Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos.

Probabilidadese Processos Estocásticos

EE-240/2009

EE-240Probabilidade e

Processos Estocásticos


EE-240/2009

1. Espaço de Probabilidades: É uma Tripla P,,F

2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis

3. Classe de Eventos: É a classe de sub-conjuntos de que satisfaz:F

FF CAAi)

1,....2,1;)

iii AiAii FF

1,....2,1;)

iii AiAiii FF

4. Medida de Probabilidade: É uma função P: tal que, para 1,0F FA

212121)

1)

0)

APAPAAPAAiii

Pii

APi


EE-240/2009

5. Probabilidade Condicional: MP

MAPMAP

A

M

MA

Exemplo:

3

235,3,1

3

155,3,1

056,4,2

MPM

MPM

MPM

6,...,1,6

1

6,5,4,3,2,1

iiP


EE-240/2009

5. Probabilidade Condicional: MP

MAPMAP

A

M

MA

6. Fórmula de Bayes:

AP

MAPAMP

MP

MAPMAP

MP

APAMPMAP


EE-240/2009

7. Independência:

BA,

tesindependenBeABPAPBAP

8. Variáveis Aleatórias: Rx :

R

0

x


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Exemplo:

$

0

x

-20 +35

ímpar

parx

20

35

6,5,4,3,2,1


EE-240/2009

9. Função Distribuição de Probabilidade:

R

0

xPFx

x

xF

xP


EE-240/2009

9. Função Distribuição de Probabilidade: xPFx

10. Propriedades da Função Distribuição:

1221

2121

)

)

00)

)

01)

FFxPe

FFd

FFc

FFb

FeFa

11. Função Densidade de Probabilidade:

d

dFf xx


EE-240/2009

12. Distribuição Condicional de Probabilidade:

MP

MxP MxPMFx

Exemplo: axM axP

axxPaxFx

|

1

Fx

axFx | xF

a

aFF

axFxaxxa

axFaxaxxa

x

x

1x

x


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13. Funções de uma variável aleatória:

xgxgy )(

x

RR

y xgxg )(

)(| yPFy


EE-240/2009

14. Média:

0

x

dfdPxxEm xx ][

fx

d


EE-240/2009

14. Média:

0

dfdPxxEm xx ][

fx

dP

f

R

.x


EE-240/2009

15. Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias:

x

y

y

x

yxPF yx ,|,,

16. Propriedades de Fx,y:

,,)(,)()

1,)

0,)

0,)

1221

,

,

,

xyxy

yx

yx

yx

FFyxPd

Fc

Fb

Fa


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17. Distribuição Marginal:

,

,

xyy

xyx

FF

FF

18. Independência de Variáveis Aleatórias:

As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B

são independentes, ou seja,

ByeAx )(|)(|

ByPAxPByAxP )()(})({})({

)(

)(

yB

xA

yxxy

yxxy

fff

FFF

,

,


EE-240/2009

19. Função de duas variáveis aleatórias:

x

y

y

x

z

g(.,.) g(x,y)

z = g(x,y)


EE-240/2009

19. Função de duas variáveis aleatórias:

x

y

y

x

z

g(.,.) g(x,y)

z = g(x,y)

Dz

ddfzD

yx ,,

))(),((|

)(|

yxgP

zPFz


EE-240/2009

Conexão Série

S1 S2

t1

t2

t

tT1()

T2()

)t(F)t(F)t(F)t(F 2T1T2T1T

t2Tt1TP

t2T,1TminP

t2Tt1TPt2TPt1TP

tTi e1)t(F

t2ttttT e1e1e1e1e1)t(F

dt

d

t2T e2)t(f

2

1TE

Na área sombreada,o sistema conectado

em série ficouinoperante antes

do instante t

)P,,(


EE-240/2009

Conexão Paralela

t1

t2

t

tT1()

T2()t

Ti e1)t(F

dt

d


em paralelo ficouinoperante antes

do instante t

t2T,1TmaxP

t2Tt1TP

t2TPt1TP

)t(F)t(F 2T1T

2tttT e1e1e1)t(F

t2tT ee2)t(f

2

3TE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

S1

S2

)P,,(


EE-240/2009

Conexão Stand By

t1

t2

t

tT1()

