FOLHAS DE PROBLEMAS Disciplina de ELECTROMAGNETISMO (2 Ano da L.E.E.C. Ano Lectivo de 2001 / 2002) Maria Ins Barbosa de Carvalho Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores (D.E.E.C.) Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (F.E.U.P.) ANLISE VECTORIAL PROBLEMAS RESOLVIDOS 1.Considere o campo vectorialAr expresso em coordenadas cilndricas por zu z u u A sin + + = r a)Calcule a divergncia do campo. b)Calculeofluxodocampoqueatravessaasuperfcie lateralcilndricaderaioR ealtura,comoeixo coincidentecomoeixodoszz,talcomomostraa figura. L R x y z Lc)Repita a alnea anterior utilizando o teorema dadivergncia (teorema de Green-Ostrogradsky). Resoluo: a)Em coordenadas cilndricas ( z , , ) a divergncia de um campo vectorial dada pela expresso ( )zAAA A A divz++= = 1 1r r Neste caso tem-se z AAAz=== sine, ento, ( ) ( ) ( ) cos 3 sin1 12+ =++= zzAr b)O fluxo atravs da superfcie lateral do cilindro dado por 2lSds n A r ondeSlasuperfcielateraldocilindro,deraioRealturaL,dsumelementode superfcie pertencente a Sl, en o versor normal a essa superfcie. Nas condies do problema, dz d ds ds = = ,R = e u n = , o que significa que L R dz d R ds n ALSl202022 = = r c)Deacordocomoteoremadadivergncia,ofluxodeArparaforadasuperfcie cilndrica fechada pode ser calculado atravs do integral de volume da divergncia de Ar, integral esse estendido ao volume do cilindro: = V Sds n A dv A r r Em coordenadas cilndricas,dv dz d d = , e ento ( ) L R dz d d dv A ds n AVL RS = + = = 020203 cos 3 r r Alm disso, importante no esquecer que ( ) ( ) ( ) + + = base topo lateral Sds n A ds n A ds n A ds n A r r r r onde ( ) ( )( )( )L R d d L ds u A ds n A ds n ARtopoz ztopotopo topotopo220 0 = = = = r r r pois, para a superfcie do topo,L z = . De forma semelhante, tem-se ( ) ( )( )( )0 0 20 0= = = = Rbasez zbasebase basebaseds u A ds n A ds n Ar r r pois neste caso0 = z . Note que para esta superfcie zu n =(o versor aponta para fora da superfcie fechada). Utilizando estes resultados, obtm-se ( )L R L R L R ds n Alateral2 2 22 3 = = r como seria de esperar. 2.Considere o campo vectorialEr expresso em coordenadas cilndricas por 3zu B u A E + =r a)Mostre que em coordenadas cartesianas o campoEr tem como expresso z y xu B uy xAyu 2 2+++y xAxE2 2+=rII IV I ba b a III x y z b)Calcule a circulao do campo ao longo do rectngulo da figura, atendendo ao sentido indicado. c)VerifiqueoteoremadeStokesparaocampodadoe para a geometria indicada. Resoluo: a)Oversoru dosistemadecoordenadascilndricaspodeserescritonaforma(ver apndice) y x y x y xuy xyuy xxuyuxu u u sin cos 2 2 2 2+++= + = + = e, portanto, z y x zu B uy xAyuy xAxu B u A E 2 2 2 2++++= + =r b)A circulao do campo vectorialEr ao longo do rectngulo da figura dada por ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = IV III II I Ll d E l d E l d E l d E l d Er r r r r r r r r r ondeLocontornodorectnguloel drovectordeslocamentoinfinitesimal tangenteemcadapontoaopercursoconsideradoecomosentidoindicadonafigura. Como o percurso est assente no plano xy, podemos escrever y xu dy u dx l d + =r, o que significa que 2 2 2 2y xAydyy xAxdxl d E+++= r r Lado I 4b x = edxe, ento,0 =2 2y bAydyl d E+= r r ( )( ) b b a Ay bdy y Al d EaI + =+= 2 202 2r r Lado II a y = edye, ento,0 =2 2x aAxdxl d E+= r r ( )( )2 202 2b a a Ax adx x Al d Eb II+ =+= r r Ateno ao sentido de integrao, indicado neste caso pelos limites de integrao. importantereferirqueosentidodacirculaopodeserindicadodeduasformas diferentes:ouatravsdoslimitesdeintegrao,ouatravsdosentidoatribudoao vector.erradoindicarosentidosimultaneamentedestasduasformas.Aquifoi escolhido indicar o sentido atravs dos limites de integrao, logo, o vectordapenas indica uma direco (e no o sentido da circulao). l drlr Lado III 0 = x edxe, ento,0 = dy AyAydyl d E = = 2r r ( )Aa dy A l d Ea III = = 0r r Lado IV 0 = y edye, ento,0 = dx AxAxdxl d E = = 2r r ( )Ab dx A l d EbIV= = 0r r Utilizando estes resultados pode finalmente calcular-se ( ) 02 2 2 2= + + + + = b a b a a b b a A l d ELr r 5 c)O teorema de Stokes afirma que o fluxo do rotacional de um campo vectorial atravs de uma dada superfcie aberta igual circulao desse campo vectorial ao longo da linha que limita a superfcie. Ento, devemos ter ( ) = S Ll d E ds n Er r rondeSumasuperfcielimitadapelorectngulo.Obviamentedeverescolher-sea superfcierectangularassentenoplanoxy,eentotemosdy dx ds = e(sentido de est relacionado com o sentido da circulao pela regra da mo-direita). Por outro lado, o rotacional deste campo vectorial dado por zu n =n0 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2=||.|

