PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOI ´ AS (UFG) INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA E ESTAT ´ ISTICA CURSO DE ESTAT ´ ISTICA PROBABILIDADE: VETORES ALEAT ´ ORIOS E TEOREMAS LIMITE VALDIVINO VARGAS J ´ UNIOR GOI ˆ ANIA, 2015

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS (UFG)

INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA

CURSO DE ESTATISTICA

PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E

TEOREMAS LIMITE

VALDIVINO VARGAS JUNIOR

GOIANIA,

2015

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VALDIVINO VARGAS JUNIOR

PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E

TEOREMAS LIMITE

[email protected]

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Sumario

1 Revisao Basica 5

1.1 Conceitos Basicos de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Esperanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Funcoes Geradoras 9

2.1 Funcao Geradora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Funcao Caracterıstica e Funcao Geradora de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Vetores Aleatorios 13

3.1 Vetores Aleatorios Discretos Bivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Vetores Aleatorios Contınuos Bivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Vetores Aleatorios Mistos e Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Vetores Aleatorios Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5 Vetores Aleatorios Contınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Independencia de Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Funcoes de Variaveis Aleatorias 28

4.1 Funcoes de Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Metodo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Esperanca de Funcoes de Vetores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Funcao Geradora Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Distribuicoes Condicionais 41

5.1 Distribuicao condicionada em Eventos e Distribuicoes Condicionais - Caso Discreto . . 41

5.2 Distribuicoes Condicionais- Caso Contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

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5.3 Esperanca Condicional- Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Esperanca Condicional- Caso Contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Esperanca Condicional- Teoria Basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Desigualdades Probabilısticas 55

7 Modos de Convergencia 57

7.1 Convergencia Quase Certa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Convergencia em Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3 Outros Teoremas Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Convergencia em Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.5 Mais sobre Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Lei dos Grandes Numeros 64

8.1 Lei Fraca e Lei Forte Forte para v.a.i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2 Lei Fraca e Lei Forte Forte - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9 Teorema Central do Limite 67

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Capıtulo 1

Revisao Basica

1.1 Conceitos Basicos de Probabilidade

Definicao 1.1.1. Um modelo probabilıstico e uma tripla (Ω,F ,P) onde Ω e o espaco amostral que

consiste dos possıveis resultados do experimento, F e uma classe de eventos aleatorios e P e uma

probabilidade. A classe de eventos aleatorios F e uma classe de subconjuntos de Ω satisfazendo:

1. Ω ∈ F ;

2. Se A ∈ F entao AC ∈ F ;

3. Se An ∈ F para n = 1, 2, ... entao

∞∪n=1

An ∈ F .

Definicao 1.1.2. Uma Probabilidade e uma funcao P(.) a valores reais definida em uma classe F de

eventos aleatorios de um espaco amostral Ω, tal que

(A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ∈ F ,

(A2) P(Ω) = 1,

(A3) Aditividade enumeravel: para qualquer sequencia A1, A2, ... ∈ F de eventos dois a dois disjuntos:

P

( ∞∪i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P(Ai).

Definicao 1.1.3. A tripla (Ω,F ,P) e chamada espaco de probabilidade.

Definicao 1.1.4. Seja Ω um espaco amostral equiprovavel, entao

P(A) =|A||Ω|

, para todo A ∈ F .

Observacao 1.1.1. No caso de Ω finito ou infinito enumeravel, podemos definir a probabilidade na

classe F de todos os subconjuntos de Ω, a qual e usualmente denotada por 2Ω ou P (Ω) (conjunto das

5

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partes de Ω). Neste caso, escrevendo Ω = ω1, ω2, ..., associamos a cada ωi, i = 1, 2, ..., um numero

p(ωi) tal que p(ωi) ≥ 0 e∑∞

i=1 p(ωi) = 1. Para i = 1, 2, ..., p(ωi) e a probabilidade do evento simples

ωi. A probabilidade de um evento A ∈ F e definida por:

P(A) =∑ωi∈A

p(ωi).

Definicao 1.1.5. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade. Sejam A ∈ F e B ∈ F dois eventos

aleatorios tais que P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado que B ocorreu e dada por:

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B).

Teorema 1.1.1. (Teorema da Multiplicacao) Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade. Sejam

A1, A2, . . . , An eventos aleatorios em F tais que P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) > 0. Entao

P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1 ∩A2) . . .P(An|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1).

Teorema 1.1.2. (Teorema da Multiplicacao Condicional) Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade.

Sejam B,A1, A2, . . . , An eventos aleatorios em F tais que P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) > 0. Entao

P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|B) = P(A1|B).P(A2|A1 ∩B).P(A3|A1 ∩A2 ∩B) . . .P(An|A1 ∩ . . . ∩An−1 ∩B).

Definicao 1.1.6. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade. Os eventos aleatorios A1, A2, . . . , An

em F sao ditos independentes se e somente se:

P(Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aik) = P(Ai1).P(Ai2). · · ·P(Aik)

para todo k = 2, 3, 4, · · ·n com ij ∈ 1, 2, 3, · · · , n para j = 1, 2, · · · k.

Teorema 1.1.3. (Formula da Probabilidade Total) Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e I um

conjunto enumeravel de ındices. Suponha que os eventos aleatorios Bi, i ∈ I formem uma particao do

espaco amostral Ω, isto e

i)Bi ∩Bj = ∅, ∀i = j;

ii)∪i∈I

Bi = Ω;

iii)P(Bi) > 0 ∀i.

Dado um evento aleatorio A ∈ F temos:

P(A) =∑i∈I

P(A|Bi).P(Bi).

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Teorema 1.1.4. (Formula de Bayes) Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e I um conjunto

enumeravel de ındices. Suponha que os eventos aleatorios Bi, i ∈ I formem uma particao do espaco

amostral Ω. Dado um evento aleatorio A ∈ F temos para todo j ∈ I:

P(Bj |A) =P(A|Bj).P(Bj)∑i∈I P(A|Bi).P(Bi)

.

Teorema 1.1.5. (Continuidade da Probabilidade) Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e An

uma sequencia de eventos aleatorios em F tal que An ⊂ An+1 para todo n. Se A = limn→∞ An entao

P(A) = limn→∞

P(An).

De forma analoga, se An e uma sequencia de eventos aleatorios em F tal que An+1 ⊂ An para todo

n e A = limn→∞ An entao

P(A) = limn→∞

P(An).

1.2 Variaveis Aleatorias

Definicao 1.2.1. Uma variavel aleatoria X em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e uma funcao

a valores reais definida em Ω, tal que

X ≤ x = ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x ∈ F ;

Definicao 1.2.2. A funcao de distribuicao acumulada de uma variavel X e a funcao F = Fx definida

por

F (x) = P(X ≤ x) = P(ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x), x ∈ R.

Propriedades fundamentais de uma funcao de distribuicao:

(F1) F e uma funcao nao-decrescente: x < y, entao F (x) ≤ F (y).

(F2) F e contınua a direita: se xn ↓ x, entao F (xn) ↓ F (x).

(F3) Se xn ↓ −∞, entao F (xn) ↓ 0; se xn ↓ +∞, entao F (xn) ↓ 1.

Observacao 1.2.1. Uma funcao F : R → R que satisfaz (F1), (F2) e (F3) e a funcao de distribuicao

de alguma variavel aleatoria X.

Definicao 1.2.3. Seja X uma variavel aleatoria discreta. A funcao p(x) = P(X = x) e chamada

funcao de probabilidade de X.

Definicao 1.2.4. Seja X uma variavel aleatoria contınua. Entao, existe uma funcao f(x) ≥ 0 tal

que

F (x) =

∫ x

−∞f(t)dt, ∀x ∈ R.

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A funcao f(x) e chamada funcao de densidade de probabilidade de X.

Observacao 1.2.2. Temos que

i) Se f(x) e densidade de probabilidade de X, entao∫ +∞

−∞f(t)dt = 1.

ii) Se f(x) e densidade de probabilidade de X, entao

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f(x)dx.

1.3 Esperanca

Definicao 1.3.1. A esperanca (media, valor esperado) de uma variavel aleatoria X e definida por

µX = E(X) =∑x

xP(X = x), se X e discreta;

µX = E(X) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx, se X e contınua com densidade f.

Observacao 1.3.1. A esperanca esta definida somente quando a soma (integral) e bem definida.

Teorema 1.3.1. Seja X uma variavel aleatoria e h(X) uma funcao de X. Entao

E(h(X)) =∑x

h(x)P(X = x), se X e discreta;

E(h(X)) =

∫ ∞

−∞h(x)f(x)dx, se X e contınua.

Definicao 1.3.2. A variancia de uma variavel aleatoria X integravel com esperanca µ e dada por

V ar(X) =∑x

(x− µ)2P(X = x), se X e discreta;

V ar(X) =

∫ +∞

−∞(x− µ)2f(x)dx, se X e contınua.

Proposicao 1.3.1.

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = E(X2)− µ2.

Definicao 1.3.3. Dizemos que a variavel aleatoria X e integravel se E(X) e finita. Isto e equivalente

a que E(|X|) ≤ ∞.

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Capıtulo 2

Funcoes Geradoras

2.1 Funcao Geradora de Momentos

Definicao 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao geradora de momentos de X e uma funcao

M : R → R definida por:

M(t) = E(etX), para todo t tal que |E(etX)| < ∞.

Se X e discreta

M(t) =∑k

etk · P(X = k).

Se X e contınua

M(t) =

∫ +∞

−∞etxf(x)dx,

Teorema 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao geradora de momentos de X satisfaz:

1.

MX(t) =∞∑k=0

E(Xk)tk

k!;

2. Para a e b reais,

MaX+b(t) = etbMX(at);

3. A funcao geradora de momentos determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao

variaveis aleatorias tais que MX(t) = MY (t) para |t| < c, onde c > 0 e uma constante, entao

FX(x) = FY (x) para todo x real;

4.

M(n)X (0) = E(Xn), n ≥ 1.

9

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Exemplo 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria contınua com densidade

f(x) =1

2e−|x|, −∞ < x < ∞

a) Mostre que

MX(t) =1

1− t2, −1 < t < 1

b) Calcule Var(X).

Exemplo 2.1.2.

E(Xk) = 0, 8 para k = 1, 2, 3, · · ·

a) Encontre a funcao geradora de momentos de X.

b) Calcule P (X = 0) e P (X = 1).

Exercıcio 2.1.1. Obtenha a funcao geradora de momentos de X, a media de X e a variancia de X

quando X tiver distribuicao:

a) Binomial com parametros n e p.

b) Geometrica com parametro p.

c) Exponencial com parametro λ.

d) Gama com parametros α e λ.

e) Poisson com parametro λ.

f) Normal com parametros µ e σ2.

2.2 Funcao Caracterıstica e Funcao Geradora de Probabili-

dade

Definicao 2.2.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao caracterıstica de X e uma funcao φ :

R → C definida por:

φ(t) = E(eitX), t ∈ R.

Se X e discreta

φ(t) =∑k

eitk · P(X = k).

Se X e contınua

φ(t) =

∫ +∞

−∞eitxf(x)dx,

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Teorema 2.2.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao caracterıstica de X satisfaz:

1. |φ(t)| ≤ 1;

2. φ(0) = 1;

3. Para a e b reais,

φaX+b(t) = etbφX(at);

4. A funcao caracterıstica determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao variaveis

aleatorias tais que φX(t) = φY (t) para todo t real, entao FX(x) = FY (x) para todo x real;

5. Se E(|X|n) < ∞ entao φ possui n derivadas contınuas e

φ(k)X (t) =

∫ ∞

−∞(ix)kfX(x)dx se X e contınua com densidade fX(x);∑

x

(ix)kP(X = x) se X e discreta.

Em particular,

φ(k)X (0) = ikE(Xk).

Exercıcio 2.2.1. Obtenha a funcao caracterıstica de X, a media de X e a variancia de X quando

X tiver distribuicao:

a) Binomial com parametros n e p.

b) Geometrica com parametro p.

c) Exponencial com parametro λ.

d) Gama com parametros α e λ.

e) Poisson com parametro λ.

f) Normal com parametros µ e σ2.

Definicao 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo apenas valores inteiros. A funcao

geradora de probabilidade de X e uma funcao G : [−1; 1] → R definida por:

G(s) = E(sX) =∑k

skP(X = k), para todo s ∈ [−1; 1].

Teorema 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo apenas valores inteiros. A funcao

geradora de probabilidade de X satisfaz:

1. Para a e b reais,

GaX+b(s) = esbGX(as);

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2. |GX(s)| ≤ 1 para todo s ∈ [−1; 1];

3. A funcao geradora de probabilidade determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao

variaveis aleatorias tais que Gs(t) = GY (s) para s ∈ [−1; 1] entao pX(x) = pY (x) para todo x

real;

4. Tome |s| < 1. Entao, G(k)X (s) =

∞∑n=k

n!P(X = n)

(n− k)!, k ≥ 1.

5. G(k)X (1) = lim

s↑1

∞∑n=k

n!P(X = n)

(n− k)!, k ≥ 1. Em particular, E(X) = G′

X(1);

6. P(X = n) =G

(n)X (0)

n! .

Exemplo 2.2.1. Obtenha a funcao geradora de probabilidade de X, a media de X e a variancia de

X quando X tiver distribuicao Poisson com parametro λ.

Exemplo 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria com funcao geradora de probabilidade

f(s) = 1− b

1− c− bs

1− cs.

Obtenha:

a) A media de X.

b) A variancia de X.

c) A distribuicao de X.

Exercıcio 2.2.2. Obtenha a funcao geradora de probabilidade de X, a media de X e a variancia de

X quando X tiver distribuicao:

a) Binomial com parametros n e p.

b) Geometrica com parametro p.

c) Bernoulli com parametro p.

d) Pascal com parametros r e p.

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Capıtulo 3

Vetores Aleatorios

3.1 Vetores Aleatorios Discretos Bivariados

Definicao 3.1.1. Vetor Aleatorio

Um vetor (X1, X2, · · · , Xn) onde Xi e variavel aleatoria para todo i = 1, 2, · · · , n e chamado vetor

aleatorio.

