áWÑÒCÖëÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖÔÕÏZYáÔ%ãÙ`×ì×Ü'ÑÒCÓÔÜÞåÜØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ8Ô ÛÑÒÒ · Þ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×áïÑKÝÔ ì×Õ8ÕÏZYáÔ%Ú`ÑKõÏW×Ò · Ðá · 7Ø Ô õÏW×
τ = ∞ ãÎ+ÒÓÔÜ'ÑÒ· áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑÒ`áÔ'ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔlÖW×£ÖW×ÕÏZYáÔ×Ü¿Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ
P (τ < ∞)Ú×áÔ'ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×
ÖW×£ÕÏZYáÔ4ÔáÓ"×Ò)ÖWÑ4Ó"×Ü'ÛÑtÚP (τ ≤ t)
ã
ý ±¥à noE9_`G]NOEVijNOfBq@q@LOijE_`GÅSHWPRQVpIHkaÿh`\`_¹CGIHWF`ÅÜ'ÑÖW× ß Ñ4Ø ß ëÒÒ · ØÑÖW×->mÕ"ÔÜ'åÕ)ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ'å£Ø ÔÕ"ÔØÓ"×Õ ·à ÔÖWÑÛ× ß ÔÒ9Ò×ÐÏ · áÓ"×Ò)ÒÏWÛÑÒ · î8×Òæ
• `2Ò:ìÔ ß ÑÕ×Ò:ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò X1, X2, . . .Ò"ïÑ2ìlÔÕ · ëì× · Ò.Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒB× · ÖW×á@þ
Ó · Ø ÔÜ'×áÓ"×8Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒ4ØÑÜoæçÏWáWî ïÑcÖW×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑFÚ¹Ü'åÖ · Ô
µ = E(X1) < ∞ ×ìÔÕ · áWØ · Ô
σ2 = V ar(X1).
• `2Ò4Ó"×Ü'ÛÑÒ T1, T2, . . .áWÑÒõÏÔ · ÒÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÑ@ØÑÕÕ×Ü Ò"ïÑ ÓÔ · Ò4õÏW×ÔÒìÔÕ · ë ì× · Ò
Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ
Zi = Ti − Ti−1, i ≥ 1
ÒïlÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò£× · ÖW×áÓ · ØÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒÚjØÑÜ=Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ×on%ÛÑáW×áWØ · Ô ß ØÑÜE(Z1) = λ−1 ã
• `ÅáðWÜ'×ÕÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò)áWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ [0, t]å£ÖW×áWÑÓÔÖWÑ'ÛÑÕ
Nt = supn ≥ 1 : Tn ≤ t, t ≥ 0,
5"T
ÑáWÖW×sup∅ = 0.
• í`Ò-Ò×õÏZbáWØ · ÔÒ X1, X2, . . .×T1, T2, . . .
Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Òã
ö-Ü Ô4ØÑáWÒ×õÏZbáWØ · Ô'ÖÔÖW×7á · î ïÑ ÔØ · Ü ÔåCõÏW×Nt
åCÏWÜ!ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖW×ú3Ñ · ÒÒÑáØÑÜÓÔ;nWÔλ.`
ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£Õ · ÒØÑÕ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×ÚWÛÔÕ"Ôt > 0Úå
Ut = u+ pt− Stø»cù
ÑáWÖW×St =
Nt∑
i=1
XiãRú3Ñ@ÖW×þZÒ"×£Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÕCøí©B×ZâÔí`áW×on%Ñ'ûûù¹õÏW×
E(St) = E
(
Nt∑
i=1
Xi
)
= λµtø»Tù
×
V ar(St) = V ar
(
Nt∑
i=1
Xi
)
= λt(σ2 + µ2).ø 5 f ù
ê@×OâÔρ = λµ
ÑKìlÔ ß ÑÕÓ"ÑÓÔ ß ×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑ6ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò8ÛÑÕÏWá · ÖÔÖW× ÖW× Ó"×Ü'ÛÑWãö-Ò"ÔáWÖWÑÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒCÒÑÞWÕ× ÛÔÒÒ× · ÑÒÔ ß × ÔlÓ"éÕ · ÑÒÚ3å ÛÑÒÒgYì× ß ÛWÕÑìÔÕøyì×OâÔê@ÏWáWÖ%ÓÚI5CT[T 4 ù¤õÏW× Ò×
p > ρÚ
×áÓïÑUt →∞ õã Øã+õÏÔáWÖWÑ t ↑ ∞ ×áWõÏÔáÓ"Ñ4Ò× p < ρ
Ú@×áÓïÑUt → −∞ õã ØãBõÏÔáWÖWÑ t ↑ ∞ ã
ú3× ß ÑÒ×ÐÏWáWÖWÑÕ"×Ò"Ï ß Ó?ÔlÖWÑWÚψ(u) = 1 ∀ u ã Î+ÒÓÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÓÔÜÞåÜ=å · ÐÏÔ ß Ô¡5áWÑØ ÔÒÑ
p = ρÚÔÛ×Ò"ÔÕ-ÖW×CáïÑ'ÝÔ ì×Õ`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ'ÖW×CØÑáì×ÕÐ[báWØ · Ô%ã)ê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚÏWÜ ÔØÑáWÖ · îïÑ'éÞì · Ô
ÖW×£ÒÑ ß ì[báWØ · Ô4å£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔÒ×p = (1 + θ)λµ, θ > 0.
ø 5[5ùíÅØÑáWÒÓÔáÓ"×
θåCØ?ÝÔÜ ÔlÖÔ »ÑmwxZz£¡¶@|x| ã¹ú.ÔÕ"Ô'Ü'Ô · Ò)ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ì×OâÔ Î+ÜÞWÕ×Ø?ÝÓ"Ò`×
ÑÏ%Ó"ÕÑÒCø¥: f[f[4 ù?ã+Î+Ü;ê ·ß ìlÔS¨Åí¹Ó"ÏWáWØ ÔÕCø¥: f[f Bù?ÚWÑÒ)ÔÏ%Ó"ÑÕ×Ò9Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÜÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ9ÖW×¤Ò · Ü4Ï ß Ôlî8@×ÒÖW×ÒÓ"×£Ü'ÑÖW× ß Ñ4ÛÔÕ"ÔÑØ ë ß ØÏ ß Ñ4ÖÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖW×£ÕÏZYáÔ×Ü Ó"×Ü'ÛÑ7á · Ó"Ñ4×£ØÑÜÛÔÕ"ÔÜØÑÜÑÒ9Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ)ÑÞ%Ó · ÖWÑÒ9Û× ß Ô4ÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÑÕ)Ö · æçÏWÒ"ïÑ%ã
: f
Æ Ì À5Á Ì Â Ì Æ Äȧ£5Á ÍÊÅÄÆÇÁÉÈËÊÌ
_±´³ µ G]q@iHWL ·BE_`E QVE9_`G]NOE>mÑÜ'Ñ ÔáÓ"×Õ · ÑÕÜ'×áÓ"×ÚÒ×OâÔ
XiÑìlÔ ß ÑÕ9ÖÔ · þZåÒ · Ü Ô · áWÖW×á ·à Ôî ïÑõÏW×ÔØÑáÓ"×Ø×CáWÑ · áWÒÓÔáÓ"×
Ti×Nt
Ñ áðWÜ'×ÕÑ ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò Ñ@ØÑÕÕ · ÖÔÒ'áWÑ · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑcÖW×Ó"×Ü'ÛÑ(0, t]ãí`ÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒ
õÏW× Nt, t ≥ 0 å ÏWÜ1ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×ú3Ñ · ÒÒÑácÝWÑÜ'ÑÐ[báW×ÑØÑÜ5ÓÔ;nWÔ λ ×'õÏW× ÑÒCìlÔ ß ÑÕ×ÒCÖÔÒ· áWÖW×á ·à Ôî8×Ò]Ò"ïÑ)Ü4Ï%Ó"ÏÔÜ'×áÓ"× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò3× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×.Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖWÑÒIØÑÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑFÚÑáWÖW×
E(X) = µã.ê@×áWÖWѤÔÒÒ · ÜÚlÑ-ìlÔ ß ÑÕ×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑ2ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò3ÛÑÕ3ÏWá · ÖÔÖW×RÖW×BÓ"×Ü'ÛÑ-å
ÖÔÖWÑÛÑÕρ = λµ
ãõp:ÔÜÞåÜ ÔÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒRõÏW×2ÑÒRìÔ ß ÑÕ×ÒmÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒmÒ"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÖWÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖWÑáðWÜ'×ÕÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òãê@×OâÔ
St =
Nt∑
i=1
Xi
Ò×Nt > 0,
0Ò×
Nt = 0.
ø 5;:ù
Ñ ìÔ ß ÑÕÓ"ÑÓÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÔÐÕ×ÐÔÖÔÒ8áWÑ · áÓ"×ÕìlÔ ß Ñ ÖW× Ó"×Ü'ÛÑ(0, t]ã `ËÛWÕgbÜ · Ñ õÏW×
ÔcØÑÜ'ÛÔáWÝ · ÔUÖW× Ò×ÐÏWÕÑÒÕ×Ø×Þ× å ÛÔÐÑ ØÑáÓ · áÏÔÜ'×áÓ"×ØÑÜ ÏWÜ ÔUÓÔ;nWÔ ØÑáWÒÓÔáÓ"×pã í
ØÑÜ'ÛÔáWÝ · Ô4ÓÔÜÞåÜ¿Õ×Ø×Þ×-âÏWÕÑÒ-ÖW×ÒÏÔ Õ×Ò×ÕìÔ ØÑÜ;ÏWÜ ÔÓÔ;nWÔ'ØÑáWÒÓÔáÓ"×δã`ê@×OâÔ
Uδ(t)Ñ
ìlÔ ß ÑÕ3ÖÔ`Õ×Ò×ÕìÔ2áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×RÓ ãõ>mÑÜÅÔÒ.ÒÏWÛÑÒ · î8@×Ò+ÔØ · Ü Ô%Úê@ÏWáWÖ%Ó)¨êp3×ÏWÐ× ß Ò)ø 5"T[TwDù]Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÜõÏW×
Uδ(t) = ueδt + p
∫ t
0
eδυdυ −∫ t
0
eδ(t−υ)dSυ,ø 5 4 ù
ØÑÜu = U(0)
ã2ü`Ô'×on%ÛWÕ×ÒÒïÑ8ÔØ · Ü Ô%ÚueδtåÑ'ìÔ ß ÑÕ`ÔlÓ"ÏÔ ß ÖÔ'Õ×Ò×ÕìÔ · á · Ø · Ô ß áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×
tÚ
∫ t
0peδυdυ
å¤Ñ4ìÔ ß ÑÕ9ÔlÓ"ÏÔ ß ÖWÑ4Ó"ÑÓÔ ß ÖW×£ÛWÕgbÜ · ÑÒ¹Õ×Ø×Þ · ÖWÑÒ)Û× ß Ô4Ò×ÐÏWÕ"ÔÖWÑÕ"ÔÔlÓ"å¤Ñ · áWÒÓÔáÓ"×t×
∫ t
0eδ(t−υ)dSυ
åÑìlÔ ß ÑÕ£ÔlÓ"ÏÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò¤ÛÔÐÔÒ¤Û× ß ÔÒ×ÐÏWÕ"ÔÖWÑÕ"Ô8ÔlÓ"å4Ñ · áWÒÓ?ÔláÓ"×tã
· Ü'ÛÑÕÓÔáÓ"×mÑÞWÒ×ÕìlÔÕBõÏW×-Ô¤ð ß Ó · Ü'Ô · áÓ"×ÐÕ"Ô ß áÔ¤×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑø 5 4 ù3å)ØÑáWÒÓÔáÓ"×)×áÓ"Õ×9ÑÒ · áWÒÓÔáÓ"×ÒÖÔÒ)ØÝW×ÐÔÖÔÒ)ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òã
>mÑáWÒ · ÖW×ÕפÓÔÜÞåÜÑ ¦l|³lCzlx¡|z ÖW×UtáWÑ4Ó"×Ü'ÛÑ à ×ÕÑWÚ · ÒÓ"ÑåÚ
Vδ(t) = e−δtUδ(t) = u+ p a(δ)t −
∫ t
0
e−δυdSυø 5CBù
ØÑÜ
a(δ)t =
tÒ×
δ = 0, ou
1−e−δt
δ
Ò×δ > 0.
`2Ü · Ó · Õ×ÜÑÒ¹ÑQYáWÖ · Ø×δõÏÔáWÖWÑ ÔÓÔ;nWÔ4ÖW×¹âÏWÕÑÒ9æçÑÕ à ×ÕÑWã
:35
_±¥à þ HWEõ¹2Põ¹2LONOLO_`PB_`G _`G HWhO\`Pê@×OâÔ
ψδ(u)ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×CÕÏZYáÔ×Ü!Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ4ÖW×CÏWÜ ÔØÑÜ'ÛÔáWÝ · Ô4ÖW×CÒ×ÐÏWÕÑÒ
ØÑÜ!Õ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßuãBÎ+áÓïÑ
ψδ(u) = P
⋃
t≥0
(Uδ(t) < 0)
= P
⋃
t≥0
(Vδ(t) < 0)
.
Î+Ü=ê@ÏWáWÖ%Ó,¨ p3×ÏWÐ× ß Òø 5"T[TwDù?ÚÑÒ2ÔÏ%Ó"ÑÕ×Ò2Ö ·à ×Ü;õÏW×Ò×Uδ(υ) ≥ 0 ∀ υ ≤ t
Új×áÓïÑUδ(υ) ≥
U(υ) ∀ υ ≤ t× ∀ δ ≥ 0
ã£ûZÒÓ"Ñ · Ü'Û ß· Ø Ô õÏW×ψδ(υ) ≤ ψ(υ)
ÚIÑÏ Ò×OâÔ%Ú]ÑÜ'ÑÖW× ß ÑØ ß ëÒÒ · ØÑØÑÜ
δ = 0æçÑÕáW×Ø×£ÏWÜ ß· Ü · Ó×2ÒÏWÛ×Õ · ÑÕ)ÛÔÕ"ÔÔ4ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4áWÑØ ÔÒÑ'Ð×Õ"Ô ß
δ ≥ 0ã
ú:ÔÕ"Ô ÏWÜ ÔÜ'× ß ÝWÑÕØÑÜ'ÛWÕ××áWÒ"ïÑÖÔÒÖ · æç×Õ×áWî ÔÒæçÏWáWÖÔÜ'×áÓÔ · Ò4×áÓ"Õ×8ÑÒ4Ø ÔÒÑÒδ = 0
×
δ > 0ÚIì×OâÔÜ'ÑÒ¤Ñ8ØÑÜ'ÛÑÕÓÔÜ'×áÓ"ÑÖWÑ8ÛWÕÑØ×ÒÒÑ Vδ(t), t ≥ 0 áW×ÒÓ"×ÒCÖWÑ · Ò2Ø ÔÒÑÒãü-Ñ8Ø ÔÒÑ
δ = 0ÚÑØÑÜ'ÛÑÕÓÔÜ'×áÓ"Ñ4ÖW×
Vt = Ut = u+ pt− StæçÑ · ÖW×ÒØÕ · Ó"Ñ'áÔ4Ò×î ïÑBWã=:@ã
ü-ÑØ ÔÒÑδ > 0
áïÑÝëØÑáì×ÕÐ[báWØ · ÔÛÔÕ"Ô+∞ ÑÏ −∞ ×Ò · Ü;ÛÔÕ"ÔÔ ìlÔÕ · ë ì× ß Ô ß × ÔlÓ"éÕ · Ô
7á · ÓÔVδ(∞) = u+
p
δ−∫ ∞
0
e−δυ dS(υ).ø 5;Dù
ú:ÔÕ"Ôì×Õ)õÏW×CÔ · áÓ"×ÐÕ"Ô ß áÔ×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑ ø 5;Dùmå7á · ÓÔ%ÚWÞÔÒÓÔævÔ à ×Õ∫ ∞
0
e−δυ dS(υ) =∑
i≥1
e−δTiXi.
