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PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO

EXTREMOS: MÁXIMOS E MÍ�IMOS

As questões de optimização estão relacionados com a escolha da melhor alternativa para a resolução de um problema com base em critérios particulares.

Os critérios de selecção mais usados na maioria das ciências são a maximização e a minimização, e.g., maximização dos lucros de uma empresa, minimização dos custos para produzir um determinado artigo.

Dada uma função objectivo ( )xfy = , os extremos podem ser classificados de várias formas:

Extremos relativos: máximos e mínimos relativos; Extremos absolutos: máximos e mínimos absolutos ou globais. Pode acontecer a não existência de extremos e.g., função constante.

TESTE DA 1ª DERIVADA

O cálculo da 1ª derivada ou da derivada de 1ª ordem é fundamental para determinar os extremos de uma função ( )xfy = .

Definição:

Diz-se que c é um ponto crítico de uma função f se ( )' 0f c = ou se

( )'f c não existe.

Se um extremo relativo ocorre em 0xx = , então ou ( ) 00' =xf ou ( )0

' xf não existe. Neste 2º caso (ver Figura 1), ambos os pontos A e B representam

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extremos relativos de y, no entanto as derivadas não estão definidas nesses pontos agudos. Daqui para a frente vamos excluir esta situação supondo que ( )xfy = é contínua e possui derivadas contínuas.

Na figura 2, A e B representam valores extremos, respectivamente um mínimo e um máximo ( ( ) 01

' =xf e ( ) 02' =xf ).

Assim, se a primeira derivada de uma função ( )xf no ponto 0xx = é ( ) 00

' =xf , então o valor da função nesse ponto ( )0xf é: um máximo relativo, um mínimo relativo, ou então não é nem um máximo nem um mínimo (ponto de inflexão). Quando possui o mesmo sinal em ambos os lados do ponto x0.

Se ( ) 0' >af , então ( )xf é crescente em ax = . Se ( ) 0' <af , então ( )xf é decrescente em ax = .

Exercícios

1. Achar os extremos relativos da função ( ) 83612 23 ++−== xxxxfy

Resolução:

( ) 36243 2' +−= xxxf . Para acharmos os valores críticos, i.e., os valores de x quando ( ) 0' =xf , igualamos a zero a função derivada quadrática obtendo a equação quadrática: 036243 2 =+− xx .

Resolvendo a equação do 2º grau, vem que 21 =x ( ( ) ( ) 402,02' == ff ), 62 =x ( ( ) ( ) 86,06' == ff ).

x

y

O

B

A

x

y

O

B

A

x1 x2

- +

+ -

Figura 1 Figura 2

20

É fácil verificar que ( ) 0' >xf para 2<x e que ( ) 0' <xf para 2>x na vizinhança imediata de x=2, portanto o valor correspondente da função ( ) 402 =f é um máximo relativo da função. Analogamente, já que ( ) 0' <xf para 6<x e ( ) 0' >xf para 6>x na vizinhança imediata de x=6,

o valor da função ( ) 86 =f é um mínimo relativo.

2. Achar o extremo relativo da função de custo médio ( ) 852 +−== QQQfCM .

Resolução:

( ) 52' −= QQf , igualando a 0 obtemos a equação linear 052 =−Q que possui a raiz única 5,21 =Q .

Para realizarmos o teste da 1ª derivada, vamos achar os valores da derivada em 4,2=Q e 6,2=Q .

( ) 02,04,2' <−=f e ( ) 02,06,2' >=f . Podemos concluir que o valor estacionário ( ) 75,15,2 == fCM representa um mínimo relativo e também absoluto.

3. Encontre os valores estacionários das seguintes funções (verifique se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. O domínio é IR.

a) 782 2 ++−= xxy b) 33 2 += xy

c) 263 2 +−= xxy d) xxy += 25

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TESTE DA 2ª DERIVADA

As derivadas de ordem superior nomeadamente de 2ª ordem possibilitam desenvolver critérios alternativos para localização dos extremos relativos de uma função.