Exemplo 3.1.1. Suponha que jogamos uma moeda tres vezes formando uma sequencias de caras e

coroas. Forme um vetor aleatorio mapeando cada possıvel resultado na sequencia em 0 se for cara e

1 se for coroa. Quantas realizacoes do vetor podem ser geradas? Liste elas.

Definicao 3.1.2. Vetor Aleatorio Discreto

Um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) e discreto caso todas as variaveis aleatorias Xi, i = 1, 2, · · · , n

sejam discretas.

Definicao 3.1.3. Vetor Aleatorio Contınuo

Um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) e contınuo caso todas as variaveis aleatorias Xi, i = 1, 2, · · · , n

sejam contınuas e haja uma funcao real nao negativa f(x1, · · · , xn) tal que∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn = 1

para distribuir probabilidade para o vetor em questao.

Observacao 3.1.1. Se n = 2 temos um vetor aleatorio bivariado. No restante da secao consideramos

o caso onde n = 2.

Definicao 3.1.4. Funcao de Distribuicao Acumulada Conjunta

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao

FX;Y (x; y) = P(X ≤ x;Y ≤ y)

13

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e chamada funcao de distribuicao acumulada conjunta do vetor aleatorio (X;Y ) .

Definicao 3.1.5. Funcao de Distribuicao Marginal

Seja (X,Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao

FX(x) = P(X ≤ x)

e chamada funcao de distribuicao marginal de X. Analogamente, a funcao

FY (y) = P(Y ≤ y)

e chamada funcao de distribuicao marginal de Y .

Definicao 3.1.6. Funcao de Probabilidade Conjunta

Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. A funcao

pX;Y (x; y) = P(X = x;Y = y)

e chamada funcao de probabilidade conjunta.

Definicao 3.1.7. Funcao de Probabilidade Marginal

Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. A funcao

pX(x) =∑y

pX;Y (x; y)

e chamada funcao de probabilidade marginal de X. Analogamente, a funcao

pY (y) =∑x

pX;Y (x; y)

e chamada funcao de probabilidade marginal de Y .

Proposicao 3.1.1. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. Para todo B ∈ B2 , vale

P((X,Y ) ∈ B) =∑

(x,y)∈B

pX;Y (x; y).

Exemplo 3.1.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) P(X = 1;Y ≤ 1).

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Exemplo 3.1.3. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas ver-

des, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primira extracao a bola retirada e devolvida

junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas verdes e

vermelhas extraıdas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) A funcao de distribuicao acumulada do vetor (X,Y ).

d) As funcoes de distribuicao marginais de X e Y .

Exercıcio 3.1.1. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) P(X = 1;Y ≤ 1).

Exercıcio 3.1.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas verdes. Se X e Y representam respectiva-

mente, o numero de bolas vermelhas e brancas escolhidas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) A funcao de distribuicao acumulada conjunta de (X,Y ).

d) P(X ≥ 1;Y ≤ 1).

Exercıcio 3.1.3. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

k(2x+ y) x = 1, 2 e y = 1, 2.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha as funcoes de probabilidade marginal de X e Y .

c) A funcao de distribuicao acumulada do vetor (X,Y ).

d) As funcoes de distribuicao marginais de X e Y .

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Exercıcio 3.1.4. Suponha que uma urna contenha 6 bolas enumeradas 1,2,3,4,5 e 6. Duas bolas sao

retiradas ao acaso e sem reposicao. Seja X o numero da primeira bola e Y o da segunda bola. Qual

a distribuicao conjunta de X e Y ?

Exercıcio 3.1.5. Suponha que 15% das famılias de certa comunidade nao tenham filhos, 20% tenham

1 filho, 35% tenham 2 filhos e 30% tenham 3. Suponha tambem que, em cada famılia, cada filho tenha

a mesma probabilidade (independente) de ser menino ou menina. Suponha que uma famılia dessa

comunidade e escolhida aleatoriamente, Seja B, o numero de meninos, e G, o numero de meninas

nesta famılia. Obtenha:

a) A funcao de probabilidade conjunta do vetor (B, V ).

b) As funcoes de probabilidade marginais de B e de V .

c) As funcoes de distribuicao marginais de B e de V .

Exercıcio 3.1.6. Dois dados honestos sao rolados. Determine a funcao de probabilidade conjunta de

X e Y quando:

(a) X e o maior valor obtido em um dado e Y e a soma dos valores;

(b) X e o valor no primeiro dado e Y e o maior dos dois valores;

(c) X e o menor e Y e o maior valor obtido com os dados.

Exercıcio 3.1.7. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposicao de uma urna consistindo em 5

bolas brancas e 8 bolas verdes. Considere Xi = l caso a i-esima bola selecionada seja branca e Xi = O

caso contrario. De a funcao de probabilidade conjunta de

(a) (Xl, X2);

(b) X1, X2, X3).

Exercıcio 3.1.8. Sabe-se que um cesto com 5 transistores contem 2 com defeito. Os transistores

devem ser testados, um de cada vez, ate que os defeituosos sejam identificados. Suponha que N1,

represente o numero de testes feitos ate que o primeiro transistor defeituoso seja identificado e N2 o

numero de testes adicionais feitos ate que o segundo transistor defeituoso seja identificado. Determine

a funcao de probabilidade conjunta de N1 e N2.

Exercıcio 3.1.9. Considere uma sequencia de tentativas de Bernoulli independentes, cada uma com

probabilidade de sucesso p. Sejam X1, o numero de fracassos precedendo o primeiro sucesso e X2, o

numero de fracassos entre os dois primeiros sucessos. Determine a funcao de probabilidade conjunta

Page 17: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

de X1, e X2.

3.2 Vetores Aleatorios Contınuos Bivariados

Definicao 3.2.1. Funcao Densidade Conjunta

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contınuo bivariado. A funcao densidade de probabilidade conjunta,

denotada por fX;Y (xx, y) e definida como a segunda derivada da funcao de distribuicao acumulada

conjunta onde ela existe. Ou seja,

fX;Y (x, y) =∂2FX;Y (x; y)

∂x∂y

onde

FX;Y (x; y) = P(X ≤ x;Y ≤ y).

Proposicao 3.2.1. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio contınuo bivariado. Para todo B ∈ B2 , vale

P((X,Y ) ∈ B) =

∫B

fX;Y (x; y)dxdy.

Definicao 3.2.2. Funcao de Distribuicao Marginal

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contınuo bivariado. A funcao

FX(x) = limy→∞

FX,Y (x, y)

e chamada funcao de distribuicao marginal de X. Analogamente,

FY (y) = limx→∞

FX,Y (x, y)

e a funcao de distribuicao marginal de Y .

Definicao 3.2.3. Funcao Densidade Marginal

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contınuo bivariado. A funcao

fX(x) =

∫ ∞

−∞fX;Y (x; y)dy

e chamada funcao densidade marginal de X. Analogamente, a funcao

fY (y) =

∫ ∞

−∞fX;Y (x; y)dx

e chamada funcao densidade marginal de Y .

Page 18: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 3.2.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por

fX,Y (x, y) =

kxy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha as densidades marginais de X e Y .

c) Calcule P(X + Y < 1

2

).

Exemplo 3.2.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por

fX,Y (x, y) =

kxy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Calcule k.

b) Calcule P(X + Y < 1).

c) Obtenha a funcao de distribuicao acumulada de X e Y .

d) Obtenha cada uma das marginais de X e de Y .

Exemplo 3.2.3. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

2e−x−2y x > 0, y > 0

0 caso contrario.

Calcule:

a) P(X > 1, Y < 1).

b) P(X < y).

c) P(X < a).

Exercıcio 3.2.1. Dois componentes eletronicos do sistema de um mıssil funcionam em harmonia para

o sucesso total do sistema. Considere X e Y a vida, em horas, dos dois componentes. A densidade

conjunta de X e Y e:

fX,Y (x, y) =

380 (x

2 + xy), 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4;

0, caso contrario.

a) De as funcoes de densidade marginal para as duas variaveis aleatorias.

b) Calcule a probabilidade da vida de pelo menos um desses componentes exceder uma hora.

Page 19: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 3.2.2. Suponha que nos selecionaremos um ponto ao acaso de dentro de um cırculo com

raio R. Suponha que o centro do cırculo denote a origem e defina X e Y como as coordenadas dos

pontos escolhidos. Entao (X,Y ) e uma variavel aleatoria bivariada com densidade conjunta dada por

fX,Y (x, y) =

k x2 + y2 ≤ R2

0 x2 + y2 > R2

onde k e uma constante.

a) Determine k.

b) Encontre as densidades marginais de X e Y .

c) Encontre a probabilidade de que D, a distancia da origem ao ponto selecionado nao seja maior que

a.

d) Calcule E(D) e Var(D).

Exercıcio 3.2.3. Seja (X,Y ) uma variavel aleatoria bivariada com densidade conjunta

fX,Y (x, y) =

λµe−(λx+µy) x > 0, y > 0

0 caso contrario.

Obtenha a densidade marginal de X.

Exercıcio 3.2.4. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

c(y2 − x2)e−y − y ≤ x ≤ y, y > 0

0 caso contrario.

a) Determine c.

b) Determine as densidades marginais de X e de Y .

c) Determine a media de X.

Exercıcio 3.2.5. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

67

(x2 +

xy

2

)0 < x < 1, 0 < y < 2

0 caso contrario.

a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.

b) Determine as densidades marginais de X e de Y .

c) Determine a media de X.

d) Calcule P(X > Y ).

Page 20: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

3.3 Vetores Aleatorios Mistos e Singulares

Observacao 3.3.1. Funcao Mista de Probabilidade Conjunta

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contınua. Nesse caso, o compor-

tamento probabilıstico conjunto das variaveis e dado pela funcao mista de probabilidade conjunta

fX,Y (x, y).

Exemplo 3.3.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contınua. Suponha

que a funcao mista de probabilidade conjunta de X,Y e dada por

fX,Y (x, y) =

kxy x = 1, 2, 3, 0 < y < 1

0 caso contrario.

a) Calcule k.

b) Obtenha a funcao de probabilidade de X.

c) Obtenha a densidade de probabilidade da variavel de Y .

d) Calcule P(X ≤ 2, 0 ≤ Y ≤ 0.5).

e) Calcule a funcao de distribuicao acumulada de X,Y .

Exercıcio 3.3.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contınua. Suponha

que a funcao mista de probabilidade conjunta de X,Y e dada por

fX,Y (x, y) =

xyx−1

3 x = 1, 2, 3, 0 ≤ y ≤ 1

0 caso contrario.

a) Calcule k.

b) Obtenha a funcao de probabilidade de X.

c) Obtenha a densidade de probabilidade da variavel de Y .

d) Calcule P(X ≥ 2, Y ≥ 0.5).

e) Calcule a funcao de distribuicao acumulada de X,Y .

Observacao 3.3.2. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e Y sao contınuas. Nem sempre

existe uma densidade conjunta para o vetor (X,Y ). Neste caso, temos uma distribuicao singular.

Exemplo 3.3.2. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio uniformente distribuıdo em G = (x, y) ∈ [0, 1] ×

[0, 1], x = y.

a) Quem sao as densidades marginais de X e de Y .

b) Existe uma densidade conjunta fX,Y (x, y) ? Isto e, existe fX,Y (x, y) tal que∫G

∫fX,Y (x, y)dxdy = 1?

Page 21: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

c) Obtenha a funcao de distribuicao de X,Y .

d) Calcule P(0 ≤ X ≤ 1

3,1

4≤ Y ≤ 1

2

).

e) Como seria uma formula para o calculo de P(X,Y ) ∈ B) onde B e um boreliano plano?

Exercıcio 3.3.2. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio uniformente distribuıdo em G = (x, y) ∈ [1, 2] ×

[1, 2], x = y.

a) Quem sao as densidades marginais de X e de Y .

b) Existe uma densidade conjunta fX,Y (x, y) ? Isto e, existe fX,Y (x, y) tal que∫G

∫fX,Y (x, y)dxdy = 1?

c) Obtenha a funcao de distribuicao de X,Y .

d) Calcule P(4

3≤ X ≤ 5

3,5

4≤ Y ≤ 7

4

).

e) Como seria uma formula para o calculo de P(X,Y ) ∈ B) onde B e um boreliano plano?

3.4 Vetores Aleatorios Discretos

Definicao 3.4.1. Funcao de Distribuicao Acumulada Conjunta

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. A funcao

FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = P(X1 ≤ x1;X2 ≤ x2; · · · ;Xn ≤ xn)

e chamada funcao de distribuicao acumulada conjunta do vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) .

Observacao 3.4.1. A Funcao de Distribuicao Acumulada Conjunta satisfaz:

1. FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) e nao-decrescente em cada variavel. Por exemplo, e nao-decrescente

em X1 ou seja, se x < y

FX1;X2;··· ;Xn(x;x2; · · · ;xn) ≤ FX1;X2;··· ;Xn(y;x2; · · · ;xn);

2. FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) e contınua a direita em cada variavel. Por exemplo, e contınua a

direita em X1, ou seja, se ym ↓ x1

FX1;X2;··· ;Xn(ym;x2; · · · ;xn) ↓ FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn);

3. ∀i,

limxi→−∞

FX1;X2;··· ,Xi,··· ;Xn(x1;x2; · · · , xi · · · ;xn) = 0

e

lim∀i,xi→∞

FX1;X2;··· ,Xi,··· ;Xn(x1;x2; · · · , xi · · · ;xn) = 1;

Page 22: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

4. FX1;X2;··· ,Xi,··· ;Xn(x1;x2; · · · , xi · · · ;xn) deve ser tal que

P(a1 < X1 ≤ b1, · · · , an < Xn ≤ bn) ≥ 0,

para toda escolha possıvel de a1, b1, · · · , an, bn.

Exercıcio 3.4.1. Demonstre que a funcao

F (x, y) =

1− e−x−y x ≥ 0, y ≥ 0

0 caso contrario.

nao e funcao de distribuicao de um vetor aleatorio.

Definicao 3.4.2. Funcao de Probabilidade Conjunta

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. A funcao

pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = P(X1 = x1;X2 = x2; · · · ;Xn = xn)

e chamada funcao de probabilidade conjunta.