í · ÐÏÔ ß ÖÔÖW×RÔØ · Ü Ô)åRìlë ß· ÖÔ)ÛÑ · Ò:Ô · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ó`×ÒõÏW×ÕÖÔ2åmØÑáWÒÓÔáÓ"×m×áÓ"Õ×mÑÒ · áWÒÓÔáÓ"×Ò:×ÜÃõÏW×ØÝW×ÐÔÜÔÒmÕ× · áì · Ö · Ø Ôî8×Òã)>mÑÜ'Ñ
X×TÒ"ïÑ£ìÔÕ · ë ì× · ÒmÔ ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ+ÛÑÒ · Ó · ìÔÒB× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÚ
ÛÑ@ÖW×Ü'ÑÒ)ÑÞ%Ó"×Õ
E
(
∑
i≥1
e−δTiXi
)
=∑
i≥1
E(
e−δTiXi
)
=∑
i≥1
E(e−δTi)E(Xi)
= µ∑
i≥1
E(e−δ[(Ti−Ti−1)+(Ti−1−Ti−2)+···+(T1−T0)])
= µ∑
i≥1
[E(e−δπ)]i, π ∼ Ti − Ti−1
= µ∑
i≥1
(
λ
λ+ δ
)i
<∞.
>mÑÜ'ÑE
(∫ ∞
0
e−δυ dS(υ)
)
<∞ Ú×áÓïÑ(∫ ∞
0
e−δυ dS(υ)
)
<∞ q.cã
Ù`×ÒÓÔæçÑÕÜ Ô%ÚáïÑåéÞì · ÑõÏW×ψδ(u) = 1
Ò×Ü'ÛWÕ×õÏW×p < ρã£ü-Ñ×áÓÔáÓ"ÑWÚIÒ×
p ≤ −δu×áÓïÑ
ψδ(u) = 1ãBú.ÔÕ"Ô4Ü Ô · Ò¹ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ÒÑÞWÕ×£×ÒÓ"×CÜ'ÑÖW× ß ÑWÚ@ì×OâÔ'ê@ÏWáWÖ%Ó*¨úp3×ÏWÐ× ß Òø 5"T[TwDù?ã
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[
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,ø¥: f ù
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ψ(u) = P
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sups≥0
∫ s
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e−∆τdBτ ≥ u|U0 = u
]
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ÐÕ"ÔáWÖW×áðWÜ'×ÕÑ ÖW×Õ · ÒØÑÒ · áWÖ · ì · ÖWÏÔ · Ò · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÚ`ØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔáWÖWÑ õÏW×áW×áWÝ@ÏWÜÖW× ß ×ÒåÐÕ"ÔáWÖW×mѤÒÏx7Ø · ×áÓ"×9ÛÔÕ"Ô2Ôlæç×ÓÔÕ:Ñ2ìlÔ ß ÑÕ3Ó"ÑÓÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò+ÔÐÕ×ÐÔlÖÔÒ.Ò · Ðá · 7Ø ÔlÓ · ìlÔÜ'×áÓ"×ÚÔÛWÕÑCn · Ü ÔÜÑÒ9ÔæçÏWáWî ïÑ
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β×σbÛÑÕ
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×Wd,t
Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò ã+ú3× ß Ô-Ù`×7á · î ïÑ 4 ã=:@ã=E@ÚÓ"×Ü'ÑÒõÏW×Bt×
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Zt e YtÓÔÜÞåÜÒ"ïÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÒ-ÖW×£û¡ÓA@'×Ü
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d(e∆t)− d(e∆t)e−∆tdBt.
p3×ÜÑÒ9ÓÔÜ4ÞåÜ!õÏW×dædBt = −βdt− σbdWb,t
×
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1
2σ2de
∆tdt = e∆t
(
δ +1
2σ2d
)
dt+ σde∆tdWd,t.
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dUt =
[
Ut
(
δ +1
2σ2d
)
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]
dt+ UtσddWd,t + σbdWb,t.ø¥:[Eù
í`ÐÕÏWÛÔáWÖWÑÑÒ9Ó"×ÕÜ'ÑÒ9ÖÔÖ · æçÏWÒ"ïÑ4áÔ×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑ ø¥:[Eù?ÚWÖW×7á · Ü'ÑÒ
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(U 2t σ
2d + σ2
b )1
2
.
ê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ
Wt =
∫ t
0
(U 2s σ
2d + σ2
b )− 1
2 (UsσddWd,s + σbdWb,s).
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2 =1
Utσ2d + σ2
b
(UtσddWd,t + σbdWb,t)2 =
:[D
=1
Utσ2d + σ2
b
(U 2t σ
2d + σ2
b )dt = dt.
ý]ÑÐÑWÚ · áÓ"×ÐÕ"ÔáWÖWÑÔÜ4ÞÑÒ9ÑÒ ß ÔÖWÑÒ9ÖW×ÒÓÔ×õÏÔî ïÑ'áWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ[0, t]ÚÑÞ%Ó"×Ü'ÑÒ
d[W ]t = dt⇒ [W ]t = t.
Ù`×ÒÓÔæçÑÕÜ Ô%ÚÓ"×Ü'ÑÒ õÏW×W = Wt, t ≥ 0 åKÏWÜÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑáÓAYáÏWÑÉØÑÜ,ìÔÕ · Ôî ïÑ
õÏÔÖWÕ"ëlÓ · Ø Ô[W ]t = t
ãUú3× ß Ñyp3×ÑÕ×Ü Ô 4 ã=:@ã65;:@Ú:Ó"×Ü'ÑÒõÏW×WåÏWÜÜ'Ñì · Ü'×áÓ"ÑômÕ"Ñ"<)á · ÔáWÑ
ÛÔÖWÕ"ïÑWãý]ÑÐÑWÚ9ÛÑ@ÖW×Ü'ÑÒ'Ó"Õ"ÔlÓÔÕ ø¥:[Eù4ØÑÜ'Ñ ÏWÜ Ø ÔÒÑ ×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖÔc×õÏÔî ïÑ Ö · æç×Õ×áWØ · Ô ß ÖÔæçÑÕÜ Ô
dUt = µ(t, Ut)dt+ σ(t, Ut)dWt,ø¥:dcù
ÑáWÖW×WåBÏWÜ Ü'Ñì · Ü'×áÓ"Ñ-ômÕÑ"<)á · ÔáWÑ)ÛÔÖWÕ"ïÑ-×BÛÑ@ÖW×Ü'ÑÒØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ At = σWs; 0 ≤ s ≤ t ã
· Ü'ÛÑÕÓÔáÓ"×Ö ·à ×ÕõÏW×Ú¹ØÑÜ'ÑUtåÏWÜ ÔÖ · æçÏWÒ"ïÑWÚR×áÓïÑU× ß ×ÓÔÜ4ÞåÜ åÏWÜoÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ
äÔÕgªÑì · ÔáWÑWãíÃÛWÕ · áWØYÛ · Ñ×ÒÓÔÕ×Ü'ÑÒ · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑÒ-áÔ4Ò×ÐÏ · áÓ"×£ÛÔÕ"ÔÜ'×Ó"Õ ·à Ôî ïÑZæ
µ(t, u) = u(δ(t, u) +1
2σ2d(t, u)) + β(t, u)
ø¥:dTù
σ2(t, u) = u2σ2d(t, u) + σ2
b (t, u),ø 4[f ù
áÔõÏÔ ß Û×ÕÜ · Ó · ÜÑÒõÏW×ÑÒ4ØÑ@×o7Ø · ×áÓ"×Òβ, σb, δ, e σd
ÖW×Û×áWÖÔÜ ÖWÑÓ"×Ü'ÛÑ ×ÖÔÕ×Ò×ÕìÔÔlÓ"ÏÔ ß ãí`ÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒ.õÏW×)ÑÒ+ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò
µ(t, u)×σ(t, u)
Ò"ïѤÒ"Ïx7Ø · ×áÓ"×Ü'×áÓ"×)ÒÏÔì×ÒRÛÔlÕÔ¤ÔÖWÜ · Ó · ÕÏWÜ Ô ðWá · Ø Ô ÒÑ ß ÏWî ïÑUÛÔÕ"Ôsø¥:dcù×8ÛÔÕ"ÔÔÒÒ×ÐÏWÕ"ÔÕ Ô×on · ÒÓAbáWØ · Ô×8ØÑáÓ · á@Ï · ÖÔlÖW×8ÖW×Ó"Ñ@ÖÔÒ'ÔÒÖW×Õ · ìlÔÖÔÒ)õÏW×CÔÛWÕ×Ò×áÓÔÕ×Ü'ÑÒ)áÔ4ÛWÕé"n · Ü ÔÒ×î ïÑWã
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ÖÔÖW×2ØÑáWÖ · Ø · ÑáÔ ß ÖWÑ4ÜYá · ÜÑÔlÓ · áWÐ · ÖWÑÛ× ß Ñ4ÛWÕÑØ×ÒÒÑ'ÖÔÕ×Ò×ÕìÔ4×ÜÏWÜ · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑÖW×2Ó"×Ü'ÛÑ7á · Ó"ÑWÚ
P (t, u, v, y) = P
[
infs∈[t,v]
Us ≤ y|Ut = u
]
, 0 ≤ t ≤ v; u, y ∈ R.ø 4 5ù
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ú:ÔÕ"Ôv×y7xn%ÑÒÚÒ×OâÔ
Mt = P
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infs∈[0,v]
Us > y|At
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ÑáWÖW×
It = 1
[
infs∈[0,t]
Us > y
]
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Î+áÓïÑMt = Mt, t ≥ 0 åCÏWÜ¿Ü'ÔÕÓ · áWÐÔ ß øí©B×OâÔí`áW×on%Ñ ûûûù?ãíÅÒ×ÐÏWáWÖÔ · ÐÏÔ ß ÖÔÖWפ×ÜËø 4 :ù
å¤ÖW×ì · ÖÔ'ó4ÛWÕÑÛWÕ · ×ÖÔÖW×äÔÕgªÑì · ÔáÔ4ÖWÑ'ÛWÕÑ@Ø×ÒÒ"Ñ'ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ%ãí`Û ß· Ø ÔáWÖWÑÔ8æçéÕÜÏ ß ÔÖW×'û¡ÓA@Ð×áW×Õ"Ô ß·à ÔÖÔ>mÝÏWáWÐ|¨ì« ·ßß· ÔÜÒ ø 5"T[T f Ú¿p3×ÑÕ×Ü ÔNT%ã=:ù£ÔÑ
ÛWÕÑØ×ÒÒÑMtÚRÑÞWÒ×ÕìÔáWÖWÑUõÏW×Ô ÛÔÕÓ"×8ØÑáÓAYáÏÔ ÖÔ æçÏWáWî ïÑ
Itå8ØÑáWÒÓÔáÓ×8×8ÏWÒ"ÔáWÖWÑdø¥:dcù
ÑÞ%Ó"×Ü'ÑÒ9ÑÒ×ÐÏ · áÓ"×£Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑZæ
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∂tP (t, Ut, v, y)dt− It
∂
∂xP (t, Ut, v, y)(µ(t, Ut)dt+ σ(t, Ut)dWt)
− It1
2
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∂x2P (t, Ut, v, y)σ
2(t, Ut)dt+ It(1− P (t, Ut, v, y))ø 4[4 ù
− It−(1− P (t−, Ut− , v, y)).
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It(1−P (t, Ut, v, y))å9ØÑáÓAYá@ÏÔ2×Ü
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∂tP (t, u, v, y) +
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P (v, u, v, y) =
1
u ≤ y,
0
u > y,
P (t, y, v, y) = 1, 0 ≤ t < v,
P (t,∞, v, y) = 0, 0 ≤ t < v.
Ó "l¦l|®Î+Ü¿ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ ß ÏWÐÔÕÚÔÒÒ"ÏWÜ · Ü'ÑÒ)õÏW× ∫ ∂
∂xP (t, Ut, v, y)σ(t, Ut)dt
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Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ã+p3×Ü'ÑÒõÏW××ÒÓ"×Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß åÔÞWÒÑ ß Ï%ÓÔÜ'×áÓ"×'ØÑáÓAYáÏWÑ× ÛÑÕÓÔáÓ"ÑÖW× ìlÔÕ · Ôî ïÑß· Ü · ÓÔÖÔ%ã.ý]ÑÐÑWÚWÛ× ß ÑQp3×ÑÕ×Ü Ô 4 ã=:@ã65 4 × ß ×¤ÖW×ì×CÒ×Õ)ØÑáWÒÓÔáÓ"×ÚÑÏÒ×OâÔ%Ú
∂
∂tP (t, u, v, y)dt+
∂
∂xP (t, u, v, y)µ(t, u)dt+
1
2
∂2
∂x2P (t, u, v, y)σ2(t, u)dt = K,
ÑáWÖW×ØÅå£ØÑáWÒÓÔáÓ"×ãu`ÅÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ×ÐÏW× · Ü'×Ö · ÔlÓÔÜ×áÓ×lã
· Ü'ÛÑÕÓÔáÓ"×CÑÞWÒ×ÕìlÔÕ¤õÏW×4Ô ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×CÖW×ÕÏZYáÔ ×Ü;Ó"×Ü'ÛÑ&7á · Ó"Ñ ø 5"Tù)åÏWÜ½Ø ÔÒÑ×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2×Ü1ø 4 5ù?ÚWÑÏÒ×OâÔ%Ú
ψ(t, u, v) = P (t, u, v, 0).
