Problemas de Valores de Contorno envolvendo Teoria de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

DANIEL EDUARDO SÁNCHEZ IBÁÑEZ

Problemas de Valores de Contorno envolvendoTeoria de Conjuntos Fuzzy

Campinas2018

Daniel Eduardo Sánchez Ibáñez

Problemas de Valores de Contorno envolvendo Teoria deConjuntos Fuzzy

Tese de Doutorado apresentada ao Institutode Matemática, Estatística e Computação Ci-entífica da Universidade Estadual de Campi-nas como parte dos requisitos exigidos para aobtenção do título de Doutor em MatemáticaAplicada.

Orientador: Laécio Carvalho de Barros

Este exemplar corresponde à versãofinal da Tese de Doutorado defendidapelo aluno Daniel Eduardo SánchezIbáñez e orientada pelo Prof. Dr. Laé-cio Carvalho de Barros.

Campinas2018

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CONICYTORCID: https://orcid.org/0000-0003-4660-5884

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467

Sánchez Ibáñez, Daniel Eduardo, 1980- Sa55p S_aProblemas de valores de contorno envolvendo teoria de conjuntos fuzzy /

Daniel Eduardo Sánchez Ibáñez. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.

S_aOrientador: Laécio Carvalho de Barros. S_aTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

S_a1. Problemas de valores de contorno. 2. Integrais fuzzy. 3. Números fuzzy.

4. Funções fuzzy. I. Barros, Laécio Carvalho de, 1954-. II. UniversidadeEstadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e ComputaçãoCientífica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Boundary value problems involving fuzzy set theoryPalavras-chave em inglês:Boundary value problemsFuzzy integralsFuzzy numbersFuzzy functionsÁrea de concentração: Matemática AplicadaTitulação: Doutor em Matemática AplicadaBanca examinadora:Laécio Carvalho de Barros [Orientador]Igor Leite FreireMarcos Eduardo Ribeiro do Valle MesquitaRodney Carlos BassaneziLuciana Takata GomesData de defesa: 04-06-2018Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Tese de Doutorado defendida em 04 de junho de 2018 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). LAÉCIO CARVALHO DE BARROS

Prof(a). Dr(a). IGOR LEITE FREIRE

Prof(a). Dr(a). MARCOS EDUARDO RIBEIRO DO VALLE MESQUITA

Prof(a). Dr(a). RODNEY CARLOS BASSANEZI

Prof(a). Dr(a). LUCIANA TAKATA GOMES

As respectivas assinaturas dos membros encontram-se na Ata de defesa

Dedicado às minhas três “kukis-kukis” que amo com todo o meu coração.

Agradecimentos

Agradeço a todos os professores e funcionários do Instituto de Matemática,Estatística e Computação Científica (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas(Unicamp) que têm me colaborado e apoiado em todos os passos (disciplinas e processos)no Doutorado.

Agradeço a todos os colegas do IMECC com quais formamos amizade, o qualfoi uma imprescindível ajuda nos estudos e vivenças diárias.

Agradeço a todas as famílias latinas e Chilenos da Unicamp que nós apoiamospara não sentir tão distante aos nossos países.

Agradeço ao meu caro Orientador, Prof. Laécio Carvalho de Barros, por todaa sua ajuda intelectual, experiente e de vida para afrontar os desafios da tese e produtosacadêmicos para congressos e revistas conseguidos.

Agradeço aos meus pais, Iván e Mónica, por ter me criado com amor e ensinadosempre a visão científica e social da vida.

Finalmente, agradeço muito especialmente à minha família, Carola, Alegría eLibertad, por iluminar o caminho a cada dia da minha vida, dando felicidade e amor. Elasforam a energia essencial (o motor de vida) pela qual eu tive a grande vontade e forçapara obter o Doutorado.

“Es tan poco lo que sabemosy tanto lo que presumimos

y tan lentamente aprendemos,que preguntamos, y morimos.”

(Por boca cerrada entran las moscas, Pablo Neruda)

ResumoEste trabalho trata de Problemas de Valores de Contorno (PVCs) envolvendo teoria deconjuntos fuzzy. Por um lado, estabelecemos uma fórmula de integração numérica, baseadanuma nova integral fuzzy inspirada na integral de Sugeno, cujos resultados fornecemboas aproximações para a integral de Riemann de funções monotônicas cuja imagem éo intervalo r0, ks com k ą 0. Tal fórmula é usada na integração numérica requerida pelométodo de elementos finitos para resolver (aproximadamente) PVCs determinísticos. Poroutro lado, investigamos soluções fuzzy para Problemas de Valores de Contorno fuzzy(PVCFs) lineares e unidimensionais, cujas condições de contorno são consideradas númerosfuzzy linearmente correlacionados (interativos), via o principio de extensão sup-J . Aquiprovamos que as soluções fuzzy obtidas via o principio de extensão sup-J para PVCFscom condições de contorno interativas estão contidas nas soluções fuzzy para PVCFs comcondições de contorno não interativas, isto é, quando a solução é obtida via o principio deextensão de Zadeh. Além disso, estudamos casos específicos de solução fuzzy para PVCFsnão lineares e para PVCFs lineares de ordem n. Adicionalmente, apresentamos soluçõesfuzzy via métodos numéricos, de elementos finitos e de diferenças finitas, para PVCFs cujaequação diferencial pode ter coeficientes variáveis e uma função fuzzy como termo de fonte.Finalmente, usamos essas metodologias em um problema de Biomatemática que descreveo processo de difusão de substâncias.

Palavras-chave: Problemas de valores de contorno, Integral de Sugeno, Conjuntos fuzzy,Problemas de valores de contorno fuzzy, Princípio de extensão, Números fuzzy interativos,Método de elementos finitos, Método de diferenças finitas, Função fuzzy.

AbstractThis work deals with Boundary Value Problems (BVPs) involving fuzzy set theory. Onthe one hand, we established a numerical integration formula based on a new fuzzyintegral, inspired by the Sugeno integral, whose results provide good approximations tothe Riemann integral of monotonic functions whose range is the interval r0, ks with k ą 0.This formula is used in the numerical integration required by the finite elements methodto solve (approximately) deterministic BVPs. On the other hand, we investigate fuzzysolutions for linear and unidimensional Fuzzy Boundary Value Problems (FBVPs), whoseboundary values are considered linearly correlated (interactive) fuzzy numbers, via thesup-J extension principle. Here, we prove that the fuzzy solutions obtained by means ofthe sup-J extension principle for FBVPs with interactive boundary values are contained inthe corresponding fuzzy solutions for FBVPs with non-interactive boundary values, that is,the solutions obtained using the Zadeh extension principle. In addition, we study specificcases of fuzzy solution for nonlinear FBVPs and for n-order linear FBVPs. Furthermore,we present fuzzy solutions using numerical methods, such as finite elements and finitedifferences, for FBVPs given by a linear differential equation with variable coefficientsand a fuzzy function as the source term. Finally, we use these methodologies to analyze aBiomathematics problem that describes the diffusion process of substances.

Keywords: Boundary value problems, Sugeno integral, Fuzzy sets, Fuzzy boundary valueproblems, Extension principle, Interactive fuzzy numbers, Finite element method, Finitedifference method, Fuzzy function.

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO . . . . . . . . . . . 151.1 Solução Analítica de um PVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.1 Método da Equação Característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.2 Método de Variação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Função de Green e Equação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Solução de um PVC via Método de Elementos Finitos . . . . . . . . 211.3 Solução de um PVC via Método de Diferenças Finitas . . . . . . . . 261.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY . . . . 302.1 Conjuntos e Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Medida e Integração Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Princípio de Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Interatividade Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Função e Derivadas Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 INTEGRAL FUZZY ADAPTADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1 Integral fuzzy adaptada e fórmula de integração numérica . . . . . . 533.2 Aplicação usando a teoria de conjuntos fuzzy na integração numé-

rica em MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Observações e outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA HISTÓRICA SOBRE PROBLEMASDE VALORES DE CONTORNO FUZZY . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1 Equação Integral como Solução para um PVCF . . . . . . . . . . . . 624.2 Esquemas da gH-diferenciabilidade para Soluções de um PVCF . . . 644.3 Metodologia de Gasilov para PVCFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Outras propostas de Solução para PVCFs . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO FUZZY . . . . . . . 715.1 Solução de um PVCF via Princípio de Extensão . . . . . . . . . . . . 715.2 Interatividade nas condições de contorno de um PVCF . . . . . . . . 75

5.3 Solução Interativa de um PVCF de ordem n . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Solução de um PVCF não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Solução de um PVCF via Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . 925.5.1 Solução de um PVCF via Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . 925.5.2 Solução de um PVCF via Método de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . 985.6 Questionamentos sobre soluções numéricas de PVCFs . . . . . . . . 1025.7 Aplicação de um PVCF na Biomatemática . . . . . . . . . . . . . . . 1075.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.1 Sobre integral fuzzy adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Sobre soluções para PVCFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Sobre produtos acadêmicos e continuação da pesquisa . . . . . . . . 113

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12

Introdução

Em múltiplas áreas das ciências e da engenharia são desenvolvidos modelosmatemáticos para compreender de melhor forma os fenômenos físicos observados nanatureza. Com frequência, tais modelos são descritos a partir de equações matemáticase, se houver interesse em sua dinâmica, essas equações podem envolver derivadas (comoconceito de taxa de variação instantânea) de uma função com relação a sua variávelindependente (que muitas vezes representa o tempo). Assim, as equações diferenciaissurgem em campos diversos como a física, economia, medicina, transporte, indústriaalimentícia, etc. [49, 54].

As equações diferenciais podem ser classificadas segundo os aspectos matemático-estruturais que elas possuem. Por exemplo, uma equação diferencial é dita ser ordinária,se apresentar derivadas com respeito a uma única variável independente, ou parcial, sedepende de mais de uma variável independente e envolve derivadas parciais. A ordem e adimensão de uma equação diferencial é apreciada na derivada de ordem maior e no númerode variáveis independentes presentes nela, respectivamente. Ainda, uma equação diferenciallinear é aquela cuja variável dependente e suas derivadas aparecem em combinações aditivasde suas primeiras potências. Caso contrário, são ditas equações diferencias não-lineares.

Além do que foi dito acima, os modelos matemáticos descritos por equaçõesdiferenciais podem ser caracterizados por condições limitantes sobre a região possível desolução (domínio) e condições iniciais nos espaços de atuação (um intervalo temporalrequerido) e passam a ser denominados como Problemas de Valores de Contorno (PVCs)e/ou Problemas de Valores Iniciais (PVIs), respectivamente.

Assim, a partir da teoria de equações diferenciais clássica, soluções determinís-ticas para PVCs e PVIs são amplamente abordadas e descritas em livros e/ou artigos dasáreas de interesse do fenômeno [49, 54]. Novas teorias matemáticas, como a Teoria de Con-juntos Fuzzy, podem ser utilizadas para interpretar novos tipos de solução e interpretaçãode resultados para aqueles problemas.

Esse texto é organizado em seis capítulos e nele apresentamos estudos acadê-micos para estabelecer e modelar soluções para PVCs que incluem a teoria de conjuntosfuzzy. Tal teoria é utilizada sob diferentes aspectos:

a) como ferramenta dentro de uma metodologia usada para produzir soluções numéricasde um PVC clássico, ou

b) como forma de configurar um PVC fuzzy (PVCF), por considerar uma função fuzzyna equação diferencial e/ou por considerar condições de contorno dadas por números

Introdução 13

fuzzy, e

c) para descrever formalmente a solução fuzzy de um PVCF.

Primeiramente, no Capítulo 1, caracterizamos os PVCs segundo métodosanalíticos e numéricos que são usados tradicionalmente para sua resolução determinística.Em particular, na Seção 1.1 apresentamos soluções analíticas para PVCs via os métodosda equação característica, de variação de parâmetros e da equação integral. Mais ainda,descrevemos as estruturas matriciais necessárias de resolução numérica (aproximada) paraum PVC, segundo o Método de Elementos Finitos (MEF), na Seção 1.2, e o Método deDiferenças Finitas (MDF), na Seção 1.3.

No Capítulo 2 estabelecemos a fundamentação teórica dos conjuntos fuzzy aser utilizada em todos os capítulos. Em particular, são estabelecidas definições e teoremassobre integração fuzzy, na Seção 2.2, e sobre interatividade fuzzy, na Seção 2.4, a usarcomo conceitos principais dos seguintes capítulos.

Seguidamente, no Capítulo 3, consideramos o uso de ferramental fuzzy naresolução de PVCs determinísticos através do MEF. Assim, na Seção 3.2, descrevemos eaplicamos uma fórmula de integração numérica requerida em MEF para obter uma soluçãoaproximada de um PVC. Tal fórmula é baseada numa nova integral fuzzy, adaptada einspirada na integral de Sugeno [65], definida na Seção 3.1 e proposta no intuito de seruma boa aproximação da integral de Riemann.

No Capítulo 4 desenvolvemos uma revisão histórica sobre pesquisas relacionadascom Problemas de Valores de Contorno fuzzy (PVCFs). Primeiramente, descrevemospropostas (e defeitos) de soluções analíticas para PVCFs a partir de resolver uma EquaçãoIntegral, na Seção 4.1, e no uso de esquemas baseados na gH-diferenciabilidade, na Seção4.2. Logo, visualizamos uma metodologia (de Gasilov et al. [30]), na Seção 4.3 para resolverPVCFs, sob certas condições específicas, e outras propostas de solução para PVCFsbaseadas em métodos numéricos, na maioria dos casos, na Seção 4.4.

Posteriormente, no Capítulo 5, descrevemos e formalizamos soluções paraPVCFs, lineares e de 2a ordem, via princípio de extensão, de Zadeh ou sup-J , considerandoas condições de contorno como números fuzzy não interativos ou interativos, na Seção 5.1e na Seção 5.2 respectivamente. Em continuação, estendemos as soluções interativas paraPVCFs lineares de ordem n e procuramos a solução para um PVCF não linear, na Seção 5.3e na Seção 5.4 respectivamente. Adicionalmente, procuramos soluções fuzzy aproximadasvia métodos numéricos (MEF e MDF), na Seção 5.5, para PVCFs que consideram umafunção fuzzy como elemento da equação diferencial do problema e/ou condições de contornomodeladas por números fuzzy. Também, na Seção 5.6 esboçamos comentários sobre algunsquestionamentos relacionados com o uso dos esquemas intervalares nos métodos numéricos(da Seção 5.5) e a relação dessas soluções numéricas quando comparadas com as soluções

Introdução 14

interativas para um mesmo PVCF. Por último, na Seção 5.7 descrevemos uma soluçãofuzzy para um exemplo biomatemático usando as metodologias anteriormente descritas.

Finalmente, enunciamos um último Capítulo 6 de considerações finais sobreos estudos desenvolvidos, indicando os resultados acadêmicos conseguidos e descrevendoperspectivas de trabalhos futuros.

A seguir, um diagrama que resume o trabalho, isto é, o desenvolvimento dapresente Tese, é visualizado em Figura 1.

Figura 1 – Diagrama da Tese: Problemas de Valores de Contorno envolvendo Teoria deConjuntos fuzzy.

Os principais resultados da Tese são refletidos nos retângulos (blocos) inferioresdo diagrama da Figura 1. Por um lado, destacamos a criação de uma nova integralfuzzy adaptada que, quando comparada com a integral de Sugeno, pode ser aplicadanuma maior variedade de funções permitindo, paralelamente, obter resultados aproximadosdos valores obtidos pela integração usual de Riemann. Pelo outro lado, destacamos aformalização e o uso do princípio de extensão sup-J como uma nova metodologiapara determinar soluções fuzzy para Problemas de Valores de Contorno Fuzzy (PVCFs)com condições de contorno considerados como números fuzzy interativos.

15

1 Problemas de Valores de Contorno

Em diversas áreas das ciências - como matemática, física e engenharia, entreoutras - são amplamente usados os Problemas de Valores de Contorno (PVCs), os quaissão apresentados por uma equação diferencial e condições impostas à função solução daequação diferencial nas bordas da região onde ela esta definida [49].

Figura 2 – Sobre PVCs: Exemplo de solução para problema do cabo suspenso (esquerda),e Região genérica de solução e condições de contorno de Dirichlet em Γ1 e deNeumann em Γ2 (direita). Fonte [54].

Uma solução de um PVC é uma função que satisfaz, conjuntamente, a equaçãodiferencial e as condições de contorno estabelecidas. Por exemplo, em Figura 2a temos umafunção solução u “ upxq de uma equação diferencial do tipo u2pxq “ fpxq e condições decontorno dadas por up0q “ h0 e upaq “ h1 (alturas estabelecidas nos contornos do cabo).Portanto, o PVC que modela o problema do cabo suspenso é descrito da forma

$

&

%

u2pxq “ fpxq , 0 ď x ď a ,

up0q “ h0 , upaq “ h1 .(1.1)

As condições de contorno mais usadas são as de Dirichlet e de Neumann (verFigura 2b). Enquanto as condições de Dirichlet especificam o valor da função no contorno,a condição de contorno de Neumann especifica a derivada normal à função no domínio, ouseja, é um fluxo. Nesse trabalho utilizaremos só condições de contorno de Dirichlet (comoem (1.1)) [49, 54].

Sob certas condições de ordem, linearidade e/ou homogeneidade da equaçãodiferencial modelada, métodos analíticos – como o método da equação característica e/ouo método de variação de parâmetros – podem ser utilizados para estabelecer a solução deum PVC. Porém, quando não é possível achar uma solução analítica, métodos numéricos –como o método de diferenças finitas ou o método de elementos finitos – são amplamenteusados para determinar soluções aproximadas de um PVC [54].

Capítulo 1. Problemas de Valores de Contorno 16

1.1 Solução Analítica de um PVCNessa Seção descrevemos, de forma resumida, o uso da teoria matemática

clássica de resolução de equações diferenciais lineares de 2a ordem, para obter uma soluçãoanalítica (determinística) de um PVC. Esta Seção é baseada, principalmente, nas referências[49, 54].

Considere um PVC (clássico) que envolve uma equação diferencial linear de2a ordem, não homogênea em x P ra, bs Ď R, com condições de contorno upaq “ ua eupbq “ ub, onde ua, ub P R, dado por

$

&

%

kpxqu2pxq ` ppxqu1pxq ` qpxqupxq “ fpxq ,

upaq “ ua , upbq “ ub .(1.2)

Sob certas condições para kpxq, ppxq, qpxq e fpxq, a solução geral de (1.2),considerando o princípio de superposição [54], é

upxq “ uP pxq ` c1u1pxq ` c2u2pxq , (1.3)

onde uP é uma solução particular de (1.2) e u1, u2 são soluções linearmente independentesdo problema homogêneo associado (quando fpxq “ 0). Duas soluções, u1 e u2, da mesmaequação diferencial linear e homogênea, são linearmente independentes sobre o intervalora, bs Ď R se, e somente se, o seu Wronskiano

W pxq “

∣∣∣∣∣∣∣u1pxq u2pxq

u11pxq u12pxq

∣∣∣∣∣∣∣ “ u1pxqu12pxq ´ u2pxqu

11pxq ,

é não nulo (W ‰ 0) no intervalo ra, bs.

As constantes c1 e c2 da Equação (1.3) são obtidas a partir das condições decontorno ua e ub, e dadas por

c1 “u2pbqpua ´ uP paqq ´ u2paqpub ´ uP pbqq

u1paqu2pbq ´ u2paqu1pbq, e

c2 “u1paqpub ´ uP pbqq ´ u1pbqpua ´ uP paqq

u1paqu2pbq ´ u2paqu1pbq.

(1.4)

Porém, a obtenção analítica das soluções linearmente independentes, u1 e u2,fica restringida ao uso do método da equação característica, no caso em que a equaçãodiferencial do PVC (1.2) tem coeficientes constantes, isto é, quando as funções reais kpxq,ppxq e qpxq são valores numéricos constantes [54]. Além disso, no caso não homogêneo(fpxq ‰ 0), a obtenção analítica da solução particular, uP , da equação diferencial doPVC (1.2) pode ser obtida com o uso do método de variação de parâmetros [54]. Brevesdescrições dos métodos analíticos mencionados acima são apresentadas a seguir.


1.1.1 Método da Equação Característica

Considere a forma homogênea (fpxq “ 0) da equação diferencial de (1.2), comfunções constantes kpxq “ k, ppxq “ p e qpxq “ q, dada por

k u2pxq ` p u1pxq ` q upxq “ 0 . (1.5)

Se substituímos upxq “ emx em (1.5), obtemos

km2emx ` pmemx ` qemx “ 0 ô emx`

km2` pm` q

˘

“ 0 .

Como emx ‰ 0, obtemos a equação auxiliar associada à (1.5), chamada equaçãocaracterística [49] e dada por

km2` pm` q “ 0 . (1.6)

Em consequência, upxq “ emx é uma solução da Equação (1.5) se, e somentese, m satisfaz a Equação (1.6) [49]. Uma vez que a equação característica é quadrática,suas raízes são

m1 “´p`

?p2 ´ 4kq

2k e m2 “´p`

?p2 ´ 4kq

2k .

Assim, a partir dos valores das raízes, duas soluções, u1 e u2, linearmenteindependentes para a Equação (1.5) são possíveis de obter [49, 54].

• Se o discriminante p2´ 4kq é positivo, as raízes m1 e m2 são reais e distintas, então

u1pxq “ em1x e u2pxq “ em2x .

• Se p2´ 4kq “ 0, as raízes são reais e iguais, isto é, m1 “ m2 “ m, então

u1pxq “ emx e u2pxq “ xemx .

• Se p2´ 4kq ă 0, as raízes são complexos conjugados da forma m “ γ ˘ iη, então

u1pxq “ eγx cospηxq e u2pxq “ eγxsenpηxq .

Uma vez conhecidas as soluções linearmente independentes u1, e u2, é possívelobter uma solução particular para (1.2) pelo método descrito a seguir.

1.1.2 Método de Variação de Parâmetros

O método variação de parâmetros, proposto por Joseph Lagrange em 1774 [49],trata da obtenção de uma solução particular para problemas como (1.2), isto é, achar umasolução de uma equação diferencial de 2a ordem, linear e não homogênea, da forma

kpxqu2pxq ` ppxqu1pxq ` qpxqupxq “ fpxq . (1.7)


Para tal fim, precisamos das soluções linearmente independentes, u1 e u2, daequação homogênea associada a (1.7), isto é, de

kpxqu2pxq ` ppxqu1pxq ` qpxqupxq “ 0 , (1.8)

as quais podem ser obtidas pelo método da equação característica, descrito na Subseção1.1.1, se os coeficientes são constantes como na Equação (1.5).

O método de variação de parâmetros assume que a solução particular tem aforma

uP pxq “ v1pxqu1pxq ` v2pxqu2pxq . (1.9)

onde v1 e v2 são funções a se obter [54]. Substituindo a solução proposta (1.9) em (1.7)obtemos uma equação diferencial de 2a ordem de duas incógnitas (v1 e v2) e, portanto, oprocesso impõe um requerimento extra dado por [54]

v11pxqu1pxq ` v12pxqu2pxq “ 0 . (1.10)

Assim, considerando a Equação (1.10) e que as soluções u1 e u2 satisfazema Equação (1.8), obtemos e resolvemos um sistema linear, em termos de v11pxq e v12pxq,estabelecido por [49]

v11pxqu1pxq ` v12pxqu2pxq “ 0 ,

v11pxqu11pxq ` v

12pxqu

12pxq “

fpxq

kpxq,

e integramos, pela regra de Cramer [49], para obter:

v1pxq “

ˆ´fpxqu2pxq

kpxqW pxqdx e v2pxq “

ˆfpxqu1pxq

kpxqW pxqdx . (1.11)

Finalmente, substituímos as funções obtidas por (1.11) em (1.9) para determinaruma solução particular de (1.7) pelo método de variação de parâmetros [49].

Contudo, usando integrais definidas com limite superior e inferior convenientesem (1.11) e introduzindo as funções u1pxq e u2pxq dentro dessas integrais, podemos obteruma única fórmula (fechada) para a solução particular da Equação (1.9), como segue

Teorema 1.1. [49, 54] Sejam u1pxq e u2pxq soluções linearmente independentes de (1.8)com Wronskiano W pxq “ u1pxqu

12pxq ´ u2pxqu

11pxq. Então

uP pxq “

ˆ b

a

Gpx, zq fpsq ds

é uma solução particular da equação não homogênea (1.7), onde G é a função de Greendefinida por

Gpx, sq :“

$

’

’

&

’

’

%

u1psqu2pxq

kpsqW psq, a ď s ă x ,

u2psqu1pxq

kpsqW psq, x ď s ď b .

(1.12)


De modo ilustrativo, apresentamos um exemplo para resolver um PVC deter-minístico através dos métodos analíticos descritos acima.

Exemplo 1.1. [49] Determinar a solução geral do PVC de 2a ordem, linear e não homo-gêneo, dado por

$

&

%

´u2pxq “ x , 0 ď x ď π ,

up0q “ 0 , upπq “ 0 .(1.13)

Uma vez que a equação diferencial do problema apresenta coeficientes constantes,podemos usar o método da equação característica, da subseção 1.1.1, para determinar aexistência de duas raízes sendo números reais iguais, m1 “ m2 “ m “ 0, que determinamas soluções linearmente independentes u1 “ 1 e u2 “ x.

Assim, pelo Teorema 1.1, com kpxq “ ´1 e determinando o Wronskiano

W “ 1 ¨ 1´ x ¨ 0 “ 1 ,

temos que a função de Green para o problema (1.13) é dada por

Gpx, sq “

$

’

&

’

%

1 ¨ x´1 , 0 ď s ă x ,

s ¨ 1´1 , x ď s ď π .

e a solução particular, com fpxq “ x, é dada por

uP pxq “

ˆ x

0´x ¨ s ds `

ˆ π

x

´s2 ds “ ´x3

6 ´π3

3 .

Logo, a partir de (1.4) temos que

c1 “πp0` π3

3 q ´ 0 ¨ p0` π3

2 q

1 ¨ π ´ 0 ¨ 1 “π3

3 ,

c2 “1 ¨ p0` π3

2 q ´ 1 ¨ p0` π3

3 q

1 ¨ π ´ 0 ¨ 1 “π2

6 .

Portanto, a solução geral do problema (1.13) é

upxq “π3

3 `π2

6 x´x3

6 ´π3

3 “ x

ˆ

π2 ´ x2

6

˙

.

1.1.3 Função de Green e Equação Integral

Sob certas características, como continuidade em x P ra, bs de todas as funçõesna equação diferencial, alguns PVCs da forma

$

&

%

u2pxq “ ´fpx, upxq, u1pxqq , a ď x ď b ,

upaq “ 0, upbq “ 0 ,(1.14)


são classificados e chamados de problemas de Sturm-Liouville [49]. Esses problemas podemser abordados em forma direta com a Função de Green estabelecida considerando soluçõeslinearmente independentes que contemplam as condições de contorno (homogêneas) doproblema, da forma [49]

Gpx, sq :“

$

’

’

&

’

’

%

ps´ aqpb´ xq

b´ a, a ď s ă x ,

pb´ sqpx´ aq

b´ a, x ď s ď b ,

(1.15)

para representar a solução geral do PVC (1.14), através de uma equação integral, dadapor

upxq “

ˆ b

a

Gpx, sq fps, upsq, u1psqq ds . (1.16)

Exemplo 1.2. Para o PVC do Exemplo 1.1, segundo (1.15), temos a função de Greenestabelecida como

Gpx, sq “

$

’

’

&

’

’

%

s ¨ pπ ´ xq

π, 0 ď s ă x ,

pπ ´ sq ¨ x

π, x ď s ď π .

e a solução geral do PVC (1.13), com fpxq “ x, é dada por

upxq “

ˆ x

0

s pπ ´ xq

πs ds `

ˆ π

x

pπ ´ sqx

πs ds “ x

ˆ

π2 ´ x2

6

˙

, (1.17)

isto é, a mesma solução geral obtida pela combinação dos métodos da equação característicae de variação de parâmetros apresentados no Exemplo 1.1.