Definicao 3.4.3. Funcao de Probabilidade Marginal

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto , I = i1, · · · , in, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e

J = j1, · · · , jn−k, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ındices com I ∩ J = ∅. A funcao

pXi1;··· ;Xik

(xi1 ; · · · ;xik) =∑xj1

∑xj2

· · ·∑

xjn−k

pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)

e chamada funcao de probabilidade marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).

Proposicao 3.4.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. Para todo B ∈ Bn , vale

P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =∑

(x1,x2,··· ,xn)∈B

pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn).

Exemplo 3.4.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z)

e dada por

pX,Y,Z(x, y, z) =

k(2x+ 3y + 5z) x = 1, 2 , y = 1, 2 e z = 1 , 2.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha a funcao de probabilidade marginal conjunta de X e Y .

Page 23: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 3.4.2. Considere o experimento retirar tres bolas uma a uma ao acaso e sem reposicao de

uma urna contendo 6 bolas verdes, 3 bolas vermelhas, 2 bolas pretas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis.

Seja (X1, X2, X3, X4, X5) o vetor aleatorio de cinco dimensoes onde X1 e o numero de bolas verdes

retiradas, X2 e o numero de bolas vermelhas retiradas, X3 e o numero de bolas pretas retiradas, X4

e o numero de bolas brancas retiradas e X5 e o numero de bolas azuis retiradas.

a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3, X4, X5)?

b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2, X3, X4, X5.

c) Calcule P(X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0).

Exemplo 3.4.3. Considere o experimento retirar dez bolas uma a uma ao acaso e com reposicao de

uma urna contendo 6 bolas verdes, 3 bolas vermelhas, 2 bolas pretas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis.

Seja (X1, X2, X3, X4, X5) o vetor aleatorio de cinco dimensoes onde X1 e o numero de bolas verdes

retiradas, X2 e o numero de bolas vermelhas retiradas, X3 e o numero de bolas pretas retiradas, X4

e o numero de bolas brancas retiradas e X5 e o numero de bolas azuis retiradas.

a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3, X4, X5)?

b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2, X3, X4, X5.

c) Calcule P(X1 = 5, X2 = 1, X3 = 2).

Exercıcio 3.4.2. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas, 3 bolas pretas, 3 bolas azuis,

2 bolas brancas e 3 bolas amarelas. Considere o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao

acaso e sem reposicao. Sejam X1, X2, X3, X4, X5 e X6 o numero de bolas verdes, vermelhas, pretas,

azuis, brancas e amarelas retiradas, respectivamente.

a) Quais sao os possıveis valores para o vetor aleatorio X1, X2, X3, X4, X5, X6 ?

b) Calcule P(X1 = 2, X2 = 2, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 0, X6 = 1).

c) Calcule P(X1 = 2).

Exercıcio 3.4.3. O proprietario de uma loja de televisores imagina que 45 % dos clientes que entram

em sua loja comprarao um televisor comum, 15% comprarao um televisor de plasma e 40% estarao

apenas dando uma olhada. Se 5 clientes entrarem nesta loja em um dia, qual e a probabilidade de que

ele venda exatamente 2 televisores comuns e 1 de plasma naquele mesmo dia?

Exercıcio 3.4.4. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere

o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e sem reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o

numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.

a) a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3)?

b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2 e de X1, X3 .

c) Calcule P(X1 = 2, X2 = 1, X3 = 2).

Page 24: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

d) Calcule P(X1 = 2).

Exercıcio 3.4.5. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere

o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o

numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.

a) a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3)?

b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2 e de X1, X3 .

c) Calcule P(X1 = 2, X2 = 1, X3 = 2).

d) Calcule P(X1 = 2).

3.5 Vetores Aleatorios Contınuos

Definicao 3.5.1. Funcao Densidade Conjunta

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. A funcao densidade de probabilidade conjunta,

denotada por fX1;X2;··· ;xn(x1;x2; · · · ;xn) e definida como a n-esima derivada da funcao de distribuicao

acumulada conjunta onde ela existe. Ou seja,

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =∂nFX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)

∂x1∂x2 · · · ∂xn

Definicao 3.5.2. Funcao de Distribuicao Marginal

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. , I = i1, · · · , ik, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e

J = j1, · · · , jn−k, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ındices com I ∩ J = ∅. A funcao

FXi1 ;··· ;Xik(xi1 ; · · · ;xik) = lim

∀xj ,j∈JFX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)

e chamada funcao de distribuicao marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).

Definicao 3.5.3. Funcao Densidade Marginal

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. , I = i1, · · · , ik, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e

J = j1, · · · , jn−k, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ındices com I ∩ J = ∅. A funcao

fXi1 ;··· ;Xik(xi1 ; · · · ;xik) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)dxj1dxj2 · · · dxjn−k

e chamada funcao de probabilidade marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).

Proposicao 3.5.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. Para todo B ∈ Bn , vale

P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =

∫(x1,x2,··· ,xn)∈B

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.

Page 25: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 3.5.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z) e dada por

fX,Y,Z(x, y, z) =

ke−(ax+by+cz) x > 0 e y > 0 e z > 0

0 caso contrario.

onde a, b e c sao constantes positivas e k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha as densidades marginais de X , Y e Z.

c) Obtenha a densidade marginal conjunta de X e Y .

Exercıcio 3.5.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z) e dada por

fX,Y,Z(x, y, z) =

e−(x+y+z) x > 0 e y > 0 e z > 0

0 caso contrario.

a) Obtenha as densidades marginais de X , Y e Z.

b) Obtenha a densidade marginal conjunta de X e Y .

c) Calcule P(X > Y ).

d) Calcule P(Y + Z > 2).

Exercıcio 3.5.2. Se o primeiro resultado obtido em um jogo de dados resultar na soma dos dados ser

igual a 4, entao o jogador continua a jogar os dados ate que a soma de 4 ou 7. Se a soma der 4, entao

o jogador vence; se der 7, ele perde. Suponha que N represente o numero de jogadas necessarias ate

que a soma seja 7 ou 4, e que X represente o valor (4 ou 7) da jogada final. N e independente de X?

3.6 Independencia de Variaveis Aleatorias

Definicao 3.6.1. Independencia de Variaveis Aleatorias

Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. As variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao ditas indepen-

dentes se para quaisquer conjuntos Ai ⊂ R (boreliano), i = 1, 2, · · · , n vale

P(X1 ∈ A1;X2 ∈ A2; · · · ;Xn ∈ An) =

n∏i=1

[P(Xi ∈ Ai)].

Proposicao 3.6.1. Se X1, X2, · · · , Xn sao independentes entao

FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =

n∏i=1

FXi(xi).

Reciprocamente, se existem funcoes F1, · · · , Fn tais que para todo i

limx→∞

Fi(x) = 1

Page 26: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

e

FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =n∏

i=1

Fi(xi)

para todo escolha de (x1, · · · , xn) ∈ Rn entao as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes

e FXi = Fi, ∀i = 1, 2, · · · , n.

Proposicao 3.6.2. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. As variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn

sao ditas independentes se para toda escolha de (x1; · · · ;xn)

pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =

n∏i=1

pXi(xi).

Exemplo 3.6.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

118 (2x+ y) x = 1, 2 e y = 1, 2.

0 caso contrario.

Verifique se X e Y sao independentes.

Exercıcio 3.6.1. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas de uma urna contendo 3 bolas vermelhas, 4

bolas brancas e 5 bolas verdes. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas vermelhas

e brancas escolhidas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) Se X e Y sao independentes.

Exemplo 3.6.2. Considere um experimento que consiste em lancar duas moedas tres vezes. A moeda

A e honesta, porem a moeda B nao (esta tem P(cara) = 14 e P(coroa) = 3

4). Considere uma variavel

aleatoria bivariada (X,Y), onde X denota o numero de caras obtidas da moeda A e Y o numero de

caras obtidas da moeda B.

a) Quais os possıveis valores de (X,Y)?

b) Encontre a funcao de probabilidade conjunta de (X,Y).

c) Encontre P(X=Y), P(X > Y) e P(X + Y ≤ 4).

Exercıcio 3.6.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas verdes. Sejam X e Y respectivamente, o

numero de bolas vermelhas e brancas escolhidas. Verifique se X e Y sao independentes.

Page 27: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Proposicao 3.6.3. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. Se X1, X2, · · · , Xn sao in-

dependentes com densidades fX1 , · · · , fXn entao

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =n∏

i=1

fXi(xi).

e a densidade conjunta de (X1, X2, · · · , Xn). Reciprocamente, se existem funcoes f1, · · · , fn tais que

para todo i

fi(xi) ≥ 0,

∫ ∞

−∞fi(xi)dxi = 1

e

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =n∏

i=1

fi(xi)

para todo escolha de (x1, · · · , xn) ∈ Rn entao as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes

e fXi = fi,∀i = 1, 2, · · · , n.

Proposicao 3.6.4. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. As variaveis aleatorias

X1, X2, · · · , Xn sao ditas independentes se para quase toda escolha de (x1; · · · ;xn)

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =

n∏i=1

fXi(xi).

A condicao pode falhar num conjunto de medida de Lebesgue nula.

Exemplo 3.6.3. Seja (X,Y, Z) uma variavel aleatoria trivariada, onde X,Y e Z sao variaveis

aleatorias independentes cada uma com distribuicao uniforme sobre (0,1). Calcule P(Z ≥ XY).

Exemplo 3.6.4. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por

fX,Y (x, y) =

8xy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

Verifique se X e Y sao independentes.

Exercıcio 3.6.3. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por

fX,Y (x, y) =

380 (x

2 + xy), 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4;

0, caso contrario.

Verifique se X e Y sao independentes.

Exercıcio 3.6.4. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por

fX,Y (x, y) =

2e−x−2y x > 0, y > 0

0 caso contrario.

Page 28: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Verifique se X e Y sao independentes.

Exercıcio 3.6.5. Um homem e uma mulher decidem se encontrar em certo lugar. Se cada um deles

chega independentemente em um tempo uniformemente distribuıdo entre 12:00 e 13:00, determine a

probabilidade de que o primeiro a chegar tenha que esperar mais de 10 minutos.

Page 29: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 4

Funcoes de Variaveis Aleatorias

4.1 Funcoes de Variaveis Aleatorias

Proposicao 4.1.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. Para todo B ∈ Bn , vale

P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =∑

(x1,x2,··· ,xn)∈B

pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn).

Proposicao 4.1.2. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo. Para todo B ∈ Bn , vale

P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =

∫(x1,x2,··· ,xn)∈B

fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.

Proposicao 4.1.3. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contınuo e Y = g(X1, X2, · · · , Xn).

Defina

By = (x1, · · · , xn) : g(x1, · · · , xn) ≤ y.

Entao

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X1, · · · , Xn) ≤ y) = P((X1, · · · , Xn) ∈ By) =

∫By

· · ·∫

fX1;··· ;Xn(x1; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.

Exemplo 4.1.1. Considere Z = X+Y onde X e Y sao variaveis aleatorias Poisson com parametros

λ e µ, respectivamente. Qual e a distribuicao de Z?

Exercıcio 4.1.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais independentes com respectivos parametros

(n, p) e (m, p). Calcule a distribuicao de X + Y .

Exemplo 4.1.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes em (Ω,F ,P). Defina:

M = maxX1, X2, · · · , Xn e N = minX1, X2, · · · , Xn.

29

Page 30: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

a) Obtenha a distribuicao de N quando Xi ∼ exp(λ), i = 1, 2, · · · , n.

b) Obtenha E(M) quando Xi ∼ Uniforme(0; 1), i = 1, 2, · · · , n.

Exemplo 4.1.3. Suponha que 4 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola branca e 7 bolas verdes. Se X e Y representam respectiva-

mente, o numero de bolas vermelhas e verdes sorteadas, determine:

a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .

b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .

c) A esperanca e a variancia de X e de Y .

d) Se X e Y sao independentes.

e) Defina Z = XY (Z, a fracao entre o numero de bolas vermelhas e verdes retiradas). Calcule a

distribuicao de probabilidade, a esperanca e a variancia de Z.

Exercıcio 4.1.2. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z)

e dada por

pX,Y,Z(x, y, z) =

k(2x+ 3y + 5z) x = 1, 2 , y = 1, 2 e z = 1 , 2.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha a funcao de probabilidade marginal conjunta de X e Y .

c) Obtenha a distribuicao de probabilidade e a esperanca da variavel aleatoria W = XY .

Exercıcio 4.1.3. Suponha que n+m tentativas independentes com probabilidade comum de sucesso p

sejam realizadas. Sejam X o numero de sucessos nas primeiras n tentativas, Y o numero de sucessos

nas m tentativas finais e Z o numero total de sucessos em n+m tentativas.

a) X e Y sao independentes?

b) X e Z sao independentes?

Exemplo 4.1.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias uniformes em (0,1). Encontre a densidade de

probabilidade de Z = X + Y .

Exercıcio 4.1.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias uniformes em (0,1). Encontre a densidade de

probabilidade de Z = XY .

Page 31: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 4.1.5. Seja X ∼ Uniforme(−π2 , π

2 ). Defina Y = tan(X)

Calcule, se existir, E(Y ).

Exercıcio 4.1.5. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao expo-

nencial de parametro 1. Defina Z = X + Y e W = XY .

a) Encontre a densidade conjunta de (Z,W ) e suas respectivas marginais.

b) Z e W sao independentes?

Exercıcio 4.1.6. Sejam X e Y variaveis aleatorias normais padrao independentes. Encontre a den-

sidade de probabilidade de Z = XY .

Exemplo 4.1.6. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo

com a distribuicao de probabilidade

fI(i) =

6i(1− i), 0 < i < 1;

0, caso contrario.

Se a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de probabilidade

fR(r) =

2r, 0 < r < 1;

0, caso contrario.

determine a distribuicao de probabilidade para a potencia W = I2R watts.