\PºÙ/PºÙ J-ļ¿.Ú3À¿rÀ¿Á"3ôõü-ÑØ ÔÒÑÝWÑÜ'ÑÐ[báW×ÑáWÑ8Ó"×Ü'ÛÑWÚõÏÔáWÖWÑÑÒ£ØÑ×7Ø · ×áÓ×Ò
µ×σÒ"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÖW×
tÚ
Ô8æçÏWáWî ïÑKø 4 5ù¤ÖW×Û×áWÖW×ÖW×t×vÒÑÜ'×áÓ"×ÔlÓ"Õ"Ô ìåÒÖW×
v − tãÙ`×ÒÓÔæçÑÕÜ Ô%ÚÓ"ÑÕáÔþZÒ×'ð%Ó ·ß Ô
· áÓ"ÕÑ@ÖWÏWî ïÑ£ÖÔ¤æçÏWáWî ïlÑÖW×9Ó"ÕgbÒRÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑÒP (u, v, y) = P (0, u, v, y)
Ú×-ØÑÕÕ×ÒÛÑáWÖW×áÓ"×Ü'×áÓ"×ØÑ ß ÑØ ÔÜ'ÑÒ
ψ(u, v) = P
[
infs∈[0,v]
Us ≤ 0|U0 = u
]
.ø 4 Dù
í Ò×ÐÏ · Õ-ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÜ'ÑÒ)ÖWÑ · Ò9ØÑÕÑ ß ëÕ · ÑÒ¹ÖWÑÓ"×ÑÕ×Ü Ô4ÔáÓ"×Õ · ÑÕã
J- Â Û ùZ ¾Å\PºÙ/PºÙ u,"²|²wy³´wvz|zÃzÃ?@ªyx|§òZ¬o×|Z Z`v |vwv|V|¿"~W|¥
zw "xjwv|³
− ∂
∂vψ(u, v) +
∂
∂uψ(u, v)µ(u) +
1
2
∂2
∂u2ψ(u, v)σ2(u) = 0,
ø 4 ñùÔwy¡|Ý4lxzwç
ψ(u, 0) =
1
u ≤ 0,
0
u > 0,
ø 4 Eù
ψ(0, v) = 1, v > 0,ø 4 cù
ψ(∞, v) = 0, v > 0.ø 4 Tù
ê@×£ÑÞWÒ×ÕìlÔÕÜ'ÑÒ)õÏW×ψ(u, v) = P (T − v, u, T, 0)
ÚÔ4ÛWÕ"ÑìlÔÖW×ÒÓ"×CØÑÕÑ ß ëÕ · Ñ4å · Ü'×Ö · ÔlÓÔ%ãÙ`×ì×Ü'ÑÒ`ÑÞWÒ×ÕìÔÕ-õÏW××ÒÓÔÒ`Ò"ïÑ ØÑáWÖ · î8×Ò · á · Ø · Ô · Ò)×CÖW×£æçÕÑáÓ"× · Õ"Ô%ãmíÅ×õÏÔî ïÑø 4 Eù¹áWÑÒ
Ö ·à õÏW×Ú9ÛÔÕ"Ôv = 0
Ú9ÔUÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×ÕÏZYáÔå · ÐÏÔ ß Ô à ×ÕÑcØÑÜoÏWÜ ÔUÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßÛÑÒ · Ó · ìÔ£× · ÐÏÔ ß Ô5`ØÑÜ ÏWÜ ÔCÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß áïÑÛÑÒ · Ó · ìÔ%ã:í ×õÏÔî ïÑ8ø 4 cù+áWÑÒmÖ ·à õÏW×`ØÑÜÏWÜ Ø ÔÛ · ÓÔ ßB· á · Ø · Ô ß+· ÐÏÔ ß Ô à ×ÕÑWÚ+ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW× ÕÏZYáÔ8å · ÐÏÔ ß Ô5 ÛÔÕ"Ô8Ó"Ñ@ÖWÑ · áWÒÓÔáÓ"×
:dc
ÖW×`Ó"×Ü'ÛÑvã+í×õÏÔî ïÑø 4 TùBÜ'ÑÒÓ"Õ"ÔõÏWפØÑÜ ÏWÜØ ÔÛ · ÓÔ ß· á · Ø · Ô ß ÒÏx7Ø · ×áÓ"×Ü'×áÓ"פÐÕ"ÔáWÖW×ÚWÔ
ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4å à ×ÕÑ'ÛÔÕ"ÔÓÑÖWÑ · áWÒÓÔáÓ"פÖWפÓ"×Ü'ÛÑvã
íd×õÏÔî ïÑ ø 4 ñù3å¹ÖW×¹æçÏWáWÖÔÜ'×áÓÔ ß%· Ü'ÛÑÕÓáWØ · Ô-ÛÔÕ"Ô2áWéÒÚáWѤõÏW×9Ö ·à Õ×ÒÛ× · Ó"Ñ£ó2ÑÞ%Ó"×áWî ïÑÖÔ ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW× ÕÏZYáÔ ×Ü Ó"×Ü'ÛÑ7á · Ó"ÑWã Î+ÒÓÔÕ×Ü'ÑÒ · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑÒáÔ ÒÑ ß ÏWî ïÑ ÖW×ÒÓÔ×õÏÔî ïÑKõÏÔáWÖWÑ7 à ×ÕÜ'ÑÒ8ÔÒØÑÜ'ÛÔÕ"Ôî8@×ÒØÑÜÑÒìÔ ß ÑÕ×ÒÑÞ%Ó · ÖWÑÒÖÔ ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×ÕÏZYáÔ×Ü5Ó"×Ü'ÛÑ+7á · Ó"ÑÔlÓ"Õ"Ô ìåÒCÖW×'Ò · ÜÏ ß Ôî8@×Ò¤ÖWÑÜ'Ñ@ÖW× ß ÑUø´5Bù?ã ü-Ñ×áÓÔáÓ"ÑWÚ:Ô8ÒÑ ß ÏWî ïÑÖW×ø 4 ñùBáïÑå`ævÔØ ·ß Ü'×áÓ"×-ÑÞ%Ó · ÖÔ%ÚævÔ à ×áWÖWÑlþZÒפáW×Ø×ÒÒ"ëÕ · Ô4ÔÑÞ%Ó"×áWî ïÑ4ÖÔÒÑ ß ÏWî ïÑá@ÏWÜ'åÕ · Ø ÔCÖW×ÒÓÔ×õÏÔî ïÑWãRÎ+ÒÓ"×CÔÒÒÏWáÓ"Ñ'Ò×Õ"ëÖ · ÒØÏ%Ó · ÖWÑØÑÜ!Ü'Ô · Ò9ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò9áWÑ'ÛWÕéCn · Ü'Ñ4Ø ÔÛZYÓ"Ï ß ÑWãü-Ñ8Ø ÔÒÑ8ÖÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×ÕÏZYáÔ×Ü=Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ8ÔÒ · Ó"ÏÔî ïÑå4Ü Ô · Ò2Ò · Ü'Û ß ×Òãü-Ñ
Ø ÔÒÑÝWÑÜ'ÑÐ[báW×ÑáWÑÓ"×Ü'ÛÑ× ß Ôå£ÏWÜ ÔæçÏWáWî ïÑÖW×CÔÛ×áÔÒ)ÏWÜ ÔìÔÕ · ë ì× ß æ
ψ(u) = P
[
infs≥0
Us ≤ 0|U0 = u
]
.øÅB f ù
Ù`×áWÑÓÔÜ'ÑÒ9ÛÑÕψ′×ψ′′Ô4ÛWÕ · Ü'× · Õ"Ô×£Ò×ÐÏWáWÖÔÖW×Õ · ìÔÖÔÒ)ÖW×
ψÕ×ÒÛ×ØÓ · ìlÔÜ'×áÓ"×ã
J- Â Û ùZ ¾Å\PºÙ/PºÙ/ u"²|²wy³´wvz|zCz£?@ªyx||ò× |vwv||8"~W|¥ zw "xjwv|³lzwyxº?wv|
ψ′(u)µ(u) +1
2ψ′′(u)σ2(u) = 0
øÅBZ5ùÔwy¡|Ý4lxzwçaç
ψ(0) = 1,øÅBr:ù
ψ(∞) = 0.øÅB 4 ù
í ÛWÕÑìlÔÖW×ÒÓ"×CØÑÕÑ ß ëÕ · Ñå · Ü'×Ö · ÔlÓÔÔÛÔÕÓ · Õ¹ÖWÑØÑÕÑ ß ëÕ · ÑQ:@ãÎ+ÒÓÔÕ×Ü'ÑÒ · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑÒmáÔÒÑ ß ÏWî ïÑÖW×4øÅBZ5ù?Ú@Ôa7ÜÖW×`ØÑÜ'ÛÔÕ"ÔÕBÑÒRìlÔ ß ÑÕ×ÒmÖW×ÒÓÔÒÑ ß ÏWî ïÑWÚ
ÛÔÕ"Ô'Ô ß ÐÏWáWÒ-Ø ÔÒÑÒ`×ÒÛ×Ø · Ô · ÒÚØÑÜ¿ÑÒ`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ-ÑÞ%Ó · ÖWÑÒ-ÛÔÕ"Ô ÔÛWÕ"ÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×ÕÏZYáÔ'×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ4Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑÏWÜ ÔÓ"åØá · Ø ÔÖW×£ÜÏWÖÔáWî Ô4ÖW×£Ü'×Ö · ÖÔ%ãí;æçÏWáWî ïÑ
ψÖW×7á · ÖÔUÛÑÕøÅBZ5ùåÕ×ØÑáWÝW×Ø · ÖÔUØÑÜ'ÑcÔæçÏWáWî ïÑc×ÒØ Ô ß ÔÖÔUÖ · æçÏWÒ"ïÑWÚRì×OâÔ
Ø£ÔÕ"ÔlÓ à ÔÒu¨Ãê@ÝWÕ×ì×4ø 5"T[Tx5ù?ãBê@×`Ô · áÓ"×ÐÕ"Ô ß ÖÔ£æçÏWáWî ïѵ(u) σ2(u)
×ÒÓëCÞ×ÜÖW×7á · ÖÔ ∀ u > 0Ú
×áÓïÑ
ψ′(u) = η(u),øÅB[Bù
ÑáWÖW×
η(u) = c exp
(
−2
∫ u
0
µ(ξ)
σ2(ξ)dξ
) øÅBrDùØÑÜØ£ØÑáWÒÓÔáÓ"×ãRÎ+Üq)ÏWÑÝWÑáW×á ø 5"T[c f ù?Ú%Ñ'ÔÏ%Ó"ÑÕ9Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔõÏW×£Ò"×
η×Ü1øÅBrDùmå · áÓ"×ÐÕ"ë ì× ß ×Ü
(0,∞)Ú×áÓïÑ Ô4ÒÑ ß ÏWî ïÑÖW× øÅB[BùmÒÏlâ× · ÓÔóøÅBr:ùm× øÅB 4 ùmå£ÖÔÖÔ4ÛÑÕ
ψ(u) =
∫∞uη(ς)dς
∫∞0η(ς)dς
.øÅBñù
:dT
>mÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔáWÖWÑZÏWÜ Ô ìÔÕ · ë ì× ß Ô ß × ÔlÓ"éÕ · Ô ØÑÜ5Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑÔØÏWÜÏ ß ÔÖÔ
HÑÞ%Ó · ÖÔÛ× ß ÔáWÑÕOþ
Ü Ô ß·à Ôî ïÑÖW×ηÔ4ÏWÜ Ô4ÖW×áWÒ · ÖÔÖW×£ÖW×£ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×Ú%ÑÞ%Ó"×Ü'ÑÒ
ψ(u) =1−H(u)
1−H(0)= P [Z > u|Z > 0].