Uma representação gráfica da solução analítica obtida no Exemplo 1.1 (mesmasolução obtida pela equação integral em (1.17)) é visualizada na Figura 3.

Contudo, soluções analíticas de um PVC determinístico são restritas e limi-tadas para certo tipo de equações diferenciais (segundo a sua ordem, linearidade e/ouhomogeneidade).

Adicionalmente, mesmo que soluções linearmente independentes do problemahomogêneo sejam dadas, nem sempre é possível estabelecer limites de integração adequa-dos, em (1.11), nem utilizar a função de Green (1.12) quando são estabelecidas funçõesdemasiado complicadas a integrar. Sob essas condições, métodos numéricos, como o métodode elementos finitos, em Seção 1.2, ou o método de diferenças finitas, em Seção 1.3, sãoindicados para resolver um PVC determinístico de forma aproximada.

Por último, cabe mencionar que a solução dada pela equação integral, obtida apartir da função de Green, e parte dos métodos abordados anteriormente, nessa Seção 1.1,formam base dos primeiros trabalhos científicos realizados para achar uma solução fuzzy(analítica) para PVCs fuzzy (PVCFs), como veremos no Capítulo 4.


0 /4 /2 3 /40

0.5

1

1.5

2

Figura 3 – Solução analítica do PVC (1.13) do Exemplo 1.1, via método da equaçãocaracterística e variação de parâmetros, no domínio x P r0, πs.

1.2 Solução de um PVC via Método de Elementos FinitosNessa Seção, tratamos em especial do uso do Método de Elementos Finitos

(MEF) de Galerkin para obter uma solução aproximada de um PVC [6, 45]. Para issovamos nos ater ao caso de um PVC linear, de 2a ordem e com condições de contornoDirichlet homogêneas, que modela a equação de Poisson unidimensional [61]

$

&

%

´u2pxq “ fpxq , a ď x ď b ,

upaq “ 0 , upbq “ 0 .(1.18)

Para resolver o PVC (1.18) por meio do MEF de Galerkin multiplicamos aequação diferencial do problema por uma função “teste” do espaço V 0 (espaço de Sobolev,que considera as condições de contorno [6]) definido como

V 0“

"

vp¨q :ˆ b

a

pvpxq2 ` v1pxq2qdx ă 8, vpaq “ vpbq “ 0*

,

e integramos sobre ra, bs, que é o domínio da solução u. Assim, devemos encontrar u P V 0

tal que

´

ˆ b

a

u2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx, @ v P V 0.

Integrando por partes, uma vez que vpaq “ vpbq “ 0, temos

´

ˆ b

a

u2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

u1pxqv1pxqdx´ ru1pxqvpxqsba “

ˆ b

a

u1pxqv1pxqdx .

Dessa forma, obtemos a formulação variacional do problema (1.18), isto é, devemosencontrar u P V 0 que satisfaz [6]ˆ b

a

u1pxqv1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx, @ v P V 0. (1.19)


x0 = a x

1x

2x

i-1x

ix

i+1x

n-1x

nx

n+1 = b

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 4 – Funções de base, lineares por partes, do espaço V 0h .

Assim, resolver o PVC (1.18) é equivalente a resolver um problema na formula-ção variacional, conforme a Equação (1.19) [6].

Uma vez que u P V 0 (com V 0 um espaço de dimensão infinita), desejamosconstruir uma solução aproximada uh P V 0

h , sendo V 0h um espaço de dimensão finita [45].

Para tal fim, consideramos a partição

τh : a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn ă xn`1 “ b ,

do intervalo ra, bs em subintervalos rxi´1, xis, com comprimento hi “ xi ´ xi´1, parai “ 1, 2, ..., n ` 1. Agora, podemos definir o espaço de solução (aproximada), isto é, oespaço de elementos finitos [45]:

V 0h :“ tvh : vh é função linear por partes e contínua sobre τh, vhpaq “ vhpbq “ 0u .

Logo, considerando uma partição homogênea, isto é, para hi “ h com h ‰ 0,introduzimos as funções de base, conhecidas como funções chapéus (ver Figura 4), tϕiuni“1

[6, 45],

ϕipxq “

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

x´ xi´1

h, xi´1 ď x ă xi ,

xi`1 ´ x

h, xi ď x ď xi`1 ,

0 , caso contrário .

(1.20)

Assim, a formulação de elementos finitos (ou formulação variacional discreta)[6, 45] consiste em encontrar uh P V 0

h , tal queˆ b

a

u1hpxqv1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx, @ v P V 0h .

A partir das funções de base ϕj do espaço V 0h , podemos estabelecer uh (a

solução aproximada) como combinação linear das funções ϕj, com coeficientes constantes


ξj, ou seja,

uhpxq “nÿ

j“1ξjϕjpxq e u1hpxq “

nÿ

j“1ξjϕ

1jpxq . (1.21)

Portanto, já que uhpxq é uma aproximação de upxq, temos:nÿ

j“1ξj

ˆˆ b

a

ϕ1jpxqv1pxqdx

˙

“

ˆ b

a

fpxqvpxqdx, @ v P V 0h .

Dado que v P V 0h , escolhemos vpxq “ ϕipxq para i “ 1, 2, .., n. Logo, para

encontrar ξj, com j “ 1, 2, ..., n, temos quenÿ

j“1

ˆˆ b

a

ϕ1jpxqϕ1ipxqdx

˙

ξj “

ˆ b

a

fpxqϕipxqdx ,

Isto resulta em um problema discreto, representado por um sistema linear deequações, de forma matricial [6, 45]

Aξ “ b , (1.22)

em que a matriz (de rigidez), A “ raijsni,j“1 P Rnˆn, é dada por

aij “

ˆ b

a

ϕ1ipxqϕ1jpxqdx , (1.23)

seguida do vetor ξ “ rξjsnj“1 P Rn, e o vetor (de carga) b “ rbisni“1 P Rn, dado por

bi “

ˆ b

a

fpxqϕipxqdx . (1.24)

Desse modo, na resolução do Sistema (1.22), devemos obter os valores dasintegrais apresentadas. Logo, ao utilizar as funções de base (1.20), com tϕ1iu

ni“1 definida

como

ϕ1ipxq “

$

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

%

1h, xi´1 ď x ă xi ,

´1h, xi ď x ď xi`1 ,

0 , caso contrário ,

obtemos os coeficientes, descritos na Equação (1.23), da matriz de rigidez A, para j “ i,com i “ 1, 2, ..., n,

aii “

ˆ b

a

ϕ1ipxqϕ1ipxqdx “

ˆ xi

xi´1

ˆ

1h¨

1h

˙

dx`

ˆ xi`1

xi

ˆ

´1h¨´1h

˙

dx “2h, (1.25)

e para j “ i´ 1, com i “ 2, 3, ..., n,

ai,i´1 “

ˆ b

a

ϕ1ipxqϕ1i´1pxqdx “

ˆ xi

xi´1

ˆ

1h¨´1h

˙

dx “ ´1h. (1.26)


Logo, por simetria temos que ai´1,i “ ai,i´1 e pela composição da base utilizadaconcluímos que aij “ 0 para |i´ j| ą 1.

Finalmente, podemos obter o vetor de carga b em (1.24), usando a regra simplesde integração numérica dos trapézios:

bi “

ˆ b

a

fpxqϕipxqdx “

ˆ xi

xi´1

fpxqϕipxqdx`

ˆ xi`1

xi

fpxqϕipxqdx

“

ˆ xi

xi´1

fpxq´x´ xi´1

h

¯

dx`

ˆ xi`1

xi

fpxq´xi`1 ´ x

h

¯

dx (1.27)

«xi ´ xi´1

2 fpxiq `xi`1 ´ xi

2 fpxiq “ hfpxiq .

Portanto, a configuração matricial final do sistema (1.22), com fpxiq “ fi, é

A “1h

»

—

—

—

—

—

—

—

–

2 ´1 0 ¨ ¨ ¨ 0´1 2 ´1 . . . ...0 ´1 2 . . . 0... . . . . . . . . . ´10 ¨ ¨ ¨ 0 ´1 2

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

, ξ “

»

—

—

—

—

—

—

—

–

ξ1

ξ2...

ξn´1

ξn

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

e b “ h

»

—

—

—

—

—

—

—

–

f1

f2...

fn´1

fn

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

.

Dessa forma, o sistema (1.22) tem solução única, uma vez que A é uma matriztridiagonal, simétrica e definida positiva, o que a torna não singular.

Um fato a ressaltar é que a solução procurada, isto é, a solução aproximada uhna Equação (1.21), dependerá fortemente da função f do problema. Ainda, se as condiçõesde contorno não fossem homogêneas, a contribuição delas ficaria refletida num termoadicional no primeiro e último elemento do vetor b, ou numa linha inicial e outra final namatriz A, convertendo o sistema representativo para n` 2 equações.

Finalmente, com a resolução do sistema Aξ “ b, encerramos o procedimentotradicional da resolução do PVC (1.18) via MEF [6].

Exemplo 1.3. Um exemplo de solução numérica (aproximada) do PVC (1.18), consi-derando os extremos do domínio a “ 0, b “ π e a função fpxq “ x, isto é, como oPVC do Exemplo 1.1 da Seção 1.1, é visualizada nas Figuras 5 e 6, para n “ 3 e n “ 9,respectivamente, junto com a representação gráfica da solução analítica estabelecida parao mesmo problema (1.13). Aqui, as duas subdivisões diferentes do domínio do problema,interpretam uma melhor aproximação da solução numa maior discretização (Figura 6) dodomínio x P r0, πs.

No Capítulo 3, usaremos uma formulação de elementos finitos cuja integração édada a partir de integração fuzzy. Mais ainda, apresentaremos uma fórmula de integraçãonumérica a qual aproxima o valor de uma integral de Riemann. Tal fórmula será utilizadana integração requerida no MEF para resolver um PVC determinístico.


0 /4 /2 3 /40

0.5

1

1.5

2

MEFSol. Exata

Figura 5 – Solução analítica do PVC (1.13) do Exemplo 1.1 e numérica (aproximada, viaMEF) com 4 subdivisões do domínio x P r0, πs.

0 /4 /2 3 /40

0.5

1

1.5

2

MEFSol. Exata

Figura 6 – Solução analítica do PVC (1.13) do Exemplo 1.1 e numérica (aproximada, viaMEF) com 10 subdivisões do domínio x P r0, πs.

No Capítulo 5, usaremos a formulação de elementos finitos para resolver umPVC fuzzy, cujas condições de contorno são consideradas números fuzzy.

Na Seção 1.3 apresentamos outro método de aproximação numérica, que é ochamado método de diferenças finitas, que será usado no Capítulo 5.


1.3 Solução de um PVC via Método de Diferenças FinitasNessa seção, tratamos em especial o uso do Método de Diferenças Finitas

(MDF) para obter uma solução aproximada de um PVC [43]. Para isso vamos nos ater àum PVC linear, de 2a ordem e com condições de contorno Dirichlet, em x P ra, bs, dadopor

$

&

%

kpxqu2pxq ` ppxqu1pxq ` qpxqupxq “ fpxq ,

upaq “ ua , upbq “ ub .(1.28)

Resolver o PVC (1.28) por meio do MDF implica na discretização do domíniodo problema. Para tal fim, consideramos a partição

τh : a “ x1 ă x2 ă ¨ ¨ ¨ ă xn ă xn`1 “ b ,

do intervalo ra, bs, em n subintervalos de comprimento homogêneo uniforme h “ pb´ aqn,e o esquema de diferenças centradas de segunda ordem [43], baseado na série de Taylorclássica, que aproxima o valor das derivadas primeira e segunda, de uma função real U , daforma:

U 1i «Ui`1 ´ Ui´1

2h e U2i «Ui´1 ´ 2Ui ` Ui`1

h2 , (1.29)

em que Ui ” Upxiq e U 1i ” U 1pxiq denotam aproximações de U e U 1 em xi, respectivamente.Logo, fazendo xi “ a` pi´ 1qh, considerando a aproximação (constante por partes) paraki “ kpxiq, pi “ ppxiq e qi “ qpxiq, com i “ 2, ..., n, e as aproximações do esquema dediferenças centradas de (1.29), obtemos n ´ 1 equações lineares, que representam, emforma discreta, a equação diferencial do PVC (1.28) da forma

kiUi´1 ´ 2Ui ` Ui`1

h2 ` piUi`1 ´ Ui´1

2h ` qi Ui “ fi , (1.30)

onde Ui é o valor da solução numérica aproximada no ponto xi.

Para resolver simultaneamente as n ´ 1 equações lineares estabelecidas em(1.30), correspondentes ao PVC (1.28), considerando as condições de contorno ua e ub, éconfigurada uma estrutura matricial da forma

SU “ f , (1.31)


em que S P Rpn`1qˆpn`1q é dada por

S “

»

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

–

1 0 0 ¨ ¨ ¨ 0k2

h2 ´p2

2h ´2k2

h2 ` q2k2

h2 `p2

2h. . . ...

0 k3

h2 ´p3

2h ´2k3

h2 ` q3. . . 0

... . . . . . . . . .knh2 ´

pn2h ´

2knh2 ` qn

knh2 `

pn2h

0 ¨ ¨ ¨ 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

,

seguida do vetor solução U “ rUjsn`1j“1 P Rn`1, e o vetor (de fonte) f P Rn`1, dado por

f T “”

ua f2 ¨ ¨ ¨ fn ub

ı

.

Dessa forma, o sistema (1.31) tem solução única, uma vez que S é uma matrizcom determinante não nulo. Um fato a ressaltar é que as condições de contorno do problemasão levadas em conta no primeiro e último elemento do vetor fonte f.

Finalmente, com a resolução do sistema SU “ f, encerramos o procedimentotradicional da resolução do PVC (1.28) via MDF [43].

A modo ilustrativo no seguinte exemplo, consideramos resolver um PVC deter-minístico, de coeficientes variáveis mas com solução analítica conhecida (para comparação),através do método de diferenças finitas.

Exemplo 1.4. Determinar a solução numérica aproximada do PVC, linear e não ho-mogêneo, que modela a equação de Cauchy-Euler de 2a ordem em x P r1, 3s, dado por

$

&

%

x2 u2pxq ` 2xu1pxq ´ 2upxq “ 2x2´ 1 ,

up1q “ 2 , up3q “ 4 .(1.32)

Observamos que a equação diferencial do Problema (1.32) apresenta coeficientesvariáveis. Porém, usando uma substituição e mudança de variável adequada [49], a equaçãodiferencial é transformada numa de coeficientes constantes, cuja solução é possível deobter pelos métodos analíticos apresentados em Subseções 1.1.1 e 1.1.2. Assim, a soluçãoanalítica (exata) é dada por

upxq “1813 x

´2´

513 x`

x2 ` 12 .

A solução numérica é obtida como descrito nessa Seção 1.3.


1 1.5 2 2.5 31.5

2

2.5

3

3.5

4

MDFSol. Exata

Figura 7 – Solução do PVC (1.32) analítica (exata) e numérica (aproximada, via MDF)com 4 subdivisões (hi “ h “ 0.5) do domínio x P r1, 3s.

A representação gráfica da solução analítica obtida no Exemplo 1.4 junto como gráfico da solução numérica estabelecida para o mesmo problema (1.32), obtida viao método de diferenças finitas (MDF), para duas subdivisões diferentes do domínio doproblema, interpretando uma melhor aproximação da solução numa maior discretizaçãodo domínio x P r1, 3s, são apresentadas nas Figuras 7 e 8, respectivamente.

1 1.5 2 2.5 31.5

2

2.5

3

3.5

4

MDFSol. Exata

Figura 8 – Solução do PVC (1.32) analítica (exata) e numérica (aproximada, via MDF)com 10 subdivisões (hi “ h “ 0.2) do domínio x P r1, 3s.

Destacamos que, embora no Exemplo 1.4 tenhamos uma solução analítica paracomparação de resultados, a resolução numérica via MDF fornece uma resposta aproximadapara PVCs com coeficientes variáveis que não possuem uma solução analítica possível de


estabelecer. Mais ainda, cabe mencionar que ambos métodos numéricos (MEF e MDF)podem ser usados para resolver ambos exemplos apresentados anteriormente (Exemplo 1.1e Exemplo 1.4).

No Capítulo 5, usaremos a formulação de diferenças finitas para resolver umPVC fuzzy, com termo de fonte na equação diferencial dado por uma função fuzzy econdições de contorno modeladas por números fuzzy.

1.4 ConclusãoNeste Capítulo apresentamos métodos matemáticos clássicos, analíticos e nu-

méricos, para obter soluções determinísticas de Problemas de Valores de Contorno (PVCs)lineares e de 2a ordem. Em particular, os métodos analíticos da equação característica evariaçao de parâmetros e o método numérico de elementos finitos (MEF) foram usadospara resolver um PVC, não homogêneo e de coeficientes constantes, no Exemplo 1.1.Seguidamente, o método de diferenças finitas (MDF) foi usado para resolver um PVC,não homogêneo e de coeficientes variáveis, no Exemplo 1.4. Finalizamos indicando quea descrição teórica apresentada é usada como base para determinar soluções fuzzy deProblemas de Valores de Contorno fuzzy (PVCFs), nas pesquisas históricas (Capítulo 4) enas principais propostas do nosso trabalho (Capítulo 5).

30

2 Fundamentos da Teoria dos ConjuntosFuzzy

Nesse capítulo apresentamos os principais conceitos e fundamentos da teoria deconjuntos fuzzy a utilizar nesse trabalho, para inserção de ferramental fuzzy na resoluçãode um PVC via MEF (no Capítulo 3) e para resolver um PVC fuzzy (PVCF), com umafunção fuzzy na equação diferencial do modelo e/ou com condições de contorno dadas pornúmeros fuzzy (no Capítulo 5).

Em geral, usamos os conceitos básicos da teoria de conjuntos e números fuzzy,da Seção 2.1, em todos os capítulos. Em específico, os conceitos da teoria de medidae integração fuzzy, da Seção 2.2, são usados no Capítulo 3, e os conceitos de princípiode extensão, interatividade fuzzy, de função e derivadas fuzzy, das Seções 2.3, 2.4 e 2.5,respectivamente, são usados no Capítulo 5.

2.1 Conjuntos e Números FuzzyA teoria de conjuntos fuzzy foi introduzida por Lotfi Zadeh em 1965 [67], com

a inicial intenção de dar um tratamento matemático a certos termos linguísticos subjetivos.Posteriormente, as aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy tem-se estendido a âmbitosrelacionados com automatização e controle, previsão de series temporais, reconhecimentode padrões e biomatemática, entre outros [8].

Definição 2.1 (Subconjunto fuzzy). [67] Seja X um conjunto (clássico). Um subconjuntofuzzy A de X é caracterizado por sua função de pertinência

φA : X Ñ r0, 1s,

onde φApxq significa o grau com que x P X está em A.

Se o contradomínio da função φA for apenas o conjunto t0, 1u tal que φA :X Ñ t0, 1u, então o subconjunto A é clássico, também chamado de crisp [8, 32].

Dois subconjuntos fuzzy A e B são iguais se φApxq “ φBpxq, para todo x P X.Também, um subconjunto fuzzy B está contido no subconjunto fuzzy A se φBpxq ď φApxq,para todo x P X [8, 64].

A família de todos os subconjuntos fuzzy de R será denotada por FpRq. Umsubconjunto fuzzy A P FpRq é dito convexo se, para todo x, y P R e t P r0, 1s, temos queφAptx` p1´ tqyq ě min tφApxq, φApyqu. Também, um subconjunto fuzzy A P FpRq é ditonormal se existe x P R tal que φApxq “ 1, caso contrário é dito subnormal [35, 64].

Capítulo 2. Fundamentos da Teoria dos Conjuntos Fuzzy 31

Exemplos gráficos de um subconjunto fuzzy A, convexo e subnormal, e umsubconjunto fuzzy B, não convexo e normal, são apresentados na Figura 9.

Figura 9 – Subconjunto fuzzy: a) A convexo e subnormal, b) B não convexo e normal.

Definição 2.2 (α-nível). Seja A um subconjunto fuzzy de X e α P r0, 1s. O α-nível de Aé o subconjunto clássico de X definido por rAsα “ tx P X : φApxq ě αu para α P p0, 1s.

Para α “ 0, quando X é um espaço topológico, rAs0 “ supppAq, isto é, o fecho do suportede A, onde supppAq “ tx P X : φApxq ą 0u. Para α “ 1 denotamos corepAq “ tx P X :φApxq “ 1u. Os conjuntos fuzzy A e B são iguais se rAsα “ rBsα [8, 32].

Apresentamos (Figura 9) subconjuntos fuzzy subnormais e não convexos. Porém,nosso interesse é naqueles subconjuntos normais e convexos. Uma classe importante desubconjuntos fuzzy de R, normais e convexos, são os números fuzzy, descritos a seguir.

Definição 2.3 (Número fuzzy). [8, 41] Um subconjunto fuzzy A de R é chamado denúmero fuzzy quando este satisfaz as seguintes condições:

i) Todos os α-níveis de A são intervalos fechados e não vazios de R.

ii) O suporte de A é limitado.

A família de todos os números fuzzy será denotada por RF . Pela Definição 2.3temos que a representação por α-níveis de um número fuzzy A, com a´α “ inf prAsαq ea`α “ sup prAsαq, será dada por [32, 64]

rAsα “ ra´α , a

`α s , @α P r0, 1s .

Todo número real x P R é um número fuzzy cuja função de pertinência é dadapela função característica χ

tXu: RÑ t0, 1u de um conjunto clássico X, dada por

χtXuptq “

$

&

%

1 , t “ x ,

0 , t ‰ x .


Dessa forma, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dosnúmeros fuzzy R Ď RF [8, 35].

Conjuntos fuzzy triangulares (Figura 10), trapezoidais (Figura 11) e Gaussianos(Figura 12) são exemplos típicos de números fuzzy [8, 53].

Definição 2.4 (Número fuzzy triangular). [8] Um número fuzzy triangular A é denotadopela terna pa´0 ;m; a`0 q, com rAs0 “ ra

´0 , a

`0 s, m “ corepAq e a´0 ď m ď a`0 , cuja função de

pertinência é dada por

Apxq “

$

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

%

x´ a´0m´ a´0

, x P ra´0 ,mq ,

a`0 ´ x

a`0 ´m, x P rm, a`0 s ,


A representação paramétrica de um número fuzzy triangular, por α-níveis, éda forma rAsα “ rpm´ a´0 qα ` a´0 , pm´ a`0 qα ` a`0 s, para todo α P r0, 1s.

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 10 – Número fuzzy Triangular p3; 4; 5q.

Definição 2.5 (Número fuzzy trapezoidal). [8] Um número fuzzy trapezoidal A é denotadopela quadrupla pa´0 ;m;n; a`0 q, com rAs0 “ ra

´0 , a

`0 s e a´0 ď m ď n ď a`0 , cuja função de

pertinência é dada por

Apxq “

$

’

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

’

%

x´ a´0m´ a´0

, x P ra´0 ,mq ,

1 , x P rm,ns ,

a`0 ´ x

a`0 ´ n, x P pn, a`0 s ,



A representação paramétrica de um número fuzzy trapezoidal, por α-níveis, éda forma rAsα “ rpm´ a´0 qα ` a´0 , pn´ a`0 qα ` a`0 s, para todo α P r0, 1s.

11 12 13 14 15 16 17 18 19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11 – Número fuzzy Trapezoidal p12; 14; 16; 18q.

Definição 2.6 (Número fuzzy Gaussiano). [53] Um número fuzzy Gaussiano, ou forma dosino, A é denotado por Gpσ;m; δq, com σ a extensão de A, m “ corepAq e δ um númeroconstante que delimita o suporte de A, cuja função de pertinência é dada por

Apxq “

$

’

&

’

%

expˆ

´

´x´m

σ

¯2˙

, x P rm´ δ,m` δs ,


Os α-níveis de um número fuzzy Gaussiano, @α P r0, 1s, são intervalos da forma

rAsα “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

«

m´

d

lnˆ

1ασ2

˙

,m`

d

lnˆ

1ασ2

˙

ff

, se α ě e´pδσ q

2

,

rm´ δ,m` δs , se α ă e´pδσ q

2

.

O diâmetro de um número fuzzy A é medido pelo fecho de seu suporte, isto é,

diampAq “ diamprAs0q “ a`0 ´ a´0 . (2.1)

Assim, quanto maior for o diâmetro de A P RF mais fuzzy ele é [64].

Os números fuzzy apresentados serão usados, a partir do Capítulo 5, comocondições de contorno de um PVCF.

Na Seção 2.2 apresentamos conceitos de medida e integração fuzzy, que serãoutilizados no Capítulo 3.


5 6 7 8 9 10 11

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 12 – Número fuzzy Gaussiano Gp1; 8; 2q.

2.2 Medida e Integração FuzzyA teoria de medida fuzzy foi introduzida na tese de doutorado de Michio Sugeno

[65]. Esta seção é baseada, principalmente, nas referências [7, 8].

Definição 2.7 (σ-álgebra). [8] Uma probabilidade P em um espaço Ω é definida em umafamília A de subconjuntos de Ω (que forma o domínio de P ) chamada de σ-álgebra. Talσ-álgebra deve satisfazer os seguintes axiomas:

i) O conjunto vazio H está em A;

ii) Se um evento A pertence à A, então seu complementar Ac “ Ω´A pertence à A;

iii) Se cada evento A1, A2, ..., pertence à A, então sua união pertence à A.

Na teoria de medida, P deve ser σ-aditiva, isto é, deve satisfazer [8]:

• Se A1, A2, ..., Ai, ... P A e Ai X Aj “ H, i ‰ j, então P˜

ď

iPNAi

¸

“ÿ

iPNP pAiq .

Entretanto, esta propriedade (σ-aditiva) pode excluir conceitos possíveis demensuração. Assim, a principal diferença entre medidas clássicas e medidas fuzzy radicaque nessas últimas é admissível o uso de funções não aditivas para medir incertezas [8].

Definição 2.8 (Medida fuzzy). [3, 50] Seja A uma σ-álgebra sobre um conjunto (clássico)Ω ‰ H. O mapeamento µ : AÑ r0,8q é uma medida fuzzy se satisfaz:

i) µp∅q “ 0 e

ii) para A,B P A com A Ď B, tem-se µpAq ď µpBq.


A definição original de medida fuzzy proposta por Sugeno [65] acrescenta acondição de contorno µpΩq “ 1 em i), isto é, uma normalização da medida fuzzy, oque implica que µ : A Ñ r0, 1s. Neste trabalho, denotaremos rµ para uma medida fuzzynormalizada.

Definição 2.9 (Medida usual de Lebesgue). Seja um subconjunto fuzzy A de R e α P r0, 1s.A medida usual de Lebesgue pµq do α-nível de A, rAsα “ ra´α , a`α s, é dada por

µprAsαq “ a`α ´ a´α . (2.2)

A medida usual de Lebesgue é uma medida fuzzy [8], e será a medida consideradanesse trabalho.

