Problemas da F´ısica-Matematica´ Semana de Física – IF...

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Problemas da Fısica-Matematica

Semana de Física – IF-UFRJ

Rio de Janeiro - 2011

Rolci Cipolatti

Instituto de Matematica - UFRJ

– p. 1/134

Física-Matemática

• O quee Fısica-Matematica?

– p. 2/134

Física-Matemática

• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!

– p. 2/134

Física-Matemática

• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!• Diria que sao duas irmas que costuman andar de

maos dadas. . .

– p. 2/134

Física-Matemática


maos dadas. . .• E quando uma ajuda a outra, sao chamadas de

Fısica-Matematica.

– p. 2/134

Física-Matemática


maos dadas. . .• E quando uma ajuda a outra, sao chamadas de

Fısica-Matematica.• Nasceram siamesas, mas se separaram ja ha

algum tempo. . .

– p. 2/134

Física-Matemática

• As duas tem seus problemas existenciais.

– p. 3/134

Física-Matemática

• As duas tem seus problemas existenciais.• Os da Fısica,. . . perguntem aos fısicos!

– p. 3/134

Física-Matemática

• As duas tem seus problemas existenciais.• Os da Fısica,. . . perguntem aos fısicos!• Os da irma Matematica, posso sublinhar:

• No inıcio achava que era filosofia;• Hoje acha quee ciencia, embora sua irma

conteste isso;• Na duvida, pergunta se nao seria arte, ja que

possui uma beleza intrısica. . .• que so os iniciados podem apreciar.

– p. 3/134

Física-Matemática

• Resumindo:

– p. 4/134

Física-Matemática

• Resumindo:• Eu diria que Fısica-Matematicae aquele

momento especial em que a Fısica, de maosdadas com a Matematica, preve fenomenos quemais tarde sao comprovados pela experiencia.

– p. 4/134

Física-Matemática

• Resumindo:• Eu diria que Fısica-Matematicae aquele

momento especial em que a Fısica, de maosdadas com a Matematica, preve fenomenos quemais tarde sao comprovados pela experiencia.

• Exemplos:

• As ondas eletro-magneticas;• E = mc2;• Desvio da trajetoria da luz na presenca de

campo gravitacional;• Condensados de Bose-Einstein;• Buracos negros;

– p. 4/134

Problemas da Física-Matemática

• A conjectura de Saint-Venant;

– p. 5/134


• A conjectura de Saint-Venant;• Tomografia Computadorizada;

– p. 5/134


• A conjectura de Saint-Venant;• Tomografia Computadorizada;• Movimentos das camadas subterranes de sal.

– p. 5/134

Parte 1

A conjectura de Saint Venant

– p. 6/134

x

y

z

(a)

x

y

z

(b)

– p. 7/134

Módulo de Rigidez à Torção

Barra cilıdrica homogenea de secao retaΩ ⊂ IR2:

MΩ = 4µ

∫∫

Ω

|∇u(x, y)|2 dxdy,

−∇2u = 1 emΩ, u = 0 em∂Ω.

µ e o modulo de cizalhamento.

Referencia:L. Landau e E. Lifchitz: Theorie del’ Elasticite; Ed. Mir, 1967.

– p. 8/134

Módulo de Rigidez à Torção

Barra cilıdrica circular homogenea de secao retaΩ ⊂ IR2:

MΩ = 4µ

∫ ∫

Ω

|∇U(x, y)|2 dxdy,

−∇2U = 1 emΩ, U = 0 em∂Ω.

µ e omesmomodulo de cizalhamento.