A derivada de 2ª ordem pode ser representada por: ( )xf ' ' ou 2

2

dx

yd .

Se derivar a 2ª derivada obtenho a 3ª e assim por diante.

Exemplo

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) 0

96

696

34648

334316

13174

5

4

' ' '

2' '

23'

234

=

=

−=

+−=

++−=

−++−==

xf

xf

xxf

xxxf

xxxxf

xxxxxfy

Se pretender por exemplo conhecer o valor de ( )xf ' ' no ponto 0, fica ( ) 340 ' ' =f

Se ( ) 0'' >af , então ( )xf tem concavidade para cima em ax = . Se ( ) 0' ' <af , então ( )xf tem concavidade para baixo em ax = .

Exercícios

4. Calcular as primeiras 4 derivadas da função racional

( ) )1(, 1

−≠+

== xx

xxgy

Podemos tirar conclusões em relação à curvatura de uma determinada função num ponto se conhecermos as 1ª e 2ª derivadas nesse ponto.

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Se em

( ) ( ) A ponto 0 0 1' '

1'

1 <>= xfxfxx

( ) ( ) B ponto 0 0 2' '

2'

2 <== xfxfxx

( ) ( ) C ponto 0 0 3' '

3'

3 <<= xfxfxx

( ) ( ) D ponto 0 0 4' '

4'

4 ><= xgxgxx

( ) ( ) E ponto 0 0 5' '

5'

5 >== xgxgxx

( ) ( ) F ponto 0 0 6' '

6'

6 >>= xgxgxx

O teste da 2ª derivada para um extremo relativo diz que se a primeira derivada de uma função f no ponto 0xx = é ( ) 00

' =xf , então o valor da função nesse ponto ( )0xf é,

a) um máximo relativo se ( ) 00' ' <xf

b) um mínimo relativo se ( ) 00' ' >xf

c) se ( )' '0 0f x = , nada se pode concluir

Figura 1

23

Exercícios

5. Achar o extremo relativo da função ( ) xxxfy −== 24 .

Resolução:

( ) ( ) 8 18 ' '' =−= xfxxf

Igualando ( )xf ' a 0 e resolvendo a equação resultante, achamos o valor

crítico (único) 8

1=x que gera o valor estacionário (único)

6

1

8

1−=

f e

já que a segunda derivada é positiva (para todo o x), o extremo achado é um mínimo.

6. Achar os extremos relativos da função ( ) 23 23 +−== xxxgy .

Resolução:

Calculando as 1ª e 2ª derivadas,

( ) ( ) 66 63 ' '2' −=−= xxgxxxg

Igualando ( )xg ' a 0 e resolvendo a equação quadrática, obtemos os valores críticos 1x e 2x .

20063 212 =∨=⇔=− xxxx que por sua vez geram os dois valores

estacionários ( ) 20 =g (um máximo porque ( ) 060' ' <−=g ) e ( ) 22 −=g (um mínimo porque ( ) 062' ' >=g )

ESBOÇO DE GRÁFICOS

Alguns passos fundamentais a seguir para esboçar um gráfico:

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1. A partir de ( )xf , calcular ( )xf ' e ( )xf ' ' .

2. Localizamos em seguida todos os pontos de máximo e mínimo relativos fazendo em seguida um esboço parcial.

3. Estudamos a concavidade de ( )xf e localizamos todos os pontos de inflexão (quando ( ) 0' ' =xf ).

4. Outras propriedades do gráfico como por exemplo as intersecções com os eixos dos xx e yy.

Exercícios

7. Esboce o gráfico de uma função ( )xf que tenha as seguintes propriedades:

i) ( ) 43 =f ;

ii) ( ) ( ) ( ) 3 para 0 e 03 ,3 para 0 ''' ><=<> xxffxxf

8. Esboce o gráfico de uma função ( )xf que tenha as seguintes propriedades:

i) (2,3), (4,5) e (6,7) são pontos do gráfico

ii) ( ) ( ) 02 e 06 '' == ff

iii) ( ) ( ) ( ) 4 xpara 0 e 04 4, xpara 0 '' ' ' '' ><=<> xffxf

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9. O gráfico da função quadrática ( ) 24

1 2 +−= xxxf é uma parábola e,

portanto, tem um extremo relativo. Encontre esse ponto e esboce o gráfico.

