Probabilidade - Rodrigo Farias

5/12/2018 Probabilidade - Rodrigo Farias - slidepdf.com

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A história da teoria das

probabilidades, teve início noséculo XVI com os jogos decartas, dados e de roleta.

Esta teoria foi usada porMendel em seus estudos

Rodr igo Far ias

Hoje, está intimamente

relacionada com a estatística,que tem aplicações comdiversos ramos do

conhecimento.

Probabilidade

Rodrigo

[email protected][email protected]



pe de e seus es udos

ElementosExperimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguaiscondições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja,imprevisíveis. Quando se fala de tempo e possibilidadesde ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de

experimento aleatório.Espaço Amostral (U)É o conjunto de todos os resultados possíveis de umexperimento aleatório.Evento (E)

É qualquer subconjunto de um espaço amostral. E U⊂i a s



E = {c} e E = {k}

1) Lança-se uma moeda e lê-se a figura da facevoltada para cima.Pede-se:

a) O espaço amostral;

a) O número de elementos do espaço

amostral;a) O número de elementos dos eventos.

U ={cara, coroa}

n(U)=2

n(E )=1 e n(E ) = 11 2

1 2

RodrigoFaria



2) Lança-se um dado e lê-se o número voltadopara cima.Pede-se:

a) O espaço amostral.

a) Calcule o número de elementos do

espaço amostrala) Determine o evento: Ocorrência de um

número maior que quatro.

a) Determine o evento: Ocorrência de umnúmero par.

U={1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(U)=6

E ={5, 6}1

2E ={2, 4, 6}

RodrigoFaria



Experimento composto

Quando temos dois ou mais experimentos realizadossimultaneamente, dizemos que o experimento écomposto.Nesse caso, o número de elementos do espaço amostral édado pelo produto dos números de elementos dos

espaços amostrais de cada experimento.Um exemplo disso são dois dados quando lançadosimultaneamente.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 6

1= {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 61

2 2Logo: n(U)= n(U ) . n(U )21ortanto, n(U) = 6.6 = 36 elementos

Dado 1 Dado 21 1

2 13 14 8. .. .. .

RodrigoFaria



3) Ao lançar uma moeda e um dado,simultaneamente, calcule o número deelementos de U.

Moeda

={c, k} → n(U) = 2

Dado

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U)

n(U) = 6.2

moeda dado

n(U) = 12 elementos

RodrigoFaria



4) Obtenha o espaço amostral dolançamento simultâneo de três moedas.

Moeda 1

Moeda 2

Moeda 3

{c, k}

{c, k}

{c, k}

2.2.2=8

U= {(c, c,c);(c, c, k);

(c, k, c);(k, c, c);(c, k, k);(k, c, k);

(k, k, c); RodrigoFaria



Probabilidade de umevento

Um espaço amostral (U), equiprovável (com elementosque tem a mesma chance de ocorrer).

Probabilidade de um evento em um espaço

equiprovável

P(E) =n(E)n(U)

0≤p(E)≤10%

100%

Ex.: Jogandouma moeda,qual a

probabilidadede ocorrercara?n(U)=2 n(E)=1

12

RodrigoFaria



nçando-se um dado, qual é a probabilidadecorrer uma face igual a 5?

correr uma face maior que 4?

16

2

6

=:2

:21

3

≈16,6%

≈33,3%

RodrigoFaria



Probabilid

adeExercícios

Complementares

RodrigoF



o d r i

g o F a r i

a1

a) Um rei; c) Uma carta de ouros

b) Um valete de paus; d) Uma carta que não

seja de ouros.

131352

452

6) De um baralho tira-se uma ou maiscartas qual a probabilidade de que a cartaseja:

152 3952

BaralhoContém 52 Cartas;Dividida em 4 Grupos (Naipes): Copas, Paus,Ouro e espada.Cada grupo contém 13 Cartas sendo do Ás à

10, Valete (J), Dama (Q), Rei (K).

=:4

:4= 1

4:13

:13

= 34



36

7) (Puc-rio 2005) Dois dados não viciadossão jogados simultaneamente. Qual aprobabilidade da soma ser 7 nessa jogada?

Dado 1 Dado 2

123

654

123

654

U=6.6=36

6 possibilidades

6 =:6

:6 1

6

RodrigoFaria



o d r i

g o F a r i

aer om o n u o e separar o xo

para fins de reciclagem, uma instituição colocouem suas dependências cinco lixeiras, de acordocom o tipo de resíduo a que se destinam: vidro,plástico, metal, papel e lixo orgânico.