T2()dt

d


em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t

S1

S2

)t(f)t(f)t,t(f 11T11T212T,1T

t2T1TP)t(F 1T

222T21T dt)t(f)tt(F

222T21TT dt)t(f)tt(Fdt

d)t(f

222T1

yzx21T

1

dt)t(fdt

dt)tt(F

dt

d

)t(f*fdt)t(f)tt(f 2T1T222T21T

tTi e)t(f

t22

tz

0

)tt( tedtee 22

2

TE

)P,,(

222T11

tt

1T2121

tt

2T,1TT dttfdttfdtdtt,tf)t(F22


EE-240/2009

20. Covariança:

ddfmm

mymxE

yxyx

yxxy

,))((

))((

,

)()(

2

1exp

det2

12/1

mQmQ

f Tnx

21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q), nRx


EE-240/2009

22. Processos Estocásticos:

Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t RouZ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Exemplo de Processo Estocástico

tempo

x


EE-240/2009

23. Caracterização de Processos Estocásticos: tx

Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizara coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de

tx

,,,,

,,

321

21

,,321

,21

ttt

tt

t

xxx

xx

x

fttt

ftt

ft


EE-240/2009

Caracterização de Processos Estocásticos:


tx

,,,,

,,

321

21

,,321

,21

ttt

tt

t

xxx

xx

x

fttt

ftt

ft

x t1

x t2

x t3

x t4

x t5


EE-240/2009

23. Caracterização de Processos Estocásticos: tx


tx

,,,,

,,

321

21

,,321

,21

ttt

tt

t

xxx

xx

x

fttt

ftt

ft

24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito)

Um processo xt(.) é dito ser estacionário se, nttttn ,,,,, 21

nxxnxx tntttnttff

,,,, 1,,1,,

11


EE-240/2009

Exemplo:

t t

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Processo Não-Estacionário

tempo

x


EE-240/2009

Exemplo:

t t

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

6

8

10Processo Não-Estacionário

tempo

x


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25. Processos Estacionários no Sentido Amplo

Um processo xt(.) é dito ser estacionário no sentido amplo se,

,,2121

,, tttttt

ttt

xxxx

xx

ff

ff

Estacionário no Sentido Amplo

Estacionário noSentido Estrito


EE-240/2009

26. Função de Auto-Correlação

2121 , ttxx xxEttR

No caso de processo estacionário no sentido amplo:

tRttRttR xxxx 1221 ,


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

0

1

0 10 20 30 40 50 60-1

0

1

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

0

1

0 10 20 30 40 50 60-1

0

1

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-5

0

5

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60 80 100 120 1400.5

1

1.5

2

Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência


EE-240/2009

26. Função de Auto-Correlação

2121 , ttxx xxEttR

No caso de processo estacionário no sentido amplo:

tRttRttR xxxx 1221 ,

27. Ruído Branco

2121 tt xdeteindependenxtt

28. Ruído Gaussiano

gaussianasnteconjuntamexex tt 21


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26. Ruído Branco Gaussiano

Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0,

ydeteindependenxxyE 0

ttRx

Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão

Observação:

independência não-correlaçãonão-correlação independência


EE-240/2009

Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares

hk

uk yk

k

0iiikk uhy

k

0iuuik

k

0iijik

k

0iiikj

kjuy

)i,j(Rh

]uu[Eh

uhuE

]yu[E)k,j(R

ijuu )i,j(R

k

0ijkijikuy hh)k,j(R


EE-240/2009

hk

uk yk

*

E (.)

hi

iq


EE-240/2009

0 5 10 15 20 25 30-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350Resposta Impulso

k

h(k) 786.0z646.1z

0674.0z073.0)z(G 2

4.0

2

4s2.1s

4)s(G

n

2


EE-240/2009

Exemplos deProcessos Estocásticos


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15

-10

-5

0

5

10

15

Ruído Branco Gaussiano


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15

-10

-5

0

5

10

15

Ruído Branco Gaussiano

Nova Variança


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15

-10

-5

0

5

10

15

?

?

?

Outlier


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15

-10

-5

0

5

10

15

?

?

Novelty


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Alteração Brusca de Tendência


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15

-10

-5

0

5

10

15

?


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

Sinal dependente de variável manipulada...

y(t)

u(t)

y(t)u(t)

S


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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

y(t)u(t)

S

Ausência de Resposta pode ser Falha ...

y(t)

u(t)


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-5

0

5

10

Saturação


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6

-4

-2

0

2

4

6

Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído

Nova Variança do Ruído


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6

-4

-2

0

2

4

6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6

-4

-2

0

2

4

6

Qual a distribuição do ruído?

N(0,2)

U(-2,2)


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

0

10

20

30

40

50

Ruído aumentando com o tempo...


EE-240/2009

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Falhas Intermitentes ...


EE-240/2009

Muito Obrigado!

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