\|||.|

\|+||.|

\|++||.|

\|||.|

\|++||.|

\|||.|

\|+=+ += z yxz y xuy xAxyy xAyxuy xAxz xBuy xAyz yBBy xAyy xAxz y xu u uEr e, ento, tendo em ateno o resultado da alnea anterior, mostra-se que efectivamente ( ) = = S Ll d E ds n E 0 r r r PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Considereoraiovectordeposio r deumpontogenrico.Calcule

nos seguintes sistemas de coordenadas: rrr a)cartesianas; b)cilndricas; c)esfricas. 2.Considere o campo vectorial

r v = R2 u R + Rsen u . a)Calcule

.r v 6b)Determineofluxode

rv atravsdeumasuperfcieesfricaderaioa centradana origem. c)Utilizandooresultadodaalneaanterior,demonstreavalidadedoteoremada divergncia. 3.Considere o seguinte campo vectorial expresso em coordenadas cartesianas:

r V = y i + x j x +1 ( )2z2 ka)Calcule

em coordenadas cartesianas.r V b)Mostre que o resultado obtido na alnea anterior, expresso nas variveis do sistema de coordenadas cilndricas (r, , z), toma a forma: r cos +1z3 c)Determine o fluxo de

atravs da superfcie do cilindro de raio unitrio, centrado no eixo dos, que tem as suas bases assentes nos planos r V zz z = 1 e2.z = 4.Considere a existncia de um campo potencial elctricoVdado porV .= x2 zy 1a)Mostrequeocampoelctrico r E correspondenteaoreferidocampopotencial (

) tem a seguinte expresso: r E = V

r E = 2x u x + z u y + y u z b)Calcule a circulao do campo elctrico r Edo ponto P1 (1,0,1) ao ponto P2 (0,1,1) pelo segmento de recta que os une. c)Determine o fluxo de

atravs da superfcie lateral do cilindro de raio r Er , centrado no eixo dos, que tem as suas bases assentes nos planoszz z = 0 e.z = h 5.Considere o campo vectorial