Definição 2.10 (Integral de Sugeno). [8, 33] Sejam f uma função com imagem em r0, 1se rµ uma medida fuzzy normalizada sobre Ω Ă R. A integral de Sugeno de f com respeito àmedida rµ, é o número

Ωf d rµ “ sup

αPr0,1srα ^ rHpαqs , (2.3)

onde ^ é o operador de mínimo e rHpαq “ rµ ptx P Ω : fpxq ě αuq é denominada a funçãonível de f [8, 53].

Observamos que a função f da Definição 2.10 é uma função de pertinênciatípica de um subconjunto fuzzy (normalizado).

Definição 2.11 (Contração). [42] Seja X “ pX, dq um espaço métrico. Uma aplicaçãof : X Ñ X é dita uma contração sobre X, se existir um número real positivo β ă 1 talque para todo x, y P X:

d pfpxq, fpyqq ď β dpx, yq .

Teorema 2.1 (Ponto fixo de Banach). [42] Considere o espaço métrico X “ pX, dq, ondeX ‰ H. Suponha que X é completo e seja f : X Ñ X uma contração sobre X. Então ftem precisamente um ponto fixo.

Demonstração. Em [42].

A seguir, é provado no Teorema 2.2 que a integral de Sugeno de f , na Equação(2.3), coincide com o ponto fixo de rH, se este existir (ver Figura 13) [7, 8].

Teorema 2.2. [7, 8] Sejam f uma função com imagem em r0, 1s e rµ uma medida fuzzynormalizada sobre Ω. Se a função

rHpαq “ rµ ptx P Ω : fpxq ě αuq

tem um ponto fixo α, então Ωf d rµ “ α “ rHpαq . (2.4)


Demonstração. [7] Seja gpαq “ rα ^ rHpαqs para 0 ď α ď 1. Sendo rH : r0, 1s Ñ r0, 1suma função decrescente tal que rHpαq “ α para algum α P r0, 1s, queremos mostrar quegpαq ď gpαq para todo α P r0, 1s.

i) Se α ă α, então rHpαq ě rHpαq “ α ą α, assim gpαq “ α ă α “ gpαq.

ii) Se α ą α, então rHpαq ď rHpαq “ α ă α, assim gpαq “ rHpαq ď α “ gpαq.

Portanto, gpαq “ supαPr0,1s

gpαq “ α “ rHpαq.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0,2

0,4

0,6

0,8

1

α

α = sup[α∧ H(α)]

H(α)

α∧ H(α)

Figura 13 – Função de nível rHpαq e valor α da integral de Sugeno do Exemplo 2.1, obtidopelo Teorema 2.2 do ponto fixo. Fonte [62].

Ainda de [3], onde é apresentado um estudo teórico e aplicado de medidasfuzzy e integrais fuzzy, o valor α da integral de Sugeno em (2.4) pode ser interpretadogeometricamente como a magnitude do lado do maior quadrado inscrito entre a função, aintegrar, e o eixo das abscisas (ver Figura 14).

Exemplo 2.1. Considere a função f : Ω Ñ r0, 1s definida por fpxq “ ´4x2` 4x, com

Ω “ r0, 1s. Assim, f é uma função típica de pertinência de um subconjunto fuzzy F de Rcujos α-níveis são:

rF sα “ tx P R : ´4x2` 4x ě αu “

„

1´?

1´ α2 ,

1`?

1´ α2

.

Logo, se rµ é a medida usual de Lebesgue (2.2) sobre Ω “ r0, 1s, então a funçãode nível rHpαq é dada por

rHpαq “ µ prF sαq “1`

?1´ α

2 ´1´

?1´ α

2 “?

1´ α ,


portanto, segundo (2.3), a integral de Sugeno pode ser escrita como

Ωf d rµ “ sup

αPr0,1srα ^

?1´ αs ,

e sendo rHpαq uma função monótona decrescente, então pelo Teorema 2.2, temos

Ωf d rµ “ α “ rHpαq “

´1`?

52 ,

pois α “?

1´ α ùñ α “´1`

?5

2 « 0.61803 .

No gráfico da Figura 13 apresentamos a função de nível rHpαq e o valor α daintegral de Sugeno obtido a partir do Teorema 2.2 do ponto fixo. Na Figura 14 visualizamosa função f utilizada e a interpretação geométrica do valor α da integral de Sugeno obtidopara o Exemplo 2.1.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figura 14 – Interpretação geométrica do valor α da integral de Sugeno do Exemplo 2.1 efunção f utilizada. Fonte [62].

Cabe destacar que, sob as condições estabelecidas no Exemplo 2.1, na função aintegrar e na medida fuzzy utilizada, a integral de Sugeno pode ser considerada uma boaaproximação da integral de Riemann, já que

ˆ 1

0p´4x2

` 4xq dx “ 23 « 0.66667 .

Diversas propriedades da integral de Sugeno são exibidas em [3, 8, 7, 56], asquais consideram a integração de funções não típicas de pertinência, isto é, para funçõescom imagem em r0, ks com k P R`. Porém, a seguir destacamos algumas propriedades eobservações que valem segundo a Definição 2.10, extraídas a partir do esclarecimento de


M. Sugeno, no ano 2000 em [33], sobre as funções f com imagem em r0, 1s e a medidafuzzy rµ normalizada que devem ser utilizadas.

Proposição 2.1. [7, 33] Sejam f e g funções com imagem em r0, 1s, rµ uma medida fuzzynormalizada sobre Ω. Se fpxq ď gpxq, então

Ωf d rµ ď

Ωg d rµ . (2.5)

Demonstração.

Para α P r0, 1s e uma vez que f ď g, temos que rHf pαq “ rµ ptx P Ω : fpxq ě αuq ď

rµ ptx P Ω : gpxq ě αuq “ rHgpαq, logo

Ωf d rµ “ sup

αPr0,1srα ^ rHf pαqs ď sup

αPr0,1srα ^ rHgpαqs “

Ωg d rµ .

Observação 2.1. De forma geral, se c ‰ 1 uma constante real, não é válido que

Ωc f d rµ “ c

Ωf d rµ . (2.6)

Uma vez que c ‰ 1 e a imagem de f é o intervalo r0, 1s, temos que a imagem da funçãoc f é o intervalo r0, cs. Assim, a integral não é válida segundo a Definição 2.10.

Observação 2.2. De forma geral, a linearidade na integral de Sugeno é perdida, isto é,para qualquer função f e g com imagem em r0, 1s, não vale a igualdade

Ωpf ` gq d rµ “

Ωf d rµ `

Ωg d rµ .

Por exemplo, no caso em que fpxq “ gpxq, pela Observação 2.1, temos que

Ωp2 fq d rµ ‰

2

Ωf d rµ .

No Capítulo 3, baseada na integral de Sugeno (2.3), será definida uma integralfuzzy adaptada e uma fórmula de integração numérica para usar no MEF para resolverum PVC de forma aproximada.

Na seguinte Seção 2.3, apresentamos conceitos fuzzy baseados no princípio deextensão de Zadeh, a usar na formalização de soluções fuzzy de PVCFs no Capítulo 5.

2.3 Princípio de ExtensãoO Princípio de Extensão foi introduzido por Lotfi Zadeh em 1975 [68]. Esta

seção é baseada, principalmente, nas referências [8, 41].


Definição 2.12 (Princípio de Extensão de Zadeh). [8] Sejam f : X ˆ Y Ñ Z e, A e Bsubconjuntos de X e Y , respectivamente. A extensão de Zadeh pf de f , aplicada a pA,Bq,é o subconjunto fuzzy pfpA,Bq de Z, cuja função de pertinência é definida por

φpfpA,Bqpzq “

$

’

&

’

%

suppx,yqPf´1pzq

mintφApxq, φBpyqu , se f´1pzq ‰ H ,

0 , se f´1pzq “ H ,

(2.7)

onde f´1pzq “ tpx, yq : fpx, yq “ zu.

O Princípio de Extensão de Zadeh é um método utilizado para estender opera-ções típicas dos conjuntos clássicos, isto é, promove a extensão de conceitos matemáticosdeterminísticos em conceitos fuzzy [8].

Teorema 2.3 (Teorema de Nguyen). [35, 51, 64] Suponha que f : Rnˆ Rm

Ñ Rk sejauma função contínua e que A e B sejam subconjuntos fuzzy de Rn e Rm, respectivamente.Nestas condições, para todo α P r0, 1s, é válida a igualdade

r pfpA,Bqsα “ f prAsα ˆ rBsαq .

sendo fprAsα ˆ rBsαq “ tf px1, x2q : x1 P rAsα e x2 P rBsαu.


O Teorema 2.3 indica que os α-níveis de um conjunto fuzzy obtido pelo prin-cípio de extensão de Zadeh coincidem com as imagens dos α-níveis por meio da funçãodeterminística (ver Figura 15) [8].

Exemplo 2.2. Determinar os α-níveis do conjunto fuzzy pfpAq, obtido pelo princípiode extensão de Zadeh (Definição 2.7), considerando A “ Gp0.2; 0.5; 0.3q e a função realfpxq “

?x para x P r0, 1s.

Temos que os α-níveis do número fuzzy Gaussiano A (Definição 2.6) são osintervalos

rAsα “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

«

0.5´

d

lnˆ

1αp0.2q2

˙

, 0.5`

d

lnˆ

1αp0.2q2

˙

ff

, se α ě e´p0.30.2q

2

,

r0.5´ 0.3, 0.5` 0.3s “ r0.2, 0.8s , se α ă e´p0.30.2q

2

.

Como f é crescente, temos

f prAsαq “

$

’

&

’

%

„

b

0.5´a

´p0.4q ln pαq,b

0.5`a

´p0.4q ln pαq

, se α ě e´p94q,

r?

0.2,?

0.8s , se α ă e´p94q.

Portanto, pelo Teorema 2.3, temos que r pfpAqsα “ fprAsαq.


Os resultados gráficos do Exemplo 2.2 são apresentados na Figura 15. NessaFigura, visualizamos que os α-níveis do conjunto fuzzy pfpAq, obtido pelo princípio deextensão de Zadeh, coincidem com as imagens dos α-níveis do número fuzzy GaussianoA “ Gp0.2; 0.5; 0.3q por meio da função determinística fpxq “

?x.

00.20.40.60.810

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 15 – Gráficos do Exemplo 2.2: Subconjunto fuzzy pfpAq obtido pelo princípio deextensão de Zadeh (esquerda); Função real fpxq “

?x (direita); Número fuzzy

Gaussiano A “ Gp0.2; 0.5; 0.3q (abaixo).

A aritmética para números fuzzy é baseada na aritmética intervalar, uma vezque os números fuzzy podem ser representados por α-níveis que são intervalos fechados dareta real [64]. Assim, as operações aritméticas usuais para números fuzzy são definidas apartir do princípio de extensão de Zadeh.

Teorema 2.4 (Princípio de extensão para intervalos da reta). [8, 64] Sejam A e B doisintervalos fechados de R e b uma das operações aritméticas entre números reais, então

χpAbBqpzq “ suppx,yq:xby“z

mintχApxq, χBpyqu .



No caso de números fuzzy, as operações aritméticas são casos particulares doPrincípio de Extensão em que as funções estendidas são as operações tradicionais denúmeros reais [64].

Definição 2.13. [64] Sejam A e B dois números fuzzy de R. Se b é um operador binárioem R, então

φpAbBqpzq “

$

’

&

’

%

suppx,yqPθpzq

mintφApxq, φBpyqu , se θpzq ‰ H ,

0 , se θpzq “ H ,

onde θpzq “ tpx, yq : xb y “ zu.

O Teorema 2.5 a seguir generaliza, por meio dos α-níveis, as operações aritmé-ticas para números fuzzy. Mais ainda, garante que o resultado das operações aritméticasentre números fuzzy é um número fuzzy [8].

Teorema 2.5. [8, 41] Sejam A,B P RF . Os α-níveis do conjunto fuzzy AbB, para todoα P r0, 1s, onde b é qualquer uma das operações aritméticas clássicas para intervalos, sãodados por

rAbBsα “ rAsα b rBsα .

Demonstração. Em [41, 51].

Métodos intervalares para obter operações aritméticas usuais, entre númerosfuzzy, são produzidas de combinações dos Teoremas 2.3 e 2.5 [8]. Por exemplo, sejamA,B P RF , números fuzzy com α-níveis dados por rAsα “ ra´α , a

`α s e rBsα “ rb´α , b

`α s.

Então, valem as seguintes propriedades [8]:

a) A soma entre A e B é o número fuzzy A`B cujos α-níveis são

rA`Bsα “ rAsα ` rBsα “ ra´α ` b

´α , a

`α ` b

`α s . (2.8)

b) A diferença entre A e B é o número fuzzy A´B cujos α-níveis são

rA´Bsα “ rAsα ´ rBsα “ ra´α ´ b

`α , a

`α ´ b

´α s . (2.9)

c) A multiplicação de λ P R por A é o número fuzzy λA cujos α-níveis são

rλAsα “ λrAsα “

$

&

%

rλa´α , λa`α s , se λ ě 0 ,

rλa`α , λa´α s , se λ ă 0 .

(2.10)


O princípio de extensão de Zadeh será utilizado, em Capítulo 5, para formalizaruma solução fuzzy de um PVCF.

Na seguinte Seção 2.4, apresentamos conceitos de interatividade fuzzy, a utilizarno Capítulo 5 para descrever outro tipo de solução fuzzy para um PVCF, e que fornecemoutras formas em operações intervalares entre números fuzzy, baseadas a partir do princípiode extensão sup-J para distribuições de possibilidade conjunta.

2.4 Interatividade FuzzyO conceito de função de pertinência de um número fuzzy representada por uma

distribuição de possibilidade foi introduzida por Lotfi Zadeh [69] em 1978. Logo, a medidade interatividade (influência mútua) entre números fuzzy é fornecida via distribuição depossibilidade conjunta. Esta seção é baseada, principalmente, nas referências [20, 35, 64].

Definição 2.14 (Distribuição de possibilidade conjunta). [9, 20] Sejam A,B P RF e Jum subconjunto fuzzy de R2. J é chamada uma distribuição de possibilidade conjunta de Ae B se

supyφJpx, yq “ φApxq e sup

xφJpx, yq “ φBpyq ,

para todo x, y P R. Além disso, A e B são denominados distribuições de possibilidademarginais de J .

Observação 2.3. [20] Se J é uma distribuição de possibilidade conjunta de A e B, então arelação φJpx, yq ď mintφApxq, φBpyqu e rJsα Ď rAsαˆ rBsα, são válidas para todo x, y P Re para todo α P r0, 1s.

A interatividade entre dois números fuzzy é definida exclusivamente por suadistribuição de possibilidade conjunta [64].

Definição 2.15 (Números fuzzy não interativos). [18, 20] Os números fuzzy A e B sãoditos não interativos se sua distribuição de possibilidade conjunta J é dada por

φJpx, yq “ mintφApxq, φBpyqu ,

para todo x, y P R, ou, equivalentemente,

rJsα “ rAsα ˆ rBsα ,

para todo α P r0, 1s. Caso contrário, eles são chamados interativos.

Uma importante classe de números fuzzy interativos são os chamados comple-tamente correlacionados [9].


Definição 2.16 (Números fuzzy completamente correlacionados). [9, 20] Dois númerosfuzzy A e B são ditos completamente correlacionados se existem q, r P R, com q ‰ 0, talque sua distribuição de possibilidade conjunta C é dada por

φCpx, yq “ φApxq.χtqu`r“vupx, yq “ φBpyq.χtqu`r“vupx, yq , (2.11)

onde

χtqu`r“vupx, yq “

$

&

%

1 se qx` r “ y

0 se qx` r ‰ y

é a função característica da reta tpu, vq P R2 : qu` r “ vu. Neste caso, para todo α P r0, 1s,temos rCsα “ tpx, qx` rq P R2 : x “ p1´ sq a´α ` s a`α , s P r0, 1su onde rAsα “ ra´α , a`α s e

rBsα “ q rAsα ` r . (2.12)

Na Definição 2.16, se o valor q é positivo (negativo), os números fuzzy A e B sãochamados completamente positivamente (negativamente) correlacionados. De fato, paraque dois números fuzzy A e B possam ser complemente correlacionados é necessário quesuas funções de pertinência possuam uma correlação linear, conforme Equação (2.12). Porexemplo, um número fuzzy triangular e outro Gaussiano não podem ser completamentecorrelacionados [35].

A próxima definição trata do princípio de extensão sup-J , que usa uma distri-buição de possibilidade conjunta J entre números fuzzy [26].

Definição 2.17 (Princípio de extensão sup-J). [20, 9] Sejam A Ď X e B Ď Y númerosfuzzy com uma distribuição de possibilidade conjunta J e f : X ˆ Y Ñ Z uma função. Aextensão de f com respeito a J , aplicada ao par pA,Bq, é o subconjunto fuzzy fJpA,Bqcuja função de pertinência é definida por

φfJ pA,Bqpzq “

$

’

&

’

%

suppx,yqPf´1pzq

φJpx, yq , se f´1pzq ‰ H ,

0 , se f´1pzq “ H ,

(2.13)

onde f´1pzq “ tpx, yq : fpx, yq “ zu.

Observação 2.4. [20, 26] Se A e B são não interativos, isto é, sua distribuição depossibilidade conjunta é dada pela Definição 2.15, então a fórmula apresentada em (2.13)coincide com a fórmula do Princípio de extensão de Zadeh em (2.7).

Um importante resultado do princípio de extensão sup-J (Definição 2.17), quepode ser interpretado como uma consequência do Teorema 2.3, é descrito a seguir:


Corolário 2.1. [20, 64] Sejam A,B P RF e J uma distribuição de possibilidade conjunta,cujas distribuições de possibilidade marginais são A e B. Se f : R2

Ñ R é uma funçãocontínua, então fJ : RF ˆ RF Ñ RF está bem definida, e

rfJpA,Bqsα “ fprJsαq , @α P r0, 1s .


Outras formas de operações aritméticas (intervalares) entre números fuzzypodem ser estabelecidas a través do princípio de extensão sup-J , para distribuições depossibilidade conjunta [64].

Definição 2.18. [64] Sejam A e B dois números fuzzy de R, b um operador binário emR e J a distribuição de possibilidade conjunta entre A e B, então

φpAbJBqpzq “

$

’

&

’

%

suppx,yqPθpzq

φJpx, yq , se θpzq ‰ H ,

0 , se θpzq “ H ,

onde θpzq “ tpx, yq : xb y “ zu.

A partir da Definição 2.18 podemos estabelecer a soma e a diferença entre doisnúmeros fuzzy, A e B, completamente correlacionados.

Por exemplo, a soma entre dois números fuzzy completamente correlacionadosé dada pela função de pertinência

φA`CBpzq “ supz“x`y

φApxq.χtqu`r“vupx, yq ,

cuja representação por α-níveis, para todo α P r0, 1s, é estabelecida da forma

rA`C Bsα “ tpx` yq P R : φApxq ě α , qx` r “ yu

“ tpq ` 1qx` r P R : φApxq ě αu

“ pq ` 1qtx P R : φApxq ě αu ` r

“ pq ` 1qrAsα ` r .

(2.14)

Analogamente, a diferença entre dois números fuzzy completamente correlacio-nados é dada pela função de pertinência

φAĆBpzq “ supz“xý

φApxq.χtqu`r“vupx, yq ,

cuja representação por α-níveis, para todo α P r0, 1s, é estabelecida da forma

rAĆ Bsα “ tpx´ yq P R : φApxq ě α , qx` r “ yu

“ tp1´ qqx´ r P R : φApxq ě αu

“ p1´ qqtx P R : φApxq ě αu ´ r

“ p1´ qqrAsα ´ r .

(2.15)


Uma vez que nem sempre é possível identificar uma distribuição de possibi-lidade conjunta, um novo conceito de interatividade entre números fuzzy linearmentecorrelacionados é introduzido em [9, 64] e descrito a seguir.

Definição 2.19. [64] Dois números fuzzy A e B são ditos linearmente correlacionados seexistem q, r P R tais que

φBpyq “

$

&

%

supy“qx`r

φApxq , se q ‰ 0 ou y “ r ,

0 , se q “ 0 e y ‰ r .

(2.16)

Observamos que o número fuzzy B é a extensão de Zadeh de fpxq “ qx ` r

avaliada no número fuzzy A e satisfaz φBpxq “ φA ppx´ rqqq, se q ‰ 0, e φBpxq “ 1, seq “ 0. Pelo Teorema 2.3, os α-níveis de (2.16) são dados por

rBsα “ q rAsα ` r , (2.17)

e escrevemos B “ qA` r [9, 64].

Observação 2.5. [64] Na Definição 2.19, q pode ser zero. Assim, o número crisp r élinearmente correlacionado com o número fuzzy A, pois r “ 0 ¨ A` r, porém o contrárionão vale, isto é, A não é linearmente correlacionado com r.

Exemplo 2.3. Determinar se os números fuzzy triangulares A “ p0; 2; 4q, B “ p9; 10; 11q,C “ p´9;´5;´1q, D “ p´7;´5;´1q e o número fuzzy Gaussiano G “ Gp1.5; 8; 4q, cujasfunções de pertinência são apresentadas nas Figuras 16 e 17, são (ou não) linearmentecorrelacionados.

Conforme a Equação (2.17), temos que são linearmente correlacionados osnúmeros fuzzy B com A (positivamente, para q1 “ 9 e r1 “ 12), C com A (negativamente,para q2 “ ´9 e r2 “ 2) e B com C (para q3 “ 14 e r3 “ 454). Porém, os números fuzzyA, G e D não possuem correlação linear entre eles.

Os números fuzzy linearmente correlacionados e não linearmente correlacionadosdo Exemplo 2.3 são apresentados em Figura 16 e Figura 17, respectivamente.

Destacamos que a correlação linear entre números fuzzy depende, fortemente,da forma geométrica da função de pertinência de cada um deles. Por exemplo, entrenúmeros fuzzy triangulares e Gaussianos não é possível estabelecer uma correlação lineare inclusive entre dois números da mesma família, por simetria, podem não existir valores qe r tais de estabelecer tal correlação linear [35, 64].

Nesse trabalho focamos na interatividade de números fuzzy linearmente corre-lacionados e as operações aritméticas intervalares, de soma e diferença, entre eles.


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ABC

Figura 16 – Números fuzzy linearmente correlacionados.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1AGD

Figura 17 – Números fuzzy não linearmente correlacionados.

Definição 2.20. [64] A adição de dois números fuzzy linearmente correlacionados A e Bé dada pela função de pertinência

φpA`LBqpzq “

$

’

&

’

%

supxPθ´1pzq

φApxq , se θ´1pzq ‰ H ,

0 , se θ´1pzq “ H ,

onde θ´1pzq “ tx : z “ pq ` 1qx` ru.

Definição 2.21. [64] A diferença de dois números fuzzy linearmente correlacionados A e


B é dada pela função de pertinência

φpA´LBqpzq “

$

’

&

’

%

supxPθ´1pzq

φApxq , se θ´1pzq ‰ H ,

0 , se θ´1pzq “ H ,

onde θ´1pzq “ tx : z “ p1´ qqx´ ru.

Logo, a partir das Definições 2.20 e 2.21 e considerando (2.12), a soma e adiferença entre dois números fuzzy linearmente correlacionados, A e B, são os númerosfuzzy A`L B e A´L B, respectivamente, cujos α-níveis, para todo α P r0, 1s, são [9, 64]

rA`L Bsα “ pq ` 1qrAsα ` r e rA´L Bsα “ p1´ qqrAsα ´ r . (2.18)

A representação paramétrica nos extremos intervalares, por α-níveis, da somae diferença entre números fuzzy linearmente correlacionados é descrita a seguir.

Observação 2.6. [9] Sejam A e B números fuzzy linearmente correlacionados, com α-níveis dados por rAsα “ ra´α , a`α s e rBsα “ rb´α , b`α s, respectivamente. Para todo α P r0, 1s,valem as seguintes propriedades:

a) A soma entre A e B é o número fuzzy A`L B cujos α-níveis são

rA`L Bsα “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

ra´α ` b´α , a

`α ` b

`α s , se q ą 0 ,

ra´α ` b`α , a

`α ` b

´α s , se ´1 ď q ă 0 ,

ra`α ` b´α , a

´α ` b

`α s , se q ă ´1 .

(2.19)

b) A diferença entre A e B é o número fuzzy A´L B cujos α-níveis são

rA´L Bsα “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

ra´α ´ b´α , a

`α ´ b

`α s , se q ě 1 ,

ra`α ´ b`α , a

´α ´ b

´α s , se 0 ă q ă 1 ,

ra´α ´ b`α , a

`α ´ b

´α s , se q ă 0 .

(2.20)

O princípio de extensão baseado em distribuições de possibilidade conjunta daDefinição 2.17, para números fuzzy linearmente correlacionados, será utilizado no Capítulo5 para estabelecer uma solução fuzzy (interativa) de PVCFs, lineares e não lineares.

Na Seção 2.5 a seguir, apresentamos conceitos de função e derivadas fuzzy, queserão utilizados no Capítulo 5.

2.5 Função e Derivadas FuzzyNeste trabalho, consideraremos funções fuzzy (ou processos fuzzy) quando

estamos nos referindo apenas a funções a valores fuzzy, isto é, uma função que associacada número real a um número fuzzy [64].


Definição 2.22 (Função fuzzy). [25, 55] Uma função com valores a números fuzzy, ousimplesmente uma função fuzzy, é a aplicação F : Ω Ñ RF , onde Ω Ă R.

Para cada x P Ω, denotamos os α-níveis da função fuzzy F pxq por [32]

rF pxqsα “ rf´α pxq, f

`α pxqs , @α P r0, 1s .

Nesta Seção tratamos derivadas fuzzy obtidas a partir de uma diferença entrenúmeros fuzzy.

Definição 2.23 (Diferença de Hukuhara). [55] Dados dois números fuzzy A, B a diferençade Hukuhara (H-diferença) AaH B “ C é o número fuzzy C tal que A “ B ` C, se eleexistir.

Na diferença de Hukuhara o resultado da subtração de um mesmo númerofuzzy é o valor zero (AaH A “ 0). Porém, entre dois números fuzzy distintos ela só estádefinida quando o primeiro termo possui diâmetro (2.1) no mínimo igual ao segundo. Logo,a diferença generalizada de Hukuhara, também possui a propriedade AagH A “ 0 masestá definida para uma classe maior de pares de números fuzzy [10].

Definição 2.24 (Diferença generalizada de Hukuhara). [13] Dados dois números fuzzy Ae B, a diferença generalizada de Hukuhara (gH-diferença) é o número fuzzy C “ AagH B,se ele existir, tal que (i) A “ B ` C ou (ii) B “ A´ C.

A partir da H-diferença e da gH-diferença, Definição 2.23 e Definição 2.24,respectivamente, são estabelecidas formalmente as derivadas (para uma função fuzzy) deHukuhara e generalizada de Hukuhara. Porém, antes de anunciarmos as derivadas fuzzy autilizar é necessário descrever o conceito de métrica para este trabalho .

Definição 2.25. [32, 64] Sejam A,B P RF . A métrica de Pompeiu-Hausdorff d8 é definidapor

d8pA,Bq “ sup0ďαď1

max ˇ

ˇa´α ´ b´α

ˇ

ˇ ,ˇ

ˇa`α ´ b`α

ˇ

ˇ

(

. (2.21)

Definição 2.26 (Derivada de Hukuhara). [64, 55] Uma função F : pa, bq Ñ RF é Hukuharadiferenciável (H-diferenciável) em x0 P pa, bq se os limites

limhÑ0`

F px0 ` hq ´H F px0q

he lim

hÑ0`F px0q ´H F px0 ´ hq

h, (2.22)

existem e são iguais a F 1Hpx0q P RF na métrica d8 (Definição 2.25).

