- Processamento digital de sinais –

Capítulo 6 – Transformada z

A transformada z

• O que é uma transformada ?

• Domínio z (plano z complexo)

– caracterização, estabilidade

• Definição:

• Transformada inversa

2

∑∞

−∞=

−≡n

nznxzX )()(

)()( zXnx ↔

• Região de convergência (ROC ou RDC)

– Valores de z para os quais X(z) tem valor finito

• Exemplo: calcule a transformada z dos sinais

3

}1 0, 7, 3, 2, ,1{)(1↑

=nx

}1 0, 7, ,3 2, ,1{)(2↑

=nx

)()(3 nnx δ=

)()(4 knnx −= δ

)(2

1)(5 nunx

n

=

• Considere z como:

e

e

4

θjrez =

∑∞

−∞=

−−

==

n

njn

rezernxzX j

θθ )()(

∑∞

−∞=

−=n

nrnxzX )()(

∑∑∞

=

−

−∞=

− +=0

1 )()(

nn

n

n

r

nxrnx

∑∑∞

=

∞

=

+−=01

)()(

nn

n

n

r

nxrnx

5

• Propriedades da transformada z

P.1) Linearidade

Exemplo: determine a transformada z do sinal

6

)()()()()()( 22112211 zXazXazXnxanxanx +=↔+=

)()]3(4)2(3[)( nunxnn −=

P.2) Deslocamento no tempo

P.3) Escala no domínio z

7

)()( zXnx ↔

)()( zXzknxk−↔−

)()( zXnx ↔

)()(1zaXnxa

n −↔

21 ||: rzrROC <<

21 |||||:| razraROC <<

P.4) Diferenciação no domínio z

P.5) Convolução de duas sequências

8

)()( zXnx ↔

dz

zdXznnx

)()( −↔

)()( 11 zXnx ↔

)()( 22 zXnx ↔

)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx =↔=

)}({)(1

zXZnx−=

9

10

• Polos e zeros

11

M

M

M

M

zazaa

zbzbb

zA

zBzX

−−

−−

++

++==

...

...

)(

)()(

1

10

1

10

))...()((

))...()((

)(

)()(

21

21

0

0

N

MNM

pzpzpz

zzzzzzz

a

b

zA

zBzX

−−−

−−−== +−

• Comportamento dos sinais

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• Modelo:

13

Análise de filtros IIR por Z

• Eq. Geral:

• Exemplo 1:

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... Fatorando:

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