. r F = xy i+ 2 j 1, 0 ( )0,1 ( )xya)Determine

r F . b)Dadoopercursotriangularrepresentadonafigura, demonstre a validade do teorema de Stokes. 6.Demonstre as seguintes igualdades: U ( ) = 07 r V ( )= 0( ) ( ) A A Ar r r2 = SOLUES 1.3 2.a) cotg sen 4 + R ;b)4a4 3.a)x +1 ( ) z3;c)3 84.b)2;c)h r22 5.a)x k8LEI DE COULOMB E PRINCPIO DA SOBREPOSIO PROBLEMA RESOLVIDO 1.Considereumfiofinitodecomprimento,centradonaorigemdascoordenadase com densidade linear de carga A 2 . P (0,y) y x a)MostrequenopontoPde coordenadas (0,y) o campo elctrico dado poryuy A yAE 22 20+=r 2A 2 - y x b)Determineocampoelctriconocentro doquadradodelado2 mostradona figura. A 2A Resoluo: a)DeacordocomaleideCoulomb,ocampoelctricocriadoporumalinhacomuma densidade linear de carga dado por =Lrr dlE3041rr onderr o vector que aponta do elemento dl (pertencente linha) para o ponto onde se est a calcular o campo. Considerando o elemento representado na figura seguinte, temos 9 dlrrxy P (0,y)2Ay x ry xu y u x + =r dl dx =( )2 32 2 3y x + = r Substituindo estes valores na expresso da lei de Coulomb, vem ( )( )( ) ( )yAAAAy xAAy xuy A yAy xdxu yy xdx xuy xu y u x dxE20 4 412 202 32 22 32 202 32 20++ ==||.|

\|+++ ==++ = r b)Oprincpiodasobreposioafirmaque 4 3 2 1E E E E Er r r r r+ + + = ,ondeEr1,Er2,Er3,e Er4 so os campos criados por cada um dos lados do quadrado. Alm disso, neste caso verifica-sequeopontoconsideradoestmesmadistnciadosquatrolados,sendo .Atendendocargaqueexisteemcadaladodoquadrado,podemosento escrever A = y( )( )x yx y x yu uAuAuAuAuAE 242424242 24200 0 0 0+ == + = r PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Calcule o campo elctrico criado por um anel de raio R, com densidade linear de carga uniforme, num ponto do seu eixo a uma distnciaado centro. 102.Utilizandooresultadodoproblemaanterioreoprincpiodasobreposio,calculeo campo elctrico num ponto do eixo de um disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme , a uma distnciaado seu centro. 3.Utilizandonovamenteoprincpiodasobreposio,calculeocampoelctriconum ponto a uma distnciaado centro de uma esfera com densidade volumtrica de carga uniforme V e raio R. 4.Duas cargas pontuaisQeQesto colocadas simetricamente no eixo dos 1 2xx , a uma distnciadda origem. a)Determine os campos