Teorema 2.6. [38] Seja F : Ω Ñ RF uma função H-diferenciável, com α-níveis dadospor rF pxqsα “ rf

´α pxq, f

`α pxqs para todo α P r0, 1s. Então, f´α e f`α são diferenciáveis e

rF 1Hpxqsα “ rpf´α q1pxq, pf`α q

1pxqs , @α P r0, 1s .



Assim, os α-níveis da derivada (fuzzy) são as derivadas (clássicas) dos extremosdos α-níveis de F . Portanto, observamos que a existência de F 1H implica necessariamentena existência das derivadas clássicas pf´α q1 e pf`α q1 [8].

Como na derivada de Hukuhara, a integral de uma função fuzzy F : Ω Ñ RF

também pode ser definida por meio de seus α-níveis, a partir da integral de Aumann,originalmente definida para funções com valores em conjuntos clássicos [8].

Definição 2.27 (Integral de Aumann). [8] A integral da função fuzzy F no intervalo ra, bs,

indicada porˆ b

a

F pxq dx é o número fuzzy cujos α-níveis são dados por

„ˆ b

a

F pxq dx

α

“

„ˆ b

a

f´α pxq dx,

ˆ b

a

f`α pxq dx

, @α P r0, 1s ,

ondeˆ b

a

f´α pxq dx eˆ b

a

f`α pxq dx são as integrais de Riemann das funções reais f´α pxq e

f`α pxq para rF pxqsα “ rf´α pxq, f`α pxqs.

Note que a existência da integral de Aumann implica na existência das integraisde Riemann das funções reais representativas dos α-níveis de F , para cada α P r0, 1s [8].

Uma vez que a derivada da Definição 2.26 é restritiva, os autores em [13]introduzem o conceito de derivada generalizada de Hukuhara (gH-diferenciabilidade).

Definição 2.28 (Derivada generalizada de Hukuhara). [15, 64] Uma função F : pa, bq ÑRF é Hukuhara generalizada diferenciável (gH-diferenciável) em x0 P pa, bq se o limite

limhÑ0`

F px0 ` hq ´gH F px0q

h, (2.23)

existe e, nesse caso, ele é igual a F 1gHpx0q P RF na métrica d8 (Definição 2.25).

Uma vez que a diferença generalizada de Hukuhara apresenta duas formaspossíveis (ver Definição 2.24), em [21] formalizam duas formas intervalares que representamos α-níveis da derivada generalizada de Hukuhara.

Teorema 2.7. [21] Seja F : pa, bq Ñ RF uma função fuzzy, para cada α P r0, 1s ex0 P pa, bq. Dizemos que F é (i)-gH-diferenciável em x0 se

(i)“

F 1gHpx0q‰

α“ rpf´α q

1px0q, pf

`α q1px0qs ,

e que F é (ii)-gH-diferenciável em x0 se

(ii)“

F 1gHpx0q‰

α“ rpf`α q

1px0q, pf

´α q1px0qs .



Uma vez que o Teorema 2.7 distingue duas formas intervalares possíveis ((i)e (ii)), cabe mencionar que, se existe a derivada F 1gHpx0q na primeira forma (segundaforma) com F 1gHpx0q R R, então não existe F 1gHpx0q na segunda forma (primeira forma)simultaneamente [21].

As derivadas fuzzy apresentadas serão utilizadas no Capítulo 5, combinadas comum esquema de diferenças centradas do MDF, para obter uma solução fuzzy (aproximada)de um PVCF.

2.6 ConclusãoNeste Capítulo apresentamos fundamentos da teoria de conjuntos fuzzy que

serão utilizados nesta tese. Primeiramente, definimos conjuntos e números fuzzy. Seguimoscom medida e integração fuzzy a serem usados como base da nova integral fuzzy adaptada aformalizar no Capítulo 3. Posteriormente, descrevemos os princípios de extensão de Zadehe sup-J a serem aplicados nos principais resultados, como metodologias para determinarsoluções fuzzy de Problemas de Valores de Contorno fuzzy (PVCFs), do Capítulo 5. Ainda,finalizamos indicando esquemas intervalares (por α-níveis) de funções e derivadas fuzzy ausar, também, no Capítulo 5.

51

3 Integral Fuzzy Adaptada

A integral de Sugeno (descrita em Seção 2.2) é uma ferramenta da teoria demedida fuzzy a qual foi introduzida por M. Sugeno em 1974 [65] a fim de defuzzificarum número fuzzy e, portanto, considerando funções cujo contradomínio é r0, 1s. Diversosautores, como em [50] e [56], têm estendido a aplicação da integral de Sugeno para funçõescuja imagem é o intervalo r0, ks, com k ą 0. Um exemplo é apresentado a seguir.

Exemplo 3.1. [56] Considere a função g : Ω Ñ r0, 16s definida por gpxq “ x2 emΩ “ r0, 4s. Note que g não é uma função típica de pertinência de um subconjunto fuzzy Gde R. Porém, considerando uma representação por α-níveis de G, com α P r0, 16s, temosque:

rGsα “ tx P R : x2ě αu “

“?α, 4

‰

.

Logo, se µ é a medida usual de Lebesgue (2.2) , então vemos que a função de nível Hpαq éuma função monótona decrescente dada por

Hpαq “ µ prGsαq “ 4´?α .

Se consideramos como possível a integral de Sugeno estabelecida por

Ωg d µ “ sup

αPr0,16srα ^ p4´

?αqs ,

e, ainda a aplicação do Teorema 2.2, como assumido em [56], obtemos

Ωg d µ “ α “ Hpαq “

9´?

172 ,

pois α “ 4´?α ùñ α “

9´?

172 p« 2.43845q.

Nos gráficos da Figura 18 e 19, apresentamos a função g utilizada, a função denível Hpαq e o resultado da integral de Sugeno obtido, segundo [56], do Exemplo 3.1.

Observamos que, sob as condições estabelecidas no Exemplo 3.1 na função aintegrar e na medida fuzzy utilizada, a integral de Sugeno não é uma boa aproximação daintegral de Riemann (como valor que represente a área sob a curva y “ gpxq), já que

ˆ 4

0x2dx “

643 « 21.33334 .

Em outras palavras, a integral de Sugeno pode não ser uma boa aproximaçãoda integral de Riemann quando k ‰ 1 e/ou a medida fuzzy µ não é normalizada.

Capítulo 3. Integral Fuzzy Adaptada 52

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 18 – Função de nível Hpαq e valor α do Exemplo 3.1.

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 19 – Interpretação geométrica do valor α do Exemplo 3.1 e função g utilizada.

Assim, Sugeno em 2000 [33] retifica que a integral de Sugeno é definida só emfunções cuja imagem é o intervalo r0, 1s e para medidas fuzzy normalizadas (como naDefinição 2.10). Sob essas últimas condições, a integral de Sugeno é considerada uma boaaproximação da integral de Riemann (como observamos em Exemplo 2.1, como valor querepresente a área sob a curva y “ fpxq).

Portanto, nesse Capítulo propomos uma integral fuzzy adaptada e inspiradana integral de Sugeno, aplicada em funções cuja imagem é o intervalo r0, ks, com k P R`,de forma que ela possa ser comparada com a integral de Riemann.


Uma vez que a resolução de um problema de valor de contorno (PVC) via ométodo de elementos finitos (MEF) pode requerer uma integração de funções cuja imagemnão é o intervalo r0, 1s, apresentamos uma fórmula de integração numérica, baseada naintegral fuzzy proposta, a utilizar em MEF com intuito de obter uma solução aproximadade um PVC (determinístico).

Por último, cabe destacar que a maioria dos resultados que são apresentadosnas seguintes Seções 3.1, 3.2 e 3.3, são contribuição dessa tese e estão descritos em [61, 62].

3.1 Integral fuzzy adaptada e fórmula de integração numéricaA seguir, definimos uma integral fuzzy adaptada inspirada na integral de Sugeno

e com respeito a uma medida fuzzy finita. Esta integral aproxima o valor da integral deRiemann, como valor que represente a área sob a curva y “ fpxq, para funções convexas econtínuas sob as seguintes condições:

Definição 3.1 (Integral fuzzy adaptada). Seja f uma função mensurável com domínioΩ Ă R e imagem em r0, ks tal que k “ sup

xPΩfpxq. A integral fuzzy adaptada de f sobre Ω

com respeito à medida fuzzy finita µ : AÑ r0,8q, isto é, µpΩq ă 8, é dada por

x

Ωf d µ “

$

’

&

’

%

k µpΩq

Ω

pf d rµ , se k ą 0

0 , se k “ 0(3.1)

onde pfpxq “fpxq

kpara todo x P Ω e rµpBq “

µpBq

µpΩq para todo B P A, sendo A umaσ-álgebra sobre Ω.

Observação 3.1. Se µ é uma medida fuzzy normalizada e f uma função cuja imagem éo intervalo r0, 1s, temos que µpΩq “ 1 e k “ 1. Nessas condições, a integral fuzzy adaptada(3.1) coincide com a integral de Sugeno (2.3).

A seguir, estabelecemos outra representação de (3.1) e apresentamos umafórmula de integração numérica para calcular esta integral.

Primeiro, a partir de (3.1) e (2.3), temos que

Ω

pf d rµ “ supαPr0,1s

„

α ^p

rH pαq

, (3.2)

onde

p

rHpαq “ rµtx P Ω : pfpxq ě αu “ rµtx P Ω : fpxq ě k αu

“µtx P Ω : fpxq ě k αu

µpΩq “Hpk αq

µpΩq (3.3)


e Hpβq “ µ´

tx P Ω : fpxq ě βu¯

.

Assim, pelo Teorema 2.2 e pela Equação (3.3), temos que o valor de (3.2) édado por

Ω

pf d rµ “ α “p

rHpαq “Hpk αq

µpΩq . (3.4)

Tomando β “ k α, temos que

α “β

k“

Hpβq

µpΩq . (3.5)

Portanto, outra representação para (3.1), com k ą 0, é dada por

x

Ωf d µ “ k µpΩqα “ µpΩqβ “ k Hpβq .

Assim, da equação (3.5), o cálculo da integral fuzzy adaptada se resume emresolver a equação β “ k

µpΩqHpβq.

A seguir, a partir do uso da aproximação definida em 3.1, estabelecemos umafórmula de integração numérica que aproxima o valor da integral de Riemann, como valorque represente a área sob a curva y “ fpxq, sobre ra, bs Ď R`, para funções crescentes ediferenciáveis.

Definição 3.2 (Fórmula de integração numérica). Seja f : Ω Ñ R` uma função crescentee diferenciável. A integral de Riemann de f sobre Ω “ ra, bs é aproximada pelo número

SΩpfq “ dfpaq `dc2

c` d f 1pbq, (3.6)

onde c “ fpbq ´ fpaq ą 0 e d “ b´ a “ µpΩq, onde µ é a medida usual de Lebesgue.

De fato, considere gpxq “ fpxq ´ fpaq e a Definição 3.1, entãoˆ b

a

fpxqdx “

ˆ b

a

fpaqdx`

ˆ b

a

pfpxq ´ fpaqq dx

« pb´ aqfpaq `x

Ωg dµ

“ dfpaq ` c µpΩq

Ωpg d rµ.

« dfpaq `dc2

c` d f 1pbq“ SΩpfq ,

(3.7)

poisx

Ωg dµ “ d β «

dc2

c` d f 1pbqé obtido como segue. Por (3.5) e considerando µ a medida

usual de Lebesgue, temos

β “c Hpβq

µpΩq “c

dµ`“

g´1pβq, b

‰˘

“c

d

`

b´ g´1pβq

˘

.


Uma vez que gpg´1pβqq “ g

ˆ

b´dβ

c

˙

e usando a série de Taylor de primeira

ordem em torno de b, obtemos β « gpbq ´dβ

cg1pbq e, consequentemente,

β «gpbq

1` d g1pbqc

“fpbq ´ fpaq

c`d f 1pbqc

“c2

c` d f 1pbq.

O seguinte teorema estabelece que a fórmula (3.6) coincide com o valor daintegral de Riemann para funções potência.

Teorema 3.1. Seja f : Ω Ñ R` uma função potência dada por fpxq “ c1xn` c2 com c1,

c2, n P R`, e seja µ a medida usual de Lebesgue sobre Ω “ r0, bs. Assim, valeˆ b

0fpxqdx “ SΩpfq .

Demonstração. Por um lado, temos queˆ b

0fpxqdx “

ˆ b

0pc1x

n` c2qdx “

ˆ

c1xn`1

n` 1 ` c2x

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

b

0“ c1

bn`1

n` 1 ` c2b .

Pelo outro lado, a partir de (3.6) obtemos

SΩpfq “ bfp0q ` bpc1bnq2

c1bn ` bnc1bn´1 “ bc2 `bpc1b

nq2

c1bnp1` nq“ bc2 ` c1

bn`1

1` n .

Uma consequência do Teorema 3.1 para Ω “ ra, bs Ď R` é apresentada noseguinte corolário.

Corolário 3.1. Seja f : Ω Ñ R` uma função potência dada por fpxq “ c1xn` c2 com c1,

c2, n P R`, e seja µ a medida usual de Lebesgue sobre Ω “ ra, bs. Assim, valeˆ b

a

fpxqdx “ Sr0,bspfq ´ S

r0,aspfq .

Demonstração. A partir de propriedades usuais da integral de Riemann e segundo oTeorema 3.1 temos que

ˆ b

a

pc1xn` c2qdx “

ˆ b

0pc1x

n` c2qdx´

ˆ a

0pc1x

n` c2qdx “ S

r0,bspfq ´ S

r0,aspfq .

No caso de uma função constante, a fórmula de integração numérica não podeser utilizada uma vez que c “ fpbq ´ fpaq “ 0. Mas, é possível aplicar a integral fuzzyadaptada, a partir da Definição 3.1, como segue.


Proposição 3.1. Seja f uma função constante em x P Ω “ ra, bs, isto é, fpxq “ k comk ą 0. A integral fuzzy adaptada de f sobre Ω é o número

x

Ωk d µ “ k µpΩq .

Demonstração. Uma vez que pf “f

k“ 1 “ 1tΩu em x P Ω, onde

1tΩuptq “

$

&

%

1 , t P Ω ,

0 , t R Ω ,

entãox

Ωk d µ “ k µpΩq

Ω

1tΩu d rµ,

e, pela Equação (3.3), com α P r0, 1s, temos

Ω1tΩu d rµ “

Ω

pf d rµ “p

rHpαq “ rµtx P Ω : pfpxq ě αu “ rµpΩq “ 1 .

Observação 3.2. A partir da Proposição 3.1 e uma vez que µpΩq “ b´ a temos que

x

Ωk d µ “ k µpΩq “ k pb´ aq “

ˆ b

a

k dx .

A Observação 3.2 indica que a integral fuzzy adaptada coincide com o valor daintegral de Riemann para funções constantes.

Na seguinte Seção 3.2 apresentamos a aplicação da integral fuzzy adaptada(no caso de uma função constante segundo a Proposição 3.1) e a fórmula de integraçãonumérica (da Equação (3.6)), na resolução de um PVC via MEF.

3.2 Aplicação usando a teoria de conjuntos fuzzy na integraçãonumérica em MEF

Nessa seção buscamos estudar a inserção da teoria de conjuntos fuzzy pararesolver numericamente um PVC. Especificamente, consideramos a utilização da fórmuladescrita em (3.6), na integração numérica requerida para calcular todos os elementos deum sistema matricial estabelecido para resolver um PVC, via MEF.

Para tal fim, consideramos resolver o PVC (1.18), calculando os valores doselementos que compõem o sistema matricial (1.22).


Primeiramente, nos elementos aii da matriz A, com Ωi “ rxi´1, xis, k “1h2 e

µpΩiq “ µpΩi`1q “ h, segundo a Proposição 3.1 temos

aii “

ˆ xi

xi´1

1h2dx `

ˆ xi`1

xi

1h2dx “

x

Ωi

1h2dµ `

x

Ωi`1

1h2dµ

“1h2 h

Ωi

1tΩiu d rµ`1h2 h

Ωi`1

1tΩi`1u d rµ “1h`

1h“

2h. (3.8)

Assim, observamos que as entradas aii da matriz A dadas em (1.25) coincidemcom as obtidas por nossa proposta em (3.8).

Logo, usando a integral fuzzy adaptada para determinar as entradas ai,i´1 “

ai´1,i da matriz A, com k “1h2 e µpΩiq “ h, segundo a Proposição 3.1 temos

ai,i´1 “ ´

ˆ xi

xi´1

1h2dx “ ´

˜

x

Ωi

1h2dµ

¸

“ ´1h2 h

Ωi

1tΩiu d rµ “´1h. (3.9)

Assim, podemos observar que os coeficientes ai,i´1 “ ai´1,i obtidos por umaintegração clássica (de Riemann) em (1.26) e por nossa fórmula (3.9) são iguais.

Também, da mesma forma que com integração clássica, pela definição dasfunções de base, uma vez que k “ sup

xPΩfpxq “ 0 e segundo a Definição 3.1, temos para

|i´ j| ą 1 que

aij “x

Ω

0 d µ “ 0 .

Finalmente, no caso do vector de carga b é possível o uso da fórmula deintegração numérica (3.6) para as funções crescentes fpxq e gpxq “ xfpxq, da forma

bi “

ˆ xi

xi´1

fpxq

ˆ

x´ xi´1h

˙

dx`

ˆ xi`1

xi

fpxq

ˆ

xi`1 ´ x

h

˙

dx

“1h

«ˆ xi

xi´1

xfpxq dx´ pxi´1q

ˆ xi

xi´1

fpxq dx` pxi`1q

ˆ xi`1

xi

fpxq dx´

ˆ xi`1

xi

xfpxq dx

ff

«1h

“

SΩipgq ´ pxi´1qSΩipfq ` pxi`1qSΩi`1pfq ´ SΩi`1pgq‰

“1h

„

h gpxi´1q `hpgpxiq ´ gpxi´1qq

2

gpxiq ´ gpxi´1q ` h g1pxiq´ pxi´1q

ˆ

h fpxi´1q `hpfpxiq ´ fpxi´1qq

2

fpxiq ´ fpxi´1q ` h f 1pxiq

˙

`pxi`1q

ˆ

h fpxiq `hpfpxi`1q ´ fpxiqq

2

fpxi`1q ´ fpxiq ` h f 1pxi`1q

˙

´ h gpxiq `hpgpxi`1q ´ gpxiqq

2

gpxi`1q ´ gpxiq ` h g1pxi`1q

.

A fim de ilustrar a Fórmula (3.6), estudando o PVC (1.18), consideramos afunção fpxq “ 15x2?x. Notemos que a solução exata, que satisfaz às condições de contorno,é dada por

upxq “

ˆ

6063

˙

px´ x92q . (3.10)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Regra dos Trapézios

Solução exata

Figura 20 – Gráficos da solução analítica do PVC (1.18), com fpxq “ 15x2?x, e dassoluções aproximadas obtidas pelo MEF a partir de integração numérica daregra dos trapézios e pela fórmula SΩpfq, para n “ 3.

As Figuras 20 e 21 ilustram a solução analítica (3.10) e as soluções aproximadasobtidas por integrações numéricas baseadas na regra dos trapézios (1.27) e na fórmula(3.6), considerando fpxiq “ fi com xi “ ih, para duas subdivisões diferentes do domínior0, 1s, em ambos casos.

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

Regra dos Trapézios

Solução exata

Figura 21 – Gráficos da solução analítica do PVC (1.18), com fpxq “ 15x2?x, e dassoluções aproximadas obtidas pelo MEF a partir de integração numérica daregra dos trapézios e pela fórmula SΩpfq, para n “ 9.

A Tabela 1 apresenta os erros Epxiq “ Uaproxpxiq ´ upxiq, entre a solução exataupxiq e as soluções aproximadas Uaproxpxiq (usando a regra dos trapézios e a fórmula


SΩpfq). Foram quantificadas a norma infinito e a norma 2 dos erros [43], definidas por

||E||8 “ max1ďiďn

|Epxiq| e ||E||2 “

d

nÿ

i“1|Epxiq|2 .

Tabela 1 – Erros entre soluções aproximadas e solução analítica exata do PVC (1.18), comfpxq “ 15x2?x.

Partição Integração ||E||8 ||E||2

n “ 3 R. dos Trapézios 2.5378ˆ 10´2 3.6953ˆ 10´2

ph “ 14q Int. Fuzzy Adap. 1.0396ˆ 10´2 1.5092ˆ 10´2

n “ 9 R. dos Trapézios 4.0441ˆ 10´3 9.3259ˆ 10´3

ph “ 110q Int. Fuzzy Adap. 1.9478ˆ 10´3 4.4831ˆ 10´3

Destacamos que, se possível a integração analítica (de Riemann) no vetor decarga (o qual depende fortemente da função fpxq a considerar), os resultados da soluçãonumérica via MEF serão iguais ou mais próximos (numericamente) da solução analíticapara um PVC que os resultados a obter com o uso da nossa fórmula (Definição 3.2), isto,uma vez que tal fórmula é estabelecida como uma aproximação da integral de Riemann.

Outros resultados experimentais de interesse, fora do contexto de integraçãopara resolver um PVC via MEF, que trata sobre a eficiência de SΩpfq segundo a fórmula(3.6) de integração numérica e de algumas propriedades da integral fuzzy adaptada, sãoapresentados na Seção 3.3.

3.3 Observações e outros resultadosA Tabela 2 apresenta alguns resultados numéricos usando a integração numérica

SΩpfq (fórmula (3.6) baseada na integral fuzzy adaptada) para funções crescentes nointervalo Ω “ r0, 1s. Tais resultados são comparados com outras integrações numéricasusuais, para um passo (h “ 1 em Ω “ r0, 1s), como a regra do Ponto Médio IMP pfq, aregra dos Trapézios ITrapfq e a regra simples de Simpson ISimpfq.

Como referência da comparação (por erro absoluto) será usada a Quadratura

de Gauss IGQpfq «ˆ b

a

fpxqdx, a qual é uma aproximação numérica otimizada [6, 43].

Destacamos que a integração numérica IGQpfq é usada em múltiplas plataformase softwares matemáticos como referência geral nos casos de não ser possível a integraçãoanalítica (de Riemann) de funções como, por exemplo, fpxq “ ex

4 .


Tabela 2 – Resultados obtidos via diversos métodos de integração numérica e via fórmula(3.6).

fpxq IGQpfq ISimpfq ITrapfq IMP pfq SΩpfq

ex4 1.27129 1.3294 1.8591 1.0645 1.2345

Error - 5.8087ˆ 10´2 5.8785ˆ 10´1 2.0680ˆ 10´1 3.6805ˆ 10´2

x5senpxq 0.12508 0.15023 0.42074 0.014982 0.12669Error - 2.5152ˆ 10´2 2.9565ˆ 10´1 1.1010ˆ 10´1 1.6065ˆ 10´3

15x2?x 4.2857 4.2678 7.5000 2.6517 4.2857Error - 1.7947ˆ 10´2 3.2143 1.6341 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 22 – Funções utilizadas na integração numérica para comparação (resultados emtabela 2).

Adicionalmente, podemos observar que a fórmula de integração numérica,baseada na integral fuzzy adaptada, atinge o valor (exato) obtido pela integral de Riemann,quando aplicada na função utilizada no Exemplo 3.1.

Exemplo 3.2. Recordamos a função g : Ω Ñ r0, 16s definida por gpxq “ x2 em Ω “ r0, 4sdo Exemplo 3.1. Assim, segundo a Proposição 3.2, com d “ 4 e c “ 16, estabelecemos

Sr0,4spx2q “ 4 ¨ 0` 4p16q2

16` 4 2 ¨ 4 “643 « 21.33334 .

Cabe destacar que, o resultado do Exemplo 3.2 confere com o Teorema 3.1sobre a equivalência de resultados da integral de Riemann e a fórmula proposta parafunções potência.


Sobre a integral fuzzy adaptada, além da Proposição 3.1, podemos observar aseguinte propriedade.

Proposição 3.2. Seja f uma função com imagem em r0, ks, com k P R`, µ uma medidafuzzy finita sobre Ω e c P R` uma constante real. Então vale

x

Ωpc fq d µ “ c

x

Ωf d µ . (3.11)

Demonstração. Uma vez que a imagem de cf é o intervalo r0, cks “ r0, k1s, com k1 “

suppcfq “ c suppfq “ ck, temos que a integral fuzzy adaptada, Definição 3.1, é dada por

x

Ωpcfq d µ “ k1 µpΩq

Ω

xcf d rµ “ k1Hpk1 αq “ k1Hpk αq ,

já que Hpk1 αq “ µ tx P Ω : cf ě k1 αu “ µ tx P Ω : f ě suppfqαu “ Hpk αq.

Pelo outro lado, temos que

cx

Ωf d µ “ c ¨ k µpΩq

Ω

pf d rµ “ k1Hpk αq .

3.4 ConclusãoNeste Capítulo definimos uma nova integral fuzzy adaptada, inspirada na

integral de Sugeno, com o intuito de ser comparada com a integral de Riemann parafunções monotônicas com imagem em r0, ks com k ě 0. Adicionalmente, duas proposições(3.1 e 3.2) foram apresentadas como propriedades da nova integral. Também, foi estabelecidauma fórmula de integração numérica (Equação (3.6)), baseada na nova integral, a qual foiutilizada como aplicação na metodologia de integração requerida no Método de ElementosFinitos (MEF) para resolver um Problema de Valores de Contorno (PVC). Ainda, provamosque nossa fórmula coincide com os valores estabelecidos pela integral de Riemann parafunções potência, de acordo com o Teorema 3.1. Finalmente, os resultados obtidos com ouso da nossa fórmula evidenciaram uma boa aproximação da solução via MEF e a soluçãoexata (ver Figura 21), como também, uma boa aproximação dos valores de integraçãonumérica em diversas funções (ver Tabela 2).

62

4 Revisão Bibliográfica Histórica sobre Pro-blemas de Valores de Contorno Fuzzy

Uma das mais importantes classes de problemas de equações diferenciais, noque diz respeito à aplicação, são os problemas de valores de contorno (PVCs). Desde oinício desse século, muitos pesquisadores têm estudado PVCs com um ou mais parâmetrose/ou variáveis de estado considerados incertos e, assim, modelados por números fuzzy.Estes problemas são chamados de Problemas de Valores de Contorno Fuzzy (PVCFs) euma breve descrição dos trabalhos realizados será apresentada a seguir.

4.1 Equação Integral como Solução para um PVCFOs PVCFs vêm sendo estudados desde o começo dos anos 2000. Saito [57] em

2002 desenvolveu um trabalho sobre a existência e unicidade de PVCFs, de 2a ordem,fazendo mudanças de variáveis para transformar o PVCF num problema de valor inicialfuzzy. O’Regan et al. [52] em 2003 investigaram soluções de PVCFs baseados na derivadade Hukuhara (Definição 2.6) resolvendo uma equação integral em termos da integral deAumann (Definição 2.27). O procedimento é baseado na solução determinística da equaçãodiferencial mediante o método de variação de parâmetros e o uso da função de Green(descrito na Subseção 1.1.2).

Porém, Bede em 2006, apresentou um contraexemplo (Exemplo 4.1) e provou(Teorema 4.1) que a aproximação de O’Regan et al. não pode ser aplicada numa grandeclasse de PVCFs [11], em x P ra, bs, da forma

$

&

%

y2pxq “ fpx, ypxq, y1pxqq ,

ypaq “ A , ypbq “ B ,(4.1)

onde A “ B “ 0 “ χt0u P R Ď RF .