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma

delas uma embalagem plástica e, ao mesmotempo, em outra, uma garrafa de vidro.A probabilidade de que ele tenha usadocorretamente pelo menos uma lixeira é igual a:a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e) 45%



o d r i

g o F a r i

aA probabilidade de que eletenha usado corretamentepelo menos uma lixeira é

igual a:a) 25% b) 30% c) 35% d)40% e) 45%

Sem olhar para as lixeiras, João joga em umadelas uma embalagem plástica e, ao mesmotempo, em outra, uma garrafa de vidro.

1° Possibilidade

2° Possibilidade

3° Possibilidade

Acertar – Plástico; Errar – Vidro.

Acertar – Vidro; Errar – Plástico.

Acertar – Vidro; Acertar – Plásti

15

34

. = 320

15 34. = 320

15

14

. = 120

Ptotal=P+P+P1 2 3= 320 320 120++ = 720= 0,35

35% - Letra C

ê



o d r i

g o F a r i

a9) (UPE – 2005)Um juiz de futebol tem trêscartões no bolso. Um é todo amarelo, outro étodo vermelho e o terceiro tem uma face

vermelha e a outra amarela. Em um determinadolance, o juiz retira, aleatoriamente, um cartão dobolso e mostra ao jogador. Qual a probabilidadede a face que o juiz vê ser amarela e de a outra

face, mostrada ao jogador, ser vermelha?

A)1/3B)2/3C)1/6

D)5/6

Frente Verso

1° Cartão

2° Cartão3° Cartão

VermelhoVermelho

Amarelo Amarelo

Vermelho Amarelo

d i d l j i i



o d r i

g o F a r i

aEm um determinado lance, o juiz retira,aleatoriamente, um cartão do bolso e mostraao jogador. Qual a probabilidade de a face que o

juiz vê ser amarela e de a outra face, mostradaao jogador, ser vermelha?

Frente Verso

1° Cartão

2° Cartão

3° Cartão

VermelhoVermelho

Amarelo Amarelo

Vermelho Amarelo

Exp.1: Puxar o cartãocerto. 1

3Exp. 2: O juiz ver amarelo e o

jogador ver vermelho.12

13

12

. = 16 R. Letra C

10) U d 50 é l ifi d d



o d r i

g o F a r i

a10) Um grupo de 50 moças é classificado deacordo com a cor dos cabelos, e dos olhos decada moça, segundo a tabela:

Cabelo OlhosAzuis Castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

a) Se você marca um encontro com uma dessasgarotas, escolhidas ao acaso, qual a

probabilidade de ela ser:.a) Loira;a.b) Morena de olhos azuis;a.c) Morena outer olhos azuis?2650

450 38

501925=

:2

:2



o d r i

g o F a r i

aCabelo Olhos

Azuis Castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

b) Está chovendo quando você encontra a garota.Seus cabelos estão completamente cobertos, mas

você percebe que ela tem olhos castanhos. Qualé a probabilidade de que ela seja morena?1426

11) D t t l d 100 l d ti



o d r i

g o F a r i

a11) De um total de 100 alunos que se destinam ao cursode Matemática, Física e Química sabe-se que:I. 30 destinam-se a matemática e , destes, 20 são do

sexo masculino.II. O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais

10 destinam-se a Química.III. Existem 10 moças que se destinam ao curso de

Química.

Nessas condições, sorteando-se um aluno ao acaso dogrupo total e sabendo e sabendo que é do sexo feminino,qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso dematemática?

H M

MFQ

20

1030

10

20

10

5010



R e v i

s a n d o

E x e r c

í c i o s

c o m p

l e m e n

t a r e s

Rodrigo Fariat l d i t b



o d r i

g o F a r i

aar um espaço amostral para cada experimento abaa) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra

PROBABILIDADE;

a) Uma urna contém bolas Vermelhas, brancas e azuis.Uma bola é extraída e observada sua cor;

a) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 2 brancas. Duas

bolas são extraídas, sem reposição, e observada suascores na seqüência que foram extraídas;

a) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a seqüência desexos dos 3 filhos;

a) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados,observa-se os números das faces de cima;

a) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) éperguntado a data de seu aniversário (mas não o ano

U= {P, R, O, B, A, I, L, D, E}

U= {V, B, A}

= {V, V}, {V, B}, {B, V}, {B, B}

U= {M, M, M}; {F, M, M}; {M, F, M}; {M, M, F}; {M,F, F}; {F, M, F}; {F, F, M}; {F, F, F}

e) Dois dados um verde e um vermelho são lançados



o d r i

g o F a r i

ae) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados,

observa-se os números das faces de cima;