para qualquer ponto no eixo dos.V e r Eyyb)SabendoqueQ ,determineamassamqueumapartculadecargaq , (sujeitaacodocampogravtico)deveterparaquepossaestaremequilbrio sobre o eixo dos, a uma distnciahda origem. 1 = 2Q2yy 5.Umfiocomcargalinearuniforme formaumarcocircularderaioRqueest centradonoeixodos,talcomomostraafigura.Mostrequeomdulodocampo elctricocriadopelofionaorigem yyE = 2sen ( ) 40R ( ),onde ongulo medido a partir do eixo dos at cada uma das extremidades do fio.yyyxR 6.Duascargaspontuais,Q ,estolocalizadasem(1,2,0)e(2,0,0), respectivamente.QuerelaodeveexistirentreQ paraqueaforatotalsobre uma carga de teste que se encontra em (-1, 1, 0) no tenha 1 e Q21e Q2a)componente segundo o eixo dosxx ; b)componente segundo o eixo dos.yy 117.Um tringulo equiltero constitudo por trs linhas de comprimento. A densidade lineardecarganastrslinhasuniforme,tendoosvalores L1, 2 e 3.Admitindo que1 = 22 = 23,determineaintensidadedocampoelctriconocentrodo tringulo. 8.Duas partculas de massam e cargaqesto suspensas do mesmo ponto por dois fios de comprimentol . Mostre que, em equilbrio, os fios fazem um ngulo em relao vertical dado por 160sen3mgl2 = q2cos. SOLUES 1.( ) ( ) | |zu R a Ra 22 32 20+ 2.( )( )zu R a a 1 22 20+ 3.interior:(R Vu a 30) ;exterior:( )R Vu a 3203 R 4.a)( ) ( ) | | ( ) | |2 32 20 2 1 2 14 y d j Q Q y i Q Q d E + + + = r ( ) ( )2 20 2 14 y d Q Q + + = Vb) ( )2 32 2018 h d gh qQ+=m6.a)8 2 32 1 = Q Q ;b)4 22 1= Q Q7.( ) j L4 30 1 12LEI DE GAUSS PROBLEMA RESOLVIDO 1. a)Mostre que o campo elctrico criado por um fio infinito com densidade linear de carga num ponto P a uma distnciado fio dado por u E 20=r onde ru o versor normal ao fio.b)SuponhaumacalhainfinitaderaioR comsecosemicircular.Acalhaest carregada com uma densidade de carga superficialuniforme .Utilizeo resultadodaalneaanterioreo princpio da sobreposio para calcular ocampoelctriconumpontodoeixo da calha. R x y z Resoluo: a)Quandoumproblematemsimetriaplana,cilndricaouesfrica,amaneiramais simplesdecalcularocampoelctricousandoaleideGauss.Apesardeestaleiser semprevlida,sdeveserusadaquandoumdadoproblemaexibeumdostiposde simetriareferidos.AleideGaussnovazioafirmaqueofluxodovectorcampo elctricoparaforadeumadadasuperfciefechadaigualcargatotalnointerior dessa superfcie a dividir pela permitividade do vazio: = SQds n E0intr 13AsuperfciefechadaS(tambmchamadasuperfciegaussiana)eosistemade coordenadasaserutilizadodevemserescolhidosdemodoaaproveitarasimetria exibidapeloproblema.Nestecaso,oproblemaexibesimetriacilndrica,e consequentementedeveserutilizadoosistemadecoordenadascilndricas( z , , ), com o eixo dos zz orientado segundo o fio infinito. Comoacargasedistribuiaolongodeumfiorectilneoinfinito,espera-sequeo mdulodocampoelctriconodependadeznemde ,masapenasde .Alm disso, atendendo a que o vector campo elctrico sempre perpendicular superfcie de umcondutoremequilbrio,podemosafirmarqueocampoelctricocriadoporesta distribuio de carga obedece a( ) u E E =r, isto , o seu mdulo depende apenas da distnciaaofioeasuadirecoperpendicularaofio.Escolhendoparasuperfcie gaussiana uma superfcie cilndrica (fechada) de raioe comprimento l, com o eixo coincidente com o eixo dos zz, temos = + + = SbSb tSt lSlQds n E ds n E ds n E ds n Eb t l0int r r r r onden , ul =z b tu n n = = ,dz d ds dsl = = e d d ds ds dsz b t= = = .Alm disso,Q l =int, o que leva a 0 0202 0 0 lE l dz d E ds ds ds ElbStSlSb t l= = = + + importantereferirquenointegralduploacima, e E sotratadoscomoconstantes (porqueasvariveisdeintegraosoz e ),podendopassarparaforadosinalde integrao. Da equao anterior pode facilmente concluir-se que u u E E 20= =r b)Comoobjectivodeestudarocampoelctricocriadopelacalha,podeconsiderar-se queestaconstitudaporumconjuntoinfinitodefiosinfinitos,colocados paralelamente uns aos outros e mesma distncia de um determinado eixo. Sabendo o campocriadoporumdessesfios,podefacilmentecalcular-seocampocriadopela calhautilizandooprincipiodasobreposio:ocampototaligualsomavectorial dos campos criados pelos diferentes fios. 14A carga existente num comprimento l de cada um desses fios l . Por outro lado, seadmitirmosquecadafiotemumalargura d R ,acargaexistentenum comprimento l seria dada porl d R . Como as cargas devem ter o mesmo valor independentementedeconsiderarmosalarguradofioouno,podemos imediatamenteconcluirque d R = .Esteresultadopermite-nosaproveitara expressoobtidanaalneaanteriorparacalcularocampocriadoporumdosfios que constitui a calha: uduRd RE d 220 0 = =r (atenoaosinalnegativo!).Comoestaexpressovlidaparaqualquerfio pertencente calha, o campo criado pela calha y y xu d u d u udE d E sin cos 220 0 0 0 0 0 =||.|

