Problema dos Carros

Dois automóveis partem ao mesmo tempo

de um ponto P, rumo a um ponto O de onde

regressam ao ponto de partida sem parar.

Ambos circulam com velocidade constante,

no entanto, um deles faz toda a viagem a 50

km/h enquanto que o outro faz a viagem de ida a

60 km/h e a de volta a 40 km/h.

Qual dos automóveis chega primeiro ao

ponto de onde ambos partiram?

Caso Particular:Suponhamos que a distância percorrida pelos carros seja de 60 km

Carro B vai a 60 km/h

Tempo de viagem do carro B= 1 h

Tempo de viagem do carro A= 1h 12 m

60 Km

Carro A

Carro B

Ida:Carro A vai a 50 km/h

1h 50 km

10 kmx

x = 0.2 h = 12 minutos

Assim, demora 1h a percorrer 50km.

Demora 12min a percorrer 10km.

Assim, demora 1h a percorrer 60km.

P O

Volta:

Carro A vai a 50 km/k

Análogo ao cálculo de Ida

Tempo de viagem = 1h 12m

Carro B vai a 40 km/h

1h 40 km

20 kmx

x = 0.5 h = 30 minutos

Tempo de viagem = 1h 30m

Portanto,

Tempo total da viagem do

carro A= 1h12m + 1h12m = 2h 24m

Tempo total da viagem do

carro B= 1h + 1h30m = 2h30m

O carro A chega primeiro.60 Km

Assim, demora 1h a percorrer 40km.

Carro A

Carro B

P O

Leis do movimento uniforme

v = velocidade =

dT

TTotal = TIda + TVolta

TIda =d Ida

v Ida

T Volta =

d Volta

v Volta

d - distância percorrida

T - tempo

Carro A Carro B

60 40 24total

d d dT = + =

50 50 25total

d d dT = + =

40volta

dT =

50volta

dT =

50ida

dT =

60ida

dT =

25 24

d d<Com

o , concluímos que o carro A chega primeiro.

Velocidades Médias:

Então,

, dida = dvolta = d

mAv = 50Km/ h

ida voltamB

ida volta

d +d v =2

T +T

mBv =ida volta

2d=

T +T

ida volta

2d=

d d+

v v

B(ida) B(volta)

B(ida) B(volta)

v v2

v +v

Portanto,

Logo, o carro A chega primeiro.

Concluindo,

emBv =48km/ h

mAv =50km/ h

mBv = 48km/ h60?40

2 =60+40

x

Caso Geral

v1 – velocidade na ida

v2 – velocidade na volta

mv =2d

T=

1 2

2dd dv v

=+

1 2

1 2

v v

v v2

+

A velocidade média calculada a partir de duas velocidades não é assim a média (aritmética) dessas velocidades, mas sim a sua média harmónica.

A velocidade média do carro será sempre menor que a do carro que mantém a velocidade dado que vm é máxima quando v1 = v2.

E se v1 for zero?

Assim, a velocidade média deste carro será zero e o outro carro chegará primeiro.

E se v1 tender para infinito?

2v2mBv = 1 2

1 2

vv2 =

v +v2

2

1

v2

v1+

v∞+1v

Representação Gráfica

Ponto P: Este ponto corresponde ao cruzamento entre os carros A e B.

Ponto Q: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B.

( ) Percurso do carro B

( ) Percurso do carro A

120

0 1 2 3 4 5

d

(km)

Tempo (h)

P

Q

E se os carros aos 120 Km continuarem em frente até atingir os 240 Km?

Ponto R: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B (neste caso, os automóveis não se cruzam) .

( ) Percurso do carro B

( ) Percurso do carro A

120

240

0 1 2 3 4 5 h

(Km)

d

Tempo (h)

R

Pela observação dos dois gráficos, verifica-se

que os carros A e B partem ao mesmo tempo e

que o carro B vai a uma velocidade maior que a do

carro A.

Ao quilómetro 120, nota-se uma ligeira

diminuição da velocidade do carro B o que

possibilita uma ultrapassagem do carro A

(representado nos pontos Q e R) que mantém a

velocidade.

E desta forma, o carro A termina a viagem

primeiro que o carro B tal como nos indicam os

dois gráficos.

Problema das torneiras

Um tanque tem duas torneiras. Uma

das torneiras demora 2 horas a enchê-lo,

enquanto que a outra demora 3 horas.

Quando abertas simultaneamente,

quanto tempo demorarão a enchê-lo?  

Temos

V – volume do tanque

T - tempo que demora a encher o tanque ( em horas)Torneira 1:

=1

V Vv =

T 2

Torneira 2:

=2

V Vv =

T 3

Vv = vazão =

T

Quando as torneiras são abertas em simultâneo, temos:

⇔5V V

=6 T

⇔6

T =5

Portanto, as torneiras abertas simultaneamente demorarão 1h12min a encher o tanque.

⇔V V V V

v= + =T 2 3 T

Caso não nos recordássemos desta fórmula poderíamos resolver o problema da seguinte forma:

Uma torneira demora 2h a encher um tanque

Demora 6h a encher 3 tanques

A outra torneira demora 3h a encher um tanque

Demora 6h a encher 2 tanques

Assim, as duas torneiras em simultâneo demoram 6h a encher 5 tanques.

Para determinar o valor que nos interessa basta aplicar uma regra de três simples.

6h

x

5 tanques

1 tanque

Portanto, as torneiras demorarão 1h12min a encher o tanque quando abertas simultaneamente.

.6

Então, x =5

Trabalho realizado pelo Grupo C:

Dainete Mendes nº 29434

Helena Correia nº 25674

Inês Martins nº 29223

Marta Sares nº 29739

Sara pereira nº 29640

Vera Damas nº 29153

Didáctica da Matemática 2005/2006

Docente: Henrique Guimarães