10. Localize todos os extremos relativos no gráfico da função ( ) 53 23 +−= xxxf . Verifique a concavidade nesses pontos e utilize essa

informação para esboçar o gráfico de ( )xf .

11. Esboce o gráfico de xxxy 533

1 23 −+−= .

12. Esboce o gráfico de ( ) 152

3

6

1 23 ++−= xxxxf .

QUESTÕES DE OPTIMIZAÇÃO EM FU�ÇÕES COM

UMA VARIÁVEL

Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada está nos problemas de optimização, nos quais alguma quantidade pode ser maximizada ou minimizada. Estas aplicações podem ser utilizadas na maioria das áreas do conhecimento e.g., uma companhia aérea pretende decidir o número de voos diários entre duas localidades para maximizar os lucros; um médico pretende conhecer a quantidade mínima de droga que produzirá o efeito desejado nos seus pacientes; um fabricante precisa determinar a frequência com que equipamentos devem ser substituídos de forma a minimizar os custos de manutenção.

O objectivo passa por encontrar ou construir uma função que corresponda a um “modelo matemático” para o problema. Depois a partir do gráfico dessa função teremos possibilidade de responder ao problema de optimização.

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Exercícios

13. Encontre o valor mínimo da função ( ) 0 para 1924152 23 ≥++−= xxxxxf .

14. Uma pessoa quer plantar um jardim rectangular ao longo de um dos lados da casa e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado, utilizando 40 metros de cerca.

Nos anos recentes, as decisões económicas têm sido cada vez mais orientadas pela matemática. Em face de uma enorme quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas de diferentes variáveis, os analistas de negócios e economistas tem recorrido à ajuda de métodos estatísticos para descrever e compreender o que está a acontecer, prever os efeitos das várias políticas e para decidir estratégias razoáveis dentro de um enorme número de possibilidades. Entre os métodos utilizados está o Cálculo. Vamos de seguida estudar algumas destas aplicações do cálculo aos negócios e à economia.

Estas aplicações vão estar centradas em torno do que os economistas chamam de teoria da firma. Por outras palavras estudamos a actividade de um negócio ou de toda uma indústria e restringimos a análise a um período de tempo durante o qual as condições básicas (tais como fornecimento de matéria prima, salários, impostos) podem ser consideradas constantes.

Vamos ainda mostrar como o cálculo pode ajudar a administração de uma firma a tomar decisões vitais para a produção.

São utilizadas várias funções que passo a apresentar:

C(x) = custo para produzir x unidades de um produto

R(x) = facturação gerada pela venda de x unidades de um produto

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P(x) = R(x) – C(x) = lucro (ou perda) gerado pela produção e venda de x unidades de um produto.

Exercícios

15. Suponha que a função custo de um fabricante seja dada por C(x) = ( ) 10005x0,003xx10 236 ++−− euros.

Descreva o comportamento do custo marginal.

Esboce o gráfico de C(x).

Resolução:

As primeiras duas derivadas de C(x) são dadas por :

( ) 50,006x - x103 (x)C 26 -' +×=

( ) 0,006x106(x)C 6'' −×= −

Vamos em primeiro lugar esboçar o gráfico de (x)C ' . Do comportamento de (x)C ' , teremos condições de obter o gráfico de C(x). A função custo marginal ( ) 50,006xx103y 26 +−×= − tem como gráfico uma parábola com abertura para cima. 1.000),0,000006(x(x)Cy ''' −== podemos observar que a parábola tem uma tangente horizontal em x= 1000. A coordenada y correspondente é

( )( ) ( ) 2563510000,0061000103 26 =+−=+×−× −

Observando o gráfico (x)C ' podemos verificar que no início o custo marginal diminui, atingindo o seu mínimo de 2 no nível de produção 1000, aumentando depois. Isto corresponde à parte de a) . Vamos agora obter o gráfico de C(x). Podemos observar que o gráfico de (x)C ' nunca é zero logo podemos concluir que não existem extremos relativos.