øÅBrEù>mÑÜ;×ÒÓ"×ÛWÕÑ@Ø×Ö · Ü'×áÓ"ÑWÚÛÑ@ÖW×?þZÒ×ÑÞ%Ó"×Õ2Ô'ÒÑ ß ÏWî ïÑ Ö · Õ×ÓÔÜ'×áÓ"×ÔlÓ"Õ"Ô ìåÒ`ÖWÑÕ×ØÑáWÝW×Ø · Ü'×áÓ"ÑÖW×
ηØÑÜ'ÑÛÔÕÓ"פ×ÒÒ×áWØ · Ô ß ÖW×£ÏWÜ Ô4ÖW×áWÒ · ÖÔÖW×£ÖW×£ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ã
²± ý SUPBq@EBq G]qG]ijLOPBLOqü-×ÒÓÔ`Ò×î ïÑ2×ÒÓ"ÏWÖÔÜ'ÑÒ3Ñ`Ø ÔÒÑ`×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖW×2ø¥:dTù]×2ø 4[f ù?ÚlÑáWÖW×
β, σb, δ e σdÒ"ïÑ`ØÑáWÒÓÔáÓ"×Òã
Ù`×ì · ÖWÑÔ ø¥:dTù)×ø 4[f ù?ÚUåÝWÑÜ'ÑÐ[báW×ÑáWÑ Ó"×Ü'ÛÑ ×8øÅBZ5ù)Ò×4ÔÛ ß· Ø Ô%ã-ü-×ÒÓ"×4Ø ÔÒÑÒ"ïÑÑÞ%Ó · ÖÔÒ
æçéÕÜÏ ß ÔÒ¹×on%Û ß YØ · ÓÔÒ¹ÛÔÕ"ÔÔ4ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑWã
\PºÜF¿º» %+O3ÀO÷w¾ÅÄä¿ Â ü-ÑØ ÔÒÑ ×ÜËõÏW×ÑÒ-âÏWÕÑÒáïÑ×on · ÒÓ"×ÜÚ.ØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'ÑÒ
β > 0øçØÑáWÖ · î ïÑÖW×ÒÑ ß ì[báWØ · Ôù?Ú
σb > 0×δ = σd = 0
ãRê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ
ψ(u) = P
[
infs≥0
(U0 −∫ s
0
dBτ ) ≤ 0|U0 = u
]
= P
[
infs≥0
(u−Bs) ≤ 0
]
= P
[
infs≥0
(Bs) ≥ u
]
Î+ÒÓ"× åÅÏWÜ ÛWÕÑÞ ß ×Ü ÔØ ß ëÒÒ · ØÑ × ÒÏÔ ÒÑ ß ÏWî ïÑåÅÞ×Ü ØÑáWÝW×Ø · ÖÔ%Úcì×OâÔ%Ú ÛÑÕ ×on%×Ü'Û ß Ñý]×ÕØÝW×ø 5"T[cñùÚ%ÑõÏÔ ß Ü'ÑÒÓ"Õ"Ô4õÏW×
ψ(u) = exp
(
−2β
σ2b
u
)
.øÅBwcù
Î+ÒÓ"×4Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ×ÐÏW×ævÔØ ·ß Ü×áÓ"×CÛ× ß ÑÜ'åÓ"Ñ@ÖWÑÖÔ æçÏWáWî ïÑ×ÒØ Ô ß Ô%ã¤í`Ò2ØÑáWÖ · î8@×ÒøÅBr:ù-×8øÅB 4 ùÛÑ@ÖW×ÜÅÒ×Õ3ì×Õ · 7Ø ÔÖÔÒÚÛÑ · Ò −βt−σbdWb,t, t ≥ 0 åmÏWÜÃÜ'Ñì · Ü×áÓ"Ñ`ômÕÑ"<)á · ÔáWÑ`ØÑÜ'×î ÔáWÖWÑ×Ü à ×ÕÑWÚØÑÜØÑ@×7Ø · ×áÓ"×£ÖWפÓ"×áWÖZbáWØ · ÔáW×ÐÔlÓ · ìÑ4×£ÛÑÕÓÔáÓ"ÑÓ"×Ü!ÏWÜÜ ë;n · Ü'Ñ-7á · Ó"ÑWãRê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚ%×on · ÒÓ"×£ÏWÜ
uÒÏx7Ø · ×áÓ"×Ü'×áÓ"×CÐÕ"ÔáWÖW×Ú%ÓÔ ß õÏW× øÅB 4 ùmå£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔ%ã
ú:ÔÕ"Ô×ÒÓ"×£Ø ÔÒѵ(ξ) = β
×σ2(ξ) = σ2
b
ãBú3ÑÕÓÔáÓ"ÑWÚWÛÑÕCøÅBrDù?Ú
η(u) = c exp
(
−2
∫ u
0
β
σ2b
dξ
)
= c exp
(
−2β
σ2b
u
)
,øÅBwTù
õÏW×U×ÒÒ×áWØ · Ô ß Ü'×áÓ"×åUÔKÖW×áWÒ · ÖÔÖW×UÖÔKÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑKÎn%ÛÑáW×áWØ · Ô ß ØÑÜ#ÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ2β/σ2
b
ã>mÑáWÒ×õÏW×áÓ"× Ü'×áÓ"×ÚÛÑÕøÅBrEùRÓ"×ÜÑÒ)õÏW×
ψ(u) =1−H(u)
1−H(0)=
1− (1− exp(−2β/σ2b ))
1− (1− exp(0))= exp
(
−2β
σ2b
u
)
.ø¥D f ù
4[f
Î+Ü!è¤Õ"ÔáWÖW× ßß ø 5"T[Tx5ù?Ú%Ñ4ÔÏ%Ó"ÑÕ9ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÔ ß ÐÏWÜ ÔÒmØÑÜ'ÛÔÕ"Ôî8@×Ò¹ÖWÑÒ9Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ¹ÑÞ%Ó · ÖWÑÒmÛ× ß ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑCÛÑÕmÖ · æçÏWÒ"ïÑÛÔÕ"Ô
ψ(u)ØÑÜÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒm×nWÔlÓ"ÑÒ¹ÛÔÕ"ÔÔ ß ÐÏWÜ ÔÒBÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î8@×ÒBÖÔÒ
· áWÖW×á ·à Ôî8×Òã
\PºÜF¿ºÙ !P  QäOwÁ"  ¾¥ÀÅÁ;¾Å÷[Î+ÒÓÔ4å£Ô4Ò · Ó"ÏÔî ïÑ4áÔõÏÔ ß Ó"×Õ×Ü'ÑÒ9Ü Ô · Ò · áÓ"×Õ×ÒÒ×£áW×ÒÓÔ4Ö · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWÚ%ÓÔáÓ"Ñ4áÔ4ÑÞ%Ó"×áWî ïÑ
ÖÔ4ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖW×£ÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑS7á · Ó"Ñ4õÏÔáÓ"Ñ · áx7á · Ó"ÑWã.ú.ÔÕ"Ô4×ÒÓ"ÏWÖÔÕ9×ÒÓ"×£Ø ÔÒÑWÚÞÔÒÓÔØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ
σd = 0ãBÎ+áÓïÑ
µ(ξ) = ξδ + β×σ2(u) = σ2
b
ãRú3ÑÕÓÔáÓÑ%ÚÛÑÕøÅBrDù
η(u) = c exp
(
−2
∫ u
0
ξδ + β
σ2b
dξ
)
= c exp
(−(δu2 + 2βu)
σ2b
)
c exp
(
− δ
σ2b
[
(
u+β
δ
)2
− β2
δ2
])
= k exp
(
− δ
σ2b
(
u+β
δ
)2)
,ø¥D35ù
ÑáWÖWת åØÑáWÒÓÔáÓ"×ã¤)×ØÑáWÝW×Ø×Ü'ÑÒη(u)ØÑÜ'ÑUÔUÛÔÕÓ"×8×ÒÒ×áWØ · Ô ß ÖÔUÖW×áWÒ · ÖÔÖW×ÖW×ÏWÜ Ô
Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ü-ÑÕÜ Ô ß(−β/δ, σ2
b/2δ)ãmê@×ÐÏW×£õÏW×
H×Ü1øÅBrEùmå¤ÖÔÖÔÛÑÕ
H(u) = Φ
(
u+ β/δ
σb/√
2δ
)
,ø¥D[:ù
ÑáWÖW×ΦåmÔ)Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ-ÔØÏWÜÏ ß ÔÖÔ9ÖÔ-ü-ÑÕÜ Ô ß
(0, 1)ãÎ+ÒÓ"×mÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ)ÓÔÜÞåÜ æçÑ · ×áWØÑáÓ"Õ"ÔÖWÑ
×Üq`ÔÕÕ · ÒÑáUø´5CTwE[Eù?ãûZáWÒ×Õ · áWÖWÑø¥D35ùm×Ü1øÅBñùmÑÞ%Ó"×Ü'ÑÒ9ÑÒ×ÐÏ · áÓ"×dæ
ψ(u) =
∫∞u
exp
(
−(√
δσb
(
ς + βδ
)
)2)
dς
∫∞0
exp
(
−(√
δσb
(
ς + βδ
)
)2)
dς
.
÷Ô à ×áWÖWÑx =
√δ
σbς + β
σb
√δ, a = β
σb
√δe b =
√δ
σbu,Ó"×Ü'ÑÒ9õÏW×
ψ(u) =
∫∞a+b
exp (−x2)) dx∫∞a
exp (−x2) dx
=
∫∞a
exp (−(x+ b)2)) dx∫∞a
exp (−x2) dx
= exp(−b2)∫∞a
exp (−x2 − 2xb)) dx∫∞a
exp (−x2) dx
≤ exp(−b2 − 2ab)
= exp
(
−δu2 + 2βu
σ2b
) ø¥D 4 ùú3ÑÕ8ø¥D 4 ù£ÛÑÖW×Ü'ÑÒì×Õ4õÏW×8ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×'ÖW×ÕÏZYáÔáW×ÒÓ"×Ø ÔÒÑÓ"×ÜÏWÜ ß· Ü · Ó"× ÒÏWÛ×Õ · ÑÕÒÏWÛ×Õ×on%ÛÑáW× áWØ · Ô ß ãUÙ`×ævÔÓÑ%Ú+× ß ÔåÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW× ÖW×ÕÏZYáÔ ø¥D f ùCÜÏ ß Ó · Û ß· Ø ÔÖÔÛ× ß ÑævÔlÓ"ÑÕ
4 5
exp(−δu2/σ2b )Ú-ÑKõÏÔ ß ÖW×Ó"×ÕÜ · áÔcÑKØÑÜ'ÛÑÕÓÔÜ'×áÓÑ ÖW×sø¥D 4 ù'ÛÔÕ"Ô
uÐÕ"ÔáWÖW×ãVú3ÑÕÓÔáÓ"ÑWÚ
ØÑáWØ ß ÏZYÜ'ÑÒ]õÏW×RÒ×R×on · ÒÓ"×BÏWÜ Ô9ÓÔ;nWÔ)ÖW×IâÏWÕÑÒÛÑÒ · Ó · ìlÔ9×RÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · Ø Ô%Ú×áÓïÑ`Ô9ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×£ÕÏZYáÔÖ · Ü · áÏ · ÖW×£Ü ÔáW× · Õ"ÔØÑáWÒ · ÖW×Õ"ë ì× ß ×Ü!Õ× ß Ôî ïÑ'ÔÑØ ÔÒÑ'Ò×ÜÅâÏWÕÑÒã
\PºÜF¿ºÙ/ !P  S3Á"#÷ ù Á;¾»÷[ü-×ÒÓÔdÒ×î ïÑÔÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒ8õÏW× ÑÒØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò
β, σb, δ e σdÒ"ïÑ6×ÒÓ"Õ · ÓÔÜ'×áÓ"×UÛÑÒ · Ó · ìÑÒã
ü-×ÒÓ"×Ø ÔÒÑWÚ+×ÒÓ?ÔlÜ'ÑÒ4ÔÖ · Ø · ÑáÔáWÖWÑÏWÜ ÔØÑÜ'ÛÑáW×áÓ"××ÒÓ"ÑØ ëÒÓ · Ø ÔÛÔÕ"ÔÑ ?wz¡¶@" ×ÛÔÕ"Ô4Ñ ?w²Ñ+x|xjwy" ã+ú:ÑÕCøÅBrDùRÓ"×Ü'ÑÒ9õÏW×
η(u) = c exp
(
−2
∫ u
0
ξ(δ + σ2d/2) + β
ξ2σ2d + σ2
b
dξ
)
= c exp
(
−2
(
(δ + σ2d/2)
2σ2d
∫ u2σ2d+σ2
b
σ2b
1
xdx+
β
σd
∫ uσd
0
1
w2 + σ2b
dw
))
= c
(
σ2d
σ2b
u2 + 1
)−(δ/σ2d+1/2)
exp
(
− 2β
σdσbarctg
(
σdσbu
))
.ø¥DaBù
Î+ÒÓ"×£Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ4ÓÔÜ4ÞåÜæçÑ · ×áWØÑáÓ"Õ"ÔÖWÑ'ÛÑÕ)ú:ÔÏ ß Ò×á ø 5"T[T 4 ù?ã>mÑÜ'Ñ'ÔæçÏWáWî ïÑ
arctgå ß· Ü · ÓÔlÖÔ%Ú]øÅBñùmáWÑÒ)Ö ·à õÏW×
ψ(u) ≤ c
∫ ∞
u
w−(2δ/σ2d+1) dw = ku−2δ/σ2
d ,ø¥D[Dù
ÑáWÖW×c×kÒ"ïÑ'ØÑáWÒÓÔáÓ"×ÒÚפÓÔÜÞåÜõÏW×
ψ(u) ∼ ku−2δ/σ2d .
ø¥Dñù · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔáÓ"×9áWÑÓÔÕ:õÏW×ÚáWÑ2Ø ÔÒѤÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8×Ò.ÖW×¹Ø ÔÏWÖÔ ß ×?ì×ÚÛÔÕ"Ô`Ñ2Ü'Ñ@ÖW× ß Ñ`Ø ß ëÒÒ · ØÑ
ø»cù?Ú×Ü=è¤Õ"ÔáWÖW× ßß ø 5"T[Tx5ù?ÚÑ ÔÏ%Ó"ÑÕ-Ü'ÑÒÓ"Õ"Ô4õÏW×Ô'ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×ÕÏZYáÔ4×Ü¿Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñå ß· Ü · ÓÔÖÔÒÏWÛ×Õ · ÑÕÜ'×áÓ"×£ÛÑÕ
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ø¥DdcùÑÏ8Ò×OâÔ%Ú
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4 B
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wn+1m − wnm
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m
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øvñwEù
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0Ò"×
m > 0,
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wnM = 0, n > 0,ø¥E f ù
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m
h− 1
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wn+1m+1 − 2wn+1
m + wn+1m−1
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wn+1m−1
(
−σ2(m)
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)
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(
1
k+µ(m)
h+σ2(m)
h2
)
+
wn+1m+1
(
−µ(m)
h− σ2(m)
2h2
)
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k.
ø¥E35ù6ð%Ó ·ß ÖW×7á · Õ)ÑÒ9Ò×ÐÏ · áÓ"×Ò)ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò-áWÑ · áWÒÓÔáÓ"פÖWפÓ"×Ü'ÛÑ
n+ 1ã
¼ºa(m) = −σ2(m)
2h2
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k+ µ(m)
h+ σ2(m)
h2
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h− σ2(m)
2h2
F¿ºd(m) = wnm · 1
k
ú:ÔÕ"Ô×áWØÑáÓ"Õ"ÔÕÔÒÑ ß ÏWî ïÑwn+1m
áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖW×Ó"×Ü'ÛÑn + 1
ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'ÑÒÕ×ÒÑ ß ì×Õ4ÏWÜÒ · ÒÓ"×Ü ÔÓ"Õ · Ö · ÔlÐÑáÔ ß ÖW×£×õÏÔî8×Ò-ÖÔ4æçÑÕÜ Ô
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ÑÞWÒ×ÕìlÔáWÖWÑÔÒ¤ØÑáWÖ · î8@×Ò'øvñ[cù¡þø¥E f ù?ã-)×ÒÑ ß ì×Õ×Ü'ÑÒ¤×ÒÓ"×Ò · ÒÓ"×Ü ÔÏ%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑÑ |³ ¶l?wyv zÎ l'| Ú%ÖW×ÒØÕ · Ó"Ñ'ÔÒ×ÐÏ · Õã
4 ñ
i º»¼ºÜF %+ÛÅÚ.  ¾íÁ"ä¿y#¿Ä¼ê@ÏWÛÑáWÝÔõÏW×CõÏW×Õ×Ü'ÑÒ-Õ×ÒÑ ß ì×Õ)ÑÒ · ÒÓ"×Ü Ô ß· áW× ÔÕmÓ"Õ · Ö · ÔÐÑáÔ ß
Bu = dÚØÑÜ
B =
α1 β1
γ1 α2 β2ã ã ã ã ã ã ã ã ã
γN−2 αN−1 βN−1
γN−1 αN
.