– p. 9/134

Conjectura de Saint-Vénant

SeΩ e Ω temareas iguais, entao:

MΩ ≥ MΩ, ∀Ω

– p. 10/134

A formulação variacional

JΩ(v) =1

2

∫∫

Ω

|∇v(x, y)|2 dxdy −

∫∫

Ω

v(x, y) dxdy

u e solucao de

−∇2u = 1 emΩ, u = 0 em∂Ω.

se, e somente se

JΩ(u) ≤ JΩ(v)

para toda funcaov(x, y) que se anula no bordo deΩ

– p. 11/134

A formulação variacional

JΩ(V ) =1

2

∫∫

Ω

|∇V (x, y)|2 dxdy−

∫∫

Ω

V (x, y) dxdy

U e solucao de

−∇2U = 1 emΩ, U = 0 em∂Ω.

se, e somente se

JΩ(U) ≤ JΩ(V )

para toda funcaoV (x, y) que se anula no bordo deΩ

– p. 12/134

Conjectura de Saint-Vénant

MΩ ≥ MΩ

4µ

∫ ∫

Ω

|∇U(x, y)|2 dxdy ≥ 4µ

∫ ∫

Ω

|∇u(x, y)|2 dxdy,

para todoΩ ⊂ IR2 que tenha a mesmaarea deΩ.

– p. 13/134

A grande sacada: Simetrização de uma função

x

y

z

µv(t) := area((x, y) ∈ Ω ; |v(x, y)| ≥ t)

– p. 14/134


t

s

med(Ω)

max(v)t

µv(t)

s

t

max(v)

med(Ω)

v∗(s)

s

– p. 15/134


x

y

z

y

z

x

– p. 16/134


Para qualquerp ≥ 1:

∫∫

Ω

|v(x, y)|pdxdy =

∫∫

Ω

|v(x, y)|pdxdy,

∫∫

Ω

|∇v(x, y)|pdxdy ≤

∫∫

Ω

|∇v(x, y)|pdxdy.

⇓

JΩ(U) ≤ JΩ(u) ≤ JΩ(u)

– p. 17/134


JΩ(U) ≤ JΩ(u)

⇓

1

2

∫∫

Ω

|∇U(x, y)|2dxdy −

∫∫

Ω

U(x, y) dxdy ≤

1

2

∫∫

Ω

|∇u(x, y)|2dxdy −

∫∫

Ω

u(x, y) dxdy ≤

– p. 18/134


JΩ(U) ≤ JΩ(u)

⇓

−1

2

∫∫

Ω

|∇U(x, y)|2 dxdy ≤ −1

2

∫∫

Ω

|∇u(x, y)|2 dxdy.

⇓

MΩ ≥ MΩ

– p. 19/134

Iniciação à Física-Matemática

– p. 20/134

Parte 2

Tomografia Computadorizada

– p. 21/134

– p. 22/134

– p. 23/134

– p. 24/134

– p. 25/134

– p. 26/134

– p. 27/134

O quee Tomografia?

– p. 28/134

O que é a tomografia?

• Tomografia = tomos + graphein,• tomos = corte, talho; graphein = escrita, grafia

• Processo pelo qual se obtem uma representacaografica de secoes de um corpo tridimensional.

ω

Ω

– p. 29/134

O que é a tomografia?

• “Qualquer tecnica de geracao de imagens quesimule a estrutura interna de um corpo a partir dedados colhidos externamente”.

• O problema da reconstrucao do interior de umobjeto atraves de projecoes surge em variasareasdas ciencias, tais como diagnosticos medicos,pesquisa geologicas, microscopia, entre outros.

– p. 30/134

Tecnicas para Geracao de

Imagens em Medicina

– p. 31/134

Técnicas para Geração de Imagens para Medicina

• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);

• Ultra-sonografia;• Electrical Impedance Tomography – EIT;• Ressonancia Magnetica – MRI.

– p. 32/134

Técnicas para Geração de Imagens em Medicina Nuclear

• Single Photon Emission Tomography – SPECT,• Positron Emission Tomograpy – PET;

• Medicina Nuclear – Material radioativoe introduzido nopaciente e metabolizado peloorgao sob investigacao. Aradiacao gama emitidae registrada por uma camera SPECTque gira em torno do paciente. O tecnica PET funciona demodo analogo, sendo o agente metabolizado um emissor depositrons.

• Principal aplicacao: presenca e extensao de tumores.

– p. 33/134

Tomografia por Transmissao

– p. 34/134

CT: Tomografia por Transmissão

Gerador de Raios-X

Receptores

– p. 35/134

– p. 36/134

– p. 37/134

– p. 38/134

Um “ε” de historia

– p. 39/134

Um “ε” de história

Nada disso existiria se. . .

• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;

• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;

– p. 40/134


Nada disso existiria se. . .

• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;

• Essas tecnicas nao tivessem sido aplicadas namicroscopia eletronica, para a reconstrucao daestrutura de moleculas.

– p. 41/134


Uma etapa fundamental para o desenvolvimento dosprocessos de reconstrucao de imagens foi atingida em1963, a partir do trabalho de Allan Cormack, daUniversidade de Tufts, quando desenvolveuMODELOS MATEMATICOS que permitiram obterimagens muito mais precisas.

– p. 42/134


Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X, construıdoem 1972, por Hounsfield, nos laboratorios EMI,Inglaterra.

Por esses desenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.

– p. 43/134

Interacao dos Raios-X com Materia

– p. 44/134

Tipos de interação de Raios-X com a matéria

• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);

• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta

energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –

ECT);• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia

– ECT).

– p. 45/134

Espalhamento Coerente

foton incidente

foton espalhado

– p. 46/134

Efeito fotoelétrico

foton incidente

eletrofoton

radiacao caracterıstica

– p. 47/134

Espalhamento de Compton

foton incidente

foton espalhado

eletron

– p. 48/134

– p. 49/134

Modelo Matematico para CT

– p. 50/134

O Modelo Matemático para CT

O foton, considerado como partıcula, pode sercaracterizado por:

• sua localizacaox = (x1, x2, x3);• sua direcao de deslocamentoω = (ω1, ω2, ω3);• a energia de seu movimento.

– p. 51/134


A funcaoϕ(t, ω, x) denota a densidade de radiacaoemx, na direcaoω e no instantet. A quantidade defotons que se deslocam na direcaoω e que no instantet se encontram em uma regiaoV ⊂ IR3 e dada por

∫

V

φ(t, ω, x) dV.

– p. 52/134


Para estabelecer a equacao que descreve a dinamicada radiacao, precisamos introduzir o conceito deDensidade de Fluxo de Radiacao:

J(t, ω, x) = v0ϕ(t, ω, x)ω.

~n

~ω

v0

– p. 53/134


• Os fotons que NAO estao interagindo com ocorpo satisfazem a equacao do transporte:

∂ϕ

∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) = 0

• cuja solucao explıcita e:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω).

– p. 54/134

Onda Livre

– p. 55/134

Onda Livre

– p. 56/134

Onda Livre

– p. 57/134

Onda Livre

– p. 58/134

Onda Livre

– p. 59/134

Onda Livre

– p. 60/134

Onda Livre

– p. 61/134

Onda Livre

– p. 62/134


• No caso da interacao com o corpo, masdesconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao do transporte com termo de absorcao:

∂ϕ

∂t(t, ω, x)+ω·∇xϕ(t, ω, x)+q(x)ϕ(t, ω, x) = 0,

• cuja solucao explıcita e:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−∫

t

0q(x−sω)ds

• q(x) e o “coeficiente total de extincao”.

– p. 63/134

Onda Dissipada

– p. 64/134

Onda Dissipada

– p. 65/134

Onda Dissipada

– p. 66/134

Onda Dissipada

– p. 67/134

Onda Dissipada

– p. 68/134

Onda Dissipada

– p. 69/134

Onda Dissipada

– p. 70/134

Onda Dissipada

– p. 71/134


• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao linear de Boltzmann:

∂ϕ

∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x)

=

∫

§

f(x, ω, ω′)ϕ(t, ω′, x) dω′

• ondef(x, ω′, ω) e o “nucleo de colisao”.

– p. 72/134


• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, a solucao tem aforma:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x− tω)e−∫

t

0q(x−sω)ds + R(t, ω, x)

• Na pratica, considera-seR(t, ω, x) comoruıdo.

