Problema 4.28 do livro do Symon -...

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Problema 4.28 do livro do Symon Nesta postagem, dou prosseguimento à resolução de problemas de mecânica clássica que iniciei com a postagem Problema 4-27 do livro do Symon. Desta vez, o assunto refere-se ao problema de dois corpos, aplicado para um sistema estelar binário. Introduzi algumas melhorias na videoaula, como um trecho em que desenho a figura explicativa do enunciado, além de uma apresentação inicial do título do vídeo e, no final, uma apresentação dos créditos. Ainda não incorporei acompanhamento musical a esta videoaula, mas pode ser que eu assim o faça nas próximas. Segue o enunciado do problema: Agora, a resolução, para acompanhar com o vídeo: Figura 1: Sistema binário. A primeira parte do problema envolve modificar a Eq. (3.267) do livro do Symon para o caso em que ambas as massas podem se mover. Então, temos um problema de dois corpos. Na postagem Massa reduzida vemos que a força gravitacional entre duas partículas continua sendo a mesma quando ambas as partículas são móveis. A única diferença ocorre quando usamos essa força na segunda lei de Newton, igualando-a com a massa reduzida vezes a aceleração do vetor posição relativa entre as duas partículas. Então, todas as fórmulas do 1

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Problema 4.28 do livro do SymonNesta postagem, dou prosseguimento à resolução de problemas de mecânicaclássica que iniciei com a postagem Problema 4-27 do livro do Symon. Destavez, o assunto refere-se ao problema de dois corpos, aplicado para um sistemaestelar binário. Introduzi algumas melhorias na videoaula, como um trechoem que desenho a figura explicativa do enunciado, além de uma apresentaçãoinicial do título do vídeo e, no final, uma apresentação dos créditos. Aindanão incorporei acompanhamento musical a esta videoaula, mas pode ser que euassim o faça nas próximas.

Segue o enunciado do problema:

Agora, a resolução, para acompanhar com o vídeo:

Figura 1: Sistema binário.A primeira parte do problema envolve modificar a Eq. (3.267) do livro do

Symon para o caso em que ambas as massas podem se mover. Então, temosum problema de dois corpos. Na postagem Massa reduzida vemos que a forçagravitacional entre duas partículas continua sendo a mesma quando ambas aspartículas são móveis. A única diferença ocorre quando usamos essa força nasegunda lei de Newton, igualando-a com a massa reduzida vezes a aceleraçãodo vetor posição relativa entre as duas partículas. Então, todas as fórmulas do

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problema decorrem da equação:

µd2 (r2 − r1)

dt2= − GMm

|r2 − r1|3(r2 − r1) . (1)

Quando a massa M está fixa, a massa reduzida fica igual à massa m, que écancelada na Eq. (1) e, no lugar do produto Mm, o que aparece é só M emtodas as fórmulas, inclusive na Eq. (3.267) do livro do Symon. Neste problema,no entanto,

µ =Mm

M +m, (2)

de forma que a Eq. (1) fica

Mm

M +m

d2 (r2 − r1)

dt2= − GMm

|r2 − r1|3(r2 − r1) ,

isto é,

d2 (r2 − r1)

dt2= −G (M +m)

|r2 − r1|3(r2 − r1) . (3)

Em todas as fórmulas, portanto, onde tínhamos apenas M para a situação emque só a massa m era móvel, agora devemos substituir M pela soma M +m.Com isso, a nova Eq. (3.267) fica

τ2 =4π2a3

G (M +m), (4)

onde a é a distância entre as duas partículas, ou o módulo do vetor posiçãorelativa entre as partículas.

Vamos agora resolver a segunda parte do problema 4.28. Neste problema,as massas são iguais e os dados do problema são a magnitude da velocidade dasestrelas, v, e o período τ. Assim, devemos calcular o valor de a e, usando a Eq.(4), encontrar o valor da massa estelar, M. Ora, da Fig. 1 vemos que

a = 2r (5)

e

v =2πr

τ. (6)

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5), obtemos

a =2vτ

2π=vτ

π. (7)

A Eq. (4), agora usando o valor de a da Eq. (7), fica

τ2 =4π2

G2M

v3τ3

π3. (8)

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Fazendo simplificações na Eq. (8), encontramos a massa estelar:

M =2v3τ

πG. (9)

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