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LRæ.Ù`×ØÑÜ'ÛÑÜ'ÑÒ
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L =
1
l1 1ã ã ã ã ã ã
lN−1 1
,
×£ÏWÜ Ô4Ü ÔlÓ"Õ ·à Þ · Ö · ÔÐÑáÔ ß ÒÏWÛ×Õ · ÑÕ
R =
m1 r1ã ã ã ã ã ã
mN−1 rN−1
mN
,
>mÑÜ'ÛÔÕ"ÔáWÖWÑÑÒØÑ@×7Ø · ×áÓ"×ÒÓ"×Ü'ÑÒ4õÏW×ri = βi
ÛÔÕ"ÔÓ"Ñ@ÖWÑiÚR×
mi
×liÛÑ@ÖW×Ü Ò×Õ
ÑÞ%Ó · ÖWÑÒ9ØÑÜ'ÑÒ×ÐÏW×dæ
m1 = α1
para i = 1, 2, · · · , N − 1 :
li = γi/mi
mi+1 = α− i+ 1− liβi
)×ÒÑ ß ì×ÕLRu = d
ÛÔÕ"Ô4ÏÕ×õÏW×Õ-ÖWÑ · Ò9ÛÔÒÒÑÒæPº ê@ÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · î8×Ò)ÒÏWØ×ÒÒ · ìÔÒæu)×ÒÑ ß ì×Ü'ÑÒ
Ly = dÛÔÕ"Ô
yã
y1 = d1
para i = 2, 3, · · · , N :
yi = di − li−1yi−1
4 E
/Pº ê@ÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · î8×Ò)Õ×Ó"ÕÑÔlÓ · ìÔÒæõ)×ÒÑ ß ì×Ü'ÑÒRu = y
ÛÔÕ"Ôuã
uN = yN/mN
para i = N − 1, N − 2, · · · , 1 :
ui = (yi − βiui+1)/mi
ûZÒÓ"ÑØÑÜ'Û ß ×ÓÔÔ4ÖW×ÒØÕ · î ïÑ'ÖWÑ'Ô ß ÐÑÕ · ÓÜ'ÑÖW×,p9ÝWÑÜ ÔÒãÎ+Ü!Õ× ß Ôî ïÑÔÑÒ · ÒÓ"×Ü Ôø¥E[:ùÚ%ÛÔÕ"Ô4õÏW×£Ñ'Ô ß ÐÑÕ · Ó"ÜÑÖW×,p9ÝWÑÜ ÔÒ9Ò×OâÔÞ×Ü!ØÑáWÖ · Ø · ÑáÔÖWÑWÚ
ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'ÑÒ+õÏW×2Ô£ØÑáWÖ · î ïÑ |ai|+ |ci| ≤ |bi|Ò×OâÔ£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔ%ã:ûZÒÓ"ÑCå)ì×Õ · 7Ø ÔÖWÑ£ævÔØ ·ß Ü'×áÓ"×ÚÛÑ · Ò
|bi| − (|ai|+ |ci|) =1
k∀ i. ø¥E 4 ù
) ±¥à X9LQ h`NOP)·BE_`E QVE9_`G]NOEVijNOfBq@q@LOijEijERQ LO\mYBG]q^%LQVG]\R^%Eú.ÔÕ"Ô£ævÔ à ×ÕmÔÒRÖW×ì · ÖÔÒmØÑÜ'ÛÔÕ"Ôî8@×ÒRØÑÜ Ô£Ò"Ñ ß ÏWî ïÑáÏWÜ'åÕ · Ø ÔCÖÔC×õÏÔî ïÑ8ø 4 ñù?ÚÏ%Ó ·ß·à ÔÕ×?þ
Ü'ÑÒ¹ÑÜ'ÑÖW× ß Ñø 5CBùRÛÔÕ"ÔÛWÕÑ@Ø×ÖW×Õ-ó4Ò · ÜÏ ß Ôî ïÑÖÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖWפÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑ7á · Ó"Ñψδ(u, T ) = P (inf0≤t≤T Vδ(t) ≤ 0)
ÚÕ×æç×Õ×áÓ"×CÔÑ4Ø ÔÒÑ×Ü!õÏW×δå£ÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · ØÑWã+ú:ÔÕ"Ô4×ÒÓÔÒ
Ò · ÜÏ ß Ôî8×Ò9Ï%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'ÑÒ¹ÏWÜ Ô4ÔÞÑÕÖÔÐ×Ü!Ò · Ü'Û ß ×ÒÚ%ØÑÜ'ÑÒ×ÐÏW×dæ>mÑÜ'ÑCÔCÕÏZYáÔ¤ÒéÛÑ@ÖW×-ÑØÑÕÕ×ÕRáWÑÒ · áWÒÓÔáÓ"×Ò
Tn×Ü õÏW×-Ñ@ØÑÕÕ×Ü ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒÚ@ÛÑ@ÖW×?þ
Ü'ÑÒ9Ö ·à ×Õ9õÏW×
ψδ(u) = P
⋃
0≤t≤T(Uδ(t) < 0)
= P
⋃
n:0≤Tn≤T(Uδ(Tn) ≤ 0)
ø¥EaBù
= P
⋃
n:0≤Tn≤T(Vδ(Tn) ≤ 0)
,ø¥E[Dù
ÑáWÖW×
Vδ(Tn) = u+ p
(
1− e−δTn
δ
)
−n∑
i=1
e−δTiXi.ø¥Eñù
`=õÏW×ævÔ à ×Ü'ÑÒ'×áÓïÑWÚ9åÒ · ÜÏ ß ÔÕlÕ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÖW×
VδÔlÓ"åõÏW× ÔUÕÏZYáÔ
ÔØÑáÓ"×î Ô%ãú.ÔÕ"Ô · ÒÒÑWÚ3Ò×OâÔτÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖÔ8ÕÏZYáÔ%Ú3ØÑÜÑÖW×7á · ÖWÑáÔÒ×î ïÑBWã65ãú:ÔÕ"Ô8Ø ÔÖÔ
Õ×Û ß· Ø Ôî ïÑ%ÚÖW×7á · Ü'ÑÒ2ÔìÔÕ · ë ì× ß Ô ß ×ÔlÓ"éÕ · ÔZ(u) = Iτ(u)≤T
ã¤Î+Ü;Ø ÔÖÔ Õ×Û ß· Ø Ôî ïÑ ÛÔÕ"ÔÜ'ÑÒÑ×on%Û×Õ · Ü'×áÓ"Ñ'×Ü
TÚÔÜ'×áWÑÒ)õÏW×CÔÕÏZYáÔÔØÑáÓ"×î Ô'ÔáÓ"×Ò-ÖW×
TÚØ ÔÒÑ'×Ü¿õÏW×£ÛÔÕ"ÔÜ'ÑÒ9áWÑ
· áWÒÓÔáÓ"פÖÔÕÏZYáÔ%ã)>mÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'ÑÒ)×áÓïÑWÚWØÑÜ'ÑÏWÜ!×ÒÓ · Ü ÔÖWÑÕ¹ÛÔÕ"Ôψ(u, T )
ÚÔÕ"Ô à ïÑ
ψ =Z1(u) + Z2(u) + ...+ Zl(u)
l= Z(u).
4 c
>mÑÜ'Ñl∑
k=1
Zk(u)
Ó"×Ü!Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ô · áWÑÜ · Ô ß(l, ψ(u, T ))
Ú%×áÓïÑ
E
(
1
l
l∑
k=1
Zk(u)
)
= ψ(u, T )ø¥E[Eù
×
V ar
(
1
l
l∑
k=1
Zk(u)
)
= ψ(u, T )(1− ψ(u, T ))/l.ø¥Edcù
í ß åÜ ÖW×'ÏWÜ Ô×ÒÓ · Ü ÔlÓ · ìÔÛÑáÓ"ÏÔ ß ÚÓÔÜÞåÜ ×ÒÓÔÜ'ÑÒ · áÓ"×Õ×ÒÒÔlÖWÑÒ×Ü ÏWÜ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ8ÖW×ØÑáx7ÔáWî ÔUÛÔÕ"Ô
ψ(u, T )ãÙ2ÔÖWÑcÏWÜoØÑ@×o7Ø · ×áÓ"×ÖW×ØÑáx7ÔáWî Ô
αÚmÑ · áÓ"×ÕìÔ ß ÑÖW×ØÑáx7ÔáWî Ô
ÔÒÒ · áÓ"éÓ · ØÑWÚ%ÑÞ%Ó · ÖWÑ'ÔlÓ"Õ"Ô ìåÒ-ÖWÑQp3×ÑÕ×Ü Ô>m×áÓ"Õ"Ô ß ÖWÑ'ý · Ü · Ó"×Ú%å£ÖÔÖWÑ'ÛÑÕ[
Z(u)− D√lzα, Z(u) +
D√lzα
]
,ø¥EdTù
ÑáWÖW×
D2 =1
l
l∑
k=1
Zk2(u)− z2(u)
ø»c f ù×zαåÖW×Ó"×ÕÜ · áÔÖWÑUÛÑÕ
P (|N | > zα) = 1 − αÚ¹ÑáWÖW×
NåÏWÜ ÔìlÔÕ · ëì× ß Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔØÑÜ
Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ü-ÑÕÜ Ô ß ÛÔÖWÕ"ïÑWãõp3ÔÜ4ÞåÜ!ÖW×7á · Ü'ÑÒ9Ñ'×Õ"ÕÑÕ× ß ÔlÓ · ìÑøvÎ)`ù¹õÏW×£å£ÖÔÖWÑÛÑÕ
ER =
Ò×Ü · þOÔÜ'Û ß· Ó"ÏWÖWפÖWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñψ
.ø»cx5ù
ú:ÔÕ"ÔÔ ß ÐÏWÜ ÔÒ£Ò · Ü4Ï ß Ôî8×ÒCõÏW× ìlÔÜ'ÑÒÕ× Ô ß·à ÔÕÚ¿7xnWÔÜÑÒER = 0, 1
× ×Ü1ÑÏ%Ó"Õ"ÔÒÒ · Ó"ÏÔî8×ÒáïÑáWÑÒ£ÛWÕ×ÑØÏWÛÔÜ'ÑÒ£ØÑÜ=ÑìÔ ß ÑÕ¤ÖWÑ
ER×Ò · Ü=ØÑÜ=Ñ8áðWÜ'×ÕÑ8ÖW×4Õ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò¤õÏW×Ò×Õ"ïÑ
Õ× Ô ß·à ÔÖÔÒãê`2Þì · ÔÜ'×áÓ"×ÚmÛÔÕ"ÔUÔlÓ · áWÐ · Õ4ÑERÖW×Ò×OâÔÖWÑWÚ¹Ò×Õ"ëcáW×Ø×ÒÒëÕ · ÑcÏWÜoÖW×Ó"×ÕÜ · áÔÖWÑ
áðWÜ'×ÕÑlÖW×£Õ×Û ß· Ø Ôî8×ÒÚÑõÏÔ ß ÖW×Û×áWÖW×Õ"ë'ÖÔ4Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×Òã
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ÏWÜáZYì× ß Ü Ô · ÑÕmÖWפØÑáWÝW×Ø · Ü'×áÓ"ÑWãBÙ`×ÒØÕ×ì× ÜÑÒ`ÔõÏ · ÔÛ×áÔÒ-Ô ß ÐÏWáWÒ9ÔÒÛ×ØÓ"ÑÒ-ÖW×ÒÓÔÓ"×ÑÕ · Ô%ãí6Ó"åØá · Ø Ô2ÖW×¹ÜÏWÖÔáWî Ô2ÖW×¹Ü'×Ö · ÖÔ`Ò×Õ"ë2Ï%Ó ·ß·à ÔÖÔ-ÛÔÕ"Ô2ÔÒ.Ò · ÜÏ ß Ôî8×Ò:ÖÔ`ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×RÖW×
ÕÏZYáÔ¹×Ü Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ9ÛÔÕ"Ô9Ñ)ÛWÕÑØ×ÒÒÑ`ÖW×BÕ · ÒØÑCø 5 4 ù?ã:ö-Ü Ô¹ÐÕ"ÔáWÖW×+ìlÔáÓÔÐ×ÜÖW×ÒÓÔ9Ó"åØá · Ø Ô%Úå õÏW×ÒÑÞ ÔáWÑìlÔÜ'×Ö · ÖÔÖW× ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×Ú.ÔÕÏZYáÔÑ@ØÑÕÕ× ØÑÜ1ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×5ãü-×ÒÓÔÒ×î ïÑCÔlÛWÕ"×Ò"×áÓÔÜ'ÑÒÚÔÛ×áÔÒ+ÛÔÕ"Ô ·ß ÏWÒÓ"Õ"Ôî ïÑWÚÔ ß ÐÏWáWÒ.ÔÒÛ×ØÓ"ÑÒBÖW×ÒÓÔ`Ó"×ÑÕ · Ô%ÚáWÑÒ.Õ×ÒÓ"Õ · áWÐ · áWÖWÑóÔÛ ß· Ø Ôî ïÑÖÔÜ'×ÒÜ ÔÔÑÛWÕÑ@Ø×Ò"ÒÑ ÖW×Õ · ÒØÑÒ×Ü · áì×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ×Ü Ó"×Ü'ÛÑÖ · ÒØÕ×Ó"ÑWãú:ÔÕ"ÔÜ Ô · ÑÕ×Ò9ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ÒÑÞWÕ×CÔÓ"åØá · Ø ÔÖW×£ÜÏWÖÔáWî Ô4ÖW×£Ü'×Ö · ÖÔì×OâÔí`ÒÜÏWÒÒ×á ø 5"T[TwDù?ã
4 T
i ºÙ/Pº» %ôÛ»¾»÷[ļÈ[ÉZÄO #ä¿3ÛÅļ¾»QC¾»ôÛÅ3ê@×OâÔ
(Ω,F , P )×ÒÛÔîÑ ÖW×ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ã ê@ÏWÛÑÜ'ÑÒ'õÏW× ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò
X1, X2, ...Ô
Ò×Õ×Ü ÛÔÐÔÒ Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò6× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒÚÑáWÖW×XnÕ×ÛWÕ×Ò×áÓÔ Ô
· áWÖW×á ·à Ôî ïlÑÔÐÕ×ÐÔÖÔ8áWÑá@þZåÒ · Ü'Ñ8Û×ÕgYÑÖWÑ(n − 1, n]
ãp:ÔÜÞåÜ1ÔÒÒÏWÜ · Ü'ÑÒ¤õÏW×Xn
Ó"ÑÜ ÔìlÔ ß ÑÕ×Ò×Ü
N×õÏW×ÑUÛWÕgbÜ · ÑUÔÒ×ÕÕ×Ø×Þ · ÖWÑc×ÜoØ ÔÖÔÛ×ÕgYÑÖWÑUå8ØÑáWÒÓÔáÓ"×× · ÐÏÔ ß Ô5ã
ê@ÏWÛÑÜ'ÑÒ9ÓÔÜ4ÞåÜ!õÏW×ÔÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß å · ÐÏÔ ß Ôu ∈ N
ãmÙ`×ÒÓÔæçÑÕÜ Ô%ÚWÑ'ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖW×£Õ · ÒØÑÕ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×£å¤ÖÔÖWÑ'ÛÑÕ
Rn = u+ n−n∑
j=1
Xj.ø»cw:ù
Ù`×7á · Ü'ÑÒ¹ÓÔÜÞåÜ
Sn =n∑
j=1
Xj − n =n∑
j=1
(Xj − 1) =n∑
j=1
Yj,ø»c 4 ù
ÑáWÖW×Y1, Y2, ...