Exemplo 4.1. [11] Considere o PVCF (4.1), a função de Green dada por (1.15) e aequação integral (1.16) sobre o intervalo r0, 1s. Seja f : r0, 1s ˆ RF ˆ RF Ñ RF comfpx, ypxq, y1pxqq “ F “ p0; 1; 2q, isto é, um número fuzzy triangular com α-níveis dadospor rα, 2´ αs, para todo α P r0, 1s. Lembrando que ´rF sα “ rα ´ 2,´αs, temos

ypxq “

ˆ 1

0Gpx, sq p´fpx, ypxq, y1pxqqqds “

ˆ x

0Gpx, sq p´F qds`

ˆ 1

x

Gpx, sq p´F qds,

Capítulo 4. Revisão Bibliográfica Histórica sobre Problemas de Valores de Contorno Fuzzy 63

cuja representação por α-níveis é da forma

rypxqsα “

ˆ x

0rpα ´ 2qsp1´ xq, p´αqsp1´ xqsds`

ˆ 1

x

rpα ´ 2qp1´ sqx, p´αqp1´ sqxsds

“

„ˆ x

0p2´ αqspx´ 1q ds`

ˆ 1

x

p2´ αqps´ 1qx ds,ˆ x

0α spx´ 1q ds

`

ˆ 1

x

α ps´ 1qx ds

“

„

p2´ αqˆ

x2 ´ x

2

˙

, α

ˆ

x2 ´ x

2

˙

. (4.2)

Na Figura 23 apresentamos a solução fuzzy (4.2) do Exemplo 4.1, destacandoos extremos intervalares superior e inferior do 0.5-nível.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Figura 23 – Solução fuzzy do PVCF do Exemplo 4.1, apresentada em (4.2): Por α-níveisem escala de cinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 atéα “ 1), com α “ 0 (tracejado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremointervalar inferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superiory`0.5 (em azul).

A solução fuzzy obtida no Exemplo 4.1 é dita impropria já que, para cadax˚ P r0, 1s fixo, ypx˚q não representa um número fuzzy, isto é, o extremo intervalar inferiorobtido é um valor numérico maior que o extremo intervalar superior (Definição 2.3). Emoutras palavras, a solução fuzzy obtida em (4.2) não é H-diferenciável (Definição 2.6).

Teorema 4.1. [11] O problema (4.1) não possui solução (por H-diferenciabilidade oudiferenciação de Hukuhara) para A, B tais que diampAq ě diampBq e f possuindo pelomenos um valor fuzzy (não real), isto é, existe x0 P ra, bs, tal que fpx0, ypx0q, ypx0qq P

RFzR.



Uma vez que O’Regan et al. [52] e Bede [11] apresentaram exemplos só comcondições de contorno do tipo A “ B “ 0 “ χt0u, Chen et al. [23] em 2008 apresentaramuma tentativa de solução fuzzy, agregando um termo somando à equação integral, paraconsiderar B um número fuzzy (não real puro).

4.2 Esquemas da gH-diferenciabilidade para Soluções de um PVCFKhastan e Nieto em 2010 [40] estabeleceram soluções de PVCFs baseados na

derivada generalizada de Hukuhara (Teorema 2.7), associando quatro PVCs determinísticos(intervalares) na resolução. Por exemplo, na solução do PVCF (4.1), para qualquer A,B PRF , com rAsα “ ra

´α , a

`α s e rBsα “ rb´α , b`α s, para todo α P r0, 1s, temos

PVC-(1,1)#

rpy´α q2pxq, py`α q

2pxqs “ rf´α

`

x, y´α pxq, py´α q1pxq

˘

, f`α`

x, y`α pxq, py`α q1pxq

˘

s ,

ypaq “ ra´α , a`α s , ypbq “ rb

´α , b

`α s ,

(4.3)

PVC-(1,2)#

rpy`α q2pxq, py´α q

2pxqs “ rf´α

`

x, y´α pxq, py´α q1pxq

˘

, f`α`

x, y`α pxq, py`α q1pxq

˘

s ,


´α , b

`α s ,

(4.4)

PVC-(2,1)#

rpy`α q2pxq, py´α q

2pxqs “ rf´α

`

x, y´α pxq, py`α q1pxq

˘

, f`α`

x, y`α pxq, py´α q1pxq

˘

s ,


´α , b

`α s ,

(4.5)

PVC-(2,2)#

rpy´α q2pxq, py`α q

2pxqs “ rf´α

`

x, y´α pxq, py`α q1pxq

˘

, f`α`

x, y`α pxq, py´α q1pxq

˘

s ,


´α , b

`α s ,

(4.6)

A notação PVC-(j,k), dos PVCs intervalares (4.3)-(4.6), significa o uso daforma (j)-gH-diferenciável para ypxq e da forma (k)-gH-diferenciável para y1pxq, comj, k P t1, 2u.

Exemplo 4.2. Considere o seguinte PVCF dado por [40]$

&

%

y2pxq “ 2γ , 0 ď x ď 1 ,

yp0q “ γ

8 , yp1q “ 3γ8 ,

(4.7)

onde γ “ p´1; 0; 1q e fpx, ypxq, y1pxqq “ F “ p´2; 0; 2q são números fuzzy triangulares.Portanto, pelo método descrito por Khastan e Nieto em [40], podemos obter e representaras quatro soluções fuzzy (resumidas em Figuras 24 e 25) para as quatro formas intervalaresdistintas, (4.3)-(4.6), considerando a gH-diferenciabilidade (Teorema 2.7).


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 24 – Soluções fuzzy do PVCF (4.7) no Exemplo 4.2, dos esquemas (4.3) e (4.6) apartir da gH-diferenciabilidade: Por α-níveis em escala de cinzas no plano-xy(de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejadovermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferior da soluçãoy´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 25 – Soluções fuzzy do PVCF (4.7) no Exemplo 4.2, dos esquemas (4.4) e (4.5) apartir da gH-diferenciabilidade: Por α-níveis em escala de cinzas no plano-xy(de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejadovermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferior da soluçãoy´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

Cabe mencionar que os resultados analíticos apresentados por Khastan e Nietoem [40], estabelecidos por métodos clássicos da Seção 1.1 uma vez que os PVCs intervalaressão determinísticos, indicam que as soluções, em alguns casos, não são válidas para todo odomínio do problema, no sentido de não fornecer um número fuzzy a cada x P ra, bs. Porexemplo, o domínio no Exemplo 4.2 é o intervalo r0, 1s. Mas, para o PVC-p1, 1q a solução


estabelecida

ypxq “

„

18 pα ´ 1q

`

8x2´ 6x` 1

˘

,18 p1´ αq

`

8x2´ 6x` 1

˘

,

é duas vezes gH-diferenciável só para o intervalo p0.5, 1q e para o PVC-p2, 2q só no intervalop0, 0.25q. Logo, para o PVC-p1, 2q a solução

ypxq “

„

´18 pα ´ 1q

`

8x2´ 10x´ 1

˘

, ´18 p1´ αq

`

8x2´ 10x´ 1

˘

,

é duas vezes gH-diferenciável só para o intervalo p0, 0.625q e para o PVC-p2, 1q no intervalop0.625, 1q. As soluções apresentadas são idênticas entre o PVC-p1, 1q com o PVC-p2, 2q(na Figura 24) e entre o PVC-p1, 2q com o PVC-p2, 1q (na Figura 25), uma vez que nesseExemplo 4.2, como no trabalho para funções monotônicas de Liu [46] em 2011, não temoscontribuição da primeira derivada. Além disso, Gasilov et al em [30] argumentam que assoluções obtidas com o método de Khastan e Nieto são difíceis de interpretar desde que assoluções de quatro diferentes PVCs podem não refletir a natureza do fenômeno estudado.

4.3 Metodologia de Gasilov para PVCFsUma nova metodologia para achar soluções de PVCFs foi proposta por Gasilov

et al em 2011 [29], onde a solução fuzzy é interpretada como um conjunto fuzzy de funçõesreais. Gasilov et al formalizaram a proposta em 2014 [30] para PVCFs que consideramcondições de contorno modeladas por números fuzzy triangulares (ou trapezoidais) e em2015 [31] acrescentando com funções fuzzy no termo fonte.

Exemplo 4.3. Considere o seguinte PVCF, em x P r1, 3s, dado por [30]$

&

%

x2 y2pxq ` 2x y1pxq ´ 2 ypxq “ 2 y2´ 1 ,

yp1q “ A , yp3q “ B ,(4.8)

onde A “ p1.5; 2; 3q e B “ p3; 4; 4.5q são números fuzzy triangulares. A solução fuzzysegundo a metodologia estabelecida por Gasilov et al [30] (a ser descrita na Seção 5.1) doPVCF (4.8) é apresentada nas Figuras 26 e 27.

Cabe destacar que no Capítulo 5 será demostrado que a solução fuzzy segundoa metodologia estabelecida por Gasilov et al é equivalente à aplicação do princípio deextensão de Zadeh sobre a solução determinística de um PVC clássico associado.

4.4 Outras propostas de Solução para PVCFsOutros tipos de soluções fuzzy têm sido estudadas baseadas na teoria de

inclusão diferencial [22, 44] e na Transformada de Laplace [1]. Porém, uma grande maioria


1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 31

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Figura 26 – Solução fuzzy do PVCF (4.8) no Exemplo 4.3, baseadas na metodologia deGasilov et al: Por α-níveis em escala de cinzas no plano-xy (de branco atépreto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejado vermelho) eevidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferior da solução y´0.5 (emverde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

3

2.5

20

4.5 1.5

0.2

4 3.5

0.4

3 2.5 2 1

0.6

1.5 1

0.8

1

Figura 27 – Solução fuzzy do PVCF (4.8) no Exemplo 4.3, baseadas na metodologia deGasilov et al: Por α-níveis em escala de cinzas no espaço-xyα (de branco atépreto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (linha vermelha).

das referências bibliográficas sobre PVCFs apresentam uma resolução (aproximada) viamétodos numéricos, baseados na matemática clássica e adaptados para PVCFs. Entre essesmétodos temos: o método de coeficientes indeterminados [34], o método do Kernel [5], ométodo da “caçada” [19], o método de elementos finitos [48, 66], o método de diferençasfinitas [2, 24] e diversos tipos de métodos iterativos [4, 14, 27, 28, 36, 37, 39].

No caso do Método de Diferenças Finitas (MDF) apresentamos a continua-


ção um exemplo de resolução segundo a configuração estabelecida por Allahviranloo eKhalilpour [2] em 2011 e segundo Dahalan et al. [24] em 2013.

Exemplo 4.4. Considere o seguinte PVCF dado por$

&

%

y2pxq “ ´x , 0 ď x ď 1 ,

yp0q “ A , yp1q “ B ,(4.9)

onde A “ p´1; 0; 1q e B “ p1; 2; 3q são números fuzzy triangulares. Portanto, pelo esquemade diferenças finitas descrito por Allahviranloo e Khalilpour em [2] e por Dahalan et al.em [24], podemos obter e representar uma solução fuzzy (numérica-aproximada) para oPVCF (4.9).

Na configuração de Allahviranloo e Khalilpour em [2] foi utilizado o esquemade diferenças centradas modificado pela interpretação da diferença usual entre númerosfuzzy nos termos da aproximação de Taylor em combinação com a gH-diferenciabilidade.Observamos que a solução fuzzy, segundo a configuração de Allahviranloo e Khalilpour naFigura 28, não produz resultados beneficiosos uma vez que apresenta intervalos próprios(números fuzzy) e intervalos impróprios (não números fuzzy) alternados no domínio. Já naconfiguração de Dahalan et al. em [24], na Figura 29, foi utilizado o esquema de diferençascentrado e considerada a H-diferenciabilidade nos PVCFs para achar uma solução fuzzynumérica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 28 – Solução numérica fuzzy do PVCF (4.9) no Exemplo 4.4, baseada no esquemade Allahviranloo e Khalilpour via MDF: Por α-níveis em escala de cinzas noplano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0(tracejado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferiorda solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 29 – Solução numérica fuzzy do PVCF (4.9) no Exemplo 4.4, baseadas no esquemade Dahalan et al. via MDF: Por α-níveis em escala de cinzas no plano-xy(de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejadovermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferior da soluçãoy´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

4.5 ConclusãoNeste Capítulo apresentamos uma revisão bibliográfica histórica sobre pesquisas

desenvolvidas para Problemas de Valores de Contorno Fuzzy (PVCFs). Tal como na mate-mática clássica, sob certas características dos PVCFs, foram estabelecidas, primeiramente,soluções analíticas considerando a resolução de uma equação integral. Porém, a aplicaçãoda equação integral ficou muito restritiva, como visualizado no Exemplo 4.1 e de acordocom o Teorema 4.1. Seguidamente, descrevemos uma metodologia que foi baseada naaplicação da derivada generalizada de Hukuhara (gH-derivada), a qual estabelece quatroPVCs determinísticos associados a um PVCF de 2a ordem. Assim, os resultados com gH-diferenciabilidade implicam na determinação de quatro soluções fuzzy, como foi descritoem Exemplo 4.2. Posteriormente, indicamos uma nova metodologia que interpreta umasolução fuzzy para um PVCF como um conjunto fuzzy de funções reais, como visualizadano Exemplo 4.3. Finalmente, descrevemos outras formas de solução fuzzy para PVCFsmediante o uso de métodos numéricos adaptados, como o de diferenças finitas apresentadono Exemplo 4.4.

Um esquema que evidencia a relação entre todas as referências bibliográficasdescritas nesse Capítulo é apresentada na Figura 30.


Figura 30 – Diagrama da Revisão bibliográfica.

A partir da Figura 30 observamos um grande relacionamento entre os estudosrealizados, tentando atingir melhoras e/ou extensões das metodologias usadas anteriormentepara resolver analítica ou numericamente PVCFs.

Porém, cabe destacar que, em nenhuma das referências citadas existiu umaformalização do uso do princípio de extensão de Zadeh como possível metodologia desolução nem o uso da interatividade fuzzy entre condições de contorno e/ou parâmetrosconsiderados como números fuzzy nos PVCFs. Portanto, tal situação foi o alvo da nossapesquisa a tratar no Capítulo 5, isto é, a descrição metodológica do princípio de extensão,de Zadeh ou sup-J , para determianr soluções fuzzy de PVCFs que consideram condiçõesde contorno números fuzzy não interativos ou interativos, respectivamente.

Por último, outros aspectos pouco abordados nas referências bibliográficashistóricas foram a solução de PVCFs não lineares, PVCFs lineares de ordem n ou PVCFscuja equação diferencial apresenta coeficientes variáveis. Assim, esses tipos de PVCFstambém serão tratados no Capítulo 5.

71

5 Problemas de Valores de Contorno Fuzzy

Os principais resultados da nossa pesquisa são descritos nesse capítulo. Aqui,focaremos na resolução analítica de PVCFs lineares, usando o princípio de extensão deZadeh (Definição 2.12), na Seção 5.1, ou o princípio de extensão sup-J (Definição 2.17),na Seção 5.2, quando as condições de contorno são consideradas como números fuzzynão interativos ou interativos, respectivamente. Ainda, resolveremos um exemplo paraum PVCF não linear usando a interatividade entre as condições de contorno fuzzy, naSeção 5.4, e apresentamos uma metodologia estendida para resolução de PVCFs linearesde ordem n, na Seção 5.3. Também, estabeleceremos soluções numéricas para PVCFs,na Seção 5.5, usando o método de elementos finitos e, adicionando um termo fuzzy naequação diferencial, usando o método de diferenças finitas.

Destacamos que os resultados sobre a solução fuzzy interativa para PVCFs viaformalização da aplicação do princípio de extensão sup-J , das Seções 5.1, 5.2 e 5.4, sãodescritos no artigo [59].

5.1 Solução de um PVCF via Princípio de ExtensãoNesta seção, estudamos um PVCF, linear e de 2a ordem, com condições de

contorno dadas pelos números fuzzy A e B, respectivamente, em x P ra, bs, da forma$

&

%

y2pxq ` ppxqy1pxq ` qpxqypxq “ fpxq ,

ypaq “ A , ypbq “ B .(5.1)

Primeiramente, definimos um PVC similar ao PVCF (5.1), apenas substituindoas condições de contorno pelos números reais ypaq “ ya e ypbq “ yb, isto é, um PVC daforma:

$

&

%

y2pxq ` ppxqy1pxq ` qpxqypxq “ fpxq ,

ypaq “ ya , ypbq “ yb .(5.2)

Recordamos da Seção 1.1 que a solução geral de um PVC, linear e de 2a ordem,é da forma:

ypxq “ yP pxq ` c1y1pxq ` c2y2pxq . (5.3)

onde yP é uma solução particular e y1, y2 são soluções linearmente independentes doproblema homogêneo associado, como descrito na Seção 1.1.

Uma vez que as constantes c1 e c2 são dadas pela Equação (1.4), reagrupamosos termos em (5.3) e obtemos uma nova forma da solução geral dada por

ypxq “ yP pxq ´ yP paqw1pxq ´ yP pbqw2pxq ` yaw1pxq ` ybw2pxq , (5.4)

Capítulo 5. Problemas de Valores de Contorno Fuzzy 72

onde w1pxq e w2pxq são funções dadas por

w1pxq “y2pbqy1pxq ´ y1pbqy2pxq

y1paqy2pbq ´ y2paqy1pbqe

w2pxq “y1paqy2pxq ´ y2paqy1pxq

y1paqy2pbq ´ y2paqy1pbq,

(5.5)

se y1paqy2pbq ´ y2paqy1pbq ‰ 0 [30].

Logo, para definir uma solução de (5.1), considerando A e B números fuzzynão interativos, usamos o princípio de extensão de Zadeh (2.12), tal como em [47] paraproblemas de valores iniciais fuzzy.

Seja U um subconjunto aberto de R2 tal que rAs0ˆ rBs0 Ă U e que exista umasolução yp¨, ya, ybq de (5.2) com pya, ybq P U . Então, para cada x fixo, podemos definir ooperador

Sx : U Ñ R , (5.6)

por Sxpya, ybq “ ypx, ya, ybq.

Uma vez que as condições de contorno A e B são consideradas não interativas,usamos o princípio de extensão de Zadeh para obter uma soluçao y : ra, bs Ñ RF para (5.1)dada por ypxq “ pSxpA,Bq. Além disso, se pSx é uma função contínua, então pelo Teorema2.3 e para todo α P r0, 1s, temos

rpSxpA,Bqsα “ SxprAsα ˆ rBsαq

“ tSxpya, ybq : ya P rAsα “ ra´α , a`α s e yb P rBsα “ rb´α , b

`α su

“ yP pxq ´ yP paqw1pxq ´ yP pbqw2pxq ` w1pxqra´α , a

`α s ` w2pxqrb

´α , b

`α s .

(5.7)

Por outro lado, na proposta de Gasilov et al em [30], a solução fuzzy de (5.1)é estabelecida considerando as condições de contorno fuzzy da forma A “ acr ` a eB “ bcr ` b, com corepAq “ acr, corepBq “ bcr, e a, b representando a parte incerta de Ae B, respectivamente, dada pelo conjunto fuzzy

rypxq “ ycrpxq ` w1pxqa` w2pxqb , (5.8)

onde as funções w1pxq, w2pxq são definidas em (5.5) e

ycrpxq “ yP pxq ` c1y1pxq ` c2y2pxq

é a solução do PVC determinístico (5.2) com ya “ acr e yb “ bcr, isto é

ycrpxq “ yP pxq `y2pbqpacr ´ yP paqq ´ y2paqpbcr ´ yP pbqq

y1paqy2pbq ´ y2paqy1pbqy1pxq

`y1paqpbcr ´ yP pbqq ´ y1pbqpacr ´ yP paqq

y1paqy2pbq ´ y2paqy1pbqy2pxq .

(5.9)


Reagrupando os termos de (5.9) e colocando-os em (5.8) temos descrita deforma explícita a solução de (5.1) proposta por Gasilov et al

rypxq “ yP pxq ` pacr ´ yP paqqw1pxq ` pbcr ´ yP pbqqw2pxq ` w1pxqa` w2pxqb . (5.10)

O seguinte teorema estabelece que a solução de (5.1) via a proposta de Gasilovet al e via o princípio de extensão de Zadeh são equivalentes.

Teorema 5.1. Sejam A e B números fuzzy triangulares (ou trapezoidais) consideradoscomo condições de contorno do FBVP (5.1) e seja rAs0 ˆ rBs0 Ă U um subconjunto abertoem R2. Se para cada pya, ybq P U existe uma solução yp¨, ya, ybq de (5.2) e se, para cadax P ra, bs, ypx, ¨, ¨q é contínua sobre U , então para cada x P ra, bs fixo, a seguinte igualdadevale

pSxpA,Bq “ rypxq. (5.11)

Em outras palavras, se A e B são números fuzzy triangulares (ou trapezoidais),a solução (5.8) proposta por Gasilov et al em [30] do PVCF (5.1) coincide com a soluçãoestabelecida em termos do princípio de extensão de Zadeh.

Demonstração. Uma vez que em [30] as condições de contorno são números fuzzy triangula-res (ou trapezoidais) da forma A “ acrà e B “ bcr` b , temos rasα “ ra´αácr, a`αácrs “ra´α , a

`α s ´ acr e rbsα “ rb´α ´ bcr, b`α ´ bcrs “ rb´α , b`α s ´ bcr.

Assim, podemos reescrever os α-níveis de (5.10) como segue:

rrypxqsα “ yP pxq ` pacr ´ yP paqqw1pxq ` pbcr ´ yP pbqqw2pxq

` w1pxqpra´α , a

`α s ´ acrq ` w2pxqprb

´α , b

`α s ´ bcrq

“ yP pxq ´ yP paqw1pxq ´ yP pbqw2pxq ` w1pxqra´α , a

`α s ` w2pxqrb

´α , b

`α s

“ rpSpA,Bqsα.

Portanto, temos que pSxpA,Bq “ rypxq uma vez que rpSxpA,Bqsα “ rrypxqsα, paratodo α P r0, 1s.

Cabe destacar que, enquanto a proposta de Gasilov et al é restrita para númerosfuzzy triangulares (ou trapezoidais), a aplicação do princípio de extensão de Zadeh valepara todo número fuzzy. Ademais, o método de extensão de Zadeh não é restrito a equaçõeslineares, como em (5.1), e pode ser usado sempre que a solução associada yp¨, ya, ybq existapara todo ya, yb pertencendo a um subconjunto U que contenha rAs0 ˆ rBs0.

A modo ilustrativo, um exemplo da aplicação do princípio de extensão de Zadehpara obter a solução de um PVCF, com condições de contorno dadas por números fuzzy, éapresentado a seguir.


Exemplo 5.1. Considere o seguinte PVCF de 2a ordem, linear e não homogêneo emx P r0, 1s, o qual considera números fuzzy triangulares como condições de contorno [30]:

$

&

%

y2pxq ´ 4y1pxq ` 4ypxq “ 1´ 2x2 ,

yp0q “ p2; 3; 4q , yp1q “ p1; 2; 2.5q .(5.12)

O PVC determinístico associado a (5.12), com condições de contorno genéricasyp0q “ ya e yp1q “ yb, é

$

&

%

y2pxq ´ 4y1pxq ` 4ypxq “ 1´ 2x2 ,

yp0q “ ya , yp1q “ yb .(5.13)

Através de métodos analíticos da matemática clássica, é possível achar umasolução geral de (5.13), como estabelecido na Seção 1.1, dada por

ypxq “ ´12px` 1q2 ´ p´1

2qp1´ xqe2x´ p´2qxe2px´1q

` yap1´ xqe2x` ybxe

2px´1q .

Logo, de acordo com (5.6), para cada x P r0, 1s, temos o operador solução emtermos das condições de contorno genéricas ya, yb P R, dado por

Sxpya, ybq “ ´12px` 1q2 ` 1

2p1´ xqe2x` 2xe2px´1q

` yap1´ xqe2x` ybxe

2px´1q ,

Assim, a solução fuzzy pSxpA,Bq de (5.12), via princípio de extensão de Zadeh,é dada por

pSxpA,Bq “ ´12px` 1q2 ` 1


` Ap1´ xqe2x`Bxe2px´1q ,

cujos α-níveis, para todo α P r0, 1s com A “ p2; 3; 4q e B “ p1; 2; 2.5q, são

rpSxpA,Bqsα “ tSxpya, ybq : ya P rAsα “ rα ` 2,´α ` 4s,

yb P rBsα “”

α ` 1,´α2 ` 2.5ı)

“ ´12px` 1q2 ` 1


` rα ` 2,´α ` 4sp1´ xqe2x`

”

α ` 1,´α2 ` 2.5ı

xe2px´1q .

(5.14)

Como estabelecido no Teorema 5.1, a solução do Exemplo 5.1 (ver Figura 31),obtida a partir do princípio de extensão de Zadeh, é idêntica à estabelecida por Gasilovet al em [30]. Também, é apresentada em Figura 32 uma visualização tridimensional dasolução fuzzy do PVCF (5.12) com condições de contorno números fuzzy triangulares.

Na seção a seguir, apresentaremos um método para obter a solução de um PVCFem que as condições de contorno fuzzy podem apresentar algum tipo de interatividade.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Figura 31 – Solução fuzzy do PVCF (5.12) no Exemplo 5.1, apresentada em (5.14): Porα-níveis em escala de cinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta deα “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5o extremo intervalar inferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalarsuperior y`0.5 (em azul).

1

0.50

0.2

0.4

6 5.5 5 4.5

0.6

4 03.5 3

0.8

2.5 2 1.5

1

1

Figura 32 – Solução fuzzy do PVCF (5.12) no Exemplo 5.1, apresentada em (5.14): Porα-níveis em escala de cinzas no espaço-xyα (de branco até preto interpreta deα “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (linha vermelha).

5.2 Interatividade nas condições de contorno de um PVCFNessa seção estabelecemos e apreciamos um relacionamento interativo entre

números fuzzy considerados como condições de contorno para um PVCF, com o intuito deesboçar soluções fuzzy menos difusas, isto é, com menor diâmetro que aquelas soluçõesfuzzy determinadas quando os números fuzzy das condições de contorno não apresentamalgum relacionamento interativo. Portanto, para definir uma solução para um PVCF,


considerando condições de contorno dadas por números fuzzy interativos, usamos o princípiode extensão sup-J , via distribuição de possibilidade conjunta, da Definição 2.17.

Nesse trabalho tratamos o caso específico em que a distribuição de possibilidadeconjunta é atribuída para números fuzzy linearmente correlacionados A e B (Definição2.19), isto é, para condições de contorno que satisfazem:

rBsα “ q0rAsα ` r0 ,

para todo α P r0, 1s, onde q0, r0 P R são valores constantes na correlação linear estabelecida.

Por exemplo, para obter uma solução do PVCF (5.1), considerando essa relaçãode interatividade entre as condições de contorno, usamos o princípio de extensão sup-J daEquação (2.13). Mais precisamente, seja J a distribuição de possibilidade conjunta de A eB dada pela Equação (2.11) e seja Sx : U Ñ R uma função definida como em Equação(5.6) da Seção 5.1, onde U é um subconjunto aberto de R2 tal que rJs0 Ă U , e a solução doPVCF (5.1) é a função y : ra, bs Ñ RF dada por ypxq “ pSxqJpA,Bq para todo x P ra, bs.

Se Sx é uma função contínua, então o Corolário 2.1 revela que os α-níveis depSxqJpA,Bq, para todo α P r0, 1s, são dados por

rpSxqJpA,Bqsα “ SxprJsαq “ tSxpz, q0z ` r0q : z P rAsαu

“ tyP pxq ´ yP paqw1pxq ´ yP pbqw2pxq ` w1pxqpzq ` w2pxqpqz ` rq : z P rAsαu

“ yP pxq ´ yP paqw1pxq ´ yP pbqw2pxq ` rC `L Dsα,

(5.15)

onde `L é o operador de soma interativa entre dois números fuzzy linearmente correlacio-nados, C “ w1pxqA e D “ w2pxqB “ w2pxqpq0A` r0q.