Exercıcio 4.1.7. Um time de basquete jogara uma temporada com 44 partidas. Vinte e seis dessas

partidas serao contra times da divisao A, e 18 contra times da divisao B. Suponha que o time ganhe

cada partida disputada contra um adversario da divisao A com probabilidade 0,4, e ganhe cada partida

disputada contra um adversario da divisao B com probabilidade O,7. Suponha tambem que os resulta-

dos das diferentes partidas sejam independentes. Obtenha um valor aproximado para a probabilidade

de que

(a) o time venca 25 partidas ou mais;

(b) o time venca mais partidas contra times da divisao A do que contra times da divisao B.

4.2 Metodo do Jacobiano

Proposicao 4.2.1. Seja G0 ⊂ Rn e G ⊂ Rn conjuntos abertos e g : G0 → G uma bijecao entre G0 e

G onde

g(x1, · · · , xn) = (g1(x1, · · · , xn), · · · , gn(x1, · · · , xn)) = (yi, · · · , yn).

Page 32: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Entao existe a funcao inversa h = g−1 em G, onde

x1 = h1(y1, · · · , yn), · · ·xn = hn(y1, · · · , yn).

Suponha que existam as derivadas parciais

∂xi

∂yj=

∂hi(y1, · · · , yn)∂yj

, 1 ≤ i, j ≤ n

e que elas sejam contınuas em G. Defina o Jacobiano

J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x1

∂y1

∂x1

∂y2· · · ∂x1

∂yn

......

. . ....

∂xn

∂y1

∂xn

∂y2· · · ∂xn

∂yn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Se J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn)) = 0 a densidade conjunta de (Y1, · · · , Yn) e dada por

fY1,··· ,Yn(y1, · · · , yn) =

f(h1(y1, · · · , yn), · · · , hn(y1, · · · , yn))|J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn))|, (y1, · · · , yn) ∈ G

0 caso contrario,

onde f(x1, · · · , xn) e a densidade conjunta do vetor (X1, · · · , Xn).

Exemplo 4.2.1. Sejam T1, T2 e T3 variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao

exponencial de parametro λ. Seja Si = T1 + · · ·+ Ti, i = 1, 2, 3.

a) Determine a densidade conjunta de S1, S2, S3.

b) Determine a densidade de S3.

Exercıcio 4.2.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao expo-

nencial com parametro 1.

a) Encontre a densidade de probabilidade de Z = X + Y .

b) Encontre a densidade de probabilidade de W = XY .

c) Calcule P(1 ≤ Z ≤ 2).

d) Verifique se Z e W sao independentes.

Exercıcio 4.2.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao uni-

formes em (0,1).

a) Encontre a densidade de probabilidade de Z = X + Y .

b) Encontre a densidade de probabilidade de W = XY .

c) Calcule P(3

4≤ Z ≤ 5

4

).

d) Verifique se Z e W sao independentes.

Page 33: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

4.3 Esperanca de Funcoes de Vetores Aleatorios

Teorema 4.3.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio e h(X1, X2, · · · , Xn) uma funcao de

(X1, X2, · · · , Xn). Entao se (X1, X2, · · · , Xn) e discreto,

E(h(X1, X2, · · · , Xn)) =∑x1

∑x2

· · ·∑xn

h(x1, x2, · · · , xn)P(X1 = x1, X2 = x2, · · ·Xn = xn).

Por outro lado, (X1, X2, · · · , Xn) se e contınuo

E(h(X1, X2, · · · , Xn)) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞h(x1, x2, · · · , xn)f(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn.

Exemplo 4.3.1. Um acidente ocorre em um ponto X uniformemente distribuıdo ao longo de uma

estrada com extensao L. No momento do acidente, uma ambulancia esta no ponto Y , que tambem e

uniformemente distribuıdo ao longo da estrada. Supondo que X e Y sejam independentes, determine

a distancia esperada entre a ambulancia e o local do acidente.

Exercıcio 4.3.1. Na fabricacao de uma peca, um eixo cilındrico, com uma secao transversal circular

deve-se encaixar num soquete circular. E sabido que as distribuicoes do diametro do eixo e do diametro

do soquete sao ambas Normais. Para o diametro do eixo a media e de 3,42 cm, com um desvio padrao

de 0,01 cm. Para o diametro de soquete, a media e 3, 47 cm, com um desvio padrao de 0,02 cm.

Suponha que, para efeitos de montagem, as componentes das pecas sao selecionadas ao acaso, e que

eles so se encaixam se a folga estiver entre 0,025 cm e 0,100 cm. Qual a probabilidade do eixo se

encaixar no soquete? Suponha independencia entre os diametros do eixo e do soquete.

Exercıcio 4.3.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por

fX,Y (x, y) =

8xy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

Calcule E(XY )

Corolario 4.3.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. Entao se E(X1+X2+· · ·Xn) faz sentido

E

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

E(Xi).

Exemplo 4.3.2. Considere uma urna contendo 50 bolas vermelhas e 150 verdes. Trinta bolas sao

retiradas da urna ao acaso e sem reposicao Calcule o numero esperado de bolas verdes retiradas.

Exercıcio 4.3.3. Considere uma urna contendo 50 bolas vermelhas e 150 verdes. Trinta bolas sao

retiradas da urna ao acaso e sem reposicao Calcule o numero esperado de bolas verdes retiradas.

Page 34: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 4.3.4. Suponha que N pessoas joguem os seus chapeus no centro de uma sala. Os chapeus

sao misturados e cada pessoa seleciona um deles aleatoriamente. Determine o numero esperado de

pessoas que selecionam o proprio chapeu.

Exercıcio 4.3.5. Suponha que existam N diferentes tipos de cupons de desconto, e que cada vez

que alguem recolha um cupom este tenha a mesma probabilidade de ser de qualquer um dos N tipos.

Determine o numero esperado de cupons que alguem precisa acumular antes de conseguir um conjunto

completo que contenha pelo menos um de cada tipo.

Exercıcio 4.3.6. Dez cacadores estao esperando uma revoada de patos. Quando aparece um bando

de patos, os cacadores atiram simultaneamente, mas cada um deles escolhe o seu alvo aleatoriamente,

independentemente dos demais. Se cada cacador atinge o seu alvo de maneira independente com

probabilidade p, calcule o numero esperado de patos que escapam ilesos quando um bando com 10

deles passa voando na frente dos cacadores.

Corolario 4.3.2. Se as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes entao

E

(n∏

i=1

Xi

)=

n∏i=1

E(Xi).

Exemplo 4.3.3. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ).

a) Calcule P(X > Y ).

b) Calcule E(X.Y ).

Exemplo 4.3.4. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo

com a distribuicao de probabilidade

fI(i) =

6i(1− i), 0 < i < 1;

0, caso contrario.

Suponha que a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de

probabilidade

fR(r) =

2r, 0 < r < 1;

0, caso contrario.

Calcule E(U), onde U = RI e a ddp associada.

Exercıcio 4.3.7. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo

com a distribuicao de probabilidade

fI(i) =

6i(1− i), 0 < i < 1;

0, caso contrario.

Page 35: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Se a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de probabilidade

fR(r) =

2r, 0 < r < 1;

0, caso contrario.

determine a potencia media de W = I2R watts. Isto e calcule E(W ).

4.4 Funcao Geradora Conjunta

Definicao 4.4.1. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P)

e t1, · · · , tn numeros reais. A funcao geradora de momentos conjunta dessa variaveis e dadapo

MX1,··· ,Xn(t1, · · · , tn) = E(et1X1+···+tnXn)

desde que a esperanca seja finita para os tj tomados numa vizinhanca de zero.

Exemplo 4.4.1. Suponha que a funcao de probabilidade conjunta de X1, X2 e X3 e multinomial com

parametros n, p1, p2 e p3.

a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).

b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).

c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.

d) Calcule E(X1X2).

Exercıcio 4.4.1. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere

o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o

numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.

a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).

b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).

c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.

d) Calcule E(X1X2).

Teorema 4.4.1. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com funcoes geradoras de

momentos respectivas MX1(t), · · · ,MXn(t), entao a funcao geradora de momentos de Sn = X1+ · · ·+

Xn e dada por

MSn(t) =n∏

i=1

MXi(t).

Teorema 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com funcoes caracterısticas

respectivas φX1(t), · · · , φXn(t), entao a funcao caracterıstica de Sn = X1 + · · ·+Xn e dada por

φSn(t) =n∏

j=1

φXj (t).

Page 36: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Teorema 4.4.3. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias inteiras independentes com funcoes ge-

radoras de probabilidade respectivas GX1(t), · · · , GXn(t), entao a funcao geradora de probabilidade de

Sn = X1 + · · ·+Xn e dada por

GSn(s) =

n∏i=1

GXi(s).

Exemplo 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Poisson independentes com parametros,

λ1, λ2 · · · , λn, respectivamente. Mostre que Sn = X1 + X2 + · · · + Xn e Poisson com parametro

λ = λ1 + λ2 · · ·+ λn.

Exercıcio 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Exponenciais independentes com parametro

comum λ. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao gama com parametros n e λ.

Exercıcio 4.4.3. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Gama independentes com parametros

comuns m,λ. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao gama com parametros nm e λ.

Exercıcio 4.4.4. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Geometricas independentes com parametro

comum p. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao Pascal com parametros n e p.

Exercıcio 4.4.5. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Pascal independentes com parametros

comum r, p. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao Pascal com parametros nr e p.

Exercıcio 4.4.6. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Normais independentes com parametros

comuns µ, σ2. Encontre a distribuicao de Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn. A distribuicao de Sn e conhecida

no caso onde Xi e normal com parametros µi e σ2i

4.5 Covariancia

Definicao 4.5.1. Covariancia entre Variaveis Aleatorias

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao

Cov(X;Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]

e chamada covariancia entre as variaveis aleatorias X e Y .

Page 37: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Teorema 4.5.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. Entao

Cov(X;Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).

Exemplo 4.5.1. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas e

uma bola preta. Duas bolas sao retiradas uma a uma de forma aleatoria desta urna segundo o seguinte

processo: apos a primeira retirada, a bola extraıda e devolvida junto com cinco bolas de mesma cor.

Sejam X,Y , e Z o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:

a) Cov(X,Y ).

b) Cov(X,Z).

Exercıcio 4.5.1. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas

e uma bola preta. Tres bolas sao retiradas uma a a uma ao acaso e sem resposicao. Sejam X,Y , e Z

o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:

a) Cov(X,Y ).

b) Cov(X,Z).

Exercıcio 4.5.2. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas

e uma bola preta. Tres bolas sao retiradas uma a a uma ao acaso e com resposicao. Sejam X,Y , e Z

o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:

a) Cov(X,Y ).

b) Cov(X,Z).

Definicao 4.5.2. Coeficiente de Correlacao entre Variaveis Aleatorias

Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao

ρ(X;Y ) =Cov(X,Y )

σXσY

e chamada coeficiente de correlacao entre as variaveis aleatorias X e Y .

Observacao 4.5.1. O coeficiente de correlacao satisfaz as seguintes propriedades:

• −1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1;

• ρ(X,Y ) = 1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1 para algum par a > 0 e b;

• ρ(X,Y ) = −1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1 para algum par a < 0 e b.

Page 38: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 4.5.2. Suponha que a variavel aleatoria bidimensional (X,Y ) seja uniformemente dis-

tribuıda sobre a regiao triangular

T = (x, y); 0 < x < y < 1

Calcule o coeficiente de correlacao entre X e Y .

Exercıcio 4.5.3. Suponha que a funcao de probabilidade conjunta de X1, X2 e X3 e multinomial com

parametros n, p1, p2 e p3.

a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).

b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).

c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.

d) Calcule E(X1X2).

e) Calcule Cov(X1, X2).

f) Calcule ρ(X1, X2).

Teorema 4.5.2. Seja um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn). Entao

V ar

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

V ar(Xi) + 2∑

1≤i<j≤n

Cov(Xi, Xj).

Exemplo 4.5.3. Considere o experimento retirar cinco bolas uma a uma ao acaso e sem reposicao de

uma urna contendo 16 bolas verdes e 4 bolas vermelhas. Seja X o numero de bolas verdes retiradas.

Obtenha Var(X).

Exemplo 4.5.4. Um dado honesto e lancado infinitas vezes independentemente. Sejam X1, X2, · · ·

as variaveis aleatorias definidas por

Xi =

1, se o i-esimo e o (i + 1)-esimo lancamentos resultam em face cinco,

0, caso contrario.

a) Obtenha E(Xi) e Var(Xi).

b) Mostre que

Cov(Xi, Xj) =

51296 , se j = i+ 1,

0, se j > i+ 1.

c) Seja Sn =∑n

i=1 Xn. Determine E(Sn) e Var(Sn).

Page 39: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 4.5.4. Considere uma urna contendo 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Bolas sao retiradas

uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2, · · · as variaveis aleatorias definidas por

Xi =

1, se a i-esima e a (i + 1)-esima retiradas resultam em bola verde,

0, caso contrario.

Defina Sn =n∑

i=1

Xi. Obtenha E(Sn) e Var(Sn). Quais esses valores quando n = 100?

Exercıcio 4.5.5. Considere uma urna contendo g bolas verdes e r bolas vermelhas. Bolas sao retiradas

uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2, · · · as variaveis aleatorias definidas por

Xi =

1, se a i-esima e a (i + 1)-esima retiradas resultam em bola verde,

0, caso contrario.

Defina Sn =

n∑i=1

Xi. Obtenha E(Sn) e Var(Sn). Qual o significado de Sn ?

Exercıcio 4.5.6. Um dado honesto e lancado 100 vezes independentemente. Sejam X1, X2, · · · as

variaveis aleatorias definidas por

Xi =

1, se o i-esimo e o (i + 1)-esimo lancamentos resultam em face menor que 3,

0, caso contrario.

a) Obtenha E(Xi) e Var(Xi).

b) Calcule Cov(Xi, Xj).

c) Seja S100 =∑100

i=1 Xi. Determine E(S100) e Var(S100).

Teorema 4.5.3. Se as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes entao

V ar

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

V ar(Xi).

Exemplo 4.5.5. A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar e

uma variavel aleatoria com funcao densidade de probabilidade

f(x) =

2x, 0 < x < 1;

0, caso contrario.