Ò"ïÑcìlÔÕ · ëì× · Ò Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒ'ØÑÜÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ
F×E(Y ) < 0
ãõp3×Ü'ÑÒ)õÏW×
Rn < 0 ⇐⇒ Sn > uø»cdBù
ú3× ß Ôý]× · ÖWÑÒ`è¤Õ"ÔáWÖW×£ü-ðWÜ'×ÕÑÒÚ
Snn→ E(Y ) < 0
õÏÔÒ×CØ×ÕÓÔÜ'×áÓ"×,
ø»cwDù
פÛÑÕÓÔáÓÑ
limn→∞
Sn = −∞,õÏÔÒ×CØ×ÕÓÔÜ'×áÓ"×ã ø»cñù
ê@×OâÔMY (s)
Ô4æçÏWáWî ïÑÐ×ÕÔlÖWÑÕ"Ô'ÖW×Ü'ÑÜ'×áÓ"ÑÒ)ÖW×YÔ ìÔ ß· ÔÖÔ4×Ü
sã)ú:ÑÖW×?þZÒ×ÛWÕÑìlÔÕ-õÏW×ÚjÒ×
∃ γ ÓÔ ß õÏW× MY (γ) = 1Ú×áÓïÑ
Zn = eγSn = eγ 1 nj=1
Yj , n ≥ 1,ø»cwEù
å8ÏWÜoú:þZÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß Ô Ó"×Ü'ÛÑUÖ · ÒØÕ×Ó"Ñ×ÜoÕ× ß Ôî ïÑóy7 ß Ó"Õ"Ôî ïÑ FYn = σ(Y1, Y2, ..., Yn)
ÚmØÑÜ
E(Zn) = 1ãRÙ`×ÒÓÔ4æçÑÕÜ Ô%Ú%ÛÑ@ÖW×Ü'ÑÒ)ÖW×7á · Õ)ÏWÜ'Ô4ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×
PnÓÔ ß õÏW×
Pn(A) =
∫
A
Zn(ω) dPn(ω),ø¥cdcù
ÑáWÖW×A ∈ FY
n
×Pn = P/FY
n
ãê@×Pn Pn
Ú ∀n Ú3ÛÑÖW×?þZÒ× ÛWÕÑìlÔÕÚ:Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ8Ñ8Ó"×ÑÕ×Ü Ô8ÖW×-ÔÖWÑá@þOü · ªÑ@Öx@ÜÚ%õÏW×
Zn(ω) = dPdP
(ω)ã
B f
ö-Ò"ÔáWÖWÑ'Ñp3×ÑÕ×Ü ÔÖÔ'În@Ó"×áWÒ"ïÑ ÖW×Ø`Ñ ß Ü'ÑÐÑÕÑìÚ ∃ P ÒÑÞWÕ× (Ω,F)ÓÔ ß õÏW×
P/FYn
= Pn×
P (A) =
∫
A
Zn(ω) dP (ω),ø»c[Tù
ÑáWÖW×A ∈ FY
n ∀ n ∈ Nãê@ÑÞ Ô8áWÑìlÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×
PÚ:ÛÑ@ÖW×?þZÒ× Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÕ£õÏW× ÔÒCìlÔÕ · ë ì× · Ò
Ô ß × ÔlÓ"éÕ · ÔÒ(Y1, Y2, ...)
Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒØÑÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑF (w) = Fγ(w)
ãM>mÑÜ'ÑMY (γ) = 1
ÚÔ4Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ÖW×Yjå£ÖÔÖÔ4ÛÑÕ
Fγ(w) =
∫ w
−∞eγy dF (y).
ø»T f ù
ê@×OâÔEÔ4×ÒÛ×Õ"ÔáWî Ô'ØÑÜ!Õ×ÒÛ× · Ó"Ñ Ô
PãRÎ+áÓïÑ
E(Y ) =
∫ ∞
0
yeγydF (y) = M ′Y (γ).
ø»Tx5ù
ú3ÑÕåÜÚM ′
Y (γ) > 0×£ÛÑÕÓÔáÓ"Ñ
E(Y ) > 0ãRý]ÑÐÑWÚWÛ× ß Ôý]× · ÖWÑÒ`è¤Õ"ÔáWÖW×Ò-ü-ðWÜ'×ÕÑÒ
Snn→ E(Y ) > 0 P q.c.⇒ Sn →∞ P q.c.,
ø»Tw:ù
×CÑÓ"×Ü'ÛÑ ÖW×CÛÔÕ"ÔÖÔτ(u) = infn : Sn > u å,7á · Ó"ÑØÑÜ P
þZÛWÕÑÞÔÞ ·ß ÖÔÖW×S5ã¹í ß åÜ!Ö · ÒÒÑWÚÓ"×Ü'ÑÒ9õÏW×
Zn = dPdP
= exp(−γSn)å£ÏWÜ
PþZÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑÜ!Õ× ß Ôî ïÑ'Ô FY
n
×
P (A) =
∫
A
Zn(ω) dP (ω), A ∈ F Yn .
ø»T 4 ù
ö-Ü Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ · Ü'ÛÑÕÓÔláÓ"× )Ñ ß Ògª · ×ÑÏ%Ó"ÕÑÒ ø 5"T[T[c%Úp3×ÑÕ×Ü Ô¦T%ã=:@ã 4 ù ×ÒÓÔÞ× ß ×Ø×õÏW×Ò×A ⊂ τ(u) <∞ × A ∈ FY
τ(u)
ÚW×áÓïÑ
P (A) =
∫
A
exp(−γτ(u)∑
j=1
Yj)dP .ø»TdBù
ú3ÑÕÓÔáÓ"ÑWÚÞÔÒÓÔ'ØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÕA = τ(u) < ∞ ÛÔÕ"Ô'ÑÞ%Ó"×ÕÜ'ÑÒ`Ô'ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×ÕÏZYáÔ
×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñψ(u)ÚWÑÏÒ×OâÔ%Ú
ψ(u) = E(Zτ(u)).ø»TwDù
`ÃõÏWפÒפævÔ à áÔÛWÕ"ëlÓ · Ø Ôå¤Õ× Ô ß·à ÔÕmÕ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò¹ÖW×
SnÚ%Ó"ÑÜ ÔáWÖWÑ4ÑØÏ · ÖÔÖWÑ4ÖW×¤Ò · ÜÏ ß ÔÕ
YnØÑÜVÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ
FγÚÛÔÕ"ÔáWÖWÑCØ ÔÖÔ£ÏWÜ'Ô¤ÖW× ß ÔÒBáWÑ · áWÒÓÔáÓ"×
τkÚk = 1, 2, ...,m
ã+÷× · Ó"Ñ · ÒÒÑWÚØ Ô ß ØÏ ß ÔÜÑÒ9ÔÜ'åÖ · ÔÔÕ · Ó"Ü'åÓ · Ø Ô
ψ(u) =
m∑
k=1
e−γSτk
m.
ø»TñùBZ5
`2Ò£ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò£ÖW×ÒÓÔÓ"åØá · Ø Ô%Ú3õÏÔáWÖWÑÔÛ ß· Ø ÔÖÔÔÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÒCÖW×'Õ · ÒØÑ8ØÑáÓAYá@ÏWÑÒ¤×ØÑÜ · á@þì×ÒÓ · Ü'×áÓ"ÑWÚjÒ"ïÑÜ Ô · Ò-ØÑÜ'Û ß· Ø ÔÖWÑÒ-×ìlïÑ8Ô ß åÜ;ÖWÑ×ÒØÑÛÑÖW×ÒÓÔÖ · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑ%ã£Ù`×ÒÓÔæçÑÕÜ Ô@ÚÏ%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'ÑÒ2Ô ß ÐÏWáWÒ2Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒÚIÑÜ · Ó · áWÖWÑÔÖW×Ü'ÑáWÒÓ"Õ"Ôî ïÑÖWÑÒ¤Ü'×ÒÜ'ÑÒãCÎ+ܽí`ÒÜ4ÏWÒÒ×á¨ü · × ß Ò×á ø 5"T[TwDù?ÚÑÔÏ%Ó"ÑÕRÏ%Ó ·ß·à Ô¤×ÒÓÔCÓ"åØá · Ø ÔÛÔÕ"ÔCÑÞ%Ó"×Õ¹ÔCÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×)ÖW×`ÕÏZYáÔC×Ü Ó"×Ü'ÛÑ· áx7á · Ó"Ñ4ÛÔÕ"Ô4ÏWÜ!ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£Õ · ÒØÑØÑÜ!ÛWÕgbÜ · Ñ4ÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑ ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ ÔlÓ"ÏÔ ß ãü`Ô2ÛWÕéCn · Ü Ô`Ò×î ïÑWÚÜ'ÑÒÓ"Õ"ÔÜ'ÑÒ:õÏW×9Ø×ÕÓ"ѤÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ£ÖW×9Õ · ÒØÑ2Ò×Ü · áì×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ2×9ØÑÜÃÓÔ;nWÔ
ÖW×ÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑÖÔÕ×Ò×ÕìlÔå4×õÏ · ìlÔ ß ×áÓ"×4ÔÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ8ÖW×Õ · ÒØÑØÑÜ · áì×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ×ØÑÜ ÓÔ;nWÔÖW×ÛWÕgbÜ · ÑØÑáWÒÓÔáÓ"×áWÑÓ"×Ü'ÛÑWÚm××Ü Ò×ÐÏ · ÖÔÖ · ÒØÏ%Ó · Ü'ÑÒÔ ß ÐÏWáWÒ'ÔÒÛ×ØÓ"ÑÒ ÖW×í`ÒÜÏWÒÒ×á|¨ ü · × ß Ò×ácø 5"T[TwDù?ã
i ºÙ/PºÙ 0  #÷[3C÷[ ¾»À½3Á;¾»3ÀÁ"ä¿wÁ"  ¾»ÀÅÁ;¾Å÷[¡|ô  #÷[3C÷[ô  3¾Åä¿rôõ3ÀOä¿3ÀOä¿ä¿Ä  3C  ½ZÄ
>mÑáWÒ · ÖW×Õ×CÑÒ×ÐÏ · áÓ"×£ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ'ÖW×CÕ · ÒØÑØÑÜ!ÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×áWÖÑ ÖÔ4Õ×Ò×ÕìÔ'ÔlÓ"ÏÔ ß æ
Ut = u+
∫ t
0
(p+ δUs) ds−Nt∑
i=1
Xi,ø»TwEù
ÑáWÖW×ÚIØÑÜ'ÑÔáÓ"×Õ · ÑÕÜ'×áÓ"×Úuå4ÔÕ×Ò×ÕìÔ · á · Ø · Ô ß Ú
p > λµå4ÑÛWÕgbÜ · ÑÛWÏWÕÑWÚjØ Ô ß ØÏ ß ÔÖWÑØÑÜ
ÞÔÒ×`×ÜÏWÜØÑ@×7Ø · ×áÓ"×2ÖW×`Ò×ÐÏWÕ"ÔáWî Ôθ > 0Úδå`ÏWÜ ÔCØÑáWÒÓÔáÓ"×`ÛÑÒ · Ó · ìlÔ%Ú
Ntå`ÏWÜÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ
ÖW×Cú3Ñ · ÒÒÑáØÑÜ Ó?Ô"nWÔλ×Xi
Ò"ïÑ'ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒãRê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ%Ó"×Ü'ÑÒ9õÏW×
dUt = (p+ δUt) dt− d
(
Nt∑
i=1
Xi
)
⇒ e−δtdUt − e−δtδUtdt = pe−δtdt− e−δtd
(
Nt∑
i=1
Xi
)
⇒ d(e−δtUt) = ce−δsds− e−δsd
(
Nt∑
i=1
Xi
)
⇒ e−δtUt = u+ p
(
1− e−δt
δ
)
−∫ t
0
e−δs d
(
Nt∑
i=1
Xi
)
.ø»T[cù
ú3ÑÕÓÔáÓ"ÑWÚø»TwEùm× ø 5 4 ùmÒ"ïÑ'×õÏ · ìlÔ ß ×áÓ"×Òã
i ºÙ/PºÙ/ J-PwÆÇ÷w¾Å3ÀÁ"|ä¿|'MOÀOä ñ  ÚÛÅ#÷[ļÛÎ+Üí`ÒÜ4ÏWÒÒ×á ¨ü · × ß Ò×áÅø´5CT[TwDù?Ú)ÑÒ8ÔÏ%Ó"ÑÕ×ÒØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜÏWÜÛWÕÑØ×ÒÒÑsÖW× Õ · ÒØÑ ØÑÜ
Õ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßuã`ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ Nt, t ≥ 0 ÖÔÒØÝW×ÐÔÖÔÒÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òåú3Ñ · ÒÒÑácØÑÜ
ÓÔ;nWÔλ×2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×Ò¹Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò9× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×`Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒRØÑÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ
Br:
F× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×`ÖW× Nt, t ≥ 0 ã.í`ÒÒÏWÜ'×?þZÒ×)ÓÔÜ4ÞåÜ õÏW×-ÑCÛWÕgbÜ · Ñ p(r) ÖW×Û×áWÖW×2ÖÔCÔlÓ"ÏÔ ßÕ×Ò×ÕìlÔ ÖW× æçÑÕÜ ÔõÏW×ÑÛWÕgbÜ · Ñå
p(w)õÏÔáWÖWÑ
Ut = wã Î+áÓïÑWÚ.Ò×
ru(t)åÔÒÑ ß ÏWî ïÑÖÔ
×õÏÔî ïÑ'Ö · æç×Õ×áWØ · Ô ß ÑÕÖ · áëÕ · Ô
d
dtru(t) = p(ru(t)), ru(0) = u,
ø»T[Tù
×Tnå£Ñ · áWÒÓÔáÓ"פÖW×£ØÝW×ÐÔÖÔÖÔá@þZåÒ · Ü Ô · áWÖW×á ·à Ôî ïÑWÚ
T0 = 0Ú%Ó×Ü4þZÒ×
UTn+t = rUTn(t), 0 ≤ t < Tn+1 − Tn UTn+1
= UTn+1−
−Xn+1.ø 5 f[f ù
ü-ÑCØ ÔÒÑØ ß ëÒÒ · ØÑWÚáWÑõÏÔ ßp(r) = p∗
å`ØÑáWÒÓÔáÓ"×Ú@ÏWÜ Ô¤æç×ÕÕ"ÔÜ'×áÓÔ · Ü'ÛÑÕÓÔáÓ"×9ÛÔÕ"Ô£Ò×`ÑÞ%Ó"×ÕÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×4ÕÏZYáÔ
ψ∗(u)å4Ñ8ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×ÖW×ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ
γ∗Ú]ÖW×7á · ÖWÑØÑÜ'Ñ8ÔÒÑ ß ÏWî ïÑ
ÛÑÒ · Ó · ìÔÖÔ×õÏÔî ïÑ
λ(MX(γ∗)− 1)− γ∗p∗ = 0,ø 5 f 5ù
ÑáWÖW×MX(s) =
∫∞0esxdF (x)
ãú:ÔÕ"ÔÑØ ÔÒÑ ×ÜËõÏW×ÑÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ%ÚBÑ õÏW×Ò×ævÔ à åÒÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · Õ
γ∗Û× ß Ô
æçÏWáWî ïÑγ(w)ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ
wÚ:ÑáWÖW×'ÛÔÕ"ÔÏWÜ
w7xn%ÑWÚ
γ(w)å'ÖW×7á · ÖWÑØÑÜ'ÑÑØÑ@×7Ø · ×áÓ"× ÖW×
ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ ÖWÑÜ'Ñ@ÖW× ß Ñ4Ø ß ëÒÒ · ØÑØÑÜp∗ = p(w)
Ú · ÒÓ"Ñ4åÚØÑÜ'Ñ'Ô4ÒÑ ß ÏWî ïÑÖÔ4×õÏÔî ïÑ
λ(B(γ(w))− 1)− γ(w)p(w) = 0.ø 5 f :ù
ûZáÓ"Ï · Ó · ìÔÜ'×áÓ"×Ú£Ô · ÖWå · ÔKåcÖW× õÏW×cÑdÜ'Ñ@ÖW× ß ÑsØ ß ëÒÒ · ØÑ6ØÑÜp∗ = p(w)
Ò×Õì× ØÑÜ'Ñ6ÏWÜ ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ ß ÑØ Ô ß ÛÔÕ"Ô4ÑÜ'Ñ@ÖW× ß Ñø 5 f[f ùmõÏÔáWÖWÑ Ô4Õ×Ò×ÕìÔ×ÒÓëÛWÕé"n · Ü'Ô4ÖW×
wã
,#3ôÛÅ i ºÙ/Pº» µlx%W|~F4gÒlxjxjwv|³l!¡|CÒ|
α§ Î ~
MX(γ∗) =
∫ ∞
0
eγ∗xdF (x) =
α
α− γ∗.