\|+ =||.|

\| = = r v ondeseteveematenoqueuy xu u sin cos + = variacomavarivelde integrao . PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Uma coroa esfrica limitada por duas superfcies de raiosR2 eR3 est carregada com umadensidadevolumtricadecargauniformeetempermitividade ,talcomo mostraafigura.Dentrodestacoroaexisteumasuperfcieesfricaconcntricaderaio R1edensidadesuperficialdecarga+ .Osistemaencontra-senummeiode permitividade . a)Sabendoqueocampoelctriconoexteriordosistema (zona 4) nulo, determine a relao entre e . R1R2R3+1234b)Determine

nas restantes regies. r E c)AdmitindoqueopotencialelctricoV nulona superfcie de raioR2, esboce o grfico de variao deVpara as zonas 1 e 2. 152.Ummaterialdielctricocomaformadeumaesferaderaioa ,tempermitividade r ( )= kr , ondek uma constante er a distncia ao centro da esfera, e est rodeado porumacascaesfricacondutora(depermitividade0)comraiointeriora eraio exterior.Sabendoquenomeiodielctricoembebidaumacarga(livre)devalorbtotalQ, a qual se distribui uniformemente pelo volume do dielctrico, determine a)os campos elctricos

e

em todo o espao; r Er D 0bab)a distribuio de carga na casca condutora; c)opotencialelctricoemtodooespao,admitindo que o seu valor no infinito nulo. V 3.Naregio0 R aR a,humadistribuioesfricadecargadedensidade = 01 ( )2| |.Estadistribuiodecargaestrodeadaporumacascaesfrica condutora,concntrica,deraiointeriorb (a < b)eraioexteriorc .Determine

em todo o espao. r E 4.Asdensidadessuperficiaisdecargaemduassuperfciescilndricascoaxiaisde comprimentoinfinitoeraiosr = aer = b b > a) ( )souniformesetmosvalores aeb, respectivamente. a)Determine

em todo o espao. r E b)Que relao deve existir entrea eb para que r E =0 emr > b? 5.Uma esfera de raioR, representada em corte na figura, possui uma cavidade tambm esfrica de raioRc, cujo centro est a uma distnciad( R > d + Rc) do centro da esfera. Admitindo que a esfera se encontra carregada com uma densidade volumtrica de carga , uniforme, determine RdRc a)a carga total no interior da esfera; b)o campo elctrico no interior da cavidade. 166.Suponha que o vector campo elctrico num dado ponto dado por r E = kr3u r, ondek umaconstanteer adistnciaorigemnosistemadecoordenadasesfricas. Determine a)a densidade de carga,; b)a carga total contida numa esfera de raioR centrada na origem. SOLUES 1.a)( ) ( )2132333R R R = ;b) r E 1 = 0( )ru R R E 2 21 2 =r( ) ( )ru R R R E 32 3 33 3 =r 2.( )( ) ( )2 2020 00303 34 44 4 /4 01444b Q b r a Q a rr Q V u r Q D E b rb Q V D E b r akar abQV uaQrD ukaQE a rrr r = = = == = = >= = = < Acargaqueseencontranointeriordeumasuperfciegaussianacomumraio sertodaacargaarmazenadanocondensador,ouseja, c R >( ) 0int= + + = Q Q Q ,oque permiteimediatamenteconcluirquenestaregio0 = Er.Porsuavez,esteresultado leva tambm concluso que aqui V=0. Regio 2:b R c > Ocampoelctriconointeriordeumcondutoremequilbrioelectrostticosempre igualazero!.Poressarazo,podemosconcluirquequandoconsideramosuma superfcie gaussiana com o raio considerado, o valor da carga total que se encontra no seuinteriortemquesertambmigualazero.Comonaesferaestdepositadauma cargadevalor+Q,istopermite-nosconcluirqueacargadepositadanacoroase encontra armazenada na sua superfcie interior. Atendendo aos resultados obtidos na regio anterior e a que o campo elctrico nulo aqui, podemos afirmar que o potencial tambm ser igual a zero. 19 Regio 3:a R b > Nestecaso,acarganointeriordasuperfciegaussianaapenasacargaqueest depositada na esfera, de valor +Q. Isso leva a que o campo elctrico nesta regio seja igual a RuRQE 420+ =r O potencial pode ser agora obtido utilizando a expresso V . Neste caso, o vector deslocamento infinitesimal escrito no sistema de coordenadas esfricas ( ) =Pl d E Pr rl drl d u d R u d R u dRR sin + + =r,oquesignificaquedR E l d E = r r.Atendendo aosresultadosobtidosparaocampoelctriconasdiferentesregies,podeafirmar-se que o potencial nesta regio dado por |.|