§(1, 1)§(1, 2)§(1, 3)§(1, 4)§(1, 5)§(1, 6)§(2; 1)§(2; 2)§(2; 3)§(2; 4)§(2; 5)§(2; 6)§(3; 1)§(3; 2)

f) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) éperguntado a data de seu aniversário (mas não o anodo nascimento). Observa-se esta data:

{1, 2, 3, 4, 5, ..., 364, 365}

13) U té 30 b l d d 1



o d r i

g o F a r i

a13) Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a30. Uma bolinha é escolhida e observada onúmero. Descreva o evento:

a) O número obtido é par;b) O número obtido é ímpar;

c) O número obtido é primo;

d) O número obtido é maior que 16;

e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;

f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;

g) O número não é múltiplo de 6.

h) O número é menor que 1.

1530

1530

U={11, 13, 17, 19, 23, 29}630

:6

:6=15

1430

e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;



o d r i

g o F a r i

ae) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;

f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;

g) O número não é múltiplo de 6.

h) O número é menor que 1.

{2, 4, 6, 8, 10, 12...}{5, 10, 15, 20, 25, 30}5= {10, 20, 30}

Comuns

15+6-3=18

18

303, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}8, 16, 24}

{24} 10+3-1=12

{6, 12, 18, 24, 30}

0-6=24

24

30

12

30

E= {Ø}

14) De um grupo de 200 pessoas 160 tem fator



o d r i

g o F a r i

a14) De um grupo de 200 pessoas, 160 tem fatorRh +, 100 tem sangue tipo O e 80 tem fator Rh +e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for

selecionada ao acaso, qual a probabilidade de:a) Seu sangue ter fator Rh+?b) Seu sangue não ser tipo O?c) Seu sangue ter fator Rh+ou ser do tipo O?

20

20

Rh+T i p o O

160R. a)

200

=4

5

=80%

R. b)

8080

20

Rh+T i p o O

8080 20

100200=

12

R. c) Rh+

160200+

Tipo O

100200

Rh+ e Tipo O

- 80200=200180= 910=50%

90%

15) Um colégio de 1000 alunos Destes:



o d r i

g o F a r i

a15) Um colégio de 1000 alunos. Destes:200 estudam matemática180 estudam física

200 estudam química20 estudam matemática, física e química50 estudam matemática e física50 estudam física e química

70 somente química.Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual aprobabilidade de:

a) Ele estudar só matemática?b) Ele estudar só física?c) Ele estudar matemática e química?

Um colégio de 1000 alunos F



o d r i

g o F a r i

aUm colégio de 1000 alunos.Destes:200 estudam matemática180 estudam física

200 estudam química20 estudam matemática,física e química50 estudam matemática efísica50 estudam física e química70 somente química.

20

MF

Q

30

30

100

70

80

70

a) Ele estudar só matemática?

a)

Ele estudar só física?a) Ele estudar matemática e

química?

701000

1001000

1001000

16) Em um grupo de 500 estudantes 80 estudam



16) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudamengenharia, 150 estudam economia e 10estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é

escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:a) Ele estude economia e engenharia?b) Ele estude somente engenharia?c) Ele estude somente economia?

d) Ele não estude engenharia nem economia?e) Ele estude engenharia ou economia?

A t i v

i d a

d e P a r a C

a s a

17) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas



o d r i

g o F a r i

a17) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradasde 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, semreposição. Qual a probabilidade de que a

seqüência de números observados sejacrescente?

234561

16 15 14 31 12 11. . . .. =7201

18) Um lote com 60 lâmpadas sendo 50 boas e



o d r i

g o F a r i

a18) Um lote com 60 lâmpadas, sendo 50 boas e10 defeituosas. 5 lâmpadas são escolhidas aoacaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:a)

Todas serem boas?a) Todas serem defeituosas?

a) 2 serem Boas e 3 defeituosas?a) Pelo menos uma ser defeituosa?

0 Lâmpadas50 Boas

10 Def.

5060

4959

4858

4757

4656. .. . =

1060

959

858

757

656

. .. . =

Todas serem boas? Rodrigo



Todas serem boas?

C50, 5C60, 5

=

50!

5!(60-5)!

5!(50-5)!50560

5

= 60! =50.49.48.47.46.45!

5!45!60.59.58.57.56.55!

5!55!odas serem defeituosas?10!

5!(60-5)!

5!(10-5)!105

605

= 60! =10.9.8.7.6.5!

5!5!60.59.58.57.56.55!

5!55!serem Boas e 3 defeituosas?

50!

5!(60-5)!

2!(50-2)!502

605

= 60!

103.