ßmx¡¥λ(MX(γ∗)− 1)− γ∗p∗ = 0 ⇒ γ∗ = α− λ
p.
""¶¢γ(w) = α− λ
p(w).
ø 5 f[4 ùÎ+Ü!í`ÒÜÏWÒÒ×á|¨ ü · × ß Ò×á ø 5"T[TwDùRÑÒ-ÔÏ%Ó"ÑÕ×Ò9ÓÔÜÞåÜÛWÕÑìÔÜ!õÏW×
Mt = exp
−∫ t
0
γ(Us)p(Us)ds+Nt∑
i=1
γ(UTi−)Xi
ø 5 f Bù
B 4
åÏWÜ Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß Ú)ÓÔ ß õÏW×UåÛÑÒÒgYì× ß ÖW×o7á · Õ8ÏWÜ Ô áWÑìÔKÜ'×Ö · ÖÔ ÖW×ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×PÛÑÕ
P (A) = E[MT ;A]ÚA ∈ FT
ÚmÑáWÖW× FT = σ(Ut : 0 ≤ t ≤ T )ã6ê@ÑÞsÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×
PÚ
UtåÏWÜ5ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖW×Õ · ÒØÑ8ØÑÜ5Ñ8Ü'×ÒÜ'Ñ8ÛWÕgbÜ · ÑÛøçÕù?Ú]ÛÑÕåÜ5Ñ8ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖÔÒ£ØÝW×ÐÔÖÔÒ
Nt, t ≥ 0 å`ú3Ñ · ÒÒÑááïÑÝWÑÜ'ÑÐ[báW×ÑØÑÜVÓÔ;nWÔCÖW×`Ø?ÝW×ÐÔlÖÔ λw ÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑ4ÖWÑìlÔ ß ÑÕRÔlÓ"ÏÔ ßÖÔ4Õ×Ò×ÕìÔ
Ut = wÚWÑÒ9Ó"×Ü'ÛÑÒ9×áÓ"Õ×CÔÒ)ØÝW×ÐÔÖÔÒ
Tj − Tj−1 = πÒ"ïÑÓÔ · Ò¹õÏW×
π ∼ fπ(t) = λrw(t) exp
−∫ t
0
λrw(v)dv
,ø 5 f Dù
ÑáWÖW×
λx = λMX(γ(x)).
í`Ò · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒXÒ"ïÑÓÔ · Ò9õÏW×
X|τ = t ∼ Frw(t)
ÖÔÖÔÛÑÕ
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τ(u))ã
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λw×FwØÑÜ'Ñ2ÑÒ:ÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ`ÞëÒ · ØÑÒã+ê@×áWÖWÑ£ÔÒÒ · ÜÚÔ`ÕÏZYáÔ-Ñ@ØÑÕÕ×m×ì×áÓ"ÏÔ ß Ü'×áÓ"×
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σb =√
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Bwc
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Ú+óÜ'×Ö · ÖÔ8õÏW×σbÔÏWÜ'×áÓÔ%Ú.Ô
ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑÕ£Ö · æçÏWÒ"ïÑ+7Ø ÔÜ'×áWÑÒ£×7Ø · ×áÓ"×ã ò ÏÔáWÖWÑu = 10
ÑÞWÒ×ÕìlÔÜ'ÑÒCÑØÑÜ'ÛÑÕÓ?ÔþÜ'×áÓ"Ñ · áì×ÕÒÑWÚ%ÑÏÒ×OâÔ%ÚÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ,7Ø ÔÜ'× ß ÝWÑÕRóÜ'×Ö · ÖÔõÏW×
σbÔÏWÜ'×áÓÔ%ã+ú3ÑÕ¹ð ß Ó · ÜÑWÚ
õÏÔáWÖWÑu = 5ÚÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4å£Ü'× ß ÝWÑÕ¹ÛÔÕ"Ô4Ñ4ìÔ ß ÑÕ · áÓ"×ÕÜ'×Ö · ëÕ · ÑÖW×
σbã
ö-Ü5ævÔlÓ"Ñ · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔáÓ"×ÓÔÜÞåÜ5åõÏW× õÏÔáWÖWÑu = 3
ÚψD×ÒÓëÒ×Ü'ÛWÕ×ÒÏWÛ×Õ×ÒÓ · Ü ÔáWÖWÑ
ψS×õÏÔáWÖWÑ
u = 10ÚψD×ÒÓë Ò×Ü'ÛWÕ×ÒÏWÞ×ÒÓ · Ü ÔáWÖWÑ
ψSã`Ù`×ÔØÑÕÖWÑ ØÑÜø¥: 4 ù?ÚáÔ ÔÛWÕÑCn · þ
Ü Ôî ïÑÛÑÕ2Ö · æçÏWÒ"ïÑ×ÒÓÔÜ'ÑÒ¤ÔÖ · Ø · ÑáÔáWÖWÑÏWÜ ÔØÑÜ'ÛÑáW×áÓ"×4×ÒÓ"ÑØ ëÒÓ · Ø Ô8ÔÑìÔ ß ÑÕ`ÖWÑ8ÐÔáWÝWÑ
D 4
p:ÔÞ× ß Ôv5 4 æÎ+ÕÕÑ ÖW××ÒÓ · Ü Ôî ïÑUÛÔÕ"ÔcÔUÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×8ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜoÓ"×Ü'ÛÑ¡7á · Ó"ÑcõÏÔáWÖWÑδ = 0.1
ã
hÏWÕÑÒ )û p3×Ü'ÛÑ ö-á · æOã(σb ' 1.52)
è£ÔÜ Ô(σb ' 1.80)
În%ÛIã(σb ' 2.12)
Ï|ö 4 p2ö]5 f D 8 5"T-8 :[E 8p2öHD f ñ-8 5CB8 :ñ-8
δ = 0.1Ïö¦D p2ö]5 f 5;D 8 598 ñ-8
p2öHD f 5[598 B8 5 f 8Ïö 5 f p2ö]5 f E[E 8 ññ-8 Dñ-8
p2öHD f ñdB8 ñ 4 8 Bñ-8
×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑCÛÑÕ.ÏWá · ÖÔÖW×9ÖW×¹Ó"×Ü'ÛѤÖW×ì · ÖWÑCÔ2ÏWÜ ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×)ÖW×9Ò×ÐÏWÕ"ÔáWî Ôθ×)Ô2ìlÔÕ · áWØ · Ô`ÖW×ÒÓÔ
ØÑÜ'ÛÑáW×áÓ"××ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · Ø Ô ×ÒÓë Ö · Õ×ÓÔÜ'×áÓ"× ß· ÐÔÖÔ'ÔÑ ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×σbã2Ù`×ÒÓÔ'æçÑÕÜ Ô'ÛÑÖW×Ü'ÑÒ
ØÑálâ×ØÓ"ÏWÕ"ÔÕ+õÏW×ÚÛÔÕ"Ôu = 3Ú@Ô£ÔlÛWÕ"ÑCn · Ü Ôî ïÑ2ÛÑÕ+Ö · æçÏWÒ"ïѤÒ×Õ"ë¤Ü'×áWÑÒB×o7Ø · ×áÓ"×)õÏÔáÓ"Ñ£Ü Ô · ÑÕ
æçÑÕ9Ñ4ìlÔ ß ÑÕ9ÖW×σbã+ûZÒÓ"Ñ'ÛÑÕõÏW×ÚáW×ÒÓ"×CØ ÔlÒ"Ñ%ÚØÑÜ'Ñ'ÔìÔÕ · ÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×
σbWb,tå£Ü Ô · ÑÕÚ
Ut· Õ · Ô
ÔÞÔ · n%Ñ4ÖW× à ×ÕÑ'ØÑÜ!Ü Ô · ÑÕRæçÕ×õÏZbáWØ · Ô%ã÷ · Ø ÔØ ß ÔÕÑÓÔÜ4ÞåÜõÏW×CÛÔÕ"Ô4ÑØ ÔÒÑ
δ = 0.1× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò9ØÑÜ!Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ö-á · æçÑÕÜ'×
(1, 2)ÚIÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ ÛÑÕ`Ö · æçÏWÒ"ïÑåÜ Ô · Ò-×7Ø · ×áÓ"×õÏÔáWÖWÑ
u = 3ã2ú.ÔlÕÔ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò`ØÑÜ
Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô(2.25, 1.5)
×CÎn%ÛÑáW×áWØ · Ô ß(2/3)
ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4å£Ü'× ß ÝWÑÕ¹õÏÔáWÖWÑu = 5ã
í1ÓÔÞ× ß ÔÏ5CB6ÔsÒ×ÐÏ · ÕÔÛWÕ×Ò×áÓÔ6ÑÒ×ÕÕÑÒÖW×U×ÒÓ · Ü Ôî ïÑWÚ`ÛÔÕ"ÔsØÔÖÔsÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑKÖÔÒ· áWÖW×á ·à Ôî8×ÒÚõÏÔáWÖWÑ
δ = 0.05ã
p:ÔÞ× ß Ôv5CBZæÎ+ÕÕÑ ÖW××ÒÓ · Ü Ôî ïÑUÛÔÕ"ÔcÔUÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×8ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜoÓ"×Ü'ÛÑ¡7á · Ó"ÑcõÏÔáWÖWÑδ = 0.05
ã
hÏWÕÑÒ )û p3×Ü'ÛÑ ö-á · æOã(σb ' 1.52)
è£ÔÜ Ô(σb ' 1.80)
În%ÛIã(σb ' 2.12)
Ï|ö 4 p2ö 5 f E@ã c-8 5ñ-8 :ñ%ã T-8p2ö¦D f c%ã 4 8 5 4 ã T-8 : f ã6598
δ = 0.05Ï|öHD p2ö]5 f D@ã6598 :@ã 4 8 5;D@ã B8
p2ö¦D f f ã6598 4 ã c-8 5;D@ã T-8Ï|ö]5 f p2ö 5 f ñ f 8 D f ã B8 4 D@ã=D 8
p2ö¦D f 4 D 8 :dc%ã6598 5"c%ã 4 8
DaB
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σbÔÏWÜ'×áÓÔ%Ú
Ô ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ'ÛÑÕ-Ö · æçÏWÒ"ïÑ7Ø Ô Ü'×áWÑÒ-×7Ø · ×áÓ×lã2ú:ÔÕ"Ôu = 10
Ñ@ØÑÕÕ×Ñ ØÑáÓ"Õ"ëÕ · ÑWÚÑÏÒ×OâÔ%ÚÔcÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïlÑcÛÑÕ Ö · æçÏWÒ"ïÑ7Ø Ô Ü Ô · Ò×7Ø · ×áÓ"×õÏÔáWÖWÑ
σbÔÏWÜ×áÓÔ%ã Ù`×æçÑÕÜ ÔÐ×Õ"Ô ß Ú9Ô
ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4ÛÑÕ)Ö · æçÏWÒ"ïÑæçÏWáWØ · ÑáÔ4Ü'× ß ÝWÑÕ¹õÏÔáWÖWÑu = 5ã
í1ÓÔÞ× ß ÔÏ5;DKÔsÒ×ÐÏ · ÕÔÛWÕ×Ò×áÓÔ6ÑÒ×ÕÕÑÒÖW×U×ÒÓ · Ü Ôî ïÑWÚ`ÛÔÕ"ÔsØÔÖÔsÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑKÖÔÒ· áWÖW×á ·à Ôî8×ÒÚõÏÔáWÖWÑ
δ = 0.01ã
p:ÔÞ× ß Ôv5;D3æÎ+ÕÕÑ ÖW××ÒÓ · Ü Ôî ïÑUÛÔÕ"ÔcÔUÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×8ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜoÓ"×Ü'ÛÑ¡7á · Ó"ÑcõÏÔáWÖWÑδ = 0.01
ã
hÏWÕÑÒ )û p3×Ü'ÛÑ ö-á · æOã(σb ' 1.52)
è£ÔÜ Ô(σb ' 1.80)
În%ÛIã(σb ' 2.12)
Ï|ö 4 p2ö 5 f c%ã T-8 5;E@ã6598 :aBWã T-8p2ö¦D f ñ%ã B8 T-8 5CBWã c-8
δ = 0.01Ï|öHD p2ö]5 f 598 5 f 8 5;E@ã 4 8
p2ö¦D f BWã6598 E@ã T-8 5;:@ã=D 8Ï|ö]5 f p2ö 5 f 4 E@ã6598 4[f 8 5;E 8
p2ö¦D f E@ã 4 8 BWã ñ-8 B%ã B8
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σbÔÏWÜ'×áÓÔ%ÚÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4ÛÑÕ)Ö · æçÏWÒ"ïÑS7Ø Ô
Ü'×áWÑÒ-×7Ø · ×áÓ"×ã2ú:ÔÕ"Ôu = 10
Ñ@ØÑÕÕ×CÑØÑáÓ"Õ"ëÕ · ÑWÚÑÏÒ×OâÔ%ÚIÔ ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ'ÛÑÕ-Ö · æçÏWÒ"ïÑ7Ø ÔÜ Ô · Ò`×7Ø · ×áÓ"×4õÏÔáWÖWÑ
σbÔÏWÜ'×áÓÔ%ãÙ`×æçÑÕÜ Ô Ð×Õ"Ô ß Ú]ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑÕ2Ö · æçÏWÒ"ïÑæçÏWáWØ · ÑáÔ
Ü'× ß ÝWÑÕ+õÏÔáWÖWÑu = 5ã+Ù`×ì×Ü'ÑÒmÕ×ÒÒ"Ô ß ÓÔÕ+ÓÔÜÞåÜ Ô£Ü'× ß ÝWÑÕ"Ô¤Ò · Ðá · 7Ø ÔlÓ · ìÔ2ÖÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ
ÛÑÕ)Ö · æçÏWÒ"ïÑÛÔlÕÔT = 50
õÏÔáWÖWÑu = 10
áWÑ'Ø ÔÒÑδ = 0.01
ã
3²±¥à þ HWEõ¹2Põ¹2LONOLO_`PB_`G _`G HWhO\`PGQ ^%GQ4EVLO\¶2\`L¡^%Eü-×ÒÓÔ Ò×î ïÑWÚ
ψD(u)Õ×ÛWÕ×Ò×áÓÔ ÔcÛWÕÑÞÔlÞ ·ß· ÖÔÖW×8ÖW×ÕÏZYáÔU×ÜoÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑUõÏÔáWÖWÑ
Ï%Ó ·ß·à ÔÜÑÒ+Ô£ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïѤÛÑÕ+Ö · æçÏWÒ"ïÑWÚψS(u)
å)Ô¤ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×¹ÖW×)ÕÏZYáÔ2×Ü Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑÑÞ%Ó · ÖÔ2ì · Ô¤Ò · ÜÏ ß Ôî ïÑ£ÔlÓ"Õ"Ô ìåÒBÖÔ£Ü4ÏWÖÔáWî Ô¤ÖW×-Ü'×Ö · ÖÔ%Ú
ψli(u)×ψls(u)