No que segue, denotaremos por simplicidade w1ptq “ w1 e w2ptq “ w2. Sew1 ‰ 0, para cada α P r0, 1s, temos

rDsα “ w2rBsα “ w2pq0rAsα ` r0q “w2q0

w1rCsα ` w2r0 “ qrCsα ` r,

onde q “ w2q0

w1e r “ w2r0. Assim, se q0 ą 0 e a partir de (2.19), a soma interativa entre

C e D é dada por:

rC `L Dsα “

$

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

%

rw1a´α ` w2b

´α , w1a

`α ` w2b

`α s , se q ě 0 com w1 ą 0 e w2 ě 0.

rw1a`α ` w2b

`α , w1a

´α ` w2b

´α s , se q ě 0 com w1 ă 0 e w2 ă 0.

rw1a´α ` w2b

´α , w1a

`α ` w2b

`α s , se ´ 1 ď q ă 0 com w1 ą 0 e w2 ă 0.

rw1a`α ` w2b

`α , w1a

´α ` w2b

´α s , se ´ 1 ď q ă 0 com w1 ă 0 e w2 ą 0.

rw1a`α ` w2b

`α , w1a

´α ` w2b

´α s , se q ă ´1 com w1 ą 0 e w2 ă 0.

rw1a´α ` w2b

´α , w1a

`α ` w2b

`α s , se q ă ´1 com w1 ă 0 e w2 ą 0.

rw2b´α , w2b

`α s , se w1 “ 0 e w2 ě 0.

rw2b`α , w2b

´α s , se w1 “ 0 e w2 ă 0.

(5.16)


Note que em (5.16) assumimos que q0 ą 0, isto é, os números fuzzy A e Bsão positivamente correlacionados. Uma equação similar pode ser obtida se A e B sãonegativamente correlacionados, isto é, q0 ă 0. Ainda, se q0 “ 0 (ou q “ 0), então temosque B (ou D) é um número real.

O seguinte teorema apresenta a relação entre as soluções do PVCF (5.1) quandoos números fuzzy A e B são considerados não interativos e quando são consideradoslinearmente correlacionados (interativos).

Teorema 5.2. Sejam A,B P RF condições de contorno do PVCF (5.1) e seja U umsubconjunto aberto de R2 tal que rAs0 ˆ rBs0 Ă U . Se a função y : ra, bs ˆ U Ñ R existetal que yp¨, ya, ybq é a solução do PVC (5.2) para cada pya, ybq P U e ypx, ¨, ¨q é contínuaem U para cada x P ra, bs, então, para cada distribuição de possibilidade conjunta J de Ae B temos que

rpSxqJpA,Bqsα Ď rpSxpA,Bqsα , (5.17)

para todo α P r0, 1s, onde a notação pSxqJ e pSx são dadas pelas equações (5.15) e (5.7),respectivamente.

Demonstração. Usando o Corolário 2.1 e a Observação 2.3, temos

rpSxqJpA,Bqsα

“ tSxpya, ybq : pya, ybq P rJsαu

Ď tSxpya, ybq : pya, ybq P rAsα ˆ rBsαu

“ rpSxpA,Bqsα .

para todo α P r0, 1s.

Em concordância com Teoremas 5.1 e 5.2, temos que a solução interativa estácontida na solução rxptq, proposta por Gasilov et al [30], isto é

rpSxqJpA,Bqsα Ď rpSxpA,Bqsα “ rrypxqsα ,


Em particular, se as condições de contorno são números fuzzy linearmentecorrelacionados, temos

rpSxqLpA,Bqsα Ď rrypxqsα ,


A modo ilustrativo, um exemplo da aplicação do princípio de extensão sup-J , via distribuição de possibilidade conjunta, para obter a solução de um PVCF, com


condições de contorno dadas por números fuzzy linearmente correlacionados (interativos)é apresentado a seguir.

Exemplo 5.2. Considere o seguinte PVCF de 2a ordem, linear e homogêneo, o qualconsidera números fuzzy triangulares linearmente correlacionados como condições decontorno [30]:

$

&

%

y2pxq ` 16ypxq “ 0 , 0 ď x ď 2 ,

yp0q “ p´1; 0; 1q , yp2q “ p´0.5; 0; 0.5q .(5.18)

Procedendo como no exemplo anterior, considere um PVC determinístico asso-ciado a (5.18) com condições de contorno yp0q “ ya P R e yp2q “ yb P R, expressado por

$

&

%

y2pxq ` 16ypxq “ 0 , 0 ď x ď 2 ,

yp0q “ ya , yp2q “ yb ,(5.19)

cuja solução éyptq “ ya

senp8´ 4xqsenp8q ` yb

senp4xqsenp8q .

Assim, para todo x P r0, 2s o operador Sx definido para todo ya, yb P R por

Sxpya, ybq “ yasenp8´ 4xq

senp8q ` ybsenp4xqsenp8q ,

é contínuo.

Uma vez que as condições de contorno A “ p´1; 0; 1q e B “ p´0.5; 0; 0.5q sãonúmeros fuzzy linearmente correlacionados, existe q e r cuja distribuição de possibilidadeconjunta é dada como em Equação (2.11). Ainda, aplicando o princípio de extensão sup-J(Definição 2.17) de Sx ao par pA,Bq, obtemos

pSxqJpA,Bq “ Asenp8´ 4xq

senp8q `L Bsenp4xqsenp8q ,

que é a solução fuzzy do PVCF (5.18).

Logo, de acordo com (5.15) e pela soma intervalar estabelecida em (5.16), osα-níveis de pSxqJpA,Bq são

rpSxqJpA,Bqsα “ rα ´ 1,´α ` 1ssenp8´ 4xqsenp8q `L

„

α ´ 12 ,

´α ` 12

senp4xqsenp8q . (5.20)

Se consideramos a proposta de Gasilov et al [30], a interatividade entre ascondições de contorno fuzzy é perdida e, necessariamente, devemos usar uma somausual entre os números fuzzy na solução. Figura 33 ilustra os dois casos, consideradoscomo interativo (de acordo com uma distribuição de possibilidade conjunta para númeroslinearmente correlacionados) e não interativo (de acordo com Gasilov et al ou pela extensão


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 33 – Solução fuzzy do PVCF (5.18) por α-níveis, em escala de cinzas no plano-xy(de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (trace-jado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalar inferior dasolução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul): a)Com interatividade (considera soma interativa de números fuzzy linearmentecorrelacionados), e b) Sem interatividade (considera soma usual de númerosfuzzy).

de Zadeh), respectivamente. Como indicado no Teorema 5.2, é interessante observar quea solução de Gasilov et al (Figura 33b) contém a solução interativa (Figura 33a). Alémdisso, o menor tamanho do intervalo exibido para a solução interativa (5.20) é causado pormudanças de sinal nos pontos x1, x2, x3, x4 P r0, 2s das funções sinusoidais w1 e w2 (verFigura 34b) o qual produz alterações intervalares na soma interativa (5.16). Diferentemente,no exemplo da seção anterior (5.1), as funções w1 ą 0 e w2 ą 0 em todo o domínio doPVCF (5.12) (ver Figura 34a). Nesse caso, não há mudanças intervalares e a soma entreos números fuzzy é usual.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 34 – Funções w1 e w2 usadas na resolução de PVCFs: a) Para x P r0, 1s em (5.12),e b) Para x P r0, 2s em (5.18).


Na Seção 5.3 mostraremos que é possível estender o conceito da solução fuzzyinterativa, apresentado nessa Seção 5.2, para PVCFs lineares e não-homogêneos quemodelem equações diferenciais ordinárias de ordem n e que considerem condições decontorno dadas por números fuzzy interativos.

5.3 Solução Interativa de um PVCF de ordem n

Nesta seção focamos em PVCFs, lineares e não homogêneos, cuja equaçãodiferencial é de ordem n e com múltiplas condições de contorno dadas por números fuzzyinterativos (linearmente correlacionados). Como na metodologia descrita anteriormente,na Seção 5.2, a solução fuzzy é dada pela aplicação do princípio de extensão sup-J . Parailustrar a utilidade de nossa proposta, apresentamos a solução de um PVCF de 3a ordem.Todos os resultados dessa seção são descritos em [63].

Primeiramente, consideramos PVCs que modelam equações diferenciais ordiná-rias (EDOs) lineares da forma

ypnqpxq ` βn´1ypn´1q

pxq ` . . .` β0ypxq “ fpxq (5.21)

para todo x P ra, bs, onde f : ra, bs Ñ R é uma função contínua e βi P R são n parâmetrosconstantes.

Uma vez que a Equação (5.21) é uma EDO linear de ordem n e de coeficientescontantes, podemos estabelecer uma solução analítica dela a partir da generalização docaso, para n “ 2, descrito na Seção 1.1.

Com efeito, a solução geral da EDO (5.21), usando o princípio de superposição[54], é uma função contínua n-vezes diferenciável y : ra, bs Ñ R, dada por

ypxq “ yP pxq ` c1y1pxq ` . . .` cnynpxq , (5.22)

para todo x P ra, bs, onde a função yP é uma solução particular da EDO (5.21) e as funçõesy1, . . . , yn são as soluções linearmente independentes da equação diferencial homogêneaassociada

ypnqpxq ` βn´1ypn´1q

pxq ` . . .` β0ypxq “ 0 . (5.23)

Em geral [49, 54], se λj é uma raiz com multiplicidade mj do polinômio

característico λn ` βn´1λn´1

` . . .` β0 “ 0 para j “ 1, . . . , l ď n elÿ

j“1mj “ n, podemos

estabelecer cada solução yi da Equação (5.22) como yipxq “ xseλjx para algum j P t1, . . . , lue s P t0, . . . ,mj ´ 1u.

Agora, para determinar os coeficientes c1, . . . , cn de (5.22) precisamos de algunsantecedentes adicionais. Primeiramente, focamos em PVCs com múltiplas condições de


contorno da forma$

’

’

&

’

’

%

ypnqpxq `n´1ÿ

i“0βiy

piqpxq “ fpxq

ypxiq “ ki P R, i “ 1, . . . , n.(5.24)

onde a “ x1 ă x2 ă . . . ă xn “ b e ki são constantes. Nesse caso, os coeficientes ci, parai “ 1, . . . , n, são obtidos resolvendo o sistema linear

Y c “ k ´ p

onde

Y “

»

—

—

–

y1px1q . . . ynpx1q... . . . ...

y1pxnq . . . ynpxnq

fi

ffi

ffi

fl

,

c “

»

—

—

–

c1...cn

fi

ffi

ffi

fl

, k “

»

—

—

–

k1...kn

fi

ffi

ffi

fl

, e p “

»

—

—

–

yP px1q...

yP pxnq

fi

ffi

ffi

fl

.

No caso onde a matriz Y é não singular, os coeficientes são dados por

c “ Y ´1k ´ Y ´1p .

A partir de agora, sem perda de generalidade, assumimos que a matriz Y énão singular. Logo, e uma vez que serão consideradas n condições de contorno fuzzy,estendemos e generalizamos algumas definições e resultados baseados no princípio deextensão, da Seção 2.3, e da interatividade fuzzy, da Seção 2.4.

Sejam A1, . . . , An P RF e J um subconjunto de Rn. O subconjunto fuzzy J échamado uma distribuição de possibilidade conjunta de A1, . . . , An se

Aipxiq “ supxjPR,j‰i

Jpx1, . . . , xnq , @xi P R e @ i “ 1, . . . , n. (5.25)

Além disso, seJpx1, . . . , xnq “ mintϕA1px1q, . . . , ϕAnpxnqu , (5.26)

para todo px1, . . . , xnq P Rn ou, equivalentemente, se

rJsα “ rA1sα ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ rAnsα ,

para todo α P r0, 1s, então os números fuzzy A1, . . . , An são chamados de não interativos.Caso contrário, os números fuzzy A1, . . . , An são ditos interativos.

Observação 5.1. Note que, a partir da Equação (5.25), temos que cada distribuição depossibilidade conjunta J de A1, . . . , An P RF satisfaz a seguinte propriedade:

ϕJpx1, . . . , xnq ď mintϕA1px1q, . . . , ϕAnpxnqu ,


para todo x “ px1, . . . , xnq P Rn e

rJsα Ď rA1sα ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ rAnsα ,


Sejam A1, . . . , An P RF e f : RnÑ R. Dada uma distribuição de possibilidade

conjunta J de A1, . . . , An, a extensão sup-J de f , ou a (interativa) extensão de f , parapA1, . . . , Anq com respeito de J , é o subconjunto fuzzy fJpA1, . . . , Anq de R cuja funçãode pertinência é dada por

fJpA1, . . . , Anqpzq “ suppx1,...,xnqPf´1pzq

Jpx1, . . . , xnq (5.27)

para todo z P R, onde f´1pzq “ tpx1, . . . , xnq : fpx1, . . . , xnq “ zu.

Observação 5.2. Se A1, . . . , An P RF são não interativos, isto é, se a correspondentedistribuição de possibilidade conjunta J é definida como em (5.26), então o princípiode extensão sup-J corresponde ao princípio de extensão de Zadeh de uma função f :RnÑ R para pA1, . . . , Anq P Rn

F . Neste caso, usamos o simbolo fpA1, . . . , Anq ao invés defJpA1, . . . , Anq para denotar o princípio de extensão de Zadeh de f para pA1, . . . , Anq.

Corolário 5.1. Sejam A1, . . . , An P RF e f : RnÝÑ R uma função contínua. Se J é a

distribuição de possibilidade conjunta dos números fuzzy A1, . . . , An, então temos

rfJpA1, . . . , Anqsα “ fprJsαq ,


Os números fuzzy A1, ..., An P RF são chamados de linearmente correlacionadosse sua distribuição de possibilidade conjunta J é definida como

ϕJpx1, ..., xnq “ ϕA1px1qχtLupx1, ..., xnq

“ ϕA2px2qχtLupx1, ..., xnq...“ ϕAnpxnqχtLupx1, ..., xnq

(5.28)

onde L “ tpu, q2u ` r2, . . . , qnu ` rnq : u P Ru e qi ‰ 0 para 1 ă i ď n. Note que, paratodo α P r0, 1s, temos

rJsα “

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

¨

˚

˚

˚

˚

˝

x

q2x` r2...

qnx` rn

˛

‹

‹

‹

‹

‚

: x P rA1sα

,

/

/

/

/

.

/

/

/

/

-

. (5.29)


Novamente, podemos aplicar o princípio de extensão sup-J (Equação 5.27)para definir a soma de n números fuzzy como segue.

Seja J a distribuição de possibilidade conjunta de A1, ..., An P RF definidacomo em (5.28). A partir da Equação (5.29) e o Corolário 5.1, temos que a extensãointerativa da função fpx1, . . . , xnq “ x1 ` . . .` xn para A1, . . . , An com respeito de J é onúmero fuzzy B “ A1 `L . . .`L An cujos α-níveis, para todo α P r0, 1s, são dados por

rA1 `L . . .`L Ansα “ p1` q2 ` . . .` qnqrA1sα ` pr2 ` . . .` rnq . (5.30)

Seguidamente, estudamos o PVCF dado pela substituição dos valores dasconstantes ki em (5.24) pelos números fuzzy Ai, isto é, consideramos o seguinte problema:

$

’

’

&

’

’

%

ypnqpxq `n´1ÿ

i“0βiy

piqpxq “ fpxq

ypxiq “ Ai P RF , i “ 1, . . . , n.(5.31)

Aqui, focamos no caso onde os valores das condições de contorno Ai no PVCF(5.31) são números fuzzy linearmente correlacionados. Assim, usamos o princípio deextensão sup-J para obter uma solução fuzzy do PVCF (5.31) estendendo e generalizandoa metodologia proposta na Seção 5.1.

Seja J uma distribuição de possibilidade conjunta de A1, . . . , An P RF definidacomo em (5.28) e seja yp ¨ ; k1, . . . , knq a solução do PVC (5.24) com nmúltiplas condições decontorno pk1, . . . , knq. Para cada x, definimos o operador Sx : U Ñ R dado Sxpk1, ..., knq “

ypx; k1, ..., knq. Portanto, a solução fuzzy do PVCF (5.31) é a função yJ : ra, bs Ñ RF dadapor yJpxq “ pSxqJpA1, . . . , Anq para todo x P ra, bs.

Se Sx é uma função contínua, então pelo Corolário 5.1 e pela Equação (5.29)temos que os α-níveis de pSxqJpA1, . . . , Anq, para todo α P r0, 1s, são dados por

rpSxqJpA1, . . . , Anqsα “ SxprJsαq “ tSxpz, q2z ` r2, . . . , qnz ` rnq : z P rA1sαu . (5.32)

Estendendo o mencionado nas seções anteriores, se as condições de contorno noPVCF (5.31) são números fuzzy não interativas, a solução fuzzy é obtida via o princípio deextensão de Zadeh. Assim, o próximo teorema generaliza a relação de ordem entre soluçõesfuzzy de PVCFs com condições de contorno modeladas por números fuzzy interativos enão interativos.

Teorema 5.3. Sejam A1, . . . , An P RF as condições de contorno do PVCF (5.31) e sejaJ a distribuição de possibilidade conjunta de A1, . . . , An P RF definida como em (5.28).Se yp ¨ ; k1, . . . , knq é a solução do PVC (5.24) para cada pk1, . . . , knq, então

rpSxqJpA1, . . . , Anqsα Ď rpSxpA1, . . . , Anqsα ,


para todo α P r0, 1s, onde pSxqJ e pSx são as soluções fuzzy para o PVCF (5.31) via oprincípio de extensão sup-J e via o princípio de extensão de Zadeh, respectivamente.

Demonstração. Uma vez que ypx; ¨ , . . . , ¨ q é uma função contínua para cada x, a partirdo Corolário 5.1 e a Observação 5.1, temos

rpSxqJpA1, . . . , Anqsα

“ tSxpk1, . . . , knq : pk1, . . . , knq P rJsαu

Ď tSxpk1, . . . , knq : pk1, . . . , knq P rA1sα ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ rAnsαu

“ rpSxpA1, . . . , Anqsα


Exemplo 5.3. Considere o seguinte PVCF de 3a ordem, linear e homogêneo em x P

r0, π2s, cujas condições de contorno são os números fuzzy A,B,C P RF , dado por$

&

%

y3pxq ` y2pxq ` 3y1pxq ´ 5ypxq “ 0 ,

yp0q “ A , y pπ4q “ B , y pπ2q “ C .(5.33)

Usando o polinômio característico e o princípio de superposição, a soluçãogeral do PVC determinístico associado, considerando as condições yp0q “ a, y pπ4q “b, y pπ2q “ c com a, b, c P R, é dada por

ypxq “ c1ex` c2e

´x cos 2x` c3e´xsen2x . (5.34)

Os coeficientes c1, c2 e c3, de (5.34) são determinados resolvendo o seguintesistema linear de equações

c1e0` c2e

0 cos 0` c3e0sen0 “ a ,

c1eπ4 ` c2e

´π4 cos π2 ` c3e

´π4 senπ2 “ b ,

c1eπ2 ` c2e

´π2 cos π ` c3e

´π2 senπ “ c ,

(5.35)

cuja solução é

c1 “ a1

1` eπ ` ceπ2

1` eπ ,

c2 “ aeπ

1` eπ ´ ceπ2

1` eπ ,

c3 “ ´aeπ2

1` eπ ` beπ4 ´ c

eπ

1` eπ .

Reagrupando os termos, reescrevemos a solução da Equação (5.34) como

y px; a, b, cq “ aw1pxq ` bw2pxq ` cw3pxq ,


ondew1pxq “

ex ` epπ´xq cosp2xq ´ epπ2´xqsenp2xq1` eπ ,

w2pxq “ epπ4´xqsenp2xq ,

w3pxq “ep

π2`xq ´ ep

π2´xq cosp2xq ´ epπ´xqsenp2xq

1` eπ .

(5.36)

As funções w1, w2, e w3 são visualizadas em Figura (35).

0 /8 /4 3 /8 /2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 35 – Gráficos das funções w1, w2 e w3, do Exemplo 5.3, dadas em (5.36).

Seja J a distribuição de possibilidade conjunta de A,B e C e Sx : R3Ñ R

definido como Sx pa, b, cq “ y px; a, b, cq para cada x fixo. Assim, a solução fuzzy do PVCF(5.33) é dada por yJpxq “ pSxqJpA,B,Cq, isto é,

ryJpxqsα “ taw1pxq ` bw2pxq ` cw3pxq : pa, b, cq P rJsαu

“ rAw1pxq `J Bw2pxq `J Cw3pxqsα .

para todo α P r0, 1s, onde o simbolo “`J” denota o operador de soma estabelecido peloprincípio de extensão sup-J .

Cabe notar que yJp0q “ A uma vez que w1p0q “ 1 e w2p0q “ w3p0q “ 0 comoobservado em Figura 35. Similarmente, podemos notar que yJ pπ4q “ B e yJ pπ2q “ C.Portanto, temos que as condições de contorno do PVCF (5.33) são satisfeitas.

Em seguida, dividimos nossa resolução nos casos em que A,B e C são nãointerativos, isto é, J é dada por (5.26), e no caso onde A,B e C são números fuzzylinearmente correlacionados, isto é, J é definida como em (5.28).

No primeiro caso, onde A,B e C são números fuzzy não interativos, temos

ryJpxqsα “ rpypxqsα “ w1pxq“

a´α , a`α

‰

` w2pxq“

b´α , b`α

‰

` w3pxq“

c´α , c`α

‰

, (5.37)



A Figura 36a apresenta a solução fuzzy do PVCF (5.33) com A “ p1; 2; 3q,B “ p´12; 0; 12q e C “ p1; 3; 5q dados pela Equação (5.37), isto é, no caso onde A, B, eC são números fuzzy não interativos.

0 /8 /4 3 /8 /2-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 /8 /4 3 /8 /2-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 36 – Solução fuzzy do PVCF (5.33) do Exemplo 5.3 por α-níveis, em escala decinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), comα “ 0 (tracejado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremo intervalarinferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (emazul): a) Sem interatividade, dada pela Equação (5.37) (figura esquerda), e b)Com interatividade, dada pela Equação (5.38) (figura direita).

No segundo caso, se A,B e C são números fuzzy linearmente correlacionados,isto é, se a distribuição de possibilidade conjunta J considerada é dada por (5.28), então,o número fuzzy yJpxq é dado por

ryJpxqsα “ rpSxqJ pA,B,Cqsα

“ tSx pz, q2z ` r2, q3z ` r3q : z P rAsαu

“ rD `L E `L F sα .

para todo α P r0, 1s, onde o operador `L denota a soma interativa entre os números fuzzylinearmente correlacionados D “ w1pxqA, E “ w2pxqB e F “ w3pxqC.

Note que, a partir de (5.29), consideramos aos números fuzzy B e C comolinearmente correlacionados com A da forma B “ q2A` r2 e C “ q3A` r3.

Uma vez que a solução fuzzy satisfaz as condições de contorno do PVCF(5.33), continuamos nosso estudo da solução fuzzy (interativa) yJpxq para x P p0, π2q comx ‰ π4.

Como pode ser visualizado em Figura 35, wipxq ‰ 0 para i “ 1, 2, 3 se x Pp0, π2q, x ‰ π4. Nesse caso, estabelecemos uma correlação linear para D “ w1pxqA,E “ w2pxqB “ w2pxqpq2A ` r2q, e F “ w3pxqC “ w3pxqpq3A ` r3q com distribuição de


possibilidade conjunta J dada como em (5.28) com L “ tpu, q2u ` r2, q3u ` r3q : u P Ruonde

q2 “w2pxqq2

w1pxq, r2 “ w2pxqr2 ,

q3 “w3pxqq3

w1pxq, r3 “ w3pxqr3 .

Portanto, para todo α P r0, 1s, temos

rD `L E `L F sα “ p1` q2 ` q3qw1pxqrAsα ` pr2 ` r3q . (5.38)

A partir de agora, consideramos A “ p1; 2; 3q, B “ p´12; 0; 12q e C “ p1; 3; 5qno PVCF (5.33) tal que A, B, e C são números fuzzy linearmente correlacionados comdistribuição de possibilidade conjunta J dada em Equação (5.28) com q2 “ ´0.5, q3 “ 2,r2 “ 1, e r3 “ ´1.

A fim de analisar o comportamento da solução yJ , com α-níveis dados por(5.38), estudamos a função h : p0, π4q Y pπ4, π2q Ñ R estabelecida como

ppxq “ 1` w2pxqq2

w1pxq`w3pxqq3

w1pxq“ 1` q2 ` q3. (5.39)

Figura 37 apresenta o gráfico da função p.

0 /8 /4 3 /8 /2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 37 – Gráfico da função p definida em (5.39), do Exemplo 5.3.

A partir da Figura 37, observamos que p é estritamente decrescente sobrep0, π4q e tem uma única raiz ξ1 nesse intervalo. Assim, temos que ppξ1qw1pξ1q “ 0,ppxqw1pxq ą 0 se p0, ξ1q, e ppxqw1pxq ă 0 se pξ1, π4q uma vez que w1pxq ą 0 para todox P p0, π4q.


Similarmente, notamos que p é estritamente decrescente e tem uma única raiz,ξ2, sobre o intervalo pπ4, π2q. Assim, a partir dessa última observação, concluímos queppξ2qw1pξ2q “ 0, ppxqw1pxq ă 0 se pπ4, ξ2q, e ppxqw1pxq ą 0 se pξ2, π2q uma vez quew1pxq ă 0 para todo x P pπ4, π2q.

Portanto, para x P p0, π4q Y pπ4, π2q, os α-níveis de yJpxq são expressoscomo segue:

ryJpxqsα “ ppxqw1pxqrAsα ` qpxq ,

onde qpxq “ w2pxqr2 ` w3pxqr3 “ r2 ` r3.

Figura 38 – Uma visão no espaço xyα da solução fuzzy do PVCF (5.33) do Exemplo 5.3dada por (5.38), por α-níveis em escala de cinzas no espaço-xyα (de brancoaté preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (linha vermelha).

A solução fuzzy yJpxq do PVCF (5.33), com A, B, e C números fuzzy linear-mente correlacionados, dada por (5.38) é apresentada em Figuras 36b e 38. Como esperado,uma vez que ppξ1q “ ppξ2q “ 0, temos que yJpξ1q e yJpξ2q são números reais, o que implicaque o diâmetro da solução yJpxq é zero nesses pontos.

Finalmente, observamos a partir dos resultados do Exemplo 5.3, na Figura 36,que a solução fuzzy obtida via princípio de extensão sup-J está contida na solução fuzzyobtida via princípio de extensão de Zadeh, isto é, a solução interativa apresenta menordiâmetro que a solução não interativa, de acordo com Teorema 5.3 e como descrito em[63].

Na próxima seção, mostraremos que é possível encontrar uma solução fuzzypara um PVCF não linear, isto é, para uma classe de problemas não considerados naproposta de Gasilov et al.


5.4 Solução de um PVCF não linearMuitos fenômenos físicos reais e problemas na engenharia são modelados por

PVCs não lineares, isto é, problemas que são descritos por equações diferenciais cujos termosapresentam não linearidade e condições de contorno, geralmente, obtidas empiricamente.

Nessa seção tratamos com um exemplo específico de um PVCF não linear, oqual possui uma solução analítica do PVC associado. Porém, a interatividade consideradanas condições de contorno permitiu a solução fuzzy do problema, como descrito a seguir.