\| = = = b RQRdR QdR E VRbRb1 14 4020 NOTA:( ) V .0 = b Regio 4:0 > R aEsta regio, tal como a regio 2, corresponde ao interior de um condutor em equilbrio electrosttico.Poressarazopodeimediatamenteafirmar-sequeocampoelctrico nestaregioigualazero!Porsuavez,istopermite-nosconcluirqueacarga+Q depositada nesta esfera se encontra localizada na sua superfcie. O potencial ser dado por |.|

\| ==||.|

\|+ = b aQdR dR E VRaab1 1400 NOTA: O potencial constante na esfera, como seria de esperar. b)Por definio, a capacidade de um condensador dada por VQC=ondeQ o valor absoluto da carga depositada numa das armaduras do condensador, e a diferena de potencial entre a armadura onde est depositada a carga positiva eV 20aarmaduraondeestdepositadaacarganegativa.Nestecaso,acargapositivaest depositada na superfcie da esfera e a negativa na coroa, logo |.|

\| = |.|

\| = b aQb aQV1 1401 140 0 donde se conclui que a bb aVQC==04 PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Suponha um condensador cilndrico em que as superfcies condutoras tm raios R1 e R2 (R1< R2), e comprimento L (L>> R1, R2). O espao entre as superfcies condutoras est preenchido por dois dielctricos, tendo a superfcie de separao entre eles raio R (R1< R< R2). O dielctrico mais prximo da placa interior tem permitividade 1 e admite um campo mximo EM1, e o outro, respectivamente, 2 e EM2. a)Determine a capacidade do condensador assim formado. b)Qualadiferenadepotencialmximaquesepodeaplicarssuperfcies condutoras? Qual dos dois dielctricos limita essa diferena de potencial? R1R2R2L1 2.Umcondensadordeplacasparalelasconstitudoporduassuperfciescondutoras planas, paralelas, de dimenses( )2 1b b a + , separadas por uma distncia d (d b. b)Docondutorreferidoremovidoumcilindrode dimetro/2ecomprimentoinfinito.Oeixo destevazioparaleloaoeixodocondutor(eixo dos),eintersectaoplano bzz noponto x = y b/ 4 0, = ( ).Determine r B numponto qualquer da cavidade. xybb / 2xyNOTA: Use o princpio da sobreposio. 2.Umasuperfcieplanainfinitacondutoraassentenoplanoxypercorridaporuma correnteelctricaestacionriadedensidadesuperficialuniformedevalorK segundoadirecodoeixodosxx.Determineocampodeinduomagnticaem qualquer ponto do espao. SOLUES 1.b)20I 15b ( ) i 332.z>0: yu K B 20 =rzb ,l >>a ,).Oscilindrosestocurto-circuitadosnumaextremidadeeoespaoentreelesestpreenchidopormaterial magnticodepermeabilidade.Sabendoqueocabocoaxialtransportaumacorrente elctrica estacionria de intensidade I, determine o seu coeficiente de auto-induo ba)usando o mtodo dos fluxos de ligao; b)usando a energia magntica. bal 3.Umcabocoaxialdecomprimentol ,muitolongo,constitudoporumcondutor interior slido de raioa( e permeabilidade0 ) e uma superfcie condutora exterior de raio(b eb > a l >> b a, ).Oespaoentreosdoiscondutoresestpreenchidopor materialmagnticodepermeabilidade .Adistribuiodecorrentenocondutor interiornouniformeeadensidadedecorrentepodeseraproximadaporJ = kr2, onde uma constante ek r a distncia ao eixo do cabo. A corrente elctrica total, de intensidadeI , retorna atravs do condutor exterior. a)Determinekem funo deIea . b)Determine