Como (x)C ' é sempre positivo, C(x) é sempre crescente.

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Como (x)C ' é decrescente para x menor do que 1000 e é crescente para x maior do que 1000, temos que C(x) tem concavidade para baixo para x menor do que 1000 e concavidade para cima para x maior do que 1000 e possui um ponto de inflexão em x=1000.

Podemos ver que o ponto de inflexão de C(x) ocorre no mesmo valor de x para o qual o custo marginal é mínimo.

A maioria das funções custo marginal têm a mesma forma que a função custo marginal do exemplo anterior. Para x pequeno, o custo marginal diminui. Entretanto o aumento da produção eventualmente leva a horas-extra, utilização menos eficiente dos recursos de produção, instalações antigas e competição por matéria prima. Assim vemos que

(x)C ' inicialmente decresce e depois cresce.

Função facturação – De um modo geral num negócio interessa não apenas os seus custos mas também a sua facturação. Como vimos R(x) é a facturação recebida com a venda de x unidades de algum bem. A derivada (x)R ' é chamada de facturação marginal. Os economistas utilizam isso para medir a taxa de aumento da facturação por unidade de aumento das vendas.

16. Se x unidades de um produto são vendidas a um preço p por unidade, então a facturação total R(x) é dado por

R(x) = x.p.

Resolução:

A equação de procura de um certo produto é x2

1-6p = euros. Encontre

o nível de produção que resulta na facturação máxima.

Neste caso, a função facturação é

R(x) = x.p= 2x2

16xx

2

16x −=

− euros

A facturação marginal é

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x6(x)R ' −=

O gráfico de R(x) é uma parábola com abertura para baixo. Tem uma tangente horizontal no valor de x para o qual 0,(x)R ' = isto é, para x=6, o qual resulta numa facturação de 18 euros.

Exercícios

17. Uma Companhia Aérea oferece passeios turísticos em Lisboa. Um dos passeios, custa 7 euros por pessoa e tem uma procura média de 1000 turistas por semana. Quando o preço baixar para 6 euros, a procura semanal sobe para 1200 turistas. Supondo que a equação de procura seja linear, encontre o preço do passeio por pessoa que maximiza a facturação total em cada semana.

Funções Lucro – Tendo conhecimento da função custo C(x) e da função facturação R(x), podemos obter a função lucro P(x) de P(x) = R(x) –C(x)

Exercício

18. Suponha que a equação de procura de um comerciante é p= 100-0,01x e a função custo é C(x) = 50x+10000. Encontre o valor de x que maximiza o lucro e determina o preço correspondente e o lucro total para este nível de produção.

19. Refaça o exercício anterior com a condição que o governo cobra um imposto de 10 euros por unidade.

20. Dada a função custo C(x) = 1513x6xx 23 ++− , encontre o custo marginal mínimo.

21. A função facturação de uma firma que produz um único produto é

x8x

1600200R(x) −

+−=

Encontre o valor de x que resulta na facturação máxima.

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22. Uma empresa que produz um único produto estima que a sua função custo diário é ( ) 15136 23 ++−= xxxxC , e a sua função facturação é ( ) xxR 28= . Encontre o valor de x que maximiza o lucro diário.

23. Para qual x a função ( ) 24010 xxxg −+= tem o seu valor máximo?

24. Encontre o valor máximo da função ( ) 212 xxf −= e forneça o valor de x para o qual esse máximo ocorre.

25. Encontre o valor mínimo de ( ) 0,406 23 ≥+−= ttttf e forneça o valor de t para o qual o mínimo ocorre.

26. Para que t a função ( ) tttf 242 −= tem o seu valor mínimo?