Exemplo 5.4. Considere o problema (simplificado) de encontrar a forma de um cabo que éfixado em cada extremidade e carrega uma carga distribuída (extraído de [54]). Assumimosque os valores nos extremos são incertos e dados por números fuzzy. Assim, o PVCF quemodela a forma y “ ypxq do cabo, para x P r0, bs, é dado por

$

&

%

y2pxq “ β

b

1` py1pxqq2 ,

yp0q “ H0, ypbq “ Hb .(5.40)

onde H0, Hb P RF e β é um valor constante que descreve a razão entre a componentehorizontal de tensão e o peso por unidade de comprimento do cabo.

Procedendo como nos exemplos anteriores, considere um PVC determinísticoassociado ao PVCF (5.40), com condições de contorno genéricas h0, hb P R, expressadopor

$

&

%

y2pxq “ β

b

1` py1pxqq2 ,

yp0q “ H0, ypbq “ hb .(5.41)

Note que a equação diferencial em (5.41) não é linear. Porém, sua soluçãogeral (determinística) é dada por [54]

ypxq “ c1ph0, hbq `1β

cosh pβ px` c2ph0, hbqqq , (5.42)

onde c1 e c2 (que dependem de h0 e hb), são obtidas ao satisfazer as condições de contornoyp0q “ h0 e ypbq “ hb resolvendo um sistema não linear de equações dado por

$

’

’

&

’

’

%

c1 `1β

cosh pβc2q “ h0 ,

c1 `1β

cosh pβ pb` c2qq “ hb .

(5.43)

Logo, para obter uma solução fuzzy de (5.40), para cada x P r0, bs fixo, aplicamoso princípio de extensão sup-J sobre (5.42). Assim, a solução fuzzy de (5.40) é dada porpSxqJpH0, Hbq com

Sxph0, hbq “ c1ph0, hbq `1β

cosh pβ px` c2ph0, hbqqq ,


onde J é a distribuição de possibilidade conjunta entre H0 e Hb.

No entanto, uma vez que x`c2 está no argumento do cosseno hiperbólico, entãoc2 deve ser um número real e, nesse caso, temos que pSxqJpH0, Hbq e o número fuzzy c1 “

c1pH0, Hbq são linearmente correlacionados. Adicionalmente, a partir do sistema (5.43)notamos que H0 e Hb são linearmente correlacionados, portanto, temos que pSxqJpH0, Hbq

é linearmente correlacionado com c1pH0, Hbq “ H0 ´1β

coshpβc2q. Assim, pSxqJpH0, Hbq eH0 são linearmente correlacionados com

pSxqJpH0, Hbq “ H0 `

„

1β

cosh pβ px` c2qq ´1β

cosh pβc2q

. (5.44)

Note que o lado direito da Equação (5.44) corresponde à extensão de Zadeh do

operador Sxph0q “ h0`

„

1β


cosh pβc2q

para H0 e, portanto, obtemosque

pSxqJpH0, Hbq “ pSxpH0q . (5.45)

Assim, podemos interpretar que a solução fuzzy (5.45) pode ser vista como umnúmero fuzzy H0 movendo-se ao longo da função rpxq dada por

rpxq “1β


cosh pβc2q , (5.46)

para x P r0, bs.

As Figuras 39 e 40 representam a solução fuzzy de (5.40), para x P r0, 1se β “ 0.5, com condições de contorno expressadas pelos números fuzzy GaussianosH0 “ Gp0.2; 1; 0.4q e Hb “ Gp0.2; 1.2; 0.4q.

Finalmente, apresentamos o Teorema 5.4 que conecta a solução fuzzy de umPVCF com uma família parametrizada de soluções para PVCs clássicos, a seguir.

Teorema 5.4. Considere o PVCF$

&

%


yp0q “ A , ypXq “ B ,(5.47)

onde f : r0, Xs ˆ R2Ñ R e A,B P RF .

Além disso, vamos supor que A e B são números fuzzy interativos cuja distri-buição de possibilidade conjunta J é dada por rJsα “ tpa, bq|b “ gpaq, para todo a P rAsαu,para todo α P r0, 1s onde g : RÑ R é uma função bijetiva. Se o PVC clássico

$

&

%


yp0q “ a , ypXq “ b ,(5.48)


Figura 39 – Solução fuzzy do PVCF do Exemplo 5.4 em (5.40), por α-níveis em escalade cinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1),evidenciando α ă expp´ pδσq2q (tracejado em vermelho) e evidenciando emα “ 0.5 o extremo intervalar inferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremointervalar superior y`0.5 (em azul).

1

0.5

0

0.2

1.8

0.4

1.6 1.4 0

0.6

1.2 1 0.8

0.8

0.6 0.4

1

Figura 40 – Solução fuzzy do PVCF do Exemplo 5.4 em (5.40), por α-níveis em escala decinzas no espaço-xyα (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1),evidenciando α ă expp´ pδσq2q (linha vermelha), evidenciando a formaGaussiana da solução fuzzy.

tem uma única solução contínua yp¨q “ Sp¨, a, bq para todo pa, bq P R2 e se o operadorSxp¨, ¨q “ Spx, ¨, ¨q é contínuo para cada x P r0, Xs , então temos

”

pSxqJpA,Bqı

α“

!

Spx, a, gpaqq | a P rAsα

)

,

onde pSxqJpA,Bq é a solução fuzzy do PVCF (5.47) via o princípio de extensão sup-J .


Demonstração. A prova é uma imediata consequência do Corolário 2.1 uma vez que Sxpa, bqé uma função contínua com respeito de pa, bq P R2 e b “ gpaq. Em particular, quando A eB são números fuzzy linearmente correlacionados, temos que gpxq “ qx` r, para algumq, r P R.

O Teorema 5.4 também indica que a solução fuzzy do PVCF (5.47), via oprincípio de extensão, pode ser visto como a união de soluções clássicas de (5.48) e issodepende apenas de A. O Exemplo 5.4 corrobora essa última observação.

Finalmente, destacamos que a solução fuzzy do Exemplo 5.4, obtida a partir daaplicação do princípio de extensão sobre a solução determinística desse caso específico, foiconcebida uma vez que c2 P R e que as condições de contorno H0 e H1 foram estabelecidascomo linearmente correlacionados.

Na seguinte Seção 5.5 traremos a resolução de um PVCF, de forma aproximada,pelos métodos numéricos de elementos finitos e diferenças finitas.

5.5 Solução de um PVCF via Métodos NuméricosNessa Seção estudamos soluções numéricas (aproximadas) para Problemas de

Valores de Contorno Fuzzy (PVCFs) de 2a ordem, unidimensionais e lineares, em que ascondições de contorno são incertas e modeladas por números fuzzy e/ou o termo fonte daequação diferencial é considerada uma função fuzzy.

Na Subseção 5.5.1 descrevemos a configuração necessária para obter soluçõesa partir do Método de Elementos Finitos (MEF) e apresentamos um exemplo aplicadoa um PVCF que modela a equação de Poisson. Já na Subseção 5.5.2 descrevemos aconfiguração necessária para obter soluções a partir do Método de Diferenças Finitas(MDF) e apresentamos um exemplo aplicado a um PVCF que modela a equação de Besselde ordem 12.

5.5.1 Solução de um PVCF via Método de Elementos Finitos

Destacamos que a metodologia e os resultados descritos nessa subseção foramapresentados em [58]. Uma similar descrição é apresentada por Tapaswini et al., paralela-mente, em [66]. Em ambos casos, é assumido o uso da derivada de Hukuhara (Definição2.6) para obter uma solução fuzzy a partir de seus α-níveis, que são intervalos da reta real.Porém, no trabalho de Tapaswini et al. em [66], que assume erroneamente a existência desoluções exatas para PVCs baseadas em metodologias usadas para determinar soluçõesfuzzy de PVIs, é modificada a forma da solução estabelecida pelo MEF de Galerkin clássico.

No nosso trabalho, em [58], tentamos obter uma solução fuzzy mediante asolução numérica de PVCs associados mantendo toda a estrutura tradicional do MEF de


Galerkin (da Seção 1.2). Nossa metologia proposta é descrita a seguir, em detalhes e emparticular, para a equação de Poisson [6, 16] unidimensional.

Primeiramente, consideramos o PVC em x P ra, bs, da forma$

&

%

´y2pxq “ fpxq ,

ypaq “ A , ypbq “ B ,(5.49)

em que as condições de contorno A,B P RF e fpxq uma função real.

De fato, propomos uma adaptação no espaço de funções “solução” requeridano MEF clássico (Equação 1.21), de forma que elas sejam funções fuzzy (Definição 2.22)que representem a solução fuzzy do problema. Assim, para resolver o PVCF (5.49), umavez que as condições de contorno são números fuzzy, consideramos que y : ra, bs Ñ RF éuma função fuzzy com α-níveis dados por ry´α pxq, y`α pxqs, onde os extremos intervalares y´αe y`α são funções (determinísticas) reais. Então, caracterizamos uma notação para o PVCF(5.49) em forma paramétrica (extremos intervalares), usando o esquema da derivada deHukuhara (Teorema 2.6) para cada α P r0, 1s e para x P ra, bs, como

$

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

%

´py´α q2pxq “ fpxq ,

y´α paq “ a´α , y´α pbq “ b´α ,

´py`α q2pxq “ fpxq ,

y`α paq “ a`α , y`α pbq “ b`α

(5.50)

Na forma paramétrica estabelecida em (5.50) obtemos, para cada α P r0, 1sfixado, dois PVCs (clássicos) associados ao PVCF (5.49). Portanto, uma vez que o MEFde Galerkin permite resolver aproximadamente um PVC para a equação de Poissonunidimensional em forma clássica, isto é, com parâmetros e condições de contorno sendonúmeros reais como descrito em Seção 1.2, podemos resolver cada um desses PVCs (5.50),em forma paralela e para cada α-nível, e obter intervalos encaixados que aproximam asolução fuzzy para o PVCF (5.49).

Primeiramente, multiplicamos a equação diferencial de cada PVC em (5.50)por uma função “teste” v “ vpxq a qual pertence a um determinado espaço V 0 de funçõesreais (espaço de Sobolev) estabelecido como

V 0“

"

v :ˆ b

a

pvpxq2 ` v1pxq2qdx ă 8, vpaq “ vpbq “ 0*

.

Note que, embora as condições de contorno sejam números fuzzy (por exemplo,A,B ‰ 0), a homogeneidade das funções “teste” nos extremos do domínio vpaq “ vpbq “ 0é mantida, uma vez que elas são usadas em x P pa, bq.


Seguidamente, integramos em x P ra, bs e para todo v P V 0, obtendo

´

ˆ b

a

py´α q2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx ,

´

ˆ b

a

py`α q2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx .

Logo, integrando por partes, e uma vez que v P V 0, obtemos

´

ˆ b

a

py´α q2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

py´α q1pxqv1pxqdx´

“

py´α q1pxqvpxq

‰b

a“

ˆ b

a

py´α q1pxqv1pxqdx ,

´

ˆ b

a

py`α q2pxqvpxqdx “

ˆ b

a

py`α q1pxqv1pxqdx´

“

py`α q1pxqvpxq

‰b

a“

ˆ b

a

py`α q1pxqv1pxqdx .

Agora, desde que ypaq “ A e ypbq “ B são condições de contorno modeladas pornúmeros fuzzy, precisamos soluções ypxq : ra, bs Ñ RF da forma rypxqsα “ ry´α pxq, y`α pxqs,para cada α P r0, 1s, no espaço:

V “

#

y :ˆ b

a

`

y´α pxq2 ` py´α q

1pxq2˘

dx ă 8,

ˆ b

a

`

y`α pxq2 ` py`α q

1pxq2˘

dx ă 8, ypaq “ A, ypbq “ B

+

.

Dessa forma, obtemos a formulação variacional paramétrica do problema (5.50),que significa encontrar y P V que satisfaz, @v P V 0 e para cada α P r0, 1s:

ˆ b

a

py´α q1pxqv1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx ,

ˆ b

a

py`α q1pxqv1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx .

(5.51)

Tal como no caso determinístico descrito na Seção 1.2, resolver o PVCF (5.49),considerando a sua forma paramétrica (5.50), é equivalente a resolver um problema emuma formulação variacional paramétrica (5.51), para cada α P r0, 1s.

Uma vez que y P V (sendo V um espaço de dimensão infinita), desejamosconstruir uma solução aproximada yh, em um espaço de dimensão finita (Vh). Para tal fim,consideramos a partição

τh : a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn ă xn`1 “ b ,

do domínio ra, bs em subintervalos Ii “ pxi´1, xiq, com comprimento |Ii| “ hi “ xi ´ xi´1,para i “ 1, 2, ..., n` 1. Assim, os espaços discretos, para funções “solução” yhpxq : ra, bs ÑRF , tal que ryhpxqsα “ rpy

´α qhpxq, py

`α qhpxqs, @α P r0, 1s, e funções “teste” vhpxq : ra, bs Ñ R,

podem ser definidos como:

Vh “ tyh : py´α qh e py`α qh são funções contínuas sobre τh , e yhpaq “ A, yhpbq “ Bu,

V 0h “ tvh : vh é função contínua sobre τh , vhpaq “ vhpbq “ 0u.


Assim, obtemos a formulação de elementos finitos paramétrica (a formulaçãovariacional paramétrica (5.51) discreta), que significa encontrar yh P Vh que satisfaz,@v P V 0

h e para cada α P r0, 1s:ˆ b

a

py´α q1hpxqv

1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx ,

ˆ b

a

py`α q1hpxqv

1pxqdx “

ˆ b

a

fpxqvpxqdx .

(5.52)

Agora, podemos inferir que ryhpxqsα “ rpy´α qhpxq, py`α qhpxqs é combinação linearde funções de base φj “ ξjϕj, do espaço Vh no qual ξj P RF , com α-níveis dados porrξjsα “ rpξ

´α qj, pξ

`α qjs e para j “ 0, 1, ..., n` 1, ou seja

rpy´α qhpxq, py`α qhpxqs “

«

n`1ÿ

j“0pξ´α qjϕjpxq,

n`1ÿ

j“0pξ`α qjϕjpxq

ff

. (5.53)

Logo, dado que v P V 0h , escolhemos vpxq “ ϕipxq para i “ 1, ..., n. Assim,

colocando com (5.53) e ordenando em (5.52), temos @v P V 0h e para cada α P r0, 1s:

n`1ÿ

j“0pξ´α qj

ˆˆ b

a

ϕ1jpxqϕ1ipxqdx

˙

“

ˆ b

a

fpxqϕipxqdx ,

n`1ÿ

j“0pξ`α qj

ˆˆ b

a

ϕ1jpxqϕ1ipxqdx

˙

“

ˆ b

a

fpxqϕipxqdx .

Isto resulta em um problema discreto representado por um sistema de equaçõesparamétrico, que em forma matricial fica expressado pelos sistemas lineares

Mz “ d e Mz “ d , (5.54)

onde a matriz (de rigidez) M “ tmijuni,j“1 com M P Rnˆn, é da forma

mij “

ˆ b

a

ϕ1jpxqϕ1ipxqdx , (5.55)

e os vetores z “ tpξ´α qjunj“1, z “ tpξ`α qjunj“1, d “ tpd´α qiuni“1 e d “ tpd`α qiuni“1, sendo

pd´α qi “

ˆ b

afpxqϕipxqdx´

ˆ

pξ´α q0

ˆ b

aϕ1ipxqϕ

10pxqdx` pξ

´α qn`1

ˆ b

aϕ1ipxqϕ

1n`1pxqdx

˙

,

pd`α qi “

ˆ b

afpxqϕipxqdx´

ˆ

pξ`α q0

ˆ b

aϕ1ipxqϕ

10pxqdx` pξ

`α qn`1

ˆ b

aϕ1ipxqϕ

1n`1pxqdx

˙

.

(5.56)

Destacamos que a forma de resolução dos vetores d e d é como descrita naEquação (1.27), da Seção 1.2, agregando a contribuição das condições de contorno, comoestabelecido em (5.56), na primeira e última linha (pela configuração das funções de baseutilizadas) nos sistemas (5.54).


Cabe ressaltar que a resolução de ambos os sistemas matriciais (5.54), paracada α P r0, 1s, forneceram, a cada vez, um vetor de coeficientes

zT “ r z z s “ r pξ´α q1 ¨ ¨ ¨ pξ´α qn pξ`α q1 ¨ ¨ ¨ pξ`α qn s ,

que estabelecem a representação paramétrica (por α-níveis) da solução fuzzy (numérica-aproximada) yh em (5.53).

Exemplo 5.5. Considere o PVCF (5.49) para x P r0, 1s, fpxq “ x e com condições decontorno os números fuzzy triangulares A “ p´0.1; 0; 0.1q e B “ p´0.01; 0; 0.01q.

Resolvemos segundo a metodologia descrita anteriormente, por exemplo, con-sideramos uma partição homogênea, isto é, para h “ hi, e as funções de base ϕj, paraj “ 1, ..., n:

ϕjpxq “

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

x´ xj´1

h, xj´1 ď x ă xj ,

xj`1 ´ x

h, xj ď x ď xj`1 ,


(5.57)

e para j “ t0, n` 1u (já que as condições de contornos não são nulas):

ϕ0pxq “

$

’

&

’

%

x1 ´ x

h, x0 ď x ď x1 ,

0 , caso contrário ,e ϕn`1pxq “

$

’

&

’

%

x´ xnh

, xn ď x ď xn`1 ,

0 , caso contrário .(5.58)

Para a resolução dos sistemas (5.54) devemos achar os valores de todas asintegrais anteriormente apresentadas em (5.55) e (5.56).

Então, nos elementos da matriz M , derivando as funções de base utilizadas eintegrando, para qualquer α P r0, 1s, obtemos

tmiju “

$

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

%

mii “2h, @i “ 1, 2, ..., n .

mi,j´1 “ mi´1,j “´1h, @i, j “ 2, ..., n .

mij “ 0 , para |i´ j| ą 1 .

(5.59)

Logo, de forma tradicional, usando a notação fpxiq “ fi para uma aproximaçãoconstante por partes de fpxq em cada elemento Ii da partição τh, podemos obter os vetoresd e d, utilizando na integração requerida a aproximação de Taylor para fi`1 “ fi `Ophqem funções suficientemente suaves. Assim, os elementos dos vetores (5.56) (de carga), porcada α P r0, 1s, são estabelecidos como

pd´α qi, pd`α qi

(

“

$

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

%

pd´α q1 “ hf1 `pξ´α q0h

, pd`α q1 “ hf1 `pξ`α q0h

, i “ 1.

pd´α qi “ hfi , pd`α qi “ hfi , i “ 2, ..., n´ 1.

pd´α qn “ hfn `pξ´α qn`1

h, pd`α qn “ hfn `

pξ`α qn`1h

, i “ n.

(5.60)


Seguidamente, uma vez que rAsα “ ra´α , a`α s “ r0.1pα´ 1q, 0.1p1´αqs e rBsα “rb´α , b

`α s “ r0.01pα ´ 1q, 0.01p1´ αqs, determinamos os α-níveis de ξ0 e de ξn`1:

py´α qhp0q “ pξ´α q0ϕ0p0q “ pξ´α q0 “ a´α “ 0.1pα ´ 1q ,

py`α qhp0q “ pξ`α q0ϕ0p0q “ pξ`α q0 “ a`α “ 0.1p1´ αq ,

py´α qhp1q “ pξ´α qn`1ϕn`1p1q “ pξ´α qn`1 “ b´α “ 0.01pα ´ 1q ,

py`α qhp1q “ pξ`α qn`1ϕn`1p1q “ pξ`α qn`1 “ b`α “ 0.01p1´ αq .

(5.61)

Finalmente, considerando fpxq “ x, resolvemos o sistema estabelecendo umaaproximação constante por partes em cada elemento da partição da forma fi “ fpxiq “

xi “ ih, para i “ 1, ..., n.

Figura 41 – Solução (numérica) fuzzy do PVCF do Exemplo 5.5: Por α-níveis em escala decinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), comα “ 0 (tracejado vermelho) e evidenciando para α “ 0.5 o extremo intervalarinferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (emazul).

Cabe destacar que, nesse Exemplo 5.5 e pelas funções de base utilizadas (5.57)e (5.58), cada um dos dois sistemas (5.54) terá solução única, para cada α P r0, 1s, umavez que M se trata de uma matriz (5.59) tridiagonal, simétrica e definida positiva, o que atorna não singular. Também, observamos que os efeitos das condições de contorno fuzzyficam evidenciados na primeira e última linha dos vetores de carga (5.60).

Finalmente, os gráficos da solução (numérica) fuzzy do Exemplo 5.5, Figuras41 e 42, ilustram dupla interpretação. Em primeiro lugar, como um conjunto de trajetóriasdeterminísticas, com domínio x P r0, 1s do problema, que limitam inferior e superiormente


1

0.5

0

0.15

0.2

0.10.05

0

0.4

0-0.05-0.1

0.6

0.8

1

Figura 42 – Solução (numérica) fuzzy do Exemplo 5.5, via MEF, por α-níveis em escalade cinzas no espaço-xyα (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1),com α “ 0 (linha vermelha), evidenciando a forma triangular da solução fuzzy.

à solução determinística (quando os contornos são números reais), cuja melhor aproximação(a solução preferida) acontece no grau de pertinência máximo (α “ 1). Em segundo lugar,a solução fuzzy pode ser vista como função fuzzy, a qual fornece um número fuzzy paracada x (fixo) do domínio, @α P r0, 1s.

5.5.2 Solução de um PVCF via Método de Diferenças Finitas

Destacamos que os resultados dessa subseção foram submetidos em [60]. Simi-lares descrições foram apresentadas por Allahviranloo e Khalilpour em [2] e por Dahalanet al. em [24], brevemente descritas em Seção 4.4. Em todos os casos, é assumido o usode derivadas fuzzy e o esquema de diferenças centradas (da Equação (1.29)), baseada nasérie de Taylor clássica, para obter uma solução (numérica) fuzzy a partir de seus α-níveis.Porém, no trabalho de Allahviranloo e Khalilpour em [2], baseado na gH-diferenciabilidade,são assumidas funções fuzzy dentro da série de Taylor, o qual forneceu uma configura-ção matricial que estabeleceu soluções fuzzy impróprias (ver Figura 28). No trabalhode Dahalam em [24], baseada na H-diferenciabilidade (o qual é limitante para muitosPVCFs de acordo com Teorema 4.1), é usada a série de Taylor clássica e apresenta soluções(numéricas) fuzzy próprias (ver Figura 29). Portanto, diferente dos casos anteriores, nonosso trabalho em [60], usamos a gH-diferenciabilidade e tentamos obter uma soluçãofuzzy mediante a solução numérica de PVCs associados mantendo o esquema de diferençascentradas tradicional do MDF (da Seção 1.3). Assim, nossa metologia proposta é descritaa seguir.

Considere um PVCF linear, de 2a ordem e de coeficientes variáveis em x P


ra, bs Ă R, da forma$

&

%

rpxqy2pxq ` ppxqy1pxq ` qpxqypxq “ F pxq ,

ypaq “ A , ypbq “ B ,(5.62)

onde as condições de contorno A,B P RF (são números fuzzy), rpxq, ppxq e qpxq sãofunções reais e F : ra, bs Ñ RF é uma função fuzzy.

Assim, para resolver de forma aproximada o PVCF (5.62), estabelecemos umaestrutura matemática necessária mediante a combinação do uso de derivada generalizadade Hukuhara (Definição 2.28) e o MDF clássico (descrito em Seção 1.3).

Primeiramente, uma vez que em (5.62) F é uma função fuzzy e as condiçõesde contorno A,B P RF , consideramos que a solução deve ser uma função fuzzy (Definição2.22), isto é, ypxq P RF tal que rypxqsα “ ry´α pxq, y`α pxqs, @α P r0, 1s.

Logo, assumindo que em (5.62) o campo é duas vezes gH-diferenciável, podemosestabelecer quatro PVCs intervalares, segundo a metodologia estabelecida por Khastan eNieto descrita em Seção 4.2, em termos dos α-níveis e a partir das duas formas possíveisda gH-diferenciabilidade (segundo Teorema 2.7), dados por

PVC-(1,1)#

rpxqrpy´α q2pxq, py`α q

2pxqs ` ppxqrpy´α q1pxq, py`α q

1pxqs ` qpxqry´α pxq, y`α pxqs “ rf

´α pxq, f

`α pxqs ,

ypaq “ ra´α , a`α s , ypbq “ rb´α , b

`α s .

(5.63)

PVC-(1,2)#

rpxqrpy`α q2pxq, py´α q

2pxqs ` ppxqrpy´α q1pxq, py`α q


´α pxq, f

`α pxqs ,


`α s .

(5.64)

PVC-(2,1)#

rpxqrpy`α q2pxq, py´α q

2pxqs ` ppxqrpy`α q1pxq, py´α q


´α pxq, f

`α pxqs ,


`α s .

(5.65)

PVC-(2,2)#

rpxqrpy´α q2pxq, py`α q

2pxqs ` ppxqrpy`α q1pxq, py´α q


´α pxq, f

`α pxqs ,


`α s .

(5.66)

Recordamos que a notação PVC-(j,k), dos PVCs intervalares (5.63)-(5.66),significa o uso da forma (j)-gH-diferenciável para ypxq e da forma (k)-gH-diferenciávelpara y1pxq, com j, k P t1, 2u.

Cada um dos PVCs intervalares fornece um sistema de duas equações diferenciaisordinárias (EDOs) e condições de contorno determinísticas (já que os extremos intervalaressão funções reais) para cada α P r0, 1s. Por exemplo, para o PVC (5.63), que é equivalente


ao uso da derivada de Hukuhara (Definição 2.6), temos$

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

%

rpxqpy´α q2pxq ` ppxqpy´α q

1pxq ` qpxqy´α pxq “ f´α pxq ,

y´α paq “ a´α , y´α pbq “ b´α .

rpxqpy`α q2pxq ` ppxqpy`α q

1pxq ` qpxqy`α pxq “ f`α pxq ,

y`α paq “ a`α , y`α pbq “ b`α .

(5.67)

Assim, é possível resolver cada sistema associado, a cada PVC intervalar, peloMDF como descrito em Seção 1.3, isto é, com discretização τh : a “ x1 ă x2 ă ¨ ¨ ¨ ă

xn ă xn`1 “ b do intervalo ra, bs, comprimento homogêneo h “ b´ an e o esquema dediferenças centradas de segunda ordem (em (1.29)), para a primeira e segunda derivada dey´α pxq e y`α pxq.

Logo, recordando xi “ a` pi´ 1qh e as aproximações (constantes por partes)para ypxiq “ yi, ri “ rpxiq, pi “ ppxiq e qi “ qpxiq, com i “ 2, ..., n, obtemos n´1 equaçõeslineares, que representam, em forma discreta, cada EDO nos sistemas associados aos quatroPVCs intervalares (5.63)-(5.66). Assim, no caso do sistema (5.67) temos

ripy´α qi´1 ´ 2py´α qi ` py´α qi`1

h2 ` pipy´α qi`1 ´ py

´α qi´1

2h ` qipy´α qi “ pf

´α qi , e

ripy`α qi´1 ´ 2py`α qi ` py`α qi`1

h2 ` pipy`α qi`1 ´ py

`α qi´1

2h ` qipy`α qi “ pf

`α qi .