r Bem todo o espao. c)Determine a energia magntica armazenada neste sistema. d)Utilizando o resultado da alnea anterior, obtenha uma expresso para o coeficiente de auto-induo do cabo coaxial. zab 44 SOLUES 1.a)( ) | |02 y R NIS + ; b)( ) | |022 y R S N + ; c)( ) | |02 24 y R S I N +2.( ) ( ) 2 ln b a l3.a)( )42 a I = k ;b)( ) u a Ir a r 2 :4 30< ;( ) u r I b r a 2 : < b : 0 ;c)( ) | | ( ) 4 ln 802a b l I + ;d)( ) | | ( ) 2 ln 80a b l + 45LEI DE INDUO DE FARADAY PROBLEMA RESOLVIDO 1.UmaespiracondutoracircularderaioRestassentenoplanoxy,numaregiodo espao onde existe um campo de induo magnticaBr varivel no tempo e no espao, ,ondee( ) ( )zu t y x B B sin2 20 + =r0B so constantes. Determine R y z x Br a)o fluxo magntico que atravessa a espira; b)a fora electromotrizinduzida na espira; c)osentidodecirculaodacorrenteinduzida no instante( ) 4 = t . Resoluo: a)Por definio, o fluxo magntico que atravessa uma superfcie S dado por = Sds n B r onde o versor perpendicular superfcie considerada e tem o sentido que aponta segundo o campo de induo magntica. Neste caso, a superfcie S a superfcie plana limitadapelaespira,n e nzu = d d ds dsz= = (osistemadecoordenadas cilndricas deve ser escolhido por se adaptar perfeitamente geometria do problema). Substituindo estas expresses na definio acima, temos ( )( )2sinsin04 20 030t B Rd d t BR = = Na obteno deste resultado, usou-se (ver apndice). 2 2 2 = + y x 46b)DeacordocomaleideinduodeFaraday,semprequeofluxomagnticoque atravessaumdadocircuitonoestacionrio,surgenessecircuitoumafora electromotrizinduzida a qual dada por dtd = Utilizando o resultado obtido na alnea anterior, chega-se a ( )2cos04t B R = c)AleideLenzafirmaqueacorrenteassociadacomaforaelectromotrizinduzida (corrente induzida) tende a opor-se variao de fluxo que lhe deu origem. Assim, se ofluxoestiveraaumentar,acorrenteinduzidaoriginarumcampodeinduo magntica induzido com o sentido contrrio ao que lhe deu origem. Se, pelo contrrio, ofluxomagnticoestiveradiminuir,acorrenteinduzidairoriginarumcampode induo magntica com o mesmo sentido do que lhe deu origem. Observando a expresso do fluxo magntico que atravessa a espira, verifica-se que ele varia sinusoidalmente, o que significa que durante certos intervalos de tempo o fluxo aumenta,enquantoqueparaoutrosintervalosdiminui.Assim,osentidodacorrente induzida no ser constante, variando tambm sinusoidalmente medida que o tempo passa.Naverdade,serepresentararesistnciadaespira,podemosafirmarquea intensidade da corrente induzida ( ) ( ) = = 2 cos04t B R Iind . Noinstanteconsiderado,( ) 0 4 2 2 4 cos0404> = = B R B R dt d ,oque significaqueofluxoestaaumentar.Poressarazo,ofluxoinduzido(criadopela correnteinduzida)deverapontarnosentidocontrrioaodeBr,ouseja,dever apontar segundo zu . Pela regra da mo-direita, a corrente que d origem a esse fluxo magntico tem o sentido de: u zuIind 47 NOTA:Osentidodacorrenteinduzidapodeserdeterminadoutilizandoaseguinte regra prtica: ndtdIind Iind Iind Iind - + PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Umaespiraquadradadeladoa estcolocadanomesmoplanodeumfiocondutor infinitoquepercorridoporumacorrenteelctricaestacionriadeintensidadeI. Sabendoqueaespira,inicialmenteaumadistnciab dofioinfinito,seafastadeste com uma velocidadev , determine za)ofluxomagnticoqueatravessaaespira(num instante de tempot ); X t (= 0)Xv a axb =b)a fora electromotriz induzida na espira; c)osentidodecirculaodacorrenteinduzidana espira. 2.Uma espira quadrada de ladoae resistnciaR roda em torno do eixo dos (que est nomesmoplanodaespiraepassapeloseucentro)comumavelocidadeangular zz48constante no sentido indicado na figura. A espira est colocada numa regio onde o campodeinduomagnticadadopor r B = B0 u y,ondeB0umaconstante. Sabendo que no instante inicial a espira se encontra no planoyz = 0 ( ), determine L xyza)o fluxo magntico que atravessa a espira em funo de ; b)a expresso da corrente que atravessa a espira. 3.Um espira quadrada de lado desloca-se a velocidade constantev mesmoemfrente deumabobinedesecoquadradadeladopercorridaporumacorrenteelctrica estacionria.Ocampomagnticocriadopelabobinepodeserconsideradouniforme, comvalorabsoluto LBesentidoedirecoindicadosnafigura,emtodosospontos sadadabobineenuloemqualqueroutroponto.Afiguraseguintemostraattulode exemplo algumas posies da espira no seu movimento. a)Determineaexpressodaforaelectromotrizinduzidanaespiraeesboceum grfico da variao dessa fora electromotriz com o tempo. b)MostrequealeideLenztambmaquivlida,istoqueaforaelectromotriz induzidatendeacriarumacorrentequeinteractuacomocampomagnticode forma a contrariar o movimento da espira. 494.Umabarracondutoradeslizasematritosobredoissobreocircuitorepresentadona figura.Sabendoqueocampodeinduomagnticanaregiovariadeacordocom (mT)equeaposiodabarradadapor r B = 5cos t ( )u zx = 0.35 1 cos t ( ) | |(m), determine a correnteique atravessa o circuito. r B O y xm .7 0 m0.2 i= 0. R 2 SOLUES 1.a)( ) | | ( ) 2 1 ln0vt b a Ia + + ;b)( )( ) | | vt b a vt b v Ia + + + 220; c)sentido horrio 2.a)B0a2sen ;b) B0a2cos R 3.a) tt1femBLvBLvL v L v 4.( ) mA t t sencos 2 1 75 . 1 ( ) +50APNDICE SISTEMAS DE COORDENADAS Coordenadas cartesianas (x, y, z) y z P (x, y, z) xuyuzurr x z y xu z u y u x r + + =r z y xu dz u dy u dx l d + + =r dydz dsx=- elemento de superfcie perpendicular auxdxdz dsy=dxdy dsz= dxdydz dv = z y xuzVuyVuxVV V grad ++= = zAyAxAA A divzyx++= =r r 51 zxyyz xxyzz y xz y xuyAxAuxAzAuzAyAA A Az y xu u uA A rot ||.|

