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Probabilidade II

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 1 / 25

VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias



KK

KC

CK

X: número de caras em 2 lances de moeda

Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado(K = cara e C = coroa)

Ω

CK

CC

0 1 2

X(CC) = 0

X(KC) = X(CK) = 1

X(KK) = 2

P(X = 0) = P(CC)

P(X = 1) = P(KC ∪ CK)

P(X = 2) = P(KK)

X(Ω) (imagem)


VALE A PENA VER DE NOVO:Função de Distribuição

Definição:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω,A ,P),sua função de distribuição é definida por

F(x) = P(X ∈ (−∞,x]) = P(X ≤ x),

com x percorrendo todos os reais.

PROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma funçãoseja uma função de distribuição são:

(F1) limx→−∞

F(x) = 0 e limx→∞

F(x) = 1;

(F2) F é contínua à direita, isto é, para xn ↓ x tem-se que F(xn) ↓ F(x)

limxn→x

F(xn) = F(x+) = F(x)

;

(F3) F é não decrescente, isto é, F(x)≤ F(y) sempre que x ≤ y ,∀x ,y ∈R.


Variáveis Aleatórias

Apresente exemplos de variáveis aleatórias.


Variáveis Aleatórias Contínuas

Considere a turma de Probabilidade II e responda as questões:

Seja a variável Y=número de irmãos. Enumere todos os possíveis valoresde Y .

Seja a variável Z=nota na primeira prova, com duas casas decimais.Enumere todos os possíveis valores de Z .



Suponha que X possa assumir um número finito muito grande de valores,digamos todos os valores x no intervalo 0≤ x ≤ 1, da forma:0;0.01;0.02; . . . ;0.98;0.99;1.00.

A cada um desses valores está associado um número não-negativop(xi) = P(X = xi), i = 1,2, . . ., cuja soma é igual a 1.

Poderia ser matematicamente mais fácil considerar a apresentaçãoprobabilística de X supondo que X pudesse tomar todos os valorespossíveis, 0≤ x ≤ 1.

Não podemos esperar que possamos atribuir probabilidades aos valores deuma variável contínua da mesma maneira que o fizemos para as variáveisdiscretas.

A soma de uma quantidade não enumerável de números positivos nãopoderia ser igual a um.



Uma vez que os valores possíveis de X não são enumeráveis, não podemosfalar do i-ésimo valor de X , e, por isso, p(xi) se torna sem sentido.

Em vez de atribuir, como no caso discreto, probabilidades aos valores davariável, pode-se atribuir probabilidades a intervalos de valores da variávelcontínua por meio de uma função.

A ideia então é substituir a função p definida somente para x1,x2, . . . poruma função f definida para todos os valores de x .



Definição 1.1: (Variável aleatória contínua) Uma variável aleatória X é contínuase assume valores num intervalo da reta real, ou seja, o número de valores que Xpode assumir é não enumerável.

EXEMPLOS:

Tempo até a cura de uma doença;

Peso das peças em uma linha de produção;

Salário dos estatísticos em João Pessoa.

Definição 1.2: (Variável aleatória absolutamente contínua) Uma variável aleatóriaX é absolutamente contínua se existir uma função não negativa f tal que paratodo x ∈R,

F(x) =

∫ x

−∞f (t)dt ,

em que F é a função de distribuição acumulada e f é a função densidade davariável aleatória X .


Variáveis Aleatórias ContínuasDefinição 1.3: (Função densidade de Probabilidade - fdp) A função densidade deprobabilidade de uma variável aleatória contínua é uma função que satisfaz

(i) f (x)≥ 0, ∀x ∈R;

(ii)∫∞−∞ f (x)dx = 1.

Observação 1.1: Por ser uma nomenclatura mais comum, a variável aleatóriaabsolutamente contínua será chamada aqui apenas de contínua.Consideraremos então a variável aleatória X como contínua se sua função dedistribuição F é absolutamente contínua (por ser integral da função dedensidade).

Observação 1.2: Uma variável aleatória pode ser classificada como singular, sesua função de distribuição é contínua, mas sua derivada é zero em quase todosos pontos

Observação 1.3: Uma variável aleatória pode ser classificada como mista, setem partes em diferentes classificações. O mais comum é a mistura de partecontínua com discreta.



IMPORTANTE: A partir da definição de função de distribuição, tem-se que

P(a≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f (x)dx = F(b)−F(a).

Note que a integral acima não se altera com a inclusão ou não dos extremos a eb. Dessa forma, para as variáveis contínuas, a probabilidade da variável ser iguala um particular valor é zero.

Assim,

P(X(ω)∈ [a,b]) = P(a≤ X ≤ b) = P(a< X ≤ b) = P(a≤ X < b) = P(a< X < b).

P(a≤ X ≤ b) representa a área sob a curva da função densidade entre a e b.



IMPORTANTE:A função de densidade serve para a caracterização da variávelcontínua. Dada a função de densidade, a função de distribuição é obtida porintegração. Por outro lado, derivando a função de distribuição, obtemos adensidade.

Ou seja, utilizando o teorema fundamental de Cálculo, se f (x) for contínua, temosa seguinte relação

d

dxF(x) = f (x)


Exemplo 1


Exemplo 2


ExercíciosExercício 1.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F éuma funções de distribuição. É possível identificar se a variável é discreta oucontínua? Obtenha a função densidade ou função de probabilidade conforme ocaso.

a) F(x) =

0, se x < 6;(x −6)/2, se 6≤ x < 8;

1, se x ≥ 8.


ExercíciosExercício 1.1:


Exercício 1.2

Exercícios

Seja X a variável aleatória denotando o tempo semanal

necessário para completar um pequeno contrato. A fdp de X é

dada por:

Calcule:

f x

xx

x( ) =

−

≤ ≤

−

≤

2

162 6

10

166

, para

, para < x 10

0 , para outros valoresCalcule:

a) Verifique que f é uma densidade;

b) P(5 ≤ X ≤ 7);

0 , para outros valores


Variáveis Aleatórias ContínuasExercício 1.2:


Variáveis Aleatórias ContínuasExercício 1.3: Seja X uma V.A. com densidade f (x) = cx2, −1≤ x ≤ 1, ef (x) = 0, caso contrário.

a) Determine o valor de c.

b) Calcule P(|X |> 12 ).

c) Ache o valor de α tal que F(α) = 14 ( o valor de α que satisfaz esta

relação é denominado primeiro quartil da distribuição de X ).


Variáveis Aleatórias ContínuasExercício 1.4: O tempo de falha de um equipamento tem função densidade dadapor f (t).

f (t) =

¨

2e−2t , t > 0;0, c.c.

a) Determine a função de distribuição acumulada de T .b) Qual a probabilidade do equipamento durar pelo menos 1 hora,

dado que já durou meia hora?


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