Assim que o componente falha, ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo. Se Xi

representa o tempo de vida do i-esimo componente utilizado, entao Sn = Σni=1Xi representa o instante

da n-esima falha. Supondo que as variaveis aleatorias Xi, i ≥ 1, sejam independentes, calcule:

a) E(Sn).

b) Var(Sn).

Page 40: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 4.5.7. Considere uma urna contendo duas bolas vermelhas e oito verdes. Dez bolas sao

retiradas da urna ao acaso e com reposicao. Calcule a variancia do numero de bolas verdes retiradas.

Exercıcio 4.5.8. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao

normal de media µ e variancia σ2. Sejam

X =1

n

n∑i=1

Xi e S2 =1

(n− 1)

n∑i=1

(Xi − X)2

a media amostral e a variancia amostral das variaveis Xi, respectivamente.

a) Calcule Var(X).

b) Calcule E(S2).

Exercıcio 4.5.9. Sejam X1, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com distribuicao comum U [0, 1].

Defina Yn como a media geometrica das X ,is, definida por

Yn =

(n∏

i=1

Xi

) 1n

.

Seja Zn = −2n lnYn.

a) Calcule a media e a variancia de Zn.

b) Encontre a distribuicao de Zn = −2n lnYn.

Exercıcio 4.5.10. Considere uma urna contendo sete bolas verdes, uma bola branca e duas bolas

vermelhas. Seis bolas sao retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X,Y, Z o

numero de bolas verdes, vermelhas e brancas retiradas, respectivamente. Calcule:

a) A funcao geradora de momentos conjunta de X,Y e Z.

b) Cov(X,Z).

Exercıcio 4.5.11. Mostre que

Cov

n∑i=1

aiXi,m∑j=1

bjYj

=n∑

i=1

m∑j=1

aibjCov(Xi, Yj)

onde os ai e bj sao numeros reais.

Exercıcio 4.5.12. Sejam X1, ..., Xn variaveis aleatorias i.i.d. com densidade comum definida por

f(x) =

2(1− x), 0 < x < 1;

0, caso contrario.

Page 41: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Calcule a funcao geradora de momentos da variavel aleatoria

Y = − 1

n

n∑j=1

log(1−Xj)

e daı conclua qual a sua distribuicao.

Page 42: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 5

Distribuicoes Condicionais

5.1 Distribuicao condicionada em Eventos e Distribuicoes Con-

dicionais - Caso Discreto

Definicao 5.1.1. Seja X uma variavel aleatoria no espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e A ∈ F . A

distribuicao condicional de X dado o evento A e dada por

P(X ∈ B|A) = P([X ∈ B] ∩A)

P(A)para todo boreliano B.

Alem disso, a funcao de distribuicao de X dada o evento A e

FX(x|A) = P(X ≤ x|A) = P([X ≤ x] ∩A)

P(A)

e por fim

E(X|A) =

∑x

xP(X = x|A) se X e discreta .∫ ∞

−∞xfX(x|A)dx se X e contınua

No caso contınuo

fX(x|A) = F ′X(x|A).

Proposicao 5.1.1. Seja X uma variavel aleatoria no espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e A ∈ F e

Ann∈I uma particao de Ω. Temos

P(X ∈ B) =∑n∈I

P(An)P(X ∈ B|An) para todo B boreliano

e

E(X) =∑n∈I

P(An)E(X|An).

42

Page 43: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 5.1.1. Lampadas do tipo i funcionam uma quantidade de tempo aleatorio com distribuicao

exponencial de parametro λi =1i , i = 1, 2, · · · , 6. Uma lampada aleatoriamente escolhida e do tipo i

com probabilidade proporcional a i. Suponha que X represente o tempo de vida desta lampada. De-

termine a distribuicao de X, E(X) e VarX.

Exemplo 5.1.2. Suponha uma urna contendo inicialmente 7 bolas verdes e tres bolas vermelhas.

Suponha que 4 bolas sejam retiradas uma a uma ao acaso e sem reposicao. Defina o evento Ai sair

bola verde na i-esima retirada e X a variavel aleatoria que da o numero de bolas verdes retiradas.

Determine:

a)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩A2, E(X | A1 ∩A2) e Var(X | A1 ∩A2).

b)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩AC2 , E(X | A1 ∩AC

2 ) e Var(X | A1 ∩AC2 ).

Exercıcio 5.1.1. Suponha uma urna contendo inicialmente 7 bolas verdes e tres bolas vermelhas.

Suponha que 4 bolas sejam retiradas uma a uma ao acaso e sem reposicao. Defina o evento Ai sair

bola verde na i-esima retirada e X a variavel aleatoria que da o numero de bolas verdes retiradas.

Determine:

a)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩A2, E(X | A1 ∩A2) e Var(X | A1 ∩A2).

b)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩AC2 , E(X | A1 ∩AC

2 ) e Var(X | A1 ∩AC2 ).

Exercıcio 5.1.2. Seja X ∼ Uniforme[−1, 1] e A = [X ≥ 0]. Qual a distribuicao condicional de X

dado A?

Exercıcio 5.1.3. Lampadas do tipo i funcionam uma quantidade de tempo aleatorio com media

µi = 1i e desvio padrao σi = 1

i2 , i = 1, 2. Uma lampada aleatoriamente escolhida e do tipo 1 com

probabilidade 0, 6 e do tipo 2 com probabilidade 0, 4. Suponha que X represente o tempo de vida desta

lampada. Determine E(X) e VarX.

Definicao 5.1.2. Funcao de Probabilidade Condicional

Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. A funcao de probabilidade condicional de X dado que

Y = y e definida por

pX|Y (x|y) = P(X = x|Y = y) =pX,Y (x, y)

pY (y), desde que pY (y) > 0.

Analogamente, a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x e definida por

pY |X(y|x) = P(Y = y|X = x) =pX,Y (x, y)

pX(x), desde que pX(x) > 0.

Page 44: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Proposicao 5.1.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. Se B ⊂ R entao

P(X ∈ B|Y = y) =∑x∈B

P(X = x|Y = y).

Exemplo 5.1.3. Suponha que o numero de pessoas que entram em uma agencia de correio em certo

dia seja uma variavel aleatoria de Poisson com parametroλ. Mostre que, se cada pessoa que entra na

agencia de correio for homem com probabilidade p e mulher com probabilidade 1 − p, entao pode-se

representar o numero de homens e mulheres entrando na agencia por variaveis aleatorias de Poisson

com respectivos parametros λp e λ(1− p).

Exemplo 5.1.4. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

130x

2y se x = 1, 2 , y = 1, 2, 3.

0 caso contrario.

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

c) Calcule P(X = 1|Y = 2).

d)Calcule P(Y = 1|X = 2).

Exemplo 5.1.5. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas

verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos cada retirada a bola extraıda e devolvida

junto com 3 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas verdes e

vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

Exercıcio 5.1.4. Se X e Y sao variaveis aleatorias de Poisson independentes com respectivos parametros

λ1, e λ2, calcule a distribuicao condicional de X dado que X + Y = n.

Exercıcio 5.1.5. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas

verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primeira extracao a bola retirada e de-

volvida junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas

verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

Page 45: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 5.1.6. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

Exercıcio 5.1.7. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

Exercıcio 5.1.8. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

k(2x+ y) x = 1, 2 e y = 1, 2.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

Calcule P(X = 1|Y = 1).

Exercıcio 5.1.9. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

k(2x+ y) x = 1, 2, 3 e y = 1, 2, 3.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

c) Calcule P(X = 1|Y = 1).

5.2 Distribuicoes Condicionais- Caso Contınuo

Definicao 5.2.1. Funcao Densidade Condicional

Sejam X e Y variaveis aleatorias contınuas. A funcao densidade condicional de X dado que Y = y

e definida por

fX|Y (x|y) =fX,Y (x, y)

fY (y), desde que fY (y) > 0.

Page 46: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Analogamente, a funcao densidade condicional de Y dado que X = x e definida por

fY |X(y|x) = fX,Y (x, y)

fX(x), desde que fX(x) > 0.

Proposicao 5.2.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias contınuas. Se B ⊂ R entao

P(X ∈ B|Y = y) =

∫x∈B

fX|Y (x|y)dx.

Exemplo 5.2.1. Suponha que a densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

x+y8 , 0 < x < 2, 0 < y < 2;

0, caso contrario.

a) Obtenha as densidades marginais de X e Y .

b) X e Y sao independentes?

c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y .

d) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1).

Exemplo 5.2.2. Seja (X,Y, Z) um vetor aleatorio trivariado. Mostre que

fX,Y,Z(x, y, z) = fZ|X,Y (z|x, y)fY |X(y|x)fX(x).

Exercıcio 5.2.1. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

c(y2 − x2)e−y − y ≤ x ≤ y, y > 0

0 caso contrario.

a) Determine c.

b) Determine as densidades marginais de X e de Y .

c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y = y.

d) Obtenha a densidade condicional de Y dado X = x.

e) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1)

Exercıcio 5.2.2. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

67

(x2 +

xy

2

)0 < x < 1, 0 < y < 2

0 caso contrario.

a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.

b) Determine as densidades marginais de X e de Y .

c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y = y.

d) Obtenha a densidade condicional de Y dado X = x.

e) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1)

Page 47: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

5.3 Esperanca Condicional- Caso Discreto

Definicao 5.3.1. Esperanca Condicional- Caso Discreto

Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. A esperanca condicional de X dado que Y = y e definida

por

E(X|Y = y) =∑x

xpX|Y (x|y), desde que pY (y) > 0.

Analogamente, a esperanca condicional de Y dado que X = x e definida por

E(Y |X = x) =∑y

ypY |X(y|x), desde que pX(x) > 0.

Exemplo 5.3.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e

dada por

pX,Y (x, y) =

130x

2y se x = 1, 2 , y = 1, 2, 3.

0 caso contrario.

a) Calcule E(X|Y = 2).

b)Calcule E(Y |X).

c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).

d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exemplo 5.3.2. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y) e

dada por

pX,Y (x, y) =

k(2x+ 3y) x = 1, 2, 3 e y = 1, 2, 3.

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Obtenha k.

b) Obtenha as funcoes de probabilidade marginal de X e Y .

c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).

d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.3.1. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas

verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primeira extracao a bola retirada e de-

volvida junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas

Page 48: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).

d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.3.2. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).

d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.3.3. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma

urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,

o numero de bolas verdes e vermelhas extraıdas, determine:

a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.

b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.

c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).

d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

5.4 Esperanca Condicional- Caso Contınuo

Definicao 5.4.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias contınuas. A esperanca condicional de X dado

que Y = y e definida por

E(X|Y = y) =

∫ ∞

−∞xfX|Y (x|y)dx.

Analogamente, a esperanca condicional de Y dado que X = x e definida por

E(Y |X = x) =

∫−∞

yfY |X(y|x)dy.

Page 49: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 5.4.1. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por

fX,Y (x, y) =

x+y8 0 < x < 2, 0 < y < 2

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Calcule P(X < 1|Y = 1).

b) Calcule E(X|Y = 1).

Exemplo 5.4.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por

fX,Y (x, y) =

8xy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

a) Calcule E(Y |X = 0, 5).

b) Calcule P(X ≤ 0, 5|Y = 0, 8).

Exercıcio 5.4.1. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por

fX,Y (x, y) =

kxy 0 < x < 2, 0 < y < x

0 caso contrario.

onde k e uma constante.

a) Calcule E(X|Y = 1) e E(Y |X = 1)

b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.4.2. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

c(y2 − x2)e−y − y ≤ x ≤ y, y > 0

0 caso contrario.

a) Determine c.

b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.4.3. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

67

(x2 +

xy

2

)0 < x < 1, 0 < y < 2

0 caso contrario.

Page 50: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.

b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

Exercıcio 5.4.4. Suponha que a densidade conjunta de X e Y e dada por

fX,Y (x, y) =

x+y8 , 0 < x < 2, 0 < y < 2;

0, caso contrario.

a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.

b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .

c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].

5.5 Esperanca Condicional- Teoria Basica

Teorema 5.5.1. Princıpio da Substituicao para a Esperanca Condicional

Seja h(X,Y ) uma funcao das variaveis aleatorias X e Y . Entao

E(h(X,Y )|Y = y) = E(h(X, y)|Y = y).

Exemplo 5.5.1. Sejam Xi, i = 1, 2 variaveis aleatorias independentes, cada uma com distribuicao

geometrica definida por

P(Xi = k) = p(1− p)n, n = 0, 1, 2, · · ·

onde 0 < p < 1.

a) Calcule P(X1 = X2) e P(X1 < X2).

b) Determine a distribuicao condicional de X1 dado X1 +X2.

Exemplo 5.5.2. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a

um tunel que o levara a saıda apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara com

que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com que ele

retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das

portas com igual probabilidade. Seja T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de

v.a.i.i.d. X1, X2, · · · e um tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher

a porta para saıda) tal que

T =

N∑i=1

Xi

Page 51: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele

alcancar a liberdade.

Calcule

E

[N∑i=1

Xi|N = n

].

Esta quantidade e igual a E

[n∑

i=1

Xi

]?

Exercıcio 5.5.1. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · ·+XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-

pendentes e identicamente distribuıdas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem

distribuicao geometrica de parametro p. Encontre a distribuicao de SN .

Exercıcio 5.5.2. Suponha que o numero de ocorrencias em um determinado evento siga um processo

de Poisson de taxa λ.

a) Mostre que o tempo entre duas ocorrencias sucessivas tem lei exponencial de parametro λ.

b) Mostre que o tempo entre n ocorrencias sucessivas tem distribuicao gama com parametro λ.

c) Suponha que t nao e um instante na qual houve uma ocorrencia no processo Xt. Defina a variavel

aleatoria W(t) como o tempo ate a proxima ocorrencia. Entao

1. W(t) e independente de t;

2. W(t) tem distribuicao exponencial de parametro λ.

d) Seja Sn o tempo ate a n-esima ocorrencia nesse processo.