(5.68)

Para resolver as 2pn´1q equações lineares em (5.68), correspondentes ao sistema(5.67) em termos das soluções requeridas py´α qi e py`α qi com i “ 1, 2, .., n` 1 (já que ypaq eypbq são números fuzzy dados), configuramos uma estrutura matricial Sy “d, a resolverpara cada α P r0, 1s e dada por

S “

«

S1 S2

S2 S1

ff

, yT “”

py´α q1 ¨ ¨ ¨ py´α qn`1 py`α q1 ¨ ¨ ¨ py`α qn`1

ı

e d “

«

d1

d2

ff

.

Portanto, no caso específico do sistema (5.67), temos que S2 “ On`1 e

S1 “

»

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

–

1 0 0 ¨ ¨ ¨ 0r1

h2 ´p1

2h´2r1

h2 ` q1r1

h2 `p1

2h. . . ...

0 r2

h2 ´p2

2h´2r2

h2 ` q2. . . 0

... . . . . . . . . .rnh2 ´

pn2h

´2rnh2 ` qn

rnh2 `

pn2h

0 ¨ ¨ ¨ 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

,

dT1 “”

a´α pf´α q2 ¨ ¨ ¨ pf´α qn b´α

ı

e dT2 “”

a`α pf`α q2 ¨ ¨ ¨ pf`α qn b`α

ı

.


Dependendo das configurações estabelecidas pela gH-diferenciabilidade nosPVCs (5.64), (5.65) e (5.66), o formato das 2pn´ 1q equações lineares e os elementos dasmatrizes S1 e S2, em cada caso, muda (por exemplo, S2 deixa de ser nula, isto é, S2 ‰ On).

Cabe mencionar que, a configuração matricial estabelecida aqui é apresentadaem forma geral para resolver PVCFs cujas equações diferenciais possuam coeficientesvariáveis, isto é, para PVCFs (como o PVCF da Equação (5.62)) onde possa não serpossível a obtenção de soluções analíticas dos PVCs associados. Assim, um PVCF comcoeficientes variáveis é apresentado no Exemplo 5.6 a seguir.

2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 43 – Solução (numérica) fuzzy do PVCF (5.69) do Exemplo 5.6, via MDF e segundoo esquema para o PVC-(1,1) em (5.63): Por α-níveis em escala de cinzas noplano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0(tracejado vermelho) e evidenciando para α “ 0.5 o extremo intervalar inferiorda solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

Exemplo 5.6. Considere o PVCF, que modela a equação de Bessel de ordem 12, lineare com coeficientes variáveis em x P r1, 15s, dado por [49]

$

’

&

’

%

x2y2pxq ` xy1pxq `

ˆ

x2´

14

˙

ypxq “ F pxq ,

yp1q “ A , yp15q “ B ,

(5.69)

onde A “ p0.5; 1; 1.5q, B “ p´0.25; 0; 0.25q e F pxq “ F “ p´2; 0; 2q, isto é, A, B, eF P RF .

Portanto, segundo a metodologia descrita nessa seção podemos estabelecer erepresentar as quatro formas intervalares distintas, (5.63)-(5.66), da gH-diferenciabilidade.

Assim, realizamos simulações computacionais para n “ 128 subintervalos nadiscretização do domínio x P r1, 15s, conferindo a estabilidade do esquema numérico umavez que o Núcleo de Péclet obtido (« 1.6406) foi menor que 2.


2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


A partir das soluções numéricas deste Exemplo 5.6 apresentado, visualizadasnas Figuras 43-46, não podemos discernir qual das quatro formas é a solução fuzzy aescolher nem comprovar se são ou não duas vezes gH-diferenciáveis (porque não temossolução analítica para derivar). Porém, as formas primeira (Figura 43) e quarta (Figura46) apresentam situações de mudança imprópria de números fuzzy, isto é, para algunsvalores de x temos que a solução não representa um número fuzzy. Nesse sentido, as formassegunda (Figura 44) e terceira (Figura 45), que apresentam forma senoidal, são maisadequadas (visualmente) como solução do PVCF (5.69) que modela a equação de Bessel.Como se sabe essa equação tem múltiplas aplicações em diversos campos da ciência comoelectromagnetismo, processos de condução de calor e difusão, processamento de sinais,vibrações e radiação acústica, entre outras.

Na seguinte Seção 5.6 serão feitos comentários e propostas de implementação apartir de alguns questionamentos sobre o uso de derivadas fuzzy em soluções baseadas nosmétodos numéricos apresentados nesta Seção. Também, alguns comentários comparativoscom soluções fuzzy interativas para PVCFs serão feitos.

5.6 Questionamentos sobre soluções numéricas de PVCFsNessa Seção tratamos alguns questionamentos a partir das metodologias sobre

soluções numéricas de PVCFs da Seção 5.5.


2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


1. Uso dos esquemas baseados na H-diferenciabilidade ou gH-diferenciabilidade paradeterminar soluções fuzzy para PVCFs via métodos numéricos MEF e MDF.

2. Comparações entre solução fuzzy interativa e soluções via métodos numéricos paraum PVCF.


Sobre o primeiro item, cabe mencionar que a metodologia de solução numéricapara PVCFs via MEF, baseada na H-diferenciabilidade, descrita na Subseção 5.5.1 e em[58], pode ser estendida para PVCFs, lineares de 2a ordem e com coeficientes variáveis,segundo as duas formas da gH-diferenciabilidade, isto é, podemos estabelecer quatro PVCsdeterminísticos associados a um PVCF, tal como descritos pelos Sistemas (5.63)-(5.66),segundo a metodologia de Khastan e Nieto descrita em Seção 4.2. Tal extensão do MEF,combinado com os esquemas de gH-diferenciabilidade, é possível como consequência diretado fato que funções H-diferenciáveis são, também, gH-diferenciáveis e, assim, a formaintervalar estabelecida pela derivada de Hukuhara é contemplada (da forma PVC-(1,1) naEquação (5.63)) nos esquemas determinados segundo a derivada generalizada de Hukuhara,em acordo com o Teorema 2.7.

Por outro lado, os resultados apresentados no Exemplo 5.6, segundo a meto-dologia descrita na Subseção 5.5.2 e em [60], isto é, via MDF combinado com esquemasbaseados na gH-diferenciabilidade, consideram soluções ypxq que podem revelar (Figuras43 ou 46), para alguns valores de x, intervalos impróprios (y´α ą y`α ) e, consequentemente,ypxq não representar uma solução fuzzy. Neste caso, a interpretação do fenômeno físiconão é clara e a unicidade da solução fuzzy para um PVCF é perdida.

Uma tentativa para “restaurar” intervalos impróprios pode ser estabelecidacomo segue. Segundo Bede e Stefanini em [15], a derivada generalizada de Hukuhara, gH,pode ser representada numa única forma intervalar (Equação (5.70)), para cada α-nível, apartir do seguinte Teorema:

Teorema 5.5. [12, 64] Seja F : ra, bs Ñ RF , com rF pxqsα ““

f´α pxq, f`α pxq

‰

, tal que asfunções f´α pxq e f`α pxq são funções reais, diferenciáveis com respeito a x e uniformementecontínuas em α P r0, 1s. Então a função F pxq é gH-diferenciável em x P ra, bs fixado, se, esomente se, um dos seguintes casos ocorra:

a. pf´α q1pxq é crescente, pf`α q1pxq é decrescente como função de α e pf´1 q1pxq ď pf`1 q1pxq.

b. pf´α q1pxq é decrescente, pf`α q1pxq é crescente como função de α e pf`1 q1pxq ď pf´1 q1pxq.

Além disso, para todo α P r0, 1s, temos“

F 1gHpxq‰

α““

min

pf´α q1pxq, pf`α q

1pxq

(

,max

pf´α q1pxq, pf`α q

1pxq

(‰

. (5.70)

Assim, características impróprias apresentadas nas soluções fuzzy, como visuali-zadas na Figura 24 (da Seção 4.2) ou nas Figuras 43 e 46 (da Subseção 5.5.2), poderiam ser“corrigidas”, para cada x do domínio, trocando os extremos intervalares na solução numéricaestabelecida de modo a obter sempre um número fuzzy. Tal configuração pretenderia serequivalente da forma intervalar da Equação (5.70). Porém, a aplicação do Teorema 5.5 épossível, por enquanto, no caso de ter a expressão analítica da função ypxq da solução fuzzy


(caso do Exemplo 4.2). Portanto, nas soluções baseadas em métodos numéricos (Seção 5.5)não seria possível usar a Equação (5.70), já que não temos explicitada a função soluçãoem forma analítica.

Sobre o segundo questionamento, queremos visualizar algum tipo de relaciona-mento entre soluções numéricas para PVCFs, como as determinadas via MDF (Subseção5.5.2) e soluções fuzzy interativas para PVCFs, segundo a metodologia descrita na Seção5.2. Para isso, focamos no seguinte exemplo.

Exemplo 5.7. Considere o PVCF, que modela a equação de Bessel de ordem 12, linear,homogênea e com coeficientes variáveis em x P r1, 15s, dado por [49]

$

’

&

’

%

x2y2pxq ` xy1pxq `

ˆ

x2´

14

˙

ypxq “ 0 ,

yp1q “ A , yp15q “ B ,

(5.71)

onde A “ p0.5; 1; 1.5q, B “ p´0.25; 0; 0.25q são números fuzzy. Note que o PVCF (5.71) éo PVCF homogêneo do Exemplo 5.6, isto é, considerando F pxq “ 0.

2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


A partir da metodologia descrita na Subseção 5.5.2, baseada nos esquemassegundo a gH-diferenciabilidade, podemos estabelecer quatro soluções numéricas via MDF(sob as mesmas características na simulação do Exemplo 5.6), para o PVCF (5.71).

Por um lado, a Figura 47 representa a solução fuzzy (numérica) do PVCF(5.71), via MDF segundo o esquema para o PVC-(1,1) descrito em (5.63).


Por outro lado, uma vez que as condições de contorno podem ser consideradaslinearmente correlacionadas, com q0 “ 12 e r0 “ 12, podemos estabelecer uma soluçãofuzzy, analítica e interativa (aplicando o princípio de extensão sup-J sobre a soluçãoanalítica para a Equação (diferencial) de Bessel homogênea [49]), para o PVCF (5.71).

A Figura 48 representa a solução fuzzy (interativa) para o PVCF (5.71), consi-derando as condições de contorno A e B como números fuzzy linearmente correlacionados.

Figura 48 – Solução (interativa) fuzzy do PVCF (5.71) do Exemplo 5.7, via princípio deextensão sup-J : Por α-níveis em escala de cinzas no plano-xy (de branco atépreto interpreta de α “ 0 até α “ 1), com α “ 0 (tracejado vermelho) eevidenciando para α “ 0.5 o extremo intervalar inferior da solução y´0.5 (emverde) e o extremo intervalar superior y`0.5 (em azul).

Com relação aos resultados do Exemplo 5.7, podemos comentar os seguinteaspectos. Primeiramente, verificamos a existência de interatividade “implícita” na soluçãonumérica (para a forma PVC-(1,1), via MDF combinado com os esquemas segundo agH-diferenciabilidade), mas com presença de intervalos impróprios, o que não representauma solução fuzzy em todo o domínio (ver Figura 47). Em seguida, a metodologia sup-Jproduz, de fato, uma solução fuzzy (interativa), estabelecendo um número fuzzy a cada xdo domínio do problema modelado (ver Figura 48).

Portanto, podemos inferir (segundo esses resultados iniciais) que a solução fuzzyinterativa para um PVCF (considerando condições de contorno números fuzzy linearmentecorrelacionados) é equivalente da solução “corrigida” do PVC-(1,1), segundo o esquemaimposto pela gH-diferenciabilidade da Equação (5.63) (considerando essa última soluçãodo PVC-(1,1) como aquela obtida numericamente via MDF ou analiticamente segundometodologia de Khastan e Nieto)).


Finalmente, enfatizamos que todos os comentários dados nessa seção são mera-mente observações iniciais, que ajudam a responder possíveis questionamentos colocadosno começo da seção, os quais serão parte de pesquisas futuras.

Na seguinte Seção 5.7 será apresentado um exemplo, aplicado na Biomatemática,de resolução para um PVCF que modela a concentração de uma substância num tubounidimensional.

5.7 Aplicação de um PVCF na BiomatemáticaNessa seção apresentamos a solução fuzzy para um PVCF como exemplo de

aplicação na área de Biomatemática.

Primeiramente, abordamos um modelo clássico (determinístico) extraído de [17].O problema trata da difusão de uma substância (com coeficiente de difusão D constante) apartir de um ponto x “ 0, onde sua concentração é y0, para x “ L, onde sua concentraçãoé yL. Estamos admitindo que o problema é unidimensional e interpretamos ypxq como umaconcentração de linha (concentração num tubo unidimensional), isto é, a quantidade dematéria por unidade de comprimento. Em termos de y, o problema de valores de contornoé dado por

$

&

%

D y2pxq “ 0 , 0 ď x ď L ,

yp0q “ y0 ypLq “ yL .(5.72)

Note que o PVC (5.72) é um caso particular do PVC genérico (1.2) cuja equaçãodiferencial é de coeficientes constantes, linear e homogênea. Assim, a sua solução geral(obtida por meio dos métodos descritos na Seção 1.1) é dada por

ypxq “ y0

´

1´ x

L

¯

` yL

´x

L

¯

. (5.73)

Adicionalmente, outras grandezas que descrevem o fenômeno de difusão estudado podemser estabelecidas a partir da solução da Equação 5.73. Por exemplo, consideremos o fluxoJ como a taxa em que a matéria passa em um ponto com concentração ypxq, isto é, [17]

J “ ´Ddy

dx“D

Lpy0 ´ yLq , (5.74)

e o número N de partículas no tubo (unidimensional) como

N “

ˆ L

0ypxq dx “

L

2 py0 ` yLq . (5.75)

Como visualizado acima, a solução do PVC (5.72) e outras grandezas associadas,como as das Equações (5.74) e (5.75), dependerá (fortemente) dos valores do coeficiente dedifusão e das condições de contorno. Assim, de modo ilustrativo, consideramos incertezapara obtenção do valor numérico na condição de contorno y0, em (5.72), e estabelecemosela como um número fuzzy, portanto, transformamos o problema em um PVCF.


Exemplo 5.8. Considere o problema unidimensional de encontrar a concentração em umtubo de uma substância com coeficiente de difusão D P R. Assumimos que os valores nosextremos são incertos e modelados por números fuzzy. Assim, o PVCF que descreve aconcentração y “ ypxq da substância é dado por

$

&

%

D y2pxq “ 0 , 0 ď x ď L ,

yp0q “ A ypLq “ B .(5.76)

onde A “ p0.95; 1; 1.05q e B “ r0 (a partir do modelo biomatemático em [17], as partículasque chegam a L são assumidas como removidas imediatamente) são números fuzzy.

Figura 49 – Solução fuzzy do PVCF (5.76) via princípio de extensão: Por α-níveis emescala de cinzas no plano-xy (de branco até preto interpreta de α “ 0 atéα “ 1), com α “ 0 (tracejado vermelho) e evidenciando em α “ 0.5 o extremointervalar inferior da solução y´0.5 (em verde) e o extremo intervalar superiory`0.5 (em azul).

Como mencionado na Seção 5.1, consideramos um subconjunto aberto U de R2

tal que rAs0 ˆ rBs0 Ă U e que exista uma solução yp¨, y0, yLq de (5.72) com py0, yLq P U .Então, para cada x fixo, definimos o operador Sx : U Ñ R, por Sxpy0, yLq “ ypx, y0, yLq.

Uma vez que as condições de contorno A e B não são interativas, já que B “ r0,usamos o princípio de extensão de Zadeh para obter uma solução y : r0, Ls Ñ RF para(5.76) dada por ypxq “ pSxpA,Bq. Além disso, se pSx é uma função contínua, então peloTeorema 2.3 e para todo α P r0, 1s, temos

rpSxpA,Bqsα “ SxprAsα ˆ rBsαq

“ tSxpy0, yLq : y0 P rAsα “ ra´α , a

`α s e yL P rBsα “ rb

´α , b

`α su

“

´

1´ x

L

¯

ra´α , a`α s `

´x

L

¯

rb´α , b`α s .

(5.77)


Assim, considerando L “ 1 e uma vez que rAsα “ r0.05α` 0.95, 1.05´ 0.05αse rBsα “ r0, 0s, temos que a solução fuzzy do Exemplo 5.8, em termos dos seus α-níveis, é

rypxqsα “ p1´ xq r0.05α ` 0.95, 1.05´ 0.05αs . (5.78)

A solução fuzzy do modelo biomatemático do PVCF (5.76) dada por (5.78) éapresentada nas Figuras 49 e 50.

0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5

1

00.10.20.30.40.50.60 0.70.8

Figura 50 – Solução fuzzy do PVCF (5.76) baseadas no princípio de extensão: Por α-níveisem escala de cinzas no espaço-xyα (de branco até preto interpreta de α “ 0até α “ 1), com α “ 0 (linha vermelha).

A partir do Exemplo 5.8, uma vez que y0 “ A P RF , podemos interpretar comonúmeros fuzzy o fluxo J (Equação (5.74)) e o número de partículas N (Equação (5.75)),isto é, carregamos a incerteza da condição de contorno nessa grandezas. Uma visualizaçãodesses números fuzzy J e N , considerando o coeficiente de difusão D “ 10´5 cm2 s´1 deuma molécula de oxigênio em um meio como a água [17], é apresentada na Figura 51.


0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06

10-5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 51 – Grandezas (fuzzy) obtidas a partir do Exemplo 5.8: a) Para o fluxo J dasubstância (matéria que passa por um ponto), e b) Para o número N departículas (numa linha, ou tubo, unidimensional).

5.8 ConclusãoNeste capítulo apresentamos os principais desenvolvimentos da nossa pesquisa

para resolver, via princípio de extensão de Zadeh (para solução não interativa) ou viaprincípio de extensão sup-J (para solução interativa), Problemas de Valores de ContornoFuzzy (PVCFs), cujas condições de contorno podem ser consideradas números fuzzylinearmente correlacionados. De forma geral, o princípio de extensão é aplicado na definiçãode um operador (Equação (5.6)) e sobre a solução determinística de um PVC associadoque evidencia as condições de contorno. De acordo com Teorema 5.2 e a partir de ummesmo PVCF (linear e de 2a ordem), determinamos que a solução interativa está contidana solução não interativa. Tal resultado é generalizado no Teorema 5.3 na formalização desoluções para PVCFs, lineares e de ordem n, com múltiplas condições de contorno fuzzyinterativas. Ainda, para estabelecer uma solução para um PVCF não linear (da Equação(5.47)), destacamos o uso da correlação linear (interatividade) entre duas condiçõesde contorno fuzzy e que tal solução fuzzy pode ser vista como a união de soluçõesclássicas, de acordo com o Teorema 5.4. Posteriormente, aplicações baseadas em métodosnuméricos clássicos, MEF e MDF, combinadas com esquemas estabelecidos pelas formasintervalares de derivadas fuzzy, de Hukuhara (H) e/ou generalizada de Hukuhara (gH),foram apresentadas para aproximar uma solução fuzzy para um PVCF. Também, na Seção5.2, fornecemos comentários baseados em observações iniciais sobre soluções numéricasde PVCFs. Primeiramente, estabelecendo como possível e indiferente o uso dos esquemasintervalares obtidos segundo as derivadas fuzzy H e/ou gH quando combinados comos métodos numéricos de MEF e/ou MDF. Além disso, inferimos que a solução fuzzy(interativa) é equivalente à solução numérica “corrigida”, na sua natureza imprópria,como visualizado no Exemplo 5.7. Finalmente, descrevemos a solução de um PVCF comoexemplo de aplicação em Biomatemática.

111

6 Considerações Finais

Nesse último capítulo são indicadas as principias contribuições e novidades danossa pesquisa acadêmica desenvolvida sobre problemas de valores de contorno envolvendoa teoria de conjuntos fuzzy, que foram descritas nesta tese de doutorado.

6.1 Sobre integral fuzzy adaptadaNo Capítulo 3, introduzimos a noção de integral fuzzy adaptada, baseada na

integral de Sugeno. Além disso, propomos uma fórmula de integração numérica (3.6) parafunções diferenciáveis, crescentes e não negativas cujo imagem está em r0, ks. Verificamosque, sob certas condições, essa fórmula fornece erro zero para funções potência, de acordocom Teorema 3.1. Em simulações preliminares, nas soluções numéricas para um PVCvia MEF, nossa aproximação obtém melhores resultados quando comparada com umaintegração numérica usual dada pela regra dos trapézios (ver Figuras 20-21 e Tabela 1).

6.2 Sobre soluções para PVCFsNo Capítulo 5 foram apresentadas soluções fuzzy para PVCFs lineares e não

lineares, os quais consideram números fuzzy como condições de contorno. Em todos oscasos, as soluções foram obtidas a partir da aplicação do princípio de extensão (de Zadehou sup-J) sobre as soluções determinísticas dos PVCs associados.

Primeiramente, quando as condições de contorno para um PVCF linear sãoconsideradas como números fuzzy não interativos, aplicamos o princípio de extensãode Zadeh, e assim, usamos uma soma usual entre os números fuzzy na solução fuzzyestabelecida. De acordo com o Teorema 5.1, a solução obtida a partir da extensão de Zadehcoincide com a solução proposta por Gasilov em [30] (ver Figura 31). Porém, diferentede [30], a aplicação do princípio de extensão de Zadeh não é limitada para condições decontorno particulares a números fuzzy triangulares ou trapezoidais.

Em seguida, quando as condições de contorno para um PVCF linear sãoconsideradas como números fuzzy interativos, aplicamos o princípio de extensão sup-J usando uma distribuição de possibilidade conjunta entre números fuzzy linearmentecorrelacionados. Além disso, mostramos que a solução fuzzy interativa (quando as condiçõesde contorno são consideradas como números fuzzy interativos) está contida na solução nãointerativa fuzzy (Figura 33). Em outras palavras, a solução interativa é menos difusa doque a solução não interativa, de acordo com o Teorema 5.2.

Capítulo 6. Considerações Finais 112

Depois, estudamos PVCFs com múltiplas condições de contorno dadas pornúmeros fuzzy interativos. A solução é obtida via o princípio de extensão sup-J . Além disso,o Teorema 5.3 afirma que a existência de interatividade entre as condições de contornopode afetar o diâmetro da solução, uma vez que esta solução interativa está contida naquelaproduzida pelo princípio de extensão de Zadeh (como mencionado anteriormente). Esseefeito pode ser observado na Figura 36.

Posteriormente, quando as condições de contorno de um PVCF não linear sãoconsideradas como números fuzzy, aplicamos o princípio de extensão sup-J sobre umasolução analítica (determinística), dada em forma fechada. Neste exemplo específico, ainteratividade (para números fuzzy linearmente correlacionados) entre as condições decontorno fuzzy é admitida e apresentamos uma solução fuzzy onde as condições de contornosão dadas por números fuzzy gaussianos (ver Figura 40). Nessa seção, finalizamos com umresultado geral, o Teorema 5.4, que conecta a solução fuzzy de um PVCF com uma famíliaparametrizada de soluções para PVCs clássicos, isto é, a solução fuzzy de um PVCF (de2a ordem) é a união de soluções clássicas de um PVC associado e isso dependendo apenasde uma das condições de contorno linearmente correlacionadas.

Também, neste trabalho vimos que é possível adotar métodos numéricos comoo Método de Elementos Finitos (MEF) ou o Método de Diferenças Finitas (MDF) paraobter uma aproximação da solução fuzzy de um PVCF. No caso do MEF, foi consideradoum PVCF com condições de contorno dadas por números fuzzy. O tratamento matemáticorealizado é basicamente o tradicional (isto é, derivadas, integração e resolução de sistemaslineares de forma clássica) enquanto os números fuzzy são dados por seus α-níveis paracada α P r0, 1s. Este ordenamento permitiu estender o PVC original, numa representaçãoparamétrica, inferior e outra superior, de cada intervalo e para cada α P r0, 1s (Equação5.50). Tal extensão é levada adiante e tratada tal como a teoria do MEF de Galerkintradicional estabelece para achar uma solução (numérica) fuzzy (Ver Figuras 41 e 42). Nocaso do MDF, foi considerado um PVCF cujo termo fonte é dado por uma função fuzzy econdições de contorno modeladas por números fuzzy. Cada solução aproximada foi obtidavia um esquema de diferenças centradas combinado com esquemas intervalares a partirda derivada generalizada de Hukuhara (quatro formas para um PVCF de 2a ordem, nasEquações (5.63)-(5.66)). Conferimos que o esquema via MDF e a gH-diferenciabilidadeconstituem uma eficiente ferramenta para resolver qualquer PVCF, linear e com coeficientesvariáveis, quando soluções fuzzy analíticas não são possíveis de obter. Porém, uma vez queé usada a gH-diferenciabilidade quatro soluções fuzzy são achadas (ver Figuras 43, 44, 45e 46) e a interpretação (única) de um fenômeno estudado é perdida.

Ainda, na Seção 5.6, foram estabelecidos alguns questionamentos e esboçadoscomentários (baseados em observações iniciais) sobre a utilização, possível e indiferente-mente, dos esquemas segundo as derivadas fuzzy, de Hukuhara (H) e/ou generalizada de

Capítulo 6. Considerações Finais 113

Hukuhara (gH), combinados com os métodos MEF e MDF para resolver numericamenteum PVCF. Também, foi possível inferir que a solução fuzzy (interativa), via aplicação doprincípio de extensão sup-J , pode ser interpretada como a solução “corrigida” do esquemaPVC-(1,1), segundo a gH-diferenciabilidade, para um PVCF (ver Figuras 47 e 48).

Finalmente, a partir de metodologias descritas nesse trabalho, foi apresentadaa solução fuzzy (ver Figuras 49 e 50) de um problema aplicado na Biomatemática, o qualmodela a difusão unidimensional de uma substância.

6.3 Sobre produtos acadêmicos e continuação da pesquisaO Capítulo 3 propiciou a confecção do artigo intitulado: “Adapted Fuzzy Integral:

An Application in the Finite Element Method” [62], o qual foi aceito na revista TEMA -Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, em Janeiro de 2018. Esse tema teveinicio no trabalho [61] intitulado: “Ensaios do método de elementos finitos com integralfuzzy ”, o qual foi apresentado no IV CBSF - Quarto Congresso Brasileiro de SistemasFuzzy, em novembro de 2016.

O Capítulo 5 propiciou a confecção do artigo intitulado: “On Interactive FuzzyBoundary Value Problems” [59], o qual foi submetido na revista Fuzzy Sets and Systems, emDezembro de 2017, que teve origem a partir do trabalho intitulado: “PVC com Condiçõesde Contorno Fuzzy: Solução Baseada em Método de Elementos Finitos” [58], o qual foiapresentado no XXXVII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional(CNMAC), em Setembro de 2017 e nos trabalhos intitulados “Problema de Valor deContorno Fuzzy: Solução Baseada em Derivadas Fuzzy e Método de Diferenças Finitas”[60], e “Linear Ordinary Differential Equations with Linearly Correlated Boundary ” [63],ambos aceitos para ser apresentados nos congressos CNMAC 2018 e IEEE WCCI 2018,respectivamente.

Como trabalho futuro e continuação da pesquisa para complementar a tesede doutorado, pretendemos, por um lado estudar propriedades da nova integral fuzzyadaptada e condições limitantes (superiores e/ou inferiores) para formalizar num artigocientífico internacional. Por outro lado, pretendemos estudar e formalizar, num outro artigocientífico internacional, a aplicação do princípio de extensão sup-J em soluções numéricasde PVCFs (quando não é possível obter soluções em uma forma analítica fechada para osPVCs associados) e incluir métodos iterativos para resolver problemas não lineares.

114

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