7/25/2019 Problemas de Geometria Do Gustavo

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Problemas de Geometria do Gustavo

1 Na figura, ABCD retngulo, M o ponto mdio de CD e o tringulo ABM e!il"tero# $endo AB % 1&, 'al'ule a medida de AP#

Se AB = 15, teremos ainda que AM = BM = AB, ento AM = 15.

Unindo-se os vrtices A e C, traamos a diagona do quadrado AC, que se

encontra com B! no centro, "ormando um outro tri#nguo, A!C, que $% &ossui duas

medianas agora traadas, AM e !'. (u se$a, ) o *aricentro deste tri#nguo.

Se "i+ermos A) = , )M = 15 , &eo teorema do *aricentro que AMA)3

2=

153

2=, 10=,

( Na figura, ) o ponto mdio de AB# )P paralelo a BC# $endo AC % *+ 'm,

determine a medida de P#

(*serve que os tri#nguos ABC e A) so seme/antes. !esta "orma, &odemos

mostrar que0

A)

AC

A.

AB=

A)m

m 302= cmA) 15=

!esta "orma, ) tam*m &onto mdio de AC, ou se$a, B) mais uma

mediana.reativa ao tri#nguo ABC, am da mediana C. m todo tri#nguo ret#nguo,

a mediana reativa 2 /i&otenusa igua 2 sua metade, ou se$a, em nosso caso, 15.

)eo teorema do *aricentro, )B)(3

1= . 3ogo, 15

3

1=)( 5=)(

* Na figura ao lado, ABCD um retngulo, M um ponto mdio de CD e o

tringulo ABM e!il"tero# Determine, em metros, a medida do segmento M$,sabendo ue AB % (1 m#

A B

D CM

P

A B)

C

P

A

-

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( racioc4nio em&regado o mesmo da questo 1. (u se$a, como 21=AB m,

teremos tam*m que, como ABM eqi%tero, mABBMAM 21=== .

Unindo-se os vrtices ! e B, "ormaremos a diagona !B, que se encontra no

centro com AC, no &onto '. Com duas medianas 6C' e BM7 no tri#nguo "ormado BC!,

o &onto S , na verdade, o *aricentro deste tri#nguo.

)eo teorema do *aricentro, tem-se que BMMS3

1= . !esta "orma, 21

3

1=MS

7=MS m.

. /m um tringulo ABC, de base BC igual a 0 'm, a soma das medianas dos

lados iguais 1 'm# $endo G o ponto de en'ontro dessas medianas, determine o

per2metro do tringulo GBC#

8a "igura &ro&osta, 18=+ CMB8 . Acontece que B8 e CM se

encontram em 9, dividindo-se cada um dees, em dois segmentos. 8o caso de B8 este

se divide em B9 e98

e, no caso deCM

, este se divide em C9 e 9M . Como 9 o *aricentro deste tri#nguo ABC, teremos que B8B9

3

2= e CMC9

3

2= . Como

18=+ C8B8 , teremos que 183

2=+C9B9 . 3ogo, teremos que o &er4metro do

tri#nguo 9B! ser% dado &or : ; 1< = 1 cm.

& $e o uadril"tero ABCD um paralelogramo e M o ponto mdio de AB,determine 3#

NM

B C

G

A

A B

CD

16

xP

M

-

A

BC

D

$

M -

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Unindo-se os vrtices ! e B, "ormar4amos a diagona !B, que se intersecciona

com AC no centro do &araeogramo em ' 6ou se$a, uma mediana &ara o "ormadotri#nguo A!B7.

( teorema do *aricentro nos garante que !M)M3

1= . 3ogo, teremos que0

( ),, += 163

1 ,, +=163 8=,

4 Determine o per2metro do tringulo A5$ da figura, onde AB e AC medem 1&

'm e 1 'm, respe'tivamente, sendo B) e C) as bissetri6es do ngulo B e C dotringulo ABC e 5$ paralelo a BC#

Se$am B e C so as *issetri+es dos #nguos B e C, res&ectivamente, e >S a

reta &araea a BC &assando &eo &onto .

Com e"eito, os #nguos >B e BC so iguais como aterno - internos.

)ortanto, >B is?scees e > = B>. Anaogamente, &rova-se que S = CS, $%

que CS tam*m is?scees.

3ogo, &rova-se que >S = B> ; CS.

( &er4metro de A>S ser% dado &or0 A> ; >S ; AS.

@% que A> = e AS = , teremos que B> = 15 e CS = 1 .

( &er4metro de A>S seria0 ; ; 615 7 ; 61 7 = cm.

A

B

5

C

$)