1. Suponha que houve uma ocorrencia no intervalo (0; t). Entao S1|Xt = 1 ∼ Uniforme(0; t).

2. Suponha que houveram k ocorrencias no intervalo (0; t). Entao (S1;S2; · · · ;Sk)|Xt = k tem den-

sidade conjunta das estatısticas de ordem correspondentes a k variaveis aleatorias independentes

e uniformemente distribuıdas no intervalo (0; t).

Corolario 5.5.1. Sejam g(X) e h(Y ) funcoes das variaveis aleatorias X e Y , respectivamente. Entao

E(g(X).h(Y )|Y = y) = h(y)E(g(X)|Y = y).

Teorema 5.5.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias tais que E(X) e finita . Entao

E(E(X|Y )) = E(X).

Ou seja, se Y e discreta, entao

E(X) =∑y

E(X|Y = y)P(Y = y).

Page 52: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Por outro lado, se Y e contınua com funcao densidade fY

E(X) =

∫ ∞

−∞E(X|Y = y)fY (y)dy.

Exemplo 5.5.3. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a

um tunel que o levara a saıda apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara com

que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com que ele

retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das

portas com igual probabilidade. Seja T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de

v.a.i.i.d. X1, X2, · · · e um tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher

a porta para saıda) tal que

T =

N∑i=1

Xi

Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele

alcancar a liberdade. Calcule E(T ).

Exemplo 5.5.4. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva

a um tunel que o levara a saıda apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara

com que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com

que ele retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador nao escolhe uma

porta repetida e que das restantes ele escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade. Seja

T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de variaveis aleatorias X1, X2, X3 e um

tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para saıda) tal que

T =N∑i=1

Xi

Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele

alcancar a liberdade. Calcule E(T ).

Exercıcio 5.5.3. Suponha que o numero de pessoas que entram em uma loja de departamentos em

determinado dia seja uma variavel aleatoria com media 50. Suponha ainda que as quantias de dinheiro

gastas por esses clientes sejam variaveis aleatorias independentes com media comum de R$ 80,00.

Finalmente, suponha tambem que a quantia gasta por um cliente seja independente do numero total

de clientes que entram na loja. Qual e a quantidade esperada de dinheiro gasto na loja em um dado

dia?

Exercıcio 5.5.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais independentes com parametros n e p

identicos, calcule o valor esperado condicional de X dado que X + Y = n.

Page 53: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 5.5.5. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas

tais que

P(Xn = 1) =24

25e P(Xn = −1) =

1

25

Seja

Sn =n∑

i=1

Xi, n = 1, 2, · · ·

e S0 = 0. Sn, n ≥ 0 e chamado passeio aleatorio simples assimetrico. Sn e a posicao do passeio

no tempo n. Seja N o tempo ate o passeio alcancar a posicao 5 pela primeira vez. Calcule o valor

esperado de N .

Corolario 5.5.2. Seja Y uma variavel aleatoria discreta. Entao

P(A) =∑y

P(A|Y = y)P(Y = y).

Exemplo 5.5.5. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vıdeo

game e uma variavel aleatoria exponencial de parametro λ. O menino decide que apos terminar a

disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as

tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase. Considere

desprezıvel o tempo gasto com os lancamentos do dado. Seja X o tempo ate que o menino inicie as

tarefas escolares. Qual a distribuicao de X?

Exercıcio 5.5.6. Considere o seguinte experimento realizado com um dado honesto e uma urna

contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Lanca-se o dado e de acordo com a face

obtida faz se as retiradas na urna. Isto e, se o dado revela face i sao feitas i retiradas uma a uma ao

acaso e com reposicao. Seja X o numero de bolas verdes extraıdas. Obtenha a distribuicao de X.

Exercıcio 5.5.7. Considere o seguinte experimento realizado com um dado honesto e uma urna

contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Lanca-se o dado e de acordo com a face

obtida faz se as retiradas na urna. Isto e, se o dado revela face i sao feitas i retiradas sem reposicao.

Seja X o numero de bolas verdes extraıdas. Obtenha a distribuicao de X.

Corolario 5.5.3. Seja Y uma variavel aleatoria contınua com densidade fY . Entao

P(A) =∫ ∞

−∞P(A|Y = y)fY (y)dy.

Exemplo 5.5.6. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ).

Calcule P(X > Y ).

Page 54: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 5.5.7. O numero de e-mails que chegam a um servidor no intervalo de tempo [0, t] dado

em minutos e, para cada t > 0, uma variavel aleatoria Nt com distribuicao de Poisson com parametro

λt. Somente um computador e conectado ao servidor para ler os e-mails recebidos.

a) Dado que tres e-mails chegaram no primeiro minuto, qual e a probabilidade de que exatamente dois

tenham chegado nos primeiros 15 segundos?

b) Se o tempo de vida T desse computador tem distribuicao exponencial de parametro θ. Alem disso,

Nt e T sao independentes para todo t. Obtenha a distribuicao do numero de e-mails lidos ate o com-

putador falhar.

Exercıcio 5.5.8. Suponha que num classico entre Goias e Vila Nova a partir do tempo t = 0 torcedo-

res do Goias chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa

λ torcedores por minuto. De forma analoga, torcedores do Vila Nova chegam a bilheteria do Estadio

Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa µ torcedores por minuto. A partir do tempo

t = 0 qual e a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goias?

Exercıcio 5.5.9. Seja U uma variavel aleatoria uniforme no intervalo (0, 1), e suponha que a dis-

tribuicao condicional de X dado que U = p seja binomial com parametros n e p. Determine a funcao

de probabilidade de X.

Exercıcio 5.5.10. a) Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Binomial(m, p)

e Y ∼ Binomial(n, p). Mostre que X + Y ∼ Binomial (m+ n, p).

b) Suponha que X e Y sao variaveis aleatorias independentes com distribuicao comum Binomial(n, p).

Mostre que a distribuicao condicional de X dado que X + Y = m e Hipergeometrica (2n, n,m).

Corolario 5.5.4. Seja h(X) e uma variavel aleatoria com media finita, entao

E(h(X)) = E[E(h(X)|Y )].

Exemplo 5.5.8. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · · +XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-

pendentes e identicamente distribuıdas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem

distribuicao geometrica de parametro p. Encontre a distribuicao de SN .

Exercıcio 5.5.11. Defina SN = X1 + X2 + X3 + · · · + XN onde as variaveis aleatorias Xi sao

independentes e identicamente distribuıdas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N

tem distribuicao Pascal com parametros r e p. Encontre a distribuicao de SN .

Page 55: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Teorema 5.5.3. Seja X uma variavel aleatoria contınua com densidade fX e Y uma variavel aleatoria

discreta. Entao

fX|Y (x|y) =P(Y = y|X = x)

P(Y = y).fX(x), desde que P(Y = y) > 0.

Exemplo 5.5.9. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vıdeo

game e uma variavel aleatoria exponencial de parametro λ. O menino decide que apos terminar a

disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as

tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase. Considere

desprezıvel o tempo gasto com os lancamentos do dado. Seja X o tempo ate que o menino inicie

as tarefas escolares e N o numero de fases disputadas por ele antes de iniciar as tarefas escolares.

Calcule P(N = n|X = x) e E(N |X).

Exercıcio 5.5.12. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · ·+XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-

pendentes e identicamente distribuıdas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem

distribuicao geometrica de parametro p. Calcule P(N = n|Sn = x) e E(N |SN ).

Definicao 5.5.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias. A variancia condicional de X dado que Y = y

e definida por

V ar(X|Y ) = E[(X − E(X|Y ))2|Y

]= E(X2|Y )− (E(X|Y ))

2

Teorema 5.5.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias. A variancia condicional satisfaz:

V ar(X) = E[V ar(X|Y )] + V ar[E(X|Y )]

Exemplo 5.5.10. Suponha que o numero de pessoas que chegam em uma estacao de trem em qual-

quer instante t seja uma variavel aleatoria de Poisson com media 20t. Se o primeiro trem chega na

estacao em um instante de tempo que e uniforme mente distribuıdo ao longo de (0, 10) e independente

do instante de chegada dos passageiros, quais sao a media e a variancia do numero de passageiros que

entram no trem?

Exercıcio 5.5.13. Suponha que o numero de pessoas que chegam em uma estacao de trem em qual-

quer instante t seja uma variavel aleatoria de Poisson com media 30t. Se o primeiro trem chega na

estacao em um instante de tempo que e uniforme mente distribuıdo ao longo de (0, 15) e independente

do instante de chegada dos passageiros, quais sao a media e a variancia do numero de passageiros que

entram no trem?

Page 56: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 6

Desigualdades Probabilısticas

Teorema 6.0.1. Desigualdade de Markov

Seja X uma variavel aleatoria com P(X ≥ 0) = 1. Entao, para qualquer ϵ > 0,

P(X ≥ ϵ) ≤ E(X)

ϵ.

Teorema 6.0.2. Desigualdade de Markov

Seja X uma variavel aleatoria qualquer. Entao, para qualquer ϵ > 0 e para todo t > 0,

P(|X| ≥ ϵ) ≤ E(|X|t)ϵt

.

Teorema 6.0.3. Desigualdade de Chebyshev

Seja X uma variavel aleatoria com E(X) < ∞. Entao, para qualquer ϵ > 0,

P(|X − E(X)| ≥ ϵ) ≤ V ar(X)

ϵ2.

Exemplo 6.0.1. Suponha que se saiba que o numero de itens produzidos por uma fabrica durante

uma semana seja uma variavel aleatoria com media 50.

(a) O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producao desta semana seja superior a 75 itens?

(b) Se e sabido que a variancia da producao de uma semana e igual a 25, entao o que se pode dizer

sobre a probabilidade de que a producao desta semana esteja entre 40 e 60?

Exemplo 6.0.2. Seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao densidade de probabilidade

f(x) =

1− |x|, se |x| < 1;

0, caso contrario.

i) Calcule E(X) e V ar(X).

ii) Utilizando a desigualdade de Chebyshev, obtenha uma cota superior para

P(|X| ≥ k), onde 0 < k < 1.

56

Page 57: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 6.0.1. Seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao densidade de probabilidade

fX,Y (x, y) =

8xy 0 < x < y < 1

0 caso contrario.

i) Calcule E(X) e V ar(X).

ii) Utilizando a desigualdade de Chebyshev, obtenha uma cota superior para

P(X ≥ k), onde 0 < k < 1.

Teorema 6.0.4. Desigualdade de Jensen

Seja h : R → R uma funcao convexa. Se a variavel aleatoria X e integravel, entao

E(h(X)) ≥ h(E(X)).

Exemplo 6.0.3. Seja X ∼ Geometrica(p). Mostre que

E(X−1) ≥ p

Exercıcio 6.0.2. Seja X ∼ Pascal(10,12). Mostre que

E[log(X)] ≤ 3.

Teorema 6.0.5. Limitantes de Chernoff

Seja X uma variavel aleatoria qualquer e a uma constante real. Entao

P(X ≥ a) ≤ e−taMX(t) para todo t > 0;

P(X ≤ a) ≤ e−taMX(t) para todo t < 0.

Exemplo 6.0.4. Seja X ∼ Poisson(1). Mostre que:

P(X ≥ k) ≤ e−k

kk, para k > 1.

Exercıcio 6.0.3. Seja X ∼ Normal(0,1). Mostre que:

P(X ≥ 100) ≤ e−5000.

Teorema 6.0.6. Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Sejam X e Y variaveis aleatorias com variancias finitas. Entao

|E(XY )| ≤ [E(X2)E(Y 2)]12 .

Teorema 6.0.7. Desigualdade de Holder:

Suponha que p e q satisfazem p > 1, q > 1 e 1p + 1

q = 1. Sejam X e Y variaveis aleatorias tais que

E(|X|p) < ∞ e E(|Y |q) < ∞ . Entao

E(|XY |) ≤ [E(|X|p)]1p [E(|Y |q)]

1q .

Page 58: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 7

Modos de Convergencia

7.1 Convergencia Quase Certa

Teorema 7.1.1. Lema de Borel Cantelli

Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e Ann≥1 eventos alatorios em F .

a) Se os eventos An satisfazem

∞∑n=1

P(An) < ∞ entao P(An Infinitas Vezes) = 0.

b) Se os eventos An sao independentes e satisfazem

∞∑n=1

P(An) = ∞ entao P(An Infinitas Vezes) = 1.

Exemplo 7.1.1. Uma moeda honesta e lancada repetidamente, sendo os lancamentos independentes.

Prove que qualquer sequencia finita de resultados ocorre infinitas vezes, com probabilidade 1.

Exemplo 7.1.2. Considere uma sequencia infinita de urnas numeradas por 1,2,· · · tal que a urna de

numero n contem 1 bola vermelha e n − 1 bolas verdes. Uma bola e retirada ao acaso e independen-

temente de cada urna. Sejam os eventos An “Bola retirada na urna n e vermelha”, n ≥ 1.

Calcule

P(lim supn→∞

An

).

Exercıcio 7.1.1. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes tais que Xn tem distri-

buicao Uniforme(0,an), onde an > 0. Mostre:

a) Se an = n2, entao com probabilidade 1, somente um numero finito das Xn toma valores menores

58

Page 59: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

que 1.

b) Se an = n, entao com probabilidade 1, um numero infinito das Xn toma valores menores que 1.

Definicao 7.1.1. Convergencia Quase Certa

Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P). Dizemos que Xn

converge para X quase certamente (Xnq.c.−→ X) se o evento ω ∈ Ω : Xn(ω) → X(ω) quando n → ∞

tem probabilidade 1.

Teorema 7.1.2. Sejam X1, X2, · · · e X variaveis aleatorias em um mesmo espaco de probabilidade

(Ω,F ,P). Entao,

Xnq.c.−→ X ⇔ P(|Xn −X| > ϵ Infinitas Vezes ) = 0, para todo ϵ > 0.

Exemplo 7.1.3. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes, com

P(Xn = 1) =1

n2e P(Xn = 0) =

(n− 1)(n+ 1)

n2.

Mostre que Xn converge para 0 quase certamente.

Exemplo 7.1.4. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes, com

P(Xn = 1) =1

ne P(Xn = 0) =

n− 1

n.