\|+ |.|

\|+||.|

\|== =r r Coordenadas cilndricas ( z , , ) y z P ( z , , )uurrzu x zu z u r + =r cos = x sin = y y xu u u sin cos + =y xu u u cos sin + = zu dz u d u d l d + + = r dz d ds =dz d ds =52 d d dsz= dz d d dv = zuzVuVuVV V grad 1++= = ( )zAAA A A divz++= = 1 1r r ( )zz zzzuAA uAzAuzAAA A Azu u uA A rot1 1 1||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|=== = r r NOTA: 2 0 Coordenadas esfricas ( , , R ) uy z sin RrrRuuP ( , , R ) x Ru R r =r 53 cos sin R x = sin sin R y = cos R z = z y x Ru u u u cos sin sin cos sin + + =z y xu u u u sin sin cos cos cos + =y xu u u cos sin + = u d R u d R u dR l dR sin + + =r d d R dsRsin2= d dR R ds sin =d dR R ds = d d dR R dv sin2= uVRuVRuRVV V gradRsin11++= = ( ) ( ) ++= =ARARA RR RA A divRsin1sinsin1 122r r ( )( ) ( ) uAA RR Ru A RRARuAARA R A R ARu R u R uRA A rotR RRRR1sin1 1 sinsin1sin sin sin12|.|

\|+||.|

\|++||.|

\|== =r r NOTA: 054 2 0 TEOREMAS IMPORTANTES Teorema da divergncia O integral de volume da divergncia de um campo vectorial estendido a um dado volume igual ao fluxo do campo vectorial para fora da superfcie que limita esse volume. = V Sds n A dv A r r onde Ar-campo vectorial -volume em causaV-elemento de volumedv-superfcie (fechada) que limita o volume V S-elemento de superfcie pertencente ads S-versor normal a, que aponta para fora de V(normal exterior)n S Teorema de Stokes Ofluxodorotacionaldeumcampovectorialatravsdeumadadasuperfcieaberta igual circulao desse campo vectorial ao longo da linha que limita a superfcie. ( ) = S Cl d A ds n Ar r r onde Ar-campo vectorial -superfcie aberta consideradaS-elemento de superfcie pertencente ads S-versor normal an S55-linha que limita a superfcie abertaC S-vector infinitesimal tangente em cada ponto al drS Importante: -sentidoden esentidodecirculao(ouseja,sentidode l dr)relacionadospela regra da mo-direita: l drl dr n n 56