. 10!3!(10-3)!

elo menos uma ser defeituosa? 505

605

1-

Rodrigo

19) De um lote de 200 peças sendo 180 boas eRodrigo



19) De um lote de 200 peças sendo 180 boas e20 defeituosas, 10 peças selecionadas ao acaso,sem reposição. Qual a probabilidade de:

a) As 10 peças serem boas?

a) As 10 peças serem defeituosas?

a) 5 peças serem boas e 5 serem defeituosas?

A

t i v i d a

d e P a r a C

a s a

Rodrigo

20) Um número é sorteado ao acaso entre os 100



o d r i

g o F a r i

a20) Um número é sorteado ao acaso entre os 100inteiros de 1 a 100.a) Qual a probabilidade do número ser par?

a) Qual a probabilidade do número ser par, dadoque ele é ≤ 50?

a) Qual a probabilidade do número ser divisívelpor 5, dado que é par?

a) Ser múltiplo de 9?

50100

25100

10100

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99}11100

ma moeda é lançada 3 vezes Qual a probabilidade



o d r i

g o F a r i

ama moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade

servarmos 3 coroas?

servarmos exatamente uma coroa?servarmos pelo menos uma cara?

servarmos nenhuma coroa?servarmos no máximo 2 caras?

12 12 12. . =18

servarmos exatamente uma coroa?



o d r i

g o F a r i

aservarmos exatamente uma coroa?

spaço Amostral:2.2.2=8

luções possíveis:

, C, K , K, C, C, C

C = Cara e K = Coroa

38

bservarmos pelo menos uma cara?luções possíveis:

§ C, K, K § K, C, K §

K, K, C§ C, C, K § C, K, C§ K, C, C§

C, C, C

1 cara 2 cara

3 cara

bservarmos nenhuma coroa?



o d r i

g o F a r i

abservarmos nenhuma coroa?

18

bservarmos no máximo 2 caras?K, K, K

C, K, K

K, C, K K, K, C

C, C, K

C, K, CK, C, C

Nenhuma

1

2

78

22) O mês de outubro tem 31 dias Numa certa



o d r i

g o F a r i

a22) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certalocalidade, chove 5 dias no mês de outubro. Quala probabilidade de não chover nos dias 1° e 2° de

outubro?

31 Dias

Chove:5 dias

Não chove:26 dias

1° Dia126

2° Dia125

. = 1650

23) Em um jogo dois apostadores decidiram



o d r i

g o F a r i

a23) Em um jogo, dois apostadores decidiramjogar uma moeda honesta 3 vezes seguidas. Sehouver maior número de “caras” nesses 3

lançamentos, vencerá o primeiro jogador e, casocontrário, vencerá o segundo jogador. Sabendoque, em um dos lançamentos, houve “cara”, aschances do segundo jogador ter vencido são de:a)

1/2b) 1/4c) 3/7d) 4/7

e) 1/3

3° a) 1/2



o d r i

g o F a r i

a2°3°

1°

c

k

ck

c

k

c

k

k

ck

c

k

c

§(k, k, k)§(k, k, c)§(k, c, k)§(k, c, c)§(c, k, k)§(c, k, c)§(c, c, k)§(c, c, c)

3

7

a) 1/2b) 1/4c) 3/7d)

4/7e) 1/3

24) (ENEM – 2011) Rafael mora no Centro de uma



o d r i

g o F a r i

a24) (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de umacidade e decidiu se mudar, por recomendaçõesmédicas, para uma das regiões: Rural, Comercial,

Residencial Urbano ou Residencial suburbano. Aprincipal recomendação médica foi com astemperaturas das “ilhas de calor” da região, quedeveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas

são apresentadas no gráfico:



o d r i

g o F a r i

a

a)

a) b)

a)

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outrasregiões para morar, a probabilidade de eleescolher uma região que seja adequada àsrecomendações médicas é:

1 3

31 2

5 5

5

4

4

25)(ENEM – 2011) Todo o país passa pela



o d r i

g o F a r i

a25)(ENEM 2011) Todo o país passa pelaprimeira fase de campanha de vacinação contra agripe suína (H1N1). Segundo um médico

infectologista do Instituto Emílio Ribas, de SãoPaulo, a imunização “deve mudar”, no país, ahistória da epidemia. Com a vacina, de acordocom ele, o Brasil tem a chance de barrar uma

tendência do crescimento da doença, que jámatou 17 mil no mundo. A tabela apresentadados específicos de um único posto devacinação.



d r i g o F

a r i a

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoaatendida nesse posto de vacinação, aprobabilidade de ela ser portadora de doençacrônica é:

200

22Portadores de

doençascrônicas

22200

:2

= 11100

Probabilidade - Rodrigo Farias

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