– p. 73/134


• Densidade de radiacao emitida dex na direcaoω:

Ie(x) = ϕ0(x)

• Densidade de radiacao detectada:

Id(x) = ϕ0(x)e−∫∞

−∞q(x−sω)ds

• Valor calculado:

lnIe(x)

Id(x)=

∫ ∞

−∞

q(x − sω)ds

– p. 74/134


O problema se reduza questao de determinarq(x) apartir do conhecimento de suas integrais de linha quepassam pela regiaoΩ

y

IRN

v

ω

x

J1

J2

ω⊥

– p. 75/134

A Transformada Raios-X

– p. 76/134

A Transformada Raio-X

• Problema:E possıvel determinar uma funcaoq(x) com domınio emΩ a partir de suas integraisde linha?

Pω[q](x) =

∫ ∞

−∞

q(x − sω) ds

• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.

– p. 77/134

Parte 3

Halocinese – movimento das camadas de sal

(Projeto IM-UFRJ – CENPES)

– p. 78/134

O modelo “Sedimento-Sal”

– p. 79/134


• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 80/134


• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL• Be — modelo de Mooney-Rivlin (não linear) :

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 80/134


• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL• Be — modelo de Mooney-Rivlin (não linear) :• Bv — modelo de Stokes (linear):

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 80/134


ρx − Div Tκ = ρκg emΩ × IR

Tκnκ = p emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,

Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,

+ condições iniciais

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 81/134

Notação

• κ : B → IR3 configuração de referência:

κ : B → Bκ ⊂ IR3 bijetora.

– p. 82/134

Notação

• κ : B → IR3 configuração de referência:

κ : B → Bκ ⊂ IR3 bijetora.• O movimento deB pode ser descrito por uma

família de aplicações a um parâmetro

χ : Bκ × IR → IR3.

X

Bκ

χ(·, t)−→

x

Bt

– p. 82/134

Notação

X

Bκ

χ(·, t)−→

x

Bt

• χ(·, t) descreve a deformação do corpo noinstantet em relação à configuração dereferência;

– p. 83/134

Notação

X

Bκ

χ(·, t)−→

x

Bt


• x = χ(X, t) descreve a posição do ponto materialX no instantet.

– p. 83/134

Notação

X

Bκ

χ(·, t)−→

x

Bt



• F = Gradχ denotas o gradiente de deformação

– p. 83/134

Notação

X

Bκ

χ(·, t)−→

x

Bt



• F = Gradχ denotas o gradiente de deformação

• Em coordenadasxi = χi(Xα, t) eFiα = ∂χi

∂Xα

.

– p. 83/134

Notação

• t 7→ χ(X, t) descreve a trajetória do pontomaterialX.

– p. 84/134

Notação


• Velocidade e Aceleração:

v(X, t) =∂

∂tχ(X, t) = χ(X, t)

a(X, t) =∂2

∂t2χ(X, t) = χ(X, t).

– p. 84/134

Notação


• Velocidade e Aceleração:

v(X, t) =∂

∂tχ(X, t) = χ(X, t)

a(X, t) =∂2

∂t2χ(X, t) = χ(X, t).

• F = Gradχ = Gradv, ou em coordenadas,

Fiα =∂vi

∂Xα

=∂vi

∂xj

∂xj

∂Xα

=∂vi

∂xj

Fjα.

– p. 84/134

As equações de movimento — descrição Euleriana

As equações do movimento são dadas por

ρx − div T = ρb,

ou, em coordenadas,

ρxi −∂

∂xj

Tij = ρbi, i = 1, 2, 3,

ondeT (x, t) é o Tensor de Tensões (Tensor deCauchy).

– p. 85/134

As equações de movimento — descrição Lagrangeana

Na configuração de referência, as equações domovimento se escrevem

ρ0x − Div Tκ = ρ0b,

onde• ρ0 = (det F )ρ

• Tκ = (det F )TF−T é o Tensor dePiola-Kirchhoff.

– p. 86/134

Equações Constitutivas

• Para materiais viscoelásticos, supõe-se queT (econseqüentementeTκ) é função deF e F , isto é,

T = F(F, F ) ⇐⇒ Tκ = Fκ(F, F ).

– p. 87/134

Equações Constitutivas

• Para materiais viscoelásticos, supõe-se queT (econseqüentementeTκ) é função deF e F , isto é,

T = F(F, F ) ⇐⇒ Tκ = Fκ(F, F ).