Ò"ïÑCÑÒ ß· Ü · Ó"×Ò · á%æç×Õ · ÑÕ×ÒÏWÛ×Õ · ÑÕÖWÑ · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑKÖW×ØÑáx7ÔáWî ÔsÕ×ÒÛ×ØÓ · ìÔÜ'×áÓ"×ãq`2Ò · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑÒÖW×UØÑáx7ÔáWî ÔKÒ"ïÑØÑáWÒÓ"ÕÏZYÖWÑÒ9Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ4ØÑ×7Ø · ×áÓ"×CÒ×£ØÑáx7ÔáWî Ô
α = 0.05ã
Î+Ü1è¤Õ"ÔáWÖW× ßß ø 5"T[Tx5ù?ÚIÑÔÏ%Ó"ÑÕ£ÔÛWÕ×Ò×áÓÔ8Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ¤ÛÔÕ"Ô8ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×4ÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑõÏÔáWÖWÑ
δ = 0ã Î ß ×Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔõÏW×'ÛÔÕ"Ô8õÏW× Ô8ÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÑÕ£Ö · æçÏWÒ"ïÑÒ×OâÔ
×7Ø · ×áÓ"×Úå9áW×Ø×ÒÒ"ëÕ · ÑCõÏW×9Ñ£ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×)ÖW×9Ò×ÐÏWÕ"ÔáWî Ôθ = p/λµ−1
Ò×OâÔ¤Û×õÏW×áWÑC×uÐÕ"ÔáWÖW×
D[D
ÖWפæçÑÕÜ ÔõÏW×θ−1 × u Ò×OâÔÜ!ÖÔÜ'×ÒÜ ÔÑÕÖW×Üã
ü-×ÒÓÔÒ×î ïÑØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'ÑÒÔÒ · Ó"ÏÔî ïÑ×ÜõÏW×δåÛÑÒ · Ó · ìÑ ×ÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · ØÑWÚ+ÑÏKÒ×OâÔ%Ú
ØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'ÑÒσd×Ü ø¥:ñù · ÐÏÔ ß Ô à ×ÕÑWã½ê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚ¤ÔÛ ß· Ø ÔÕ×Ü'ÑÒ8ÔÒ8æçéÕÜÏ ß ÔÒcøÅBrEù×
ø¥D[:ù ÛÔÕ"Ô ×áWØÑáÓ"Õ"ÔÕÔ ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×ÕÏZYáÔ ×Ü Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ õÏÔáWÖWÑ6Ï%Ó ·ß·à ÔÜÑÒÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ£ÛÑÕRÖ · æçÏWÒ"ïÑWã.ú.ÔÕ"Ô7áWÒRÖW×`ØÑÜ'ÛÔÕ"ÔîïÑWÚÏ%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'ÑÒBÔ¤Ó"åØá · Ø ÔCÖW×-ÜÏWÖÔáWî ÔCÖW×Ü'×Ö · ÖÔÖW×ÒØÕ · ÓÔ'áÔ Ò×î ïÑE@ã 4 ã 4 ÛÔÕ"Ô'ÑÞ%Ó"×Õ-ÏWÜ Ô'×ÒÓ · Ü ÔlÓ · ìlÔÛÑáÓ"ÏÔ ß × · áÓ"×ÕìlÔ ß ÔÕ)ÛÔÕ"Ô'×ÒÒ"ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ã¹÷× · Ó"Ñ · ÒÓ"ÑWÚ×ÒÓÔÕ×Ü'ÑÒ`ÔÛ%Ó"ÑÒ-ÛÔÕ"Ôì×Õ · 7Ø ÔÕ`Ô'×7Ø · báWØ · ÔÖÔ ÔÛWÕÑ"n · Ü Ôlî ïÑ'ÛÑÕÖ · æçÏWÒ"ïÑ4áW×ÒÓ"×CØ ÔÒÑWãö)Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ Ô'áWÑÓÔî ïÑ ÖÔ'Ò×î ïÑE@ã 4 ã 4 ÚØÑáWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'ÑÒ-áW×ÒÓÔ Ò×î ïÑõÏW×
λ = 1×ÔÓÔ;nWÔ'ÖW×
ÛWÕgbÜ · Ñ4å£ÏWÜ ÔæçÏWáWî ïÑ ß· áW× ÔÕ¹ÖÔ4Õ×Ò×ÕìÔ%ÚÜ Ô · Ò¹ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'×áÓ"×
p(r) = 1.65 + 0.1r.ø 5;:35ù
>mÑÜ'Ñì · ÒÓ"ÑáÔÒ×î ïÑE@ã 4 ã=:£×ÒÓ"פÜ'ÑÖW× ß Ñå2×õÏ · ìlÔ ß ×áÓ"×2ÔÑÜ'Ñ@ÖW× ß ÑCØÑÜ ÛWÕgbÜ · ÑØÑáWÒÓÔáÓ"×áWÑ4Ó"×Ü'ÛÑWÚWáWÑõÏÔ ß
λ = 1Úp = 1.65
×δ = 0.1
ãBú:ÑÕCø»T[Tù?Ú%Ó"×Ü'ÑÒ9õÏW×
d
dtru(t) = 1.65 + 0.1ru(t), ru(0) = u.
ø 5;:[:ù
Î+áÓïÑ
dru(t)
1.65 + 0.1ru(t)= dt ⇒
∫
dru(t)
1.65 + 0.1ru(t)= t+
ØÑáWÒÓ ã
⇒ 1
0.1
∫
0.1
1.65 + 0.1ru(t)dru(t) = t+
ØÑáWÒÓ ã
⇒ ln(1.65 + 0.1ru(t)) = 0.1t+ØÑáWÒÓ ã
⇒ 1.65 + 0.1ru(t) = ke0.1t
⇒ ru(t) = ke0.1t − 1.65
0.1.
ö)Ó ·ß·à ÔáWÖWÑÔ4ØÑáWÖ · î ïÑ · á · Ø · Ô ßru(0) = u
ÚWÓ"×Ü'ÑÒ9õÏW×
ru(t) = e0.1t
(
u+1.65
0.1
)
− 1.65
0.1.
ø 5;: 4 ù
sPºÙPº» ÀOä¿3ÀO¾65wÄ¼È P3÷[äO¾»Á  ¾ ñ O¾»È[ÉZ7+ļÄí5ÓÔÞ× ß Ôk5ñ%Ú)Õ×Ó · Õ"ÔÖÔcÖW× í`ÒÜÏWÒÒ×áâ¨Ëü · × ß Ò×áÃø 5"T[TwDù?Ú-ÔÛWÕ×Ò×áÓÔ Ñ Ø ÔÒÑ ×ÜõÏW×ÔÒ
· áWÖW×á ·à Ôî8×Ò9ÓAbÜ!Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ'è£ÔÜ Ô(2.25, 1.5)
×δ = 0.1
ã`2Ò)Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ)ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÖWÑÒ-áÔÓ?ÔlÞ× ß Ô+5ñæçÑÕ"ÔÜ ÑÞ%Ó · ÖWÑÒ9Õ× Ô ß·à ÔáWÖWÑlþZÒ×5 f[f[f Õ×Û ß· Ø Ôî8×Ò
ÖW×Mτ(u)
×ÜËø 5 f Bù?ã9ú3Ñ@ÖW×Ü'ÑÒ-Û×ÕØ×Þ×Õ2õÏW×Ô ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑÕ-Ö · æçÏWÒ"ïÑ'åC×7Ø · ×áÓ"×õÏÔáWÖWÑDñ
p:ÔÞ× ß Ô5ñxæú+ÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW× ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜËÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑõÏÔáWÖWÑUÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜÖ · ÒOþÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô
(2.25, 1.5)×δ = 0.1
ã
hÏWÕÑÒ )ûψD(u) ψS(u) ψli(u) ψls(u) ξE
Ï|öHD f ã65;D f D f ã65;Dñ f ã65;D[: f ã65ñ f 4 ã=D 8δ = 0.1
Ï|ö]5 f f ã f[f ñx5 f ã f 5ñ f f ã f 5;Dñ f ã f 5ñwD ñx598Ïö 5;D f ã f[f[f[f DdT[T f ã f[f 5[5 f ã f[f 5 f ñ f ã f[f 5 4 TdBWã=D 8
u = 5Ú.áïÑ Ò×áWÖWÑ Ò"ÔlÓ · ÒævÔlÓ"éÕ · Ô8áWÑÒÑÏ%Ó"ÕÑÒØ ÔÒÑÒã: · áÓ×Õ"×Ò"Ò"ÔáÓ"×áWÑÓÔÕõÏW×ÑÒCìÔ ß ÑÕ×ÒÖÔ
ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×-ÖW×2ÕÏZYáÔC×ÜÓ"×Ü'ÛÑ7á · Ó"ÑÜ'ÑÒÓ"Õ"ÔÖWÑÒmáÔCÓÔÞ× ß Ô52×`ÓÔÞ× ß Ô:CØÑáì×ÕÐ×ÜÛÔÕ"ÔÑÒ¹ìÔ ß ÑÕ×Ò9ÖÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · ÓÑÜ'ÑÒÓ"Õ"ÔÖWÑÒ9áÔ4ÓÔÞ× ß Ô5ñ%ãí ÓÔÞ× ß Ô5ñ'ÓÔÜÞåܽÔÛWÕ×Ò×áÓÔÑÒ2×ÕÕÑÒ2ÖW××ÒÓ · Ü Ôî ïÑ ×Ü
ψD(u)õÏÔáWÖWÑÏ%Ó ·ß·à ÔÜÑÒ`Ô
ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ ÛÑÕ2Ö · æçÏWÒ"ïÑ×Ü=Õ× ß Ôî ïÑóψS(u)ãC÷ · Ø ÔØ ß ÔlÕ"ÑõÏW×óÜ'×Ö · ÖÔ õÏW×ÑìlÔ ß ÑÕ2ÖW×
uÔÏWÜ'×áÓÔ%ÚÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4ÛÑÕ9Ö · æçÏWÒ"ïÑS7Ø ÔÜ'×áWÑÒ9×7Ø · ×áÓ"×ã
sPºÙPºÙ ÀOä¿3ÀO¾65wÄ¼È P3÷[äO¾»Á  ¾ ñ O¾»È[ÉZ,#ôõÀ¿3ÀO÷w¾ÅļÛü-×ÒÓÔÒ×î ïÑ'Ï%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'ÑÒ¹ÑÒ)Ò×ÐÏ · áÓ"×Ò ?"zvwy'|¥ æ
ξE =ψD − ψ(u)
ψ(u)
ø 5;:aBù×
ξS =ψS − ψ(u)
ψ(u),
ø 5;:[DùÑáWÖW×
ψ(u)å-Ô£ÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×9ÖW×)ÕÏZYáÔ¤×ÜVÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ѥ×onWÔlÓÔ£ÛÔÕ"Ô£Ñ£Ø ÔÒÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò
ØÑÜ1Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑÎn%ÛÑáW×áWØ · Ô ß ÚψSåÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×'ÖW×ÕÏZYáÔ×Ü1Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑÑÞ%Ó · ÖÔ
Û× ß Ô4Ò · ÜÏ ß Ôî ïÑÖWÑÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß ÖW×7á · ÖWÑáÔ×on%ÛWÕ×ÒÒïÑø 5 f BùR×ψDåCÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖWפÕÏZYáÔ
×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ4ÑÞ%Ó · ÖÔ4Û× ß ÔÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÑÕ9Ö · æçÏWÒ"ïÑWãü-ÑØ ÔÒÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒØÑÜËÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑÎn%ÛÑáW×áWØ · Ô ß Ú.×Üê@ÏWáWÖ%ÓQ¨qp3×ÏWÐ× ß Òø 5"T[TwDù
ÑÒ-ÔÏ%Ó"ÑÕ×Ò-Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÜ!ÏWÜ Ô4æçéÕÜÏ ß Ô×onWÔlÓÔ'ÛÔÕ"Ô'ÔÛWÕÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×CÕÏZYáÔ×Ü!Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑõÏÔáWÖWÑ
δå ÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · ØÑWãü-×ÒÓÔÒ×î ïÑ Ï%Ó ·ß·à ÔÜÑÒC×ÒÓÔæçéÕ"ÜÏ ß Ô%ÚævÔ à ×áWÖWÑÏWÜ ÔÛ×õÏW×áÔ
ØÑÕÕ×î ïÑáÔÜ'×ÒÜ Ô%ÚWפØÑÜ'ÛÔÕ"ÔÜ'ÑÒ9ÑÒ9Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ)×onWÔlÓ"ÑÒ)ØÑÜ!ÑÒ)Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ)ÑÞ%Ó · ÖWÑÒ9ØÑÜ¿ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ4ÛÑÕ)Ö · æçÏWÒ"ïÑWã)>mÑÜ'Ñ'ÔáÓ"×Õ · ÑÕÜ'×áÓ"×Ú
λ = 1Úp = 1.65
×δ = 0.1
ã
D[E
ê@×OâÔρ = λµ
Úψδ(u) = 1− ψδ(u)
ãRÙ`×7á · Ü'ÑÒ¹ÓÔÜÞåÜ
Gδ(u) =ψδ(u)− ψδ(0)
1− ψδ(0)
ø 5;:ñù
×
Kδ = p
(
p
δµ
)λ/δ−1
· e−p/δµΓ−1
(
λ
δ,p
δµ
)
.ø 5;:[Eù
Î+Ü1øê@ÏWáWÖ%Ó ¨Hp×ÏWÐ× ß ÒÚ¿5"T[TwDù?Ú%ÑÒ-ÔÏ%Ó"ÑÕ×Ò)Ü'ÑÒÓ"Õ"ÔÜõÏW×
ψδ(0) =ρ
Kδ + ρ
ø 5;:dcù
×
ψδ(u) = ψδ(0)[1−Gδ(u)].ø 5;:dTù
ý]ÑÐÑWÚ
ψδ(u) =ρ
p(
pδµ
)λ/δ−1
· e−p/δµΓ−1(
λδ, pδµ
)
+ ρ
·Γ(
λδ, pδµ
+ uµ
)
Γ(
λδ, pδµ
)
=Γ(
λδ, pδµ
+ uµ
)
1ρp(
pδµ
)λ/δ−1
· e−p/δµ + Γ(
λδ, pδµ
)
=Γ(
λδ, pδµ
+ uµ
)
1λµp(
pδµ
)λ/δ−1
· e−p/δµ + Γ(
λδ, pδµ
)
=Γ(
λδ, pδµ
+ uµ
)
δλp(
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