Mostre que Xn nao converge para 0 quase certamente.

Exercıcio 7.1.2. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes, com

P(Xn = 2) =5

n4= 1− P(Xn = 1).

Mostre que Xn converge para 0 quase certamente.

Exercıcio 7.1.3. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes, com

P(Xn = 5) =n− 1

n2= 1− P(Xn = 0)

Mostre que Xn nao converge para 0 quase certamente.

7.2 Convergencia em Probabilidade

Teorema 7.2.1. Desigualdade de Chebyshev

Seja X uma variavel aleatoria com E(X) < ∞. Entao, para qualquer ϵ > 0,

P(|X − E(X)| ≥ ϵ) ≤ V ar(X)

ϵ2.

Page 60: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 7.2.1. Seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao densidade de probabilidade

f(x) =

1− |x|, se |x| < 1;

0, caso contrario.

i) Calcule E(X) e V ar(X).

ii) Utilizando a desigualdade de Chebyshev, obtenha uma cota superior para

P(|X| ≥ k), onde 0 < k < 1.

Exemplo 7.2.2. Se o numero de ıtens produzidos por uma fabrica durante uma semana e uma variavel

aleatoria com media 100 e variancia 400, calcule um limite superior para a probabilidade de que a

producao desta semana seja de pelo menos 120 ıtens.

Exercıcio 7.2.1. Um conjunto de 200 pessoas formado por 100 homens e 100 mulheres e dividido

aleatoriamente em 100 pares. Forneca um limite superior para a probabilidade de que no maximo 30

desses pares sejam formados por um homem e uma mulher.

Definicao 7.2.1. Convergencia em Probabilidade

Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P). Dizemos que Xn

converge para X em probabilidade (XnP−→ X) se para qualquer ϵ > 0,

P(|Xn −X| > ϵ) → 0 quando n → ∞.

Exemplo 7.2.3. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes, com

P(Xn = 1) =1

ne P(Xn = 0) =

n− 1

n.

Mostre que Xn converge para 0 em probabilidade.

Exemplo 7.2.4. Seja Xnn≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias tal que Xn ∼ Binomial(n, 1n2 ).

Mostre que Xn − 1n converge para 0 em probabilidade.

Exemplo 7.2.5. Considere uma sequencia infinita de urnas numeradas por 1,2,· · · tal que a urna de

numero n contem 1 bola vermelha e n − 1 bolas verdes. Uma bola e retirada ao acaso e independen-

temente em cada urna. Sejam as variaveis aleatorias Xn, n ≥ 1, definidas por:

Xn =

1, se bola retirada da urna n e vermelha

0, caso contrario.

a) E verdade que Xn converge para 0 em probabilidade?

b) E verdade que Xn converge para 0 quase certamente?

Page 61: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 7.2.2. Considere uma sequencia infinita de urnas numeradas por 1,2,· · · tal que a urna

de numero n contem 1 bola vermelha e n2 − 1 bolas verdes. Uma bola e retirada ao acaso e indepen-

dentemente em cada urna. Sejam as variaveis aleatorias Xn, n ≥ 1, definidas por:

Xn =

1, se bola retirada da urna n e vermelha

0, caso contrario.

a) E verdade que Xn converge para 0 em probabilidade?

b) E verdade que Xn converge para 0 quase certamente?

Exercıcio 7.2.3. Sejam X2, X3, · · · variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas,

com distribuicao exponencial de parametro 1. Para n ≥ 2, considere

Yn =Xn

log n

a) Mostre que YnP→ 0

b) Prove que P(|Yn| > 12 infinitas vezes) = 1.

c) Conclua do item (b) que Yn nao converge para 0 quase certamente.

7.3 Outros Teoremas Limite

Exemplo 7.3.1. Seja Xnn≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias tais que

P(Xn = n3) =1

n2,P(Xn = 0) = 1− 1

n2.

a) Prove que Xn converge quase certamente para 0.

b) Mostre que limn→∞

E(Xn) = 0.

Teorema 7.3.1. Teorema da Convergencia Monotona

Sejam X1, X2, · · · e X variaveis aleatorias nao negativas. Se Xn ↑ X quase certamente quando

n → ∞, entao E(Xn) ↑ E(X) quando n → ∞.

Exemplo 7.3.2. Sejam X1, X2, · · · , Xk, · · · , Xn variaveis aleatorias nao-negativas em (Ω,F ,P). Su-

ponha que∞∑

n=1

Xn

e convergente em Ω. Mostre que

E

( ∞∑n=1

Xn

)=

∞∑n=1

E(Xn).

Page 62: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Teorema 7.3.2. Teorema da Convergencia Dominada

Sejam X1, X2, · · · e X variaveis aleatorias. Suponha que |Xn| ≤ Y para todo n, onde Y e integravel

e que Xn → X. Entao, X e Xn sao integraveis e quase certamente limE(Xn) = E(X).

Exemplo 7.3.3. Seja X uma variavel aleatoria Mostre que se E(|X|) < ∞ entao φ possui derivada

contınua

φ′X(t) =

∫ ∞

−∞(ix)fX(x)dx se X e contınua com densidade fX(x);∑

x

(ix)P(X = x) se X e discreta.

Conclua que

φ′X(0) = iE(X).

Pode usar sem provar que para qualquer x real

limh→0

eitx − 1

h= ix.

7.4 Convergencia em Distribuicao

Definicao 7.4.1. Convergencia em Distribuicao

Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias. Dizemos que Xn converge para X em distribuicao (XnD−→

X) se

P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) quando n → ∞.

Exemplo 7.4.1. Sejam (Xn)n≥1 tal que Xn ∼ geometrica(λn), 0 < λ < 1. Seja Yn = Xn

n . Mostre

que YnD→ Y , onde Y ∼ exp(λ).

Exercıcio 7.4.1. Seja (Xn)n≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias tais que Xn ∼ Uniforme(0, 1, · · · , n).Isto

e,

P(Xn = k) =1

n+ 1, k = 0, 1, · · · , n.

Mostre que Xn

n

D→ Uniforme(0,1).

Teorema 7.4.1. Sejam X1, X2, · · · e X variaveis aleatorias inteiras e nao-negativas. Entao,

XnD−→ X ⇔ lim

n→∞P(Xn = k) = P(X = k) para todo k ∈ N.

Exemplo 7.4.2. Seja Xn ∼ Binomial(n, pn), n ≥ 1 e X ∼ Poisson(λ). Suponha que

limn→∞

npn = λ.

Mostre que Xn converge para X em distribuicao.

Page 63: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 7.4.2. Seja XN ∼ hipergeometrica(N,A, n), n ≥ 1 e X ∼ Binomial (n,A/N). Mostre que

XN converge para X em distribuicao.

Teorema 7.4.2. Teorema de Scheffe

Sejam X1, X2, · · · e X variaveis aleatorias contınuas com densidades respectivas f1, f2, · · · e f . Se

fn(x) → f(x) quando n → ∞ para quase todo x, entao XnD−→ X.

Exemplo 7.4.3. Suponha uma sequencia de variaveis aleatorias Xnn≥1 tal que Xn ∼ Exponencial( nλn+5)

para n = 1, 2, · · · . Verifique se a sequencia Xn converge em distribuicao.

Exercıcio 7.4.3. Suponha uma sequencia de variaveis aleatorias Xnn≥1 tal que Xn ∼ Exponencial( 2nλ6n+5)

para n = 1, 2, · · · . Verifique se a sequencia Xn converge em distribuicao.

Exercıcio 7.4.4. Seja (Xn)n≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e identicamente

distribuıdas tais que E(X1) = 0. Ache o limite, quando n → ∞, da funcao caracterıstica de Yn =

cos(Xn) onde

Xn =X1 +X2 · · ·+Xn

n

7.5 Mais sobre Convergencia

Proposicao 7.5.1. Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P).

Vale que:

• Se Xnq.c.→ X entao Xn

P→ X;

• Se XnP→ X entao Xn

D→ X.

Proposicao 7.5.2. Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P)

e g uma funcao real contınua. Temos que:

• Se Xnq.c.→ X entao g(Xn)

q.c.→ g(X),

• Se XnP→ X entao g(Xn)

P→ g(X),

• Se XnD→ X entao g(Xn)

D→ g(X).

Teorema 7.5.1. Caso particular do Teorema de Helly-Bray

Sejam X1, X2, ..., X variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e g : R → R uma

funcao real contınua e limitada. Se XnD→ X entao E(Xn) → E(X).

Teorema 7.5.2. Caso particular do Teorema de Paul-Levy

Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e φ1, φ2, · · · suas

Page 64: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

respectivas funcoes caracterısticas. Se φn(t) → φ(t) para todo t real e φ e contınua no 0 entao φ e

funcao caracterıstica de X tal que XnD→ X.

Como consequencia dos teoremas de Helly-Bray e Paul-Levy temos que

Teorema 7.5.3. Sejam X,X1, X2, · · · variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P) e

φ,φ1, φ2, · · · suas respectivas funcoes caracterısticas. Entao XnD→ X se e somente se φn(t) → φ(t)

para todo t real.

Exemplo 7.5.1. Seja (Xn)n≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias tais que Xn ∼ Uniforme(n, n+

1). Estude a convergencia em distribuicao de Xn.

Exemplo 7.5.2. Seja (Xn)n≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e identicamente

distribuıdas tais que

P(Xn = 1) =1

2= P(Xn = −1)

e seja

Yn =n∑

k=1

1

2kXk.

Mostre que YnD→ Uniforme(-1,1).

Page 65: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 8

Lei dos Grandes Numeros

8.1 Lei Fraca e Lei Forte Forte para v.a.i.i.d.

Teorema 8.1.1. Lei Fraca dos Grandes Numeros de Bernoulli (1713)

Considere uma sequencia de ensaios de Bernoulli independentes, tendo a mesma probabilidade p de

sucesso em cada ensaio.Se Sn e o numero de sucessos nos primeiros n ensaios entao, Sn

n

P−→ p.

Teorema 8.1.2. Lei Fraca dos Grandes Numeros de Khintchine (1929)

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis independentes e identicamente distribuıdas, com media

comum (µ) finita. Defina Sn = X1 +X2 + ...+Xn. Entao, Sn

n

P−→ µ.

Exemplo 8.1.1. Considere uma urna contendo nove bolas verdes e uma bola vermelha. Bolas sao

retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2, · · · as variaveis aleatorias

definidas por

Xi =

1, se a i-esima e (i+1)-esima retiradas resultam em bola verde,

0, caso contrario.

Defina Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn. Mostre queSn

n

P→ 81

100e interprete o resultado.

Exercıcio 8.1.1. Uma massa radioativa emite partıculas segundo um processo de Poisson com parametro

λ > 0. Sejam T1, T2, · · · os tempos transcorridos entre emissoes sucessivas, assim, Ti ∼ Exponencial

(λ). Defina

Xn =T1 + T2 + · · ·Tn

n

Encontre um limite em probabilidade para Xnn≥1.

65

Page 66: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Teorema 8.1.3. Lei Forte dos Grandes Numeros de Borel(1909)

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis independentes e identicamente distribuıdas, tais que

P(Xn = 1) = p e P(Xn = 0) = 1− p . Defina Sn = X1 +X2 + ...+Xn. Entao, Sn

n

q.c.−→ p.

Teorema 8.1.4. Primeira Lei Forte dos Grandes Numeros de Kolmogorov(1933)

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis independentes e identicamente distribuıdas, com media

comum (µ) finita. Defina Sn = X1 +X2 + ...+Xn. Entao, Sn

n

q.c.−→ µ.

Exemplo 8.1.2. Seja Xnn≥1 uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e identicamente

distribuıdas com distribuicao uniforme em (0,1). Definimos amedia geometrica de X1, · · · , Xn por

Yn =

(n∏

i=1

Xi

) 1n

Mostre que a sequencia Ynn≥1 converge quase certamente para uma constante e encontre o valor

dessa constante.

Exercıcio 8.1.2. A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar e

uma variavel aleatoria com funcao densidade de probabilidade

f(x) =

2x, 0 < x < 1;

0, caso contrario.

Assim que o componente falha, ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo. Se Xi

representa o tempo de vida do i-esimo componente utilizado, entao Sn = Σni=1Xi representa o instante

da n-esima falha. A taxa de falhas r a longo prazo e definida por

r = limn→∞

n

Sn.

Supondo que as variaveis aleatorias Xi, i ≥ 1, sejam independentes, determine r.

8.2 Lei Fraca e Lei Forte Forte - Caso Geral

Teorema 8.2.1. Lei Fraca dos Grandes Numeros de Chebyshev(1867)

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis e Sn = X1 + X2 + ... + Xn. Se limn→∞

V ar(Sn)

n2= 0

entao Sn−E(Sn)n

P−→ 0.

Teorema 8.2.2. Segunda Lei Forte dos Grandes Numeros de Kolmogorov(1933)

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis e Sn = X1 +X2 + ...+Xn. SeV ar(Xn)

n2< ∞ entao

Sn−E(Sn)n

q.c.−→ 0.

Page 67: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exemplo 8.2.1. Um dado honesto e lancado infinitas vezes independentemente. Sejam X1, X2, · · ·

as variaveis aleatorias definidas por

Xi =

1, se o i-esimo e o (i + 1)-esimo lancamentos resultam em face cinco,

0, caso contrario.

a) Obtenha E(Xi) e Var(Xi).

b) Mostre que

Cov(Xi, Xj) =

51296 , se j = i+ 1,

0, se j > i+ 1.

c) Seja Sn =∑n

i=1 Xn. Determine E(Sn) e Var(Sn).

d) Mostre que Sn

n

P→ 136 .

Exercıcio 8.2.1. Sejam X1, X2, · · · variaveis aleatorias independentes tais que P(X1 = 0) = 1 e,

para cada n ≥ 2,

P(Xn = n) = P(Xn = −n) =1

2n log(n)e P(Xn = 0) = 1− 1

n log(n)

Seja Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn.

a)Usando a desigualdade de Chebyshev, prove que Sn

n

P−→ 0.

b)Prove que P(|Xn| > n2 infinitas vezes) = 1

c) Conclua que Xn

n nao converge para 0 quase certamente e portanto Snn nao converge para 0 quase

certamente.