• Nas teorias constitutivas, duas condições sãoessenciais para se estabelecer restrições (físicas)nesta dependência com relação aF e F , a saber:• a objetividade euclidiana(EO);• o princıpio da indiferenca do material ao

referencial(MFI).

– p. 87/134

Deformações Quase-estáticas

Para processos muito lentos, (regimesquase-estaticos), x = 0:

−Div Tκ = ρ0b.

• Tκ não linear emF e F

– p. 88/134

Deformações Quase-estáticas

Para processos muito lentos, (regimesquase-estaticos), x = 0:

−Div Tκ = ρ0b.

• Tκ não linear emF e F

• Aproximações lineares podem ser consideradasno caso de pequena deformações.

– p. 88/134


ρx − Div Tκ = ρκg emΩ × IR

Tκnκ = p emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,


+ condições iniciais

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 89/134

O modelo “Sedimento-Sal” quase estático

−Div Tκ = ρκg emΩ × IR

Tκnκ = p emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,


u(X, t0) = u0(X) emΩ,

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 90/134

Aproximação Linear Incremental: o método ALI

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 91/134

Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”

• O espaço funcional

V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1

– p. 92/134


• O espaço funcional

V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1

• A forma linear

N (w) =

∫

Ω

ρκwigidV −

∫

Ω

∂wi

∂xj

T 0ijdV +

∫

Γ2

wipidΓ

– p. 92/134


As formas bilineares

K(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

(T 0ij+βδij)

∂uk

∂xk

dV −

∫

Ω

∂wi

∂xj

T 0ik

∂uj

∂xk

dV

L(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

Lijkl

∂uk

∂xl

dV,

M(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

Mijkl

∂uk

∂xl

dV

– p. 93/134


• O problema variacional

– p. 94/134


• O problema variacional• Dadou0 ∈ V, determinaru(X, t) satisfazendo

u(·, t0) = u0, u(·, t) ∈ V, ∀t ≥ t0

K(w, u)+L(w, u)+M(w, u) = N (w), ∀w ∈ V

– p. 94/134

Experimentos Numéricos

– p. 95/134

Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI

Modelo de Mooley-Rivlin para ocizalhamento puro emIR2

– p. 96/134


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 0

– p. 97/134


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 40

– p. 98/134


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 80

– p. 99/134


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 120

– p. 100/134

Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade doMétodo ALI

Modelo de Hencky (que generaliza a Lei deHooke)

T = T (B) = λ(tr e)I + 2µe

e =1

2(I − B−1) =

1

2(h + hT − hT h)

h = ∇xu

– p. 101/134

Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

L

– p. 102/134


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w0’

– p. 103/134


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w50’

– p. 104/134


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w100’

– p. 105/134


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w200’

– p. 106/134

Exemplo 3 – O Efeito do EmpuxoNa presença de empuxo – densidades

diferentes

– p. 107/134

Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=0’

– p. 108/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=100’

– p. 109/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=1000’

– p. 110/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=10000’

– p. 111/134

Exemplo 4 – O Efeito do EmpuxoNa ausência de empuxo – densidades iguas

– p. 112/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x0’

– p. 113/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x100’

– p. 114/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x1000’

– p. 115/134


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x10000’

– p. 116/134


Dinâmica deflagrada pela presença de umaperturbação na interface

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

– p. 117/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 0

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 10

– p. 118/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 20

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 30

– p. 119/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 40

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 60

– p. 120/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 80

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 100

– p. 121/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 120

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 140

– p. 122/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 150

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 200

– p. 123/134


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 250

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 1000

– p. 124/134

Exemplo 5 – Deformação da malha a 30 Ma

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 0

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 300

– p. 125/134

Exemplo 6 – Grandes Extensões

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 0

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 100

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 250

– p. 126/134


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 500

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 750

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1000

– p. 127/134


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1250

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

– p. 128/134


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

– p. 129/134


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 0

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 10

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 250

– p. 130/134


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 500

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 750

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1000

– p. 131/134


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1250

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

– p. 132/134


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

– p. 133/134

Obrigado

– p. 134/134

Problemas da F´ısica-Matematica´ Semana de Física – IF...

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