Obs.: Temos neste exercıcio uma sequencia de variaveis aleatorias que satisfaz a Lei Fraca dos

Grandes Numeros, porem nao a Lei Forte.

Exercıcio 8.2.2. Considere o seguinte jogo hipotetico.Existe uma sequencia infinita de urnas nume-

radas por 1,2,· · · tal que a urna de numero n contem 1 bola vermelha e n2−1 bolas verdes. A n-esima

rodada do jogo consiste em retirar ao acaso uma bola. O jogador ganha n reais caso saia bola vermelha

e perde n reais caso saia bola verde. Sejam as variaveis aleatorias Xn, n ≥ 1, definidas por:

Xn =

n, se bola retirada da urna 5n e vermelha

−n, caso contrario.

Xn da o ganho do jogador na n-esima rodada.

Defina Sn = Σni=1Xi. A Lei Forte pode ser aplicada? Em caso positivo, qual a conclusao obtida via

Lei Forte?

Page 68: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Capıtulo 9

Teorema Central do Limite

Teorema 9.0.1. Teorema Central do Limite

Seja X1, X2, X3, ... uma sequencia de variaveis independentes e identicamente distribuıdas, com media

µ (µ < ∞) e variancia σ2 ( 0 < σ2 < ∞). Defina Sn = X1 +X2 + ... +Xn e Zn = Sn−nµσ√n

. Entao

ZnD−→ Z, onde Z e normal padrao.

Exemplo 9.0.1.

a) Seja X uma variavel aleatoria Cauchy padrao, isto e X tem densidade dada por

f(x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < ∞.

Mostre que

φX(t) = e−|t|.

Obs.:Pode usar1

π

∫ ∞

−∞

cos(tx)

1 + x2dx = e−|t|.

b) Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas com distri-

buicao comum Cauchy padrao. Mostre que

Sn

n=

X1 + · · ·+Xn

n

tambem e Cauchy padrao. O TCL vale nesse caso?

Exemplo 9.0.2. Uma enchedora automatica de refrigerantes esta regulada para que o volume medio

de lıquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e desvio padrao de 10 cm3. Admita que o volume siga

uma distribuicao normal.

a) Qual e a probabilidade de uma dessas garrafas escolhida ao acaso ter volume de lıquido superior a

68

Page 69: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

1010 cm3?

b) Se 10 garrafas sao selecionadas ao acaso, qual e a probabilidade de que, no maximo, 1 tenha volume

de lıquido superior a 1010 cm3?

c) Se 1.000 garrafas sao selecionadas ao acaso, qual e a probabilidade de que, no maximo, 100 tenha

volume de lıquido superior a 1010 cm3?

d) Se 1.000 garrafas sao selecionadas ao acaso, qual e a probabilidade do volume medio delas ser

superior a 1.001 cm3?

Exemplo 9.0.3. Voltagens de sinais independentes, digamos, Vi, i = 1, 2, · · · , n sao recebidas num

“somador”. Seja V a soma das voltagens recebidas pelo “somador”, isto e,

V =n∑

i=1

Vi.

Suponha que cada Vi seja uma variavel aleatoria com distribuicao normal de media 5 volts e desvio

padrao 1 volt. Determine a probabilidade de que V exceda 105 volts, quando n = 20. Justifique seus

calculos.

Exemplo 9.0.4. Suponha que o peso bruto de certas latas de pessego em calda e uma variavel aleatoria

normal, com media 1.000 gramas e desvio padrao 20 gramas.

a) Qual a probabilidade de uma dessas latas pesar menos de 960 gramas?

b) Se 100 dessas latas sao escolhidas ao acaso, qual e a probabilidade de no maximo 3 delas pesarem

menos de 960 gramas?

Exemplo 9.0.5. a) Uma pessoa possui 100 lampadas cujos tempos de vida sao exponenciais indepen-

dentes com media de 5 horas. Se as lampadas sao usadas uma de cada vez, sendo a Iampada queimada

imediatamente substituıda por uma nova, obtenha uma aproximacao para a probabilidade de que ainda

exista uma Iampada funcionando apos 525 horas.

b) No item anterior,suponha que seja necessario um tempo aleatorio, uniformemente distribuıdo em

(0,0,5), para que a lampada queimada seja substituıda. Obtenha uma aproximacao para a probabilidade

de que todas as lampadas tenham queimado apos 550 horas.

Exercıcio 9.0.1. A duracao de um certo tipo de pneu, em quilometros rodados, e uma variavel

aleatoria com distribuicao normal com duracao media de 60.000 km e desvio padrao de 10.000 km.

a) Qual a probabilidade de um pneu deste tipo escolhido ao acaso durar mais de 70.000 km?

b) Se 1.000 destes pneus sao escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de pelo menos 160 durarem

mais do que 70.000 km?

Page 70: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 9.0.2. Uma instituicao de caridade deseja realizar uma obra que custa R$3500,00 em sua

sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituicao, cada um pode contribuir com algo em torno

de R$ 120,00 mais ou menos um desvio padrao de R$ 50,00. Se 30 dessas pessoas se quotizarem para

levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessario?

Exercıcio 9.0.3. Uma companhia de seguros emitiu apolices para 10000 pessoas, todas da mesma

faixa etaria. A probabilidade de morte durante um ano e de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etaria.

Em um dia pre-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1

ano, seus beneficiarios receberao 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:

(a) A companhia tenha prejuızo?

(b) A companhia tenha um lucro de pelo menos 40000 u.m.? E 60000 u.m.? E 80000 u.m.?

Exercıcio 9.0.4. O Comite organizador de um congresso cientıfico contratou 5 hoteis da cidade onde

vai se realizar esse evento para hospedarem os 1000 congressistas inscritos. Cada um desses hoteis

so tem quartos individuais e so podera hospedar os participantes do congresso durante esse perıodo.

Admita que cada congressista escolhera de forma aleatoria para qual dos 5 hoteis ele vai se dirigir. O

Hotel X e um desses 5 hoteis e tem capacidade para acomodar 210 pessoas.

(a) Qual a probabilidade de que o Hotel X consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?

(b) Qual a probabilidade de que pelo menos p = 90 % do total de quartos do Hotel X sejam ocupados?

(c) Para que no Hotel Y (outro dos 5):

i) a probabilidade de que ele consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem seja 0,95; e

ii) a probabilidade de pelo menos π% do seu total de quartos serem ocupados seja 0,99;

qual deve ser o valor de π e qual deve ser a capacidade total desse hotel?

Exercıcio 9.0.5. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80 % dos casos.

Uma amostra de 25 indivıduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar

a imunizacao ou nao desses indivıduos. Se o fabricante estiver correto, qual e a probabilidade da

proporcao de imunizados na mostra ser inferior a 0,75? E superior a 0,85?

Exercıcio 9.0.6. Admita que o consumo mensal de agua por residencia em um certo bairro de Goiania

tem distribuicao Normal com media 10 e desvio padrao 2 (em m3). Para uma amostra de 25 dessas

residencias, qual e a probabilidade de a media amostral nao se afastar da verdadeira media por mais

de 1 m3 ?

Page 71: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 9.0.7. Uma pessoa possui 100 lampadas cujos tempos de vida sao exponenciais indepen-

dentes com media 5 horas. Se as lampadas sao usadas uma de cada vez, sendo necessario um tempo

aleatorio (em horas) uniformemente distribuıdo em (0, 12) para que uma lampada queimada seja subs-

tituıda, qual e a probabilidade de que todas as lampadas tenham queimado apos 550 horas?

Exercıcio 9.0.8. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80 % dos casos.

Uma amostra de 25 indivıduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar

a imunizacao ou nao desses indivıduos. Se o fabricante estiver correto, qual e a probabilidade da

proporcao de imunizados na mostra ser inferior a 0,75? E superior a 0,85?

Exercıcio 9.0.9. Suponha que o peso bruto de latas de pessego em calda pesadas por uma determi-

nada maquina tem distribuicao normal, com media 1.000 gramas e desvio padrao 25 gramas. Se latas

sao pesadas uma a uma ate se ter 10 latas com peso inferior a 1050 gramas, calcule a probabilidade

de serem necessarias no maximo 12 pesagens.

Exercıcio 9.0.10. Numa partida do Goias pela Copa do Brasil, torcedores esmeraldinos chegam ao

Serra Dourada em instantes aleatorios pontuais. Seja Xn o tempo em minutos ate a chegada do

n-esimo esmeraldino. Podemos escrever:

Xn =

n∑i=1

Ti, n = 1, 2, · · ·

e X0 = 0, onde Ti e o tempo entre a chegada do (i−1)-esimo torcedor e do i-esimo torcedor. Suponha

que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos e uma variavel aleatoria

exponencial de parametro λ= 100 torcedores por minuto, calcule a probabilidade de se demorar no

maximo 90 segundos ate a chegada de 144 torcedores.

Exercıcio 9.0.11. Uma pesquisa mostra que 40 % dos usuarios da Internet usam o Google Chrome

como seu browser. Selecione ao acaso 256 usuarios e pergunte se eles usam ou nao o Google Chrome.

Qual a probabilidade de que no maximo 50 usuarios respondam “sim”?

Exercıcio 9.0.12. Em um circuito simples, cem resistores, R1, · · · , R100 sao ligados em serie, por-

tanto a resistencia total sera dada por RS = R1 + · · ·R100. Suponha que R1, · · ·R100 sejam variaveis

aleatorias independentes tendo cada uma densidade

fRi(r) =

r50 , 0 < r < 10, i = 1, · · · , 100;

0, caso contrario.

Calcule P(RS ≥ 660).

Page 72: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 9.0.13. Considere o experimento de lancar um dado honesto 7200 vezes. Qual e a proba-

bilidade de se obter mais que 1206 vezes a face cinco?

Exercıcio 9.0.14. Considere uma sequencia de 1000 urnas tal que a i-esima urna contem i+4 bolas

verdes e 1 bola vermelha. Cinco bolas sao retiradas de cada urna uma a uma ao acaso e com reposicao.

Seja X o numero total de bolas verdes retiradas em todas as urnas, isto e, X = X1 +X2 + · · ·X1000,

onde Xi e o numero de bolas verdes retiradas na i-esima urna.

a) Calcule a probabilidade do numero total de bolas verdes retiradas ser superior a 4.500.

b) Se as retiradas fossem realizadas sem reposicao, qual seria a probabilidade de serem retiradas 5.000

bolas verdes.

Exercıcio 9.0.15. A variavel aleatoria X (em milissegundos) e o tempo total de acesso (tempo de

espera + tempo de leitura) para obter um bloco de informacao de um disco de computador. X e unifor-

memente distribuıda no intervalo de 0 a 12 milissegundos. Antes de realizar uma determinada tarefa,

o computador precisa acessar 12 blocos de informacao diferentes do disco (Os tempos de acesso para

blocos diferentes sao independentes um do outro). O tempo total de acesso para todas as informacoes e

uma variavel aleatoria Y (em milissegundos). Calcule em todos os detalhes, a probabilidade do tempo

total de acesso exceder 75 ms.

Exercıcio 9.0.16. Suponha que uma lanterna de feixe estreito seja girada em torno de seu eixo que

esta localizado a um metro do eixo x (eixo horizontal). Considere o ponto X no qual o feixe intercepta

o eixo x no instante em que a lanterna para de girar ( se o feixe nao estiver apontando para o eixo x,

repita o procedimento).

a) Mostre que X tem distribuicao Cauchy padrao.

b) Considere 1.000 repeticoes do experimento acima. Seja Xi o ponto no qual o feixe intercepta o

eixo x no instante em que a lanterna para de girar na i-esima repeticao e X a media amostral dessas

observacoes. Calcule P(X ≤ 1).

Dica: Uma variavel aleatoria X tem distribuicao Cauchy padrao, se sua densidade e

dada por f(x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < ∞ e sua funcao caracterıstica por φX(t) = e−|t|.

Exercıcio 9.0.17. Um professor tem 50 provas para corrigir. O tempo necessario para corrigir cada

uma das 50 provas e uma variavel aleatoria independente com distribuicao que possui media de 20

minutos e desvio padrao de 4 minutos. Aproxime a probabilidade de que o professor corrija pelo menos

25 provas nos primeiros 450 minutos de trabalho.

Page 73: PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

Exercıcio 9.0.18. Cinquenta numeros sao arredondados para o inteiro mais proximo e somados. Se

os erros de arredondamento individuais sao uniformemente distribuıdos ao longo de (-0,5,5), obtenha

uma aproximacao para a probabilidade de que a soma resultante difira da soma exata em mais de 3.

Exercıcio 9.0.19. Um dado e jogado continuamente ate que a soma total das jogadas exceda 300.

Obtenha uma aproximacao para a probabilidade de que pelo menos 80 jogadas sejam necessarias.

Exercıcio 9.0.20. Engenheiros civis acreditam que W, a quantidade de peso (em unidades de tonela-

das) que certo vao de uma ponte pode suportar sem sofrer danos estrutu seja normalmente distribuıdo

com media 400 e desvio padrao 40. que o peso (novamente em toneladas) de um carro seja uma

variavel aleatoria com media 3 e desvio padrao 0,3. Aproximadamente quantos carros devem estar

sobre a ponte para que a probabilidade de dano estrutural exceda 0,1?

Exercıcio 9.0.21. Uma companhia de seguros tem 10.000 carros segurados. O valor esperado recla-

mado por cada segurado em um ano e de R$ 240,00, com um desvio padrao de R$800. Obtenha uma

aproximacao para a probabilidade de que o total reclamado em um ano supere R$2,7 milhoes.

Exercıcio 9.0.22. Certo componente e crıtico para a operacao de um sistema eletrico e deve ser

substituıdo imediatamente apos a sua falha. Se o tempo de vida medio deste tipo de componente e

de 100 horas e seu desvio padrao e de 30 horas, quantos desses componentes devem estar em estoque

de forma que a probabilidade de que o sistema permaneca em operacao contınua nas proximas 2000

horas seja de pelo menos 0,95?

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Referencias Bibliograficas

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